Ինչպես լուծել թերի քառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Քառակուսային հավասարումը, դրա տեսակները

«Քառակուսի հավասարում» տերմինում հիմնական բառը «քառակուսի» է: Սա նշանակում է, որ հավասարումը պետք է անպայման պարունակի փոփոխական (նույն x) քառակուսի, և չպետք է լինի xes երրորդ (կամ ավելի մեծ) հզորության համար:

Շատ հավասարումների լուծումը հասնում է ճշգրիտ լուծմանը քառակուսի հավասարումներ.

Եկեք սովորենք որոշել, որ սա քառակուսի հավասարում է և ոչ թե ինչ-որ այլ հավասարում:

Օրինակ 1.

Եկեք ազատվենք հայտարարից և բազմապատկենք հավասարման յուրաքանչյուր անդամ

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ կողմ և տերմինները դասավորենք X-ի հզորությունների նվազման կարգով

Այժմ մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ այս հավասարումը քառակուսի է:

Օրինակ 2.

Ձախ և աջ կողմերը բազմապատկեք հետևյալով.

Այս հավասարումը, թեև ի սկզբանե եղել է դրանում, քառակուսի չէ:

Օրինակ 3.

Եկեք ամեն ինչ բազմապատկենք հետևյալով.

Վախկոտ? Չորրորդ և երկրորդ աստիճանները... Այնուամենայնիվ, եթե փոխարինենք, կտեսնենք, որ ունենք պարզ քառակուսի հավասարում.

Օրինակ 4.

Թվում է, թե կա, բայց եկեք ավելի սերտ նայենք: Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ կողմը.

Տեսեք, այն կրճատվել է, և այժմ դա պարզ գծային հավասարում է:

Այժմ փորձեք ինքներդ որոշել, թե հետևյալ հավասարումներից որոնք են քառակուսի և որոնք՝ ոչ.

Օրինակներ.

Պատասխանները:

1. քառակուսի;
2. քառակուսի;
3. ոչ քառակուսի;
4. ոչ քառակուսի;
5. ոչ քառակուսի;
6. քառակուսի;
7. ոչ քառակուսի;
8. քառակուսի.

Մաթեմատիկոսները պայմանականորեն բոլոր քառակուսի հավասարումները բաժանում են հետևյալ տեսակների.

• Լրացրեք քառակուսի հավասարումներ- հավասարումներ, որոնցում գործակիցները և, ինչպես նաև c ազատ անդամը, հավասար չեն զրոյի (ինչպես օրինակում): Բացի այդ, ամբողջական քառակուսի հավասարումների շարքում կան տրված- սրանք հավասարումներ են, որոնցում գործակիցը (օրինակ առաջինի հավասարումը ոչ միայն ամբողջական է, այլև կրճատված):

• Անավարտ քառակուսի հավասարումներ- հավասարումներ, որոնցում գործակիցը և կամ c ազատ անդամը հավասար են զրոյի.

  Դրանք թերի են, քանի որ ինչ-որ տարր բացակայում է: Բայց հավասարումը միշտ պետք է պարունակի x քառակուսի!!! Հակառակ դեպքում դա արդեն կլինի ոչ թե քառակուսի, այլ ինչ-որ այլ հավասարում:

Ինչո՞ւ են նման բաժանում մտածել։ Թվում է, թե կա X քառակուսի, և լավ: Այս բաժանումը որոշվում է լուծման մեթոդներով: Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրին ավելի մանրամասն:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Նախ, եկեք կենտրոնանանք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման վրա. դրանք շատ ավելի պարզ են:

Կան ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումների տեսակներ.

1. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։
2. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.
3. , այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

1. i. Քանի որ մենք գիտենք, թե ինչպես կարելի է արդյունահանել Քառակուսի արմատ, ապա արտահայտենք այս հավասարումից

Արտահայտությունը կարող է լինել կամ բացասական կամ դրական: Քառակուսի թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երկու բացասական կամ երկու դրական թվեր բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ, հետևաբար՝ եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի։

Իսկ եթե, ապա մենք ստանում ենք երկու արմատ. Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չկա։ Հիմնական բանը այն է, որ դուք պետք է իմանաք և միշտ հիշեք, որ դա չի կարող պակաս լինել:

Փորձենք լուծել մի քանի օրինակ։

Օրինակ 5:

Լուծե՛ք հավասարումը

Այժմ մնում է միայն արմատը հանել ձախ և աջ կողմերից: Ի վերջո, դուք հիշում եք, թե ինչպես կարելի է արմատներ հանել:

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին!!!

Օրինակ 6:

Լուծե՛ք հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 7:

Լուծե՛ք հավասարումը

Օ՜ Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ արմատներ!

Նման հավասարումների համար, որոնք արմատ չունեն, մաթեմատիկոսները եկան հատուկ պատկերակ՝ (դատարկ հավաքածու): Իսկ պատասխանը կարելի է գրել այսպես.

Պատասխան.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ. Այստեղ սահմանափակումներ չկան, քանի որ մենք չենք հանել արմատը:
Օրինակ 8:

Լուծե՛ք հավասարումը

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Այսպիսով,

Այս հավասարումն ունի երկու արմատ.

Պատասխան.

Անավարտ քառակուսի հավասարումների ամենապարզ տեսակը (թեև դրանք բոլորն էլ պարզ են, չէ՞): Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Այստեղ մենք կզրկվենք օրինակներից:

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծում

Հիշեցնում ենք, որ ամբողջական քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարման հավասարումն է, որտեղ

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը մի փոքր ավելի դժվար է (միայն մի քիչ), քան սրանք:

Հիշիր, Ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Նույնիսկ թերի:

Մյուս մեթոդները կօգնեն ձեզ դա անել ավելի արագ, բայց եթե խնդիրներ ունեք քառակուսի հավասարումների հետ, նախ յուրացրեք լուծումը՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը:

1. Քառակուսային հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ:

Այս մեթոդով քառակուսի հավասարումների լուծումը շատ պարզ է, գլխավորը գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձև հիշելն է:

Եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ: Հատուկ ուշադրությունքայլ արա. Տարբերակիչ () մեզ ասում է հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա քայլի բանաձևը կկրճատվի մինչև. Այսպիսով, հավասարումը կունենա միայն արմատ:
• Եթե, ապա մենք չենք կարողանա գտնել տարբերակիչի արմատը քայլում: Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Եկեք վերադառնանք մեր հավասարումներին և նայենք մի քանի օրինակների:

Օրինակ 9:

Լուծե՛ք հավասարումը

Քայլ 1մենք բաց ենք թողնում.

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ հավասարումը երկու արմատ ունի:

Քայլ 3.

Պատասխան.

Օրինակ 10:

Լուծե՛ք հավասարումը

Հավասարումը ներկայացված է ստանդարտ ձևով, ուստի Քայլ 1մենք բաց ենք թողնում.

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ հավասարումն ունի մեկ արմատ։

Պատասխան.

Օրինակ 11:

Լուծե՛ք հավասարումը

Հավասարումը ներկայացված է ստանդարտ ձևով, ուստի Քայլ 1մենք բաց ենք թողնում.

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Սա նշանակում է, որ մենք չենք կարողանա կորզել խտրականության արմատը: Հավասարման արմատներ չկան։

Այժմ մենք գիտենք, թե ինչպես ճիշտ գրել նման պատասխանները:

Պատասխան.ոչ մի արմատ

2. Քառակուսային հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով։

Եթե ​​հիշում եք, կա մի տեսակ հավասարում, որը կոչվում է կրճատված (երբ a գործակիցը հավասար է).

Նման հավասարումները շատ հեշտ է լուծել՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը.

Արմատների գումարը տրվածքառակուսի հավասարումը հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է։

Օրինակ 12:

Լուծե՛ք հավասարումը

Այս հավասարումը կարելի է լուծել Վիետայի թեորեմի միջոցով, քանի որ .

Հավասարման արմատների գումարը հավասար է, այսինքն. մենք ստանում ենք առաջին հավասարումը.

Իսկ արտադրանքը հավասար է.

Եկեք կազմենք և լուծենք համակարգը.

• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Պատասխան. ; .

Օրինակ 13:

Լուծե՛ք հավասարումը

Պատասխան.

Օրինակ 14:

Լուծե՛ք հավասարումը

Տրված է հավասարումը, որը նշանակում է.

Պատասխան.

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը:

Այլ կերպ ասած, քառակուսի հավասարումը ձևի հավասարումն է, որտեղ - անհայտը, - որոշ թվեր և.

Թիվը կոչվում է ամենաբարձր կամ առաջին գործակիցըքառակուսի հավասարում, - երկրորդ գործակիցը, Ա - ազատ անդամ.

Ինչո՞ւ։ Քանի որ եթե հավասարումը անմիջապես դառնա գծային, քանի որ կվերանա.

Այս դեպքում և կարող է հավասար լինել զրոյի: Այս ամբիոնի հավասարումը կոչվում է թերի: Եթե ​​բոլոր տերմինները տեղում են, այսինքն, հավասարումը ամբողջական է:

Տարբեր տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումներ

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Նախ, եկեք նայենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներին. դրանք ավելի պարզ են:

Մենք կարող ենք տարբերակել հավասարումների հետևյալ տեսակները.

I., այս հավասարման մեջ գործակիցը և ազատ անդամը հավասար են։

II. , այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է։

III. , այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է.

Հիմա եկեք տեսնենք այս ենթատեսակներից յուրաքանչյուրի լուծումը:

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Քառակուսի թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երբ դուք բազմապատկում եք երկու բացասական կամ երկու դրական թվեր, արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ: Ահա թե ինչու:

եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի.

եթե երկու արմատ ունենանք

Այս բանաձեւերը անգիր անելու կարիք չկա։ Հիմնական բանը հիշելն այն է, որ այն չի կարող պակաս լինել:

Օրինակներ.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշան ունեցող արմատների մասին:

Թվի քառակուսին չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը

ոչ մի արմատ:

Համառոտ գրելու համար, որ խնդիրը լուծումներ չունի, մենք օգտագործում ենք դատարկ հավաքածուի պատկերակը:

Պատասխան.

Այսպիսով, այս հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Պատասխան.

Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Սա նշանակում է, որ հավասարումը լուծում ունի, երբ.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի՝ և.

Օրինակ:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Եկեք գործոնավորենք հավասարման ձախ կողմը և գտնենք արմատները.

Պատասխան.

Ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

1. Խտրական

Այս կերպ քառակուսի հավասարումներ լուծելը հեշտ է, գլխավորը՝ հիշել գործողությունների հաջորդականությունը և մի քանի բանաձև։ Հիշեք, որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարելի է լուծել՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Նույնիսկ թերի:

Արմատների բանաձևում նկատեցի՞ք արմատը տարբերակիչից: Բայց խտրականը կարող է բացասական լինել: Ինչ անել? Մենք պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնենք քայլ 2-ին: Տարբերիչը մեզ ասում է հավասարման արմատների թիվը:

• Եթե, ապա հավասարումն ունի արմատներ.
• Եթե, ապա հավասարումն ունի նույն արմատները, և իրականում մեկ արմատ.

  Նման արմատները կոչվում են կրկնակի արմատներ:

• Եթե, ապա դիսկրիմինանտի արմատը չի հանվում։ Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատներ չունի:

Ինչու՞ են հնարավոր տարբեր թվով արմատներ: Եկեք դիմենք երկրաչափական իմաստքառակուսի հավասարում. Ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է.

Հատուկ դեպքում, որը քառակուսի հավասարում է, . Սա նշանակում է, որ քառակուսի հավասարման արմատները աբսցիսային առանցքի (առանցքի) հետ հատման կետերն են։ Պարաբոլան կարող է ընդհանրապես չհատել առանցքը, կամ կարող է հատել այն մեկ (երբ պարաբոլայի գագաթը գտնվում է առանցքի վրա) կամ երկու կետով։

Բացի այդ, գործակիցը պատասխանատու է պարաբոլայի ճյուղերի ուղղության համար։ Եթե, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, իսկ եթե՝ ապա ներքև։

Օրինակներ.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Պատասխան.

Պատասխան.

Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Պատասխան.

2. Վիետայի թեորեմա

Վիետայի թեորեմն օգտագործելը շատ հեշտ է՝ պարզապես անհրաժեշտ է ընտրել թվերի զույգ, որոնց արտադրյալը հավասար է հավասարման ազատ անդամին, իսկ գումարը հավասար է հակառակ նշանով վերցված երկրորդ գործակցին։

Կարևոր է հիշել, որ Վիետայի թեորեմը կարող է կիրառվել միայն կրճատված քառակուսի հավասարումներ ().

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Օրինակ #1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Այս հավասարումը կարելի է լուծել Վիետայի թեորեմի միջոցով, քանի որ . Այլ գործակիցներ. .

Հավասարման արմատների գումարը հետևյալն է.

Իսկ արտադրանքը հավասար է.

Ընտրենք թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է և ստուգենք, արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է;
• Եվ. Գումարը հավասար է։

և համակարգի լուծումն են.

Այսպիսով, և մեր հավասարման արմատներն են:

Պատասխան՝ ; .

Օրինակ #2:

Լուծում:

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնք տալիս են արտադրյալը, ապա ստուգենք, թե արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

և՝ տալիս են ընդհանուր.

և՝ տալիս են ընդհանուր. Ձեռք բերելու համար բավական է պարզապես փոխել ենթադրյալ արմատների նշանները, և, ի վերջո, արտադրանքը:

Պատասխան.

Օրինակ #3:

Լուծում:

Հավասարման ազատ անդամը բացասական է, հետևաբար՝ արմատների արտադրյալը բացասական թիվ. Դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատներից մեկը բացասական է, իսկ մյուսը դրական է: Հետևաբար, արմատների գումարը հավասար է դրանց մոդուլների տարբերությունները.

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնք տալիս են արտադրյալը, և որոնց տարբերությունը հավասար է.

և. նրանց տարբերությունը հավասար է - չի տեղավորվում;

և. - հարմար չէ;

և. - հարմար չէ;

և՝ - հարմար. Մնում է միայն հիշել, որ արմատներից մեկը բացասական է։ Քանի որ դրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ավելի փոքր մոդուլով արմատը պետք է բացասական լինի. Մենք ստուգում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ #4:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Տրված է հավասարումը, որը նշանակում է.

Ազատ տերմինը բացասական է, և, հետևաբար, արմատների արտադրյալը բացասական է: Եվ դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ հավասարման մի արմատը բացասական է, իսկ մյուսը՝ դրական։

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է, այնուհետև որոշենք, թե որ արմատները պետք է ունենան բացասական նշան.

Ակնհայտ է, որ միայն արմատները և հարմար են առաջին պայմանի համար.

Պատասխան.

Օրինակ #5:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Տրված է հավասարումը, որը նշանակում է.

Արմատների գումարը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներից առնվազն մեկը բացասական է։ Բայց քանի որ նրանց արտադրանքը դրական է, դա նշանակում է, որ երկու արմատներն էլ ունեն մինուս նշան:

Եկեք ընտրենք թվերի զույգեր, որոնց արտադրյալը հավասար է.

Ակնհայտ է, որ արմատները թվերն են և.

Պատասխան.

Համաձայն եմ, շատ հարմար է արմատներ բերել բանավոր՝ այս տհաճ խտրականությունը հաշվելու փոխարեն: Փորձեք հնարավորինս հաճախ օգտագործել Վիետայի թեորեմը:

Բայց Վիետայի թեորեմն անհրաժեշտ է արմատները գտնելը հեշտացնելու և արագացնելու համար: Որպեսզի դուք օգուտ քաղեք այն օգտագործելուց, դուք պետք է գործողությունները հասցնեք ավտոմատացման: Եվ դրա համար լուծեք ևս հինգ օրինակ։ Բայց մի խաբեք. դուք չեք կարող օգտագործել տարբերակիչ: Միայն Վիետայի թեորեմը.

Անկախ աշխատանքի առաջադրանքների լուծումներ.

Առաջադրանք 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Վիետայի թեորեմի համաձայն.

Ինչպես միշտ, ընտրությունը սկսում ենք կտորից.

Հարմար չէ, քանի որ գումարը;

Գումարը հենց այն է, ինչ ձեզ հարկավոր է:

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 2.

Եվ կրկին մեր սիրելի Վիետայի թեորեմը՝ գումարը պետք է հավասար լինի, իսկ արտադրյալը՝ հավասար։

Բայց քանի որ դա չպետք է լինի, բայց մենք փոխում ենք արմատների նշանները՝ և (ընդհանուր):

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 3.

Հմմ... Որտեղ է դա:

Դուք պետք է տեղափոխեք բոլոր պայմանները մեկ մասի մեջ.

Արմատների գումարը հավասար է արտադրյալին։

Լավ, կանգնիր։ Հավասարումը տրված չէ։ Բայց Վիետայի թեորեմը կիրառելի է միայն տրված հավասարումների մեջ։ Այսպիսով, նախ պետք է տալ հավասարում. Եթե ​​չեք կարող առաջնորդել, հրաժարվեք այս գաղափարից և լուծեք այն այլ կերպ (օրինակ՝ խտրականի միջոցով): Հիշեցնեմ, որ քառակուսի հավասարում տալ նշանակում է առաջատար գործակիցը հավասարեցնել.

Հիանալի: Այնուհետև արմատների գումարը հավասար է և արտադրյալին:

Այստեղ ընտրելը նույնքան հեշտ է, որքան տանձի կեղևը. ի վերջո, դա պարզ թիվ է (ներողություն տավտոլոգիայի համար):

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 4.

Ազատ անդամը բացասական է: Ինչո՞վ է սա առանձնահատուկ: Եվ փաստն այն է, որ արմատները տարբեր նշաններ կունենան։ Իսկ հիմա ընտրության ժամանակ մենք ստուգում ենք ոչ թե արմատների գումարը, այլ դրանց մոդուլների տարբերությունը՝ այս տարբերությունը հավասար է, բայց արտադրյալ։

Այսպիսով, արմատները հավասար են և-ին, բայց դրանցից մեկը մինուս է: Վիետայի թեորեմը մեզ ասում է, որ արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցի, այսինքն. Սա նշանակում է, որ ավելի փոքր արմատը կունենա մինուս՝ և, քանի որ։

Պատասխան՝ ; .

Առաջադրանք 5.

Ի՞նչ պետք է անեք առաջինը: Ճիշտ է, տվեք հավասարումը.

Կրկին ընտրում ենք թվի գործոնները, և դրանց տարբերությունը պետք է հավասար լինի.

Արմատները հավասար են և-ին, բայց դրանցից մեկը մինուս է։ Ո՞րը։ Դրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ինչը նշանակում է, որ մինուսն ավելի մեծ արմատ կունենա։

Պատասխան՝ ; .

Ամփոփեմ.

1. Վիետայի թեորեմն օգտագործվում է միայն տրված քառակուսային հավասարումների մեջ։
2. Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, կարող եք արմատները գտնել ընտրությամբ, բանավոր:
3. Եթե ​​հավասարումը տրված չէ կամ որևէ հավասարում չի գտնվել հարմար զույգազատ տերմինի բազմապատկիչներ, ինչը նշանակում է, որ չկան ամբողջական արմատներ, և դուք պետք է այն լուծեք այլ կերպ (օրինակ, դիսկրիմինանտի միջոցով):

3. Ամբողջական քառակուսու ընտրության մեթոդ

Եթե ​​անհայտը պարունակող բոլոր տերմինները ներկայացված են կրճատված բազմապատկման բանաձևերի տերմինների տեսքով՝ գումարի կամ տարբերության քառակուսի, ապա փոփոխականները փոխարինելուց հետո հավասարումը կարող է ներկայացվել տիպի ոչ ամբողջական քառակուսի հավասարման տեսքով:

Օրինակ:

Օրինակ 1:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

Օրինակ 2:

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Պատասխան.

IN ընդհանուր տեսարանփոխակերպումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Սա ենթադրում է.

Ձեզ ոչինչ չի՞ հիշեցնում։ Սա խտրական բան է։ Հենց այդպես էլ ստացանք խտրականության բանաձեւը։

ՔՈՎԱԴՐԱՏԻԿ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Քառակուսային հավասարում- սա ձևի հավասարումն է, որտեղ - անհայտը, - քառակուսի հավասարման գործակիցները, - ազատ անդամը:

Ամբողջական քառակուսի հավասարում- հավասարում, որի գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Կրճատված քառակուսի հավասարում- հավասարում, որի գործակիցը, այսինքն.

Անավարտ քառակուսի հավասարում- հավասարում, որում գործակիցը և կամ ազատ անդամը c հավասար են զրոյի.

• եթե գործակիցը, ապա հավասարումը նման է.
• եթե կա ազատ անդամ, ապա հավասարումը ունի հետևյալ ձևը.
• եթե և, ապա հավասարումը նման է.

1. Անավարտ քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

1.1. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ՝

1) Արտահայտենք անհայտը.

2) Ստուգեք արտահայտության նշանը.

• եթե, ապա հավասարումը լուծումներ չունի,
• եթե, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.2. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ՝

1) Փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

2) Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի. Այսպիսով, հավասարումն ունի երկու արմատ.

1.3. Ձևի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում, որտեղ.

Այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

2. Որտեղ ձևի ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

2.1. Լուծում, օգտագործելով դիսկրիմինանտ

1) Եկեք հավասարումը բերենք ստանդարտ ձևի.

2) Հաշվարկենք դիսկրիմինանտը՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ , որը ցույց է տալիս հավասարման արմատների թիվը.

3) Գտե՛ք հավասարման արմատները.

• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատներ, որոնք հայտնաբերվում են բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումն ունի արմատ, որը գտնում ենք բանաձևով.
• եթե, ապա հավասարումը արմատներ չունի:

2.2. Լուծում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը

Կրճատված քառակուսի հավասարման (որտեղ ձևի հավասարումը) արմատների գումարը հավասար է, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է, այսինքն. , Ա.

2.3. Լուծում ամբողջական քառակուսի ընտրության մեթոդով

Եթե ​​ձևի քառակուսի հավասարումը արմատներ ունի, ապա այն կարելի է գրել հետևյալ ձևով.

Դե, թեման վերջացավ։ Եթե ​​դուք կարդում եք այս տողերը, նշանակում է, որ դուք շատ լավն եք:

Քանի որ մարդկանց միայն 5%-ն է կարողանում ինքնուրույն ինչ-որ բանի տիրապետել։ Իսկ եթե կարդում ես մինչև վերջ, ուրեմն դու այս 5%-ի մեջ ես։

Հիմա ամենակարեւորը.

Դուք հասկացաք այս թեմայի տեսությունը։ Եվ, կրկնում եմ, սա... սա պարզապես սուպեր է: Դուք արդեն ավելի լավն եք, քան ձեր հասակակիցների ճնշող մեծամասնությունը:

Խնդիրն այն է, որ սա կարող է բավարար չլինել...

Ինչի համար?

Միասնական պետական ​​քննությունը հաջողությամբ հանձնելու, բյուջեով քոլեջ ընդունվելու և, ԱՄԵՆ ԿԱՐԵՎՈՐԸ, ցմահ:

Ես ձեզ ոչ մի բանում չեմ համոզի, միայն մի բան կասեմ...

Մարդիկ, ովքեր ստացել են լավ կրթություն, վաստակում են շատ ավելին, քան նրանք, ովքեր չեն ստացել այն։ Սա վիճակագրություն է։

Բայց սա չէ գլխավորը։

Գլխավորն այն է, որ նրանք ԱՎԵԼԻ ԵՐՋԱՆԱԼ են (նման ուսումնասիրություններ կան)։ Միգուցե այն պատճառով, որ շատ ավելի շատ հնարավորություններ են բացվում նրանց առջև, և կյանքը դառնում է ավելի պայծառ: չգիտեմ...

Բայց մտածեք ինքներդ...

Ի՞նչ է անհրաժեշտ միասնական պետական ​​քննության ժամանակ մյուսներից լավը լինելու և, ի վերջո, ավելի երջանիկ լինելու համար:

ՁԵՌՔ ՁԵՌՔ ՁԵՌՔ ԼՈՒԾԵԼՈՎ ԱՅՍ ԹԵՄԱՅԻ ՀԱՐՑԵՐՈՎ։

Քննության ժամանակ ձեզ տեսություն չեն պահանջի։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի ժամանակի հետ խնդիրներ լուծել.

Եվ, եթե դուք չեք լուծել դրանք (ՇԱՏ!), դուք հաստատ ինչ-որ տեղ հիմար սխալ կգործեք կամ պարզապես ժամանակ չեք ունենա:

Դա նման է սպորտի, դուք պետք է կրկնել դա շատ անգամներ, որպեսզի անպայման հաղթելու համար:

Գտեք հավաքածուն որտեղ ուզում եք, անպայման լուծումներով, մանրամասն վերլուծություն և որոշի՛ր, որոշի՛ր, որոշի՛ր։

Դուք կարող եք օգտագործել մեր առաջադրանքները (ըստ ցանկության), և մենք, իհարկե, խորհուրդ ենք տալիս դրանք:

Որպեսզի կարողանաք ավելի լավ օգտագործել մեր առաջադրանքները, դուք պետք է օգնեք երկարացնել YouClever դասագրքի կյանքը, որն այժմ կարդում եք:

Ինչպե՞ս: Երկու տարբերակ կա.

1. Բացեք այս հոդվածի բոլոր թաքնված առաջադրանքները. 299 ռուբ.
2. Բացեք մուտքը դեպի բոլոր թաքնված առաջադրանքները դասագրքի բոլոր 99 հոդվածներում. 499 ռուբ.

Այո, մենք ունենք 99 նման հոդված մեր դասագրքում, և բոլոր առաջադրանքների և դրանցում բոլոր թաքնված տեքստերի հասանելիությունը կարող է անմիջապես բացվել:

Բոլոր թաքնված առաջադրանքների հասանելիությունը ապահովված է կայքի ՈՂՋ կյանքի ընթացքում:

Եզրափակելով...

Եթե ​​ձեզ դուր չեն գալիս մեր առաջադրանքները, գտեք ուրիշներին: Պարզապես մի կանգ առեք տեսության վրա:

«Հասկացվածը» և «Ես կարող եմ լուծել» բոլորովին տարբեր հմտություններ են: Ձեզ երկուսն էլ պետք են:

Գտեք խնդիրներ և լուծեք դրանք:

Կոպիևսկայայի գյուղական միջնակարգ դպրոց

Քառակուսի հավասարումներ լուծելու 10 եղանակ

Ղեկավար՝ Պատրիկեևա Գալինա Անատոլևնա,

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

գյուղ Կոպևո, 2007 թ

1. Քառակուսային հավասարումների զարգացման պատմություն

1.1 Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում

1.2 Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումներ

1.3 Քառակուսային հավասարումներ Հնդկաստանում

1.4 Քառակուսային հավասարումներ ալ-Խորեզմիի կողմից

1.5 Քառակուսի հավասարումներ Եվրոպայում XIII - XVII դդ

1.6 Վիետայի թեորեմի մասին

2. Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ

Եզրակացություն

գրականություն

1. Քառակուսային հավասարումների զարգացման պատմություն

1.1 Քառակուսի հավասարումներ Հին Բաբելոնում

Ոչ միայն առաջին, այլև երկրորդ աստիճանի հավասարումների լուծման անհրաժեշտությունը նույնիսկ հին ժամանակներում առաջացել է հողամասերի տարածքների հայտնաբերման և ռազմական բնույթի պեղումների հետ կապված խնդիրների լուծման անհրաժեշտությամբ. ինչպես աստղագիտության և մաթեմատիկայի զարգացման դեպքում: Քառակուսի հավասարումները կարող էին լուծվել մոտ 2000 մ.թ.ա. ե. բաբելոնացիներ.

Օգտագործելով ժամանակակից հանրահաշվական նշումը, կարող ենք ասել, որ նրանց սեպագիր տեքստերում, ի լրումն թերի, կան այնպիսիք, ինչպիսիք են, օրինակ, ամբողջական քառակուսի հավասարումները.

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Այս հավասարումների լուծման կանոնը, որը սահմանված է բաբելոնյան տեքստերում, ըստ էության համընկնում է ժամանակակիցի հետ, սակայն հայտնի չէ, թե ինչպես են բաբելոնացիները հասել այս կանոնին։ Գրեթե բոլոր սեպագիր տեքստերը, որոնք մինչ այժմ գտնվել են, տալիս են միայն լուծումների հետ կապված խնդիրներ, որոնք ներկայացված են բաղադրատոմսերի տեսքով, առանց ցուցումների, թե ինչպես են դրանք հայտնաբերվել:

Չնայած բարձր մակարդակՀանրահաշվի զարգացումը Բաբելոնում, սեպագիր տեքստերում բացակայում է բացասական թվի հասկացությունը և ընդհանուր մեթոդներքառակուսի հավասարումների լուծում.

1.2 Ինչպես Դիոֆանտը կազմեց և լուծեց քառակուսի հավասարումներ:

Դիոֆանտոսի թվաբանությունը չի պարունակում հանրահաշվի համակարգված ներկայացում, սակայն այն պարունակում է խնդիրների համակարգված շարք, որոնք ուղեկցվում են բացատրություններով և լուծվում տարբեր աստիճանի հավասարումներ կառուցելով։

Հավասարումներ կազմելիս Դիոֆանտը հմտորեն ընտրում է անհայտները՝ լուծումը պարզեցնելու համար։

Ահա, օրինակ, նրա առաջադրանքներից մեկը.

Խնդիր 11.«Գտեք երկու թիվ՝ իմանալով, որ դրանց գումարը 20 է, իսկ արտադրյալը՝ 96»։

Դիոֆանտոսը պատճառաբանում է հետևյալ կերպ. խնդրի պայմաններից հետևում է, որ պահանջվող թվերը հավասար չեն, քանի որ եթե դրանք հավասար լինեին, ապա նրանց արտադրյալը ոչ թե հավասար կլիներ 96-ի, այլ 100-ի: Այսպիսով, դրանցից մեկը կլինի ավելի քան. դրանց գումարի կեսը, այսինքն. 10 + x, մյուսը ավելի քիչ է, այսինքն. 10-ական թթ. Նրանց միջև եղած տարբերությունը 2x .

Հետևաբար հավասարումը.

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Այստեղից x = 2. Պահանջվող թվերից մեկը հավասար է 12 , այլ 8 . Լուծում x = -2քանի որ Դիոֆանտոսը գոյություն չունի, քանի որ հունական մաթեմատիկան գիտեր միայն դրական թվեր:

Եթե ​​այս խնդիրը լուծենք՝ ընտրելով պահանջվող թվերից մեկը որպես անհայտ, ապա կգանք հավասարման լուծմանը.

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Հասկանալի է, որ անհրաժեշտ թվերի կես տարբերությունն ընտրելով որպես անհայտ՝ Դիոֆանտը պարզեցնում է լուծումը. նրան հաջողվում է խնդիրը հասցնել ոչ լրիվ քառակուսային հավասարման (1) լուծման։

1.3 Քառակուսի հավասարումներ Հնդկաստանում

Քառակուսային հավասարումների հետ կապված խնդիրներ կան արդեն «Արյաբհաթիամ» աստղագիտական ​​տրակտատում, որը կազմվել է 499 թվականին հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբհաթայի կողմից։ Մեկ այլ հնդիկ գիտնական՝ Բրահմագուպտան (VII դ.), ուրվագծել է ընդհանուր կանոնքառակուսի հավասարումների լուծումներ, որոնք վերածվել են մեկ կանոնական ձևի.

ախ 2 + բ x = c, a > 0. (1)

(1) հավասարման մեջ գործակիցները, բացառությամբ Ա, կարող է լինել նաև բացասական։ Բրահմագուպտայի կանոնը ըստ էության նույնն է, ինչ մերը:

IN Հին ՀնդկաստանԲարդ խնդիրների լուծման հանրային մրցույթները սովորական էին։ Հնդկական հին գրքերից մեկում այսպիսի մրցույթների մասին ասվում է հետևյալը. «Ինչպես արևն իր փայլով խավարում է աստղերը, այնպես գիտուն մարդխավարելու է ուրիշի փառքը ժողովրդական ժողովներ, հանրահաշվական խնդիրներ առաջադրելով և լուծելով»։ Խնդիրները հաճախ ներկայացվում էին բանաստեղծական տեսքով։

Սա 12-րդ դարի հայտնի հնդիկ մաթեմատիկոսի խնդիրներից մեկն է։ Բասկարներ.

Խնդիր 13.

«Կրթուր կապիկների երամ, և տասներկու խաղողի վազերի երկայնքով...

Իշխանությունները, ուտելով, զվարճացել են։ Սկսեցին ցատկել, կախվել...

Հրապարակում կան, ութերորդ մաս, քանի՞ կապիկ կար։

Ես զվարճանում էի բացատում։ Ասա ինձ, այս փաթեթում:

Բհասկարայի լուծումը ցույց է տալիս, որ նա գիտեր, որ քառակուսի հավասարումների արմատները երկարժեք են (նկ. 3):

13 խնդրին համապատասխան հավասարումը հետևյալն է.

( x /8) 2 + 12 = x

Բհասկարան քողի տակ գրում է.

x 2 - 64x = -768

և այս հավասարման ձախ կողմը քառակուսի դարձնելու համար ավելացնում է երկու կողմերը 32 2 , ապա ստանալով.

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48:

1.4 Քառակուսի հավասարումներ ալ-Խորեզմիում

Ալ-Խորեզմիի հանրահաշվական տրակտատում տրված է գծային և քառակուսի հավասարումների դասակարգում։ Հեղինակը հաշվում է 6 տեսակի հավասարումներ՝ դրանք արտահայտելով այսպես.

1) «Քառակուսիները հավասար են արմատներին», այսինքն. կացին 2 + գ = բ X.

2) «Քառակուսիները հավասար են թվերին», այսինքն. կացին 2 = գ.

3) «Արմատները հավասար են թվին», այսինքն. ախ = ս.

4) «Քառակուսիները և թվերը հավասար են արմատներին», այսինքն. կացին 2 + գ = բ X.

5) «Քառակուսիները և արմատները հավասար են թվերին», այսինքն. ախ 2 + bx = ս.

6) «Արմատները և թվերը հավասար են քառակուսիների», այսինքն. bx + c = կացին 2 .

Ալ-Խորեզմիի համար, ով խուսափում էր բացասական թվերի օգտագործումից, այս հավասարումներից յուրաքանչյուրի անդամները հավելումներ են և ոչ թե հանվողներ։ Այս դեպքում ակնհայտորեն հաշվի չեն առնվում այն ​​հավասարումները, որոնք չունեն դրական լուծումներ։ Հեղինակը սահմանում է այս հավասարումների լուծման մեթոդներ՝ օգտագործելով ալ-ջաբր և ալ-մուկաբալա տեխնիկան: Նրա որոշումները, իհարկե, լիովին չեն համընկնում մերի հետ։ Էլ չասած, որ դա զուտ հռետորական է, պետք է նշել, որ, օրինակ, առաջին տիպի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը լուծելիս.

ալ-Խորեզմին, ինչպես մինչև 17-րդ դարը բոլոր մաթեմատիկոսները, հաշվի չի առնում զրոյական լուծումը, հավանաբար այն պատճառով, որ կոնկրետ գործնական խնդիրներում դա նշանակություն չունի։ Ալ-Խորեզմի մասնակի վրա լրիվ քառակուսային հավասարումներ լուծելիս թվային օրինակներներկայացնում է լուծման կանոնները, այնուհետև երկրաչափական ապացույցները:

Խնդիր 14.«Քառակուսին և 21 թիվը հավասար են 10 արմատի։ Գտի՛ր արմատը» (նկատի ունի x 2 + 21 = 10x հավասարման արմատը):

Հեղինակային լուծումը մոտավորապես այսպիսին է՝ արմատների թիվը կիսեք կիսով չափ, կստանաք 5, բազմապատկեք 5-ը, արտադրյալից հանեք 21, մնում է 4։ Վերցրեք արմատը 4-ից, կստանաք 2։ Հինգից հանեք 2։ , դուք ստանում եք 3, սա կլինի ցանկալի արմատը: Կամ ավելացրեք 2-ը 5-ին, որը տալիս է 7, սա նույնպես արմատ է։

Ալ-Խորեզմիի տրակտատը մեզ հասած առաջին գիրքն է, որը համակարգված կերպով սահմանում է քառակուսի հավասարումների դասակարգումը և տալիս դրանց լուծման բանաձևերը։

1.5 Քառակուսային հավասարումներ Եվրոպայում XIII - XVII բբ

Եվրոպայում ալ-Խվարիզմի գծերով քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը առաջին անգամ ներկայացվել են Աբակուսի գրքում, որը գրվել է 1202 թվականին իտալացի մաթեմատիկոս Լեոնարդո Ֆիբոնաչիի կողմից: Այս ծավալուն աշխատությունը, որն արտացոլում է մաթեմատիկայի ազդեցությունը, ինչպես իսլամական երկրների, այնպես էլ Հին Հունաստան, առանձնանում է ինչպես ամբողջականությամբ, այնպես էլ մատուցման հստակությամբ։ Հեղինակն ինքնուրույն մշակեց խնդիրների լուծման մի քանի նոր հանրահաշվական օրինակներ և առաջինն էր Եվրոպայում, ով մոտեցավ բացասական թվերի ներմուծմանը։ Նրա գիրքը նպաստել է հանրահաշվական գիտելիքների տարածմանը ոչ միայն Իտալիայում, այլեւ Գերմանիայում, Ֆրանսիայում եւ եվրոպական այլ երկրներում։ Աբակուսի Գրքի բազմաթիվ խնդիրներ օգտագործվել են 16-17-րդ դարերի եվրոպական գրեթե բոլոր դասագրքերում։ և մասամբ XVIII.

Քառակուսային հավասարումների լուծման ընդհանուր կանոնը, որը վերածվել է մեկ կանոնական ձևի.

x 2 + bx = գ,

գործակիցների նշանների բոլոր հնարավոր համակցությունների համար բ , ՀետԵվրոպայում ձեւակերպվել է միայն 1544 թվականին Մ.Շտիֆելի կողմից։

Ընդհանուր ձևով քառակուսի հավասարումը լուծելու բանաձևի ածանցումը հասանելի է Վիետից, բայց Վիետը ճանաչել է միայն դրական արմատներ: Իտալացի մաթեմատիկոսներ Տարտալիան, Կարդանոն, Բոմբելլին առաջիններից էին 16-րդ դարում։ Բացի դրականներից, հաշվի են առնվում նաև բացասական արմատները։ Միայն 17-րդ դ. Ժիրարի, Դեկարտի, Նյուտոնի և այլ գիտնականների աշխատանքի շնորհիվ քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդը ժամանակակից ձև է ստանում։

1.6 Վիետայի թեորեմի մասին

Վիետայի անունով քառակուսի հավասարման գործակիցների և դրա արմատների հարաբերությունն արտահայտող թեորեմն առաջին անգամ ձևակերպել է նրա կողմից 1591 թվականին հետևյալ կերպ. «Եթե. Բ + Դ, բազմապատկած Ա - Ա 2 , հավասար է ԲԴ, Դա Ահավասար է INև հավասար Դ ».

Վիետային հասկանալու համար պետք է հիշել դա Ա, ինչպես ցանկացած ձայնավոր տառ, նշանակում էր անհայտը (մեր X), ձայնավորներ IN, Դ- գործակիցներ անհայտի համար: Ժամանակակից հանրահաշվի լեզվով վերը նշված Վիետա ձևակերպումը նշանակում է՝ եթե կա

(a + բ )x - x 2 = աբ ,

x 2 - (a + բ )x + ա բ = 0,

x 1 = a, x 2 = բ .

Հավասարումների արմատների և գործակիցների հարաբերությունների արտահայտում ընդհանուր բանաձևերգրված խորհրդանիշներով, Վիետը հաստատեց միատեսակություն հավասարումների լուծման մեթոդներում։ Այնուամենայնիվ, Վիետի սիմվոլիկան դեռ հեռու է ժամանակակից տեսք. Նա բացասական թվեր չէր ճանաչում և հետևաբար, հավասարումներ լուծելիս հաշվի էր առնում միայն այն դեպքերը, երբ բոլոր արմատները դրական էին։

2. Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ

Քառակուսի հավասարումները այն հիմքն են, որի վրա հենվում է հանրահաշվի վեհաշուք շենքը: Գտնվում են քառակուսի հավասարումներ լայն կիրառությունեռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, իռացիոնալ և տրանսցենդենտալ հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս: Մենք բոլորս գիտենք, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ դպրոցից (8-րդ դասարան) մինչև ավարտը:

Հուսով եմ, որ այս հոդվածն ուսումնասիրելուց հետո դուք կսովորեք, թե ինչպես գտնել ամբողջական քառակուսի հավասարման արմատները:

Օգտագործելով դիսկրիմինանտը, լուծվում են միայն ամբողջական քառակուսի հավասարումներ, թերի քառակուսի հավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում են այլ մեթոդներ, որոնք դուք կգտնեք «Թերի քառակուսային հավասարումների լուծում» հոդվածում:

Ո՞ր քառակուսային հավասարումներն են կոչվում ամբողջական: Սա ax 2 + b x + c = 0 ձևի հավասարումները, որտեղ a, b և c գործակիցները հավասար չեն զրոյի։ Այսպիսով, ամբողջական քառակուսի հավասարումը լուծելու համար մենք պետք է հաշվարկենք դիսկրիմինանտ Դ.

D = b 2 – 4ac.

Կախված դիսկրիմինանտի արժեքից՝ մենք կգրենք պատասխանը։

Եթե ​​տարբերակիչը բացասական թիվ է (D< 0),то корней нет.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրո է, ապա x = (-b)/2a: Երբ դիսկրիմինատորը դրական թիվ է (D > 0),

ապա x 1 = (-b - √D)/2a, և x 2 = (-b + √D)/2a:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը x 2– 4x + 4= 0:

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Պատասխան՝ 2.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + x + 3 = 0:

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Պատասխան՝ արմատներ չկան.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Պատասխան՝ – 3,5; 1.

Այսպիսով, եկեք պատկերացնենք ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը՝ օգտագործելով Նկար 1-ի դիագրամը:

Օգտագործելով այս բանաձևերը, դուք կարող եք լուծել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում: Պարզապես պետք է զգույշ լինել հավասարումը գրվել է որպես բազմանդամ ստանդարտ տեսք

Ա x 2 + bx + c,հակառակ դեպքում դուք կարող եք սխալվել: Օրինակ, x + 3 + 2x 2 = 0 հավասարումը գրելիս կարող եք սխալմամբ որոշել, որ

a = 1, b = 3 և c = 2. Հետո

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 և ապա հավասարումն ունի երկու արմատ: Եվ սա ճիշտ չէ։ (Տես վերը նշված օրինակ 2-ի լուծումը):

Հետևաբար, եթե հավասարումը չի գրվում որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ, ապա նախ պետք է գրվի ամբողջական քառակուսի հավասարումը որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ (առաջինը պետք է լինի ամենամեծ ցուցիչ ունեցող միանդամը, այսինքն. Ա x 2 , ապա ավելի քիչ – bxիսկ հետո ազատ անդամ Հետ.

Կրճատված քառակուսային հավասարումը և երկրորդ անդամում զույգ գործակցով քառակուսի հավասարումը լուծելիս կարող եք օգտագործել այլ բանաձևեր: Եկեք ծանոթանանք այս բանաձեւերին. Եթե ​​ամբողջական քառակուսային հավասարման մեջ երկրորդ անդամն ունի զույգ գործակից (b = 2k), ապա դուք կարող եք լուծել հավասարումը՝ օգտագործելով Նկար 2-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը:

Ամբողջական քառակուսի հավասարումը կոչվում է կրճատված, եթե գործակիցը ժամը x 2 հավասար է մեկի, և հավասարումը ստանում է ձև x 2 + px + q = 0. Նման հավասարումը կարող է տրվել լուծման համար, կամ այն ​​կարելի է ստանալ՝ հավասարման բոլոր գործակիցները բաժանելով գործակցի վրա։ Ա, կանգնած է x 2 .

Նկար 3-ում ներկայացված է կրճատված քառակուսու լուծման դիագրամ
հավասարումներ։ Դիտարկենք այս հոդվածում քննարկված բանաձևերի կիրառման օրինակը:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը

3x 2 + 6x – 6 = 0:

Եկեք լուծենք այս հավասարումը՝ օգտագործելով Նկար 1-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը:

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3

Դուք կարող եք նկատել, որ x-ի գործակիցը այս հավասարման մեջ զույգ թիվ է, այսինքն՝ b = 6 կամ b = 2k, որտեղից k = 3: Այնուհետև փորձենք լուծել հավասարումը D նկարի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերով: 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3. Նկատելով, որ այս քառակուսի հավասարման բոլոր գործակիցները բաժանվում են 3-ի և կատարելով բաժանումը, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարում x 2 + 2x – 2 = 0 Լուծեք այս հավասարումը` օգտագործելով կրճատված քառակուսի բանաձևերը:
հավասարումներ նկար 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3.

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր բանաձևերով այս հավասարումը լուծելիս ստացանք նույն պատասխանը։ Հետևաբար, մանրակրկիտ տիրապետելով Նկար 1-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերին, դուք միշտ կկարողանաք լուծել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում:

blog.site-ը, նյութն ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս պարտադիր է սկզբնաղբյուրի հղումը:

IN ժամանակակից հասարակությունՓոփոխական քառակուսի պարունակող հավասարումներով գործողություններ կատարելու ունակությունը կարող է օգտակար լինել գործունեության բազմաթիվ ոլորտներում և լայնորեն կիրառվում է գործնականում գիտական ​​և տեխնիկական զարգացումների մեջ: Դրա վկայությունը կարելի է գտնել ծովային և գետային նավերի, ինքնաթիռների և հրթիռների նախագծման մեջ: Օգտագործելով նման հաշվարկները, շարժման հետագծերը ամենաշատն են տարբեր մարմիններներառյալ տիեզերական օբյեկտները: Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները օգտագործվում են ոչ միայն տնտեսական կանխատեսումների, շենքերի նախագծման և կառուցման մեջ, այլև առավել սովորական առօրյա հանգամանքներում: Դրանք կարող են անհրաժեշտ լինել արշավների ժամանակ, սպորտային միջոցառումների ժամանակ, խանութներում գնումներ կատարելիս և շատ սովորական իրավիճակներում:

Բաժանենք արտահայտությունը նրա բաղադրիչ գործոնների

Հավասարման աստիճանը որոշվում է այն փոփոխականի աստիճանի առավելագույն արժեքով, որը պարունակում է արտահայտությունը։ Եթե ​​այն հավասար է 2-ի, ապա նման հավասարումը կոչվում է քառակուսի։

Եթե ​​խոսենք բանաձևերի լեզվով, ապա նշված արտահայտությունները, անկախ նրանից, թե ինչ տեսք ունեն, միշտ կարելի է բերել այն ձևի, երբ. ձախ կողմարտահայտությունը բաղկացած է երեք տերմինից. Դրանցից՝ ax 2 (այսինքն՝ փոփոխական քառակուսի իր գործակցով), bx (անհայտ առանց քառակուսու իր գործակցով) և c (ազատ բաղադրիչ, այսինքն՝ սովորական թիվ)։ Այս ամենը աջ կողմում հավասար է 0-ի: Այն դեպքում, երբ նման բազմանդամին բացակայում է իր բաղկացուցիչ անդամներից մեկը, բացառությամբ կացին 2-ի, այն կոչվում է թերի քառակուսի հավասարում: Նախ պետք է հաշվի առնել նման խնդիրների լուծման օրինակները, այն փոփոխականների արժեքները, որոնցում հեշտ է գտնել:

Եթե ​​արտահայտությունը կարծես աջ կողմում ունի երկու տերմին, ավելի ճիշտ՝ ax 2 և bx, ապա x գտնելու ամենահեշտ ձևը փոփոխականը փակագծերից դուրս դնելն է: Այժմ մեր հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x(ax+b): Այնուհետև ակնհայտ է դառնում, որ կա՛մ x=0, կա՛մ խնդիրը հանգում է հետևյալ արտահայտությունից փոփոխական գտնելուն՝ ax+b=0: Սա թելադրված է բազմապատկման հատկություններից մեկով։ Կանոնն ասում է, որ երկու գործոնի արտադրյալը ստանում է 0 միայն այն դեպքում, երբ նրանցից մեկը զրո է:

Օրինակ

x=0 կամ 8x - 3 = 0

Արդյունքում ստանում ենք հավասարման երկու արմատ՝ 0 և 0,375։

Այս կարգի հավասարումները կարող են նկարագրել գրավիտացիայի ազդեցության տակ գտնվող մարմինների շարժումը, որոնք սկսել են շարժվել որոշակի կետից, որն ընդունվել է որպես կոորդինատների սկզբնաղբյուր։ Այստեղ մաթեմատիկական նշումստանում է հետևյալ ձևը՝ y = v 0 t + gt 2 /2: Փոխարինելով անհրաժեշտ արժեքները, աջ կողմը հավասարեցնելով 0-ին և գտնելով հնարավոր անհայտները՝ կարող եք պարզել մարմնի բարձրանալու պահից մինչև ընկնելու պահն անցնող ժամանակը, ինչպես նաև շատ այլ մեծություններ։ Բայց այս մասին կխոսենք ավելի ուշ:

Արտահայտության ֆակտորինգ

Վերը նկարագրված կանոնը հնարավորություն է տալիս այս խնդիրները լուծել ավելի շատ դժվար դեպքեր. Դիտարկենք այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ:

X 2 - 33x + 200 = 0

Սա քառակուսի եռանկյունամբողջական է. Նախ, եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը և գործոնավորենք այն: Դրանցից երկուսը կա՝ (x-8) և (x-25) = 0: Արդյունքում մենք ունենք երկու արմատ 8 և 25:

9-րդ դասարանի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակները թույլ են տալիս այս մեթոդին գտնել փոփոխական ոչ միայն երկրորդ, այլ նույնիսկ երրորդ և չորրորդ կարգի արտահայտություններում:

Օրինակ՝ 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0: Աջ կողմը փոփոխականով գործոնների վերածելիս կան երեքը, այսինքն՝ (x+1), (x-3) և (x+): 3).

Արդյունքում ակնհայտ է դառնում, որ այս հավասարումն ունի երեք արմատ՝ -3; -1; 3.

Քառակուսի արմատ

Թերի երկրորդ կարգի հավասարման մեկ այլ դեպք տառերի լեզվով ներկայացված արտահայտությունն է այնպես, որ աջ մասկառուցված է ax 2 և c բաղադրիչներից։ Այստեղ փոփոխականի արժեքը ստանալու համար ազատ տերմինը փոխանցվում է աջ կողմ, և դրանից հետո քառակուսի արմատը վերցվում է հավասարության երկու կողմերից։ Հարկ է նշել, որ ին այս դեպքումՍովորաբար հավասարման երկու արմատ կա. Միակ բացառությունները կարող են լինել հավասարումները, որոնք ընդհանրապես չեն պարունակում տերմին, որտեղ փոփոխականը հավասար է զրոյի, ինչպես նաև արտահայտությունների տարբերակները, երբ աջ կողմը բացասական է ստացվում։ Վերջին դեպքում լուծումներ ընդհանրապես չկան, քանի որ վերը նշված գործողությունները չեն կարող կատարվել արմատներով: Պետք է դիտարկել այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումների օրինակներ:

Այս դեպքում հավասարման արմատները կլինեն -4 և 4 թվերը։

Հողատարածքի հաշվարկ

Այս տեսակի հաշվարկների անհրաժեշտությունը ի հայտ է եկել դեռևս հին ժամանակներում, քանի որ այդ հեռավոր ժամանակներում մաթեմատիկայի զարգացումը մեծապես պայմանավորված էր հողատարածքների տարածքներն ու պարագծերը առավելագույն ճշգրտությամբ որոշելու անհրաժեշտությամբ։

Պետք է դիտարկել նաև այս կարգի խնդիրների հիման վրա քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ:

Այսպիսով, ասենք, կա մի ուղղանկյուն հողամաս, որի երկարությունը 16 մետրով մեծ է լայնությունից։ Դուք պետք է գտնեք կայքի երկարությունը, լայնությունը և պարագիծը, եթե գիտեք, որ դրա մակերեսը 612 մ2 է:

Սկսելու համար նախ ստեղծենք անհրաժեշտ հավասարումը։ x-ով նշանակենք տարածքի լայնությունը, ապա դրա երկարությունը կլինի (x+16): Գրվածից հետևում է, որ տարածքը որոշվում է x(x+16) արտահայտությամբ, որը, ըստ մեր խնդրի պայմանների, 612 է։ Սա նշանակում է, որ x(x+16) = 612։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելը, և այս արտահայտությունը հենց դա է, չի կարելի նույն կերպ անել: Ինչո՞ւ։ Չնայած ձախ կողմը դեռ երկու գործոն է պարունակում, դրանց արտադրյալն ամենևին էլ հավասար չէ 0-ի, ուստի այստեղ օգտագործվում են տարբեր մեթոդներ։

Խտրական

Նախ կատարենք անհրաժեշտ վերափոխումները, ապա տեսքըայս արտահայտության տեսքը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x 2 + 16x - 612 = 0: Սա նշանակում է, որ մենք ստացել ենք նախկինում նշված ստանդարտին համապատասխան արտահայտություն, որտեղ a=1, b=16, c=-612:

Սա կարող է լինել քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակ՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Այստեղ անհրաժեշտ հաշվարկներարտադրվում են ըստ սխեմայի՝ D = b 2 - 4ac: Այս օժանդակ մեծությունը ոչ միայն հնարավորություն է տալիս գտնել պահանջվող քանակությունները երկրորդ կարգի հավասարման մեջ, այլև որոշում է քանակությունը. հնարավոր տարբերակները. Եթե ​​D>0, դրանք երկուսն են. D=0-ի համար կա մեկ արմատ: Այն դեպքում, երբ Դ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Արմատների և դրանց բանաձևի մասին

Մեր դեպքում դիսկրիմինատորը հավասար է՝ 256 - 4(-612) = 2704: Սա հուշում է, որ մեր խնդիրն ունի պատասխան: Եթե ​​դուք գիտեք k, ապա քառակուսի հավասարումների լուծումը պետք է շարունակել ստորև բերված բանաձևով. Այն թույլ է տալիս հաշվարկել արմատները:

Սա նշանակում է, որ ներկայացված դեպքում՝ x 1 =18, x 2 =-34: Այս երկընտրանքի երկրորդ տարբերակը չի կարող լուծում լինել, քանի որ հողամասի չափերը չեն կարող չափվել բացասական մեծություններով, ինչը նշանակում է, որ x-ը (այսինքն՝ հողամասի լայնությունը) 18 մ է։ Այստեղից մենք հաշվարկում ենք երկարությունը՝ 18։ +16=34, իսկ պարագիծը՝ 2(34+ 18)=104(մ2):

Օրինակներ և առաջադրանքներ

Մենք շարունակում ենք քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրությունը: Դրանցից մի քանիսի օրինակներն ու մանրամասն լուծումները կներկայացվեն ստորև։

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք հավասարության ձախ կողմը, կատարենք փոխակերպում, այսինքն՝ կստանանք հավասարման այն տեսակը, որը սովորաբար կոչվում է ստանդարտ և հավասարեցնենք այն զրոյի:

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Նմանատիպերը ավելացնելով՝ մենք որոշում ենք դիսկրիմինանտը՝ D = 49 - 48 = 1: Սա նշանակում է, որ մեր հավասարումը կունենա երկու արմատ: Հաշվարկենք դրանք վերը նշված բանաձեւով, ինչը նշանակում է, որ դրանցից առաջինը հավասար կլինի 4/3-ի, իսկ երկրորդը՝ 1-ի։

2) Հիմա եկեք լուծենք այլ տեսակի առեղծվածներ:

Եկեք պարզենք, արդյոք այստեղ արմատներ կան x 2 - 4x + 5 = 1: Համապարփակ պատասխան ստանալու համար եկեք բազմանդամը կրճատենք համապատասխան սովորական ձևի և հաշվենք դիսկրիմինանտը: Վերոնշյալ օրինակում անհրաժեշտ չէ լուծել քառակուսի հավասարումը, քանի որ դա ամենևին էլ խնդրի էությունը չէ։ Այս դեպքում D = 16 - 20 = -4, ինչը նշանակում է, որ իսկապես արմատներ չկան:

Վիետայի թեորեմա

Հարմար է քառակուսի հավասարումները լուծել վերը նշված բանաձևերի և դիսկրիմինանտի միջոցով, երբ վերջինիս արժեքից վերցված է քառակուսի արմատը։ Բայց դա միշտ չէ, որ տեղի է ունենում: Այնուամենայնիվ, այս դեպքում փոփոխականների արժեքները ստանալու բազմաթիվ եղանակներ կան: Օրինակ՝ քառակուսի հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով: Նրա անունը կրում է 16-րդ դարում Ֆրանսիայում ապրած և փայլուն կարիերա իր մաթեմատիկական տաղանդի և դատարանում ունեցած կապերի շնորհիվ: Նրա դիմանկարը կարելի է տեսնել հոդվածում։

Նախշը, որը նկատել է հայտնի ֆրանսիացին, հետևյալն էր. Նա ապացուցեց, որ հավասարման արմատները թվայինորեն գումարվում են -p=b/a, և դրանց արտադրյալը համապատասխանում է q=c/a:

Հիմա եկեք նայենք կոնկրետ առաջադրանքներին:

3x 2 + 21x - 54 = 0

Պարզության համար եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը.

x 2 + 7x - 18 = 0

Օգտագործենք Վիետայի թեորեմը, սա մեզ կտա հետևյալը. արմատների գումարը -7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ -18։ Այստեղից մենք ստանում ենք, որ հավասարման արմատները -9 և 2 թվերն են: Ստուգելուց հետո մենք կհամոզվենք, որ այս փոփոխական արժեքները իսկապես տեղավորվում են արտահայտության մեջ:

Պարաբոլայի գրաֆիկ և հավասարում

Քառակուսային ֆունկցիա և քառակուսի հավասարումներ հասկացությունները սերտորեն կապված են: Դրա օրինակներն արդեն տրվել են ավելի վաղ: Հիմա եկեք մի փոքր ավելի մանրամասն նայենք մի քանի մաթեմատիկական հանելուկների: Նկարագրված տիպի ցանկացած հավասարում կարող է ներկայացվել տեսողականորեն: Նման հարաբերությունը, որը գծված է որպես գրաֆիկ, կոչվում է պարաբոլա։ Դրա տարբեր տեսակները ներկայացված են ստորև բերված նկարում:

Ցանկացած պարաբոլա ունի գագաթ, այսինքն՝ կետ, որտեղից դուրս են գալիս նրա ճյուղերը։ Եթե ​​a>0, ապա դրանք բարձրանում են դեպի անսահմանություն, իսկ երբ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ֆունկցիաների տեսողական ներկայացումները օգնում են լուծել ցանկացած հավասարում, ներառյալ քառակուսային: Այս մեթոդը կոչվում է գրաֆիկական: Իսկ x փոփոխականի արժեքը աբսցիսային կոորդինատն է այն կետերում, որտեղ գրաֆիկի գիծը հատվում է 0x-ի հետ։ Գագաթի կոորդինատները կարելի է գտնել օգտագործելով x 0 = -b/2a բանաձեւը: Իսկ ստացված արժեքը ֆունկցիայի սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելով՝ կարող եք պարզել y 0, այսինքն՝ պարաբոլայի գագաթի երկրորդ կոորդինատը, որը պատկանում է օրդինատների առանցքին։

Պարաբոլայի ճյուղերի հատումը աբսցիսային առանցքի հետ

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները շատ են, բայց կան նաև ընդհանուր օրինաչափություններ։ Եկեք նայենք նրանց: Հասկանալի է, որ գրաֆիկի հատումը 0x առանցքի հետ a>0-ի համար հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե 0-ն ընդունում է բացասական արժեքներ։ Իսկ համար ա<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Հակառակ դեպքում Դ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Պարաբոլայի գրաֆիկից կարելի է որոշել նաև արմատները։ Ճիշտ է նաև հակառակը. Այսինքն, եթե քառակուսի ֆունկցիայի տեսողական պատկեր ստանալը հեշտ չէ, կարող եք արտահայտության աջ կողմը հավասարեցնել 0-ի և լուծել ստացված հավասարումը։ Իսկ իմանալով 0x առանցքի հետ հատման կետերը՝ ավելի հեշտ է գրաֆիկ կառուցել։

Պատմությունից

Օգտագործելով քառակուսի փոփոխական պարունակող հավասարումներ՝ հին ժամանակներում նրանք ոչ միայն մաթեմատիկական հաշվարկներ էին անում և որոշում երկրաչափական պատկերների մակերեսները։ Հիններին նման հաշվարկներ էին պետք ֆիզիկայի և աստղագիտության բնագավառներում մեծ հայտնագործությունների, ինչպես նաև աստղագիտական ​​կանխատեսումներ անելու համար։

Ինչպես ենթադրում են ժամանակակից գիտնականները, Բաբելոնի բնակիչներն առաջիններից են, ովքեր լուծել են քառակուսի հավասարումներ։ Դա տեղի է ունեցել մեր թվարկությունից չորս դար առաջ: Իհարկե, նրանց հաշվարկները արմատապես տարբերվում էին ներկայումս ընդունվածներից և շատ ավելի պարզունակ էին։ Օրինակ, միջագետքի մաթեմատիկոսները գաղափար չունեին բացասական թվերի գոյության մասին։ Նրանց անծանոթ էին նաև այլ նրբություններ, որոնք գիտեն ժամանակակից ցանկացած դպրոցական:

Թերևս ավելի վաղ, քան Բաբելոնի գիտնականները, հնդիկ իմաստուն Բաուդայաման սկսեց լուծել քառակուսի հավասարումներ: Դա տեղի է ունեցել Քրիստոսի դարաշրջանից մոտ ութ դար առաջ: Ճիշտ է, երկրորդ կարգի հավասարումները, լուծման մեթոդները, որոնք նա տվեց, ամենապարզն էին։ Նրանից բացի, հին ժամանակներում նմանատիպ հարցերով հետաքրքրված էին նաեւ չինացի մաթեմատիկոսները։ Եվրոպայում քառակուսի հավասարումները սկսեցին լուծվել միայն 13-րդ դարի սկզբին, սակայն հետագայում դրանք իրենց աշխատություններում օգտագործեցին այնպիսի մեծ գիտնականներ, ինչպիսիք են Նյուտոնը, Դեկարտը և շատ ուրիշներ։

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումը.
(1) .
Քառակուսային հավասարման արմատները(1) որոշվում են բանաձևերով.
; .
Այս բանաձևերը կարելի է համատեղել այսպես.
.
Երբ հայտնի են քառակուսի հավասարման արմատները, ապա երկրորդ աստիճանի բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես գործոնների արտադրյալ (գործոնային).
.

Հաջորդը մենք ենթադրում ենք, որ իրական թվեր են:
Եկեք դիտարկենք քառակուսի հավասարման տարբերակիչ:
.
Եթե ​​տարբերակիչը դրական է, ապա քառակուսի հավասարումը (1) ունի երկու տարբեր իրական արմատներ.
; .
Այնուհետև քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիան ունի ձև.
.
Եթե ​​դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, ապա քառակուսի հավասարումը (1) ունի երկու բազմակի (հավասար) իրական արմատ.
.
Factorization:
.
Եթե ​​դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա քառակուսի հավասարումը (1) ունի երկու բարդ խոնարհված արմատ.
;
.
Ահա երևակայական միավորը, ;
և արմատների իրական և երևակայական մասերն են.
; .
Հետո

.

Գրաֆիկական մեկնաբանություն

Եթե ​​դուք գծագրեք ֆունկցիան
,
որը պարաբոլա է, ապա առանցքի հետ գրաֆիկի հատման կետերը կլինեն հավասարման արմատները.
.
ժամը , գրաֆիկը հատում է x առանցքը (առանցքը) երկու կետով:
Երբ , գրաֆիկը դիպչում է x առանցքին մի կետում:
Երբ , գրաֆիկը չի հատում x առանցքը:

Ստորև բերված են նման գրաֆիկների օրինակներ:

Քառակուսային հավասարման հետ կապված օգտակար բանաձևեր

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Մենք կատարում ենք փոխակերպումներ և կիրառում ենք (f.1) և (f.3) բանաձևերը.




,
Որտեղ
; .

Այսպիսով, մենք ստացանք երկրորդ աստիճանի բազմանդամի բանաձևը հետևյալ ձևով.
.
Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը

կատարվել է
Եվ .
Այսինքն, և են քառակուսի հավասարման արմատները
.

Քառակուսային հավասարման արմատները որոշելու օրինակներ

Օրինակ 1

(1.1) .

Լուծում

.
Համեմատելով մեր հավասարման հետ (1.1) մենք գտնում ենք գործակիցների արժեքները.
.
Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.
.
Քանի որ դիսկրիմինանտը դրական է, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ.
;
;
.

Այստեղից մենք ստանում ենք քառակուսի եռանդամի գործոնացումը.

.

y = ֆունկցիայի գրաֆիկը 2 x 2 + 7 x + 3հատում է x առանցքը երկու կետով:

Եկեք գծենք ֆունկցիան
.
Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է։ Այն հատում է աբսցիսայի առանցքը (առանցքը) երկու կետով.
Եվ .
Այս կետերը սկզբնական հավասարման (1.1) արմատներն են։

Պատասխանել

;
;
.

Օրինակ 2

Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները.
(2.1) .

Լուծում

Գրենք քառակուսի հավասարումը ընդհանուր ձևով.
.
Համեմատելով սկզբնական հավասարման հետ (2.1) մենք գտնում ենք գործակիցների արժեքները.
.
Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.
.
Քանի որ դիսկրիմինանտը զրո է, հավասարումը ունի երկու բազմակի (հավասար) արմատ.
;
.

Այնուհետև եռանդամի ֆակտորիզացիան ունի ձև.
.

y = x ֆունկցիայի գրաֆիկը 2 - 4 x + 4դիպչում է x առանցքին մի կետում:

Եկեք գծենք ֆունկցիան
.
Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է։ Այն դիպչում է x-առանցքին (առանցքին) մի կետում.
.
Այս կետը սկզբնական հավասարման արմատն է (2.1): Քանի որ այս արմատը գործոնավորվում է երկու անգամ.
,
ապա այդպիսի արմատը սովորաբար կոչվում է բազմապատիկ։ Այսինքն, նրանք կարծում են, որ կան երկու հավասար արմատներ.
.

Պատասխանել

;
.

Օրինակ 3

Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները.
(3.1) .

Լուծում

Գրենք քառակուսի հավասարումը ընդհանուր ձևով.
(1) .
Եկեք վերաշարադրենք սկզբնական հավասարումը (3.1).
.
Համեմատելով (1) հետ՝ մենք գտնում ենք գործակիցների արժեքները.
.
Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.
.
Խտրականը բացասական է, . Ուստի իրական արմատներ չկան։

Դուք կարող եք գտնել բարդ արմատներ.
;
;

Եկեք գծենք ֆունկցիան
.
Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է։ Այն չի հատում x առանցքը (առանցքը): Ուստի իրական արմատներ չկան։

Պատասխանել

Իրական արմատներ չկան։ Բարդ արմատներ.
;
;
.