Տեսեք, թե ինչ է «ՊԱՅՄԱՆԱԿԱՆ ԷՔՐԵՄ»-ը այլ բառարաններում.

Հարաբերական ծայրահեղություն, f (x1,..., xn + m) ֆունկցիայի ծայրահեղություն n + m փոփոխականներից այն ենթադրությամբ, որ այս փոփոխականները նույնպես ենթակա են m կապի հավասարումների (պայմանների). φk (x1,..., xn): + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (տես Ծայրահեղություն):… …

Թող կոմպլեկտը բաց լինի, ֆունկցիաները տրվեն։ Թող լինի: Այս հավասարումները կոչվում են սահմանափակման հավասարումներ (տերմինաբանությունը փոխառված է մեխանիկայից): Թող ֆունկցիա սահմանվի Գ... Վիքիպեդիայում

- (լատիներեն ծայրահեղ ծայրահեղությունից) f (x) շարունակական ֆունկցիայի արժեքը, որը կա՛մ առավելագույնն է, կա՛մ նվազագույնը: Ավելի ճիշտ՝ f (x) շարունակական ֆունկցիան x0 կետում ունի առավելագույն (նվազագույն) x0-ում, եթե կա այս կետի հարևանությունը (x0 + δ, x0 δ),... ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

Այս տերմինը այլ իմաստներ ունի, տես Extremum (իմաստներ): Էքստրեմումը (լատ. extremum ծայրահեղ) մաթեմատիկայում ֆունկցիայի առավելագույն կամ նվազագույն արժեքն է տվյալ բազմության վրա։ Այն կետը, որտեղ հասնում է ծայրահեղությանը... ... Վիքիպեդիա

Գործառույթը, որն օգտագործվում է խնդիրների լուծման ժամանակ պայմանական ծայրահեղբազմաթիվ փոփոխականների և ֆունկցիոնալների գործառույթներ: L. f.-ի օգնությամբ: արձանագրվում են անհրաժեշտ պայմաններըօպտիմալություն պայմանական էքստրեմումի խնդիրներում: Այս դեպքում պետք չէ արտահայտել միայն փոփոխականներ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Մաթեմատիկական դիսցիպլին նվիրված է փոփոխականների ֆունկցիոնալների ծայրահեղ (ամենամեծ և ամենափոքր) արժեքները գտնելուն, որոնք կախված են մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաների ընտրությունից: մեջ և. այդ գլխի բնական զարգացումն է... ... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

Փոփոխականներ, որոնց օգնությամբ կառուցվում է Լագրանժի ֆունկցիան պայմանական էքստրեմումով խնդիրներ ուսումնասիրելիս։ Գծային մեթոդների և Լագրանժի ֆունկցիայի օգտագործումը թույլ է տալիս միատեսակ ձևով ստանալ անհրաժեշտ օպտիմալության պայմաններ պայմանական էքստրեմում ներառող խնդիրներում... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Վարիացիաների հաշվարկը ֆունկցիոնալ վերլուծության մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է ֆունկցիոնալների տատանումները։ Վարիացիաների հաշվում ամենաբնորոշ խնդիրն այն ֆունկցիան գտնելն է, որի վրա տվյալ ֆունկցիոնալը հասնում է... ... Վիքիպեդիա

Մաթեմատիկայի մի ճյուղ, որը նվիրված է ֆունկցիոնալների ծայրահեղությունների հայտնաբերման մեթոդների ուսումնասիրությանը, որոնք կախված են մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաների ընտրությունից՝ դրանց վրա դրված տարբեր տեսակի սահմանափակումներով (փուլ, դիֆերենցիալ, ինտեգրալ և այլն): Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Վարիացիաների հաշվարկը մաթեմատիկայի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է ֆունկցիոնալների տատանումները։ Վարիացիաների հաշվում ամենատիպիկ խնդիրը գտնելն է այն ֆունկցիան, որի դեպքում ֆունկցիոնալը հասնում է ծայրահեղ արժեքի: Մեթոդներ... ...Վիքիպեդիա

Գրքեր

• Դասախոսություններ վերահսկողության տեսության վերաբերյալ. Ծավալ 2. Օպտիմալ կառավարում, V. Boss. Դիտարկված են օպտիմալ կառավարման տեսության դասական խնդիրները։ Ներկայացումը սկսվում է վերջավոր տարածություններում օպտիմալացման հիմնական հասկացություններից՝ պայմանական և անվերապահ էքստրեմում,...

Օրինակ

Գտեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը՝ պայմանով XԵվ ժամըկապված են առնչությամբ. Երկրաչափական առումով խնդիրը նշանակում է հետևյալը՝ էլիպսի վրա
Ինքնաթիռ
.

Այս խնդիրը կարելի է լուծել այսպես՝ հավասարումից
մենք գտնում ենք
X:

պայմանով, որ
, կրճատվել է միջակայքում մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու խնդրին
.

Երկրաչափական առումով խնդիրը նշանակում է հետևյալը՝ էլիպսի վրա , ստացվել է մխոցը հատելով
Ինքնաթիռ
, անհրաժեշտ է գտնել հավելվածի առավելագույն կամ նվազագույն արժեքը (նկ.9): Այս խնդիրը կարելի է լուծել այսպես՝ հավասարումից
մենք գտնում ենք
. y-ի գտնված արժեքը փոխարինելով հարթության հավասարման մեջ՝ ստանում ենք մեկ փոփոխականի ֆունկցիա X:

Այսպիսով, ֆունկցիայի էքստրեմումը գտնելու խնդիրը
պայմանով, որ
, կրճատվել է մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղությունը ինտերվալի վրա գտնելու խնդրին։

Այսպիսով, պայմանական էքստրեմում գտնելու խնդիրը– սա օբյեկտիվ ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու խնդիրն է
, պայմանով, որ փոփոխականները XԵվ ժամըենթակա է սահմանափակման
, կանչեց կապի հավասարումը.

Ասենք, որ կետ
, բավարարելով միացման հավասարումը, տեղական պայմանական առավելագույնի կետն է (նվազագույն), եթե կա հարևանություն
այնպիսին, որ ցանկացած միավորի համար
, որի կոորդինատները բավարարում են կապի հավասարումը, անհավասարությունը բավարարվում է։

Եթե ​​միացման հավասարումից կարելի է գտնել արտահայտություն ժամը, ապա այս արտահայտությունը փոխարինելով սկզբնական ֆունկցիայի մեջ՝ վերջինս վերածում ենք մեկ փոփոխականի կոմպլեքս ֆունկցիայի X.

Պայմանական էքստրեմի խնդրի լուծման ընդհանուր մեթոդն է Լագրանժի բազմապատկիչ մեթոդ. Եկեք ստեղծենք օժանդակ ֆունկցիա, որտեղ ─ որոշ թիվ: Այս ֆունկցիան կոչվում է Լագրանժի ֆունկցիա, Ա ─ Lagrange բազմապատկիչ: Այսպիսով, պայմանական էքստրեմում գտնելու խնդիրը կրճատվել է մինչև Լագրանժի ֆունկցիայի համար տեղական ծայրահեղ կետեր գտնելը։ Հնարավոր ծայրահեղ կետերը գտնելու համար անհրաժեշտ է լուծել 3 հավասարումների համակարգ երեք անհայտներով x, yԵվ.

Այնուհետև դուք պետք է օգտագործեք հետևյալ բավարար պայմանը ծայրահեղության համար.

ԹԵՈՐԵՄ. Թող կետը լինի Լագրանժի ֆունկցիայի հնարավոր ծայրահեղ կետ: Ենթադրենք, որ կետի մոտակայքում
կան երկրորդ կարգի ֆունկցիաների շարունակական մասնակի ածանցյալներ Եվ . Նշենք

Հետո եթե
, Դա
─ ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղ կետ
միացման հավասարման հետ
այս դեպքում, եթե
, Դա
─ պայմանական նվազագույն միավոր, եթե
, Դա
─ պայմանական առավելագույն միավոր.

§8. Գրադիենտ և ուղղորդված ածանցյալ

Թող գործառույթը
որոշված ​​(բաց) տարածաշրջանում։ Հաշվի առեք ցանկացած կետ
այս տարածքը և ցանկացած ուղղորդված ուղիղ գիծ (առանցք) , անցնելով այս կետով (նկ. 1): Թող
- այս առանցքի մեկ այլ կետ,
- միջև ընկած հատվածի երկարությունը
Եվ
, վերցված գումարած նշանով, եթե ուղղությունը
համընկնում է առանցքի ուղղության հետ , և մինուս նշանով, եթե դրանց ուղղությունները հակառակ են։

Թող
մոտենում է անորոշ ժամանակով
. Սահման

կանչեց ֆունկցիայի ածանցյալ
նկատմամբ (կամ առանցքի երկայնքով ) և նշվում է հետևյալ կերպ.

.

Այս ածանցյալը բնութագրում է ֆունկցիայի «փոփոխության արագությունը» կետում
նկատմամբ . Մասնավորապես, սովորական մասնակի ածանցյալները ,կարելի է համարել նաև որպես ածանցյալներ «ուղղության նկատմամբ»։

Այժմ ենթադրենք, որ ֆունկցիան
ունի շարունակական մասնակի ածանցյալներ դիտարկվող տարածաշրջանում: Թող առանցքը կոորդինատային առանցքներով անկյուններ է կազմում
Եվ . Կատարված ենթադրությունների համաձայն՝ ուղղորդված ածանցյալ գոյություն ունի և արտահայտվում է բանաձևով

.

Եթե ​​վեկտորը
տրված է իր կոորդինատներով
, ապա ֆունկցիայի ածանցյալը
վեկտորի ուղղությամբ
կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

.

Վեկտոր կոորդինատներով
կանչեց գրադիենտ վեկտորգործառույթները
կետում
. Գրադիենտ վեկտորը ցույց է տալիս տվյալ կետում ֆունկցիայի ամենաարագ աճի ուղղությունը:

Օրինակ

Տրվում է ֆունկցիա, կետ A(1, 1) և վեկտոր
. Գտե՛ք՝ 1)grad z A կետում; 2) ածանցյալը A կետում վեկտորի ուղղությամբ .

Տրված ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները մի կետում
:

;
.

Այնուհետև այս կետում ֆունկցիայի գրադիենտ վեկտորը հետևյալն է.
. Գրադիենտ վեկտորը կարող է գրվել նաև վեկտորի տարրալուծման միջոցով Եվ :

. Ֆունկցիայի ածանցյալ վեկտորի ուղղությամբ :

Այսպիսով,
,
.◄

Պայմանական էքստրեմում.

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղություն

Նվազագույն քառակուսի մեթոդ.

FNP-ի տեղական ծայրահեղություն

Թող ֆունկցիան տրվի Եվ= զ(P), РÎDÌR nև թողեք P 0 կետը ( Ա 1 , Ա 2 , ..., a p) –ներքինհավաքածուի կետ Դ.

Սահմանում 9.4.

1) P 0 կետը կոչվում է առավելագույն միավոր գործառույթները Եվ= զ(P), եթե այս կետի U(P 0) М D հարևանություն կա այնպես, որ ցանկացած P( կետի համար X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , պայմանը բավարարված է զ(P)£ զ(P 0) . Իմաստը զ(P 0) ֆունկցիան առավելագույն կետում կոչվում է գործառույթի առավելագույնը և նշանակված է զ(P0) = առավելագույնը զ(P) .

2) P 0 կետը կոչվում է նվազագույն միավոր գործառույթները Եվ= զ(P), եթե այս կետի U(P 0)Ì D այնպիսի հարևանություն կա, որ ցանկացած P( կետի համար X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , պայմանը բավարարված է զ(P)³ զ(P 0) . Իմաստը զ(P 0) ֆունկցիան նվազագույն կետում կոչվում է նվազագույն գործառույթ և նշանակված է զ(P 0) = min զ(P).

Ֆունկցիայի նվազագույն և առավելագույն կետերը կոչվում են ծայրահեղ միավորներ, ծայրահեղ կետերում ֆունկցիայի արժեքները կոչվում են ֆունկցիայի ծայրահեղություն:

Ինչպես հետևում է սահմանումից՝ անհավասարությունները զ(P)£ զ(P 0), զ(P)³ զ(P 0) պետք է բավարարվի միայն P 0 կետի որոշակի հարևանությամբ, և ոչ թե ֆունկցիայի սահմանման ողջ տիրույթում, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան կարող է ունենալ միևնույն տիպի մի քանի ծայրահեղություններ (մի քանի նվազագույն, մի քանի առավելագույն) . Հետեւաբար, վերը սահմանված ծայրահեղությունները կոչվում են տեղական(տեղական) ծայրահեղություններ.

Թեորեմ 9.1 (անհրաժեշտ պայման FNP-ի ծայրահեղության համար)

Եթե ​​ֆունկցիան Եվ= զ(X 1 , X 2 , ..., x n) ունի ծայրահեղություն P 0 կետում, ապա նրա առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներն այս կետում կամ հավասար են զրոյի, կամ գոյություն չունեն։

Ապացույց.Թողեք P 0 կետում ( Ա 1 , Ա 2 , ..., a p) գործառույթ Եվ= զ(P) ունի ծայրահեղություն, օրինակ, առավելագույնը: Եկեք շտկենք փաստարկները X 2 , ..., x n, դնելով X 2 =Ա 2 ,..., x n = a p. Հետո Եվ= զ(P) = զ 1 ((X 1 , Ա 2 , ..., a p) մեկ փոփոխականի ֆունկցիա է X 1 . Քանի որ այս ֆունկցիան ունի X 1 = Ա 1 էքստրեմում (առավելագույնը), ապա զ 1 ¢=0 կամ գոյություն չունի, երբ X 1 =Ա 1 (անհրաժեշտ պայման մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղության գոյության համար): Բայց դա նշանակում է կամ գոյություն չունի P 0 կետում՝ ծայրահեղ կետում: Նմանապես, մենք կարող ենք դիտարկել մասնակի ածանցյալներ այլ փոփոխականների նկատմամբ: CTD.

Ֆունկցիայի տիրույթի այն կետերը, որոնցում առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները հավասար են զրոյի կամ գոյություն չունեն, կոչվում են. կրիտիկական կետեր այս գործառույթը:

Ինչպես հետևում է 9.1 թեորեմից, FNP-ի ծայրահեղ կետերը պետք է փնտրել ֆունկցիայի կրիտիկական կետերի շարքում: Բայց, ինչ վերաբերում է մեկ փոփոխականի ֆունկցիային, ապա ամեն կրիտիկական կետ չէ, որ ծայրահեղ կետ է:

Թեորեմ 9.2 (բավարար պայման FNP-ի ծայրահեղության համար)

Թող P 0 լինի ֆունկցիայի կրիտիկական կետը Եվ= զ(P) և այս ֆունկցիայի երկրորդ կարգի դիֆերենցիալն է: Հետո

եւ եթե դ 2 u(P 0) > 0 ժամը , ապա P 0 կետ է նվազագույնըգործառույթները Եվ= զ(P);

բ) եթե դ 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка առավելագույնըգործառույթները Եվ= զ(P);

գ) եթե դ 2 u(P 0) նշանով սահմանված չէ, ապա P 0-ը ծայրահեղ կետ չէ.

Այս թեորեմը մենք կդիտարկենք առանց ապացույցի:

Նշենք, որ թեորեմը չի դիտարկում այն ​​դեպքը, երբ դ 2 u(P 0) = 0 կամ գոյություն չունի: Սա նշանակում է, որ նման պայմաններում P 0 կետում ծայրահեղության առկայության հարցը մնում է բաց. լրացուցիչ հետազոտություն, օրինակ՝ ուսումնասիրելով ֆունկցիայի աճն այս կետում։

Մաթեմատիկայի ավելի մանրամասն դասընթացներում ապացուցված է, որ, մասնավորապես, ֆունկցիայի համար z = f(x,y) երկու փոփոխականների, որոնց երկրորդ կարգի դիֆերենցիալը ձևի գումարն է

P 0 կրիտիկական կետում էքստրեմումի առկայության ուսումնասիրությունը կարելի է պարզեցնել:

Նշանակենք , , . Կազմենք որոշիչ

.

Պարզվում է:

դ 2 զ> 0 P 0 կետում, այսինքն. P 0 – նվազագույն միավոր, եթե Ա(P 0) > 0 և D (P 0) > 0;

դ 2 զ < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если Ա(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

եթե D (P 0)< 0, то դ 2 զ P 0 կետի շրջակայքում այն ​​փոխում է նշանը և P 0 կետում ծայրահեղություն չկա.

եթե D(Р 0) = 0, ապա պահանջվում են նաև Р 0 կրիտիկական կետի շրջակայքում ֆունկցիայի լրացուցիչ ուսումնասիրություններ։

Այսպիսով, ֆունկցիայի համար z = f(x,y) երկու փոփոխականներից մենք ունենք հետևյալ ալգորիթմը (եկեք այն անվանենք «ալգորիթմ D») ծայրահեղություն գտնելու համար.

1) Գտեք սահմանման տիրույթը D( զ) գործառույթներ.

2) Գտեք կրիտիկական կետեր, այսինքն. միավորներ D-ից ( զ), որոնց համար և հավասար են զրոյի կամ գոյություն չունեն։

3) յուրաքանչյուր կրիտիկական կետում P 0 ստուգեք բավարար պայմաններծայրահեղություն. Դա անելու համար գտեք , որտեղ , , և հաշվարկել D(P 0) և Ա(P 0): Այնուհետև:

եթե D(P 0) >0, ապա P 0 կետում կա ծայրահեղություն, և եթե Ա(P 0) > 0 – ապա սա նվազագույնն է, և եթե Ա(P 0)< 0 – максимум;

եթե D (P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Եթե ​​D(P 0) = 0, ապա լրացուցիչ հետազոտություն է անհրաժեշտ:

4) Գտնված ծայրամասային կետերում հաշվարկե՛ք ֆունկցիայի արժեքը.

Օրինակ 1.

Գտեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը զ = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Լուծում.Այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ կոորդինատային հարթությունն է։ Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը:

, , Þ P 0 (0,0) , .

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք բավարարված են էքստրեմի համար բավարար պայմանները։ Մենք կգտնենք

6X, = -3, = 48ժամըԵվ = 288xy – 9.

Այնուհետեւ D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – Р 1 կետում կա էքստրեմում, և քանի որ. Ա(P 1) = 3 >0, ապա այս ծայրահեղությունը նվազագույն է: Այսպիսով, մին զ=զ(P 1) = .

Օրինակ 2.

Գտեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը .

Լուծում: D ( զ) =R 2. Կրիտիկական կետեր. ; գոյություն չունի, երբ ժամը= 0, ինչը նշանակում է, որ P 0 (0,0) այս ֆունկցիայի կրիտիկական կետն է:

2, = 0, = , = , բայց D(P 0) սահմանված չէ, ուստի նրա նշանն ուսումնասիրելը անհնար է։

Նույն պատճառով անհնար է ուղղակիորեն կիրառել 9.2 թեորեմը. դ 2 զայս պահին գոյություն չունի:

Դիտարկենք ֆունկցիայի աճը զ(x, y) P 0 կետում: Եթե ​​Դ զ =զ(P) - զ(P 0)>0 "P, ապա P 0-ը նվազագույն կետն է, բայց եթե D զ < 0, то Р 0 – точка максимума.

Մեր դեպքում ունենք

Դ զ = զ(x, y) – զ(0, 0) = զ(0+D x,0+D y) – զ(0, 0) = .

Դ x= 0,1 և Դ y= -0,008 ստանում ենք Դ զ = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 և Դ y= 0,001 Դ զ= 0.01 + 0.1 > 0, այսինքն. P 0 կետի շրջակայքում D ոչ մի պայման չի բավարարվում զ <0 (т.е. զ(x, y) < զ(0, 0) և, հետևաբար, P 0-ը առավելագույն միավոր չէ), ոչ էլ պայման D զ>0 (այսինքն. զ(x, y) > զ(0, 0), ապա P 0-ը նվազագույն միավոր չէ): Այսպիսով, ծայրահեղության սահմանմամբ, այս գործառույթըծայրահեղություններ չունի.

Պայմանական էքստրեմում.

Ֆունկցիայի դիտարկվող ծայրահեղությունը կոչվում է անվերապահ, քանի որ ֆունկցիայի արգումենտների վրա սահմանափակումներ (պայմաններ) չեն դրվում։

Սահմանում 9.2.Ֆունկցիայի ծայրահեղություն Եվ = զ(X 1 , X 2 , ... , x n), գտնվել է պայմանով, որ դրա փաստարկները X 1 , X 2 , ... , x nբավարարել j 1 հավասարումները ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, ժ Տ(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, որտեղ P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( զ), կանչեց պայմանական ծայրահեղություն .

Հավասարումներ ժ կ(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , կ = 1, 2,..., մ, կոչվում են կապի հավասարումներ.

Եկեք նայենք գործառույթներին z = f(x,y) երկու փոփոխական. Եթե ​​կապի հավասարումը մեկն է, այսինքն. , ապա պայմանական ծայրահեղություն գտնելը նշանակում է, որ ծայրահեղությունը որոնվում է ոչ թե ֆունկցիայի սահմանման ողջ տիրույթում, այլ D(-ում գտնվող որոշ կորի վրա։ զ) (այսինքն՝ մակերեսի ամենաբարձր կամ ամենացածր կետերը չեն, որոնք փնտրում են z = f(x,y), և ամենաբարձր կամ ամենացածր կետերը այս մակերեսի մխոցի հետ հատման կետերի միջև, Նկար 5):

Ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղություն z = f(x,y) երկու փոփոխականներից կարելի է գտնել հետևյալ կերպ( վերացման մեթոդ). Հավասարումից արտահայտի՛ր փոփոխականներից մեկը մյուսի ֆունկցիայով (օրինակ՝ գրել ) և փոփոխականի այս արժեքը փոխարինելով ֆունկցիայի մեջ՝ գրի՛ր վերջինս որպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիա (դիտարկվող դեպքում. ). Գտե՛ք մեկ փոփոխականի ստացված ֆունկցիայի ծայրահեղությունը:

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների ծայրահեղություն: Էքստրեմի համար անհրաժեշտ պայման. Բավարար պայման էքստրեմի համար. Պայմանական էքստրեմում. Լագրանժի բազմապատկիչ մեթոդ. Գտնել ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները:

Դասախոսություն 5.

Սահմանում 5.1.Կետ M 0 (x 0, y 0)կանչեց առավելագույն միավորգործառույթները z = f (x, y),Եթե f (x o, y o) > f(x,y)բոլոր կետերի համար (x, y) Մ 0.

Սահմանում 5.2.Կետ M 0 (x 0, y 0)կանչեց նվազագույն միավորգործառույթները z = f (x, y),Եթե f (x o, y o) < f(x,y)բոլոր կետերի համար (x, y)կետի ինչ-որ հարևանությամբ Մ 0.

Ծանոթագրություն 1. Առավելագույն և նվազագույն միավորները կոչվում են ծայրահեղ կետերմի քանի փոփոխականների գործառույթներ.

Դիտողություն 2. Ցանկացած թվով փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղ կետը որոշվում է նույն կերպ:

Թեորեմ 5.1(էքստրեմումի համար անհրաժեշտ պայմաններ). Եթե M 0 (x 0, y 0)- ֆունկցիայի ծայրահեղ կետ z = f (x, y),ապա այս պահին այս ֆունկցիայի առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները հավասար են զրոյի կամ գոյություն չունեն։

Ապացույց.

Եկեք ֆիքսենք փոփոխականի արժեքը ժամը, հաշվելով y = y 0. Այնուհետև գործառույթը f (x, y 0)կլինի մեկ փոփոխականի ֆունկցիա X, ինչի համար x = x 0ծայրահեղ կետն է: Հետևաբար, Ֆերմայի թեորեմով կամ գոյություն չունի: Նույն հայտարարությունը նույն կերպ ապացուցված է նաև .

Սահմանում 5.3.Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի տիրույթին պատկանող կետերը, որոնցում ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները հավասար են զրոյի կամ գոյություն չունեն, կոչվում են. անշարժ կետերայս գործառույթը:

Մեկնաբանություն. Այսպիսով, ծայրահեղությանը կարելի է հասնել միայն անշարժ կետերում, բայց պարտադիր չէ, որ այն դիտարկվի դրանցից յուրաքանչյուրում:

Թեորեմ 5.2(բավարար պայմաններ էքստրեմումի համար): Թողեք կետի ինչ-որ հարևանությամբ M 0 (x 0, y 0), որը ֆունկցիայի անշարժ կետն է z = f (x, y),այս ֆունկցիան ունի շարունակական մասնակի ածանցյալներ մինչև 3-րդ կարգի ներառյալ: Նշենք Հետո.

1) f(x,y)ունի կետում Մ 0առավելագույնը, եթե AC–B² > 0, Ա < 0;

2) f(x,y)ունի կետում Մ 0նվազագույնը, եթե AC–B² > 0, Ա > 0;

3) կրիտիկական կետում ծայրահեղություն չկա, եթե AC–B² < 0;

4) եթե AC–B² = 0, անհրաժեշտ է լրացուցիչ հետազոտություն:

Ապացույց.

Եկեք գրենք ֆունկցիայի երկրորդ կարգի Թեյլորի բանաձևը f (x,y),հիշելով, որ անշարժ կետում առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները հավասար են զրոյի.

Որտեղ Եթե ​​հատվածի միջև ընկած անկյունը M 0 M, Որտեղ M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ ժամը), և O առանցքը XՆշել φ, ապա Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. Այս դեպքում Թեյլորի բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը. Թող Հետո մենք կարող ենք բաժանել և բազմապատկել փակագծերում տրված արտահայտությունը Ա. Մենք ստանում ենք.

Այժմ դիտարկենք չորսը հնարավոր դեպքերը:

1) AC-B² > 0, Ա < 0. Тогда , и բավական փոքր Դր. Հետեւաբար, ինչ-որ թաղամասում M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), այն է Մ 0- առավելագույն միավոր.

2) Թող AC–B² > 0, A > 0.Հետո , Եվ Մ 0- նվազագույն միավոր.

3) Թող AC-B² < 0, Ա> 0. Դիտարկենք արգումենտների աճը φ = 0 ճառագայթի երկայնքով: Այնուհետև (5.1)-ից հետևում է, որ , այսինքն՝ այս ճառագայթով շարժվելիս ֆունկցիան մեծանում է։ Եթե ​​մենք շարժվենք ճառագայթով այնպես, որ tg φ 0 = -A/B,Դա , հետևաբար, այս ճառագայթով շարժվելիս ֆունկցիան նվազում է։ Այսպիսով, ժամանակաշրջան Մ 0ծայրահեղ կետ չէ:

3`) Երբ AC–B² < 0, Ա < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

նման է նախորդին:

3``) Եթե AC–B² < 0, Ա= 0, ապա . Որտեղ. Այնուհետև բավական փոքր φ-ի համար 2 արտահայտությունը Բ cosφ + Գ sinφ մոտ է 2-ին IN, այսինքն՝ այն պահպանում է հաստատուն նշան, բայց sinφ նշանը փոխում է կետի մոտակայքում Մ 0.Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի աճը փոխում է նշանը անշարժ կետի մոտակայքում, որը հետևաբար ծայրահեղ կետ չէ:

4) Եթե AC–B² = 0 և , , այսինքն՝ աճի նշանը որոշվում է 2α 0 նշանով։ Միաժամանակ անհրաժեշտ է լրացուցիչ հետազոտություն՝ էքստրեմումի գոյության հարցը պարզաբանելու համար։

Օրինակ. Գտնենք ֆունկցիայի ծայրահեղ կետերը z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Անշարժ կետեր գտնելու համար մենք լուծում ենք համակարգը . Այսպիսով, անշարժ կետը (-2,-1) է: Որտեղ A = 2, IN = -2, ՀԵՏ= 4. Հետո AC–B² = 4 > 0, հետևաբար, անշարժ կետում հասնում է ծայրահեղության, մասնավորապես նվազագույնի (քանի որ Ա > 0).

Սահմանում 5.4.Եթե ​​ֆունկցիայի արգումենտները f (x 1, x 2,…, x n)միացված լրացուցիչ պայմաններինչպես մհավասարումներ ( մ< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

որտեղ φ i ֆունկցիաները ունեն շարունակական մասնակի ածանցյալներ, ապա կոչվում են (5.2) հավասարումները կապի հավասարումներ.

Սահմանում 5.5.Ֆունկցիայի ծայրահեղություն f (x 1, x 2,…, x n)երբ (5.2) պայմանները բավարարված են, այն կոչվում է պայմանական ծայրահեղություն.

Մեկնաբանություն. Մենք կարող ենք առաջարկել երկու փոփոխականների ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղության հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը. թող ֆունկցիայի արգումենտները. f(x,y)կապված φ հավասարման հետ (x,y)= 0՝ O հարթությունում որոշ կորի սահմանում xy. Այս կորի յուրաքանչյուր կետից O հարթության ուղղահայացների վերակառուցում xyմինչև այն հատվի մակերեսի հետ z = f (x,y),մենք ստանում ենք տարածական կոր, որը ընկած է φ կորի վերևում գտնվող մակերեսի վրա (x,y)= 0. Խնդիրն է գտնել ստացված կորի ծայրահեղ կետերը, որոնք, իհարկե, ընդհանուր դեպքչեն համընկնում ֆունկցիայի անվերապահ ծայրահեղ կետերի հետ f(x,y):

Եկեք որոշենք պայմանական ծայրահեղության համար անհրաժեշտ պայմանները երկու փոփոխականների ֆունկցիայի համար՝ նախ ներկայացնելով հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում 5.6.Գործառույթ L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Որտեղ λi –ոմանք հաստատուն են, կոչվում են Լագրանժի ֆունկցիաև թվերը λi– անորոշ Lagrange բազմապատկիչներ.

Թեորեմ 5.3(պայմանական էքստրեմումի համար անհրաժեշտ պայմաններ). Ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղություն z = f (x, y)Ֆ զուգավորման հավասարման առկայության դեպքում ( x, y)= 0 կարելի է հասնել միայն Լագրանժի ֆունկցիայի անշարժ կետերում L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y):

Ապացույց. Միացման հավասարումը սահմանում է անուղղակի հարաբերություն ժամը-ից X, հետևաբար մենք կենթադրենք, որ ժամըկա մի ֆունկցիա ից X: y = y(x):Հետո զկա մի բարդ գործառույթ X, և դրա կրիտիկական կետերը որոշվում են պայմանով. . (5.4) Միացման հավասարումից հետևում է, որ . (5.5)

Բազմապատկենք (5.5) հավասարությունը որոշ λ թվով և գումարենք (5.4) հետ։ Մենք ստանում ենք.

, կամ .

Վերջին հավասարությունը պետք է բավարարվի անշարժ կետերում, որից հետևում է.

(5.6)

Ստացվում է երեք անհայտների երեք հավասարումների համակարգ. x, yև λ, իսկ առաջին երկու հավասարումները Լագրանժի ֆունկցիայի անշարժ կետի պայմաններն են։ Բացառելով օժանդակ անհայտ λ-ը (5.6) համակարգից՝ մենք գտնում ենք այն կետերի կոորդինատները, որտեղ սկզբնական ֆունկցիան կարող է ունենալ պայմանական ծայրահեղություն։

Դիտողություն 1. Գտնված կետում պայմանական ծայրահեղության առկայությունը կարելի է ստուգել՝ ուսումնասիրելով Լագրանժի ֆունկցիայի երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները՝ 5.2 թեորեմի անալոգիայի միջոցով:

Դիտողություն 2. Կետեր, որտեղ կարելի է հասնել ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղությանը f (x 1, x 2,…, x n)երբ (5.2) պայմանները բավարարված են, կարող են սահմանվել որպես համակարգի լուծումներ (5.7)

Օրինակ. Գտնենք ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղությունը z = xyհաշվի առնելով, որ x + y= 1. Կազմենք Lagrange ֆունկցիան L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Համակարգը (5.6) ունի հետևյալ տեսքը.

Որտեղ -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Որտեղ L (x, y)կարող է ներկայացվել ձևով L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, հետևաբար գտնված անշարժ կետում L (x, y)ունի առավելագույնը, և z = xy –պայմանական առավելագույնը.

Թող z - /(x, y) ֆունկցիան սահմանվի D որոշ տիրույթում և թող Mo(xo, Vo) լինի այս տիրույթի ներքին կետը: Սահմանում. Եթե ​​կա այնպիսի թիվ, որ բոլոր պայմաններին բավարարող անհավասարությունը ճիշտ է, ապա Mo(xo, yo) կետը կոչվում է կետ. տեղական առավելագույնը ֆունկցիաներ /(x, y); եթե բոլորի համար Dx, Du, պայմանները բավարարող | ապա Mo(xo,yo) կետը կոչվում է բարակ տեղային նվազագույն: Այլ կերպ ասած, M0(x0, y0) կետը f(x, y) ֆունկցիայի առավելագույն կամ նվազագույնի կետն է, եթե գոյություն ունի A/o(x0, y0) կետի 6 հարևանություն, որ ընդհանրապես սրա M(x, y) կետերը հարևանությամբ, ֆունկցիայի աճը պահպանում է իր նշանը: Օրինակներ. 1. Ֆունկցիոնալ կետի համար՝ նվազագույն կետ (նկ. 17): 2. Ֆունկցիայի համար 0(0,0) կետը առավելագույն կետն է (նկ. 18): 3. Ֆունկցիայի համար 0(0,0) կետը տեղական առավելագույն կետ է: 4 Իրոք, կա 0(0, 0) կետի հարևանություն, օրինակ՝ j շառավղով շրջան (տե՛ս Նկար 19), որի ցանկացած կետում, 0(0,0) կետից տարբերվող, /(x,y) ֆունկցիայի արժեքը 1-ից փոքր = Մենք կդիտարկենք միայն խիստ առավելագույն և նվազագույն ֆունկցիաների կետերը, երբ խիստ անհավասարությունը կամ խիստ անհավասարությունը բավարարված է M(x) y) որոշ ծակված 6 հարևանությամբ գտնվող կետերի համար: կետը Mq. Ֆունկցիայի արժեքը առավելագույն կետում կոչվում է առավելագույնը, իսկ ֆունկցիայի արժեքը նվազագույն կետում կոչվում է այս ֆունկցիայի նվազագույնը: Ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են ֆունկցիայի ծայրահեղ կետեր, իսկ բուն ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են դրա ծայրահեղություններ: Թեորեմ 11 (էքստրեմումի համար անհրաժեշտ պայման). Եթե ​​ֆունկցիան մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղություն է Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղություն հասկացությունը: Ծայրահեղության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ Պայմանական էքստրեմում Շարունակական ֆունկցիաների ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները կետում ունեն ծայրահեղություն, ապա այս պահին յուրաքանչյուր մասնակի ածանցյալ u կամ անհետանում է, կամ գոյություն չունի: Թող M0(x0, yо) կետում z = f(x) y) ֆունկցիան ունենա ծայրահեղություն: Եկեք y փոփոխականին տանք yo արժեքը: Այնուհետև z = /(x, y) ֆունկցիան կլինի x մեկ փոփոխականի ֆունկցիա: Քանի որ x = xo-ում այն ​​ունի ծայրահեղություն (առավելագույնը կամ նվազագույնը, Նկար 20), ապա դրա ածանցյալը x = “o-ի նկատմամբ, | (*o,l>)" Հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի: Նմանապես, մենք համոզված ենք, որ) կամ հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի: Այն կետերը, որտեղ = 0 և χ = 0 կամ գոյություն չունեն, կոչվում են կրիտիկական: z = Dx, y ֆունկցիայի կետերը: Այն կետերը, որոնցում $£ = φ = 0, կոչվում են նաև ֆունկցիայի անշարժ կետեր: 11-րդ թեորեմն արտահայտում է միայն ծայրահեղության համար անհրաժեշտ պայմանները, որոնք բավարար չեն:Օրինակ Գործառույթ Նկ. 18 Նկ. 20 immt ածանցյալներ, որոնք անհետանում են ժամը. Բայց այս ֆունկցիան բարակ է շտրիխի իմվաթի վրա։Իրոք, ֆունկցիան հավասար է զրոյի 0(0,0) կետում և ընդունում է դրական գործակիցներ M(x) կետերում։ y), կամայականորեն մոտ 0(0,0) կետին և բացասական արժեքներ: Դրա համար (0, y) կետերում կամայականորեն փոքր 0(0,0) կետը կոչվում է մինի-max կետ (նկ. 21): Երկու փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղության համար բավարար պայմանները արտահայտվում են հետևյալ թեորեմով. Թեորեմ 12 (բավարար պայմաններ էքստրեմումի համար երկու փոփոխականներում): Թող Mo(xo»Yo) կետը լինի f(x, y) ֆունկցիայի անշարժ կետ, իսկ / կետի որոշ հարևանությամբ, ներառյալ հենց Mo կետը, f(z, y) ֆունկցիան ունի շարունակական մասնակի ածանցյալներ: մինչև երկրորդ կարգը ներառյալ։ Ապա». Mo(xo, V0) կետում /(xo, y) ֆունկցիան ծայրահեղություն չունի, եթե D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>F(x, y) ֆունկցիայի ծայրահեղությունը կարող է գոյություն ունենալ կամ չլինել: Այս դեպքում անհրաժեշտ է լրացուցիչ հետազոտություն: m Եկեք սահմանափակվենք թեորեմի 1) և 2) պնդումների ապացուցմամբ։ Գրենք երկրորդ կարգի Թեյլորի բանաձևը /(i, y) ֆունկցիայի համար, որտեղ. Ըստ պայմանի պարզ է դառնում, որ D/ աճի նշանը որոշվում է (1-ի աջ կողմի եռանդամի նշանով), այսինքն՝ երկրորդ դիֆերենցիալ d2f նշանով։ Համառոտության համար նշենք։ Այնուհետև (l) հավասարությունը կարելի է գրել հետևյալ կերպ. Թող MQ(so, V0) կետում ունենք... Քանի որ պայմանով f(s, y) ֆունկցիայի երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները շարունակական են, ապա. անհավասարությունը (3) կպահպանվի նաև M0(s0,yo) կետի որոշ հարևանությամբ: Եթե ​​պայմանը բավարարված է (Ա/0 կետում, և շարունակականության պատճառով /,z(s,y) ածանցյալը կպահպանի իր նշանը Af0 կետի ինչ-որ հարևանությամբ: Այն տարածաշրջանում, որտեղ А Ф 0, ունենք. Այստեղից պարզ է դառնում, որ եթե ЛС - В2 > 0 M0(x0) y0 կետի ինչ-որ հարևանությամբ), ապա AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 եռանդամի նշանը կետում համընկնում է A նշանի հետ (այսպես. , V0) (ինչպես նաև C-ի նշանով, քանի որ AC - B2-ի համար > 0 A-ն և C-ն չեն կարող ունենալ տարբեր նշաններ): Քանի որ AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 գումարի նշանը (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) կետում որոշում է տարբերության նշանը, մենք գալիս ենք հետևյալ եզրակացության. եթե /(s,y) ֆունկցիայի համար անշարժ կետի (s0, V0) պայմանը, ապա բավական փոքր || անհավասարությունը կբավարարվի. Այսպիսով, կետում (sq, V0) /(s, y) ֆունկցիան ունի առավելագույնը: Եթե ​​պայմանը բավարարված է անշարժ կետում (s0, y0), ապա բոլորի համար բավականաչափ փոքր |Dr| եւ |Դու| անհավասարությունը ճշմարիտ է, ինչը նշանակում է, որ (so,yo) կետում /(s, y) ֆունկցիան ունի նվազագույնը: Օրինակներ. 1. Հետազոտել էքստրեմումի ֆունկցիան 4 Օգտվելով էքստրեմումի համար անհրաժեշտ պայմաններից՝ մենք փնտրում ենք ֆունկցիայի անշարժ կետերը: Դա անելու համար մենք գտնում ենք u մասնակի ածանցյալները և հավասարեցնում դրանք զրոյի: Մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ, որտեղից՝ անշարժ կետ: Այժմ օգտագործենք թեորեմ 12-ը: Մենք ունենք Սա նշանակում է, որ Ml կետում կա ծայրահեղություն: Որովհետև սա նվազագույնն է: Եթե ​​r ֆունկցիան վերածենք ձևի, ապա դա հեշտ է տեսնել աջ մաս (“) կլինի նվազագույն, երբ այս ֆունկցիայի բացարձակ նվազագույնն է: 2. Քննեք ծայրահեղության ֆունկցիան:Գտնում ենք ֆունկցիայի անշարժ կետերը, որոնց համար կազմում ենք հավասարումների համակարգ, հետևաբար, կետն անշարժ է: Քանի որ 12-րդ թեորեմի ուժով M կետում ծայրահեղություն չկա: * 3. Հետազոտի՛ր ֆունկցիայի ծայրահեղությունը Գտի՛ր ֆունկցիայի անշարժ կետերը: Հավասարումների համակարգից մենք ստանում ենք դա, ուստի կետը անշարժ է: Հաջորդը մենք ունենք, որ թեորեմ 12-ը չի պատասխանում էքստրեմումի առկայության կամ բացակայության մասին հարցին: Եկեք դա անենք այսպես. Բոլոր կետերի վերաբերյալ ֆունկցիայի համար, որը տարբերվում է կետից, ըստ սահմանման, և A/o(0,0) կետից, r ֆունկցիան ունի բացարձակ նվազագույն: Նմանատիպ հաշվարկներով մենք հաստատում ենք, որ ֆունկցիան կետում ունի առավելագույնը, բայց կետում ֆունկցիան ծայրահեղություն չունի: Թող n անկախ փոփոխականների ֆունկցիան տարբերվող լինի մի կետում Mo կետը կոչվում է ֆունկցիայի անշարժ կետ, եթե 13-րդ թեորեմը (մինչև ծայրահեղության համար բավարար պայմաններ): Թող ֆունկցիան սահմանվի և ունենա երկրորդ կարգի շարունակական մասնակի ածանցյալներ Mt(xi...) նուրբ Mt(xi...) որոշ հարևանությամբ, որը անշարժ նուրբ ֆունկցիա է, եթե քառակուսի ձևը (տուգանքի մեջ f ֆունկցիայի երկրորդ դիֆերենցիալը դրական է. որոշիչ (բացասական որոշիչ), f ֆունկցիայի նվազագույն կետը (համապատասխանաբար, նուրբ առավելագույնը) տուգանք է Եթե քառակուսի ձևը (4) նշանով փոփոխական է, ապա LG0 տուգանքի մեջ ծայրահեղություն չկա։ ձևը (4) կլինի դրական կամ բացասական որոշակի, դուք կարող եք օգտագործել, օրինակ, Sylvester չափանիշը քառակուսի ձևի դրական (բացասական) որոշակիության համար 15.2 Պայմանական ծայրահեղություններ Մինչ այժմ մենք փնտրում ենք ֆունկցիայի տեղական ծայրահեղություններ իր սահմանման ողջ տիրույթում, երբ ֆունկցիայի արգումենտները կապված չեն որևէ լրացուցիչ պայմանի հետ: Նման ծայրահեղությունները կոչվում են անվերապահ: Այնուամենայնիվ, այսպես կոչված պայմանական ծայրահեղությունների հայտնաբերման խնդիրներ հաճախ են հանդիպում: Թող z = /(x, y ֆունկցիան): ) սահմանվի D տիրույթում: Ենթադրենք, որ այս տիրույթում տրված է L կորը, և մենք պետք է գտնենք f(x> y) ֆունկցիայի ծայրահեղությունը միայն այն արժեքների մեջ, որոնք համապատասխանում են կետերին: կորի L. Նույն ծայրահեղությունները կոչվում են պայմանական ծայրահեղություններ z = f(x) y) ֆունկցիայի L կորի վրա. Սահմանում Ասում են, որ L կորի վրա ընկած մի կետում f(x, y) ֆունկցիան ունի. պայմանական առավելագույնը (նվազագույնը), եթե անհավասարությունը բավարարված է M (s, y) y) կորի L կետերում, որոնք պատկանում են M0 (x0, V0) կետի ինչ-որ հարևանությանը և տարբերվում են M0 կետից (Եթե L կորը տրված է հավասարմամբ, ապա խնդիրը կորի վրա r - f(x,y) ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղությունը գտնելն է։ կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. գտե՛ք x = /(z, y) ֆունկցիայի ծայրահեղությունը D տարածաշրջանում, պայմանով, որ այսպես, z = y ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղությունները գտնելիս, wildebeest-ի արգումենտներն այլևս չեն կարող լինել. համարվում են անկախ փոփոխականներ. դրանք միմյանց հետ կապված են y ) = 0 հարաբերակցությամբ, որը կոչվում է միացման հավասարում։ Անպայմանական և պայմանական ծայրահեղությունների միջև տարբերությունը պարզելու համար դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ ֆունկցիայի անվերապահ առավելագույնը (նկ. 23) հավասար է մեկի և ձեռք է բերվում (0,0) կետում: Համապատասխանում է M կետին` pvvboloid-ի գագաթին:Ավելացնենք կապի հավասարումը y = j: Ապա պայմանական առավելագույնը ակնհայտորեն հավասար կլինի դրան, այն հասնում է (o,|) կետում և համապատասխանում է գնդակի Afj գագաթին, որը գնդակի հատման գիծն է y = j հարթության հետ։ Անվերապահ mvximum-ի դեպքում մենք ունենք mvximum հավելված մակերևույթի բոլոր vpplicvt-երի միջև * = 1 - l;2 ~ y1; summvv պայմանական - միայն vllikvt կետերից pvraboloidv, որը համապատասխանում է y = j ուղիղ գծի կետին, ոչ xOy հարթությանը: Առկայության և միացման դեպքում ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղությունը գտնելու մեթոդներից մեկը հետևյալն է. Թող միացման y) - O հավասարումը y-ն սահմանի որպես x արգումենտի եզակի տարբերակվող ֆունկցիա. y-ի փոխարեն ֆունկցիան փոխարինելով ֆունկցիայի մեջ՝ մենք ստանում ենք մեկ արգումենտի ֆունկցիա, որում արդեն հաշվի է առնված կապի պայմանը: Ֆունկցիայի (անվերապահ) ծայրահեղությունը ցանկալի պայմանական էքստրեմումն է։ Օրինակ. Գտեք մի քանի փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղություն պայմանով Մի քանի փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղություն Հայեցակարգը մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղություն: Ծայրահեղության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ Պայմանական ծայրահեղություն Շարունակական ֆունկցիաների ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները A Միացման հավասարումից (2") մենք գտնում ենք y = 1-x: Փոխարինելով այս արժեքը y-ով (V)՝ մենք ստանում ենք ֆունկցիա. Մեկ արգումենտ x. Եկեք քննենք այն ծայրահեղության համար, որտեղից x = 1-ը կրիտիկական կետն է, ուստի այն տալիս է r ֆունկցիայի պայմանական նվազագույնը (նկ. 24): Եկեք նշենք պայմանականի խնդիրը լուծելու այլ եղանակ: Ծայրահեղություն, որը կոչվում է Լագրանժի բազմապատկիչ մեթոդ: Թող լինի միացման առկայության դեպքում ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղության կետը: Ենթադրենք, որ կապի հավասարումը սահմանում է եզակի շարունակաբար տարբերվող ֆունկցիա xx կետի որոշակի հարևանությամբ: որ մենք ստանում ենք, որ xq կետում /(r, ip(x)) ֆունկցիայի x-ի նկատմամբ ածանցյալը պետք է հավասար լինի զրոյի կամ, որը համարժեք է դրան, f(x, y)-ի դիֆերենցիալը. կետ Mo» O) Միացման հավասարումից ունենք (5) Բազմապատկելով վերջին հավասարությունը դեռևս չորոշված ​​թվային Ա գործակցով և անդամ առ անդամ ավելացնելով հավասարությանը (4), կունենանք (ենթադրում ենք, որ): Այնուհետև dx-ի կամայականության պատճառով ստանում ենք (6) և (7) հավասարումները, որոնք արտահայտում են ֆունկցիայի կետում անվերապահ ծայրահեղության համար անհրաժեշտ պայմանները, որը կոչվում է Լագրանժի ֆունկցիա։ Այսպիսով, /(x, y) ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղ կետը, եթե, անպայման Լագրանժի ֆունկցիայի անշարժ կետն է, որտեղ A-ն որոշակի թվային գործակից է։ Այստեղից ստանում ենք պայմանական ծայրահեղությունների հայտնաբերման կանոն. որպեսզի գտնենք կետեր, որոնք կարող են լինել ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղության կետեր կապի առկայության դեպքում, 1) կազմում ենք Լագրանժի ֆունկցիան, 2) դրա ածանցյալները հավասարեցնելով. ֆունկցիան զրոյականացնելու և ստացված հավասարումներին ավելացնելով միացման հավասարումը, մենք ստանում ենք երեք հավասարումների համակարգ, որտեղից գտնում ենք A-ի արժեքները և հնարավոր ծայրահեղ կետերի x, y կոորդինատները: Պայմանական էքստրեմի գոյության և բնույթի հարցը լուծվում է Լագրանժի ֆունկցիայի երկրորդ դիֆերենցիալ նշանի ուսումնասիրության հիման վրա (8)-ից ստացված x0, V0, A արժեքների դիտարկված համակարգի համար, պայմանով, որ եթե. , ապա (x0, V0) կետում /(x, y ) ֆունկցիան ունի պայմանական առավելագույն; եթե d2F > 0 - ապա պայմանական նվազագույնը: Մասնավորապես, եթե անշարժ կետում (xo, J/o) F(x, y) ֆունկցիայի D որոշիչը դրական է, ապա (®o, V0) կետում կա f( ֆունկցիայի պայմանական առավելագույնը. x, y), եթե և ֆունկցիայի պայմանական նվազագույնը /(x, y), եթե Օրինակ. Կրկին անդրադառնանք նախորդ օրինակի պայմաններին. գտե՛ք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը x + y = 1 պայմանով: Խնդիրը կլուծենք Լագրանժի բազմապատկիչ մեթոդով: Լագրանժի ֆունկցիան մեջ այս դեպքումունի ձև Անշարժ կետեր գտնելու համար մենք կազմում ենք համակարգ, որի առաջին երկու հավասարումներից ստանում ենք x = y: Այնուհետև համակարգի երրորդ հավասարումից (միացման հավասարումից) գտնում ենք, որ x - y = j հնարավոր ծայրահեղ կետի կոորդինատներն են: Այս դեպքում (նշվում է, որ A = -1: Այսպիսով, Լագրանժի ֆունկցիան. * = x2 + y2 ֆունկցիայի պայմանական նվազագույն կետն է՝ Լագրանժի ֆունկցիայի համար անվերապահ ծայրահեղություն չկա: P(x, y): ) դեռ չի նշանակում /(x, y) ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղության բացակայություն կապի առկայության դեպքում Օրինակ. Գտե՛ք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը y պայմանով 4 Մենք կազմում ենք Լագրանժի ֆունկցիան և դուրս գրում ենք համակարգ. Որոշելով A-ն և հնարավոր ծայրահեղ կետերի կոորդինատները. Առաջին երկու հավասարումներից մենք ստանում ենք x + y = 0 և հասնում ենք համակարգին, որտեղից x = y = A = 0: Այսպիսով, համապատասխան Լագրանժի ֆունկցիան ունի կետում ձևը. (0,0) F(x, y; 0) ֆունկցիան չունի անվերապահ ծայրահեղություն, սակայն, r = xy ֆունկցիայի պայմանական ծայրահեղությունը: Երբ y = x, կա «: Իրոք, այս դեպքում r = x2. Այստեղից պարզ է դառնում, որ (0,0) կետում կա պայմանական նվազագույն. «Լագրանժի բազմապատկիչների մեթոդը փոխանցվում է ցանկացած թվով արգումենտների ֆունկցիաների դեպքին / Թող ֆունկցիայի ծայրահեղությունը փնտրվի մեջ. կապի հավասարումների առկայությունը Կազմել Լագրանժի ֆունկցիան, որտեղ A|, Az,..., A„ անորոշ հաստատուն գործակիցներ են: Հավասարեցնելով F ֆունկցիայի բոլոր առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներին և ստացված հավասարումներին ավելացնելով կապի (9) հավասարումները՝ ստանում ենք n + m հավասարումների համակարգ, որից որոշում ենք Ab A3|..., At և x կոորդինատները։ \) x2). » պայմանական ծայրահեղության հնարավոր կետերի xn. Հարցը, թե արդյոք Լագրանժի մեթոդով հայտնաբերված կետերը իրականում պայմանական ծայրահեղության կետեր են, հաճախ կարելի է լուծել ֆիզիկական կամ երկրաչափական բնույթի նկատառումների հիման վրա: 15.3. Շարունակական ֆունկցիաների ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները Թող պահանջվի գտնել z = /(x, y) ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը, շարունակական որոշ փակ սահմանափակ տիրույթում D: Թեորեմ 3-ով այս տիրույթում կա մի կետ է (xo, V0), որտեղ ֆունկցիան ստանում է ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը: Եթե ​​կետը (xo, y0) գտնվում է D շրջանի ներսում, ապա / ֆունկցիան իր մեջ ունի առավելագույնը (նվազագույնը), ուստի այս դեպքում մեզ հետաքրքրող կետը պարունակվում է /(x,) ֆունկցիայի կրիտիկական կետերի մեջ։ y). Այնուամենայնիվ, /(x, y) ֆունկցիան կարող է հասնել իր ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքին տարածաշրջանի սահմանին: Հետևաբար, գտնել ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը z = /(x, y) ֆունկցիայի կողմից սահմանափակված փակ տարածք 2), դուք պետք է գտնեք այս տարածքի ներսում ձեռք բերված ֆունկցիայի բոլոր առավելագույնը (նվազագույնը), ինչպես նաև այս տարածքի սահմանին գտնվող ֆունկցիայի ամենամեծ (ամենափոքր) արժեքը: Այս բոլոր թվերից ամենամեծը (ամենափոքրը) կլինի z = /(x,y) ֆունկցիայի ցանկալի ամենամեծ (փոքր) արժեքը 27-րդ շրջանում: Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է դա արվում դիֆերենցիալ ֆունկցիայի դեպքում: Պրմմր. Գտեք 4-րդ շրջանի ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները: Մենք գտնում ենք ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը D շրջանի ներսում: Դրա համար մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ: Այստեղից մենք ստանում ենք x = y «0, այնպես, որ 0 (0,0) կետը x ֆունկցիայի կրիտիկական կետն է: Քանի որ հիմա եկեք գտնենք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները D շրջանի Г սահմանի վրա: Սահմանի մի մասում մենք ունենք, որ y = 0-ը կրիտիկական կետ է, և քանի որ = ապա այս կետում z ֆունկցիան = 1 + y2 ունի նվազագույնը հավասար մեկին: Г հատվածի ծայրերում», կետերում (, ունենք: Համաչափության նկատառումներով ստանում ենք նույն արդյունքները սահմանի մյուս մասերի համար: Վերջապես ստանում ենք. z = x2+y2 ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը տարածաշրջանում. «B-ն հավասար է զրոյի, և այն ձեռք է բերվում ներքին կետի 0(0, 0) տարածքներում, և ամենաբարձր արժեքըայս ֆունկցիան, որը հավասար է երկուսի, ձեռք է բերվում սահմանի չորս կետերում (նկ. 25) Նկ. 25 Վարժություններ Գտե՛ք ֆունկցիաների սահմանման տիրույթը. Կառուցե՛ք ֆունկցիաների մակարդակի գծերը. երեք անկախ փոփոխականներից. Հաշվիր ֆունկցիաների սահմանները. Գտի՛ր ֆունկցիաների մասնակի ածանցյալները և դրանց լրիվ դիֆերենցիալներ Գտե՛ք բարդ ֆունկցիաների ածանցյալները. 3 Գտե՛ք J. Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղություն Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղություն հասկացությունը: Ծայրահեղության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ Պայմանական էքստրեմում Շարունակական ֆունկցիաների ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները 34. Օգտագործելով երկու փոփոխականների բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը, գտե՛ք և գործարկե՛ք. 35. Օգտագործելով բարդի ածանցյալի բանաձևը. երկու փոփոխականների ֆունկցիա, գտե՛ք |J և ֆունկցիաներ. Գտե՛ք jj ֆունկցիաները, որոնք տրված են անուղղակիորեն. կորի x-ը զուգահեռ է Ox առանցքին: . Հետևյալ խնդիրներում գտե՛ք և Տ. Գրե՛ք շոշափողի հարթության և մակերևույթի նորմալի հավասարումները. + 6z = 0. Գտե՛ք ընդլայնման առաջին երեք կամ չորս անդամները՝ օգտագործելով Թեյլորի բանաձևը՝ 50. y կետի մոտակայքում (0, 0): Օգտագործելով ֆունկցիայի ծայրահեղության սահմանումը, ուսումնասիրեք ծայրահեղության հետևյալ գործառույթները:). Օգտագործելով բավարար պայմաններ երկու փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղության համար, ուսումնասիրեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը. * = x2y(4-x-y) ֆունկցիայի եռանկյան մեջ, որը սահմանափակված է ուղիղ գծերով x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Որոշե՛ք ուղղանկյուն բաց ավազանի չափերը, որն ունի ամենափոքր մակերեսը, պայմանով, որ դրա ծավալը հավասար լինի V-ին, 87. Գտե՛ք ուղղանկյուն զուգահեռականի չափերը, որն ունի առավելագույն ծավալը՝ հաշվի առնելով ընդհանուր մակերեսը 5: Պատասխաններ 1. և | Քառակուսի, որը ձևավորվում է x գծերի հատվածներով՝ ներառյալ իր կողմերը: 3. Համակենտրոն օղակների ընտանիք 2= 0,1,2,... .4. Ամբողջ հարթությունը բացառությամբ ուղիղ գծերի կետերի: Հարթության մի մասը, որը գտնվում է պարաբոլայի վերևում y = -x?: 8. x շրջանագծի կետերը. Ամբողջ հարթությունը բացառությամբ ուղիղ գծերի x Արմատական ​​արտահայտությունը ոչ բացասական է երկու դեպքում՝ j * ^ կամ j x ^ ^, որը համապատասխանաբար համարժեք է անհավասարությունների անվերջ շարքի։ Սահմանման տիրույթը ստվերավորված քառակուսիներն են (նկ. 26); l որը համարժեք է անվերջ շարքի Ֆունկցիան սահմանվում է կետերով։ ա) Ուղիղ գծեր, որոնք զուգահեռ են ուղիղ գծին x բ) համակենտրոն շրջաններ, որոնց կենտրոնը սկզբում է: 10. ա) պարաբոլներ y) պարաբոլներ y ա) պարաբոլներ բ) հիպերբոլաներ | .Ինքնաթիռներ xc. 13.Prime - Օզի առանցքի շուրջ պտտվող մեկ խոռոչի հիպերբոլոիդներ; երբ և Օզի առանցքի շուրջ պտտվող երկու թերթիկ հիպերբոլոիդներ են, մակերևույթների երկու ընտանիքներն էլ բաժանված են կոնով. Սահմանափակում չկա, բ) 0. 18. Սահմանենք y = kxt ապա z lim z = -2, ուստի (0,0) կետում տրված ֆունկցիան սահման չունի։ 19. ա) միավոր (0,0); բ) կետ (0,0). 20. ա) Ընդմիջման գիծ - շրջան x2 + y2 = 1; բ) ընդմիջման գիծը y = x ուղիղն է: 21. ա) Ընդմիջման գծեր - կոորդինատային առանցքներ Ox և Oy; բ) 0 (դատարկ հավաքածու): 22. Բոլոր կետերը (m, n), որտեղ և n-ն ամբողջ թվեր են