Գտե՛ք ընդհանուր լուծումը և գրե՛ք այն ֆսռ–ով։ Գտեք համակարգի ընդհանուր լուծումը և fsr

Միատարր համակարգ գծային հավասարումներդաշտի վրայով

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. Հավասարումների համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգ (1) իր լուծումների ոչ դատարկ գծային անկախ համակարգն է, որի գծային միջակայքը համընկնում է (1) համակարգի բոլոր լուծումների բազմության հետ:

Նկատի ունեցեք, որ գծային հավասարումների միատարր համակարգը, որն ունի միայն զրոյական լուծում, չունի լուծումների հիմնարար համակարգ:

ԱՌԱՋԱՐԿ 3.11. Գծային հավասարումների միատարր համակարգի լուծումների ցանկացած երկու հիմնարար համակարգեր բաղկացած են նույն թվով լուծումներից:

Ապացույց. Փաստորեն, (1) հավասարումների միատարր համակարգի լուծումների ցանկացած երկու հիմնարար համակարգեր համարժեք են և գծային անկախ: Հետևաբար, 1.12 առաջարկով նրանց շարքերը հավասար են։ Հետեւաբար, մեկում ներառված լուծումների քանակը հիմնարար համակարգ, հավասար է լուծումների ցանկացած այլ հիմնարար համակարգում ներառված լուծումների քանակին։

Եթե ​​(1) հավասարումների միատարր համակարգի հիմնական մատրիցը A-ն զրոյական է, ապա ցանկացած վեկտոր (1) համակարգի լուծումն է. այս դեպքում ցանկացած հավաքածու գծային է անկախ վեկտորներ-ը լուծումների հիմնարար համակարգ է: Եթե ​​A մատրիցի սյունակի աստիճանը հավասար է, ապա (1) համակարգը ունի միայն մեկ լուծում՝ զրո; հետևաբար, այս դեպքում հավասարումների համակարգը (1) չունի լուծումների հիմնարար համակարգ։

ԹԵՈՐԵՄ 3.12. Եթե ​​գծային հավասարումների միատարր համակարգի (1) հիմնական մատրիցայի աստիճանը փոքր է փոփոխականների թվից, ապա (1) համակարգը ունի հիմնարար լուծման համակարգ, որը բաղկացած է լուծումներից:

Ապացույց. Եթե ​​համասեռ համակարգի (1) հիմնական մատրիցայի A աստիճանը հավասար է զրոյի կամ , ապա վերևում ցույց տրվեց, որ թեորեմը ճշմարիտ է։ Հետևաբար, ստորև ենթադրվում է, որ ենթադրելով , մենք կենթադրենք, որ A մատրիցայի առաջին սյունակները գծային անկախ են: Այս դեպքում A մատրիցը տողով համարժեք է կրճատված աստիճանական մատրիցին, իսկ համակարգը (1) համարժեք է հետևյալ կրճատված հավասարումների աստիճանական համակարգին.

Հեշտ է ստուգել, ​​որ ցանկացած ազատ արժեքների համակարգ համակարգի փոփոխականներ(2) համապատասխանում է (2) համակարգի և, հետևաբար, (1) համակարգի մեկ և միայն մեկ լուծմանը: Մասնավորապես, միայն (2) և (1) համակարգի զրոյական լուծումն է համապատասխանում զրոյական արժեքների համակարգին։

Համակարգում (2) մենք կնշանակենք անվճարներից մեկը փոփոխականների արժեքը, հավասար է 1-ի, իսկ մնացած փոփոխականներն ունեն զրո արժեք։ Արդյունքում ստանում ենք (2) հավասարումների համակարգի լուծումները, որոնք գրում ենք հետևյալ C մատրիցի տողերի տեսքով.

Այս մատրիցայի շարքային համակարգը գծային անկախ է: Իրոք, հավասարությունից ցանկացած սկալերի համար

հետևում է հավասարությունը

և, հետևաբար, հավասարություն

Ապացուցենք, որ C մատրիցի տողերի համակարգի գծային միջակայքը համընկնում է (1) համակարգի բոլոր լուծումների բազմության հետ։

Համակարգի կամայական լուծում (1). Հետո վեկտորը

նույնպես լուծում է համակարգի (1), և

Կարող եք պատվիրել ձեր խնդրի մանրամասն լուծում!!!

Հասկանալու համար, թե դա ինչ է հիմնարար որոշումների համակարգկարող եք դիտել վիդեո ձեռնարկ նույն օրինակի համար՝ սեղմելով: Այժմ անցնենք ամբողջի նկարագրությանը անհրաժեշտ աշխատանք. Սա կօգնի ձեզ ավելի մանրամասն հասկանալ այս հարցի էությունը:

Ինչպե՞ս գտնել գծային հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը:

Օրինակ վերցնենք գծային հավասարումների հետևյալ համակարգը.

Եկեք գտնենք այս գծային հավասարումների համակարգի լուծումը: Սկզբից մենք պետք է դուրս գրել համակարգի գործակիցների մատրիցը:

Եկեք այս մատրիցը վերածենք եռանկյունի:Առաջին տողը գրում ենք առանց փոփոխությունների։ Եվ բոլոր այն տարրերը, որոնք $a_(11)$-ի տակ են, պետք է զրոյացվեն: $a_(21)$ տարրի փոխարեն զրո դարձնելու համար անհրաժեշտ է առաջինը հանել երկրորդ տողից, իսկ տարբերությունը գրել երկրորդ տողում։ $a_(31)$ տարրի փոխարեն զրո դարձնելու համար անհրաժեշտ է երրորդ տողից հանել առաջինը և երրորդ տողում գրել տարբերությունը։ $a_(41)$ տարրի փոխարեն զրո դարձնելու համար պետք է չորրորդ տողից հանել 2-ով բազմապատկած առաջինը և չորրորդ տողում գրել տարբերությունը։ $a_(31)$ տարրի փոխարեն զրո դարձնելու համար պետք է հինգերորդ տողից հանել 2-ով բազմապատկած առաջինը և հինգերորդ տողում գրել տարբերությունը։

Առաջին և երկրորդ տողերը վերաշարադրում ենք առանց փոփոխությունների։ Եվ բոլոր այն տարրերը, որոնք $a_(22)$-ի տակ են, պետք է զրոյացվեն: $a_(32)$ տարրի փոխարեն զրո դարձնելու համար պետք է երրորդ տողից հանել 2-ով բազմապատկած երկրորդը և երրորդ տողում գրել տարբերությունը։ $a_(42)$ տարրի փոխարեն զրո դարձնելու համար պետք է չորրորդ տողից հանել 2-ով բազմապատկած երկրորդը և չորրորդ տողում գրել տարբերությունը։ $a_(52)$ տարրի փոխարեն զրո դարձնելու համար պետք է հինգերորդ տողից հանել 3-ով բազմապատկած երկրորդը և հինգերորդ տողում գրել տարբերությունը։

Մենք դա տեսնում ենք վերջին երեք տողերը նույնն են, ուրեմն, եթե հանեք երրորդը չորրորդից և հինգերորդից, նրանք կդառնան զրո։

Ըստ այս մատրիցայի գրել նոր համակարգհավասարումներ.

Մենք տեսնում ենք, որ ունենք ընդամենը երեք գծային անկախ հավասարումներ և հինգ անհայտ, ուստի լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած կլինի երկու վեկտորից: Այսպիսով, մենք մենք պետք է վերջին երկու անհայտները տեղափոխենք աջ.

Այժմ մենք սկսում ենք արտահայտել ձախ կողմում գտնվող անհայտները աջ կողմում գտնվողների միջոցով: Սկսում ենք վերջին հավասարումից, սկզբում արտահայտում ենք $x_3$, ապա ստացված արդյունքը փոխարինում ենք երկրորդ հավասարման մեջ և արտահայտում $x_2$, իսկ հետո առաջին հավասարման մեջ և այստեղ արտահայտում ենք $x_1$։ Այսպիսով, մենք արտահայտեցինք ձախ կողմում գտնվող բոլոր անհայտները աջ կողմում գտնվող անհայտների միջոցով:

Այնուհետև $x_4$-ի և $x_5$-ի փոխարեն մենք կարող ենք փոխարինել ցանկացած թվեր և գտնել $x_1$, $x_2$ և $x_3$: Այս թվերից յուրաքանչյուր հինգը կլինեն մեր սկզբնական հավասարումների համակարգի արմատները: Գտնել այն վեկտորները, որոնք ներառված են FSRմենք պետք է փոխարինենք 1-ով $x_4$-ի փոխարեն, և փոխարինենք 0-ով $x_5$-ի փոխարեն, գտնենք $x_1$, $x_2$ և $x_3$, և ապա հակառակը՝ $x_4=0$ և $x_5=1$:

Մենք կշարունակենք հղկել մեր տեխնոլոգիան տարրական փոխակերպումներվրա գծային հավասարումների միատարր համակարգ.
Առաջին պարբերությունների հիման վրա նյութը կարող է ձանձրալի ու միջակ թվալ, բայց այս տպավորությունը խաբուսիկ է։ Տեխնիկական տեխնիկայի հետագա զարգացումից բացի, շատ կլինեն նոր տեղեկություններ, ուստի խնդրում ենք չանտեսել այս հոդվածի օրինակները։

Ի՞նչ է գծային հավասարումների միատարր համակարգը:

Պատասխանն ինքնին հուշում է. Գծային հավասարումների համակարգը միատարր է, եթե ազատ անդամը բոլորինհամակարգի հավասարումը զրոյական է։ Օրինակ:

Դա միանգամայն պարզ է միատարր համակարգը միշտ հետևողական է, այսինքն՝ միշտ լուծում ունի։ Եվ, առաջին հերթին, ձեր աչքը գրավում է այսպես կոչված չնչինլուծում . Չնչին, նրանց համար, ովքեր ընդհանրապես չեն հասկանում ածականի իմաստը, նշանակում է առանց ցուցամոլության: Ոչ ակադեմիական, իհարկե, բայց հասկանալի =) ...Ինչու ծեծել բուշի շուրջ, եկեք պարզենք, թե արդյոք այս համակարգը այլ լուծումներ ունի.

Օրինակ 1

Լուծումմիատարր համակարգ լուծելու համար անհրաժեշտ է գրել համակարգի մատրիցաև տարրական փոխակերպումների օգնությամբ այն հասցրու փուլային ձևի։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այստեղ կարիք չկա գրել ուղղահայաց բարը և ազատ տերմինների զրոյական սյունակը. ի վերջո, անկախ նրանից, թե ինչ եք անում զրոների հետ, դրանք կմնան զրո.

(1) Առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին՝ բազմապատկելով –2-ով: Առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –3-ով:

(2) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով:

Երրորդ տողը 3-ի բաժանելն այնքան էլ իմաստ չունի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է համարժեք միատարր համակարգ , և, դիմելով հակադարձ կաթվածԳաուսի մեթոդով, հեշտ է ստուգել, ​​որ լուծումը եզակի է:

Պատասխանել:

Ձևակերպենք ակնհայտ չափանիշգծային հավասարումների միատարր համակարգ ունի պարզապես չնչին լուծում, Եթե համակարգի մատրիցային դասակարգում(Վ այս դեպքում 3) հավասար է փոփոխականների թվին (այս դեպքում՝ 3 հատ):

Եկեք տաքանանք և կարգավորենք մեր ռադիոն տարրական փոխակերպումների ալիքին.

Օրինակ 2

Լուծե՛ք գծային հավասարումների միատարր համակարգ

Ալգորիթմը վերջնականապես համախմբելու համար եկեք վերլուծենք վերջնական առաջադրանքը.

Օրինակ 7

Լուծե՛ք միատարր համակարգ, պատասխանը գրե՛ք վեկտորի տեսքով:

Լուծումեկեք գրենք համակարգի մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

(1) Առաջին տողի նշանը փոխված է. Եվս մեկ անգամ ուշադրություն եմ հրավիրում մի տեխնիկայի վրա, որը բազմիցս հանդիպել է, որը թույլ է տալիս զգալիորեն պարզեցնել հաջորդ գործողությունը:

(1) Առաջին տողը ավելացվել է 2-րդ և 3-րդ տողերին: Առաջին տողը՝ 2-ով բազմապատկված, ավելացվել է 4-րդ տողին։

(3) Վերջին երեք տողերը համամասնական են, դրանցից երկուսը հանվել են:

Արդյունքում ստացվում է ստանդարտ քայլի մատրիցա, և լուծումը շարունակվում է խճճված ուղու երկայնքով.

- հիմնական փոփոխականներ;
- անվճար փոփոխականներ:

Եկեք արտահայտենք հիմնական փոփոխականները ազատ փոփոխականներով: 2-րդ հավասարումից.

- փոխարինել 1-ին հավասարման մեջ.

Այսպիսով, ընդհանուր որոշում:

Քանի որ դիտարկվող օրինակում կան երեք ազատ փոփոխականներ, հիմնարար համակարգը պարունակում է երեք վեկտոր։

Եկեք փոխարինենք արժեքների եռակի ընդհանուր լուծման մեջ և ստացիր վեկտոր, որի կոորդինատները բավարարում են միատարր համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը: Եվ կրկին, կրկնում եմ, որ խիստ նպատակահարմար է ստուգել յուրաքանչյուր ստացված վեկտորը, դա շատ ժամանակ չի խլի, բայց այն լիովին կպաշտպանի ձեզ սխալներից:

Արժեքների եռակի համար գտնել վեկտորը

Եվ վերջապես երեքի համար մենք ստանում ենք երրորդ վեկտորը.

Պատասխանել, Որտեղ

Նրանք, ովքեր ցանկանում են խուսափել կոտորակային արժեքներից, կարող են դիտարկել եռյակներ և ստանալ պատասխանը համարժեք ձևով.

Խոսելով կոտորակների մասին. Դիտարկենք խնդրի մեջ ստացված մատրիցը և եկեք ինքներս մեզ հարցնենք՝ հնարավո՞ր է պարզեցնել հետագա լուծումը։ Ի վերջո, այստեղ մենք սկզբում արտահայտեցինք հիմնական փոփոխականը կոտորակների միջոցով, հետո կոտորակների միջոցով հիմնական փոփոխականը, և, պետք է ասեմ, որ այս գործընթացը ամենապարզն ու ոչ ամենահաճելին էր։

Երկրորդ լուծում:

Գաղափարը փորձելն է ընտրել այլ հիմքի փոփոխականներ. Եկեք նայենք մատրիցին և երրորդ սյունակում նկատենք երկու մեկը: Ուրեմն ինչո՞ւ վերևում զրո չունենալ: Կատարենք ևս մեկ տարրական փոխակերպում.

Գծային հավասարումների համակարգ, որտեղ բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի, կոչվում է միատարր :

Ցանկացած միատարր համակարգ միշտ հետևողական է, քանի որ միշտ էլ եղել է զրո (չնչին ) լուծում. Հարց է առաջանում, թե ինչ պայմաններում միատարր համակարգը կունենա ոչ տրիվիալ լուծում:

Թեորեմ 5.2.Միատարր համակարգը ունի ոչ տրիվիալ լուծում, եթե և միայն այն դեպքում, երբ հիմքում ընկած մատրիցայի աստիճանը փոքր է նրա անհայտների թվից:

Հետևանք. Քառակուսի միատարր համակարգը ունի ոչ տրիվիալ լուծում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի:

Օրինակ 5.6.Որոշեք l պարամետրի արժեքները, որոնց դեպքում համակարգն ունի ոչ տրիվիալ լուծումներ և գտեք այս լուծումները.

Լուծում. Այս համակարգը կունենա ոչ տրիվիալ լուծում, երբ հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար է զրոյի.

Այսպիսով, համակարգը ոչ տրիվիալ է, երբ l=3 կամ l=2: l=3-ի դեպքում համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը 1 է: Այնուհետև թողնելով միայն մեկ հավասարում և ենթադրելով, որ y=աԵվ զ=բ, ստանում ենք x=b-a, այսինքն.

l=2-ի համար համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը 2 է: Այնուհետև որպես հիմք ընտրելով փոքրը.

մենք ստանում ենք պարզեցված համակարգ

Այստեղից մենք գտնում ենք, որ x=z/4, y=z/2. Հավատալով զ=4ա, ստանում ենք

Միատարր համակարգի բոլոր լուծումների հավաքածուն ունի շատ կարևոր գծային սեփականություն : եթե X սյունակները 1 և X 2 - լուծումներ միատարր համակարգի AX = 0, ապա դրանց ցանկացած գծային համակցությունա X 1 + բ X 2 կլինի նաև այս համակարգի լուծումը. Իսկապես, քանի որ ԿԱՑԻՆ 1 = 0 Եվ ԿԱՑԻՆ 2 = 0 , Դա Ա(ա X 1 + բ X 2) = ա ԿԱՑԻՆ 1 + բ ԿԱՑԻՆ 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Այս հատկության շնորհիվ է, որ եթե գծային համակարգն ունի մեկից ավելի լուծում, ապա այդ լուծումների անսահման թիվը կլինի:

Գծային անկախ սյունակներ Ե 1 , Ե 2 , Եկ, որոնք միատարր համակարգի լուծույթներ են, կոչվում են լուծումների հիմնարար համակարգ գծային հավասարումների միատարր համակարգ, եթե այս համակարգի ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել որպես այս սյունակների գծային համակցություն.

Եթե ​​միատարր համակարգն ունի nփոփոխականներ, և համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է r, Դա կ = n-r.

Օրինակ 5.7.Գտեք լուծումների հիմնական համակարգը հաջորդ համակարգըգծային հավասարումներ.

Լուծում. Գտնենք համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը.

Այսպիսով, այս հավասարումների համակարգի լուծումների բազմությունը կազմում է չափումների գծային ենթատարածություն n-r= 5 - 2 = 3. Եկեք որպես հիմք ընտրենք փոքրը

.

Այնուհետև, թողնելով միայն հիմնական հավասարումները (մնացածը կլինի այս հավասարումների գծային համակցությունը) և հիմնական փոփոխականները (մնացածը, այսպես կոչված, ազատ փոփոխականները տեղափոխում ենք աջ), մենք ստանում ենք հավասարումների պարզեցված համակարգ.

Հավատալով x 3 = ա, x 4 = բ, x 5 = գ, գտնում ենք

, .

Հավատալով ա= 1, b = c= 0, մենք ստանում ենք առաջին հիմնական լուծումը. հավատալով բ= 1, a = c= 0, մենք ստանում ենք երկրորդ հիմնական լուծումը. հավատալով գ= 1, ա = բ= 0, մենք ստանում ենք երրորդ հիմնական լուծումը: Արդյունքում լուծումների նորմալ հիմնարար համակարգը ձև կընդունի

Օգտագործելով հիմնարար համակարգը, միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել այսպես

X = աԷ 1 + լինել 2 + cE 3. ա

Եկեք նշենք գծային հավասարումների անհամասեռ համակարգի լուծումների որոշ հատկություններ AX=Bև դրանց կապը համապատասխան միատարր հավասարումների համակարգի հետ AX = 0:

Անհամասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումհավասար է AX = 0 համապատասխան համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծման և անհամասեռ համակարգի կամայական որոշակի լուծման գումարին.. Իսկապես, թող Յ 0-ը անհամասեռ համակարգի կամայական որոշակի լուծում է, այսինքն. ԱՅ 0 = Բ, Եվ Յ- տարասեռ համակարգի ընդհանուր լուծում, այսինքն. ԱՅ=Բ. Մեկ հավասարությունը մյուսից հանելով՝ ստանում ենք
Ա(Ե-Յ 0) = 0, այսինքն. Ե-Յ 0-ը համապատասխան համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումն է ԿԱՑԻՆ=0. Հետևաբար, Ե-Յ 0 = X, կամ Y=Y 0 + X. Ք.Ե.Դ.

Թող անհամասեռ համակարգը ունենա AX = B ձև 1 + Բ 2 . Այնուհետև նման համակարգի ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել X = X 1 + X 2 , որտեղ AX 1 = Բ 1 եւ AX 2 = Բ 2. Այս հատկությունն արտահայտում է ցանկացածի համընդհանուր սեփականությունը գծային համակարգեր(հանրահաշվական, դիֆերենցիալ, ֆունկցիոնալ և այլն): Ֆիզիկայի մեջ այս հատկությունը կոչվում է սուպերպոզիցիոն սկզբունքըէլեկտրատեխնիկայում և ռադիոտեխնիկայում. սուպերպոզիցիայի սկզբունքը. Օրինակ, գծային էլեկտրական սխեմաների տեսության մեջ ցանկացած շղթայի հոսանքը կարելի է ստանալ որպես էներգիայի յուրաքանչյուր աղբյուրի կողմից առանձին-առանձին առաջացած հոսանքների հանրահաշվական գումար:

Միատարր համակարգը միշտ հետևողական է և ունի չնչին լուծում
. Որպեսզի ոչ տրիվիալ լուծում գոյություն ունենա, անհրաժեշտ է, որ մատրիցայի աստիճանը պակաս էր անհայտների թվից.

.

Լուծումների հիմնարար համակարգ միատարր համակարգ
կոչել լուծումների համակարգ սյունակների վեկտորների տեսքով
, որոնք համապատասխանում են կանոնական հիմքին, այսինքն. հիմք, որի վրա կամայական հաստատուններ
հերթափոխով հավասարվում են մեկին, իսկ մնացածը՝ զրո:

Այնուհետև համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումն ունի ձև.

Որտեղ
- կամայական հաստատուններ. Այլ կերպ ասած, ընդհանուր լուծումը լուծումների հիմնարար համակարգի գծային համակցությունն է։

Այսպիսով, հիմնական լուծումները կարելի է ստանալ ընդհանուր լուծումից, եթե ազատ անհայտներին հերթով տրվի մեկի արժեքը՝ բոլոր մյուսները հավասարեցնելով զրոյի։

Օրինակ. Եկեք համակարգի լուծումը գտնենք

Եկեք ընդունենք, ապա մենք լուծում ենք ստանում ձևով.

Այժմ կառուցենք լուծումների հիմնարար համակարգ.

.

Ընդհանուր լուծումը կգրվի այսպես.

Միատարր գծային հավասարումների համակարգի լուծումներն ունեն հետևյալ հատկությունները.

Այլ կերպ ասած, միատարր համակարգի լուծումների ցանկացած գծային համակցություն կրկին լուծում է:

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում Գաուսի մեթոդով

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծումը մի քանի դար շարունակ հետաքրքրել է մաթեմատիկոսներին: Առաջին արդյունքները ստացվել են 18-րդ դարում։ 1750 թվականին Գ. Կրամերը (1704–1752) հրապարակել է իր աշխատությունները քառակուսի մատրիցների որոշիչների մասին և առաջարկել հակադարձ մատրիցը գտնելու ալգորիթմ։ 1809 թվականին Գաուսը ուրվագծեց լուծման նոր մեթոդ, որը հայտնի է որպես վերացման մեթոդ։

Գաուսի մեթոդը կամ անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդը բաղկացած է նրանից, որ տարրական փոխակերպումների միջոցով հավասարումների համակարգը վերածվում է աստիճանի (կամ եռանկյունաձև) ձևի համարժեք համակարգի: Նման համակարգերը հնարավորություն են տալիս հաջորդաբար գտնել բոլոր անհայտները որոշակի հերթականությամբ։

Ենթադրենք, որ համակարգում (1)
(ինչը միշտ հնարավոր է):

(1)

Առաջին հավասարումը մեկ առ մեկ բազմապատկելով այսպես կոչված հարմար թվեր

և համակարգի համապատասխան հավասարումների հետ բազմապատկման արդյունքը գումարելով՝ մենք ստանում ենք համարժեք համակարգ, որտեղ բոլոր հավասարումներում, բացի առաջինից, անհայտ չի լինի. X 1

(2)

Այժմ (2) համակարգի երկրորդ հավասարումը բազմապատկենք համապատասխան թվերով՝ ենթադրելով, որ դա

,

և ավելացնելով այն ստորինների հետ՝ վերացնում ենք փոփոխականը բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երրորդից։

Շարունակելով այս գործընթացը, հետո
քայլ մենք ստանում ենք.

(3)

Եթե ​​թվերից գոնե մեկը
հավասար չէ զրոյի, ապա համապատասխան հավասարությունը հակասական է, իսկ (1) համակարգը՝ անհամապատասխան: Ընդհակառակը, ցանկացած համատեղ թվային համակարգի համար
հավասար են զրոյի: Թիվ ոչ այլ ինչ է, քան համակարգի մատրիցայի աստիճանը (1):

Անցումը (1) համակարգից (3) կոչվում է ուղիղ առաջ Գաուսի մեթոդ և գտնել անհայտները (3) -ից հակառակ ուղղությամբ .

Մեկնաբանություն Ավելի հարմար է փոխակերպումներ իրականացնել ոչ թե բուն հավասարումներով, այլ համակարգի ընդլայնված մատրիցով (1):

Օրինակ. Եկեք համակարգի լուծումը գտնենք

.

Գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը.

.

Առաջինը գումարենք 2,3,4 տողերին՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով (-2), (-3), (-2)-ով.

.

Եկեք փոխանակենք 2-րդ և 3-րդ տողերը, այնուհետև ստացված մատրիցում ավելացնենք 2-րդ տողը 4-րդ տողին՝ բազմապատկելով :

.

Ավելացնել տող 4-ին տող 3 բազմապատկած
:

.

Ակնհայտ է, որ
, հետևաբար, համակարգը հետևողական է։ Ստացված հավասարումների համակարգից

լուծումը գտնում ենք հակադարձ փոխարինմամբ.

,
,
,
.

Օրինակ 2.Գտեք համակարգի լուծում.

.

Ակնհայտ է, որ համակարգը անհետևողական է, քանի որ
, Ա
.

Գաուսի մեթոդի առավելությունները :

Ավելի քիչ աշխատատար, քան Քրամերի մեթոդը:

Միանշանակորեն հաստատում է համակարգի համատեղելիությունը և թույլ է տալիս լուծում գտնել:

Հնարավորություն է տալիս որոշել ցանկացած մատրիցների աստիճանը: