Վիճակագրության մեջ կան երկու տեսակի գնահատումներ՝ կետ և միջակայք։ Միավոր գնահատականներկայացնում է առանձին նմուշի վիճակագրություն, որն օգտագործվում է պարամետրը գնահատելու համար բնակչությունը. Օրինակ, նմուշի միջինը միավորային գնահատական ​​է մաթեմատիկական ակնկալիքբնակչությունը և ընտրանքի շեղումը Ս 2- Բնակչության շեղումների կետային գնահատականը σ 2. ցույց է տրվել, որ ընտրանքային միջինը բնակչության մաթեմատիկական ակնկալիքների անաչառ գնահատականն է: Ընտրանքի միջինը կոչվում է անկողմնակալ, քանի որ բոլոր ընտրանքի միջինը (նույն ընտրանքի չափով) n) հավասար է ընդհանուր բնակչության մաթեմատիկական ակնկալիքին:

Նմուշի շեղումների համար Ս 2դարձավ բնակչության շեղումների անաչառ գնահատական σ 2, ընտրանքի շեղման հայտարարը պետք է հավասար լինի n – 1 , բայց չէ n. Այլ կերպ ասած, բնակչության շեղումը բոլոր հնարավոր ընտրանքային շեղումների միջինն է:

Բնակչության պարամետրերը գնահատելիս պետք է նկատի ունենալ, որ ընտրանքային վիճակագրությունը, ինչպիսիք են , կախված կոնկրետ նմուշներից։ Այս փաստը հաշվի առնել, ձեռք բերել միջակայքի գնահատումընդհանուր բնակչության մաթեմատիկական ակնկալիքը, վերլուծել ընտրանքային միջոցների բաշխումը (մանրամասների համար տե՛ս): Կառուցված միջակայքը բնութագրվում է որոշակի վստահության մակարդակով, որը ներկայացնում է իրական բնակչության պարամետրի ճիշտ գնահատման հավանականությունը: Նմանատիպ վստահության միջակայքերը կարող են օգտագործվել բնութագրի համամասնությունը գնահատելու համար Ռեւ բնակչության հիմնական բաշխված զանգվածը։

Ներբեռնեք գրառումը կամ ձևաչափով, օրինակները ձևաչափով

Հայտնի ստանդարտ շեղումով բնակչության մաթեմատիկական ակնկալիքների համար վստահության միջակայքի կառուցում

Բնակչության մեջ հատկանիշի մասնաբաժնի համար վստահության միջակայքի կառուցում

Այս բաժինը տարածում է վստահության միջակայքի հայեցակարգը կատեգորիկ տվյալների վրա: Սա թույլ է տալիս գնահատել հատկանիշի տեսակարար կշիռը բնակչության մեջ Ռօգտագործելով նմուշի մասնաբաժինը ՌՍ= X/n. Ինչպես նշված է, եթե քանակները nՌԵվ n(1 – p)գերազանցել 5 թիվը, երկանդամ բաշխումը կարող է մոտավոր լինել նորմալ: Հետևաբար, գնահատել բնութագրիչի տեսակարար կշիռը բնակչության մեջ Ռհնարավոր է կառուցել միջակայք, որի վստահության մակարդակը հավասար է (1 – α)х100%.

Որտեղ էջՍ- բնութագրիչի նմուշի համամասնությունը հավասար է X/n, այսինքն. հաջողությունների թիվը բաժանված ընտրանքի չափով, Ռ- հատկանիշի մասնաբաժինը ընդհանուր բնակչության մեջ, Զ- ստանդարտացվածի կրիտիկական արժեքը նորմալ բաշխում, n- նմուշի չափը.

Օրինակ 3.Ենթադրենք, որ սկսած տեղեկատվական համակարգարդյունահանվել է նմուշ, որը բաղկացած է 100 հաշիվ-ապրանքագրերից, որոնք լրացվել են ներսում անցած ամիս. Ասենք, որ այդ հաշիվ-ապրանքագրերից 10-ը կազմվել են սխալներով։ Այսպիսով, Ռ= 10/100 = 0,1: 95% վստահության մակարդակը համապատասխանում է Z = 1,96 կրիտիկական արժեքին:

Այսպիսով, հավանականությունը, որ հաշիվ-ապրանքագրերի 4,12%-ից 15,88%-ը պարունակում է սխալներ, կազմում է 95%:

Տվյալ ընտրանքի չափի համար պոպուլյացիայի մեջ բնութագրիչի համամասնությունը պարունակող վստահության միջակայքը ավելի լայն է թվում, քան շարունակական պատահական փոփոխական. Դա պայմանավորված է նրանով, որ շարունակական պատահական փոփոխականի չափումները պարունակում են ավելի շատ տեղեկատվություն, քան դասակարգային տվյալների չափումները: Այլ կերպ ասած, կատեգորիկ տվյալները, որոնք վերցնում են ընդամենը երկու արժեք, պարունակում են անբավարար տեղեկատվություն դրանց բաշխման պարամետրերը գնահատելու համար:

INվերջավոր պոպուլյացիայից ստացված գնահատումների հաշվարկ

Մաթեմատիկական ակնկալիքի գնահատում.Ուղղիչ գործակից վերջնական բնակչության համար ( fpc) օգտագործվել է ստանդարտ սխալը գործոնով նվազեցնելու համար: Պոպուլյացիայի պարամետրերի գնահատումների համար վստահության միջակայքերը հաշվարկելիս կիրառվում է ուղղիչ գործակից այն իրավիճակներում, երբ նմուշները վերցվում են առանց վերադարձման: Այսպիսով, վստահության միջակայք մաթեմատիկական ակնկալիքի համար, որը հավասար է վստահության մակարդակին (1 – α)х100%, հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ 4.Սահմանափակ պոպուլյացիայի համար ուղղիչ գործոնի օգտագործումը ցույց տալու համար եկեք վերադառնանք 3-րդ օրինակում վերը քննարկված հաշիվ-ապրանքագրերի միջին գումարի վստահության միջակայքը հաշվարկելու խնդրին: Ենթադրենք, որ ընկերությունը ամսական թողարկում է 5000 հաշիվ-ապրանքագիր, և X̅= 110,27 դոլար, Ս= 28,95 դոլար Ն = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842: Օգտագործելով բանաձևը (6) մենք ստանում ենք.

Հատկանիշի մասնաբաժնի գնահատում:Առանց վերադարձի ընտրելիս վստահության միջակայքը հատկանիշի համամասնության համար, որն ունի վստահության մակարդակ հավասար (1 – α)х100%, հաշվարկվում է բանաձևով.

Վստահության միջակայքերը և էթիկական հարցերը

Բնակչության նմուշառման և վիճակագրական եզրակացություններ անելիս հաճախ էթիկական խնդիրներ են առաջանում: Հիմնականն այն է, թե ինչպես են համընկնում վստահության միջակայքերը և ընտրանքային վիճակագրության կետերի գնահատումները: Հրապարակման կետերի գնահատումները՝ առանց համապատասխան վստահության միջակայքերը նշելու (սովորաբար 95% վստահության մակարդակի վրա) և ընտրանքի չափը, որից դրանք ստացվել են, կարող են շփոթություն առաջացնել: Սա կարող է օգտվողին տպավորություն ստեղծել, որ միավորի գնահատումը հենց այն է, ինչ նրան անհրաժեշտ է ամբողջ բնակչության հատկությունները կանխատեսելու համար: Այսպիսով, անհրաժեշտ է հասկանալ, որ ցանկացած հետազոտության մեջ պետք է կենտրոնանալ ոչ թե կետային գնահատականների, այլ միջակայքային գնահատումների վրա: Բացի այդ, Հատուկ ուշադրությունպետք է տրվի ճիշտ ընտրություննմուշի չափերը.

Ամենից հաճախ վիճակագրական մանիպուլյացիայի օբյեկտ են հանդիսանում բնակչության սոցիոլոգիական հարցումների արդյունքները որոշակի քաղաքական խնդիրներ. Այս դեպքում հարցման արդյունքները հրապարակվում են թերթերի առաջին էջերում, իսկ սխալը ընտրանքային հարցումիսկ վիճակագրական վերլուծության մեթոդաբանությունը տպված է ինչ-որ տեղ մեջտեղում։ Ստացված միավորային գնահատումների վավերականությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է նշել ընտրանքի չափը, որի հիման վրա դրանք ստացվել են, վստահության միջակայքի սահմանները և դրա նշանակության մակարդակը։

Հաջորդ նշումը

Օգտագործված են նյութեր Levin et al., Վիճակագրություն մենեջերների համար: – M.: Williams, 2004. – էջ. 448–462 թթ

Կենտրոնական սահմանային թեորեմնշում է, որ բավականաչափ մեծ նմուշի չափով, միջոցների ընտրանքային բաշխումը կարող է մոտավորվել նորմալ բաշխմամբ: Այս գույքը կախված չէ բնակչության բաշխվածության տեսակից։

Նախորդ ենթաբաժիններում մենք դիտարկել ենք անհայտ պարամետրի գնահատման հարցը Ամեկ թիվ. Սա կոչվում է «կետ» գնահատում: Մի շարք առաջադրանքներում ոչ միայն անհրաժեշտ է գտնել պարամետրը Ահարմար թվային արժեք, այլև գնահատել դրա ճշգրտությունն ու հուսալիությունը: Դուք պետք է իմանաք, թե ինչ սխալների կարող է հանգեցնել պարամետրը փոխարինելը Ադրա միավորային գնահատականը Աև վստահության ի՞նչ աստիճանով կարող ենք ակնկալել, որ այդ սխալները չեն գերազանցի հայտնի սահմանները:

Այս կարգի խնդիրները հատկապես արդիական են փոքր թվով դիտարկումների դեպքում, երբ կետային գնահատականը և մեջհիմնականում պատահական է և a-ի մոտավոր փոխարինումը a-ով կարող է հանգեցնել լուրջ սխալների:

Գնահատման ճշգրտության և հուսալիության մասին պատկերացում կազմելու համար Ա,

Վ մաթեմատիկական վիճակագրությունՆրանք օգտագործում են այսպես կոչված վստահության միջակայքերը և վստահության հավանականությունները:

Թող պարամետրը Ափորձից ստացված անաչառ գնահատական Ա.Մենք ցանկանում ենք գնահատել այս դեպքում հնարավոր սխալը։ Եկեք նշանակենք բավականին մեծ p հավանականություն (օրինակ՝ p = 0,9, 0,95 կամ 0,99), որպեսզի p հավանականությամբ իրադարձությունը գործնականում վստահելի համարվի և գտնենք s արժեքը, որի համար

Այնուհետև փոխարինման ընթացքում առաջացող սխալի գործնականում հնարավոր արժեքների շրջանակը Ավրա Ա, կլինի ± s; մեծ կողմից բացարձակ արժեքսխալները կհայտնվեն միայն ցածր հավանականությամբ a = 1 - p. Վերաշարադրենք (14.3.1) այսպես.

Հավասարություն (14.3.2) նշանակում է, որ հավանականությամբ p անհայտ արժեքպարամետր Աընկնում է միջակայքում

Հարկ է նշել մեկ հանգամանք. Նախկինում մենք բազմիցս դիտարկել ենք պատահական փոփոխականի՝ տվյալ ոչ պատահական ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը: Այստեղ իրավիճակն այլ է՝ մագնիտուդը Ապատահական չէ, բայց / p միջակայքը պատահական է: Նրա դիրքը x առանցքի վրա պատահական է, որը որոշվում է կենտրոնով Ա; Ընդհանուր առմամբ, 2s միջակայքի երկարությունը նույնպես պատահական է, քանի որ s-ի արժեքը, որպես կանոն, հաշվարկվում է փորձարարական տվյալներից։ Հետևաբար ներս այս դեպքումԱվելի լավ կլինի p արժեքը մեկնաբանել ոչ թե որպես կետ «հարվածելու» հավանականություն Ամիջակայքում / p, և որպես հավանականություն, որ պատահական միջակայքը / p կծածկի կետը Ա(նկ. 14.3.1):

Բրինձ. 14.3.1

p հավանականությունը սովորաբար կոչվում է վստահության հավանականությունը, և ընդմիջում / p - վստահության միջակայքը.Ինտերվալների սահմանները Եթե. a x = a-ս և a 2 = a +և կոչվում են վստահության սահմանները.

Եկեք մեկ այլ մեկնաբանություն տանք վստահության միջակայքի հայեցակարգին. այն կարելի է դիտարկել որպես պարամետրերի արժեքների միջակայք. Ա,համատեղելի է փորձարարական տվյալների հետ և չի հակասում դրանց: Իրոք, եթե մենք համաձայնվենք a = 1-p հավանականությամբ իրադարձություն համարել գործնականում անհնարին, ապա a պարամետրի այն արժեքները, որոնց համար ա - ա> ները պետք է ճանաչվեն որպես հակասական փորձարարական տվյալներ, և նրանք, որոնց համար |a - Աա տ նա 2.

Թող պարամետրը Ակա անաչառ գնահատական Ա.Եթե ​​իմանայինք քանակի բաշխման օրենքը Ա, վստահության միջակայքը գտնելու խնդիրը շատ պարզ կլիներ. բավական կլիներ գտնել մի արժեք, որի համար

Դժվարությունն այն է, որ գնահատումների բաշխման օրենքը Ակախված է քանակի բաշխման օրենքից Xև, հետևաբար, նրա անհայտ պարամետրերի վրա (մասնավորապես, հենց պարամետրի վրա Ա).

Այս դժվարությունը շրջանցելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ մոտավորապես մոտավոր տեխնիկան. s-ի արտահայտության անհայտ պարամետրերը փոխարինել իրենց կետային գնահատականներով: Համեմատաբար մեծ թվով փորձերի հետ Պ(մոտ 20...30) այս տեխնիկան սովորաբար տալիս է արդյունքներ, որոնք գոհացուցիչ են ճշգրտության առումով։

Որպես օրինակ, դիտարկեք մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքի խնդիրը:

Թող արտադրվի Պ X,որոնց բնութագրիչները մաթեմատիկական ակնկալիքներն են Տև շեղում Դ- անհայտ: Այս պարամետրերի համար ստացվել են հետևյալ գնահատականները.

Պահանջվում է կառուցել վստահության միջակայք / p համապատասխան վստահության հավանականությունը p, մաթեմատիկական ակնկալիքի համար Տքանակները X.

Այս խնդիրը լուծելիս մենք կօգտագործենք այն փաստը, որ քանակը Տներկայացնում է գումարը Պանկախ նույնական բաշխված պատահական փոփոխականներ Խև ըստ կենտրոնական սահմանային թեորեմի՝ բավական մեծի համար Պդրա բաշխման օրենքը մոտ է նորմալին: Գործնականում, նույնիսկ համեմատաբար փոքր թվով տերմինների դեպքում (մոտ 10...20), գումարի բաշխման օրենքը մոտավորապես կարելի է նորմալ համարել։ Մենք կենթադրենք, որ արժեքը Տբաշխված է սովորական օրենքի համաձայն. Այս օրենքի բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիքը և շեղումը, համապատասխանաբար հավասար են ՏԵվ

(տես գլուխ 13 ենթաբաժին 13.3): Ենթադրենք, որ արժեքը Դմենք գիտենք և կգտնենք Ep արժեք, որի համար

Օգտագործելով 6-րդ գլխի (6.3.5) բանաձևը, մենք արտահայտում ենք հավանականությունը (14.3.5) ձախ կողմում նորմալ բաշխման ֆունկցիայի միջոցով:

որտեղ է գնահատման ստանդարտ շեղումը Տ.

From Eq.

գտնել Sp-ի արժեքը.

որտեղ arg Ф* (х) Ф*-ի հակադարձ ֆունկցիան է (X),դրանք. փաստարկի արժեքը, որի վրա նորմալ գործառույթբաշխումը հավասար է X.

Ցրվածություն Դ,որի միջոցով արտահայտվում է քանակությունը Ա 1P, մենք հստակ չգիտենք; որպես դրա մոտավոր արժեք, կարող եք օգտագործել գնահատումը Դ(14.3.4) և դրել մոտավորապես.

Այսպիսով, մոտավորապես լուծվել է վստահության միջակայքի կառուցման խնդիրը, որը հավասար է.

որտեղ gp-ն որոշվում է բանաձևով (14.3.7):

s p-ն հաշվարկելիս Ф* (l) ֆունկցիայի աղյուսակներում հակադարձ ինտերպոլացիաներից խուսափելու համար հարմար է կազմել հատուկ աղյուսակ (Աղյուսակ 14.3.1), որը տալիս է քանակի արժեքները։

կախված ռ. Արժեքը (p-ն նորմալ օրենքի համար որոշում է ստանդարտ շեղումների քանակը, որոնք պետք է գծագրվեն ցրման կենտրոնից դեպի աջ և ձախ, որպեսզի ստացված տարածք մտնելու հավանականությունը հավասար լինի p.

7 p արժեքի միջոցով վստահության միջակայքը արտահայտվում է հետևյալ կերպ.

Աղյուսակ 14.3.1

Օրինակ 1. Քանակի վրա կատարվել է 20 փորձ X;արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում: 14.3.2.

Աղյուսակ 14.3.2

Պահանջվում է գնահատում գտնել քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքից Xև կառուցել վստահության ինտերվալ, որը համապատասխանում է վստահության հավանականությանը p = 0,8:

Լուծում.Մենք ունենք:

Ընտրելով l: = 10 որպես հղման կետ, օգտագործելով երրորդ բանաձևը (14.2.14) մենք գտնում ենք անաչառ գնահատականը Դ :

Ըստ աղյուսակի 14.3.1 մենք գտնում ենք

Վստահության սահմաններ.

Վստահության միջակայք:

Պարամետրերի արժեքները Տ,Այս միջակայքում ընկածները համատեղելի են աղյուսակում տրված փորձարարական տվյալների հետ: 14.3.2.

Նմանատիպ ձևով կարելի է կառուցել վստահության ինտերվալ շեղումների համար:

Թող արտադրվի Պանկախ փորձեր պատահական փոփոխականի վրա Xինչպես A-ի, այնպես էլ դիսպերսիայի համար անհայտ պարամետրերով Դստացվել է անաչառ գնահատական.

Պահանջվում է մոտավորապես կառուցել վստահության միջակայք շեղման համար:

Բանաձևից (14.3.11) պարզ է դառնում, որ քանակը Դներկայացնում է

գումարը Պձևի պատահական փոփոխականներ. Այս արժեքները չեն

անկախ, քանի որ դրանցից որևէ մեկը ներառում է քանակությունը Տ,կախված բոլորից. Այնուամենայնիվ, կարելի է ցույց տալ, որ աճով Պդրանց գումարի բաշխման օրենքը նույնպես նորմալ է մոտենում։ Գրեթե ժամը Պ= 20...30 դա արդեն նորմալ կարելի է համարել։

Ենթադրենք, որ դա այդպես է, և եկեք գտնենք այս օրենքի բնութագրերը՝ մաթեմատիկական ակնկալիք և դիսպերսիա։ Գնահատումից ի վեր Դ- ուրեմն անաչառ M[D] = D.

Տարբերության հաշվարկ Դ Դկապված է համեմատաբար բարդ հաշվարկների հետ, ուստի մենք ներկայացնում ենք դրա արտահայտությունն առանց ածանցման.

որտեղ q 4-ը չորրորդն է կենտրոնական կետքանակները X.

Այս արտահայտությունն օգտագործելու համար անհրաժեշտ է փոխարինել արժեքները \u003d 4 և Դ(առնվազն մտերիմները): Փոխարեն Դկարող եք օգտվել նրա գնահատականից Դ.Սկզբունքորեն, չորրորդ կենտրոնական պահը կարող է փոխարինվել նաև գնահատմամբ, օրինակ՝ ձևի արժեքով.

բայց նման փոխարինումը կտա չափազանց ցածր ճշգրտություն, քանի որ ընդհանուր առմամբ, սահմանափակ թվով փորձերի դեպքում, պահերը. բարձր կարգորոշվում է մեծ սխալներ. Այնուամենայնիվ, գործնականում հաճախ է պատահում, որ քանակի բաշխման օրենքի տեսակը Xնախապես հայտնի. միայն դրա պարամետրերն են անհայտ: Այնուհետև կարող եք փորձել արտահայտել μ 4-ի միջոցով Դ.

Վերցնենք ամենատարածված դեպքը, երբ արժեքը Xբաշխված է սովորական օրենքի համաձայն: Այնուհետև դրա չորրորդ կենտրոնական պահն արտահայտվում է ցրվածության առումով (տե՛ս Գլուխ 6, ենթաբաժին 6.2);

և (14.3.12) բանաձևը տալիս է կամ

Անհայտի փոխարինում (14.3.14) Դնրա գնահատականը Դ, ստանում ենք՝ որտեղից

Մ 4 պահը կարելի է արտահայտել միջոցով Դնաև որոշ այլ դեպքերում, երբ արժեքի բաշխումը Xնորմալ չէ, բայց նրա տեսքը հայտնի է։ Օրինակ՝ օրենքի համար միասնական խտություն(տես գլուխ 5) մենք ունենք.

որտեղ (a, P) այն միջակայքն է, որի վրա նշված է օրենքը:

Հետևաբար,

Օգտագործելով բանաձևը (14.3.12) մենք ստանում ենք. որտեղ ենք գտնում մոտավորապես

Այն դեպքերում, երբ 26 քանակի բաշխման օրենքի տեսակը անհայտ է, արժեքը մոտավոր գնահատելիս a/, այնուամենայնիվ, խորհուրդ է տրվում օգտագործել բանաձևը (14.3.16), եթե չկան հատուկ հիմքեր ենթադրելու, որ այս օրենքը. շատ է տարբերվում սովորականից (ունի նկատելի դրական կամ բացասական կուրտոզ):

Եթե ​​մոտավոր a/ արժեքը ստացվում է այս կամ այն ​​կերպ, ապա մենք կարող ենք վստահության միջակայք կառուցել շեղումների համար այնպես, ինչպես այն կառուցել ենք մաթեմատիկական ակնկալիքի համար.

որտեղ ըստ աղյուսակի գտնվում է տվյալ p հավանականությունից կախված արժեքը։ 14.3.1.

Օրինակ 2. Գտեք մոտավորապես 80% վստահության միջակայքը պատահական փոփոխականի շեղման համար Xօրինակ 1-ի պայմաններում, եթե հայտնի է, որ արժեքը Xբաշխվում է նորմալին մոտ օրենքի համաձայն։

Լուծում.Արժեքը մնում է նույնը, ինչ աղյուսակում: 14.3.1:

Բանաձևի համաձայն (14.3.16)

Օգտագործելով բանաձևը (14.3.18) մենք գտնում ենք վստահության միջակայքը.

Միջին արժեքների համապատասխան միջակայքը քառակուսի շեղում: (0,21; 0,29).

14.4. Սովորական օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի պարամետրերի համար վստահության միջակայքներ կառուցելու ճշգրիտ մեթոդներ

Նախորդ ենթաբաժնում մենք ուսումնասիրեցինք մաթեմատիկական ակնկալիքների և շեղումների համար վստահության միջակայքների կառուցման մոտավորապես մոտավոր մեթոդներ: Այստեղ մենք պատկերացում կտանք նույն խնդրի լուծման ճշգրիտ մեթոդների մասին: Մենք շեշտում ենք, որ վստահության միջակայքերը ճշգրիտ գտնելու համար բացարձակապես անհրաժեշտ է նախապես իմանալ քանակի բաշխման օրենքի ձևը. X,մինչդեռ մոտավոր մեթոդների կիրառման համար դա անհրաժեշտ չէ։

Գաղափար ճշգրիտ մեթոդներվստահության միջակայքների կառուցումը հանգում է հետևյալին. Ցանկացած վստահության միջակայք հայտնաբերվում է պայմանից, որն արտահայտում է որոշակի անհավասարությունների կատարման հավանականությունը, որոնք ներառում են մեզ հետաքրքրող գնահատականը: Ա.Գնահատման բաշխման օրենքը ԱՎ ընդհանուր դեպքկախված է անհայտ քանակի պարամետրերից X.Այնուամենայնիվ, երբեմն հնարավոր է պատահական փոփոխականից անհավասարություններ անցնել ԱԴիտարկվող արժեքների որոշ այլ ֆունկցիաների նկատմամբ X p X 2, ..., X p.որի բաշխման օրենքը կախված չէ անհայտ պարամետրերից, այլ կախված է միայն փորձերի քանակից և քանակի բաշխման օրենքի տեսակից. X.Այս տեսակի պատահական փոփոխականները կարևոր դեր են խաղում մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ. դրանք առավել մանրամասն ուսումնասիրվել են քանակի նորմալ բաշխման դեպքում X.

Օրինակ, ապացուցվել է, որ արժեքի նորմալ բաշխմամբ Xպատահական արժեք

ենթարկվում է այսպես կոչվածին Ուսանողների բաշխման օրենքըՀետ Պ- 1 աստիճան ազատություն; այս օրենքի խտությունն ունի ձևը

որտեղ G(x)-ը հայտնի գամմա ֆունկցիան է.

Ապացուցված է նաև, որ պատահական փոփոխականը

ունի «%2 բաշխում» հետ Պ- Ազատության 1 աստիճան (տե՛ս Գլուխ 7), որի խտությունն արտահայտվում է բանաձևով.

Չանդրադառնալով բաշխումների (14.4.2) և (14.4.4) ածանցյալներին, մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարող են դրանք կիրառվել պարամետրերի համար վստահության միջակայքեր կառուցելիս: ty Դ.

Թող արտադրվի Պանկախ փորձեր պատահական փոփոխականի վրա X,սովորաբար բաշխված անհայտ պարամետրերով T&O.Այս պարամետրերի համար ստացվել են գնահատականներ

Պահանջվում է վստահության ինտերվալներ կառուցել երկու պարամետրերի համար, որոնք համապատասխանում են վստահության հավանականությանը p.

Եկեք նախ կառուցենք մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքը: Բնական է այս ինտերվալը սիմետրիկ ընդունելն առնչությամբ Տ; թող s p-ը նշանակի միջակայքի երկարության կեսը: s p արժեքը պետք է ընտրվի այնպես, որ պայմանը բավարարվի

Փորձենք պատահական փոփոխականից շարժվել հավասարության ձախ կողմում (14.4.5). Տպատահական փոփոխականին Տ,բաշխվում է ուսանողական օրենքի համաձայն: Դա անելու համար բազմապատկեք անհավասարության երկու կողմերը |m-w?|

դրական արժեքով. կամ, օգտագործելով նշումը (14.4.1),

Գտնենք այնպիսի թիվ / p, որ պայմանից գտնվի արժեքը / p

Բանաձևից (14.4.2) պարզ է դառնում, որ (1) - նույնիսկ գործառույթ, ուրեմն (14.4.8) տալիս է

Հավասարությունը (14.4.9) որոշում է արժեքը / p՝ կախված p-ից: Եթե ​​ձեր տրամադրության տակ ունեք ինտեգրալ արժեքների աղյուսակ

ապա /p-ի արժեքը կարելի է գտնել աղյուսակում հակադարձ ինտերպոլացիայի միջոցով: Այնուամենայնիվ, ավելի հարմար է նախապես կազմել /p արժեքների աղյուսակը: Նման աղյուսակը տրված է Հավելվածում (Աղյուսակ 5): Այս աղյուսակը ցույց է տալիս արժեքները՝ կախված p վստահության մակարդակից և ազատության աստիճանների քանակից Պ- 1. Սեղանից որոշելով / p. 5 և ենթադրելով

մենք կգտնենք վստահության միջակայքի / p լայնության կեսը և ինքնին միջակայքը

Օրինակ 1. 5 անկախ փորձեր են կատարվել պատահական փոփոխականի վրա X,սովորաբար բաշխված անհայտ պարամետրերով Տև մոտ. Փորձերի արդյունքները տրված են աղյուսակում: 14.4.1.

Աղյուսակ 14.4.1

Գտեք վարկանիշը Տմաթեմատիկական ակնկալիքի համար և դրա համար կառուցել 90% վստահության միջակայք / p (այսինքն՝ վստահության հավանականությանը համապատասխանող միջակայքը p = 0,9):

Լուծում.Մենք ունենք:

Համաձայն հայտի 5-րդ աղյուսակի Պ - 1 = 4 և p = 0.9 մենք գտնում ենք որտեղ

Վստահության միջակայքը կլինի

Օրինակ 2. 14.3 ենթաբաժնի 1-ին օրինակի պայմանների համար՝ ընդունելով արժեքը. Xնորմալ բաշխված, գտեք վստահության ճշգրիտ միջակայքը:

Լուծում.Համաձայն հավելվածի 5-րդ աղյուսակի, մենք գտնում ենք Պ - 1 = 19ir =

0,8 / p = 1,328; այստեղից

Համեմատելով 14.3 ենթաբաժնի 1-ին օրինակի լուծման հետ (e p = 0.072), մենք համոզված ենք, որ անհամապատասխանությունը շատ աննշան է: Եթե ​​մենք պահպանում ենք ճշտությունը մինչև երկրորդ տասնորդական տեղը, ապա ճշգրիտ և մոտավոր մեթոդներով հայտնաբերված վստահության միջակայքերը համընկնում են.

Եկեք անցնենք շեղումների համար վստահության միջակայքի կառուցմանը: Դիտարկենք անաչառ շեղումների գնահատիչը

և արտահայտել պատահական փոփոխականը Դմեծության միջոցով Վ(14.4.3), ունենալով բաշխում x 2 (14.4.4):

Իմանալով քանակի բաշխման օրենքը V,կարող եք գտնել /(1) միջակայքը, որում այն ​​ընկնում է տրված հավանականությամբ p.

Բաշխման օրենքը kn_x(v) I 7 մեծությունն ունի Նկարում ներկայացված ձևը: 14.4.1.

Բրինձ. 14.4.1

Հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս ընտրել միջակայքը / p: Եթե ​​մեծության բաշխման օրենքը Վսիմետրիկ էր (ինչպես նորմալ օրենքը կամ Ուսանողների բաշխումը), բնական կլիներ մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ /p սիմետրիկ վերցնել: Այս դեպքում օրենքը k p_x (v)ասիմետրիկ. Եկեք համաձայնենք ընտրել /p միջակայքը այնպես, որ արժեքի հավանականությունը լինի Վաջ և ձախ ինտերվալից այն կողմ (Նկար 14.4.1-ում ստվերված հատվածները) նույնն էին և հավասար.

Այս հատկությամբ /p ինտերվալ կառուցելու համար մենք օգտագործում ենք աղյուսակը: 4 հավելված՝ պարունակում է թվեր y)այնպիսին է, որ

արժեքի համար V,ունենալով x 2 - բաշխում r ազատության աստիճաններով: Մեր դեպքում r = n- 1. Եկեք ուղղենք r = n- 1 և գտի՛ր աղյուսակի համապատասխան տողում: 4 երկու իմաստ x 2 -մեկը համապատասխանում է հավանականությանը, մյուսը՝ հավանականություն Նշենք դրանք

արժեքներ ժամը 2-ինԵվ xl?Ընդմիջումն ունի y 2,քո ձախով, և y~աջ վերջ.

Այժմ եկեք գտնենք / p միջակայքից ցանկալի վստահության միջակայքը /|, D սահմաններով ցրվածության համար, և D2,որն ընդգրկում է կետը Դ p հավանականությամբ:

Եկեք կառուցենք / (, = (?> ь А) ինտերվալը, որը ծածկում է կետը Դեթե և միայն այն դեպքում, եթե արժեքը Վընկնում է /r միջակայքում: Եկեք ցույց տանք, որ միջակայքը

բավարարում է այս պայմանը. Իրոք, անհավասարությունները համարժեք են անհավասարություններին

և այս անհավասարությունները բավարարվում են p հավանականությամբ։ Այսպիսով, դիսպերսիայի համար վստահության միջակայքը գտնվել է և արտահայտվում է բանաձևով (14.4.13):

Օրինակ 3. 14.3 ենթաբաժնի 2-րդ օրինակի պայմաններում գտե՛ք շեղումների վստահության միջակայքը, եթե հայտնի է, որ արժեքը. Xսովորաբար բաշխված.

Լուծում.Մենք ունենք . Համաձայն հավելվածի 4-րդ աղյուսակի

մենք գտնում ենք g = n - 1 = 19

Օգտագործելով բանաձևը (14.4.13) մենք գտնում ենք շեղման վստահության միջակայքը

Ստանդարտ շեղման համապատասխան միջակայքը (0.21; 0.32): Այս միջակայքը միայն փոքր-ինչ գերազանցում է 14.3 ենթաբաժնի 2-րդ օրինակում ստացված միջակայքը (0.21; 0.29)՝ մոտավոր մեթոդով:

• Նկար 14.3.1-ում ներկայացված է վստահության միջակայքը սիմետրիկ ա-ի նկատմամբ: Ընդհանուր առմամբ, ինչպես հետագայում կտեսնենք, դա անհրաժեշտ չէ։

Վստահության միջակայքերը.

Վստահության միջակայքի հաշվարկը հիմնված է համապատասխան պարամետրի միջին սխալի վրա: Վստահության միջակայք ցույց է տալիս, թե (1-ա) հավանականությամբ ինչ սահմաններում է գտնվում գնահատված պարամետրի իրական արժեքը: Այստեղ a-ն նշանակության մակարդակն է, (1-a) կոչվում է նաև վստահության հավանականություն:

Առաջին գլխում մենք ցույց տվեցինք, որ, օրինակ, թվաբանական միջինի համար իրական բնակչության միջինը դեպքերի մոտավորապես 95%-ում գտնվում է միջինի 2 ստանդարտ սխալների սահմաններում: Այսպիսով, միջինի 95% վստահության միջակայքի սահմանները երկու անգամ ավելի հեռու կլինեն ընտրանքի միջինից միջին սխալմիջին, այսինքն. մենք միջինի միջին սխալը բազմապատկում ենք որոշակի գործակցով՝ կախված վստահության մակարդակից։ Միջինների միջինի և տարբերության համար վերցվում է Student գործակիցը (Ուսանողի թեստի կրիտիկական արժեքը), բաժնետոմսերի մասնաբաժնի և տարբերության համար՝ z չափանիշի կրիտիկական արժեքը։ Գործակիցի և միջին սխալի արտադրյալը կարելի է անվանել տվյալ պարամետրի առավելագույն սխալ, այսինքն. առավելագույնը, որը մենք կարող ենք ստանալ այն գնահատելիս:

Վստահության միջակայքը համար թվաբանական միջին : .

Ահա միջին նմուշը.

Միջին թվաբանական սխալը;

s –նմուշի ստանդարտ շեղում;

n

f = n-1 (Ուսանողի գործակից):

Վստահության միջակայքը համար թվաբանական միջոցների տարբերություններ :

Ահա նմուշային միջոցների տարբերությունը.

- թվաբանական միջինների տարբերության միջին սխալ.

s 1, s 2 -նմուշի ստանդարտ շեղումներ;

n1, n2

Կրիտիկական արժեքՈւսանողի t թեստ՝ որոշակի նշանակության մակարդակի և ազատության աստիճանների համար f=n 1 +n 2-2 (Ուսանողի գործակից):

Վստահության միջակայքը համար բաժնետոմսեր :

.

Ահա d-ն ընտրանքային կոտորակն է.

- միջին կոտորակի սխալ;

n- նմուշի չափը (խմբի չափը);

Վստահության միջակայքը համար բաժնետոմսերի տարբերությունը :

Ահա նմուշի բաժնետոմսերի տարբերությունը.

- թվաբանական միջինների տարբերության միջին սխալ.

n1, n2– նմուշների ծավալները (խմբերի քանակը);

z չափանիշի կրիտիկական արժեքը տվյալ նշանակության մակարդակում a ( , , ).

Ցուցանիշների տարբերության համար վստահության միջակայքերը հաշվարկելով՝ մենք, առաջին հերթին, ուղղակիորեն տեսնում ենք հնարավոր արժեքներազդեցություն, և ոչ միայն այն միավորի գնահատում. Երկրորդ, մենք կարող ենք եզրակացություն անել զրոյական վարկածի ընդունման կամ մերժման մասին և, երրորդ, մենք կարող ենք եզրակացություն անել թեստի հզորության մասին:

Վստահության միջակայքերով վարկածները փորձարկելիս պետք է հետևել հետևյալ կանոնին.

Եթե ​​միջինների տարբերության 100(1-ա) տոկոս վստահության միջակայքը չի պարունակում զրո, ապա տարբերությունները վիճակագրորեն նշանակալի են նշանակալիության մակարդակում. ընդհակառակը, եթե այս ինտերվալը զրո է պարունակում, ապա տարբերությունները վիճակագրորեն նշանակալի չեն։

Իրոք, եթե այս ինտերվալը պարունակում է զրո, նշանակում է, որ համեմատվող ցուցանիշը խմբերից մեկում կարող է կամ ավելի մեծ կամ պակաս լինել մյուսի համեմատ, այսինքն. նկատված տարբերությունները պայմանավորված են պատահականությամբ:

Թեստի հզորությունը կարելի է դատել վստահության միջակայքում զրոյի գտնվելու վայրով: Եթե ​​զրոն մոտ է ցածրին կամ վերին սահմանըընդմիջումով, ապա գուցե ավելի մեծ թվով համեմատվող խմբերի դեպքում տարբերությունները կհասնեին վիճակագրական նշանակություն. Եթե ​​զրոն մոտ է միջակայքի կեսին, ապա դա նշանակում է, որ փորձարարական խմբում ցուցանիշի և՛ աճը, և՛ նվազումը հավասարապես հավանական են, և, հավանաբար, իսկապես տարբերություններ չկան:

Օրինակներ.

Երկու տարբեր տեսակի անզգայացման ժամանակ վիրահատական ​​մահացությունը համեմատելու համար՝ 61 մարդ վիրահատվել է առաջին տիպի անզգայացմամբ, 8-ը մահացել է, երկրորդ տեսակից՝ 67 մարդ, 10-ը մահացել են։

դ 1 = 8/61 = 0,131; d2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018:

Համեմատված մեթոդների մահացության տարբերությունը կլինի (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) կամ (-0,14; 0,104) միջակայքում՝ 100(1-ա) = 95% հավանականությամբ: Ինտերվալը պարունակում է զրո, այսինքն. նույն մահացուության վարկածը երկուսում տարբեր տեսակներԱնզգայացումը չի կարող մերժվել:

Այսպիսով, մահացության մակարդակը կարող է և կնվազի մինչև 14% և կբարձրանա մինչև 10,4% 95% հավանականությամբ, այսինքն. Զրոն մոտավորապես միջակայքի միջնամասում է, ուստի կարելի է պնդել, որ, ամենայն հավանականությամբ, այս երկու մեթոդները իսկապես չեն տարբերվում մահացուությամբ:

Նախկինում քննարկված օրինակում կտկտոցային թեստի ընթացքում սեղմելու միջին ժամանակը համեմատվել է ուսանողների չորս խմբերում, որոնք տարբերվում էին քննությունների միավորներով: Եկեք հաշվարկենք վստահության միջակայքերը 2-րդ և 5-րդ գնահատականներով քննություն հանձնած ուսանողների միջին սեղմման ժամանակի համար և վստահության միջակայքը այս միջինների տարբերության համար:

Ուսանողի գործակիցները հայտնաբերվում են ուսանողի բաշխման աղյուսակների միջոցով (տես հավելված). առաջին խմբի համար՝ = t(0.05;48) = 2.011; երկրորդ խմբի համար՝ = t(0.05;61) = 2.000: Այսպիսով, վստահության միջակայքերը առաջին խմբի համար՝ = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), երկրորդ խմբի համար (156.55- 2000*1.88 ; 5+21005): 160.3): Այսպիսով, նրանց համար, ովքեր հանձնել են քննությունը 2-ով, սեղմման միջին ժամանակը տատանվում է 157,8 մս-ից մինչև 166,6 մվ-ի սահմաններում՝ 95%-ով, 5-ով հանձնածների համար՝ 152,8 մվ-ից մինչև 160,3 մվ-ը՝ 95% հավանականությամբ: .

Դուք կարող եք նաև ստուգել զրոյական վարկածը՝ օգտագործելով վստահության միջակայքերը միջոցների համար, և ոչ միայն միջինների տարբերության համար: Օրինակ, ինչպես մեր դեպքում, եթե միջոցների վստահության միջակայքերը համընկնում են, ապա զրոյական վարկածը չի կարող մերժվել: Ընտրված նշանակության մակարդակով վարկածը մերժելու համար համապատասխան վստահության միջակայքերը չպետք է համընկնեն:

Գտնենք 2-րդ և 5-րդ գնահատականներով քննություն հանձնած խմբերի միջին սեղմման ժամանակի տարբերության վստահության միջակայքը: Միջինների տարբերությունը՝ 162,19 – 156,55 = 5,64: Ուսանողի գործակիցը` = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982: Խմբի ստանդարտ շեղումները հավասար կլինեն. . Մենք հաշվարկում ենք միջոցների տարբերության միջին սխալը. Վստահության միջակայքը՝ =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33):

Այսպիսով, միջին սեղմման ժամանակի տարբերությունը 2-ով և 5-ով քննություն հանձնած խմբերում կլինի -0,044 ms-ից մինչև 11,33 ms միջակայքում: Այս միջակայքը ներառում է զրո, այսինքն. Քննությունը լավ հանձնածների միջին սեղմման ժամանակը կարող է կա՛մ աճել, կա՛մ նվազել՝ համեմատած նրանց հետ, ովքեր անբավարար են հանձնել քննությունը, այսինքն. զրոյական վարկածը չի կարող մերժվել: Բայց զրոն շատ մոտ է ստորին սահմանին, և սեղմելու ժամանակը շատ ավելի հավանական է, որ կնվազի նրանց համար, ովքեր լավ են անցել: Այսպիսով, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ 2-ը և 5-ն անցածների միջև սեղմման միջին ժամանակում դեռևս կան տարբերություններ, մենք պարզապես չկարողացանք դրանք հայտնաբերել՝ հաշվի առնելով միջին ժամանակի փոփոխությունը, միջին ժամանակի տարածումը և ընտրանքի չափերը:

Թեստի հզորությունը սխալ զրո վարկածը մերժելու հավանականությունն է, այսինքն. գտնել տարբերություններ, որտեղ դրանք իրականում գոյություն ունեն:

Թեստի հզորությունը որոշվում է ըստ նշանակության մակարդակի, խմբերի միջև տարբերությունների մեծության, խմբերում արժեքների տարածման և նմուշների չափի:

Ուսանողի թեստի համար և շեղումների վերլուծությունԴուք կարող եք օգտագործել զգայունության դիագրամներ:

Չափանիշի հզորությունը կարող է օգտագործվել խմբերի անհրաժեշտ քանակի նախնական որոշման համար:

Վստահության միջակայքը ցույց է տալիս, թե որ սահմաններում է գտնվում գնահատված պարամետրի իրական արժեքը տվյալ հավանականությամբ:

Օգտագործելով վստահության միջակայքերը, դուք կարող եք ստուգել վիճակագրական վարկածները և եզրակացություններ անել չափանիշների զգայունության վերաբերյալ:

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ.

