Ընդհանուր առմամբ, ցանկացած հավասարում է մաթեմատիկական մոդելգավաթի կշեռքներ (լծակ, հավասարաթև, ճոճվող - անունները շատ են), հորինված է հին Բաբելոն 7000 տարի առաջ կամ նույնիսկ ավելի վաղ: Ավելին, նույնիսկ կարծում եմ, որ ամենահին շուկաներում օգտագործվող գավաթների կշեռքներն են դարձել հավասարումների նախատիպը։ Եվ եթե որևէ հավասարում նայեք ոչ թե որպես թվերի և տառերի անհասկանալի շարք, որոնք կապված են երկու զուգահեռ ձողերով, այլ որպես կշեռքի նման, ապա մնացած ամեն ինչի հետ խնդիրներ չեն լինի.
Ցանկացած հավասարում նման է հավասարակշռված կշեռքի
Պարզապես պատահում է, որ մեր կյանքում ամեն օր ավելի ու ավելի շատ հավասարումներ են լինում, բայց գնալով ավելի քիչ է հասկացվում, թե ինչ է հավասարումը և որն է դրա իմաստը: Ամեն դեպքում, ես այսպիսի տպավորություն ստացա, երբ փորձում էի ավագ դստերս բացատրել այնպիսի պարզ մաթեմատիկական հավասարման իմաստը, ինչպիսին է.
x + 2 = 8 (500.1)
Նրանք. դպրոցում, իհարկե, բացատրում են, որ նման դեպքերում գտնելու համար X, աջ կողմից պետք է հանել 2.
x = 8 - 2 (500.3)
Սա, իհարկե, բացարձակապես ճիշտ գործողություն, բայց թե ինչու է պետք հանել, այլ ոչ թե, օրինակ, գումարել կամ բաժանել, դպրոցական դասագրքերում բացատրություն չկա։ Պարզապես կա մի կանոն, որը դուք պարզապես պետք է սովորեք.
Երբ հավասարման անդամը տեղափոխվում է մի մասից մյուսը, նրա նշանը փոխվում է հակառակի.
Իսկ թե ինչպես պետք է 10-ամյա դպրոցականը հասկանա այս կանոնը և որն է դրա իմաստը, ձեր որոշելիքն է: Ավելին, պարզվեց, որ իմ մերձավոր ազգականները նույնպես երբեք չեն հասկացել հավասարումների իմաստը, այլ պարզապես անգիր են արել այն, ինչ պահանջվում է (և վերը նշված կանոնը մասնավորապես), և միայն այն ժամանակ կիրառել, ինչպես Աստված կամենա։ Ինձ դուր չեկավ գործերի այս վիճակը, ուստի որոշեցի գրել այս հոդվածը (իմ փոքրը մեծանում է, մի քանի տարի հետո նա պետք է նորից բացատրի դա, և դա կարող է օգտակար լինել նաև իմ կայքի մի քանի ընթերցողների համար) .
Անմիջապես ուզում եմ ասել, որ թեև 10 տարի սովորել եմ դպրոցում, բայց երբեք չեմ սովորել տեխնիկական առարկաների հետ կապված որևէ կանոն կամ սահմանում։ Նրանք. եթե ինչ-որ բան պարզ է, ապա այն կհիշվի, բայց եթե ինչ-որ բան պարզ չէ, ապա ի՞նչ իմաստ ունի այն խցկել առանց իմաստը հասկանալու, եթե այն ամեն դեպքում կմոռացվի: Եվ բացի այդ, եթե ես ինչ-որ բան չեմ հասկանում, նշանակում է, որ դրա կարիքը չունեմ (միայն վերջերս եմ հասկացել, որ եթե դպրոցում ինչ-որ բան չեմ հասկացել, դա իմ մեղքով չէ, այլ ուսուցիչների, դասագրքերի և ընդհանուր կրթական համակարգեր):
Այս մոտեցումն ինձ տրամադրում էր շատ ազատ ժամանակ, որը մանկության տարիներին այնքան պակասում էր բոլոր տեսակի խաղերի և զվարճությունների համար: Միաժամանակ մասնակցել եմ ֆիզիկայի և քիմիայի տարբեր օլիմպիադաների, նույնիսկ հաղթել եմ մաթեմատիկայի մեկ մարզային մրցույթում։ Բայց ժամանակն անցավ, վերացական հասկացություններով գործող առարկաների թիվը միայն ավելացավ և, համապատասխանաբար, իմ գնահատականները պակասեցին։ Ինստիտուտի 1-ին կուրսում վերացական հասկացություններով գործող առարկաների թիվը բացարձակ մեծամասնություն էր, և, իհարկե, ես լրիվ C ուսանող էի։ Բայց հետո, երբ մի շարք պատճառներով ես ստիպված էի զբաղվել նյութերի ուժգնությամբ առանց դասախոսությունների և նշումների օգնության, և ես մի տեսակ հասկացա դա, ամեն ինչ հարթ ընթացավ և ավարտվեց գերազանցության դիպլոմով: Սակայն խոսքը հիմա այս մասին չէ, այլ այն մասին, որ նշված առանձնահատկությունների պատճառով իմ հասկացություններն ու սահմանումները կարող են էականորեն տարբերվել դպրոցում դասավանդվողներից:
Հիմա շարունակենք
Ամենապարզ հավասարումները, անալոգիա սանդղակների հետ
Իրականում երեխաներին սովորեցնում են համեմատել տարբեր առարկաներ հենց սկզբից նախադպրոցական տարիքերբ նրանք դեռ իրականում խոսել չգիտեն: Նրանք սովորաբար սկսում են երկրաչափական համեմատություններով: Օրինակ, երեխային ցույց են տալիս երկու խորանարդ, և երեխան պետք է որոշի, թե որ խորանարդն է ավելի մեծ և որը փոքր: Իսկ եթե դրանք նույնն են, ապա սա չափի հավասարություն է։ Հետո խնդիրն ավելի է բարդանում, երեխային ցուցադրվում են առարկաներ տարբեր ձևեր, տարբեր գույներն ու նույն իրերը ընտրելը երեխայի համար գնալով ավելի դժվար է դառնում։ Սակայն մենք գործն այդքան չենք բարդացնի, այլ կկենտրոնանանք միայն մեկ տեսակի հավասարության վրա՝ դրամական-կշռային։
Երբ կշեռքները գտնվում են նույն հորիզոնական մակարդակի վրա (նկար 500.1-ում ներկայացված կշեռքի սլաքները նարնջագույն և Կապույտ, համընկնում են, հորիզոնական մակարդակը ցույց է տրված սև թավ գծով), սա նշանակում է, որ կշեռքի աջ թավայի վրա կա նույնքան կշիռ, ինչ ձախ թավայի վրա։ Ամենապարզ դեպքում դրանք կարող են լինել 1 կգ կշռող կշիռներ.
