§7. Տիպիկ խնդիրների լուծման օրինակներ

Այս բաժնում մենք կքննարկենք հետ կապված խնդիրները տարբեր համակարգերկոորդինատները՝ հատվածը տրված հարաբերակցությամբ բաժանելով:

Տրված են կետերի կոորդինատները. Ա(4; 3), IN(7; 6), ՀԵՏ(2; 11): Եկեք ապացուցենք, որ եռանկյունը ABCուղղանկյուն.

Գտե՛ք եռանկյան կողմերի երկարությունները ABC. Այդ նպատակով մենք օգտագործում ենք բանաձև, որը թույլ է տալիս գտնել հարթության երկու կետերի միջև հեռավորությունը.

Կողմերի երկարությունները հավասար կլինեն.

Հաշվի առնելով, որ Պյութագորասի թեորեմը գործում է այս եռանկյան կողմերի համար

ապա եռանկյունի ABC- ուղղանկյուն:

Տրված են միավորներ Ա(2; 1) և IN(8; 4): Գտեք կետի կոորդինատները Մ(X; ժամը), որը բաժանում է հատվածը 2:1 հարաբերակցությամբ:

Հիշեցնենք, որ կետը Մ(X; ժամը) բաժանում է հատվածը ԱԲ, Որտեղ Ա(x Ա , y Ա), Բ(x Բ , y Բ), λ: μ-ի նկատմամբ, եթե դրա կոորդինատները բավարարում են պայմանները.

,
.

Եկեք մի կետ գտնենք Մտվյալ հատվածի համար

,
.

Այսպիսով, կետը Մ(6; 3) բաժանում է հատվածը ԱԲ 2:1 հարաբերակցությամբ։

Գտե՛ք կետի ուղղանկյուն կոորդինատները Ա(
3π/4), եթե բևեռը համընկնում է կոորդինատների սկզբնավորման հետ, իսկ բևեռային առանցքն ուղղված է աբսցիսային առանցքի երկայնքով։

Հաշվի առնելով բևեռայինից ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգերի անցման բանաձևերը

x = r cosφ, y = r sinφ,

մենք ստանում ենք

,

.

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում կետի կոորդինատներն են Ա(–2; 2).

Գտնենք հետևյալ ուղղանկյուն կոորդինատներն ունեցող կետերի բևեռային կոորդինատները.

Ա(
; 2),IN(–4; 4), ՀԵՏ(–7; 0).

Ուղղանկյուն կոորդինատներից բևեռայիններին անցնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևեր.

,

.

Եկեք ստանանք կետի կոորդինատները Ա:

,
.

Այսպիսով Ա(4; π/6) – բևեռային կոորդինատներ (նկ. 15):

Մի կետի համար IN(նկ. 16) ունենք

,
.

Հետևաբար, կետի բևեռային կոորդինատները IN(
, 3π/4):

Հաշվի առեք կետը ՀԵՏ(–7; 0) (նկ. 17): Այս դեպքում

,

,
.

Դուք կարող եք գրել կետի բևեռային կոորդինատները ՀԵՏ(7; π).

Գտնենք վեկտորի երկարությունը ա = 20ես + 30ժ – 60կ և նրա ուղղության կոսինուսները։

Հիշենք, որ ուղղության կոսինուսները վեկտորային անկյունների կոսինուսներն են ա (ա 1 , ա 2 , ա 3) կոորդինատային առանցքներով ձևերը.

,
,
,

Որտեղ
.

Այս բանաձևերը կիրառելով այս վեկտորի վրա՝ մենք ստանում ենք

,

.

Մենք նորմալացնում ենք վեկտորը ա = 3ես + 4ժ – 12կ .

Վեկտորը նորմալացնելը նշանակում է գտնել միավորի երկարության վեկտոր Ա 0, ուղղված նույն կերպ, ինչպես այս վեկտորը: Կամայական վեկտորի համար ա (ա 1 , ա 2 , ա 3) միավորի երկարության համապատասխան վեկտորը կարելի է գտնել բազմապատկելով ա կոտորակին .

.

Մեր դեպքում միավորի երկարության վեկտորը.

.

Գտնենք վեկտորների սկալյար արտադրյալը

ա = 4ես + 5ժ + 6կ Եվ բ = 3ես – 4ժ + կ .

Վեկտորների սկալյար արտադրյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել համապատասխան կոորդինատները և ավելացնել ստացված արտադրյալները։ Այսպիսով, վեկտորների համար ա = ա 1 ես + ա 2 ժ + ա 3 կ Եվ բ = բ 1 ես + բ 2 ժ + բ 3 կ սկալյար արտադրյալն ունի հետևյալ ձևը.

(ա , բ ) = ա 1 բ 1 + ա 2 բ 2 + ա 3 բ 3 .

Այս վեկտորների համար մենք ստանում ենք

(ա , բ ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.

Եկեք ցույց տանք, որ վեկտորները ա = 2ես – 3ժ + 5կ Եվ բ = ես + 4ժ + 2կ ուղղահայաց.

Երկու վեկտորներ ուղղահայաց են, եթե դրանց կետային արտադրյալը զրո է:

Եկեք գտնենք սկալյար արտադրանքը.

(ա , բ ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.

Այսպիսով, վեկտորները Ա Եվ բ ուղղահայաց.

Եկեք պարզենք, թե պարամետրի ինչ արժեքով մվեկտորներ ա = 2ես + 3ժ + մկ Եվ բ = 3ես + մժ – 2կ ուղղահայաց.

Գտնենք վեկտորների սկալյար արտադրյալը Ա Եվ բ :

(ա , բ ) = 2∙3 + 3∙մ – 2∙մ = 6 + մ.

Վեկտորները ուղղահայաց են, եթե դրանց սկալյար արտադրյալը զրո է: Մենք հավասարեցնում ենք զրոյի արտադրանքը ( Ա , բ ):

6 + մ = 0.

ժամը մ= – 6 վեկտոր Ա Եվ բ ուղղահայաց.

Օրինակ 10.

Եկեք գտնենք սկալյար արտադրյալը (3 Ա + 4բ , 2Ա – 3բ ), եթե | ա | = 2, |բ | = 1 և անկյունը φ միջև Ա Եվ բ հավասար է π/3:

Եկեք օգտագործենք սկալյար արտադրանքի հատկությունները.

(α ա , β բ ) = αβ( ա , բ ),

(ա + բ , գ ) = (ա , գ ) + (բ , գ ),

(ա , բ ) = (բ , ա )

(ա , ա ) = |ա | 2 ,

ինչպես նաև սկալյար արտադրանքի սահմանումը ( ա , բ ) = |ա |∙|բ |∙cosφ. Եկեք վերագրենք սկալյար արտադրյալը ձևով

(3ա + 4բ , 2ա – 3բ ) = 6(ա , ա ) – 9(ա , բ ) + 8(բ , ա ) – 12(բ , բ ) =

6|ա | 2 – (ա , բ ) – 12|բ | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11:

Օրինակ 11.

Եկեք որոշենք վեկտորների միջև եղած անկյունը

ա = ես + 2ժ + 3կ Եվ բ = 6ես + 4ժ – 2կ .

Անկյունը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալի սահմանումը

(ա , բ ) = |ա |∙|բ |∙cosφ,

որտեղ φ-ը վեկտորների միջև եղած անկյունն է Ա Եվ բ . Եկեք այս բանաձեւից արտահայտենք cosφ

.

Հաշվի առնելով, որ ( Ա , բ ) = 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, ստանում ենք.

.

Հետևաբար,
.

Օրինակ 12.

ա = 5ես – 2ժ + 3կ Եվ բ = ես + 2ժ – 4կ .

Հայտնի է, որ վեկտորների վեկտորային արտադրյալը ա = ա 1 ես + ա 2 ժ + ա 3 կ Եվ բ = բ 1 ես + բ 2 ժ + բ 3 կ հայտնաբերվում է բանաձևով

.

Հետեւաբար, այս վեկտորների համար

2ես + 23ժ + 12կ .

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ վեկտորային արտադրյալի մոդուլը գտնելու համար կօգտագործվի վեկտորային արտադրյալի սահմանումը, այլ ոչ թե այն արտահայտվի գործոնների կոորդինատների միջոցով, ինչպես եղավ նախորդ օրինակում։

Օրինակ 13.

Գտնենք վեկտորների վեկտորային արտադրյալի մոդուլը Ա + 2բ և 2 Ա – 3բ , եթե | ա | = 1, |բ | = 2 և վեկտորների միջև եղած անկյունը Ա Եվ բ հավասար է 30°.

Վեկտորային արտադրյալի սահմանումից պարզ է դառնում, որ կամայական վեկտորների համար Ա Եվ բ դրա մոդուլն է

|[ա , բ ] | = |ա | ∙ |բ | ∙ sin φ.

Հաշվի առնելով վեկտորային արտադրանքի հատկությունները

[ա , բ ] = – [բ , ա ],

[ա , ա ] = 0,

[α ա + β բ , գ ] = α[ ա , գ ] + β[ բ , գ ],

մենք ստանում ենք

[ա + 2բ , 2ա – 3բ ] = 2[ա , ա ] – 3[ա , բ ] + 4[բ , ա ] – 6[բ , բ ] = –7[ա , բ ].

Սա նշանակում է, որ վեկտորի արտադրյալի մոդուլը հավասար է

|[ա + 2բ , 2ա – 3բ ]| = |–7[ա , բ ]| = 7 ∙ |ա | ∙ |բ | ∙ մեղք 30° = 7∙1∙2∙0.5 = 7:

Օրինակ 14.

Եկեք հաշվարկենք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը

ա = 6ես + 3ժ – 2կ Եվ բ = 3ես – 2ժ + 6կ .

Հայտնի է, որ երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալի մոդուլը մակերեսին հավասարԱյս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագիծ: Եկեք գտնենք վեկտորի արտադրյալը՝ օգտագործելով բանաձևը.

,

Որտեղ ա = ա 1 ես + ա 2 ժ + ա 3 կ Եվ բ = բ 1 ես + բ 2 ժ + բ 3 կ . Այնուհետև մենք հաշվարկում ենք դրա մոդուլը:

Այս վեկտորների համար մենք ստանում ենք

14ես – 42ժ – 21կ .

Հետևաբար, զուգահեռագծի մակերեսն է

Ս = |[ա , բ ]| = (քառ. միավոր):

Օրինակ 15.

Հաշվե՛ք եռանկյան մակերեսը գագաթներով Ա(1;2;1), IN(3;3;4), ՀԵՏ(2;1;3).

Ակնհայտ է, որ եռանկյունու տարածքը ABCհավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսի կեսին
Եվ
.

Իր հերթին, վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի տարածքը
Եվ
, հավասար է վեկտորի արտադրյալի մոդուլին [
]։ Այսպիսով

|[
]|.

Գտնենք վեկտորների կոորդինատները
Եվ
, վեկտորի վերջի կոորդինատներից հանելով սկզբի համապատասխան կոորդինատները՝ ստանում ենք

= (3 – 1)ես + (3 – 2)ժ + (4 – 1)կ = 2ես + ժ + 3կ ,

= (2 – 1)ես + (1 – 2)ժ + (3 – 1)կ = ես – ժ + 2կ .

Գտնենք վեկտորի արտադրյալը.

[
,
] =

5ես – ժ – 3կ .

Եկեք գտնենք վեկտորային արտադրանքի մոդուլը.

|[
]| = .

Այսպիսով, մենք կարող ենք ստանալ եռանկյան մակերեսը.

(քառ. միավոր):

Օրինակ 16.

Եկեք հաշվարկենք վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսը ա + 3բ և 3 ա – բ , եթե | ա | = 2, |բ | = 1 և միջև եղած անկյունը Ա Եվ բ հավասար է 30°.

Եկեք գտնենք վեկտորային արտադրանքի մոդուլը, օգտագործելով դրա սահմանումը և հատկությունները, որոնք նշված են օրինակ 13-ում, մենք ստանում ենք.

[ա + 3բ , 3ա – բ ] = 3[ա , ա ] – [ա , բ ] + 9[բ , ա ] – 3[բ , բ ] = –10[ա , բ ].

Սա նշանակում է, որ պահանջվող տարածքը հավասար է

Ս = |[ա + 3բ , 3ա – բ ]| = |–10[ա , բ ]| = 10 ∙ |ա | ∙ |բ | ∙ մեղք 30° =

10∙2∙1∙0.5 = 10 (քառ. միավոր):

Հետևյալ օրինակները կներառեն վեկտորների խառը արտադրյալի օգտագործումը:

Օրինակ 17.

Ցույց տվեք այդ վեկտորները ա = ես + 2ժ – կ , բ = 3ես + կ Եվ Հետ = 5ես + 4ժ – կ համակողմանի.

Վեկտորները համահարթակ են, եթե նրանց խառը արտադրյալը զրո է: կամայական վեկտորների համար

ա = ա 1 ես + ա 2 ժ + ա 3 կ , բ = բ 1 ես + բ 2 ժ + բ 3 կ , գ = գ 1 ես + գ 2 ժ + գ 3 կ

մենք գտնում ենք խառը արտադրանքը՝ օգտագործելով բանաձևը.

.

Այս վեկտորների համար մենք ստանում ենք

.

Այսպիսով, այս վեկտորները համակողմանի են:

Գտե՛ք գագաթներով եռանկյունաձև բուրգի ծավալը Ա(1;1;1), IN(3;2;1), ՀԵՏ(2;4;3), Դ(5;2;4).

Գտնենք վեկտորների կոորդինատները
,
Եվ
, համընկնում է բուրգի եզրերին։ Վեկտորի վերջի կոորդինատներից հանելով սկզբի համապատասխան կոորդինատները՝ ստանում ենք

= 2ես + 3ժ ,

= ես + 3ժ + 2կ ,

= 4ես + ժ + 3կ .

Հայտնի է, որ բուրգի ծավալը հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռականի ծավալի 1/6-ին.
,
Եվ
. Այսպիսով,

.

Իր հերթին զուգահեռականի ծավալը հավասար է խառը արտադրանքի մոդուլին

Վ պարալ = |(
,
,
)|.

Եկեք խառը արտադրանք գտնենք

(
,
,
) =
.

Այսպիսով, բուրգի ծավալը կազմում է

(խորանարդ միավոր):

Հետևյալ օրինակներում մենք ցույց կտանք վեկտորային հանրահաշվի հնարավոր կիրառությունները:

Օրինակ 19.

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք 2 վեկտորները համագիծ են Ա + բ Եվ Ա – 3բ , Որտեղ ա = 2ես + ժ – 3կ Եվ բ = ես + 2ժ + 4կ .

Գտնենք 2-րդ վեկտորների կոորդինատները Ա + բ Եվ Ա – 3բ :

2Ա + բ = 2(2ես + ժ – 3կ ) + ես + 2ժ + 4կ = 5ես + 4ժ – 2կ ,

Ա – 3բ = 2ես + ժ – 3կ – 3(ես + 2ժ + 4կ ) = –ես – 5ժ – 15կ .

Հայտնի է, որ համագիծ վեկտորներն ունեն համամասնական կոորդինատներ։ Հաշվի առնելով դա

,

մենք գտնում ենք, որ կա 2 վեկտոր Ա + բ Եվ Ա – 3բ ոչ գծային.

Այս խնդիրը կարելի էր այլ կերպ լուծել։ Վեկտորների համակողմանիության չափանիշը վեկտորի արտադրյալի հավասարությունն է զրոյի.

2[ա , ա ] – 6[ա , բ ] + [բ , ա ] – 3[բ , բ ] = –7[ա , բ ].

Գտնենք վեկտորների վեկտորային արտադրյալը Ա Եվ բ :

10ես – 11ժ + 3կ ≠ 0.

Հետևաբար,

= –7[ա , բ ] ≠ 0

և վեկտորներ 2 Ա + բ Եվ Ա – 3բ ոչ գծային.

Օրինակ 20.

Եկեք գտնենք ուժի գործը Ֆ (3; 2; 1), երբ դրա կիրառման կետը Ա(2; 4;–6), շարժվելով ուղղագիծ, շարժվում է դեպի կետը IN(5; 2; 3).

Հայտնի է, որ ուժի աշխատանքը ուժի սկալյար արդյունքն է Ֆ դեպի տեղաշարժի վեկտորը
.

Գտնենք վեկտորի կոորդինատները
:

= 3ես – 2ժ + 9կ .

Հետեւաբար, ուժի աշխատանքը Ֆ մի կետ տեղափոխելով Աճիշտ INհավասար կլինի սկալյար արտադրյալին

(Ֆ ,
) = 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.

Օրինակ 21.

Թող ուժը Ֆ (2;3;–1) կիրառվում է կետի վրա Ա(4;2;3): Ուժի տակ Ֆ կետ Ատեղափոխվում է մի կետ IN(3;1;2): Գտնենք ուժի պահի մոդուլը Ֆ կետի համեմատ IN.

Հայտնի է, որ ուժի պահը հավասար է ուժի և տեղաշարժի վեկտորային արտադրյալին։ Գտնենք տեղաշարժի վեկտորը
:

= (3 – 4)ես + (1 – 2)ժ + (2 – 3)կ = – ես – ժ – կ .

Եկեք գտնենք ուժի պահը որպես վեկտորային արտադրյալ.

= – 4ես + 3ժ + կ .

Հետևաբար, ուժի պահի մոդուլը հավասար է վեկտորի արտադրանքի մոդուլին.

|[Ֆ ,
]| = .

60) Տրվում է վեկտորների համակարգ ա =(1, 2, 5), բ =(4, 0, -1), գ =(0, 0, 0): Ուսումնասիրեք այն գծային կախվածություն.

ա) վեկտորների համակարգը գծային կախվածություն ունի.

բ) վեկտորների համակարգը գծային անկախ է.

գ) ճիշտ պատասխան չկա.

61) Ուսումնասիրեք վեկտորային համակարգը

ա =(1, -1, 2, 0), բ =(1, 5, -2, ), գ =(3, -3, 6, 0) դեպի գծային հարաբերություն:

ա) վեկտորների համակարգը գծային անկախ է.

բ) վեկտորների համակարգը գծային կախվածություն ունի.

գ) ճիշտ պատասխան չկա.

62) վեկտորների համակարգն է ա =(1, 2), բ =(7, ), գ =(0, ), դ =(, 1) գծային կախված.

ա) ոչ, այդպես չէ.

բ) այո, այդպես է:

63) Արտահայտված վեկտոր է բ =(2, -1, 3) վեկտորային համակարգի միջոցով = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)

ա) ոչ, արտահայտված չէ.

բ) այո, արտահայտված է։

64) Հետազոտել գծային կախվածության վեկտորների համակարգը

ա = , բ = , գ = .

ա) գծային անկախ;

բ) գծային կախված;

գ) ճիշտ պատասխան չկա.

65) Հետազոտել գծային կախվածության վեկտորների համակարգը

ա = , բ = , գ =

ա) գծային անկախ;

բ) գծային կախված;

գ) ճիշտ պատասխան չկա.

66) Արդյո՞ք վեկտորների համակարգը գծային կախվածություն ունի:

= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).

ա) գծային կախված;

բ) գծային անկախ;

գ) ճիշտ պատասխան չկա.

67) Թող գծային անկախ մատրիցային տողերի թիվը հավասար լինի m-ի, իսկ գծային անկախ մատրիցային սյունակների թիվը հավասար լինի n-ի: Ընտրեք ճիշտ հայտարարությունը:

դ) պատասխանը կախված է մատրիցից:

68) Գծային տարածության հիմքի վեկտորներն են

ա) գծային կախված;

բ) գծային անկախ;

գ) պատասխանը կախված է կոնկրետ հիմքից:

69) Ի՞նչ է վեկտորը:

ա) սա ճառագայթ է, որը ցույց է տալիս շարժման ուղղությունը

բ) սա A կետում սկիզբ ունեցող և B կետով վերջ ունեցող ուղղորդված հատված է, որը կարող է տեղափոխվել իրեն զուգահեռ.

գ) սա մի թիվ է, որը բաղկացած է միմյանցից հավասար հեռավորության վրա գտնվող բազմաթիվ կետերից:

դ) սա A կետում սկիզբ ունեցող և B կետով վերջ ունեցող հատված է, որը չի կարող տեղափոխվել իրեն զուգահեռ.

70) Եթե գծային համակցություն 1 + 2 +….+ƛ rկարող է ներկայացնել զրոյական վեկտոր, երբ թվերի մեջ է ƛ 1, ƛ 2,…,ƛ rկա առնվազն մեկ ոչ զրոյական, ապա վեկտորների համակարգը a 1, a 2,…., a pկոչված:

ա) գծային անկախ;

բ) գծային կախված;

գ) չնչին;

դ) ոչ տրիվիալ:

71) Եթե գծային համակցություն 1 + 2 +….+ƛ rներկայացնում է զրոյական վեկտոր միայն այն դեպքում, երբ բոլոր թվերը ƛ 1, ƛ 2,…,ƛ rհավասար են զրոյի, ապա վեկտորների համակարգը a 1, a 2,…., a pկոչված:

ա) գծային անկախ;

բ) գծային կախված;

գ) չնչին;

դ) ոչ տրիվիալ:

72) Վեկտորային տարածության հիմքը վեկտորների համակարգն է, որը նշված է որոշակի հերթականությամբ և բավարարում է պայմանները.

ա) Համակարգը գծային անկախ է.

բ) Տարածության ցանկացած վեկտոր տվյալ համակարգի գծային համակցությունն է.

գ) երկուսն էլ ճիշտ են.

դ) երկուսն էլ սխալ են:

73) R n տարածության ենթաբազմությունը, որն ունի թվերով գումարման և բազմապատկման գործողությունների նկատմամբ փակ լինելու հատկություն, կոչվում է.

ա) Rn տարածության գծային նախատարածություն;

բ) R n տարածության պրոյեկցիա;

գ) Rn տարածության գծային ենթատարածություն;

դ) ճիշտ պատասխան չկա.

74) Եթե վեկտորների վերջավոր համակարգը պարունակում է գծային կախված ենթահամակարգ, ապա այն.

ա) գծային կախված;

բ) գծային անկախ;

75) Եթե համակարգը գծային է կախված վեկտորավելացնել մեկ կամ մի քանի վեկտոր, արդյունքում համակարգը կլինի.

ա) գծային կախված;

բ) գծային անկախ;

գ) Ոչ գծային կախված, ոչ էլ գծային անկախ:

76) Երեք վեկտորներ կոչվում են համահավասար, եթե դրանք.

ա) նրանք ընկած են զուգահեռ գծերի վրա.

բ) Նրանք պառկած են նույն ուղիղ գծի վրա.

գ) գծային անկախ;

դ) դրանք գտնվում են զուգահեռ հարթություններում.

77) Երկու վեկտոր կոչվում են համագիծ, եթե նրանք.

ա) նրանք պառկած են նույն հարթության վրա.

բ) դրանք գտնվում են զուգահեռ հարթություններում.

գ) գծային անկախ;

դ) ընկած են զուգահեռ գծերի վրա.

78) Որպեսզի երկու վեկտորները գծային կախված լինեն, անհրաժեշտ է, որ դրանք լինեն.

ա) գրավ.

բ) համակողմանի;

գ) գծային անկախ;

դ) ճիշտ տարբերակ չկա:

79) վեկտորի արտադրյալ ա=(ա 1 ,ա 2 ,ա 3) թիվը կոչվում է վեկտոր բ, հավասար

Ա) ( ա 1 , ա 2 , ա 3)

բ) (+ ա 1 , +a 2 , +a 3)

V) ( /ա 1 , /ա 2 , /ա 3)

80) եթե երկու վեկտորներ ընկած են նույն գծի վրա, ապա այդպիսի վեկտորներ են

ա) հավասար

բ) համահեղինակ

գ) համագիծ

դ) հակառակ ուղղությամբ

81) վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է

ա) դրանց երկարությունների արտադրյալը.

բ) դրանց երկարությունների արտադրյալը նրանց միջև անկյան կոսինուսով.

գ) դրանց երկարությունների արտադրյալը նրանց միջև անկյան սինուսով.

դ) դրանց երկարությունների արտադրյալը նրանց միջև եղած անկյան շոշափումով.

82) վեկտորի արտադրյալ Աինքն իրեն կանչեց

ա) վեկտորի երկարությունը Ա

բ) վեկտորի սկալյար քառակուսին Ա

գ) վեկտորի ուղղությունը Ա

դ) ճիշտ պատասխան չկա

83) եթե վեկտորների արտադրյալը հավասար է 0-ի, ապա կոչվում են այդպիսի վեկտորներ

ա) համագիծ

բ) համահեղինակ

գ) ուղղանկյուն

դ) զուգահեռ

84) վեկտորի երկարությունն է

ա) դրա սկալյար քառակուսին

բ) նրա սկալյար քառակուսու արմատը

գ) դրա կոորդինատների գումարը

դ) վեկտորի վերջի և սկզբի կոորդինատների տարբերությունը

85) որո՞նք են վեկտորների գումարը գտնելու կանոնները (բազմակի պատասխաններ)

ա) եռանկյունի կանոն

բ) շրջանագծի կանոնը

գ) զուգահեռագծի կանոն

դ) Գաուսի կանոն

ե) բազմանկյան կանոն

զ) ուղղանկյունի կանոն

86) եթե կետ Ահամընկնում է կետի հետ IN, ապա վեկտորը կոչվում է

ա) միավոր վեկտոր

գ) զրոյական վեկտոր

դ) չնչին վեկտոր

87) որպեսզի երկու վեկտորները համակողմանի լինեն, անհրաժեշտ է, որ

ա) նրանց կոորդինատները նույնն էին

բ) դրանց կոորդինատները համաչափ էին

գ) դրանց կոորդինատները հակադիր էին

դ) դրանց կոորդինատները հավասար էին 0-ի

88) տրված է երկու վեկտոր a=2m+4n և b=m-n, որտեղ m և n-ը 120 0 անկյուն կազմող միավոր վեկտորներ են։ Գտե՛ք անկյունը a և b վեկտորների միջև:

89) Հարթության վրա տրված են երկու միավոր վեկտորներ m և n. Հայտնի է, որ նրանց միջեւ անկյունը 60 աստիճան է։ Գտե՛ք a=m+2n վեկտորի երկարությունը (պատասխանը կլորացրեք մինչև 0,1)

90) Գտե՛ք a=-4k և b=2i+j վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծերի անկյունը.

91) տրված են վեկտորների երկարությունները |a|=2, |b|=3, |a-b|=1. Սահմանել |a+b|

92) Տրված է երեք վեկտոր՝ a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4): Գտե՛ք p=2a-b+c վեկտորի կոորդինատները։

93) Գտե՛ք a=2i+3j-6k վեկտորի երկարությունը:

94) λ-ի ո՞ր արժեքով են a=λi-3j+2k և b=i+2j-λk վեկտորները ուղղահայաց.

95) Տրված վեկտորները a=6i-4j+k և b=2i-4j+k. Գտե՛ք կազմված անկյունը վեկտոր a-b Oz առանցքով.

96) Տրված վեկտորներ = (4; –2; –6) և = (–3; 4; –12): Գտեք վեկտորի պրոյեկցիան ադեպի վեկտորային առանցք բ.

97) Գտիր անկյունը Ագագաթներով եռանկյուն Ա (–1; 3; 2), IN(3; 5; –2) և

ՀԵՏ(3; 3; -1): Մուտքագրեք ձեր պատասխանը որպես 15cos Ա.

98) Գտե՛ք վեկտորի քառակուսի մոդուլը , որտեղ և են 60 o անկյուն կազմող միավոր վեկտորներ։

99) Գտեք կետային արդյունքը Եվ

100) Տրված են A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7) կետերը: Որոշեք ABCD քառանկյան տեսակը:

ա) զուգահեռաբար;

բ) ուղղանկյուն;

գ) Trapezoid;

101) Վեկտորը = (3; 4) տարրալուծվում է վեկտորների = (3; –1) և = (1; –2): Ընտրեք ճիշտ տարրալուծումը: