Աշխարհում շատ մարդիկ չկան, ովքեր երբեք չեն լսել Ֆերմատի վերջին թեորեմի մասին, թերևս սա միակ մաթեմատիկական խնդիրն է, որն այդքան լայնորեն հայտնի է դարձել և իրական լեգենդ է դարձել: Այն հիշատակվում է բազմաթիվ գրքերում և ֆիլմերում, և գրեթե բոլոր հիշատակումների հիմնական ենթատեքստը թեորեմի ապացուցման անհնարինությունն է։
Այո, այս թեորեմը շատ լավ հայտնի է և ինչ-որ իմաստով դարձել է սիրողական և պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսների կողմից պաշտվող «կուռք», բայց քչերը գիտեն, որ դրա ապացույցը գտնվել է, և դա տեղի է ունեցել դեռևս 1995 թվականին։ Բայց առաջին հերթին առաջինը:
Այսպիսով, Ֆերմայի վերջին թեորեմը (հաճախ կոչվում է Ֆերմայի վերջին թեորեմը), որը ձևակերպվել է 1637 թվականին ֆրանսիացի փայլուն մաթեմատիկոս Պիեռ Ֆերմայի կողմից, ըստ էության շատ պարզ է և հասկանալի յուրաքանչյուրի համար, ով ունի միջնակարգ կրթություն: Այն ասում է, որ a բանաձևը n + b n հզորությամբ n = c n հզորությամբ չունի բնական (այսինքն, ոչ կոտորակային) լուծումներ n > 2-ի համար: Ամեն ինչ պարզ և պարզ է թվում, բայց լավագույն մաթեմատիկոսները և սովորական սիրողականները ավելի քան երեքուկես դար պայքարում էին լուծում որոնելու համար:
Ինչու է նա այդքան հայտնի: Հիմա մենք կիմանանք...
Կա՞ն շա՞տ ապացուցված, չապացուցված և դեռևս չապացուցված թեորեմներ: Բանն այստեղ այն է, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմը ներկայացնում է ամենամեծ հակադրությունը ձևակերպման պարզության և ապացույցի բարդության միջև: Ֆերմայի վերջին թեորեմը աներևակայելի բարդ խնդիր է, և, այնուամենայնիվ, դրա ձևակերպումը կարող է հասկանալ ավագ դպրոցի 5-րդ դասարանցի յուրաքանչյուրը, բայց նույնիսկ ամեն պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոս չէ, որ կարող է հասկանալ ապացույցը: Ո՛չ ֆիզիկայում, ո՛չ քիմիայում, ո՛չ կենսաբանության, ո՛չ մաթեմատիկայի մեջ չկա մի խնդիր, որը կարելի էր այդքան պարզ ձևակերպել, բայց այսքան ժամանակ չլուծված մնար։ 2. Ինչից է այն բաղկացած:
Սկսենք Պյութագորասի շալվարից: Ձևակերպումը իսկապես պարզ է` առաջին հայացքից: Ինչպես գիտենք մանկուց, «Պյութագորասի շալվարները բոլոր կողմերից հավասար են»: Խնդիրն այնքան պարզ է թվում, քանի որ այն հիմնված էր մաթեմատիկական հայտարարության վրա, որը բոլորը գիտեն՝ Պյութագորասի թեորեմը. ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է ոտքերի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին:
5-րդ դարում մ.թ.ա. Պյութագորասը հիմնեց Պյութագորաս եղբայրությունը: Պյութագորացիները, ի թիվս այլ բաների, ուսումնասիրեցին x²+y²=z² հավասարությունը բավարարող ամբողջ թվով եռյակներ: Նրանք ապացուցեցին, որ կան անսահման շատ Պյութագորասի եռյակներ և ստացան դրանք գտնելու ընդհանուր բանաձևեր։ Հավանաբար փորձել են փնտրել C և ավելի բարձր աստիճաններ։ Համոզված լինելով, որ դա չի ստացվում, պյութագորացիները հրաժարվեցին իրենց անօգուտ փորձերից: Եղբայրության անդամներն ավելի շատ փիլիսոփաներ ու գեղագետներ էին, քան մաթեմատիկոսներ։
Այսինքն՝ հեշտ է ընտրել թվերի մի շարք, որոնք լիովին բավարարում են x²+y²=z² հավասարությունը:
Սկսած 3-ից, 4-ից, 5-ից, իսկապես, կրտսեր ուսանողը հասկանում է, որ 9 + 16 = 25:
Կամ 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Հիանալի:
Այսպիսով, պարզվում է, որ նրանք ՉԵՆ։ Այստեղից է սկսվում հնարքը։ Պարզությունն ակնհայտ է, քանի որ դժվար է ապացուցել ոչ թե ինչ-որ բանի առկայությունը, այլ, ընդհակառակը, դրա բացակայությունը։ Երբ դուք պետք է ապացուցեք, որ լուծում կա, դուք կարող եք և պետք է պարզապես ներկայացնել այս լուծումը:
Բացակայությունն ապացուցելը ավելի դժվար է. օրինակ, մեկն ասում է՝ այսինչ հավասարումը լուծումներ չունի։ Դրեք նրան ջրափոսի մեջ: հեշտ: բամ - և ահա, լուծումը: (լուծում տալ): Եվ վերջ, հակառակորդը պարտված է։ Ինչպե՞ս ապացուցել բացակայությունը:
Ասա. «Ես նման լուծումներ չե՞մ գտել»: Կամ գուցե լավ չէի՞ք նայվում։ Իսկ եթե դրանք կան, բայց շատ մեծ են, շատ մեծ, այնպիսին, որ նույնիսկ գերհզոր համակարգիչը դեռ բավարար ուժ չունի: Սա այն է, ինչ դժվար է.
