Էլիպսի հավասարումը պարամետրային ձևով. Էլիպսային սեփականության սահմանման կառուցում

Սահմանում 7.1.Հարթության բոլոր կետերի բազմությունը, որոնց համար երկու ֆիքսված F 1 և F 2 կետերի հեռավորությունների գումարը տրված հաստատուն արժեք է, կոչվում է. էլիպս.

Էլիպսի սահմանումը տալիս է նրա երկրաչափական կառուցման հետևյալ մեթոդը. Հարթության վրա ամրացնում ենք երկու F 1 և F 2 կետեր, իսկ ոչ բացասական հաստատուն արժեքը նշում ենք 2ա-ով։ F 1 և F 2 կետերի միջև հեռավորությունը թող լինի 2c: Պատկերացնենք, որ F 1 և F 2 կետերում ամրացված է 2ա երկարությամբ չերկարացող թել, օրինակ՝ օգտագործելով երկու ասեղ։ Հասկանալի է, որ դա հնարավոր է միայն ≥ c. Թելը մատիտով քաշելով՝ գծեք գիծ, ​​որը կլինի էլիպս (նկ. 7.1):

Այսպիսով, նկարագրված բազմությունը դատարկ չէ, եթե a ≥ c. Երբ a = c, էլիպսը F 1 և F 2 ծայրերով հատված է, իսկ երբ c = 0, այսինքն. Եթե ​​էլիպսի սահմանման մեջ նշված ֆիքսված կետերը համընկնում են, ապա դա a շառավղով շրջան է։ Անտեսելով այս այլասերված դեպքերը՝ մենք հետագայում, որպես կանոն, կենթադրենք, որ a > c > 0:

Էլիպսի 7.1 սահմանման F 1 և F 2 ֆիքսված կետերը (տես նկ. 7.1) կոչվում են. էլիպսային օջախներ, նրանց միջև հեռավորությունը, որը նշված է 2c-ով, - կիզակետային երկարությունըև F 1 M և F 2 M հատվածները, որոնք կապում են էլիպսի կամայական M կետն իր օջախներով. կիզակետային շառավիղներ.

Էլիպսի ձևն ամբողջությամբ որոշվում է կիզակետային երկարությամբ |F 1 F 2 | = 2c և պարամետր a, և դրա դիրքը հարթության վրա՝ զույգ F 1 և F 2 կետեր:

Էլիպսի սահմանումից հետևում է, որ այն սիմետրիկ է F 1 և F 2 օջախներով անցնող գծի նկատմամբ, ինչպես նաև F 1 F 2 հատվածը կիսով չափ բաժանող և դրան ուղղահայաց գծի նկատմամբ։ (նկ. 7.2, ա): Այս տողերը կոչվում են էլիպսային կացիններ. Նրանց հատման O կետը էլիպսի համաչափության կենտրոնն է, և այն կոչվում է էլիպսի կենտրոնը, և էլիպսի հատման կետերը համաչափության առանցքների հետ (Նկար 7.2-ում A, B, C և D կետերը) - էլիպսի գագաթները.

Ա թիվը կոչվում է Էլիպսի կիսահիմնական առանցքը, և b = √(a 2 - c 2) - իր փոքր առանցք. Հեշտ է տեսնել, որ c > 0-ի դեպքում, a կիսահիմնական առանցքը հավասար է էլիպսի կենտրոնից մինչև նրա գագաթների հեռավորությանը, որոնք գտնվում են էլիպսի կիզակետերի հետ նույն առանցքի վրա (A և B գագաթները): 7.2-ում, ա), իսկ կիսափոքր առանցքը b հավասար է կենտրոնական էլիպսից մինչև իր երկու մյուս գագաթների հեռավորությանը (Նկար 7.2-ում C և D գագաթները):

Էլիպսի հավասարում.Դիտարկենք հարթության վրա մի քանի էլիպս, որի ֆոկուսները գտնվում են F 1 և F 2 կետերում, հիմնական առանցք 2a: Թող 2c լինի կիզակետային երկարությունը, 2c = |F 1 F 2 |

Եկեք հարթության վրա ընտրենք Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, որպեսզի դրա սկզբնաղբյուրը համընկնի էլիպսի կենտրոնի հետ, իսկ կիզակետերը լինեն x առանցք(նկ. 7.2, բ): Նման կոորդինատային համակարգը կոչվում է կանոնականխնդրո առարկա էլիպսի համար, և համապատասխան փոփոխականներն են կանոնական.

Ընտրված կոորդինատային համակարգում օջախներն ունեն F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) կոորդինատներ: Կետերի միջև հեռավորության բանաձևով գրում ենք պայմանը |F 1 M| + |F 2 M| = 2a կոորդինատներով.

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a: (7.2)

Այս հավասարումը անհարմար է, քանի որ այն պարունակում է երկու քառակուսի ռադիկալ: Այսպիսով, եկեք վերափոխենք այն: Տեղափոխենք (7.2) հավասարման երկրորդ ռադիկալը աջ կողմև քառակուսի:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Փակագծերը բացելուց և նմանատիպ տերմիններ բերելուց հետո ստանում ենք

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

որտեղ ε = c/a. Երկրորդ ռադիկալը հեռացնելու համար մենք կրկնում ենք քառակուսի գործողությունը. (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, կամ, հաշվի առնելով ε մուտքագրված պարամետրի արժեքը, (a 2 - c 2): ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2: Քանի որ a 2 - c 2 = b 2 > 0, ապա

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Հավասարումը (7.4) բավարարվում է էլիպսի վրա ընկած բոլոր կետերի կոորդինատներով։ Բայց այս հավասարումը դուրս բերելիս օգտագործվել են սկզբնական (7.2) հավասարման ոչ համարժեք փոխակերպումները՝ երկու քառակուսի, որոնք հեռացնում են քառակուսի ռադիկալները: Հավասարումը քառակուսի դարձնելը համարժեք փոխակերպում է, եթե երկու կողմերն էլ ունեն նույն նշանով մեծություններ, բայց մենք դա չենք ստուգել մեր փոխակերպումների մեջ:

Մենք կարող ենք խուսափել փոխակերպումների համարժեքության ստուգումից, եթե հաշվի առնենք հետևյալը. Մի զույգ կետեր F 1 և F 2, |F 1 F 2 | = 2c, հարթության վրա սահմանում է էլիպսների ընտանիք այս կետերում օջախներով: Հարթության յուրաքանչյուր կետ, բացառությամբ F 1 F 2 հատվածի կետերի, պատկանում է նշված ընտանիքի ինչ-որ էլիպսի։ Այս դեպքում երկու էլիպս չեն հատվում, քանի որ կիզակետային շառավիղների գումարը եզակիորեն որոշում է կոնկրետ էլիպս։ Այսպիսով, առանց խաչմերուկների էլիպսների նկարագրված ընտանիքը ծածկում է ամբողջ հարթությունը, բացառությամբ F 1 F 2 հատվածի կետերի: Դիտարկենք կետերի մի շարք, որոնց կոորդինատները բավարարում են (7.4) հավասարումը a պարամետրի տրված արժեքով: Կարո՞ղ է այս հավաքածուն բաշխվել մի քանի էլիպսների միջև: Բազմության որոշ կետեր պատկանում են a կիսահիմնական առանցքով էլիպսի: Թող այս բազմության մեջ լինի կետ, որը ընկած է կիսահիմնական առանցքով a էլիպսի վրա: Այնուհետև այս կետի կոորդինատները ենթարկվում են հավասարմանը

դրանք. (7.4) և (7.5) հավասարումները ունեն ընդհանուր լուծումներ. Այնուամենայնիվ, հեշտ է ստուգել, ​​որ համակարգը

ã ≠ a-ի համար լուծումներ չունի: Դա անելու համար բավական է բացառել, օրինակ, x-ը առաջին հավասարումից.

որը փոխակերպումներից հետո հանգեցնում է հավասարման

որը չունի ã ≠ a-ի լուծումներ, քանի որ . Այսպիսով, (7.4) էլիպսի հավասարումն է a > 0 կիսամեծ առանցքով և b =√(a 2 - c 2) > 0 կիսամյակային առանցքով: Այն կոչվում է. կանոնական էլիպսային հավասարում.

Էլիպսային տեսք.Վերևում քննարկված էլիպսի կառուցման երկրաչափական մեթոդը բավարար պատկերացում է տալիս տեսքըէլիպս. Բայց էլիպսի ձևը կարելի է ուսումնասիրել նաև՝ օգտագործելով նրա կանոնական հավասարումը (7.4): Օրինակ՝ կարելի է, ենթադրելով y ≥ 0, y-ը x-ով արտահայտել՝ y = b√(1 - x 2 /a 2) և, ուսումնասիրելով այս ֆունկցիան, կառուցել դրա գրաֆիկը: Էլիպս կառուցելու ևս մեկ տարբերակ կա. Էլիպսի (7.4) կանոնական կոորդինատային համակարգի սկզբնակետով a շառավղով շրջանագիծը նկարագրվում է x 2 + y 2 = a 2 հավասարմամբ: Եթե ​​այն սեղմված է երկայնքով a/b > 1 գործակցով y առանցք, ապա դուք ստանում եք կոր, որը նկարագրված է x 2 + (ya/b) 2 = a 2, այսինքն՝ էլիպս հավասարումով։

Դիտողություն 7.1.Եթե ​​նույն շրջանագիծը սեղմված է a/b գործակցով

Էլիպսային էքսցենտրիկություն. Էլիպսի կիզակետային երկարության և նրա հիմնական առանցքի հարաբերությունը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիկությունև նշվում է ε. Տրված էլիպսի համար

կանոնական հավասարումը (7.4), ε = 2c/2a = c/a: Եթե ​​(7.4)-ում a և b պարամետրերը կապված են a անհավասարությամբ

Երբ c = 0, երբ էլիպսը վերածվում է շրջանագծի, և ε = 0: Այլ դեպքերում, 0

Հավասարումը (7.3) համարժեք է (7.4) հավասարմանը, քանի որ (7.4) և (7.2) հավասարումները համարժեք են: Ուստի էլիպսի հավասարումը նույնպես (7.3) է։ Բացի այդ, կապը (7.3) հետաքրքիր է, քանի որ երկարության |F 2 M| էլիպսի M(x; y) կետի կիզակետային շառավիղներից մեկը՝ |F 2 M| = a + εx.

Երկրորդ կիզակետային շառավիղի համանման բանաձև կարելի է ստանալ սիմետրիայի նկատառումներից կամ կրկնելով հաշվարկները, որոնցում մինչև քառակուսի հավասարումը (7.2), առաջին ռադիկալը փոխանցվում է աջ կողմ, և ոչ թե երկրորդը: Այսպիսով, M(x; y) ցանկացած կետի համար էլիպսի վրա (տես Նկար 7.2):

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

և այս հավասարումներից յուրաքանչյուրը էլիպսի հավասարում է:

Օրինակ 7.1.Գտնենք 5 կիսամյակային առանցքով և 0,8 էքսցենտրիկությամբ էլիպսի կանոնական հավասարումը և կառուցենք այն։

Իմանալով a = 5 էլիպսի կիսամեծ առանցքը և ε = 0,8 էքսցենտրիկությունը, մենք կգտնենք նրա կիսափոքր առանցքը b: Քանի որ b = √(a 2 - c 2), և c = εa = 4, ապա b = √(5 2 - 4 2) = 3: Այսպիսով, կանոնական հավասարումն ունի x 2 /5 2 + y 2 /3 ձևը: 2 = 1. Էլիպս կառուցելու համար հարմար է կանոնական կոորդինատային համակարգի սկզբնամասում կենտրոնով ուղղանկյուն գծել, որի կողմերը զուգահեռ են էլիպսի համաչափության առանցքներին և հավասար են դրա համապատասխան առանցքներին (նկ. 7.4): Այս ուղղանկյունը հատվում է

էլիպսի առանցքներն իր գագաթներում՝ A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), իսկ էլիպսը ինքնին գրված է դրանում: Նկ. 7.4-ը ցույց է տալիս նաև էլիպսի F 1.2 (±4; 0) օջախները:

Էլիպսի երկրաչափական հատկությունները.Եկեք վերաշարադրենք (7.6) առաջին հավասարումը որպես |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Նշենք, որ a/ε - x արժեքը a > c-ի համար դրական է, քանի որ F 1 կիզակետը չի պատկանում էլիպսին: Այս արժեքը ներկայացնում է d ուղղահայաց գծի հեռավորությունը. x = a/ε այս գծի ձախ կողմում գտնվող M(x; y) կետից: Էլիպսի հավասարումը կարելի է գրել այսպես

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Նշանակում է, որ այս էլիպսը բաղկացած է հարթության այն կետերից M(x; y), որոնց համար F 1 M կիզակետային շառավիղի երկարության հարաբերությունը դեպի ուղիղ d հեռավորությունը հաստատուն արժեք է, որը հավասար է ε-ին (նկ. 7.5):

Ուղիղ d-ն ունի «կրկնակի»՝ ուղղահայաց ուղիղ d, սիմետրիկ d-ի նկատմամբ էլիպսի կենտրոնի նկատմամբ, որը տրված է x = -a/ε հավասարմամբ: d-ի նկատմամբ էլիպսը նկարագրված է. նույն կերպ, ինչ վերաբերում է դ. Երկու տողերն էլ d և d» են կոչվում էլիպսի ուղղորդիչներ. Էլիպսի ուղղաձիգները ուղղահայաց են էլիպսի համաչափության առանցքին, որի վրա գտնվում են նրա օջախները, և հեռանում են էլիպսի կենտրոնից a/ε = a 2 /c հեռավորության վրա (տես նկ. 7.5):

p հեռավորությունը ուղղորդիչից մինչև իրեն ամենամոտ կիզակետը կոչվում է էլիպսի կիզակետային պարամետր. Այս պարամետրը հավասար է

p = a / ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c

Էլիպսն ունի ևս մեկ կարևոր երկրաչափական հատկություն՝ F 1 M և F 2 M կիզակետային շառավիղները M կետում էլիպսի շոշափողին հավասար անկյուններ են կազմում (նկ. 7.6):

Այս գույքն ունի հստակ ֆիզիկական իմաստ. Եթե ​​լույսի աղբյուրը տեղադրված է F 1 կիզակետում, ապա այս ֆոկուսից առաջացող ճառագայթը, էլիպսից արտացոլվելուց հետո, կգնա երկրորդ կիզակետային շառավղով, քանի որ անդրադարձումից հետո այն կլինի կորի նույն անկյան տակ, ինչ մինչ արտացոլումը: Այսպիսով, F 1 ֆոկուսից դուրս եկող բոլոր ճառագայթները կկենտրոնացվեն երկրորդ ֆոկուսում F 2 և հակառակը: Այս մեկնաբանության հիման վրա այս հատկությունը կոչվում է էլիպսի օպտիկական հատկությունը.

Սահմանում. Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնցից յուրաքանչյուրի հեռավորությունների գումարը այս հարթության երկու տրված կետերից, որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն արժեք է (պայմանով, որ այդ արժեքը մեծ է կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունից) .

Եկեք նշենք օջախները նրանց միջև եղած հեռավորությամբ և հաստատուն արժեքով, գումարին հավասարհեռավորությունները էլիպսի յուրաքանչյուր կետից մինչև օջախները, միջով (ըստ պայմանի):

Կառուցենք դեկարտյան կոորդինատային համակարգ այնպես, որ օջախները լինեն աբսցիսայի առանցքի վրա, իսկ կոորդինատների սկզբնաղբյուրը համընկնի հատվածի կեսին (նկ. 44): Այնուհետև օջախները կունենան հետևյալ կոորդինատները՝ ձախ և աջ ֆոկուս: Բերենք էլիպսի հավասարումը մեր ընտրած կոորդինատային համակարգում։ Այդ նպատակով հաշվի առեք էլիպսի կամայական կետը: Ըստ էլիպսի սահմանման՝ այս կետից մինչև կիզակետային հեռավորությունների գումարը հավասար է.

Օգտագործելով երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևը, մենք ստանում ենք

Այս հավասարումը պարզեցնելու համար մենք այն գրում ենք ձևով

Այնուհետև հավասարման երկու կողմերն էլ քառակուսի տալով՝ ստանում ենք

կամ ակնհայտ պարզեցումներից հետո.

Այժմ մենք կրկին քառակուսի ենք դնում հավասարման երկու կողմերը, որից հետո ունենք.

կամ նույնական փոխակերպումներից հետո.

Քանի որ, ըստ էլիպսի սահմանման պայմանի, թիվը դրական է։ Ներկայացնենք նշումը

Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.

Էլիպսի սահմանմամբ նրա ցանկացած կետի կոորդինատները բավարարում են (26) հավասարումը։ Բայց (29) հավասարումը (26) հավասարման հետևանք է։ Հետևաբար այն բավարարվում է նաև էլիպսի ցանկացած կետի կոորդինատներով։

Կարելի է ցույց տալ, որ այն կետերի կոորդինատները, որոնք էլիպսի վրա չեն գտնվում, չեն բավարարում (29) հավասարումը։ Այսպիսով, հավասարումը (29) էլիպսի հավասարումն է։ Այն կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում։

Եկեք պարզենք էլիպսի ձևը՝ օգտագործելով նրա կանոնական հավասարումը:

Նախ ուշադրություն դարձնենք, որ այս հավասարումը պարունակում է միայն նույնիսկ աստիճաններ x և y. Սա նշանակում է, որ եթե որևէ կետ պատկանում է էլիպսի, ապա այն նաև պարունակում է սիմետրիկ կետ աբսցիսայի առանցքի հետ կապված կետի հետ, և կետ՝ սիմետրիկ կետի հետ՝ օրդինատների առանցքի հետ։ Այսպիսով, էլիպսն ունի համաչափության երկու փոխադարձ ուղղահայաց առանցքներ, որոնք մեր ընտրած կոորդինատային համակարգում համընկնում են կոորդինատային առանցքների հետ։ Էլիպսի համաչափության առանցքներն այսուհետ կանվանենք էլիպսի առանցքներ, իսկ դրանց հատման կետը՝ էլիպսի կենտրոն։ Այն առանցքը, որի վրա գտնվում են էլիպսի օջախները (մեջ այս դեպքում x-առանցք) կոչվում է կիզակետային առանցք:

Եկեք նախ որոշենք էլիպսի ձևը առաջին քառորդում: Դա անելու համար լուծենք y-ի (28) հավասարումը.

Ակնհայտ է, որ այստեղ, քանի որ y-ն երևակայական արժեքներ է ընդունում: Երբ դուք 0-ից աճում եք a, y-ը b-ից դառնում է 0: Էլիպսի այն հատվածը, որը ընկած է առաջին քառորդում, կլինի B (0; b) կետերով սահմանափակված և կոորդինատային առանցքների վրա ընկած աղեղ (նկ. 45): Օգտագործելով հիմա էլիպսի համաչափությունը՝ մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ էլիպսն ունի Նկ. 45.

Էլիպսի առանցքների հետ հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ։ Էլիպսի համաչափությունից հետևում է, որ, բացի գագաթներից, էլիպսն ունի ևս երկու գագաթ (տե՛ս նկ. 45)։

Էլիպսի հակադիր հատվածները և միացնող գագաթները, ինչպես նաև դրանց երկարությունները, կոչվում են համապատասխանաբար էլիպսի հիմնական և փոքր առանցքներ։ a և b թվերը կոչվում են համապատասխանաբար էլիպսի մեծ և փոքր կիսաառանցքներ։

Կիզակետերի և էլիպսի կիսահիմնական առանցքի միջև հեռավորության կեսի հարաբերությունը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիկություն և սովորաբար նշվում է տառով.

Քանի որ , էլիպսի էքսցենտրիկությունը միասնությունից փոքր է. Էքսցենտրիկությունը բնութագրում է էլիպսի ձևը։ Իրոք, բանաձևից (28) հետևում է, որ որքան փոքր է էլիպսի էքսցենտրիկությունը, այնքան քիչ է նրա կիսափոքր առանցքը b տարբերվում a կիսահիմնական առանցքից, այսինքն՝ այնքան քիչ է ձգվում էլիպսը (կիզակետային առանցքի երկայնքով):

Սահմանափակման դեպքում արդյունքը a շառավղով շրջան է՝ , կամ : Միևնույն ժամանակ, էլիպսի օջախները կարծես միաձուլվում են մի կետում՝ շրջանագծի կենտրոնում: Շրջանի էքսցենտրիսիտետը զրո է.

Էլիպսի և շրջանագծի միջև կապը կարելի է հաստատել մեկ այլ տեսանկյունից. Ցույց տանք, որ a և b կիսաառանցքներով էլիպսը կարելի է դիտարկել որպես a շառավղով շրջանագծի պրոյեկցիա։

Դիտարկենք երկու հարթություններ P և Q, որոնք իրենց միջև ձևավորում են այնպիսի անկյուն a, որի համար (նկ. 46): Եկեք P հարթությունում կառուցենք կոորդինատային համակարգ, իսկ Q հարթությունում՝ Oxy համակարգ՝ O ընդհանուր սկզբնավորմամբ և հարթությունների հատման գծի հետ համընկնող ընդհանուր աբսցիսային առանցքով։ Դիտարկենք P հարթության շրջանակը

սկզբնակետում գտնվող կենտրոնով և շառավղով հավասար է a. Թող լինի կամայականորեն ընտրված կետ շրջանագծի վրա, լինի դրա պրոյեկցիան Q հարթության վրա և թող լինի M կետի պրոյեկցիան Ox առանցքի վրա: Ցույց տանք, որ կետը գտնվում է a և b կիսաառանցքներով էլիպսի վրա:

Երկրորդ կարգի կորերհարթության վրա գծեր են, որոնք սահմանված են հավասարումներով, որոնցում փոփոխականը կոորդինատներ է xԵվ yպարունակվում են երկրորդ աստիճանում։ Դրանք ներառում են էլիպս, հիպերբոլա և պարաբոլա:

Երկրորդ կարգի կորի հավասարման ընդհանուր ձևը հետևյալն է.

Որտեղ A, B, C, D, E, F- թվեր և գործակիցներից առնվազն մեկը A, B, Cհավասար չէ զրոյի.

Երկրորդ կարգի կորերով խնդիրներ լուծելիս առավել հաճախ դիտարկվում են էլիպսի, հիպերբոլայի և պարաբոլայի կանոնական հավասարումները։ Դրանց հեշտ է անցնել ընդհանուր հավասարումներից, դրան նվիրված կլինի էլիպսների խնդիրների օրինակ 1:

Էլիպս տրված կանոնական հավասարմամբ

Էլիպսի սահմանում.Էլիպսը հարթության բոլոր կետերի բազմությունն է, որոնց համար կիզակետեր կոչվող կետերի հեռավորությունների գումարը հաստատուն արժեք է, քան կիզակետերի միջև եղած հեռավորությունը:

Ֆոկուսները նշված են ստորև նկարում:

Էլիպսի կանոնական հավասարումն ունի ձև.

Որտեղ աԵվ բ (ա > բ) - կիսաառանցքների երկարությունները, այսինքն՝ կոորդինատային առանցքների վրա էլիպսով կտրված հատվածների երկարության կեսը։

Էլիպսի օջախներով անցնող ուղիղ գիծը նրա համաչափության առանցքն է։ Էլիպսի համաչափության մեկ այլ առանցք այս հատվածին ուղղահայաց հատվածի միջով անցնող ուղիղ գիծն է։ Կետ ՄԱՍԻՆայս գծերի հատումը ծառայում է որպես էլիպսի համաչափության կենտրոն կամ պարզապես էլիպսի կենտրոն։

Էլիպսի աբսցիսային առանցքը հատվում է կետերում ( ա, ՄԱՍԻՆ) Եվ (- ա, ՄԱՍԻՆ), իսկ օրդինատների առանցքը գտնվում է կետերով ( բ, ՄԱՍԻՆ) Եվ (- բ, ՄԱՍԻՆ) Այս չորս կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ։ X առանցքի վրա էլիպսի գագաթների միջև ընկած հատվածը կոչվում է նրա հիմնական առանցք, իսկ օրդինատների առանցքի վրա՝ փոքր առանցք: Նրանց հատվածները վերևից մինչև էլիպսի կենտրոն կոչվում են կիսաառանցքներ։

Եթե ա = բ, ապա էլիպսի հավասարումը ստանում է ձև . Սա շառավղով շրջանագծի հավասարումն է ա, իսկ շրջանն է հատուկ դեպքէլիպս. Էլիպս կարելի է ստանալ շառավղով շրջանից ա, եթե սեղմեք այն ա/բանգամ առանցքի երկայնքով Օյ .

Օրինակ 1.Ստուգեք, արդյոք ընդհանուր հավասարմամբ տրված ուղիղը , էլիպս.

Լուծում. Մենք փոխակերպումներ ենք անում ընդհանուր հավասարում. Մենք օգտագործում ենք ազատ անդամի փոխանցումը աջ կողմ, հավասարման տերմին առ անդամ բաժանումը նույն թվի վրա և կոտորակների կրճատումը.

Պատասխանել. Փոխակերպումների արդյունքում ստացված հավասարումը էլիպսի կանոնական հավասարումն է։ Հետեւաբար, այս տողը էլիպս է:

Օրինակ 2.Կազմե՛ք էլիպսի կանոնական հավասարումը, եթե նրա կիսաառանցքները համապատասխանաբար 5 և 4 են։

Լուծում. Մենք նայում ենք էլիպսի կանոնական հավասարման բանաձևին և փոխարինում ենք՝ կիսահիմնական առանցքը ա= 5, կիսամյակային առանցքն է բ= 4. Մենք ստանում ենք էլիպսի կանոնական հավասարումը.

Կետերը և , կանաչով նշված են հիմնական առանցքի վրա, որտեղ

կոչվում են հնարքներ.

կանչեց էքսցենտրիկությունէլիպս.

Վերաբերմունք բ/աբնութագրում է էլիպսի «փքվածությունը»։ Որքան փոքր է այս հարաբերակցությունը, այնքան էլիպսը երկարացված է հիմնական առանցքի երկայնքով: Այնուամենայնիվ, էլիպսի երկարացման աստիճանը ավելի հաճախ արտահայտվում է էքսցենտրիկության միջոցով, որի բանաձևը տրված է վերևում։ Տարբեր էլիպսների համար էքսցենտրիկությունը տատանվում է 0-ից մինչև 1՝ միշտ մնալով միասնությունից փոքր։

Օրինակ 3.Կազմե՛ք էլիպսի կանոնական հավասարումը, եթե կիզակետերի միջև հեռավորությունը 8 է, իսկ հիմնական առանցքը՝ 10։

Լուծում. Եկեք մի քանի պարզ եզրակացություններ անենք.

Եթե ​​հիմնական առանցքը հավասար է 10-ի, ապա դրա կեսը, այսինքն՝ կիսաառանցքը ա = 5 ,

Եթե ​​կիզակետերի միջև հեռավորությունը 8 է, ապա թիվը գկիզակետային կոորդինատները հավասար են 4-ի:

Մենք փոխարինում և հաշվարկում ենք.

Արդյունքը էլիպսի կանոնական հավասարումն է.

Օրինակ 4.Կազմե՛ք էլիպսի կանոնական հավասարումը, եթե նրա հիմնական առանցքը 26 է, իսկ էքսցենտրիկությունը՝ :

Լուծում. Ինչպես հետևում է և՛ հիմնական առանցքի չափից, և՛ էքսցենտրիկության հավասարումից, էլիպսի կիսահիմնական առանցքը ա= 13. Էքսցենտրիկության հավասարումից մենք արտահայտում ենք թիվը գ, անհրաժեշտ է փոքր կիսաառանցքի երկարությունը հաշվարկելու համար.

.

Մենք հաշվարկում ենք փոքր կիսաառանցքի երկարության քառակուսին.

Մենք կազմում ենք էլիպսի կանոնական հավասարումը.

Օրինակ 5.Որոշի՛ր կանոնական հավասարմամբ տրված էլիպսի օջախները:

Լուծում. Գտեք համարը գ, որը որոշում է էլիպսի օջախների առաջին կոորդինատները.

.

Մենք ստանում ենք էլիպսի կիզակետերը.

Օրինակ 6.Էլիպսի օջախները գտնվում են առանցքի վրա Եզսիմետրիկորեն ծագման մասին. Կազմե՛ք էլիպսի կանոնական հավասարումը, եթե.

1) կիզակետերի միջև հեռավորությունը 30 է, իսկ հիմնական առանցքը՝ 34

2) փոքր առանցք 24, և կիզակետերից մեկը գտնվում է կետում (-5; 0)

3) էքսցենտրիկություն, և կիզակետերից մեկը գտնվում է (6; 0) կետում:

Շարունակենք միասին լուծել էլիպսային խնդիրները

Եթե ​​էլիպսի կամայական կետն է (գծագրում նշված է էլիպսի վերին աջ մասում կանաչ գույնով) և այս կետի հեռավորությունն է կիզակետերից, ապա հեռավորությունների բանաձևերը հետևյալն են.

Էլիպսին պատկանող յուրաքանչյուր կետի համար կիզակետերից հեռավորությունների գումարը հաստատուն արժեք է, որը հավասար է 2-ի. ա.

Հավասարումներով սահմանված գծեր

կոչվում են տնօրեններէլիպս (գծանկարում կան կարմիր գծեր եզրերի երկայնքով):

Վերը նշված երկու հավասարումներից հետևում է, որ էլիպսի ցանկացած կետի համար

,

որտեղ և են այս կետի հեռավորությունները ուղղորդիչների և .

Օրինակ 7.Տրվում է էլիպս: Գրի՛ր դրա ուղղորդիչների հավասարումը:

Լուծում. Մենք նայում ենք ուղղահայաց հավասարմանը և գտնում ենք, որ մենք պետք է գտնենք էլիպսի էքսցենտրիկությունը, այսինքն. Մենք ունենք դրա համար բոլոր տվյալները։ Մենք հաշվարկում ենք.

.

Մենք ստանում ենք էլիպսի ուղղորդիչների հավասարումը.

Օրինակ 8.Կազմե՛ք էլիպսի կանոնական հավասարումը, եթե նրա կիզակետերը կետերն են, իսկ ուղղորդիչները՝ ուղիղներ։

Դասախոսություններ հանրահաշվի և երկրաչափության վերաբերյալ: Կիսամյակ 1.

Դասախոսություն 15. Էլիպս.

Գլուխ 15. Էլիպս.

կետ 1. Հիմնական սահմանումներ.

Սահմանում. Էլիպսը հարթության GMT-ն է, հարթության երկու ֆիքսված կետերի հեռավորությունների գումարը, որոնք կոչվում են օջախներ, հաստատուն արժեք է:

Սահմանում. Ինքնաթիռի կամայական M կետից մինչև էլիպսի կիզակետը հեռավորությունը կոչվում է M կետի կիզակետային շառավիղ։

Նշումներ:
- էլիպսի կիզակետեր,
– M կետի կիզակետային շառավիղները.

Էլիպսի սահմանմամբ M կետը էլիպսի կետ է, եթե և միայն, եթե
- հաստատուն արժեք. Այս հաստատունը սովորաբար նշվում է որպես 2a.

. (1)

նկատել, որ
.

Էլիպսի սահմանմամբ նրա կիզակետերը ֆիքսված կետեր են, ուստի նրանց միջև հեռավորությունը նույնպես հաստատուն արժեք է տվյալ էլիպսի համար։

Սահմանում. Էլիպսի օջախների միջև եղած հեռավորությունը կոչվում է կիզակետային երկարություն։

Նշանակում:
.

Եռանկյունից
հետևում է դրան
, այսինքն.

.

b-ով նշանակենք հավասար թիվը
, այսինքն.

. (2)

Սահմանում. Վերաբերմունք

(3)

կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիկություն։

Եկեք այս հարթության վրա ներկայացնենք կոորդինատային համակարգ, որը մենք կանվանենք կանոնական էլիպսի համար:

Սահմանում. Այն առանցքը, որի վրա ընկած են էլիպսի օջախները, կոչվում է կիզակետային առանցք:

Եկեք կառուցենք կանոնական PDSC էլիպսի համար, տես Նկար 2:

Մենք ընտրում ենք կիզակետային առանցքը որպես աբսցիսայի առանցք և գծում ենք օրդինատների առանցքը հատվածի միջով
ուղղահայաց կիզակետային առանցքին:

Այնուհետև օջախներն ունեն կոորդինատներ
,
.

կետ 2. Էլիպսի կանոնական հավասարում.

Թեորեմ. Էլիպսի կանոնական կոորդինատային համակարգում էլիպսի հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.

. (4)

Ապացույց. Ապացուցումն իրականացնում ենք երկու փուլով. Առաջին փուլում մենք կապացուցենք, որ էլիպսի վրա գտնվող ցանկացած կետի կոորդինատները բավարարում են (4) հավասարումը։ Երկրորդ փուլում մենք կապացուցենք, որ (4) հավասարման ցանկացած լուծում տալիս է էլիպսի վրա ընկած կետի կոորդինատները: Այստեղից կհետևի, որ (4) հավասարումը բավարարում են կոորդինատային հարթության միայն այն կետերը, որոնք ընկած են էլիպսի վրա։ Սրանից և կորի հավասարման սահմանումից կհետևի, որ (4) հավասարումը էլիպսի հավասարում է։

1) Թող M(x, y) կետը լինի էլիպսի կետ, այսինքն. նրա կիզակետային շառավիղների գումարը 2 ա.

.

Եկեք օգտագործենք կոորդինատային հարթության երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևը և օգտագործենք այս բանաձևը՝ գտնելու M կետի կիզակետային շառավիղները.

,
, որտեղից մենք ստանում ենք.

Եկեք մեկ արմատ տեղափոխենք հավասարության աջ կողմ և այն քառակուսի դարձնենք.

Նվազեցնելով՝ մենք ստանում ենք.

Ներկայացնում ենք նմանատիպերը, կրճատում ենք 4-ով և հեռացնում արմատականը.

.

Քառակուսի

Բացեք փակագծերը և կրճատեք
:

որտեղ մենք ստանում ենք.

Օգտագործելով հավասարությունը (2), մենք ստանում ենք.

.

Վերջին հավասարությունը բաժանելով
, մենք ստանում ենք հավասարություն (4) և այլն։

2) Հիմա թվերի զույգը (x, y) բավարարում է (4) հավասարումը, իսկ M(x, y) Oxy կոորդինատային հարթության համապատասխան կետը:

Այնուհետև (4)-ից հետևում է.

.

Մենք այս հավասարությունը փոխարինում ենք M կետի կիզակետային շառավիղների արտահայտությամբ.

.

Այստեղ մենք օգտագործեցինք հավասարությունը (2) և (3):

Այսպիսով,
. Նմանապես,
.

Այժմ նշենք, որ հավասարությունից (4) հետևում է, որ

կամ
և այլն:
, ապա անհավասարությունը հետևյալն է.

.

Այստեղից էլ իր հերթին հետևում է, որ

կամ
Եվ

,
. (5)

Հավասարություններից (5) հետևում է, որ
, այսինքն. M(x, y) կետը էլիպսի մի կետ է և այլն:

Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում. Հավասարումը (4) կոչվում է էլիպսի կանոնական հավասարում։

Սահմանում. Էլիպսի կանոնական կոորդինատային առանցքները կոչվում են էլիպսի հիմնական առանցքներ:

Սահմանում. Էլիպսի կանոնական կոորդինատային համակարգի ծագումը կոչվում է էլիպսի կենտրոն։

կետ 3. Էլիպսի հատկությունները.

Թեորեմ. (Էլիպսի հատկությունները):

1. Էլիպսի կանոնական կոորդինատային համակարգում՝ ամեն ինչ

էլիպսի կետերը ուղղանկյան մեջ են

,
.

2. Կետերը ընկած են

3. Էլիպսը կոր է, որը համաչափ է

նրանց հիմնական առանցքները.

4. Էլիպսի կենտրոնը նրա համաչափության կենտրոնն է։

Ապացույց. 1, 2) Անմիջապես բխում է էլիպսի կանոնական հավասարումից.

3, 4) Թող M(x, y) լինի էլիպսի կամայական կետ: Այնուհետև դրա կոորդինատները բավարարում են (4) հավասարումը։ Բայց հետո կետերի կոորդինատները նույնպես բավարարում են (4) հավասարումը, և, հետևաբար, էլիպսի կետեր են, որոնցից հետևում են թեորեմի պնդումները։

Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում. 2a մեծությունը կոչվում է էլիպսի հիմնական առանցք, a մեծությունը կոչվում է էլիպսի կիսամեծ առանցք։

Սահմանում. 2b մեծությունը կոչվում է էլիպսի փոքր առանցք, b մեծությունը կոչվում է էլիպսի կիսամեծ առանցք։

Սահմանում. Էլիպսի հիմնական առանցքների հատման կետերը կոչվում են էլիպսի գագաթներ։

Մեկնաբանություն. Էլիպսը կարելի է կառուցել հետևյալ կերպ. Ինքնաթիռում մենք «մեխ ենք խփում կիզակետային կետերի մեջ» և ամրացնում դրանց երկարությունը
. Հետո վերցնում ենք մատիտ և դրանով ձգում ենք թելը։ Այնուհետև մատիտի ծայրը տեղափոխում ենք հարթության երկայնքով՝ համոզվելով, որ թելը ձգված է։

Էքսցենտրիկության սահմանումից բխում է, որ

Եկեք ամրագրենք a թիվը և c թիվը ուղղենք զրոյի: Այնուհետև ժամը
,
Եվ
. Սահմանում մենք ստանում ենք

կամ
- շրջանագծի հավասարում.

Եկեք հիմա ուղղենք
. Հետո
,
և մենք տեսնում ենք, որ սահմանում էլիպսը վերածվում է ուղիղ հատվածի
Նկար 3-ի նշումով:

կետ 4. Էլիպսի պարամետրային հավասարումներ.

Թեորեմ. Թող
- կամայական իրական թվեր: Այնուհետեւ հավասարումների համակարգը

,
(6)

Էլիպսի պարամետրային հավասարումներ են էլիպսի կանոնական կոորդինատային համակարգում։

Ապացույց. Բավական է ապացուցել, որ (6) հավասարումների համակարգը համարժեք է (4) հավասարմանը, այսինքն. նրանք ունեն լուծումների նույն փաթեթը:

1) Թող (x, y) լինի կամայական լուծում (6): Առաջին հավասարումը բաժանեք a-ի, երկրորդը՝ b-ի, երկու հավասարումները քառակուսի դարձրեք և ավելացրեք.

.

Նրանք. (6) համակարգի ցանկացած լուծում (x, y) բավարարում է (4) հավասարումը:

2) Ընդհակառակը, թող (x, y) զույգը լինի (4) հավասարման լուծումը, այսինքն.

.

Այս հավասարությունից հետևում է, որ կոորդինատներով կետը
ընկած է միավորի շառավիղի շրջանագծի վրա, որի կենտրոնը սկզբնաղբյուրում է, այսինքն. եռանկյունաչափական շրջանագծի այն կետն է, որին համապատասխանում է որոշակի անկյուն
:

Սինուսի և կոսինուսի սահմանումից անմիջապես հետևում է, որ

,
, Որտեղ
, որից հետևում է, որ (x, y) զույգը (6) համակարգի լուծումն է և այլն։

Թեորեմն ապացուցված է.

Մեկնաբանություն. Էլիպս կարելի է ստանալ a շառավղով շրջանագծի միատեսակ «սեղմման» արդյունքում դեպի աբսցիսային առանցքը։

Թող
- սկզբնակետում կենտրոն ունեցող շրջանագծի հավասարումը: Շրջանակի «սեղմումը» դեպի աբսցիսայի առանցքը ոչ այլ ինչ է, քան կոորդինատային հարթության փոխակերպում, որն իրականացվում է հետևյալ կանոնի համաձայն. M(x, y) յուրաքանչյուր կետի համար մենք կապում ենք նույն հարթության մի կետ
, Որտեղ
,
- սեղմման հարաբերակցությունը.

Այս փոխակերպմամբ շրջանագծի յուրաքանչյուր կետ «անցնում» է հարթության մեկ այլ կետ, որն ունի նույն աբսցիսան, բայց ավելի փոքր օրդինատ։ Կետի հին օրդինատը արտահայտենք նորի միջոցով.

և շրջանագծերը փոխարինիր հավասարման մեջ.

.

Այստեղից մենք ստանում ենք.

. (7)

Սրանից հետևում է, որ եթե մինչև «սեղմման» փոխակերպումը M(x, y) կետը ընկած է շրջանագծի վրա, այսինքն. դրա կոորդինատները բավարարում էին շրջանագծի հավասարումը, այնուհետև «սեղմման» փոխակերպումից հետո այս կետը «վերափոխվեց» կետի.
, որի կոորդինատները բավարարում են էլիպսի հավասարումը (7): Եթե ​​մենք ուզում ենք ստանալ էլիպսի հավասարումը կիսամեծ առանցքով, ապա մենք պետք է վերցնենք սեղմման գործակիցը.

.

կետ 5. Էլիպսի շոշափող:

Թեորեմ. Թող
- էլիպսի կամայական կետ

.

Այնուհետև կետում այս էլիպսի շոշափողի հավասարումը
ունի ձև.

. (8)

Ապացույց. Բավական է դիտարկել այն դեպքը, երբ շոշափման կետը գտնվում է կոորդինատային հարթության առաջին կամ երկրորդ քառորդում.
. Էլիպսի հավասարումը վերին կիսահարթության մեջ ունի ձև.

. (9)

Օգտագործենք ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափող հավասարումը
կետում
:

Որտեղ
– տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը մի կետում
. Էլիպսը առաջին քառորդում կարելի է համարել որպես ֆունկցիայի գրաֆիկ (8): Գտնենք դրա ածանցյալը և դրա արժեքը շոշափման կետում.

,

. Այստեղ մենք օգտվեցինք այն հանգամանքից, որ շոշափող կետը
էլիպսի մի կետ է և հետևաբար դրա կոորդինատները բավարարում են էլիպսի հավասարումը (9), այսինքն.

.

Մենք փոխարինում ենք ածանցյալի գտած արժեքը շոշափող հավասարման մեջ (10).

,

որտեղ մենք ստանում ենք.

Սա ենթադրում է.

Եկեք այս հավասարությունը բաժանենք
:

.

Մնում է նշել, որ
, որովհետեւ կետ
պատկանում է էլիպսին, և դրա կոորդինատները բավարարում են դրա հավասարումը:

Շոշափող հավասարումը (8) նույն կերպ ապացուցված է կոորդինատային հարթության երրորդ կամ չորրորդ քառորդում գտնվող շոշափման կետում:

Եվ վերջապես, մենք հեշտությամբ կարող ենք ստուգել, ​​որ հավասարումը (8) տալիս է շոշափող հավասարումը կետերում
,
:

կամ
, Եվ
կամ
.

Թեորեմն ապացուցված է.

կետ 6. Էլիպսի հայելային հատկությունը.

Թեորեմ. Էլիպսի շոշափողն ունի հավասար անկյուններ շոշափման կետի կիզակետային շառավղների հետ։

Թող
- շփման կետ,
,
- շոշափող կետի կիզակետային շառավիղներ, P և Q - կիզակետերի կանխատեսումներ կետում գտնվող էլիպսի վրա գծված շոշափողի վրա
.

Թեորեմն ասում է, որ

. (11)

Այս հավասարությունը կարելի է մեկնաբանել որպես լույսի ճառագայթի անկման և անդրադարձման անկյունների հավասարություն՝ իր կիզակետից ազատված էլիպսից։ Այս հատկությունը կոչվում է էլիպսի հայելային հատկություն.

Էլիպսի կիզակետից արձակված լույսի ճառագայթը, էլիպսի հայելից արտացոլվելուց հետո, անցնում է էլիպսի մեկ այլ կիզակետով։

Թեորեմի ապացույց. Անկյունների (11) հավասարությունն ապացուցելու համար ապացուցում ենք եռանկյունների նմանությունը
Եվ
, որում կողմերը
Եվ
նման կլինի: Քանի որ եռանկյունները ուղղանկյուն են, բավական է ապացուցել հավասարությունը

Էլիպսը հարթության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնցից յուրաքանչյուրից մինչև երկու տրված F_1 կետերի հեռավորությունների գումարը, իսկ F_2-ը հաստատուն արժեք է (2a) ավելի մեծ, քան դրանց միջև եղած հեռավորությունը (2c): տրված միավորներ(նկ. 3.36, ա): Այս երկրաչափական սահմանումն արտահայտում է Էլիպսի կիզակետային հատկությունը.

Էլիպսի կիզակետային հատկությունը

F_1 և F_2 կետերը կոչվում են էլիպսի կիզակետեր, նրանց միջև հեռավորությունը 2c=F_1F_2 կիզակետային երկարությունն է, F_1F_2 հատվածի միջին O-ը էլիպսի կենտրոնն է, 2ա թիվը՝ հիմնական առանցքի երկարությունը: էլիպս (համապատասխանաբար, ա թիվը էլիպսի կիսահիմնական առանցքն է)։ Էլիպսի կամայական M կետը նրա օջախներով միացնող F_1M և F_2M հատվածները կոչվում են M կետի կիզակետային շառավիղներ։ Էլիպսի երկու կետերը միացնող հատվածը կոչվում է էլիպսի ակորդ։

e=\frac(c)(a) հարաբերակցությունը կոչվում է էլիպսի էքսցենտրիկություն։ Սահմանումից (2a>2c) հետևում է, որ 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Էլիպսի երկրաչափական սահմանումը, արտահայտելով իր կիզակետային հատկությունը, համարժեք է իր վերլուծական սահմանմանը` էլիպսի կանոնական հավասարմամբ տրված գիծը.

Իսկապես, եկեք ներկայացնենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ (նկ. 3.36c): Որպես կոորդինատային համակարգի սկզբնակետ վերցնում ենք էլիպսի O կենտրոնը; որպես աբսցիսայի առանցք ընդունում ենք կիզակետերով (կիզակետային առանցք կամ էլիպսի առաջին առանցք) անցնող ուղիղ գիծը (դրա վրա դրական ուղղությունը F_1 կետից F_2 կետն է); Եկեք վերցնենք կիզակետային առանցքին ուղղահայաց և որպես օրդինատների առանցք էլիպսի կենտրոնով անցնող ուղիղ գիծ (օրդինատների առանցքի ուղղությունը ընտրված է այնպես, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը Oxy ճիշտ է) .

Եկեք հավասարում ստեղծենք էլիպսի համար՝ օգտագործելով նրա երկրաչափական սահմանումը, որն արտահայտում է կիզակետային հատկությունը։ Ընտրված կոորդինատային համակարգում մենք որոշում ենք օջախների կոորդինատները F_1(-c,0),~F_2(c,0). Էլիպսին պատկանող կամայական M(x,y) կետի համար ունենք.

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Այս հավասարությունը կոորդինատային ձևով գրելով՝ ստանում ենք.

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Երկրորդ ռադիկալը տեղափոխում ենք աջ կողմ, հավասարման երկու կողմերը քառակուսի ենք տալիս և բերում նմանատիպ տերմիններ.

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Ձախ աջ սլաք ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Բաժանելով 4-ի, մենք քառակուսի ենք դնում հավասարման երկու կողմերը.

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Ձախ աջ սլաք~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2):

Նշանակվելով b=\sqrt(a^2-c^2)>0, ստանում ենք b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Երկու կողմերը բաժանելով a^2b^2\ne0-ի` հասնում ենք կանոնական հավասարումէլիպս:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Հետևաբար, ընտրված կոորդինատային համակարգը կանոնական է:

Եթե ​​էլիպսի օջախները համընկնում են, ապա էլիպսը շրջանագիծ է (նկ. 3.36,6), քանի որ a=b. Այս դեպքում ցանկացած ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, որն ունի սկզբնակետը, կանոնական կլինի O\equiv F_1\equiv F_2, իսկ x^2+y^2=a^2 հավասարումը շրջանագծի հավասարումն է, որի կենտրոնը O կետում է և շառավիղը հավասար է a-ին:

Պատճառաբանելով հակառակ կարգը, կարելի է ցույց տալ, որ բոլոր կետերը, որոնց կոորդինատները բավարարում են (3.49) հավասարումը, և միայն նրանք, պատկանում են էլիպս կոչվող կետերի երկրաչափական տեղանքին։ Այլ կերպ ասած, էլիպսի վերլուծական սահմանումը համարժեք է նրա երկրաչափական սահմանմանը, որն արտահայտում է էլիպսի կիզակետային հատկությունը։

Էլիպսի դիրեկտորական սեփականություն

Էլիպսի ուղղորդիչները երկու ուղիղներ են, որոնք զուգահեռ են կանոնական կոորդինատային համակարգի օրդինատների առանցքին՝ նրանից նույն \frac(a^2)(c) հեռավորության վրա։ c=0 դեպքում, երբ էլիպսը շրջանագիծ է, ուղղորդիչներ չկան (կարող ենք ենթադրել, որ ուղղորդիչները գտնվում են անվերջության վրա):

Էլիպս էքսցենտրիկությամբ 0 հարթության կետերի տեղանքը, որոնցից յուրաքանչյուրի համար տրված F կետի հեռավորության հարաբերությունը (կենտրոնացում) և տվյալ կետով չանցնող d (ուղղակի) ուղիղ գծի հեռավորությունը հաստատուն է և հավասար է արտակենտրոնությանը ե ( Էլիպսի ռեժիսորական սեփականություն). Այստեղ F-ը և d-ն էլիպսի օջախներից են և նրա ուղղորդիչներից մեկը, որը գտնվում է կանոնական կոորդինատային համակարգի օրդինատային առանցքի մի կողմում, այսինքն. F_1,d_1 կամ F_2,d_2:

Փաստորեն, օրինակ, ֆոկուս F_2-ի և d_2 ուղղորդիչի համար (նկ. 3.37,6) պայմանը. \frac(r_2)(\rho_2)=eկարելի է գրել կոորդինատային ձևով.

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\աջ)

Իռացիոնալությունից ազատվելն ու փոխարինելը e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, մենք հասնում ենք կանոնական էլիպսի հավասարմանը (3.49): Նմանատիպ հիմնավորում կարող է իրականացվել ֆոկուս F_1-ի և ռեժիսորի համար d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Էլիպսի հավասարումը բևեռային կոորդինատային համակարգում

F_1r\varphi բևեռային կոորդինատային համակարգում էլիպսի հավասարումը (նկ. 3.37, c և 3.37 (2)) ունի ձև.

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

որտեղ p=\frac(b^2)(a) էլիպսի կիզակետային պարամետրն է:

Փաստորեն, որպես բևեռային կոորդինատային համակարգի բևեռ ընտրենք էլիպսի ձախ կիզակետը F_1, իսկ որպես բևեռային առանցք F_1F_2 ճառագայթը (նկ. 3.37, գ): Այնուհետև M(r,\varphi) կամայական կետի համար, ըստ էլիպսի երկրաչափական սահմանման (կիզակետային հատկության), ունենք r+MF_2=2a։ Մենք արտահայտում ենք M(r,\varphi) և F_2(2c,0) կետերի միջև հեռավորությունը (տես).

\սկիզբ (հավասարեցված)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2):\ end (հավասարեցված)

Հետևաբար կոորդինատային ձևով էլիպսի հավասարումը F_1M+F_2M=2a ունի ձև.

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Մենք մեկուսացնում ենք ռադիկալը, հավասարման երկու կողմերը քառակուսի, բաժանում ենք 4-ի և ներկայացնում նմանատիպ տերմիններ.

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Արտահայտեք բևեռային շառավիղը r և կատարեք փոխարինումը e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Ձախ աջ սլաք \քառատ r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Ձախ աջ սլաք \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Ք.Ե.Դ.

Էլիպսի հավասարման գործակիցների երկրաչափական նշանակությունը

Գտնենք էլիպսի հատման կետերը (տե՛ս նկ. 3.37ա) կոորդինատային առանցքների հետ (էլիպսի գագաթները): Փոխարինելով y=0 հավասարման մեջ՝ գտնում ենք էլիպսի հատման կետերը աբսցիսային առանցքի հետ (կիզակետային առանցքով). x=\pm a. Հետևաբար, էլիպսի ներսում պարունակվող կիզակետային առանցքի հատվածի երկարությունը հավասար է 2 ա: Այս հատվածը, ինչպես նշվեց վերևում, կոչվում է էլիպսի հիմնական առանցք, իսկ a թիվը էլիպսի կիսամեծ առանցքն է։ Փոխարինելով x=0՝ ստանում ենք y=\pm b. Հետեւաբար, էլիպսի ներսում պարունակվող էլիպսի երկրորդ առանցքի հատվածի երկարությունը հավասար է 2b-ի։ Այս հատվածը կոչվում է էլիպսի փոքր առանցք, իսկ b թիվը էլիպսի կիսանոր առանցքն է։

Իսկապես, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, իսկ b=a հավասարությունը ստացվում է միայն c=0 դեպքում, երբ էլիպսը շրջանագիծ է։ Վերաբերմունք k=\frac(b)(a)\leqslant1կոչվում է էլիպսի սեղմման հարաբերակցություն:

Ծանոթագրություններ 3.9

1. x=\pm a,~y=\pm b ուղիղները սահմանափակում են կոորդինատային հարթության գլխավոր ուղղանկյունը, որի ներսում էլիպս կա (տե՛ս նկ. 3.37, ա):

2. Էլիպսը կարող է սահմանվել որպես կետերի տեղանքը, որը ստացվում է շրջանագծի տրամագծին սեղմելով:

Իսկապես, Oxy ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում շրջանագծի հավասարումը լինի x^2+y^2=a^2: Երբ սեղմվում է x առանցքի վրա 0 գործակցով

\սկիզբ(դեպքեր)x"=x,\\y"=k\cdot y.\վերջ (դեպքեր)

Հավասարման մեջ փոխարինելով x=x" և y=\frac(1)(k)y" շրջանակները, մենք ստանում ենք M(x,y) կետի M"(x",y") պատկերի կոորդինատների հավասարումը: ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\աջ)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

քանի որ b=k\cdot a . Սա էլիպսի կանոնական հավասարումն է։

3. Կոորդինատային առանցքները (կանոնական կոորդինատային համակարգի) էլիպսի համաչափության առանցքներն են (կոչվում են էլիպսի հիմնական առանցքներ), իսկ կենտրոնը համաչափության կենտրոնն է։

Իսկապես, եթե M(x,y) կետը պատկանում է էլիպսին: ապա M»(x,-y) և M»»(-x,y) կետերը, որոնք համաչափ են կոորդինատային առանցքների նկատմամբ M կետին, նույնպես պատկանում են նույն էլիպսին։

4. Բեւեռային կոորդինատային համակարգում էլիպսի հավասարումից r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(տե՛ս նկ. 3.37, գ), հստակեցված է կիզակետային պարամետրի երկրաչափական նշանակությունը. սա էլիպսի երկարության կեսն է, որն անցնում է իր կիզակետով ուղղահայաց կիզակետային առանցքին (r=p at. \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Էքսցենտրիկությունը e-ն բնութագրում է էլիպսի ձևը, այն է՝ էլիպսի և շրջանագծի տարբերությունը։ Որքան մեծ է e-ն, այնքան էլիպսը երկարացված է, և որքան e-ն մոտ է զրոյին, այնքան էլիպսը մոտ է շրջանագծին (նկ. 3.38ա): Իսկապես, հաշվի առնելով, որ e=\frac(c)(a) և c^2=a^2-b^2 մենք ստանում ենք.

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\աջ )\^2=1-k^2, !}

որտեղ k-ն էլիպսի սեղմման հարաբերակցությունն է, 0

6. Հավասարում \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ժամը ա

7. Հավասարում \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bսահմանում է O"(x_0,y_0) կետով էլիպս, որի առանցքները զուգահեռ են կոորդինատային առանցքներին (նկ. 3.38, գ): Այս հավասարումը նվազեցվում է կանոնականի` օգտագործելով զուգահեռ թարգմանությունը (3.36):

Երբ a=b=R հավասարումը (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2նկարագրում է R շառավղով շրջանագիծ, որի կենտրոնը գտնվում է O» (x_0,y_0) կետում:

Էլիպսի պարամետրային հավասարումը

Էլիպսի պարամետրային հավասարումըկանոնական կոորդինատային համակարգում ունի ձև

\սկիզբ(դեպքեր)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(դեպքեր)0\leqslant t<2\pi.

Իրոք, փոխարինելով այս արտահայտությունները (3.49) հավասարումով, մենք հասնում ենք հիմնական եռանկյունաչափական նույնությանը. \cos^2t+\sin^2t=1.

Օրինակ 3.20.Նկարեք էլիպս \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1կանոնական կոորդինատային համակարգում Oxy. Գտեք կիսաառանցքները, կիզակետային երկարությունը, էքսցենտրիկությունը, սեղմման հարաբերակցությունը, կիզակետային պարամետրը, ուղղաձիգ հավասարումները:

Լուծում.Համեմատելով տրված հավասարումը կանոնականի հետ՝ որոշում ենք կիսաառանցքները՝ a=2՝ կիսամեծ առանցք, b=1՝ էլիպսի կիսափոքր առանցք։ 2a=4,~2b=2 կողմերով գլխավոր ուղղանկյունը կառուցում ենք սկզբնամասում կենտրոնով (նկ. 3.39): Հաշվի առնելով էլիպսի համաչափությունը՝ այն տեղավորում ենք հիմնական ուղղանկյունի մեջ։ Անհրաժեշտության դեպքում որոշեք էլիպսի որոշ կետերի կոորդինատները: Օրինակ, x=1-ը փոխարինելով էլիպսի հավասարման մեջ՝ ստանում ենք

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Ձախ աջ սլաք \քառասուն y^2=\frac(3)(4) \քառյակ \Ձախ աջ սլաք \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2):

Ուստի կոորդինատներով կետեր \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\աջ)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\աջ)- պատկանում է էլիպսին:

Սեղմման հարաբերակցության հաշվարկ k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); կիզակետային երկարությունը 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); էքսցենտրիկություն e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); կիզակետային պարամետր p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Մենք կազմում ենք ուղղահայաց հավասարումներ. x=\pm\frac(a^2)(c)~\Ձախ աջ սլաք~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).