Պարաբոլայի տեսություն. Պարաբոլա - քառակուսի ֆունկցիայի հատկություններ և գրաֆիկ

Պարաբոլան անսահման կոր է, որը բաղկացած է տրված ուղիղից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերից, որոնք կոչվում են պարաբոլայի ուղղորդիչ և տվյալ կետից՝ պարաբոլայի կիզակետից։ Պարաբոլան կոնաձեւ հատված է, այսինքն՝ ներկայացնում է հարթության և շրջանաձև կոնի հատումը։

IN ընդհանուր տեսարանպարաբոլայի մաթեմատիկական հավասարումն ունի ձև՝ y=ax^2+bx+c, որտեղ a-ն հավասար չէ զրոյի, b-ն արտացոլում է ֆունկցիայի գրաֆիկի հորիզոնական տեղաշարժը սկզբի նկատմամբ, իսկ c-ն՝ ուղղահայաց տեղաշարժը: Ֆունկցիայի գրաֆիկը ծագման համեմատ: Ավելին, եթե a>0, ապա գրաֆիկը գծելիս դրանք կուղղվեն դեպի վեր, իսկ եթե a Պարաբոլայի հատկությունները.

Պարաբոլան երկրորդ կարգի կոր է, որն ունի սիմետրիայի առանցք, որն անցնում է պարաբոլայի կիզակետով և ուղղահայաց է պարաբոլայի ուղղաձիգին:

Պարաբոլան ունի հատուկ օպտիկական հատկություն, որը բաղկացած է լույսի ճառագայթները կենտրոնացնելուց իր համաչափության առանցքին զուգահեռ և ուղղվում է պարաբոլայի մեջ պարաբոլայի գագաթին, և պարաբոլայի գագաթին ուղղված լույսի ճառագայթը ապակենտրոնացնում է զուգահեռ լույսի ճառագայթների նկատմամբ: նույն առանցքը.

Եթե ​​դուք արտացոլում եք պարաբոլան, որը հարաբերական է որևէ շոշափողի, ապա պարաբոլայի պատկերը կհայտնվի նրա ուղղահայաց վրա: Բոլոր պարաբոլները նման են միմյանց, այսինքն՝ մեկ պարաբոլայի յուրաքանչյուր երկու A և B կետերի համար կան A1 և B1 կետեր, որոնց համար նշվում է |A1,B1| = |A,B|*k, որտեղ k-ը նմանության գործակիցն է, որը թվային արժեքով միշտ զրոյից մեծ է:

Կյանքում պարաբոլայի դրսևորում

Որոշ տիեզերական մարմիններ, ինչպիսիք են գիսաստղերը կամ աստերոիդները, անցնում են մեծ տիեզերական օբյեկտների մոտով բարձր արագությունունեն պարաբոլայի տեսքով հետագիծ. Փոքր տիեզերական մարմինների այս հատկությունն օգտագործվում է տիեզերանավերի գրավիտացիոն մանևրների ժամանակ։

Ապագա տիեզերագնացներին վարժեցնելու համար օդանավերի հատուկ թռիչքներ են իրականացվում պարաբոլիկ հետագծի երկայնքով գետնին, դրանով իսկ հասնելով անկշռության ազդեցությանը երկրի գրավիտացիոն դաշտում:

Առօրյա կյանքում պարաբոլաները կարելի է գտնել տարբեր լուսատուներում։ Դա պայմանավորված է պարաբոլայի օպտիկական հատկությամբ։ Պարաբոլայի օգտագործման վերջին ձևերից մեկը, որը հիմնված է լույսի ճառագայթների կենտրոնացման և ապակենտրոնացման հատկությունների վրա, արևային մարտկոցներն են, որոնք ավելի ու ավելի են ընդգրկվում Ռուսաստանի հարավային շրջանների էներգիայի մատակարարման ոլորտում:

Այն ձևի ֆունկցիան, որտեղ կոչվում է քառակուսի ֆունկցիա.

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկ – պարաբոլա.

Դիտարկենք դեպքերը.

I CASE, ԴԱՍԱԿԱՆ ՊԱՐԱԲՈԼԱ

Այն է , ,

Կառուցելու համար լրացրեք աղյուսակը՝ x արժեքները փոխարինելով բանաձևով.

Նշեք միավորները (0;0); (1;1); (-1;1) և այլն: կոորդինատային հարթության վրա (որքան փոքր է քայլը, որ մենք անում ենք x արժեքները (in այս դեպքումքայլ 1), և որքան շատ x արժեքներ վերցնենք, այնքան ավելի հարթ կլինի կորը), մենք պարաբոլա ենք ստանում.

Հեշտ է տեսնել, որ եթե վերցնենք գործը , , , այսինքն, ապա մենք ստանում ենք պարաբոլա, որը սիմետրիկ է առանցքի (oh): Հեշտ է դա հաստատել՝ լրացնելով նմանատիպ աղյուսակ.

II ԴԵՊՔ, «ա»-ն ՏԱՐԲԵՐՎՈՒՄ Է ՄԻԱՎՈՐԻՑ

Ի՞նչ կլինի, եթե վերցնենք , , . Ինչպե՞ս կփոխվի պարաբոլայի վարքը: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Առաջին նկարում (տես վերևում) պարզ երևում է, որ պարաբոլայի (1;1), (-1;1) աղյուսակի կետերը վերածվել են (1;4), (1;-4) կետերի, այսինքն՝ նույն արժեքներով յուրաքանչյուր կետի օրդինատը բազմապատկվում է 4-ով։ Դա տեղի կունենա սկզբնական աղյուսակի բոլոր առանցքային կետերի հետ։ Մենք նույն կերպ ենք մտածում 2-րդ և 3-րդ նկարների դեպքերում:

Եվ երբ պարաբոլան «ավելի լայն է դառնում», քան պարաբոլան.

Ամփոփենք.

1)Գործակիցի նշանը որոշում է ճյուղերի ուղղությունը։ title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Բացարձակ արժեքգործակիցը (մոդուլը) պատասխանատու է պարաբոլայի «ընդլայնման» և «սեղմման» համար: Որքան մեծ է, այնքան նեղ է պարաբոլան, որքան փոքր է |a|, այնքան ավելի լայն է պարաբոլան:

III ԴԵՊՔ Է ՀԱՅՏՆՎՈՒՄ «Գ»:

Հիմա եկեք մտցնենք խաղի մեջ (այսինքն, դիտարկենք այն դեպքը, երբ), մենք կդիտարկենք ձևի պարաբոլները: Դժվար չէ կռահել (միշտ կարող եք հղում կատարել աղյուսակին), որ պարաբոլան կտեղափոխվի առանցքի երկայնքով վեր կամ վար՝ կախված նշանից.

IV ԴԵՊՔ, «b» ԵՐԵՎՈՒՄ Է

Ե՞րբ է պարաբոլան «պոկվելու» առանցքից և վերջապես «քայլելու» ամբողջ կոորդինատային հարթության երկայնքով: Ե՞րբ կդադարի հավասարվել:

Այստեղ պարաբոլա կառուցելու համար մեզ անհրաժեշտ է Գագաթը հաշվարկելու բանաձևը. , .

Այսպիսով, այս պահին (ինչպես կետում (0;0) նոր համակարգկոորդինատներ) մենք կկառուցենք պարաբոլա, որը մենք արդեն կարող ենք անել: Եթե ​​գործ ունենք գործի հետ, ապա գագաթից մենք դնում ենք մեկ միավոր հատված դեպի աջ, մեկը վեր, - ստացված կետը մերն է (նմանապես, մի ​​քայլ դեպի ձախ, մի քայլ դեպի վեր մեր կետն է); եթե գործ ունենք, օրինակ, ապա գագաթից դնում ենք մեկ միավոր հատված դեպի աջ, երկուսը՝ դեպի վեր և այլն։

Օրինակ՝ պարաբոլայի գագաթը.

Այժմ հիմնականը հասկանալն այն է, որ այս գագաթում մենք պարաբոլա կկառուցենք պարաբոլայի օրինաչափության համաձայն, քանի որ մեր դեպքում.

Պարաբոլա կառուցելիս գագաթի կոորդինատները շատ գտնելուց հետոՀարմար է հաշվի առնել հետևյալ կետերը.

1) պարաբոլա անպայման կանցնի կետով . Իրոք, x=0 բանաձևում փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք, որ . Այսինքն պարաբոլայի (oy) առանցքի հետ հատման կետի օրդինատը . Մեր օրինակում (վերևում) պարաբոլան հատում է օրդինատը կետում, քանի որ .

2) համաչափության առանցք պարաբոլաներ ուղիղ գիծ է, ուստի պարաբոլայի բոլոր կետերը սիմետրիկ կլինեն դրա նկատմամբ: Մեր օրինակում անմիջապես վերցնում ենք (0; -2) կետը և այն սիմետրիկ կառուցում պարաբոլայի համաչափության առանցքի նկատմամբ, ստանում ենք այն կետը (4; -2), որով անցնելու է պարաբոլան։

3) Հավասարվելով , պարզում ենք պարաբոլայի առանցքի (oh) հատման կետերը։ Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումը. Կախված տարբերակիչից, մենք կստանանք մեկ (, ), երկու ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Նախորդ օրինակում դիսկրիմինանտի մեր արմատը ամբողջ թիվ չէ, կառուցելիս մեզ համար իմաստ չունի գտնել արմատները, բայց մենք հստակ տեսնում ենք, որ առանցքի հետ կունենանք հատման երկու կետ (oh) (ince title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Այսպիսով, եկեք մշակենք այն

Պարաբոլայի կառուցման ալգորիթմ, եթե այն տրված է ձևով

1) որոշել ճյուղերի ուղղությունը (a>0 – վեր, ա<0 – вниз)

2) մենք գտնում ենք պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները՝ օգտագործելով բանաձևը, .

3) մենք գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետը առանցքի (oy) օգտագործելով ազատ տերմին, կառուցում ենք այս կետի սիմետրիկ կետ պարաբոլայի համաչափության առանցքի նկատմամբ (պետք է նշել, որ պատահում է, որ անշահավետ է նշել. այս կետը, օրինակ, քանի որ արժեքը մեծ է... մենք բաց ենք թողնում այս կետը...)

4) Գտնված կետում՝ պարաբոլայի գագաթը (ինչպես նոր կոորդինատային համակարգի (0;0) կետում) կառուցում ենք պարաբոլա։ If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Մենք գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետերը առանցքի (oy) հետ (եթե դրանք դեռ «մակերևույթ չեն հայտնվել»՝ լուծելով հավասարումը.

Օրինակ 1

Օրինակ 2

Ծանոթագրություն 1.Եթե ​​պարաբոլան ի սկզբանե մեզ տրված է ձևով, որտեղ կան որոշ թվեր (օրինակ՝ ), ապա ավելի հեշտ կլինի այն կառուցել, քանի որ մեզ արդեն տրվել են գագաթի կոորդինատները: Ինչո՞ւ։

Վերցնենք քառակուսի եռանկյուն և մեկուսացնենք դրա ամբողջական քառակուսին. Տեսեք, մենք ստացել ենք, Դուք և ես նախկինում անվանել ենք պարաբոլայի գագաթ, այսինքն՝ հիմա:

Օրինակ, . Հարթության վրա նշում ենք պարաբոլայի գագաթը, հասկանում ենք, որ ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև, պարաբոլան ընդլայնված է (համեմատաբար): Այսինքն, մենք իրականացնում ենք 1-ին կետերը; 3; 4; 5 պարաբոլայի կառուցման ալգորիթմից (տե՛ս վերևում):

Ծանոթագրություն 2.Եթե ​​պարաբոլան տրված է սրա նման ձևով (այսինքն՝ ներկայացված է որպես երկու գծային գործոնի արտադրյալ), ապա մենք անմիջապես տեսնում ենք պարաբոլայի առանցքի (եզ) հետ հատման կետերը։ Այս դեպքում՝ (0;0) և (4;0): Մնացածի համար մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի՝ բացելով փակագծերը։

Պարաբոլան այն հարթության կետերի տեղն է, որը հավասար հեռավորության վրա գտնվում է F կետից և տրված d ուղիղ գծից, որը չի անցնում: տրված կետ. Այս երկրաչափական սահմանումն արտահայտում է պարաբոլայի ռեժիսորական սեփականություն.

Պարաբոլայի դիրեկտորական հատկությունը

F կետը կոչվում է պարաբոլայի կիզակետ, d ուղիղը պարաբոլայի ուղղորդիչն է, կիզակետից դեպի ուղղաձիգ իջեցված ուղղահայաց O միջնակետը պարաբոլայի գագաթն է, p հեռավորությունը կիզակետից դեպի ուղղագիծ: պարաբոլայի պարամետրն է, իսկ \frac(p)(2) հեռավորությունը պարաբոլայի գագաթից մինչև դրա կիզակետը կիզակետային երկարությունն է (նկ. 3.45a): Ուղղաձիգին ուղղահայաց և կիզակետով անցնող ուղիղ գիծը կոչվում է պարաբոլայի առանցք (պարաբոլայի կիզակետային առանցք)։ FM հատվածը, որը միացնում է պարաբոլայի կամայական M կետը իր կիզակետին, կոչվում է M կետի կիզակետային շառավիղ։ Պարաբոլայի երկու կետերը միացնող հատվածը կոչվում է պարաբոլայի ակորդ:

Պարաբոլայի կամայական կետի համար հեռավորության և կիզակետի հարաբերակցությունը դեպի ուղղություն դեպի հեռավորությունը հավասար է մեկի: Համեմատելով , և պարաբոլաների ռեժիսորական հատկությունները, մենք եզրակացնում ենք, որ պարաբոլայի էքսցենտրիկությունըստ սահմանման հավասար է մեկի (e=1):

Պարաբոլայի երկրաչափական սահմանումը, արտահայտելով իր տնօրինական սեփականությունը, համարժեք է նրա վերլուծական սահմանմանը` տրված տողին կանոնական հավասարումպարաբոլներ:

Իսկապես, եկեք ներկայացնենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ (նկ. 3.45, բ): Որպես կոորդինատային համակարգի սկզբնակետ ընդունում ենք պարաբոլայի O գագաթը; մենք վերցնում ենք ուղիղ գիծը, որն անցնում է ուղղահայաց կիզակետով, որպես աբսցիսայի առանցք (դրա վրա դրական ուղղությունը O կետից F կետ է); Որպես օրդինատների առանցք ընդունենք աբսցիսայի առանցքին ուղղահայաց և պարաբոլայի գագաթով անցնող ուղիղը (օրդինատների առանցքի ուղղությունը ընտրված է այնպես, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը Oxy ճիշտ է):

Եկեք պարաբոլայի համար ստեղծենք հավասարում, օգտագործելով նրա երկրաչափական սահմանումը, որն արտահայտում է պարաբոլայի դիրեկտորական հատկությունը: Ընտրված կոորդինատային համակարգում մենք որոշում ենք ֆոկուսի կոորդինատները F\!\ ձախ (\frac(p)(2);\,0\աջ)և ուղղահայաց հավասարումը x=-\frac(p)(2) . Պարաբոլային պատկանող կամայական M(x,y) կետի համար մենք ունենք.

FM=MM_d,

Որտեղ M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\աջ) - ուղղագրական պրոյեկցիակետերը M(x,y) ուղղորդիչին: Մենք գրում ենք այս հավասարումը կոորդինատային ձևով.

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\աջ)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Մենք քառակուսի ենք դնում հավասարման երկու կողմերը. (\ձախ(x-\frac(p)(2)\աջ)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Նմանատիպ տերմիններ բերելով՝ ստանում ենք կանոնական պարաբոլայի հավասարում

y^2=2\cdot p\cdot x,դրանք. ընտրված կոորդինատային համակարգը կանոնական է:

Պատճառաբանելով հակառակ կարգը, կարելի է ցույց տալ, որ բոլոր կետերը, որոնց կոորդինատները բավարարում են (3.51) հավասարումը, և միայն նրանք, պատկանում են պարաբոլա կոչվող կետերին։ Այսպիսով, պարաբոլայի վերլուծական սահմանումը համարժեք է նրա երկրաչափական սահմանմանը, որն արտահայտում է պարաբոլայի ռեժիսորական հատկությունը։

Պարաբոլայի հավասարումը բևեռային կոորդինատային համակարգում

Պարաբոլայի հավասարումը բևեռային կոորդինատային համակարգում Fr\varphi (նկ. 3.45, գ) ունի ձև.

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),որտեղ p պարաբոլայի պարամետրն է, իսկ e=1՝ նրա էքսցենտրիկությունը։

Փաստորեն, որպես բևեռային կոորդինատային համակարգի բևեռ, մենք ընտրում ենք պարաբոլայի կիզակետը F, իսկ որպես բևեռային առանցք՝ F կետից սկիզբ ունեցող ճառագայթ, ուղղահայաց ուղղահայաց և չհատվող այն (նկ. 3.45, գ) . Ապա պարաբոլային պատկանող կամայական M(r,\varphi) կետի համար, ըստ պարաբոլի երկրաչափական սահմանման (ուղղորդական հատկության) ունենք MM_d=r։ Քանի որ MM_d=p+r\cos\varphi, մենք ստանում ենք պարաբոլայի հավասարումը կոորդինատային ձևով.

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Ձախ աջ սլաք \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Ք.Ե.Դ. Նկատի ունեցեք, որ բևեռային կոորդինատներում էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի հավասարումները համընկնում են, բայց նկարագրում են տարբեր գծեր, քանի որ դրանք տարբերվում են էքսցենտրիկությամբ (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1-ի համար):

Պարամետրի երկրաչափական նշանակությունը պարաբոլայի հավասարման մեջ

Եկեք բացատրենք երկրաչափական իմաստպարամետր p կանոնական պարաբոլայի հավասարման մեջ: Փոխարինելով x=\frac(p)(2) (3.51) հավասարման մեջ՝ մենք ստանում ենք y^2=p^2, այսինքն. y=\pm p . Հետևաբար, p պարամետրը պարաբոլայի առանցքին ուղղահայաց կիզակետով անցնող պարաբոլայի ակորդի երկարության կեսն է։

Պարաբոլայի կիզակետային պարամետրը, ինչպես նաև էլիպսի և հիպերբոլայի համար կոչվում է կիզակետային առանցքին ուղղահայաց նրա կիզակետով անցնող ակորդի երկարության կեսը (տե՛ս նկ. 3.45, գ)։ Պարաբոլայի հավասարումից բևեռային կոորդինատներում ժամը \varphi=\frac(\pi)(2)մենք ստանում ենք r=p, այսինքն. պարաբոլայի պարամետրը համընկնում է նրա կիզակետային պարամետրի հետ։

Ծանոթագրություններ 3.11.

1. Պարաբոլայի p պարամետրը բնութագրում է նրա ձևը։ Որքան մեծ է p, այնքան լայն են պարաբոլայի ճյուղերը, այնքան p-ն մոտ է զրոյին, այնքան նեղ են պարաբոլայի ճյուղերը (նկ. 3.46):

2. y^2=-2px հավասարումը (p>0-ի համար) սահմանում է պարաբոլա, որը գտնվում է օրդինատների առանցքից ձախ (նկ. 3.47,ա): Այս հավասարումը կրճատվում է մինչև կանոնական՝ փոխելով x առանցքի ուղղությունը (3.37): Նկ. 3.47,a ցույց է տալիս տրված կոորդինատային համակարգը Oxy և կանոնական Ox"y":

3. Հավասարում (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0սահմանում է պարաբոլա O» (x_0,y_0) գագաթով, որի առանցքը զուգահեռ է աբսցիսայի առանցքին (նկ. 3.47,6): Այս հավասարումը նվազեցվում է կանոնականի` օգտագործելով զուգահեռ թարգմանությունը (3.36):

Հավասարումը (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, սահմանում է նաև պարաբոլա O» (x_0,y_0) գագաթով, որի առանցքը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին (նկ. 3.47, գ): Այս հավասարումը վերածվում է կանոնականի՝ օգտագործելով զուգահեռ թարգմանությունը (3.36) և անվանափոխելով կոորդինատային առանցքները (3.38) Նկար 3.47,b,c-ում պատկերված են Oxy կոորդինատային համակարգերը և Ox"y կանոնական կոորդինատային համակարգերը:

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0պարաբոլա է, որի գագաթը կետում է O"\!\ ձախ (-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\աջ), որի առանցքը զուգահեռ է օրդինատների առանցքին, պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր (a>0-ի համար) կամ ներքև (a-ի համար).<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Ձախ աջ սլաք \քառակուսի \!\ձախ (x+\frac(b) (2a)\աջ)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\աջ)\!,

որը կրճատվում է կանոնական ձևի (y")^2=2px" , որտեղ p=\ձախ|\frac(1)(2a)\աջ|, օգտագործելով փոխարինում y"=x+\frac(b)(2a)Եվ x"=\pm\!\ձախ(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\աջ).

Նշանն ընտրվում է առաջատար ա գործակցի նշանի հետ համընկնում։ Այս փոխարինումը համապատասխանում է կազմին. զուգահեռ փոխանցում (3.36) հետ x_0=-\frac(b)(2a)Եվ y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), կոորդինատային առանցքների անվանափոխում (3.38), իսկ ա<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 և ա<0 соответственно.

5. Կանոնական կոորդինատային համակարգի x առանցքն է պարաբոլայի համաչափության առանցքը, քանի որ y փոփոխականը -y-ով փոխարինելը չի ​​փոխում (3.51) հավասարումը։ Այլ կերպ ասած, պարաբոլային պատկանող M(x,y) կետի կոորդինատները և M կետի (x,-y) կոորդինատները, որոնք համաչափ են x-ի առանցքի նկատմամբ M կետին, բավարարում են հավասարումը. (3.S1) Կանոնական կոորդինատային համակարգի առանցքները կոչվում են պարաբոլայի հիմնական առանցքները.

Օրինակ 3.22. Oxy կանոնական կոորդինատային համակարգում գծե՛ք y^2=2x պարաբոլը: Գտեք կիզակետային պարամետրը, կիզակետային կոորդինատները և ուղղահայաց հավասարումը:

Լուծում.Մենք կառուցում ենք պարաբոլա՝ հաշվի առնելով դրա համաչափությունը աբսցիսայի առանցքի նկատմամբ (նկ. 3.49): Անհրաժեշտության դեպքում որոշեք պարաբոլայի որոշ կետերի կոորդինատները: Օրինակ, x=2-ը փոխարինելով պարաբոլայի հավասարման մեջ՝ ստանում ենք y^2=4~\Ձախ աջ սլաք~y=\pm2. Հետևաբար, (2;2),\,(2;-2) կոորդինատներով կետերը պատկանում են պարաբոլային:

Համեմատելով տրված հավասարումը կանոնականի (3.S1) հետ՝ որոշում ենք կիզակետային պարամետրը՝ p=1։ Ֆոկուս կոորդինատները x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, այսինքն. F\!\ ձախ (\frac(1)(2),\,0\աջ). Մենք կազմում ենք x=-\frac(p)(2) ուղղորդիչի հավասարումը, այսինքն. x=-\frac(1)(2) .

Էլիպսի, հիպերբոլայի, պարաբոլայի ընդհանուր հատկությունները

1. Տնօրենական հատկությունը կարող է օգտագործվել որպես էլիպսի, հիպերբոլայի, պարաբոլայի մեկ սահմանում (տես նկ. 3.50): հարթության այն կետերի տեղանքը, որոնցից յուրաքանչյուրի համար տրված F կետի հեռավորության հարաբերությունը (կենտրոնացում) դեպի տվյալ կետով չանցնող d (ուղղակի) ուղիղ գծի հեռավորությունը հաստատուն է և հավասար է էքսցենտրիկությանը e. , կոչվում է:

ա) եթե 0\leqslant e<1 ;

բ) եթե e>1;

գ) պարաբոլա, եթե e=1.

2. Էլիպսը, հիպերբոլան և պարաբոլան ստացվում են որպես հարթություններ շրջանաձև կոնի հատվածներում և, հետևաբար, կոչվում են. կոնաձև հատվածներ. Այս հատկությունը կարող է նաև ծառայել որպես էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի երկրաչափական սահմանում։

3. Էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի ընդհանուր հատկությունները ներառում են երկսեկտորային սեփականությունդրանց շոշափողները։ Տակ շոշափողինչ-որ կետում գտնվող գծի նկատմամբ K հասկացվում է որպես հատվածային KM-ի սահմանափակող դիրք, երբ M կետը, մնալով դիտարկվող գծի վրա, ձգվում է դեպի K կետը: Ուղիղ գիծը, որը ուղղահայաց է շոշափողին և անցնում է շոշափման կետով, կոչվում է նորմալայս տողին:

Էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի շոշափողների (և նորմալների) երկսեկտորային հատկությունը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. էլիպսի կամ հիպերբոլայի շոշափողը (նորմալ) կազմում է հավասար անկյուններ շոշափող կետի կիզակետային շառավղների հետ(նկ. 3.51, ա, բ); պարաբոլային շոշափողը (նորմալ) կազմում է հավասար անկյուններ շոշափման կետի կիզակետային շառավղով և նրանից դեպի ուղղահայաց ուղղահայացը(նկ. 3.51, գ): Այլ կերպ ասած, K կետում էլիպսի շոշափողը F_1KF_2 եռանկյան արտաքին անկյան կիսորդն է (իսկ նորմալը եռանկյան F_1KF_2 ներքին անկյան կիսորդն է); հիպերբոլային շոշափողը F_1KF_2 եռանկյան ներքին անկյան կիսորդն է (իսկ նորմալը արտաքին անկյան կիսորդն է); պարաբոլային շոշափողը FKK_d եռանկյան ներքին անկյան կիսորդն է (իսկ նորմալը՝ արտաքին անկյան կիսորդը): Պարաբոլային շոշափողի երկսեկտորային հատկությունը կարելի է ձևակերպել այնպես, ինչպես էլիպսի և հիպերբոլայի դեպքում, եթե ենթադրենք, որ պարաբոլան երկրորդ կիզակետ ունի անվերջության կետում։

4. Երկսեկտորային հատկություններից հետեւում է Էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի օպտիկական հատկությունները, բացատրելով «կենտրոնացում» տերմինի ֆիզիկական նշանակությունը։ Եկեք պատկերացնենք մակերեսները, որոնք ձևավորվել են կիզակետային առանցքի շուրջ էլիպսի, հիպերբոլայի կամ պարաբոլայի պտտման արդյունքում: Եթե ​​այս մակերեսների վրա կիրառվում է ռեֆլեկտիվ ծածկույթ, ապա ստացվում են էլիպսաձեւ, հիպերբոլիկ և պարաբոլիկ հայելիներ։ Համաձայն օպտիկայի օրենքի՝ հայելու վրա լույսի ճառագայթի անկման անկյունը հավասար է անդրադարձման անկյան, այսինքն. ընկած և անդրադարձած ճառագայթները հավասար անկյուններ են կազմում մակերևույթի նորմալի հետ, և երկու ճառագայթները և պտտման առանցքը գտնվում են նույն հարթության վրա: Այստեղից մենք ստանում ենք հետևյալ հատկությունները.

– եթե լույսի աղբյուրը գտնվում է էլիպսաձեւ հայելու կիզակետերից մեկում, ապա հայելից արտացոլված լույսի ճառագայթները հավաքվում են մեկ այլ կիզակետում (նկ. 3.52, ա);

– եթե լույսի աղբյուրը գտնվում է հիպերբոլիկ հայելու կիզակետերից մեկում, ապա հայելից արտացոլված լույսի ճառագայթները շեղվում են այնպես, ասես այլ ֆոկուսից են եկել (նկ. 3.52, բ);

– եթե լույսի աղբյուրը պարաբոլիկ հայելու կիզակետում է, ապա հայելից արտացոլված լույսի ճառագայթները զուգահեռ են անցնում կիզակետային առանցքին (նկ. 3.52, գ):

5. Տրամագծային հատկությունԷլիպսը, հիպերբոլան և պարաբոլան կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ.

– Էլիպսի (հիպերբոլա) զուգահեռ ակորդների միջնակետերը ընկած են էլիպսի կենտրոնով անցնող մեկ ուղիղ գծի վրա (հիպերբոլա);

– պարաբոլայի զուգահեռ ակորդների միջնակետերը գտնվում են պարաբոլայի համաչափության ուղիղ, համաչափ առանցքի վրա.

Էլիպսի բոլոր զուգահեռ ակորդների (հիպերբոլա, պարաբոլա) միջնակետերի երկրաչափական տեղանքը կոչվում է. էլիպսի տրամագիծը (հիպերբոլա, պարաբոլա), զուգորդվում են այս ակորդներին։

Սա տրամագծի սահմանումն է նեղ իմաստով (տե՛ս օրինակ 2.8): Նախկինում տրամագծի սահմանումը տրվել է լայն իմաստով, որտեղ էլիպսի, հիպերբոլայի, պարաբոլայի և երկրորդ կարգի այլ գծերի տրամագիծը ուղիղ գիծ է, որը պարունակում է բոլոր զուգահեռ ակորդների միջնակետերը։ Նեղ իմաստով էլիպսի տրամագիծը նրա կենտրոնով անցնող ցանկացած ակորդ է (նկ. 3.53, ա); հիպերբոլայի տրամագիծը ցանկացած ուղիղ գիծ է, որն անցնում է հիպերբոլայի կենտրոնով (բացառությամբ ասիմպտոտների) կամ նման ուղիղ գծի մի մասով (նկ. 3.53,6); Պարաբոլայի տրամագիծը պարաբոլայի որոշակի կետից բխող ցանկացած ճառագայթ է և համաչափության առանցքի համագիծը (նկ. 3.53, գ):

Երկու տրամագծերը, որոնցից յուրաքանչյուրը կիսում է մյուս տրամագծին զուգահեռ բոլոր ակորդները, կոչվում են խոնարհված։ Նկար 3.53-ում թավ գծերը ցույց են տալիս էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի զուգակցված տրամագծերը:

Կ կետում էլիպսի (հիպերբոլա, պարաբոլա) շոշափողը կարող է սահմանվել որպես M_1M_2 զուգահեռ հատվածների սահմանային դիրք, երբ M_1 և M_2 կետերը, մնալով դիտարկվող գծի վրա, հակված են դեպի K կետը։ Այս սահմանումից հետևում է, որ ակորդներին զուգահեռ շոշափողն անցնում է այդ ակորդներին տրամագծով զուգակցված ծայրով:

6. Էլիպսը, հիպերբոլան և պարաբոլան, բացի վերը նշվածներից, ունեն բազմաթիվ երկրաչափական հատկություններ և ֆիզիկական կիրառություններ: Օրինակ, Նկար 3.50-ը կարող է ծառայել որպես F ծանրության կենտրոնի մոտակայքում գտնվող տիեզերական օբյեկտների հետագծերի պատկեր:

Դիտարկենք մի գիծ հարթության վրա և մի կետ, որը չի ընկած այս գծի վրա: ԵՎ էլիպս, Եվ հիպերբոլակարող է միասնական ձևով սահմանվել որպես կետերի երկրաչափական տեղանք, որոնց համար տվյալ կետի և տրված ուղիղ գծի հեռավորության հարաբերությունը հաստատուն արժեք է:

աստիճան ε. 0 1-ում - հիպերբոլա: ε պարամետրն է ինչպես էլիպսի, այնպես էլ հիպերբոլայի էքսցենտրիկությունը. ε պարամետրի հնարավոր դրական արժեքներից մեկը, մասնավորապես ε = 1, պարզվում է, որ չօգտագործված է: Այս արժեքը համապատասխանում է տվյալ կետից և տվյալ գծից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղանքին:

Սահմանում 8.1.Հաստատուն կետից և ֆիքսված գծից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության կետերի տեղը կոչվում է պարաբոլա.

Հաստատուն կետը կոչվում է պարաբոլայի կիզակետըև ուղիղ գիծ - պարաբոլայի ուղղագիծ. Միաժամանակ ենթադրվում է, որ պարաբոլայի էքսցենտրիկությունմեկին հավասար.

Երկրաչափական նկատառումներից հետևում է, որ պարաբոլան սիմետրիկ է ուղղագծին ուղղահայաց և պարաբոլայի կիզակետով անցնող ուղիղ գծի նկատմամբ։ Այս ուղիղ գիծը կոչվում է պարաբոլայի համաչափության առանցք կամ պարզապես պարաբոլայի առանցքը. Պարաբոլան հատում է իր համաչափության առանցքը մեկ կետում: Այս կետը կոչվում է պարաբոլայի գագաթը. Այն գտնվում է պարաբոլայի կիզակետը ուղղորդիչի հետ նրա առանցքի հատման կետի հետ կապող հատվածի մեջտեղում (նկ. 8.3):

Պարաբոլայի հավասարում.Պարաբոլայի հավասարումը դուրս բերելու համար մենք ընտրում ենք հարթության վրա ծագումպարաբոլայի գագաթին, ինչպես x առանցք- պարաբոլայի առանցքը, որի դրական ուղղությունը նշված է կիզակետի դիրքով (տես նկ. 8.3): Այս կոորդինատային համակարգը կոչվում է կանոնականխնդրո առարկա պարաբոլայի համար, և համապատասխան փոփոխականներն են կանոնական.

Կիզակետից մինչև ուղղագիծ հեռավորությունը նշենք p-ով: Նրա անունն է պարաբոլայի կիզակետային պարամետր.

Այնուհետև ֆոկուսն ունի F(p/2; 0) կոորդինատներ, իսկ d ուղղությունը նկարագրվում է x = - p/2 հավասարմամբ: F կետից և d ուղիղից հավասար հեռավորության վրա գտնվող M(x; y) կետերի տեղը տրված է հավասարմամբ.

Եկեք քառակուսի հավասարումը (8.2) և ներկայացնենք նմանատիպերը: Մենք ստանում ենք հավասարումը

որը կոչվում է կանոնական պարաբոլայի հավասարում.

Նկատի ունեցեք, որ այս դեպքում քառակուսիացումը (8.2) հավասարման համարժեք փոխակերպումն է, քանի որ հավասարման երկու կողմերն էլ ոչ բացասական են, ինչպես արմատականի տակ արտահայտված արտահայտությունը:

Պարաբոլայի տեսակը.Եթե ​​y 2 = x պարաբոլը, որի ձևը մենք համարում ենք հայտնի, աբսցիսայի առանցքի երկայնքով սեղմվում է 1/(2р) գործակցով, ապա ստացվում է ընդհանուր ձևի պարաբոլա, որը նկարագրված է (8.3) հավասարմամբ։

Օրինակ 8.2.Եկեք գտնենք կիզակետի կոորդինատները և պարաբոլայի ուղղորդիչի հավասարումը, եթե այն անցնում է մի կետով, որի կանոնական կոորդինատներն են (25; 10):

Կանոնական կոորդինատներում պարաբոլայի հավասարումն ունի y 2 = 2px ձև: Քանի որ կետը (25; 10) պարաբոլայի վրա է, ապա 100 = 50p և հետևաբար p = 2: Հետևաբար, y 2 = 4x պարաբոլայի կանոնական հավասարումն է, x = - 1-ը նրա ուղղորդիչի հավասարումն է, և կենտրոնացումը գտնվում է կետում (1; 0):

Պարաբոլայի օպտիկական հատկությունը.Պարաբոլան ունի հետևյալը օպտիկական հատկություն. Եթե ​​պարաբոլայի կիզակետում լույսի աղբյուր է դրված, ապա պարաբոլայի անդրադարձումից հետո բոլոր լուսային ճառագայթները զուգահեռ կլինեն պարաբոլայի առանցքին (նկ. 8.4): Օպտիկական հատկությունը նշանակում է, որ պարաբոլայի ցանկացած կետում M նորմալ վեկտորշոշափողը հավասար անկյուններ է կազմում MF կիզակետային շառավղով և աբսցիսային առանցքով:

Սահմանում 1. Պարաբոլա հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասարապես հեռու է տվյալ կետից, կոչվում է կենտրոնանալ, իսկ տրված կետով չանցնող գծից ու կանչեց տնօրեն.

Եկեք հավասարություն ստեղծենք պարաբոլայի համար, որը կենտրոնացված է տվյալ կետում Ֆև որի ուղղորդիչը գիծն է դ,չանցնելով Ֆ.Ընտրենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ հետևյալ կերպ՝ առանցք Օ՜եկեք անցնենք ուշադրության կենտրոնում Ֆտնօրենին ուղղահայաց դսկսած ուղղությամբ դԴեպի Ֆ,և ծագումը ՄԱՍԻՆԵկեք այն տեղադրենք կենտրոնի և ուղղաձիգի միջև (նկ. 1):

Սահմանում 2.Կենտրոնացման հեռավորությունը Ֆտնօրենին դկանչեց պարաբոլայի պարամետր և նշվում է p (էջ> 0).

Սկսած Նկ. 1 պարզ է, որ p = FK,հետեւաբար ֆոկուսն ունի կոորդինատներ F (p/2; 0), իսկ ուղղորդիչի հավասարումն ունի ձև X= – r/2,կամ

Թող M(x;y)պարաբոլայի կամայական կետն է: Եկեք միացնենք կետերը ՄՀետ Ֆև մենք կծախսենք MN դ.Անմիջապես Նկ. 1 պարզ է, որ

և ըստ երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևի

Ըստ պարաբոլայի սահմանման՝ MF = MN, (1)

հետևաբար, (2)

Հավասարումը (2) պարաբոլային պահանջվող հավասարումն է: (2) հավասարումը պարզեցնելու համար այն փոխակերպում ենք հետևյալ կերպ.

դրանք.,

Կոորդինատներ XԵվ ժամըմիավորներ Մպարաբոլաները բավարարում են (1) պայմանը, հետևաբար և (3) հավասարումը։

Սահմանում 3.Կանչվում է (3) հավասարումը պարաբոլայի կանոնական հավասարումը.

2. Պարաբոլայի ձևի ուսումնասիրություն՝ օգտագործելով դրա հավասարումը:Եկեք որոշենք պարաբոլայի ձևը՝ օգտագործելով նրա կանոնական հավասարումը (3):

1) կետային կոորդինատներ O(0;0)բավարարում է (3) հավասարումը, հետևաբար, այս հավասարմամբ սահմանված պարաբոլան անցնում է սկզբնաղբյուրով:

2) Քանի որ (3) հավասարման մեջ փոփոխականը ժամըներառված է միայն նույնիսկ աստիճան, ապա պարաբոլան y 2 = 2pxսիմետրիկ աբսցիսայի առանցքի նկատմամբ:

3) Քանի որ p > 0, ապա (3)-ից հետևում է x ≥ 0։ Հետևաբար պարաբոլան. y 2 = 2pxգտնվում է առանցքի աջ կողմում OU.

4) Քանի որ աբսցիսսը մեծանում է X-ից 0 +∞ կարգել ժամըտատանվում է 0 նախքան ± ∞, այսինքն. պարաբոլայի կետերը անսահմանափակ հեռանում են առանցքից Օ՜, և առանցքից OU.

Պարաբոլա y 2 = 2pxունի նկ. 2.

Սահմանում 4.Առանցք Օ՜կանչեց պարաբոլայի համաչափության առանցքը. Կետ O(0;0)պարաբոլայի հատումը համաչափության առանցքի հետ կոչվում է պարաբոլայի գագաթը. Գծի հատված FMկանչեց կիզակետային շառավիղ միավորներ Մ.

Մեկնաբանություն. Ձևի պարաբոլային հավասարում ստեղծելու համար y 2 = 2pxմենք հատուկ ընտրեցինք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ (տե՛ս կետ 1): Եթե ​​կոորդինատային համակարգը ընտրվի այլ կերպ, ապա պարաբոլայի հավասարումը կունենա այլ ձև։

Ա

Այսպիսով, օրինակ, եթե դուք ուղղորդում եք առանցքը Օ՜ֆոկուսից մինչև ռեժիսոր (նկ. 3, Ա

y 2 = –2px: (4)

F(–р/2; 0), և տնօրենուհին դտրված է հավասարմամբ x = p/2.

Եթե ​​առանցքը OUեկեք անցնենք ուշադրության կենտրոնում Ֆ դսկսած ուղղությամբ դԴեպի Ֆ, և ծագումը ՄԱՍԻՆտեղադրեք այն կենտրոնում կիզակետի և ուղղիչի միջև (նկ. 3, բ), ապա պարաբոլայի հավասարումը ձևի օրինակ է

x 2 = 2ru . (5)

Նման պարաբոլայի կիզակետը կոորդինատներ ունի F (0; p/2), և տնօրենուհին դտրված է հավասարմամբ y=–p/2.

Եթե ​​առանցքը OUեկեք անցնենք ուշադրության կենտրոնում Ֆտնօրենին ուղղահայաց դսկսած ուղղությամբ ՖԴեպի դ(նկ. 3, Վ), ապա պարաբոլայի հավասարումը ձև է ստանում

x 2 = –2ru (6)

Նրա ուշադրության կոորդինատները կլինեն F (0; –р/2), և ուղղահայաց հավասարումը դկամք y = p/2:

Համարվում է, որ (4), (5), (6) հավասարումները ունեն ամենապարզ ձևը:

3. Պարաբոլայի զուգահեռ փոխանցում.Թող պարաբոլան տրվի իր գագաթով կետում Օ» (ա; բ), որի համաչափության առանցքը զուգահեռ է առանցքին OU, իսկ ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր (նկ. 4): Դուք պետք է ստեղծեք պարաբոլայի հավասարում:

(9)

Սահմանում 5.Կանչվում է հավասարումը (9): պարաբոլայի հավասարումը տեղաշարժված գագաթով.

Այս հավասարումը փոխակերպենք հետևյալ կերպ.

Դնելով

Կունենա (10)

Դժվար չէ դա ցույց տալ որևէ մեկի համար A, B, Cժամանակացույցը քառակուսի եռանկյուն(10) պարաբոլա է սահմանման 1-ի իմաստով: (10) ձևի պարաբոլային հավասարումը ուսումնասիրվել է դպրոցական դասընթացհանրահաշիվ։

ՎԱՐԺՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԱՆԿԱԽ ԼՈՒԾՄԱՆ ՀԱՄԱՐ

Թիվ 1. Գրի՛ր շրջանագծի հավասարումը.

ա. սկզբում կենտրոնով և 7 շառավղով;

բ. կենտրոնով (-1;4) կետով և 2 շառավղով:

Կառուցեք շրջանագծի տվյալները ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում:

Թիվ 2. Կազմի՛ր գագաթներով էլիպսի կանոնական հավասարումը

և հնարքներ

Թիվ 3. Կառուցեք էլիպս, որը տրված է կանոնական հավասարմամբ.

1) 2)

Թիվ 4. Կազմի՛ր գագաթներով էլիպսի կանոնական հավասարումը

և հնարքներ

Թիվ 5. Կազմի՛ր գագաթներով հիպերբոլայի կանոնական հավասարումը

և հնարքներ

Թիվ 6. Կազմե՛ք հիպերբոլայի կանոնական հավասարումը, եթե.

1. հեռավորությունը կիզակետերի և գագաթների միջև

2. իրական կիսաառանցք և էքսցենտրիկություն;

3. կենտրոնանում է առանցքի վրա, իրական առանցքը 12 է, իսկ երևակայական առանցքը՝ 8։

Թիվ 7. Կառուցեք հիպերբոլա, որը տրված է կանոնական հավասարմամբ.

1) 2) .

Թիվ 8. Գրե՛ք պարաբոլայի կանոնական հավասարումը, եթե.

1) պարաբոլան գտնվում է առանցքի և դրա պարամետրի նկատմամբ սիմետրիկորեն աջ կիսահրապարակում.

2) պարաբոլան գտնվում է ձախ կես հարթությունում՝ առանցքի նկատմամբ սիմետրիկորեն և դրա պարամետրը .

Կառուցեք այս պարաբոլաները, դրանց կիզակետերը և ուղղորդիչները:

Թիվ 9. Որոշեք գծի տեսակը, եթե դրա հավասարումը հետևյալն է.

ԻՆՔՆԱԹՍՏՈՒԹՅԱՆ ՀԱՐՑԵՐ

1. Վեկտորները տարածության մեջ.

1.1. Ի՞նչ է վեկտորը:

1.2. Որքա՞ն է վեկտորի բացարձակ մեծությունը:

1.3. Տիեզերքում վեկտորների ի՞նչ տեսակներ գիտեք:

1.4. Ի՞նչ գործողություններ կարող եք կատարել նրանց հետ:

1.5. Որոնք են վեկտորի կոորդինատները: Ինչպե՞ս գտնել դրանք:

2. Գործողություններ վեկտորների վրա, որոնք նշված են դրանց կոորդինատներով:

2.1. Ինչ գործողություններ կարելի է կատարել կոորդինատային ձևով տրված վեկտորներով (կանոններ, հավասարություններ, օրինակներ); ինչպես գտնել բացարձակ արժեքնման վեկտոր.

2.2. Հատկություններ:

2.2.1 կոլինար;

2.2.2 ուղղահայաց;

2.2.3 համակողմանի;

2.2.4 հավասար վեկտորներ.
(ձևակերպումներ, հավասարություններ):

3. Ուղիղ գծի հավասարում. Կիրառական խնդիրներ.

3.1. Ուղիղ գծի ինչպիսի՞ հավասարումներ գիտեք (ձայնագրությունից կարողանալ գրել և մեկնաբանել);

3.2. Ինչպես ուսումնասիրել զուգահեռությունը - ուղղահայացություն երկու ուղիղներ, որոնք նշված են անկյունային գործակցով հավասարումներով կամ ընդհանուր հավասարումներ?

3.3. Ինչպե՞ս գտնել երկու կետերի միջև հեռավորությունը կետից մինչև ուղիղ:

3.4. Ինչպե՞ս գտնել ընդհանուր գծերի կամ թեքության հավասարումներով տրված ուղիղների միջև անկյունը:

3.5. Ինչպե՞ս գտնել հատվածի միջնակետի կոորդինատները և այս հատվածի երկարությունը:

4. Ինքնաթիռի հավասարում. Կիրառական խնդիրներ.

4.1. Հարթության հավասարումների ի՞նչ տեսակներ գիտեք (կարողանաք գրել և մեկնաբանել ձայնագրությունից):

4.2. Ինչպե՞ս ուսումնասիրել ուղիղ գծերի զուգահեռությունը և ուղղահայացությունը տարածության մեջ:

4.3. Ինչպե՞ս գտնել կետից հարթության հեռավորությունը և հարթությունների միջև ընկած անկյունը:

4.4. Ինչպես ուսումնասիրել փոխադարձ պայմանավորվածությունուղիղ գիծ և հարթություն տարածության մեջ.

4.5. Տիեզերքում ուղիղի հավասարումների տեսակները՝ ընդհանուր, կանոնական, պարամետրային, երկու տրված կետերով անցնող։

4.6. Ինչպե՞ս գտնել ուղիղ գծերի և տարածության կետերի միջև եղած անկյունը:

5. Երկրորդ կարգի տողեր.

5.1. Էլիպս. սահմանում, օջախներ, գագաթներ, հիմնական և փոքր առանցքներ, կիզակետային շառավիղներ, էքսցենտրիկություն, ուղղաձիգ հավասարումներ, էլիպսի ամենապարզ (կամ կանոնական) հավասարումներ; նկարչություն.

5.2. Հիպերբոլա. սահմանում, օջախներ, գագաթներ, իրական և երևակայական առանցքներ, կիզակետային շառավիղներ, էքսցենտրիկություն, ուղղաձիգ հավասարումներ, հիպերբոլայի ամենապարզ (կամ կանոնական) հավասարումներ; նկարչություն.

5.3. Պարաբոլա՝ սահմանում, կիզակետ, ուղղաձիգ, գագաթ, պարամետր, համաչափության առանցք, պարաբոլայի ամենապարզ (կամ կանոնական) հավասարումներ; նկարչություն.

Նշում 4.1, 4.2, 4.3. Յուրաքանչյուր 2-րդ կարգի տողի համար կարողանալ նկարագրել շինարարությունը:

ԻՆՔՆԱՍԻՐԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

1. Տրված միավորներ. , որտեղ N-ը ցանկի ուսանողի համարն է:

3) գտե՛ք M կետից P հարթության հեռավորությունը:

4. Կառուցեք երկրորդ կարգի գիծ, ​​որը տրված է իր կանոնական հավասարմամբ.

.

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Բարձրագույն մաթեմատիկա տնտեսագետների համար - Դասագիրք բուհերի համար, խմբ. Ն.Շ. Kremer et al., Մոսկվա, ՄԻԱԲԱՆՈՒԹՅՈՒՆ, 2003 թ.

2. Բարկովսկի Վ.Վ., Բարկովսկա Ն.Վ. - Vischa մաթեմատիկա տնտեսագետների համար – Կիև, ՑՈՒԼ, 2002 թ.

3. Սուվորով Ի.Ֆ. - Բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթաց: - Մ., Բարձրագույն դպրոց, 1967 թ.

4. Տարասով Ն.Պ. - Բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթաց տեխնիկումի համար: - Մ. Գիտություն, 1969 թ.

5. Զայցև Ի.Լ. - Բարձրագույն մաթեմատիկայի տարրեր տեխնիկական դպրոցների համար. - Մ. Գիտություն, 1965։

6. Վալուցե Ն.Ն., Դիլիգուլ Գ.Դ. - Մաթեմատիկա տեխնիկական դպրոցների համար: - Մ. Գիտություն, 1990:

7. Շիպաչով Վ.Ս. - Բարձրագույն մաթեմատիկա: Դասագիրք բուհերի համար - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2003 թ.