Կատարեք հատուկ աջ կողմով: Գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով

Դասախոսության ժամանակ ուսումնասիրվում են LNDE-ները՝ գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ. Դիտարկված է ընդհանուր լուծման կառուցվածքը, LPDE-ի լուծումը կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդի կիրառմամբ, LPDE-ի լուծումը հաստատուն գործակիցներիսկ աջ կողմը հատուկ տեսակի. Քննարկվող հարցերն օգտագործվում են ֆիզիկայի, էլեկտրատեխնիկայի և էլեկտրոնիկայի հարկադիր տատանումների ուսումնասիրության և ավտոմատ կառավարման տեսության մեջ։

1. 2-րդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծման կառուցվածքը.

Եկեք նախ դիտարկենք կամայական կարգի գծային անհամասեռ հավասարումը.

Հաշվի առնելով նշումը՝ կարող ենք գրել.

Այս դեպքում մենք կենթադրենք, որ գործակիցները և այս հավասարման աջ կողմը որոշակի միջակայքում շարունակական են:

Թեորեմ. Որոշակի տիրույթում գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը նրա ցանկացած լուծումների և համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն է։

Ապացույց.Թող Y լինի անհամասեռ հավասարման լուծում:

Այնուհետև այս լուծումը սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելիս ստանում ենք նույնականությունը.

Թող
- հիմնարար համակարգգծային միատարր հավասարման լուծումներ
. Հետո ընդհանուր որոշումմիատարր հավասարումը կարելի է գրել այսպես.

Մասնավորապես, 2-րդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման համար ընդհանուր լուծման կառուցվածքն ունի ձև.

Որտեղ
համապատասխան համասեռ հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգն է, և
- անհամասեռ հավասարման ցանկացած կոնկրետ լուծում:

Այսպիսով, գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծում և ինչ-որ կերպ գտնել մեկ կոնկրետ լուծում. անհամասեռ հավասարում. Սովորաբար այն հայտնաբերվում է ընտրությամբ։ Մենք կքննարկենք մասնավոր լուծում ընտրելու մեթոդները հետևյալ հարցերում:

2. Վարիացիոն մեթոդ

Գործնականում հարմար է օգտագործել կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը:

Դա անելու համար նախ գտեք համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը ձևով.

Այնուհետեւ, դնելով գործակիցները Գ եսգործում է X, անհամասեռ հավասարման լուծում է որոնվում.

Կարելի է ապացուցել, որ գործառույթներ գտնելու համար Գ ես (x) մենք պետք է լուծենք հավասարումների համակարգը.

Օրինակ.Լուծե՛ք հավասարումը

Գծային միատարր հավասարման լուծում

Անհամասեռ հավասարման լուծումը կունենա հետևյալ ձևը.

Եկեք ստեղծենք հավասարումների համակարգ.

Եկեք լուծենք այս համակարգը.

Հարաբերությունից գտնում ենք ֆունկցիան Օ):

Այժմ մենք գտնում ենք B (x).

Ստացված արժեքները փոխարինում ենք անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծման բանաձևով.

Վերջնական պատասխան.

Ընդհանուր առմամբ, կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը հարմար է ցանկացած գծային անհամասեռ հավասարման լուծումներ գտնելու համար: Բայց քանի որ Համապատասխան միատարր հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը գտնելը կարող է բավականին բարդ խնդիր լինել, այս մեթոդը հիմնականում օգտագործվում է հաստատուն գործակիցներով անհամասեռ հավասարումների համար։

3. Հավասարումներ հատուկ ձևի աջ կողմով

Թվում է, թե հնարավոր է պատկերացնել կոնկրետ լուծման տեսակը՝ կախված անհամասեռ հավասարման աջ կողմի տեսակից:

Առանձնացվում են հետևյալ դեպքերը.

I. Գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման աջ կողմն ունի ձև.

որտեղ է աստիճանի բազմանդամը մ.

Այնուհետև որոնվում է որոշակի լուծում հետևյալ ձևով.

Այստեղ Ք(x) - նույն աստիճանի բազմանդամ, ինչ Պ(x) , քիթ անորոշ գործակիցներ, Ա r– թիվ, որը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է  թիվը համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման բնորոշ հավասարման արմատը:

Օրինակ.Լուծե՛ք հավասարումը
.

Եկեք լուծենք համապատասխան միատարր հավասարումը.

Հիմա եկեք գտնենք սկզբնական անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում:

Եկեք համեմատենք հավասարման աջ կողմը վերը քննարկված աջ կողմի ձևի հետ:

Մենք փնտրում ենք որոշակի լուծում հետևյալ ձևով.
, Որտեղ

Նրանք.

Այժմ որոշենք անհայտ գործակիցները ԱԵվ IN.

Եկեք փոխարինենք կոնկրետ լուծումը ընդհանուր տեսքով սկզբնական անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման մեջ:

Ընդհանուր, մասնավոր լուծում.

Այնուհետև գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

II. Գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման աջ կողմն ունի ձև.

Այստեղ Ռ 1 (X)Եվ Ռ 2 (X)- աստիճանի բազմանդամներ մ 1 և մ 2 համապատասխանաբար.

Այնուհետև անհամասեռ հավասարման կոնկրետ լուծումը կունենա հետևյալ ձևը.

որտեղ է թիվը rցույց է տալիս, թե քանի անգամ է թիվը
համապատասխան համասեռ հավասարման բնորոշ հավասարման արմատն է, և Ք 1 (x) Եվ Ք 2 (x) – աստիճանից ոչ բարձր բազմանդամներ մ, Որտեղ մ- աստիճաններից ամենամեծը մ 1 Եվ մ 2 .

Մասնավոր լուծումների տեսակների ամփոփ աղյուսակ

տարբեր տեսակի աջակողմյան կողմերի համար

	Դիֆերենցիալ հավասարման աջ կողմը	բնորոշ հավասարում	Մասնավորի տեսակները
		1. Թիվը բնորոշ հավասարման արմատը չէ
		2. Թիվը բազմակիության բնորոշ հավասարման արմատն է
		1. Համար բնորոշ հավասարման արմատ չէ
		2. Համար բազմակիության բնորոշ հավասարման արմատն է
		1. Թվեր
		2. Թվեր բազմակիության բնորոշ հավասարման արմատներն են
		1. Թվեր բնորոշ բազմակի հավասարման արմատներ չեն
		2. Թվեր բազմակիության բնորոշ հավասարման արմատներն են

Նկատի ունեցեք, որ եթե հավասարման աջ կողմը վերը դիտարկված տիպի արտահայտությունների համակցություն է, ապա լուծումը գտնվում է որպես օժանդակ հավասարումների լուծումների համակցություն, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի ներառված արտահայտությանը համապատասխանող աջ կողմ։ համակցությամբ.

Նրանք. եթե հավասարումը հետևյալն է.
, ապա այս հավասարման կոնկրետ լուծում կլինի
Որտեղ ժամը 1 Եվ ժամը 2 - օժանդակ հավասարումների առանձին լուծումներ

Եվ

Պատկերացնելու համար վերը նշված օրինակը լուծենք այլ կերպ։

Օրինակ.Լուծե՛ք հավասարումը

Դիֆերենցիալ հավասարման աջ կողմը ներկայացնենք որպես երկու ֆունկցիաների գումար զ 1 (x) + զ 2 (x) = x + (- մեղք x).

Կազմենք և լուծենք բնորոշ հավասարումը.

Մենք ստանում ենք. այսինքն.

Ընդամենը:

Նրանք. պահանջվող կոնկրետ լուծումն ունի հետևյալ ձևը.

Ոչ միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Դիտարկենք նկարագրված մեթոդների կիրառման օրինակներ։

Օրինակ 1..Լուծե՛ք հավասարումը

Եկեք կազմենք բնորոշ հավասարում համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման համար.

Հիմա եկեք գտնենք անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծում հետևյալ ձևով.

Եկեք օգտագործենք անորոշ գործակիցների մեթոդը.

Փոխարինելով սկզբնական հավասարմանը, մենք ստանում ենք.

Հատուկ լուծումն ունի հետևյալ ձևը.

Գծային անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Օրինակ.Լուծե՛ք հավասարումը

Բնութագրական հավասարում.

Միատարր հավասարման ընդհանուր լուծում.

Անհամասեռ հավասարման առանձին լուծում.
.

Մենք գտնում ենք ածանցյալները և դրանք փոխարինում սկզբնական անհամասեռ հավասարման մեջ.

Մենք ստանում ենք անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների (LNDE-2) լուծման հիմունքները հաստատուն գործակիցներով (PC)

$p$ և $q$ հաստատուն գործակիցներով 2-րդ կարգի LDDE-ն ունի $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\աջ)$ ձևը, որտեղ $f\left(x): \right)$-ը շարունակական ֆունկցիա է:

Ինչ վերաբերում է LNDU 2-ին PC-ով, ապա հետևյալ երկու պնդումները ճիշտ են:

Ենթադրենք, որ որոշ $U$ ֆունկցիա անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման կամայական մասնակի լուծում է: Ենթադրենք նաև, որ $Y$ որոշ ֆունկցիաներ համապատասխան գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարման (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ի ընդհանուր լուծումն է (GS): Այնուհետև LHDE-2-ը հավասար է նշված մասնավոր և ընդհանուր լուծումների գումարին, այսինքն՝ $y=U+Y$։

Եթե ​​2-րդ կարգի LMDE-ի աջ կողմը ֆունկցիաների գումար է, այսինքն՝ $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x): \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, ապա նախ կարող ենք գտնել $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$-ները, որոնք համապատասխանում են $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրին և դրանից հետո գրեք CR LNDU-2-ը $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ ձևով:

2-րդ կարգի LPDE-ի լուծում ԱՀ-ով

Ակնհայտ է, որ տվյալ LNDU-2-ի այս կամ այն ​​PD $U$ տեսակը կախված է նրա $f\left(x\right)$ աջ կողմի հատուկ ձևից։ PD LNDU-2-ի որոնման ամենապարզ դեպքերը ձևակերպված են հետևյալ չորս կանոնների տեսքով.

Կանոն թիվ 1.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, որտեղ $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, այսինքն կոչվում է a. $n$ աստիճանի բազմանդամ: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(n) \left(x\right)$-ն այլ կերպ է: $P_(n) \left(x\right)$ նույն աստիճանի բազմանդամը, իսկ $r$-ը արմատների թիվն է բնորոշ հավասարումհամապատասխան LOD-2, հավասար է զրոյի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք անորոշ գործակիցների մեթոդով (ՄԹ):

Կանոն թիվ 2.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ ձևը, որտեղ $P_(n) \left( x\right)$-ը $n$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ ձևով, որտեղ $Q_(n): ) \ left(x\right)$-ը $P_(n) \left(x\right)$-ի նույն աստիճանի մեկ այլ բազմանդամ է, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է։ հավասար է $\alpha $-ի: $Q_(n) \left(x\right)$ բազմանդամի գործակիցները գտնում ենք NC մեթոդով։

Կանոն թիվ 3.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) ձևը \right) $, որտեղ $a$, $b$ և $\beta$ են հայտնի թվեր. Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրվում է $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) ձևով: \right )\cdot x^(r) $, որտեղ $A$ և $B$ անհայտ գործակիցներ են, իսկ $r$-ը համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է, որը հավասար է $i\cdot-ի: \բետա $. $A$ և $B$ գործակիցները հայտնաբերվում են ոչ կործանարար մեթոդով:

Կանոն թիվ 4.

LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, որտեղ $P_(n) \left(x\right)$ է: $ n$ աստիճանի բազմանդամ, իսկ $P_(m) \left(x\right)$-ը $m$ աստիճանի բազմանդամ է: Այնուհետև նրա PD $U$-ը փնտրում է $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, որտեղ $Q_(s) \left(x\աջ)$: իսկ $ R_(s) \left(x\right)$-ը $s$ աստիճանի բազմանդամներ են, $s$ թիվը $n$ և $m$ երկու թվերի առավելագույնն է, իսկ $r$-ը արմատների թիվն է։ համապատասխան LODE-2-ի բնորոշ հավասարման՝ հավասար $\alpha +i\cdot \beta $-ի։ $Q_(s) \left(x\right)$ և $R_(s) \left(x\right)$ բազմանդամների գործակիցները գտնվում են NC մեթոդով։

ԼՂ մեթոդը բաղկացած է հետևյալ կանոնի կիրառումից. LNDU-2 անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծման մաս կազմող բազմանդամի անհայտ գործակիցները գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• փոխարինեք PD $U$-ը, որը գրված է ընդհանուր ձևով, մեջ ձախ կողմ LNDU-2;
• LNDU-2-ի ձախ կողմում կատարեք պարզեցումներ և խմբավորեք նույն հզորություններով $x$;
• Ստացված նույնականության մեջ հավասարեցրեք տերմինների գործակիցները ձախ և աջ կողմերի $x$ նույն հզորություններին.
• լուծել ստացված համակարգը գծային հավասարումներհամեմատ անհայտ գործակիցների հետ:

Օրինակ 1

Առաջադրանք՝ գտնել ԿԱՄ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $: Գտեք նաև PD , բավարարելով նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար։

Գրում ենք համապատասխան LOD-2-ը՝ $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$։

Բնութագրական հավասարումը՝ $k^(2) -3\cdot k-18=0$։ Բնութագրական հավասարման արմատներն են՝ $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$։ Այս արմատները վավերական են և հստակ: Այսպիսով, համապատասխան LODE-2-ի OR-ն ունի $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $:

Այս LNDU-2-ի աջ կողմն ունի $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը: Անհրաժեշտ է դիտարկել $\alpha =3$ ցուցանիշի գործակիցը։ Այս գործակիցը չի համընկնում բնորոշ հավասարման որևէ արմատի հետ։ Հետևաբար, այս LNDU-2-ի PD-ն ունի $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ձևը:

Մենք կփնտրենք $A$, $B$ գործակիցները՝ օգտագործելով NC մեթոդը։

Մենք գտնում ենք Չեխիայի առաջին ածանցյալը.

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \աջ)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք գտնում ենք Չեխիայի երկրորդ ածանցյալը.

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $U""$, $U"$ և $U$-ի փոխարեն $y""$, $y"$ և $y$ ֆունկցիաները տրված NLDE-2 $y""-3\cdot y"-ի մեջ: -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ավելին, քանի որ $e^(3\cdot x)$ ցուցիչը ներառված է որպես գործոն բոլոր բաղադրիչներում, ապա այն կարելի է բաց թողնել: Ստանում ենք.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \ձախ (A\) cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Ստացված հավասարության ձախ կողմում կատարում ենք գործողությունները.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Մենք օգտագործում ենք NDT մեթոդը: Մենք ստանում ենք գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Այս համակարգի լուծումն է՝ $A=-2$, $B=-1$։

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ մեր խնդրի համար այսպիսի տեսք ունի՝ $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Մեր խնդրի OR $y=Y+U$-ն ունի հետևյալ տեսքը՝ $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ձախ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Տրված սկզբնական պայմաններին բավարարող PD որոնելու համար մենք գտնում ենք OP-ի $y"$ ածանցյալը.

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Մենք փոխարինում ենք $y$ և $y"$ նախնական պայմանները $y=6$ $x=0$-ի համար և $y"=1$ $x=0$-ի համար:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Մենք ստացել ենք հավասարումների համակարգ.

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Եկեք լուծենք այն: Մենք գտնում ենք $C_(1) $՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևը, իսկ $C_(2) $ մենք որոշում ենք առաջին հավասարումից.

$C_(1) =\frac(\ձախ|\սկիզբ(զանգված)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(զանգված)\աջ|)(\ձախ|\ սկիզբ(զանգված)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \վերջ(զանգված)\աջ|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\աջ)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Այսպիսով, այս դիֆերենցիալ հավասարման PD-ն ունի ձև՝ $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \աջ )\cdot e^(3\cdot x) $.

Անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով

Ընդհանուր լուծման կառուցվածքը Այս տեսակի գծային անհամասեռ հավասարումը ունի ձև. Որտեղ էջ, ք− հաստատուն թվեր (որոնք կարող են լինել իրական կամ բարդ): Յուրաքանչյուր նման հավասարման համար կարող ենք գրել համապատասխանը միատարր հավասարում: ԹեորեմԱնհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը ընդհանուր լուծման գումարն է y 0 (x) համապատասխան միատարր հավասարման և որոշակի լուծման y 1 (x) անհամասեռ հավասարում. Ստորև մենք կքննարկենք անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման երկու եղանակ: հաստատունների փոփոխության մեթոդ Եթե ​​ընդհանուր լուծումը yՀայտնի է հարակից միատարր հավասարման 0-ը, ապա անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով. մշտական ​​տատանումների մեթոդ. Թող միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն ունենա հետևյալ ձևը. Մշտականի փոխարեն Գ 1 և Գ 2 մենք կդիտարկենք օժանդակ գործառույթները Գ 1 (x) Եվ Գ 2 (x) Մենք կփնտրենք այս գործառույթները այնպես, որ լուծումը բավարարեց անհամասեռ հավասարումը աջ կողմի հետ զ(x) Անհայտ գործառույթներ Գ 1 (x) Եվ Գ 2 (x) որոշվում են երկու հավասարումների համակարգից. Անորոշ գործակցի մեթոդ Աջ մաս զ(x) անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման հաճախ բազմանդամ, էքսպոնենցիալ կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիա է կամ այդ ֆունկցիաների ինչ-որ համակցություն: Այս դեպքում ավելի հարմար է լուծում փնտրել՝ օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդ. Ընդգծենք դա այս մեթոդըաշխատում է միայն աջ կողմի ֆունկցիաների սահմանափակ դասի համար, ինչպիսին է Երկու դեպքում էլ կոնկրետ լուծման ընտրությունը պետք է համապատասխանի անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման աջ կողմի կառուցվածքին: 1-ի դեպքում, եթե համարը α Վ էքսպոնենցիալ ֆունկցիահամընկնում է բնորոշ հավասարման արմատին, ապա կոնկրետ լուծումը լրացուցիչ գործոն կպարունակի x ս, Որտեղ ս− արմատային բազմապատկություն α բնորոշ հավասարման մեջ։ 2-ի դեպքում, եթե համարը α + βiհամընկնում է բնորոշ հավասարման արմատին, այնուհետև կոնկրետ լուծման արտահայտությունը կպարունակի լրացուցիչ գործոն x. Անհայտ գործակիցները կարող են որոշվել՝ փոխարինելով հայտնաբերված արտահայտությունը որոշակի լուծման համար սկզբնական անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման մեջ: Սուպերպոզիցիոն սկզբունքը Եթե ​​անհամասեռ հավասարման աջ կողմն է գումարըձևի մի քանի գործառույթ ապա դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծումը կլինի նաև աջ կողմում գտնվող յուրաքանչյուր անդամի համար առանձին կառուցված մասնակի լուծումների գումարը:

Օրինակ 1

Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը y"" + y= մեղք (2 x). Լուծում. Նախ լուծում ենք համապատասխան միատարր հավասարումը y"" + y= 0.V այս դեպքումբնորոշ հավասարման արմատները զուտ երևակայական են. Հետևաբար, միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը տրվում է արտահայտությամբ Կրկին վերադառնանք անհամասեռ հավասարմանը. Մենք դրա լուծումը կփնտրենք ձևի մեջ օգտագործելով հաստատունների փոփոխության մեթոդը: Գործառույթներ Գ 1 (x) Եվ Գ 2 (x) կարելի է գտնել հաջորդ համակարգըհավասարումներ: Արտահայտենք ածանցյալը Գ 1 " (x) առաջին հավասարումից. Փոխարինելով երկրորդ հավասարմանը, մենք գտնում ենք ածանցյալը Գ 2 " (x): Դրանից բխում է, որ Արտահայտությունների ինտեգրում ածանցյալների համար Գ 1 " (x) Եվ Գ 2 " (x), մենք ստանում ենք. Որտեղ Ա 1 , Ա 2 - ինտեգրման հաստատուններ: Այժմ եկեք փոխարինենք գտնված գործառույթները Գ 1 (x) Եվ Գ 2 (x) բանաձևի մեջ y 1 (x) և գրի՛ր անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը.

Օրինակ 2

Գտե՛ք հավասարման ընդհանուր լուծումը y"" + y" −6y = 36x. Լուծում. Եկեք օգտագործենք անորոշ գործակիցների մեթոդը. Տրված հավասարման աջ կողմն է գծային ֆունկցիա զ(x)= կացին + բ. Հետևաբար, ձևի մեջ մենք կփնտրենք որոշակի լուծում Ածանցյալները հավասար են. Սա փոխարինելով դիֆերենցիալ հավասարման մեջ՝ ստանում ենք. Վերջին հավասարումը ինքնություն է, այսինքն՝ վավեր է բոլորի համար x, հետևաբար անդամների գործակիցները հավասարեցնում ենք նույն աստիճաններով xձախ և աջ կողմում. Ստացված համակարգից մենք գտնում ենք. Ա = −6, Բ= −1. Արդյունքում կոնկրետ լուծումը գրվում է ձևով Այժմ գտնենք միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը։ Եկեք հաշվարկենք օժանդակ բնութագրիչ հավասարման արմատները. Հետևաբար, համապատասխան միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումն ունի ձև. Այսպիսով, սկզբնական անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումն արտահայտվում է բանաձևով

DE-ի ընդհանուր ինտեգրալը.

Լուծել դիֆերենցիալ հավասարումը

Բայց ամենազավեշտալին այն է, որ պատասխանն արդեն հայտնի է. ավելի ճիշտ՝ պետք է ավելացնել նաև հաստատուն՝ ընդհանուր ինտեգրալը դիֆերենցիալ հավասարման լուծումն է։

Կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդ. Լուծումների օրինակներ

Անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար օգտագործվում է կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը։ Այս դասը նախատեսված է այն ուսանողների համար, ովքեր արդեն քիչ թե շատ լավ տիրապետում են թեմային։ Եթե ​​դուք նոր եք սկսում ծանոթանալ հեռակառավարման հետ, այսինքն. Եթե ​​դուք թեյնիկ եք, խորհուրդ եմ տալիս սկսել առաջին դասից. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ. Լուծումների օրինակներ. Եվ եթե դուք արդեն ավարտում եք, խնդրում ենք հրաժարվել հնարավոր նախապաշարմունքից, որ մեթոդը դժվար է: Քանի որ դա պարզ է:

Ո՞ր դեպքերում է կիրառվում կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը:

1) կամայական հաստատունի փոփոխման մեթոդը կարող է օգտագործվել լուծելու համար 1-ին կարգի գծային անհամասեռ DE. Քանի որ հավասարումը առաջին կարգի է, ուրեմն հաստատունը նույնպես մեկն է։

2) կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը օգտագործվում է որոշների լուծման համար գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի հավասարումներ. Այստեղ երկու հաստատուն տարբերվում է.

Տրամաբանական է ենթադրել, որ դասը բաղկացած կլինի երկու պարբերությունից... Այսպիսով, ես գրեցի այս նախադասությունը, և մոտ 10 րոպե ես ցավագին մտածում էի, թե ինչ այլ խելացի հիմար կարող եմ ավելացնել գործնական օրինակներին սահուն անցման համար: Բայց ինչ-ինչ պատճառներով ես արձակուրդից հետո մտքեր չունեմ, չնայած կարծես ոչինչ չեմ չարաշահել։ Հետևաբար, եկեք անմիջապես անցնենք առաջին պարբերությանը:

Կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդ առաջին կարգի գծային անհամասեռ հավասարման համար

Նախքան կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդը դիտարկելը, խորհուրդ է տրվում ծանոթ լինել հոդվածին Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ. Այդ դասին մենք պարապեցինք առաջին լուծումըանհամասեռ 1-ին կարգի DE. Այս առաջին լուծումը, հիշեցնում եմ, կոչվում է փոխարինման մեթոդկամ Բեռնուլիի մեթոդ(չշփոթել դրա հետ Բեռնուլիի հավասարումը!!!)

Այժմ մենք կնայենք երկրորդ լուծում- կամայական հաստատունի փոփոխության մեթոդ. Բերեմ ընդամենը երեք օրինակ, և դրանք կվերցնեմ վերը նշված դասից։ Ինչու՞ այդքան քիչ: Որովհետև իրականում երկրորդ եղանակով լուծումը շատ նման կլինի առաջին ձևի լուծմանը։ Բացի այդ, ըստ իմ դիտարկումների, կամայական հաստատունների տատանումների մեթոդը օգտագործվում է ավելի հազվադեպ, քան փոխարինման մեթոդը:

Օրինակ 1

Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը (Դասի թիվ 2 օրինակից դիֆուր 1-ին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ)

Լուծում:Այս հավասարումը գծային անհամասեռ է և ունի ծանոթ ձև.

Առաջին փուլում անհրաժեշտ է լուծել ավելի պարզ հավասարում. Այսինքն՝ մենք հիմարաբար զրոյականացնում ենք աջ կողմը, փոխարենը գրում ենք զրո: Ես կանվանեմ հավասարումը օժանդակ հավասարում.

Այս օրինակում դուք պետք է լուծեք հետևյալ օժանդակ հավասարումը.

Մեր առաջ բաժանելի հավասարում, որի լուծումը (հուսով եմ) այլևս դժվար չէ ձեզ համար.

Այսպիսով՝ – օժանդակ հավասարման ընդհանուր լուծում.

Երկրորդ քայլին մենք կփոխարինենքորոշ հաստատուն առայժմանհայտ ֆունկցիա, որը կախված է «x»-ից.

Այստեղից էլ գալիս է մեթոդի անվանումը՝ մենք փոփոխում ենք հաստատունը: Որպես այլընտրանք, հաստատունը կարող է լինել ինչ-որ ֆունկցիա, որը մենք այժմ պետք է գտնենք:

IN օրիգինալանհամասեռ հավասարման մեջ մենք կատարում ենք փոխարինում.

Փոխարինենք հավասարման մեջ.

Կառավարման կետ - ձախ կողմի երկու ժամկետները չեղյալ են հայտարարվում. Եթե ​​դա տեղի չունենա, դուք պետք է փնտրեք վերը նշված սխալը:

Փոխարինման արդյունքում ստացվել է բաժանելի փոփոխականներով հավասարում։ Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականները և ինտեգրում։

Ի՜նչ օրհնություն, ցուցիչները նույնպես չեղյալ են հայտարարում.

Գտնված ֆունկցիային ավելացնում ենք «նորմալ» հաստատուն.

Վերջնական փուլում մենք հիշում ենք մեր փոխարինման մասին.

Ֆունկցիան հենց նոր է գտնվել:

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Եթե ​​տպեք երկու լուծումները, հեշտությամբ կնկատեք, որ երկու դեպքում էլ մենք գտել ենք նույն ինտեգրալները։ Տարբերությունը միայն լուծման ալգորիթմի մեջ է։

Հիմա ավելի բարդ բանի համար ես կմեկնաբանեմ նաև երկրորդ օրինակը.

Օրինակ 2

Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը (Դասի 8-րդ օրինակից դիֆուր 1-ին կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարումներ)

Լուծում:Եկեք հավասարումը բերենք ձևի.

Եկեք վերականգնենք աջ կողմը և լուծենք օժանդակ հավասարումը.

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականները և ինտեգրում. Օժանդակ հավասարման ընդհանուր լուծումը.

Անհամասեռ հավասարման մեջ մենք կատարում ենք փոխարինում.

Ըստ արտադրանքի տարբերակման կանոնի.

Եկեք փոխարինենք սկզբնական անհամասեռ հավասարման մեջ.

Ձախ կողմի երկու տերմինները չեղարկվում են, ինչը նշանակում է, որ մենք ճիշտ ուղու վրա ենք.

Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի: Ըստ մասերի բանաձևի ինտեգրման համեղ տառը արդեն ներգրավված է լուծման մեջ, ուստի մենք օգտագործում ենք, օրինակ, «ա» և «be» տառերը.

Ի վերջո.

Հիմա հիշենք փոխարինումը.

Պատասխան.ընդհանուր որոշում.

Կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդ գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի հավասարման համար հաստատուն գործակիցներով

Ես հաճախ եմ լսել այն կարծիքը, որ երկրորդ կարգի հավասարման համար կամայական հաստատունների փոփոխման մեթոդը հեշտ բան չէ: Բայց ես ենթադրում եմ հետևյալը. ամենայն հավանականությամբ, մեթոդը շատերին դժվար է թվում, քանի որ այն այնքան էլ հաճախ չի լինում։ Բայց իրականում առանձնակի դժվարություններ չկան. որոշման ընթացքը պարզ է, թափանցիկ և հասկանալի։ Եվ գեղեցիկ:

Մեթոդին տիրապետելու համար ցանկալի է, որ կարողանանք լուծել երկրորդ կարգի անհամասեռ հավասարումներ՝ աջ կողմի ձևի հիման վրա որոշակի լուծում ընտրելով: Այս մեթոդըմանրամասն քննարկվել է հոդվածում Անհամասեռ 2-րդ կարգի DE-ներ. Հիշում ենք, որ հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

Ընտրության մեթոդը, որը քննարկվել է վերը նշված դասում, գործում է միայն սահմանափակ թվով դեպքերում, երբ աջ կողմը պարունակում է բազմանդամներ, էքսպոնենցիալներ, սինուսներ և կոսինուսներ։ Բայց ի՞նչ անել, երբ աջ կողմում, օրինակ, կոտորակ է, լոգարիթմ, շոշափող: Նման իրավիճակում օգնության է գալիս հաստատունների տատանումների մեթոդը։

Օրինակ 4

Գտե՛ք երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը

Լուծում:Այս հավասարման աջ կողմում կա մի կոտորակ, ուստի անմիջապես կարող ենք ասել, որ կոնկրետ լուծում ընտրելու մեթոդը չի գործում: Մենք օգտագործում ենք կամայական հաստատունների փոփոխության մեթոդը:

Ամպրոպի նշաններ չկան, լուծման սկիզբը միանգամայն սովորական է.

Մենք կգտնենք ընդհանուր որոշումհամապատասխան միատարրհավասարումներ:

Կազմենք և լուծենք բնորոշ հավասարումը. – ստացվում են զուգակցված բարդ արմատներ, ուստի ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Ուշադրություն դարձրեք ընդհանուր լուծման ձայնագրությանը. եթե կան փակագծեր, ապա բացեք դրանք։

Այժմ մենք անում ենք գրեթե նույն հնարքը, ինչ առաջին կարգի հավասարման դեպքում՝ մենք փոփոխում ենք հաստատունները՝ դրանք փոխարինելով անհայտ ֆունկցիաներով։ Այն է, ընդհանուր լուծում անհամասեռմենք կփնտրենք հավասարումներ հետևյալ ձևով.

Որտեղ - առայժմանհայտ գործառույթներ.

Կարծես աղբավայր լինի կենցաղային թափոններ, բայց հիմա մենք ամեն ինչ կկարգավորենք:

Անհայտները ֆունկցիաների ածանցյալներն են։ Մեր նպատակը ածանցյալներ գտնելն է, իսկ գտնված ածանցյալները պետք է բավարարեն համակարգի թե՛ առաջին, թե՛ երկրորդ հավասարումները։

Որտեղի՞ց են գալիս «հույները». Արագիլը բերում է նրանց։ Մենք նայում ենք ավելի վաղ ստացված ընդհանուր լուծումին և գրում.

Եկեք գտնենք ածանցյալները.

Ձախ հատվածները մշակված են։ Ի՞նչ կա աջ կողմում:

- սա ճիշտ կողմն է բնօրինակ հավասարումը, այս դեպքում:

Այս հոդվածը անդրադառնում է հաստատուն գործակիցներով գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման խնդրին։ Տեսությունը կքննարկվի տրված խնդիրների օրինակների հետ միասին: Անհասկանալի տերմինները վերծանելու համար անհրաժեշտ է անդրադառնալ դիֆերենցիալ հավասարումների տեսության հիմնական սահմանումների և հասկացությունների թեմային։

Դիտարկենք երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում (LDE) y "" + p · y " + q · y = f (x) ձևի հաստատուն գործակիցներով, որտեղ p և q կամայական թվեր են, և գոյություն ունեցող f ֆունկցիան: (x) շարունակական է ինտեգրման x միջակայքում:

Անցնենք LNDE-ի ընդհանուր լուծման թեորեմի ձևակերպմանը։

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU-ի լուծման ընդհանուր թեորեմ

Թեորեմ 1

Ընդհանուր լուծում, որը գտնվում է x միջակայքում, y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ձևի անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման: . . + f 0 (x) · y = f (x) շարունակական ինտեգրման գործակիցներով x միջակայքում f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) եւ շարունակական գործառույթ f (x)-ը հավասար է y 0 ընդհանուր լուծման գումարին, որը համապատասխանում է LOD-ին և որոշ կոնկրետ y ~ լուծմանը, որտեղ սկզբնական անհամասեռ հավասարումը y = y 0 + y ~ է:

Սա ցույց է տալիս, որ նման երկրորդ կարգի հավասարման լուծումն ունի y = y 0 + y ~ ձև: y 0 գտնելու ալգորիթմը քննարկվում է հաստատուն գործակիցներով գծային միատարր երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների մասին հոդվածում։ Որից հետո պետք է անցնենք y ~-ի սահմանմանը։

LPDE-ի որոշակի լուծման ընտրությունը կախված է հավասարման աջ կողմում տեղակայված f (x) հասանելի ֆունկցիայի տեսակից: Դրա համար անհրաժեշտ է առանձին դիտարկել հաստատուն գործակիցներով գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումները։

Երբ f (x) համարվում է n-րդ աստիճանի բազմանդամ f (x) = P n (x), հետևում է, որ LPDE-ի որոշակի լուծումը գտնվել է y ~ = Q n (x) ձևի բանաձևով։ ) x γ, որտեղ Q n ( x) n աստիճանի բազմանդամ է, r-ը բնորոշ հավասարման զրոյական արմատների թիվն է։ y ~ արժեքը որոշակի լուծում է y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , ապա հասանելի գործակիցները, որոնք սահմանվում են բազմանդամով
Q n (x), մենք գտնում ենք, օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x):

Օրինակ 1

Հաշվեք՝ օգտագործելով Քոշիի թեորեմը y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 :

Լուծում

Այլ կերպ ասած, անհրաժեշտ է անցնել y "" - 2 y " = x 2 + 1 հաստատուն գործակիցներով երկրորդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծմանը, որը կբավարարի տրված y պայմանները (0) = 2, y "(0) = 1 4:

Գծային անհամասեռ հավասարման ընդհանուր լուծումը ընդհանուր լուծման գումարն է, որը համապատասխանում է y 0 հավասարմանը կամ y ~ անհամասեռ հավասարման որոշակի լուծմանը, այսինքն՝ y = y 0 + y ~:

Նախ ԼԺՄ-ի համար ընդհանուր լուծում կգտնենք, հետո՝ կոնկրետ։

Անցնենք y 0 գտնելուն: Հատկանշական հավասարումը գրելը կօգնի ձեզ գտնել արմատները: Մենք դա հասկանում ենք

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2

Մենք պարզեցինք, որ արմատները տարբեր են և իրական: Հետեւաբար, եկեք գրենք

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Եկեք գտնենք y ~ . Երևում է, որ տրված հավասարման աջ կողմը երկրորդ աստիճանի բազմանդամ է, ապա արմատներից մեկը հավասար է զրոյի։ Դրանից մենք ստանում ենք, որ y ~-ի համար որոշակի լուծում կլինի

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, որտեղ A, B, C արժեքները վերցնում են չորոշված ​​գործակիցներ:

Գտնենք դրանք y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ձևի հավասարությունից:

Հետո մենք ստանում ենք, որ.

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Գործակիցները հավասարեցնելով x-ի նույն ցուցանիշներին՝ ստանում ենք գծային արտահայտությունների համակարգ՝ 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1: Մեթոդներից որևէ մեկով լուծելիս կգտնենք գործակիցները և կգրենք՝ A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 և y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Այս մուտքը կոչվում է հաստատուն գործակիցներով սկզբնական գծային անհամասեռ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում։

Որոշակի լուծում գտնելու համար, որը բավարարում է y (0) = 2, y "(0) = 1 4 պայմանները, անհրաժեշտ է որոշել արժեքները. Գ 1Եվ Գ 2, հիմնվելով y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ձևի հավասարության վրա:

Մենք ստանում ենք, որ.

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Մենք աշխատում ենք C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ձևի հավասարումների համակարգով, որտեղ C 1 = 3 2, C 2 = 1 2:

Կիրառելով Քոշիի թեորեմը՝ մենք ունենք դա

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Պատասխան. 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Երբ f (x) ֆունկցիան ներկայացված է որպես n աստիճան ունեցող բազմանդամի արտադրյալ և f (x) = P n (x) · e a x, ապա մենք ստանում ենք, որ երկրորդ կարգի LPDE-ի որոշակի լուծումը կլինի y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ ձևի հավասարումը, որտեղ Q n (x)-ը n-րդ աստիճանի բազմանդամ է, իսկ r-ը՝ α-ին հավասար բնորոշ հավասարման արմատների թիվը։

Q n (x)-ին պատկանող գործակիցները գտնում ենք y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) հավասարությամբ։

Օրինակ 2

Գտե՛ք y "" - 2 y " = (x 2 + 1) ձևի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը · e x .

Լուծում

Հավասարումը ընդհանուր տեսարան y = y 0 + y ~ . Նշված հավասարումը համապատասխանում է LOD y "" - 2 y " = 0: Նախորդ օրինակից երևում է, որ դրա արմատները հավասար են. k 1 = 0և k 2 = 2 և y 0 = C 1 + C 2 e 2 x բնորոշ հավասարմամբ:

Կարելի է տեսնել, որ հավասարման աջ կողմը x 2 + 1 · e x է: Այստեղից LPDE-ն հայտնաբերվում է y ~ = e a x · Q n (x) · x γ-ի միջոցով, որտեղ Q n (x) երկրորդ աստիճանի բազմանդամ է, որտեղ α = 1 և r = 0, քանի որ բնորոշ հավասարումը չի ունեն 1-ի հավասար արմատ: Այստեղից մենք ստանում ենք դա

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C-ն անհայտ գործակիցներ են, որոնք կարելի է գտնել y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x հավասարությամբ:

Դա հասկացա

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Ցուցանիշները հավասարեցնում ենք նույն գործակիցներով և ստանում գծային հավասարումների համակարգ։ Այստեղից մենք գտնում ենք A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Պատասխան.պարզ է, որ y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 LNDDE-ի որոշակի լուծում է, և y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ընդհանուր լուծում երկրորդ կարգի անհամասեռ դիֆ հավասարման համար:

Երբ ֆունկցիան գրված է որպես f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, և Ա 1Եվ 1-ումթվեր են, ապա LPDE-ի մասնակի լուծումը համարվում է y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ ձևի հավասարում, որտեղ A-ն և B-ն համարվում են չորոշված ​​գործակիցներ, իսկ r-ը բարդ զուգակցված արմատներ՝ կապված բնորոշ հավասարման հետ, հավասար ± i β-ի: Այս դեպքում գործակիցների որոնումն իրականացվում է y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) հավասարության միջոցով:

Օրինակ 3

Գտե՛ք y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ձևի դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Լուծում

Նախքան բնորոշ հավասարումը գրելը, մենք գտնում ենք y 0: Հետո

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Մենք ունենք զույգ բարդ զուգակցված արմատներ: Եկեք վերափոխենք և ստանանք.

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Բնութագրական հավասարման արմատները համարվում են ± 2 i խոնարհված զույգը, ապա f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x): Սա ցույց է տալիս, որ y ~-ի որոնումը կկատարվի y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Անհայտներ Մենք կփնտրենք A և B գործակիցները y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ձևի հավասարությունից:

Փոխակերպենք.

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Հետո պարզ է, որ

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 մեղք (2 x)

Անհրաժեշտ է հավասարեցնել սինուսների և կոսինուսների գործակիցները: Մենք ստանում ենք ձևի համակարգ.

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Հետևում է, որ y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Պատասխան.դիտարկվում է սկզբնական երկրորդ կարգի LDDE-ի ընդհանուր լուծումը հաստատուն գործակիցներով

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Երբ f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), ապա y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Ունենք, որ r-ը բնութագրական հավասարման հետ կապված արմատների բարդ խոնարհված զույգերի թիվն է, որը հավասար է α ± i β-ին, որտեղ P n (x), Q k (x), Լ մ (x) և Նմ (x) n, k, m, m աստիճանի բազմանդամներ են, որտեղ m = m a x (n, k). Գործակիցների որոնում Lm (x)Եվ Նմ (x)կազմված է y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) հավասարության հիման վրա։

Օրինակ 4

Գտե՛ք y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ընդհանուր լուծումը։

Լուծում

Ըստ պայմանի պարզ է, որ

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Այնուհետև m = m a x (n, k) = 1: Մենք գտնում ենք y 0՝ նախ գրելով ձևի բնորոշ հավասարումը.

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Մենք պարզեցինք, որ արմատները իրական են և հստակ: Հետևաբար y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x: Հաջորդը, անհրաժեշտ է ընդհանուր լուծում փնտրել՝ հիմնված ձևի y ~ անհամասեռ հավասարման վրա.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) մեղք (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) մեղք (5 x))

Հայտնի է, որ A, B, C գործակիցներն են, r = 0, քանի որ չկա զույգ արմատներ, որոնք կապված են α ± i β = 3 ± 5 · i-ով բնորոշ հավասարման հետ: Ստացված հավասարությունից մենք գտնում ենք այս գործակիցները.

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) մեղք (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) մեղք (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Ածանցյալ և նմանատիպ տերմինները գտնելը տալիս է

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · մեղք (5 x) + 45 · մեղք (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Գործակիցները հավասարեցնելուց հետո ստանում ենք ձևի համակարգ

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Ամեն ինչից հետևում է, որ

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) մեղք (5 x))

Պատասխան.Այժմ մենք ստացել ենք տրված գծային հավասարման ընդհանուր լուծումը.

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) մեղք (5 x))

LDNU-ի լուծման ալգորիթմ

Սահմանում 1

Լուծման համար f (x) ֆունկցիայի ցանկացած այլ տեսակ պահանջում է համապատասխանություն լուծման ալգորիթմին.

• գտնելով համապատասխան գծային միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը, որտեղ y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, որտեղ y 1Եվ y 2 LODE-ի գծային անկախ մասնակի լուծումներ են, Գ 1Եվ Գ 2համարվում են կամայական հաստատուններ.
• ընդունումը որպես LNDE-ի ընդհանուր լուծում y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
• ֆունկցիայի ածանցյալների որոշում C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2" (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1" (x) + y 1» ( x) + C 2 "(x) · y 2" (x) = f (x) , և գտնել գործառույթներ C 1 (x)և C 2 (x) ինտեգրման միջոցով:

Օրինակ 5

Գտե՛ք y «» + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x ընդհանուր լուծումը։

Լուծում

Մենք սկսում ենք գրել բնորոշ հավասարումը, նախապես գրելով y 0, y "" + 36 y = 0: Եկեք գրենք և լուծենք.

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = մեղք (6 x)

Ունենք, որ տրված հավասարման ընդհանուր լուծումը գրվելու է y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Պետք է անցնել ածանցյալ ֆունկցիաների սահմանմանը C 1 (x)Եվ C2 (x)ըստ հավասարումների համակարգի.

C 1 "(x) · cos (6 x) + C 2" (x) · sin (6 x) = 0 C 1" (x) · (cos (6 x)) " + C 2" (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 մեղք (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

վերաբերյալ որոշում պետք է կայացվի C 1" (x)Եվ C 2" (x)օգտագործելով ցանկացած մեթոդ: Այնուհետև գրում ենք.

C 1 "(x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Հավասարումներից յուրաքանչյուրը պետք է ինտեգրված լինի: Այնուհետև մենք գրում ենք ստացված հավասարումները.

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 մեղք (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x մեղք (6 x) + C 4

Հետևում է, որ ընդհանուր լուծումը կունենա հետևյալ ձևը.

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 մեղք (6 x)

Պատասխան. y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin. (6 x)

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter