Հավասարման մեջ փակագծերը բացելու կանոնը. Թեմա՝ Հավասարումների լուծում

Ք.ա. հինգերորդ դարում հին հույն փիլիսոփա Զենոն Էլեյացին ձևակերպեց իր հայտնի ապորիաները, որոնցից ամենահայտնին «Աքիլես և կրիա» ապորիան է։ Ահա թե ինչ է այն հնչում.

Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, ինչ Աքիլեսից կպահանջվի այս տարածությունը վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ կսողա նույն ուղղությամբ։ Երբ Աքիլեսը վազում է հարյուր քայլ, կրիան սողում է ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը կշարունակվի անվերջ, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային:

Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Հիլբերտը... Նրանք բոլորն այս կամ այն ​​կերպ դիտարկում էին Զենոնի ապորիան։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « ...քննարկումները շարունակվում են մինչ օրս, պարադոքսների էության մասին ընդհանուր կարծիքի հասնելու համար գիտական ​​համայնքմինչ այժմ դա հնարավոր չի եղել... մենք ներգրավված ենք եղել հարցի ուսումնասիրությամբ մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, նոր ֆիզիկական և փիլիսոփայական մոտեցումներ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի ընդհանուր ընդունված լուծում...«[Wikipedia, «Zeno's Aporia». Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե ինչից է բաղկացած խաբեությունը։

Մաթեմատիկական տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը քանակից դեպի ։ Այս անցումը ենթադրում է մշտականի փոխարեն կիրառում։ Որքան հասկանում եմ, չափման փոփոխական միավորների օգտագործման մաթեմատիկական ապարատը կամ դեռ չի մշակվել, կամ չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա։ Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է ծուղակի մեջ: Մենք, մտածողության իներցիայի շնորհիվ, փոխադարձ արժեքին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից սա կարծես թե ժամանակն է դանդաղում, մինչև այն ամբողջովին դադարի այն պահին, երբ Աքիլլեսը կհասնի կրիային: Եթե ​​ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:

Եթե ​​շրջենք մեր սովորական տրամաբանությունը, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլլեսը վազում է հետ հաստատուն արագություն. Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը տասն անգամ պակաս է նախորդից։ Եթե ​​այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել՝ «Աքիլլեսը անսահման արագ կհասնի կրիային»։

Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից։ Մնացեք ժամանակի մշտական ​​միավորների մեջ և մի անցեք փոխադարձ միավորների: Զենոնի լեզվով դա հետևյալն է.

Այն ժամանակ, ինչ Աքիլլեսին կպահանջվի հազար քայլ վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ կսողա նույն ուղղությամբ։ Առաջինին հավասար հաջորդ ժամանակամիջոցում Աքիլլեսը կվազի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։

Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց դա այդպես չէ ամբողջական լուծումԽնդիրներ. Էյնշտեյնի հայտարարությունը լույսի արագության անդիմադրելիության մասին շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք ու լուծենք այս խնդիրը։ Իսկ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով։

Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.

Թռչող նետը անշարժ է, քանի որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այն հանգստի վիճակում է, և քանի որ այն հանգստանում է ժամանակի յուրաքանչյուր պահի, այն միշտ հանգստանում է:

Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հանգստանում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է: Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Որոշելու համար, թե արդյոք մեքենան շարժվում է, ձեզ անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, բայց դուք չեք կարող որոշել դրանցից հեռավորությունը: Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար անհրաժեշտ է ժամանակի մեկ կետում տարածության տարբեր կետերից արված երկու լուսանկար, բայց դրանցից դուք չեք կարող որոշել շարժման փաստը (իհարկե, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են պետք, եռանկյունաչափությունը կօգնի ձեզ ) Այն, ինչ ուզում եմ նշել Հատուկ ուշադրություն, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետը տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք տարբեր հնարավորություններ են տալիս հետազոտության համար։

չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ

Set-ի և multiset-ի միջև եղած տարբերությունները շատ լավ նկարագրված են Վիքիպեդիայում։ Եկեք տեսնենք.

Ինչպես տեսնում եք, «կոմպլեկտում չի կարող լինել երկու նույնական տարր», բայց եթե մի շարքում կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաթիվ»: Ողջամիտ էակները երբեք չեն հասկանա նման անհեթեթ տրամաբանությունը։ Սա խոսող թութակների և վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որոնք խելք չունեն «ամբողջովին» բառից։ Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները։

Ժամանակին կամուրջը կառուցած ինժեներները կամուրջը փորձարկելիս նավակի մեջ էին կամրջի տակ։ Եթե ​​կամուրջը փլվեր, միջակ ինժեները մահացավ իր ստեղծագործության փլատակների տակ։ Եթե ​​կամուրջը կարող էր դիմակայել ծանրաբեռնվածությանը, տաղանդավոր ինժեները կառուցեց այլ կամուրջներ:

Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «իմացիր ինձ, ես տանն եմ» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ՝ «մաթեմատիկան ուսումնասիրում է վերացական հասկացությունները», կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապում է դրանք իրականության հետ: Այս պորտալարը փող է։ Կիրառելի մաթեմատիկական տեսությունսահմանում է հենց մաթեմատիկոսներին:

Մաթեմատիկան շատ լավ ենք սովորել, հիմա էլ նստած ենք դրամարկղի մոտ, աշխատավարձ ենք տալիս։ Այսպիսով, մի մաթեմատիկոս գալիս է մեզ մոտ իր փողի համար: Մենք նրան հաշվում ենք ամբողջ գումարը և այն դնում մեր սեղանի վրա տարբեր կույտերով, որոնց մեջ դնում ենք նույն անվանական թղթադրամներ։ Այնուհետև յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկական թղթադրամ և մաթեմատիկոսին տալիս իր «աշխատավարձի մաթեմատիկական հավաքածուն»։ Եկեք բացատրենք մաթեմատիկոսին, որ նա կստանա մնացած հաշիվները միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի հավաքածուն հավասար չէ նույն տարրերով բազմությանը: Այստեղից է սկսվում զվարճանքը:

Առաջին հերթին գործելու է պատգամավորների տրամաբանությունը. «Սա կարող է վերաբերվել ուրիշներին, իսկ ինձ՝ ոչ»։ Այնուհետև նրանք կսկսեն մեզ հանգստացնել, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամները տարբեր թղթադրամների համարներ ունեն, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույն տարրերը: Լավ, եկեք հաշվարկենք աշխատավարձերը մետաղադրամներով. մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի խելագարորեն հիշել ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամներ ունեն տարբեր քանակությամբ կեղտ, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմների դասավորությունը յուրահատուկ է յուրաքանչյուր մետաղադրամի համար...

Եվ հիմա ինձ մոտ ամենահետաքրքիր հարցն է՝ որտե՞ղ է այն գիծը, որից այն կողմ բազմաբնույթ տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ ստելուն։

Նայեք այստեղ։ Մենք ընտրում ենք ֆուտբոլային մարզադաշտերնույն դաշտի տարածքով։ Դաշտերի տարածքները նույնն են, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք բազմաբնույթ: Բայց եթե նայենք այս նույն մարզադաշտերի անուններին, շատ ենք ստանում, քանի որ անունները տարբեր են։ Ինչպես տեսնում եք, տարրերի նույն հավաքածուն և՛ բազմություն է, և՛ բազմաբնույթ: Ո՞րն է ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-սրախոսը թևից հանում է հաղթաթուղթ և սկսում պատմել մեզ կա՛մ կոմպլեկտի, կա՛մ բազմահավաքի մասին: Ամեն դեպքում նա մեզ կհամոզի, որ ճիշտ է։

Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում բազմությունների տեսության հետ՝ կապելով այն իրականության հետ, բավական է պատասխանել մի հարցի՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Ես ձեզ ցույց կտամ՝ առանց որևէ «պատկերացնելի որպես ոչ մի ամբողջություն» կամ «անընկալելի որպես մեկ ամբողջություն»։

կիրակի, 18 մարտի, 2018 թ

Թվի թվանշանների գումարը դափի հետ շամանների պար է, որը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Այո, մաթեմատիկայի դասերին մեզ սովորեցնում են գտնել թվերի թվանշանների գումարը և օգտագործել այն, բայց դրա համար էլ նրանք շամաններ են, որպեսզի իրենց ժառանգներին սովորեցնեն իրենց հմտություններն ու իմաստությունը, այլապես շամանները պարզապես կմահանան:

Դուք ապացույցի կարիք ունե՞ք։ Բացեք Վիքիպեդիան և փորձեք գտնել «Թվի թվանշանների գումարը» էջը։ Նա գոյություն չունի: Մաթեմատիկայում չկա որևէ բանաձև, որը կարող է օգտագործվել ցանկացած թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար: Ի վերջո, թվերը գրաֆիկական նշաններ են, որոնցով մենք գրում ենք թվեր, իսկ մաթեմատիկայի լեզվով առաջադրանքը հնչում է այսպես. Մաթեմատիկոսները չեն կարող լուծել այս խնդիրը, բայց շամանները կարող են դա անել հեշտությամբ:

Եկեք պարզենք, թե ինչ և ինչպես ենք անում, որպեսզի գտնենք տվյալ թվի թվանշանների գումարը: Եվ այսպես, եկեք ունենանք 12345 թիվը։ Ի՞նչ է պետք անել այս թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար։ Դիտարկենք բոլոր քայլերը հերթականությամբ։

1. Թղթի վրա գրի՛ր թիվը: Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք թիվը վերածել ենք գրաֆիկական թվանշանի։ Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

2. Ստացված մեկ նկարը կտրում ենք առանձին թվեր պարունակող մի քանի նկարների։ Նկար կտրելը մաթեմատիկական գործողություն չէ։

3. Անհատական ​​գրաֆիկական նշանները վերածել թվերի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

4.Ավելացրե՛ք ստացված թվերը։ Հիմա սա մաթեմատիկա է։

12345 թվի թվանշանների գումարը 15 է։ Սրանք շամանների կողմից ուսուցանվող «կտրելու և կարելու դասընթացներն» են, որոնք օգտագործում են մաթեմատիկոսները։ Բայց սա դեռ ամենը չէ։

Մաթեմատիկական տեսանկյունից նշանակություն չունի, թե որ թվային համակարգում ենք թիվ գրում։ Այսպիսով, ներս տարբեր համակարգերՀաշվարկում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր կլինի։ Մաթեմատիկայի մեջ թվային համակարգը նշվում է որպես թվի աջ կողմում գտնվող բաժանորդ: ՀԵՏ մեծ թվով 12345 Չեմ ուզում գլուխս խաբել, եկեք նայենք 26 համարին հոդվածի մասին: Գրենք այս թիվը երկուական, օկտալ, տասնորդական և տասնվեցական թվային համակարգերով։ Մենք ամեն քայլը մանրադիտակի տակ չենք նայելու, մենք դա արդեն արել ենք: Եկեք նայենք արդյունքին:

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր է։ Այս արդյունքը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Դա նույնն է, որ եթե ուղղանկյունի մակերեսը որոշեիր մետրերով և սանտիմետրերով, բոլորովին այլ արդյունքներ կստանաս:

Զրոն բոլոր թվային համակարգերում նույն տեսքն ունի և չունի թվանշանների գումար: Սա ևս մեկ փաստարկ է այն փաստի օգտին, որ. Հարց մաթեմատիկոսներին. ինչպե՞ս է մաթեմատիկայում նշանակված մի բան, որը թիվ չէ: Ի՞նչ է, մաթեմատիկոսների համար բացի թվերից ոչինչ գոյություն չունի: Ես կարող եմ սա թույլ տալ շամաններին, բայց ոչ գիտնականներին: Իրականությունը միայն թվերով չէ:

Ստացված արդյունքը պետք է համարել որպես ապացույց, որ թվային համակարգերը թվերի չափման միավորներ են։ Ի վերջո, մենք չենք կարող թվերը համեմատել տարբեր չափման միավորների հետ։ Եթե ​​նույն մեծության չափման տարբեր միավորներով նույն գործողությունները դրանք համեմատելուց հետո հանգեցնում են տարբեր արդյունքների, ապա դա ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։

Ի՞նչ է իրական մաթեմատիկան: Սա այն դեպքում, երբ մաթեմատիկական գործողության արդյունքը կախված չէ թվի չափից, օգտագործվող չափման միավորից և նրանից, թե ով է կատարում այս գործողությունը։

Ստորագրեք դռան վրա Նա բացում է դուռը և ասում.

Օ՜ Սա կանանց զուգարանը չէ՞։
- Երիտասարդ կին! Սա լաբորատորիա է հոգիների անբարոյական սրբության ուսումնասիրության համար նրանց երկինք համբարձվելու ժամանակ: Հալո վերևում և վերև սլաք: Էլ ի՞նչ զուգարան:

Իգական... Վերևի լուսապսակը և ներքև սլաքը արական են:

Եթե ​​դիզայներական արվեստի նման գործը օրվա ընթացքում մի քանի անգամ փայլում է ձեր աչքի առաջ,

Այնուհետև զարմանալի չէ, որ հանկարծ ձեր մեքենայում տարօրինակ պատկերակ եք գտնում.

Անձամբ ես ջանում եմ տեսնել մինուս չորս աստիճան թուխ մարդու մեջ (մեկ նկար) (մի քանի նկարների կոմպոզիցիա. մինուս նշան, թիվը չորս, աստիճանների նշանակում): Եվ ես չեմ կարծում, որ այս աղջիկը հիմար է, ով չգիտի ֆիզիկա: Նա պարզապես ունի գրաֆիկական պատկերներ ընկալելու ուժեղ կարծրատիպ: Եվ մաթեմատիկոսները դա մեզ անընդհատ սովորեցնում են: Ահա մի օրինակ.

1A-ն «մինուս չորս աստիճան» կամ «մեկ ա» չէ: Սա «մղող մարդ» է կամ տասնվեցական նշումով «քսանվեց» թիվը: Այն մարդիկ, ովքեր անընդհատ աշխատում են այս թվային համակարգում, ավտոմատ կերպով ընկալում են թիվը և տառը որպես մեկ գրաֆիկական խորհրդանիշ։

Այս տեսանյութում մենք կվերլուծենք գծային հավասարումների մի ամբողջ շարք, որոնք լուծվում են նույն ալգորիթմի միջոցով, այդ իսկ պատճառով դրանք կոչվում են ամենապարզը:

Նախ, եկեք սահմանենք՝ ինչ է գծային հավասարումիսկ դրանցից ո՞րն է կոչվում ամենապարզը.

Գծային հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ կա միայն մեկ փոփոխական և միայն առաջին աստիճանի:

Ամենապարզ հավասարումը նշանակում է շինարարություն.

Բոլոր մյուս գծային հավասարումները վերածվում են ամենապարզին, օգտագործելով ալգորիթմը.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան;
2. Փոփոխական պարունակող տերմինները տեղափոխել հավասար նշանի մի կողմ, իսկ առանց փոփոխականի մյուս կողմ.
3. Հավասարության նշանի ձախ և աջ կողմերում նույնական տերմիններ տվեք.
4. Ստացված հավասարումը բաժանեք $x$ փոփոխականի գործակցի վրա։

Իհարկե, այս ալգորիթմը միշտ չէ, որ օգնում է: Փաստն այն է, որ երբեմն այս բոլոր մեքենայություններից հետո $x$ փոփոխականի գործակիցը հավասար է զրոյի։ Այս դեպքում հնարավոր է երկու տարբերակ.

1. Հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի։ Օրինակ, երբ $0\cdot x=8$-ի նման մի բան է ստացվում, այսինքն. ձախ կողմում զրո է, իսկ աջ կողմում՝ զրոյից տարբերվող թիվ: Ստորև բերված տեսանյութում մենք կանդրադառնանք մի քանի պատճառների, թե ինչու է այս իրավիճակը հնարավոր:
2. Լուծումը բոլոր թվերն են: Միակ դեպքը, երբ դա հնարավոր է, այն է, երբ հավասարումը կրճատվել է մինչև $0\cdot x=0$: Միանգամայն տրամաբանական է, որ ինչ էլ որ $x$-ին փոխարինենք, այնուամենայնիվ կստացվի «զրոն հավասար է զրոյի», այսինքն. ճիշտ թվային հավասարություն.

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես է այս ամենը աշխատում՝ օգտագործելով իրական կյանքի օրինակները:

Հավասարումների լուծման օրինակներ

Այսօր մենք գործ ունենք գծային հավասարումների հետ, այն էլ՝ ամենապարզները։ Ընդհանուր առմամբ, գծային հավասարումը նշանակում է ցանկացած հավասարություն, որը պարունակում է ճշգրիտ մեկ փոփոխական, և այն գնում է միայն առաջին աստիճանի:

Նման շինությունները լուծվում են մոտավորապես նույն կերպ.

1. Առաջին հերթին, դուք պետք է ընդլայնեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան (ինչպես մեր վերջին օրինակում);
2. Այնուհետև միացրեք նմանատիպը
3. Վերջապես, մեկուսացրեք փոփոխականը, այսինքն. տեղափոխել այն ամենը, ինչ կապված է փոփոխականի հետ՝ այն տերմինները, որոնցում այն ​​պարունակվում է, մի կողմ, և այն, ինչ մնում է առանց դրա, տեղափոխել մյուս կողմ:

Այնուհետև, որպես կանոն, ստացված հավասարության յուրաքանչյուր կողմում պետք է բերել նմանատիպեր, իսկ դրանից հետո մնում է բաժանել «x» գործակցի վրա, և մենք կստանանք վերջնական պատասխանը։

Տեսականորեն սա գեղեցիկ և պարզ տեսք ունի, բայց գործնականում նույնիսկ փորձառու ավագ դպրոցի աշակերտները կարող են վիրավորական սխալներ թույլ տալ բավականին պարզ: գծային հավասարումներ. Սովորաբար, սխալներ են լինում կամ փակագծերը բացելիս, կամ «պլյուսները» և «մինուսները» հաշվարկելիս:

Բացի այդ, պատահում է, որ գծային հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի, կամ լուծումը ամբողջ թվային ուղիղն է, այսինքն. ցանկացած թիվ. Այս նրբություններին մենք կանդրադառնանք այսօրվա դասին: Բայց մենք կսկսենք, ինչպես արդեն հասկացաք, հենց սկզբից պարզ առաջադրանքներ.

Պարզ գծային հավասարումների լուծման սխեմա

Նախ, թույլ տվեք ևս մեկ անգամ գրել ամենապարզ գծային հավասարումների լուծման ամբողջ սխեման.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան:
2. Մենք մեկուսացնում ենք փոփոխականները, այսինքն. Մենք տեղափոխում ենք այն ամենը, ինչ պարունակում է «X» մի կողմ, իսկ ամեն ինչ առանց «X»-ների՝ մյուս կողմ:
3. Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.
4. Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցի վրա։

Իհարկե, այս սխեման միշտ չէ, որ աշխատում է, դրա մեջ կան որոշակի նրբություններ և հնարքներ, և այժմ մենք կծանոթանանք դրանց:

Պարզ գծային հավասարումների իրական օրինակների լուծում

Առաջադրանք թիվ 1

Առաջին քայլը մեզանից պահանջում է բացել փակագծերը: Բայց դրանք այս օրինակում չկան, ուստի մենք բաց ենք թողնում այս քայլը: Երկրորդ քայլում մենք պետք է մեկուսացնենք փոփոխականները: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. խոսքը միայն անհատական ​​պայմանների մասին է: Եկեք գրենք այն.

Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ աջ և ձախ կողմում, բայց դա արդեն արվել է այստեղ։ Այսպիսով, մենք անցնում ենք չորրորդ քայլին՝ բաժանել գործակցի վրա.

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Այսպիսով, մենք ստացանք պատասխանը.

Առաջադրանք թիվ 2

Մենք կարող ենք տեսնել այս խնդրի փակագծերը, ուստի եկեք դրանք ընդլայնենք.

Ե՛վ ձախ, և՛ աջ կողմում մենք տեսնում ենք մոտավորապես նույն դիզայնը, բայց եկեք գործենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. փոփոխականների առանձնացում.

Ահա մի քանի նմաններ.

Ի՞նչ արմատներով է սա աշխատում: Պատասխան՝ ցանկացածի համար: Հետևաբար, մենք կարող ենք գրել, որ $x$-ը ցանկացած թիվ է։

Առաջադրանք թիվ 3

Ավելի հետաքրքիր է երրորդ գծային հավասարումը.

\[\ ձախ (6-x \աջ)+\ձախ (12+x \աջ)-\ձախ (3-2x \աջ)=15\]

Այստեղ մի քանի փակագծեր կան, բայց դրանք ոչ մի բանով չեն բազմապատկվում, ուղղակի նախորդում են տարբեր նշաններ։ Եկեք բաժանենք դրանք.

Մենք կատարում ենք մեզ արդեն հայտնի երկրորդ քայլը.

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Եկեք հաշվարկենք.

Մենք կատարում ենք վերջին քայլը՝ ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցով.

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Այն, ինչ պետք է հիշել գծային հավասարումներ լուծելիս

Եթե ​​անտեսենք չափազանց պարզ առաջադրանքները, ես կցանկանայի ասել հետևյալը.

• Ինչպես ասացի վերևում, ամեն գծային հավասարում չէ, որ լուծում ունի. երբեմն պարզապես արմատներ չկան.
• Եթե ​​նույնիսկ արմատներ կան, դրանց մեջ կարող է լինել զրո - դրանում վատ բան չկա։

Զրոն նույն թիվն է, ինչ մյուսները, դուք չպետք է որևէ կերպ խտրականություն դրեք դրա նկատմամբ կամ ենթադրեք, որ եթե դուք ստանում եք զրո, ապա ինչ-որ բան սխալ եք արել:

Մեկ այլ առանձնահատկություն կապված է փակագծերի բացման հետ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. երբ նրանց դիմաց կա «մինուս», մենք այն հեռացնում ենք, բայց փակագծերում մենք փոխում ենք նշանները. հակառակը. Եվ հետո մենք կարող ենք բացել այն՝ օգտագործելով ստանդարտ ալգորիթմներ. մենք կստանանք այն, ինչ տեսանք վերը նշված հաշվարկներում:

Այս պարզ փաստի ըմբռնումը կօգնի ձեզ խուսափել ավագ դպրոցում հիմար և վիրավորական սխալներից, երբ նման բաներ անելը սովորական է համարվում:

Բարդ գծային հավասարումների լուծում

Անցնենք ավելի բարդ հավասարումների: Այժմ կոնստրուկցիաները կդառնան ավելի բարդ, և տարբեր փոխակերպումներ կատարելիս կհայտնվի քառակուսի ֆունկցիա։ Այնուամենայնիվ, մենք չպետք է վախենանք դրանից, քանի որ եթե, հեղինակի պլանի համաձայն, մենք լուծում ենք գծային հավասարում, ապա վերափոխման գործընթացում քառակուսի ֆունկցիա պարունակող բոլոր մոնոմալները, անշուշտ, կչեղարկվեն:

Օրինակ թիվ 1

Ակնհայտ է, որ առաջին քայլը փակագծերը բացելն է։ Եկեք սա անենք շատ ուշադիր.

Հիմա եկեք նայենք գաղտնիությանը.

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ահա մի քանի նմաններ.

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը լուծումներ չունի, ուստի մենք կգրենք սա պատասխանում.

\[\varnothing\]

կամ արմատներ չկան:

Օրինակ թիվ 2

Մենք կատարում ենք նույն գործողությունները. Առաջին քայլը.

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք փոփոխականով դեպի ձախ, իսկ առանց դրա՝ աջ.

Ահա մի քանի նմաններ.

Ակնհայտ է, որ այս գծային հավասարումը լուծում չունի, ուստի մենք այն կգրենք այսպես.

\[\varnothing\],

կամ արմատներ չկան:

Լուծման նրբությունները

Երկու հավասարումներն էլ ամբողջությամբ լուծված են։ Որպես օրինակ օգտագործելով այս երկու արտահայտությունները՝ մենք ևս մեկ անգամ համոզվեցինք, որ նույնիսկ ամենապարզ գծային հավասարումների դեպքում ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ՝ կարող է լինել կա՛մ մեկը, կա՛մ մեկը, կա՛մ անսահման շատ արմատներ: Մեր դեպքում մենք դիտարկեցինք երկու հավասարումներ, երկուսն էլ ուղղակի արմատ չունեն։

Բայց ես ուզում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել մեկ այլ փաստի վրա՝ ինչպես աշխատել փակագծերով և ինչպես բացել դրանք, եթե դրանց դիմաց մինուս նշան է։ Հաշվի առեք այս արտահայտությունը.

Բացելուց առաջ անհրաժեշտ է ամեն ինչ բազմապատկել «X»-ով: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. բազմապատկվում է յուրաքանչյուր առանձին ժամկետ. Ներսում կան երկու տերմիններ `համապատասխանաբար, երկու անդամ և բազմապատկված:

Եվ միայն այս տարրական թվացող, բայց շատ կարևոր և վտանգավոր փոխակերպումների ավարտից հետո կարող եք բացել փակագիծը այն տեսանկյունից, որ դրանից հետո մինուս նշան կա։ Այո, այո. միայն հիմա, երբ փոխակերպումները ավարտված են, մենք հիշում ենք, որ փակագծերի դիմաց կա մինուս նշան, ինչը նշանակում է, որ ներքևում գտնվող ամեն ինչ պարզապես փոխում է նշանները: Միևնույն ժամանակ, փակագծերն իրենք անհետանում են, և ամենակարևորը, անհետանում է նաև առջևի «մինուսը»:

Մենք նույնն ենք անում երկրորդ հավասարման հետ.

Պատահական չէ, որ ուշադրություն եմ դարձնում այս փոքրիկ, աննշան թվացող փաստերին։ Քանի որ հավասարումների լուծումը միշտ էլ տարրական փոխակերպումների հաջորդականություն է, որտեղ պարզ և գրագետ գործողություններ կատարելու անկարողությունը հանգեցնում է նրան, որ ավագ դպրոցի աշակերտները գալիս են ինձ մոտ և նորից սովորում լուծել նման պարզ հավասարումներ:

Իհարկե, կգա մի օր, երբ դուք կհղկեք այս հմտությունները մինչև ավտոմատացման աստիճան: Այլևս ստիպված չեք լինի ամեն անգամ այդքան փոխակերպումներ կատարել, ամեն ինչ կգրեք մեկ տողի վրա: Բայց մինչ դուք նոր եք սովորում, դուք պետք է գրեք յուրաքանչյուր գործողություն առանձին:

Էլ ավելի բարդ գծային հավասարումների լուծում

Այն, ինչ հիմա լուծելու ենք, դժվար թե կարելի է ամենապարզ առաջադրանք անվանել, բայց իմաստը մնում է նույնը։

Առաջադրանք թիվ 1

\[\ձախ(7x+1 \աջ)\ձախ(3x-1 \աջ)-21((x)^(2))=3\]

Եկեք բազմապատկենք առաջին մասի բոլոր տարրերը.

Եկեք մի փոքր գաղտնիություն պահպանենք.

Ահա մի քանի նմաններ.

Եկեք ավարտենք վերջին քայլը.

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ահա մեր վերջնական պատասխանը. Եվ, չնայած այն հանգամանքին, որ լուծելու ընթացքում ունեինք քառակուսի ֆունկցիա ունեցող գործակիցներ, դրանք չեղարկեցին միմյանց, ինչը հավասարումը դարձնում է գծային և ոչ քառակուսի։

Առաջադրանք թիվ 2

\[\ ձախ (1-4x \աջ)\ձախ (1-3x \աջ)=6x\ձախ (2x-1 \աջ)\]

Եկեք ուշադիր կատարենք առաջին քայլը. բազմապատկենք առաջին փակագծի յուրաքանչյուր տարրը երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Փոխակերպումներից հետո պետք է լինի ընդհանուր չորս նոր տերմին.

Այժմ եկեք ուշադիր կատարենք բազմապատկումը յուրաքանչյուր անդամում.

«X»-ով տերմինները տեղափոխենք ձախ, իսկ առանց տերմինները՝ աջ:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ահա նմանատիպ տերմիններ.

Եվս մեկ անգամ ստացանք վերջնական պատասխանը.

Լուծման նրբությունները

Այս երկու հավասարումների վերաբերյալ ամենակարևոր նշումը հետևյալն է. հենց որ սկսում ենք բազմապատկել մեկից ավելի անդամ պարունակող փակագծերը, դա արվում է հետևյալ կանոնի համաձայն. առաջին անդամը վերցնում ենք առաջինից և բազմապատկում յուրաքանչյուր տարրի հետ՝ երկրորդ; այնուհետև մենք վերցնում ենք երկրորդ տարրը առաջինից և նմանապես բազմապատկում ենք երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Արդյունքում կունենանք չորս ժամկետ։

Հանրահաշվական գումարի մասին

Այս վերջին օրինակով ես ուզում եմ ուսանողներին հիշեցնել, թե ինչ է հանրահաշվական գումարը: Դասական մաթեմատիկայի մեջ $1-7$ ասելով մենք հասկանում ենք պարզ շինարարություն՝ մեկից հանել յոթը: Հանրահաշվում մենք հասկանում ենք հետևյալը. «մեկ» թվին ավելացնում ենք ևս մեկ թիվ, այն է՝ «մինուս յոթը»: Ահա թե ինչպես է հանրահաշվական գումարը տարբերվում սովորական թվաբանական գումարից։

Հենց որ բոլոր փոխակերպումները, յուրաքանչյուր գումարում և բազմապատկում կատարելիս սկսեք տեսնել վերը նկարագրվածների նման կառուցվածքներ, բազմանդամների և հավասարումների հետ աշխատելիս հանրահաշվում պարզապես խնդիրներ չեք ունենա:

Ի վերջո, եկեք նայենք ևս մի քանի օրինակների, որոնք նույնիսկ ավելի բարդ կլինեն, քան մեր նայածները, և դրանք լուծելու համար մենք պետք է մի փոքր ընդլայնենք մեր ստանդարտ ալգորիթմը:

Հավասարումների լուծում կոտորակներով

Նման առաջադրանքները լուծելու համար մենք ստիպված կլինենք ևս մեկ քայլ ավելացնել մեր ալգորիթմին։ Բայց նախ հիշեցնեմ մեր ալգորիթմը.

1. Բացեք փակագծերը:
2. Առանձին փոփոխականներ.
3. Բերեք նմանատիպերը։
4. Բաժանեք հարաբերակցության վրա:

Ավաղ, այս հրաշալի ալգորիթմը, չնայած իր ողջ արդյունավետությանը, պարզվում է, որ ամբողջովին տեղին չէ, երբ մեր առջև կոտորակներ կան։ Եվ այն, ինչ մենք կտեսնենք ստորև, երկու հավասարումներում ունենք կոտորակ և՛ ձախ, և՛ աջ:

Ինչպե՞ս աշխատել այս դեպքում: Այո, դա շատ պարզ է: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ալգորիթմին ավելացնել ևս մեկ քայլ, որը կարելի է անել ինչպես առաջին գործողությունից առաջ, այնպես էլ հետո, այն է՝ ազատվել կոտորակներից։ Այսպիսով, ալգորիթմը կլինի հետևյալը.

1. Ազատվել կոտորակներից.
2. Բացեք փակագծերը:
3. Առանձին փոփոխականներ.
4. Բերեք նմանատիպերը։
5. Բաժանեք հարաբերակցության վրա:

Ի՞նչ է նշանակում «ազատվել կոտորակներից»: Իսկ ինչո՞ւ դա կարելի է անել և՛ առաջին ստանդարտ քայլից հետո, և՛ դրանից առաջ: Փաստորեն, մեր դեպքում բոլոր կոտորակները թվային են իրենց հայտարարով, այսինքն. Ամենուր հայտարարը ընդամենը թիվ է։ Հետևաբար, եթե հավասարման երկու կողմերն էլ բազմապատկենք այս թվով, ապա կազատվենք կոտորակներից։

Օրինակ թիվ 1

\[\frac(\ձախ(2x+1 \աջ)\ձախ(2x-3 \աջ))(4)=((x)^(2))-1\]

Եկեք ազատվենք այս հավասարման կոտորակներից.

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \աջ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4 \]

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ամեն ինչ բազմապատկվում է «չորսով» մեկ անգամ, այսինքն. միայն այն պատճառով, որ դուք ունեք երկու փակագիծ, չի նշանակում, որ դուք պետք է յուրաքանչյուրը բազմապատկեք «չորսով»: Եկեք գրենք.

\[\ ձախ (2x+1 \աջ)\ձախ (2x-3 \աջ)=\ձախ (((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4\]

Այժմ ընդլայնենք.

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականը.

Մենք կատարում ենք նմանատիպ տերմինների կրճատում.

\[-4x=-1\ձախ| :\left(-4 \աջ) \աջ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Մենք ստացանք վերջնական որոշում, անցնենք երկրորդ հավասարմանը։

Օրինակ թիվ 2

\[\frac(\ձախ(1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ))(5)+((x)^(2))=1\]

Այստեղ մենք կատարում ենք բոլոր նույն գործողությունները.

\[\frac(\ ձախ (1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Խնդիրը լուծված է։

Դա, փաստորեն, այն ամենն է, ինչ ես ուզում էի ասել ձեզ այսօր:

Հիմնական կետերը

Հիմնական բացահայտումները հետևյալն են.

• Իմացեք գծային հավասարումների լուծման ալգորիթմը:
• Փակագծեր բացելու ունակություն:
• Մի անհանգստացեք, եթե տեսնեք քառակուսի ֆունկցիաներ, ամենայն հավանականությամբ, հետագա վերափոխումների գործընթացում դրանք կնվազեն։
• Գծային հավասարումների մեջ կան երեք տեսակի արմատներ, նույնիսկ ամենապարզները. մեկ արմատ, ամբողջ թվային տողը արմատ է, և ընդհանրապես արմատներ չկան:

Հուսով եմ, որ այս դասը կօգնի ձեզ յուրացնել մի պարզ, բայց շատ կարևոր թեմա՝ բոլոր մաթեմատիկայի հետագա ըմբռնման համար: Եթե ​​ինչ-որ բան պարզ չէ, գնացեք կայք և լուծեք այնտեղ ներկայացված օրինակները։ Հետևե՛ք, շատ ավելի հետաքրքիր բաներ են սպասում ձեզ:

Հավասարման այդ մասը փակագծերում տրված արտահայտությունն է։ Փակագծերը բացելու համար նայեք փակագծերի դիմացի նշանին: Եթե ​​կա գումարած նշան, ապա արտահայտության մեջ փակագծերը բացելը ոչինչ չի փոխի, պարզապես հանեք փակագծերը: Եթե ​​կա մինուս նշան, ապա փակագծերը բացելիս պետք է բոլոր նշանները, որոնք ի սկզբանե եղել են փակագծերում, փոխեք հակառակ նշանների։ Օրինակ՝ -(2x-3)=-2x+3:

Երկու փակագծերի բազմապատկում.
Եթե ​​հավասարումը պարունակում է երկու փակագծերի արտադրյալ, փակագծերը բացելով ըստ ստանդարտ կանոն. Առաջին փակագծի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկվում է երկրորդ փակագծի յուրաքանչյուր անդամի հետ: Ստացված թվերն ամփոփված են։ Այս դեպքում երկու «պլյուսների» կամ երկու «մինուսների» արտադրյալը տերմինին տալիս է «գումարած» նշան, և եթե գործոններն ունեն. տարբեր նշաններ, ապա ստանում է մինուս նշան:
Եկեք դիտարկենք.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Փակագծեր բացելով, երբեմն արտահայտությունը բարձրացնելով . Քառակուսիների և խորանարդի համար նախատեսված բանաձևերը պետք է անգիր իմանալ և հիշել:
(ա+բ)^2=ա^2+2աբ+բ^2
(ա-բ)^2=ա^2-2աբ+բ^2
(ա+բ)^3=ա^3+3ա^2*բ+3աբ^2+բ^3
(ա-բ)^3=ա^3-3ա^2*բ+3աբ^2-բ^3
Երեքից մեծ արտահայտություն կառուցելու բանաձևերը կարելի է անել՝ օգտագործելով Պասկալի եռանկյունը:

Աղբյուրներ:

• փակագծերի ընդլայնման բանաձևը

Փակագծերում փակցված մաթեմատիկական գործողություններկարող է պարունակել փոփոխականներ և արտահայտություններ տարբեր աստիճաններդժվարություններ. Նման արտահայտությունները բազմապատկելու համար պետք է լուծում փնտրել ընդհանուր տեսարան, բացելով փակագծերը և պարզեցնելով արդյունքը։ Եթե ​​փակագծերը պարունակում են գործողություններ առանց փոփոխականների, միայն թվային արժեքներով, ապա փակագծերը բացելն անհրաժեշտ չէ, քանի որ եթե դուք ունեք համակարգիչ, նրա օգտագործողին հասանելի է շատ նշանակալի հաշվողական ռեսուրսներ, ավելի հեշտ է դրանք օգտագործել, քան պարզեցնել արտահայտությունը:

Հրահանգներ

Մեկ փակագծում պարունակվող յուրաքանչյուրը (կամ մինուենդը) հաջորդաբար բազմապատկեք մյուս բոլոր փակագծերի բովանդակությամբ, եթե ցանկանում եք ընդհանուր տեսքով ստանալ արդյունքը: Օրինակ՝ սկզբնական արտահայտությունը գրվի հետևյալ կերպ՝ (5+x)∗(6-x)∗(x+2): Այնուհետև հաջորդական բազմապատկումը (այսինքն՝ բացելով փակագծերը) կտա հետևյալ արդյունքը՝ (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6*x-x*x)*(x*x+2*x) = (5*6*5*x+5*6*5*2) - (5*x*5*x+ 5∗ x∗5∗2) + (6*x*x*x+6*x*2*x) - (x*x*x*x+x*x*2*x) = 5*6*5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6*x*x*x + 6*x*2*x - x*x*x*x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³:

Պարզեցնել արդյունքը՝ կրճատելով արտահայտությունները: Օրինակ՝ նախորդ քայլում ստացված արտահայտությունը կարելի է պարզեցնել հետևյալ կերպ. 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³:

Օգտագործեք հաշվիչ, եթե Ձեզ անհրաժեշտ է բազմապատկել x-ը հավասար է 4,75-ի, այսինքն՝ (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2): Այս արժեքը հաշվարկելու համար գնացեք Google-ի կամ Nigma որոնողական կայքի կայք և հարցման դաշտում մուտքագրեք արտահայտությունն իր սկզբնական ձևով (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2): Google-ը անմիջապես կցուցադրի 82.265625-ը, առանց կոճակ սեղմելու, սակայն Nigma-ին անհրաժեշտ է տվյալներ ուղարկել սերվերին՝ կոճակի սեղմումով:

Փակագծերի հիմնական գործառույթը արժեքները հաշվարկելիս գործողությունների հերթականությունը փոխելն է: Օրինակ, \(5·3+7\) թվային արտահայտության մեջ նախ կհաշվարկվի բազմապատկումը, իսկ հետո գումարումը` \(5·3+7 =15+7=22\): Բայց \(5·(3+7)\) արտահայտության մեջ նախ կհաշվարկվի փակագծերում գումարումը, հետո միայն բազմապատկումը՝ \(5·(3+7)=5·10=50\):

Օրինակ. Ընդարձակեք փակագիծը՝ \(-(4m+3)\):
Լուծում : \(-(4մ+3)=-4մ-3\):

Օրինակ. Բացեք փակագիծը և նշեք նմանատիպ տերմիններ \(5-(3x+2)+(2+3x)\):
Լուծում \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\):

Օրինակ. Ընդարձակեք փակագծերը \(5(3-x)\):
Լուծում Փակագծում ունենք \(3\) և \(-x\), իսկ փակագծից առաջ կա հինգ։ Սա նշանակում է, որ փակագծի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկվում է \(5\)-ով - հիշեցնում եմ ձեզ դա Թվերի և փակագծերի միջև բազմապատկման նշանը մաթեմատիկայում գրված չէ մուտքերի չափը նվազեցնելու համար.

Օրինակ. Ընդարձակեք փակագծերը \(-2(-3x+5)\):
Լուծում Ինչպես նախորդ օրինակում, փակագծերի \(-3x\) և \(5\)-ը բազմապատկվում են \(-2\-ով):

Օրինակ. Պարզեցրե՛ք \(5(x+y)-2(x-y)\ արտահայտությունը:
Լուծում \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\):

Մնում է դիտարկել վերջին իրավիճակը։

Փակագծերը փակագծով բազմապատկելիս առաջին փակագծի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկվում է երկրորդի յուրաքանչյուր անդամի հետ.

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Օրինակ. Ընդարձակեք փակագծերը \((2-x)(3x-1)\):
Լուծում Մենք ունենք փակագծերի արտադրանք և այն կարող է անմիջապես ընդլայնվել՝ օգտագործելով վերը նշված բանաձևը: Բայց որպեսզի չշփոթվենք, եկեք ամեն ինչ քայլ առ քայլ անենք։
Քայլ 1. Հեռացրեք առաջին փակագիծը. նրա յուրաքանչյուր տերմինը բազմապատկեք երկրորդ փակագծով.

Քայլ 2. Ընդարձակեք փակագծերի արտադրյալները և գործակիցը, ինչպես նկարագրված է վերևում.
-Առաջինը...

Հետո երկրորդը.

Քայլ 3. Այժմ մենք բազմապատկում և ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.

Պետք չէ այդքան մանրամասն նկարագրել բոլոր փոխակերպումները, դուք կարող եք դրանք անմիջապես բազմապատկել։ Բայց եթե նոր եք սովորում փակագծեր բացել, գրեք մանրամասն, սխալվելու հավանականությունը քիչ կլինի։

Նշում ամբողջ բաժնին:Փաստորեն, պետք չէ հիշել բոլոր չորս կանոնները, պետք է հիշել միայն մեկը, սա՝ \(c(a-b)=ca-cb\) : Ինչո՞ւ։ Որովհետև c-ի փոխարեն մեկը փոխարինելու դեպքում կստանաք \((a-b)=a-b\) կանոնը: Իսկ եթե փոխարինենք մինուս մեկը, ապա կստանանք \(-(a-b)=-a+b\) կանոնը: Դե, եթե c-ի փոխարեն մեկ այլ փակագիծ եք փոխարինում, կարող եք ստանալ վերջին կանոնը:

Փակագծեր փակագծերի մեջ

Երբեմն գործնականում խնդիրներ են առաջանում այլ փակագծերի ներսում տեղադրված փակագծերի հետ: Ահա այսպիսի առաջադրանքի օրինակ՝ պարզեցնել \(7x+2(5-(3x+y))\ արտահայտությունը։

Նման առաջադրանքները հաջողությամբ լուծելու համար ձեզ հարկավոր է.
- ուշադիր հասկանալ փակագծերի բնադրումը.
- փակագծերը հաջորդաբար բացեք՝ սկսելով, օրինակ, ամենաներքինից:

Կարևոր է փակագծերից մեկը բացելիս մի շոշափեք մնացած արտահայտությունը, պարզապես վերաշարադրելով այն, ինչպես կա:
Որպես օրինակ նայենք վերևում գրված առաջադրանքին։

Օրինակ. Բացեք փակագծերը և նշեք նմանատիպ տերմիններ \(7x+2(5-(3x+y))\):
Լուծում:

Օրինակ. Բացեք փակագծերը և նշեք նմանատիպ տերմիններ \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\):
Լուծում :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Այստեղ փակագծերի եռակի բնադրում կա։ Սկսենք ամենաներքինից (ընդգծված կանաչով): Բրա դիմաց կա պլյուս, այնպես որ այն պարզապես դուրս է գալիս:
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Այժմ պետք է բացել երկրորդ փակագիծը՝ միջանկյալը։ Բայց մինչ այդ մենք կպարզեցնենք այս երկրորդ փակագծում ուրվականանման տերմինների արտահայտությունը։
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Այժմ մենք բացում ենք երկրորդ փակագիծը (ընդգծված կապույտով): Մինչև փակագիծը գործոն է, ուստի փակագծում յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկվում է դրանով:
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Եվ բացեք վերջին փակագիծը։ Փակագծի դիմաց կա մինուս նշան, ուստի բոլոր նշանները հակադարձված են:

Փակագծերը ընդլայնելը մաթեմատիկայի հիմնական հմտություն է: Առանց այս հմտության անհնար է 8-րդ և 9-րդ դասարաններում C-ից բարձր գնահատական ​​ունենալ: Ուստի խորհուրդ եմ տալիս լավ հասկանալ այս թեման։

Այս հոդվածում մենք մանրամասն կանդրադառնանք մաթեմատիկայի դասընթացի այնպիսի կարևոր թեմայի հիմնական կանոններին, ինչպիսիք են փակագծերը: Դուք պետք է իմանաք փակագծերը բացելու կանոնները, որպեսզի ճիշտ լուծեք հավասարումները, որոնցում դրանք օգտագործվում են:

Ինչպես ավելացնել փակագծերը ճիշտ բացել

Ընդարձակեք փակագծերը, որոնց նախորդում է «+» նշանը

Սա ամենապարզ դեպքն է, քանի որ եթե փակագծերի դիմաց ավելացման նշան կա, փակագծերը բացելիս դրանց ներսում նշանները չեն փոխվում։ Օրինակ:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Ինչպես ընդլայնել փակագծերը, որոնց նախորդում է «-» նշանը

IN այս դեպքումանհրաժեշտ է բոլոր տերմինները վերաշարադրել առանց փակագծերի, բայց միևնույն ժամանակ փոխել դրանց ներսում եղած բոլոր նշանները հակառակի: Նշանները փոխվում են միայն այն փակագծերից տերմինների համար, որոնց նախորդում էր «-» նշանը: Օրինակ:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Ինչպես բազմապատկելիս բացել փակագծերը

Փակագծերից առաջ կա բազմապատկիչ թիվ

Այս դեպքում անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկել գործակցով և բացել փակագծերը՝ առանց նշանները փոխելու։ Եթե ​​բազմապատկիչն ունի «-» նշան, ապա բազմապատկման ժամանակ տերմինների նշանները հակադարձվում են։ Օրինակ:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Ինչպես բացել երկու փակագիծ՝ դրանց միջև բազմապատկման նշանով

Այս դեպքում դուք պետք է բազմապատկեք առաջին փակագծերի յուրաքանչյուր անդամը երկրորդ փակագծերի յուրաքանչյուր անդամի հետ, ապա ավելացրեք արդյունքները: Օրինակ:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Ինչպես բացել փակագծերը քառակուսու մեջ

Եթե ​​երկու անդամների գումարը կամ տարբերությունը քառակուսի է, փակագծերը պետք է բացվեն հետևյալ բանաձևով.

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Փակագծերի ներսում մինուսի դեպքում բանաձեւը չի փոխվում։ Օրինակ:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Ինչպես ընդլայնել փակագծերը մեկ այլ աստիճանով

Եթե ​​տերմինների գումարը կամ տարբերությունը բարձրացվում է, օրինակ, 3-րդ կամ 4-րդ աստիճանի, ապա պարզապես անհրաժեշտ է փակագծի հզորությունը բաժանել «քառակուսիների»: Միանման գործակիցների ուժերը գումարվում են, իսկ բաժանելիս բաժանարարի ուժը հանվում է դիվիդենտի հզորությունից։ Օրինակ:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Ինչպես բացել 3 փակագծեր

Կան հավասարումներ, որոնցում միանգամից 3 փակագծեր են բազմապատկվում։ Այս դեպքում նախ պետք է բազմապատկել առաջին երկու փակագծերի անդամները, իսկ հետո բազմապատկել այս բազմապատկման գումարը երրորդ փակագծի անդամներով։ Օրինակ:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Փակագծերի բացման այս կանոնները հավասարապես կիրառվում են ինչպես գծային, այնպես էլ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման համար: