Շարունակական պատահական փոփոխականի օրինակներ: Շարունակական պատահական փոփոխականի միջինը և ռեժիմը

Թվային բնութագրերի շարքում պատահական փոփոխականներանհրաժեշտ է, առաջին հերթին, նշել նրանց, որոնք բնութագրում են պատահական փոփոխականի դիրքը թվային առանցքի վրա, այսինքն. նշեք ինչ-որ միջին, մոտավոր արժեք, որի շուրջ խմբավորված են պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքները:

Պատահական փոփոխականի միջին արժեքը որոշակի թիվ է, որը, ասես, նրա «ներկայացուցիչն» է և փոխարինում է այն մոտավորապես մոտավոր հաշվարկներով: Երբ ասում ենք. «լամպի գործարկման միջին ժամանակը 100 ժամ է» կամ «հարվածի միջին կետը թիրախի համեմատ 2 մ-ով տեղափոխվում է աջ», մենք նշում ենք պատահական փոփոխականի որոշակի թվային բնութագիր, որը նկարագրում է դրա գտնվելու վայրը։ թվային առանցքի վրա, այսինքն. «դիրքի բնութագրերը».

Հավանականությունների տեսության դիրքի բնութագրերից կենսական դերխաղում է պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը, որը երբեմն կոչվում է պարզապես պատահական փոփոխականի միջին արժեք:

Դիտարկենք դիսկրետ պատահական փոփոխական, որն ունի հնարավոր արժեքներ՝ հավանականություններով: Մենք պետք է որոշ թվով բնութագրենք պատահական փոփոխականի արժեքների դիրքը x առանցքի վրա՝ հաշվի առնելով այն փաստը, որ այդ արժեքներն ունեն տարբեր հավանականություններ։ Այդ նպատակով բնական է օգտագործել արժեքների այսպես կոչված «միջին կշռվածը», և միջինացման ժամանակ յուրաքանչյուր արժեք պետք է հաշվի առնվի այդ արժեքի հավանականությանը համաչափ «կշիռով»: Այսպիսով, մենք հաշվարկելու ենք պատահական փոփոխականի միջինը, որը կնշենք հետևյալով.

կամ, հաշվի առնելով, որ

. (5.6.1)

Այս կշռված միջինը կոչվում է պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք: Այսպիսով, մենք քննարկեցինք հավանականությունների տեսության ամենակարևոր հասկացություններից մեկը՝ հայեցակարգը մաթեմատիկական ակնկալիք.

Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների և այդ արժեքների հավանականությունների գումարն է:

Նկատի ունեցեք, որ վերը նշված ձևակերպման մեջ մաթեմատիկական ակնկալիքի սահմանումը վավեր է, խիստ ասած, միայն դիսկրետ պատահական փոփոխականների համար. Ստորև մենք կընդհանրացնենք այս հայեցակարգը շարունակական մեծությունների դեպքում:

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հասկացությունն ավելի պարզ դարձնելու համար անդրադառնանք դիսկրետ պատահական փոփոխականի բաշխման մեխանիկական մեկնաբանությանը։ Աբսցիսային առանցքի վրա թող լինեն աբսցիսներով կետեր, որոնցում համապատասխանաբար կենտրոնացված են զանգվածները և . Այնուհետև, ակնհայտորեն, (5.6.1) բանաձևով սահմանված մաթեմատիկական ակնկալիքը ոչ այլ ինչ է, քան նյութական կետերի տվյալ համակարգի ծանրության կենտրոնի աբսցիսա։

Պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը կապված է մեծ թվով փորձերի ընթացքում պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների թվաբանական միջինի հետ յուրահատուկ կախվածությամբ: Այս կախվածությունը նույն տեսակին է, ինչ կախվածությունը հաճախականության և հավանականության միջև, մասնավորապես՝ մեծ թվով փորձերի դեպքում պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը մոտենում է (հավանականությամբ համընկնում) իր մաթեմատիկական ակնկալիքին: Հաճախականության և հավանականության միջև կապի առկայությունից կարելի է հետևել թվաբանական միջինի և մաթեմատիկական ակնկալիքի միջև նմանատիպ կապի առկայությանը:

Իրոք, դիտարկեք դիսկրետ պատահական փոփոխական, որը բնութագրվում է բաշխման շարքով.

Որտեղ .

Թող կատարվեն անկախ փորձեր, որոնցից յուրաքանչյուրում մեծությունը որոշակի արժեք է ընդունում։ Ենթադրենք, որ արժեքը հայտնվել է մեկ անգամ, արժեքը՝ մեկ անգամ, արժեքը՝ մեկ անգամ։ Ակնհայտորեն,

Հաշվարկենք մեծության դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը, որը, ի տարբերություն մաթեմատիկական ակնկալիքի, նշանակում ենք.