Նկար 500.1.
Եվ հետո մենք ստանում ենք ամենապարզ հավասարումը 1 = 1: Այնուամենայնիվ, այս հավասարումը հենց ինձ համար է, մաթեմատիկայում նման արտահայտությունները կոչվում են հավասարություն, բայց էությունը չի փոխվում: Եթե կշեռքի ձախ թավանից հանենք քաշը և վրան ինչ-որ բան դնենք, նույնիսկ խնձոր, նույնիսկ եղունգ, նույնիսկ կարմիր խավիար, և միևնույն ժամանակ կշեռքը լինի նույն հորիզոնական մակարդակի վրա, ապա դա դեռ կնշանակի, որ 1 կգ. նշված ապրանքներից որևէ մեկից, որը հավասար է կշեռքի աջ կողմում մնացած 1 կգ քաշի: Մնում է այս կիլոգրամը վճարել ըստ վաճառողի սահմանած գնի։ Ուրիշ բան, որ դուք կարող եք չհավանել գինը, կամ կասկածներ ունենալ կշեռքի ճշգրտության վերաբերյալ, բայց դրանք տնտեսական և իրավական հարաբերությունների հարցեր են, որոնք ուղղակի կապ չունեն մաթեմատիկայի հետ։
Իհարկե, այն հեռավոր ժամանակներում, երբ հայտնվեցին բաժակի կշեռքները, ամեն ինչ շատ ավելի պարզ էր։ Նախ, կիլոգրամի նման կշռի չափիչ չկար, բայց կային կշիռների չափերին համապատասխան դրամական միավորներ, օրինակ՝ տաղանդներ, շեկելներ, ֆունտներ, գրիվնաներ և այլն (ի դեպ, ես վաղուց էի զարմանում, որ կա. ֆունտ - դրամական միավոր և ֆունտ - քաշի չափիչ, կա գրիվնա - դրամական միավոր, և ժամանակին գրիվնան քաշի չափիչ էր, և միայն վերջերս, երբ իմացա, որ տաղանդը միայն դրամական միավորը չէ: հին հրեաները, որոնք նշված են Հին Կտակարան, բայց նաև Հին Բաբելոնում ընդունված քաշի չափանիշը ամեն ինչ իր տեղն ընկավ):
Ավելի ճիշտ, սկզբում կային կշիռների չափումներ, սովորաբար հատիկներ հացահատիկային մշակաբույսեր, և միայն այդ ժամանակ հայտնվեցին փողեր, որոնք համապատասխանում էին կշեռքի այս չափերին։ Օրինակ՝ 60 հատ հատիկը՝ մեկ սիկղին, 60 սիկղը՝ մեկ մինայի, 60 մինը՝ մեկ տաղանդի։ Ուստի սկզբում կշեռքներով ստուգվում էր, թե արդյոք առաջարկվող գումարը կեղծ է, և միայն այն ժամանակ կշիռները հայտնվեցին որպես փողի, կշիռների և հաշվարկների, էլեկտրոնային կշեռքի և պլաստիկ քարտերի համարժեք, բայց դա չի փոխում հարցի էությունը։
Այդ հեռավոր ժամանակներում վաճառողը կարիք չուներ երկար ու մանրամասն բացատրելու, թե կոնկրետ ապրանքը որքան կարժենա։ Բավական էր վաճառվող ապրանքը դնել մեկ կշեռքի վրա, իսկ գնորդը գումար գցել երկրորդի վրա, դա շատ պարզ է և պարզ, և նույնիսկ տեղական բարբառի իմացությունը չի պահանջվում, դուք կարող եք առևտուր անել աշխարհի ցանկացած կետում: Բայց վերադառնանք հավասարումներին։
Եթե հավասարումը (500.1) դիտարկենք կշեռքի դիրքից, ապա դա նշանակում է, որ կշեռքի ձախ թավայի վրա կա անհայտ քանակի կիլոգրամ և ևս 2 կիլոգրամ, իսկ աջ թավայի վրա՝ 8 կիլոգրամ.
x + 2 կգ, = 8 կգ, (500.1.2)
Նշում IN այս դեպքումԸնդգծումը խորհրդանշում է սանդղակի ներքևի մասը, թղթի վրա հաշվարկելիս այս տողը կարող է ավելի շատ նմանվել սանդղակի ներքևին: Ավելին, մաթեմատիկոսները վաղուց եկել են հատուկ խորհրդանիշների՝ փակագծերի, ուստի ցանկացած փակագծեր կարելի է համարել որպես կշեռքի կողմեր, գոնե հավասարումների իմաստը հասկանալու առաջին փուլում։ Այնուամենայնիվ, ես կթողնեմ ընդգծումը ավելի մեծ պարզության համար:
Այսպիսով, ի՞նչ պետք է անենք կիլոգրամների անհայտ թիվը պարզելու համար։ Ճիշտ! Կշեռքի ձախ և աջ կողմերից հանեք 2 կիլոգրամ, այնուհետև կշեռքը կմնա նույն հորիզոնական մակարդակում, այսինքն՝ մենք դեռ կունենանք հավասարություն.
x + 2 կգ, - 2կգ = 8կգ, - 2կգ (500.2.2)
Համապատասխանաբար
x, = 8 կգ - 2 կգ, (500.3.2)
x, = 6 կգ, (500.4.2)
Նկար 500.2.
Հաճախ մաթեմատիկան գործում է ոչ թե կիլոգրամներով, այլ որոշ աբստրակտ չափազուրկ միավորներով, և այնուհետև (500.1) հավասարման լուծումը գրելը, օրինակ՝ նախագծում, կունենա հետևյալ տեսքը.
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x, = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Ինչն արտացոլված է Նկար 500.2-ում:
ՆշումՖորմալ կերպով, նույնիսկ ավելի լավ հասկանալու համար, (500.2) հավասարմանը պետք է հաջորդի ձևի մեկ այլ հավասարում. x + 2 - 2, = 8 - 2,նկատի ունենալով, որ ակցիան ավարտվել է, և մենք կրկին գործ ունենք քաշի հավասարակշռության գավաթների հետ: Սակայն, իմ կարծիքով, որոշման այսքան ամբողջական ձայնագրության կարիք չկա։
Մաքուր գրքերում սովորաբար օգտագործվում է հավասարման լուծման կրճատ նշում, և ոչ միայն կշեռքի նշանները, որոնք իմ կարծիքով այդքան անհրաժեշտ են հավասարումների ուսումնասիրության սկզբնական փուլում, այլ նույնիսկ ամբողջական հավասարումներ: Այսպիսով, (500.1) հավասարման լուծման կրճատ տարբերակը մաքուր տարբերակով, ըստ դասագրքերում բերված օրինակների, կունենա հետևյալ տեսքը.
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
Արդյունքում, օգտագործելով մասշտաբների հետ անալոգիան, դասագրքերում առաջարկվածի համեմատ կազմեցինք լրացուցիչ հավասարում (500.2) կամ լուծման մեթոդով, կամ այս լուծումը գրելու ձևով։ Իմ կարծիքով, սա հավասարում է, ընդ որում՝ մոտավորապես այս ձևով գրված, այսինքն. կշեռքի խորհրդանշական նշանակմամբ - սա բացակայող օղակն է, որը կարևոր է հավասարումների իմաստը հասկանալու համար:
Նրանք. Հավասարումներ լուծելիս մենք հակառակ նշանով ոչինչ չենք փոխանցում ոչ մի տեղ, այլ կատարում ենք նույն մաթեմատիկական գործողությունները հավասարման ձախ և աջ կողմերի հետ։
Հենց հիմա ընդունված է գրել վերևում տրված համառոտ ձևով հավասարումների լուծումը: Հավասարմանը (500.1.1) անմիջապես հաջորդում է (500.3.1) հավասարումը, այստեղից էլ հակադարձ նշանների կանոնը, որը, սակայն, շատերի համար ավելի հեշտ է հիշել, քան խորանալ հավասարումների իմաստի մեջ։
ՆշումՁայնագրման կրճատ ձևի դեմ ոչինչ չունեմ, ընդ որում։ Առաջադեմ օգտվողները կարող են էլ ավելի կրճատել այս ձևը, բայց դա պետք է արվի միայն այն բանից հետո, երբ հավասարումների ընդհանուր իմաստն արդեն հստակ հասկանալի է:
Եվ ընդլայնված նշումը թույլ է տալիս հասկանալ հավասարումների լուծման հիմնական կանոնները.
1. Եթե նույն մաթեմատիկական գործողությունները կատարենք ձախ և աջ կողմհավասարումներ, ապա հավասարությունը մնում է:
2. Կարևոր չէ, թե քննարկվող հավասարման որ մասն է մնացել, իսկ որը՝ աջ, մենք կարող ենք ազատորեն փոխանակել դրանք:
Այս մաթեմատիկական գործողությունները կարող են լինել ցանկացած բան: Մենք կարող ենք նույն թիվը հանել ձախից և աջից, ինչպես ցույց է տրված վերևում: Մենք կարող ենք նույն թիվը ավելացնել հավասարման ձախ և աջ կողմերին, օրինակ.
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x, = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Մենք կարող ենք երկու կողմերը բաժանել կամ բազմապատկել նույն թվով, օրինակ.
3х, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x, = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, = 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3х, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Մենք կարող ենք ինտեգրել կամ տարբերակել երկու մասերը: Մենք կարող ենք անել այն, ինչ ուզում ենք ձախ և աջ մասերի հետ, բայց եթե այդ գործողությունները նույնն են ձախ և աջ մասերի համար, ապա հավասարությունը կմնա (կշեռքները կմնան նույն հորիզոնական մակարդակում):
Իհարկե, պետք է ընտրել այնպիսի գործողություններ, որոնք թույլ կտան հնարավորինս արագ և պարզ կերպով որոշել անհայտ քանակությունը:
Այս տեսանկյունից հակադարձ գործողության դասական մեթոդն ավելի պարզ է թվում, իսկ եթե երեխան դեռ չի ուսումնասիրել բացասական թվերը։ Մինչդեռ կազմված հավասարումն ունի հետևյալ ձևը.
5 - x = 3 (500.8)
Նրանք. Այս հավասարումը դասական մեթոդով լուծելիս հնարավոր լուծումներից մեկը, որը տալիս է ամենակարճ նշումը, հետևյալն է.
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
Եվ ամենակարևորը, ինչպե՞ս կարող եք երեխային բացատրել, թե ինչու է (500.8.3) հավասարումը նույնական (500.8.4) հավասարմանը:
Սա նշանակում է, որ այս դեպքում նույնիսկ օգտագործելիս դասական մեթոդգրելու վրա խնայելն իմաստ չունի և նախ պետք է ազատվել ձախ կողմի անհայտ արժեքից, որն ունի բացասական նշան։
5 - x = 3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5 - 3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Ամբողջական մուտքն այսպիսի տեսք կունենա.
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5 - 3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Էլի կավելացնեմ։ Լուծման ամբողջական արձանագրումն անհրաժեշտ է ոչ թե ուսուցիչներին, այլ հավասարումների լուծման մեթոդի ավելի լավ հասկանալու համար: Եվ երբ մենք փոխում ենք հավասարման ձախ և աջ կողմերը, դա նման է նրան, որ մենք փոխում ենք մասշտաբի տեսակետը գնորդի տեսանկյունից վաճառողի տեսանկյունից, բայց հավասարությունը մնում է նույնը:
Ցավոք սրտի, ես երբեք չկարողացա ստիպել իմ աղջկան գրել լուծումը ամբողջությամբ, նույնիսկ գծագրերով: Նա ունի երկաթյա վեճ. «մեզ այդպես չեն սովորեցրել»: Մինչդեռ ավելանում է կազմվող հավասարումների բարդությունը, նվազում է գուշակության տոկոսը, թե ինչ գործողություն է պետք անել անհայտ մեծությունը որոշելու համար, և գնահատականներն ընկնում են։ Ես չգիտեմ, թե ինչ անել սրա հետ…
Նշումժամանակակից մաթեմատիկայի մեջ ընդունված է տարբերակել հավասարումները և հավասարումները, այսինքն. 1 = 1 պարզապես թվային հավասարություն է, և եթե հավասարության մասերից մեկում կա անհայտ, որը պետք է գտնել, ապա սա արդեն հավասարություն է։ Ինչ վերաբերում է ինձ, ապա իմաստների նման տարբերակումն այնքան էլ իմաստ չունի, այլ միայն բարդացնում է նյութի ընկալումը։ Ես կարծում եմ, որ ցանկացած հավասարություն կարելի է անվանել հավասարում, և ցանկացած հավասարում հիմնված է հավասարության վրա։ Եվ բացի այդ, հարց է առաջանում՝ x = 6, սա արդեն հավասարությո՞ւն է, թե՞ դեռ հավասարում է։
Ամենապարզ հավասարումները՝ անալոգիա ժամանակի հետ
Իհարկե, հավասարումներ լուծելիս մասշտաբների անալոգիան հեռու է միակից: Օրինակ, հավասարումների լուծումը կարելի է դիտարկել նաև ժամանակի տեսանկյունից: Այնուհետև (500.1) հավասարմամբ նկարագրված պայմանը կհնչի այսպես.
Այն բանից հետո, երբ մենք ավելացրինք անհայտ քանակությամբ XԵվս 2 միավոր, մենք այժմ ունենք 8 միավոր (ներկա): Սակայն, այս կամ այն պատճառով, մեզ չի հետաքրքրում, թե քանիսն են, այլ որքան են եղել անցյալ ժամանակով։ Համապատասխանաբար, որպեսզի պարզենք, թե այս նույն միավորներից քանիսն ունեինք, պետք է կատարենք հակառակ գործողությունը, այսինքն. 8-ից հանել 2 (հավասարում 500.3): Այս մոտեցումը ճշգրտորեն համապատասխանում է դասագրքերում ներկայացվածին, բայց, իմ կարծիքով, այնքան էլ պարզ չէ, որքան կշեռքների անալոգիան։ Այնուամենայնիվ, այս հարցի վերաբերյալ կարծիքները կարող են տարբեր լինել:
Փակագծերով հավասարման լուծման օրինակ
Ես այս հոդվածը գրեցի ամռանը, երբ աղջիկս ավարտեց 4-րդ դասարանը, բայց վեց ամիս չանցած, դպրոցում նրանց խնդրեցին լուծել հետևյալ ձևի հավասարումները.
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Դասարանում ոչ ոք չկարողացավ լուծել այս հավասարումը, և, այնուամենայնիվ, իմ առաջարկած մեթոդն օգտագործելիս դրա լուծման մեջ ոչ մի բարդ բան չկա, բայց նշման ամբողջական ձևը չափազանց շատ տեղ կզբաղեցնի.
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75, = 3 (50 - 5x), (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 50 - 25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Սակայն այս փուլում նման ամբողջական ձեւձայնագրության կարիք չկա. Քանի որ մենք հասել ենք կրկնակի փակագծերին, անհրաժեշտ չէ մաթեմատիկական գործողությունների համար ստեղծել առանձին հավասարում ձախ և աջ կողմերում, ուստի լուծումը նախագծում գրելը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75, = 3 (50 - 5x), (500.10.9)
75, : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Ընդհանուր առմամբ, այս փուլում սկզբնականը լուծելու համար անհրաժեշտ էր գրել 14 հավասարումներ։
Այս դեպքում հավասարման լուծումը մաքուր օրինակով գրելը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50 - 25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x = 25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Նրանք. Նշման կրճատ ձևով մենք դեռ պետք է ստեղծենք 12 հավասարումներ: Ձայնագրման խնայողությունները նվազագույն են, բայց հինգերորդ դասարանցին իրականում կարող է խնդիրներ ունենալ՝ հասկանալու պահանջվող գործողությունները:
P.S.Միայն երբ խոսքը վերաբերում էր կրկնակի փակագծերին, աղջիկս հետաքրքրվեց իմ առաջարկած մեթոդով հավասարումների լուծման համար, բայց միևնույն ժամանակ, նրա գրավոր ձևով, նույնիսկ նախագծում, դեռևս 2 անգամ քիչ հավասարումներ կան, քանի որ նա բաց է թողնում եզրափակիչը: (500.10.4), (500.10. 7) և նման հավասարումներ, և ձայնագրելիս անմիջապես տեղ է թողնում հաջորդի համար. մաթեմատիկական գործողություն. Արդյունքում, նրա նախագծում գրառումն այսպիսի տեսք ուներ.
(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x) , - 97 = 100 , - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)
75, : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Արդյունքում ստացանք ընդամենը 8 հավասարում, ինչը նույնիսկ ավելի քիչ է, քան պահանջվում է կրճատված լուծման համար։ Սկզբունքորեն, ես դեմ չեմ, բայց դա օգտակար կլինի:
Սա այն ամենն է, ինչ ես ուզում էի ասել մեկ անհայտ մեծություն պարունակող ամենապարզ հավասարումների լուծման մասին: Երկու անհայտ մեծություններ պարունակող հավասարումներ լուծելու համար ձեզ հարկավոր է
Ստանալով ընդհանուր պատկերացում հավասարումների մասին և ծանոթանալով դրանց տեսակներից մեկին՝ թվային հավասարումների, կարող եք սկսել խոսել գործնական տեսանկյունից շատ կարևոր հավասարումների մեկ այլ տեսակի՝ հավասարումների մասին: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք ինչ է հավասարումը, և այն, ինչ կոչվում է հավասարման արմատ: Այստեղ կտանք համապատասխան սահմանումներ, ինչպես նաև կբերենք հավասարումների և դրանց արմատների տարբեր օրինակներ։
Էջի նավարկություն.
Ի՞նչ է հավասարումը:
Հավասարումների նպատակային ներածությունը սովորաբար սկսվում է 2-րդ դասարանի մաթեմատիկայի դասերից: Այս պահին տրված է հետևյալը հավասարման սահմանում:
Սահմանում.
Հավասարումըանհայտ թիվ պարունակող հավասարություն է, որը պետք է գտնել:
Հավասարումների մեջ անհայտ թվերը սովորաբար նշվում են փոքր թվերով: Լատինական տառեր, օրինակ՝ p, t, u և այլն, բայց առավել հաճախ օգտագործվող տառերն են x, y և z։
Այսպիսով, հավասարումը որոշվում է գրելու ձևի տեսանկյունից։ Այլ կերպ ասած, հավասարությունը հավասարություն է, երբ այն ենթարկվում է գրելու նշված կանոններին. այն պարունակում է տառ, որի արժեքը պետք է գտնել:
Բերենք ամենաառաջինների և ամենակարևորների օրինակները պարզ հավասարումներ. Սկսենք հավասարումներից, ինչպիսիք են x=8, y=3 և այլն: Թվերի և տառերի հետ միասին նշաններ պարունակող հավասարումները մի փոքր ավելի բարդ են թվում թվաբանական գործողություններ, օրինակ՝ x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 ։
Հավասարումների բազմազանությունը մեծանում է ծանոթանալուց հետո - սկսում են հայտնվել փակագծերով հավասարումներ, օրինակ՝ 2·(x−1)=18 և x+3·(x+2·(x−2))=3։ Հավասարման մեջ անհայտ տառը կարող է հայտնվել մի քանի անգամ, օրինակ՝ x+3+3·x−2−x=9, ինչպես նաև տառերը կարող են լինել հավասարման ձախ կողմում, նրա աջ կողմում կամ երկու կողմերում։ հավասարումը, օրինակ, x (3+1)−4=8, 7−3=z+1 կամ 3·x−4=2·(x+12) .
Հետագայում սովորելուց հետո բնական թվերտեղի է ունենում ծանոթություն ամբողջ, ռացիոնալ, իրական թվերի հետ, ուսումնասիրվում են մաթեմատիկական նոր առարկաներ՝ ուժեր, արմատներ, լոգարիթմներ և այլն, մինչդեռ ավելի ու ավելի շատ են հայտնվում այդ իրերը պարունակող հավասարումների նոր տեսակներ։ Դրանց օրինակները կարելի է տեսնել հոդվածում հավասարումների հիմնական տեսակներըսովորում է դպրոցում.
7-րդ դասարանում տառերի հետ միասին, որոնք նշանակում են որոշակի թվեր, սկսում են դիտարկել տառեր, որոնք կարող են տարբեր արժեքներ ստանալ, դրանք կոչվում են փոփոխականներ (տե՛ս հոդվածը): Միևնույն ժամանակ, «փոփոխական» բառը ներմուծվում է հավասարման սահմանման մեջ, և այն դառնում է այսպես.
Սահմանում.
Հավասարումկանչել հավասարություն, որը պարունակում է փոփոխական, որի արժեքը պետք է գտնել:
Օրինակ, x+3=6·x+7 հավասարումը հավասարում է x փոփոխականի հետ, իսկ 3·z−1+z=0 հավասարումը z փոփոխականի հետ է։
Նույն 7-րդ դասարանում հանրահաշվի դասաժամերին հանդիպում ենք ոչ թե մեկ, այլ երկու տարբեր անհայտ փոփոխականներ պարունակող հավասարումների։ Դրանք կոչվում են երկու փոփոխականներով հավասարումներ։ Ապագայում թույլատրվում է երեք կամ ավելի փոփոխականների առկայությունը հավասարումներում։
Սահմանում.
Հավասարումներ մեկ, երկու, երեք և այլն: փոփոխականներ– սրանք հավասարումներ են, որոնք իրենց գրության մեջ պարունակում են համապատասխանաբար մեկ, երկու, երեք, ... անհայտ փոփոխականներ։
Օրինակ, 3.2 x+0.5=1 հավասարումը հավասարում է մեկ x փոփոխականով, իր հերթին x−y=3 ձևի հավասարումը հավասարում է երկու x և y փոփոխականներով։ Եվ ևս մեկ օրինակ՝ x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27: Հասկանալի է, որ նման հավասարումը հավասարում է երեք անհայտ փոփոխականներով x, y և z:
Ո՞րն է հավասարման արմատը:
Հավասարման սահմանումը ուղղակիորեն կապված է այս հավասարման արմատի սահմանման հետ: Եկեք մի քանի պատճառաբանություն իրականացնենք, որը կօգնի մեզ հասկանալ, թե որն է հավասարման արմատը:
Ենթադրենք, մենք ունենք մեկ տառով (փոփոխական) հավասարում: Եթե այս հավասարման մուտքագրում ներառված տառի փոխարեն փոխարինվի որոշակի թիվ, ապա հավասարումը վերածվում է թվային հավասարության։ Ավելին, ստացված հավասարությունը կարող է լինել կամ ճիշտ կամ կեղծ: Օրինակ, եթե a+1=5 հավասարման մեջ a տառի փոխարեն փոխարինեք 2 թիվը, ապա կստանաք 2+1=5 սխալ թվային հավասարություն։ Եթե այս հավասարման մեջ a-ի փոխարեն փոխարինենք 4 թիվը, ապա կստանանք 4+1=5 ճիշտ հավասարություն։
Գործնականում, դեպքերի ճնշող մեծամասնության մեջ հետաքրքրությունը փոփոխականի այն արժեքներն են, որոնց փոխարինումը հավասարման մեջ տալիս է ճիշտ հավասարություն. այդ արժեքները կոչվում են այս հավասարման արմատներ կամ լուծումներ:
Սահմանում.
Հավասարման արմատը- սա այն տառի (փոփոխականի) արժեքն է, որի փոխարինումից հետո հավասարումը վերածվում է ճիշտ թվային հավասարության:
Նշենք, որ մեկ փոփոխականի հավասարման արմատը կոչվում է նաև հավասարման լուծում: Այլ կերպ ասած, հավասարման լուծումը և հավասարման արմատը նույնն են:
Եկեք բացատրենք այս սահմանումը օրինակով. Դա անելու համար վերադառնանք a+1=5 վերևում գրված հավասարմանը։ Ըստ հավասարման արմատի տրված սահմանման՝ 4 թիվը այս հավասարման արմատն է, քանի որ a տառի փոխարեն այս թիվը փոխարինելիս ստանում ենք ճիշտ հավասարություն 4+1=5, իսկ 2 թիվը նրա չէ։ արմատ, քանի որ այն համապատասխանում է 2+1= 5 ձևի սխալ հավասարության։
Այս պահին ծագում են մի շարք բնական հարցեր. «Արդյո՞ք որևէ հավասարում ունի արմատ, և քանի՞ արմատ ունի տրված հավասարումը»: Մենք նրանց կպատասխանենք։
Կան և՛ արմատներ ունեցող հավասարումներ, և՛ արմատներ չունեցող հավասարումներ։ Օրինակ, x+1=5 հավասարումն ունի 4 արմատ, բայց 0 x=5 հավասարումը չունի արմատներ, քանի որ անկախ նրանից, թե այս հավասարման մեջ ինչ թիվ փոխարինենք x փոփոխականի փոխարեն, կստանանք 0=5 սխալ հավասարություն։ .
Ինչ վերաբերում է հավասարման արմատների թվին, ապա կան և՛ հավասարումներ, որոնք ունեն որոշակի վերջավոր թվով արմատներ (մեկ, երկու, երեք և այլն), և՛ անվերջ թվով արմատներ ունեցող հավասարումներ։ Օրինակ, x−2=4 հավասարումը ունի մեկ արմատ 6, x 2 =9 հավասարման արմատները երկու −3 և 3 թվեր են, x·(x−1)·(x−2)=0 հավասարումը։ ունի երեք արմատ՝ 0, 1 և 2, իսկ x=x հավասարման լուծումը ցանկացած թիվ է, այսինքն՝ ունի անսահման թվով արմատներ։
Մի քանի խոսք պետք է ասել հավասարման արմատների ընդունված նշումի մասին։ Եթե հավասարումը չունի արմատներ, ապա նրանք սովորաբար գրում են «հավասարումը արմատներ չունի» կամ օգտագործում են դատարկ բազմության նշանը ∅: Եթե հավասարումն ունի արմատներ, ապա դրանք գրվում են ստորակետերով բաժանված կամ գրվում են որպես հավաքածուի տարրերգանգուր փակագծերում: Օրինակ, եթե հավասարման արմատները −1, 2 և 4 թվերն են, ապա գրե՛ք −1, 2, 4 կամ (−1, 2, 4): Թույլատրելի է նաև հավասարման արմատները գրել պարզ հավասարումների տեսքով։ Օրինակ, եթե հավասարումը ներառում է x տառը, և այս հավասարման արմատները 3 և 5 թվերն են, ապա կարող եք գրել x=3, x=5, և հաճախ ավելացվում են ենթագրեր x 1 =3, x 2 =5: փոփոխականին, կարծես ցույց տալով թվերի արմատները հավասարման: Հավասարման արմատների անսահման բազմությունը սովորաբար գրվում է ձևով, հնարավորության դեպքում օգտագործվում է նաև N, Z ամբողջ թվերի և R իրական թվերի բազմությունների նշումը։ Օրինակ, եթե x փոփոխականով հավասարման արմատը ցանկացած ամբողջ թիվ է, ապա գրեք, իսկ եթե y փոփոխականով հավասարման արմատները 1-ից 9-ը ներառյալ ցանկացած իրական թիվ են, ապա գրեք:
Երկու, երեք կամ ավելի փոփոխականներով հավասարումների համար, որպես կանոն, չի օգտագործվում «հավասարման արմատ» տերմինը, այդ դեպքերում ասում են «հավասարման լուծում»։ Ի՞նչ է կոչվում մի քանի փոփոխականներով հավասարումների լուծում: Տանք համապատասխան սահմանումը.
Սահմանում.
Երկու, երեք և այլն հավասարումների լուծում: փոփոխականներկոչվում է զույգ, երեք և այլն: փոփոխականների արժեքները՝ այս հավասարումը վերածելով ճիշտ թվային հավասարության:
Եկեք ցույց տանք բացատրական օրինակներ: Դիտարկենք հավասարություն x+y=7 երկու փոփոխականներով: Փոխարինենք 1 թիվը x-ի փոխարեն, իսկ 2 թիվը y-ի փոխարեն, և կունենանք 1+2=7 հավասարություն։ Ակնհայտ է, որ այն սխալ է, հետևաբար, x=1, y=2 արժեքների զույգը գրված հավասարման լուծում չէ։ Եթե վերցնենք x=4, y=3 արժեքների զույգ, ապա հավասարման մեջ փոխարինելուց հետո կհասնենք 4+3=7 ճիշտ հավասարությանը, հետևաբար, փոփոխական արժեքների այս զույգը, ըստ սահմանման, լուծում է. x+y=7 հավասարմանը:
Մի քանի փոփոխականներով հավասարումները, ինչպես մեկ փոփոխականի հետ հավասարումները, կարող են չունենալ արմատներ, կարող են ունենալ վերջավոր թվով արմատներ կամ ունենալ անսահման թվով արմատներ։
Զույգեր, եռյակներ, քառյակներ և այլն: Փոփոխականների արժեքները հաճախ գրվում են հակիրճ՝ նշելով դրանց արժեքները՝ փակագծերում բաժանված ստորակետերով: Այս դեպքում փակագծերում գրված թվերը այբբենական կարգով համապատասխանում են փոփոխականներին։ Պարզաբանենք այս կետը՝ վերադառնալով նախորդ x+y=7 հավասարմանը։ Այս հավասարման լուծումը x=4, y=3 կարելի է համառոտ գրել (4, 3):
Դպրոցական մաթեմատիկայի, հանրահաշիվի և վերլուծության սկզբնական կուրսում ամենամեծ ուշադրությունը տրվում է մեկ փոփոխականով հավասարումների արմատները գտնելուն։ Այս գործընթացի կանոնները մենք շատ մանրամասն կքննարկենք հոդվածում: հավասարումների լուծում.
Մատենագիտություն.
- Մաթեմատիկա. 2 դաս Դասագիրք հանրակրթության համար հաստատություններ հետ adj. մեկ էլեկտրոնի համար կրող. Ժամը 14-ին Մաս 1 / [Մ. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova և այլն] - 3-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2012. - 96 էջ: հիվանդ. - (Ռուսաստանի դպրոց): - ISBN 978-5-09-028297-0 ։
- Հանրահաշիվ:դասագիրք 7-րդ դասարանի համար հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 17-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 240 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019315-3 ։
- Հանրահաշիվ: 9-րդ դասարան՝ ուսումնական. հանրակրթության համար հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2009. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-021134-5 ։
Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում երեխան առաջին անգամ է լսում «հավասարում» տերմինը: Ինչ է սա, եկեք միասին փորձենք պարզել: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք լուծման տեսակներին և մեթոդներին:
Մաթեմատիկա. Հավասարումներ
Սկզբից մենք առաջարկում ենք ձեզ հասկանալ հենց հայեցակարգը, ինչ է դա: Ինչպես ասվում է մաթեմատիկայի շատ դասագրքերում, հավասարումը որոշ արտահայտություններ են, որոնց միջև պետք է լինի հավասարության նշան: Այս արտահայտությունները պարունակում են տառեր, այսպես կոչված, փոփոխականներ, որոնց արժեքը պետք է գտնել։
Սա համակարգի հատկանիշ է, որը փոխում է իր արժեքը: Փոփոխականների լավ օրինակ են.
- օդի ջերմաստիճանը;
- երեխայի հասակը;
- քաշը և այլն:
Մաթեմատիկայի մեջ դրանք նշանակվում են տառերով, օրինակ՝ x, a, b, c... Սովորաբար մաթեմատիկական առաջադրանքը կատարվում է այսպես՝ գտի՛ր հավասարման արժեքը։ Սա նշանակում է, որ անհրաժեշտ է գտնել այս փոփոխականների արժեքը։
Սորտերի
Հավասարումը (մենք քննարկեցինք, թե ինչ է դա նախորդ պարբերությունում) կարող է լինել հետևյալ ձևի.
- գծային;
- քառակուսի;
- խորանարդ;
- հանրահաշվական;
- տրանսցենդենտալ.
Բոլոր տեսակների հետ ավելի մանրամասն ծանոթանալու համար մենք յուրաքանչյուրը կքննարկենք առանձին:
Գծային հավասարում
Սա առաջին տեսակն է, որին ծանոթացնում են դպրոցականներին։ Դրանք լուծվում են բավականին արագ և պարզ։ Այսպիսով, ինչ է գծային հավասարումը: Սա ձևի արտահայտություն է՝ ah=c։ Դա առանձնապես պարզ չէ, ուստի բերենք մի քանի օրինակ՝ 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.
Դիտարկենք հավասարումների օրինակներ։ Դա անելու համար մենք պետք է հավաքենք բոլոր հայտնի տվյալները մի կողմից, իսկ անհայտները՝ մյուս կողմից՝ x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Այստեղ օգտագործվել են մաթեմատիկայի տարրական կանոնները՝ a*c=e, սրանից c=e/a; a=e/c. Հավասարման լուծումն ավարտելու համար մենք կատարում ենք մեկ գործողություն (մեր դեպքում՝ բաժանում) x = 13; x=8; x=5. Սրանք բազմապատկման օրինակներ էին, հիմա նայենք հանմանը և գումարմանը. x+3=9; 10x-5=15. Հայտնի տվյալները փոխանցում ենք մեկ ուղղությամբ՝ x=9-3; x=20/10. Կատարեք վերջին գործողությունը՝ x=6; x=2.
Հնարավոր են նաև տարբերակներ գծային հավասարումներ, որտեղ օգտագործվում է մեկից ավելի փոփոխական՝ 2x-2y=4։ Լուծելու համար անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր մասին ավելացնել 2y, ստանում ենք 2x-2y + 2y = 4-2y, ինչպես նկատեցինք, ըստ. ձախ կողմ-2y և +2y հավասար նշանները չեղարկվում են՝ թողնելով մեզ՝ 2x=4-2y: Վերջին քայլը յուրաքանչյուր մասի բաժանելն է երկուսի, ստանում ենք պատասխանը՝ x-ը հավասար է երկուսի հանած y-ի:
Հավասարումների հետ կապված խնդիրներ հանդիպում են նույնիսկ Ահմես պապիրուսի վրա։ Ահա մեկ խնդիր. թիվը և նրա չորրորդ մասը գումարվում են 15-ի: Այն լուծելու համար մենք գրում ենք հետևյալ հավասարումը. x-ին գումարած մեկ չորրորդ x-ը հավասար է տասնհինգի: Լուծման արդյունքի հիման վրա տեսնում ենք ևս մեկ օրինակ, ստանում ենք պատասխանը՝ x=12։ Բայց այս խնդիրը կարող է լուծվել մեկ այլ ճանապարհով, այն է՝ եգիպտական կամ, ինչպես այլ կերպ են անվանում, ենթադրության մեթոդով։ Պապիրուսն օգտագործում է հետևյալ լուծումը՝ վերցրեք դրա չորսը և չորրորդը, այսինքն՝ մեկը։ Ընդհանուր առմամբ տալիս են հինգ, հիմա տասնհինգը պետք է բաժանել գումարի վրա, ստանում ենք երեքը, վերջին քայլը երեքը չորսով բազմապատկելն է։ Ստանում ենք պատասխանը՝ 12. Ինչո՞ւ ենք լուծումում տասնհինգը բաժանում հինգի։ Այսպիսով, մենք պարզում ենք, թե քանի անգամ տասնհինգ, այսինքն, արդյունքը, որը մենք պետք է ստանանք, հինգից պակաս է: Խնդիրներն այս կերպ լուծվում էին միջնադարում՝ այն հայտնի դարձավ որպես կեղծ դիրքորոշման մեթոդ։
Քառակուսային հավասարումներ
Բացի նախկինում քննարկված օրինակներից, կան նաև այլ օրինակներ. Որոնք կոնկրետ? Քառակուսային հավասարում, ինչ է դա: Նրանք նման են կացին 2 +bx+c=0: Դրանք լուծելու համար հարկավոր է ծանոթանալ որոշ հասկացությունների և կանոնների հետ:
Նախ, դուք պետք է գտնեք տարբերակիչ բանաձևով. b 2 -4ac: Որոշման երեք հնարավոր արդյունք կա.
- դիսկրիմինատորը զրոյից մեծ է.
- զրոյից պակաս;
- հավասար է զրոյի:
Առաջին տարբերակում պատասխանը կարող ենք ստանալ երկու արմատից, որոնք հայտնաբերվում են ըստ բանաձևի՝ -b+-դիսկրիմինանտի արմատը բաժանված է կրկնակի առաջին գործակցի վրա, այսինքն՝ 2ա։
Երկրորդ դեպքում հավասարումն արմատներ չունի։ Երրորդ դեպքում արմատը հայտնաբերվում է՝ օգտագործելով -b/2a բանաձեւը:
Ավելի մանրամասն ներածության համար եկեք դիտարկենք քառակուսի հավասարման օրինակ՝ երեք x քառակուսի մինուս տասնչորս x հանած հինգը հավասար է զրո: Սկզբից, ինչպես գրվել էր ավելի վաղ, մենք փնտրում ենք տարբերակիչ, մեր դեպքում այն հավասար է 256-ի: Նկատի ունեցեք, որ ստացված թիվը զրոյից մեծ է, հետևաբար, մենք պետք է ստանանք երկու արմատից բաղկացած պատասխան: Ստացված դիսկրիմինատորը փոխարինում ենք արմատներ գտնելու բանաձևով: Արդյունքում ունենք՝ x-ը հավասար է հինգի և հանած մեկ երրորդի:
Հատուկ դեպքեր քառակուսի հավասարումների մեջ
Սրանք օրինակներ են, որոնցում որոշ արժեքներ զրո են (a, b կամ c) և, հնարավոր է, մեկից ավելի:
Օրինակ՝ վերցնենք հետևյալ հավասարումը, որը քառակուսի է՝ երկու x քառակուսի հավասար է զրոյի, այստեղ տեսնում ենք, որ b և c-ն հավասար են զրոյի։ Փորձենք լուծել, դա անելու համար հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք երկուսի, ունենք՝ x 2 =0: Արդյունքում ստանում ենք x=0։
Մեկ այլ դեպք է 16x 2 -9=0: Այստեղ միայն b=0: Լուծենք հավասարումը, ազատ գործակիցը փոխանցենք աջ կողմին՝ 16x 2 = 9, այժմ յուրաքանչյուր մասը բաժանում ենք տասնվեցի՝ x 2 = ինը տասնվեցերորդական։ Քանի որ մենք ունենք x քառակուսի, 9/16-ի արմատը կարող է լինել կամ բացասական կամ դրական: Պատասխանը գրում ենք հետևյալ կերպ՝ x-ը հավասար է գումարած/մինուս երեք քառորդի:
Մեկ այլ հնարավոր պատասխանն այն է, որ հավասարումն ընդհանրապես արմատներ չունի: Դիտարկենք այս օրինակը՝ 5x 2 +80=0, այստեղ b=0: Լուծելու համար ազատ անդամին գցեք աջ կողմ, այս գործողություններից հետո ստանում ենք՝ 5x 2 = -80, այժմ յուրաքանչյուր մասը բաժանում ենք հինգի՝ x 2 = հանած տասնվեց։ Եթե ցանկացած թիվ քառակուսի հանենք, ապա բացասական արժեք չենք ստանա։ Հետևաբար, մեր պատասխանն է՝ հավասարումն արմատներ չունի։
Եռանիշ ընդլայնում
Քառակուսային հավասարումների առաջադրանքը կարող է հնչել նաև այսպես. ընդլայնել քառակուսի եռանկյունբազմապատկիչներով։ Դա կարելի է անել՝ օգտագործելով հետևյալ բանաձևը՝ a(x-x 1)(x-x 2): Դա անելու համար, ինչպես առաջադրանքի մյուս տարբերակում, անհրաժեշտ է գտնել տարբերակիչ:
Դիտարկենք հետևյալ օրինակը. 3x 2 -14x-5, եռանկյունի չափաբաժինը: Մենք գտնում ենք դիսկրիմինատորը՝ օգտագործելով մեզ արդեն հայտնի բանաձևը, պարզվում է, որ այն հավասար է 256-ի: Անմիջապես նշում ենք, որ 256-ը մեծ է զրոյից, հետևաբար, հավասարումը կունենա երկու արմատ: Մենք գտնում ենք դրանք, ինչպես նախորդ պարբերությունում, ունենք՝ x = հինգ և մինուս մեկ երրորդը: Օգտագործենք եռանդամի գործակցման բանաձևը՝ 3(x-5)(x+1/3): Երկրորդ փակագծում ստացանք հավասարության նշան, քանի որ բանաձևը պարունակում է մինուս նշան, իսկ արմատը նույնպես բացասական է՝ օգտագործելով մաթեմատիկայի հիմնական գիտելիքները, գումարում ունենք գումարած նշան։ Պարզեցնելու համար եկեք բազմապատկենք հավասարման առաջին և երրորդ անդամները՝ (x-5)(x+1) կոտորակից ազատվելու համար:
Քառակուսայինի կրճատվող հավասարումներ
Այս բաժնում մենք կսովորենք, թե ինչպես լուծել ավելի բարդ հավասարումներ: Անմիջապես սկսենք օրինակով.
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0: Կարող ենք նկատել կրկնվող տարրեր՝ (x 2 - 2x), լուծելու համար մեզ հարմար է փոխարինել մեկ այլ փոփոխականով, իսկ հետո Անմիջապես լուծեք սովորական քառակուսի հավասարումը Մենք նշում ենք, որ նման առաջադրանքում մենք կստանանք չորս արմատ, դա չպետք է վախեցնի ձեզ: Նշում ենք a փոփոխականի կրկնությունը։ Ստանում ենք՝ a 2 -2a-3=0: Մեր հաջորդ քայլըգտնում է նոր հավասարման դիսկրիմինանտը: Մենք ստանում ենք 16, գտնում ենք երկու արմատ՝ մինուս մեկ և երեք: Մենք հիշում ենք, որ մենք կատարել ենք փոխարինումը, փոխարինել այս արժեքները, արդյունքում ունենք հավասարումներ՝ x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Դրանք լուծում ենք առաջին պատասխանում՝ x-ը հավասար է մեկի, երկրորդում՝ x-ը հավասար է մինուս մեկին և երեքին: Պատասխանը գրում ենք հետևյալ կերպ՝ գումարած/մինուս մեկ և երեք։ Պատասխանը, որպես կանոն, գրվում է աճման կարգով։
Խորանարդային հավասարումներ
Եկեք նայենք ևս մեկին հնարավոր տարբերակ. Խոսքը վերաբերում էխորանարդ հավասարումների մասին։ Նրանք նման են՝ կացին 3 + b x 2 + cx + d =0: Ստորև մենք կդիտարկենք հավասարումների օրինակներ, բայց նախ՝ մի փոքր տեսություն: Նրանք կարող են ունենալ երեք արմատ, և կա նաև խորանարդ հավասարման դիսկրիմինանտը գտնելու բանաձև։
Դիտարկենք օրինակ՝ 3x 3 +4x 2 +2x=0: Ինչպե՞ս լուծել այն: Դա անելու համար մենք պարզապես x-ը դնում ենք փակագծերից՝ x(3x 2 +4x+2)=0: Մեզ մնում է միայն հաշվարկել հավասարման արմատները փակագծերում: Փակագծերում քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, դրա հիման վրա արտահայտությունն ունի արմատ՝ x=0։
Հանրահաշիվ. Հավասարումներ
Անցնենք հաջորդ տեսակետին։ Այժմ մենք համառոտ կանդրադառնանք հանրահաշվական հավասարումներ. Առաջադրանքներից մեկը հետևյալն է՝ գործակից 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5։ Ամենահարմար տարբերակը կլինի հետևյալ խմբավորումը՝ (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5): Նկատի ունեցեք, որ մենք առաջին արտահայտությունից 8x 2-ը ներկայացրել ենք որպես 3x2 և 5x2 գումարի գումար: Այժմ յուրաքանչյուր փակագծից հանում ենք ընդհանուր գործակիցը 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1): Տեսնում ենք, որ ունենք ընդհանուր գործակից՝ x քառակուսի գումարած մեկ, այն հանում ենք փակագծերից՝ (x 2 +1)(3x 2 +2x+5): Հետագա ընդլայնումը հնարավոր չէ, քանի որ երկու հավասարումներն էլ ունեն բացասական տարբերակիչ:
Տրանսցենդենտալ հավասարումներ
Մենք առաջարկում ենք ձեզ զբաղվել հետևյալ տեսակի հետ. Սրանք հավասարումներ են, որոնք պարունակում են տրանսցենդենտալ ֆունկցիաներ՝ լոգարիթմական, եռանկյունաչափական կամ էքսպոնենցիալ: Օրինակներ՝ 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 և այլն: Ինչպես են դրանք լուծվում, դուք կսովորեք եռանկյունաչափության դասընթացից։
Գործառույթ
Վերջին քայլը ֆունկցիայի հավասարման հայեցակարգի դիտարկումն է: Ի տարբերություն նախորդ տարբերակների, այս տեսակը չի լուծվում, բայց դրա հիման վրա կառուցվում է գրաֆիկ: Դա անելու համար արժե լավ վերլուծել հավասարումը, գտնել շինարարության համար անհրաժեշտ բոլոր կետերը և հաշվարկել նվազագույն և առավելագույն միավորները։
