տուն Մանկական ստոմատոլոգիա Գծային հարաբերակցության գործակցի հատկությունները. Հարաբերակցության գործակիցը գտնելու օրինակ

Մանկական ստոմատոլոգիա

Գծային հարաբերակցության գործակցի հատկությունները. Հարաբերակցության գործակիցը գտնելու օրինակ

Գծային հարաբերակցության գործակից

Կապի սերտության աստիճանի ավելի կատարյալ ցուցանիշ է գծային գործակիցհարաբերակցությունները (r).

Այս ցուցանիշը հաշվարկելիս հաշվի են առնվում ոչ միայն միջինից բնորոշ առանձին արժեքների շեղումների նշանները, այլև հենց այդպիսի շեղումների մեծությունը, այսինքն. համապատասխանաբար գործոնային և արդյունքային բնութագրերի, արժեքների և . Այնուամենայնիվ, անհնար է ուղղակիորեն համեմատել ստացված բացարձակ արժեքները միմյանց հետ, քանի որ բնութագրերն իրենք կարող են արտահայտվել տարբեր միավորներով (ինչպես ներկայացված է օրինակում), և եթե առկա են նույն չափման միավորները, ապա միջին արժեքները կարող են տարբեր լինել: Այս առումով հարաբերական արժեքներով արտահայտված շեղումները կարող են համեմատության ենթարկվել, այսինքն. ստանդարտ շեղման ֆրակցիաներում (դրանք կոչվում են նորմալացված շեղումներ): Այսպիսով, գործոնի բնութագրի համար մենք կունենանք արժեքների մի շարք, իսկ արդյունավետ բնութագրի համար՝ .

Ստացված նորմալացված շեղումները կարելի է համեմատել միմյանց հետ։ Հաշվարկված նորմալացված շեղումների համեմատության հիման վրա ամբողջ բնակչության համար բնութագրերի միջև կապի սերտության աստիճանի ընդհանուր բնութագիրը ստանալու համար հաշվարկվում է նորմալացված շեղումների միջին արտադրյալը: Այս կերպ ստացված միջինը կլինի գծային հարաբերակցության գործակիցը r.

(1.2)

կամ այն պատճառով, որ s xԵվ s yքանի որ այս շարքերը հաստատուն են և կարող են հանվել փակագծերից, ապա գծային հարաբերակցության գործակցի բանաձևը ստանում է հետևյալ ձևը.

(1.3)

Գծային հարաբերակցության գործակիցը կարող է վերցնել ցանկացած արժեք՝ տատանվում է –1-ից մինչև +1: Որքան հարաբերակցության գործակիցը բացարձակ արժեքով մոտ լինի 1-ին, այնքան ավելի սերտ է հարաբերությունները բնութագրերի միջև: Գծային հարաբերակցության գործակցի նշանը ցույց է տալիս հարաբերությունների ուղղությունը՝ ուղիղ կապը համապատասխանում է գումարած նշանի, իսկ հակադարձ կապը համապատասխանում է մինուս նշանին։

Եթե գործոնի բնութագրիչի արժեքների աճով X, արդյունք նշան ժամըձգտում է աճել, ապա հարաբերակցության գործակցի արժեքը կլինի 0-ի և 1-ի միջև: Եթե աճող արժեքներով Xարդյունքի նշան ժամընվազման միտում ունի, հարաբերակցության գործակիցը կարող է արժեքներ ընդունել 0-ից –1 միջակայքում:

Գծային հարաբերակցության գործակցի ստացված արժեքը, ինչպես վերը նշված Ֆեխների գործակիցը, ցույց է տալիս. հնարավոր առկայությունԳովազդի ծախսերի և ընկերության ծառայություններից օգտվող զբոսաշրջիկների թվի միջև բավականին սերտ անմիջական կապ կա:

Քառակուսի հարաբերակցության գործակից ( r 2) կոչվում է որոշման գործակիցը. Քննարկվող օրինակի համար դրա արժեքը 0,6569 է, ինչը նշանակում է, որ ընկերության ծառայություններից օգտվող հաճախորդների թվի փոփոխության 65,69%-ը բացատրվում է ընկերությունների՝ իրենց ծառայությունները գովազդելու համար ծախսերի տատանմամբ:

Այստեղ ևս մեկ անգամ պետք է հիշել, որ հարաբերակցության գործակիցի արժեքը ինքնին վկայում է ուսումնասիրվող բնութագրերի միջև պատճառահետևանքային կապի առկայության մասին, այլ բնութագրերի փոփոխությունների փոխադարձ հետևողականության աստիճանի գնահատում է: Պատճառահետեւանքային կապի հաստատմանը նախորդում է երեւույթների որակական բնույթի վերլուծությունը։ Բայց կա ևս մեկ հանգամանք, որը բացատրում է հարաբերակցության գործակցի մեծության հիման վրա կապի հնարավոր առկայության մասին եզրակացությունների ձևակերպումը։

Դա պայմանավորված է նրանով, որ կապի սերտության աստիճանի գնահատումը հարաբերակցության գործակիցով կատարվում է, որպես կանոն, ուսումնասիրվող երեւույթի մասին քիչ թե շատ սահմանափակ տեղեկատվության հիման վրա։ Հարց է առաջանում, թե որքանո՞վ է օրինական մեր եզրակացությունը, որը հիմնված է ընտրանքային տվյալների վրա՝ կապված դրանում հարաբերակցության փաստացի առկայության հետ: բնակչությունը, որտեղից վերցվել է նմուշը.