Սա տեսողականորեն կարելի է ցույց տալ այսպես. եթե վերցնում եք համապատասխան չափերի երկու քառակուսի և դրանք ապամոնտաժում եք միավոր քառակուսիների, ապա այս միավոր քառակուսիների կույտից դուք ստանում եք երրորդ քառակուսի (նկ. 2). 
Բայց եկեք նույնը անենք երրորդ հարթության հետ (նկ. 3) - այն չի աշխատում: Չկան բավարար խորանարդներ, կամ մնացել են լրացուցիչ.
Բայց 17-րդ դարի մաթեմատիկոս ֆրանսիացի Պիեռ դը Ֆերմատը խանդավառությամբ ուսումնասիրեց x n + y n = z n ընդհանուր հավասարումը: Եվ վերջապես, ես եզրակացրի. n>2-ի համար չկան ամբողջական լուծումներ: Ֆերմատի ապացույցն անդառնալիորեն կորել է։ Այրվում են ձեռագրեր։ Մնում է միայն Դիոֆանտոսի թվաբանության մեջ նրա դիտողությունը.
Փաստորեն, առանց ապացույցի թեորեմը կոչվում է հիպոթեզ: Բայց Ֆերմատը երբեք չի սխալվելու համբավ ունի: Նույնիսկ եթե նա չի թողել ցուցմունքի ապացույց, այն հետագայում հաստատվել է: Ավելին, Ֆերմատն ապացուցեց իր թեզը n=4-ի համար։ Այսպիսով, ֆրանսիացի մաթեմատիկոսի վարկածը պատմության մեջ մտավ որպես Ֆերմայի վերջին թեորեմ:
Ֆերմատից հետո այնպիսի մեծ մտքեր, ինչպիսին Լեոնհարդ Էյլերն էր, աշխատեցին ապացույցի որոնման վրա (1770 թվականին նա առաջարկեց լուծում n=3-ի համար),
Ադրիեն Լեժանդրը և Յոհան Դիրիխլեն (այս գիտնականները համատեղ գտել են n=5-ի ապացույցը 1825 թվականին), Գաբրիել Լամեն (ով գտել է n=7-ի ապացույցը) և շատ ուրիշներ։ Անցյալ դարի 80-ականների կեսերին պարզ դարձավ, որ գիտական աշխարհը գտնվում է Ֆերմայի վերջին թեորեմի վերջնական լուծման ճանապարհին, բայց միայն 1993 թվականին մաթեմատիկոսները տեսան և հավատացին, որ ապացույցը փնտրելու երեքդարյա էպոսը. Ֆերմայի վերջին թեորեմը գործնականում ավարտված էր։
Հեշտ է ցույց տալ, որ բավական է ապացուցել Ֆերմայի թեորեմը միայն պարզ n-ի համար՝ 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Բաղադրյալ n-ի համար ապացույցը մնում է վավեր: Բայց պարզ թվեր կան անսահման շատ...
1825 թվականին Սոֆի Ժերմենի մեթոդով կին մաթեմատիկոսները Դիրիխլեն և Լեժանդրը ինքնուրույն ապացուցեցին n=5-ի թեորեմը։ 1839 թվականին նույն մեթոդով ֆրանսիացի Գաբրիել Լամը ցույց է տվել թեորեմի ճշմարտացիությունը n=7-ի համար։ Աստիճանաբար թեորեմն ապացուցվեց հարյուրից պակաս գրեթե բոլորի համար:
Ի վերջո, գերմանացի մաթեմատիկոս Էռնստ Կումմերը փայլուն ուսումնասիրությամբ ցույց տվեց, որ թեորեմն ընդհանրապես չի կարող ապացուցվել 19-րդ դարի մաթեմատիկայի մեթոդներով։ Ֆրանսիական գիտությունների ակադեմիայի մրցանակը, որը հաստատվել էր 1847 թվականին Ֆերմայի թեորեմի ապացուցման համար, մնաց չշնորհված։
1907 թվականին գերմանացի մեծահարուստ արդյունաբերող Փոլ Վոլֆսկեհլը որոշեց ինքնասպան լինել անպատասխան սիրո պատճառով։ Իսկական գերմանացու նման նա սահմանեց ինքնասպանության օրն ու ժամը՝ ուղիղ կեսգիշերին: Վերջին օրը նա կտակ է արել և նամակներ գրել ընկերներին ու հարազատներին։ Գործերն ավարտվեցին մինչև կեսգիշեր։ Պետք է ասել, որ Պողոսը հետաքրքրված էր մաթեմատիկայով։ Ուրիշ անելիք չունենալով՝ նա գնաց գրադարան և սկսեց կարդալ Կումերի հայտնի հոդվածը։ Հանկարծ նրան թվաց, որ Կումմերը սխալվել է իր պատճառաբանության մեջ։ Վոլֆսկելը սկսեց վերլուծել հոդվածի այս հատվածը՝ մատիտը ձեռքին։ Կեսգիշերն անցավ, առավոտ եկավ։ Ապացույցի բացը լրացվել է. Եվ հենց ինքնասպանության պատճառն այժմ լրիվ ծիծաղելի էր թվում։ Պողոսը պատռեց իր հրաժեշտի նամակները և նորից գրեց իր կտակը։
Շուտով նա մահացավ բնական մահով։ Ժառանգները բավականին զարմացած էին. 100,000 մարկ (ավելի քան 1,000,000 ընթացիկ ֆունտ ստեռլինգ) փոխանցվեց Գյոթինգենի թագավորական գիտական ընկերության հաշվին, որը նույն թվականին հայտարարեց Վոլֆսկեհլի մրցանակի համար մրցույթ։ Ֆերմայի թեորեմն ապացուցողին շնորհվել է 100 000 միավոր։ Թեորեմը հերքելու համար ոչ մի պֆենինգ չի շնորհվել...
Պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսների մեծամասնությունը Ֆերմայի Վերջին թեորեմի ապացույցի որոնումը անհույս խնդիր համարեց և վճռականորեն հրաժարվեց ժամանակ վատնել նման անօգուտ վարժության վրա։ Բայց սիրողականները պայթեցին: Հայտարարությունից մի քանի շաբաթ անց «ապացույցների» ձնահյուսը հարվածեց Գյոթինգենի համալսարանին: Պրոֆեսոր Է.Մ. Լանդաուն, ում պարտականությունն էր վերլուծել ուղարկված ապացույցները, բացիկներ բաժանեց իր ուսանողներին.
Սիրելի։ . . . . . . .
Շնորհակալ եմ, որ ինձ ուղարկեցիք ձեռագիրը Ֆերմայի վերջին թեորեմի ապացույցով: Առաջին սխալը գտնվում է էջում ... տողում... . Դրա պատճառով ամբողջ ապացույցը կորցնում է իր վավերականությունը:
Պրոֆեսոր E. M. Landau
1963 թվականին Փոլ Քոհենը, հենվելով Գյոդելի բացահայտումների վրա, ապացուցեց Հիլբերտի քսաներեք խնդիրներից մեկի՝ շարունակականության վարկածի անլուծելիությունը։ Իսկ եթե Ֆերմայի վերջին թեորեմը նույնպես անորոշ է: Սակայն Մեծ թեորեմի իսկական ֆանատիկոսները բոլորովին հիասթափված չէին: Համակարգիչների հայտնվելը մաթեմատիկոսներին անսպասելիորեն ապացուցման նոր մեթոդ տվեց։ Երկրորդ համաշխարհային պատերազմից հետո ծրագրավորողների և մաթեմատիկոսների թիմերը ապացուցեցին Ֆերմայի վերջին թեորեմը n-ի բոլոր արժեքների համար մինչև 500, այնուհետև մինչև 1000 և հետագայում մինչև 10000:
1980-ականներին Սամուել Վագստաֆը սահմանը բարձրացրեց մինչև 25000, իսկ 1990-ականներին մաթեմատիկոսները հայտարարեցին, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմը ճշմարիտ է n-ի բոլոր արժեքների համար մինչև 4 միլիոն: Բայց եթե անսահմանությունից հանես նույնիսկ մեկ տրիլիոն տրիլիոն, այն չի փոքրանա: Մաթեմատիկոսներին վիճակագրությունը չի համոզում. Ապացուցել Մեծ թեորեմը նշանակում էր ապացուցել այն ԲՈԼՈՐ n-ի համար, որ գնում է անսահմանություն:
1954 թվականին երկու երիտասարդ ճապոնացի մաթեմատիկոս ընկերներ սկսեցին ուսումնասիրել մոդուլային ձևերը: Այս ձևերը առաջացնում են թվերի շարք, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր շարքը: Պատահականորեն Թանիյաման այս շարքերը համեմատեց էլիպսային հավասարումների արդյունքում առաջացած շարքերի հետ։ Համապատասխանեցին! Բայց մոդուլային ձևերը երկրաչափական առարկաներ են, իսկ էլիպսային հավասարումները հանրահաշվական են: Նման տարբեր օբյեկտների միջև որևէ կապ երբևէ չի հայտնաբերվել։
Այնուամենայնիվ, ուշադիր փորձարկումներից հետո ընկերները առաջ քաշեցին մի վարկած՝ յուրաքանչյուր էլիպսային հավասարում ունի երկվորյակ՝ մոդուլային ձև և հակառակը։ Հենց այս վարկածը դարձավ մաթեմատիկայի մի ամբողջ ուղղության հիմքը, բայց քանի դեռ Թանիյամա-Շիմուրա վարկածն ապացուցված չէր, ամբողջ շենքը կարող էր փլվել ցանկացած պահի:
1984 թվականին Գերհարդ Ֆրեյը ցույց տվեց, որ Ֆերմատի հավասարման լուծումը, եթե այն գոյություն ունի, կարող է ներառվել որոշ էլիպսային հավասարման մեջ։ Երկու տարի անց պրոֆեսոր Քեն Ռիբեթն ապացուցեց, որ այս հիպոթետիկ հավասարումը մոդուլային աշխարհում նմանը չի կարող ունենալ։ Այսուհետ Ֆերմայի Վերջին թեորեմը անքակտելիորեն կապված էր Տանիյամա-Շիմուրայի ենթադրության հետ։ Ապացուցելով, որ ցանկացած էլիպսային կոր մոդուլային է, մենք եզրակացնում ենք, որ Ֆերմատի հավասարման լուծմամբ էլիպսային հավասարում չկա, և Ֆերմայի վերջին թեորեմը անմիջապես կհաստատվի: Բայց երեսուն տարի շարունակ հնարավոր չէր ապացուցել Տանիյամա-Շիմուրայի վարկածը, և հաջողության հույսը գնալով ավելի քիչ էր։
1963 թվականին, երբ նա ընդամենը տասը տարեկան էր, Էնդրյու Ուայլսն արդեն հիացած էր մաթեմատիկայով։ Երբ նա իմացավ Մեծ թեորեմի մասին, նա հասկացավ, որ չի կարող հրաժարվել դրանից: Լինելով դպրոցական, ուսանող և ասպիրանտ, նա իրեն պատրաստեց այս գործին:
Իմանալով Քեն Ռիբեթի գտածոների մասին՝ Ուայլսը գլխապտույտ սկսեց ապացուցել Տանիյամա-Շիմուրա վարկածը: Նա որոշել է աշխատել լիակատար մեկուսացման և գաղտնիության պայմաններում։ «Ես հասկացա, որ այն ամենը, ինչ կապ ուներ Ֆերմայի վերջին թեորեմի հետ, չափազանց մեծ հետաքրքրություն է առաջացնում... Չափազանց շատ հանդիսատեսներ ակնհայտորեն խանգարում են նպատակին հասնելուն»: Յոթ տարվա քրտնաջան աշխատանքը տվեց իր պտուղները, Ուայլսը վերջապես ավարտեց Տանիյամա-Շիմուրայի ենթադրության ապացույցը:
1993 թվականին անգլիացի մաթեմատիկոս Էնդրյու Ուայլսն աշխարհին ներկայացրեց Ֆերմայի վերջին թեորեմի իր ապացույցը (Ուայլսը կարդաց իր սենսացիոն աշխատությունը Քեմբրիջի Սըր Իսահակ Նյուտոնի ինստիտուտի կոնֆերանսում), որի վրա աշխատանքը տևեց ավելի քան յոթ տարի:
Մինչ մամուլում աժիոտաժը շարունակվում էր, լուրջ աշխատանք սկսվեց ապացույցների ստուգման ուղղությամբ: Յուրաքանչյուր ապացույց պետք է մանրակրկիտ ուսումնասիրվի, նախքան ապացույցները կարող են համարվել խիստ և ճշգրիտ: Ուայլսն անհանգիստ ամառ անցկացրեց՝ սպասելով գրախոսողների արձագանքներին՝ հուսալով, որ նա կկարողանա շահել նրանց հավանությունը: Օգոստոսի վերջին փորձագետները դատավճիռը անբավարար են գտել։
Պարզվեց, որ այս որոշումը կոպիտ սխալ է պարունակում, թեև ընդհանուր առմամբ այն ճիշտ է։ Ուայլսը չհուսահատվեց, օգնության կանչեց թվերի տեսության հայտնի մասնագետ Ռիչարդ Թեյլորին, և արդեն 1994 թվականին նրանք հրապարակեցին թեորեմի շտկված և ընդլայնված ապացույցը։ Ամենազարմանալին այն է, որ այս աշխատանքը զբաղեցրել է 130 (!) էջ «Annals of Mathematics» մաթեմատիկական ամսագրում: Բայց պատմությունն այսքանով էլ չավարտվեց. վերջնական կետին հասան միայն հաջորդ տարի՝ 1995 թվականին, երբ հրապարակվեց ապացույցի վերջնական և «իդեալական», մաթեմատիկական տեսանկյունից տարբերակը։
«...Ծննդյան օրվա առթիվ տոնական ընթրիքի մեկնարկից կես րոպե անց ես Նադյային նվիրեցի ամբողջական ապացույցի ձեռագիրը» (Էնդրյու Ուելս): Դեռ չեմ ասել, որ մաթեմատիկոսները տարօրինակ մարդիկ են։
Այս անգամ ապացույցների մեջ կասկած չկար։ Երկու հոդվածներ ենթարկվեցին առավել մանրակրկիտ վերլուծության և տպագրվեցին 1995 թվականի մայիսին «Annals of Mathematics» ամսագրում:
Այդ պահից շատ ժամանակ է անցել, բայց հասարակության մեջ դեռ կարծիք կա, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմն անլուծելի է։ Բայց նույնիսկ նրանք, ովքեր գիտեն հայտնաբերված ապացույցի մասին, շարունակում են աշխատել այս ուղղությամբ. քչերն են բավարարված, որ Մեծ թեորեմը պահանջում է 130 էջանոց լուծում:
Ուստի հիմա շատ մաթեմատիկոսների (հիմնականում սիրողական, ոչ պրոֆեսիոնալ գիտնականների) ջանքերը նետվում են պարզ ու հակիրճ ապացույցի փնտրտուքների մեջ, բայց այս ճանապարհը, ամենայն հավանականությամբ, ոչ մի տեղ չի տանի...
աղբյուր
Դասախոսություն 6. Ածանցյալների կիրառումը ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեջ
Եթե ֆունկցիան զ(x) ունի ածանցյալ հատվածի յուրաքանչյուր կետում [ Ա, բ], ապա նրա վարքագիծը կարելի է ուսումնասիրել՝ օգտագործելով ածանցյալը զ"(X).
Դիտարկենք դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմնական թեորեմները, որոնք ընկած են ածանցյալ կիրառությունների հիմքում։
Ֆերմատի թեորեմա
Թեորեմ(Ֆերմա) ( ածանցյալի զրոյի հավասարության մասին ). Եթե ֆունկցիան f(x), տարբերվող միջակայքում (ա, բ) և իր ամենամեծ կամ ամենափոքր արժեքը հասնում է c կետում є ( ա, բ), ապա այս կետում ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է, այսինքն. զ"(Հետ) = 0.
Ապացույց. Թողեք գործառույթը զ(x) տարբերվում է միջակայքում ( ա, բ) և կետում X = Հետվերցնում է ամենամեծ արժեքը Մժամը Հետ є ( ա, բ) (նկ. 1), այսինքն.
զ(Հետ) ≥ զ(x) կամ զ(x) – զ(գ) ≤ 0 կամ զ(s +Δ X) – զ(Հետ) ≤ 0.
Ածանցյալ զ"(x) կետում X = Հետ: .
Եթե x> գ, Δ X> 0 (այսինքն, Δ X→ 0 կետից աջ Հետ), դա 
եւ, հետեւաբար զ"(Հետ) ≤ 0.
Եթե x< с
, Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 կետից ձախ Հետ), դա 
, որից բխում է, որ զ"(Հետ) ≥ 0.
Ըստ պայմանի զ(x) տարբերվում է կետում Հետ, հետևաբար, դրա սահմանը ժամը x→ Հետկախված չէ փաստարկի մոտեցման ուղղության ընտրությունից xդեպի կետ Հետ, այսինքն. .
Մենք ստանում ենք համակարգ, որից այն հետևում է զ"(Հետ) = 0.
Դեպքում զ(Հետ) = Տ(դրանք. զ(x) վերցնում է կետում Հետամենափոքր արժեքը), ապացույցը նման է. Թեորեմն ապացուցված է.
Ֆերմայի թեորեմի երկրաչափական իմաստըմիջակայքում ձեռք բերված ամենամեծ կամ ամենափոքր արժեքի կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը զուգահեռ է x-առանցքին:
Այսպիսով, Ֆերմայի վերջին թեորեմը (հաճախ կոչվում է Ֆերմայի վերջին թեորեմ), որը ձևակերպվել է 1637 թվականին ֆրանսիացի փայլուն մաթեմատիկոս Պիեռ Ֆերմայի կողմից, իր բնույթով շատ պարզ է և հասկանալի յուրաքանչյուրի համար, ով ունի միջնակարգ կրթություն: Այն ասում է, որ a բանաձևը n + b n հզորությամբ n = c n հզորությամբ չունի բնական (այսինքն, ոչ կոտորակային) լուծումներ n > 2-ի համար: Ամեն ինչ պարզ և պարզ է թվում, բայց լավագույն մաթեմատիկոսները և սովորական սիրողականները ավելի քան երեքուկես դար պայքարում էին լուծում որոնելու համար:
Ինչու է նա այդքան հայտնի: Հիմա մենք կիմանանք...
Կա՞ն շա՞տ ապացուցված, չապացուցված և դեռևս չապացուցված թեորեմներ: Բանն այստեղ այն է, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմը ներկայացնում է ամենամեծ հակադրությունը ձևակերպման պարզության և ապացույցի բարդության միջև: Ֆերմայի վերջին թեորեմը աներևակայելի բարդ խնդիր է, և, այնուամենայնիվ, դրա ձևակերպումը կարող է հասկանալ ավագ դպրոցի 5-րդ դասարանցիները, բայց նույնիսկ ամեն պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոս չէ, որ կարող է հասկանալ ապացույցը: Ո՛չ ֆիզիկայում, ո՛չ քիմիայում, ո՛չ կենսաբանության, ո՛չ մաթեմատիկայի մեջ չկա մի խնդիր, որը կարելի էր այդքան պարզ ձևակերպել, բայց այսքան ժամանակ չլուծված մնար։ 2. Ինչից է այն բաղկացած:
Սկսենք Պյութագորասի շալվարից: Ձևակերպումը իսկապես պարզ է` առաջին հայացքից: Ինչպես գիտենք մանկուց, «Պյութագորասի շալվարները բոլոր կողմերից հավասար են»: Խնդիրն այնքան պարզ է թվում, քանի որ այն հիմնված էր մաթեմատիկական հայտարարության վրա, որը բոլորը գիտեն՝ Պյութագորասի թեորեմը. ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի վրա կառուցված քառակուսին հավասար է ոտքերի վրա կառուցված քառակուսիների գումարին:
5-րդ դարում մ.թ.ա. Պյութագորասը հիմնեց Պյութագորաս եղբայրությունը։ Պյութագորացիները, ի թիվս այլ բաների, ուսումնասիրեցին x²+y²=z² հավասարությունը բավարարող ամբողջ թվով եռյակներ: Նրանք ապացուցեցին, որ կան անսահման շատ Պյութագորասի եռյակներ և ստացան դրանք գտնելու ընդհանուր բանաձևեր։ Հավանաբար փորձել են փնտրել C և ավելի բարձր աստիճաններ։ Համոզված լինելով, որ դա չի ստացվում, պյութագորացիները հրաժարվեցին իրենց անօգուտ փորձերից: Եղբայրության անդամներն ավելի շատ փիլիսոփաներ ու գեղագետներ էին, քան մաթեմատիկոսներ։
Այսինքն՝ հեշտ է ընտրել թվերի մի շարք, որոնք լիովին բավարարում են x²+y²=z² հավասարությունը:
Սկսած 3-ից, 4-ից, 5-ից, իսկապես, կրտսեր ուսանողը հասկանում է, որ 9 + 16 = 25:
Կամ 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Հիանալի:
Եվ այսպես շարունակ։ Իսկ եթե վերցնենք նմանատիպ x³+y³=z³ հավասարումը: Միգուցե նման թվեր էլ կա՞ն։
Եվ այսպես շարունակ (նկ. 1):
Այսպիսով, պարզվում է, որ նրանք ՉԵՆ։ Այստեղից է սկսվում հնարքը։ Պարզությունն ակնհայտ է, քանի որ դժվար է ապացուցել ոչ թե ինչ-որ բանի առկայությունը, այլ, ընդհակառակը, դրա բացակայությունը։ Երբ դուք պետք է ապացուցեք, որ լուծում կա, դուք կարող եք և պետք է պարզապես ներկայացնել այս լուծումը:
Բացակայությունն ապացուցելը ավելի դժվար է. օրինակ, մեկն ասում է՝ այսինչ հավասարումը լուծումներ չունի։ Դրեք նրան ջրափոսի մեջ: հեշտ: բամ - և ահա, լուծումը: (լուծում տալ): Եվ վերջ, հակառակորդը պարտված է։ Ինչպե՞ս ապացուցել բացակայությունը:
Ասա. «Ես նման լուծումներ չե՞մ գտել»: Կամ գուցե լավ չէի՞ք նայվում։ Իսկ եթե դրանք կան, բայց շատ մեծ են, շատ մեծ, այնպիսին, որ նույնիսկ գերհզոր համակարգիչը դեռ բավարար ուժ չունի: Սա այն է, ինչ դժվար է.
Սա տեսողականորեն կարելի է ցույց տալ այսպես. եթե վերցնում եք համապատասխան չափերի երկու քառակուսի և դրանք ապամոնտաժում եք միավոր քառակուսիների, ապա այս միավոր քառակուսիների կույտից դուք ստանում եք երրորդ քառակուսի (նկ. 2).
Բայց եկեք նույնն անենք երրորդ հարթության հետ (նկ. 3) – այն չի աշխատում: Չկան բավարար խորանարդներ, կամ մնացել են լրացուցիչ.
Բայց 17-րդ դարի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Պիեռ դը Ֆերմատը խանդավառությամբ ուսումնասիրեց ընդհանուր x հավասարումը. n +y n =z n . Եվ վերջապես ես եզրակացրի. n>2-ի համար չկան ամբողջ թվային լուծում: Ֆերմատի ապացույցն անդառնալիորեն կորել է։ Այրվում են ձեռագրեր։ Մնում է միայն Դիոֆանտոսի թվաբանության մեջ նրա դիտողությունը.
Փաստորեն, առանց ապացույցի թեորեմը կոչվում է հիպոթեզ: Բայց Ֆերմատը երբեք չի սխալվելու համբավ ունի: Նույնիսկ եթե նա չի թողել ցուցմունքի ապացույց, այն հետագայում հաստատվել է: Ավելին, Ֆերմատն ապացուցեց իր թեզը n=4-ի համար։ Այսպիսով, ֆրանսիացի մաթեմատիկոսի վարկածը պատմության մեջ մտավ որպես Ֆերմայի վերջին թեորեմ:
Ֆերմատից հետո այնպիսի մեծ մտքեր, ինչպիսին Լեոնհարդ Էյլերն էր, աշխատեցին ապացույցի որոնման վրա (1770 թվականին նա առաջարկեց լուծում n=3-ի համար),
Ադրիեն Լեժանդրը և Յոհան Դիրիխլեն (այս գիտնականները համատեղ գտել են n=5-ի ապացույցը 1825 թվականին), Գաբրիել Լամեն (ով գտել է n=7-ի ապացույցը) և շատ ուրիշներ։ Անցյալ դարի 80-ականների կեսերին պարզ դարձավ, որ գիտական աշխարհը գտնվում է Ֆերմայի վերջին թեորեմի վերջնական լուծման ճանապարհին, բայց միայն 1993 թվականին մաթեմատիկոսները տեսան և հավատացին, որ ապացույցը փնտրելու երեքդարյա էպոսը. Ֆերմայի վերջին թեորեմը գործնականում ավարտված էր։
Հեշտությամբ ցույց է տրվում, որ բավարար է Ֆերմայի թեորեմն ապացուցել միայն պարզ n-ի համար՝ 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Բաղադրյալ n-ի համար ապացույցը մնում է վավեր: Բայց պարզ թվեր կան անսահման շատ...
1825 թվականին Սոֆի Ժերմենի մեթոդով կին մաթեմատիկոսները Դիրիխլեն և Լեժանդրը ինքնուրույն ապացուցեցին n=5-ի թեորեմը։ 1839 թվականին նույն մեթոդով ֆրանսիացի Գաբրիել Լամը ցույց է տվել թեորեմի ճշմարտացիությունը n=7-ի համար։ Աստիճանաբար թեորեմն ապացուցվեց հարյուրից պակաս գրեթե բոլորի համար:
Ի վերջո, գերմանացի մաթեմատիկոս Էռնստ Կումմերը փայլուն ուսումնասիրությամբ ցույց տվեց, որ թեորեմն ընդհանրապես չի կարող ապացուցվել 19-րդ դարի մաթեմատիկայի մեթոդներով։ Ֆրանսիական գիտությունների ակադեմիայի մրցանակը, որը հաստատվել էր 1847 թվականին Ֆերմայի թեորեմի ապացուցման համար, մնաց չշնորհված։
1907 թվականին գերմանացի մեծահարուստ արդյունաբերող Փոլ Վոլֆսկեհլը որոշեց ինքնասպան լինել անպատասխան սիրո պատճառով։ Իսկական գերմանացու նման նա սահմանեց ինքնասպանության օրն ու ժամը՝ ուղիղ կեսգիշերին: Վերջին օրը նա կտակ է արել և նամակներ գրել ընկերներին ու հարազատներին։ Գործերն ավարտվեցին մինչև կեսգիշեր։ Պետք է ասել, որ Փոլը հետաքրքրված էր մաթեմատիկայով։ Ուրիշ անելիք չունենալով՝ նա գնաց գրադարան և սկսեց կարդալ Կումերի հայտնի հոդվածը։ Հանկարծ նրան թվաց, որ Կումմերը սխալվել է իր պատճառաբանության մեջ։ Վոլֆսկելը սկսեց վերլուծել հոդվածի այս հատվածը՝ մատիտը ձեռքին։ Կեսգիշերն անցավ, առավոտ եկավ։ Ապացույցի բացը լրացվել է. Եվ հենց ինքնասպանության պատճառն այժմ լրիվ ծիծաղելի էր թվում։ Պողոսը պատռեց իր հրաժեշտի նամակները և նորից գրեց իր կտակը։
Շուտով նա մահացավ բնական մահով։ Ժառանգները բավականին զարմացած էին. 100,000 մարկ (ավելի քան 1,000,000 ընթացիկ ֆունտ ստեռլինգ) փոխանցվեց Գյոթինգենի թագավորական գիտական ընկերության հաշվին, որը նույն թվականին հայտարարեց Վոլֆսկեհլի մրցանակի համար մրցույթ։ Ֆերմայի թեորեմն ապացուցողին շնորհվել է 100 000 միավոր։ Թեորեմը հերքելու համար ոչ մի պֆենինգ չի շնորհվել...
Պրոֆեսիոնալ մաթեմատիկոսների մեծամասնությունը Ֆերմայի Վերջին թեորեմի ապացույցի որոնումը անհույս խնդիր համարեց և վճռականորեն հրաժարվեց ժամանակ վատնել նման անօգուտ վարժության վրա։ Բայց սիրողականները պայթեցին: Հայտարարությունից մի քանի շաբաթ անց «ապացույցների» ձնահյուսը հարվածեց Գյոթինգենի համալսարանին: Պրոֆեսոր Է.Մ. Լանդաուն, ում պարտականությունն էր վերլուծել ուղարկված ապացույցները, բացիկներ բաժանեց իր ուսանողներին.
Սիրելի։ . . . . . . .
Շնորհակալ եմ, որ ինձ ուղարկեցիք ձեռագիրը Ֆերմայի վերջին թեորեմի ապացույցով: Առաջին սխալը գտնվում է էջում ... տողում... . Դրա պատճառով ամբողջ ապացույցը կորցնում է իր վավերականությունը:
Պրոֆեսոր E. M. Landau
1963 թվականին Փոլ Քոհենը, հենվելով Գյոդելի բացահայտումների վրա, ապացուցեց Հիլբերտի քսաներեք խնդիրներից մեկի՝ շարունակականության վարկածի անլուծելիությունը։ Իսկ եթե Ֆերմայի վերջին թեորեմը նույնպես անորոշ է: Սակայն Մեծ Թեորեմի իսկական ֆանատիկոսները ամենևին էլ հիասթափված չէին: Համակարգիչների հայտնվելը մաթեմատիկոսներին հանկարծ ապացուցման նոր մեթոդ տվեց: Երկրորդ համաշխարհային պատերազմից հետո ծրագրավորողների և մաթեմատիկոսների թիմերը ապացուցեցին Ֆերմայի վերջին թեորեմը n-ի բոլոր արժեքների համար մինչև 500, այնուհետև մինչև 1000 և հետագայում մինչև 10000:
1980-ականներին Սամուել Վագստաֆը սահմանը բարձրացրեց մինչև 25000, իսկ 1990-ականներին մաթեմատիկոսները հայտարարեցին, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմը ճշմարիտ է n-ի բոլոր արժեքների համար մինչև 4 միլիոն: Բայց եթե անսահմանությունից հանես նույնիսկ մեկ տրիլիոն տրիլիոն, այն չի փոքրանա: Մաթեմատիկոսներին վիճակագրությունը չի համոզում. Ապացուցել Մեծ թեորեմը նշանակում էր ապացուցել այն ԲՈԼՈՐ n-ի համար դեպի անսահմանություն:
1954 թվականին երկու երիտասարդ ճապոնացի մաթեմատիկոս ընկերներ սկսեցին ուսումնասիրել մոդուլային ձևերը: Այս ձևերը առաջացնում են թվերի շարք, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր շարքը: Պատահականորեն Թանիյաման այս շարքերը համեմատեց էլիպսային հավասարումների արդյունքում առաջացած շարքերի հետ։ Նրանք համընկնում էին։ Բայց մոդուլային ձևերը երկրաչափական առարկաներ են, իսկ էլիպսային հավասարումները հանրահաշվական են: Նման տարբեր օբյեկտների միջև որևէ կապ երբևէ չի հայտնաբերվել։
