Ինչպես գտնել քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը: Ի՞նչ հավասարումների մասին ենք խոսելու։ Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ

Քառակուսի հավասարում - հեշտ է լուծել: *Այսուհետ՝ «KU»:Ընկերներ, թվում է, թե մաթեմատիկայի մեջ ավելի պարզ բան չի կարող լինել, քան նման հավասարումը լուծելը: Բայց ինչ-որ բան ինձ ասում էր, որ շատերը նրա հետ խնդիրներ ունեն։ Ես որոշեցի տեսնել, թե ամսական քանի՞ տպավորություն է թողնում Yandex-ը ըստ պահանջի: Ահա թե ինչ եղավ, տեսեք.

Ինչ է դա նշանակում? Սա նշանակում է, որ ամսական մոտ 70,000 մարդ փնտրում է այս տեղեկությունը, ի՞նչ կապ ունի այս ամառը, և ի՞նչ է լինելու դրա հետ ուսումնական տարի— կրկնակի շատ խնդրանքներ կլինեն։ Զարմանալի չէ, քանի որ այն տղաներն ու աղջիկները, ովքեր վաղուց են ավարտել դպրոցը և պատրաստվում են միասնական պետական ​​քննությանը, փնտրում են այս տեղեկությունը, և դպրոցականները նույնպես ձգտում են թարմացնել հիշողությունը։

Չնայած այն հանգամանքին, որ կան բազմաթիվ կայքեր, որոնք պատմում են ձեզ, թե ինչպես լուծել այս հավասարումը, ես որոշեցի նաև ներդրում ունենալ և հրապարակել նյութը: Նախ, ես ցանկանում եմ, որ այցելուները գան իմ կայք այս խնդրանքի հիման վրա. երկրորդ, այլ հոդվածներում, երբ հայտնվի «KU» թեման, ես կտամ հղումը այս հոդվածին. երրորդ, ես ձեզ մի փոքր ավելին կասեմ նրա լուծման մասին, քան սովորաբար ասվում է այլ կայքերում: Եկեք սկսենք!Հոդվածի բովանդակությունը.

Քառակուսային հավասարումը ձևի հավասարումն է.

որտեղ գործակիցները a,բիսկ c-ն կամայական թվեր են՝ a≠0-ով:

Դպրոցական դասընթացում նյութը տրվում է հետևյալ ձևով՝ հավասարումները բաժանվում են երեք դասի.

1. Նրանք երկու արմատ ունեն.

2. *Ունենալ միայն մեկ արմատ.

3. Նրանք արմատներ չունեն։ Այստեղ հարկ է հատկապես նշել, որ դրանք իրական արմատներ չունեն

Ինչպե՞ս են հաշվարկվում արմատները: Պարզապես!

Մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը։ Այս «սարսափելի» բառի տակ շատ պարզ բանաձեւ է.

Արմատային բանաձևերը հետևյալն են.

*Այս բանաձեւերը պետք է անգիր իմանալ։

Դուք կարող եք անմիջապես գրել և լուծել.

Օրինակ:

1. Եթե D > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ:

2. Եթե D = 0, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

3. Եթե Դ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Եկեք նայենք հավասարմանը.

Ըստ այս առիթով, երբ դիսկրիմինատորը զրո է, դպրոցի դասընթացն ասում է, որ արդյունքը մեկ արմատ է, այստեղ հավասար է ինը։ Ամեն ինչ ճիշտ է, այդպես է, բայց...

Այս միտքը որոշ չափով սխալ է։ Իրականում երկու արմատ կա. Այո, այո, մի զարմացեք, դուք ստանում եք երկու հավասար արմատներ, և մաթեմատիկորեն ճշգրիտ լինելու համար, պատասխանը պետք է գրի երկու արմատ.

x 1 = 3 x 2 = 3

Բայց սա այդպես է՝ մի փոքր շեղում: Դպրոցում դուք կարող եք գրել այն և ասել, որ կա մեկ արմատ:

Այժմ հաջորդ օրինակը.

Ինչպես գիտենք, արմատը բացասական թիվչի արդյունահանվում, ուստի լուծումները մ այս դեպքումՈչ

Սա է որոշումների ամբողջ գործընթացը:

Քառակուսի ֆունկցիա.

Սա ցույց է տալիս, թե ինչպիսին է լուծումը երկրաչափական տեսքով: Սա չափազանց կարևոր է հասկանալու համար (ապագայում հոդվածներից մեկում մանրամասն կվերլուծենք քառակուսի անհավասարության լուծումը)։

Սա ձևի ֆունկցիան է.

որտեղ x և y փոփոխականներ են

a, b, c – տրված թվեր՝ a ≠ 0-ով

Գրաֆիկը պարաբոլա է.

Այսինքն՝ ստացվում է, որ լուծելով «y»-ով քառակուսի հավասարում, որը հավասար է զրոյի, գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետերը x առանցքի հետ։ Այս կետերից կարող է լինել երկուսը (տարբերիչը դրական է), մեկը (տարբերիչը զրոյական է) և ոչ մեկը (տարբերիչը բացասական է): Մանրամասների մասին քառակուսի ֆունկցիա Դուք կարող եք դիտելԻննա Ֆելդմանի հոդվածը։

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1. Լուծել 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Պատասխան՝ x 1 = 8 x 2 = –12

*Կարելի էր իսկոյն հեռանալ եւ աջ կողմհավասարումը բաժանել 2-ի, այսինքն՝ պարզեցնել այն։ Հաշվարկներն ավելի հեշտ կլինեն։

Օրինակ 2: Որոշեք x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Մենք գտանք, որ x 1 = 11 և x 2 = 11

Պատասխանում թույլատրելի է գրել x = 11:

Պատասխան՝ x = 11

Օրինակ 3: Որոշեք x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Տարբերիչը բացասական է, իրական թվերով լուծում չկա։

Պատասխան՝ լուծում չկա

Խտրականը բացասական է. Կա լուծում!

Այստեղ մենք կխոսենք հավասարումը լուծելու մասին այն դեպքում, երբ ստացվում է բացասական դիսկրիմինանտ։ Դուք որևէ բան գիտե՞ք դրա մասին բարդ թվեր? Ես այստեղ չեմ մանրամասնի, թե ինչու և որտեղ են դրանք առաջացել, և որն է դրանց հատուկ դերն ու անհրաժեշտությունը մաթեմատիկայի մեջ, սա մեծ առանձին հոդվածի թեմա է:

Կոմպլեքս թվի հայեցակարգը.

Մի փոքր տեսություն.

Z կոմպլեքս թիվը ձևի թիվ է

z = a + bi

որտեղ a-ն և b-ն իրական թվեր են, i-ն այսպես կոչված երևակայական միավորն է:

ա+բի - սա ՄԵԿ ԹԻՎ է, ոչ թե հավելում:

Երևակայական միավորը հավասար է մինուս մեկ արմատին.

Այժմ հաշվի առեք հավասարումը.

Մենք ստանում ենք երկու զուգակցված արմատներ:

Անավարտ քառակուսի հավասարում.

Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, երբ «b» կամ «c» գործակիցը հավասար է զրոյի (կամ երկուսն էլ հավասար են զրոյի): Դրանք կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ առանց որևէ խտրականության:

Դեպք 1. Գործակից b = 0:

Հավասարումը դառնում է.

Եկեք փոխակերպենք.

Օրինակ:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Դեպք 2. Գործակից c = 0:

Հավասարումը դառնում է.

Եկեք փոխակերպենք և ֆակտորիզացնենք.

*Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 կամ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Դեպք 3. b = 0 եւ c = 0 գործակիցները:

Այստեղ պարզ է, որ հավասարման լուծումը միշտ կլինի x = 0:

Օգտակար հատկություններ և գործակիցների օրինաչափություններ.

Կան հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս լուծել մեծ գործակիցներով հավասարումներ։

Աx 2 + bx+ գ=0 հավասարությունը պահպանվում է

ա + բ+ c = 0,Դա

- եթե հավասարման գործակիցների համար Աx 2 + bx+ գ=0 հավասարությունը պահպանվում է

ա+ գ =բ, Դա

Այս հատկությունները օգնում են լուծել որոշակի տեսակի հավասարումներ:

Օրինակ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Գործակիցների գումարը 5001 + ( – 4995)+(– 6) = 0, ինչը նշանակում է

Օրինակ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Հավասարությունը պահպանվում է ա+ գ =բ, Միջոցներ

Գործակիցների օրինաչափություններ.

1. Եթե ax 2 + bx + c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 +1), իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 6x 2 + 37x + 6 = 0 հավասարումը:

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Եթե ax 2 – bx + c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 +1), իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

կացին 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 15x 2 –226x +15 = 0 հավասարումը:

x 1 = 15 x 2 = 1/15:

3. Եթե հավասարում. ax 2 + bx – c = 0 գործակից «b» հավասար է (a 2 – 1), և գործակից «գ» թվայինորեն հավասար է «a» գործակցի, ապա նրա արմատները հավասար են

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 17x 2 +288x – 17 = 0 հավասարումը:

x 1 = – 17 x 2 = 1/17:

4. Եթե ax 2 – bx – c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 – 1), իսկ c գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 10x 2 – 99x –10 = 0 հավասարումը:

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Վիետայի թեորեմա.

Վիետայի թեորեմն անվանվել է ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի անունով։ Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, մենք կարող ենք կամայական KU-ի արմատների գումարը և արտադրյալը արտահայտել նրա գործակիցներով։

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ընդհանուր առմամբ 14 թիվը տալիս է միայն 5 և 9: Սրանք արմատներ են: Որոշակի հմտությամբ, օգտագործելով ներկայացված թեորեմը, կարող եք անմիջապես բանավոր կերպով լուծել բազմաթիվ քառակուսի հավասարումներ։

Վիետայի թեորեմը, ի լրումն. հարմար է, քանի որ լուծելուց հետո քառակուսի հավասարումստացված արմատները կարելի է ստուգել սովորական եղանակով (տարբերիչի միջոցով): Ես խորհուրդ եմ տալիս դա անել միշտ:

ՏՐԱՆՍՊՈՐՏԱՅԻՆ ՄԵԹՈԴ

Այս մեթոդով «ա» գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «նետվում» է դրան, ինչի պատճառով էլ կոչվում է. «փոխանցման» մեթոդ.Այս մեթոդը կիրառվում է այն դեպքում, երբ հավասարման արմատները հեշտությամբ կարելի է գտնել Վիետայի թեորեմի միջոցով և, ամենակարևորը, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Եթե Ա± բ+գ≠ 0, ապա օգտագործվում է փոխանցման տեխնիկան, օրինակ.

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը (2) հավասարման մեջ, հեշտ է որոշել, որ x 1 = 10 x 2 = 1

Հավասարման արդյունքում ստացված արմատները պետք է բաժանվեն 2-ի (քանի որ երկուսը «գցվել» են x 2-ից), մենք ստանում ենք.

x 1 = 5 x 2 = 0,5:

Ո՞րն է հիմնավորումը։ Տեսեք, թե ինչ է կատարվում.

(1) և (2) հավասարումների տարբերակիչները հավասար են.

Եթե ​​նայեք հավասարումների արմատներին, ապա դուք ստանում եք միայն տարբեր հայտարարներ, և արդյունքը կախված է հենց x 2 գործակիցից.

Երկրորդը (փոփոխված) ունի 2 անգամ մեծ արմատներ։

Այսպիսով, մենք արդյունքը բաժանում ենք 2-ի:

*Եթե երեքը նորից գլորենք, արդյունքը կբաժանենք 3-ի և այլն։

Պատասխան՝ x 1 = 5 x 2 = 0,5

քառ. ur-ie և միասնական պետական ​​քննություն:

Ես համառոտ կպատմեմ դրա կարևորության մասին. Դուք պետք է կարողանաք արագ և առանց մտածելու ՈՐՈՇԵԼ, դուք պետք է անգիր իմանաք արմատների և տարբերակիչների բանաձևերը: Միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներում ընդգրկված խնդիրներից շատերը հանգում են քառակուսի հավասարումների լուծմանը (ներառյալ երկրաչափականները):

Ուշադրության արժանի մի բան։

1. Հավասարում գրելու ձևը կարող է լինել «ենթադրյալ»: Օրինակ, հնարավոր է հետևյալ գրառումը.

15+ 9x 2 - 45x = 0 կամ 15x+42+9x 2 - 45x=0 կամ 15 -5x+10x 2 = 0:

Դուք պետք է բերեք նրան ստանդարտ տեսք(որպեսզի չշփոթվեք որոշելու ժամանակ)։

2. Հիշեք, որ x-ը անհայտ մեծություն է և այն կարելի է նշանակել ցանկացած այլ տառով՝ t, q, p, h և այլն:

Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք թերի քառակուսի հավասարումների լուծմանը:

Բայց նախ, եկեք կրկնենք, թե որ հավասարումները կոչվում են քառակուսի: ax 2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումը, որտեղ x-ը փոփոխական է, իսկ a, b և c գործակիցները որոշ թվեր են, իսկ a ≠ 0, կոչվում է. քառակուսի. Ինչպես տեսնում ենք, x 2-ի գործակիցը հավասար չէ զրոյի, և, հետևաբար, x-ի կամ ազատ անդամի գործակիցները կարող են հավասար լինել զրոյի, որի դեպքում մենք ստանում ենք ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում։

Գոյություն ունեն երեք տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ:

1) Եթե b = 0, c ≠ 0, ապա ax 2 + c = 0;

2) Եթե b ≠ 0, c = 0, ապա ax 2 + bx = 0;

3) Եթե b = 0, c = 0, ապա կացին 2 = 0:

• Եկեք պարզենք, թե ինչպես լուծել ax 2 + c = 0 ձևի հավասարումներ:

Հավասարումը լուծելու համար c ազատ անդամը տեղափոխում ենք հավասարման աջ կողմ, ստանում ենք

կացին 2 = ‒ վրկ. Քանի որ a ≠ 0, մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք a-ի, ապա x 2 = ‒c/a:

Եթե ​​‒с/а > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ

x = ±√(–c/a) .

Եթե ​​‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Փորձենք օրինակներով հասկանալ, թե ինչպես լուծել նման հավասարումները։

Օրինակ 1. Լուծե՛ք 2x 2 ‒ 32 = 0 հավասարումը:

Պատասխան՝ x 1 = - 4, x 2 = 4:

Օրինակ 2. Լուծեք 2x 2 + 8 = 0 հավասարումը:

Պատասխան՝ հավասարումը լուծումներ չունի։

• Եկեք պարզենք, թե ինչպես լուծել այն ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումներ:

ax 2 + bx = 0 հավասարումը լուծելու համար եկեք գործոնացնենք այն, այսինքն՝ հանենք x-ը փակագծերից, կստանանք x(ax + b) = 0։ Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է։ մինչև զրոյի: Այնուհետև կամ x = 0, կամ ax + b = 0: Լուծելով ax + b = 0 հավասարումը, մենք ստանում ենք ax = - b, որտեղից x = - b/a: ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումը միշտ ունի երկու արմատ x 1 = 0 և x 2 = ‒ b/a: Տեսեք, թե ինչպիսին է այս տիպի հավասարումների լուծումը գծապատկերում:

Կոնկրետ օրինակով համախմբենք մեր գիտելիքները.

Օրինակ 3. Լուծե՛ք 3x 2 ‒ 12x = 0 հավասարումը։

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 կամ 3x – 12 = 0

Պատասխան՝ x 1 = 0, x 2 = 4:

• Երրորդ տիպի կացին 2 = 0 հավասարումներլուծվում են շատ պարզ.

Եթե ​​ax 2 = 0, ապա x 2 = 0. Հավասարումն ունի երկու հավասար արմատ x 1 = 0, x 2 = 0:

Պարզության համար եկեք նայենք դիագրամին:

Օրինակ 4-ը լուծելիս համոզվենք, որ այս տիպի հավասարումները կարող են լուծվել շատ պարզ:

Օրինակ 4.Լուծե՛ք 7x2=0 հավասարումը։

Պատասխան՝ x 1, 2 = 0:

Միշտ չէ, որ անմիջապես պարզ է, թե ինչ տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ պետք է լուծենք: Դիտարկենք հետևյալ օրինակը.

Օրինակ 5.Լուծե՛ք հավասարումը

Եկեք հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք ընդհանուր հայտարարով, այսինքն՝ 30-ով։

Եկեք կրճատենք այն

5 (5x 2 + 9) – 6 (4x 2 – 9) = 90:

Բացենք փակագծերը

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90:

Եկեք նմանատիպը տանք

99-ը հավասարման ձախ կողմից տեղափոխենք աջ՝ նշանը փոխելով հակառակի

Պատասխան՝ արմատներ չկան:

Մենք նայեցինք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները: Հուսով եմ, որ հիմա նման առաջադրանքների հետ կապված դժվարություններ չեք ունենա։ Զգույշ եղեք թերի քառակուսի հավասարման տեսակը որոշելիս, այնուհետև ձեզ կհաջողվի։

Եթե ​​այս թեմայով հարցեր ունեք, գրանցվեք իմ դասերին, մենք միասին կլուծենք ծագած խնդիրները։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Օրինակ, \(3x^2+2x-7\) եռանդամի համար դիսկրիմինանտը հավասար կլինի \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\): Իսկ \(x^2-5x+11\) եռանդամի համար այն հավասար կլինի \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\):

Տարբերիչը նշվում է \(D\)-ով և հաճախ օգտագործվում է լուծելիս: Բացի այդ, ըստ տարբերակիչի արժեքի, դուք կարող եք հասկանալ, թե մոտավորապես ինչ տեսք ունի գրաֆիկը (տես ստորև):

Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտ և արմատներ

Տարբերակիչ արժեքը ցույց է տալիս քառակուսի հավասարումների քանակը.
- եթե \(D\) դրական է, ապա հավասարումը կունենա երկու արմատ.
- եթե \(D\) հավասար է զրոյի, կա միայն մեկ արմատ;
- եթե \(D\) բացասական է, արմատներ չկան:

Սա սովորեցնելու կարիք չունի, դժվար չէ նման եզրակացության գալ՝ պարզապես իմանալով, որ դիսկրիմինանտից (այսինքն՝ \(\sqrt(D)\) ներառված է քառակուսի արմատների հաշվարկման բանաձևում. հավասարում` \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) և \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( Դ))(2ա)\) Եկեք նայենք յուրաքանչյուր դեպքի ավելի մանրամասն:

Եթե ​​տարբերակիչը դրական է

Այս դեպքում դրա արմատը ինչ-որ դրական թիվ է, որը նշանակում է \(x_(1)\) և \(x_(2)\) տարբեր իմաստներ կունենան, քանի որ առաջին բանաձևում \(\sqrt(D)\ ) ավելացվում է, իսկ երկրորդում այն ​​հանվում է: Եվ մենք ունենք երկու տարբեր արմատներ.

Օրինակ Գտեք \(x^2+2x-3=0\) հավասարման արմատները:
Լուծում :

Պատասխանել \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Եթե ​​տարբերակիչը զրո է

Քանի՞ արմատ կլինի, եթե դիսկրիմինատորը զրո լինի: Եկեք պատճառաբանենք.

Արմատային բանաձևերը հետևյալն են՝ \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) և \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Իսկ եթե տարբերակիչը զրո է, ապա նրա արմատը նույնպես զրո է։ Հետո պարզվում է.

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Այսինքն՝ հավասարման արմատների արժեքները նույնն են լինելու, քանի որ զրոյի գումարումը կամ հանելը ոչինչ չի փոխում։

Օրինակ Գտեք \(x^2-4x+4=0\) հավասարման արմատները:
Լուծում :

\(x^2-4x+4=0\)		Մենք գրում ենք գործակիցները.
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Մենք հաշվում ենք դիսկրիմինատորը՝ օգտագործելով \(D=b^2-4ac\) բանաձևը:
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Գտնելով հավասարման արմատները
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Մենք ստացել ենք երկու նույնական արմատներ, ուստի դրանք առանձին գրելը իմաստ չունի. մենք դրանք գրում ենք որպես մեկ:

Պատասխանել : \(x=2\)

Քառակուսային հավասարումների խնդիրները նույնպես ուսումնասիրվում են դպրոցական ծրագիրև համալսարաններում։ Նշանակում են a*x^2 + b*x + c = 0 ձևի հավասարումներ, որտեղ x-փոփոխական, a, b, c – հաստատուններ; ա<>0 . Խնդիրն է գտնել հավասարման արմատները:

Քառակուսային հավասարման երկրաչափական նշանակությունը

Ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը ներկայացված է քառակուսի հավասարմամբ, պարաբոլա է: Քառակուսային հավասարման լուծումները (արմատները) պարաբոլայի հատման կետերն են աբսցիսայի (x) առանցքի հետ։ Հետևում է, որ հնարավոր է երեք դեպք.
1) պարաբոլան չունի աբսցիսայի առանցքի հետ հատման կետեր. Սա նշանակում է, որ այն գտնվում է վերին հարթությունում՝ ճյուղերով վերև կամ ներքևում՝ ճյուղերով ներքև։ Նման դեպքերում քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ (այն ունի երկու բարդ արմատ):

2) պարաբոլան ունի եզի առանցքի հետ հատման մեկ կետ: Նման կետը կոչվում է պարաբոլայի գագաթ, և դրանում գտնվող քառակուսի հավասարումը ստանում է իր նվազագույն կամ առավելագույն արժեքը: Այս դեպքում քառակուսի հավասարումն ունի մեկ իրական արմատ (կամ երկու նույնական արմատ):

3) Գործնականում առավել հետաքրքիր է վերջին դեպքը. կան պարաբոլայի հատման երկու կետ աբսցիսայի առանցքի հետ: Սա նշանակում է, որ կան հավասարման երկու իրական արմատներ։

Փոփոխականների հզորությունների գործակիցների վերլուծության հիման վրա կարելի է հետաքրքիր եզրակացություններ անել պարաբոլայի տեղադրման վերաբերյալ։

1) Եթե a գործակիցը զրոյից մեծ է, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, եթե բացասական է, պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։

2) Եթե b գործակիցը զրոյից մեծ է, ապա պարաբոլայի գագաթը գտնվում է ձախ կիսահրթիռում, եթե բացասական արժեք է ընդունում, ապա աջում։

Քառակուսային հավասարման լուծման բանաձևի ստացում

Փոխանցենք հաստատունը քառակուսի հավասարումից

հավասարության նշանի համար մենք ստանում ենք արտահայտությունը

Երկու կողմերը բազմապատկեք 4 ա-ով

Լքելու համար կատարյալ քառակուսիավելացնել b^2 երկու կողմերին և կատարել փոխակերպումը

Այստեղից մենք գտնում ենք

Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի և արմատների բանաձևը

Տարբերիչը արմատական ​​արտահայտության արժեքն է, եթե այն դրական է, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ՝ հաշվարկված բանաձևով. Երբ դիսկրիմինանտը զրոյական է, քառակուսի հավասարումն ունի մեկ լուծում (երկու համընկնող արմատ), որը հեշտությամբ կարելի է ստանալ D = 0-ի վերը նշված բանաձևից: բացասական տարբերակիչիրական արմատային հավասարումներ չկան: Այնուամենայնիվ, քառակուսի հավասարման լուծումները գտնվում են բարդ հարթությունում, և դրանց արժեքը հաշվարկվում է բանաձևով.

Վիետայի թեորեմա

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման երկու արմատ և դրանց հիման վրա կառուցենք քառակուսային հավասարում։ Վիետայի թեորեմն ինքնին հեշտությամբ բխում է նշումից՝ եթե ունենք ձևի քառակուսային հավասարում։ ապա նրա արմատների գումարը հավասար է p գործակցին վերցված հակառակ նշան, իսկ հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է q ազատ անդամին։ Վերոնշյալի բանաձևային ներկայացումը նման կլինի. Եթե դասական հավասարման մեջ a հաստատունը զրոյական չէ, ապա դուք պետք է բաժանեք ամբողջ հավասարումը դրա վրա, այնուհետև կիրառեք Վիետայի թեորեմը:

Ֆակտորինգի քառակուսի հավասարումների ժամանակացույց

Թող առաջադրանքը դրվի՝ գործակցեք քառակուսի հավասարում: Դա անելու համար մենք նախ լուծում ենք հավասարումը (գտնում ենք արմատները): Այնուհետև գտնված արմատները փոխարինում ենք քառակուսի հավասարման ընդլայնման բանաձևով, ինչը կլուծի խնդիրը:

Քառակուսային հավասարումների խնդիրներ

Առաջադրանք 1. Գտե՛ք քառակուսի հավասարման արմատները

x^2-26x+120=0 .

Լուծում. Գրի՛ր գործակիցները և դրանք փոխարինի՛ր տարբերակիչ բանաձևով

Այս արժեքի արմատը 14 է, այն հեշտ է գտնել հաշվիչի միջոցով կամ հիշել հաճախակի օգտագործման դեպքում, սակայն, հարմարության համար հոդվածի վերջում ես ձեզ կտամ թվերի քառակուսիների ցանկը, որոնք հաճախ կարելի է հանդիպել: նման խնդիրներ.
Գտնված արժեքը փոխարինում ենք արմատային բանաձևով

և մենք ստանում ենք

Առաջադրանք 2. Լուծե՛ք հավասարումը

2x 2 +x-3=0.

Լուծում. Ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում, դուրս գրենք գործակիցները և գտնենք տարբերակիչը


Ըստ հայտնի բանաձևերգտնել քառակուսի հավասարման արմատները

Առաջադրանք 3. Լուծե՛ք հավասարումը

9x 2 -12x+4=0:

Լուծում. Մենք ունենք ամբողջական քառակուսային հավասարում: Խտրականության որոշում

Մենք ստացել ենք մի դեպք, երբ արմատները համընկնում են: Գտեք արմատների արժեքները բանաձևով

Առաջադրանք 4. Լուծե՛ք հավասարումը

x^2+x-6=0 .

Լուծում. Այն դեպքերում, երբ x-ի համար կան փոքր գործակիցներ, խորհուրդ է տրվում կիրառել Վիետայի թեորեմը: Նրա պայմանով մենք ստանում ենք երկու հավասարում

Երկրորդ պայմանից մենք գտնում ենք, որ արտադրյալը պետք է հավասար լինի -6-ի: Սա նշանակում է, որ արմատներից մեկը բացասական է: Մենք ունենք հետևյալ հնարավոր զույգ լուծումները (-3;2), (3;-2) . Առաջին պայմանը հաշվի առնելով՝ մերժում ենք լուծումների երկրորդ զույգը։
Հավասարման արմատները հավասար են

Խնդիր 5. Գտե՛ք ուղղանկյան կողմերի երկարությունները, եթե նրա պարագիծը 18 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 77 սմ 2։

Լուծում. Ուղղանկյան պարագծի կեսը հավասար է նրա հարակից կողմերի գումարին: Նշենք x-ը որպես մեծ կողմ, ապա 18-x-ը նրա փոքր կողմն է: Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է այս երկարությունների արտադրյալին.
x(18-x)=77;
կամ
x 2 -18x+77=0.
Գտնենք հավասարման դիսկրիմինանտը

Հավասարման արմատների հաշվարկ

Եթե x=11,Դա 18 = 7,ճիշտ է նաև հակառակը (եթե x=7, ապա 21-ի=9):

Խնդիր 6. Քառակուսային հավասարումը 10x 2 -11x+3=0 գործակցեք:

Լուծում. Եկեք հաշվարկենք հավասարման արմատները, դա անելու համար գտնում ենք դիսկրիմինատորը

Գտնված արժեքը փոխարինում ենք արմատային բանաձևով և հաշվարկում

Կիրառում ենք քառակուսի հավասարումը արմատներով տարրալուծելու բանաձևը

Բացելով փակագծերը՝ ստանում ենք ինքնություն։

Քառակուսային հավասարում պարամետրով

Օրինակ 1. Պարամետրերի ինչ արժեքներով Ա ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 հավասարումը մեկ արմատ ունի՞:

Լուծում. a=3 արժեքի ուղղակի փոխարինմամբ տեսնում ենք, որ այն լուծում չունի։ Այնուհետև մենք կօգտագործենք այն փաստը, որ զրոյական դիսկրիմինանտի դեպքում հավասարումն ունի 2-ի բազմապատկության մեկ արմատ: Դուրս գրենք խտրականությունը

Եկեք պարզեցնենք այն և հավասարեցնենք այն զրոյի

Մենք ստացել ենք a պարամետրի նկատմամբ քառակուսային հավասարում, որի լուծումը կարելի է հեշտությամբ ստանալ Վիետայի թեորեմի միջոցով։ Արմատների գումարը 7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ 12։ Պարզ որոնմամբ մենք հաստատում ենք, որ 3,4 թվերը կլինեն հավասարման արմատները: Քանի որ հաշվարկների սկզբում մենք արդեն մերժել ենք a=3 լուծումը, միակ ճիշտը կլինի. a=4.Այսպիսով, a=4-ի համար հավասարումն ունի մեկ արմատ։

Օրինակ 2. Պարամետրերի ինչ արժեքներով Ա ,հավասարումը a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ունի մեկից ավելի արմատ.

Լուծում. Նախ դիտարկենք եզակի կետերը, դրանք կլինեն a=0 և a=-3 արժեքները: Երբ a=0, հավասարումը կպարզեցվի 6x-9=0 ձևով; x=3/2 և կլինի մեկ արմատ: a= -3-ի համար մենք ստանում ենք նույնականությունը 0=0:
Եկեք հաշվարկենք դիսկրիմինանտը

և գտե՛ք a-ի արժեքը, որի դեպքում այն ​​դրական է

Առաջին պայմանից ստանում ենք a>3. Երկրորդի համար մենք գտնում ենք հավասարման դիսկրիմինանտը և արմատները


Եկեք որոշենք այն միջակայքերը, որտեղ ֆունկցիան ընդունում է դրական արժեքներ: a=0 կետը փոխարինելով՝ ստանում ենք 3>0 . Այսպիսով, (-3;1/3) միջակայքից դուրս ֆունկցիան բացասական է։ Մի մոռացեք կետը a=0,որը պետք է բացառվի, քանի որ այն բնօրինակ հավասարումըունի մեկ արմատ.
Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու միջակայք, որոնք բավարարում են խնդրի պայմանները

Գործնականում շատ նմանատիպ առաջադրանքներ կլինեն, փորձեք ինքներդ պարզել առաջադրանքները և մի մոռացեք հաշվի առնել փոխադարձ բացառող պայմանները։ Լավ ուսումնասիրեք քառակուսի հավասարումների լուծման բանաձևերը, դրանք հաճախ անհրաժեշտ են տարբեր խնդիրների և գիտությունների հաշվարկներում:

Խտրականը, ինչպես քառակուսի հավասարումները, սկսում է ուսումնասիրվել հանրահաշվի դասընթացում 8-րդ դասարանում։ Դուք կարող եք լուծել քառակուսի հավասարումը դիսկրիմինանտի միջոցով և օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Քառակուսային հավասարումների ուսումնասիրման մեթոդը, ինչպես նաև դիսկրիմինանտ բանաձևերը, բավականին անհաջող սովորեցնում են դպրոցականներին, ինչպես իրական կրթության մեջ շատ բաներ։ Հետեւաբար նրանք անցնում են դպրոցական տարիներ, 9-11-րդ դասարաններում կրթությունը փոխարինում է «. բարձրագույն կրթություն«Եվ բոլորը նորից նայում են. «Ինչպե՞ս լուծել քառակուսի հավասարումը», «Ինչպե՞ս գտնել հավասարման արմատները», «Ինչպե՞ս գտնել դիսկրիմինատորը»: Եվ...

Խտրական բանաձեւ

a*x^2+bx+c=0 քառակուսի հավասարման D դիսկրիմինանտը հավասար է D=b^2–4*a*c-ի։
Քառակուսային հավասարման արմատները (լուծումները) կախված են դիսկրիմինանտի նշանից (D).
D>0 – հավասարումն ունի 2 տարբեր իրական արմատ;
D=0 - հավասարումն ունի 1 արմատ (2 համապատասխանող արմատ).
Դ<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Խտրականության հաշվարկման բանաձևը բավականին պարզ է, ուստի շատ կայքեր առաջարկում են առցանց տարբերակիչ հաշվիչ: Մենք դեռ չենք պարզել այս տեսակի սցենարները, այնպես որ, եթե որևէ մեկը գիտի, թե ինչպես դա իրականացնել, խնդրում ենք գրել մեզ էլ. Այս էլփոստի հասցեն պաշտպանված է սպամ-բոթերից: Այն դիտելու համար պետք է միացված լինի JavaScript-ը: .

Քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու ընդհանուր բանաձև:

Բանաձևով մենք գտնում ենք հավասարման արմատները
Եթե ​​քառակուսի փոփոխականի գործակիցը զուգակցված է, ապա նպատակահարմար է հաշվարկել ոչ թե դիսկրիմինանտը, այլ դրա չորրորդ մասը.
Նման դեպքերում հավասարման արմատները հայտնաբերվում են բանաձևով

Արմատներ գտնելու երկրորդ միջոցը Վիետայի թեորեմն է։

Թեորեմը ձևակերպված է ոչ միայն քառակուսի հավասարումների, այլև բազմանդամների համար։ Սա կարող եք կարդալ Վիքիպեդիայում կամ այլ էլեկտրոնային աղբյուրներում։ Այնուամենայնիվ, պարզեցնելու համար դիտարկենք այն մասը, որը վերաբերում է վերը նշված քառակուսային հավասարումներին, այն է՝ (a=1) ձևի հավասարումները:
Վիետայի բանաձեւերի էությունն այն է, որ հավասարման արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով վերցված փոփոխականի գործակցին։ Հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Վիետայի թեորեմը կարելի է գրել բանաձևերով.
Վիետայի բանաձեւի ածանցումը բավականին պարզ է. Գրենք քառակուսի հավասարումը պարզ գործոնների միջոցով
Ինչպես տեսնում եք, ամեն հնարամիտ միևնույն ժամանակ պարզ է։ Արդյունավետ է օգտագործել Վիետայի բանաձևը, երբ արմատների մոդուլների տարբերությունը կամ արմատների մոդուլների տարբերությունը 1, 2 է: Օրինակ, հետևյալ հավասարումները, ըստ Վիետայի թեորեմի, ունեն արմատներ.




Մինչև 4-րդ հավասարումը վերլուծությունը պետք է այսպիսի տեսք ունենա. Հավասարման արմատների արտադրյալը 6 է, հետևաբար արմատները կարող են լինել (1, 6) և (2, 3) արժեքները կամ հակառակ նշաններով զույգեր։ Արմատների գումարը 7 է (հակառակ նշանով փոփոխականի գործակիցը)։ Այստեղից եզրակացնում ենք, որ քառակուսի հավասարման լուծումներն են x=2; x=3.
Ազատ անդամի բաժանարարներից ավելի հեշտ է ընտրել հավասարման արմատները՝ հարմարեցնելով դրանց նշանը՝ Վիետայի բանաձևերը կատարելու համար։ Սկզբում դա դժվար է թվում անել, բայց մի շարք քառակուսի հավասարումների պրակտիկայի դեպքում այս տեխնիկան ավելի արդյունավետ կլինի, քան դիսկրիմինանտը հաշվարկելը և քառակուսի հավասարման արմատները դասական եղանակով գտնելը:
Ինչպես տեսնում եք, դիսկրիմինանտների ուսումնասիրման դպրոցական տեսությունը և հավասարման լուծումներ գտնելու մեթոդները զուրկ են գործնական իմաստից. «Դպրոցականներին ինչի՞ն է պետք քառակուսի հավասարումը», «Ո՞րն է խտրականի ֆիզիկական իմաստը»:

Փորձենք դա պարզել Ի՞նչ է նկարագրում խտրականը:

Հանրահաշվի կուրսում ուսումնասիրում են ֆունկցիաներ, ֆունկցիաների ուսումնասիրման սխեմաներ և ֆունկցիաների գրաֆիկի կառուցում։ Բոլոր ֆունկցիաներից կարևոր տեղ է գրավում պարաբոլան, որի հավասարումը կարելի է գրել ձևով.
Այսպիսով, քառակուսի հավասարման ֆիզիկական իմաստը պարաբոլայի զրոներն են, այսինքն՝ ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը Ox աբսցիսային առանցքի հետ։
Ես խնդրում եմ ձեզ հիշել պարաբոլների հատկությունները, որոնք նկարագրված են ստորև: Կգա քննություններ, թեստեր կամ ընդունելության քննություններ հանձնելու ժամանակը, և դուք երախտապարտ կլինեք տեղեկատու նյութի համար: Քառակուսի փոփոխականի նշանը համապատասխանում է նրան, թե արդյոք գրաֆիկի վրա պարաբոլայի ճյուղերը կբարձրանան (a>0),

կամ պարաբոլա՝ ներքև ճյուղերով (ա<0) .

Պարաբոլայի գագաթը գտնվում է արմատների միջև

Խտրականի ֆիզիկական նշանակությունը.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է (D>0), պարաբոլան ունի երկու հատման կետ Ox առանցքի հետ:
Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրո է (D=0), ապա գագաթի պարաբոլան դիպչում է x առանցքին:
Եվ վերջին դեպքը, երբ դիսկրիմինատորը զրոյից փոքր է (Դ<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Անավարտ քառակուսի հավասարումներ