Glanz S. – Գլուխ 6,7.

Ռեբրովա Օ.Յու. – էջ 112-114, էջ 171-173, էջ 234-238։

Սիդորենկո Է.Վ. – էջ 32-33.

Հարցեր ուսանողների ինքնաստուգման համար.

1. Ո՞րն է չափանիշի ուժը:

2. Ո՞ր դեպքերում է անհրաժեշտ գնահատել չափանիշների ուժը:

3. Հզորության հաշվարկման մեթոդներ.

6. Ինչպե՞ս ստուգել վիճակագրական վարկածը՝ օգտագործելով վստահության միջակայքը:

7. Ի՞նչ կարելի է ասել չափանիշի հզորության մասին վստահության միջակայքը հաշվարկելիս:

Առաջադրանքներ.

Ենթադրենք, մենք ունենք մեծ թվով իրեր՝ որոշ բնութագրերի նորմալ բաշխմամբ (օրինակ՝ նույն տեսակի բանջարեղենի ամբողջական պահեստ, որի չափերն ու քաշը տարբեր են)։ Դուք ցանկանում եք իմանալ ապրանքների ողջ խմբաքանակի միջին բնութագրերը, բայց ոչ ժամանակ ունեք, ոչ ցանկություն չափելու և կշռելու յուրաքանչյուր բանջարեղեն: Դուք հասկանում եք, որ դա անհրաժեշտ չէ։ Բայց քանի՞ կտոր պետք է վերցնել տեղում ստուգման համար:

Նախքան այս իրավիճակի համար օգտակար մի քանի բանաձևեր տալը, հիշենք որոշ նշում:

Նախ, եթե մենք չափեինք բանջարեղենի ամբողջ պահեստը (տարրերի այս հավաքածուն կոչվում է ընդհանուր պոպուլյացիա), ապա մենք կիմանայինք մեզ հասանելի ողջ ճշգրտությամբ ամբողջ խմբաքանակի միջին քաշը: Սա անվանենք միջին X միջին .g en . - ընդհանուր միջին. Մենք արդեն գիտենք, թե ինչն է ամբողջությամբ որոշված, եթե հայտնի են դրա միջին արժեքը և շեղումը . Ճիշտ է, մինչդեռ մենք ոչ X միջին սերունդ ենք, ոչ էլս Մենք չգիտենք ընդհանուր բնակչությանը. Մենք կարող ենք վերցնել միայն որոշակի նմուշ, չափել մեզ անհրաժեշտ արժեքները և այս նմուշի համար հաշվարկել ինչպես միջին արժեքը, այնպես էլ S-ի ստանդարտ շեղումը:

Հայտնի է, որ եթե մեր նմուշի ստուգումը պարունակում է մեծ թվով տարրեր (սովորաբար n-ը 30-ից մեծ է), և դրանք վերցվում են. իսկապես պատահական, ապա ս ընդհանուր բնակչությունը հազիվ թե տարբերվի S ընտրությունից..

Բացի այդ, նորմալ բաշխման դեպքում մենք կարող ենք օգտագործել հետևյալ բանաձևերը.

95% հավանականությամբ

99% հավանականությամբ

IN ընդհանուր տեսարան P (t) հավանականությամբ

t արժեքի և P (t) հավանականության արժեքի միջև կապը, որով մենք ցանկանում ենք իմանալ վստահության միջակայքը, կարելի է վերցնել հետևյալ աղյուսակից.

Այսպիսով, մենք որոշել ենք, թե որ միջակայքում է գտնվում բնակչության միջին արժեքը (տվյալ հավանականությամբ):

Քանի դեռ բավականաչափ մեծ ընտրանք չունենք, մենք չենք կարող ասել, որ պոպուլյացիան ունի s = S ընտրել Բացի այդ, այս դեպքում խնդրահարույց է նմուշի մոտ լինելը նորմալ բաշխմանը։ Այս դեպքում փոխարենը մենք օգտագործում ենք նաև S select s բանաձևում.

բայց t-ի արժեքը հաստատուն P(t) հավանականության համար կախված կլինի n նմուշի տարրերի քանակից: Որքան մեծ լինի n-ը, այնքան ավելի մոտ կլինի ստացված վստահության միջակայքը (1) բանաձևով տրված արժեքին: T արժեքներն այս դեպքում վերցված են մեկ այլ աղյուսակից ( Ուսանողի t-test), որը ներկայացնում ենք ստորև.

Ուսանողի t-test արժեքները 0,95 և 0,99 հավանականության համար

Օրինակ 3.Ընկերության աշխատակիցներից պատահականության սկզբունքով ընտրվել է 30 մարդ։ Ըստ ընտրանքի՝ պարզվել է, որ միջին աշխատավարձը (ամսական) կազմում է 30 հազար ռուբլի՝ 5 հազար ռուբլի ստանդարտ շեղմամբ։ Որոշեք միջին աշխատավարձը ընկերությունում 0,99 հավանականությամբ։

Լուծում:Ըստ պայմանի ունենք n = 30, X միջին: =30000, S=5000, P = 0,99: Վստահության միջակայքը գտնելու համար մենք կօգտագործենք Student's t թեստին համապատասխանող բանաձևը։ n = 30 և P = 0,99 աղյուսակից մենք գտնում ենք t = 2,756, հետևաբար,

դրանք. փնտրված հոգաբարձուընդմիջում 27484< Х ср.ген < 32516.

Այսպիսով, 0,99 հավանականությամբ կարելի է ասել, որ միջակայքը (27484; 32516) իր մեջ պարունակում է ընկերության միջին աշխատավարձը։

Հուսով ենք, որ դուք կօգտագործեք այս մեթոդը, և պարտադիր չէ, որ ամեն անգամ ձեզ հետ սեղան ունենաք։ Հաշվարկները կարող են իրականացվել ինքնաբերաբար Excel-ում: Excel ֆայլում գտնվելու ժամանակ սեղմեք վերևի ընտրացանկում գտնվող fx կոճակը: Այնուհետև գործառույթներից ընտրեք «վիճակագրական» տեսակը, իսկ պատուհանում առաջարկվող ցանկից՝ STUDAR DISCOVER: Այնուհետև, հուշման ժամանակ, կուրսորը դնելով «հավանականություն» դաշտում, մուտքագրեք հակադարձ հավանականության արժեքը (այսինքն, մեր դեպքում, 0,95 հավանականության փոխարեն, պետք է մուտքագրեք 0,05 հավանականությունը): Ըստ երեւույթին աղյուսակկազմված է այնպես, որ արդյունքը պատասխանում է այն հարցին, թե ինչ հավանականությամբ կարող ենք սխալվել։ Նմանապես, «Ազատության աստիճան» դաշտում մուտքագրեք արժեքը (n-1) ձեր նմուշի համար:

Վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքների համար - սա տվյալների հիման վրա հաշվարկված միջակայք է, որը հայտնի հավանականությամբ պարունակում է ընդհանուր բնակչության մաթեմատիկական ակնկալիքը: Մաթեմատիկական ակնկալիքի բնական գնահատականը նրա դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականն է: Ուստի ամբողջ դասի ընթացքում մենք կօգտագործենք «միջին» և «միջին արժեք» տերմինները: Վստահության միջակայքի հաշվարկման խնդիրներում պատասխանն ամենից հաճախ պահանջվում է նման բան. «Միջին [արժեքի որոշակի խնդրի] վստահության միջակայքը [փոքր արժեքից] [ավելի մեծ արժեք] է»: Օգտագործելով վստահության միջակայքը, դուք կարող եք գնահատել ոչ միայն միջին արժեքները, այլև ընդհանուր բնակչության որոշակի բնութագրիչի համամասնությունը: Միջիններ, շեղումներ, ստանդարտ շեղումիսկ այն սխալները, որոնց միջոցով մենք կհասնենք նոր սահմանումների ու բանաձևերի, քննարկվում են դասում Ընտրանքի և բնակչության բնութագրերը .

Միջին կետի և միջակայքի գնահատումները

Եթե ​​բնակչության միջին արժեքը գնահատվում է թվով (կետ), ապա որպես պոպուլյացիայի անհայտ միջին արժեքի գնահատում ընդունվում է կոնկրետ միջին, որը հաշվարկվում է դիտարկումների ընտրանքից։ Այս դեպքում ընտրանքային միջինի արժեքը՝ պատահական փոփոխականը, չի համընկնում ընդհանուր բնակչության միջին արժեքի հետ: Հետևաբար, նմուշի միջինը նշելիս պետք է միաժամանակ նշեք նմուշառման սխալը: Ընտրանքային սխալի չափումը ստանդարտ սխալն է, որն արտահայտվում է նույն միավորներով, ինչ միջինը: Հետևաբար, հաճախ օգտագործվում է հետևյալ նշումը.

Եթե ​​միջինի գնահատումը պետք է կապված լինի որոշակի հավանականության հետ, ապա բնակչության հետաքրքրության պարամետրը պետք է գնահատվի ոչ թե մեկ թվով, այլ ընդմիջումով։ Վստահության միջակայքը այն միջակայքն է, որի դեպքում որոշակի հավանականությամբ Պգտնված է բնակչության գնահատված ցուցանիշի արժեքը: Վստահության միջակայքը, որում դա հավանական է Պ = 1 - α պատահական փոփոխականը գտնվել է՝ հաշվարկված հետևյալ կերպ.

,

α = 1 - Պ, որը կարելի է գտնել վիճակագրության վերաբերյալ գրեթե ցանկացած գրքի հավելվածում։

Գործնականում պոպուլյացիայի միջինը և շեղումը հայտնի չեն, ուստի պոպուլյացիայի շեղումը փոխարինվում է ընտրանքային շեղումով, իսկ պոպուլյացիայի միջինը՝ ընտրանքային միջինով: Այսպիսով, վստահության միջակայքը շատ դեպքերում հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

.

Վստահության միջակայքի բանաձևը կարող է օգտագործվել պոպուլյացիայի միջինը գնահատելու համար, եթե

• հայտնի է բնակչության ստանդարտ շեղումը.
• կամ պոպուլյացիայի ստանդարտ շեղումը անհայտ է, բայց ընտրանքի չափը 30-ից մեծ է:

Ընտրանքի միջինը բնակչության միջինի անաչառ գնահատումն է: Իր հերթին, ընտրանքի շեղումը բնակչության շեղումների անաչառ գնահատական ​​չէ: Ընտրանքային շեղումների բանաձևում բնակչության շեղման անաչառ գնահատական ​​ստանալու համար, ընտրանքի չափը nպետք է փոխարինվի n-1.

Օրինակ 1.Որոշակի քաղաքի պատահականության սկզբունքով ընտրված 100 սրճարաններից հավաքագրվել է տեղեկատվություն, որ դրանցում աշխատողների միջին թիվը 10,5 է` 4,6 ստանդարտ շեղումով: Որոշեք 95% վստահության միջակայքը սրճարանի աշխատակիցների թվի համար:

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Այսպիսով, 95% վստահության միջակայքը սրճարանի աշխատակիցների միջին թվի համար տատանվել է 9,6-ից 11,4-ի սահմաններում։

Օրինակ 2. 64 դիտարկումների բնակչության պատահական ընտրանքի համար հաշվարկվել են հետևյալ ընդհանուր արժեքները.

դիտարկումների արժեքների գումարը,

արժեքների քառակուսի շեղումների գումարը միջինից .

Հաշվարկել 95% վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքի համար:

Հաշվարկենք ստանդարտ շեղումը.

,

Եկեք հաշվարկենք միջին արժեքը.

.

Մենք արժեքները փոխարինում ենք վստահության միջակայքի արտահայտության մեջ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, այս ընտրանքի մաթեմատիկական ակնկալիքի 95% վստահության միջակայքը տատանվել է 7,484-ից մինչև 11,266:

Օրինակ 3. 100 դիտարկումներից բաղկացած բնակչության պատահական ընտրանքի համար հաշվարկված միջինը 15.2 է, իսկ ստանդարտ շեղումը 3.2 է: Հաշվարկեք 95% վստահության միջակայքը ակնկալվող արժեքի համար, ապա 99% վստահության միջակայքը: Եթե ​​նմուշի հզորությունը և դրա տատանումները մնան անփոփոխ, և վստահության գործակիցը մեծանա, վստահության միջակայքը կնվազի՞, թե՞ ընդլայնվի:

Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք վստահության միջակայքի արտահայտության մեջ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Մենք ստանում ենք.

.

Այսպիսով, այս ընտրանքի միջինի 95% վստահության միջակայքը տատանվում էր 14,57-ից 15,82-ի սահմաններում:

Մենք կրկին փոխարինում ենք այս արժեքները վստահության միջակայքի արտահայտության մեջ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,01 .

Մենք ստանում ենք.

.

Այսպիսով, այս ընտրանքի միջինի 99% վստահության միջակայքը տատանվել է 14,37-ից մինչև 16,02:

Ինչպես տեսնում ենք, քանի որ վստահության գործակիցը մեծանում է, ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նույնպես մեծանում է, և, հետևաբար, միջակայքի մեկնարկային և ավարտական ​​կետերը գտնվում են միջինից ավելի հեռու, և այդպիսով մեծանում է մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքը: .

Հատուկ ծանրության կետային և միջակայքային գնահատումներ

Որոշ նմուշի հատկանիշի մասնաբաժինը կարող է մեկնաբանվել որպես կետային գնահատում տեսակարար կշիռը էջնույն հատկանիշը ընդհանուր բնակչության մեջ: Եթե ​​այս արժեքը պետք է կապված լինի հավանականության հետ, ապա պետք է հաշվարկվի տեսակարար կշռի վստահության միջակայքը: էջբնորոշ է հավանականությամբ բնակչությանը Պ = 1 - α :

.

Օրինակ 4.Որոշ քաղաքում երկու թեկնածու կա ԱԵվ Բհավակնում են քաղաքապետի պաշտոնին. Պատահականության սկզբունքով հարցվել է քաղաքի 200 բնակիչ, որոնցից 46%-ը պատասխանել է, որ կքվեարկի թեկնածուի օգտին։ Ա, 26%՝ թեկնածուի համար Բիսկ 28%-ը չգիտի, թե ում է ձայն տալու։ Որոշեք 95% վստահության միջակայքը՝ թեկնածուին աջակցող քաղաքի բնակիչների համամասնության համար Ա.