Հաճախ ենք լսում «իներտ է», «իներցիայով շարժվել», «իներցիայի պահ» արտահայտությունները։ Փոխաբերական իմաստով «իներցիա» բառը կարելի է մեկնաբանել որպես նախաձեռնության և գործողության բացակայություն։ Մեզ հետաքրքրում է ուղիղ իմաստը։

Ինչ է իներցիան

Ըստ սահմանման իներցիաֆիզիկայում դա մարմինների կարողությունն է՝ պահպանել հանգստի կամ շարժման վիճակ արտաքին ուժերի բացակայության դեպքում։

Եթե ​​ամեն ինչ պարզ է ինտուիտիվ մակարդակի վրա հենց իներցիայի հայեցակարգով, ապա իներցիայի պահ- առանձին հարց. Համաձայնեք, ձեր մտքում դժվար է պատկերացնել, թե դա ինչ է։ Այս հոդվածում դուք կսովորեք, թե ինչպես լուծել թեմայի վերաբերյալ հիմնական խնդիրները "Իներցիայի պահ".

Իներցիայի պահի որոշում

Դպրոցական դասընթացից հայտնի է, որ զանգված – մարմնի իներցիայի չափում. Եթե ​​տարբեր զանգվածի երկու սայլ հրենք, ապա ավելի ծանրին կանգնեցնելն ավելի դժվար կլինի։ Այսինքն, որքան մեծ է զանգվածը, այնքան մեծ է արտաքին ազդեցությունանհրաժեշտ է փոխել մարմնի շարժումը. Այն, ինչ համարվում է, վերաբերում է թարգմանական շարժմանը, երբ օրինակի սայլը շարժվում է ուղիղ գծով:

Զանգվածի և փոխադրական շարժման անալոգիայով իներցիայի մոմենտը մարմնի իներցիայի չափն է ռոտացիոն շարժումառանցքի շուրջ:

Իներցիայի պահ– սկալյար ֆիզիկական մեծություն, առանցքի շուրջ պտտվելու ժամանակ մարմնի իներցիայի չափում։ Նշվում է տառով Ջ և համակարգում SI չափված կիլոգրամներով քառակուսի մետրի վրա:

Ինչպե՞ս հաշվարկել իներցիայի պահը: Ուտել ընդհանուր բանաձեւ, որն օգտագործվում է ֆիզիկայում ցանկացած մարմնի իներցիայի պահը հաշվարկելու համար։ Եթե ​​մարմինը բաժանվում է զանգվածով անսահման փոքր մասերի դմ , ապա իներցիայի մոմենտը հավասար կլինի այս տարրական զանգվածների արտադրյալների գումարին պտտման առանցքի հեռավորության քառակուսու վրա։

Սա ֆիզիկայի իներցիայի պահի ընդհանուր բանաձևն է։ Զանգվածի նյութական կետի համար մ , հեռավորության վրա պտտվող առանցքի շուրջ r նրանից, այս բանաձեւըընդունում է ձևը՝

Շտայների թեորեմ

Ինչի՞ց է կախված իներցիայի պահը. Զանգվածից, պտտման առանցքի դիրքը, մարմնի ձևը և չափը:

Հյուգենս-Շտայների թեորեմը շատ կարևոր թեորեմ է, որը հաճախ օգտագործվում է խնդիրների լուծման ժամանակ։

Իմիջայլոց! Մեր ընթերցողների համար այժմ գործում է 10% զեղչ

Հյուգենս-Շտայների թեորեմն ասում է.

Մարմնի իներցիայի մոմենտը կամայական առանցքի նկատմամբ հավասար է մարմնի իներցիայի պահի գումարին կամայական առանցքին զուգահեռ զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի և մարմնի զանգվածի արտադրյալին քառակուսիով։ առանցքների միջև եղած հեռավորության մասին:

Նրանց համար, ովքեր չեն ցանկանում անընդհատ ինտեգրվել իներցիայի պահը գտնելու խնդիրներ լուծելիս, ներկայացնում ենք գծանկար, որը ցույց է տալիս որոշ միատարր մարմինների իներցիայի պահերը, որոնք հաճախ հանդիպում են խնդիրներում.

Իներցիայի պահը գտնելու խնդրի լուծման օրինակ

Դիտարկենք երկու օրինակ։ Առաջին խնդիրը իներցիայի պահը գտնելն է: Երկրորդ խնդիրը Հյուգենս-Շտայների թեորեմի օգտագործումն է։

Խնդիր 1. Գտե՛ք m զանգվածով և R շառավղով միատարր սկավառակի իներցիայի պահը։ Պտտման առանցքն անցնում է սկավառակի կենտրոնով։

Լուծում:

Եկեք բաժանենք սկավառակը անսահման բարակ օղակների, որոնց շառավիղը տատանվում է. 0 նախքան Ռև հաշվի առեք այդպիսի մատանին: Թող դրա շառավիղը լինի rև զանգվածը՝ դմ. Այնուհետև օղակի իներցիայի պահը հետևյալն է.

Օղակի զանգվածը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Այստեղ ձ- օղակի բարձրությունը. Զանգվածը փոխարինենք իներցիայի պահի բանաձևով և ինտեգրենք.

Արդյունքը եղավ բացարձակ բարակ սկավառակի կամ գլանի իներցիայի պահի բանաձևը։

Խնդիր 2. Կրկին թող լինի m զանգվածով սկավառակ և R շառավիղ: Այժմ մենք պետք է գտնենք սկավառակի իներցիայի պահը նրա շառավիղներից մեկի միջով անցնող առանցքի նկատմամբ:

Լուծում:

Զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ սկավառակի իներցիայի պահը հայտնի է նախորդ խնդրից։ Կիրառենք Շտայների թեորեմը և գտնենք.

Ի դեպ, մեր բլոգում կարող եք գտնել այլ օգտակար նյութեր ֆիզիկայի և.

Հուսով ենք, որ հոդվածում ձեզ համար օգտակար բան կգտնեք: Եթե ​​դժվարություններ են առաջանում իներցիայի տենզորի հաշվարկման գործընթացում, մի մոռացեք ուսանողական ծառայության մասին: Մեր մասնագետները խորհուրդ կտան ցանկացած հարցի վերաբերյալ և կօգնեն լուծել խնդիրը հաշված րոպեների ընթացքում։

Ֆիքսված առանցքի նկատմամբ («իներցիայի առանցքային պահ») մեծությունն է Ջ ա, գումարին հավասարբոլոր զանգվածների գործերը nՀամակարգի նյութական կետերը առանցքի իրենց հեռավորությունների քառակուսիներով.

• m i- քաշը եսրդ կետ,
• r i- հեռավորությունը եսրդ կետը դեպի առանցքը:

Առանցքային իներցիայի պահմարմինը Ջ ամարմնի իներցիայի չափն է առանցքի շուրջ պտտվող շարժման մեջ, ինչպես մարմնի զանգվածը նրա իներցիայի չափն է փոխադրական շարժման մեջ։

Եթե ​​մարմինը միատարր է, այսինքն՝ նրա խտությունն ամենուր նույնն է, ապա

Հյուգենս-Շտայների թեորեմ

Իներցիայի պահ ամուրցանկացած առանցքի համեմատ կախված է ոչ միայն մարմնի զանգվածից, ձևից և չափից, այլև մարմնի դիրքից այս առանցքի նկատմամբ: Շտայների թեորեմի (Հույգենս-Շտայների թեորեմ) համաձայն. իներցիայի պահմարմինը Ջկամայական առանցքի հարաբերականը հավասար է գումարին իներցիայի պահայս մարմինը Ջ քդիտարկվող առանցքին զուգահեռ մարմնի զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի և մարմնի զանգվածի արտադրյալի նկատմամբ մմեկ քառակուսի հեռավորության վրա դառանցքների միջև.

որտեղ է մարմնի ընդհանուր զանգվածը:

Օրինակ, ձողի իներցիայի պահը նրա ծայրով անցնող առանցքի նկատմամբ հավասար է.

Որոշ մարմինների իներցիայի առանցքային մոմենտներ

Իներցիայի պահերմիատարր մարմիններ ամենապարզ ձևըռոտացիայի որոշ առանցքների համեմատ

Մարմին	Նկարագրություն	Առանցքի դիրքը ա	Իներցիայի պահ Ջ ա
	Նյութական կետային զանգված մ	Հեռավորության վրա rմի կետից, անշարժ
	Սնամեջ բարակ պատերով գլան կամ շառավղով օղակ rև զանգվածները մ	Մխոցի առանցք
	Պինդ գլան կամ շառավղով սկավառակ rև զանգվածները մ	Մխոցի առանցք
	Խոռոչ հաստ պատերով զանգվածային գլան մարտաքին շառավղով r 2և ներքին շառավիղը r 1	Մխոցի առանցք
	Կոշտ գլան երկարությունը լ, շառավիղ rև զանգվածները մ
	Սնամեջ բարակ պատերով գլան (օղակ) երկարությամբ լ, շառավիղ rև զանգվածները մ	Առանցքը ուղղահայաց է գլանին և անցնում է նրա զանգվածի կենտրոնով
	Ուղիղ բարակ երկարությամբ ձող լև զանգվածները մ	Առանցքը ուղղահայաց է գավազանին և անցնում է նրա զանգվածի կենտրոնով
	Ուղիղ բարակ երկարությամբ ձող լև զանգվածները մ	Առանցքը ուղղահայաց է գավազանին և անցնում է դրա ծայրով
	Բարակ պատերով շառավղով գունդ rև զանգվածները մ	Առանցքն անցնում է ոլորտի կենտրոնով
	Շառավիղի գնդակ rև զանգվածները մ	Առանցքն անցնում է գնդակի կենտրոնով
	Շառավիղի կոն rև զանգվածները մ	Կոն առանցք
	Հավասարաչափ եռանկյունի բարձրության վրա հ, հիմք աեւ զանգված մ	Առանցքը ուղղահայաց է եռանկյան հարթությանը և անցնում է գագաթով
	Կողքով կանոնավոր եռանկյուն աեւ զանգված մ	Առանցքը ուղղահայաց է եռանկյան հարթությանը և անցնում է զանգվածի կենտրոնով
	Կողքով քառակուսի աեւ զանգված մ	Առանցքը ուղղահայաց է քառակուսու հարթությանը և անցնում է զանգվածի կենտրոնով

