Բացասական ցուցիչով տարբերակիչ: Փորձենք պարզել, թե ինչ է նկարագրում խտրականը: Բաժանենք արտահայտությունը նրա բաղադրիչ գործոնների

Ավելին պարզ ձևով. Դա անելու համար փակագծերից դուրս դրեք z: Դուք կստանաք՝ z(аz + b) = 0։ Գործակիցները կարելի է գրել՝ z=0 և аz + b = 0, քանի որ երկուսն էլ կարող են հանգեցնել զրո։ az + b = 0 նշումով երկրորդը այլ նշանով տեղափոխում ենք աջ։ Այստեղից ստանում ենք z1 = 0 և z2 = -b/a: Սրանք բնօրինակի արմատներն են:

Եթե ​​չկա ամբողջական հավասարումձև az² + c = 0, դյույմ այս դեպքումհայտնաբերվում են՝ պարզապես փոխանցելով ազատ տերմինը աջ կողմհավասարումներ Փոխեք նաև դրա նշանը: Արդյունքը կլինի az² = -с: Էքսպրես z² = -c/a: Վերցրեք արմատը և գրեք երկու լուծում՝ դրական և բացասական քառակուսի արմատ:

Նշում

Եթե ​​հավասարման մեջ կան կոտորակային գործակիցներ, ապա ամբողջ հավասարումը բազմապատկեք համապատասխան գործակցով, որպեսզի ձերբազատվեք կոտորակներից:

Քառակուսային հավասարումներ լուծելու իմացությունը անհրաժեշտ է ինչպես դպրոցականների, այնպես էլ ուսանողների համար, երբեմն դա կարող է օգնել նաև մեծահասակներին առօրյա կյանքում: Կան լուծման մի քանի հատուկ մեթոդներ.

Քառակուսային հավասարումների լուծում

a*x^2+b*x+c=0 ձևի քառակուսային հավասարումը. x գործակիցը ցանկալի փոփոխականն է, a, b, c-ն թվային գործակիցներ են: Հիշեք, որ «+» նշանը կարող է փոխվել «-» նշանի:

Այս հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել Վիետայի թեորեմը կամ գտնել դիսկրիմինանտը։ Ամենատարածված մեթոդը տարբերակիչը գտնելն է, քանի որ a, b, c որոշ արժեքների համար հնարավոր չէ օգտագործել Վիետայի թեորեմը:

Տարբերիչը (D) գտնելու համար անհրաժեշտ է գրել D=b^2 - 4*a*c բանաձեւը։ D արժեքը կարող է լինել մեծ, փոքր կամ հավասար զրոյի: Եթե ​​D-ն մեծ է կամ փոքր է զրոյից, ապա կլինի երկու արմատ, եթե D = 0, ապա մնում է միայն մեկ արմատ, ավելի ճիշտ, կարելի է ասել, որ D-ն այս դեպքում ունի երկու համարժեք արմատ: Հայտնի a, b, c գործակիցները փոխարինե՛ք բանաձևով և հաշվարկե՛ք արժեքը:

Այն բանից հետո, երբ դուք գտել եք տարբերակիչը, օգտագործեք x-ը գտնելու բանաձևերը. x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, որտեղ sqrt ֆունկցիան է, որը նշանակում է վերցնել տրված թվի քառակուսի արմատը: Այս արտահայտությունները հաշվարկելուց հետո դուք կգտնեք ձեր հավասարման երկու արմատ, որից հետո հավասարումը համարվում է լուծված։

Եթե ​​D-ն զրոյից փոքր է, ապա այն դեռ արմատներ ունի։ Այս բաժինը գործնականում չի ուսումնասիրվում դպրոցում։ Համալսարանի ուսանողները պետք է տեղյակ լինեն, որ արմատի տակ բացասական թիվ է հայտնվում: Դրանից ազատվում են՝ ընդգծելով երևակայական մասը, այսինքն՝ արմատի տակ -1-ը միշտ հավասար է «i» երևակայական տարրին, որը բազմապատկվում է նույն դրական թվով արմատով։ Օրինակ, եթե D=sqrt(-20), փոխակերպումից հետո մենք ստանում ենք D=sqrt(20)*i: Այս փոխակերպումից հետո հավասարման լուծումը վերածվում է վերևում նկարագրված արմատների նույն հայտնաբերման:

Վիետայի թեորեմը բաղկացած է x(1) և x(2) արժեքների ընտրությունից: Օգտագործված են երկու նույնական հավասարումներ՝ x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Եվ շատ կարևոր կետ b գործակցի դիմաց նշանն է, հիշեք, որ այս նշանը հավասարման նշանին հակառակ է: Առաջին հայացքից թվում է, թե x(1) և x(2) հաշվելը շատ պարզ է, բայց լուծելիս կկանգնես փաստի առաջ, որ պետք է ընտրես թվերը։

Քառակուսային հավասարումների լուծման տարրեր

Համաձայն մաթեմատիկայի կանոնների՝ որոշները կարող են ֆակտորիզացվել՝ (a+x(1))*(b-x(2))=0, եթե ձեզ հաջողվել է այս քառակուսի հավասարումը նույն կերպ ձևափոխել՝ օգտագործելով մաթեմատիկական բանաձևերը, ապա ազատ զգաք. գրիր պատասխանը. x(1) և x(2)-ը հավասար կլինեն փակագծերի հարակից գործակիցներին, բայց հետ հակառակ նշան.

Մի մոռացեք նաև թերի քառակուսի հավասարումների մասին։ Դուք կարող եք բացակայել որոշ տերմիններ, եթե այո, ապա դրա բոլոր գործակիցները պարզապես հավասար են զրոյի: Եթե ​​x^2-ի կամ x-ի դիմաց ոչինչ չկա, ապա a և b գործակիցները հավասար են 1-ի։

Քառակուսային հավասարում- լուծումը պարզ է! *Այսուհետ՝ «KU»:Ընկերներ, թվում է, թե մաթեմատիկայի մեջ ավելի պարզ բան չի կարող լինել, քան նման հավասարումը լուծելը: Բայց ինչ-որ բան ինձ ասում էր, որ շատերը նրա հետ խնդիրներ ունեն։ Ես որոշեցի տեսնել, թե ամսական քանի՞ տպավորություն է թողնում Yandex-ը ըստ պահանջի: Ահա թե ինչ եղավ, տեսեք.

Ինչ է դա նշանակում? Սա նշանակում է, որ ամսական մոտ 70,000 մարդ փնտրում է այս տեղեկությունը, ի՞նչ կապ ունի այս ամառը, և ի՞նչ է լինելու դրա հետ ուսումնական տարի— կրկնակի շատ խնդրանքներ կլինեն։ Զարմանալի չէ, քանի որ այն տղաներն ու աղջիկները, ովքեր վաղուց են ավարտել դպրոցը և պատրաստվում են միասնական պետական ​​քննությանը, փնտրում են այս տեղեկությունը, և դպրոցականները նույնպես ձգտում են թարմացնել հիշողությունը։

Չնայած այն հանգամանքին, որ կան բազմաթիվ կայքեր, որոնք պատմում են ձեզ, թե ինչպես լուծել այս հավասարումը, ես որոշեցի նաև ներդրում ունենալ և հրապարակել նյութը: Նախ, ես ցանկանում եմ, որ այցելուները գան իմ կայք այս խնդրանքի հիման վրա. երկրորդ, այլ հոդվածներում, երբ հայտնվի «KU» թեման, ես կտամ հղումը այս հոդվածին. երրորդ, ես ձեզ մի փոքր ավելին կասեմ նրա լուծման մասին, քան սովորաբար ասվում է այլ կայքերում: Եկեք սկսենք!Հոդվածի բովանդակությունը.

Քառակուսային հավասարումը ձևի հավասարումն է.

որտեղ գործակիցները a,բիսկ c-ն կամայական թվեր են՝ a≠0-ով:

Դպրոցական դասընթացում նյութը տրվում է հետևյալ ձևով՝ հավասարումները բաժանվում են երեք դասի.

1. Նրանք ունեն երկու արմատ.

2. *Ունենալ միայն մեկ արմատ.

3. Նրանք արմատներ չունեն։ Այստեղ հարկ է հատկապես նշել, որ դրանք իրական արմատներ չունեն

Ինչպե՞ս են հաշվարկվում արմատները: Պարզապես!

Մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը։ Այս «սարսափելի» բառի տակ շատ պարզ բանաձեւ է.

Արմատային բանաձևերը հետևյալն են.

*Այս բանաձեւերը պետք է անգիր իմանալ։

Դուք կարող եք անմիջապես գրել և լուծել.

Օրինակ:

1. Եթե D > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ:

2. Եթե D = 0, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

3. Եթե Դ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Եկեք նայենք հավասարմանը.

Ըստ այս առիթով, երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, դպրոցի դասընթացն ասում է, որ արդյունքը մեկ արմատ է, այստեղ հավասար է ինը։ Ամեն ինչ ճիշտ է, այդպես է, բայց...

Այս միտքը որոշ չափով սխալ է։ Իրականում երկու արմատ կա. Այո, այո, մի զարմացեք, դուք ստանում եք երկու հավասար արմատներ, և մաթեմատիկորեն ճշգրիտ լինելու համար, պատասխանը պետք է գրի երկու արմատ.

x 1 = 3 x 2 = 3

Բայց սա այդպես է՝ մի փոքր շեղում: Դպրոցում դուք կարող եք գրել այն և ասել, որ կա մեկ արմատ:

Այժմ հաջորդ օրինակը.

Ինչպես գիտենք, արմատը բացասական թիվչի արդյունահանվում, ուստի այս դեպքում լուծում չկա։

Սա է որոշումների ամբողջ գործընթացը:

Քառակուսի ֆունկցիա.

Սա ցույց է տալիս, թե ինչպիսին է լուծումը երկրաչափական տեսքով: Սա չափազանց կարևոր է հասկանալու համար (ապագայում հոդվածներից մեկում մանրամասն կվերլուծենք քառակուսի անհավասարության լուծումը)։

Սա ձևի ֆունկցիան է.

որտեղ x և y փոփոխականներ են

a, b, c – տրված թվեր՝ a ≠ 0-ով

Գրաֆիկը պարաբոլա է.

Այսինքն՝ ստացվում է, որ լուծելով «y»-ով քառակուսի հավասարում, որը հավասար է զրոյի, գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետերը x առանցքի հետ։ Այս կետերից կարող է լինել երկուսը (տարբերիչը դրական է), մեկը (տարբերիչը զրոյական է) և ոչ մեկը (տարբերիչը բացասական է): Մանրամասների մասին քառակուսի ֆունկցիա Դուք կարող եք դիտելԻննա Ֆելդմանի հոդվածը։

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1. Լուծել 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Պատասխան՝ x 1 = 8 x 2 = –12

*Հավասարման ձախ և աջ կողմերը հնարավոր եղավ անմիջապես բաժանել 2-ի, այսինքն՝ պարզեցնել այն։ Հաշվարկներն ավելի հեշտ կլինեն։

Օրինակ 2: Որոշեք x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Մենք գտանք, որ x 1 = 11 և x 2 = 11

Պատասխանում թույլատրելի է գրել x = 11:

Պատասխան՝ x = 11

Օրինակ 3: Որոշեք x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Խտրականը բացասական է, իրական թվերով լուծում չկա։

Պատասխան՝ լուծում չկա

Խտրականը բացասական է. Կա լուծում!

Այստեղ մենք կխոսենք հավասարումը լուծելու մասին այն դեպքում, երբ ստացվում է բացասական դիսկրիմինանտ։ Դուք որևէ բան գիտե՞ք դրա մասին բարդ թվեր? Ես այստեղ չեմ մանրամասնի, թե ինչու և որտեղ են դրանք առաջացել, և որն է դրանց հատուկ դերն ու անհրաժեշտությունը մաթեմատիկայի մեջ, սա մեծ առանձին հոդվածի թեմա է:

Կոմպլեքս թվի հայեցակարգը.

Մի փոքր տեսություն.

Z կոմպլեքս թիվը ձևի թիվ է

z = a + bi

որտեղ a-ն և b-ն իրական թվեր են, i-ն այսպես կոչված երևակայական միավորն է:

ա+բի - սա ՄԵԿ ԹԻՎ է, ոչ թե հավելում:

Երևակայական միավորը հավասար է մինուս մեկ արմատին.

Այժմ հաշվի առեք հավասարումը.

Մենք ստանում ենք երկու զուգակցված արմատներ:

Անավարտ քառակուսի հավասարում.

Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, երբ «b» կամ «c» գործակիցը հավասար է զրոյի (կամ երկուսն էլ հավասար են զրոյի): Դրանք կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ առանց որևէ խտրականության:

Դեպք 1. Գործակից b = 0:

Հավասարումը դառնում է.

Եկեք փոխակերպենք.

Օրինակ:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Դեպք 2. Գործակից c = 0:

Հավասարումը դառնում է.

Եկեք փոխակերպենք և ֆակտորիզացնենք.

*Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 կամ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Դեպք 3. b = 0 եւ c = 0 գործակիցները:

Այստեղ պարզ է, որ հավասարման լուծումը միշտ կլինի x = 0:

Օգտակար հատկություններ և գործակիցների օրինաչափություններ.

Կան հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս լուծել մեծ գործակիցներով հավասարումներ։

Աx 2 + bx+ գ=0 հավասարությունը պահպանվում է

ա + բ+ c = 0,Դա

- եթե հավասարման գործակիցների համար Աx 2 + bx+ գ=0 հավասարությունը պահպանվում է

ա+ գ =բ, Դա

Այս հատկությունները օգնում են լուծել որոշակի տեսակի հավասարումներ:

Օրինակ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Գործակիցների գումարը 5001 + ( – 4995)+(– 6) = 0, ինչը նշանակում է

Օրինակ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Հավասարությունը պահպանվում է ա+ գ =բ, Միջոցներ

Գործակիցների օրինաչափություններ.

1. Եթե ax 2 + bx + c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 +1), իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 6x 2 + 37x + 6 = 0 հավասարումը:

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Եթե ax 2 – bx + c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 +1), իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

կացին 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 15x 2 –226x +15 = 0 հավասարումը:

x 1 = 15 x 2 = 1/15:

3. Եթե հավասարում. ax 2 + bx – c = 0 գործակից «b» հավասար է (a 2 – 1), և գործակից «գ» թվայինորեն հավասար է «a» գործակցի, ապա նրա արմատները հավասար են

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 17x 2 +288x – 17 = 0 հավասարումը:

x 1 = – 17 x 2 = 1/17:

4. Եթե ax 2 – bx – c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 – 1), իսկ c գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 10x 2 – 99x –10 = 0 հավասարումը:

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Վիետայի թեորեմա.

Վիետայի թեորեմն անվանվել է ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի անունով։ Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, մենք կարող ենք կամայական KU-ի արմատների գումարը և արտադրյալը արտահայտել նրա գործակիցներով։

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ընդհանուր առմամբ 14 թիվը տալիս է միայն 5 և 9: Սրանք արմատներ են: Որոշակի հմտությամբ, օգտագործելով ներկայացված թեորեմը, կարող եք անմիջապես բանավոր կերպով լուծել բազմաթիվ քառակուսի հավասարումներ։

Վիետայի թեորեմը, ի լրումն. Հարմար է նրանով, որ քառակուսի հավասարումը սովորական եղանակով (դիսկրիմինանտի միջոցով) լուծելուց հետո կարելի է ստուգել ստացված արմատները։ Ես խորհուրդ եմ տալիս դա անել միշտ:

ՏՐԱՆՍՊՈՐՏԱՅԻՆ ՄԵԹՈԴ

Այս մեթոդով «ա» գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «նետվում» է դրան, ինչի պատճառով էլ կոչվում է. «փոխանցման» մեթոդ.Այս մեթոդը կիրառվում է այն դեպքում, երբ հավասարման արմատները հեշտությամբ կարելի է գտնել Վիետայի թեորեմի միջոցով և, ամենակարևորը, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Եթե Ա± բ+գ≠ 0, ապա օգտագործվում է փոխանցման տեխնիկան, օրինակ.

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը (2) հավասարման մեջ, հեշտ է որոշել, որ x 1 = 10 x 2 = 1

Հավասարման արդյունքում ստացված արմատները պետք է բաժանվեն 2-ի (քանի որ երկուսը «գցվել» են x 2-ից), մենք ստանում ենք.

x 1 = 5 x 2 = 0,5:

Ո՞րն է հիմնավորումը: Տեսեք, թե ինչ է կատարվում.

(1) և (2) հավասարումների տարբերակիչները հավասար են.

Եթե ​​նայեք հավասարումների արմատներին, ապա դուք ստանում եք միայն տարբեր հայտարարներ, և արդյունքը կախված է հենց x 2 գործակիցից.

Երկրորդը (փոփոխված) ունի 2 անգամ մեծ արմատներ։

Այսպիսով, մենք արդյունքը բաժանում ենք 2-ի:

*Եթե երեքը նորից գլորենք, արդյունքը կբաժանենք 3-ի և այլն։

Պատասխան՝ x 1 = 5 x 2 = 0,5

քառ. ur-ie և միասնական պետական ​​քննություն:

Ես համառոտ կպատմեմ դրա կարևորության մասին. Դուք պետք է կարողանաք արագ և առանց մտածելու ՈՐՈՇԵԼ, դուք պետք է անգիր իմանաք արմատների և տարբերակիչների բանաձևերը: Միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներում ընդգրկված խնդիրներից շատերը հանգում են քառակուսի հավասարումների լուծմանը (ներառյալ երկրաչափականները):

Ուշադրության արժանի բան.

1. Հավասարում գրելու ձևը կարող է լինել «ենթադրյալ»: Օրինակ, հնարավոր է հետևյալ գրառումը.

15+ 9x 2 - 45x = 0 կամ 15x+42+9x 2 - 45x=0 կամ 15 -5x+10x 2 = 0:

Դուք պետք է բերեք նրան ստանդարտ տեսք(որպեսզի չշփոթվեք որոշելու ժամանակ)։

2. Հիշեք, որ x-ը անհայտ մեծություն է և այն կարելի է նշանակել ցանկացած այլ տառով՝ t, q, p, h և այլն:

Այս թեման սկզբում կարող է դժվար թվալ՝ շատերի պատճառով ոչ այնքան պարզ բանաձևեր. Ոչ միայն քառակուսի հավասարումներն իրենք ունեն երկար նշումներ, այլև արմատները հայտնաբերվում են տարբերակիչի միջոցով: Ընդհանուր առմամբ, ստացվում է երեք նոր բանաձեւ. Հիշելը շատ հեշտ չէ: Դա հնարավոր է միայն նման հավասարումները հաճախակի լուծելուց հետո։ Այնուհետև բոլոր բանաձևերը կհիշվեն ինքնուրույն:

Քառակուսային հավասարման ընդհանուր տեսք

Այստեղ մենք առաջարկում ենք դրանց բացահայտ գրանցումը, երբ նախ գրվում է ամենամեծ աստիճանը, իսկ հետո՝ նվազման կարգով։ Հաճախ կան իրավիճակներ, երբ պայմանները անհամապատասխան են: Ապա ավելի լավ է վերաշարադրել հավասարումը փոփոխականի աստիճանի նվազման կարգով։

Ներկայացնենք որոշ նշում. Դրանք ներկայացված են ստորև բերված աղյուսակում:

Եթե ​​ընդունենք այս նշումները, բոլոր քառակուսի հավասարումները կրճատվում են հետևյալ նշումով.

Ավելին, գործակիցը a ≠ 0: Թող այս բանաձևը նշանակվի թիվ մեկ:

Երբ տրվում է հավասարում, պարզ չէ, թե քանի արմատ կլինի պատասխանում: Քանի որ երեք տարբերակներից մեկը միշտ հնարավոր է.

• լուծումը կունենա երկու արմատ.
• պատասխանը կլինի մեկ թիվ;
• հավասարումն ընդհանրապես արմատներ չի ունենա։

Եվ քանի դեռ որոշումը վերջնականապես չի կայացվել, դժվար է հասկանալ, թե կոնկրետ դեպքում որ տարբերակն է ի հայտ գալու։

Քառակուսային հավասարումների ձայնագրությունների տեսակները

Առաջադրանքներում կարող են լինել տարբեր գրառումներ: Նրանք միշտ չէ, որ նման կլինեն ընդհանուր բանաձեւքառակուսային հավասարում. Երբեմն այն կբացակայի որոշ տերմիններ: Վերևում գրվածը ամբողջական հավասարումն է։ Եթե ​​դուք հանում եք դրա մեջ երկրորդ կամ երրորդ տերմինը, դուք ստանում եք այլ բան: Այս գրառումները կոչվում են նաև քառակուսի հավասարումներ՝ միայն թերի։

Ավելին, կարող են անհետանալ միայն «b» և «c» գործակիցներով տերմինները: «ա» թիվը ոչ մի դեպքում չի կարող հավասար լինել զրոյի։ Քանի որ այս դեպքում բանաձեւը դառնում է գծային հավասարում. Հավասարումների ոչ լրիվ ձևի բանաձևերը կլինեն հետևյալը.

Այսպիսով, կա միայն երկու տեսակ, բացի ամբողջականներից, կան նաև թերի քառակուսի հավասարումներ։ Թող առաջին բանաձևը լինի թիվ երկու, իսկ երկրորդը՝ երեքը։

Արմատների քանակի տարբերություն և կախվածություն դրա արժեքից

Դուք պետք է իմանաք այս թիվը, որպեսզի հաշվարկեք հավասարման արմատները: Այն միշտ կարելի է հաշվարկել՝ անկախ նրանից, թե ինչպիսին է քառակուսի հավասարման բանաձևը։ Խտրականությունը հաշվարկելու համար հարկավոր է օգտագործել ստորև գրված հավասարությունը, որը կունենա չորս թիվը։

Այս բանաձևի մեջ գործակիցների արժեքները փոխարինելուց հետո կարող եք թվեր ստանալ տարբեր նշաններ. Եթե ​​պատասխանը այո է, ապա հավասարման պատասխանը երկու է տարբեր արմատներ. Եթե ​​թիվը բացասական է, ապա քառակուսի հավասարման արմատներ չեն լինի: Եթե ​​այն հավասար է զրոյի, ապա կլինի միայն մեկ պատասխան.

Ինչպե՞ս լուծել ամբողջական քառակուսի հավասարումը:

Փաստորեն, այս հարցի քննարկումն արդեն սկսվել է։ Որովհետև նախ պետք է տարբերակիչ գտնել: Այն բանից հետո, երբ որոշվում է, որ կան քառակուսի հավասարման արմատներ, և դրանց թիվը հայտնի է, դուք պետք է օգտագործեք բանաձևեր փոփոխականների համար: Եթե ​​կան երկու արմատներ, ապա դուք պետք է կիրառեք հետեւյալ բանաձեւը.

Քանի որ այն պարունակում է «±» նշան, կլինի երկու արժեք: Քառակուսի արմատի նշանի տակ արտահայտությունը տարբերակիչն է: Հետևաբար, բանաձևը կարող է այլ կերպ վերաշարադրվել:

Բանաձև թիվ հինգ. Նույն գրառումից պարզ է դառնում, որ եթե դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, ապա երկու արմատները կունենան նույն արժեքները։

Եթե ​​քառակուսի հավասարումների լուծումը դեռ մշակված չէ, ապա ավելի լավ է գրել բոլոր գործակիցների արժեքները նախքան տարբերակիչ և փոփոխական բանաձևերը կիրառելը: Հետագայում այս պահը դժվարություններ չի առաջացնի։ Բայց հենց սկզբում շփոթություն է առաջանում.

Ինչպե՞ս լուծել ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը:

Այստեղ ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է. Նույնիսկ լրացուցիչ բանաձեւերի կարիք չկա։ Իսկ նրանք, որոնք արդեն գրված են խտրականի ու անհայտի համար, պետք չեն լինի։

Նախ, եկեք նայենք թերի թիվ երկու հավասարմանը: Այս հավասարության դեպքում անհրաժեշտ է փակագծերից հանել անհայտ մեծությունը և լուծել գծային հավասարումը, որը կմնա փակագծերում։ Պատասխանը կունենա երկու արմատ. Առաջինն անպայման հավասար է զրոյի, քանի որ կա բազմապատկիչ, որը բաղկացած է հենց փոփոխականից։ Երկրորդը կստացվի գծային հավասարում լուծելով։

Թերի երրորդ հավասարումը լուծվում է՝ թիվը հավասարության ձախ կողմից աջ տեղափոխելով։ Այնուհետև պետք է բաժանել անհայտի դեմ ուղղված գործակցի վրա։ Մնում է միայն հանել քառակուսի արմատը և հիշել, որ այն երկու անգամ գրել հակառակ նշաններով։

Ստորև բերված են մի քանի քայլեր, որոնք կօգնեն ձեզ սովորել, թե ինչպես լուծել բոլոր տեսակի հավասարումները, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների: Դրանք կօգնեն աշակերտին խուսափել անուշադրության պատճառով սխալներից։ Այս թերությունները կարող են վատ գնահատականներ առաջացնել «Քառակուսի հավասարումներ (8-րդ դասարան)» ծավալուն թեման ուսումնասիրելիս։ Հետագայում այդ գործողությունները անընդհատ կատարելու կարիք չեն ունենա։ Որովհետև կհայտնվի կայուն հմտություն։

• Նախ պետք է հավասարումը գրել ստանդարտ ձևով: Այսինքն՝ սկզբում փոփոխականի ամենամեծ աստիճան ունեցող տերմինը, իսկ հետո՝ առանց աստիճանի, իսկ վերջինը՝ ընդամենը թիվ։

• Եթե ​​«ա» գործակիցից առաջ մինուս է հայտնվում, դա կարող է բարդացնել քառակուսի հավասարումներ ուսումնասիրող սկսնակների աշխատանքը: Ավելի լավ է ազատվել դրանից։ Այդ նպատակով բոլոր հավասարությունները պետք է բազմապատկվեն «-1»-ով: Սա նշանակում է, որ բոլոր տերմինները կփոխեն հակառակ նշանը:

• Խորհուրդ է տրվում նույն կերպ ազատվել ֆրակցիաներից։ Պարզապես հավասարումը բազմապատկեք համապատասխան գործակցով, որպեսզի հայտարարները չեղարկվեն:

Օրինակներ

Պահանջվում է լուծել հետևյալ քառակուսի հավասարումները.

x 2 - 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2):

Առաջին հավասարումը` x 2 − 7x = 0: Այն թերի է, հետևաբար այն լուծվում է այնպես, ինչպես նկարագրված է թիվ երկու բանաձևով:

Փակագծերից հանելուց հետո ստացվում է՝ x (x - 7) = 0։

Առաջին արմատը վերցնում է արժեքը՝ x 1 = 0: Երկրորդը կգտնվի գծային հավասարումից՝ x - 7 = 0: Հեշտ է տեսնել, որ x 2 = 7:

Երկրորդ հավասարումը` 5x 2 + 30 = 0. Կրկին թերի: Միայն այն լուծվում է, ինչպես նկարագրված է երրորդ բանաձեւի համար:

30-ը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելուց հետո՝ 5x 2 = 30: Այժմ պետք է բաժանել 5-ի: Ստացվում է՝ x 2 = 6: Պատասխանները կլինեն թվերը՝ x 1 = √6, x 2 = - √6.

Երրորդ հավասարումը. 15 − 2x − x 2 = 0: Այստեղ և ավելի ուշ, քառակուսի հավասարումների լուծումը կսկսվի դրանք վերաշարադրելով ստանդարտ ձևով՝ − x 2 − 2x + 15 = 0: Այժմ ժամանակն է օգտագործել երկրորդը։ օգտակար խորհուրդև ամեն ինչ բազմապատկել մինուս մեկով: Ստացվում է x 2 + 2x - 15 = 0. Չորրորդ բանաձևով պետք է հաշվարկել դիսկրիմինանտը՝ D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64։ Դա դրական թիվ է։ Վերևում ասվածից պարզվում է, որ հավասարումն ունի երկու արմատ. Նրանք պետք է հաշվարկվեն հինգերորդ բանաձևով. Ստացվում է, որ x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Այնուհետեւ x 1 = 3, x 2 = - 5:

Չորրորդ x 2 + 8 + 3x = 0 հավասարումը վերածվում է հետևյալի` x 2 + 3x + 8 = 0: Դրա դիսկրիմինանտը հավասար է այս արժեքին` -23: Քանի որ այս թիվը բացասական է, այս առաջադրանքի պատասխանը կլինի հետևյալ գրառումը. «Արմատներ չկան»:

Հինգերորդ 12x + x 2 + 36 = 0 հավասարումը պետք է վերաշարադրվի հետևյալ կերպ՝ x 2 + 12x + 36 = 0: Տարբերիչի բանաձևը կիրառելուց հետո ստացվում է զրո թիվը։ Սա նշանակում է, որ այն կունենա մեկ արմատ, այն է՝ x = -12/ (2 * 1) = -6:

Վեցերորդ հավասարումը (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) պահանջում է փոխակերպումներ, որոնք բաղկացած են նրանից, որ պետք է բերել նմանատիպ տերմիններ՝ նախ բացելով փակագծերը։ Առաջինի փոխարեն կլինի հետևյալ արտահայտությունը՝ x 2 + 2x + 1։ Հավասարումից հետո կհայտնվի այս գրառումը՝ x 2 + 3x + 2։ Նման թվերը հաշվելուց հետո հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը՝ x 2։ - x = 0. Այն դարձել է թերի: Սրա նման մի բան արդեն քննարկվել է մի փոքր ավելի բարձր: Սրա արմատները կլինեն 0 և 1 թվերը:

Դիտարկենք խնդիրը. Ուղղանկյան հիմքը 10 սմ-ով մեծ է բարձրությունից, իսկ մակերեսը 24 սմ² է: Գտե՛ք ուղղանկյան բարձրությունը: Թող Xսանտիմետրը ուղղանկյան բարձրությունն է, ապա դրա հիմքը հավասար է ( X+10) սմ Այս ուղղանկյան մակերեսը կազմում է X(X+ 10) սմ²: Ըստ խնդրի պայմանների X(X+ 10) = 24. Բացելով փակագծերը և հակառակ նշանով 24 թիվը տեղափոխելով ձախ կողմհավասարումներ, մենք ստանում ենք. X² + 10 X-24 = 0. Այս խնդիրը լուծելիս ստացվել է հավասարում, որը կոչվում է քառակուսային:

Քառակուսային հավասարումը ձևի հավասարումն է

կացին ²+ bx+c= 0

Որտեղ ա, բ, գ- տրված թվեր, և Ա≠ 0 և X- անհայտ:

Հնարավորություններ ա, բ, գՔառակուսային հավասարումը սովորաբար կոչվում է. ա- առաջին կամ ամենաբարձր գործակիցը, բ- երկրորդ գործակիցը, գ- ազատ անդամ: Օրինակ՝ մեր խնդրի մեջ առաջատար գործակիցը 1 է, երկրորդը՝ 10, իսկ ազատ անդամը՝ -24։ Մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի բազմաթիվ խնդիրների լուծումը հանգում է քառակուսի հավասարումների լուծմանը:

Քառակուսային հավասարումների լուծում

Լրացրեք քառակուսի հավասարումներ. Առաջին քայլը տրված հավասարումը ստանդարտ ձևի բերելն է կացին²+ bx+ գ = 0. Վերադառնանք մեր խնդրին, որում հավասարումը կարելի է գրել այսպես X(X+ 10) = 24 բերենք ստանդարտ ձևի, բացենք փակագծերը X² + 10 X- 24 = 0, մենք լուծում ենք այս հավասարումը` օգտագործելով ընդհանուր քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը:

Այս բանաձևում արմատային նշանի տակ արտահայտությունը կոչվում է դիսկրիմինանտ D = բ² - 4 ակ

Եթե ​​D>0, ապա քառակուսի հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ, որոնք կարելի է գտնել օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը:

Եթե ​​D=0, ապա քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Եթե ​​Դ<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Եկեք արժեքները փոխարինենք մեր բանաձևի մեջ Ա= 1, բ= 10, գ= -24.

մենք ստանում ենք D>0, հետևաբար ստանում ենք երկու արմատ:

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ D=0, այս պայմանում պետք է լինի մեկ արմատ:

25x² — 30 x+ 9 = 0

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ Դ<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

Արմատի նշանի տակ գտնվող թիվը (տարբերիչ) բացասական է, պատասխանը գրում ենք հետևյալ կերպ՝ հավասարումն իրական արմատներ չունի։

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Քառակուսային հավասարում կացին² + bx+ գ= 0-ը կոչվում է թերի, եթե գործակիցներից գոնե մեկը բկամ գհավասար է զրոյի: Թերի քառակուսի հավասարումը հետևյալ տեսակներից մեկի հավասարումն է.

կացին² = 0,

կացին² + գ= 0, գ≠ 0,

կացին² + bx= 0, բ≠ 0.

Դիտարկենք մի քանի օրինակ և լուծենք հավասարումը

Հավասարման երկու կողմերը 5-ի բաժանելով՝ ստացվում է հավասարում X² = 0, պատասխանը կունենա մեկ արմատ X= 0.

Դիտարկենք ձևի հավասարումը

3X² - 27 = 0

Երկու կողմերը բաժանելով 3-ի, ստանում ենք հավասարումը X² - 9 = 0, կամ կարելի է գրել X² = 9, պատասխանը կունենա երկու արմատ X= 3 և X= -3.

Դիտարկենք ձևի հավասարումը

2X² + 7 = 0

Երկու կողմերը 2-ի բաժանելով՝ ստանում ենք հավասարումը X² = -7/2: Այս հավասարումը չունի իրական արմատներ, քանի որ X² ≥ 0 ցանկացած իրական թվի համար X.

Դիտարկենք ձևի հավասարումը

3X² + 5 X= 0

Գործոնավորելով հավասարման ձախ կողմը, մենք ստանում ենք X(3X+ 5) = 0, պատասխանը կունենա երկու արմատ X= 0, X=-5/3.

Քառակուսային հավասարումներ լուծելիս ամենակարևորը քառակուսի հավասարումը ստանդարտ ձևի բերելն է, անգիր անել ընդհանուր քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը և չշփոթվել նշանների մեջ։

Շարունակելով «Հավասարումների լուծում» թեման՝ այս հոդվածի նյութը ձեզ կծանոթացնի քառակուսի հավասարումների:

Եկեք մանրամասն նայենք ամեն ինչին. քառակուսի հավասարման էությունն ու նշումը, սահմանենք ուղեկցող տերմինները, վերլուծենք թերի և ամբողջական հավասարումների լուծման սխեման, ծանոթանանք արմատների և դիսկրիմինանտի բանաձևին, կապեր հաստատենք արմատների և գործակիցների միջև, և իհարկե տեսողական լուծում կտանք գործնական օրինակներին։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Քառակուսային հավասարումը, դրա տեսակները

Սահմանում 1

Քառակուսային հավասարումհավասարում է, որը գրված է այսպես a x 2 + b x + c = 0, Որտեղ x– փոփոխական, a , b և գ– որոշ թվեր, մինչդեռ ազրո չէ.

Հաճախ քառակուսի հավասարումները կոչվում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարումներ, քանի որ ըստ էության քառակուսային հավասարումը երկրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում է։

Տրված սահմանումը լուսաբանելու համար բերենք օրինակ՝ 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 և այլն: Սրանք քառակուսի հավասարումներ են:

Սահմանում 2

a, b և թվեր գքառակուսի հավասարման գործակիցներն են a x 2 + b x + c = 0, մինչդեռ գործակիցը ակոչվում է առաջին, կամ ավագ, կամ գործակից x 2, b - երկրորդ գործակիցը, կամ գործակիցը ժամը x, Ա գկոչվում է ազատ անդամ:

Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ 6 x 2 − 2 x − 11 = 0առաջատար գործակիցը 6 է, երկրորդը՝ 6 − 2 , իսկ ազատ ժամկետը հավասար է − 11 . Ուշադրություն դարձնենք, որ երբ գործակիցները բև/կամ գ-ը բացասական են, ապա օգտագործվում է ձևի կարճ ձևը 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, բայց չէ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Պարզաբանենք նաև այս ասպեկտը՝ եթե գործակիցները աև/կամ բհավասար 1 կամ − 1 , ապա նրանք կարող են բացահայտորեն չմասնակցել քառակուսի հավասարումը գրելուն, ինչը բացատրվում է նշված թվային գործակիցները գրելու առանձնահատկություններով։ Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ y 2 − y + 7 = 0առաջատար գործակիցը 1 է, իսկ երկրորդը՝ 1 − 1 .

Կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումներ

Ելնելով առաջին գործակցի արժեքից՝ քառակուսի հավասարումները բաժանվում են կրճատվածների և չկրճատվածների։

Սահմանում 3

Կրճատված քառակուսի հավասարումքառակուսային հավասարում է, որտեղ առաջատար գործակիցը 1 է: Առաջատար գործակիցի այլ արժեքների համար քառակուսի հավասարումը չկրճատված է:

Բերենք օրինակներ՝ կրճատվում են x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 քառակուսի հավասարումները, որոնցից յուրաքանչյուրում առաջատար գործակիցը 1 է։

9 x 2 − x − 2 = 0- չկրճատված քառակուսի հավասարում, որտեղ առաջին գործակիցը տարբերվում է 1 .

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարում կարող է վերածվել կրճատված հավասարման՝ երկու կողմերը բաժանելով առաջին գործակցի վրա (համարժեք փոխակերպում): Փոխակերպված հավասարումը կունենա նույն արմատները, ինչ տրված չկրճատված հավասարումը կամ նույնպես ընդհանրապես արմատներ չի ունենա։

Կոնկրետ օրինակի դիտարկումը թույլ կտա մեզ հստակ ցույց տալ անցումը չկրճատված քառակուսի հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ 1

Տրված է 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 հավասարումը . Անհրաժեշտ է սկզբնական հավասարումը վերածել կրճատված ձևի:

Լուծում

Ըստ վերը նշված գծապատկերի, մենք բաժանում ենք երկու մասերը բնօրինակ հավասարումըամենաբարձր գործակցով՝ 6։ Այնուհետև մենք ստանում ենք. (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, և սա նույնն է, ինչ. (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0և հետագա՝ (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0:Այստեղից. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0: Այսպիսով ստացվում է տրվածին համարժեք հավասարում։

Պատասխան. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0:

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման սահմանմանը։ Դրանում մենք նշել ենք, որ a ≠ 0. Նմանատիպ պայման է անհրաժեշտ հավասարման համար a x 2 + b x + c = 0ճիշտ քառակուսի էր, քանի որ ժամը a = 0այն ըստ էության վերածվում է գծային հավասարման b x + c = 0.

Այն դեպքում, երբ գործակիցները բԵվ գհավասար են զրոյի (ինչը հնարավոր է ինչպես առանձին, այնպես էլ համատեղ), քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի։

Սահմանում 4

Անավարտ քառակուսի հավասարում- այսպիսի քառակուսի հավասարում a x 2 + b x + c = 0,որտեղ գործակիցներից առնվազն մեկը բԵվ գ(կամ երկուսն էլ) զրո է:

Ամբողջական քառակուսի հավասարում– քառակուսի հավասարում, որտեղ բոլոր թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Եկեք քննարկենք, թե ինչու են քառակուսի հավասարումների տեսակներին տրված հենց այս անվանումները:

Երբ b = 0, քառակուսի հավասարումը ստանում է ձև a x 2 + 0 x + c = 0, որը նույնն է, ինչ a x 2 + c = 0. ժամը c = 0քառակուսի հավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + 0 = 0, որը համարժեք է a x 2 + b x = 0. ժամը b = 0Եվ c = 0հավասարումը կընդունի ձևը a x 2 = 0. Մեր ստացած հավասարումները տարբերվում են ամբողջական քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ոչ x փոփոխականով անդամ, ոչ ազատ անդամ, ոչ էլ երկուսն էլ: Փաստորեն, այս փաստն անվանել է այս տեսակի հավասարումը` թերի:

Օրինակ, x 2 + 3 x + 4 = 0 և − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ամբողջական քառակուսի հավասարումներ են. x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – անավարտ քառակուսի հավասարումներ:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Վերը տրված սահմանումը հնարավորություն է տալիս տարբերակել թերի քառակուսի հավասարումների հետևյալ տեսակները.

• a x 2 = 0, այս հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին b = 0և c = 0;
• a · x 2 + c = 0 ժամը b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 ժամը c = 0:

Եկեք հաջորդաբար դիտարկենք թերի քառակուսի հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի լուծումը:

a x 2 =0 հավասարման լուծում

Ինչպես նշվեց վերևում, այս հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին բԵվ գ, հավասար է զրոյի։ Հավասարումը a x 2 = 0կարող է վերածվել համարժեք հավասարման x 2 = 0, որը ստանում ենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը թվի վրա բաժանելով ա, հավասար չէ զրոյի։ Ակնհայտ փաստն այն է, որ հավասարման արմատը x 2 = 0սա զրո է, քանի որ 0 2 = 0 . Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը կարելի է բացատրել աստիճանի հատկություններով՝ ցանկացած թվի համար p,հավասար չէ զրոյի, անհավասարությունը ճիշտ է p 2 > 0, որից բխում է, որ երբ p ≠ 0հավասարություն p 2 = 0երբեք չի ստացվի:

Սահմանում 5

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարման համար x 2 = 0 կա ​​մեկ արմատ x = 0.

Օրինակ 2

Օրինակ՝ լուծենք թերի քառակուսի հավասարումը - 3 x 2 = 0. Այն համարժեք է հավասարմանը x 2 = 0, նրա միակ արմատն է x = 0, ապա սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ զրո։

Հակիրճ, լուծումը գրված է հետևյալ կերպ.

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0:

Լուծելով a x 2 + c = 0 հավասարումը

Հաջորդը քառակուսի ոչ լրիվ հավասարումների լուծումն է, որտեղ b = 0, c ≠ 0, այսինքն՝ ձևի հավասարումներ. a x 2 + c = 0. Եկեք փոխակերպենք այս հավասարումը` տերմինը հավասարման մի կողմից մյուսը տեղափոխելով, նշանը փոխելով հակառակի և հավասարման երկու կողմերը բաժանելով մի թվի, որը հավասար չէ զրոյի.

• փոխանցում գդեպի աջ կողմ, որը տալիս է հավասարումը a x 2 = − գ;
• հավասարման երկու կողմերը բաժանիր ա, մենք վերջանում ենք x = - c a .

Մեր փոխակերպումները համարժեք են, համապատասխանաբար, ստացված հավասարումը նույնպես համարժեք է սկզբնականին, և այս հանգամանքը հնարավորություն է տալիս եզրակացություններ անել հավասարման արմատների մասին։ Ինչից են արժեքները աԵվ գ c a արտահայտության արժեքը կախված է. այն կարող է ունենալ մինուս նշան (օրինակ, եթե a = 1Եվ գ = 2, ապա - c a = - 2 1 = - 2) կամ գումարած նշան (օրինակ, եթե a = - 2Եվ գ = 6, ապա - c a = - 6 - 2 = 3); դա զրո չէ, քանի որ գ ≠ 0. Ավելի մանրամասն անդրադառնանք իրավիճակներին, երբ - գ ա< 0 и - c a > 0 .

Այն դեպքում, երբ - գ ա< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа էջ p 2 = - c a հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել:

Ամեն ինչ այլ է, երբ - c a > 0. հիշեք քառակուսի արմատը, և ակնհայտ կդառնա, որ x 2 = - c a հավասարման արմատը կլինի - c a թիվը, քանի որ - c a 2 = - c a: Դժվար չէ հասկանալ, որ - - c a թիվը նաև x 2 = - c a հավասարման արմատն է. իսկապես, - - c a 2 = - c a:

Հավասարումն այլ արմատներ չի ունենա։ Մենք դա կարող ենք ցույց տալ՝ օգտագործելով հակասության մեթոդը։ Սկսենք, եկեք սահմանենք վերը նշված արմատների նշումները որպես x 1Եվ - x 1. Ենթադրենք, որ x 2 = - c a հավասարումը նույնպես արմատ ունի x 2, որը տարբերվում է արմատներից x 1Եվ - x 1. Մենք դա գիտենք՝ փոխարինելով հավասարման մեջ xդրա արմատները, մենք հավասարումը վերածում ենք արդար թվային հավասարության:

Համար x 1Եվ - x 1գրում ենք՝ x 1 2 = - c a , և համար x 2- x 2 2 = - գ ա . Ելնելով թվային հավասարումների հատկություններից՝ մենք մեկ ճիշտ հավասարության տերմին առ անդամ հանում ենք մյուսից, որը մեզ կտա. x 1 2 − x 2 2 = 0. Մենք օգտագործում ենք թվերի հետ գործողությունների հատկությունները՝ վերջին հավասարությունը վերագրելու համար որպես (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Հայտնի է, որ երկու թվերի արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե թվերից գոնե մեկը զրո է։ Վերոնշյալից հետևում է, որ x 1 - x 2 = 0և/կամ x 1 + x 2 = 0, որը նույնն է x 2 = x 1և/կամ x 2 = − x 1. Ակնհայտ հակասություն առաջացավ, քանի որ սկզբում համաձայնություն ձեռք բերվեց, որ հավասարման արմատը x 2տարբերվում է x 1Եվ - x 1. Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան x = - c a և x = - - c a:

Եկեք ամփոփենք վերը նշված բոլոր փաստարկները:

Սահմանում 6

Անավարտ քառակուսի հավասարում a x 2 + c = 0համարժեք է x 2 = - c a հավասարմանը, որը.

• արմատներ չեն ունենա - գ ա< 0 ;
• կունենա երկու արմատ x = - c a և x = - - c a համար - c a > 0:

Բերենք հավասարումների լուծման օրինակներ a x 2 + c = 0.

Օրինակ 3

Տրվում է քառակուսի հավասարում 9 x 2 + 7 = 0:Պետք է լուծում գտնել։

Լուծում

Ազատ անդամը տեղափոխենք հավասարման աջ կողմը, այնուհետև հավասարումը կստանա իր ձևը 9 x 2 = − 7։
Ստացված հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանենք 9 , մենք հասնում ենք x 2 = - 7 9: Աջ կողմում տեսնում ենք մինուս նշանով թիվ, որը նշանակում է՝ տրված հավասարումն արմատներ չունի։ Այնուհետև սկզբնական թերի քառակուսի հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չի ունենա.

Պատասխան.հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չունի.

Օրինակ 4

Հավասարումը պետք է լուծվի - x 2 + 36 = 0.

Լուծում

36-ը տեղափոխենք աջ կողմ. − x 2 = − 36.
Բաժանենք երկու մասերն էլ − 1 , ստանում ենք x 2 = 36. Աջ կողմում կա դրական թիվ, որից կարելի է եզրակացնել x = 36 կամ x = - 36 .
Եկեք հանենք արմատը և գրենք վերջնական արդյունքը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում - x 2 + 36 = 0երկու արմատ ունի x=6կամ x = - 6.

Պատասխան. x=6կամ x = - 6.

a x 2 +b x=0 հավասարման լուծում

Վերլուծենք թերի քառակուսի հավասարումների երրորդ տեսակը, երբ c = 0. Թերի քառակուսի հավասարման լուծում գտնել a x 2 + b x = 0, մենք կօգտագործենք ֆակտորացման մեթոդը։ Եկեք գործոնացնենք այն բազմանդամը, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում՝ փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը. x. Այս քայլը հնարավորություն կտա վերափոխել սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումը իր համարժեքի x (a x + b) = 0. Եվ այս հավասարումն իր հերթին համարժեք է մի շարք հավասարումների x = 0Եվ a x + b = 0. Հավասարումը a x + b = 0գծային, և դրա արմատը. x = − b ա.

Սահմանում 7

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x = 0երկու արմատ կունենա x = 0Եվ x = − b ա.

Օրինակով ամրապնդենք նյութը.

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է գտնել 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 հավասարման լուծումը:

Լուծում

Մենք այն կհանենք xփակագծերից դուրս ստանում ենք x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 հավասարումը: Այս հավասարումը համարժեք է հավասարումների x = 0և 2 3 x - 2 2 7 = 0: Այժմ դուք պետք է լուծեք ստացված գծային հավասարումը. 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3:

Հակիրճ գրեք հավասարման լուծումը հետևյալ կերպ.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ x = 3 3 7

Պատասխան. x = 0, x = 3 3 7.

Խտրական, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձև

Քառակուսային հավասարումների լուծումներ գտնելու համար կա արմատային բանաձև.

Սահմանում 8

x = - b ± D 2 · a, որտեղ D = b 2 − 4 a գ– այսպես կոչված, քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտ:

x = - b ± D 2 · a գրելը ըստ էության նշանակում է, որ x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Օգտակար կլիներ հասկանալ, թե ինչպես է ստացվել այս բանաձևը և ինչպես կիրառել այն:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարման խնդիրը a x 2 + b x + c = 0. Եկեք կատարենք մի շարք համարժեք փոխակերպումներ.

• հավասարման երկու կողմերը բաժանիր թվի ա, տարբերվում է զրոյից, ստանում ենք հետևյալ քառակուսի հավասարումը. x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• ընդգծենք կատարյալ քառակուսիստացված հավասարման ձախ կողմում.
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + գ ա
  Դրանից հետո հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը՝ x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Այժմ հնարավոր է վերջին երկու անդամները տեղափոխել աջ կողմ՝ փոխելով նշանը հակառակի վրա, որից հետո ստանում ենք՝ x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Վերջապես, մենք վերափոխում ենք վերջին հավասարության աջ կողմում գրված արտահայտությունը.
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Այսպիսով, մենք հասնում ենք x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 հավասարմանը, որը համարժեք է սկզբնական հավասարմանը. a x 2 + b x + c = 0.

Նման հավասարումների լուծումը մենք ուսումնասիրել ենք նախորդ պարբերություններում (ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումների լուծում): Արդեն ձեռք բերված փորձը թույլ է տալիս եզրակացություն անել x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 հավասարման արմատների վերաբերյալ.

• b 2 - 4 a c 4 a 2-ով< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• երբ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 հավասարումը x + b 2 · a 2 = 0 է, ապա x + b 2 · a = 0:

Այստեղից ակնհայտ է միակ արմատը x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, հետևյալը ճիշտ կլինի. x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 կամ x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , որը նույնն է x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 կամ x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , այսինքն. հավասարումը երկու արմատ ունի.

Կարելի է եզրակացնել, որ x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (և հետևաբար սկզբնական հավասարումը) հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը կախված է b արտահայտության նշանից. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 գրված է աջ կողմում: Եվ այս արտահայտության նշանը տրվում է համարիչի նշանով, (հայտարար 4 ա 2միշտ դրական կլինի), այսինքն՝ արտահայտության նշանը բ 2 − 4 ա գ. Այս արտահայտությունը բ 2 − 4 ա գանունը տրված է - քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը և D տառը սահմանվում է որպես դրա նշանակում: Այստեղ դուք կարող եք գրել տարբերակիչի էությունը՝ ելնելով դրա արժեքից և նշանից, նրանք կարող են եզրակացնել, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը կունենա իրական արմատներ, և եթե այո, ապա որքան է արմատների թիվը՝ մեկ կամ երկու:

Վերադառնանք x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 հավասարմանը: Եկեք այն վերագրենք՝ օգտագործելով տարբերակիչ նշում՝ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 :

Եկեք կրկին ձևակերպենք մեր եզրակացությունները.

Սահմանում 9

• ժամը Դ< 0 հավասարումը չունի իրական արմատներ.
• ժամը D=0հավասարումն ունի մեկ արմատ x = - b 2 · a ;
• ժամը D > 0հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x = - b 2 · a + D 4 · a 2 կամ x = - b 2 · a - D 4 · a 2: Ռադիկալների հատկությունների հիման վրա այս արմատները կարող են գրվել x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a: Եվ, երբ բացում ենք մոդուլները և կոտորակները բերում ընդհանուր հայտարարի, ստանում ենք՝ x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a:

Այսպիսով, մեր հիմնավորման արդյունքը քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի ստացումն էր.

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, տարբերակիչ Դհաշվարկված բանաձևով D = b 2 − 4 a գ.

Այս բանաձևերը հնարավորություն են տալիս որոշել երկու իրական արմատները, երբ դիսկրիմինատորը զրոյից մեծ է: Երբ դիսկրիմինատորը զրոյական է, երկու բանաձևերի կիրառմամբ քառակուսային հավասարման միակ լուծումը կստանա նույն արմատը: Այն դեպքում, երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, եթե փորձենք օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատի բանաձևը, ապա կհանդիպենք հանելու անհրաժեշտության. Քառակուսի արմատբացասական թվից, որը մեզ դուրս կբերի իրական թվերից։ Բացասական դիսկրիմինանտի դեպքում քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չի ունենա, բայց հնարավոր է մի զույգ բարդ խոնարհված արմատներ, որոնք որոշվում են մեր ստացած նույն արմատային բանաձևերով:

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Հնարավոր է լուծել քառակուսի հավասարումը անմիջապես օգտագործելով արմատային բանաձևը, բայց դա սովորաբար արվում է, երբ անհրաժեշտ է գտնել բարդ արմատներ:

Շատ դեպքերում դա սովորաբար նշանակում է քառակուսի հավասարման ոչ թե բարդ, այլ իրական արմատների որոնում: Այնուհետև, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, օպտիմալ է նախ որոշել դիսկրիմինանտը և համոզվել, որ այն բացասական չէ (հակառակ դեպքում մենք կեզրակացնենք, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), այնուհետև անցնել հաշվարկին. արմատների արժեքը.

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը հնարավորություն է տալիս ձևակերպել քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ:

Սահմանում 10

Քառակուսային հավասարում լուծելու համար a x 2 + b x + c = 0, անհրաժեշտ:

• ըստ բանաձևի D = b 2 − 4 a գգտնել տարբերակիչ արժեքը;
• ժամը Դ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0-ի համար գտե՛ք հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով x = - b 2 · a ;
• D > 0-ի համար որոշեք քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատները՝ օգտագործելով x = - b ± D 2 · a բանաձեւը:

Նկատի ունեցեք, որ երբ դիսկրիմինատորը զրոյական է, կարող եք օգտագործել x = - b ± D 2 · a բանաձեւը, այն կտա նույն արդյունքը, ինչ x = - b 2 · a բանաձեւը:

Եկեք նայենք օրինակներին:

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Եկեք լուծումներ տանք տարբերակիչի տարբեր արժեքների օրինակներին:

Օրինակ 6

Մենք պետք է գտնենք հավասարման արմատները x 2 + 2 x − 6 = 0.

Լուծում

Գրենք քառակուսի հավասարման թվային գործակիցները՝ a = 1, b = 2 և. գ = - 6. Հաջորդը մենք անցնում ենք ալգորիթմի համաձայն, այսինքն. Սկսենք հաշվարկել դիսկրիմինանտը, որի համար կփոխարինենք a, b գործակիցները. Եվ գտարբերակիչ բանաձևի մեջ. D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28:

Այսպիսով, մենք ստանում ենք D > 0, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական հավասարումը կունենա երկու իրական արմատ:
Դրանք գտնելու համար օգտագործում ենք x = - b ± D 2 · a արմատային բանաձևը և, փոխարինելով համապատասխան արժեքները, ստանում ենք՝ x = - 2 ± 28 2 · 1: Եկեք պարզեցնենք ստացված արտահայտությունը՝ հանելով գործոնը արմատային նշանից և այնուհետև կրճատելով կոտորակը.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 կամ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 կամ x = - 1 - 7

Պատասխան. x = - 1 + 7, x = - 1 - 7:

Օրինակ 7

Պետք է լուծել քառակուսի հավասարումը − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Լուծում

Սահմանենք դիսկրիմինատորը. D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Խտրականի այս արժեքով սկզբնական հավասարումը կունենա միայն մեկ արմատ, որը որոշվում է x = - b 2 · a բանաձևով:

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Պատասխան. x = 3,5.

Օրինակ 8

Հավասարումը պետք է լուծվի 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Լուծում

Այս հավասարման թվային գործակիցները կլինեն՝ a = 5, b = 6 և c = 2: Մենք օգտագործում ենք այս արժեքները տարբերակիչը գտնելու համար՝ D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4: Հաշվարկված դիսկրիմինանտը բացասական է, ուստի սկզբնական քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Այն դեպքում, երբ խնդիրը բարդ արմատներ նշելն է, մենք կիրառում ենք արմատային բանաձևը՝ կատարելով բարդ թվերով գործողություններ.

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 կամ x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i կամ x = - 3 5 - 1 5 · i.

Պատասխան.իրական արմատներ չկան. բարդ արմատները հետևյալն են՝ - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN դպրոցական ծրագիրԲարդ արմատներ փնտրելու ստանդարտ պահանջ չկա, հետևաբար, եթե լուծման ժամանակ որոշվում է, որ դիսկրիմինանտը բացասական է, պատասխանը անմիջապես գրվում է, որ իրական արմատներ չկան:

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) արմատային բանաձևը հնարավորություն է տալիս ստանալ մեկ այլ բանաձև, ավելի կոմպակտ, որը թույլ է տալիս գտնել քառակուսի հավասարումների լուծումներ x-ի համար հավասար գործակցով ( կամ 2 · n ձևի գործակցով, օրինակ՝ 2 3 կամ 14 ln 5 = 2 7 ln 5): Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է ստացվել այս բանաձևը:

Մեզ առջևում է a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 քառակուսի հավասարման լուծումը: Մենք շարժվում ենք ըստ ալգորիթմի. մենք որոշում ենք տարբերակիչ D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), այնուհետև օգտագործում ենք արմատային բանաձևը.

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Թող n 2 − a · c արտահայտությունը նշանակվի որպես D 1 (երբեմն այն նշանակվում է D "): Այնուհետև դիտարկվող քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 · n գործակցով կունենա հետևյալ ձևը.

x = - n ± D 1 a, որտեղ D 1 = n 2 − a · c.

Հեշտ է տեսնել, որ D = 4 · D 1, կամ D 1 = D 4: Այսինքն՝ D 1-ը խտրականի քառորդն է։ Ակնհայտ է, որ D 1 նշանը նույնն է, ինչ D նշանը, ինչը նշանակում է, որ D 1 նշանը կարող է նաև ծառայել որպես քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ:

Սահմանում 11

Այսպիսով, 2 n երկրորդ գործակցով քառակուսի հավասարման լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• գտնել D 1 = n 2 − a · c ;
• Դ 1 հասցեում< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• երբ D 1 = 0, որոշեք հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով x = - n a բանաձեւը;
• D 1 > 0-ի համար որոշեք երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով x = - n ± D 1 a բանաձեւը:

Օրինակ 9

Անհրաժեշտ է լուծել 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 քառակուսային հավասարումը։

Լուծում

Տրված հավասարման երկրորդ գործակիցը կարող ենք ներկայացնել որպես 2 · (− 3) ։ Այնուհետև տրված քառակուսային հավասարումը վերագրում ենք 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, որտեղ a = 5, n = − 3 և c = − 32։

Հաշվենք դիսկրիմինանտի չորրորդ մասը՝ D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169։ Ստացված արժեքը դրական է, ինչը նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու իրական արմատ: Եկեք որոշենք դրանք՝ օգտագործելով համապատասխան արմատային բանաձևը.

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 կամ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 կամ x = - 2

Հնարավոր կլիներ հաշվարկներ կատարել՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, սակայն այս դեպքում լուծումն ավելի դժվար կլիներ։

Պատասխան. x = 3 1 5 կամ x = - 2:

Քառակուսային հավասարումների ձևի պարզեցում

Երբեմն հնարավոր է լինում օպտիմալացնել սկզբնական հավասարման ձևը, ինչը կհեշտացնի արմատների հաշվարկման գործընթացը։

Օրինակ, քառակուսի հավասարումը 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 ակնհայտորեն ավելի հարմար է լուծելու, քան 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0:

Ավելի հաճախ քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումն իրականացվում է դրա երկու կողմերը որոշակի թվով բազմապատկելով կամ բաժանելով։ Օրինակ, վերևում մենք ցույց տվեցինք 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 հավասարման պարզեցված պատկերը, որը ստացվեց երկու կողմերը 100-ի բաժանելով։

Նման փոխակերպումը հնարավոր է, երբ քառակուսի հավասարման գործակիցները համապարփակ թվեր չեն։ Այնուհետև մենք սովորաբար հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարով:

Որպես օրինակ՝ մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 − 42 x + 48 = 0: Եկեք որոշենք նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների GCD-ն՝ GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6: Եկեք բաժանենք սկզբնական քառակուսային հավասարման երկու կողմերը 6-ի և ստացենք համարժեք քառակուսի հավասարումը 2 x 2 − 7 x + 8 = 0:

Քառակուսային հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով՝ սովորաբար ձերբազատվում եք կոտորակային գործակիցներից։ Այս դեպքում նրանք բազմապատկվում են նրա գործակիցների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկով։ Օրինակ, եթե 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 քառակուսի հավասարման յուրաքանչյուր մասը բազմապատկվի LCM (6, 3, 1) = 6-ով, ապա այն կգրվի ավելի. պարզ ձևով x 2 + 4 x − 18 = 0:

Ի վերջո, մենք նշում ենք, որ մենք գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման առաջին գործակցի մինուսից՝ փոխելով հավասարման յուրաքանչյուր անդամի նշանները, ինչը ձեռք է բերվում երկու կողմերը − 1-ով բազմապատկելով (կամ բաժանելով): Օրինակ՝ − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 քառակուսի հավասարումից կարող եք անցնել դրա պարզեցված տարբերակին՝ 2 x 2 + 3 x − 7 = 0։

Արմատների և գործակիցների կապը

Մեզ արդեն հայտնի քառակուսի հավասարումների արմատների բանաձեւը՝ x = - b ± D 2 · a, արտահայտում է հավասարման արմատները նրա թվային գործակիցների միջոցով։ Հենվելով այս բանաձեւը, մենք հնարավորություն ունենք ճշտելու այլ կախվածություններ արմատների և գործակիցների միջև։

Ամենահայտնի և կիրառելի բանաձևերը Վիետայի թեորեմն են.

x 1 + x 2 = - b a և x 2 = c a.

Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը հակառակ նշանով երկրորդ գործակիցն է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Օրինակ՝ նայելով 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 քառակուսի հավասարման ձևին, կարելի է անմիջապես որոշել, որ դրա արմատների գումարը 7 3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22 3։

Կարող եք նաև գտնել մի շարք այլ կապեր քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև: Օրինակ, քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող է արտահայտվել գործակիցներով.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter