Դասախոսություններ հանրահաշվի և երկրաչափության վերաբերյալ: Կիսամյակ 1.

Դասախոսություն 15. Էլիպս.

Գլուխ 15. Էլիպս.

կետ 1. Հիմնական սահմանումներ.

Սահմանում. Էլիպսը հարթության GMT-ն է, հարթության երկու ֆիքսված կետերի հեռավորությունների գումարը, որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն արժեք է:

Սահմանում. Ինքնաթիռի կամայական M կետից մինչև էլիպսի կիզակետը հեռավորությունը կոչվում է M կետի կիզակետային շառավիղ։

Նշումներ:
- էլիպսի կիզակետեր,
– M կետի կիզակետային շառավիղները.

Ըստ էլիպսի սահմանում, M կետը էլիպսի կետն է, եթե և միայն, եթե
- հաստատուն արժեք. Այս հաստատունը սովորաբար նշվում է որպես 2a.

. (1)

նկատել, որ
.

Էլիպսի սահմանմամբ նրա կիզակետերը ֆիքսված կետեր են, ուստի նրանց միջև հեռավորությունը նույնպես հաստատուն արժեք է տվյալ էլիպսի համար։

Սահմանում. Էլիպսի օջախների միջև եղած հեռավորությունը կոչվում է կիզակետային երկարություն։

Նշանակում:
.

Եռանկյունից
հետևում է դրան
, այսինքն.

.

b-ով նշանակենք հավասար թիվը
, այսինքն.

. (2)

Սահմանում. Վերաբերմունք

(3)

կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիկություն։

Եկեք այս հարթության վրա ներկայացնենք կոորդինատային համակարգ, որը մենք կանվանենք կանոնական էլիպսի համար:

Սահմանում. Այն առանցքը, որի վրա ընկած են էլիպսի օջախները, կոչվում է կիզակետային առանցք:

Եկեք կառուցենք կանոնական PDSC էլիպսի համար, տես Նկար 2:

Մենք ընտրում ենք կիզակետային առանցքը որպես աբսցիսայի առանցք և գծում ենք օրդինատների առանցքը հատվածի միջով
ուղղահայաց կիզակետային առանցքին:

Այնուհետև օջախներն ունեն կոորդինատներ
,
.

կետ 2. Էլիպսի կանոնական հավասարում.

Թեորեմ. Էլիպսի կանոնական կոորդինատային համակարգում էլիպսի հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

. (4)

Ապացույց. Ապացուցումն իրականացնում ենք երկու փուլով. Առաջին փուլում մենք կապացուցենք, որ էլիպսի վրա գտնվող ցանկացած կետի կոորդինատները բավարարում են (4) հավասարումը։ Երկրորդ փուլում մենք կապացուցենք, որ (4) հավասարման ցանկացած լուծում տալիս է էլիպսի վրա ընկած կետի կոորդինատները: Այստեղից կհետևի, որ (4) հավասարումը բավարարում են կոորդինատային հարթության միայն այն կետերը, որոնք ընկած են էլիպսի վրա։ Սրանից և կորի հավասարման սահմանումից կհետևի, որ (4) հավասարումը էլիպսի հավասարում է։

1) Թող M(x, y) կետը լինի էլիպսի կետ, այսինքն. նրա կիզակետային շառավիղների գումարը 2 ա.

.

Եկեք օգտագործենք կոորդինատային հարթության երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևը և օգտագործենք այս բանաձևը՝ գտնելու M կետի կիզակետային շառավիղները.

,
, որտեղից մենք ստանում ենք.

Եկեք մեկ արմատ տեղափոխենք հավասարության աջ կողմ և այն քառակուսի դարձնենք.

Նվազեցնելով՝ մենք ստանում ենք.

Ներկայացնում ենք նմանատիպերը, կրճատում ենք 4-ով և հեռացնում արմատականը.

.

Քառակուսի

Բացեք փակագծերը և կրճատեք
:

որտեղ մենք ստանում ենք.

Օգտագործելով հավասարությունը (2), մենք ստանում ենք.

.

Վերջին հավասարությունը բաժանելով
, մենք ստանում ենք հավասարություն (4) և այլն։

2) Հիմա թվերի զույգը (x, y) բավարարում է (4) հավասարումը, իսկ M(x, y) Oxy կոորդինատային հարթության համապատասխան կետը:

Այնուհետև (4)-ից հետևում է.

.

Մենք այս հավասարությունը փոխարինում ենք M կետի կիզակետային շառավիղների արտահայտությամբ.

.

Այստեղ մենք օգտագործեցինք հավասարությունը (2) և (3):

Այսպիսով,
. Նմանապես,
.

Այժմ նշենք, որ հավասարությունից (4) հետևում է, որ

կամ
և այլն:
, ապա անհավասարությունը հետևյալն է.

.

Այստեղից էլ իր հերթին հետևում է, որ

կամ
Եվ

,
. (5)

Հավասարություններից (5) հետևում է, որ
, այսինքն. M(x, y) կետը էլիպսի մի կետ է և այլն:

Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում. Հավասարումը (4) կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում։

Սահմանում. Էլիպսի կանոնական կոորդինատային առանցքները կոչվում են էլիպսի հիմնական առանցքներ:

Սահմանում. Էլիպսի կանոնական կոորդինատային համակարգի ծագումը կոչվում է էլիպսի կենտրոն։

կետ 3. Էլիպսի հատկությունները.

Թեորեմ. (Էլիպսի հատկությունները):

1. Էլիպսի կանոնական կոորդինատային համակարգում՝ ամեն ինչ

էլիպսի կետերը ուղղանկյան մեջ են

,
.

2. Կետերը ընկած են

3. Էլիպսը կոր է, որը համաչափ է

նրանց հիմնական առանցքները.

4. Էլիպսի կենտրոնը նրա համաչափության կենտրոնն է։

Ապացույց. 1, 2) Անմիջապես բխում է էլիպսի կանոնական հավասարումից.

3, 4) Թող M(x, y) լինի էլիպսի կամայական կետ: Այնուհետև դրա կոորդինատները բավարարում են (4) հավասարումը։ Բայց հետո կետերի կոորդինատները նույնպես բավարարում են (4) հավասարումը, և, հետևաբար, էլիպսի կետեր են, որոնցից հետևում են թեորեմի պնդումները։

Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում. 2a մեծությունը կոչվում է էլիպսի հիմնական առանցք, a մեծությունը կոչվում է էլիպսի կիսամեծ առանցք։

Սահմանում. 2b մեծությունը կոչվում է էլիպսի փոքր առանցք, b մեծությունը կոչվում է էլիպսի կիսամեծ առանցք։

Սահմանում. Էլիպսի հիմնական առանցքների հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ։

Մեկնաբանություն. Էլիպսը կարելի է կառուցել հետևյալ կերպ. Ինքնաթիռում մենք «մեխ ենք խփում կիզակետային կետերի մեջ» և ամրացնում դրանց երկարությունը
. Հետո վերցնում ենք մատիտ ու դրանով թելը ձգում ենք։ Այնուհետև մատիտի ծայրը տեղափոխում ենք հարթության երկայնքով՝ համոզվելով, որ թելը ձգված է։

Էքսցենտրիկության սահմանումից բխում է, որ

Եկեք ամրագրենք a թիվը և c թիվը ուղղենք զրոյի: Այնուհետև ժամը
,
Եվ
. Այն սահմանում, որը մենք ստանում ենք

կամ
- շրջանագծի հավասարում.

Եկեք հիմա ուղղենք
. Հետո
,
և մենք տեսնում ենք, որ սահմանում էլիպսը վերածվում է ուղիղ հատվածի
Նկար 3-ի նշումով:

կետ 4. Էլիպսի պարամետրային հավասարումներ.

Թեորեմ. Թող
- կամայական իրական թվեր: Այնուհետեւ հավասարումների համակարգը

,
(6)

Էլիպսի պարամետրային հավասարումներ են էլիպսի կանոնական կոորդինատային համակարգում։

Ապացույց. Բավական է ապացուցել, որ (6) հավասարումների համակարգը համարժեք է (4) հավասարմանը, այսինքն. նրանք ունեն լուծումների նույն փաթեթը:

1) Թող (x, y) լինի կամայական լուծում (6): Առաջին հավասարումը բաժանեք a-ի, երկրորդը՝ b-ի, երկու հավասարումները քառակուսի դարձրեք և ավելացրեք.

.

Նրանք. (6) համակարգի ցանկացած լուծում (x, y) բավարարում է (4) հավասարումը:

2) Ընդհակառակը, թող (x, y) զույգը լինի (4) հավասարման լուծումը, այսինքն.

.

Այս հավասարությունից հետևում է, որ կոորդինատներով կետը
ընկած է միավորի շառավիղի շրջանագծի վրա, որի կենտրոնը սկզբնաղբյուրում է, այսինքն. եռանկյունաչափական շրջանագծի այն կետն է, որին համապատասխանում է որոշակի անկյուն
:

Սինուսի և կոսինուսի սահմանումից անմիջապես հետևում է, որ

,
, Որտեղ
, որից հետևում է, որ (x, y) զույգը (6) համակարգի լուծումն է և այլն։

Թեորեմն ապացուցված է.

Մեկնաբանություն. Էլիպս կարելի է ստանալ a շառավղով շրջանագծի միատեսակ «սեղմման» արդյունքում դեպի աբսցիսային առանցքը։

Թող
- սկզբնակետում կենտրոն ունեցող շրջանագծի հավասարումը: Շրջանակի «սեղմումը» դեպի աբսցիսայի առանցքը ոչ այլ ինչ է, քան կոորդինատային հարթության փոխակերպում, որն իրականացվում է հետևյալ կանոնի համաձայն. M(x, y) յուրաքանչյուր կետի համար մենք կապում ենք նույն հարթության մի կետ
, Որտեղ
,
- սեղմման հարաբերակցությունը.

Այս փոխակերպմամբ շրջանագծի յուրաքանչյուր կետ «անցում» է անցնում հարթության մեկ այլ կետի, որն ունի նույն աբսցիսա, բայց ավելի փոքր օրդինատ։ Կետի հին օրդինատը արտահայտենք նորի միջոցով.

և շրջանագծերը փոխարինիր հավասարման մեջ.

.

Այստեղից մենք ստանում ենք.