Բայց չկա ավելին, քան իրադարձության հաճախականությունը (կամ վիճակագրական հավանականությունը). այս հաճախականությունը կարող է նշանակվել: Հետո

,

դրանք. Պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը հավասար է պատահական փոփոխականի բոլոր հնարավոր արժեքների արտադրյալների գումարին և այդ արժեքների հաճախականություններին:

Քանի որ փորձերի թիվը մեծանում է, հաճախականությունները կմոտենան (հավանականությամբ կհամընկնեն) համապատասխան հավանականություններին: Հետևաբար, պատահական փոփոխականի դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականը կմոտենա (հավանականությամբ) նրա մաթեմատիկական ակնկալիքին, քանի որ փորձերի քանակը մեծանում է:

Վերը ձևակերպված թվաբանական միջինի և մաթեմատիկական ակնկալիքի միջև կապը կազմում է օրենքի ձևերից մեկի բովանդակությունը. մեծ թվեր. Այս օրենքի խիստ ապացույցը մենք կտանք 13-րդ գլխում:

Մենք արդեն գիտենք, որ մեծ թվերի օրենքի բոլոր ձևերը նշում են այն փաստը, որ որոշ միջին ցուցանիշներ կայուն են մեծ թվով փորձերի ժամանակ: Այստեղ խոսքը նույն քանակի մի շարք դիտարկումների թվաբանական միջինի կայունության մասին է։ Փոքր քանակությամբ փորձերի դեպքում դրանց արդյունքների միջին թվաբանականը պատահական է. Փորձերի քանակի բավարար աճով այն դառնում է «գրեթե ոչ պատահական» և կայունանալով մոտենում է հաստատուն արժեքի՝ մաթեմատիկական ակնկալիքին:

Միջինների կայունությունը մեծ թվով փորձերի ընթացքում կարելի է հեշտությամբ ստուգել փորձարարական եղանակով: Օրինակ՝ լաբորատորիայում մարմինը ճշգրիտ կշեռքներով կշռելիս, կշռման արդյունքում ամեն անգամ նոր արժեք ենք ստանում. Դիտարկման սխալը նվազեցնելու համար մարմինը մի քանի անգամ կշռում ենք և օգտագործում ստացված արժեքների միջին թվաբանականը։ Հեշտ է տեսնել, որ փորձերի (կշռման) քանակի հետագա աճի դեպքում միջին թվաբանականն ավելի ու ավելի քիչ է արձագանքում այդ աճին և բավականաչափ մեծ քանակությամբ փորձերի դեպքում գործնականում դադարում է փոխվել:

Մաթեմատիկական ակնկալիքի բանաձևը (5.6.1) համապատասխանում է դիսկրետ պատահական փոփոխականի դեպքին: Համար շարունակական արժեքմաթեմատիկական ակնկալիքը, բնականաբար, արտահայտվում է ոչ թե որպես գումար, այլ որպես ինտեգրալ.

, (5.6.2)

որտեղ է քանակի բաշխման խտությունը:

Բանաձևը (5.6.2) ստացվում է (5.6.1) բանաձևից, եթե դրանում առանձին արժեքները փոխարինվում են անընդհատ փոփոխվող x պարամետրով, համապատասխան հավանականությունները՝ հավանականության տարրով, իսկ վերջնական գումարը՝ ինտեգրալով: Ապագայում մենք հաճախ կօգտագործենք ընդհատվող մեծությունների համար ստացված բանաձևերը շարունակական մեծությունների դեպքում ընդլայնելու այս մեթոդը:

Մեխանիկական մեկնաբանության մեջ շարունակական պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը պահպանում է նույն իմաստը՝ ծանրության կենտրոնի աբսցիսսա այն դեպքում, երբ զանգվածը բաշխվում է աբսցիսայի երկայնքով անընդհատ, խտությամբ: Այս մեկնաբանությունը հաճախ թույլ է տալիս պարզ մեխանիկական նկատառումներից ելնելով գտնել մաթեմատիկական ակնկալիքը՝ առանց ինտեգրալը հաշվարկելու (5.6.2):

Վերևում մենք ներկայացրեցինք քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքի նշում: Մի շարք դեպքերում, երբ քանակությունը ներառվում է բանաձևերում որպես կոնկրետ թիվ, ավելի հարմար է այն նշել մեկ տառով։ Այս դեպքերում արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիքը կնշանակենք հետևյալով.

Նշումը և մաթեմատիկական ակնկալիքի համար հետագայում կօգտագործվեն զուգահեռ՝ կախված բանաձևերի որոշակի ձայնագրման հարմարությունից: Պայմանավորվենք նաև անհրաժեշտության դեպքում «մաթեմատիկական սպասում» բառերը կրճատել մ.օ տառերով։

Հարկ է նշել, որ ամենակարևոր հատկանիշըդրույթներ - մաթեմատիկական ակնկալիք - գոյություն չունի բոլոր պատահական փոփոխականների համար: Հնարավոր է կազմել այնպիսի պատահական փոփոխականների օրինակներ, որոնց համար մաթեմատիկական ակնկալիք չկա, քանի որ համապատասխան գումարը կամ ինտեգրալը տարբերվում է:

Դիտարկենք, օրինակ, անդադար պատահական փոփոխական՝ բաշխման շարքով.

Դա հեշտ է ստուգել, ​​այսինքն. բաշխման շարքը իմաստ ունի. սակայն գումարը ներս այս դեպքումշեղվում է և, հետևաբար, արժեքի մաթեմատիկական ակնկալիք չկա: Սակայն նման դեպքերը պրակտիկայի համար էական հետաքրքրություն չեն ներկայացնում։ Սովորաբար պատահական փոփոխականները, որոնց հետ գործ ունենք, ունեն սահմանափակ տարածք հնարավոր արժեքներև, իհարկե, ունենալ մաթեմատիկական ակնկալիք:

Վերևում մենք տվել ենք (5.6.1) և (5.6.2) բանաձևերը, որոնք համապատասխանաբար արտահայտում են մաթեմատիկական ակնկալիքը ընդհատվող և շարունակական պատահական փոփոխականի համար:

Եթե ​​մեծությունը պատկանում է խառը տիպի մեծությունների, ապա դրա մաթեմատիկական ակնկալիքն արտահայտվում է ձևի բանաձևով.

, (5.6.3)

որտեղ գումարը տարածվում է բոլոր կետերի վրա, որտեղ բաշխման ֆունկցիան ընդհատվում է, իսկ ինտեգրալը տարածվում է բոլոր տարածքների վրա, որտեղ բաշխման ֆունկցիան շարունակական է։

Ի լրումն դիրքի բնութագրիչներից ամենակարևորին` մաթեմատիկական ակնկալիքին, գործնականում երբեմն օգտագործվում են դիրքի այլ բնութագրիչներ, մասնավորապես` պատահական փոփոխականի ռեժիմը և մեդիանը:

Պատահական փոփոխականի ռեժիմը նրա ամենահավանական արժեքն է: «Ամենահավանական արժեք» տերմինը, խստորեն ասած, վերաբերում է միայն ընդհատվող քանակություններին. շարունակական մեծության համար ռեժիմը այն արժեքն է, որի դեպքում հավանականության խտությունը առավելագույնն է: Եկեք համաձայնենք ռեժիմը նշել տառով: Նկ. 5.6.1 և 5.6.2 հատվածները ցույց են տալիս համապատասխանաբար ընդհատվող և շարունակական պատահական փոփոխականների ռեժիմը:

Եթե ​​բաշխման բազմանկյունը (բաշխման կորը) ունի մեկից ավելի առավելագույն, ապա բաշխումը կոչվում է «բազմամոդալ» (նկ. 5.6.3 և 5.6.4):

Երբեմն լինում են բաշխումներ, որոնք միջինում ունեն նվազագույնը, քան առավելագույնը (նկ. 5.6.5 և 5.6.6): Նման բաշխումները կոչվում են «հակամոդալ»: Հակամոդալ բաշխման օրինակ է օրինակ 5, թիվ 5.1-ում ստացված բաշխումը:

IN ընդհանուր դեպքպատահական փոփոխականի ռեժիմը և մաթեմատիկական ակնկալիքը չեն համընկնում: Կոնկրետ դեպքում, երբ բաշխումը սիմետրիկ է և մոդալ (այսինքն՝ ունի ռեժիմ) և կա մաթեմատիկական ակնկալիք, ապա այն համընկնում է բաշխման համաչափության ռեժիմի և կենտրոնի հետ։

Հաճախ օգտագործվում է դիրքի մեկ այլ բնութագիր՝ պատահական փոփոխականի այսպես կոչված մեդիան: Այս բնութագիրը սովորաբար օգտագործվում է միայն շարունակական պատահական փոփոխականների համար, թեև այն կարող է պաշտոնապես սահմանվել ընդհատվող փոփոխականի համար։

Պատահական փոփոխականի մեդիանը նրա արժեքն է, որի համար

դրանք. հավասարապես հավանական է, որ պատահական փոփոխականը լինի փոքր կամ մեծ, քան . Երկրաչափական առումով մեդիանը այն կետի աբսցիսն է, որտեղ բաշխման կորով սահմանափակված տարածքը կիսով չափ կիսվում է (նկ. 5.6.7):

Ակնկալվող արժեքը. Մաթեմատիկական ակնկալիքդիսկրետ պատահական փոփոխական X, վերցնելով վերջավոր թվով արժեքներ Xեսհավանականությունների հետ Ռես, գումարը կոչվում է.

Մաթեմատիկական ակնկալիքշարունակական պատահական փոփոխական Xկոչվում է նրա արժեքների արտադրյալի ինտեգրալ Xհավանականության բաշխման խտության վրա զ(x):

(6բ)

Սխալ ինտեգրալ (6 բ) ենթադրվում է բացարձակ կոնվերգենտ (հակառակ դեպքում ասում են, որ մաթեմատիկական ակնկալիքը Մ(X) գոյություն չունի). Մաթեմատիկական ակնկալիքը բնութագրում է միջին արժեքըպատահական փոփոխական X. Դրա չափը համընկնում է պատահական փոփոխականի չափի հետ։

Մաթեմատիկական ակնկալիքի հատկությունները.

Ցրվածություն. Տարբերությունպատահական փոփոխական Xհամարը կոչվում է.

Տարբերությունն է ցրման հատկանիշպատահական փոփոխական արժեքներ Xհամեմատ իր միջին արժեքի հետ Մ(X) Տարբերության չափը հավասար է պատահական փոփոխականի քառակուսու չափին: Ելնելով դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար դիսկրետ (8) և մաթեմատիկական ակնկալիքից (5) և շարունակական պատահական փոփոխականի համար (6) սահմանումներից, մենք ստանում ենք նման արտահայտություններ դիսկրետ պատահական փոփոխականի համար.

(9)

Այստեղ մ = Մ(X).

Դիսպերսիոն հատկություններ.

Ստանդարտ շեղում.

(11)

Քանի որ չափման միջին քառակուսի շեղումնույնը, ինչ պատահական փոփոխականը, այն ավելի հաճախ օգտագործվում է որպես դիսպերսիայի չափ, քան դիսպերսիա:

Բաշխման պահերը. Մաթեմատիկական ակնկալիք և դիսպերսիա հասկացությունները ավելի շատ հատուկ դեպքեր են ընդհանուր հայեցակարգպատահական փոփոխականների թվային բնութագրերի համար – բաշխման պահերը. Պատահական փոփոխականի բաշխման պահերը ներկայացվում են որպես պատահական փոփոխականի որոշ պարզ ֆունկցիաների մաթեմատիկական ակնկալիքներ։ Այսպիսով, պատվերի պահը կկետի համեմատ X 0-ը կոչվում է մաթեմատիկական ակնկալիք Մ(X–X 0 )կ. Պահեր ծագման մասին X= 0 կոչվում են սկզբնական պահերըև նշանակված են.

(12)

Առաջին կարգի սկզբնական պահը դիտարկվող պատահական փոփոխականի բաշխման կենտրոնն է.

(13)

Պահեր բաշխման կենտրոնի մասին X= մկոչվում են կենտրոնական կետերև նշանակված են.

(14)

(7)-ից հետևում է, որ առաջին կարգի կենտրոնական պահը միշտ հավասար է զրոյի.

Կենտրոնական պահերը կախված չեն պատահական փոփոխականի արժեքների ծագումից, քանի որ այն տեղափոխվում է հաստատուն արժեքով. ՀԵՏդրա բաշխման կենտրոնը տեղաշարժվում է նույն արժեքով ՀԵՏ, իսկ կենտրոնից շեղումը չի փոխվում. X – մ = (X – ՀԵՏ) – (մ – ՀԵՏ).
Հիմա դա ակնհայտ է ցրվածություն- Սա երկրորդ կարգի կենտրոնական պահ:

Ասիմետրիա. Կենտրոնական պահերրորդ կարգ.

(17)

ծառայում է գնահատման բաշխման ասիմետրիա. Եթե ​​բաշխումը սիմետրիկ է կետի նկատմամբ X= մ, ապա երրորդ կարգի կենտրոնական պահը հավասար կլինի զրոյի (ինչպես կենտ կարգերի բոլոր կենտրոնական պահերը)։ Հետևաբար, եթե երրորդ կարգի կենտրոնական պահը տարբերվում է զրոյից, ապա բաշխումը չի կարող սիմետրիկ լինել։ Անհամաչափության մեծությունը գնահատվում է առանց հարթության անհամաչափության գործակիցը:

(18)

Ասիմետրիայի գործակցի նշանը (18) ցույց է տալիս աջակողմ կամ ձախակողմյան անհամաչափություն (նկ. 2):

Բրինձ. 2. Բաշխման անհամաչափության տեսակները.

Ավելորդություն. Չորրորդ կարգի կենտրոնական պահ.

(19)

ծառայում է գնահատելու այսպես կոչված ավելցուկ, որը որոշում է բաշխման կորի կտրուկության (սրածայրության) աստիճանը բաշխման կենտրոնի մոտ՝ կորի նկատմամբ։ նորմալ բաշխում. Քանի որ նորմալ բաշխման համար որպես կուրտոզ ընդունված արժեքը հետևյալն է.

(20)

Նկ. Գծապատկեր 3-ը ցույց է տալիս բաշխման կորերի օրինակներ՝ տարբեր կուրտոզի արժեքներով: Նորմալ բաշխման համար Ե= 0. Կորերը, որոնք ավելի սրածայր են, քան նորմալ են, ունեն դրական կուրտոզ, նրանք, որոնք ավելի հարթ են՝ բացասական:

Բրինձ. 3. Տարբեր աստիճանի թեքության բաշխման կորեր (կուրտոզ):

Ավելի բարձր կարգի պահեր ինժեներական կիրառություններում մաթեմատիկական վիճակագրությունսովորաբար չի օգտագործվում:

Նորաձևություն դիսկրետպատահական փոփոխականը նրա ամենահավանական արժեքն է: Նորաձևություն շարունակականպատահական փոփոխականը նրա արժեքն է, որի դեպքում հավանականության խտությունը առավելագույնն է (նկ. 2): Եթե ​​բաշխման կորը ունի մեկ առավելագույն, ապա բաշխումը կոչվում է միամոդալ. Եթե ​​բաշխման կորը ունի մեկից ավելի առավելագույն, ապա բաշխումը կոչվում է մուլտիմոդալ. Երբեմն լինում են բաշխումներ, որոնց կորերն ունեն նվազագույնը, քան առավելագույնը: Նման բաշխումները կոչվում են հակամոդալ. Ընդհանուր դեպքում պատահական փոփոխականի ռեժիմը և մաթեմատիկական ակնկալիքը չեն համընկնում։ Հատուկ դեպքում՝ համար մոդալ, այսինքն. ունենալով ռեժիմ, սիմետրիկ բաշխում և պայմանով, որ կա մաթեմատիկական ակնկալիք, վերջինս համընկնում է բաշխման համաչափության ռեժիմի և կենտրոնի հետ։

Միջին պատահական փոփոխական X- սա է դրա իմաստը Մեհ, որի համար գործում է հավասարություն, այսինքն. հավասարապես հավանական է, որ պատահական փոփոխականը Xկլինի քիչ կամ շատ Մեհ. Երկրաչափական առումով միջինայն կետի աբսցիսա է, որտեղ բաշխման կորի տակ գտնվող տարածքը կիսով չափ կիսվում է (նկ. 2): Սիմետրիկ մոդալ բաշխման դեպքում մեդիանը, եղանակը և մաթեմատիկական ակնկալիքը նույնն են:

Նորաձևություն- արժեքը դիտարկումների մի շարքում, որն առավել հաճախ է տեղի ունենում

Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),

այստեղ X Mo-ը մոդալ ինտերվալի ձախ սահմանն է, h Mo-ն մոդալ ինտերվալի երկարությունն է, f Mo-1-ը նախամոդալ ինտերվալի հաճախականությունն է, f Mo-ն մոդալ ինտերվալի հաճախականությունն է, f Mo+1-ը հետմոդալ միջակայքի հաճախականությունը:

Բացարձակ շարունակական բաշխման ռեժիմը ցանկացած կետ է տեղական առավելագույնըբաշխման խտությունը. Համար դիսկրետ բաշխումներռեժիմը համարվում է a i ցանկացած արժեք, որի հավանականությունը p i-ն ավելի մեծ է, քան հարևան արժեքների հավանականությունը.

Միջինշարունակական պատահական փոփոխական XԴրա արժեքը Me է կոչվում, որի համար հավասարապես հավանական է, որ պատահական փոփոխականը կլինի փոքր կամ մեծ Մեհ, այսինքն.

M e =(n+1)/2 P(X < Ես) = P (X > Մեհ)

Միատեսակ բաշխված NSV

Միատեսակ բաշխում.Շարունակական պատահական փոփոխականը կոչվում է միատեսակ բաշխված հատվածի () վրա, եթե դրա բաշխման խտության ֆունկցիան (նկ. 1.6, Ա) ունի ձև.

Նշում. – SW-ը ​​բաշխված է միատեսակ վրա:

Համապատասխանաբար հատվածի վրա բաշխման ֆունկցիան (նկ. 1.6, բ):

Բրինձ. 1.6. Պատահական փոփոխականի ֆունկցիաները հավասարաչափ բաշխված են [ ա,բ]: Ա- հավանականության խտությունները զ(x); բ- բաշխումներ Ֆ(x)

Տվյալ ՍՎ-ի մաթեմատիկական ակնկալիքն ու ցրվածությունը որոշվում են արտահայտություններով.

Խտության ֆունկցիայի համաչափության պատճառով այն համընկնում է միջինի հետ։ Mods միասնական բաշխումչունի

Օրինակ 4. Հեռախոսազանգի պատասխանի սպասման ժամանակը պատահական փոփոխական է, որը ենթակա է միասնական օրենքբաշխումները 0-ից 2 րոպե միջակայքում: Գտե՛ք այս պատահական փոփոխականի ինտեգրալ և դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիաները:

27.Հավանականությունների բաշխման նորմալ օրենքը

Շարունակական պատահական x փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում՝ m,s > 0 պարամետրերով, եթե հավանականության բաշխման խտությունը ունի հետևյալ ձևը.

որտեղ՝ m – մաթեմատիկական ակնկալիք, s – ստանդարտ շեղում:

Նորմալ բաշխումը կոչվում է նաև Գաուսական՝ գերմանացի մաթեմատիկոս Գաուսի անունով։ Այն, որ պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում` m պարամետրերով, նշվում է հետևյալ կերպ. N (m,s), որտեղ m=a=M[X];

Շատ հաճախ բանաձևերում մաթեմատիկական ակնկալիքը նշվում է Ա . Եթե ​​պատահական փոփոխականը բաշխվում է N(0,1) օրենքի համաձայն, ապա այն կոչվում է նորմալացված կամ ստանդարտացված նորմալ փոփոխական։ Բաշխման գործառույթը դրա համար ունի ձև.

Նորմալ բաշխման խտության գրաֆիկը, որը կոչվում է նորմալ կոր կամ Գաուսի կոր, ներկայացված է Նկար 5.4-ում:

Բրինձ. 5.4. Բաշխման նորմալ խտություն

հատկություններընորմալ բաշխման օրենք ունեցող պատահական փոփոխական:

1. Եթե , ապա գտնել տվյալ ինտերվալի մեջ այս արժեքի ընկնելու հավանականությունը ( x 1; x 2) օգտագործվում է բանաձևը.

2. Հավանականությունը, որ պատահական փոփոխականի շեղումը նրա մաթեմատիկական ակնկալիքից չի գերազանցի արժեքը (բացարձակ արժեքով), հավասար է։

Դասի նպատակը. Ուսանողների մեջ պատկերացում կազմել թվերի բազմության մեդիանայի և այն պարզ թվային բազմությունների համար հաշվարկելու կարողության մասին, համախմբել թվերի շարքի միջին թվաբանական հասկացությունը:

Դասի տեսակը՝ նոր նյութի բացատրություն։

Սարքավորումներ՝ գրատախտակ, դասագիրք խմբ. Յու.Ն. Տյուրինա «Հավանականության տեսություն և վիճակագրություն», պրոյեկտորով համակարգիչ:

Դասերի ժամանակ

1. Կազմակերպչական պահ.

Տեղեկացրեք դասի թեման և ձևակերպեք դրա նպատակները:

2. Նախկին գիտելիքների թարմացում.

Հարցեր ուսանողներին.

• Ո՞րն է թվերի բազմության միջին թվաբանականը:
• Որտե՞ղ է թվաբանական միջինը գտնվում թվերի բազմության մեջ:
• Ի՞նչն է բնութագրում թվերի բազմության միջին թվաբանականը:
• Որտե՞ղ է հաճախ օգտագործվում թվերի բազմության միջին թվաբանականը:

Բանավոր առաջադրանքներ.

Գտե՛ք թվերի բազմության միջին թվաբանականը.

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Փորձաքննություն Տնային աշխատանքօգտագործելով պրոյեկտոր ( Հավելված 1):

Դասագիրք՝ թիվ 12 (բ, դ), թիվ 18 (գ, դ)

3. Նոր նյութի ուսումնասիրություն.

Նախորդ դասին մենք ծանոթացանք այնպիսի վիճակագրական բնութագրի, ինչպիսին է թվերի բազմության միջին թվաբանականը։ Այսօր մենք դաս կնվիրենք մեկ այլ վիճակագրական բնութագրի` մեդիանային:

Ոչ միայն միջին թվաբանականը ցույց է տալիս, թե թվային տողի որտեղ են գտնվում ցանկացած բազմության թվերը և որտեղ է դրանց կենտրոնը: Մեկ այլ ցուցանիշ է միջինը:

Թվերի բազմության մեդիանն այն թիվն է, որը բազմությունը բաժանում է երկու հավասար մասերի: «միջին» բառի փոխարեն կարող եք ասել «միջին»:

Նախ, եկեք նայենք օրինակներին, թե ինչպես գտնել միջինը, այնուհետև տալ խիստ սահմանում:

Դիտարկենք հետևյալ բանավոր օրինակը՝ օգտագործելով պրոյեկտոր ( Հավելված 2)

Վերջում ուսումնական տարի 7-րդ դասարանի 11 աշակերտ անցել է 100 մետր վազքի չափորոշիչ։ Արձանագրվել են հետևյալ արդյունքները.

Այն բանից հետո, երբ տղաները վազեցին հեռավորությունը, Պետյան մոտեցավ ուսուցչին և հարցրեց, թե որն է նրա արդյունքը:

"Մեծ մասը միջին արդյունք 16,9 վայրկյան»,- պատասխանեց ուսուցիչը

— Ինչո՞ւ։ – Զարմացավ Պետյան: – Ի վերջո, բոլոր արդյունքների միջին թվաբանականը մոտավորապես 18,3 վայրկյան է, և ես մեկ վայրկյանից ավելի լավ վազեցի: Իսկ ընդհանուր առմամբ, Կատյայի արդյունքը (18,4) շատ ավելի մոտ է միջինին, քան իմը»։

«Ձեր արդյունքը միջին է, քանի որ հինգ հոգի ձեզանից լավ են վազել, իսկ հինգը` ավելի վատ: Այսինքն՝ դու հենց մեջտեղում ես»,- ասաց ուսուցիչը։ [2]

Գրե՛ք թվերի բազմության միջնագիծը գտնելու ալգորիթմ.

1. Դասավորել թվերի հավաքածու (կազմել դասակարգված շարք):
2. Միևնույն ժամանակ, հատեք «ամենամեծ» և «ամենափոքր» թվերը, մինչև մնա մեկ կամ երկու թիվ:
3. Եթե ​​մեկ թիվ է մնացել, ապա դա միջինն է։
4. Եթե ​​մնաց երկու թիվ, ապա միջինը կլինի մնացած երկու թվերի միջին թվաբանականը:

Հրավիրեք ուսանողներին ինքնուրույն ձևակերպել թվերի բազմության մեդիանայի սահմանումը, այնուհետև կարդալ դասագրքում մեդիանայի երկու սահմանումը (էջ 50), ապա դիտել դասագրքի 4 և 5 օրինակները (էջ 50-52):

Մեկնաբանություն:

Ուսանողների ուշադրությունը հրավիրեք մի կարևոր փաստի վրա. մեդիանը գործնականում անզգայուն է թվերի հավաքածուների առանձին ծայրահեղ արժեքների զգալի շեղումների նկատմամբ: Վիճակագրության մեջ այս հատկությունը կոչվում է կայունություն: Վիճակագրական ցուցանիշի կայունությունը շատ է կարևոր գույք, այն մեզ ապահովագրում է պատահական սխալներից և անհատական ​​անվստահելի տվյալներից:

4. Ուսումնասիրված նյութի համախմբում.

Դասագրքից թվերի լուծում 11-րդ կետի «Միջին».

Թվերի հավաքածու՝ 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Թվերի հավաքածու՝ 1,3,5,7,14։

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

ա) Թվերի հավաքածու՝ 3,4,11,17,21

բ) Թվերի հավաքածու՝ 17,18,19,25,28

գ) Թվերի հավաքածու՝ 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50.

Եզրակացություն. կենտ թվով անդամներից բաղկացած թվերի բազմության մեդիանը հավասար է մեջտեղի թվին:

ա) թվերի հավաքածու՝ 2, 4, 8 , 9.

Ես = (4+8):2=12:2=6

բ) թվերի հավաքածու՝ 1,3, 5,7 ,8,9.

Ես = (5+7):2=12:2=6

Զույգ թվով անդամներ պարունակող թվերի բազմության մեդիանը հավասար է մեջտեղի երկու թվերի գումարի կեսին:

Աշակերտը եռամսյակի ընթացքում ստացել է հանրահաշվից հետևյալ գնահատականները.

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Գտե՛ք այս բազմության միջինն ու միջինը: [3]

Պատվիրենք թվերի բազմությունը՝ 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5.

Ընդամենը 10 թիվ կա, միջինը գտնելու համար անհրաժեշտ է վերցնել երկու միջին թվերը և գտնել դրանց կիսագումարը:

Ես = (5+5): 2 = 5

Հարց ուսանողներին. Եթե դուք ուսուցիչ լինեիք, ի՞նչ գնահատական ​​կտայիք այս աշակերտին եռամսյակի համար: Հիմնավորե՛ք ձեր պատասխանը։

Ընկերության նախագահը ստանում է 300 000 ռուբլի աշխատավարձ։ նրա երեք տեղակալները ստանում են 150.000-ական ռուբլի, քառասուն աշխատակիցները՝ 50.000-ական ռուբլի։ իսկ հավաքարարուհու աշխատավարձը՝ 10000 ռուբլի։ Գտեք ընկերությունում աշխատավարձերի միջին թվաբանականը և միջինը: Այս հատկանիշներից ո՞րն է ավելի ձեռնտու նախագահի համար գովազդային նպատակներով օգտագործելը:

= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (ռուբ.)

Առաջադրանք 3. (Հրավիրեք ուսանողներին ինքնուրույն լուծել այն, պրոյեկտորի միջոցով նախագծել խնդիրը)

Աղյուսակում ներկայացված է Ռուսաստանի ամենամեծ լճերի և ջրամբարների ջրի մոտավոր ծավալը խորանարդ մետրով: կմ. (Հավելված 3) [ 4 ]

Ա) Գտե՛ք այս ջրամբարներում ջրի միջին ծավալը (միջին թվաբանական);

Բ) Գտեք ջրի ծավալը ջրամբարի միջին չափի մեջ (տվյալների մեդիան).

Հարց) Ձեր կարծիքով, այս բնութագրերից ո՞րը` միջին թվաբանականը, թե միջինը, ավելի լավ է նկարագրում Ռուսաստանում տիպիկ մեծ ջրամբարի ծավալը: Բացատրեք ձեր պատասխանը:

ա) 2459 խմ կմ

բ) 60 խմ. կմ

գ) Միջին, քանի որ տվյալները պարունակում են արժեքներ, որոնք շատ տարբեր են բոլոր մյուսներից:

Առաջադրանք 4. Բանավոր.

Ա) Քանի՞ թիվ կա բազմության մեջ, եթե նրա իններորդ անդամը միջինն է:

Բ) Քանի՞ թիվ կա բազմության մեջ, եթե նրա միջինը 7-րդ և 8-րդ անդամների թվաբանական միջինն է:

Գ) Յոթ թվերի բազմության մեջ ամենամեծ թիվը մեծանում է 14-ով: Արդյո՞ք դա կփոխի թվաբանական միջինը և միջինը:

Դ) Բազմության թվերից յուրաքանչյուրը մեծանում է 3-ով: Ի՞նչ է պատահում թվաբանական միջինին և միջինին:

Խանութում քաղցրավենիքները վաճառվում են քաշով։ Պարզելու համար, թե քանի կոնֆետ կա մեկ կիլոգրամում, Մաշան որոշել է գտնել մեկ կոնֆետի քաշը։ Նա կշռեց մի քանի կոնֆետներ և ստացավ հետևյալ արդյունքները.

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Երկու բնութագրերն էլ հարմար են մեկ կոնֆետի քաշը գնահատելու համար, քանի որ նրանք շատ չեն տարբերվում միմյանցից.

Այսպիսով, վիճակագրական տեղեկատվությունը բնութագրելու համար օգտագործվում են միջին թվաբանականը և միջինը: Շատ դեպքերում բնութագրիչներից մեկը կարող է որևէ իմաստալից նշանակություն չունենալ (օրինակ, ճանապարհատրանսպորտային պատահարների ժամանակի մասին տեղեկություն ունենալը, դժվար թե իմաստ ունենա խոսել այդ տվյալների միջին թվաբանականի մասին):

1. Տնային առաջադրանք՝ պարբերություն 11, թիվ 3,4,9,11։
2. Դասի ամփոփում. Արտացոլում.

Գրականություն:

1. Յու.Ն. Տյուրին և այլք «Հավանականության տեսություն և վիճակագրություն», հրատարակչություն MTsNMO, ԲԲԸ «Մոսկվայի դասագրքեր», Մոսկվա 2008 թ.
2. Է.Ա. Բունիմովիչ, Վ.Ա. Բուլիչև «Վիճակագրության հիմունքներ և հավանականություն», DROFA, Մոսկվա 2004 թ.
3. Թերթ «Մաթեմատիկա» թիվ 23, 2007 թ.
4. Դեմո տարբերակ թեստային աշխատանքհավանականությունների տեսության և վիճակագրության 7-րդ դասարանի 2007/2008 ուս. տարին։