Շատ դեպքերում կատվի վիճակագրական բնակչությունը ներառում է մեծ կամ նույնիսկ ավելին անսահման թիվտարբերակ, որն ամենից հաճախ հանդիպում է շարունակական տատանումներով, յուրաքանչյուր տարբերակի համար միավորների խումբ կազմելը գործնականում անհնար և անիրագործելի է։ Նման դեպքերում վիճակագրական միավորները խմբերի մեջ միավորելը հնարավոր է միայն միջակայքի հիման վրա, այսինքն. այնպիսի խումբ, որն ունի որոշակի սահմաններ տարբեր բնութագրերի արժեքների համար: Այս սահմանները նշվում են երկու թվերով, որոնք ցույց են տալիս յուրաքանչյուր խմբի վերին և ստորին սահմանները: Ինտերվալների օգտագործումը հանգեցնում է ինտերվալների բաշխման շարքի ձևավորմանը:

Ինտերվալ ռադվարիացիոն շարք է, որի տարբերակները ներկայացված են ինտերվալների տեսքով։

Ինտերվալային շարքը կարող է ձևավորվել հավասար և անհավասար ընդմիջումներով, մինչդեռ այս շարքի կառուցման սկզբունքի ընտրությունը հիմնականում կախված է վիճակագրական բնակչության ներկայացուցչականության և հարմարության աստիճանից: Եթե ​​բնակչությունը միավորների քանակով բավականաչափ մեծ է (ներկայացուցչական) և իր կազմով լիովին միատարր է, ապա խորհուրդ է տրվում միջակայքային շարքի ձևավորումը հիմնել ընդմիջումների հավասարության վրա։ Սովորաբար, օգտագործելով այս սկզբունքը, ինտերվալային շարք է ձևավորվում այն ​​պոպուլյացիաների համար, որտեղ տատանումների միջակայքը համեմատաբար փոքր է, այսինքն. առավելագույն և նվազագույն տարբերակները սովորաբար տարբերվում են միմյանցից մի քանի անգամ: Այս դեպքում հավասար ինտերվալների արժեքը հաշվարկվում է բնութագրի տատանումների միջակայքի հարաբերակցությամբ՝ ձևավորված միջակայքերի տվյալ քանակին: Հավասար որոշելու համար Եվինտերվալ, Sturgess բանաձևը կարող է օգտագործվել (սովորաբար ինտերվալային բնութագրերի փոքր տատանումներով և վիճակագրական բնակչության մեծ թվով միավորներով).

որտեղ x i - հավասար միջակայքային արժեք; X max, X min - առավելագույն և նվազագույն տարբերակները վիճակագրական ագրեգատի մեջ. n . - միավորների քանակը ագրեգատում.

Օրինակ. Ցեզիումով ռադիոակտիվ աղտոտման խտության համար հավասար միջակայքի չափը նպատակահարմար է հաշվարկել՝ 137 Մոգիլևի մարզի Կրասնոպոլսկի շրջանի 100 բնակավայրերում, եթե հայտնի է, որ նախնական (նվազագույն) տարբերակը հավասար է 1 կմ/: կմ 2, եզրափակիչ (առավելագույնը) - 65 կի/կմ 2. Օգտագործելով բանաձև 5.1. մենք ստանում ենք.

Հետևաբար, ինտերվալային շարք կազմելու համար հավասար ընդմիջումներովըստ ցեզիումի աղտոտվածության խտության՝ Կրասնոպոլսկի շրջանի 137 բնակավայր, հավասար միջակայքի չափը կարող է լինել 8 կի/կմ 2։

Անհավասար բաշխման պայմաններում, այսինքն. երբ առավելագույն և նվազագույն տարբերակները հարյուրապատիկ են, ինտերվալային շարք կազմելիս կարող եք կիրառել սկզբունքը անհավասարընդմիջումներով. Անհավասար միջակայքերը սովորաբար մեծանում են, երբ մենք անցնում ենք բնութագրի ավելի մեծ արժեքների:

Ինտերվալների ձևը կարող է լինել փակ կամ բաց: Փակված էԸնդունված է անվանել միջակայքեր, որոնք ունեն և՛ ստորին, և՛ վերին սահմաններ: Բացինտերվալներն ունեն միայն մեկ սահման՝ առաջին միջակայքում վերին սահման կա, վերջինում՝ ստորին սահման։

Գնահատում ինտերվալային շարք, հատկապես անհավասար ընդմիջումներով, նպատակահարմար է իրականացնել հաշվի առնելով բաշխման խտությունը, հաշվարկելու ամենապարզ ձևը, թե որն է տեղական հաճախականության (կամ հաճախականության) հարաբերակցությունը միջակայքի չափին:

Գործնականորեն ինտերվալային շարք ձևավորելու համար կարող եք օգտագործել աղյուսակի դասավորությունը: 5.3.

Աղյուսակ 5.3. Ինտերվալային շարքի ձևավորման կարգը բնակավայրերԿրասնոպոլսկի շրջանը ըստ ցեզիումի -137 ռադիոակտիվ աղտոտման խտության

Ինտերվալային շարքի հիմնական առավելությունը նրա առավելագույնն է կոմպակտություն.միևնույն ժամանակ, ինտերվալների բաշխման շարքում բնութագրիչի առանձին տարբերակները թաքնված են համապատասխան ինտերվալներում.

Ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգում ինտերվալների շարքը գրաֆիկորեն պատկերելիս ինտերվալների վերին սահմանները գծագրվում են աբսցիսայի առանցքի վրա, իսկ շարքի տեղական հաճախականությունները՝ օրդինատների առանցքի վրա։ Ինտերվալային շարքի գրաֆիկական կառուցվածքը տարբերվում է բաշխման բազմանկյունի կառուցվածքից նրանով, որ յուրաքանչյուր ինտերվալ ունի ստորին և վերին սահմաններ, և երկու աբսցիսները համապատասխանում են մեկ օրդինատիվ արժեքի։ Հետևաբար, ինտերվալային շարքի գրաֆիկում նշվում է ոչ թե կետ, ինչպես պոլիգոնում, այլ երկու կետ միացնող գիծ։ Այս հորիզոնական գծերը միացված են միմյանց ուղղահայաց գծերով և ստացվում է աստիճանավոր բազմանկյունի պատկեր, որը սովորաբար կոչվում է. հիստոգրամբաշխում (նկ. 5.3):

ժամը գրաֆիկական շինարարությունինտերվալային շարքը բավական մեծ վիճակագրական բնակչության վրա, հիստոգրամը մոտենում է սիմետրիկբաշխման ձևը. Այն դեպքերում, երբ վիճակագրական բնակչությունը փոքր է, որպես կանոն. ասիմետրիկբարակ գծապատկեր:

Որոշ դեպքերում նպատակահարմար է ձևավորել կուտակված հաճախականությունների շարք, այսինքն. կուտակայինշարք. Կուտակային շարքը կարող է ձևավորվել դիսկրետ կամ միջակայքային բաշխման շարքի հիման վրա: Ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգում կուտակային շարքը գրաֆիկորեն պատկերելիս տարբերակները գծագրվում են աբսցիսայի առանցքի վրա, իսկ կուտակված հաճախականությունները (հաճախականությունները)՝ օրդինատների առանցքի վրա։ Ստացված կոր գիծը սովորաբար կոչվում է կուտակայինբաշխում (նկ. 5.4):

Ձևավորում և գրաֆիկական ներկայացում տարբեր տեսակներտատանումների շարքը նպաստում է հիմնական վիճակագրական բնութագրերի պարզեցված հաշվարկին, որոնք մանրամասն քննարկվում են 6-րդ թեմայում, օգնում է ավելի լավ հասկանալ վիճակագրական բնակչության բաշխման օրենքների էությունը: Վերլուծություն տատանումների շարքառանձնահատուկ նշանակություն է ձեռք բերում այն ​​դեպքերում, երբ անհրաժեշտ է բացահայտել և հետևել տարբերակների և հաճախականությունների (հաճախականությունների) միջև կապը: Այս կախվածությունը դրսևորվում է նրանով, որ յուրաքանչյուր տարբերակի դեպքերի քանակը որոշակիորեն կապված է այս տարբերակի չափի հետ, այսինքն. տարբեր բնութագրերի մեծացող արժեքներով, այդ արժեքների հաճախականությունները (հաճախականությունները) որոշակի, համակարգված փոփոխություններ են ունենում: Սա նշանակում է, որ հաճախականության (հաճախականության) սյունակում թվերը քաոսային չեն տատանվում, այլ փոխվում են որոշակի ուղղությամբ, որոշակի հերթականությամբ և հաջորդականությամբ։

Եթե ​​հաճախականությունները ցույց են տալիս որոշակի համակարգվածություն իրենց փոփոխությունների մեջ, ապա դա նշանակում է, որ մենք օրինաչափություն բացահայտելու ճանապարհին ենք: Համակարգը, կարգը, հաճախականությունների փոփոխման հաջորդականությունը արտացոլումն է ընդհանուր պատճառներ, ընդհանուր պայմանները, բնորոշ է ողջ բնակչությանը։

Պետք չէ ենթադրել, որ բաշխման օրինաչափությունը միշտ տրվում է պատրաստի տեսքով։ Կան բավականին շատ տատանումների շարքեր, որոնցում հաճախականությունները տարօրինակ կերպով ցատկում են, երբեմն աճում, երբեմն նվազում: Նման դեպքերում նպատակահարմար է պարզել, թե ինչ բաշխման հետ է առնչվում հետազոտողը. կա՛մ այս բաշխումն ընդհանրապես չունի որևէ բնորոշ օրինաչափություն, կա՛մ դրա բնույթը դեռ բացահայտված չէ. առաջին դեպքը հազվադեպ է, բայց երկրորդը. դեպքը բավականին տարածված և շատ տարածված երևույթ է։

Այսպիսով, ինտերվալային շարք կազմելիս վիճակագրական միավորների ընդհանուր թիվը կարող է փոքր լինել, և յուրաքանչյուր ինտերվալ պարունակում է փոքր թվով տարբերակներ (օրինակ՝ 1-3 միավոր)։ Նման դեպքերում չի կարելի հույս դնել որեւէ օրինաչափության դրսեւորման վրա։ Որպեսզի պատահական դիտարկումների հիման վրա ստացվի բնական արդյունք, անհրաժեշտ է, որ օրենքը ուժի մեջ մտնի. մեծ թվեր, այսինքն. այնպես, որ յուրաքանչյուր ինտերվալի համար լինի ոչ թե մի քանի, այլ տասնյակ և հարյուրավոր վիճակագրական միավոր։ Այդ նպատակով մենք պետք է փորձենք հնարավորինս ավելացնել դիտարկումների թիվը։ Սա ամենաշատն է ճիշտ ճանապարհըզանգվածային գործընթացներում օրինաչափությունների հայտնաբերում: Եթե ​​դա չի թվում իրական հնարավորությունավելացնել դիտարկումների քանակը, այնուհետև օրինաչափության բացահայտումը կարելի է հասնել բաշխման շարքի միջակայքերի քանակը նվազեցնելու միջոցով: Վարիացիոն շարքի ինտերվալների քանակը նվազեցնելով` յուրաքանչյուր ինտերվալում հաճախականությունների թիվը դրանով իսկ մեծանում է: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուրի պատահական տատանումները վիճակագրական միավորհամընկնել միմյանց, «հարթել»՝ վերածվելով օրինաչափության։

Վարիացիոն շարքերի ձևավորումն ու կառուցումը թույլ է տալիս ստանալ վիճակագրական բնակչության բաշխվածության միայն ընդհանուր, մոտավոր պատկեր։ Օրինակ, հիստոգրամը միայն կոպիտ ձևով է արտահայտում բնութագրիչի արժեքների և նրա հաճախականությունների (հաճախականությունների) արժեքների միջև կապը: Հետևաբար, տատանումների շարքերը, ըստ էության, հիմք են հանդիսանում ստատիկի ներքին կանոնավորության հետագա, խորը ուսումնասիրության համար: բաշխում.

ԹԵՍՏԱՅԻՆ ՀԱՐՑԵՐ 5-րդ ԹԵՄԱՅԻ ՀԱՄԱՐ

1. Ի՞նչ է տատանումները: Ի՞նչն է առաջացնում վիճակագրական բնակչության մեջ որևէ հատկանիշի փոփոխություն:

2. Ի՞նչ տեսակի տարբեր բնութագրեր կարող են առաջանալ վիճակագրության մեջ:

3. Ի՞նչ է տատանումների շարքը: Վարիացիոն շարքերի ի՞նչ տեսակներ կարող են լինել:

4. Ի՞նչ է դասակարգված շարքը: Որո՞նք են դրա առավելություններն ու թերությունները:

5. Ի՞նչ է դիսկրետ շարքը և որո՞նք են դրա առավելություններն ու թերությունները:

6. Ինչպիսի՞ն է ինտերվալային շարքի կազմման կարգը, որո՞նք են դրա առավելություններն ու թերությունները:

7. Ի՞նչ է դասակարգված, դիսկրետ, միջակայքային բաշխման շարքերի գրաֆիկական ներկայացումը:

8. Ի՞նչ է բաշխման կուտակումը և ինչո՞վ է այն բնութագրվում:

Ուղարկել ձեր լավ աշխատանքը գիտելիքների բազայում պարզ է: Օգտագործեք ստորև ներկայացված ձևը

Լավ գործ էդեպի կայք">

Ուսանողները, ասպիրանտները, երիտասարդ գիտնականները, ովքեր օգտագործում են գիտելիքների բազան իրենց ուսումնառության և աշխատանքի մեջ, շատ շնորհակալ կլինեն ձեզ:

Տեղադրվել է http://www.allbest.ru/

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ1

Այս մասին հասանելի է հետևյալ տեղեկատվությունը աշխատավարձերձեռնարկության աշխատակիցներ.

Աղյուսակ 1.1

	Աշխատավարձի չափը պայմանական պայմաններով. որջ. միավորներ

Պահանջվում է կառուցել ինտերվալային բաշխման շարք, որով կարելի է գտնել.

1) միջին աշխատավարձը.

2) միջին գծային շեղում.

4) ստանդարտ շեղում.

5) տատանումների միջակայք.

6) տատանումների գործակիցը.

7) գծային գործակիցտատանումներ;

8) տատանումների պարզ գործակից.

10) միջին;

11) անհամաչափության գործակիցը.

12) Պիրսոնի անհամաչափության ինդեքսը.

13) կուրտոզի գործակիցը.

Լուծում

Ինչպես գիտեք, տարբերակները (ճանաչված արժեքները) դասավորված են աճման կարգով՝ ձևավորելու համար դիսկրետ տատանումների շարք. Մեծ թվով տարբերակ (ավելի քան 10), նույնիսկ դիսկրետ տատանումների դեպքում կառուցվում են ինտերվալային շարքեր։

Եթե ​​ինտերվալային շարքը կազմվում է զույգ ընդմիջումներով, ապա տատանումների միջակայքը բաժանվում է նշված ինտերվալների քանակի վրա։ Ընդ որում, եթե ստացված արժեքը ամբողջ թիվ է և միանշանակ (ինչը հազվադեպ է լինում), ապա միջակայքի երկարությունը ենթադրվում է, որ հավասար է այս թվին։ Այլ դեպքերում արտադրված կլորացում Պարտադիր Վ կողմը աճ, Այսպիսով դեպի մնացած վերջին թվանշանը զույգ էր: Ակնհայտորեն, քանի որ միջակայքի երկարությունը մեծանում է, տատանումների միջակայք մի մեծությամբ, որը հավասար է ինտերվալների քանակի արտադրյալին. միջակայքի հաշվարկված և սկզբնական երկարության տարբերությամբ

Ա) Եթե ​​տատանումների տիրույթի ընդլայնման մեծությունը աննշան է, ապա այն կա՛մ ավելացվում է ամենամեծին, կա՛մ հանվում է բնութագրի ամենափոքր արժեքից.

բ) Եթե տատանումների տիրույթի ընդլայնման մեծությունը նկատելի է, ապա այնպես, որ տիրույթի կենտրոնը չփոխվի, այն մոտավորապես բաժանվում է կիսով չափ՝ միաժամանակ ավելացնելով ամենամեծին և հանելով. ամենացածր արժեքներընշան.

Եթե ​​կազմվում է անհավասար ընդմիջումներով ինտերվալային շարք, ապա գործընթացը պարզեցվում է, բայց, այնուամենայնիվ, միջակայքերի երկարությունը պետք է արտահայտվի որպես թիվ վերջին զույգ նիշով, ինչը մեծապես հեշտացնում է թվային բնութագրերի հետագա հաշվարկները:

30-ը նմուշի չափն է:

Եկեք ստեղծենք ինտերվալային բաշխման շարք՝ օգտագործելով Sturges բանաձևը.

K = 1 + 3.32*log n,

K - խմբերի քանակը;

K = 1 + 3,32 * lg 30 = 5,91 = 6

Մենք գտնում ենք հատկանիշի միջակայքը՝ ձեռնարկությունում աշխատողների աշխատավարձերը՝ (x)՝ օգտագործելով բանաձևը

R= xmax - xmin և բաժանել 6-ի; R= 195-112=83

Այնուհետեւ միջակայքի երկարությունը կլինի լնրբանցք=83:6=13.83

Առաջին ինտերվալի սկիզբը կլինի 112: Ավելացնենք 112-ին լ ras = 13.83, մենք ստանում ենք դրա վերջնական արժեքը 125.83, որը նաև երկրորդ ինտերվալի սկիզբն է և այլն: հինգերորդ ինտերվալի վերջ՝ 195։

Հաճախականություններ գտնելիս պետք է առաջնորդվել կանոնով. «եթե հատկանիշի արժեքը համընկնում է ներքին ինտերվալի սահմանի հետ, ապա այն պետք է վերագրել նախորդ միջակայքին»:

Մենք ստանում ենք հաճախականությունների և կուտակային հաճախությունների միջակայքային շարք:

Աղյուսակ 1.2

Ուստի 3 աշխատակից ունի աշխատավարձ։ վճար 112-ից մինչև 125,83 պայմանական դրամական միավոր: Ամենաբարձր աշխատավարձը վճար 181,15-ից մինչև 195 պայմանական դրամական միավոր: ընդամենը 6 աշխատակից.

Թվային բնութագրերը հաշվարկելու համար մենք ինտերվալային շարքը վերափոխում ենք դիսկրետ շարքի՝ որպես տարբերակ վերցնելով միջակայքերի միջին մասը.

Աղյուսակ 1.3

							14131,83

Օգտագործելով միջին թվաբանական բանաձևը

ավանդական դրամական միավորներ

Միջին գծային շեղում.

որտեղ xi-ն ուսումնասիրվող հատկանիշի արժեքն է բնակչության i-րդ միավորի համար,

Ուսումնասիրված հատկանիշի միջին արժեքը.

Տեղադրվել է http://www.allbest.ru/

L Տեղադրված է http://www.allbest.ru/

Պայմանական դրամական միավորներ

Ստանդարտ շեղում.

Ցրվածություն:

Տատանումների հարաբերական միջակայք (տատանումների գործակից). c= R:,

Հարաբերական գծային շեղում. q = L:

Տատանումների գործակիցը. V = y:

Տատանումների գործակիցը ցույց է տալիս թվաբանական միջինի շուրջ բնութագրիչի ծայրահեղ արժեքների հարաբերական տատանումը, իսկ տատանումների գործակիցը բնութագրում է բնակչության աստիճանը և միատարրությունը:

c= R: = 83 / 159,485 * 100% = 52,043%

Այսպիսով, ծայրահեղ արժեքների միջև տարբերությունը 5,16% (=94,84%-100%) պակաս է ձեռնարկության աշխատողների միջին աշխատավարձից:

q = L: = 17,765/ 159,485*100% = 11,139%

V = y: = 21,704/ 159,485*100% = 13,609%

Տատանումների գործակիցը 33%-ից պակաս է, ինչը ցույց է տալիս ձեռնարկությունում աշխատողների աշխատավարձերի թույլ տատանումները, այսինքն. որ միջին արժեքը աշխատողների աշխատավարձի բնորոշ հատկանիշն է (բնակչությունը միատարր է):

Ինտերվալային բաշխման շարքերում նորաձեւությունորոշվում է բանաձևով -

Մոդալ ինտերվալի հաճախականությունը, այսինքն՝ ամենամեծ թվով տարբերակներ պարունակող միջակայքը.

Մոդալին նախորդող միջակայքի հաճախականությունը;

Մոդալին հաջորդող միջակայքի հաճախականությունը;

Մոդալ միջակայքի երկարությունը;

Մոդալ միջակայքի ստորին սահմանը.

Որոշելու համար միջիններըինտերվալային շարքում մենք օգտագործում ենք բանաձևը

որտեղ է միջինին նախորդող միջակայքի կուտակային (կուտակված) հաճախականությունը.

Միջին միջակայքի ստորին սահմանը;

Միջին միջակայքի հաճախականությունը;

Միջին միջակայքի երկարությունը:

Միջին միջակայքը- ընդմիջում, որի կուտակված հաճախականությունը (=3+3+5+7) գերազանցում է հաճախությունների գումարի կեսը - (153.49; 167.32):

Եկեք հաշվարկենք ասիմետրիան և կուրտոզը, որի համար կստեղծենք նոր աշխատաթերթ.

Աղյուսակ 1.4

Փաստացի տվյալներ	Հաշվարկված տվյալներ

Հաշվենք երրորդ կարգի պահը

Հետևաբար, ասիմետրիան հավասար է

Քանի որ 0,3553 0,25, ասիմետրիան համարվում է նշանակալի:

Հաշվենք չորրորդ կարգի պահը

Հետևաբար, կուրտոզը հավասար է

Որովհետեւ< 0, то эксцесс является плосковершинным.

Անհամաչափության աստիճանը կարող է որոշվել օգտագործելով Pearson անհամաչափության գործակիցը (As). տատանումների նմուշի արժեքի շրջանառությունը

որտեղ է բաշխման շարքի միջին թվաբանականը. -- նորաձեւություն; - ստանդարտ շեղում.

Սիմետրիկ (նորմալ) բաշխմամբ = Mo, հետևաբար, անհամաչափության գործակիցը զրո է: Եթե ​​As > 0, ապա կա ավելի շատ ռեժիմ, հետևաբար կա աջակողմյան ասիմետրիա:

Եթե ​​Աս< 0, то ավելի քիչ նորաձևություն, հետևաբար, կա ձախակողմյան ասիմետրիա: Ասիմետրիայի գործակիցը կարող է տատանվել -3-ից +3:

Բաշխումը սիմետրիկ չէ, բայց ունի ձախակողմյան ասիմետրիա։

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ 2

Ինչպիսի՞ն պետք է լինի ընտրանքի չափը, որպեսզի 0,954 հավանականության դեպքում ընտրանքի սխալը չգերազանցի 0,04-ը, եթե նախորդ հարցումների հիման վրա հայտնի է, որ շեղումը 0,24 է:

Լուծում

Չկրկնվող նմուշառման համար ընտրանքի չափը հաշվարկվում է բանաձևով.

t - վստահության գործակից (0,954 հավանականությամբ այն հավասար է 2,0-ի, որոշվում է հավանականության ինտեգրալների աղյուսակներից),

y2=0.24 - ստանդարտ շեղում;

10000 մարդ - նմուշի չափը;

Dx =0.04 - նմուշի միջինի առավելագույն սխալ:

95,4% հավանականությամբ կարելի է փաստել, որ ընտրանքի չափը, ապահովելով 0,04-ից ոչ ավելի հարաբերական սխալ, պետք է լինի առնվազն 566 ընտանիք։

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ3

Հետևյալ տվյալները հասանելի են ձեռնարկության հիմնական գործունեությունից ստացված եկամուտների վերաբերյալ, միլիոն ռուբլի:

Մի շարք դինամիկա վերլուծելու համար որոշեք հետևյալ ցուցանիշները.

1) շղթայական և հիմնական.

Բացարձակ աճ;

Աճի տեմպերը;

Աճի տեմպը;

2) միջին

Դինամիկայի շարքի մակարդակ;

Բացարձակ աճ;

Աճի տեմպը;

Բարձրացման տեմպ;

3) 1% աճի բացարձակ արժեք.

Լուծում

1. Բացարձակ աճ (Դy)- սա սերիայի հաջորդ մակարդակի և նախորդի (կամ հիմնական) միջև եղած տարբերությունն է.

շղթա՝ DN = yi - yi-1,

հիմնական՝ DN = yi - y0,

уi - տողի մակարդակ,

i - տողի մակարդակի համարը,

y0 - բազային տարվա մակարդակ:

2. Աճի տեմպ (Tu)շարքի հետագա մակարդակի և նախորդի (կամ բազային տարվա 2001թ.) հարաբերակցությունն է.

շղթա՝ Tu = ;

հիմնական: Tu =

3. Աճի տեմպ (TԴ) բացարձակ աճի հարաբերակցությունն է նախորդ մակարդակին` արտահայտված %-ով:

շղթա՝ Tu = ;

հիմնական: Tu =

4. Բացարձակ արժեք 1% աճ (A)- սա շղթայական բացարձակ աճի հարաբերակցությունն է աճի տեմպի նկատմամբ՝ արտահայտված %-ով:

Ա =

Շարքի միջին մակարդակըհաշվարկվում է միջին թվաբանական բանաձևով:

4 տարվա ընթացքում հիմնական գործունեությունից եկամտի միջին մակարդակը.

Միջին բացարձակ աճհաշվարկվում է բանաձևով.

որտեղ n-ը շարքի մակարդակների թիվն է:

Միջին հաշվով, տարվա կտրվածքով հիմնական գործունեությունից եկամուտներն աճել են 3,333 մլն ռուբլով:

Միջին տարեկան աճի տեմպըհաշվարկված երկրաչափական միջին բանաձևով.

ун-ը շարքի վերջնական մակարդակն է,

y0 - Առաջին մակարդակշարք.

Tu = 100% = 102,174%

Միջին տարեկան աճի տեմպըհաշվարկվում է բանաձևով.

Տ. = Tu - 100% = 102,74% - 100% = 2,74%:

Այսպես, միջին հաշվով տարվա ընթացքում ձեռնարկության հիմնական գործունեությունից եկամուտներն աճել են 2,74%-ով։

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐԱ4

Հաշվարկել.

1. Անհատական ​​գների ինդեքսներ;

2. Առևտրի շրջանառության ընդհանուր ցուցանիշ;

3. Համախառն գների ինդեքս;

4. Ապրանքների իրացման ֆիզիկական ծավալի համախառն ինդեքս.

5. Առևտրաշրջանառության արժեքի բացարձակ աճը բաժանել ըստ գործոնների (գների և վաճառված ապրանքների քանակի փոփոխության պատճառով).

6. Համառոտ եզրակացություններ արեք ձեռք բերված բոլոր ցուցանիշների վերաբերյալ:

Լուծում

1. Ըստ պայմանի՝ A, B, C ապրանքների առանձին գների ինդեքսները կազմել են.

IPA=1.20; iрБ=1,15; iрВ=1,00.

2. Մենք հաշվարկելու ենք ընդհանուր առևտրի շրջանառության ինդեքսը՝ օգտագործելով բանաձևը.

I w = = 1470/1045 * 100% = 140,67%

Առեւտրի շրջանառությունն աճել է 40.67%-ով (140.67%-100%)։

Միջին հաշվով ապրանքների գներն աճել են 10.24%-ով։

Գների բարձրացումից գնորդների լրացուցիչ ծախսերի չափը.

w(p) = ? p1q1 - ? p0q1 = 1470 - 1333.478 = 136.522 միլիոն ռուբլի:

Գների աճի արդյունքում գնորդները ստիպված են եղել լրացուցիչ ծախսել 136,522 մլն ռուբլի։

4. Առևտրաշրջանառության ֆիզիկական ծավալի ընդհանուր ցուցանիշ.

Առևտրաշրջանառության ֆիզիկական ծավալն աճել է 27,61%-ով։

5. Որոշենք ապրանքաշրջանառության ընդհանուր փոփոխությունը երկրորդ ժամանակաշրջանում՝ առաջին շրջանի համեմատ.

w = 1470-1045 = 425 միլիոն ռուբլի:

գների փոփոխության պատճառով.

W(p) = 1470 - 1333.478 = 136.522 միլիոն ռուբլի:

ֆիզիկական ծավալի փոփոխությունների պատճառով.

w(q) = 1333,478 - 1045 = 288,478 միլիոն ռուբլի:

Ապրանքաշրջանառությունն աճել է 40.67%-ով։ 3 ապրանքի գներն աճել են միջինը 10.24%-ով։ Առևտրաշրջանառության ֆիզիկական ծավալն աճել է 27,61%-ով։

Ընդհանուր առմամբ, վաճառքի ծավալն աճել է 425 մլն ռուբլով, այդ թվում՝ գների աճի պատճառով աճել է 136,522 մլն ռուբլով, իսկ վաճառքի ծավալների աճի շնորհիվ՝ 288,478 մլն ռուբլով։

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ5

Հետևյալ տվյալները հասանելի են մեկ արդյունաբերության 10 գործարանների համար.

Բույսի համարը	Արտադրանքի արտադրանք, հազար հատ: (X)

Տրված տվյալների հիման վրա.

I) հաստատել տրամաբանական վերլուծության դրույթները գործոնի բնութագրիչի (արտադրանքի ծավալի) և ստացված բնութագրի (էլեկտրաէներգիայի սպառման) միջև գծային հարաբերակցության առկայության մասին, նախնական տվյալները գծել հարաբերակցության դաշտի գրաֆիկի վրա և եզրակացություններ անել ձևի վերաբերյալ. հարաբերությունների մասին, նշեք դրա բանաձևը.

2) որոշել կապի հավասարման պարամետրերը և ստացված տեսական գիծը գծել հարաբերակցության դաշտի գրաֆիկի վրա.

3) հաշվարկել գծային հարաբերակցության գործակիցը.

4) բացատրել 2) և 3-րդ կետերով ձեռք բերված ցուցանիշների նշանակությունը.

5) ստացված մոդելի միջոցով կատարել կանխատեսում 4,5 հազար միավոր արտադրական ծավալ ունեցող գործարանում հնարավոր էներգիայի սպառման վերաբերյալ:

Լուծում

Հատկանիշի տվյալները՝ արտադրության ծավալը (գործոնը), կնշանակվի xi-ով; նշան - էլեկտրաէներգիայի սպառումը (արդյունքը) yi-ի միջոցով; կոորդինատներով կետերը (x, y) գծագրված են OXY հարաբերակցության դաշտում:

Հարաբերակցության դաշտի կետերը գտնվում են որոշակի ուղիղ գծի երկայնքով: Հետևաբար, հարաբերությունը գծային է, մենք կփնտրենք ռեգրեսիոն հավասարում Ուx=ax+b ուղիղ գծի տեսքով։ Այն գտնելու համար մենք օգտագործում ենք նորմալ հավասարումների համակարգը.

Եկեք ստեղծենք հաշվարկային աղյուսակ:

Օգտագործելով հայտնաբերված միջինները, մենք կազմում ենք համակարգ և լուծում այն ​​a և b պարամետրերի նկատմամբ.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք y-ի ռեգրեսիոն հավասարումը x-ի վրա՝ = 3,57692 x + 3,19231

Մենք կառուցում ենք ռեգրեսիոն գիծ հարաբերակցության դաշտում:

Փոխարինելով x արժեքները 2-րդ սյունակից ռեգրեսիոն հավասարման մեջ, մենք ստանում ենք հաշվարկվածները (սյունակ 7) և համեմատում դրանք y տվյալների հետ, որոնք արտացոլված են սյունակ 8-ում: Ի դեպ, հաշվարկների ճիշտությունը հաստատվում է. y-ի միջին արժեքների համընկնումը և.

Գործակիցգծային հարաբերակցությունգնահատում է x և y բնութագրերի միջև հարաբերությունների սերտությունը և հաշվարկվում է բանաձևով

Ուղղակի ռեգրեսիայի անկյունային գործակիցը a (x-ում) բնութագրում է նույնացվածի ուղղությունըկախվածություններնշաններ՝ a>0-ի համար նույնն են, a-ի համար<0- противоположны. Դրա բացարձակ արժեք - արդյունքի բնութագրիչի փոփոխության չափում, երբ գործոնի բնութագրիչը փոխվում է չափման միավորով:

Ուղղակի ռեգրեսիայի ազատ տերմինը բացահայտում է ուղղությունը, և դրա բացարձակ արժեքը ստացված բնութագրի վրա մնացած բոլոր գործոնների ազդեցության քանակական չափումն է։

Եթե< 0, ապա առանձին օբյեկտին բնորոշ գործոնի ռեսուրսը օգտագործվում է ավելի քիչ, և երբ>0 Հետավելի մեծ արդյունավետություն, քան միջինը օբյեկտների ամբողջ հավաքածուի համար:

Անցկացնենք հետռեգեսիոն վերլուծություն։

Ուղղակի ռեգրեսիայի x-ի գործակիցը հավասար է 3,57692 >0, հետևաբար, արտադրության արտադրանքի աճի (նվազման) դեպքում էլեկտրաէներգիայի սպառումը մեծանում է (նվազում): Արտադրության ծավալի ավելացում 1 հազար միավորով. տալիս է էլեկտրաէներգիայի սպառման միջին աճ 3,57692 հազար կՎտ/ժ-ով։

2. Ուղղակի ռեգրեսիայի ազատ տերմինը հավասար է 3,19231-ի, հետևաբար, այլ գործոնների ազդեցությունը մեծացնում է արտադրանքի թողարկման ազդեցության ուժը էլեկտրաէներգիայի սպառման վրա: բացարձակ չափում 3,19231 հազար կՎտժ-ով։

3. 0,8235 հարաբերակցության գործակիցը բացահայտում է էլեկտրաէներգիայի սպառման շատ սերտ կախվածությունը արտադրանքի արտադրանքից:

Համաձայն հավասար. ռեգրեսիոն մոդելհեշտ է կանխատեսումներ անել. Դա անելու համար x-ի արժեքները՝ արտադրության ծավալը, փոխարինվում են ռեգրեսիայի հավասարման մեջ և կանխատեսվում է էլեկտրաէներգիայի սպառումը։ Այս դեպքում x-ի արժեքները կարող են ընդունվել ոչ միայն տվյալ տիրույթում, այլև դրանից դուրս:

Եկեք կանխատեսում անենք 4,5 հազար միավոր արտադրական ծավալ ունեցող գործարանում հնարավոր էներգիայի սպառման մասին։

3,57692*4,5 + 3,19231= 19,288 45 հազար կՎտժ.

ՕԳՏԱԳՈՐԾՎԱԾ ԱՂԲՅՈՒՐՆԵՐԻ ՑԱՆԿ

1. Զախարենկով Ս.Ն. Սոցիալ-տնտեսական վիճակագրություն. Դասագիրք և գործնական ուղեցույց. -Մն.՝ ՀՊՃՀ, 2002 թ.

2. Եֆիմովա Մ.Ռ., Պետրովա Է.Վ., Ռումյանցև Վ.Ն. Վիճակագրության ընդհանուր տեսություն. - Մ.՝ INFRA - Մ., 2000 թ.

3. Էլիզեևա Ի.Ի. Վիճակագրություն. - Մ.: Prospekt, 2002:

4. Վիճակագրության ընդհանուր տեսություն / Under general. խմբ. Օ.Է. Բաշինա, Ա.Ա. Սպիրինա. - Մ.: Ֆինանսներ և վիճակագրություն, 2000 թ.

5. Սոցիալ-տնտեսական վիճակագրություն. Ուսումնական և գործնական. նպաստ / Զախարենկով Ս.Ն. և ուրիշներ - Մն.՝ Երևանի պետական ​​համալսարան, 2004 թ.

6. Սոցիալ-տնտեսական վիճակագրություն. Դասագիրք. նպաստ. / Էդ. Նեստերովիչ Ս.Ռ. - Մն.՝ ՀՊՃՀ, 2003 թ.

7. Teslyuk I.E., Tarlovskaya V.A., Terlizhenko N. Statistics.- Մինսկ, 2000 թ.

8. Խարչենկո Լ.Պ. Վիճակագրություն. - Մ.: INFRA - M, 2002 թ.

9. Խարչենկո Լ.Պ., Դոլժենկովա Վ.Գ., Իոնին Վ.Գ. Վիճակագրություն. - Մ.: INFRA - M, 1999 թ.

10. Տնտեսական վիճակագրություն / Էդ. Յու.Ն. Իվանովա - Մ., 2000 թ.

Տեղադրված է Allbest.ru-ում

...

Նմանատիպ փաստաթղթեր

Միջին թվաբանականի հաշվարկ ինտերվալային բաշխման շարքի համար: Սահմանում ընդհանուր ինդեքսապրանքաշրջանառության ֆիզիկական ծավալը. Ֆիզիկական ծավալի փոփոխության պատճառով արտադրության ընդհանուր արժեքի բացարձակ փոփոխության վերլուծություն: Տատանումների գործակցի հաշվարկ.

թեստ, ավելացվել է 07/19/2010


Մեծածախ, մանրածախ և հանրային առևտրի էությունը. Անհատական ​​և համախառն շրջանառության ինդեքսների հաշվարկման բանաձևեր. Ինտերվալային բաշխման շարքի բնութագրերի հաշվարկը՝ միջին թվաբանական, եղանակ և մեդիան, տատանումների գործակից:

դասընթացի աշխատանք, ավելացվել է 05/10/2013 թ


Վաճառքի պլանավորված և փաստացի ծավալի հաշվարկ, պլանի կատարման տոկոս, շրջանառության բացարձակ փոփոխություն: Բացարձակ աճի, միջին աճի տեմպերի և կանխիկ եկամուտների աճի որոշում: Կառուցվածքային միջինների հաշվարկ՝ եղանակներ, մեդիաներ, քառորդներ:

թեստ, ավելացվել է 02/24/2012


Բանկերի բաշխման ինտերվալային շարքը ըստ շահույթի ծավալի. Ստացված միջակայքի բաշխման շարքի ռեժիմը և մեդիանը գտնելը գրաֆիկական մեթոդև հաշվարկներով։ Ինտերվալային բաշխման շարքերի բնութագրերի հաշվարկ. Միջին թվաբանականի հաշվարկ.

թեստ, ավելացվել է 15/12/2010


Ինտերվալային շարքի միջին արժեքների որոշման բանաձևեր՝ ռեժիմներ, մեդիաններ, դիսպերսիա: Դինամիկայի շարքերի վերլուծական ցուցանիշների հաշվարկ՝ օգտագործելով շղթայական և հիմնական սխեմաները, աճի տեմպերը և հավելումները: Ծախսերի, գների, ծախսերի և շրջանառության համախմբված ինդեքսի հայեցակարգը:

դասընթացի աշխատանք, ավելացվել է 27.02.2011թ


Վարիացիոն շարքի կառուցման հայեցակարգ և նպատակ, կարգ և կանոններ: Տվյալների համասեռության վերլուծություն խմբերում. Հատկանիշի տատանումների (տատանումների) ցուցիչներ. Միջին գծային և քառակուսի շեղման, տատանումների և տատանումների գործակիցի որոշում։

թեստ, ավելացվել է 04/26/2010


Մոդայի և միջինի հայեցակարգը որպես բնորոշ բնութագրեր, դրանց որոշման կարգն ու չափանիշները։ Դիսկրետ և միջակայքային տատանումների շարքերում ռեժիմի և մեդիանայի հայտնաբերում: Քառորդները և դեցիլները՝ որպես տատանումների լրացուցիչ բնութագրեր վիճակագրական շարք.

թեստ, ավելացվել է 09/11/2010


Խմբավորման բնութագրերի հիման վրա միջակայքային բաշխման շարքի կառուցում: Հաճախականության բաշխման շեղման բնութագրերը սիմետրիկ ձևից, կուրտոզի և ասիմետրիայի ցուցանիշների հաշվարկ: Ցուցանիշների վերլուծություն հաշվեկշիռկամ եկամուտների մասին հաշվետվություն:

թեստ, ավելացվել է 19.10.2014թ


Էմպիրիկ շարքերի վերածում դիսկրետների և ինտերվալների: Դիսկրետ շարքի միջին արժեքի որոշում՝ օգտագործելով դրա հատկությունները: Հաշվարկ՝ օգտագործելով ռեժիմների դիսկրետ շարք, մեդիան, տատանումների ցուցիչներ (ցրվածություն, շեղում, տատանումների գործակից):

թեստ, ավելացվել է 04/17/2011


Կազմակերպությունների բաշխման վիճակագրական շարքի կառուցում. Ռեժիմի և միջին արժեքների գրաֆիկական որոշում: Մտերմություն հարաբերական կապօգտագործելով որոշման գործակիցը. Աշխատակիցների միջին թվի ընտրանքային սխալի որոշում.

Մաթեմատիկական վիճակագրության թեստ լուծելու օրինակ

Խնդիր 1

Նախնական տվյալներ 30 հոգուց բաղկացած որոշակի խմբի ուսանողները քննություն հանձնեցին «Ինֆորմատիկա» դասընթացից։ Ուսանողների ստացած գնահատականները կազմում են հետևյալ թվերի շարքը.

I. Ստեղծենք վարիացիոն շարք

	մ x	w x	մ x nak	w x nak
Ընդամենը:

II. Վիճակագրական տեղեկատվության գրաֆիկական ներկայացում:

III. Նմուշի թվային բնութագրերը.

1. Թվաբանական միջին

2. Երկրաչափական միջին

3. Նորաձևություն

4. Միջին

222222333333333 | 3 34444444445555

5. Նմուշի շեղում

7. Տատանումների գործակից

8. Ասիմետրիա

9. Ասիմետրիայի գործակիցը

10. Ավելորդություն

11. Կուրտոզի գործակից

Խնդիր 2

Նախնական տվյալներ Որոշ խմբի ուսանողները գրեցին իրենց վերջնական թեստը: Խումբը բաղկացած է 30 հոգուց։ Ուսանողների հավաքած միավորները կազմում են հետևյալ թվերի շարքը

Լուծում

I. Քանի որ բնութագիրը շատ տարբեր արժեքներ է ընդունում, մենք դրա համար կկառուցենք ինտերվալների տատանումների շարք: Դա անելու համար նախ սահմանեք միջակայքի արժեքը հ. Եկեք օգտագործենք Stanger-ի բանաձևը

Եկեք ստեղծենք ինտերվալային սանդղակ: Այս դեպքում որպես առաջին միջակայքի վերին սահման կվերցնենք բանաձևով որոշված ​​արժեքը.

Մենք որոշում ենք հետագա միջակայքերի վերին սահմանները՝ օգտագործելով հետևյալ կրկնվող բանաձևը.

, Հետո

Մենք ավարտում ենք միջակայքի սանդղակի կառուցումը, քանի որ հաջորդ ինտերվալի վերին սահմանը մեծ է կամ հավասար է առավելագույն նմուշի արժեքին
.

II. Ինտերվալների տատանումների շարքի գրաֆիկական ցուցադրում

III. Նմուշի թվային բնութագրերը

Նմուշի թվային բնութագրերը որոշելու համար մենք կկազմենք օժանդակ աղյուսակ

Գումար:

1. Թվաբանական միջին

2. Երկրաչափական միջին

3. Նորաձևություն

4. Միջին

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. Նմուշի շեղում

6. Նմուշի ստանդարտ շեղում

7. Տատանումների գործակից

8. Ասիմետրիա

9. Ասիմետրիայի գործակիցը

10. Ավելորդություն

11. Կուրտոզի գործակից

Խնդիր 3

Վիճակ ամպաչափի սանդղակի բաժանման արժեքը 0,1 Ա է: Ընթերցումները կլորացվում են մինչև մոտակա ամբողջ բաժանումը: Գտեք հավանականությունը, որ ընթերցման ընթացքում սխալ կառաջանա, որը գերազանցում է 0,02 Ա-ն։

Լուծում.

Նմուշի կլորացման սխալը կարելի է դիտարկել որպես պատահական փոփոխական X, որը հավասարապես բաշխվում է երկու հարակից ամբողջ թվերի բաժանումների միջակայքում։ Բաշխման միատեսակ խտություն

Որտեղ
- հնարավոր արժեքներ պարունակող միջակայքի երկարությունը X; այս միջակայքից դուրս
Այս խնդրի դեպքում հնարավոր արժեքներ պարունակող միջակայքի երկարությունն է X, հավասար է 0,1-ի, ուրեմն

Ընթերցանության սխալը կգերազանցի 0,02-ը, եթե այն գտնվում է միջակայքում (0,02; 0,08): Հետո

Պատասխան. Ռ=0,6

Խնդիր 4

Նախնական տվյալներ. նորմալ բաշխված բնութագրի մաթեմատիկական ակնկալիք և ստանդարտ շեղում Xհամապատասխանաբար հավասար է 10-ի և 2-ի.Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ թեստի արդյունքում Xկվերցնի (12, 14) միջակայքում պարունակվող արժեքը։

Լուծում.

Եկեք օգտագործենք բանաձևը

Եվ տեսական հաճախականություններ

Լուծում

X նրա համար ակնկալվող արժեքը M(X) և շեղում D(X): Լուծում. Գտնենք բաշխման ֆունկցիան F(x) պատահական փոփոխական... նմուշառման սխալ): Եկեք կազմենք փոփոխական շարքԻնտերվալի լայնությունը կլինիՅուրաքանչյուր արժեքի համար շարքԵկեք հաշվենք, թե քանի...

Լուծում՝ բաժանելի հավասարում

Լուծում

Գտնել գործակիցը ձևով լուծումներ անհամասեռ հավասարում արի դիմահարդարվենքհամակարգ Եկեք լուծենք ստացված համակարգը... ; +47; +61; +10; -8. Կառուցեք միջակայքը փոփոխական շարք. Տվեք միջին արժեքի վիճակագրական գնահատականներ...

Լուծում. Եկեք հաշվարկենք շղթայական և հիմնական բացարձակ աճերը, աճի տեմպերը, աճի տեմպերը: Ստացված արժեքներն ամփոփում ենք Աղյուսակ 1-ում

Լուծում

Արտադրության ծավալը. ԼուծումՄիջակայքի միջին թվաբանական փոփոխական շարքհաշվարկվում է հետևյալ կերպ՝... Նմուշառման սահմանային սխալ՝ 0,954 հավանականությամբ (t=2) կլինիԴ w = t*μ = 2*0.0146 = 0.02927 Սահմանենք սահմանները...

Լուծում. Նշան

Լուծում

ՄԱՍԻՆ աշխատանքային փորձորը և հորինվածնմուշ. Ընտրանքային միջին աշխատանքային ստաժը... այս աշխատողների և հորինվածնմուշ. Ընտրանքի միջին տեւողությունը... 1,16, նշանակության մակարդակ α = 0,05: Լուծում. Վարիացիոն շարքԱյս նմուշի տեսքը հետևյալն է. 0.71 ...

Կենսաբանության աշխատանքային ուսումնական պլան 10-11-րդ դասարանների համար Կազմող՝ Պոլիկարպովա Ս. Վ.

Աշխատանքային վերապատրաստման ծրագիր

Ամենապարզ հատման սխեմաները» 5 L.r. « Լուծումտարրական գենետիկական խնդիրներ» 6 Լ.բ. « Լուծումտարրական գենետիկական խնդիրներ» 7 Լ.ր. «..., 110, 115, 112, 110։ Կազմել փոփոխական շարք, նկարել փոփոխականկոր, գտի՛ր հատկանիշի միջին արժեքը...

Դիսկրետ բնութագրերի համար կառուցվում է դիսկրետ տատանումների շարք:

Դիսկրետ տատանումների շարք կառուցելու համար անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ քայլերը՝ 1) դիտարկման միավորները դասավորել բնութագրի ուսումնասիրված արժեքի աճող կարգով.

2) որոշել x i հատկանիշի բոլոր հնարավոր արժեքները, դասավորել դրանք աճման կարգով,

հատկանիշի արժեքը, ես .

հատկանիշի արժեքի հաճախականությունը և նշել զ ես . Շարքի բոլոր հաճախականությունների գումարը հավասար է ուսումնասիրվող պոպուլյացիայի տարրերի թվին:

Օրինակ 1 .

Քննությունների ժամանակ ուսանողների ստացած գնահատականների ցանկը՝ 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5.

Ահա թիվը X - գնահատականԴիսկրետ պատահական փոփոխական է, և ստացված գնահատականների ցանկն էվիճակագրական (դիտելի) տվյալներ .

դասավորել դիտարկման միավորները ուսումնասիրված բնութագրական արժեքի աճման կարգով.

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.

2) որոշել x i հատկանիշի բոլոր հնարավոր արժեքները, դասակարգել դրանք աճման կարգով.

Այս օրինակում բոլոր գնահատումները կարելի է բաժանել չորս խմբի՝ հետևյալ արժեքներով. 2; 3; 4; 5.

Դիտարկվող տվյալների որոշակի խմբին համապատասխան պատահական փոփոխականի արժեքը կոչվում է հատկանիշի արժեքը, տարբերակ (տարբերակ) և նշանակել x ես .

Այն թիվը, որը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է տեղի ունենում բնութագրի համապատասխան արժեքը մի շարք դիտարկումներում, կոչվում է հատկանիշի արժեքի հաճախականությունը և նշել զ ես .

Մեր օրինակի համար

2 միավորը տեղի է ունենում - 8 անգամ,

3 միավորը տեղի է ունենում - 12 անգամ,

4 միավորը տեղի է ունենում - 23 անգամ,

5 միավորը տեղի է ունենում - 17 անգամ:

Ընդհանուր առմամբ կա 60 գնահատական:

4) ստացված տվյալները գրեք երկու տողերի (սյունակների) աղյուսակում՝ x i և f i:

Այս տվյալների հիման վրա հնարավոր է կառուցել դիսկրետ տատանումների շարք

Դիսկրետ տատանումների շարք - սա աղյուսակ է, որում ուսումնասիրվող բնութագրի առկա արժեքները նշվում են որպես անհատական ​​արժեքներ աճման կարգով և դրանց հաճախականությամբ

1. Ինտերվալային տատանումների շարքի կառուցում

Բացի դիսկրետ տատանումների շարքից, հաճախ հանդիպում է այնպիսի տվյալների խմբավորման մեթոդ, ինչպիսին է ինտերվալային տատանումների շարքը:

Ինտերվալային շարքը կառուցվում է, եթե.

նշանն ունի փոփոխությունների շարունակական բնույթ.

Կային շատ դիսկրետ արժեքներ (ավելի քան 10)

Դիսկրետ արժեքների հաճախականությունները շատ փոքր են (չգերազանցեն 1-3-ը համեմատաբար մեծ թվով դիտարկման միավորներով);

նույն հաճախականությամբ հատկանիշի շատ դիսկրետ արժեքներ:

Ինտերվալային տատանումների շարքը տվյալների խմբավորման եղանակ է աղյուսակի տեսքով, որն ունի երկու սյունակ (բնութագրի արժեքները արժեքների միջակայքի տեսքով և յուրաքանչյուր ինտերվալի հաճախականությամբ):

Ի տարբերություն դիսկրետ շարքինտերվալային շարքի հատկանիշի արժեքները ներկայացված են ոչ թե առանձին արժեքներով, այլ արժեքների միջակայքով («-ից մինչև»):

Այն թիվը, որը ցույց է տալիս, թե քանի դիտարկման միավոր է ընկել յուրաքանչյուր ընտրված միջակայքում, կոչվում է հատկանիշի արժեքի հաճախականությունը և նշել զ ես . Շարքի բոլոր հաճախությունների գումարը հավասար է ուսումնասիրվող պոպուլյացիայի տարրերի (դիտման միավորների) թվին։

Եթե ​​միավորն ունի բնորոշ արժեք, որը հավասար է վերին սահմանըընդմիջում, ապա այն պետք է վերագրվի հաջորդ ինտերվալին:

Օրինակ, 100 սմ հասակ ունեցող երեխան կընկնի 2-րդ միջակայքում, այլ ոչ թե առաջինի մեջ. իսկ 130 սմ հասակ ունեցող երեխան կընկնի վերջին ինտերվալի մեջ, այլ ոչ թե երրորդի մեջ։

Այս տվյալների հիման վրա կարելի է կառուցել ինտերվալային տատանումների շարք:

Յուրաքանչյուր ինտերվալ ունի ստորին սահման (xn), վերին սահման (xv) և միջակայքի լայնություն ( ես).

Ինտերվալի սահմանը այն հատկանիշի արժեքն է, որը գտնվում է երկու ինտերվալների սահմանին:

երեխաների հասակը (սմ)	երեխաների հասակը (սմ)			երեխաների քանակը
ավելի քան 130

Եթե ​​ինտերվալն ունի վերին և ստորին սահման, ապա այն կոչվում է փակ միջակայք. Եթե ​​ինտերվալն ունի միայն ստորին կամ միայն վերին սահման, ապա դա - բաց ընդմիջում.Միայն առաջին կամ ամենավերջին միջակայքը կարող է բաց լինել: Վերոնշյալ օրինակում վերջին ինտերվալը բաց է։

Ինտերվալի լայնությունը (ես) - վերին և ստորին սահմանների տարբերությունը.

ես = x n - x ին

Բաց միջակայքի լայնությունը ենթադրվում է, որ նույնն է, ինչ հարակից փակ միջակայքի լայնությունը:

երեխաների հասակը (սմ)		երեխաների քանակը	Ընդմիջման լայնությունը (i)
	հաշվարկների համար 130+20=150		20 (քանի որ հարակից փակ միջակայքի լայնությունը 20 է)

Բոլոր ինտերվալային շարքերը բաժանվում են ինտերվալային շարքերի՝ հավասար ընդմիջումներով և ինտերվալային շարքերի՝ անհավասար ընդմիջումներով . Հավասար ընդմիջումներով իրարից հեռու տողերում բոլոր ինտերվալների լայնությունը նույնն է: Անհավասար ինտերվալներով ինտերվալային շարքերում ինտերվալների լայնությունը տարբեր է։

Քննարկվող օրինակում՝ անհավասար ընդմիջումներով ինտերվալային շարք:

Եթե ​​ուսումնասիրվող պատահական փոփոխականը շարունակական է, ապա դիտարկվող արժեքների դասակարգումը և խմբավորումը հաճախ թույլ չեն տալիս նույնականացնել. բնավորության գծերըփոխելով դրա արժեքները: Սա բացատրվում է նրանով, որ պատահական փոփոխականի առանձին արժեքները կարող են տարբերվել միմյանցից այնքան քիչ, որքան ցանկալի է, և, հետևաբար, դիտարկված տվյալների ամբողջության մեջ հազվադեպ կարող են առաջանալ քանակի նույնական արժեքներ, և հաճախականությունները. տարբերակները քիչ են տարբերվում միմյանցից.

Դիսկրետ պատահական փոփոխականի՝ թվի համար դիսկրետ շարք կառուցելը նաև անիրագործելի է. հնարավոր արժեքներորը հիանալի է: Նման դեպքերում դուք պետք է կառուցեք ինտերվալային տատանումների շարք բաշխումներ.

Նման շարք կառուցելու համար պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների տատանումների ամբողջ միջակայքը բաժանվում է շարքի. մասնակի ընդմիջումներով և յուրաքանչյուր մասնակի միջակայքում արժեքների արժեքների առաջացման հաճախականության հաշվում:

Ինտերվալ տատանումների շարք զանգահարել պատահական փոփոխականի տարբեր արժեքների ընդմիջումների պատվիրված շարք՝ դրանցից յուրաքանչյուրի մեջ ընկած փոփոխականի արժեքների համապատասխան հաճախականություններով կամ հարաբերական հաճախականություններով:

Ինտերվալային շարք կառուցելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. սահմանել չափը մասնակի ընդմիջումներով;
2. սահմանել լայնությունը ընդմիջումներով;
3. սահմանել այն յուրաքանչյուր ընդմիջման համար գագաթ Եվ ստորին սահմանը ;
4. խմբավորել դիտարկման արդյունքները:

1 . Խմբավորման միջակայքերի քանակի և լայնության ընտրության հարցը պետք է որոշվի յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում՝ ելնելով նպատակներ հետազոտություն, ծավալը նմուշներ և տատանումների աստիճանը նմուշում բնորոշ է.

Մոտավոր ընդմիջումների քանակը կ կարելի է գնահատել միայն ընտրանքի չափի հիման վրա n հետևյալ եղանակներից մեկով.

• ըստ բանաձևի Ստուրգսներ : k = 1 + 3,32 log n ;
• օգտագործելով աղյուսակ 1.

Աղյուսակ 1

2 . Ընդհանուր լայնությամբ տարածքները նախընտրելի են: Ինտերվալների լայնությունը որոշելու համար հ հաշվարկել:

• տատանումների միջակայք Ռ - նմուշային արժեքներ. R = x max - x min ,

Որտեղ xmax Եվ xmin - առավելագույն և նվազագույն նմուշառման տարբերակներ.

• յուրաքանչյուր միջակայքի լայնությունը հ որոշվում է հետևյալ բանաձևով. h = R/k .

3 . Ներքեւի գիծ առաջին միջակայքը x h1 ընտրված է այնպես, որ նվազագույն ընտրանքային տարբերակը xmin ընկավ մոտավորապես այս միջակայքի կեսին. x h1 = x min - 0,5 ժ .

Միջանկյալ ընդմիջումներստացվում է մասնակի միջակայքի երկարությունը նախորդ ինտերվալի ավարտին ավելացնելով հ :

x hi = x hi-1 +h.

Ինտերվալային սանդղակի կառուցումը, որը հիմնված է միջակայքի սահմանների հաշվարկի վրա, շարունակվում է մինչև արժեքը x բարև բավարարում է հարաբերությունը.

x բարև< x max + 0,5·h .

4 . Համաձայն միջակայքի սանդղակի, բնութագրական արժեքները խմբավորվում են. յուրաքանչյուր մասնակի ինտերվալի համար հաշվարկվում է հաճախականությունների գումարը n i տարբերակը ներառված է ես րդ միջակայքը. Այս դեպքում միջակայքը ներառում է պատահական փոփոխականի արժեքներ, որոնք մեծ են կամ հավասար են ստորին սահմանին և փոքր են միջակայքի վերին սահմանից:

Բազմանկյուն և հիստոգրամ

Պարզության համար կառուցվում են վիճակագրական բաշխման տարբեր գրաֆիկներ:

Դիսկրետ տատանումների շարքի տվյալների հիման վրա նրանք կառուցում են բազմանկյուն հաճախականություններ կամ հարաբերական հաճախականություններ:

Հաճախականության բազմանկյուն x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ) Հաճախականության բազմանկյուն կառուցելու համար տարբերակները գծագրվում են աբսցիսայի առանցքի վրա: x i , իսկ օրդինատի վրա՝ համապատասխան հաճախականություններ n i . Միավորներ ( x i ; n i ) միացված են ուղիղ հատվածներով և ստացվում է հաճախականության բազմանկյուն (նկ. 1):

Հարաբերական հաճախականությունների բազմանկյունկոչվում է կոտրված գիծ, ​​որի հատվածները միավորում են կետերը ( x 1 ; W 1 ), (x 2 ; W 2 ), ..., (x k ; Վկ ) Հարաբերական հաճախությունների բազմանկյուն կառուցելու համար տարբերակները գծագրվում են աբսցիսայի առանցքի վրա x i , իսկ օրդինատի վրա՝ համապատասխան հարաբերական հաճախականություններ W i . Միավորներ ( x i ; W i ) միացված են ուղիղ հատվածներով և ստացվում է հարաբերական հաճախությունների բազմանկյուն։

Երբ շարունակական նշան նպատակահարմար է կառուցել հիստոգրամ .

Հաճախականության հիստոգրամկոչվում է աստիճանավոր պատկեր, որը բաղկացած է ուղղանկյուններից, որոնց հիմքերը երկարության մասնակի ընդմիջումներ են հ , իսկ բարձրությունները հավասար են հարաբերությանը NIH (հաճախականության խտություն):

Հաճախականության հիստոգրամը կառուցելու համար աբսցիսայի առանցքի վրա դրվում են մասնակի ընդմիջումներ, իսկ աբսցիսայի առանցքին զուգահեռ հատվածներ գծվում են դրանց վերևում՝ հեռավորության վրա։ NIH .