Դասախոսություն: հատվող, զուգահեռ և հատվող գծեր; գծերի ուղղահայացություն
Հատվող գծեր
Եթե հարթության վրա կան մի քանի ուղիղ գծեր, ապա վաղ թե ուշ դրանք կամ կամայականորեն կհատվեն, կամ ուղիղ անկյան տակ, կամ կլինեն զուգահեռ։ Եկեք նայենք յուրաքանչյուր դեպքին:
Այն ուղիղները, որոնք ունեն հատման առնվազն մեկ կետ, կարելի է անվանել հատվող:
Դուք կարող եք հարցնել, թե ինչու առնվազն մեկ ուղիղ գիծ չի կարող երկու կամ երեք անգամ հատել մեկ այլ ուղիղ: Դու ճիշտ ես! Բայց ուղիղ գծերը կարող են լիովին համընկնել միմյանց հետ: Այս դեպքում կլինի անսահման թվով ընդհանուր կետեր:
Զուգահեռություն
ԶուգահեռԴուք կարող եք անվանել այն գծերը, որոնք երբեք չեն հատվի, նույնիսկ անսահմանության ժամանակ:
Այսինքն՝ զուգահեռ են նրանք, որոնք չունեն մեկ ընդհանուր կետ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս սահմանումը վավեր է միայն այն դեպքում, եթե ուղիղները գտնվում են նույն հարթության վրա, բայց եթե դրանք չունեն ընդհանուր կետեր՝ գտնվելով տարբեր հարթություններում, ապա դրանք համարվում են հատվող:
Կյանքում զուգահեռ գծերի օրինակներ. մոնիտորի էկրանի երկու հակադիր եզրեր, նոթատետրերի գծեր, ինչպես նաև իրերի շատ այլ մասեր, որոնք ունեն քառակուսի, ուղղանկյուն և այլ ձևեր:
Երբ ուզում են գրավոր ցույց տալ, որ մի տողը մյուսին զուգահեռ է, օգտագործում են հետևյալ նշումը՝ a||b. Այս մուտքն ասում է, որ a ուղիղը զուգահեռ է b ուղղին:
Այս թեման ուսումնասիրելիս կարևոր է հասկանալ ևս մեկ պնդում. հարթության որոշակի կետով, որը չի պատկանում տվյալ գծին, կարելի է մեկ զուգահեռ ուղիղ գծել: Բայց ուշադրություն դարձրեք, նորից ուղղումը ինքնաթիռում է։ Եթե դիտարկենք եռաչափ տարածությունը, ապա կարող ենք գծել անսահման թվով գծեր, որոնք չեն հատվի, բայց կհատվեն։
Այն հայտարարությունը, որը նկարագրված էր վերևում, կոչվում է զուգահեռ ուղիղների աքսիոմա.
Ուղղահայացություն
Ուղիղ գծերը կարելի է անվանել միայն եթե ուղղահայաց, եթե հատվում են 90 աստիճանի հավասար անկյան տակ։
Տիեզերքում, գծի որոշակի կետի միջով, կարելի է գծել անսահման թվով ուղղահայաց գծեր: Այնուամենայնիվ, եթե մենք խոսում ենք հարթության մասին, ապա գծի մեկ կետի միջով կարող եք մեկ ուղղահայաց գիծ գծել:
Անցած ուղիղ գծեր. Սեկանտ
Եթե որոշ ուղիղներ հատվում են որոշակի կետում կամայական անկյան տակ, դրանք կարելի է անվանել խաչասերումը.
Ցանկացած հատվող գծեր ունեն ուղղահայաց և հարակից անկյուններ:
Եթե երկու հատվող ուղիղ գծերով ձևավորված անկյուններն ունեն մեկ ընդհանուր կողմ, ապա դրանք կոչվում են հարակից.
Հարակից անկյունները ավելանում են մինչև 180 աստիճան:
Թեորեմ. Եթե մի ուղիղ ընկած է տվյալ հարթության մեջ, և մեկ այլ ուղիղ հատում է այս հարթությունը առաջին գծին չպատկանող կետում, ապա այս երկու ուղիղները հատվում են։ Անցման գծերի նշան Ապացույց. Թող հարթության մեջ մի ուղիղ, իսկ b ուղիղը հատի հարթությունը B կետում, որը չի պատկանում a ուղիղին: Եթե a և b ուղիղները ընկած են նույն հարթության մեջ, ապա B կետը նույնպես կլինի այս հարթության մեջ: Քանի որ կա միայն մեկ հարթություն, որն անցնում է գծի միջով և մի կետ այս ուղիղից դուրս, ապա այս հարթությունը պետք է լինի հարթություն: Բայց այդ ժամանակ հարթության մեջ կլինի ուղիղ b, որը հակասում է պայմանին: Հետևաբար, a և b ուղիղները չեն գտնվում նույն հարթության վրա, այսինքն. խաչասերվել.
Քանի՞ զույգ թեք գծեր կան, որոնք պարունակում են կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի եզրեր: Լուծում. Հիմքերի յուրաքանչյուր եզրի համար կա երեք եզր, որոնք հատվում են դրա հետ: Յուրաքանչյուր կողային եզրի համար կան երկու կողիկներ, որոնք հատվում են դրա հետ: Հետևաբար, զույգ թեք գծերի անհրաժեշտ քանակությունը վարժություն 5-ն է
Քանի՞ զույգ թեք գծեր կան, որոնք պարունակում են կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի եզրեր: Լուծում. Հիմքերի յուրաքանչյուր եզրը մասնակցում է 8 զույգ հատման գծերի: Յուրաքանչյուր կողային եզր մասնակցում է 8 զույգ հատման գծերի: Հետևաբար, անհրաժեշտ թվով թեք գծերի զույգերը վարժություն 6-ն է
Երկու տողերի հարաբերական դիրքը տարածության մեջ:
Երկու տողերի հարաբերական դիրքը տարածության մեջ բնութագրվում է հետևյալ երեք հնարավորությամբ.
Ուղիներն ընկած են նույն հարթության մեջ և չունեն ընդհանուր կետեր՝ զուգահեռ ուղիղներ:
Ուղիներն ընկած են նույն հարթության վրա և ունեն մեկ ընդհանուր կետ՝ ուղիղները հատվում են։
Տիեզերքում երկու ուղիղ գծեր կարող են տեղակայվել նաև այնպես, որ դրանք ոչ մի հարթության մեջ չընկնեն։ Նման գծերը կոչվում են թեք (չեն հատվում կամ զուգահեռ են):
ՕՐԻՆԱԿ:
ԽՆԴԻՐ 434 ABC եռանկյունը գտնվում է հարթության մեջ, ա
ABC եռանկյունը գտնվում է հարթության մեջ, բայց D կետը այս հարթությունում չէ: M, N և K կետերը համապատասխանաբար DA, DB և DC հատվածների միջնակետերն ենԹեորեմ.Եթե երկու ուղիղներից մեկն ընկած է որոշակի հարթության մեջ, իսկ մյուսը հատում է այս հարթությունը մի կետում, որը չի գտնվում առաջին գծի վրա, ապա այս ուղիղները հատվում են:
Նկ. 26 a ուղիղը հարթության մեջ է, իսկ c ուղիղը հատվում է N կետում: a և c ուղիղները հատվում են:
Թեորեմ.Երկու հատվող ուղիղներից յուրաքանչյուրի միջով անցնում է միայն մեկ հարթություն՝ մյուս ուղիղին զուգահեռ։
Նկ. 26 a և b ուղիղները հատվում են: Գծվում է ուղիղ գիծ և գծվում է հարթություն (ալֆա) || b (B հարթությունում (բետա) նշված է a1 || b ուղիղը):
Թեորեմ 3.2.
Երրորդին զուգահեռ երկու ուղիղները զուգահեռ են:
Այս հատկությունը կոչվում է անցողականությունգծերի զուգահեռություն.
Ապացույց
Թող a և b ուղիղները միաժամանակ լինեն c ուղղին զուգահեռ: Ենթադրենք, որ a-ն b-ին զուգահեռ չէ, այնուհետև a-ը հատում է b ուղիղը A կետում, որն ըստ պայմանի չի գտնվում c ուղղի վրա: Հետևաբար ունենք երկու a և b ուղիղներ, որոնք անցնում են A կետով, որոնք չեն ընկած տվյալ c ուղղի վրա և միաժամանակ զուգահեռ են դրան։ Սա հակասում է 3.1 աքսիոմային: Թեորեմն ապացուցված է.
Թեորեմ 3.3.
Տրված գծի վրա չգտնվող կետի միջով կարելի է տրվածին զուգահեռ մեկ և միայն մեկ ուղիղ գծել։
Ապացույց
Թող (AB) լինի տրված ուղիղ, C կետը, որը չի ընկած դրա վրա: AC գիծը ինքնաթիռը բաժանում է երկու կիսահավասարությունների: Բ կետն ընկած է դրանցից մեկում: Համաձայն 3.2 աքսիոմի՝ C A ճառագայթից (CAB) հավասար անկյուն (ACD) հնարավոր է տեղավորել մեկ այլ կիսահարթության մեջ: ACD-ը և CAB-ը հավասար են ներքին խաչաձև՝ ընկած AB և CD ուղիղների և սեկանտի (AC) հետ, այնուհետև թեորեմ 3.1 (AB) || (CD): Հաշվի առնելով աքսիոմ 3.1. Թեորեմն ապացուցված է.