ԿԱՐԵԼԱՑԻՈՆ ԵՎ ՌԵԳՐԵՍԻՈՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆԸ ՄԵՋ

ՏՆՏԵՍԱԿԱՆ ՀԱՇՎԱՐԿՆԵՐ

Հիմնական հասկացությունները հարաբերակցության և ռեգրեսիոն վերլուծության մեջ

Մաթեմատիկայի մեջ կան երկու հասկացություններ, որոնք արտացոլում են բնութագրերի միջև պատճառահետևանքային կապերը՝ ֆունկցիոնալ և հարաբերական կախվածություն։

Ֆունկցիոնալ կախվածությունը հասկացվում է որպես քանակների միջև այնպիսի հարաբերություն, երբ կախված մեծության արժեքը՝ ֆունկցիան, ամբողջությամբ որոշվում է կախված փոփոխականների արժեքներով:

Հարաբերակցության կախվածությունը տեղի է ունենում, երբ մեկ (արդյունք) մեծության յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է մյուսի պատահական արժեքների մի շարքին, որոնք տեղի են ունենում որոշակի հավանականությամբ:

Տնտեսական երևույթներն ուսումնասիրելիս գործ ունենք ոչ թե ֆունկցիոնալ, այլ հարաբերական կախվածության հետ։ Օգտագործելով հարաբերակցությունը և ռեգրեսիոն վերլուծությունկարելի է հաշվարկել հարաբերակցության գործակիցներ, որոնք գնահատում են առանձին ցուցանիշների միջև կապի ուժը, ընտր

ռեգրեսիայի հավասարումը, որը որոշում է այս կապի ձևը և հաստատում է այս կապի գոյության հավաստիությունը։

Տնտեսական գործընթացների հարաբերակցության և ռեգրեսիոն վերլուծության գործընթացը բաղկացած է հետևյալ փուլերից.

վիճակագրական տվյալների նախնական մշակում և արդյունավետ ցուցանիշի վրա ազդող հիմնական գործոնային բնութագրերի ընտրություն.

Կապի սերտության գնահատում և արդյունքի և գործոնային բնութագրերի միջև առկա կապի ձևի բացահայտում.

Ուսումնասիրվող երեւույթի (բազմագործոն) մոդելի մշակում և դրա վերլուծություն.

Վերլուծության ստացված արդյունքների կիրառում կառավարման որոշումներ կայացնելու համար.

Հարաբերակցությունը բախվում է երկու հիմնական մարտահրավերի. Առաջինը պետք է պարզել, թե ինչպես է փոխվում միջին արդյունավետ բնութագիրը առաջին գործոնի փոփոխության հետ կապված: Այս խնդիրը կարելի է լուծել գտնելով հաղորդակցության հավասարումը.Երկրորդ խնդիրը որոշում է խեղաթյուրող գործոնների ազդեցության աստիճանը: Այս խնդիրը լուծվում է կապի սերտության ցուցանիշների ուսումնասիրությամբ։ Այդպիսի ցուցանիշներ են հարաբերակցության գործակիցները և հարաբերակցության գործակիցները։

2. Արդյունավետ և գործոնային նշաններ . Երևույթի որոշ նշանների ազդեցությունն ուրիշների վրա ուսումնասիրելիս տվյալ երևույթը բնութագրող նշանների շղթայից առանձնանում են երկուսը` գործոնային նշաններ (արդյունքի վրա ազդող) և արդյունքային: Պետք է պարզել, թե որ բնութագրիչն է ֆակտորային և որն է արտադրողական։ Դրան առաջին հերթին օգնում է տրամաբանական վերլուծությունը։

Օրինակ. Առանձին ձեռնարկության արդյունաբերական արտադրանքի արժեքը կախված է բազմաթիվ գործոններից, ներառյալ այս ձեռնարկության արտադրության ծավալը: Արտադրության ինքնարժեքն այս դեպքում գործում է որպես արդյունավետ հատկանիշ, իսկ արտադրության ծավալը՝ որպես գործոնային։

Մեկ այլ օրինակ. Խոշոր ձեռնարկությունների առավելությունները փոքրի նկատմամբ դատելու համար մենք կարող ենք դիտարկել, թե ինչպես է մեծանում աշխատողների աշխատանքի արտադրողականությունը խոշոր ձեռնարկություններում և բացահայտել աշխատանքի արտադրողականության կախվածությունը ձեռնարկության չափի աճից:

3. Հաղորդակցության հավասարման հայեցակարգը. Այս ֆունկցիայի հավասարումը կլինի արդյունքի և գործոնային բնութագրերի միջև կապի հավասարումը:

Միացման հավասարումը հայտնաբերվում է մեթոդի միջոցով նվազագույն քառակուսիները, որը պահանջում է, որ էմպիրիկ արժեքների քառակուսի շեղումների գումարը միացման հավասարման հիման վրա ստացված արժեքներից լինի նվազագույն:

Նվազագույն քառակուսիների մեթոդի կիրառումը թույլ է տալիս գտնել կապի հավասարման պարամետրերը` լուծելով այսպես կոչված նորմալ հավասարումների համակարգ, որը տարբերվում է կապի յուրաքանչյուր տեսակի համար:

Նշենք, որ երկու բնութագրերի միջև կապն արտահայտվում է միջինով, նշվում են հարաբերությունների հավասարումից հայտնաբերված արդյունքի բնութագրիչի արժեքները. Ուֆ.

Իմանալով հարաբերությունների հավասարումը, կարող եք նախապես հաշվարկել ստացված բնութագրի միջին արժեքը, երբ արժեքը: գործոնային բնութագիրը հայտնի է. Այսպիսով, կապի հավասարումը դիտարկված վիճակագրական հարաբերությունների ընդհանրացման մեթոդ է, դրանք ուսումնասիրելու մեթոդ։

Այս կամ այն ֆունկցիայի օգտագործումը որպես միացման հավասարում առանձնացնում է ագույցները իրենց ձևով` գծային միացում և կորագիծ միացում (պարաբոլիկ, հիպերբոլիկ և այլն):

Դիտարկենք կապի հավասարումները մեկ բնութագրիչից կախվածության համար տարբեր ձևերմիացումներ, (գծային, կորագիծ պարաբոլիկ, հիպերբոլիկ) և բազմակի միացումների համար:

4. Բնութագրերի միջև գծային կապ. Միացման հավասարումը որպես ուղիղ գծային հավասարում Ух==ао+а1х օգտագործվում է արդյունավետ հատկանիշի միատեսակ աճի դեպքում՝ գործոնային հատկանիշի աճով։ Նման կախվածությունը կլինի գծային (ուղղագիծ) կախվածություն:

Ուղղակի ao և a1 հավասարման պարամետրերը հայտնաբերվում են նվազագույն քառակուսիների մեթոդով ստացված նորմալ հավասարումների համակարգի լուծումով.

Հավասարման պարամետրերի և Vx արդյունավետ բնութագրի միջին արժեքների հաշվարկման օրինակ է հետևյալ աղյուսակը, որն ըստ գործոնային բնութագրիչի խմբավորման և միջին արժեքները արդյունավետ բնութագրիչով հաշվարկելու արդյունք է:

Հարաբերությունների հավասարման համար անհրաժեշտ է ձեռնարկությունների խմբավորումն ըստ հիմնական միջոցների արժեքի և գումարների հաշվարկման:

Աղյուսակից մենք գտնում ենք՝ n==6; = 18; =39.0; =71,5

132.0. Մենք կառուցում ենք երկու անհայտ երկու հավասարումների համակարգ.

Երկու հավասարումների յուրաքանչյուր անդամ բաժանելով aо գործակիցների վրա՝ ստանում ենք.

Առաջինը հանել երկրորդ հավասարումից՝ 0.97a1=0.83; a1==0,86. Փոխարինելով a1-ի արժեքները ao+3*0.86 =6.5 առաջին հավասարման մեջ՝ մենք գտնում ենք ao=6.5-2.58=+3.92:

Միացման հավասարումը կունենա ձև՝ yx=3.92+0.86x։ Փոխարինելով համապատասխան x-ը այս հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք ստացված բնութագրի արժեքները՝ արտացոլելով y-ի միջին կախվածությունը x-ից՝ հարաբերական կախվածության տեսքով:

Նկատի ունեցեք, որ հավասարմամբ հաշվարկված գումարները և փաստացիները հավասար են միմյանց։ Փաստացի և հաշվարկված արժեքների ներկայացում Նկ. 4-ը ցույց է տալիս, որ միացման հավասարումը արտացոլում է դիտարկված կախվածությունը միջինում:

5. Պարաբոլիկ կախվածություն նշանների միջև . Պարաբոլիկ կախվածությունը, որն արտահայտվում է 2-րդ կարգի պարաբոլի yx = ao + a1x + a2x 2 հավասարմամբ, առաջանում է արդյունավետ հատկանիշի արագացված աճով կամ նվազումով՝ գործակցային հատկանիշի միատեսակ աճի հետ միասին։

Պարաբոլայի հավասարման պարամետրեր aо; a1; a2, հաշվարկվում են 3 նորմալ հավասարումների համակարգ լուծելով.

Որպես օրինակ վերցնենք կախվածությունը։ ամսական թողարկումարտադրանք (y) հիմնական միջոցների արժեքից (x). Երկու թվերն էլ կլորացվում են մինչև մոտակա միլիոն ռուբլի: Պահանջվող գումարների հաշվարկները տրված են աղյուսակում: 5.

Աղյուսակի տվյալների հիման վրա մենք ստեղծում ենք հավասարումների համակարգ.

6. Հիպերբոլայի հավասարումը. Հետադարձ կապը ցույց է տալիս արդյունավետ հատկանիշի նվազում, քանի որ գործոնայինը մեծանում է: Սա գծային հարաբերություն է a1 բացասական արժեքով: Մի շարք այլ դեպքերում հետադարձ կապը կարող է արտահայտվել հիպերբոլայի հավասարմամբ

Հիպերբոլայի ao և a1 հավասարման պարամետրերը հայտնաբերված են նորմալ հավասարումների համակարգից.

7. Հարաբերակցության աղյուսակ. Դիտարկումների մեծ ծավալի դեպքում, երբ փոխկապակցված զույգերի թիվը մեծ է, զուգակցված տվյալները հեշտությամբ կարող են տեղակայվել հարաբերակցության աղյուսակում, որը թվերի զգալի թվով թվերի ներկայացման ամենահարմար ձևն է:

Հարաբերակցության աղյուսակում մեկ բնութագիրը գտնվում է տողերում, իսկ մյուսը՝ աղյուսակի սյունակներում: Գրաֆիկի և սյունակի խաչմերուկում գտնվող վանդակում գտնվող թիվը ցույց է տալիս, թե որքան հաճախ է ստացված բնութագրի տրված արժեքը համակցված գործոնային բնութագրիչի տվյալ արժեքի հետ:

Հաշվարկը պարզեցնելու համար մենք 20 ձեռնարկություններում կիրականացնենք փոքր թվով դիտարկումներ մեկ աշխատողի միջին ամսական արտադրանքի (հազար ռուբլի) և հիմնական արտադրական միջոցների արժեքի (միլիոնավոր ռուբլի):

Սովորական զուգակցված աղյուսակում այս տեղեկատվությունը դասավորված է այսպես.

y տողերի հանրագումարները ցույց են տալիս nу բնորոշիչի հաճախականությունը, x սյունակի հանրագումարները ցույց են տալիս nx հատկորոշիչի հաճախականությունը։ Հարաբերակցության աղյուսակի բջիջներում թվերը հաճախականություններ են՝ կապված երկու բնութագրերի հետ և նշանակված են nxy:

Հարաբերակցության աղյուսակը, նույնիսկ մակերեսային ծանոթությամբ, տալիս է ընդհանուր գաղափարուղիղ գծի մասին և հետադարձ կապ. Եթե հաճախականությունները գտնվում են անկյունագծով դեպի աջ, ապա բնութագրերի միջև կապը ուղղակի է (տողերում և սյունակներում բնութագրի աճող արժեքներով): Եթե հաճախականությունները գտնվում են անկյունագծով դեպի աջ դեպի վեր, ապա կապը հակառակ է:

8. Հարաբերական կապ. Եթե երևույթը չափվում է երկու բնութագրով, ապա հնարավոր է գտնել դիսպերսիայի չափումներ (հիմնականում ցրվածություն) ստացված բնութագրով` գործոնային բնութագրի նույն արժեքների համար:

Օրինակ՝ տրված է երկու փոխկապակցված շարքերի հարաբերակցության աղյուսակ, որում պարզության համար առկա են կիրառվող պարարտանյութի քանակի գործոնային բնութագրի միայն երեք արժեք (x), և ստացված բնութագիրը՝ բերքատվությունը (y)-։ զգալիորեն տատանվում է. Աղյուսակ 16

Տարբեր բերքատվություն ունեցող հողատարածքների յուրաքանչյուր խմբին կիրառվել է պարարտանյութի տարբեր քանակություն: Այսպիսով, երբ պարարտանյութը կիրառվում էր 20 գ/բերքատվությամբ տարբեր տարածքներում հավասար էր՝ մի տարածքում 0,8 տոննա էր, երկուում՝ 0,9 տոննա, երեքում՝ 1,0 տոննա և մեկում՝ 1,1 տ։ Գտնենք միջին բերքատվությունը և բերքատվության դիսպերսիա հողամասերի այս խմբի համար:

30,0 գ կիրառվող պարարտանյութի քանակով հողամասերի համար միջին բերքատվությունը կլինի.

Հաշվարկենք նմանատիպ բնութագրերը մի խումբ տարածքների համար։ ստացել է 40 տոննա պարարտանյութ.

Այս տվյալների հիման վրա կարող եք նաև որոշել բոլոր 20 հողամասերի միջին բերքատվությունը՝ անկախ կիրառվող պարարտանյութի քանակից, այսինքն՝ ընդհանուր միջինից.

և խմբերի միջին եկամտաբերության փոփոխականության (ցրվածության) չափումը ընդհանուր միջինի շուրջ: Այս դիսպերսիան կոչվում է միջխմբային դիսպերսիա և նշանակվում է b 2

որտեղ yi-ն հողատարածքների խմբերի միջին բերքատվությունն է, որոնք տարբերվում են կիրառվող պարարտանյութի քանակով. m1,m2,m3,-խմբերի քանակը. Այս օրինակի համար խմբերի միջև տարբերությունը հետևյալն է.

Խմբերի միջև շեղումը ցույց է տալիս ցրվածությունը, որը տեղի է ունենում գործոնային հատկանիշի պատճառով: Այս օրինակում Y = == 0.01&247-ը բերքատվության ցրման ցուցանիշն է, որը բխում է կիրառվող պարարտանյութի քանակի տարբերությունից:

Այնուամենայնիվ, բացի միջխմբային դիսպերսիայից, հնարավոր է նաև հաշվարկել դիսպերսիան որպես ցրվածության ցուցիչ՝ պայմանավորված այլ գործոններով (եթե այդպես անվանում եք բոլոր մյուս գործոնները, բացի պարարտանյութերից): Այս ցուցանիշը կլինի ցրվածության ցուցիչների (տարբերակների) միջին (կշռված) արժեքը կայքերի խմբերի համար

Սա գործնականում նշանակում է, որ հնարավոր է ստանալ ցրման (ցրվածության) ընդհանուր չափանիշ բոլոր 20 հողամասերի համար, եթե առկա են տեղեկություններ կիրառվող պարարտանյութի քանակով տարբեր հողամասերի միջոցների և շեղումների մասին: Հետևաբար, 20 հողամասերի ընդհանուր եկամտաբերությունը կլինի.

Միջխմբային և միջին խմբերի շեղումները հաշվարկելու բանաձևերը կարող են կրճատվել հետևյալ կերպ.

Ընդհանուր դիսպերսիայի, ներխմբային և միջխմբային դիսպերսիայի հաշվարկը թույլ է տալիս որոշ եզրակացություններ անել արդյունավետ հատկանիշի փոփոխականության վրա գործոնային հատկանիշի ազդեցության աստիճանի վերաբերյալ։ Ազդեցության այս չափումը հայտնաբերվում է հարաբերակցության հարաբերակցության միջոցով.

Սա նշանակում է, որ հողամասի բերքատվության փոփոխականության 78%-ը կախված է կիրառվող պարարտանյութի քանակի փոփոխականությունից:

Գծային հարաբերակցության գործակից

Երկու փոխկապակցված շարքերի միջև փոխհարաբերությունների սերտությունն ուսումնասիրելիս օգտագործվում է գծային հարաբերակցության գործակից, որը ցույց է տալիս, թե արդյոք և որքան ուժեղ է այդ շարքերի միջև կապը: Այն կարող է վերցնել արժեքներ, որոնք տատանվում են –1-ից մինչև +1:

10.Կուտակային հարաբերակցության գործակից :

Որտեղ r- գծային հարաբերակցության գործակիցները, և ենթագրերը ցույց են տալիս, թե որ բնութագրերի միջև են դրանք հաշվարկվում:

1) Գծային հարաբերակցության գործակիցը կարող է վերցնել արժեքներ՝ տատանվող –1-ից մինչև +1:

2) Եթե , ապա բնութագրերի միջև կապը ֆունկցիոնալ է, այսինքն՝ արդյունավետ բնութագրիչի վրա ազդում է միայն դիտարկվող գործոնային բնութագիրը և ոչ մի այլ բան, եթե. r = 0, ապա բնութագրերի միջև կապ չկա:

3) Եթե r> 0, ապա բնութագրերի միջև կապն ուղղակի է, եթե r< 0, то связь – обратная.

4) հատկացրեք հետևյալ ընդմիջումները r:

նշանների միջև գրեթե կապ չկա.

կապը թույլ է;

կապը չափավոր է;

կապը ամուր է.

Բրինձ. 2.Գրաֆիկի վրա կետերի գտնվելու վայրի օրինակներ և հարաբերակցության գործակիցի արժեքներ

Համար գնահատելով գծային հարաբերակցության գործակցի նշանակությունը rօգտագործել տ– Ուսանողի t-test. Այս դեպքում առաջ է քաշվում վարկած, որ հարաբերակցության գործակիցը հավասար է զրոյի։

Վարկածների փորձարկում:

1. Հաշվիր իրական արժեքները t-չափանիշի համար r:

(այս բանաձևը օգտագործվում է փոքր նմուշի չափի համար):

2. Ըստ աղյուսակի t-Ուսանողների բաշխումը, հաշվի առնելով ընդունված նշանակության մակարդակը կամ ազատության աստիճանների քանակը, որոշվում է:

3. Եթե , ապա վարկածը մերժվում է, որը ցույց է տալիս հարաբերակցության գործակցի նշանակությունը։

Հարաբերակցության հարաբերությունորոշվում է բանաձևերով.

η = կամ η = ,

որտեղ է ստացված հատկանիշի միջխմբային շեղումը, որն առաջացել է գործոնի հատկանիշի ազդեցությամբ.

– արդյունքի հատկանիշի ամբողջական ցրվածություն.

– ստացված հատկանիշի ներխմբային շեղումների միջինը:

Հարաբերակցության հարաբերությունների հաշվարկը պահանջում է բավականին մեծ քանակությամբ տեղեկատվություն, որը պետք է ներկայացվի խմբային աղյուսակի կամ հարաբերակցության աղյուսակի տեսքով, այսինքն. նախադրյալտվյալների խմբավորումն է ըստ հատկանիշ-գործոնի:

Չխմբավորված տվյալների համար էմպիրիկ հարաբերակցության հարաբերակցությունը կարող է հաշվարկվել հետևյալ բանաձևով.

որտեղ y - ստացված բնութագրի էմպիրիկ (փաստացի) արժեքները.

- արդյունավետ բնութագրի միջին արժեքը.

- ստացված բնութագրի հավասարեցված արժեքները, որոնք հաշվարկվում են վերլուծական հավասարման միջոցով:

Հարաբերակցության հարաբերակցությունը քառակուսի (), իսկ զույգ հարաբերությունների համար գծային հարաբերակցության գործակիցը քառակուսի () կոչվում է որոշման գործակիցը (պատճառականություն), այն արտացոլում է գործոնի շեղման տեսակարար կշիռը ընդհանուր շեղումների մեջ:

Որոշման գործակից (Դ) ցույց է տալիս, թե ստացված բնութագրիչի միջին արժեքի փոփոխությունը քանի տոկոսով է որոշվում այս գործոնի բնութագրիչի ազդեցությամբ:

Գործնականում կապի սերտության աստիճանը որոշելու համար կարող են օգտագործվել այլ ցուցանիշներ:

Կապի սերտության աստիճանի տարրական բնութագիրն է Ֆեխների գործակիցը :

Որտեղ n ա- գործոնի բնութագրիչի անհատական արժեքների շեղումների նշանների համընկնումների թիվը Xև արդյունքի նշան ժամընրանց թվաբանական միջինից (օրինակ՝ «գումարած» և «գումարած», «մինուս» և «մինուս», «ոչ մի շեղում» և «առանց շեղում»);

n բ- բնութագրերի անհատական արժեքների շեղումների նշանների անհամապատասխանությունների թիվը նրանց թվաբանական միջինի արժեքից:

Ֆեխների գործակիցը օգտագործվում է, երբ սկզբնական տեղեկատվության քանակը փոքր է: Այն տատանվում է –1-ից մինչև 1:

Ինչպես քանակական, այնպես էլ որակական բնութագրերի միջև հարաբերությունների սերտությունը որոշելու համար, պայմանով, որ այդ բնութագրերի արժեքները կարող են դասակարգվել աճման կամ նվազման կարգով, այն օգտագործվում է. Սփիրմանի աստիճանի հարաբերակցության գործակիցը :

Որտեղ դ i- գործոնի բնութագրիչի և ստացված բնութագրի աստիճանային արժեքների տարբերությունը.

n– ուսումնասիրվող շարքի ցուցանիշների (աստիճանների) քանակը.

Այն տատանվում է –1-ից մինչև 1:

Աշխատանքի ավարտ -

Այս թեման պատկանում է բաժնին.

Վիճակագրություն

Վյատկայի պետական հումանիտար համալսարան.. m a kunilova o o antonenko..

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է լրացուցիչ նյութ այս թեմայի վերաբերյալ, կամ չեք գտել այն, ինչ փնտրում էիք, խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել որոնումը մեր աշխատանքների տվյալների բազայում.

Ի՞նչ ենք անելու ստացված նյութի հետ.

Եթե այս նյութը օգտակար էր ձեզ համար, կարող եք այն պահել ձեր էջում սոցիալական ցանցերում.

Այս բաժնի բոլոր թեմաները.

Fisher's F թեստի կրիտիկական արժեքները
k1 k2 Նշանակության մակարդակ

Տարբեր տնտեսական երևույթները, ինչպես միկրո, այնպես էլ մակրո մակարդակներում, անկախ չեն, այլ փոխկապակցված են (ապրանքի գինը և դրա նկատմամբ պահանջարկը, ընկերության արտադրության ծավալը և շահույթը և այլն):

Այս կախվածությունը կարող է լինել խիստ ֆունկցիոնալ (դետերմինիստական) և վիճակագրական:

Կախվածությունը և-ի միջև կոչվում է ֆունկցիոնալ, երբ մեկ հատկանիշի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է մեկ այլ բնութագրիչի մեկ արժեքին: (Նման եզակի հարաբերությունների օրինակ է շրջանագծի տարածքի կախվածությունը շառավղից):

Իրականում ավելի տարածված է երևույթների միջև մեկ այլ կապ, երբ մի հատկանիշի յուրաքանչյուր արժեք կարող է համապատասխանել մյուսի մի քանի արժեքներին (օրինակ՝ երեխաների տարիքի և նրանց հասակի կապը):

Կապի այն ձևը, երբ մեկ կամ մի քանի փոխկապակցված ցուցիչներ (գործոններ) ազդում են մեկ այլ ցուցիչի (արդյունքի) վրա ոչ միանշանակ, բայց որոշակի հավանականությամբ, կոչվում է վիճակագրական: Մասնավորապես, եթե մեծություններից մեկի փոփոխության ժամանակ փոխվում է մյուսի միջին արժեքը, ապա այս դեպքում վիճակագրական կախվածությունը կոչվում է հարաբերակցություն։

Կախված մոդելում ներառված գործոնների քանակից՝ տարբերակում են զույգ հարաբերակցությունը (երկու փոփոխականների միջև կապը) և բազմակի հարաբերակցությունը (արդյունքի կախվածությունը մի քանի գործոններից):

Հարաբերակցության վերլուծությունբաղկացած է սահմանման մեջ ուղղություններ, ձևեր և աստիճաններկապեր (սերտություն) երկու (մի քանի) պատահական բնութագրերի և.

Ուղղության մեջ հարաբերակցությունը դրական է (ուղիղ), եթե մեկ փոփոխականի արժեքի աճի հետ մեկ այլ փոփոխականի արժեքը մեծանում է, և բացասական (հակադարձ), եթե մեկ փոփոխականի արժեքների աճի հետ մեկ այլ փոփոխականի արժեքը նվազում է։ .

Իր ձևով հարաբերակցության հարաբերությունը կարող է լինել գծային (ուղիղ), երբ մի հատկանիշի արժեքների փոփոխությունը հանգեցնում է մյուսի միատեսակ փոփոխության (մաթեմատիկորեն նկարագրված է ուղիղ գծի հավասարմամբ), և կորագիծ, երբ Մեկ հատկանիշի արժեքների փոփոխությունը հանգեցնում է մյուսի անհավասար փոփոխությունների (մաթեմատիկորեն այն նկարագրվում է կոր գծերի հավասարումներով, օրինակ՝ հիպերբոլաներ, պարաբոլաներ և այլն):

Փոփոխականների միջև կախվածության ամենապարզ ձևը գծային կախվածությունն է: Իսկ նման կախվածության առկայությունը ստուգելը, դրա ցուցանիշներն ու պարամետրերը գնահատելը էկոնոմետրիկայի կարեւորագույն ուղղություններից է։

Կան հատուկ վիճակագրական մեթոդներ և, համապատասխանաբար, ցուցիչներ, որոնց արժեքները որոշակիորեն ցույց են տալիս փոփոխականների միջև գծային հարաբերությունների առկայությունը կամ բացակայությունը:

Գծային հարաբերակցության գործակից

Հարաբերությունները բացահայտելու ամենապարզ, մոտավոր ձևը գրաֆիկական է:

Փոքր նմուշի չափով փորձարարական տվյալները ներկայացված են փոխկապակցված արժեքների երկու շարքի տեսքով և. Եթե յուրաքանչյուր զույգ ներկայացված է հարթության վրա որպես կետ, ապա ստացվում է այսպես կոչված հարաբերակցության դաշտը (նկ. 1):

Եթե հարաբերակցության դաշտը էլիպս է, որի առանցքը գտնվում է ձախից աջ և ներքևից վեր (նկ. 1գ), ապա կարելի է ենթադրել, որ բնութագրերի միջև կա գծային դրական կապ։

Եթե հարաբերակցության դաշտը առանցքի երկայնքով ձգվում է ձախից աջ և վերևից ներքև (նկ. 1դ), ապա կարող ենք ենթադրել գծային բացասական կապի առկայություն։

Եթե դիտակետերը հարթության վրա գտնվում են քաոսային կերպով, այսինքն՝ հարաբերակցության դաշտը կազմում է շրջան (նկ. 1ա), ապա դա վկայում է բնութագրերի միջև կապի բացակայության մասին։

Նկար 1b-ը ցույց է տալիս խիստ գծային ֆունկցիոնալ հարաբերություն:

Երկու մեծությունների սերտ կապը հասկացվում է որպես նրանց միջև խոնարհման աստիճան, որը բացահայտվում է ուսումնասիրվող մեծությունների փոփոխությամբ։ Եթե յուրաքանչյուր տրված արժեք համապատասխանում է միմյանց մոտ գտնվող արժեքներին, ապա հարաբերությունները համարվում են սերտ (ուժեղ); եթե արժեքները լայնորեն ցրված են, ապա հարաբերությունները համարվում են ավելի քիչ մոտ: Հարաբերակցության սերտ կապի դեպքում հարաբերակցության դաշտը քիչ թե շատ սեղմված էլիպս է։

Գծային հարաբերությունների ուղղության և սերտության քանակական չափանիշը գծային հարաբերակցության գործակիցն է:

Ընտրանքի տվյալներից որոշված հարաբերակցության գործակիցը կոչվում է ընտրանքային հարաբերակցության գործակից: Այն հաշվարկվում է բանաձևով.

որտեղ, հատկանիշների ընթացիկ արժեքները և. և բնութագրերի միջին թվաբանական արժեքները. - տարբերակի արտադրյալների միջին թվաբանականը և այդ բնութագրերի ստանդարտ շեղումները. նմուշի չափը.

Հարաբերակցության գործակիցը հաշվարկելու համար բավական է ընդունել պատահական բնութագրերի միջև գծային կապի ենթադրությունը։ Այնուհետև հաշվարկված հարաբերակցության գործակիցը կլինի այս գծային հարաբերությունների չափումը:

Գծային հարաբերակցության գործակիցը արժեքներ է վերցնում 1-ից խիստ գծային բացասական հարաբերությունների դեպքում, մինչև +1 խիստ գծայինի դեպքում: դրական կապ(նրանք.): Հարաբերակցության գործակցի մոտությունը 0-ին ցույց է տալիս բացակայությունը գծայինբնութագրերի միջև կապեր, բայց ընդհանրապես ոչ դրանց միջև կապերի բացակայության մասին:

Հարաբերակցության գործակիցը կարող է տրվել հստակ գրաֆիկական մեկնաբանություն:

Եթե, ապա բնութագրերի միջև առկա է տիպի գծային ֆունկցիոնալ կախվածություն, ինչը նշանակում է բնութագրերի ամբողջական հարաբերակցություն։ Երբ, ուղիղ գիծը դրական թեքություն ունի առանցքի նկատմամբ, իսկ բացասական (նկ. 1բ):

Եթե կետերը գտնվում են տարածքում սահմանափակ գիծ, էլիպսի նմանվող։ Որքան մոտ է հարաբերակցության գործակիցը, այնքան նեղ է էլիպսը և այնքան ավելի մոտ են կետերը կենտրոնացած ուղիղ գծի մոտ: Երբ ասում են՝ դրական հարաբերակցություն կա. Այս դեպքում արժեքները աճելու միտում ունեն (նկ. 1c): Երբ խոսում են բացասական հարաբերակցության մասին. արժեքները հակված են նվազել աճի հետ (նկ. 1d):

Եթե, ապա կետերը գտնվում են շրջանով սահմանափակված տարածքում։ Սա նշանակում է, որ պատահական հատկանիշների միջև փոխկապակցվածություն չկա, և այդպիսի հատկանիշները կոչվում են անկապ (նկ. 1ա):

Նաև գծային հարաբերակցության գործակիցը կարող է մոտ (հավասար) լինել զրոյի, երբ առկա է բնութագրերի միջև կապ, բայց այն ոչ գծային է (նկ. 2):

Միացման խստությունը գնահատելիս կարող եք օգտագործել հետևյալ պայմանական աղյուսակը.

Նկատի ունեցեք, որ քանակների և հետ ընտրանքի գծային հարաբերակցության գործակիցի բանաձևի համարիչը պարունակում է դրանց կովարիանսի ցուցիչը.

Այս ցուցանիշը, ինչպես հարաբերակցության գործակիցը, բնութագրում է գծային հարաբերությունների աստիճանը մեծությունների և. Եթե այն զրոյից մեծ է, ապա մեծությունների միջև կապը դրական է, եթե զրոյից փոքր է, ապա հարաբերությունը բացասական է, եթե հավասար է զրոյի, ապա գծային հարաբերություն չկա:

Ի տարբերություն հարաբերակցության գործակցի, կովարիանսի ցուցիչը նորմալացված է. այն ունի հարթություն, և դրա արժեքը կախված է չափման միավորներից և. Վիճակագրական վերլուծության մեջ կովարիանսի ցուցիչը սովորաբար օգտագործվում է որպես միջանկյալ տարր՝ գծային հարաբերակցության գործակիցը հաշվարկելիս։ Դա. Նմուշի հարաբերակցության գործակիցը հաշվարկելու բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.

Հարաբերակցության գործակցի նշանակության (հուսալիության) գնահատում

Հարկ է նշել, որ փոփոխականների միջև գծային կապի աստիճանի իրական ցուցանիշը տեսական հարաբերակցության գործակիցն է, որը հաշվարկվում է ողջ բնակչության (այսինքն՝ բոլորի) տվյալների հիման վրա։ հնարավոր արժեքներցուցանիշներ):

որտեղ է տեսական կովարիանսի ինդեքսը, որը հաշվարկվում է որպես ակնկալվող արժեքը SV-ների շեղումների արտադրյալները և դրանց մաթեմատիկական սպասումներից:

Որպես կանոն, մենք չենք կարող հաշվարկել տեսական հարաբերակցության գործակիցը։ Այնուամենայնիվ, այն փաստից, որ ընտրանքի գործակիցը հավասար չէ զրոյի, չի հետևում, որ տեսական գործակիցը նույնպես (այսինքն, ցուցանիշները կարող են լինել գծային անկախ): Դա. Պատահական ընտրանքի տվյալների հիման վրա չի կարելի պնդել, որ ցուցանիշների միջև կապ կա:

Ընտրանքային հարաբերակցության գործակիցը տեսական գործակցի գնահատումն է, քանի որ այն հաշվարկվում է միայն փոփոխական արժեքների մի մասի համար:

Հարաբերակցության գործակցի մեջ միշտ սխալ կա։ Այս սխալը - ընտրանքի չափի հարաբերակցության գործակցի և ընդհանուր բնակչության համար հարաբերակցության գործակցի միջև անհամապատասխանությունը որոշվում է բանաձևերով.

ժամը; և ժամը.

Գծային հարաբերակցության գործակցի նշանակությունը ստուգելը նշանակում է ստուգել, թե որքանով կարող ենք վստահել ընտրանքի տվյալներին:

Այդ նպատակով փորձարկվում է զրոյական վարկածը, որ հարաբերակցության գործակցի արժեքը բնակչության համար հավասար է զրոյի, այսինքն. բնակչության մեջ հարաբերակցություն չկա. Այլընտրանքը վարկած է.

Այս վարկածը ստուգելու համար Ուսանողի վիճակագրությունը (չափանիշ) հաշվարկվում է.

Որն ունի ուսանողական բաշխում՝ ազատության աստիճաններով: Օգտագործելով Ուսանողների բաշխման աղյուսակները՝ որոշվում է կրիտիկական արժեք. Եթե չափանիշի հաշվարկված արժեքը, ապա զրոյական վարկածը մերժվում է, այսինքն՝ հաշվարկված հարաբերակցության գործակիցը էականորեն տարբերվում է զրոյից՝ հավանականությամբ։

Եթե, ապա զրոյական վարկածը չի կարող մերժվել։ Այս դեպքում հնարավոր է, որ հարաբերակցության գործակցի իրական արժեքը զրո է, այսինքն. ցուցանիշների միջև կապը վիճակագրորեն աննշան կարելի է համարել։

Օրինակ 1. Աղյուսակում ներկայացված են ընդհանուր եկամուտների և վերջնական սպառման ծախսերի վերաբերյալ 8 տարվա տվյալները:

Ուսումնասիրել և չափել տվյալ ցուցանիշների միջև կապի սերտությունը:

Հարաբերակցության վերլուծությունը վերաբերում է երկուսի միջև կապի աստիճանին պատահական փոփոխականներ X և Y.

Երկու պատահական փոփոխականների համար փորձարարական տվյալների հարաբերակցության վերլուծությունը ներառում է հետևյալ հիմնական տեխնիկան.
1. Ընտրանքային հարաբերակցության գործակիցների հաշվարկ.
2. Հարաբերակցության աղյուսակի կազմում:
3. Ստուգեք վիճակագրական վարկածկապի նշանակությունը.

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. X և Y պատահական փոփոխականների միջև հարաբերակցության կախվածությունը կոչվում է գծային հարաբերակցություն, եթե ռեգրեսիոն f(x) և φ(x) ֆունկցիաները գծային են: Այս դեպքում երկու ռեգրեսիայի գծերն էլ ուղիղ են. դրանք կոչվում են ռեգրեսիայի գծեր:

Բավականին ամբողջական նկարագրությունըքանակների միջև հարաբերական կախվածության առանձնահատկությունները, բավարար չէ որոշել այս կախվածության ձևը և դեպքում. գծային կախվածությունգնահատել դրա ուժը ռեգրեսիայի գործակցի արժեքով: Օրինակ, պարզ է, որ միջնակարգ դպրոցի աշակերտների Y տարիքի հարաբերական կախվածությունը նրանց ուսման X տարուց, որպես կանոն, ավելի մոտ է, քան բարձրագույն կրթության ուսանողների տարիքի նմանատիպ կախվածությունը. ուսումնական հաստատությունկախված ուսման տարուց, քանի որ համալսարանում սովորելու նույն տարում սովորողների շրջանում սովորաբար տարիքային ավելի մեծ ցրվածություն է նկատվում, քան նույն դասարանի դպրոցականների շրջանում:

Ընտրանքային դիտարկումների արդյունքների հիման վրա X և Y արժեքների միջև գծային հարաբերակցության սերտությունը գնահատելու համար ներկայացվում է օրինակելի գծային հարաբերակցության գործակիցի հայեցակարգը, որը սահմանվում է բանաձևով.

որտեղ σ X և σ Y-ը X և Y արժեքների նմուշային ստանդարտ շեղումներ են, որոնք հաշվարկվում են բանաձևերով.

Հարկ է նշել, որ r B ընտրանքի գծային հարաբերակցության գործակցի հիմնական իմաստն այն է, որ այն ներկայացնում է էմպիրիկ (այսինքն՝ հայտնաբերված X և Y արժեքների դիտարկումների արդյունքներից) համապատասխան ընդհանուր գծային հարաբերակցության գործակցի r: r= r B (9)

Հաշվի առնելով բանաձևերը.

մենք տեսնում ենք, որ ընտրանքի հավասարումը գծային ռեգրեսիա Y-ի X-ը նման է.

(10)

Որտեղ. Նույնը կարելի է ասել X-ի գծային ռեգրեսիայի օրինակելի հավասարումների մասին Y-ի վրա.

(11)

Նմուշի գծային հարաբերակցության գործակցի հիմնական հատկությունները.

1. Գծային հարաբերակցությամբ չկապված երկու մեծությունների հարաբերակցության գործակիցը հավասար է զրոյի։
2. Գծային հարաբերակցության կախվածությամբ կապված երկու մեծությունների հարաբերակցության գործակիցը հավասար է 1-ի` աճող կախվածության դեպքում, իսկ -1-ի` նվազող կախվածության դեպքում:
3. Գծային հարաբերակցության կախվածությամբ կապված երկու մեծությունների հարաբերակցության գործակցի բացարձակ արժեքը բավարարում է 0 անհավասարությունը.<|r|<1. При этом коэффициент корреляции положителен, если корреляционная зависимость возрастающая, и отрицателен, если корреляционная зависимость убывающая.
4. Որքան մոտ է |ր| 1-ին, այնքան մոտ է Y-ի և X-ի արժեքների գծային հարաբերակցությունը:

Իր բնույթով հարաբերակցությունը կարող է լինել ուղիղ կամ հակադարձ, իսկ ուժով` ուժեղ, միջին, թույլ: Բացի այդ, կապը կարող է բացակայել կամ ամբողջական լինել:

Պարամետրերի միջև կապի ուժն ու բնույթը

Օրինակ 4. Ուսումնասիրվել է Y և X երկու մեծությունների փոխհարաբերությունները Դիտարկման արդյունքները ներկայացված են աղյուսակում՝ 11 հատորի երկչափ նմուշի տեսքով.

X	68	37	50	53	75	66	52	65	74	65	54
Յ	114	149	146	141	114	112	124	105	141	120	124

Պահանջվում է:
1) հաշվարկել ընտրանքի հարաբերակցության գործակիցը.
2) գնահատել հարաբերակցության բնույթն ու ուժը.
3) X-ի վրա Y-ի գծային ռեգրեսիոն հավասարում գրեք:

Լուծում. Հայտնի բանաձևերի համաձայն.

Հետևաբար, համաձայն (7) և (8) կետերի.

Այսպիսով, պետք է եզրակացնել, որ X և Y արժեքների միջև դիտարկվող հարաբերակցության կախվածությունը հակադարձ բնույթ ունի և միջին ուժով:

3) Y-ի գծային ռեգրեսիոն հավասարումը X-ի վրա.

Օրինակ 5. Ուսումնասիրվել է Y որակի (%) և X քանակի (հատ) կապը: Դիտարկման արդյունքները ներկայացված են հարաբերակցության աղյուսակի տեսքով.

Y\X	18	22	26	30	n y
70	5				5
75	7	46	1		54
80		29	72		101
85			29	8
90				3	3
n x	12	75	102	11	200

Պահանջվում է հաշվարկել Y-ի X-ից կախվածության օրինակելի գծային հարաբերակցության գործակիցը:

Լուծում. Հաշվարկները պարզեցնելու համար անցնենք նոր փոփոխականներին՝ պայմանական տարբերակներին (u i, v i), օգտագործելով (*) (§3) h 1 =4, h 2 =5, x 0 =26, y 0 =80 բանաձեւերը։ Հարմարության համար մենք այս աղյուսակը վերագրում ենք նոր նշումով.