տուն Հոտը բերանից Ի՞նչ է ֆունկցիայի միապաղաղությունը: Որոնք են զույգ, պարբերական, միապաղաղ ֆունկցիաները

Հոտը բերանից

Ի՞նչ է ֆունկցիայի միապաղաղությունը: Որոնք են զույգ, պարբերական, միապաղաղ ֆունկցիաները

աճող$X$ ինտերվալի վրա, եթե որևէ \(x_1, x_2\ X\-ում) այնպիսին է, որ \(x_1

Ֆունկցիան կոչվում է չնվազող

$\blacktriangleright$ Կանչվում է $f(x)$ ֆունկցիան նվազում է$X$ ինտերվալի վրա, եթե որևէ $x_1, x_2\ X\-ում) այնպիսին է, որ \(x_1 f(x_2)$ .

Ֆունկցիան կոչվում է չաճող$X$ ինտերվալի վրա, եթե որևէ \(x_1, x_2\ X\-ում) այնպիսին է, որ \(x_1

$\blacktriangleright$ Մեծացնող և նվազող ֆունկցիաները կոչվում են խիստ միապաղաղ, իսկ չաճողն ու չնվազողն ուղղակի միապաղաղ.

$\սև եռանկյունի$ Հիմնական հատկություններ.

Ի.Եթե $f(x)$ ֆունկցիան խիստ միատոն է $X$-ում, ապա $x_1=x_2$ ($x_1,x_2\ X\-ում) հավասարությունից հետևում է \(f( x_1)= f(x_2)$ և հակառակը:

Օրինակ՝ $f(x)=\sqrt x$ ֆունկցիան խստորեն մեծանում է բոլոր $x\in $-ի համար, հետևաբար $x^2=9$ հավասարումն ունի առավելագույնը մեկ լուծում այս միջակայքում, ավելի ճիշտ մեկ՝ $x=-3$ .

$f(x)=-\dfrac 1(x+1)$ ֆունկցիան խստորեն մեծանում է բոլոր $x\in (-1;+\infty)$ համար, ուստի $-\dfrac 1 հավասարումը (x +1)=0$ այս միջակայքում ունի ոչ ավելի, քան մեկ լուծում, ավելի ճիշտ՝ ոչ մեկը, քանի որ ձախ կողմի համարիչը երբեք չի կարող հավասար լինել զրոյի:

III.Եթե $f(x)$ ֆունկցիան չնվազող (չաճող) և շարունակական է  հատվածի վրա, իսկ հատվածի ծայրերում վերցնում է $f(a)= արժեքները: A, f(b)=B$ , ապա $C\in $ ($C\in $ )-ի համար $f(x)=C$ հավասարումը միշտ ունի առնվազն մեկ լուծում։

Օրինակ՝ $f(x)=x^3$ ֆունկցիան խիստ աճող է (այսինքն՝ խիստ միատոն) և շարունակական բոլոր $x\in\mathbb(R)$ համար, հետևաբար ցանկացած $C$ համար: ( -\infty;+\infty)\) հավասարումը $x^3=C$ ունի ճիշտ մեկ լուծում՝ $x=\sqrt(C)$ .

Առաջադրանք 1 #3153

Առաջադրանքի մակարդակը՝ ավելի հեշտ, քան միասնական պետական քննությունը

ուղիղ երկու արմատ ունի.

Եկեք վերաշարադրենք հավասարումը հետևյալ կերպ. \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]Դիտարկենք $f(t)=t^3+t$ ֆունկցիան: Այնուհետև հավասարումը կվերագրվի հետևյալ ձևով՝ $f(t)$ ֆունկցիան ուսումնասիրենք։ \ Հետևաբար, $f(t)$ ֆունկցիան մեծանում է բոլոր $t$-ի համար: Սա նշանակում է, որ $f(t)$ ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է $t$ արգումենտի ճիշտ մեկ արժեքին: Այսպիսով, որպեսզի հավասարումը արմատներ ունենա, անհրաժեշտ է. \ Որպեսզի ստացված հավասարումը ունենա երկու արմատ, դրա տարբերակիչը պետք է լինի դրական. \

Պատասխան.

$\ ձախ (-\infty;\dfrac1(12)\աջ)$

Առաջադրանք 2 #2653

Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը

Գտեք $a$ պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնց համար նախատեսված է հավասարումը \

երկու արմատ ունի.

(Առաջադրանք բաժանորդներից):

Կատարենք փոխարինում՝ $ax^2-2x=t$ , $x^2-1=u$ ։ Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը. \ Դիտարկենք $f(w)=7^w+\sqrtw$ ֆունկցիան: Այնուհետև մեր հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.

Գտնենք ածանցյալը \ Նկատի ունեցեք, որ բոլոր $w\ne 0$-ի համար ածանցյալը $f"(w)>0$ է, քանի որ $7^w>0$ , $w^6>0$ է: որ $f(w)$ ֆունկցիան ինքնին սահմանված է բոլոր $w$ համար: Բացի այդ, $f(w)$-ը շարունակական է, կարող ենք եզրակացնել, որ $f (w)$ աճում է ամբողջությամբ $\mathbb(R)$ .
Սա նշանակում է, որ $f(t)=f(u)$ հավասարությունը հնարավոր է, եթե և միայն եթե $t=u$ . Եկեք վերադառնանք սկզբնական փոփոխականներին և լուծենք ստացված հավասարումը.

\ Որպեսզի այս հավասարումը ունենա երկու արմատ, այն պետք է լինի քառակուսի, և դրա տարբերակիչը պետք է լինի դրական.

\[\սկիզբ(դեպքեր) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(դեպքեր) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Պատասխան.

$(-\infty;1)\բաժակ(1;2)$

Առաջադրանք 3 #3921

Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը

Գտեք $a$ պարամետրի բոլոր դրական արժեքները, որոնց համար նախատեսված է հավասարումը

ունի առնվազն $2$ լուծում:

Եկեք $ax$ պարունակող բոլոր տերմինները տեղափոխենք ձախ, իսկ $x^2$ պարունակող տերմինները աջ և դիտարկենք ֆունկցիան։
\

Այնուհետև սկզբնական հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
\

Գտնենք ածանցյալը.
\

Որովհետեւ $(t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0$, ապա $f"(t)\geqslant 0$ ցանկացած $t\in \mathbb(R)$ համար:

Ավելին, $f"(t)=0$ եթե $(t-2)^2=0$ և $1+\cos(2t)=0$ միաժամանակ, ինչը ճիշտ չէ ցանկացած \ (t\) համար: Հետևաբար, $f"(t)> 0$ ցանկացած $t\in \mathbb(R)$ համար:

Այսպիսով, $f(t)$ ֆունկցիան խստորեն մեծանում է բոլոր $t\in \mathbb(R)$ համար:

Սա նշանակում է, որ $f(ax)=f(x^2)$ հավասարումը համարժեք է $ax=x^2$ հավասարմանը:

$x^2-ax=0$ հավասարումը $a=0$-ի համար ունի մեկ արմատ $x=0$, իսկ $a\ne 0$-ի համար՝ երկու. տարբեր արմատներ$x_1=0$ և $x_2=a$ .
Մենք պետք է գտնենք $a$ արժեքները, որոնց դեպքում հավասարումը կունենա առնվազն երկու արմատ՝ հաշվի առնելով նաև այն փաստը, որ $a>0$ .
Հետևաբար, պատասխանն է՝ $a\in (0;+\infty)$ .

Պատասխան.

$(0;+\infty)$ .

Առաջադրանք 4 #1232

Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը

Գտեք $a$ պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումը \

ունի յուրահատուկ լուծում.