Այնուամենայնիվ, ուշադիր փորձարկումներից հետո ընկերները առաջ քաշեցին մի վարկած՝ յուրաքանչյուր էլիպսային հավասարում ունի երկվորյակ՝ մոդուլային ձև և հակառակը։ Հենց այս վարկածը դարձավ մաթեմատիկայի մի ամբողջ ուղղության հիմքը, բայց քանի դեռ Թանիյամա-Շիմուրա վարկածն ապացուցված չէր, ամբողջ շենքը կարող էր փլվել ցանկացած պահի:
1984 թվականին Գերհարդ Ֆրեյը ցույց տվեց, որ Ֆերմատի հավասարման լուծումը, եթե այն գոյություն ունի, կարող է ներառվել որոշ էլիպսային հավասարման մեջ։ Երկու տարի անց պրոֆեսոր Քեն Ռիբեթն ապացուցեց, որ այս հիպոթետիկ հավասարումը մոդուլային աշխարհում նմանը չի կարող ունենալ։ Այսուհետ Ֆերմայի վերջին թեորեմը անքակտելիորեն կապված էր Տանիյամա–Շիմուրայի ենթադրության հետ։ Ապացուցելով, որ ցանկացած էլիպսային կոր մոդուլային է, մենք եզրակացնում ենք, որ Ֆերմատի հավասարման լուծմամբ էլիպսային հավասարում չկա, և Ֆերմայի վերջին թեորեմը անմիջապես կհաստատվի: Բայց երեսուն տարի հնարավոր չէր ապացուցել Տանիյամա-Շիմուրայի վարկածը, և հաջողության հույսը գնալով ավելի քիչ էր։
1963 թվականին, երբ նա ընդամենը տասը տարեկան էր, Էնդրյու Ուայլսն արդեն հիացած էր մաթեմատիկայով։ Երբ նա իմացավ Մեծ թեորեմի մասին, նա հասկացավ, որ չի կարող հրաժարվել դրանից: Լինելով դպրոցական, ուսանող և ասպիրանտ, նա իրեն պատրաստեց այս գործին:
Իմանալով Քեն Ռիբեթի գտածոների մասին՝ Ուայլսը գլխապտույտ սկսեց ապացուցել Տանիյամա-Շիմուրայի ենթադրությունը: Նա որոշել է աշխատել լիակատար մեկուսացման և գաղտնիության պայմաններում։ «Ես հասկացա, որ այն ամենը, ինչ կապ ուներ Ֆերմայի վերջին թեորեմի հետ, չափազանց մեծ հետաքրքրություն է առաջացնում... Չափազանց շատ հանդիսատեսներ ակնհայտորեն խանգարում են նպատակին հասնելուն»: Յոթ տարվա քրտնաջան աշխատանքը տվեց իր արդյունքը.
1993 թվականին անգլիացի մաթեմատիկոս Էնդրյու Ուայլսն աշխարհին ներկայացրեց Ֆերմայի վերջին թեորեմի իր ապացույցը (Ուայլսը կարդաց իր սենսացիոն աշխատությունը Քեմբրիջի Սըր Իսահակ Նյուտոնի ինստիտուտի կոնֆերանսում), որի վրա աշխատանքը տևեց ավելի քան յոթ տարի:
Մինչ մամուլում աժիոտաժը շարունակվում էր, լուրջ աշխատանք սկսվեց ապացույցների ստուգման ուղղությամբ: Յուրաքանչյուր ապացույց պետք է մանրակրկիտ ուսումնասիրվի, նախքան ապացույցները կարող են համարվել խիստ և ճշգրիտ: Ուայլսն անհանգիստ ամառ անցկացրեց՝ սպասելով գրախոսողների արձագանքներին՝ հուսալով, որ նա կկարողանա շահել նրանց հավանությունը: Օգոստոսի վերջին փորձագետները դատավճիռը անբավարար են գտել։
Պարզվեց, որ այս որոշումը կոպիտ սխալ է պարունակում, թեև ընդհանուր առմամբ այն ճիշտ է։ Ուայլսը չհուսահատվեց, օգնության կանչեց թվերի տեսության հայտնի մասնագետ Ռիչարդ Թեյլորին, և արդեն 1994 թվականին նրանք հրապարակեցին թեորեմի շտկված և ընդլայնված ապացույցը։ Ամենազարմանալին այն է, որ այս աշխատանքը զբաղեցրել է 130 (!) էջ «Annals of Mathematics» մաթեմատիկական ամսագրում: Բայց պատմությունն այսքանով էլ չավարտվեց. վերջնական կետին հասան միայն հաջորդ տարի՝ 1995 թվականին, երբ հրապարակվեց ապացույցի վերջնական և «իդեալական», մաթեմատիկական տեսանկյունից տարբերակը։
«...Ծննդյան օրվա առթիվ տոնական ընթրիքի մեկնարկից կես րոպե անց ես Նադյային նվիրեցի ամբողջական ապացույցի ձեռագիրը» (Էնդրյու Ուելս): Դեռ չեմ ասել, որ մաթեմատիկոսները տարօրինակ մարդիկ են։
Այս անգամ ապացույցների մեջ կասկած չկար։ Երկու հոդվածներ ենթարկվեցին առավել մանրակրկիտ վերլուծության և տպագրվեցին 1995 թվականի մայիսին «Annals of Mathematics» ամսագրում:
Այդ պահից շատ ժամանակ է անցել, բայց հասարակության մեջ դեռ կարծիք կա, որ Ֆերմայի վերջին թեորեմն անլուծելի է։ Բայց նույնիսկ նրանք, ովքեր գիտեն հայտնաբերված ապացույցի մասին, շարունակում են աշխատել այս ուղղությամբ. քչերն են բավարարված, որ Մեծ թեորեմը պահանջում է 130 էջանոց լուծում:
Ուստի հիմա շատ մաթեմատիկոսների (հիմնականում սիրողական, ոչ պրոֆեսիոնալ գիտնականների) ջանքերը նետվում են պարզ ու հակիրճ ապացույցի փնտրտուքների մեջ, բայց այս ճանապարհը, ամենայն հավանականությամբ, ոչ մի տեղ չի տանի...