Զուգահեռ ուղիղների հատկությունը տրված է հետևյալ թեորեմով՝ հակառակ 3.1 թեորեմի.
Թեորեմ 3.4.
Եթե երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ գծով, ապա հատվող ներքին անկյունները հավասար են։
Ապացույց
Թող (AB) || (CD): Ենթադրենք, որ ACD ≠ BAC: A կետի միջով մենք ուղիղ գիծ ենք քաշում AE այնպես, որ EAC = ACD: Բայց հետո, թեորեմ 3.1-ով (AE ) || (CD ), իսկ պայմանով – (AB ) || (CD): Համաձայն թեորեմ 3.2-ի (AE ) || (AB). Սա հակասում է 3.3 թեորեմին, ըստ որի A կետի միջով, որը չի ընկած CD ուղիղի վրա, կարելի է դրան զուգահեռ եզակի ուղիղ գծել։ Թեորեմն ապացուցված է.
Նկար 3.3.1.Այս թեորեմի հիման վրա կարելի է հեշտությամբ հիմնավորել հետևյալ հատկությունները.
Եթե երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ ուղիղով, ապա համապատասխան անկյունները հավասար են։
Եթե երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ գծով, ապա ներքին միակողմանի անկյունների գումարը 180° է։
Եզրակացություն 3.2.
Եթե ուղիղը ուղղահայաց է զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն նույնպես ուղղահայաց է մյուսին։
Զուգահեռության հայեցակարգը թույլ է տալիս մեզ ներկայացնել հետևյալ նոր հայեցակարգը, որը հետագայում անհրաժեշտ կլինի 11-րդ գլխում:
Երկու ճառագայթները կոչվում են հավասարապես ուղղված, եթե կա այնպիսի ուղիղ, որ նախ՝ դրանք ուղղահայաց լինեն այս ուղղին, և երկրորդ՝ ճառագայթները ընկած են այս ուղիղի նկատմամբ նույն կիսահարթության մեջ։
Երկու ճառագայթները կոչվում են հակառակ ուղղորդված, եթե դրանցից յուրաքանչյուրը հավասարապես ուղղված է մյուսին լրացնող ճառագայթով։
Մենք կնշանակենք նույնական ուղղված AB և CD ճառագայթները, իսկ հակառակ ուղղությամբ AB և CD -
Նկար 3.3.2.
Գծերի հատման նշան.
Եթե երկու ուղիղներից մեկն ընկած է որոշակի հարթության մեջ, իսկ մյուս ուղիղը հատում է այս հարթությունը մի կետում, որը չի գտնվում առաջին գծի վրա, ապա այդ ուղիղները հատվում են:
Տիեզերքում գծերի փոխադարձ դասավորության դեպքեր.
Տիեզերքում երկու գծերի դասավորության չորս տարբեր դեպքեր կան.
– ուղիղ անցում, այսինքն. մի պառկեք նույն հարթության մեջ;
– ուղիղ գծերը հատվում են, այսինքն. պառկել նույն հարթության մեջ և ունենալ մեկ ընդհանուր կետ.
- զուգահեռ գծեր, այսինքն. պառկել նույն հարթության վրա և չհատվել;
- տողերը համընկնում են:
Ստացնենք կանոնական հավասարումներով տրված ուղիղների հարաբերական դիրքի այս դեպքերի բնութագրերը
Որտեղ - գծերին պատկանող կետերԵվ համապատասխանաբար, ա— ուղղության վեկտորներ (նկ. 4.34): Նշենք ըստտրված կետերը միացնող վեկտոր:Հետևյալ բնութագրերը համապատասխանում են վերը թվարկված գծերի հարաբերական դիրքի դեպքերին.
– ուղիղ և խաչմերուկ վեկտորները հավասարաչափ չեն.
– ուղիղ գծերը և հատվող վեկտորները համահավասար են, բայց վեկտորները համակողմանի չեն.
– ուղիղ և զուգահեռ վեկտորները համագիծ են, բայց վեկտորները համագիծ չեն.
– ուղիղ գծերը և համընկնող վեկտորները համակողմանի են:
Այս պայմանները կարելի է գրել՝ օգտագործելով խառը և վեկտոր արտադրանքների հատկությունները։ Հիշեցնենք, որ վեկտորների խառը արտադրյալը աջ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գտնում ենք բանաձևով.
իսկ որոշիչը հատվում է զրոյական, իսկ նրա երկրորդ և երրորդ շարքերը համաչափ չեն, այսինքն.– որոշիչի ուղիղ և զուգահեռ երկրորդ և երրորդ տողերը համաչափ են, այսինքն. իսկ առաջին երկու տողերը համաչափ չեն, այսինքն.
– ուղիղները և որոշիչի բոլոր ուղիղները համընկնում են և համաչափ են, այսինքն.
Եթե երկու ուղիղներից մեկն ընկած է հարթության մեջ, իսկ մյուսը հատում է այս հարթությունը առաջին գծին չպատկանող կետում, ապա այս երկու ուղիղները հատվում են։
Ապացույց
Թող a-ն պատկանում է α-ին, b-ն հատում է α = A-ին, A-ն չի պատկանում a-ին (Նկար 2.1.2): Ենթադրենք, որ a և b ուղիղները չեն հատվում, այսինքն՝ հատվում են։ Այնուհետև գոյություն ունի β հարթություն, որին պատկանում են a և b ուղիղները: Այս հարթությունում β են a ուղիղը և A կետը: Քանի որ a ուղիղը և A կետը դրանից դուրս սահմանում են մեկ հարթություն, ապա β = α: Բայց b-ն մղում է β, իսկ b-ն չի պատկանում α-ին, հետևաբար β = α հավասարությունն անհնար է։
Եթե տարածության մեջ երկու ուղիղներն ունեն ընդհանուր կետ, ապա այս երկու ուղիղներն ասում են, որ հատվում են: Հետևյալ նկարում a և b ուղիղները հատվում են A կետում: a և c ուղիղները չեն հատվում:
Ցանկացած երկու ուղիղ կամ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ, կամ չունեն ընդհանուր կետեր:
Զուգահեռ գծեր
Տիեզերքում երկու ուղիղները կոչվում են զուգահեռ, եթե դրանք գտնվում են նույն հարթության վրա և չեն հատվում: Զուգահեռ գծերը նշելու համար օգտագործեք հատուկ պատկերակ - ||:
a||b նշումը նշանակում է, որ a ուղիղը զուգահեռ է b ուղղին: Վերևում ներկայացված նկարում a և c տողերը զուգահեռ են:
Զուգահեռ գծերի թեորեմ
Տարածության ցանկացած կետով, որը չի ընկած տվյալ ուղիղի վրա, անցնում է տվյալին զուգահեռ ուղիղ, ընդ որում՝ միայն մեկը։
Գծեր հատելը
Երկու ուղիղները, որոնք գտնվում են նույն հարթության վրա, կարող են կամ հատվել կամ զուգահեռ լինել: Բայց տիեզերքում երկու ուղիղ գծերը պարտադիր չէ, որ պատկանեն այս հարթությանը։ Նրանք կարող են տեղակայվել երկու տարբեր հարթություններում:
Ակնհայտ է, որ տարբեր հարթություններում գտնվող ուղիղները չեն հատվում և զուգահեռ ուղիղներ չեն։ Երկու ուղիղները, որոնք չեն գտնվում նույն հարթության վրա, կոչվում են ուղիղ գծերի հատում.
Հետևյալ նկարում ներկայացված են երկու հատվող ուղիղներ a և b, որոնք գտնվում են տարբեր հարթություններում:
Փորձարկում և թեորեմ թեք գծերի վրա
Եթե երկու ուղիղներից մեկն ընկած է որոշակի հարթության մեջ, իսկ մյուս ուղիղը հատում է այս հարթությունը մի կետում, որը չի գտնվում առաջին գծի վրա, ապա այդ ուղիղները հատվում են:
Թեորեմ թեք գծերի վրաԵրկու հատվող ուղիղներից յուրաքանչյուրի միջով անցնում է մյուս ուղիղին զուգահեռ հարթություն, ընդ որում՝ միայն մեկը։
Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք տարածության մեջ գծերի հարաբերական դիրքերի բոլոր հնարավոր դեպքերը: Դրանք ընդամենը երեքն են։
1. Գծերը հատվում են. (Այսինքն, նրանք ունեն միայն մեկ ընդհանուր կետ):
2. Գծերը զուգահեռ են: (Այսինքն՝ նրանք չունեն ընդհանուր կետեր և պառկած են նույն հարթության վրա):
3. Ուղիղ գծերը խաչվում են. (Այսինքն՝ դրանք գտնվում են տարբեր հարթություններում):