Բխող բանաձևեր

Բարակ պատերով գլան (օղակ, օղակ)

Բանաձևի ստացում

Մարմնի իներցիայի պահը հավասար է նրա բաղկացուցիչ մասերի իներցիայի մոմենտների գումարին։ Բարակ պատով մխոցը բաժանել զանգվածով տարրերի դմև իներցիայի պահերը dJ i. Հետո

Քանի որ բարակ պատերով մխոցի բոլոր տարրերը գտնվում են պտտման առանցքից նույն հեռավորության վրա, բանաձևը (1) վերածվում է ձևի.

Հաստ պատերով գլան (օղակ, օղակ)

Բանաձևի ստացում

Թող լինի արտաքին շառավղով միատարր օղակ Ռ, ներքին շառավիղ Ռ 1, հաստ հև խտությունը ρ. Եկեք կոտրենք այն հաստ օղակների մեջ դոկտ. Բարակ շառավղով օղակի իներցիայի զանգվածը և պահը rկլինի

Գտնենք հաստ օղակի իներցիայի պահը որպես ինտեգրալ

Քանի որ օղակի ծավալը և զանգվածը հավասար են

մենք ստանում ենք օղակի իներցիայի պահի վերջնական բանաձևը

Միատարր սկավառակ (պինդ գլան)

Բանաձևի ստացում

Մխոցը (սկավառակը) դիտարկել որպես զրոյական ներքին շառավղով օղակ ( Ռ 1 = 0), մենք ստանում ենք մխոցի (սկավառակի) իներցիայի պահի բանաձևը.

Պինդ կոն

Բանաձևի ստացում

Կոնը կոտրենք հաստությամբ բարակ սկավառակների մեջ դհ, կոնի առանցքին ուղղահայաց։ Նման սկավառակի շառավիղը հավասար է

Որտեղ Ռ- կոնի հիմքի շառավիղը, Հ- կոնի բարձրությունը, հ– հեռավորությունը կոնի վերևից մինչև սկավառակ: Նման սկավառակի իներցիայի զանգվածը և պահը կլինեն

Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք

Պինդ համասեռ գնդակ

Բանաձևի ստացում

Գնդակը բաժանել հաստության բարակ սկավառակների դհ, պտտման առանցքին ուղղահայաց։ Նման սկավառակի շառավիղը, որը գտնվում է բարձրության վրա հոլորտի կենտրոնից մենք գտնում ենք այն բանաձևով

Նման սկավառակի իներցիայի զանգվածը և պահը կլինեն

Ինտեգրման միջոցով մենք գտնում ենք ոլորտի իներցիայի պահը.

Բարակ պատերով գունդ

Բանաձևի ստացում

Դա ստանալու համար մենք օգտագործում ենք շառավղով համասեռ գնդակի իներցիայի պահի բանաձևը Ռ:

Եկեք հաշվարկենք, թե որքան կփոխվի գնդակի իներցիայի պահը, եթե հաստատուն ρ խտության դեպքում նրա շառավիղը մեծանա անվերջ փոքր քանակությամբ։ dR.

Բարակ ձող (առանցքն անցնում է կենտրոնով)

Բանաձևի ստացում

Ձողը բաժանեք փոքր երկարությամբ բեկորների դոկտ. Նման բեկորի զանգվածը և իներցիայի պահը հավասար են

Ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք

Բարակ ձող (առանցքն անցնում է ծայրով)

Բանաձևի ստացում

Երբ պտտման առանցքը շարժվում է ձողի կեսից մինչև դրա ծայրը, ձողի ծանրության կենտրոնը շարժվում է առանցքի համեմատ հեռավորության վրա: լ/2. Շտայների թեորեմի համաձայն նոր պահիներցիան հավասար կլինի

Մոլորակների և նրանց արբանյակների իներցիայի անչափ պահերը

Մեծ արժեք հետազոտության համար ներքին կառուցվածքըմոլորակները և նրանց արբանյակներն ունեն իներցիայի իրենց անչափ մոմենտները: Շառավիղով մարմնի իներցիայի անչափ մոմենտը rև զանգվածները մհավասար է իր իներցիայի մոմենտի հարաբերությանը պտտման առանցքի նկատմամբ նույն զանգվածի նյութական կետի իներցիայի պահի հարաբերակցությունը հեռավորության վրա գտնվող պտտման ֆիքսված առանցքի նկատմամբ r(հավասար է պրն 2). Այս արժեքը արտացոլում է զանգվածի բաշխումը խորության վրա: Մոլորակների և արբանյակների մոտ այն չափելու մեթոդներից մեկն է որոշել ռադիոազդանշանի դոպլերային տեղաշարժը, որը փոխանցվում է AMS-ի կողմից, որը թռչում է տվյալ մոլորակի կամ արբանյակի մոտ: Բարակ պատերով գնդիկի համար իներցիայի անչափ մոմենտը հավասար է 2/3-ի (~0,67), միատարր գնդիկի համար՝ 0,4, իսկ ընդհանուր առմամբ որքան փոքր է, այնքան մեծ է մարմնի զանգվածը կենտրոնացած նրա կենտրոնում։ Օրինակ, Լուսինն ունի 0,4-ին մոտ իներցիայի անչափ մոմենտ (հավասար է 0,391), ուստի ենթադրվում է, որ այն համեմատաբար համասեռ է, նրա խտությունը փոքր-ինչ փոխվում է խորության հետ։ Երկրի իներցիայի անչափ մոմենտը փոքր է միատարր գնդից (հավասար է 0,335), ինչը փաստարկ է խիտ միջուկի գոյության օգտին։

Իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտը

Ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգի առանցքների նկատմամբ մարմնի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտները հետևյալ մեծություններն են.

Որտեղ x, yԵվ զ- փոքր մարմնի տարրի կոորդինատները ծավալով dV, խտություն ρ եւ զանգված դմ.

OX առանցքը կոչվում է մարմնի իներցիայի հիմնական առանցքը, եթե իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտները J xyԵվ J xzմիաժամանակ հավասար են զրոյի։ Մարմնի յուրաքանչյուր կետով կարելի է գծել իներցիայի երեք հիմնական առանցք։ Այս առանցքները փոխադարձաբար ուղղահայաց են միմյանց: Մարմնի իներցիայի պահերկամայական կետում գծված իներցիայի երեք հիմնական առանցքների համեմատ Օմարմինները կոչվում են մարմնի իներցիայի հիմնական պահերը.

Մարմնի զանգվածի կենտրոնով անցնող իներցիայի հիմնական առանցքները կոչվում են մարմնի իներցիայի հիմնական կենտրոնական առանցքները, և այս առանցքների շուրջ իներցիայի պահերը նրան են հիմնական կենտրոնական կետերիներցիա. Միատարր մարմնի համաչափության առանցքը միշտ նրա իներցիայի հիմնական կենտրոնական առանցքներից մեկն է։

Իներցիայի երկրաչափական պահը

Իներցիայի երկրաչափական մոմենտը - ձևի հատվածի երկրաչափական բնութագիրը

որտեղ է հեռավորությունը կենտրոնական առանցքից մինչև որևէ տարրական տարածք չեզոք առանցքի նկատմամբ:

Իներցիայի երկրաչափական պահը կապված չէ նյութի շարժման հետ, այն արտացոլում է միայն հատվածի կոշտության աստիճանը։ Օգտագործվում է պտտման շառավիղը, ճառագայթի շեղումը, ճառագայթների, սյուների խաչմերուկների ընտրության համար և այլն:

SI չափման միավորը m4 է: Շինարարական հաշվարկներում, գրականության և գլանվածքի մետաղական տեսականու մեջ, մասնավորապես, նշված է սմ 4-ում։

Դրանից հատվածի դիմադրության պահն արտահայտվում է.

.

Որոշ պատկերների իներցիայի երկրաչափական պահեր
Ուղղանկյունի բարձրությունը և լայնությունը.
Ուղղանկյուն տուփի հատվածը բարձրությամբ և լայնությամբ արտաքին ուրվագծերի երկայնքով և , և ներքին ուրվագծերի երկայնքով և համապատասխանաբար
Շրջանակի տրամագիծը

Իներցիայի կենտրոնական պահը

Իներցիայի կենտրոնական պահը(կամ O կետի նկատմամբ իներցիայի պահը) մեծությունն է

Իներցիայի կենտրոնական մոմենտը կարող է արտահայտվել իներցիայի հիմնական առանցքային կամ կենտրոնախույս մոմենտներով.

Իներցիայի տենզոր և իներցիայի էլիպսոիդ

Մարմնի իներցիայի պահը կամայական առանցքի նկատմամբ, որն անցնում է զանգվածի կենտրոնով և ունի միավոր վեկտորով սահմանված ուղղություն, կարող է ներկայացվել քառակուսի (երկուղի) ձևի տեսքով.

(1),

որտեղ է իներցիայի տենզորը: Իներցիայի տենզորի մատրիցը սիմետրիկ է, ունի չափսեր և բաղկացած է կենտրոնախույս պահերի բաղադրիչներից.

,
.

Ընտրելով համապատասխան կոորդինատային համակարգը՝ իներցիայի թենզորի մատրիցը կարող է կրճատվել անկյունագծով։ Դա անելու համար դուք պետք է լուծեք տենզորի մատրիցայի սեփական արժեքի խնդիրը.
,
որտեղ է ուղղանկյուն անցումային մատրիցը դեպի իներցիայի թենզորի սեփական հիմքը: Համապատասխան հիմքում կոորդինատային առանցքներն ուղղված են իներցիայի տենզորի հիմնական առանցքների երկայնքով, ինչպես նաև համընկնում են իներցիայի թենզորի էլիպսոիդի հիմնական կիսաառանցքների հետ: Մեծությունները իներցիայի հիմնական պահերն են։ Արտահայտությունը (1) իր սեփական կոորդինատային համակարգում ունի ձև.

,

որտեղից է գալիս հավասարումը

Ուժի պահը և իներցիայի պահը

Նյութական կետի թարգմանական շարժման դինամիկայի մեջ, բացի կինեմատիկական բնութագրերից, ներդրվել են ուժ և զանգված հասկացությունները։ Պտտման շարժման դինամիկան ուսումնասիրելիս ներկայացվում են ֆիզիկական մեծություններ. ոլորող մոմենտԵվ իներցիայի պահ, ֆիզիկական իմաստորը կբացահայտենք ստորև։

Թույլ տվեք ինչ-որ մարմին որևէ կետում կիրառվող ուժի ազդեցության տակ Ա, պտտվում է OO առանցքի շուրջ» (Նկար 5.1):

Նկար 5.1 – Ուժի պահի հայեցակարգի ավարտին

Ուժը գործում է առանցքին ուղղահայաց հարթությունում: Ուղղահայաց Ռ, իջել է կետից ՄԱՍԻՆ(առանցքի վրա պառկած) դեպի ուժի ուղղությունը կոչվում է ուժի ուս. Թևի ուժի արտադրյալը որոշում է մոդուլը ուժի պահըկետի համեմատ ՄԱՍԻՆ:

(5.1)

Իշխանության պահը վեկտոր է, որը որոշվում է ուժի կիրառման կետի շառավիղի վեկտորի վեկտորի արտադրյալով և ուժի վեկտորով.:

(5.2)

Ուժի պահի միավոր - նյուտոն մետր(Ն . մ). Ուժային պահի վեկտորի ուղղությունը կարելի է գտնել օգտագործելով ճիշտ պտուտակի կանոններ.

Թարգմանական շարժման ժամանակ մարմինների իներցիայի չափը զանգվածն է։ Պտտման ընթացքում մարմինների իներցիան կախված է ոչ միայն զանգվածից, այլև տարածության մեջ դրա բաշխումից՝ պտտման առանցքի նկատմամբ։ Պտտման ժամանակ իներցիայի չափը կոչվում է մեծություն մարմնի իներցիայի պահը ռոտացիայի առանցքի համեմատ:

Նյութական կետի իներցիայի պահը պտտման առանցքի համեմատ - այս կետի զանգվածի արտադրյալը առանցքից հեռավորության քառակուսու վրա:

Մարմնի իներցիայի պահը ռոտացիայի առանցքի համեմատ - այս մարմինը կազմող նյութական կետերի իներցիայի պահերի գումարը:

(5.4)

IN ընդհանուր դեպք, եթե մարմինը ամուր է և ներկայացնում է փոքր զանգվածներով կետերի հավաքածու դմ, իներցիայի պահը որոշվում է ինտեգրմամբ.

, (5.5)

Որտեղ r- հեռավորությունը պտտման առանցքից մինչև զանգվածի տարր դ մ.

Եթե ​​մարմինը միատարր է և դրա խտությունը ρ = մ/Վ, ապա մարմնի իներցիայի պահը

(5.6)

Մարմնի իներցիայի պահը կախված է նրանից, թե որ առանցքի շուրջ է այն պտտվում և ինչպես է մարմնի զանգվածը բաշխվում ամբողջ ծավալով։

Կանոնավոր երկրաչափական ձև ունեցող մարմինների իներցիայի պահը և միասնական բաշխումզանգվածը ծավալով.

Միատարր ձողի իներցիայի պահըիներցիայի կենտրոնով անցնող և ձողին ուղղահայաց առանցքի նկատմամբ,

Միատարր մխոցի իներցիայի պահըհամեմատ իր հիմքին ուղղահայաց և իներցիայի կենտրոնով անցնող առանցքի հետ,

(5.8)

Բարակ պատերով գլանի կամ օղակի իներցիայի պահըհամեմատ իր հիմքի հարթությանը ուղղահայաց և կենտրոնով անցնող առանցքի հետ,

Գնդակի իներցիայի պահըտրամագծի համեմատ

(5.10)

Եկեք որոշենք սկավառակի իներցիայի պահը իներցիայի կենտրոնով անցնող և պտտման հարթությանը ուղղահայաց առանցքի նկատմամբ։ Թող սկավառակի զանգվածը լինի մ, իսկ նրա շառավիղն է Ռ.

Օղակի տարածքը (Նկար 5.2) ընդգրկված է միջև rև , հավասար է .

Նկար 5.2 – Սկավառակի իներցիայի պահի ավարտին

Սկավառակի տարածք: Մշտական ​​օղակի հաստությամբ,

որտեղից կամ .

Այնուհետև սկավառակի իներցիայի պահը,

Պարզության համար Նկար 5.3-ում ներկայացված են համասեռ պինդ մարմինները տարբեր ձևերև նշված են այս մարմինների իներցիայի պահերը զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ։

Նկար 5.3 – Իներցիայի պահեր ԻՈրոշ միատարր պինդ մարմինների C.

Շտայների թեորեմ

Մարմինների իներցիայի մոմենտների վերը նշված բանաձևերը տրված են այն պայմանով, որ պտտման առանցքը անցնում է իներցիայի կենտրոնով։ Կամային առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահերը որոշելու համար պետք է օգտագործել Շտայների թեորեմ : Պտտման կամայական առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահը հավասար է J 0 իներցիայի պահի գումարին տվյալ առանցքի նկատմամբ, որը զուգահեռ է և անցնում է մարմնի իներցիայի կենտրոնով, իսկ md արժեքը. 2:

(5.12)

Որտեղ մ- մարմնի զանգված, դ- հեռավորությունը զանգվածի կենտրոնից մինչև պտտման ընտրված առանցքը: Իներցիայի պահի միավոր - կգ մետր քառակուսի (կգ . մ 2):

Այսպիսով, երկարության միատարր ձողի իներցիայի պահը լիր ծայրով անցնող առանցքի համեմատ, Շտայների թեորեմի համաձայն, հավասար է

Դիմում. Իներցիայի պահը և դրա հաշվարկը:

Թույլ տվեք, որ կոշտ մարմինը պտտվի Z առանցքի շուրջ (Նկար 6): Այն կարող է ներկայացվել որպես տարբեր նյութական կետերի համակարգ m i, որոնք ժամանակի ընթացքում չեն փոխվում, որոնցից յուրաքանչյուրը շարժվում է շառավղով շրջանով։ r i, ընկած է Z առանցքին ուղղահայաց հարթության վրա։ Անկյունային արագություններբոլոր նյութական կետերը նույնն են: Z առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահը մեծությունն է.

Որտեղ – OZ առանցքի նկատմամբ առանձին նյութական կետի իներցիայի պահը: Սահմանումից բխում է, որ իներցիայի պահն է հավելումների քանակ, այսինքն՝ առանձին մասերից բաղկացած մարմնի իներցիայի պահը հավասար է մասերի իներցիայի մոմենտների գումարին։

Նկար 6

Ակնհայտորեն, [ Ի] = կգ×մ 2. Իներցիայի պահի հայեցակարգի կարևորությունն արտահայտվում է երեք բանաձևով.

; ; .

Դրանցից առաջինն արտահայտում է Z ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի անկյունային իմպուլսը (օգտակար է այս բանաձևը համեմատել մարմնի իմպուլսի արտահայտության հետ. P = mV գ, Որտեղ V դ- զանգվածի կենտրոնի արագությունը): Երկրորդ բանաձևը կոչվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ մարմնի պտտման շարժման դինամիկայի հիմնական հավասարումը, այսինքն, այլ կերպ ասած, Նյուտոնի երկրորդ օրենքը պտտվող շարժման համար (համեմատեք զանգվածի կենտրոնի շարժման օրենքի հետ. ) Երրորդ բանաձևը արտահայտում է ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի կինետիկ էներգիան (համեմատեք մասնիկի կինետիկ էներգիայի արտահայտության հետ. ) Բանաձևերի համեմատությունը թույլ է տալիս եզրակացնել, որ պտտվող շարժման մեջ իներցիայի մոմենտը նման դեր է խաղում զանգվածին այն առումով, որ որքան մեծ է մարմնի իներցիայի պահը, այնքան քիչ է այն ձեռք բերում անկյունային արագացում, և մնացած բոլոր բաները հավասար են ( մարմինը, պատկերավոր ասած, ավելի դժվար է պտտվել): Իրականում իներցիայի պահերի հաշվարկը հանգում է եռակի ինտեգրալի հաշվարկին և կարող է կատարվել միայն սահմանափակ թվով սիմետրիկ մարմիններև միայն համաչափության առանցքների համար։ Այն առանցքների թիվը, որոնց շուրջ մարմինը կարող է պտտվել, անսահման մեծ է։ Բոլոր առանցքների մեջ առանձնանում է այն, որն անցնում է մարմնի ուշագրավ կետով. զանգվածի կենտրոն (մի կետ, որի շարժումը նկարագրելու համար բավական է պատկերացնել, որ համակարգի ողջ զանգվածը կենտրոնացած է զանգվածի կենտրոնում և այս կետի վրա կիրառվում է ուժ, որը հավասար է բոլոր ուժերի գումարին): Բայց կան նաև անսահման շատ առանցքներ, որոնք անցնում են զանգվածի կենտրոնով։ Պարզվում է, որ կամայական ձևի ցանկացած պինդ մարմնի համար կան երեք փոխադարձ ուղղահայաց առանցքներ C x, C y, C z, կանչեց ազատ պտույտի առանցքներ , որոնք ունեն ուշագրավ հատկություն՝ եթե մարմինը ոլորվի այս առանցքներից որևէ մեկի շուրջ և նետվի վեր, ապա մարմնի հետագա շարժման ժամանակ առանցքը կմնա իրեն զուգահեռ, այսինքն. չի ընկրկի. Որևէ այլ առանցքի շուրջ պտտվելն այս հատկությունը չունի: Տիպիկ մարմինների իներցիայի պահերի արժեքները նշված առանցքների նկատմամբ տրված են ստորև։ Եթե ​​առանցքն անցնում է զանգվածի կենտրոնով, բայց առանցքներով կազմում է a, b, g անկյուններ C x, C y, C zՀամապատասխանաբար, նման առանցքի շուրջ իներցիայի պահը հավասար է

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

Համառոտ դիտարկենք իներցիայի պահի հաշվարկը ամենապարզ մարմինների համար։

1.Երկար բարակ միատարր ձողի իներցիայի պահը ձողի զանգվածի կենտրոնով անցնող և դրան ուղղահայաց առանցքի նկատմամբ։

Թող T -ձողային զանգված, լ –դրա երկարությունը։

,

ինդեքս» Հետ» իներցիայի պահին Հասկանալի էնշանակում է, որ սա զանգվածի կենտրոնի (մարմնի համաչափության կենտրոն) կետով անցնող առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահն է. C(0,0,0).

2. Բարակ ուղղանկյուն թիթեղի իներցիայի պահը:

; ;

3. Ուղղանկյուն զուգահեռականի իներցիայի պահը:

, տ. C(0,0,0)

4. Բարակ օղակի իներցիայի պահը:

;

, տ. C(0,0,0)

5. Բարակ սկավառակի իներցիայի պահը.

Համաչափության շնորհիվ

; ;

6. Պինդ գլանի իներցիայի պահը:

;

Համաչափության պատճառով.

7. Պինդ գնդի իներցիայի պահը.

, տ. C(0,0,0)

8. Պինդ կոնի իներցիայի պահը:

, t. C(0,0,0)

Որտեղ Ռ- հիմքի շառավիղը, հ- կոնի բարձրությունը.

Հիշեցնենք, որ cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1: Ի վերջո, եթե O առանցքը չի անցնում զանգվածի կենտրոնով, ապա մարմնի իներցիայի պահը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով Հյուգենս Շտայների թեորեմը:

I o = I s + md 2, (**)

Որտեղ Ես ո- մարմնի իներցիայի պահը կամայական առանցքի նկատմամբ. Ես ս- իներցիայի պահը դրան զուգահեռ առանցքի նկատմամբ, որն անցնում է զանգվածի կենտրոնով.
մ- մարմնի զանգված, դ- առանցքների միջև հեռավորությունը.

Կամայական առանցքի նկատմամբ ստանդարտ ձևի մարմինների համար իներցիայի պահերի հաշվարկման կարգը կրճատվում է հետևյալով.

Իներցիայի պահ
Իներցիայի պահը հաշվարկելու համար մենք պետք է մարմինը մտովի բաժանենք բավական փոքր տարրերի, որոնց կետերը կարելի է համարել պտտման առանցքից նույն հեռավորության վրա, այնուհետև գտնել յուրաքանչյուր տարրի զանգվածի արտադրյալը քառակուսիով։ առանցքից նրա հեռավորությունը և, վերջապես, գումարել բոլոր ստացված արտադրանքները: Ակնհայտ է, որ սա շատ ժամանակատար խնդիր է։ Հաշվելու համար
ճիշտ է մարմինների իներցիայի պահերը երկրաչափական ձևՈրոշ դեպքերում դուք կարող եք օգտագործել ինտեգրալ հաշվարկի մեթոդներ:
Մարմնի տարրերի իներցիայի պահերի վերջավոր գումարի որոշումը կփոխարինենք անվերջ փոքր տարրերի համար հաշվարկված իներցիայի պահերի անսահման մեծ քանակի գումարմամբ.
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (ժամը Δm → 0).
Հաշվարկենք համասեռ սկավառակի կամ բարձրությամբ պինդ գլան իներցիայի պահը հհամեմատ իր սիմետրիայի առանցքի հետ

Եկեք բաժանենք սկավառակը տարրերի բարակ համակենտրոն օղակների տեսքով, որոնց կենտրոնները գտնվում են համաչափության առանցքի վրա: Ստացված օղակները ունեն ներքին տրամագիծ rև արտաքին r+drև բարձրությունը հ. Որովհետեւ դոկտ<< r , ապա կարելի է ենթադրել, որ օղակի բոլոր կետերի հեռավորությունն առանցքից հավասար է r.
Յուրաքանչյուր առանձին օղակի համար՝ իներցիայի պահը
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Որտեղ ΣΔm- ամբողջ օղակի զանգվածը.
Օղակի ծավալը 2πrhdr. Եթե ​​սկավառակի նյութի խտությունը ρ , ապա օղակի զանգվածը
ρ2πrhdr.
Օղակի իներցիայի պահը
i = 2պրժ 3 դր.
Ամբողջ սկավառակի իներցիայի պահը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է ամփոփել օղակների իներցիայի պահերը սկավառակի կենտրոնից ( r = 0) դրա եզրին ( r = R), այսինքն հաշվարկել ինտեգրալը.
I = 2πρh 0 R ∫r 3 դր,
կամ
I = (1/2)պրhR 4.
Բայց սկավառակի զանգվածը m = ρπhR 2, հետևաբար,
I = (1/2) mR 2.
Ներկայացնենք (առանց հաշվարկի) իներցիայի մոմենտները միատարր նյութերից պատրաստված կանոնավոր երկրաչափական ձև ունեցող մարմինների համար.


 1. Բարակ օղակի իներցիայի պահը իր հարթությանը ուղղահայաց կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ (կամ բարակ պատերով խոռոչ գլան՝ իր համաչափության առանցքի նկատմամբ).
I = mR 2.
 2. Համաչափության առանցքի նկատմամբ հաստ պատերով գլանի իներցիայի պահը.
I = (1/2)m (R 1 2 - R 2 2)
Որտեղ Ռ 1− ներքին և Ռ 2- արտաքին շառավիղներ.
 3. Սկավառակի իներցիայի պահը դրա տրամագծերից մեկի հետ համընկնող առանցքի նկատմամբ.
I = (1/4) mR 2.
 4. Պինդ մխոցի իներցիայի պահը՝ կապված գեներատրիքսին ուղղահայաց և դրա միջով անցնող առանցքի հետ.
I = m (R 2 /4 + h 2 /12)
Որտեղ Ռ- գլանների հիմքի շառավիղը, հ- մխոցի բարձրությունը.
 5. Բարակ ձողի իներցիայի պահը նրա միջով անցնող առանցքի նկատմամբ.
I = (1/12)մլ 2,
Որտեղ լ- ձողի երկարությունը.
 6. Բարակ ձողի իներցիայի պահը նրա ծայրերից մեկով անցնող առանցքի նկատմամբ.
I = (1/3)մլ 2
7. Գնդիկի իներցիայի պահը նրա տրամագծերից մեկի հետ համընկնող առանցքի նկատմամբ.
I = (2/5) mR 2.

Եթե ​​մարմնի իներցիայի պահը հայտնի է նրա զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ, ապա առաջինին զուգահեռ ցանկացած այլ առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը կարելի է գտնել այսպես կոչված Հյուգենս-Շտայներ թեորեմի հիման վրա։
Մարմնի իներցիայի պահը Իցանկացած առանցքի նկատմամբ հավասար է մարմնի իներցիայի պահին Ես ստրվածին զուգահեռ առանցքի նկատմամբ և անցնում է մարմնի զանգվածի կենտրոնով, գումարած մարմնի զանգվածը. մ, բազմապատկված հեռավորության քառակուսու վրա լառանցքների միջև.
I = I c + ml 2.
Որպես օրինակ՝ հաշվարկենք շառավղով գնդակի իներցիայի պահը Ռեւ զանգված մ l երկարությամբ թելի վրա կախված, կախվածության կետով անցնող առանցքի նկատմամբ ՄԱՍԻՆ. Թելի զանգվածը փոքր է գնդակի զանգվածի համեմատ։ Զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ գնդակի իներցիայի պահից սկսած Ic = (2/5)mR 2և հեռավորությունը
առանցքների միջև ( լ + Ռ), ապա կասեցման կետով անցնող առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը.
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Իներցիայի պահի չափը.
[I] = [m] × = ML 2.