. (7)

Սրանից հետևում է, որ եթե մինչև «սեղմման» փոխակերպումը M(x, y) կետը ընկած է շրջանագծի վրա, այսինքն. դրա կոորդինատները բավարարում էին շրջանագծի հավասարումը, այնուհետև «սեղմման» փոխակերպումից հետո այս կետը «վերափոխվեց» կետի.
, որի կոորդինատները բավարարում են էլիպսի հավասարումը (7): Եթե ​​մենք ուզում ենք ստանալ էլիպսի հավասարումը կիսամեծ առանցքով, ապա մենք պետք է վերցնենք սեղմման գործակիցը.

.

կետ 5. Էլիպսի շոշափող:

Թեորեմ. Թող
- էլիպսի կամայական կետ

.

Այնուհետև կետում այս էլիպսի շոշափողի հավասարումը
ունի ձև.

. (8)

Ապացույց. Բավական է դիտարկել այն դեպքը, երբ շոշափման կետը գտնվում է կոորդինատային հարթության առաջին կամ երկրորդ քառորդում.
. Էլիպսի հավասարումը վերին կիսահարթության մեջ ունի ձև.

. (9)

Օգտագործենք ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափող հավասարումը
կետում
:

Որտեղ
– տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը մի կետում
. Էլիպսը առաջին քառորդում կարելի է համարել որպես ֆունկցիայի գրաֆիկ (8): Գտնենք դրա ածանցյալը և դրա արժեքը շոշափման կետում.

,

. Այստեղ մենք օգտվեցինք այն հանգամանքից, որ շոշափող կետը
էլիպսի մի կետ է և հետևաբար դրա կոորդինատները բավարարում են էլիպսի հավասարումը (9), այսինքն.

.

Մենք փոխարինում ենք ածանցյալի գտած արժեքը շոշափող հավասարման մեջ (10).

,

որտեղ մենք ստանում ենք.

Սա ենթադրում է.

Եկեք այս հավասարությունը բաժանենք
:

.

Մնում է նշել, որ
, որովհետեւ կետ
պատկանում է էլիպսին, և դրա կոորդինատները բավարարում են դրա հավասարումը:

Շոշափող հավասարումը (8) նույն կերպ ապացուցված է կոորդինատային հարթության երրորդ կամ չորրորդ քառորդում գտնվող շոշափման կետում:

Եվ վերջապես, մենք հեշտությամբ կարող ենք ստուգել, ​​որ հավասարումը (8) տալիս է շոշափող հավասարումը կետերում
,
:

կամ
, Եվ
կամ
.

Թեորեմն ապացուցված է.

կետ 6. Էլիպսի հայելային հատկությունը.

Թեորեմ. Էլիպսի շոշափողն ունի հավասար անկյուններ շոշափման կետի կիզակետային շառավղների հետ։

Թող
- շփման կետ,
,
- շոշափող կետի կիզակետային շառավիղներ, P և Q - կիզակետերի կանխատեսումներ կետում գտնվող էլիպսի վրա գծված շոշափողի վրա
.

Թեորեմն ասում է, որ

. (11)

Այս հավասարությունը կարելի է մեկնաբանել որպես լույսի ճառագայթի անկման և անդրադարձման անկյունների հավասարություն՝ իր կիզակետից ազատված էլիպսից։ Այս հատկությունը կոչվում է էլիպսի հայելային հատկություն.

Էլիպսի կիզակետից արձակված լույսի ճառագայթը, էլիպսի հայելից արտացոլվելուց հետո, անցնում է էլիպսի մեկ այլ կիզակետով։

Թեորեմի ապացույց. Անկյունների (11) հավասարությունն ապացուցելու համար ապացուցում ենք եռանկյունների նմանությունը
Եվ
, որում կողմերը
Եվ
նման կլինի: Քանի որ եռանկյունները ուղղանկյուն են, բավական է ապացուցել հավասարությունը

Սահմանում. Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնցից յուրաքանչյուրի հեռավորությունների գումարը այս հարթության երկու տրված կետերից, որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն արժեք է (պայմանով, որ այդ արժեքը մեծ է կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունից) .

Եկեք նշենք օջախները նրանց միջև եղած հեռավորությամբ և հաստատուն արժեքով, գումարին հավասարհեռավորությունները էլիպսի յուրաքանչյուր կետից մինչև օջախները, միջով (ըստ պայմանի):

Կառուցենք դեկարտյան կոորդինատային համակարգ այնպես, որ օջախները լինեն աբսցիսայի առանցքի վրա, իսկ կոորդինատների սկզբնաղբյուրը համընկնի հատվածի կեսին (նկ. 44): Այնուհետև օջախները կունենան հետևյալ կոորդինատները՝ ձախ և աջ ֆոկուս: Բերենք էլիպսի հավասարումը մեր ընտրած կոորդինատային համակարգում։ Այդ նպատակով հաշվի առեք էլիպսի կամայական կետը: Ըստ էլիպսի սահմանման՝ այս կետից մինչև կիզակետային հեռավորությունների գումարը հավասար է.

Օգտագործելով երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևը, մենք ստանում ենք

Այս հավասարումը պարզեցնելու համար մենք այն գրում ենք ձևով

Այնուհետև հավասարման երկու կողմերն էլ քառակուսի տալով՝ ստանում ենք

կամ ակնհայտ պարզեցումներից հետո.

Այժմ մենք կրկին քառակուսի ենք դնում հավասարման երկու կողմերը, որից հետո ունենք.

կամ նույնական փոխակերպումներից հետո.

Քանի որ, ըստ էլիպսի սահմանման պայմանի, թիվը դրական է։ Ներկայացնենք նշումը

Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.

Էլիպսի սահմանմամբ նրա ցանկացած կետի կոորդինատները բավարարում են (26) հավասարումը։ Բայց (29) հավասարումը (26) հավասարման հետևանք է։ Հետևաբար այն բավարարվում է նաև էլիպսի ցանկացած կետի կոորդինատներով։

Կարելի է ցույց տալ, որ այն կետերի կոորդինատները, որոնք էլիպսի վրա չեն գտնվում, չեն բավարարում (29) հավասարումը։ Այսպիսով, հավասարումը (29) էլիպսի հավասարումն է։ Այն կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում։

Եկեք պարզենք էլիպսի ձևը՝ օգտագործելով նրա կանոնական հավասարումը:

Նախ ուշադրություն դարձնենք, որ այս հավասարումը պարունակում է միայն նույնիսկ աստիճաններ x և y. Սա նշանակում է, որ եթե որևէ կետ պատկանում է էլիպսի, ապա այն նաև պարունակում է սիմետրիկ կետ աբսցիսայի առանցքի հետ կապված կետի հետ, և կետ՝ սիմետրիկ կետի հետ՝ օրդինատների առանցքի հետ։ Այսպիսով, էլիպսն ունի համաչափության երկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցքներ, որոնք մեր ընտրած կոորդինատային համակարգում համընկնում են կոորդինատային առանցքների հետ։ Էլիպսի համաչափության առանցքներն այսուհետ կանվանենք էլիպսի առանցքներ, իսկ դրանց հատման կետը՝ էլիպսի կենտրոն։ Այն առանցքը, որի վրա գտնվում են էլիպսի օջախները (մեջ այս դեպքում x-առանցք) կոչվում է կիզակետային առանցք:

Եկեք նախ որոշենք էլիպսի ձևը առաջին քառորդում: Դա անելու համար լուծենք y-ի (28) հավասարումը.

Ակնհայտ է, որ այստեղ, քանի որ y-ն երևակայական արժեքներ է ընդունում: Երբ դուք 0-ից աճում եք a, y-ը b-ից դառնում է 0: Էլիպսի այն հատվածը, որը ընկած է առաջին քառորդում, կլինի B (0; b) կետերով սահմանափակված և կոորդինատային առանցքների վրա ընկած աղեղ (նկ. 45): Օգտագործելով հիմա էլիպսի համաչափությունը՝ մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ էլիպսն ունի Նկ. 45.

Էլիպսի առանցքների հետ հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ։ Էլիպսի համաչափությունից հետևում է, որ, բացի գագաթներից, էլիպսն ունի ևս երկու գագաթ (տե՛ս նկ. 45)։

Էլիպսի հակադիր հատվածները և միացնող գագաթները, ինչպես նաև դրանց երկարությունները, կոչվում են համապատասխանաբար էլիպսի հիմնական և փոքր առանցքներ։ a և b թվերը կոչվում են համապատասխանաբար էլիպսի մեծ և փոքր կիսաառանցքներ։

Կիզակետերի և էլիպսի կիսահիմնական առանցքի միջև հեռավորության կեսի հարաբերությունը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիկություն և սովորաբար նշվում է տառով.

Քանի որ , էլիպսի էքսցենտրիկությունը միասնությունից փոքր է. Էքսցենտրիկությունը բնութագրում է էլիպսի ձևը։ Իրոք, բանաձևից (28) հետևում է, որ որքան փոքր է էլիպսի էքսցենտրիկությունը, այնքան քիչ է նրա կիսափոքր առանցքը b տարբերվում a կիսահիմնական առանցքից, այսինքն՝ այնքան քիչ է ձգվում էլիպսը (կիզակետային առանցքի երկայնքով):

Սահմանափակման դեպքում արդյունքը a շառավղով շրջան է՝ , կամ : Միևնույն ժամանակ, էլիպսի օջախները կարծես միաձուլվում են մի կետում՝ շրջանագծի կենտրոնում: Շրջանակի էքսցենտրիկությունը զրո է.

Էլիպսի և շրջանագծի միջև կապը կարելի է հաստատել մեկ այլ տեսանկյունից. Ցույց տանք, որ a և b կիսաառանցքներով էլիպսը կարելի է դիտարկել որպես a շառավղով շրջանագծի պրոյեկցիա։

Դիտարկենք երկու հարթություններ P և Q, որոնք իրենց միջև ձևավորում են այնպիսի անկյուն a, որի համար (նկ. 46): Եկեք P հարթությունում կառուցենք կոորդինատային համակարգ, իսկ Q հարթությունում՝ Oxy համակարգ՝ O ընդհանուր սկզբնավորմամբ և հարթությունների հատման գծի հետ համընկնող ընդհանուր աբսցիսային առանցքով։ Դիտարկենք P հարթության շրջանակը

սկզբնակետում գտնվող կենտրոնով և շառավղով հավասար է a. Թող լինի կամայականորեն ընտրված կետ շրջանագծի վրա, լինի դրա պրոյեկցիան Q հարթության վրա և թող լինի M կետի պրոյեկցիան Ox առանցքի վրա: Ցույց տանք, որ կետը գտնվում է a և b կիսաառանցքներով էլիպսի վրա:

Երկրորդ կարգի տողեր.
Էլիպսը և նրա կանոնական հավասարումը. Շրջանակ

Մանրակրկիտ ուսումնասիրությունից հետո ուղիղ գծեր հարթության մեջՄենք շարունակում ենք ուսումնասիրել երկչափ աշխարհի երկրաչափությունը։ Խաղադրույքները կրկնապատկվում են, և ես հրավիրում եմ ձեզ այցելել էլիպսների, հիպերբոլաների, պարաբոլների գեղատեսիլ պատկերասրահ, որոնք բնորոշ ներկայացուցիչներ են: երկրորդ կարգի գծեր. Էքսկուրսիան արդեն սկսվել է, և նախ հակիրճ տեղեկատվությունթանգարանի տարբեր հարկերի ամբողջ ցուցադրության մասին.

Հանրահաշվական տողի հասկացությունը և դրա կարգը

Ինքնաթիռի գիծը կոչվում է հանրահաշվական, եթե ներս affine կոորդինատային համակարգդրա հավասարումն ունի ձև, որտեղ ձևի անդամներից կազմված բազմանդամ է (- իրական թիվ, ոչ բացասական ամբողջ թվեր):

Ինչպես տեսնում եք, հանրահաշվական գծի հավասարումը չի պարունակում սինուսներ, կոսինուսներ, լոգարիթմներ և այլ ֆունկցիոնալ բոմոնդ: Ներառված են միայն X և Y-երը ոչ բացասական ամբողջ թվերաստիճաններ։

Գծի պատվերհավասար է դրանում ներառված տերմինների առավելագույն արժեքին։

Համապատասխան թեորեմի համաձայն՝ հանրահաշվական գծի հասկացությունը, ինչպես նաև դրա կարգը կախված չեն ընտրությունից. affine կոորդինատային համակարգ, հետևաբար, գոյության դյուրինության համար մենք ենթադրում ենք, որ բոլոր հետագա հաշվարկները տեղի են ունենում մ Դեկարտյան կոորդինատները.

Ընդհանուր հավասարումերկրորդ կարգի տողն ունի ձևը, որտեղ - կամայական իրական թվեր (Ընդունված է այն գրել երկու գործակցով), իսկ գործակիցները միաժամանակ հավասար չեն զրոյի։

Եթե ​​, ապա հավասարումը պարզեցնում է , իսկ եթե գործակիցները միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, ապա դա ճիշտ է «հարթ» գծի ընդհանուր հավասարումը, որը ներկայացնում է առաջին կարգի գիծ.

Շատերը հասկացել են նոր տերմինների իմաստը, բայց, այնուամենայնիվ, նյութին 100%-ով տիրապետելու համար մատներս խրում ենք վարդակից։ Տողերի հերթականությունը որոշելու համար հարկավոր է կրկնել բոլոր պայմաններըդրա հավասարումները և գտնել դրանցից յուրաքանչյուրի համար աստիճանների գումարըմուտքային փոփոխականներ.

Օրինակ:

տերմինը պարունակում է «x» մինչև 1-ին աստիճան.
տերմինը պարունակում է «Y» մինչև 1-ին աստիճան.
Տերմինում փոփոխականներ չկան, ուստի նրանց հզորությունների գումարը զրո է։

Հիմա եկեք պարզենք, թե ինչու է հավասարումը սահմանում գիծը երկրորդպատվեր:

տերմինը պարունակում է «x» մինչև 2-րդ աստիճան.
գումարելին ունի փոփոխականների հզորությունների գումարը՝ 1 + 1 = 2;
տերմինը պարունակում է «Y» մինչև 2-րդ աստիճան.
մնացած բոլոր պայմանները - ավելի քիչաստիճաններ։

Առավելագույն արժեքը՝ 2

Եթե ​​հավելյալ ավելացնենք, ասենք, մեր հավասարմանը, ապա այն արդեն կորոշի երրորդ կարգի գիծ. Ակնհայտ է, որ 3-րդ կարգի տողերի հավասարման ընդհանուր ձևը պարունակում է տերմինների «ամբողջական հավաքածու», որոնցում փոփոխականների հզորությունների գումարը հավասար է երեքի.
, որտեղ գործակիցները միաժամանակ հավասար չեն զրոյի։

Այն դեպքում, երբ ավելացնեք մեկ կամ ավելի հարմար պայմաններ, որոնք պարունակում են , ապա արդեն կխոսենք 4-րդ կարգի տողերև այլն։

3-րդ, 4-րդ և ավելի բարձր կարգերի հանրահաշվական տողերի հետ ստիպված կլինենք հանդիպել մեկից ավելի անգամ, մասնավորապես, ծանոթանալիս. բևեռային կոորդինատային համակարգ.

Այնուամենայնիվ, վերադառնանք ընդհանուր հավասարմանը և հիշենք դրա ամենապարզ դպրոցական տատանումները: Որպես օրինակ, պարաբոլան իրեն առաջարկում է, որի հավասարումը հեշտությամբ կարող է կրճատվել ընդհանուր տեսքը, և հիպերբոլա՝ համարժեք հավասարմամբ։ Այնուամենայնիվ, ամեն ինչ այնքան էլ հարթ չէ...

Ընդհանուր հավասարման էական թերությունն այն է, որ գրեթե միշտ պարզ չէ, թե որ գիծն է այն սահմանում: Նույնիսկ ամենապարզ դեպքում դուք անմիջապես չեք հասկանա, որ սա հիպերբոլիա է: Նման դասավորությունները լավ են միայն դիմակահանդեսի ժամանակ, ուստի վերլուծական երկրաչափության ընթացքում մենք համարում ենք. բնորոշ առաջադրանք 2-րդ կարգի տողի հավասարումը բերելով կանոնական ձևի.

Ո՞րն է հավասարման կանոնական ձևը:

Սա ընդհանուր առմամբ ընդունված է ստանդարտ տեսքհավասարումը, երբ վայրկյանների ընթացքում պարզ է դառնում, թե ինչ երկրաչափական օբյեկտ է այն սահմանում։ Բացի այդ, կանոնական ձևը շատ հարմար է շատերը լուծելու համար գործնական առաջադրանքներ. Այսպիսով, օրինակ, ըստ կանոնական հավասարման «հարթ» ուղիղ, նախ՝ անմիջապես պարզ է դառնում, որ սա ուղիղ գիծ է, երկրորդ՝ դրան պատկանող կետն ու ուղղության վեկտորը հեշտությամբ տեսանելի են։

Ակնհայտ է, որ ցանկացած 1-ին պատվերի գիծուղիղ գիծ է. Երկրորդ հարկում մեզ այլևս սպասողը չէ, այլ ինը արձաններից բաղկացած շատ ավելի բազմազան ընկերություն.

Երկրորդ կարգի գծերի դասակարգում

Օգտագործելով հատուկ համալիրգործողություններ, երկրորդ կարգի տողի ցանկացած հավասարում կրճատվում է հետևյալ ձևերից մեկով.

(և դրական իրական թվեր են)

1) - էլիպսի կանոնական հավասարում;

2) – հիպերբոլայի կանոնական հավասարում.

3) - պարաբոլայի կանոնական հավասարում;

4) – երևակայականէլիպս;

5) – զույգ հատվող ուղիղներ.

6) – զույգ երևակայականհատվող գծեր (սկզբում մեկ վավերական հատման կետով);

7) – զույգ զուգահեռ ուղիղներ.

8) – զույգ երևակայականզուգահեռ գծեր;

9) – զույգ համընկնող տողեր.

Որոշ ընթերցողների մոտ կարող է տպավորություն ստեղծվել, որ ցուցակը թերի է։ Օրինակ՝ թիվ 7 կետում հավասարման մեջ նշվում է զույգը ուղիղ, առանցքին զուգահեռ, և հարց է առաջանում՝ որտե՞ղ է օրդինատների առանցքին զուգահեռ ուղիղները որոշող հավասարումը։ Պատասխան՝ դա կանոնական չի համարվում. Ուղիղ գծերը ներկայացնում են նույն ստանդարտ դեպքը, որը պտտվում է 90 աստիճանով, և դասակարգման մեջ լրացուցիչ մուտքագրումն ավելորդ է, քանի որ այն սկզբունքորեն նոր բան չի բերում:

Այսպիսով, կան ինը և միայն ինը տարբեր տեսակներ 2-րդ կարգի տողեր, բայց գործնականում դրանք առավել հաճախ հանդիպում են էլիպս, հիպերբոլա և պարաբոլա.

Եկեք նախ նայենք էլիպսին: Ինչպես միշտ, ես կենտրոնանում եմ այն ​​կետերի վրա, որոնք ունեն մեծ նշանակությունխնդիրներ լուծելու համար, և եթե Ձեզ անհրաժեշտ է բանաձևերի մանրամասն ածանցում, թեորեմների ապացույցներ, խնդրում ենք դիմել, օրինակ, Բազիլևի/Աթանասյանի կամ Ալեքսանդրովի դասագրքին։

Էլիպսը և նրա կանոնական հավասարումը

Ուղղագրություն... խնդրում եմ չկրկնել Yandex-ի որոշ օգտատերերի սխալները, ովքեր հետաքրքրված են «ինչպես կառուցել էլիպս», «տարբերությունը էլիպսի և օվալի միջև» և «էլիպսի էքսցենտրիկությամբ»։

Էլիպսի կանոնական հավասարումն ունի ձև, որտեղ դրական իրական թվեր են և . Էլիպսի սահմանումը ես կձևակերպեմ ավելի ուշ, բայց առայժմ ժամանակն է ընդմիջել խոսող խանութից և լուծել ընդհանուր խնդիր.

Ինչպե՞ս կառուցել էլիպս:

Այո, պարզապես վերցրեք այն և պարզապես նկարեք այն: Առաջադրանքը հաճախակի է լինում, և ուսանողների մի զգալի մասը ճիշտ չի հաղթահարում նկարը.

Օրինակ 1

Կառուցի՛ր հավասարմամբ տրված էլիպսը

ԼուծումՆախ, եկեք հավասարումը բերենք կանոնական ձևի.

Ինչու՞ բերել: Կանոնական հավասարման առավելություններից մեկն այն է, որ այն թույլ է տալիս ակնթարթորեն որոշել էլիպսի գագաթները, որոնք գտնվում են կետերում։ Հեշտ է տեսնել, որ այս կետերից յուրաքանչյուրի կոորդինատները բավարարում են հավասարումը:

Այս դեպքում :


Գծային հատվածկանչեց հիմնական առանցքըէլիպս;
գծի հատված – փոքր առանցք;
թիվ կանչեց կիսամյակային հիմնական լիսեռէլիպս;
թիվ – փոքր առանցք.
մեր օրինակում.

Որպեսզի արագ պատկերացնենք, թե ինչ տեսք ունի կոնկրետ էլիպսը, պարզապես նայեք նրա կանոնական հավասարման «a» և «be» արժեքներին:

Ամեն ինչ լավ է, հարթ և գեղեցիկ, բայց կա մեկ նախազգուշացում. ես նկարը արել եմ ծրագրի միջոցով: Եվ դուք կարող եք նկարել ցանկացած հավելվածի միջոցով: Այնուամենայնիվ, մեջ դաժան իրականությունՍեղանին վանդակավոր թուղթ է դրված, իսկ մեր ձեռքերի վրա մկները պարում են շրջանաձև։ Գեղարվեստական ​​տաղանդ ունեցող մարդիկ, իհարկե, կարող են վիճել, բայց դուք ևս ունեք մկներ (թեև ավելի փոքր): Իզուր չէ, որ մարդկությունը հորինել է քանոն, կողմնացույց, անկյունաչափ և նկարելու այլ պարզ սարքեր:

Այդ պատճառով մենք դժվար թե կարողանանք ճշգրիտ գծել էլիպս՝ իմանալով միայն գագաթները: Ամեն ինչ կարգին է, եթե էլիպսը փոքր է, օրինակ, կիսաառանցքներով: Որպես այլընտրանք, դուք կարող եք նվազեցնել սանդղակը և, համապատասխանաբար, գծագրի չափերը: Բայց ներս ընդհանուր դեպքՇատ ցանկալի է լրացուցիչ միավորներ գտնել։

Էլիպսի կառուցման երկու մոտեցում կա՝ երկրաչափական և հանրահաշվական: Ես չեմ սիրում շինարարություն օգտագործելով կողմնացույց և քանոն, քանի որ ալգորիթմը ամենակարճը չէ, և գծագիրը զգալիորեն խճճված է: Արտակարգ իրավիճակների դեպքում խնդրում ենք դիմել դասագրքին, բայց իրականում շատ ավելի ռացիոնալ է օգտագործել հանրահաշվի գործիքները։ Սևագրի էլիպսի հավասարումից արագ արտահայտում ենք.

Այնուհետև հավասարումը բաժանվում է երկու ֆունկցիայի.
– սահմանում է էլիպսի վերին աղեղը.
– սահմանում է էլիպսի ստորին աղեղը:

Կանոնական հավասարմամբ սահմանված էլիպսը սիմետրիկ է կոորդինատային առանցքների, ինչպես նաև սկզբնաղբյուրի նկատմամբ։ Եվ սա հիանալի է. սիմետրիան գրեթե միշտ անվճար նվերների նախանշան է: Ակնհայտ է, որ բավական է զբաղվել 1-ին կոորդինատային քառորդով, ուստի մեզ անհրաժեշտ է ֆունկցիան . Խնդրում է գտնել լրացուցիչ միավորներ աբսցիսներով . Եկեք հաշվիչի վրա սեղմենք երեք SMS հաղորդագրություն.

Իհարկե, հաճելի է նաև, որ եթե հաշվարկներում լուրջ սխալ է թույլ տրվել, դա անմիջապես պարզ կդառնա շինարարության ընթացքում:

Նկարի վրա նշեք կետերը (կարմիր գույն), սիմետրիկ կետերմնացած կամարների վրա ( Կապույտ գույն) և զգուշորեն միացրեք ամբողջ ընկերությունը տողով.


Ավելի լավ է նախնական ուրվագիծը շատ բարակ նկարել, և միայն դրանից հետո մատիտով ճնշում գործադրել։ Արդյունքը պետք է լինի բավականին պարկեշտ էլիպս: Ի դեպ, կուզենայի՞ք իմանալ, թե որն է այս կորը:

Էլիպսի սահմանում. Էլիպսային օջախներ և էլիպսային էքսցենտրիկություն

Էլիպս է հատուկ դեպքձվաձեւ «Օվալ» բառը չպետք է հասկանալ փղշտական ​​իմաստով («երեխան օվալ է նկարել» և այլն): Սա մաթեմատիկական տերմին է, որն ունի մանրամասն ձևակերպում։ Այս դասի նպատակը չէ դիտարկել օվալների և դրանց տարբեր տեսակների տեսությունը, որոնք գործնականում ուշադրություն չեն դարձնում: ստանդարտ դասընթացվերլուծական երկրաչափություն. Եվ, ըստ ավելին ընթացիկ կարիքները, անմիջապես անցնում ենք էլիպսի խիստ սահմանմանը.

Էլիպսհարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրին տրված երկու կետերից հեռավորությունների գումարը կոչվում է. հնարքներԷլիպսը հաստատուն մեծություն է, որը թվայինորեն հավասար է այս էլիպսի հիմնական առանցքի երկարությանը.
Այս դեպքում ֆոկուսների միջև հեռավորությունները փոքր են այս արժեքից.

Այժմ ամեն ինչ ավելի պարզ կդառնա.

Պատկերացրեք, որ կապույտ կետը «ճանապարհորդում» է էլիպսի երկայնքով։ Այսպիսով, անկախ էլիպսի որ կետից վերցնենք, հատվածների երկարությունների գումարը միշտ նույնը կլինի.

Եկեք համոզվենք, որ մեր օրինակում գումարի արժեքն իսկապես հավասար է ութի։ Մտավոր կերպով տեղադրեք «um» կետը էլիպսի աջ գագաթին, այնուհետև՝ , որը պետք է ստուգել:

Այն նկարելու մեկ այլ մեթոդ հիմնված է էլիպսի սահմանման վրա։ Բարձրագույն մաթեմատիկան երբեմն լարվածության և սթրեսի պատճառ է դառնում, ուստի ժամանակն է անցկացնել ևս մեկ բեռնաթափման նիստ: Խնդրում ենք վերցնել Whatman թուղթը կամ ստվարաթղթի մի մեծ թերթ և ամրացնել այն սեղանին երկու մեխերով: Սրանք հնարքներ կլինեն։ Դուրս ցցված եղունգների գլուխներին կանաչ թել կապեք և մատիտով մինչև վերջ քաշեք։ Մատիտի կապարը կհայտնվի որոշակի կետում, որը պատկանում է էլիպսին: Այժմ սկսեք մատիտը շարժել թղթի կտորի երկայնքով՝ կանաչ թելը ձգված պահելով։ Շարունակեք գործընթացը մինչև վերադառնաք Ելակետ... հիանալի ... նկարը կարող է ստուգել բժիշկը և ուսուցիչը =)

Ինչպե՞ս գտնել էլիպսի կիզակետերը:

Վերոնշյալ օրինակում ես պատկերեցի «պատրաստի» կիզակետերը, և այժմ մենք կսովորենք, թե ինչպես դրանք հանել երկրաչափության խորքից:

Եթե ​​էլիպսը տրված է կանոնական հավասարմամբ, ապա դրա օջախներն ունեն կոորդինատներ , որտեղ է այն հեռավորությունը յուրաքանչյուր կիզակետից մինչև էլիպսի համաչափության կենտրոնը.

Հաշվարկներն ավելի պարզ են, քան պարզ.

! Ֆոկուսների հատուկ կոորդինատները հնարավոր չէ նույնացնել «tse» նշանակության հետ:Կրկնում եմ, որ սա է DISTANCE յուրաքանչյուր կիզակետից մինչև կենտրոն(որը ընդհանուր դեպքում պարտադիր չէ, որ գտնվի հենց սկզբնաղբյուրում):
Եվ, հետևաբար, օջախների միջև հեռավորությունը նույնպես չի կարող կապված լինել էլիպսի կանոնական դիրքի հետ: Այլ կերպ ասած, էլիպսը կարող է տեղափոխվել այլ տեղ, և արժեքը կմնա անփոփոխ, մինչդեռ օջախները բնականաբար կփոխեն իրենց կոորդինատները: Խնդրում եմ հաշվի առնել այս պահինթեմայի հետագա ուսումնասիրության ժամանակ։

Էլիպսի էքսցենտրիկությունը և դրա երկրաչափական նշանակությունը

Էլիպսի էքսցենտրիկությունը հարաբերակցություն է, որը կարող է արժեքներ ընդունել տիրույթում:

Մեր դեպքում.

Եկեք պարզենք, թե ինչպես է էլիպսի ձևը կախված նրա էքսցենտրիկությունից: Սրա համար ամրացրեք ձախ և աջ գագաթներըդիտարկվող էլիպսի, այսինքն՝ կիսահիմնական առանցքի արժեքը կմնա հաստատուն։ Այնուհետև էքսցենտրիկության բանաձևը կստանա հետևյալ ձևը.

Եկեք սկսենք էքսցենտրիկության արժեքն ավելի մոտեցնել միասնությանը: Սա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե. Ինչ է դա նշանակում? ...հիշեք հնարքները . Սա նշանակում է, որ էլիպսի կիզակետերը «կտարվեն» աբսցիսայի առանցքի երկայնքով դեպի կողային գագաթները։ Եվ քանի որ «կանաչ հատվածները ռետինե չեն», ապա էլիպսը անխուսափելիորեն կսկսի հարթվել՝ վերածվելով առանցքի վրա ցցված նրբերշիկի։

Այսպիսով, ինչպես ավելի մոտ արժեքԷլիպսի էքսցենտրիկությունը դեպի միասնություն, այնքան ավելի երկարաձգված է էլիպսը.

Հիմա մոդելավորենք հակառակ գործընթացը՝ էլիպսի օջախները քայլեցին դեպի միմյանց՝ մոտենալով կենտրոնին։ Սա նշանակում է, որ «ce»-ի արժեքը գնալով նվազում է, և, համապատասխանաբար, էքսցենտրիկությունը ձգտում է զրոյի.
Այս դեպքում «կանաչ հատվածները», ընդհակառակը, «կլամեցվեն» և կսկսեն էլիպսային գիծը «հրել» վեր ու վար։

Այսպիսով, Որքան մոտ է էքսցենտրիկության արժեքը զրոյին, այնքան էլիպսը նման է... տեսեք սահմանափակող դեպքը, երբ օջախները հաջողությամբ վերամիավորվում են սկզբնաղբյուրում.

Շրջանակը էլիպսի հատուկ դեպք է

Իսկապես, կիսաառանցքների հավասարության դեպքում էլիպսի կանոնական հավասարումը ստանում է ձև, որը ռեֆլեկտիվ կերպով վերածվում է շրջանագծի հավասարման, որի կենտրոնը գտնվում է «a» շառավղով սկզբնամասում, որը հայտնի է դպրոցից:

Գործնականում ավելի հաճախ օգտագործվում է «եր» տառով «խոսող» նշումը՝ . Շառավիղը հատվածի երկարությունն է, որի շրջանակի յուրաքանչյուր կետը կենտրոնից հեռացվում է շառավղով հեռավորությամբ:

Նկատի ունեցեք, որ էլիպսի սահմանումը մնում է լիովին ճիշտ. օջախները համընկնում են, իսկ շրջանագծի յուրաքանչյուր կետի համար համընկնող հատվածների երկարությունների գումարը հաստատուն է: Քանի որ օջախների միջև հեռավորությունը , ուրեմն ցանկացած շրջանագծի էքսցենտրիսիտետը զրո է.

Շրջանակ կառուցելը հեշտ և արագ է, պարզապես օգտագործեք կողմնացույց: Այնուամենայնիվ, երբեմն անհրաժեշտ է պարզել դրա որոշ կետերի կոորդինատները, այս դեպքում մենք գնում ենք ծանոթ ճանապարհով. մենք հավասարումը բերում ենք ուրախ Մատանովի ձևին.

- վերին կիսաշրջանի գործառույթը;
- ստորին կիսաշրջանի գործառույթը.

Որից հետո մենք գտնում ենք պահանջվող արժեքներ, տարբերակել, ինտեգրվելև այլ լավ բաներ արեք:

Հոդվածն, իհարկե, միայն հղման համար է, բայց ինչպե՞ս կարելի է ապրել աշխարհում առանց սիրո։ Ստեղծագործական առաջադրանք համար անկախ որոշում

Օրինակ 2

Կազմե՛ք էլիպսի կանոնական հավասարումը, եթե հայտնի են նրա օջախներից մեկը և կիսափոքր առանցքը (կենտրոնը սկզբնաղբյուրում է): Գտեք գագաթներ, լրացուցիչ կետեր և գծեք գծագրում: Հաշվարկել էքսցենտրիսիտությունը:

Լուծում և նկարում դասի վերջում

Ավելացնենք գործողություն.

Պտտեցնել և զուգահեռ թարգմանել էլիպս

Վերադառնանք էլիպսի կանոնական հավասարմանը, այն պայմանին, որի առեղծվածը տանջում է հետաքրքրասեր մտքերին այս կորի առաջին հիշատակումից ի վեր։ Այսպիսով, մենք նայեցինք էլիպսին , բայց գործնականում հնարավոր չէ՞ բավարարել հավասարումը ? Ի վերջո, այստեղ, սակայն, կարծես թե էլիպս է։

Նման հավասարումը հազվադեպ է, բայց հանդիպում է: Եվ դա իրականում սահմանում է էլիպս: Եկեք ապակեղծենք.

Կառուցման արդյունքում ստացվել է մեր հայրենի էլիպսը, որը պտտվել է 90 աստիճանով։ Այն է, - Սա ոչ կանոնական մուտքէլիպս . Գրառում!- հավասարումը չի սահմանում որևէ այլ էլիպս, քանի որ առանցքի վրա չկան կետեր (կիզակետեր), որոնք կբավարարեն էլիպսի սահմանումը:

11.1. Հիմնական հասկացություններ

Դիտարկենք երկրորդ աստիճանի հավասարումներով սահմանված գծերը ընթացիկ կոորդինատների նկատմամբ

Հավասարման գործակիցները իրական թվեր են, բայց A, B կամ C թվերից առնվազն մեկը զրո չէ: Նման գծերը կոչվում են երկրորդ կարգի գծեր (կորեր): Ստորև կհաստատվի, որ (11.1) հավասարումը սահմանում է հարթության վրա շրջան, էլիպս, հիպերբոլա կամ պարաբոլա։ Մինչ այս պնդմանը անցնելը, եկեք ուսումնասիրենք թվարկված կորերի հատկությունները։

11.2. Շրջանակ

Երկրորդ կարգի ամենապարզ կորը շրջանագիծ է: Հիշեցնենք, որ R շառավղով շրջանագիծը, որի կենտրոնը գտնվում է կետում, հարթության բոլոր M կետերի բազմությունն է, որը բավարարում է պայմանը: Թող ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում մի կետ ունենա x 0, y 0 կոորդինատներ և - կամայական կետ շրջանագծի վրա (տես նկ. 48):

Այնուհետև պայմանից մենք ստանում ենք հավասարումը

(11.2)

Հավասարումը (11.2) բավարարվում է տվյալ շրջանագծի ցանկացած կետի կոորդինատներով և չի բավարարվում շրջանագծի վրա չգտնվող որևէ կետի կոորդինատներով:

Կանչվում է հավասարումը (11.2): շրջանագծի կանոնական հավասարում

Մասնավորապես, սահմանելով և , մենք ստանում ենք սկզբնակետում կենտրոն ունեցող շրջանագծի հավասարումը .

Շրջանակի հավասարումը (11.2) պարզ փոխակերպումներից հետո կստանա . Այս հավասարումը երկրորդ կարգի կորի ընդհանուր հավասարման (11.1) հետ համեմատելիս հեշտ է նկատել, որ շրջանագծի հավասարման համար բավարար է երկու պայման.

1) x 2-ի և y 2-ի գործակիցները հավասար են միմյանց.

2) ընթացիկ կոորդինատների xy արտադրյալը պարունակող անդամ չկա:

Դիտարկենք հակադարձ խնդիրը։ Արժեքները դնելով և (11.1) հավասարման մեջ՝ ստանում ենք

Փոխակերպենք այս հավասարումը.

(11.4)

Հետևում է, որ (11.3) հավասարումը պայմանով սահմանում է շրջան . Նրա կենտրոնը գտնվում է կետում , և շառավիղը

.

Եթե , ապա (11.3) հավասարումը ունի ձև

.

Այն բավարարվում է մեկ կետի կոորդինատներով . Այս դեպքում ասում են. «շրջագիծը վերածվել է կետի» (զրո շառավղով):

Եթե , ապա հավասարումը (11.4) և հետևաբար համարժեք հավասարում(11.3) չի սահմանի որևէ գիծ, ​​քանի որ աջ մասհավասարումը (11.4) բացասական է, իսկ ձախը բացասական չէ (ասենք՝ «շրջանակը երևակայական է»):

11.3. Էլիպս

Կանոնական էլիպսային հավասարում

Էլիպս հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրից մինչև այս հարթության երկու տրված կետերի հեռավորությունների գումարը, որը կոչվում է. հնարքներ , հաստատուն արժեք է, որն ավելի մեծ է, քան կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունը։

Նշենք ֆոկուսները ըստ F 1Եվ F 2, նրանց միջև հեռավորությունը 2 է գ, իսկ էլիպսի կամայական կետից մինչև օջախ հեռավորությունների գումարը՝ 2-ում ա(տես նկ. 49): Ըստ սահմանման 2 ա > 2գ, այսինքն. ա > գ.

Էլիպսի հավասարումը դուրս բերելու համար ընտրում ենք կոորդինատային համակարգ, որպեսզի օջախները F 1Եվ F 2ընկած էր առանցքի վրա, և սկզբնաղբյուրը համընկավ հատվածի կեսին F 1 F 2. Այնուհետև օջախները կունենան հետևյալ կոորդինատները՝ և .

Թող լինի էլիպսի կամայական կետ: Այնուհետեւ, ըստ էլիպսի սահմանման, ի.

Սա, ըստ էության, էլիպսի հավասարումն է։

Փոխակերպենք (11.5) հավասարումը ավելիի պարզ տեսարանհետևյալ կերպ.

Որովհետեւ ա>Հետ, Դա . դնենք

(11.6)

Այնուհետև վերջին հավասարումը կընդունի ձևը կամ

(11.7)

Կարելի է ապացուցել, որ (11.7) հավասարումը համարժեք է սկզբնական հավասարմանը։ Դա կոչվում է կանոնական էլիպսային հավասարում .

Էլիպսը երկրորդ կարգի կոր է:

Էլիպսի ձևի ուսումնասիրություն՝ օգտագործելով դրա հավասարումը

Եկեք պարզենք էլիպսի ձևը՝ օգտագործելով նրա կանոնական հավասարումը:

1. Հավասարումը (11.7) պարունակում է x և y միայն զույգ հզորություններով, ուստի եթե կետը պատկանում է էլիպսի, ապա ,, կետերը նույնպես պատկանում են դրան: Սրանից հետևում է, որ էլիպսը սիմետրիկ է և առանցքների, ինչպես նաև այն կետի նկատմամբ, որը կոչվում է էլիպսի կենտրոն։

2. Գտի՛ր էլիպսի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ: Դնելով , մենք գտնում ենք երկու կետ և , որոնցում առանցքը հատում է էլիպսը (տե՛ս նկ. 50): Հավասարման մեջ դնելով (11.7)՝ գտնում ենք էլիպսի առանցքի հատման կետերը՝ և . Միավորներ Ա 1 , Ա 2 , Բ 1, Բ 2կոչվում են էլիպսի գագաթները. Հատվածներ Ա 1 Ա 2Եվ B 1 B 2, ինչպես նաև դրանց երկարությունները 2 աև 2 բկոչված են համապատասխանաբար հիմնական և փոքր առանցքներէլիպս. Թվեր աԵվ բկոչվում են համապատասխանաբար մեծ և փոքր առանցքների լիսեռներէլիպս.

3. (11.7) հավասարումից հետևում է, որ ձախ կողմի յուրաքանչյուր անդամ չի գերազանցում մեկը, այսինքն. անհավասարությունները և կամ և տեղի են ունենում: Հետևաբար, էլիպսի բոլոր կետերը գտնվում են ուղիղ գծերով ձևավորված ուղղանկյունի ներսում:

4. (11.7) հավասարման մեջ ոչ բացասական անդամների գումարը և հավասար է մեկի: Հետևաբար, քանի որ մի տերմինը մեծանում է, մյուսը կնվազի, այսինքն, եթե ավելանում է, ապա նվազում է և հակառակը:

Վերոնշյալից հետևում է, որ էլիպսը ունի Նկ. 50 (օվալ փակ կոր):

Էլիպսի մասին լրացուցիչ տեղեկություններ

Էլիպսի ձևը կախված է հարաբերակցությունից: Երբ էլիպսը վերածվում է շրջանագծի, էլիպսի (11.7) հավասարումը ստանում է ձև: Հարաբերակցությունը հաճախ օգտագործվում է էլիպսի ձևը բնութագրելու համար: Կիզակետերի և էլիպսի կիսահիմնական առանցքի միջև հեռավորության կեսի հարաբերությունը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիկություն, իսկ o6o-ն՝ ε («էպսիլոն») տառով.

