ՀԱՄԱՍԵՆ ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Միատարր համակարգ գծային հավասարումներկոչվում է ձևի համակարգ

Հասկանալի է, որ այս դեպքում , որովհետեւ Այս որոշիչներում սյունակներից մեկի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի:

Քանի որ անհայտները գտնվում են ըստ բանաձևերի , ապա այն դեպքում, երբ Δ ≠ 0, համակարգն ունի եզակի զրոյական լուծում x = y = զ= 0. Այնուամենայնիվ, շատ խնդիրներում հետաքրքիր հարցն այն է, թե արդյոք համասեռ համակարգը զրոյից տարբեր լուծումներ ունի:

Թեորեմ.Գծային համակարգի համար միատարր հավասարումներուներ ոչ զրոյական լուծում, անհրաժեշտ է և բավարար, որ Δ ≠ 0:

Այսպիսով, եթե Δ ≠ 0 որոշիչը, ապա համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։ Եթե ​​Δ ≠ 0, ապա գծային միատարր հավասարումների համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։

Օրինակներ.

Մատրիցայի սեփական վեկտորները և սեփական արժեքները

Թող տրվի քառակուսի մատրիցա , X– ինչ-որ մատրից-սյունակ, որի բարձրությունը համընկնում է մատրիցայի կարգի հետ Ա. .

Շատ խնդիրների դեպքում մենք պետք է հաշվի առնենք դրա հավասարումը X

որտեղ λ-ն որոշակի թիվ է: Պարզ է, որ ցանկացած λ-ի համար այս հավասարումն ունի զրոյական լուծում:

λ թիվը, որի համար այս հավասարումը ունի ոչ զրոյական լուծումներ, կոչվում է սեփական արժեքմատրիցներ Ա, Ա Xնման λ-ի համար կոչվում է սեփական վեկտորմատրիցներ Ա.

Գտնենք մատրիցայի սեփական վեկտորը Ա. Քանի որ Ե∙X = X, ապա մատրիցային հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես կամ . Ընդլայնված ձևով այս հավասարումը կարող է վերագրվել որպես գծային հավասարումների համակարգ: Իսկապես .

Եւ, հետեւաբար

Այսպիսով, մենք ստացել ենք միատարր գծային հավասարումների համակարգ կոորդինատները որոշելու համար x 1, x 2, x 3վեկտոր X. Համակարգը ոչ զրոյական լուծումներ ունենալու համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ համակարգի որոշիչը հավասար լինի զրոյի, այսինքն.

Սա λ-ի 3-րդ աստիճանի հավասարումն է: Դա կոչվում է բնորոշ հավասարումմատրիցներ Աև ծառայում է λ-ի սեփական արժեքները որոշելու համար։

Յուրաքանչյուր սեփական արժեք λ համապատասխանում է սեփական վեկտորի X, որոնց կոորդինատները որոշվում են համակարգից λ-ի համապատասխան արժեքով։

Օրինակներ.

ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ՀԱՇՎԻ. ՎԵԿՏՈՐԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ

Ֆիզիկայի տարբեր ճյուղեր ուսումնասիրելիս կան մեծություններ, որոնք ամբողջությամբ որոշվում են՝ նշելով դրանց թվային արժեքները, օրինակ՝ երկարությունը, մակերեսը, զանգվածը, ջերմաստիճանը և այլն։ Նման մեծությունները կոչվում են սկալյար։ Սակայն դրանցից բացի կան նաև մեծություններ, որոնք որոշելու համար, բացի թվային արժեքից, անհրաժեշտ է նաև իմանալ դրանց ուղղությունը տարածության մեջ, օրինակ՝ մարմնի վրա ազդող ուժը, արագությունն ու արագացումը. մարմինը, երբ այն շարժվում է տարածության մեջ, լարվածություն մագնիսական դաշտըտարածության տվյալ կետում և այլն: Նման մեծությունները կոչվում են վեկտորային մեծություններ։

Ներկայացնենք խիստ սահմանում.

Ուղղորդված հատվածԱնվանենք մի հատված, որի ծայրերի նկատմամբ հայտնի է, թե դրանցից որն է առաջինը, որը՝ երկրորդը։

Վեկտորկոչվում է որոշակի երկարություն ունեցող ուղղորդված հատված, այսինքն. Սա որոշակի երկարության հատված է, որտեղ այն սահմանափակող կետերից մեկն ընդունվում է որպես սկիզբ, իսկ երկրորդը՝ վերջ։ Եթե Ա- վեկտորի սկիզբը, Բնրա վերջն է, ապա վեկտորը նշվում է նշանով, բացի այդ, վեկտորը հաճախ նշվում է մեկ տառով: Նկարում վեկտորը նշված է հատվածով, իսկ ուղղությունը՝ սլաքով:

Մոդուլկամ երկարությունըՎեկտորը կոչվում է ուղղորդված հատվածի երկարություն, որը սահմանում է այն: Նշվում է || կամ ||.

Որպես վեկտորներ կներառենք նաև այսպես կոչված զրոյական վեկտորը, որի սկիզբն ու վերջը համընկնում են։ Նշանակված է. Զրոյական վեկտորը չունի կոնկրետ ուղղություն և նրա մոդուլը զրո է ||=0:

Վեկտորները կոչվում են համագիծ, եթե դրանք գտնվում են նույն կամ զուգահեռ գծերի վրա։ Ավելին, եթե վեկտորները և նույն ուղղությամբ են, մենք կգրենք, հակառակը:

Նույն հարթությանը զուգահեռ ուղիղ գծերի վրա գտնվող վեկտորները կոչվում են համակողմանի.

Երկու վեկտորները կոչվում են հավասար, եթե դրանք համագիծ են, ունեն նույն ուղղությունը և հավասար են երկարությամբ։ Այս դեպքում գրում են.

Վեկտորների հավասարության սահմանումից հետևում է, որ վեկտորը կարող է փոխադրվել իրեն զուգահեռ՝ տեղադրելով իր ծագումը տարածության ցանկացած կետում։

Օրինակ.

ԳԾԱՅԻՆ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ՎՐԱ

1. Վեկտորը թվով բազմապատկելը.

   Վեկտորի և λ թվի արտադրյալը այնպիսի նոր վեկտոր է, որը.

   Վեկտորի և λ թվի արտադրյալը նշանակվում է .

   

   Օրինակ,կա վեկտոր, որն ուղղված է վեկտորի նույն ուղղությամբ և ունի վեկտորի երկարության կեսը:

   Ներկայացված օպերացիան ունի հետևյալը հատկությունները:

2. Վեկտորի ավելացում.

   Թող և լինեն երկու կամայական վեկտորներ: Վերցնենք կամայական կետ Օև կառուցիր վեկտոր: Դրանից հետո կետից Ամի կողմ դնենք վեկտորը. Առաջին վեկտորի սկիզբը երկրորդի վերջի հետ կապող վեկտորը կոչվում է գումարըայս վեկտորներից և նշվում է .

   

   Վեկտորի ավելացման ձևակերպված սահմանումը կոչվում է զուգահեռագծի կանոն, քանի որ վեկտորների նույն գումարը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ. Կետից հետաձգենք Օվեկտորները և. Այս վեկտորների վրա կառուցենք զուգահեռագիծ OABC. Քանի որ վեկտորները, ապա վեկտորը, որը գագաթից գծված զուգահեռագծի անկյունագիծն է Օ, ակնհայտորեն կլինի վեկտորների գումար:

   

   Հեշտ է ստուգել հետևյալը վեկտորի ավելացման հատկությունները.

3. Վեկտորային տարբերություն.

   Կոչվում է տրված վեկտորի համագիծ վեկտորը, որը հավասար է երկարությամբ և հակառակ ուղղությամբ հակառակըվեկտորը վեկտորի համար և նշանակվում է . Հակառակ վեկտորը կարելի է համարել որպես վեկտորը λ = –1 թվով բազմապատկելու արդյունք:

Սեփական արժեքներ (թվեր) և սեփական վեկտորներ:
Լուծումների օրինակներ

Մնա ինչպիսին կաս

Երկու հավասարումներից էլ հետևում է, որ.

Հետո դնենք. .

Որպես արդյունք: - երկրորդ սեփական վեկտորը:

Կրկնենք կարևոր կետերլուծումներ:

– արդյունքում ստացված համակարգը, անշուշտ, ունի ընդհանուր որոշում(հավասարումները գծային կախված են);

– «y»-ն ընտրում ենք այնպես, որ այն լինի ամբողջ, իսկ առաջին «x» կոորդինատը լինի ամբողջ, դրական և հնարավորինս փոքր:

- մենք ստուգում ենք, որ կոնկրետ լուծումը բավարարում է համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը:

Պատասխանել .

Միջանկյալ» հսկիչ կետեր«Բավականին բավարար էր, ուստի հավասարությունները ստուգելը սկզբունքորեն ավելորդ է։

Տեղեկատվության տարբեր աղբյուրներում սեփական վեկտորների կոորդինատները հաճախ գրվում են ոչ թե սյունակներում, այլ տողերում, օրինակ. (և, ճիշտն ասած, ես ինքս սովոր եմ դրանք տողերով գրել). Այս տարբերակն ընդունելի է, բայց թեմայի լույսի ներքո գծային փոխակերպումներտեխնիկապես ավելի հարմար է օգտագործման համար սյունակի վեկտորներ.

Միգուցե լուծումը ձեզ շատ երկար թվաց, բայց դա միայն այն պատճառով, որ ես շատ մանրամասն մեկնաբանեցի առաջին օրինակը:

Օրինակ 2

Մատրիցներ

Եկեք մարզվենք ինքնուրույն: Վերջնական առաջադրանքի մոտավոր օրինակ դասի վերջում։

Երբեմն դուք պետք է անեք լրացուցիչ առաջադրանք, այսինքն:

գրեք կանոնական մատրիցային տարրալուծումը

Ինչ է դա?

Եթե ​​մատրիցայի սեփական վեկտորները ձևավորվեն հիմք, ապա այն կարող է ներկայացվել որպես.

Որտեղ է մատրիցը, որը կազմված է սեփական վեկտորների կոորդինատներից, – անկյունագծայինմատրիցա՝ համապատասխան սեփական արժեքներով։

Այս մատրիցային տարրալուծումը կոչվում է կանոնականկամ անկյունագծային.

Դիտարկենք առաջին օրինակի մատրիցը։ Դրա սեփական վեկտորները գծային անկախ(ոչ գծային) և հիմք են կազմում: Եկեք ստեղծենք դրանց կոորդինատների մատրիցը.

Վրա հիմնական անկյունագիծմատրիցներ համապատասխան կարգովսեփական արժեքները գտնվում են, իսկ մնացած տարրերը հավասար են զրոյի.
– Ես ևս մեկ անգամ շեշտում եմ կարգի կարևորությունը. «երկու»-ը համապատասխանում է 1-ին վեկտորին և, հետևաբար, գտնվում է 1-ին սյունակում, «երեք»-ը՝ 2-րդ վեկտորին:

Ըստ սովորական ալգորիթմինգտնելը հակադարձ մատրիցակամ Գաուս-Հորդանանի մեթոդմենք գտնում ենք . Ոչ, դա տառասխալ չէ: - Քեզնից առաջ հազվագյուտ իրադարձություն է, ինչպես արևի խավարումը, երբ հակառակը համընկավ սկզբնական մատրիցայի հետ:

Մնում է գրել մատրիցայի կանոնական տարրալուծումը.

Համակարգը կարող է լուծվել տարրական փոխակերպումների միջոցով, և մենք կդիմենք հետևյալ օրինակներին այս մեթոդը. Բայց այստեղ «դպրոցական» մեթոդը շատ ավելի արագ է աշխատում։ 3-րդ հավասարումից արտահայտում ենք՝ – փոխարինել երկրորդ հավասարման.

Քանի որ առաջին կոորդինատը զրո է, մենք ստանում ենք համակարգ, որի յուրաքանչյուր հավասարումից բխում է, որ .

Եւ կրկին ուշադրություն դարձրեք գծային հարաբերությունների պարտադիր առկայությանը. Եթե ​​ստացվի միայն չնչին լուծում , ապա կա՛մ սեփական արժեքը սխալ է հայտնաբերվել, կա՛մ համակարգը կազմվել/լուծվել է սխալմամբ։

Կոմպակտ կոորդինատները տալիս են արժեքը

Սեփական վեկտոր:

Եվ ևս մեկ անգամ ստուգում ենք, որ լուծումը գտնված է բավարարում է համակարգի բոլոր հավասարումները. Հետագա պարբերություններում և հաջորդ առաջադրանքներում ես խորհուրդ եմ տալիս այս ցանկությունն ընդունել որպես պարտադիր կանոն:

2) Սեփական արժեքի համար, օգտագործելով նույն սկզբունքը, մենք ստանում ենք հետևյալ համակարգը:

Համակարգի 2-րդ հավասարումից արտահայտում ենք՝ – փոխարինել երրորդ հավասարման.

Քանի որ «զետա» կոորդինատը հավասար է զրոյի, մենք ստանում ենք համակարգ, որի յուրաքանչյուր հավասարումից հետևում է. գծային կախվածություն.

Թող

Ստուգելով, որ լուծումը բավարարում է համակարգի բոլոր հավասարումները:

Այսպիսով, սեփական վեկտորը հետևյալն է.

3) Եվ վերջապես, համակարգը համապատասխանում է սեփական արժեքին.

Երկրորդ հավասարումը թվում է ամենապարզը, ուստի եկեք արտահայտենք այն և փոխարինենք 1-ին և 3-րդ հավասարումներով.

Ամեն ինչ լավ է. առաջացել է գծային հարաբերություն, որը մենք փոխարինում ենք արտահայտությամբ.

Արդյունքում «x»-ը և «y»-ն արտահայտվել են «z»-ի միջոցով. Գործնականում անհրաժեշտ չէ հասնել հենց այդպիսի հարաբերությունների, որոշ դեպքերում ավելի հարմար է արտահայտվել ինչպես միջոցով, այնպես էլ միջոցով: Կամ նույնիսկ «գնացք» - օրինակ՝ «X»-ը «I»-ի միջոցով, իսկ «I»-ը «Z»-ի միջոցով:

Հետո դնենք.

Մենք ստուգում ենք, որ լուծումը գտնված է բավարարում է համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը և գրում երրորդ սեփական վեկտորը

Պատասխանելսեփական վեկտորներ:

Երկրաչափական առումով այս վեկտորները սահմանում են երեք տարբեր տարածական ուղղություններ («Այնտեղ և նորից»), ըստ որի գծային փոխակերպումփոխակերպում է ոչ զրոյական վեկտորները (սեփական վեկտորները) կոլգծային վեկտորների:

Եթե ​​պայմանը պահանջում էր գտնել կանոնական տարրալուծումը, ապա դա հնարավոր է այստեղ, քանի որ տարբեր սեփական արժեքները համապատասխանում են տարբեր գծային անկախ սեփական վեկտորներին: Մատրիցայի պատրաստում դրանց կոորդինատներից՝ անկյունագծային մատրիցա -ից համապատասխանսեփական արժեքներ և գտնել հակադարձ մատրիցա .

Եթե, պայմանով, պետք է գրել գծային փոխակերպման մատրիցա սեփական վեկտորների հիմքում, ապա պատասխանը տալիս ենք ձևով։ Տարբերություն կա, և տարբերությունը զգալի է։Քանի որ այս մատրիցը «դե» մատրիցն է:

Խնդիր ավելիի հետ պարզ հաշվարկներՀամար անկախ որոշում:

Օրինակ 5

Գտե՛ք մատրիցով տրված գծային փոխակերպման սեփական վեկտորները

Ձեր սեփական թվերը գտնելիս աշխատեք մինչև վերջ չգնալ 3-րդ աստիճանի բազմանդամին: Բացի այդ, ձեր համակարգային լուծումները կարող են տարբերվել իմ լուծումներից. այստեղ որոշակիություն չկա. և ձեր գտած վեկտորները կարող են տարբերվել նմուշային վեկտորներից մինչև դրանց համապատասխան կոորդինատների համաչափությունը: Օրինակ, և. Պատասխանը ձևով ներկայացնելն ավելի էսթետիկորեն հաճելի է, բայց նորմալ է, եթե կանգ առնեք երկրորդ տարբերակի վրա: Այնուամենայնիվ, ամեն ինչի համար կան ողջամիտ սահմաններ, տարբերակն այլևս այնքան էլ լավ տեսք չունի:

Դասի վերջում առաջադրանքի մոտավոր վերջնական նմուշ.

Ինչպե՞ս լուծել խնդիրը բազմաթիվ սեփական արժեքների դեպքում:

Ընդհանուր ալգորիթմմնում է նույնը, բայց այն ունի իր առանձնահատկությունները, և լուծման որոշ հատվածներ խորհուրդ է տրվում պահպանել ավելի խիստ ակադեմիական ոճով.

Օրինակ 6

Գտեք սեփական արժեքներ և սեփական վեկտորներ

Լուծում

Իհարկե, մեծատառով գրենք առասպելական առաջին սյունակը.

Իսկ քայքայվելուց հետո քառակուսի եռանկյունըստ բազմապատկիչների.

Արդյունքում ստացվում են սեփական արժեքներ, որոնցից երկուսը բազմապատիկ են:

Գտնենք սեփական վեկտորները.

1) Եկեք գործ ունենանք միայնակ զինվորի հետ «պարզեցված» սխեմայի համաձայն.

Վերջին երկու հավասարումներից հստակ երևում է հավասարությունը, որն ակնհայտորեն պետք է փոխարինվի համակարգի 1-ին հավասարմամբ.

Դուք չեք գտնի ավելի լավ համադրություն.
Սեփական վեկտոր:

2-3) Այժմ մենք հեռացնում ենք մի քանի պահակ: IN այս դեպքումդա կարող է ստացվել կա՛մ երկու, կա՛մ մեկըսեփական վեկտոր. Անկախ արմատների բազմակիությունից՝ մենք արժեքը փոխարինում ենք որոշիչով որը մեզ բերում է հաջորդը գծային հավասարումների միատարր համակարգ:

Սեփական վեկտորները հենց վեկտորներ են
լուծումների հիմնարար համակարգ

Իրականում, ամբողջ դասի ընթացքում մենք ոչինչ չենք արել, քան գտնել հիմնական համակարգի վեկտորները: Պարզապես այս տերմինն առայժմ առանձնապես պահանջված չէր։ Ի դեպ, այն խելացի ուսանողները, որոնք բաց են թողել թեման կամուֆլյաժ կոստյումներով միատարր հավասարումներ, կստիպեն ծխել այն հիմա։

Միակ գործողությունը ավելորդ գծերի հեռացումն էր։ Արդյունքը մեկ առ երեք մատրից է, որի մեջտեղում կա պաշտոնական «քայլ»:
– հիմնական փոփոխական, – ազատ փոփոխականներ: Հետևաբար, կան երկու ազատ փոփոխականներ կան նաև հիմնարար համակարգի երկու վեկտորներ.

Հիմնական փոփոխականն արտահայտենք ազատ փոփոխականներով. «X»-ի դիմաց զրոյական բազմապատկիչը թույլ է տալիս նրան ընդունել բացարձակապես ցանկացած արժեք (ինչը հստակ տեսանելի է հավասարումների համակարգից):

Այս խնդրի համատեքստում ավելի հարմար է ընդհանուր լուծումը գրել ոչ թե անընդմեջ, այլ սյունակով.

Զույգը համապատասխանում է սեփական վեկտորին.
Զույգը համապատասխանում է սեփական վեկտորին.

Նշում Բարդ ընթերցողները կարող են ընտրել այս վեկտորները բանավոր՝ պարզապես վերլուծելով համակարգը , բայց այստեղ անհրաժեշտ է որոշակի գիտելիքներ. կան երեք փոփոխականներ. համակարգի մատրիցային դասակարգում- մեկ, ինչը նշանակում է հիմնարար որոշումների համակարգբաղկացած է 3 – 1 = 2 վեկտորից: Այնուամենայնիվ, հայտնաբերված վեկտորները հստակ տեսանելի են նույնիսկ առանց այդ գիտելիքի, զուտ ինտուիտիվ մակարդակով: Այս դեպքում երրորդ վեկտորն էլ ավելի «գեղեցիկ» կգրվի. Այնուամենայնիվ, զգուշացնում եմ ձեզ, որ մեկ այլ օրինակում հնարավոր չէ պարզ ընտրություն կատարել, ինչի պատճառով էլ կետը նախատեսված է փորձառու մարդկանց համար։ Բացի այդ, ինչո՞ւ չընդունել, ասենք, որպես երրորդ վեկտոր։ Ի վերջո, նրա կոորդինատները նույնպես բավարարում են համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը և վեկտորները գծային անկախ. Այս տարբերակը, սկզբունքորեն, հարմար է, բայց «ծուռ», քանի որ «մյուս» վեկտորը հիմնարար համակարգի վեկտորների գծային համակցություն է:

Պատասխանելսեփական արժեքներ: , սեփական վեկտորներ:

Նմանատիպ օրինակ անկախ լուծման համար.

Օրինակ 7

Գտեք սեփական արժեքներ և սեփական վեկտորներ

Վերջնական ձևավորման մոտավոր նմուշ դասի վերջում:

Հարկ է նշել, որ և՛ 6-րդ, և՛ 7-րդ օրինակներում ստացվում է գծային անկախ սեփական վեկտորների եռակի, և, հետևաբար, սկզբնական մատրիցը ներկայացված է կանոնական տարրալուծման մեջ: Բայց նման ազնվամորիները ոչ բոլոր դեպքերում են լինում.

Օրինակ 8

ԼուծումՍտեղծենք և լուծենք բնորոշ հավասարումը.

Եկեք ընդլայնենք առաջին սյունակի որոշիչը.

Հետագա պարզեցումներ ենք կատարում դիտարկված մեթոդի համաձայն՝ խուսափելով երրորդ աստիճանի բազմանդամից.

- սեփական արժեքներ.

Գտնենք սեփական վեկտորները.

1) Արմատի հետ կապված դժվարություններ չկան.

Մի զարմացեք, բացի հանդերձանքից, կան նաև փոփոխականներ, որոնք օգտագործվում են. այստեղ տարբերություն չկա:

3-րդ հավասարումից այն արտահայտում ենք և փոխարինում 1-ին և 2-րդ հավասարումներով.

Երկու հավասարումներից էլ հետևում է.

Թող ուրեմն.

2-3) Բազմաթիվ արժեքների համար մենք ստանում ենք համակարգը .

Եկեք գրենք համակարգի մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

www.siteթույլ է տալիս գտնել. Կայքը կատարում է հաշվարկը: Մի քանի վայրկյանից սերվերը կտա ճիշտ լուծումը։ Մատրիցայի բնորոշ հավասարումըկլինի հանրահաշվական արտահայտություն, գտնված է որոշիչի հաշվարկման կանոնով մատրիցներ մատրիցներ, մինչդեռ հիմնական անկյունագծի երկայնքով տարբերություններ կլինեն անկյունագծային տարրերի և փոփոխականի արժեքների մեջ: Հաշվարկելիս բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանց, յուրաքանչյուր տարր մատրիցներկբազմապատկվի համապատասխան այլ տարրերով մատրիցներ. Գտեք ռեժիմում առցանցհնարավոր է միայն քառակուսի համար մատրիցներ. Գործողության որոնում բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցնվազեցնում է տարրերի արտադրյալի հանրահաշվական գումարի հաշվարկը մատրիցներորոշիչը գտնելու արդյունքում մատրիցներ, միայն որոշելու նպատակով բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանց. Այս գործողությունըտեսականորեն առանձնահատուկ տեղ է գրավում մատրիցներ, թույլ է տալիս գտնել սեփական արժեքներ և վեկտորներ՝ օգտագործելով արմատները: Գտնելու խնդիրը բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցբաղկացած է բազմապատկվող տարրերից մատրիցներորին հաջորդում է այս ապրանքների ամփոփումը որոշակի կանոնի համաձայն. www.siteգտնում է մատրիցայի բնորոշ հավասարումըտրված չափը ռեժիմում առցանց. Հաշվարկ բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցհաշվի առնելով դրա չափը՝ սա թվային կամ խորհրդանշական գործակիցներով բազմանդամ գտնելն է, որը գտնվել է ըստ որոշիչի հաշվարկման կանոնի։ մատրիցներ- որպես համապատասխան տարրերի արտադրյալների գումար մատրիցներ, միայն որոշելու նպատակով բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանց. Քառակուսի համար փոփոխականի նկատմամբ բազմանդամ գտնելը մատրիցներ, որպես սահմանում մատրիցայի բնորոշ հավասարումը, տեսականորեն տարածված մատրիցներ. Բազմանդամի արմատների իմաստը բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցօգտագործվում է սեփական վեկտորները և սեփական արժեքները որոշելու համար մատրիցներ. Ընդ որում, եթե որոշիչը մատրիցներհավասար կլինի զրոյի, ապա մատրիցայի բնորոշ հավասարումըդեռ գոյություն կունենա՝ ի տարբերություն հակառակի մատրիցներ. Հաշվարկելու համար մատրիցայի բնորոշ հավասարումըկամ գտնել միանգամից մի քանիսը մատրիցների բնորոշ հավասարումներ, դուք պետք է շատ ժամանակ և ջանք ծախսեք, մինչդեռ մեր սերվերը կգտնի վայրկյանների ընթացքում բնութագրական հավասարում մատրիցների համար առցանց. Այս դեպքում գտնելու պատասխանը բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցկլինի ճիշտ և բավարար ճշգրտությամբ, նույնիսկ եթե թվերը գտնելիս բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցիռացիոնալ կլինի. Կայքում www.siteնիշերի մուտքերը թույլատրվում են տարրերում մատրիցներ, այն է բնութագրական հավասարում մատրիցների համար առցանցհաշվարկելիս կարելի է ներկայացնել ընդհանուր խորհրդանշական տեսքով առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Օգտակար է ստուգել ստացված պատասխանը գտնելու խնդիրը լուծելիս բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցօգտագործելով կայքը www.site. Բազմանդամի հաշվարկման գործողություն կատարելիս. մատրիցայի բնորոշ հավասարումը, այս խնդիրը լուծելիս պետք է զգույշ և չափազանց կենտրոնացած լինել։ Իր հերթին, մեր կայքը կօգնի ձեզ ստուգել ձեր որոշումը թեմայի վերաբերյալ առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Եթե ​​ժամանակ չունեք լուծված խնդիրների երկար ստուգումների համար, ապա www.siteանշուշտ հարմար գործիք կլինի գտնելու և հաշվարկելիս ստուգելու համար բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանց.

Քառակուսի մատրիցայի սեփական վեկտորն այն մեկն է, որը տրված մատրիցով բազմապատկելու դեպքում ստացվում է համագիծ վեկտոր: Պարզ բառերով, մատրիցը սեփական վեկտորով բազմապատկելիս վերջինս մնում է նույնը, բայց բազմապատկվում է որոշակի թվով։

Սահմանում

Սեփական վեկտորը ոչ զրոյական V վեկտորն է, որը, երբ բազմապատկվում է M քառակուսի մատրիցով, ինքն իրեն դառնում է մեծացված λ թվով: Հանրահաշվական նշումով այն նման է.

M × V = λ × V,

որտեղ λ-ն M մատրիցի սեփական արժեքն է:

Եկեք դիտարկենք թվային օրինակ. Գրանցման հեշտության համար մատրիցայում թվերը կառանձնացվեն ստորակետով: Եկեք ունենանք մատրիցա.

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Եկեք այն բազմապատկենք սյունակի վեկտորով.

• V = -2;

Երբ մատրիցը բազմապատկում ենք սյունակի վեկտորով, ստանում ենք նաև սյունակի վեկտոր: Խիստ մաթեմատիկական լեզու 2 × 2 մատրիցը սյունակով վեկտորով բազմապատկելու բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 նշանակում է M մատրիցայի տարրը, որը գտնվում է առաջին շարքում և առաջին սյունակում, իսկ M22 նշանակում է տարր, որը գտնվում է երկրորդ շարքում և երկրորդ սյունակում: Մեր մատրիցայի համար այս տարրերը հավասար են M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10: Սյունակի վեկտորի համար այս արժեքները հավասար են V11 = –2, V21 = 1: Այս բանաձևի համաձայն. մենք ստանում ենք քառակուսի մատրիցի արտադրյալի հետևյալ արդյունքը վեկտորի կողմից.

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2:

Հարմարության համար գրենք սյունակի վեկտորը տողով։ Այսպիսով, մենք քառակուսի մատրիցը բազմապատկեցինք վեկտորով (-2; 1), արդյունքում ստացվեց վեկտորը (4; -2): Ակնհայտ է, որ սա նույն վեկտորն է, որը բազմապատկվում է λ = -2-ով: Lambda-ն այս դեպքում նշանակում է մատրիցայի սեփական արժեքը:

Մատրիցայի սեփական վեկտորը համագիծ վեկտոր է, այսինքն՝ առարկա, որը չի փոխում իր դիրքը տարածության մեջ, երբ բազմապատկվում է մատրիցով: Վեկտորային հանրահաշիվում համակողմանիության հասկացությունը նման է երկրաչափության զուգահեռության տերմինին: Երկրաչափական մեկնաբանության մեջ համագիծ վեկտորները տարբեր երկարությունների զուգահեռ ուղղորդված հատվածներ են: Էվկլիդեսի ժամանակներից մենք գիտենք, որ մեկ ուղիղ ունի իրեն զուգահեռ անսահման թվով ուղիղներ, ուստի տրամաբանական է ենթադրել, որ յուրաքանչյուր մատրիցա ունի անսահման թվով սեփական վեկտորներ։

Նախորդ օրինակից պարզ է դառնում, որ սեփական վեկտորները կարող են լինել (-8; 4), և (16; -8), և (32, -16): Սրանք բոլորը համագիծ վեկտորներ են, որոնք համապատասխանում են λ = -2 սեփական արժեքին: Երբ սկզբնական մատրիցը բազմապատկենք այս վեկտորներով, մենք դեռ կհայտնվենք վեկտորի հետ, որը բնօրինակից տարբերվում է 2 անգամ: Այդ իսկ պատճառով սեփական վեկտոր գտնելու խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտ է գտնել միայն գծային անկախ վեկտորային օբյեկտներ։ Ամենից հաճախ, n × n մատրիցի համար կա n թվով սեփական վեկտորներ: Մեր հաշվիչը նախատեսված է երկրորդ կարգի քառակուսի մատրիցների վերլուծության համար, ուստի գրեթե միշտ արդյունքը կգտնի երկու սեփական վեկտոր, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ դրանք համընկնում են:

Վերոնշյալ օրինակում մենք նախապես գիտեինք սկզբնական մատրիցայի սեփական վեկտորը և հստակ որոշեցինք լամբդայի թիվը: Այնուամենայնիվ, գործնականում ամեն ինչ տեղի է ունենում հակառակը. սկզբում հայտնաբերվում են սեփական արժեքները, իսկ հետո միայն սեփական վեկտորները:

Լուծման ալգորիթմ

Եկեք նորից նայենք սկզբնական M մատրիցին և փորձենք գտնել դրա երկու սեփական վեկտորները: Այսպիսով, մատրիցը նման է.

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Նախ պետք է որոշենք λ սեփական արժեքը, որը պահանջում է հաշվարկել հետևյալ մատրիցայի որոշիչը.

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Այս մատրիցը ստացվում է հիմնական անկյունագծի տարրերից անհայտ λ-ն հանելով: Որոշիչը որոշվում է ստանդարտ բանաձևով.

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Քանի որ մեր վեկտորը պետք է լինի ոչ զրոյական, մենք ընդունում ենք ստացված հավասարումը որպես գծային կախված և մեր որոշիչ detA-ն հավասարեցնում ենք զրոյի:

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Եկեք բացենք փակագծերը և ստանանք մատրիցայի բնորոշ հավասարումը.

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Սա ստանդարտ է քառակուսային հավասարում, որը պետք է լուծվի խտրականի միջոցով։

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Տարբերիչի արմատը sqrt(D) = 14 է, հետևաբար λ1 = -2, λ2 = 12: Այժմ յուրաքանչյուր լամբդա արժեքի համար մենք պետք է գտնենք սեփական վեկտորը: Եկեք արտահայտենք համակարգի գործակիցները λ = -2-ի համար:

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Այս բանաձևում E-ն ինքնության մատրիցն է: Ելնելով ստացված մատրիցից՝ մենք ստեղծում ենք գծային հավասարումների համակարգ.

2x + 4y = 6x + 12y,

որտեղ x և y-ն սեփական վեկտորի տարրերն են:

Եկեք հավաքենք բոլոր X-երը ձախ և բոլոր Y-երը աջ կողմում: Ակնհայտ է - 4x = 8y: Արտահայտությունը բաժանեք - 4-ի և ստացեք x = –2y: Այժմ մենք կարող ենք որոշել մատրիցայի առաջին սեփական վեկտորը՝ վերցնելով անհայտների ցանկացած արժեք (հիշենք գծային կախված սեփական վեկտորների անսահմանությունը): Վերցնենք y = 1, ապա x = –2: Հետևաբար, առաջին սեփական վեկտորը նման է V1 = (–2; 1): Վերադարձեք հոդվածի սկզբին։ Այս վեկտորային օբյեկտն էր, որով մենք բազմապատկեցինք մատրիցը՝ սեփական վեկտորի հասկացությունը ցուցադրելու համար:

Հիմա եկեք գտնենք λ = 12-ի սեփական վեկտորը:

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Եկեք ստեղծենք գծային հավասարումների նույն համակարգը;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Այժմ մենք վերցնում ենք x = 1, հետևաբար y = 3: Այսպիսով, երկրորդ սեփական վեկտորը նման է V2 = (1; 3): Բնօրինակ մատրիցը տրված վեկտորով բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի նույն վեկտորը` բազմապատկած 12-ով: Այստեղ ավարտվում է լուծման ալգորիթմը: Այժմ դուք գիտեք, թե ինչպես կարելի է ձեռքով որոշել մատրիցայի սեփական վեկտորը:

• որոշիչ;
• հետք, այսինքն՝ հիմնական անկյունագծի վրա գտնվող տարրերի գումարը.
• աստիճան, այսինքն՝ գծային անկախ տողերի/սյունակների առավելագույն քանակը։

Ծրագիրը գործում է վերը նշված ալգորիթմի համաձայն՝ հնարավորինս կրճատելով լուծման գործընթացը։ Կարևոր է նշել, որ ծրագրում lambda-ն նշվում է «c» տառով: Դիտարկենք թվային օրինակ:

Օրինակ, թե ինչպես է ծրագիրը աշխատում

Փորձենք որոշել հետևյալ մատրիցայի սեփական վեկտորները.

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Եկեք այս արժեքները մուտքագրենք հաշվիչի բջիջներում և ստանանք պատասխանը հետևյալ ձևով.

• Մատրիցայի աստիճանը `2;
• Մատրիցային որոշիչ՝ 18;
• Մատրիցային հետք՝ 19;
• Սեփական վեկտորի հաշվարկ՝ c 2 − 19.00c + 18.00 (բնութագրական հավասարում);
• Սեփական վեկտորի հաշվարկ՝ 18 (առաջին լամբդայի արժեքը);
• Eigenvector-ի հաշվարկը՝ 1 (երկրորդ լամբդայի արժեքը);
• Վեկտորի 1-ի հավասարումների համակարգ՝ -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Վեկտորի 2-ի հավասարումների համակարգ՝ 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Eigenvector 1: (1; 1);
• Eigenvector 2: (-3.25; 1):

Այսպիսով, մենք ստացանք երկու գծային անկախ սեփական վեկտոր:

Եզրակացություն

Գծային հանրահաշիվը և վերլուծական երկրաչափությունը ստանդարտ առարկաներ են ճարտարագիտության առաջին կուրսեցիների համար: Վեկտորների և մատրիցների մեծ քանակությունը սարսափելի է, և հեշտ է սխալվել նման ծանրաբեռնված հաշվարկներում: Մեր ծրագիրը հնարավորություն կտա ուսանողներին ստուգել իրենց հաշվարկները կամ ինքնաբերաբար լուծել սեփական վեկտոր գտնելու խնդիրը: Մեր կատալոգում կան այլ գծային հանրահաշիվ հաշվիչներ, օգտագործեք դրանք ձեր ուսումնասիրության կամ աշխատանքի մեջ:

Անկյունագծային մատրիցներն ունեն ամենապարզ կառուցվածքը։ Հարց է առաջանում՝ հնարավո՞ր է գտնել հիմք, որի դեպքում գծային օպերատորի մատրիցը կունենա անկյունագծային ձև։ Նման հիմք կա.
Մեզ տրվի R n գծային տարածություն և դրանում գործող գծային A օպերատոր; այս դեպքում օպերատոր A-ն իր մեջ վերցնում է R n-ը, այսինքն՝ A:R n → R n:

Սահմանում. Ոչ զրոյական վեկտորը կոչվում է A օպերատորի սեփական վեկտոր, եթե A օպերատորը վերածվում է համագիծ վեկտորի, այսինքն. λ թիվը կոչվում է A օպերատորի սեփական արժեք կամ սեփական արժեք, որը համապատասխանում է սեփական վեկտորին։
Եկեք նշենք սեփական արժեքների և սեփական վեկտորների որոշ հատկություններ:
1. Սեփական վեկտորների ցանկացած գծային համակցություն Օպերատոր A-ն, որը համապատասխանում է նույն սեփական արժեքին, λ, նույն սեփական արժեքով սեփական վեկտոր է:
2. Սեփական վեկտորներ A օպերատորը զույգերով տարբեր սեփական արժեքներով λ 1 , λ 2 , ..., λ m են գծային անկախ:
3. Եթե սեփական արժեքները λ 1 =λ 2 = λ m = λ, ապա λ սեփական արժեքը համապատասխանում է ոչ ավելի, քան m գծային անկախ սեփական վեկտորներին:

Այսպիսով, եթե կան n գծային անկախ սեփական վեկտորներ , որոնք համապատասխանում են տարբեր սեփական արժեքներին λ 1, λ 2, ..., λ n, ապա դրանք գծային անկախ են, հետևաբար, դրանք կարելի է ընդունել որպես R n տարածության հիմք։ Եկեք գտնենք A գծային օպերատորի մատրիցայի ձևը նրա սեփական վեկտորների հիման վրա, որի համար մենք գործելու ենք A օպերատորի հետ հիմքի վեկտորների վրա. Հետո .
Այսպիսով, գծային A օպերատորի մատրիցը իր սեփական վեկտորների հիման վրա ունի անկյունագծային ձև, իսկ A օպերատորի սեփական արժեքները գտնվում են անկյունագծով:
Կա՞ մեկ այլ հիմք, որի դեպքում մատրիցն ունի անկյունագծային ձև: Այս հարցի պատասխանը տրվում է հետևյալ թեորեմով.

Թեորեմ. Գծային A օպերատորի մատրիցը հիմքում (i = 1..n) ունի անկյունագծային ձև, եթե և միայն այն դեպքում, եթե հիմքի բոլոր վեկտորները A օպերատորի սեփական վեկտորներն են:

Սեփական արժեքներ և սեփական վեկտորներ գտնելու կանոն

Թող տրվի վեկտոր , որտեղ x 1, x 2, …, x n վեկտորի կոորդինատներն են հիմքի նկատմամբ և գծային A օպերատորի սեփական վեկտորն է, որը համապատասխանում է λ սեփական արժեքին, այսինքն. Այս հարաբերությունը կարելի է գրել մատրիցային տեսքով

. (*)

Հավասարումը (*) կարելի է համարել որպես գտնելու հավասարում, և, այսինքն, մեզ հետաքրքրում են ոչ տրիվիալ լուծումները, քանի որ սեփական վեկտորը չի կարող զրո լինել։ Հայտնի է, որ գծային հավասարումների միատարր համակարգի ոչ տրիվիալ լուծումներ գոյություն ունեն, եթե և միայն այն դեպքում, եթե det(A - λE) = 0: Այսպիսով, որպեսզի λ լինի A օպերատորի սեփական արժեքը, անհրաժեշտ և բավարար է, որ det(A - λE) ) = 0.
Եթե ​​հավասարումը (*) մանրամասն գրված է կոորդինատային ձևով, մենք ստանում ենք գծային միատարր հավասարումների համակարգ.

(1)
Որտեղ - գծային օպերատորի մատրիցա:

Համակարգը (1) ունի ոչ զրոյական լուծում, եթե նրա որոշիչը D-ն հավասար է զրոյի

Մենք ստացել ենք սեփական արժեքներ գտնելու հավասարում:
Այս հավասարումը կոչվում է բնորոշ հավասարում, և դրա ձախ կողմ- մատրիցի (օպերատորի) բնորոշ բազմանդամը: Եթե բնորոշ բազմանդամը չունի իրական արմատներ, ապա A մատրիցը չունի սեփական վեկտորներ և չի կարող վերածվել անկյունագծային:
Թող λ 1, λ 2, …, λ n լինեն բնորոշ հավասարման իրական արմատները, և դրանց մեջ կարող են լինել բազմապատիկ: Փոխարինելով այս արժեքներն իր հերթին համակարգի (1), մենք գտնում ենք սեփական վեկտորները:

Օրինակ 12. Գծային A օպերատորը գործում է R 3-ում օրենքի համաձայն, որտեղ x 1, x 2, .., x n հիմքում ընկած վեկտորի կոորդինատներն են: , , . Գտեք այս օպերատորի սեփական արժեքները և սեփական վեկտորները:
Լուծում. Մենք կառուցում ենք այս օպերատորի մատրիցը.
.
Մենք ստեղծում ենք սեփական վեկտորների կոորդինատների որոշման համակարգ.

Մենք կազմում ենք բնորոշ հավասարում և լուծում այն.

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3:
Փոխարինելով λ = -1 համակարգում, մենք ունենք.
կամ
Որովհետեւ , ապա կան երկու կախյալ փոփոխականներ և մեկ ազատ փոփոխական։
Թող x 1-ը լինի ազատ անհայտ, ուրեմն Մենք լուծում ենք այս համակարգը ցանկացած ձևով և գտնում ենք այս համակարգի ընդհանուր լուծումը. Հիմնարար համակարգլուծումները բաղկացած են մեկ լուծումից, քանի որ n - r = 3 - 2 = 1:
λ = -1 սեփական արժեքին համապատասխան սեփական վեկտորների բազմությունն ունի ձև՝ , որտեղ x 1-ը զրոյից տարբերվող ցանկացած թիվ է։ Եկեք այս բազմությունից ընտրենք մեկ վեկտոր, օրինակ՝ դնելով x 1 = 1: .
Նմանապես պատճառաբանելով՝ մենք գտնում ենք սեփական վեկտորը, որը համապատասխանում է սեփական արժեքին λ = 3: .
R 3 տարածության մեջ հիմքը բաղկացած է երեք գծային անկախ վեկտորներից, բայց մենք ստացանք միայն երկու գծային անկախ սեփական վեկտոր, որոնցից R 3-ում հիմքը չի կարող կազմվել։ Հետևաբար, մենք չենք կարող գծային օպերատորի A մատրիցը վերածել անկյունագծային ձևի:

Օրինակ 13. Տրվում է մատրիցա .
1. Ապացուցեք, որ վեկտորը A մատրիցի սեփական վեկտորն է: Գտեք այս սեփական վեկտորին համապատասխան սեփական արժեքը:
2. Գտի՛ր հիմք, որում A մատրիցն ունի անկյունագծային ձև:
Լուծում.
1. Եթե , ապա սեփական վեկտոր է

.
Վեկտորը (1, 8, -1) սեփական վեկտոր է: Սեփական արժեք λ = -1:
Մատրիցը ունի անկյունագծային ձև, որը բաղկացած է սեփական վեկտորներից: Նրանցից մեկը հայտնի է. Մնացածը գտնենք։
Մենք փնտրում ենք սեփական վեկտորներ համակարգից.

Բնութագրական հավասարում. ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1:
Գտնենք λ = -3 սեփական արժեքին համապատասխան սեփական վեկտորը:

Այս համակարգի մատրիցայի աստիճանը երկու է և հավասար է անհայտների թվին, ուստի այս համակարգն ունի միայն զրոյական լուծում x 1 = x 3 = 0: x 2 այստեղ կարող է լինել որևէ այլ բան, քան զրո, օրինակ, x 2 = 1. Այսպիսով, վեկտորը (0 ,1,0) λ = -3-ին համապատասխան սեփական վեկտոր է։ Եկեք ստուգենք.
.
Եթե ​​λ = 1, ապա մենք ստանում ենք համակարգը
Մատրիցայի աստիճանը երկու է: Մենք խաչում ենք վերջին հավասարումը.
Թող x 3-ը լինի անվճար անհայտ: Այնուհետև x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3:
Ենթադրելով x 3 = 1, մենք ունենք (-3,-9,1) - λ = 1 սեփական արժեքին համապատասխան սեփական վեկտոր: Ստուգեք.

.
Քանի որ սեփական արժեքները իրական են և հստակ, դրանց համապատասխան վեկտորները գծային անկախ են, ուստի դրանք կարող են հիմք ընդունել R3-ում: Այսպիսով, հիմքում , , A մատրիցը ունի ձև.
.
A:R n → R n գծային օպերատորի ոչ բոլոր մատրիցները կարող են կրճատվել անկյունագծով, քանի որ որոշների համար գծային օպերատորներԿարող է լինել n-ից պակաս գծային անկախ սեփական վեկտոր: Այնուամենայնիվ, եթե մատրիցը սիմետրիկ է, ապա m բազմակիության բնորոշ հավասարման արմատը համապատասխանում է հենց m գծային անկախ վեկտորներին:

Սահմանում. Սիմետրիկ մատրիցը քառակուսի մատրից է, որում հիմնական անկյունագծի նկատմամբ սիմետրիկ տարրերը հավասար են, այսինքն, որում:
Նշումներ. 1. Սիմետրիկ մատրիցայի բոլոր սեփական արժեքները իրական են:
2. Զույգ տարբեր սեփական արժեքներին համապատասխանող սիմետրիկ մատրիցայի սեփական վեկտորները ուղղանկյուն են:
Որպես ուսումնասիրված ապարատի բազմաթիվ կիրառություններից մեկը՝ մենք դիտարկում ենք երկրորդ կարգի կորի տեսակի որոշման խնդիրը։