Առաջադրանք 1.Պարզեք՝ արդյոք վեկտորների համակարգը գծային անկախ է։ Վեկտորների համակարգը կճշտվի համակարգի մատրիցով, որի սյունակները բաղկացած են վեկտորների կոորդինատներից։

.

Լուծում.Թող գծային համակցությունը հավասար է զրոյի: Այս հավասարությունը կոորդինատներով գրելով՝ ստանում ենք հետևյալ համակարգըհավասարումներ:

.

Հավասարումների նման համակարգը կոչվում է եռանկյուն: Նա ունի միայն մեկ լուծում . Հետեւաբար, վեկտորները գծային անկախ.

Առաջադրանք 2.Պարզեք՝ արդյոք վեկտորների համակարգը գծային անկախ է։

.

Լուծում.Վեկտորներ գծային անկախ են (տես Խնդիր 1): Փաստենք, որ վեկտորը վեկտորների գծային համակցություն է . Վեկտորի ընդլայնման գործակիցները որոշվում են հավասարումների համակարգից

.

Այս համակարգը, ինչպես եռանկյունը, ունի յուրահատուկ լուծում.

Հետեւաբար, վեկտորների համակարգը գծային կախված.

Մեկնաբանություն. Կանչվում են նույն տիպի մատրիցները, ինչ 1-ին խնդիրում եռանկյունաձեւ և 2-րդ խնդրի մեջ – աստիճանավոր եռանկյուն . Վեկտորների համակարգի գծային կախվածության հարցը հեշտությամբ լուծվում է, եթե այդ վեկտորների կոորդինատներից կազմված մատրիցը աստիճանային եռանկյուն է: Եթե ​​մատրիցը չունի հատուկ ձև, ապա օգտագործելով տարրական տողերի փոխարկումներ , պահպանելով սյուների միջև գծային հարաբերությունները, այն կարող է վերածվել աստիճանական եռանկյունաձև ձևի։

Տարրական տողերի փոխարկումներմատրիցներ (EPS) մատրիցի վրա հետևյալ գործողությունները կոչվում են.

1) տողերի վերադասավորում.

2) տողի բազմապատկումը ոչ զրոյական թվով.

3) տողի վրա ևս մեկ տող ավելացնելը, որը բազմապատկվում է կամայական թվով:

Առաջադրանք 3.Գտեք առավելագույն գծային անկախ ենթահամակարգը և հաշվարկեք վեկտորների համակարգի աստիճանը

.

Լուծում.Եկեք կրճատենք համակարգի մատրիցը EPS-ի միջոցով մինչև քայլ-եռանկյուն ձև: Ընթացակարգը բացատրելու համար մենք տողը նշում ենք նշանով փոխակերպվող մատրիցայի թվով: Սլաքից հետո սյունակը ցույց է տալիս փոխակերպվող մատրիցայի տողերի վրա կատարվող գործողությունները, որոնք պետք է կատարվեն նոր մատրիցի տողերը ստանալու համար:

.

Ակնհայտ է, որ ստացված մատրիցայի առաջին երկու սյունակները գծային անկախ են, երրորդ սյունակը նրանց գծային համակցությունն է, իսկ չորրորդը կախված չէ առաջին երկուսից։ Վեկտորներ կոչվում են հիմնական: Նրանք կազմում են համակարգի առավելագույն գծային անկախ ենթահամակարգ , իսկ համակարգի աստիճանը երեքն է։

Հիմք, կոորդինատներ

Առաջադրանք 4.Գտեք այս հիմքում գտնվող վեկտորների հիմքերը և կոորդինատները երկրաչափական վեկտորների բազմության վրա, որոնց կոորդինատները բավարարում են պայմանը. .

Լուծում. Կոմպլեկտը ծագման միջով անցնող ինքնաթիռ է։ Ինքնաթիռի վրա կամայական հիմքը բաղկացած է երկու ոչ գծային վեկտորներից: Ընտրված հիմքում վեկտորների կոորդինատները որոշվում են համապատասխան համակարգի լուծմամբ գծային հավասարումներ.

Այս խնդիրը լուծելու ևս մեկ տարբերակ կա, երբ կոորդինատների միջոցով կարող եք գտնել հիմքը։

Կոորդինատներ տարածությունները հարթության վրա կոորդինատներ չեն, քանի որ դրանք կապված են հարաբերության միջոցով , այսինքն՝ անկախ չեն։ Անկախ փոփոխականները և (դրանք կոչվում են ազատ) եզակիորեն սահմանում են վեկտորը հարթության վրա և, հետևաբար, դրանք կարող են ընտրվել որպես կոորդինատներ . Հետո հիմքը բաղկացած է վեկտորներից, որոնք գտնվում են և համապատասխանում են ազատ փոփոխականների բազմություններին Եվ , այսինքն .

Առաջադրանք 5.Գտեք այս հիմքի վեկտորների հիմքերը և կոորդինատները տարածության բոլոր վեկտորների բազմության վրա, որոնց կենտ կոորդինատները հավասար են միմյանց:

Լուծում. Եկեք ընտրենք, ինչպես նախորդ խնդիրում, կոորդինատները տարածության մեջ:

Որովհետև , ապա ազատ փոփոխականներ եզակիորեն որոշում են վեկտորը և, հետևաբար, կոորդինատներ են: Համապատասխան հիմքը բաղկացած է վեկտորներից։

Առաջադրանք 6.Գտեք այս հիմքի վեկտորների հիմքերը և կոորդինատները ձևի բոլոր մատրիցների բազմության վրա , Որտեղ - կամայական թվեր.

Լուծում. Յուրաքանչյուր մատրիցա եզակիորեն ներկայացված է հետևյալ ձևով.

Այս հարաբերությունը վեկտորի ընդլայնումն է հիմքի նկատմամբ
կոորդինատներով .

Առաջադրանք 7.Գտե՛ք վեկտորների համակարգի գծային կորպուսի չափն ու հիմքը

.

Լուծում.Օգտագործելով EPS-ը, մենք մատրիցը վերափոխում ենք համակարգի վեկտորների կոորդինատներից քայլային եռանկյունի ձևի:

.

Սյունակներ վերջին մատրիցները գծային անկախ են, իսկ սյունակները գծային արտահայտված դրանց միջոցով։ Հետեւաբար, վեկտորները հիմք կազմել , Եվ .

Մեկնաբանություն. Հիմք ներս ընտրված է ոչ միանշանակ. Օրինակ՝ վեկտորները նաև հիմք են կազմում .

Գծային կախվածություն և գծային անկախությունվեկտորներ.
Վեկտորների հիմքը. Affine կոորդինատային համակարգ

Դահլիճում շոկոլադներով սայլ կա, և յուրաքանչյուր այցելու այսօր կստանա քաղցր զույգ՝ գծային հանրահաշիվով վերլուծական երկրաչափություն: Այս հոդվածը կանդրադառնա բարձրագույն մաթեմատիկայի միանգամից երկու բաժինների, և մենք կտեսնենք, թե ինչպես են դրանք գոյակցում մեկ փաթաթում: Ընդմիջեք, կերեք Twix: ... անիծյալ, ինչ անհեթեթություն: Չնայած, լավ, ես գոլ չեմ խփի, ի վերջո, պետք է դրական վերաբերվել սովորելուն։

Վեկտորների գծային կախվածություն, գծային վեկտորի անկախություն, վեկտորների հիմքըև այլ տերմիններ ունեն ոչ միայն երկրաչափական մեկնաբանություն, այլ, առաջին հերթին, հանրահաշվական իմաստ. «Վեկտոր» հասկացությունը գծային հանրահաշվի տեսանկյունից միշտ չէ, որ այն «սովորական» վեկտորն է, որը մենք կարող ենք պատկերել հարթության վրա կամ տարածության մեջ: Պետք չէ հեռուն փնտրել ապացույցների համար, փորձեք նկարել հնգչափ տարածության վեկտոր . Կամ եղանակի վեկտորը, որի համար ես հենց նոր գնացի Gismeteo՝ – ջերմաստիճան և մթնոլորտային ճնշումհամապատասխանաբար. Օրինակը, իհարկե, սխալ է վեկտորային տարածության հատկությունների տեսակետից, բայց, այնուամենայնիվ, ոչ ոք չի արգելում այդ պարամետրերը որպես վեկտոր ձեւակերպել։ Աշնանային շունչ...

Ոչ, ես չեմ պատրաստվում ձանձրացնել ձեզ տեսությամբ, գծային վեկտորային տարածություններով, խնդիրն այն է հասկանալսահմանումներ և թեորեմներ: Նոր տերմինները (գծային կախվածություն, անկախություն, գծային համակցություն, հիմք և այլն) վերաբերում են բոլորին վեկտորները հանրահաշվական տեսանկյունից, բայց տրվելու են երկրաչափական օրինակներ։ Այսպիսով, ամեն ինչ պարզ է, մատչելի և պարզ: Բացի վերլուծական երկրաչափության խնդիրներից, մենք կդիտարկենք նաև որոշ բնորոշ առաջադրանքներ հանրահաշիվ. Նյութը յուրացնելու համար խորհուրդ է տրվում ծանոթանալ դասերին Վեկտորներ կեղծամների համար Եվ Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Հարթ վեկտորների գծային կախվածություն և անկախություն:
Հարթության հիմք և աֆինային կոորդինատային համակարգ

Դիտարկենք ձեր համակարգչի գրասեղանի հարթությունը (ընդամենը սեղան, մահճակալի սեղան, հատակ, առաստաղ, ինչ ուզում եք): Խնդիրը կլինի հաջորդ քայլերը:

1) Ընտրեք ինքնաթիռի հիմքը. Կոպիտ ասած, սեղանի սեղանն ունի երկարություն և լայնություն, ուստի ինտուիտիվ է, որ հիմքը կառուցելու համար կպահանջվի երկու վեկտոր: Մեկ վեկտորն ակնհայտորեն բավարար չէ, երեք վեկտորը շատ է:

2) Ընտրված հիմքի վրա սահմանել կոորդինատային համակարգ(կոորդինատների ցանց) սեղանի բոլոր օբյեկտներին կոորդինատներ նշանակելու համար:

Մի զարմացեք, սկզբում բացատրությունները մատների վրա կլինեն։ Ավելին, ձեր վրա: Խնդրում ենք տեղադրել ցուցամատըձախ ձեռքըսեղանի եզրին, որպեսզի նա նայի մոնիտորի վրա: Սա կլինի վեկտոր: Հիմա տեղ փոքր մատը աջ ձեռքը սեղանի եզրին նույն կերպ, որպեսզի այն ուղղված լինի մոնիտորի էկրանին: Սա կլինի վեկտոր: Ժպտա, դու հիանալի տեսք ունես: Ի՞նչ կարող ենք ասել վեկտորների մասին: Տվյալների վեկտորներ համագիծ, ինչը նշանակում է գծայինմիմյանց միջոցով արտահայտված.
, լավ, կամ հակառակը՝ , որտեղ ինչ-որ թիվ տարբերվում է զրոյից:

Այս գործողության նկարը կարող եք տեսնել դասարանում: Վեկտորներ կեղծամների համար , որտեղ ես բացատրեցի վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնը։

Արդյո՞ք ձեր մատները հիմք կդնեն համակարգչային սեղանի հարթության վրա: Ակնհայտորեն ոչ: Գոյություն ունեցող վեկտորները շարժվում են ետ ու առաջ միայնակուղղությունը, իսկ ինքնաթիռն ունի երկարություն և լայնություն։

Նման վեկտորները կոչվում են գծային կախված.

Հղում: «Գծային», «գծային» բառերը նշանակում են այն փաստը, որ մաթեմատիկական հավասարումների և արտահայտությունների մեջ չկան քառակուսիներ, խորանարդներ, այլ հզորություններ, լոգարիթմներ, սինուսներ և այլն: Կան միայն գծային (1-ին աստիճանի) արտահայտություններ և կախվածություններ։

Երկու հարթ վեկտոր գծային կախված հետո և միայն այն ժամանակերբ դրանք համակողմանի են.

Ձեր մատները խաչեք սեղանի վրա այնպես, որ նրանց միջև լինի 0 կամ 180 աստիճանից այլ անկյուն: Երկու հարթ վեկտորգծային Ոչկախված, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք համակցված չեն. Այսպիսով, հիմքը ստացված է. Պետք չէ ամաչել, որ հիմքը «շեղված» է տարբեր երկարությունների ոչ ուղղահայաց վեկտորներով։ Շատ շուտով մենք կտեսնենք, որ դրա կառուցման համար հարմար է ոչ միայն 90 աստիճանի անկյունը, և ոչ միայն հավասար երկարության միավոր վեկտորները

Ցանկացածհարթության վեկտոր միակ ճանապարհըընդլայնվում է ըստ հիմքի՝
, Որտեղ - իրական թվեր. Թվերը կոչվում են վեկտորի կոորդինատներըայս հիմքում։

Ասվում է նաև, որ վեկտորներկայացված է որպես գծային համադրությունհիմքի վեկտորներ. Այսինքն՝ արտահայտությունը կոչվում է վեկտորի տարրալուծումհիմքովկամ գծային համադրությունհիմքի վեկտորներ.

Օրինակ, կարող ենք ասել, որ վեկտորը քայքայված է հարթության օրթոնորմալ հիմքի երկայնքով, կամ կարող ենք ասել, որ այն ներկայացված է որպես վեկտորների գծային համակցություն։

Եկեք ձևակերպենք հիմքի սահմանումպաշտոնապես: Ինքնաթիռի հիմքըկոչվում է գծային անկախ (ոչ սյունաձև) վեկտորների զույգ, , մինչդեռ ցանկացածհարթ վեկտորը հիմքի վեկտորների գծային համակցություն է:

Սահմանման էական կետը վեկտորների վերցված լինելու փաստն է որոշակի կարգով. Հիմքեր - սրանք երկու բոլորովին տարբեր հիմքեր են: Ինչպես ասում են, ձախ ձեռքի փոքրիկ մատը չես կարող փոխարինել աջ ձեռքի փոքր մատի փոխարեն։

Մենք պարզել ենք հիմքը, բայց դա բավարար չէ կոորդինատային ցանց սահմանել և կոորդինատներ նշանակել ձեր համակարգչի սեղանի յուրաքանչյուր կետին: Ինչու դա բավարար չէ: Վեկտորները ազատ են և թափառում են ամբողջ հարթության վրա: Այսպիսով, ինչպե՞ս եք կոորդինատներ հատկացնում սեղանի վրա գտնվող այդ փոքրիկ կեղտոտ կետերին, որոնք մնացել են վայրի հանգստյան օրերից: Անհրաժեշտ է մեկնարկային կետ: Եվ նման ուղենիշը բոլորին ծանոթ կետ է՝ կոորդինատների ծագումը։ Եկեք հասկանանք կոորդինատային համակարգը.

Սկսեմ «դպրոցական» համակարգից։ Արդեն ներածական դասում Վեկտորներ կեղծամների համար Ես ընդգծեցի որոշ տարբերություններ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի և օրթոնորմալ հիմքի միջև: Ահա ստանդարտ նկարը.

Երբ խոսում են այն մասին ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, ապա ամենից հաճախ նկատի ունեն առանցքների երկայնքով ծագումը, կոորդինատային առանցքները և սանդղակը։ Փորձեք որոնողական համակարգում մուտքագրել «ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ», և կտեսնեք, որ շատ աղբյուրներ ձեզ կպատմեն 5-6-րդ դասարաններից ծանոթ կոորդինատային առանցքների և հարթության վրա կետերի գծագրման մասին:

Մյուս կողմից, թվում է, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը կարող է ամբողջությամբ սահմանվել օրթոնորմալ հիմքի տեսանկյունից: Եվ դա գրեթե ճիշտ է: Ձևակերպումը հետևյալն է.

ծագում, Եվ օրթոնորմալհիմքը դրված է Դեկարտյան ուղղանկյուն հարթության կոորդինատային համակարգ . Այսինքն՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը հաստատսահմանվում է մեկ կետով և երկու միավոր ուղղանկյուն վեկտորներով: Ահա թե ինչու դուք տեսնում եք վերևում իմ տված գծագիրը. երկրաչափական խնդիրներում և՛ վեկտորները, և՛ կոորդինատային առանցքները հաճախ (բայց ոչ միշտ) գծված են:

Կարծում եմ, բոլորը հասկանում են, որ օգտագործելով կետ (ծագում) և օրթոնորմալ հիմք ՑԱՆԿԱՑԱԾ ԿԵՏ ինքնաթիռում և ՑԱՆԿԱՑԱԾ ՎԵԿՏՈՐ ինքնաթիռումկոորդինատները կարող են նշանակվել: Պատկերավոր ասած՝ «ինքնաթիռում ամեն ինչ կարելի է համարակալել»։

Արդյո՞ք կոորդինատների վեկտորները պետք է լինեն միավոր: Ոչ, դրանք կարող են ունենալ կամայական ոչ զրոյական երկարություն: Դիտարկենք կամայական ոչ զրոյական երկարության կետ և երկու ուղղանկյուն վեկտոր.

Նման հիմքը կոչվում է ուղղանկյուն. Վեկտորներով կոորդինատների ծագումը որոշվում է կոորդինատային ցանցով, և հարթության ցանկացած կետ, ցանկացած վեկտոր ունի իր կոորդինատները տվյալ հիմքում: Օրինակ, կամ. Ակնհայտ անհարմարությունն այն է, որ կոորդինատների վեկտորները Վ ընդհանուր դեպք ունեն տարբեր երկարություններ, բացի միասնությունից: Եթե ​​երկարությունները հավասար են միասնությանը, ապա ստացվում է սովորական օրթոնորմալ հիմքը։

! Նշում ուղղանկյուն հիմքում, ինչպես նաև ներքևում հարթության և տարածության աֆինային հիմքերում առանցքների երկայնքով միավորներ են համարվում. ՊԱՅՄԱՆԱԿԱՆ. Օրինակ, x առանցքի երկայնքով մեկ միավորը պարունակում է 4 սմ, օրդինատների առանցքի մեկ միավորը պարունակում է 2 սմ:

Եվ երկրորդ հարցը, որին փաստացի արդեն տրվել է պատասխան, այն է, թե արդյոք հիմքի վեկտորների միջև անկյունը պետք է հավասար լինի 90 աստիճանի: Ո՛չ։ Ինչպես նշվում է սահմանման մեջ, հիմքի վեկտորները պետք է լինեն միայն ոչ գծային. Համապատասխանաբար, անկյունը կարող է լինել ցանկացած բան, բացի 0-ից և 180 աստիճանից:

Ինքնաթիռի մի կետ կանչեց ծագում, Եվ ոչ գծայինվեկտորներ, , հավաքածու աֆին հարթության կոորդինատային համակարգ :

Երբեմն նման կոորդինատային համակարգ կոչվում է թեքհամակարգ. Որպես օրինակ՝ գծանկարը ցույց է տալիս կետեր և վեկտորներ.

Ինչպես հասկանում եք, աֆինային կոորդինատային համակարգը նույնիսկ ավելի քիչ հարմար է վեկտորների և հատվածների երկարությունների բանաձևերը, որոնք մենք քննարկել ենք դասի երկրորդ մասում, դրանում չեն աշխատում. Վեկտորներ կեղծամների համար , շատ համեղ բանաձեւեր՝ կապված վեկտորների սկալյար արտադրյալ . Բայց վեկտորներ ավելացնելու և վեկտորը թվով բազմապատկելու կանոնները վավեր են, այս առումով հատված բաժանելու բանաձեւերը, ինչպես նաև որոշ այլ տեսակի խնդիրներ, որոնք մենք շուտով կանդրադառնանք:

Եվ եզրակացությունն այն է, որ աֆինային կոորդինատային համակարգի ամենահարմար հատուկ դեպքը դեկարտյան ուղղանկյուն համակարգն է։ Դրա համար ամենից հաճախ պետք է նրան տեսնել, սիրելիս: ...Սակայն այս կյանքում ամեն ինչ հարաբերական է. կան բազմաթիվ իրավիճակներ, երբ թեք անկյունը (կամ մեկ այլ, օրինակ. բևեռային) կոորդինատային համակարգ. Եվ մարդանմաններին կարող են դուր գալ նման համակարգերը =)

Անցնենք գործնական մասին։ Այս դասի բոլոր խնդիրները վավեր են ինչպես ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի, այնպես էլ ընդհանուր աֆինական գործի համար: Այստեղ ոչ մի բարդ բան չկա.

Ինչպե՞ս որոշել հարթ վեկտորների համակցվածությունը:

Տիպիկ բան. Որպեսզի երկու հարթ վեկտոր եղել են համագիծ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրանց համապատասխան կոորդինատները լինեն համաչափԸստ էության, սա ակնհայտ հարաբերությունների կոորդինատ առ կոորդինատային մանրամասնություն է:

Օրինակ 1

ա) Ստուգեք, արդյոք վեկտորները համագիծ են .
բ) Արդյո՞ք վեկտորները հիմք են կազմում: ?

Լուծում:
ա) Եկեք պարզենք, արդյոք կա վեկտորների համար համամասնության գործակիցը, որպեսզի հավասարությունները բավարարվեն.

Ես անպայման ձեզ կասեմ «foppish» տեսակի հավելվածի մասին այս կանոնից, որը գործնականում բավականին լավ է աշխատում։ Գաղափարն այն է, որ անմիջապես կազմվի համամասնությունը և տեսնել, թե արդյոք դա ճիշտ է.

Վեկտորների համապատասխան կոորդինատների հարաբերություններից կազմենք համամասնություն.

Եկեք կրճատենք.
, հետևաբար, համապատասխան կոորդինատները համաչափ են, հետևաբար,

Հարաբերությունները կարող են լինել հակառակը, սա համարժեք տարբերակ է.

Ինքնաթեստավորման համար կարող եք օգտագործել այն փաստը, որ համագիծ վեկտորները գծային կերպով արտահայտված են միմյանց միջոցով: IN այս դեպքումկան հավասարություններ . Դրանց վավերականությունը հեշտությամբ կարելի է ստուգել վեկտորներով տարրական գործողությունների միջոցով.

բ) Երկու հարթ վեկտորներ հիմք են կազմում, եթե դրանք համագիծ չեն (գծային անկախ): Մենք ուսումնասիրում ենք վեկտորները համակողմանիության համար . Եկեք ստեղծենք համակարգ.

Առաջին հավասարումից հետևում է, որ , երկրորդ հավասարումից հետևում է, որ , ինչը նշանակում է համակարգը անհամապատասխան է (լուծումներ չկան): Այսպիսով, վեկտորների համապատասխան կոորդինատները համաչափ չեն։

ԵզրակացությունՎեկտորները գծային անկախ են և հիմք են կազմում:

Լուծման պարզեցված տարբերակը հետևյալն է.

Վեկտորների համապատասխան կոորդինատներից համամասնություն կազմենք :
, ինչը նշանակում է, որ այս վեկտորները գծային անկախ են և հիմք են կազմում։

Սովորաբար այս տարբերակը չի մերժվում վերանայողների կողմից, սակայն խնդիր է առաջանում այն ​​դեպքերում, երբ որոշ կոորդինատներ հավասար են զրոյի։ Այսպես. . Կամ այսպես. . Կամ այսպես. . Ինչպե՞ս աշխատել այստեղ համամասնության վրա: (իրոք, դուք չեք կարող բաժանել զրոյի): Այդ պատճառով ես պարզեցված լուծումն անվանեցի «անհեթեթ»:

Պատասխան.ա), բ) ձև.

Մի փոքրիկ ստեղծագործական օրինակ անկախ որոշում:

Օրինակ 2

Պարամետրի ինչ արժեքով են վեկտորները դրանք կլինե՞ն համագիծ:

Նմուշի լուծույթում պարամետրը հայտնաբերվում է համամասնության միջոցով:

Գոյություն ունի էլեգանտ հանրահաշվական եղանակ՝ վեկտորների համակեցությունը ստուգելու համար, եկեք համակարգենք մեր գիտելիքները և ավելացնենք այն որպես հինգերորդ կետ:

Երկու հարթ վեկտորների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են:

2) վեկտորները հիմք են կազմում.
3) վեկտորները համակողմանի չեն.

+ 5) այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը զրո չէ.

Համապատասխանաբար, Հետևյալ հակադիր պնդումները համարժեք են:
1) վեկտորները գծային կախված են.
2) վեկտորները հիմք չեն կազմում.
3) վեկտորները համագիծ են.
4) վեկտորները կարող են գծային արտահայտվել միմյանց միջոցով.
+ 5) այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի.

Ես իսկապես, իսկապես հույս ունեմ, որ դա այս պահինդուք արդեն հասկանում եք այն բոլոր տերմիններն ու արտահայտությունները, որոնց հանդիպում եք:

Եկեք մանրամասնորեն նայենք նոր՝ հինգերորդ կետին. երկու հարթ վեկտոր համագիծ են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ տվյալ վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի:. Օգտագործման համար այս հատկանիշիԲնականաբար, դուք պետք է կարողանաք գտնել որոշիչները .

Եկեք որոշենքՕրինակ 1 երկրորդ ձևով.

ա) Հաշվենք վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը :
, ինչը նշանակում է, որ այս վեկտորները համագիծ են։

բ) Երկու հարթ վեկտորներ հիմք են կազմում, եթե դրանք համագիծ չեն (գծային անկախ): Հաշվենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը :
, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները գծային անկախ են և հիմք են կազմում։

Պատասխան.ա), բ) ձև.

Այն շատ ավելի կոմպակտ և գեղեցիկ տեսք ունի, քան համամասնություններով լուծումը:

Դիտարկված նյութի օգնությամբ հնարավոր է հաստատել ոչ միայն վեկտորների համագծայինությունը, այլև ապացուցել հատվածների և ուղիղ գծերի զուգահեռությունը։ Դիտարկենք որոշակի երկրաչափական ձևերի հետ կապված մի քանի խնդիր:

Օրինակ 3

Տրված են քառանկյան գագաթները։ Ապացուցեք, որ քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

ԱպացույցԽնդրի մեջ գծանկար ստեղծելու կարիք չկա, քանի որ լուծումը լինելու է զուտ վերլուծական։ Հիշենք զուգահեռագծի սահմանումը.
Զուգահեռագիծ Այն քառանկյունը, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են, կոչվում է:

Այսպիսով, անհրաժեշտ է ապացուցել.
1) հակադիր կողմերի զուգահեռություն և.
2) հակադիր կողմերի զուգահեռությունը և.

Մենք ապացուցում ենք.

1) Գտեք վեկտորները.

2) Գտեք վեկտորները.

Արդյունքը նույն վեկտորն է («ըստ դպրոցի»՝ հավասար վեկտորներ): Կոլինայնությունը միանգամայն ակնհայտ է, բայց ավելի լավ է որոշումը ֆորմալացնել հստակ, դասավորվածությամբ։ Եկեք հաշվարկենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը.
, ինչը նշանակում է, որ այս վեկտորները համագիծ են, և .

ԵզրակացությունՔառանկյան հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են, ինչը նշանակում է, որ այն ըստ սահմանման զուգահեռագիծ է: Ք.Ե.Դ.

Ավելի լավ և տարբեր թվեր.

Օրինակ 4

Տրված են քառանկյան գագաթները։ Ապացուցեք, որ քառանկյունը trapezoid է:

Ապացույցի ավելի խիստ ձևակերպման համար ավելի լավ է, իհարկե, ստանալ տրապիզոիդի սահմանումը, բայց բավական է պարզապես հիշել, թե ինչ տեսք ունի այն։

Սա խնդիր է, որը դուք կարող եք ինքնուրույն լուծել: Ամբողջական լուծումդասի վերջում.

Եվ հիմա ժամանակն է ինքնաթիռից դանդաղ շարժվել դեպի տիեզերք.

Ինչպե՞ս որոշել տիեզերական վեկտորների համակցվածությունը:

Կանոնը շատ նման է. Որպեսզի երկու տիեզերական վեկտորները լինեն համագիծ, անհրաժեշտ և բավարար, որպեսզի դրանց համապատասխան կոորդինատները համաչափ լինեն.

Օրինակ 5

Պարզեք՝ արդյոք հետևյալ տիեզերական վեկտորները համագիծ են.

Ա) ;
բ)
V)

Լուծում:
ա) Ստուգենք՝ կա՞ արդյոք համաչափության գործակից վեկտորների համապատասխան կոորդինատների համար.

Համակարգը լուծում չունի, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները համակողմանի չեն:

«Պարզեցված»-ը ձևակերպվում է համամասնությունը ստուգելով: Այս դեպքում.
– համապատասխան կոորդինատները համաչափ չեն, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները համագիծ չեն:

Պատասխան.վեկտորները համակողմանի չեն:

բ-գ) Սրանք անկախ որոշման կետեր են: Փորձեք այն երկու եղանակով.

Գոյություն ունի երրորդ կարգի որոշիչի միջոցով տարածական վեկտորների համակողմանիության ստուգման մեթոդ, այս մեթոդըհոդվածում լուսաբանված Վեկտորների վեկտորային արտադրյալ .

Ինչպես հարթության դեպքում, դիտարկված գործիքները կարող են օգտագործվել տարածական հատվածների և ուղիղ գծերի զուգահեռությունը ուսումնասիրելու համար:

Բարի գալուստ երկրորդ բաժին.

Վեկտորների գծային կախվածություն և անկախություն եռաչափ տարածության մեջ:
Տարածական հիմք և աֆինային կոորդինատային համակարգ

Շատ օրինաչափություններ, որոնք մենք ուսումնասիրել ենք ինքնաթիռում, վավեր կլինեն տիեզերքի համար: Ես փորձեցի նվազագույնի հասցնել տեսական նշումները, քանի որ առյուծի բաժինըտեղեկությունն արդեն ծամված է։ Այնուամենայնիվ, խորհուրդ եմ տալիս ուշադիր կարդալ ներածական մասը, քանի որ կհայտնվեն նոր տերմիններ և հասկացություններ:

Այժմ, համակարգչային սեղանի հարթության փոխարեն, մենք ուսումնասիրում ենք եռաչափ տարածությունը: Նախ, եկեք ստեղծենք դրա հիմքը: Ինչ-որ մեկը հիմա ներսում է, ինչ-որ մեկը դրսում, բայց ամեն դեպքում մենք չենք կարող խուսափել երեք չափերից՝ լայնություն, երկարություն և բարձրություն: Հետևաբար, հիմք կառուցելու համար կպահանջվի երեք տարածական վեկտոր: Մեկ-երկու վեկտորը բավարար չէ, չորրորդն ավելորդ է։

Եվ կրկին մենք տաքանում ենք մեր մատների վրա: Խնդրում ենք ձեռքը վեր բարձրացնել և տարածել տարբեր ուղղություններով բութ, ցուցիչ և միջին մատը . Սրանք կլինեն վեկտորներ, նրանք նայում են տարբեր ուղղություններով, ունեն տարբեր երկարություններ և ունեն տարբեր անկյուններ միմյանց միջև: Շնորհավորում ենք, եռաչափ տարածության հիմքը պատրաստ է: Ի դեպ, ուսուցիչներին դա ցույց տալու կարիք չկա, որքան էլ մատներդ պտտես, բայց սահմանումներից փախուստ չկա =)

Հաջորդը, եկեք հարցնենք կարևոր խնդիր, արդյոք ցանկացած երեք վեկտոր հիմք են կազմում եռաչափ տարածություն ? Խնդրում ենք երեք մատները ամուր սեղմել համակարգչի սեղանի վերևի վրա: Ի՞նչ է պատահել։ Երեք վեկտորներ գտնվում են նույն հարթության վրա, և, կոպիտ ասած, կորցրել ենք չափերից մեկը՝ բարձրությունը։ Նման վեկտորներն են համակողմանիև միանգամայն ակնհայտ է, որ եռաչափ տարածության հիմքը ստեղծված չէ։

Հարկ է նշել, որ համակողմանի վեկտորները պարտադիր չէ, որ պառկեն նույն հարթության վրա, դրանք կարող են լինել զուգահեռ հարթություններում (պարզապես դա մի արեք ձեր մատներով, միայն Սալվադոր Դալին է դա արել =)):

Սահմանում: վեկտորները կոչվում են համակողմանի, եթե կա հարթություն, որին զուգահեռ են։ Այստեղ տրամաբանական է ավելացնել, որ եթե այդպիսի հարթություն գոյություն չունի, ապա վեկտորները չեն լինի համահավասար։

Երեք համակողմանի վեկտորներ միշտ գծային կախված են, այսինքն՝ գծային կերպով արտահայտվում են միմյանց միջոցով։ Պարզության համար նորից պատկերացնենք, որ նրանք պառկած են նույն հարթության մեջ։ Նախ, վեկտորները ոչ միայն համահավասար են, այլ նաև կարող են լինել համագիծ, այնուհետև ցանկացած վեկտոր կարող է արտահայտվել ցանկացած վեկտորի միջոցով: Երկրորդ դեպքում, եթե, օրինակ, վեկտորները համակողմանի չեն, ապա երրորդ վեկտորը նրանց միջոցով արտահայտվում է յուրովի. (իսկ ինչու հեշտ է կռահել նախորդ բաժնի նյութերից):

Ճիշտ է նաև հակառակը. երեք ոչ համաչափ վեկտորներ միշտ գծային անկախ են, այսինքն՝ ոչ մի կերպ չեն արտահայտվում միմյանց միջոցով։ Եվ, ակնհայտ է, միայն նման վեկտորները կարող են հիմք հանդիսանալ եռաչափ տարածության համար։

Սահմանում: Եռաչափ տարածության հիմքըկոչվում է գծային անկախ (ոչ համահարթակ) վեկտորների եռակի, վերցված որոշակի հերթականությամբ, և տարածության ցանկացած վեկտոր միակ ճանապարհըքայքայվում է տվյալ հիմքի վրա, որտեղ են վեկտորի կոորդինատները այս հիմքում

Հիշեցնեմ, որ կարող ենք ասել նաև, որ վեկտորը ներկայացված է ձևով գծային համադրությունհիմքի վեկտորներ.

Կոորդինատային համակարգի հայեցակարգը ներկայացվում է ճիշտ այնպես, ինչպես հարթության դեպքում, բավարար են մեկ կետ և ցանկացած երեք գծային անկախ վեկտոր.

ծագում, Եվ ոչ համաչափվեկտորներ, վերցված որոշակի հերթականությամբ, հավաքածու եռաչափ տարածության աֆինային կոորդինատային համակարգ :

Իհարկե, կոորդինատային ցանցը «թեք» է և անհարմար, բայց, այնուամենայնիվ, կառուցված կոորդինատային համակարգը մեզ թույլ է տալիս. հաստատորոշել ցանկացած վեկտորի կոորդինատները և տարածության ցանկացած կետի կոորդինատները: Ինքնաթիռի նման, որոշ բանաձևեր, որոնք ես արդեն նշեցի, չեն աշխատի տարածության աֆինային կոորդինատային համակարգում:

Աֆինային կոորդինատային համակարգի առավել ծանոթ և հարմար հատուկ դեպքը, ինչպես բոլորը կռահում են, այն է ուղղանկյուն տիեզերական կոորդինատային համակարգ:

Տիեզերքում մի կետ կոչվում է ծագում, Եվ օրթոնորմալհիմքը դրված է Դեկարտյան ուղղանկյուն տիեզերական կոորդինատային համակարգ . Ծանոթ նկար.

Նախքան գործնական առաջադրանքներին անցնելը, եկեք նորից համակարգենք տեղեկատվությունը.

Տիեզերական երեք վեկտորների համար հետևյալ պնդումները համարժեք են:
1) վեկտորները գծային անկախ են.
2) վեկտորները հիմք են կազմում.
3) վեկտորները հավասարաչափ չեն.
4) վեկտորները չեն կարող գծային արտահայտվել միմյանց միջոցով.
5) այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը տարբերվում է զրոյից:

Հակառակ հայտարարությունները, կարծում եմ, հասկանալի են։

Տիեզերական վեկտորների գծային կախվածությունը/անկախությունը ավանդաբար ստուգվում է որոշիչի միջոցով (կետ 5): Մնացած գործնական առաջադրանքներկունենա ընդգծված հանրահաշվական բնույթ. Ժամանակն է կախել երկրաչափական փայտիկը և օգտագործել գծային հանրահաշվի բեյսբոլի մահակը.

Տիեզերքի երեք վեկտորհավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ տվյալ վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի. .

Ձեր ուշադրությունն եմ հրավիրում մի փոքրիկի վրա տեխնիկական նրբերանգՎեկտորների կոորդինատները կարող են գրվել ոչ միայն սյունակներում, այլև տողերում (որոշիչի արժեքը սրանից չի փոխվի. տե՛ս. որոշիչների հատկությունները). Բայց սյունակներում շատ ավելի լավ է, քանի որ ավելի ձեռնտու է որոշ գործնական խնդիրներ լուծելու համար։

Այն ընթերցողների համար, ովքեր մի փոքր մոռացել են որոշիչները հաշվարկելու մեթոդները, կամ գուցե ընդհանրապես քիչ գիտելիքներ ունեն դրանց մասին, ես խորհուրդ եմ տալիս իմ ամենահին դասերից մեկը. Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Օրինակ 6

Ստուգեք, թե արդյոք հետևյալ վեկտորները կազմում են եռաչափ տարածության հիմքը.

ԼուծումՓաստորեն, ամբողջ լուծումը հանգում է որոշիչի հաշվարկին:

ա) Հաշվենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը (որոշիչը բացահայտվում է առաջին տողում).

, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները գծային անկախ են (ոչ համահունչ) և կազմում են եռաչափ տարածության հիմքը։

ՊատասխանելԱյս վեկտորները հիմք են կազմում

բ) Սա անկախ որոշման կետ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Կան նաև ստեղծագործական առաջադրանքներ.

Օրինակ 7

Պարամետրի ո՞ր արժեքով վեկտորները կլինեն համահավասար:

ԼուծումՎեկտորները համահավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը հավասար է զրոյի.

Ըստ էության, դուք պետք է լուծեք հավասարումը որոշիչով: Մենք ցատկում ենք զրոների վրա, ինչպես օդապարիկները jerboas-ի վրա. ավելի լավ է բացել որոշիչը երկրորդ տողում և անմիջապես ազատվել մինուսներից.

Մենք իրականացնում ենք հետագա պարզեցումներ և նյութը հասցնում ենք ամենապարզ գծային հավասարմանը.

Պատասխանելժամը

Դա անելու համար հեշտ է ստուգել այստեղ, դուք պետք է փոխարինեք ստացված արժեքը սկզբնական որոշիչով և համոզվեք, որ դա , նորից բացելով։

Եզրափակելով, եկեք նայենք ևս մեկին բնորոշ առաջադրանք, որն իր բնույթով ավելի հանրահաշվական է և ավանդաբար ներառված է գծային հանրահաշվի կուրսում։ Այն այնքան տարածված է, որ այն արժանի է իր սեփական թեմային.

Ապացուցեք, որ եռաչափ տարածության հիմքը կազմում են 3 վեկտորներ
և այս հիմքում գտե՛ք 4-րդ վեկտորի կոորդինատները

Օրինակ 8

Տրված են վեկտորներ. Ցույց տվեք, որ վեկտորները հիմք են կազմում եռաչափ տարածության մեջ և գտե՛ք վեկտորի կոորդինատները այս հիմքում:

ԼուծումՆախ, եկեք զբաղվենք պայմանով: Պայմաններով տրվում են չորս վեկտորներ, և, ինչպես տեսնում եք, դրանք արդեն որոշակի հիմքերով ունեն կոորդինատներ։ Թե ինչ է այս հիմքը, մեզ չի հետաքրքրում։ Եվ հետաքրքրություն է ներկայացնում հետևյալը. կարող է ձևավորվել երեք վեկտոր նոր հիմք. Եվ առաջին փուլը լիովին համընկնում է Օրինակ 6-ի լուծման հետ, անհրաժեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք վեկտորները իսկապես գծային անկախ են.

Եկեք հաշվարկենք վեկտորի կոորդինատներից կազմված որոշիչը.

, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները գծային անկախ են և կազմում են եռաչափ տարածության հիմքը։

! Կարևոր Վեկտորային կոորդինատներ Պարտադիրգրել սյունակների մեջորոշիչ, ոչ թե տողերով: Հակառակ դեպքում, հետագա լուծման ալգորիթմում շփոթություն կառաջանա։

Սահմանում. Վեկտորների գծային համադրություն a 1 , ..., a n x 1 , ..., x n գործակիցներով կոչվում է վեկտոր

x 1 a 1 + ... + x n a n.

չնչին, եթե x 1 , ..., x n բոլոր գործակիցները հավասար են զրոյի։

Սահմանում. X 1 a 1 + ... + x n a n գծային համակցությունը կոչվում է ոչ տրիվիալ, եթե x 1, ..., x n գործակիցներից գոնե մեկը հավասար չէ զրոյի։

գծային անկախ, եթե չկա այս վեկտորների ոչ տրիվիալ համակցություն, որը հավասար է զրոյական վեկտորին։

Այսինքն՝ a 1, ..., a n վեկտորները գծային անկախ են, եթե x 1 a 1 + ... + x n a n = 0, եթե և միայն, եթե x 1 = 0, ..., x n = 0։

Սահմանում. a 1, ..., a n վեկտորները կոչվում են գծային կախված, եթե կա այս վեկտորների ոչ տրիվիալ համակցություն, որը հավասար է զրոյական վեկտորին։

Գծային կախված վեկտորների հատկությունները.

2 և 3 ծավալային վեկտորների համար:

Երկու գծային կախված վեկտորները համագիծ են: (Կոլգծային վեկտորները գծային կախված են):

Եռաչափ վեկտորների համար.

Երեք գծային կախված վեկտորները համահարթակ են: (Երեք համակողմանի վեկտորներ գծային կախված են):

• n-չափ վեկտորների համար:

  n + 1 վեկտորները միշտ գծային կախված են:

Վեկտորների գծային կախվածության և գծային անկախության խնդիրների օրինակներ.

Օրինակ 1. Ստուգեք, արդյոք a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) վեկտորները գծային անկախ են: .

Լուծում:

Վեկտորները կլինեն գծային կախված, քանի որ վեկտորների չափը փոքր է վեկտորների թվից:

Օրինակ 2. Ստուգեք, արդյոք a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) վեկտորները գծային անկախ են:

Լուծում:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

առաջին տողից հանել երկրորդը; երրորդ տողին ավելացնել երկրորդ տողը.

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Այս լուծումը ցույց է տալիս, որ համակարգն ունի բազմաթիվ լուծումներ, այսինքն՝ գոյություն ունի x 1, x 2, x 3 թվերի արժեքների ոչ զրոյական համակցություն, այնպես որ a, b, c վեկտորների գծային համակցությունը հավասար է. զրոյական վեկտորը, օրինակ.

A + b + c = 0

ինչը նշանակում է, որ a, b, c վեկտորները գծային կախված են:

Պատասխան. a, b, c վեկտորները գծային կախված են:

Օրինակ 3. Ստուգեք, արդյոք a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) վեկտորները գծային անկախ են:

Լուծում:Եկեք գտնենք այն գործակիցների արժեքները, որոնց դեպքում այս վեկտորների գծային համակցությունը հավասար կլինի զրոյական վեկտորի:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Այս վեկտորային հավասարումը կարելի է գրել որպես գծային հավասարումների համակարգ

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Եկեք լուծենք այս համակարգը՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդը

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

հանել առաջինը երկրորդ տողից; հանել առաջինը երրորդ տողից.

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

առաջին տողից հանել երկրորդը; երրորդ տողին ավելացրեք երկրորդը:

Թող Լկամայական գծային տարածություն է, ա ես Î Լ,- դրա տարրերը (վեկտորները):

Սահմանում 3.3.1.Արտահայտություն , Որտեղ , - կամայական իրական թվեր, որոնք կոչվում են գծային համակցություն վեկտորներա 1, ա 2,…, ա n.

Եթե ​​վեկտորը r = , հետո ասում են r տարրալուծվում է վեկտորներիա 1, ա 2,…, ա n.

Սահմանում 3.3.2.Վեկտորների գծային համակցությունը կոչվում է ոչ տրիվիալ, եթե թվերի մեջ կա առնվազն մեկ ոչ զրոյական։ Հակառակ դեպքում գծային համակցությունը կոչվում է չնչին.

Սահմանում 3.3.3 . Վեկտորներ a 1, a 2,…, a nկոչվում են գծային կախված, եթե գոյություն ունի դրանց ոչ տրիվիալ գծային համակցություն, որ

= 0 .

Սահմանում 3.3.4. Վեկտորներ a 1, a 2,…, a nկոչվում են գծային անկախ, եթե հավասարությունը = 0 հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ բոլոր թվերը լ 1, լ 2,…, l nմիաժամանակ հավասար են զրոյի։

Նկատի ունեցեք, որ ցանկացած ոչ զրոյական տարր a 1 կարելի է համարել որպես գծային անկախ համակարգ, քանի որ հավասարությունը լա 1 = 0 հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե լ= 0.

Թեորեմ 3.3.1.Անհրաժեշտ և բավարար պայմանգծային կախվածություն a 1, a 2,…, a nայս տարրերից առնվազն մեկը մնացածի մեջ քայքայելու հնարավորությունն է:

Ապացույց. Անհրաժեշտություն. Թող տարրերը a 1, a 2,…, a nգծային կախված. Սա նշանակում է, որ = 0 , և թվերից գոնե մեկը լ 1, լ 2,…, l nտարբերվում է զրոյից: Թող հաստատ լ 1 ¹ 0. Հետո

այսինքն a 1 տարրը տարրալուծվում է a 2, a 3,…, a տարրերի n.

Համարժեքություն. Թող a 1 տարրը տարրալուծվի a 2, a 3, …, a տարրերի n, այսինքն a 1 = . Հետո = 0 , հետևաբար, գոյություն ունի a 1, a 2,…, a վեկտորների ոչ տրիվիալ գծային համակցություն. n, հավասար 0 , ուստի դրանք գծային կախված են .

Թեորեմ 3.3.2. Եթե ​​տարրերից առնվազն մեկը a 1, a 2,…, a nզրո, ապա այս վեկտորները գծային կախված են:

Ապացույց . Թող ա n= 0 , ապա = 0 , ինչը նշանակում է այս տարրերի գծային կախվածությունը։

Թեորեմ 3.3.3. Եթե ​​n վեկտորներից որևէ p (էջ< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Ապացույց. Որոշակիության համար թողեք a 1, a 2,…, a տարրերը էջգծային կախված. Սա նշանակում է, որ գոյություն ունի ոչ տրիվիալ գծային համակցություն, ինչպիսին է = 0 . Նշված հավասարությունը կպահպանվի, եթե տարրն ավելացնենք դրա երկու մասերին: Հետո + = 0 , և թվերից գոնե մեկը լ 1, լ 2,…, lpտարբերվում է զրոյից: Հետևաբար վեկտորները a 1, a 2,…, a nգծային կախված են.

Եզրակացություն 3.3.1.Եթե ​​n տարրերը գծային անկախ են, ապա դրանցից ցանկացած k-ն գծային անկախ է (k< n).

Թեորեմ 3.3.4. Եթե ​​վեկտորներըա 1, ա 2,…, ա n- 1 գծային անկախ են, իսկ տարրերըա 1, ա 2,…, ա n- 1, ա n-ը գծային կախված են, ապա վեկտորըա n-ը կարող է ընդլայնվել վեկտորների մեջա 1, ա 2,…, ա n- 1 .

Ապացույց.Քանի որ ա 1 պայմանով, ա 2 ,…, ա n- 1, ա n գծային կախված են, ապա կա դրանց ոչ տրիվիալ գծային համակցություն = 0 , և (հակառակ դեպքում, a 1, a 2,…, a վեկտորները գծային կախված կլինեն n- 1). Բայց հետո վեկտորը

,

Ք.Ե.Դ.