Եկեք հավասարման աջ և ձախ կողմերը բազմապատկենք $2^(\sqrt(x+1))$-ով (քանի որ $2^(\sqrt(x+1))>0$ ) և վերաշարադրենք հավասարումը. ձևով. \

Դիտարկենք գործառույթը $y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))$$t\geqslant 0$-ի համար (քանի որ $\sqrt(x+1)\geqslant 0$):

Ածանցյալ $y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\աջ)$.

Որովհետեւ $2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0$բոլորի համար $t\geqslant 0$ , ապա $y"<0$ при всех $t\geqslant 0$ .

Հետևաբար, քանի որ $t\geqslant 0$ $y$ ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է։

Հավասարումը կարելի է դիտարկել $y(t)=y(z)$ ձևով, որտեղ $z=ax, t=\sqrt(x+1)$ . Ֆունկցիայի միապաղաղությունից հետևում է, որ հավասարությունը հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե $t=z$ .

Սա նշանակում է, որ հավասարումը համարժեք է $ax=\sqrt(x+1)$ հավասարմանը, որն իր հերթին համարժեք է համակարգին. \[\սկիզբ(դեպքեր) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(դեպքեր)\]

Երբ $a=0$ համակարգը ունի մեկ լուծում $x=-1$, որը բավարարում է $ax\geqslant 0$ պայմանը:

Դիտարկենք $a\ne 0$ դեպքը: $D=1+4a^2>0$ համակարգի առաջին հավասարման տարբերակիչ բոլոր $a$-ի համար: Հետևաբար, հավասարումը միշտ ունի երկու արմատ $x_1$ և $x_2$, և դրանք տարբեր նշաններ ունեն (քանի որ Վիետայի թեորեմի համաձայն. $x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0$ ).

Սա նշանակում է, որ $ա<0$ условию $ax\geqslant 0$ подходит отрицательный корень, при $a>0$ պայմանը բավարարված է դրական արմատով. Ուստի համակարգը միշտ ունի յուրահատուկ լուծում։

Այսպիսով, $a\in \mathbb(R)$ .

Պատասխան.

$a\in \mathbb(R)$ .

Առաջադրանք 5 #1234

Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը

Գտեք $a$ պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումը \

ունի առնվազն մեկ արմատ $[-1;0]$ հատվածից:

Դիտարկենք գործառույթը $f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3$որոշ ֆիքսված $ա$ համար: Գտնենք դրա ածանցյալը. $f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)$.

Նկատի ունեցեք, որ $f"(x)\geqslant 0$ $x$ և $a$ բոլոր արժեքների համար և հավասար է $0$-ին միայն $x=a=1-ի համար): $ Բայց $a=1$-ի համար.
$f"(x)=6(x-1)^2 \Աջ սլաք f(x)=2(x-1)^3 \Աջ սլաք$$2(x-1)^3=0$ հավասարումը ունի մեկ արմատ $x=1$, որը չի բավարարում պայմանին։ Հետևաբար, $a$-ը չի կարող հավասար լինել $1$-ին:

Սա նշանակում է, որ բոլորի համար $a\ne 1$ ֆունկցիան $f(x)$ խիստ մեծանում է, հետևաբար $f(x)=0$ հավասարումը կարող է ունենալ ոչ ավելի, քան մեկ արմատ։ Հաշվի առնելով խորանարդ ֆունկցիայի հատկությունները, $f(x)$ որոշ ֆիքսված $a$-ի գրաֆիկը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սա նշանակում է, որ որպեսզի հավասարումը \([-1;0]\ հատվածից արմատ ունենա), անհրաժեշտ է. \[\սկիզբ(դեպքեր) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Այսպիսով, $a\in [-2;0]$ .

Պատասխան.

$a\in [-2;0]$ .

Առաջադրանք 6 #2949

Առաջադրանքի մակարդակը՝ Հավասար պետական միասնական քննությանը

Գտեք $a$ պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումը \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

արմատներ ունի.

(Առաջադրանք բաժանորդներից)

ODZ հավասարումներ. $2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Ձախ աջ սլաք\քառատ x\in $. Հետևաբար, որպեսզի հավասարումը արմատներ ունենա, անհրաժեշտ է, որ հավասարումներից գոնե մեկը \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(կամ)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\]որոշումներ ուներ ՕՁ-ի վերաբերյալ։

1) Դիտարկենք առաջին հավասարումը \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \ձախ[\սկիզբ (հավաքված)\սկիզբ (հավասարեցված) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(հավասարեցված) \end(հավաքված)\աջ. \quad\Ձախ աջ սլաք\քվադ \sin x=2a+2\]Այս հավասարումը պետք է արմատներ ունենա -ում: Դիտարկենք շրջան.

Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ ցանկացած $2a+2\in [\sin 0;\sin 1]$ հավասարումը կունենա մեկ լուծում, իսկ մնացած բոլորի համար այն լուծումներ չի ունենա: Հետեւաբար, երբ $a\in \ձախ[-1;-1+\sin 1\աջ]$հավասարումն ունի լուծումներ.

2) Դիտարկենք երկրորդ հավասարումը \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Ձախ աջ սլաք\քառասուն 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Դիտարկենք $f(x)=8x\sqrt(x-x^2)$ ֆունկցիան: Գտնենք դրա ածանցյալը. \ ODZ-ում ածանցյալն ունի մեկ զրո՝ $x=\frac34$ , որը նաև $f(x)$ ֆունկցիայի առավելագույն կետն է։
Նկատի ունեցեք, որ $f(0)=f(1)=0$ . Այսպիսով, սխեմատիկորեն գրաֆիկը $f(x)$ ունի հետևյալ տեսքը.

Ուստի, որպեսզի հավասարումը լուծումներ ունենա, անհրաժեշտ է, որ $f(x)$ գրաֆիկը հատվի $y=-a$ ուղիղ գծի հետ (նկարում ներկայացված է հարմար տարբերակներից մեկը)։ Այսինքն՝ դա անհրաժեշտ է \ . Այս $x$-ի համար.

$y_1=\sqrt(x-1)$ ֆունկցիան խիստ մեծանում է: $y_2=5x^2-9x$ ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է, որի գագաթը գտնվում է $x=\dfrac(9)(10)$ կետում։ Հետևաբար, բոլոր $x\geqslant 1$ համար $y_2$ ֆունկցիան նույնպես խիստ մեծանում է (պարաբոլայի աջ ճյուղը)։ Որովհետեւ խիստ աճող ֆունկցիաների գումարը խիստ մեծանում է, ապա $f_a(x)$ խիստ մեծանում է ($3a+8$ հաստատունը չի ազդում ֆունկցիայի միապաղաղության վրա)։

$g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)$ ֆունկցիան բոլոր $x\geqslant 1$-ի համար ներկայացնում է հիպերբոլայի աջ ճյուղի մի մասը և խիստ նվազող է:

Լուծել $f_a(x)=g_a(x)$ հավասարումը նշանակում է գտնել $f$ և $g$ ֆունկցիաների հատման կետերը: Նրանց հակադիր միապաղաղությունից հետևում է, որ հավասարումը կարող է ունենալ առավելագույնը մեկ արմատ։

Երբ $x\geqslant 1$ \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Այսպիսով, հավասարումը կունենա եզակի լուծում, եթե.

\\ բաժակ

Պատասխան.

\(a\in (-\infty;-1]\բաժակ , սահմանափակ է այս հատվածում;

· Աճող (նվազող) ֆունկցիաների գումարը աճող (նվազող) ֆունկցիա է.

· եթե գործառույթը զմեծանում (նվազում) և n– կենտ թիվ, այն նաև մեծանում է (նվազում);

· Եթե f"(x)>0բոլորի համար xՕ(a,b),ապա ֆունկցիան y=f(x)ընդմիջումով ավելանում է (ա, բ);

· Եթե f"(x)<0 բոլորի համար xՕ(a,b),ապա ֆունկցիան y=f(x)ընդմիջումով նվազում է (ա, բ);

· Եթե f(x) –շարունակական և միապաղաղ ֆունկցիա հավաքածուի վրա X, ապա հավասարումը f(x)=C, Որտեղ ՀԵՏ– այս հաստատունը կարող է ունենալ Xոչ ավելի, քան մեկ լուծում;

· եթե հավասարման սահմանման տիրույթում f(x)=g(x)ֆունկցիան f(x)մեծանում է, իսկ ֆունկցիան g(x)նվազում է, ապա հավասարումը չի կարող ունենալ մեկից ավելի լուծում:

Թեորեմ. (բավարար պայման է ֆունկցիայի միապաղաղության համար): Եթե հատվածի վրա շարունակական է [ ա, բ] ֆունկցիան y = f(X) ընդմիջման յուրաքանչյուր կետում ( ա, բ) ունի դրական (բացասական) ածանցյալ, ապա այս ֆունկցիան մեծանում (նվազում է) միջակայքում [ ա, բ].

Ապացույց. Թող >0 բոլորի համար xՕ(ա, բ). Դիտարկենք երկու կամայական արժեք x 2 > x 1,պատկանող [ ա, բ]. Ըստ Լագրանժի բանաձեւի x 1<с < х 2 . (Հետ) > 0 Եվ x 2 – x 1 > 0, հետևաբար > 0, որտեղից > , այսինքն, f(x) ֆունկցիան մեծանում է [ ինտերվալի վրա ա, բ]. Նույն կերպ ապացուցված է թեորեմի երկրորդ մասը։

Թեորեմ 3. (գործառույթի ծայրահեղության առկայության անհրաժեշտ նշան). Եթե c կետում դիֆերենցիալ ֆունկցիան ժամը=զ(X) այս պահին ծայրահեղություն ունի, ապա .

Ապացույց. Եկեք, օրինակ, գործառույթը ժամը= զ(Xգ) կետում առավելագույնն ունի. Սա նշանակում է, որ c կետի ծակված հարևանություն կա այնպես, որ բոլոր կետերի համար xայս թաղամասը գոհ է զ(x) < f (գ), այն է զ(գ) այս թաղամասի ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքն է: Հետո Ֆերմայի թեորեմով.

Նույն կերպ ապացուցված է նվազագույնի դեպքը c կետում։

Մեկնաբանություն. Ֆունկցիան կարող է ծայրահեղություն ունենալ այն կետում, որտեղ նրա ածանցյալը գոյություն չունի: Օրինակ, ֆունկցիան x կետում ունի նվազագույնը = 0, չնայած այն գոյություն չունի: Այն կետերը, որոնցում ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է կամ գոյություն չունի, կոչվում են ֆունկցիայի կրիտիկական կետեր։ Այնուամենայնիվ, գործառույթը չունի ծայրահեղություն բոլոր կրիտիկական կետերում: Օրինակ՝ ֆունկցիան y = x 3չունի ծայրահեղություններ, թեև դրա ածանցյալը =0.

Թեորեմ 4. (բավարար նշան էքստրեմումի առկայության). Եթե շարունակական գործառույթ y = f(x) ունի ածանցյալ որոշակի միջակայքի բոլոր կետերում, որը պարունակում է C կրիտիկական կետը (բացառությամբ, հավանաբար, հենց այս կետի), և եթե ածանցյալը, երբ արգումենտը ձախից աջ անցնում է C կրիտիկական կետով, նշանը փոխում է գումարածից։ դեպի մինուս, ապա C կետի ֆունկցիան ունի առավելագույնը, իսկ երբ նշանը մինուսից փոխվում է պլյուսի, նվազագույնը։

Ապացույց. Թող c-ն լինի կրիտիկական կետ և թող, օրինակ, երբ արգումենտն անցնում է c կետով, նշանը փոխում է գումարածից մինուսի: Սա նշանակում է, որ որոշակի ընդմիջումով (c–e; c)ֆունկցիան մեծանում է, իսկ ընդմիջման վրա (c; c+e)- նվազում է (ժամ ե>0): Հետևաբար, c կետում ֆունկցիան ունի առավելագույնը։ Նվազագույնի դեպքն ապացուցվում է նույն կերպ։

Մեկնաբանություն. Եթե ածանցյալը չի փոխում նշանը, երբ արգումենտն անցնում է կրիտիկական կետով, ապա այս կետի ֆունկցիան ծայրահեղություն չունի։

Քանի որ մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի համար սահմանի և շարունակականության սահմանումները գործնականում համընկնում են մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի համապատասխան սահմանումների հետ, ապա մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների համար պահպանվում են սահմանների և շարունակական ֆունկցիաների բոլոր հատկությունները։

©2015-2019 կայք
Բոլոր իրավունքները պատկանում են դրանց հեղինակներին: Այս կայքը չի հավակնում հեղինակության, այլ տրամադրում է անվճար օգտագործումը.
Էջի ստեղծման ամսաթիվը՝ 2016-02-12

Միալար ֆունկցիայի սահմանի թեորեմ. Թեորեմի ապացույցը տրվում է երկու մեթոդով. Տրված են նաև խիստ աճող, չնվազող, խիստ նվազող և չաճող ֆունկցիաների սահմանումներ։ Միապաղաղ ֆունկցիայի սահմանում.

Սահմանումներ

Աճող և նվազող ֆունկցիաների սահմանումներ
Թող ֆունկցիան f (x)սահմանվում է X իրական թվերի որոշ բազմության վրա:
Ֆունկցիան կոչվում է խիստ աճող (խիստ նվազում), եթե բոլորի համար x′, x′′ ∈ Xայնպիսին, որ x′< x′′ выполняется неравенство:
զ (x′)< f(x′′) (զ (x′) > f(x′′) ) .
Ֆունկցիան կոչվում է չնվազող (չաճող), եթե բոլորի համար x′, x′′ ∈ Xայնպիսին, որ x′< x′′ выполняется неравенство:
զ (x′) ≤ f(x′′)(զ (x′) ≥ f(x′′) ) .

Դրանից բխում է, որ խիստ աճող ֆունկցիան նույնպես չի նվազում։ Խիստ նվազող ֆունկցիան նույնպես չաճող է։

Միապաղաղ ֆունկցիայի սահմանում
Ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղ, եթե այն չի նվազում կամ չի աճում։

Որոշակի X բազմության վրա ֆունկցիայի միապաղաղությունն ուսումնասիրելու համար հարկավոր է գտնել դրա արժեքների տարբերությունը այս բազմությանը պատկանող երկու կամայական կետերում: Եթե , ապա ֆունկցիան խիստ մեծանում է. եթե , ապա ֆունկցիան չի նվազում; եթե , ապա խստորեն նվազում է; եթե , ապա այն չի ավելանում։

Եթե որոշակի բազմության վրա ֆունկցիան դրական է․ Եթե , ապա ֆունկցիան խիստ մեծանում է. եթե , ապա ֆունկցիան չի նվազում; եթե , ապա խստորեն նվազում է; եթե , ապա այն չի ավելանում։

Թեորեմ
Թող ֆունկցիան f (x)միջակայքում չի նվազում (ա, բ), Որտեղ.
Եթե այն վերևում սահմանափակված է M: թվով, ապա b: կետում կա վերջավոր ձախ սահման: Եթե զ (x)ի վերևից չի սահմանափակվում, ուրեմն .
Եթե զ (x)ներքևում սահմանափակված է m թվով, ապա a կետում կա վերջավոր աջ սահման: Եթե զ (x)չի սահմանափակվում ստորև, ապա .

Եթե a և b կետերը գտնվում են անվերջության վրա, ապա արտահայտություններում սահմանային նշանները նշանակում են, որ .
Այս թեորեմը կարելի է ավելի կոմպակտ ձևակերպել։

Թող ֆունկցիան f (x)միջակայքում չի նվազում (ա, բ), Որտեղ. Այնուհետև a և b կետերում կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Նմանատիպ թեորեմ չաճող ֆունկցիայի համար։

Թող ֆունկցիան չմեծանա այն միջակայքում, որտեղ . Այնուհետև կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Հետևանք
Թող ֆունկցիան լինի միապաղաղ միջակայքում: Այնուհետև այս միջակայքից ցանկացած կետում կան ֆունկցիայի միակողմանի վերջավոր սահմաններ.
Եվ .

Թեորեմի ապացույց

Գործառույթը չի նվազում

բ - վերջնական համարը

Գործառույթը սահմանափակված է վերևից

1.1.1. Թող ֆունկցիան վերևից սահմանափակվի M թվով:

.
;
.

Քանի որ ֆունկցիան չի նվազում, ապա երբ . Հետո
ժամը .
Փոխակերպենք վերջին անհավասարությունը.
;
;
.
Որովհետև, ուրեմն. Հետո
ժամը .

ժամը .
«Ֆունկցիայի միակողմանի սահմանների սահմանումները վերջնակետում»):

Գործառույթը չի սահմանափակվում վերեւից

1. Թող ֆունկցիան չնվազի միջակայքում:
1.1. Թող b թիվը լինի վերջավոր.
1.1.2. Թող ֆունկցիան վերևում չսահմանափակվի:
Փաստենք, որ այս դեպքում սահման կա։

ժամը .

Նշենք. Ապա որեւէ մեկի համար կա, այնպես որ
ժամը .
Սա նշանակում է, որ b կետում ձախ կողմի սահմանն է (տե՛ս «Ֆունկցիայի միակողմանի անսահման սահմանների սահմանումները վերջնակետում»):

b վաղ գումարած անսահմանություն

Գործառույթը սահմանափակված է վերևից

1. Թող ֆունկցիան չնվազի միջակայքում:
1.2.1. Թող ֆունկցիան վերևից սահմանափակվի M թվով:
Փաստենք, որ այս դեպքում սահման կա։

Քանի որ ֆունկցիան սահմանափակված է վերևում, կա վերջավոր գերակայություն
.
Ճշգրիտ վերին սահմանի սահմանման համաձայն. հետևյալ պայմանները:
;
ցանկացած դրականի համար կա փաստարկ, որի համար
.

Քանի որ ֆունկցիան չի նվազում, ապա երբ . Այնուհետև ժամը. Կամ
ժամը .

Այսպիսով, մենք գտանք, որ ցանկացած մեկի համար կա մի թիվ, այնպես որ
ժամը .
«Միակողմանի սահմանների սահմանումներ անսահմանության մեջ»):

Գործառույթը չի սահմանափակվում վերեւից

1. Թող ֆունկցիան չնվազի միջակայքում:
1.2. Թող b թիվը հավասար լինի գումարած անվերջությանը.
1.2.2. Թող ֆունկցիան վերևում սահմանափակված չլինի:
Փաստենք, որ այս դեպքում սահման կա։

Քանի որ ֆունկցիան վերևում սահմանափակված չէ, ուրեմն ցանկացած M թվի համար կա փաստարկ, որի համար
.

Քանի որ ֆունկցիան չի նվազում, ապա երբ . Այնուհետև ժամը.

Այսպիսով, ցանկացածի համար կա մի թիվ, այնպես որ
ժամը .
Սա նշանակում է, որ սահմանը at հավասար է (տես «Միակողմանի անսահման սահմանների սահմանումները անսահմանության մեջ»):

Ֆունկցիան չի ավելանում

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ ֆունկցիան չի ավելանում։ Դուք կարող եք, ինչպես վերևում, յուրաքանչյուր տարբերակ դիտարկել առանձին: Բայց մենք անմիջապես կծածկենք դրանք: Դրա համար մենք օգտագործում ենք. Փաստենք, որ այս դեպքում սահման կա։

Դիտարկենք ֆունկցիայի արժեքների բազմության վերջավոր ինֆիմումը.
.
Այստեղ B-ն կարող է լինել կա՛մ վերջավոր թիվ, կա՛մ անվերջության կետ: Ճշգրիտ ստորին սահմանի սահմանման համաձայն՝ բավարարվում են հետևյալ պայմանները.
;
B կետի ցանկացած հարևանության համար կա փաստարկ, որի համար
.
Ըստ թեորեմի պայմանների՝ . Ահա թե ինչու .

Քանի որ ֆունկցիան չի մեծանում, ապա երբ . Այդ ժամանակվանից
ժամը .
Կամ
ժամը .
Հաջորդը, մենք նշում ենք, որ անհավասարությունը սահմանում է b կետի ձախ ծակված հարևանությունը:

Այսպիսով, մենք գտանք, որ կետի ցանկացած հարևանությամբ կա b կետի ձախ եզրագիծ, այնպես որ
ժամը .
Սա նշանակում է, որ b կետում ձախ կողմի սահմանը հետևյալն է.

(տե՛ս ֆունկցիայի սահմանի համընդհանուր սահմանումը ըստ Քոշիի)։

Սահմանը ա կետում

Այժմ մենք ցույց կտանք, որ a կետում սահման կա և կգտնենք դրա արժեքը:

Դիտարկենք գործառույթը. Ըստ թեորեմի պայմանների՝ ֆունկցիան միապաղաղ է . Փոխարինենք x փոփոխականը - x-ով (կամ կատարենք փոխարինում և հետո t փոփոխականը փոխարինենք x-ով): Այնուհետև ֆունկցիան միապաղաղ է . Անհավասարությունները բազմապատկելով -1 և փոխելով դրանց հերթականությունը՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ ֆունկցիան միապաղաղ է .

Նմանապես հեշտ է ցույց տալ, որ եթե չի նվազում, ուրեմն չի ավելանում։ Հետո, ըստ վերը ապացուցվածի, սահման կա
.
Եթե չի ավելանում, չի նվազում։ Այս դեպքում կա սահմանափակում
.

Այժմ մնում է ցույց տալ, որ եթե կա ֆունկցիայի սահմանը ժամը , ապա կա ֆունկցիայի սահմանը ժամը , և այս սահմանները հավասար են.
.

Ներկայացնենք նշումը.
(1) .
F արտահայտենք g-ով.
.
Վերցնենք կամայական դրական թիվ։ Թող լինի Ա կետի էպսիլոնային հարևանություն։ Էպսիլոնի հարևանությունը սահմանվում է A-ի և վերջավոր և անվերջ արժեքների համար (տես «Կետի հարևանություն»): Քանի որ կա սահման (1), ուրեմն, ըստ սահմանի սահմանման, ցանկացածի համար գոյություն ունի այնպիսին, որ
ժամը .

Թող a լինի վերջավոր թիվ: Եկեք արտահայտենք -a կետի ձախ ծակված հարևանությունը՝ օգտագործելով անհավասարությունները.
ժամը .
x-ը փոխարինենք -x-ով և հաշվի առնենք, որ.
ժամը .
Վերջին երկու անհավասարությունները սահմանում են a կետի ծակված աջ հարևանությունը: Հետո
ժամը .

Թող a-ն լինի անվերջ թիվ, . Մենք կրկնում ենք պատճառաբանությունը.
ժամը ;
ժամը ;
ժամը ;
ժամը .

Այսպիսով, մենք գտանք, որ ցանկացածի համար կա այդպիսին
ժամը .
Դա նշանակում է որ
.

Թեորեմն ապացուցված է.

Դաս և ներկայացում հանրահաշիվից 10-րդ դասարանում «Ֆունկցիայի հետազոտություն միապաղաղության համար. Հետազոտության ալգորիթմ» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ձեռնարկներ և սիմուլյատորներ Integral առցանց խանութում 10-րդ դասարանի համար 1C-ից
Հանրահաշվական խնդիրներ պարամետրերով, 9–11 դասարաններ
Ծրագրային միջավայր «1C: Mathematical Constructor 6.1»

Այն, ինչ մենք կուսումնասիրենք.
1. Նվազող և մեծացնող ֆունկցիաներ.
2. Գործառույթի ածանցյալի և միապաղաղության կապը:
3. Երկու կարևոր թեորեմ միապաղաղության մասին.
4. Օրինակներ.

Տղերք, ավելի վաղ մենք շատ բան նայեցինք տարբեր գործառույթներև կառուցեցին դրանց գրաֆիկները: Հիմա եկեք ներմուծենք նոր կանոններ, որոնք գործում են բոլոր այն գործառույթների համար, որոնք մենք դիտարկել ենք և կշարունակենք դիտարկել:

Գործառույթների նվազում և ավելացում

Դիտարկենք ֆունկցիաների մեծացման և նվազման հայեցակարգը: Տղերք, ինչ է գործառույթը:

Ֆունկցիան y= f(x) համապատասխանությունն է, որտեղ x-ի յուրաքանչյուր արժեք կապված է y-ի մեկ արժեքի հետ:

Դիտարկենք մի քանի ֆունկցիայի գրաֆիկը.

Մեր գրաֆիկը ցույց է տալիս՝ որքան մեծ է x, այնքան փոքր է y: Այսպիսով, եկեք սահմանենք նվազող ֆունկցիա: Ֆունկցիան կոչվում է նվազող, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին:

Եթե x2 > x1, ապա f(x2) Այժմ նայենք այս ֆունկցիայի գրաֆիկին.
Այս գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ որքան մեծ է x, այնքան մեծ է y-ը: Այսպիսով, եկեք սահմանենք աճող ֆունկցիա: Ֆունկցիան կոչվում է աճող, եթե արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին:
Եթե x2 > x1, ապա f(x2 > f(x1) կամ՝ որքան մեծ է x, այնքան մեծ է y:

Եթե ֆունկցիան որոշակի ընդմիջումով մեծանում կամ նվազում է, ապա ասում են այն միապաղաղ է այս միջակայքում.

Գործառույթի ածանցյալի և միապաղաղության կապը

Տղերք, հիմա եկեք մտածենք, թե ինչպես կարող եք կիրառել ածանցյալ հասկացությունը ֆունկցիայի գրաֆիկներն ուսումնասիրելիս: Եկեք գծենք աճող դիֆերենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ և գծենք մեր գրաֆիկին մի քանի շոշափող:

Եթե նայեք մեր շոշափողներին կամ տեսողականորեն գծեք որևէ այլ շոշափող, ապա կնկատեք, որ շոշափողի և x առանցքի դրական ուղղության անկյունը սուր կլինի: Սա նշանակում է, որ շոշափողը դրական թեքություն ունի։ Շոշափող թեքություն արժեքին հավասարածանցյալ շոշափման կետի աբսցիսայում։ Այսպիսով, ածանցյալի արժեքը դրական է մեր գրաֆիկի բոլոր կետերում: Աճող ֆունկցիայի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը՝ f"(x) ≥ 0, x ցանկացած կետի համար:

Տղերք, հիմա եկեք նայենք որոշ նվազող ֆունկցիայի գրաֆիկին և կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողներ:

Եկեք նայենք շոշափողներին և տեսողականորեն գծենք ցանկացած այլ շոշափող: Կնկատենք, որ շոշափողի և x առանցքի դրական ուղղության անկյունը բութ է, ինչը նշանակում է, որ շոշափողն ունի բացասական թեքություն։ Այսպիսով, ածանցյալի արժեքը բացասական է մեր գրաֆիկի բոլոր կետերում: Նվազող ֆունկցիայի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը՝ f"(x) ≤ 0, x ցանկացած կետի համար:

Այսպիսով, ֆունկցիայի միապաղաղությունը կախված է ածանցյալի նշանից.

Եթե ֆունկցիան մեծանում է ինտերվալի վրա և ունի ածանցյալ այս միջակայքում, ապա այս ածանցյալը բացասական չի լինի:

Եթե ֆունկցիան ինտերվալի վրա նվազում է և այս ինտերվալի վրա ունի ածանցյալ, ապա այս ածանցյալը դրական չի լինի:

Կարևոր, որպեսզի այն ինտերվալները, որոնց վրա մենք դիտարկում ենք ֆունկցիան, բաց են։

Միապաղաղության երկու կարևոր թեորեմ

Թեորեմ 1. Եթե f'(x) ≥ 0 անհավասարությունը գործում է X բաց միջակայքի բոլոր կետերում (և ածանցյալի հավասարությունը զրոյին կա՛մ չի գործում, կա՛մ պահպանվում է, այլ միայն վերջավոր կետերի վրա), ապա y= f(x) ֆունկցիան մեծանում է X միջակայքում:

Թեորեմ 2. Եթե f'(x) ≤ 0 անհավասարությունը գործում է X բաց միջակայքի բոլոր կետերում (և ածանցյալի հավասարությունը զրոյին կա՛մ չի գործում, կա՛մ պահպանվում է, այլ միայն վերջավոր միավորների վրա), ապա y= f(x) ֆունկցիան նվազում է X միջակայքում:

Թեորեմ 3. Եթե բաց միջակայքի բոլոր կետերում X հավասարությունը
f’(x)= 0, ապա y= f(x) ֆունկցիան հաստատուն է այս միջակայքում։

Միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրության օրինակներ

1) Ապացուցեք, որ y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ թվային տողի վրա։

Լուծում. Գտնենք մեր ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Քանի որ x-ի աստիճանը զույգ է, ուրեմն. հզորության գործառույթընդունում է միայն դրական արժեքներ: Այնուհետև y" > 0 ցանկացած x-ի համար, ինչը նշանակում է, թեորեմ 1-ով մեր ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ թվային տողի վրա:

2) Ապացուցեք, որ ֆունկցիան նվազող է՝ y= sin(2x) - 3x:

Գտնենք մեր ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"= 2cos(2x) - 3:
Եկեք լուծենք անհավասարությունը.
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Որովհետեւ -1 ≤ cos(x) ≤ 1, ինչը նշանակում է, որ մեր անհավասարությունը բավարարված է ցանկացած x-ի համար, ապա թեորեմ 2-ով y= sin(2x) - 3x ֆունկցիան նվազում է:

3) Քննեք ֆունկցիայի միապաղաղությունը՝ y= x 2 + 3x - 1:

Լուծում. Գտնենք մեր ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"= 2x + 3:
Եկեք լուծենք անհավասարությունը.
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Այնուհետև մեր ֆունկցիան մեծանում է x ≥ -3/2-ի համար, և նվազում է x ≤ -3/2-ով:
Պատասխան՝ x ≥ -3/2-ի դեպքում ֆունկցիան մեծանում է, x ≤ -3/2-ի դեպքում ֆունկցիան նվազում է:

4) Քննեք ֆունկցիայի միապաղաղությունը՝ y= $\sqrt(3x - 1)$։

Լուծում. Գտնենք մեր ֆունկցիայի ածանցյալը՝ y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$:
Եկեք լուծենք անհավասարությունը՝ $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0:

Մեր անհավասարությունը մեծ է կամ հավասար է զրոյի.
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Եկեք լուծենք անհավասարությունը.
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0:
Բայց դա անհնար է, քանի որ Քառակուսի արմատսահմանվում է միայն դրական արտահայտությունների համար, ինչը նշանակում է, որ մեր ֆունկցիան չունի նվազող միջակայքեր:
Պատասխան՝ x ≥ 1/3-ի դեպքում ֆունկցիան մեծանում է:

Ինքնուրույն լուծելու խնդիրներ

ա) Ապացուցե՛ք, որ y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ թվային ուղիղով:
բ) Ապացուցեք, որ ֆունկցիան նվազող է՝ y= cos(5x) - 7x։
գ) Քննեք ֆունկցիայի միապաղաղությունը՝ y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5:
դ) Ուսումնասիրեք ֆունկցիայի միապաղաղությունը՝ y = $\frac(3x-1)(3x+1)$:

Ֆունկցիայի ավելացում, նվազում և ծայրահեղություն

Ֆունկցիայի ավելացման, նվազման և ծայրահեղության միջակայքերը գտնելը և՛ անկախ խնդիր է, և՛ այլ առաջադրանքների էական մաս, մասնավորապես. գործառույթի ամբողջական ուսումնասիրություն. Ֆունկցիայի ավելացման, նվազման և ծայրահեղության մասին նախնական տեղեկատվությունը տրված է տեսական գլուխ ածանցյալ, որը խիստ խորհուրդ եմ տալիս նախնական ուսումնասիրության համար (կամ կրկնություն)– նաև այն պատճառով, որ հետևյալ նյութը հիմնված է հենց դրա վրա ըստ էության ածանցյալ,լինելով այս հոդվածի ներդաշնակ շարունակությունը։ Թեև, եթե ժամանակը քիչ է, ապա հնարավոր է նաև այսօրվա դասից օրինակների զուտ ֆորմալ պրակտիկա։

Եվ այսօր օդում հազվագյուտ միաձայնության ոգին է, և ես կարող եմ ուղղակիորեն զգալ, որ բոլոր ներկաները այրվում են ցանկությունից. սովորել ուսումնասիրել ֆունկցիան՝ օգտագործելով դրա ածանցյալը. Հետևաբար, ձեր մոնիտորի էկրաններին անմիջապես հայտնվում է ողջամիտ, լավ, հավերժական տերմինաբանություն:

Ինչի համար? Պատճառներից մեկն առավել գործնականն է. որպեսզի պարզ լինի, թե ինչ է ձեզանից ընդհանուր առմամբ պահանջվում կոնկրետ առաջադրանքում!

Ֆունկցիայի միապաղաղություն. Ծայրահեղ կետերը և ֆունկցիայի ծայրահեղությունները

Դիտարկենք մի քանի գործառույթ. Պարզ ասած, մենք ենթադրում ենք, որ նա շարունակականամբողջ թվային տողի վրա.

Ամեն դեպքում, եկեք անմիջապես ձերբազատվենք հնարավոր պատրանքներից, հատկապես այն ընթերցողների համար, ովքեր վերջերս են ծանոթացել. ֆունկցիայի հաստատուն նշանի միջակայքերը. Հիմա մենք ՉԻ ՀԵՏԱՔՐՔՐՈՒՄ, թե ինչպես է ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում առանցքի նկատմամբ (վերևում, ներքևում, որտեղ առանցքի հատվում է): Համոզիչ լինելու համար մտովի ջնջեք առանցքները և թողեք մեկ գրաֆիկ։ Որովհետև հենց դրանում է հետաքրքրությունը:

Գործառույթ ավելանում էինտերվալի վրա, եթե այս ինտերվալի ցանկացած երկու կետի համար, որոնք կապված են հարաբերության հետ, անհավասարությունը ճշմարիտ է: Այսինքն՝ արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին, և դրա գրաֆիկը գնում է «ներքևից վեր»։ Ցուցադրման ֆունկցիան աճում է ընդմիջման ընթացքում:

Նմանապես, գործառույթը նվազում էինտերվալի վրա, եթե տրված միջակայքի ցանկացած երկու կետի համար, այնպես որ անհավասարությունը ճիշտ է: Այսինքն՝ արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին, և դրա գրաֆիկը գնում է «վերևից ներքև»: Մեր գործառույթը նվազում է ընդմիջումներով .

Եթե ֆունկցիան մեծանում կամ նվազում է որոշակի ընդմիջումով, ապա այն կոչվում է խիստ միապաղաղայս ընդմիջումով: Ի՞նչ է միապաղաղությունը: Ընդունեք բառացիորեն՝ միապաղաղություն:

Կարող եք նաև սահմանել չնվազողֆունկցիան (հանգիստ վիճակ առաջին սահմանման մեջ) և չաճողգործառույթը (փափկված վիճակ 2-րդ սահմանման մեջ): Ինտերվալի վրա չնվազող կամ չաճող ֆունկցիան կոչվում է միատոն ֆունկցիա տվյալ ինտերվալի վրա։ (խիստ միապաղաղություն - հատուկ դեպք«պարզապես» միապաղաղություն).

Տեսությունը դիտարկում է նաև ֆունկցիայի ավելացում/նվազում որոշելու այլ մոտեցումներ, այդ թվում՝ կիսինտերվալներով, հատվածներով, բայց որպեսզի ձեր գլխին նավթ-յուղ-յուղ չլցնենք, մենք կհամաձայնվենք գործել բաց ինտերվալներով՝ կատեգորիկ սահմանումներով։ - սա ավելի պարզ է, և շատ գործնական խնդիրներ լուծելու համար բավական է:

Այսպիսով, Իմ հոդվածներում գրեթե միշտ թաքնված է լինելու «գործառույթի միապաղաղություն» ձևակերպումը ընդմիջումներով խիստ միապաղաղություն (խիստ աճող կամ խիստ նվազող ֆունկցիա):

Մի կետի հարևանություն. Բառեր, որոնցից հետո ուսանողները փախչում են որտեղ կարող են և սարսափած թաքնվում անկյուններում: ...Թեեւ գրառումից հետո Կոշի սահմաններՆրանք, հավանաբար, այլևս չեն թաքնվում, այլ պարզապես մի փոքր դողում են =) Մի անհանգստացեք, հիմա թեորեմների որևէ ապացույց չի լինի մաթեմատիկական վերլուծություն– Ինձ պետք էր, որ շրջապատն ավելի խիստ ձևակերպի սահմանումներ ծայրահեղ կետեր. Հիշենք.

Մի կետի հարևանությունկոչվում է միջակայքը, որը պարունակում է այս կետը, մինչդեռ հարմարության համար միջակայքը հաճախ ենթադրվում է սիմետրիկ։ Օրինակ, կետը և դրա ստանդարտ հարևանությունը.

Փաստորեն, սահմանումները.

Կետը կոչվում է խիստ առավելագույն կետ, Եթե գոյություն ունինրա հարևանությունը, բոլորի համարորոնց արժեքները, բացի բուն կետից, անհավասարությունը: Մեր կոնկրետ օրինակում սա կետ է:

Կետը կոչվում է խիստ նվազագույն կետ, Եթե գոյություն ունինրա հարևանությունը, բոլորի համարորոնց արժեքները, բացի բուն կետից, անհավասարությունը: Նկարում կա «ա» կետը:

Նշում Հարևանության համաչափության պահանջն ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ: Բացի այդ, դա կարևոր է գոյության փաստըհարևանություն (լինի փոքր, թե մանրադիտակային), որը բավարարում է նշված պայմաններին

Կետերը կոչվում են խիստ ծայրահեղ կետերկամ պարզապես ծայրահեղ կետերգործառույթները։ Այսինքն՝ դա առավելագույն միավորների և նվազագույն միավորների ընդհանրացված տերմին է։

Ինչպե՞ս ենք հասկանում «ծայրահեղ» բառը: Այո, նույնքան ուղղակի, որքան միապաղաղությունը։ Roller coasters-ի ծայրահեղ կետերը.

Ինչպես միապաղաղության դեպքում, ազատ պոստուլատները գոյություն ունեն և նույնիսկ ավելի տարածված են տեսականորեն (որոնք, իհարկե, համարվում են խիստ դեպքերը ընկնում են!):

Կետը կոչվում է առավելագույն միավոր, Եթե գոյություն ունինրա շրջապատն այնպիսին է, որ բոլորի համար
Կետը կոչվում է նվազագույն միավոր, Եթե գոյություն ունինրա շրջապատն այնպիսին է, որ բոլորի համարայս հարևանության արժեքները, անհավասարությունը պահպանվում է:

Նկատի ունեցեք, որ ըստ վերջին երկու սահմանումների՝ հաստատուն ֆունկցիայի ցանկացած կետ (կամ ֆունկցիայի «հարթ հատված») համարվում է և՛ առավելագույն, և՛ նվազագույն կետ: Ֆունկցիան, ի դեպ, և՛ չաճող է, և՛ չնվազող, այսինքն՝ միապաղաղ։ Այնուամենայնիվ, մենք այս նկատառումները կթողնենք տեսաբաններին, քանի որ գործնականում մենք գրեթե միշտ խորհրդածում ենք ավանդական «բլուրների» և «խոռոչների» (տե՛ս նկարը) յուրահատուկ «բլրի թագավորի» կամ «ճահճի արքայադստեր» հետ։ Որպես բազմազանություն, այն առաջանում է հուշում, ուղղված վեր կամ վար, օրինակ՝ կետի ֆունկցիայի նվազագույնը։

Օ, և խոսելով թագավորական ընտանիքի մասին.
- իմաստը կոչվում է առավելագույնըգործառույթներ;
- իմաստը կոչվում է նվազագույնըգործառույթները։

Ընդհանուր անուն – ծայրահեղություններգործառույթները։

Խնդրում եմ զգույշ եղեք ձեր խոսքերից:

Էքստրեմալ կետեր- սրանք «X» արժեքներն են:
Ծայրահեղություններ- «խաղ» իմաստները.

! Նշում Երբեմն թվարկված տերմինները վերաբերում են «X-Y» կետերին, որոնք ուղղակիորեն գտնվում են ԻՆՔՆ ֆունկցիայի ԳՐԱՖԻԿԻ վրա:

Քանի՞ ծայրահեղություն կարող է ունենալ ֆունկցիան:

Ոչ մեկը, 1, 2, 3, ... և այլն: մինչեւ անվերջություն. Օրինակ, սինուսն ունի անսահման շատ մինիմումներ և մաքսիմումներ:

ԿԱՐԵՎՈՐ!«գործառույթի առավելագույն» տերմինը. ոչ նույնական«Ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը» տերմինը: Հեշտ է նկատել, որ արժեքը առավելագույնն է միայն տեղական թաղամասում, իսկ վերևի ձախ մասում կան «ավելի սառը ընկերներ»: Նմանապես, «գործառույթի նվազագույն արժեքը» նույնը չէ, ինչ «գործառույթի նվազագույն արժեքը», և գծագրում մենք տեսնում ենք, որ արժեքը նվազագույն է միայն որոշակի տարածքում: Այս առումով կոչվում են նաև ծայրահեղ կետեր տեղական ծայրահեղ կետերըև ծայրահեղությունը – տեղական ծայրահեղություններ . Նրանք քայլում և թափառում են մոտակայքում և համաշխարհայինեղբայրներ. Այսպիսով, ցանկացած պարաբոլա ունի իր գագաթին համաշխարհային նվազագույնըկամ համաշխարհային առավելագույնը. Ավելին, ես չեմ տարբերի ծայրահեղությունների տեսակները, և բացատրությունն ավելի շատ հնչում է ընդհանուր կրթական նպատակներով. «տեղական»/«գլոբալ» լրացուցիչ ածականները չպետք է ձեզ զարմացնեն:

Եկեք ամփոփենք մեր կարճ շրջագայությունը տեսության մեջ թեստային կրակոցով. ի՞նչ է նշանակում «գտնել ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը և ծայրահեղ կետերը» առաջադրանքը:

Ձևակերպումը խրախուսում է ձեզ գտնել.

– աճող/նվազող ֆունկցիայի ընդմիջումներ (չնվազող, չաճող շատ ավելի հազվադեպ է երևում);

– առավելագույն և/կամ նվազագույն միավորներ (առկայության դեպքում): Դե, ձախողումից խուսափելու համար ավելի լավ է իրենք գտնել նվազագույնը/առավելագույնը ;-)

Ինչպե՞ս որոշել այս ամենը:Օգտագործելով ածանցյալ ֆունկցիան:

Ինչպես գտնել մեծացման, նվազման միջակայքերը,
Ծայրահեղ կետերը և ֆունկցիայի ծայրահեղությունները:

Շատ կանոններ, ըստ էության, արդեն հայտնի և հասկացված են դաս ածանցյալի նշանակության մասին.

Շոշափող ածանցյալ բերում է ուրախ լուր, որ գործառույթն ավելանում է ամբողջ ընթացքում սահմանման տիրույթ.

Կոտանգենտի և նրա ածանցյալի հետ իրավիճակը ճիշտ հակառակն է.

Արկսինը մեծանում է ընդմիջման ընթացքում - այստեղ ածանցյալը դրական է. .
Երբ ֆունկցիան սահմանված է, բայց ոչ տարբերվող: Սակայն կրիտիկական կետում կա աջակողմյան ածանցյալ և աջակողմյան շոշափող, իսկ մյուս եզրում՝ նրանց ձախակողմյան նմանակները։

Կարծում եմ, որ ձեզ համար այնքան էլ դժվար չի լինի նման պատճառաբանություն իրականացնել աղեղի կոսինուսի և դրա ածանցյալի համար:

Բոլոր վերը նշված դեպքերը, որոնցից շատերն են աղյուսակային ածանցյալներ, հիշեցնում եմ, հետևեք ուղիղ ից ածանցյալ սահմանումներ.

Ինչու՞ ուսումնասիրել ֆունկցիան՝ օգտագործելով դրա ածանցյալը:

Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչպիսին է այս ֆունկցիայի գրաֆիկըորտեղ այն գնում է «ներքևից վեր», որտեղ «վերևից ներքև», որտեղ այն հասնում է նվազագույնի և առավելագույնի (եթե ընդհանրապես հասնում է): Ոչ բոլոր գործառույթներն են այդքան պարզ. շատ դեպքերում մենք ընդհանրապես գաղափար չունենք որոշակի ֆունկցիայի գրաֆիկի մասին:

Ժամանակն է անցնել ավելի բովանդակալից օրինակների և մտածել ֆունկցիայի միապաղաղության և ծայրահեղությունների միջակայքերը գտնելու ալգորիթմ:

Օրինակ 1

Գտեք ֆունկցիայի ավելացման/նվազման և ծայրահեղությունների միջակայքերը

Լուծում:

1) Առաջին քայլը գտնելն է ֆունկցիայի տիրույթ, և նաև հաշվի առեք ընդմիջման կետերը (եթե դրանք կան): IN այս դեպքումՖունկցիան շարունակական է ամբողջ թվային տողի վրա, և այս գործողությունը որոշ չափով պաշտոնական է: Բայց մի շարք դեպքերում այստեղ լուրջ կրքեր են բորբոքվում, ուստի եկեք վերաբերվենք պարբերությանը առանց արհամարհանքի:

2) Ալգորիթմի երկրորդ կետը պայմանավորված է

ծայրահեղության համար անհրաժեշտ պայման.

Եթե մի կետում կա ծայրահեղություն, ապա կամ արժեքը գոյություն չունի.

Շփոթե՞լ եք ավարտից: «Մոդուլ x» ֆունկցիայի ծայրահեղություն .

Պայմանն անհրաժեշտ է, բայց բավարար չէ, և հակառակը միշտ չէ, որ ճիշտ է։ Այսպիսով, հավասարությունից դեռ չի բխում, որ ֆունկցիան հասնում է առավելագույնի կամ նվազագույնի կետում: Դասական օրինակն արդեն վերը նշված է. սա խորանարդ պարաբոլա է և դրա կրիտիկական կետը:

Բայց այդպես էլ լինի, անհրաժեշտ պայմանէքստրեմումը թելադրում է կասկածելի կետեր գտնելու անհրաժեշտությունը։ Դա անելու համար գտե՛ք ածանցյալը և լուծե՛ք հավասարումը.

Առաջին հոդվածի սկզբում ֆունկցիայի գրաֆիկների մասինԵս ձեզ ասացի, թե ինչպես կարելի է արագ կառուցել պարաբոլա՝ օգտագործելով օրինակ «...վերցնում ենք առաջին ածանցյալը և հավասարեցնում այն զրոյի. ...Այսպիսով, մեր հավասարման լուծումը՝ - հենց այս կետում է գտնվում պարաբոլայի գագաթը...»: Հիմա, կարծում եմ, բոլորը հասկանում են, թե ինչու է պարաբոլայի գագաթը գտնվում հենց այս կետում =) Ընդհանրապես, այստեղ պետք է սկսել նմանատիպ օրինակով, բայց այն չափազանց պարզ է (նույնիսկ թեյնիկի համար): Բացի այդ, դասի հենց վերջում կա անալոգի մասին ֆունկցիայի ածանցյալ. Այսպիսով, եկեք բարձրացնենք աստիճանը.

Օրինակ 2

Գտե՛ք ֆունկցիայի միապաղաղության և ծայրահեղությունների միջակայքերը

Սա օրինակ է անկախ որոշում. Ամբողջական լուծումև դասի վերջում առաջադրանքի մոտավոր վերջնական նմուշ:

Եկել է կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիաների հետ հանդիպման երկար սպասված պահը.

Օրինակ 3

Ուսումնասիրեք ֆունկցիան՝ օգտագործելով առաջին ածանցյալը

Ուշադրություն դարձրեք, թե նույն առաջադրանքը որքան փոփոխական կարող է վերաձեւակերպվել:

Լուծում:

1) Ֆունկցիան անսահման ընդհատումներ է ունենում կետերում:

2) Մենք հայտնաբերում ենք կրիտիկական կետեր: Գտնենք առաջին ածանցյալը և հավասարեցնենք այն զրոյի.

Եկեք լուծենք հավասարումը. Կոտորակը զրո է, երբ նրա համարիչը զրո է.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք երեք կարևոր կետ.

3) Մենք գծագրում ենք ԲՈԼՈՐ հայտնաբերված կետերը թվային տողի վրա և ինտերվալ մեթոդմենք սահմանում ենք ածանցյալի նշանները.

Հիշեցնում եմ ձեզ, որ դուք պետք է որոշ կետ վերցնեք միջակայքում և հաշվարկեք ածանցյալի արժեքը դրանում և որոշել դրա նշանը: Ավելի ձեռնտու է նույնիսկ չհաշվելը, այլ բանավոր «գնահատելը»: Վերցնենք, օրինակ, միջակայքին պատկանող կետը և կատարենք փոխարինումը. .

Երկու «պլյուս» և մեկ «մինուս» տալիս են «մինուս», հետևաբար, ինչը նշանակում է, որ ածանցյալը բացասական է ամբողջ միջակայքում:

Գործողությունը, ինչպես հասկանում եք, պետք է իրականացվի վեց ընդմիջումներից յուրաքանչյուրի համար: Ի դեպ, նշենք, որ համարիչի գործակիցը և հայտարարը խիստ դրական են ցանկացած ինտերվալի ցանկացած կետի համար, ինչը մեծապես հեշտացնում է առաջադրանքը:

Այսպիսով, ածանցյալը մեզ ասաց, որ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆ ԻՆՔՆ աճում է և նվազում է: Հարմար է միացման պատկերակով միացնել նույն տեսակի միջակայքերը:

Այն կետում ֆունկցիան հասնում է իր առավելագույնին.
Այն կետում ֆունկցիան հասնում է նվազագույնի.

Մտածեք, թե ինչու պետք չէ վերահաշվարկել երկրորդ արժեքը ;-)

Կետով անցնելիս ածանցյալը նշանը չի փոխում, ուստի ֆունկցիան այնտեղ ԾԱՌԱՅՈՒԹՅՈՒՆ ՉՈՒՆԻ. այն և՛ նվազել է, և՛ մնացել է նվազող:

! Կրկնենք կարևոր կետ կետերը չեն համարվում կրիտիկական, դրանք պարունակում են ֆունկցիա որոշված չէ. Ըստ այդմ՝ այստեղ Սկզբունքորեն ծայրահեղություններ չեն կարող լինել(նույնիսկ եթե ածանցյալը փոխում է նշանը):

Պատասխանելֆունկցիան մեծանում է և նվազում է այն կետով, երբ հասնում է ֆունկցիայի առավելագույնը. , իսկ կետում՝ նվազագույնը՝ .

Միապաղաղության միջակայքերի և ծայրահեղությունների իմացություն՝ զուգորդված հաստատվածի հետ ասիմպտոտներարդեն շատ լավ պատկերացում է տալիս տեսքըֆունկցիայի գրաֆիկա։ Միջին պատրաստվածություն ունեցող մարդը կարող է բանավոր կերպով որոշել, որ ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի երկու ուղղահայաց ասիմպտոտ և թեք ասիմպտոտ: Ահա մեր հերոսը.

Փորձեք ևս մեկ անգամ ուսումնասիրության արդյունքները կապել այս ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ:
Կրիտիկական կետում ծայրահեղություն չկա, բայց կա գրաֆիկի թեքում(ինչը, որպես կանոն, տեղի է ունենում նմանատիպ դեպքերում)։

Օրինակ 4

Գտեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը

Օրինակ 5

Գտե՛ք միապաղաղության միջակայքերը, ֆունկցիայի առավելագույնը և նվազագույնը

Այսօր գրեթե նման է ինչ-որ «X խորանարդի մեջ» տոնի…
Շաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաաատ պատկերասրահում ո՞վ առաջարկեց խմել սրա համար: =)

Յուրաքանչյուր առաջադրանք ունի իր բովանդակային նրբությունները և տեխնիկական նրբությունները, որոնք մեկնաբանվում են դասի վերջում։

Ի՞նչ է ֆունկցիայի միապաղաղությունը: Որոնք են զույգ, պարբերական, միապաղաղ ֆունկցիաները