0-ի հետ<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Սա ցույց է տալիս, որ ինչքան փոքր լինի էլիպսի էքսցենտրիկությունը, այնքան էլիպսը ավելի քիչ հարթեցված կլինի; եթե սահմանենք ε = 0, ապա էլիպսը վերածվում է շրջանագծի։

Թող M(x;y) լինի էլիպսի կամայական կետ F 1 և F 2 օջախներով (տես նկ. 51): F 1 M = r 1 և F 2 M = r 2 հատվածների երկարությունները կոչվում են M կետի կիզակետային շառավիղներ։ Ակնհայտորեն,

Բանաձևերը պահպանվում են

Ուղղակի գծերը կոչվում են

Թեորեմ 11.1.Եթե ​​հեռավորությունն է էլիպսի կամայական կետից մինչև որոշ կիզակետ, d-ն հեռավորությունն է նույն կետից մինչև այս կիզակետին համապատասխանող ուղղագիծը, ապա հարաբերակցությունը հաստատուն արժեք է, որը հավասար է էլիպսի էքսցենտրիկությանը.

Հավասարությունից (11.6) հետևում է, որ . Եթե, ապա (11.7) հավասարումը սահմանում է էլիպս, որի հիմնական առանցքը գտնվում է Oy առանցքի վրա, իսկ փոքր առանցքը Ox առանցքի վրա (տես նկ. 52): Նման էլիպսի օջախները գտնվում են կետերում և , որտեղ .

11.4. Հիպերբոլա

Կանոնական հիպերբոլայի հավասարում

Հիպերբոլիա հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, դրանցից յուրաքանչյուրից մինչև այս հարթության երկու տրված կետերի հեռավորությունների տարբերության մոդուլը, որը կոչվում է. հնարքներ , հաստատուն արժեք է, որը պակաս է օջախների միջև եղած հեռավորությունից:

Նշենք ֆոկուսները ըստ F 1Եվ F 2նրանց միջև հեռավորությունը 2 վրկ, և հիպերբոլայի յուրաքանչյուր կետից մինչև միջանցիկ օջախների հեռավորությունների տարբերության մոդուլը 2 ա. A-priory 2 ա < 2 վրկ, այսինքն. ա < գ.

Հիպերբոլայի հավասարումը հանելու համար մենք ընտրում ենք կոորդինատային համակարգ, որպեսզի օջախները F 1Եվ F 2ընկած էր առանցքի վրա, և սկզբնաղբյուրը համընկավ հատվածի կեսին F 1 F 2(տես նկ. 53): Ապա օջախները կունենան կոորդինատներ և

Թող լինի հիպերբոլայի կամայական կետ: Այնուհետեւ, հիպերբոլայի սահմանման համաձայն կամ, այսինքն՝ պարզեցումներից հետո, ինչպես արվեց էլիպսի հավասարումը ստանալիս, մենք ստանում ենք. կանոնական հիպերբոլայի հավասարում

(11.9)

(11.10)

Հիպերբոլան երկրորդ կարգի գիծ է:

Հիպերբոլայի ձևի ուսումնասիրություն՝ օգտագործելով դրա հավասարումը

Եկեք սահմանենք հիպերբոլայի ձևը՝ օգտագործելով նրա սակավաբանական հավասարումը:

1. Հավասարումը (11.9) պարունակում է x և y միայն զույգ հզորություններով: Հետևաբար, հիպերբոլան սիմետրիկ է առանցքների և , ինչպես նաև այն կետի նկատմամբ, որը կոչվում է. հիպերբոլայի կենտրոնը.

2. Գտե՛ք հիպերբոլայի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ: Հավասարման մեջ դնելով (11.9)՝ մենք գտնում ենք հիպերբոլայի առանցքի հետ հատման երկու կետ՝ և. Տեղադրելով (11.9), մենք ստանում ենք, որը չի կարող լինել: Հետևաբար, հիպերբոլան չի հատում Oy առանցքը:

Կետերը կոչվում են գագաթները հիպերբոլաները և հատվածը

իրական առանցք , գծի հատված - իրական կիսաառանցք հիպերբոլիա.

Կետերը միացնող հատվածը կոչվում է երևակայական առանցք , թիվ բ - երևակայական կիսաառանցք . Կողմերով ուղղանկյուն 2 աԵվ 2բկանչեց հիպերբոլայի հիմնական ուղղանկյուն .

3. (11.9) հավասարումից հետևում է, որ մինուենդը մեկից պակաս չէ, այսինքն՝ այն կամ . Սա նշանակում է, որ հիպերբոլայի կետերը գտնվում են գծից աջ (հիպերբոլայի աջ ճյուղ) և գծից ձախ (հիպերբոլայի ձախ ճյուղ):

4. Հիպերբոլայի (11.9) հավասարումից պարզ է դառնում, որ երբ այն մեծանում է, այն մեծանում է: Սա բխում է այն փաստից, որ տարբերությունը պահպանում է մեկին հավասար հաստատուն արժեք։

Վերոնշյալից հետևում է, որ հիպերբոլան ունի Նկար 54-ում ներկայացված ձևը (կոր, որը բաղկացած է երկու անսահմանափակ ճյուղերից):

Հիպերբոլայի ասիմպտոտներ

L ուղիղ գիծը կոչվում է ասիմպտոտ անսահմանափակ K կորի, եթե K կորի M կետից d հեռավորությունը դեպի այս ուղիղ գիծը ձգտում է զրոյի, երբ M կետի հեռավորությունը K կորի երկայնքով սկզբնակետից անսահմանափակ է: Նկար 55-ում ներկայացված է ասիմպտոտի հայեցակարգը. ուղիղ L-ը ասիմպտոտ է K կորի համար:

Եկեք ցույց տանք, որ հիպերբոլան ունի երկու ասիմպտոտ.

(11.11)

Քանի որ ուղիղները (11.11) և հիպերբոլան (11.9) սիմետրիկ են կոորդինատային առանցքների նկատմամբ, բավական է դիտարկել նշված գծերի միայն այն կետերը, որոնք գտնվում են առաջին քառորդում։

Վերցնենք N կետ ուղիղ գծի վրա, որն ունի նույն աբսցիսա x, ինչ հիպերբոլայի կետը (տես Նկար 56), և գտի՛ր ՄՆ տարբերությունը ուղիղ գծի օրդինատների և հիպերբոլայի ճյուղերի միջև.

Ինչպես տեսնում եք, քանի որ x-ը մեծանում է, կոտորակի հայտարարը մեծանում է. համարիչը հաստատուն արժեք է: Հետեւաբար, հատվածի երկարությունը ՄՆ ձգտում է զրոյի: Քանի որ MՆ-ն ավելի մեծ է, քան d-ն M կետից ուղիղ ուղիղ, ապա d-ն ձգտում է զրոյի: Այսպիսով, գծերը հիպերբոլայի ասիմպտոտներն են (11.9):

Հիպերբոլա (11.9) կառուցելիս խորհուրդ է տրվում նախ կառուցել հիպերբոլայի հիմնական ուղղանկյունը (տես նկ. 57), գծել ուղիղ գծեր, որոնք անցնում են այս ուղղանկյան հակառակ գագաթներով՝ հիպերբոլայի ասիմպտոտները և նշել գագաթները և . հիպերբոլայի.

Հավասարակողմ հիպերբոլայի հավասարումը.

որոնց ասիմպտոտներն են կոորդինատային առանցքները

Հիպերբոլան (11.9) կոչվում է հավասարակողմ, եթե նրա կիսաառանցքները հավասար են (): Դրա կանոնական հավասարումը

(11.12)

Հավասարակողմ հիպերբոլայի ասիմպտոտներն ունեն հավասարումներ և, հետևաբար, կոորդինատային անկյունների կիսորդներ են:

Դիտարկենք այս հիպերբոլայի հավասարումը նոր կոորդինատային համակարգում (տե՛ս նկ. 58), որը ստացվել է հինից՝ կոորդինատային առանցքները անկյան տակ պտտելով։ Մենք օգտագործում ենք կոորդինատային առանցքների պտտման բանաձևերը.

Մենք x-ի և y-ի արժեքները փոխարինում ենք հավասարման մեջ (11.12).

Հավասարակողմ հիպերբոլայի հավասարումը, որի համար Ox և Oy առանցքները ասիմպտոտներ են, կունենա ձև:

Լրացուցիչ տեղեկություններ հիպերբոլիայի մասին

Էքսցենտրիկություն հիպերբոլան (11.9) ֆոկուսների միջև հեռավորության հարաբերությունն է հիպերբոլայի իրական առանցքի արժեքին, որը նշվում է ε.

Քանի որ հիպերբոլայի համար հիպերբոլայի էքսցենտրիկությունը մեկից մեծ է. Էքսցենտրիկությունը բնութագրում է հիպերբոլայի ձևը: Իսկապես, հավասարությունից (11.10) հետևում է, որ ի. Եվ .

Այստեղից երևում է, որ որքան փոքր է հիպերբոլայի էքսցենտրիսիտետը, այնքան փոքր է նրա կիսաառանցքների հարաբերակցությունը և, հետևաբար, ավելի երկարացված է նրա հիմնական ուղղանկյունը։

Հավասարակողմ հիպերբոլայի էքսցենտրիկությունը հավասար է. Իսկապես,

Կիզակետային շառավիղներ Եվ Աջ ճյուղի կետերի համար հիպերբոլաներն ունեն և ձևը, իսկ ձախ ճյուղի համար՝ Եվ .

Ուղիղ գծերը կոչվում են հիպերբոլայի ուղղորդիչներ: Քանի որ ε > 1 հիպերբոլայի համար, ապա . Սա նշանակում է, որ աջ ուղղագիծը գտնվում է հիպերբոլայի կենտրոնի և աջ գագաթի միջև, ձախը՝ կենտրոնի և ձախ գագաթի միջև:

Հիպերբոլայի ուղղորդիչներն ունեն նույն հատկությունը, ինչ էլիպսի ուղղորդիչները:

Հավասարմամբ սահմանված կորը նույնպես հիպերբոլա է, որի իրական առանցքը 2b գտնվում է Oy առանցքի վրա, իսկ երևակայական առանցքը 2. ա- Եզերի առանցքի վրա: Նկար 59-ում այն ​​ներկայացված է որպես կետագիծ:

Ակնհայտ է, որ հիպերբոլաներն ունեն ընդհանուր ասիմպտոտներ։ Նման հիպերբոլաները կոչվում են կոնյուգատ։

11.5. Պարաբոլա

Կանոնական պարաբոլայի հավասարում

Պարաբոլան հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասարապես հեռու է տվյալ կետից, որը կոչվում է կիզակետ, և տրված ուղիղը, որը կոչվում է ուղղագիծ: F կիզակետից մինչև ուղղագիծ հեռավորությունը կոչվում է պարաբոլայի պարամետր և նշվում է p-ով (p > 0):

Պարաբոլայի հավասարումը դուրս բերելու համար մենք ընտրում ենք Oxy կոորդինատային համակարգը, որպեսզի Ox առանցքն անցնի F կիզակետով ուղղահայաց ուղղահայաց ուղղահայացից դեպի F ուղղությամբ, իսկ O կոորդինատների սկզբնաղբյուրը գտնվում է միջնամասում: ֆոկուսը և ուղղաձիգը (տես նկ. 60): Ընտրված համակարգում F կիզակետն ունի կոորդինատներ, իսկ ուղղաձիգ հավասարումը ունի ձև, կամ:

1. (11.13) հավասարման մեջ y փոփոխականը հայտնվում է զույգ աստիճանով, ինչը նշանակում է, որ պարաբոլան սիմետրիկ է Ox առանցքի նկատմամբ; Ox առանցքը պարաբոլայի համաչափության առանցքն է։

2. Քանի որ ρ > 0, (11.13)-ից հետևում է, որ . Հետևաբար պարաբոլան գտնվում է Oy առանցքի աջ կողմում։

3. Երբ ունենք y = 0։ Հետևաբար պարաբոլան անցնում է սկզբնավորմամբ։

4. Քանի որ x-ն անորոշ ժամանակով մեծանում է, y մոդուլը նույնպես անորոշ ժամանակով մեծանում է: Պարաբոլան ունի 61-րդ նկարում ներկայացված ձևը (ձևը): O(0; 0) կետը կոչվում է պարաբոլայի գագաթ, FM = r հատվածը կոչվում է M կետի կիզակետային շառավիղ:

Հավասարումներ, , ( p>0) նաև սահմանում են պարաբոլաները, դրանք ներկայացված են Նկար 62-ում

Հեշտ է ցույց տալ, որ գրաֆիկը քառակուսի եռանկյուն, որտեղ B-ն և C-ն ցանկացած իրական թվեր են, պարաբոլա է վերևում տրված իր սահմանման իմաստով:

11.6. Երկրորդ կարգի տողերի ընդհանուր հավասարումը

Երկրորդ կարգի կորերի հավասարումներ կոորդինատային առանցքներին զուգահեռ համաչափության առանցքներով

Նախ գտնենք կենտրոն ունեցող էլիպսի հավասարումը այն կետում, որի համաչափության առանցքները զուգահեռ են Ox և Oy կոորդինատային առանցքներին, իսկ կիսաառանցքները համապատասխանաբար հավասար են. աԵվ բ. O 1 էլիպսի կենտրոնում տեղադրենք նոր կոորդինատային համակարգի սկիզբը, որի առանցքներն ու կիսաառանցքները. աԵվ բ(տես նկ. 64):

Վերջապես, Նկար 65-ում ներկայացված պարաբոլները ունեն համապատասխան հավասարումներ:

Հավասարումը

Էլիպսի, հիպերբոլայի, պարաբոլայի և փոխակերպումներից հետո շրջանագծի հավասարումները (բաց փակագծերը, հավասարման բոլոր անդամները տեղափոխեք մի կողմ, բերեք նմանատիպ անդամներ, ներմուծեք գործակիցների նոր նշումներ) կարելի է գրել մեկ հավասարման միջոցով։ ձեւը

որտեղ A և C գործակիցները միաժամանակ հավասար չեն զրոյի.

Հարց է առաջանում՝ (11.14) ձևի յուրաքանչյուր հավասարում որոշո՞ւմ է երկրորդ կարգի կորերից մեկը (շրջան, էլիպս, հիպերբոլա, պարաբոլա)։ Պատասխանը տրվում է հետևյալ թեորեմով.

Թեորեմ 11.2. Հավասարումը (11.14) միշտ սահմանում է՝ կամ շրջան (A = C-ի համար), կամ էլիպս (A C > 0-ի համար), կամ հիպերբոլա (A C-ի համար):< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Ընդհանուր երկրորդ կարգի հավասարում

Եկեք հիմա դիտարկենք ընդհանուր հավասարումըերկրորդ աստիճան երկու անհայտով.

Այն (11.14) հավասարումից տարբերվում է կոորդինատների արտադրյալով անդամի առկայությամբ (B¹ 0): Կարելի է կոորդինատների առանցքները a անկյան տակ պտտելով փոխակերպել այս հավասարումը այնպես, որ կոորդինատների արտադրյալով տերմինը բացակայի։

Օգտագործելով առանցքի պտտման բանաձևերը

Հին կոորդինատներն արտահայտենք նորերով.

Եկեք ընտրենք a անկյունը, որպեսզի x" · y"-ի գործակիցը դառնա զրո, այսինքն՝ հավասարությունը

Այսպիսով, երբ առանցքները պտտվում են a անկյունով, որը բավարարում է պայմանը (11.17), հավասարումը (11.15) վերածվում է (11.14) հավասարման:

ԵզրակացությունԸնդհանուր երկրորդ կարգի հավասարումը (11.15) հարթության վրա սահմանում է (բացառությամբ դեգեներացիայի և քայքայման դեպքերի) հետևյալ կորերը՝ շրջան, էլիպս, հիպերբոլա, պարաբոլա։

Նշում. Եթե A = C, ապա (11.17) հավասարումը դառնում է անիմաստ: Այս դեպքում cos2α = 0 (տես (11.16)), ապա 2α = 90°, այսինքն. α = 45°: Այսպիսով, երբ A = C, կոորդինատային համակարգը պետք է պտտվի 45°-ով:

Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնցից յուրաքանչյուրից մինչև երկու տրված F_1 կետերի հեռավորությունների գումարը, իսկ F_2-ը հաստատուն արժեք է (2a) ավելի մեծ, քան դրանց միջև եղած հեռավորությունը (2c): տրված միավորներ(նկ. 3.36, ա): Այս երկրաչափական սահմանումն արտահայտում է Էլիպսի կիզակետային հատկությունը.

Էլիպսի կիզակետային հատկությունը

F_1 և F_2 կետերը կոչվում են էլիպսի կիզակետեր, նրանց միջև հեռավորությունը 2c=F_1F_2 կիզակետային երկարությունն է, F_1F_2 հատվածի միջին O-ը էլիպսի կենտրոնն է, 2ա թիվը՝ հիմնական առանցքի երկարությունը: էլիպս (համապատասխանաբար, ա թիվը էլիպսի կիսահիմնական առանցքն է)։ Էլիպսի կամայական M կետը նրա օջախներով միացնող F_1M և F_2M հատվածները կոչվում են M կետի կիզակետային շառավիղներ։ Էլիպսի երկու կետերը միացնող հատվածը կոչվում է էլիպսի ակորդ։

e=\frac(c)(a) հարաբերակցությունը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիկություն։ Սահմանումից (2a>2c) հետևում է, որ 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Էլիպսի երկրաչափական սահմանումը, արտահայտելով իր կիզակետային հատկությունը, համարժեք է իր վերլուծական սահմանմանը` էլիպսի կանոնական հավասարմամբ տրված գիծը.

Իսկապես, եկեք ներկայացնենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ (նկ. 3.36c): Որպես կոորդինատային համակարգի սկզբնակետ վերցնում ենք էլիպսի O կենտրոնը; որպես աբսցիսայի առանցք ընդունում ենք կիզակետերով (կիզակետային առանցք կամ էլիպսի առաջին առանցք) անցնող ուղիղ գիծը (դրա վրա դրական ուղղությունը F_1 կետից F_2 կետն է); Եկեք վերցնենք կիզակետային առանցքին ուղղահայաց և որպես օրդինատների առանցք էլիպսի կենտրոնով անցնող ուղիղ գիծ (օրդինատների առանցքի ուղղությունը ընտրված է այնպես, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը Oxy ճիշտ է) .

Եկեք հավասարում ստեղծենք էլիպսի համար՝ օգտագործելով նրա երկրաչափական սահմանումը, որն արտահայտում է կիզակետային հատկությունը։ Ընտրված կոորդինատային համակարգում մենք որոշում ենք օջախների կոորդինատները F_1(-c,0),~F_2(c,0). Էլիպսին պատկանող կամայական M(x,y) կետի համար ունենք.

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Այս հավասարությունը կոորդինատային ձևով գրելով՝ ստանում ենք.

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Երկրորդ ռադիկալը տեղափոխում ենք աջ կողմ, հավասարման երկու կողմերը քառակուսի ենք տալիս և բերում նմանատիպ տերմիններ.

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Ձախ աջ սլաք ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Բաժանելով 4-ի, մենք քառակուսի ենք դնում հավասարման երկու կողմերը.

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Ձախ աջ սլաք~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2):

Նշանակվելով b=\sqrt(a^2-c^2)>0, ստանում ենք b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Երկու կողմերը բաժանելով a^2b^2\ne0-ի` հասնում ենք էլիպսի կանոնական հավասարմանը.

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Հետևաբար, ընտրված կոորդինատային համակարգը կանոնական է:

Եթե ​​էլիպսի օջախները համընկնում են, ապա էլիպսը շրջանագիծ է (նկ. 3.36,6), քանի որ a=b. Այս դեպքում ցանկացած ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, որն ունի սկզբնակետը, կանոնական կլինի O\equiv F_1\equiv F_2, իսկ x^2+y^2=a^2 հավասարումը շրջանագծի հավասարումն է, որի կենտրոնը O կետում է և շառավիղը հավասար է a-ին:

Պատճառաբանելով հակառակ կարգը, կարելի է ցույց տալ, որ բոլոր կետերը, որոնց կոորդինատները բավարարում են (3.49) հավասարումը, և միայն նրանք, պատկանում են էլիպս կոչվող կետերի երկրաչափական տեղանքին։ Այլ կերպ ասած, էլիպսի վերլուծական սահմանումը համարժեք է նրա երկրաչափական սահմանմանը, որն արտահայտում է էլիպսի կիզակետային հատկությունը։

Էլիպսի դիրեկտորական սեփականություն

Էլիպսի ուղղորդիչները երկու ուղիղներ են, որոնք զուգահեռ են կանոնական կոորդինատային համակարգի օրդինատների առանցքին՝ նրանից նույն \frac(a^2)(c) հեռավորության վրա։ c=0 դեպքում, երբ էլիպսը շրջանագիծ է, ուղղորդիչներ չկան (կարող ենք ենթադրել, որ ուղղորդիչները գտնվում են անվերջության վրա):

Էլիպս էքսցենտրիկությամբ 0 հարթության կետերի տեղանքը, որոնցից յուրաքանչյուրի համար տրված F կետի հեռավորության հարաբերությունը (կենտրոնացում) և տվյալ կետով չանցնող d (ուղղակի) ուղիղ գծի հեռավորությունը հաստատուն է և հավասար է արտակենտրոնությանը ե ( Էլիպսի ռեժիսորական սեփականություն). Այստեղ F-ը և d-ն էլիպսի օջախներից են և նրա ուղղորդիչներից մեկը, որը գտնվում է կանոնական կոորդինատային համակարգի օրդինատային առանցքի մի կողմում, այսինքն. F_1,d_1 կամ F_2,d_2:

Փաստորեն, օրինակ, ֆոկուս F_2-ի և d_2 ուղղորդիչի համար (նկ. 3.37,6) պայմանը. \frac(r_2)(\rho_2)=eկարելի է գրել կոորդինատային ձևով.

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\աջ)

Ազատվել իռացիոնալությունից և փոխարինել e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, մենք հասնում ենք կանոնական էլիպսի հավասարմանը (3.49): Նմանատիպ հիմնավորում կարող է իրականացվել ֆոկուս F_1-ի և ռեժիսորի համար d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Էլիպսի հավասարումը բևեռային կոորդինատային համակարգում

F_1r\varphi բևեռային կոորդինատային համակարգում էլիպսի հավասարումը (նկ. 3.37, c և 3.37 (2)) ունի ձև.

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

որտեղ p=\frac(b^2)(a) էլիպսի կիզակետային պարամետրն է:

Փաստորեն, որպես բևեռային կոորդինատային համակարգի բևեռ ընտրենք էլիպսի ձախ կիզակետը F_1, իսկ որպես բևեռային առանցք F_1F_2 ճառագայթը (նկ. 3.37, գ): Այնուհետև M(r,\varphi) կամայական կետի համար, ըստ էլիպսի երկրաչափական սահմանման (կիզակետային հատկության), ունենք r+MF_2=2a։ Մենք արտահայտում ենք M(r,\varphi) և F_2(2c,0) կետերի միջև հեռավորությունը (տե՛ս 2.8 դիտողությունների 2-րդ պարբերությունը).

\սկիզբ (հավասարեցված)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2):\ end (հավասարեցված)

Հետևաբար կոորդինատային ձևով էլիպսի հավասարումը F_1M+F_2M=2a ունի ձև.

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Մենք մեկուսացնում ենք ռադիկալը, հավասարման երկու կողմերը քառակուսի, բաժանում ենք 4-ի և ներկայացնում նմանատիպ տերմիններ.

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Արտահայտեք բևեռային շառավիղը r և կատարեք փոխարինումը e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Ձախ աջ սլաք \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Ձախ աջ սլաք \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Ք.Ե.Դ.

Էլիպսի հավասարման գործակիցների երկրաչափական նշանակությունը

Գտնենք էլիպսի հատման կետերը (տե՛ս նկ. 3.37ա) կոորդինատային առանցքների հետ (էլիպսի գագաթները): Փոխարինելով y=0 հավասարման մեջ՝ գտնում ենք էլիպսի հատման կետերը աբսցիսային առանցքի հետ (կիզակետային առանցքով). x=\pm a. Հետևաբար, էլիպսի ներսում պարունակվող կիզակետային առանցքի հատվածի երկարությունը հավասար է 2 ա: Այս հատվածը, ինչպես նշվեց վերևում, կոչվում է էլիպսի հիմնական առանցք, իսկ a թիվը էլիպսի կիսամեծ առանցքն է։ Փոխարինելով x=0՝ ստանում ենք y=\pm b. Հետեւաբար, էլիպսի ներսում պարունակվող էլիպսի երկրորդ առանցքի հատվածի երկարությունը հավասար է 2b-ի։ Այս հատվածը կոչվում է էլիպսի փոքր առանցք, իսկ b թիվը էլիպսի կիսանոր առանցքն է։

Իսկապես, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, իսկ b=a հավասարությունը ստացվում է միայն c=0 դեպքում, երբ էլիպսը շրջանագիծ է։ Վերաբերմունք k=\frac(b)(a)\leqslant1կոչվում է էլիպսի սեղմման հարաբերակցություն:

Ծանոթագրություններ 3.9

1. x=\pm a,~y=\pm b ուղիղները սահմանափակում են կոորդինատային հարթության գլխավոր ուղղանկյունը, որի ներսում էլիպս կա (տե՛ս նկ. 3.37, ա):

2. Էլիպսը կարող է սահմանվել որպես կետերի տեղանքը, որը ստացվում է շրջանագծի տրամագծին սեղմելով:

Իսկապես, Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում շրջանագծի հավասարումը լինի x^2+y^2=a^2: Երբ սեղմվում է x առանցքի վրա 0 գործակցով

\սկիզբ(դեպքեր)x"=x,\\y"=k\cdot y.\վերջ (դեպքեր)

Հավասարման մեջ փոխարինելով x=x" և y=\frac(1)(k)y" շրջանակները, մենք ստանում ենք M(x,y) կետի M"(x",y") պատկերի կոորդինատների հավասարումը: ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\աջ)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

քանի որ b=k\cdot a . Սա էլիպսի կանոնական հավասարումն է։

3. Կոորդինատային առանցքները (կանոնական կոորդինատային համակարգի) էլիպսի համաչափության առանցքներն են (կոչվում են էլիպսի հիմնական առանցքներ), իսկ կենտրոնը համաչափության կենտրոնն է։

Իսկապես, եթե M(x,y) կետը պատկանում է էլիպսին: ապա M»(x,-y) և M»»(-x,y) կետերը, որոնք համաչափ են կոորդինատային առանցքների նկատմամբ M կետին, նույնպես պատկանում են նույն էլիպսին։

4. Բեւեռային կոորդինատային համակարգում էլիպսի հավասարումից r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(տե՛ս նկ. 3.37, գ), պարզվում է երկրաչափական իմաստկիզակետային պարամետրը կիզակետային առանցքին ուղղահայաց կիզակետով անցնող էլիպսի ակորդի երկարության կեսն է (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Էքսցենտրիկությունը e-ն բնութագրում է էլիպսի ձևը, այն է՝ էլիպսի և շրջանագծի տարբերությունը։ Որքան մեծ է e-ն, այնքան էլիպսը երկարացված է, և որքան e-ն մոտ է զրոյին, այնքան էլիպսը մոտ է շրջանագծին (նկ. 3.38ա): Իսկապես, հաշվի առնելով, որ e=\frac(c)(a) և c^2=a^2-b^2 մենք ստանում ենք.

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\աջ )\^2=1-k^2, !}

որտեղ k-ն էլիպսի սեղմման հարաբերակցությունն է, 0

6. Հավասարում \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ժամը ա

7. Հավասարում \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bսահմանում է O"(x_0,y_0) կետով կենտրոն ունեցող էլիպս, որի առանցքները զուգահեռ են կոորդինատային առանցքներին (նկ. 3.38, գ): Այս հավասարումը վերածվում է կանոնականի` օգտագործելով զուգահեռ թարգմանությունը (3.36):

Երբ a=b=R հավասարումը (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2նկարագրում է R շառավղով շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է O» (x_0,y_0) կետում:

Էլիպսի պարամետրային հավասարումը

Էլիպսի պարամետրային հավասարումըկանոնական կոորդինատային համակարգում ունի ձև

\սկիզբ(դեպքեր)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(դեպքեր)0\leqslant t<2\pi.

Իրոք, այս արտահայտությունները փոխարինելով (3.49) հավասարումով, մենք հասնում ենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությանը \cos^2t+\sin^2t=1:

Օրինակ 3.20.Նկարեք էլիպս \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1կանոնական կոորդինատային համակարգում Oxy. Գտեք կիսաառանցքները, կիզակետային երկարությունը, էքսցենտրիկությունը, սեղմման հարաբերակցությունը, կիզակետային պարամետրը, ուղղաձիգ հավասարումները:

Լուծում.Համեմատելով տրված հավասարումը կանոնականի հետ՝ որոշում ենք կիսաառանցքները՝ a=2՝ կիսամեծ առանցք, b=1՝ էլիպսի կիսափոքր առանցք։ 2a=4,~2b=2 կողմերով գլխավոր ուղղանկյունը կառուցում ենք սկզբնամասում կենտրոնով (նկ. 3.39): Հաշվի առնելով էլիպսի համաչափությունը՝ այն տեղավորում ենք հիմնական ուղղանկյունի մեջ։ Անհրաժեշտության դեպքում որոշեք էլիպսի որոշ կետերի կոորդինատները: Օրինակ, x=1-ը փոխարինելով էլիպսի հավասարման մեջ՝ ստանում ենք

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Ձախ աջ սլաք \քառասուն y^2=\frac(3)(4) \քառյակ \Ձախ աջ սլաք \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2):

Ուստի կոորդինատներով կետեր \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\աջ)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\աջ)- պատկանում է էլիպսին:

Սեղմման հարաբերակցության հաշվարկ k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); կիզակետային երկարությունը 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); էքսցենտրիկություն e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); կիզակետային պարամետր p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Մենք կազմում ենք ուղղահայաց հավասարումներ. x=\pm\frac(a^2)(c)~\Ձախ աջ սլաք~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Javascript-ն անջատված է ձեր դիտարկիչում:
Հաշվարկներ կատարելու համար դուք պետք է ակտիվացնեք ActiveX կառավարները: