տուն Ատամի ցավ Լուծեք մատրիցը Քրամերի մեթոդով։ Կրամերի մեթոդ. Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում (slau)

Ատամի ցավ

Լուծեք մատրիցը Քրամերի մեթոդով։ Կրամերի մեթոդ. Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում (slau)

Կրամերի մեթոդը հիմնված է համակարգերի լուծման մեջ որոշիչ գործոնների օգտագործման վրա գծային հավասարումներ. Սա զգալիորեն արագացնում է լուծման գործընթացը:

Կրամերի մեթոդը կարող է օգտագործվել այնքան գծային հավասարումների համակարգ լուծելու համար, որքան անհայտներ կան յուրաքանչյուր հավասարման մեջ։ Եթե համակարգի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա լուծման մեջ կարող է օգտագործվել Քրամերի մեթոդը, իսկ եթե այն հավասար է զրոյի, ապա չի կարող։ Բացի այդ, Կրամերի մեթոդով կարելի է լուծել գծային հավասարումների համակարգեր, որոնք ունեն յուրահատուկ լուծում։

Սահմանում. Անհայտների գործակիցներից կազմված որոշիչը կոչվում է համակարգի որոշիչ և նշվում է (դելտա):

Որոշիչներ

ստացվում են համապատասխան անհայտների գործակիցները ազատ անդամներով փոխարինելով.

;

Կրամերի թեորեմ. Եթե համակարգի որոշիչը զրոյական չէ, ապա գծային հավասարումների համակարգը ունի մեկ եզակի լուծում, իսկ անհայտը հավասար է որոշիչների հարաբերակցությանը։ Հայտարարը պարունակում է համակարգի որոշիչը, իսկ համարիչը՝ համակարգի որոշիչից ստացված որոշիչը՝ փոխարինելով այս անհայտի գործակիցները ազատ անդամներով։ Այս թեորեմը վերաբերում է ցանկացած կարգի գծային հավասարումների համակարգին:

Օրինակ 1.Լուծել գծային հավասարումների համակարգ.

Համաձայն Կրամերի թեորեմմենք ունենք:

Այսպիսով, համակարգի լուծումը (2):

առցանց հաշվիչ, վճռական մեթոդԿրամերը։

Երեք դեպք գծային հավասարումների համակարգեր լուծելիս

Ինչպես պարզ է դառնում Կրամերի թեորեմ, գծային հավասարումների համակարգը լուծելիս կարող է առաջանալ երեք դեպք.

Առաջին դեպք. գծային հավասարումների համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում

(համակարգը հետևողական է և հստակ)

Երկրորդ դեպք՝ գծային հավասարումների համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ

(համակարգը հետևողական է և անորոշ)

** ,

դրանք. անհայտների և ազատ անդամների գործակիցները համաչափ են։

Երրորդ դեպք՝ գծային հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի

(համակարգը անհամապատասխան է)

Այսպիսով, համակարգը մհետ գծային հավասարումներ nկոչվում են փոփոխականներ ոչ համատեղ, եթե նա չունի մեկ լուծում, և համատեղ, եթե այն ունի գոնե մեկ լուծում։ Հավասարումների համաժամանակյա համակարգ, որն ունի միայն մեկ լուծում, կոչվում է որոշակիև մեկից ավելի – անորոշ.

Քրամերի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերի լուծման օրինակներ

Թող համակարգը տրվի

Քրամերի թեորեմի հիման վրա

………….
,

Որտեղ
-

համակարգի որոշիչ: Մնացած որոշիչները ստանում ենք՝ սյունակը համապատասխան փոփոխականի (անհայտ) գործակիցներով փոխարինելով ազատ տերմիններով.

Օրինակ 2.

Հետևաբար, համակարգը որոշակի է: Դրա լուծումը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք որոշիչները

Օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը, մենք գտնում ենք.

Այսպիսով, (1; 0; -1) համակարգի միակ լուծումն է:

3 X 3 և 4 X 4 հավասարումների համակարգերի լուծումները ստուգելու համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչը՝ օգտագործելով Քրամերի լուծման մեթոդը:

Եթե գծային հավասարումների համակարգում մեկ կամ մի քանի հավասարումների մեջ փոփոխականներ չկան, ապա որոշիչում համապատասխան տարրերը հավասար են զրոյի։ Սա հաջորդ օրինակն է։

Օրինակ 3.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Կրամերի մեթոդը.

Լուծում. Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչը.

Ուշադիր նայեք հավասարումների համակարգին և համակարգի որոշիչին և կրկնեք այն հարցի պատասխանը, թե որ դեպքերում են որոշիչի մեկ կամ մի քանի տարրերը հավասար զրոյի: Այսպիսով, որոշիչը հավասար չէ զրոյի, հետևաբար համակարգը որոշակի է։ Դրա լուծումը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք անհայտների որոշիչները

Օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը, մենք գտնում ենք.

Այսպիսով, համակարգի լուծումը (2; -1; 1) է:

Էջի վերևում

Մենք միասին շարունակում ենք համակարգեր լուծել՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդը

Ինչպես արդեն նշվեց, եթե համակարգի որոշիչը հավասար է զրոյի, իսկ անհայտների որոշիչները հավասար չեն զրոյի, ապա համակարգը անհամապատասխան է, այսինքն՝ չունի լուծումներ։ Եկեք բացատրենք հետևյալ օրինակով.

Օրինակ 6.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Կրամերի մեթոդը.

Լուծում. Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչը.

Համակարգի որոշիչը հավասար է զրոյի, հետևաբար գծային հավասարումների համակարգը կա՛մ անհամապատասխան է և որոշակի, կա՛մ անհետևողական, այսինքն՝ չունի լուծումներ։ Պարզաբանելու համար մենք հաշվարկում ենք որոշիչները անհայտների համար

Անհայտների որոշիչները հավասար չեն զրոյի, հետևաբար՝ համակարգը անհամապատասխան է, այսինքն՝ չունի լուծումներ։

Գծային հավասարումների համակարգերի հետ կապված խնդիրներում կան նաև այնպիսիք, որտեղ, բացի փոփոխականներ նշանակող տառերից, կան նաև այլ տառեր։ Այս տառերը ներկայացնում են մի թիվ, առավել հաճախ իրական: Գործնականում նման հավասարումները և հավասարումների համակարգերը հանգեցնում են ցանկացած երևույթի և առարկայի ընդհանուր հատկությունների որոնման խնդիրների: Այսինքն՝ դուք որևէ մեկը հորինե՞լ եք նոր նյութկամ սարքը, և նկարագրելու դրա հատկությունները, որոնք ընդհանուր են՝ անկախ օրինակի չափից կամ քանակից, պետք է լուծել գծային հավասարումների համակարգ, որտեղ փոփոխականների որոշ գործակիցների փոխարեն տառեր կան։ Պետք չէ հեռուն փնտրել օրինակների համար:

Հետևյալ օրինակը նմանատիպ խնդրի համար է, մեծանում է միայն որոշակի իրական թիվ նշանակող հավասարումների, փոփոխականների և տառերի թիվը։

Օրինակ 8.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Կրամերի մեթոդը.

Լուծում. Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչը.

Անհայտների համար որոշիչներ գտնելը

Կրամերի մեթոդը օգտագործվում է գծային համակարգերի լուծման համար հանրահաշվական հավասարումներ(SLAE), որտեղ անհայտ փոփոխականների թիվը հավասար է հավասարումների թվին, իսկ հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես են անհայտ փոփոխականները գտնվել Քրամերի մեթոդով և ստանալ բանաձևեր: Սրանից հետո անցնենք օրինակներին և մանրամասն նկարագրենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծումը Քրամերի մեթոդով։

Էջի նավարկություն.

Կրամերի մեթոդը՝ բանաձևերի ածանցում։

Եկեք լուծենք ձևի գծային հավասարումների համակարգ

Որտեղ x 1, x 2, …, x n անհայտ փոփոխականներ են, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- թվային գործակիցներ, b 1, b 2, ..., b n - ազատ տերմիններ: SLAE-ի լուծումը x 1, x 2, …, x n արժեքների այնպիսի հավաքածու է, որի համար համակարգի բոլոր հավասարումները դառնում են նույնականություն:

Մատրիցային ձևով այս համակարգը կարելի է գրել A ⋅ X = B, որտեղ - համակարգի հիմնական մատրիցը, դրա տարրերը անհայտ փոփոխականների գործակիցներն են, - մատրիցը ազատ տերմինների սյունակ է, իսկ մատրիցը անհայտ փոփոխականների սյունակ է: x 1, x 2, …, x n անհայտ փոփոխականները գտնելուց հետո մատրիցը դառնում է հավասարումների համակարգի լուծում, իսկ A ⋅ X = B հավասարությունը դառնում է նույնականություն:

Մենք կենթադրենք, որ A մատրիցը ոչ եզակի է, այսինքն՝ նրա որոշիչը զրոյական չէ։ Այս դեպքում գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգն ունի եզակի լուծում, որը կարելի է գտնել Քրամերի մեթոդով։ (Համակարգերի լուծման մեթոդները քննարկվում են գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման բաժնում):

Կրամերի մեթոդը հիմնված է մատրիցային որոշիչի երկու հատկությունների վրա.

Այսպիսով, եկեք սկսենք գտնել x 1 անհայտ փոփոխականը: Դա անելու համար մենք համակարգի առաջին հավասարման երկու մասերը բազմապատկում ենք A 1 1-ով, երկրորդ հավասարման երկու մասերը A 2 1-ով և այլն, n-րդ հավասարման երկու մասերն էլ A n 1-ով (այսինքն մենք բազմապատկել համակարգի հավասարումները առաջին մատրիցայի A սյունակի համապատասխան հանրահաշվական լրացումներով).

Եկեք գումարենք համակարգի հավասարման բոլոր ձախ կողմերը՝ խմբավորելով անդամները անհայտ փոփոխականներով x 1, x 2, ..., x n, և այս գումարը հավասարեցնենք հավասարումների բոլոր աջ կողմերի գումարին.

Եթե անդրադառնանք որոշիչի նախկինում նշված հատկություններին, կունենանք

իսկ նախորդ հավասարությունը ձև է ստանում

որտեղ

Նմանապես, մենք գտնում ենք x 2: Դա անելու համար մենք համակարգի հավասարումների երկու կողմերը բազմապատկում ենք A մատրիցայի երկրորդ սյունակի հանրահաշվական լրացումներով.

Մենք գումարում ենք համակարգի բոլոր հավասարումները, խմբավորում ենք x 1, x 2, ..., x n անհայտ փոփոխականների տերմինները և կիրառում որոշիչի հատկությունները.

Որտեղ
.

Մնացած անհայտ փոփոխականները հայտնաբերված են նույն կերպ:

Եթե նշանակենք

Հետո մենք ստանում ենք Քրամերի մեթոդով անհայտ փոփոխականներ գտնելու բանաձևեր .

Մեկնաբանություն.

Եթե գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը միատարր է, այսինքն , ապա այն ունի միայն չնչին լուծում (at): Իրոք, զրոյական ազատ տերմինների համար, բոլոր որոշիչները հավասար կլինի զրոյի, քանի որ դրանք պարունակում են զրոյական տարրերի սյունակ: Հետեւաբար, բանաձեւերը կտա ։

Քրամերի մեթոդով գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման ալգորիթմ.

Եկեք գրենք այն Քրամերի մեթոդով գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման ալգորիթմ.

Քրամերի մեթոդով գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման օրինակներ.

Դիտարկենք մի քանի օրինակների լուծումներ:

Օրինակ։

Գտեք գծային հանրահաշվական հավասարումների անհամասեռ համակարգի լուծում՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդը .

Լուծում.

Համակարգի հիմնական մատրիցն ունի ձև. Եկեք հաշվարկենք դրա որոշիչը՝ օգտագործելով բանաձևը :

Քանի որ համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից, SLAE-ն ունի յուրահատուկ լուծում, և այն կարելի է գտնել Քրամերի մեթոդով։ Եկեք գրենք որոշիչները և . Մենք համակարգի հիմնական մատրիցայի առաջին սյունակը փոխարինում ենք ազատ տերմինների սյունակով և ստանում ենք որոշիչը . Նմանապես, մենք փոխարինում ենք հիմնական մատրիցայի երկրորդ սյունակը ազատ տերմինների սյունակով և ստանում ենք .

Մենք հաշվարկում ենք այս որոշիչները.

Բանաձևերով գտե՛ք x 1 և x 2 անհայտ փոփոխականները :

Եկեք ստուգենք. Ստացված x 1 և x 2 արժեքները փոխարինենք սկզբնական հավասարումների համակարգում.

Համակարգի երկու հավասարումներն էլ դառնում են ինքնություններ, հետևաբար լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Պատասխան.

SLAE-ի հիմնական մատրիցայի որոշ տարրեր կարող են հավասար լինել զրոյի: Այս դեպքում համակարգային հավասարումներից կբացակայեն համապատասխան անհայտ փոփոխականները: Դիտարկենք մի օրինակ։

Օրինակ։

Գտեք գծային հավասարումների համակարգի լուծումը Քրամերի մեթոդով .

Լուծում.

Եկեք վերաշարադրենք համակարգը ձևով , որպեսզի տեսանելի դառնա համակարգի հիմնական մատրիցը . Եկեք գտնենք դրա որոշիչը՝ օգտագործելով բանաձևը

Մենք ունենք

Հիմնական մատրիցայի որոշիչը ոչ զրոյական է, հետևաբար, գծային հավասարումների համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում: Եկեք գտնենք այն Քրամերի մեթոդով։ Եկեք հաշվարկենք որոշիչները :

Այսպիսով,

Պատասխան.

Համակարգի հավասարումների մեջ անհայտ փոփոխականների նշանակումները կարող են տարբերվել x 1, x 2, ..., x n-ից: Սա չի ազդում որոշման գործընթացի վրա: Բայց համակարգի հավասարումների մեջ անհայտ փոփոխականների հերթականությունը շատ կարևոր է հիմնական մատրիցը և Կրամերի մեթոդի անհրաժեշտ որոշիչները կազմելիս։ Եկեք պարզաբանենք այս կետը օրինակով.

Օրինակ։

Օգտագործելով Քրամերի մեթոդը, գտեք երեք անհայտ երեք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծում .

Լուծում.

Այս օրինակում անհայտ փոփոխականներն ունեն այլ նշում (x, y և z x 1, x 2 և x 3-ի փոխարեն): Սա չի ազդում լուծման վրա, բայց զգույշ եղեք փոփոխական նշումներով: Դու ՉԵՔ կարող դա ընդունել որպես համակարգի հիմնական մատրիցա . Անհրաժեշտ է նախ պատվիրել անհայտ փոփոխականները համակարգի բոլոր հավասարումների մեջ։ Դա անելու համար մենք վերագրում ենք հավասարումների համակարգը որպես . Այժմ հստակ տեսանելի է համակարգի հիմնական մատրիցան . Եկեք հաշվարկենք դրա որոշիչը.

Հիմնական մատրիցայի որոշիչը ոչ զրոյական է, հետևաբար, հավասարումների համակարգն ունի եզակի լուծում: Եկեք գտնենք այն Քրամերի մեթոդով։ Եկեք գրենք որոշիչները (ուշադրություն դարձրեք նշագրությանը) և հաշվարկեք դրանք.

Մնում է գտնել անհայտ փոփոխականները՝ օգտագործելով բանաձևերը :

Եկեք ստուգենք. Դա անելու համար հիմնական մատրիցը բազմապատկեք ստացված լուծույթով (անհրաժեշտության դեպքում տես բաժինը).

Արդյունքում մենք ստացանք սկզբնական հավասարումների համակարգի ազատ անդամների սյունակ, ուստի լուծումը ճիշտ է գտնվել։

Պատասխան.

x = 0, y = -2, z = 3:

Օրինակ։

Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդը , որտեղ a և b որոշ իրական թվեր են:

Լուծում.

Պատասխան.

Օրինակ։

Գտեք հավասարումների համակարգի լուծումը Կրամերի մեթոդով, - որոշ իրական թիվ։

Լուծում.

Հաշվարկենք համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը՝ . արտահայտությունը միջակայք է, հետևաբար ցանկացած իրական արժեքի համար: Հետևաբար, հավասարումների համակարգն ունի եզակի լուծում, որը կարելի է գտնել Քրամերի մեթոդով։ Մենք հաշվարկում ենք և.

Այս պարբերությունը տիրապետելու համար դուք պետք է կարողանաք բացահայտել «երկուսը երկու» և «երեքը երեք» որոշիչները: Եթե դուք վատ եք որակավորումների հետ, խնդրում ենք ուսումնասիրել դասը Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Նախ, մենք ավելի մանրամասն կանդրադառնանք Կրամերի կանոնին երկու անհայտների մեջ երկու գծային հավասարումների համակարգի համար: Ինչի համար? - Ամենից հետո ամենապարզ համակարգըկարելի է լուծել դպրոցական մեթոդ, տերմին առ ժամկետ ավելացման մեթոդով։

Փաստն այն է, որ երբեմն, բայց երբեմն կա այդպիսի խնդիր՝ լուծել երկու գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձեւերը։ Երկրորդ, ավելի պարզ օրինակը կօգնի ձեզ հասկանալ, թե ինչպես կարելի է ավելի շատ օգտագործել Cramer-ի կանոնը բարդ գործ– երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգեր:

Բացի այդ, կան երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգեր, որոնք նպատակահարմար է լուծել՝ օգտագործելով Քրամերի կանոնը:

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը

Առաջին քայլում մենք հաշվարկում ենք որոշիչը, այն կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.

Գաուսի մեթոդ.

Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երկու որոշիչ.
Եվ

Գործնականում վերը նշված որակավորումները նույնպես կարող են նշանակվել Լատինական տառ.

Մենք գտնում ենք հավասարման արմատները՝ օգտագործելով բանաձևերը.
,

Օրինակ 7

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

ԼուծումՏեսնում ենք, որ հավասարման գործակիցները բավականին մեծ են, աջ կողմում կան տասնորդականներստորակետով. Ստորակետը բավականին հազվադեպ հյուր է գործնական առաջադրանքներմաթեմատիկայի մեջ այս համակարգը վերցրել եմ էկոնոմետրիկ խնդրից:

Ինչպե՞ս լուծել նման համակարգը: Դուք կարող եք փորձել արտահայտել մի փոփոխականը մյուսով, բայց այս դեպքում, հավանաբար, կհայտնվեք սարսափելի շքեղ ֆրակցիաների հետ, որոնց հետ աշխատելը չափազանց անհարմար է, և լուծման դիզայնը պարզապես սարսափելի տեսք կունենա: Դուք կարող եք երկրորդ հավասարումը բազմապատկել 6-ով և հանել անդամ առ անդամ, բայց այստեղ նույնպես կառաջանան նույն կոտորակները:

Ինչ անել? Նման դեպքերում օգնության են հասնում Քրամերի բանաձեւերը.

;

Պատասխանել: ,

Երկու արմատներն էլ ունեն անսահման պոչեր և հայտնաբերվում են մոտավորապես, ինչը միանգամայն ընդունելի է (և նույնիսկ սովորական) էկոնոմետրիկ խնդիրների համար:

Այստեղ մեկնաբանություններ պետք չեն, քանի որ խնդիրը լուծվում է պատրաստի բանաձևերի միջոցով, այնուամենայնիվ, կա մեկ նախազգուշացում. Երբ օգտագործել այս մեթոդը, պարտադիրԱռաջադրանքի ձևավորման հատվածը հետևյալ հատվածն է. «Սա նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում».. Հակառակ դեպքում, գրախոսը կարող է պատժել ձեզ Քրամերի թեորեմի նկատմամբ անհարգալից վերաբերմունքի համար:

Ավելորդ չէր լինի ստուգել, ինչը հարմար է իրականացնել հաշվիչի վրա. մենք փոխարինում ենք մոտավոր արժեքները ձախ կողմհամակարգի յուրաքանչյուր հավասարում: Արդյունքում, փոքր սխալով, դուք պետք է ստանաք թվեր, որոնք գտնվում են աջ կողմերում:

Օրինակ 8

Պատասխանը ներկայացրու սովորական անպատշաճ կոտորակներով: Ստուգեք.

Սա օրինակ է անկախ որոշում(Դասի վերջում ավարտելու և պատասխանելու օրինակ):

Եկեք անցնենք Քրամերի կանոնը երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգի համար.

Մենք գտնում ենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եթե , ապա համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է (լուծումներ չունի): Այս դեպքում Քրամերի կանոնը չի օգնի, դուք պետք է օգտագործեք Գաուսի մեթոդը.

Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երեք որոշիչ.
, ,

Եվ վերջապես, պատասխանը հաշվարկվում է բանաձևերով.

Ինչպես տեսնում եք, «երեքը երեքով» գործը սկզբունքորեն չի տարբերվում «երկու առ երկու» գործից:

Օրինակ 9

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

ԼուծումԵկեք լուծենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը:

, ինչը նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Պատասխանել: .

Փաստորեն, այստեղ կրկին առանձնահատուկ բան չկա մեկնաբանելու, քանի որ լուծումը հետևում է պատրաստի բանաձևերին։ Բայց մի երկու մեկնաբանություն կա.

Պատահում է, որ հաշվարկների արդյունքում ստացվում են «վատ» անկրճատելի կոտորակներ, օրինակ՝ .
Ես առաջարկում եմ հետևյալ «բուժման» ալգորիթմը. Եթե ձեռքի տակ չունեք համակարգիչ, արեք հետևյալը.

1) Հաշվարկներում կարող է լինել սխալ: Հենց որ հանդիպեք «վատ» կոտորակի, անմիջապես պետք է ստուգեք Արդյո՞ք պայմանը ճիշտ է վերագրված:. Եթե պայմանը վերագրվում է առանց սխալների, ապա դուք պետք է վերահաշվարկեք որոշիչները՝ օգտագործելով ընդլայնումը մեկ այլ տողում (սյունակում):

2) Եթե ստուգման արդյունքում սխալներ չեն հայտնաբերվել, ապա, ամենայն հավանականությամբ, առաջադրանքի պայմաններում տառասխալ է եղել: Այս դեպքում հանգիստ և զգույշ գործեք առաջադրանքը մինչև վերջ, իսկ հետո անպայման ստուգեքև որոշում կայացնելուց հետո այն կազմում ենք մաքուր թերթիկում: Իհարկե, կոտորակային պատասխանը ստուգելը տհաճ խնդիր է, բայց դա զինաթափող փաստարկ կլինի ուսուցչի համար, ով իսկապես սիրում է մինուս տալ ցանկացած հիմարության համար: Ինչպես կարգավորել կոտորակները, մանրամասն նկարագրված է օրինակ 8-ի պատասխանում:

Եթե ձեռքի տակ ունեք համակարգիչ, ապա ստուգելու համար օգտագործեք ավտոմատացված ծրագիր, որը կարելի է անվճար ներբեռնել դասի հենց սկզբում։ Ի դեպ, ամենից շահավետ է անմիջապես օգտագործել ծրագիրը (նույնիսկ լուծումը սկսելուց առաջ դուք անմիջապես կտեսնեք այն միջանկյալ քայլը, որտեղ սխալ եք թույլ տվել): Նույն հաշվիչը ավտոմատ կերպով հաշվարկում է համակարգի լուծումը մատրիցային մեթոդ.

Երկրորդ դիտողություն. Ժամանակ առ ժամանակ կան համակարգեր, որոնց հավասարումների մեջ որոշ փոփոխականներ բացակայում են, օրինակ.

Այստեղ առաջին հավասարման մեջ փոփոխական չկա, երկրորդում՝ փոփոխական։ Նման դեպքերում շատ կարևոր է ճիշտ և զգույշ գրել հիմնական որոշիչը.
- բացակայող փոփոխականների փոխարեն զրոները տեղադրվում են:
Ի դեպ, ռացիոնալ է զրոներով որոշիչները բացել ըստ այն տողի (սյունակի), որում գտնվում է զրոն, քանի որ նկատելիորեն ավելի քիչ հաշվարկներ կան։

Օրինակ 10

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

Սա անկախ լուծման օրինակ է (վերջնական ձևավորման նմուշ և դասի վերջում պատասխան):

4 անհայտներով 4 հավասարումների համակարգի դեպքում Կրամերի բանաձևերը գրվում են նմանատիպ սկզբունքներով։ Կենդանի օրինակ կարող եք տեսնել «Determinants»-ի հատկությունները դասում: Որոշիչի հերթականության կրճատում - 4-րդ կարգի հինգ որոշիչները բավականին լուծելի են: Թեև առաջադրանքն արդեն շատ է հիշեցնում բախտավոր ուսանողի կրծքին դրված պրոֆեսորի կոշիկը։

Համակարգի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցա

Մեթոդ հակադարձ մատրիցա- սա է ըստ էության հատուկ դեպք մատրիցային հավասարում(Տե՛ս նշված դասի օրինակ թիվ 3):

Այս բաժինը ուսումնասիրելու համար դուք պետք է կարողանաք ընդլայնել որոշիչները, գտնել մատրիցի հակադարձը և կատարել մատրիցային բազմապատկում: Համապատասխան հղումները կտրամադրվեն բացատրությունների առաջընթացին:

Օրինակ 11

Համակարգը լուծեք մատրիցային մեթոդով

ԼուծումԳրենք համակարգը մատրիցային տեսքով.
, Որտեղ

Խնդրում ենք դիտել հավասարումների և մատրիցների համակարգը: Կարծում եմ, բոլորը հասկանում են այն սկզբունքը, որով մենք տարրերը գրում ենք մատրիցների մեջ: Միակ մեկնաբանությունը. եթե որոշ փոփոխականներ բացակայեին հավասարումներից, ապա մատրիցայի համապատասխան տեղերում պետք է զրոներ տեղադրվեին։

Մենք գտնում ենք հակադարձ մատրիցը՝ օգտագործելով բանաձևը.
, որտեղ է փոխադրված մատրիցը հանրահաշվական հավելումներհամապատասխան մատրիցային տարրեր:

Նախ, եկեք նայենք որոշիչին.

Այստեղ որոշիչն ընդլայնվում է առաջին տողի վրա։

Ուշադրություն. Եթե , ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, և անհնար է համակարգը լուծել մատրիցային մեթոդով։ Այս դեպքում համակարգը լուծվում է անհայտների վերացման մեթոդով (Գաուսի մեթոդ)։

Այժմ մենք պետք է հաշվարկենք 9 անչափահաս և դրանք գրենք անչափահասների մատրիցայում

Հղում:Օգտակար է իմանալ գծային հանրահաշիվում կրկնակի ենթագրերի նշանակությունը: Առաջին նիշը այն տողի թիվն է, որում գտնվում է տարրը: Երկրորդ նիշը սյունակի թիվն է, որում գտնվում է տարրը.

Այսինքն, կրկնակի մակագրությունը ցույց է տալիս, որ տարրը գտնվում է առաջին շարքում, երրորդ սյունակում, և, օրինակ, տարրը գտնվում է 3 տողում, 2 սյունակում:

Լուծման ընթացքում ավելի լավ է մանրամասն նկարագրել անչափահասների հաշվարկը, թեև որոշակի փորձով կարող եք վարժվել դրանք բանավոր սխալներով հաշվարկելուն։

Կրամերի մեթոդը կամ այսպես կոչված Քրամերի կանոնը հավասարումների համակարգերից անհայտ մեծությունների որոնման մեթոդ է։ Այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, եթե փնտրվող արժեքների թիվը համարժեք է համակարգի հանրահաշվական հավասարումների թվին, այսինքն՝ համակարգից ձևավորված հիմնական մատրիցը պետք է լինի քառակուսի և չպարունակի զրոյական տող, ինչպես նաև, եթե դրա որոշիչը պետք է լինի. զրո չլինի.

Թեորեմ 1

Կրամերի թեորեմԵթե հավասարումների գործակիցների հիման վրա կազմված հիմնական մատրիցայի $D$ հիմնական որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա հավասարումների համակարգը համահունչ է և ունի յուրահատուկ լուծում։ Նման համակարգի լուծումը հաշվարկվում է այսպես կոչված Կրամերի բանաձևերի միջոցով՝ գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար՝ $x_i = \frac(D_i)(D)$

Ի՞նչ է Cramer մեթոդը:

Քրամերի մեթոդի էությունը հետևյալն է.

Համակարգի լուծումը Քրամերի մեթոդով գտնելու համար նախ հաշվարկում ենք $D$ մատրիցայի հիմնական որոշիչը։ Երբ հիմնական մատրիցայի հաշվարկված որոշիչը Կրամերի մեթոդով հաշվարկելիս պարզվում է, որ հավասար է զրոյի, ապա համակարգը չունի մեկ լուծում կամ ունի անսահման թվով լուծումներ։ Այս դեպքում համակարգի համար ընդհանուր կամ որոշ հիմնական պատասխան գտնելու համար խորհուրդ է տրվում օգտագործել Գաուսի մեթոդը։
Այնուհետև դուք պետք է փոխարինեք հիմնական մատրիցայի ամենահեռավոր սյունակը ազատ տերմինների սյունակով և հաշվարկեք $D_1$ որոշիչը:
Նույնը կրկնեք բոլոր սյունակների համար՝ ստանալով $D_1$-ից մինչև $D_n$ որոշիչները, որտեղ $n$-ը ամենաաջ սյունակի թիվն է:
$D_1$...$D_n$ բոլոր որոշիչները գտնելուց հետո անհայտ փոփոխականները կարող են հաշվարկվել $x_i = \frac(D_i)(D)$ բանաձևով:

Մատրիցայի որոշիչի հաշվարկման տեխնիկա

2-ից 2-ից մեծ չափանիշ ունեցող մատրիցայի որոշիչը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել մի քանի մեթոդներ.

Եռանկյունների կանոնը կամ Սարրուսի կանոնը, որը հիշեցնում է նույն կանոնը։ Եռանկյունի մեթոդի էությունն այն է, որ որոշիչը հաշվարկելիս նկարում աջ կարմիր գծով միացված բոլոր թվերի արտադրյալները գրվում են գումարած նշանով, իսկ ձախ նկարում նույն կերպ միացված բոլոր թվերը: գրված են մինուս նշանով. Երկու կանոններն էլ հարմար են 3 x 3 չափսի մատրիցների համար: Սարուսի կանոնի դեպքում նախ վերաշարադրվում է հենց մատրիցը, իսկ կողքին նորից գրվում են նրա առաջին և երկրորդ սյունակները: Անկյունագծերը գծվում են մատրիցով, և մատրիցայի այս լրացուցիչ անդամները, որոնք ընկած են հիմնական անկյունագծով կամ դրան զուգահեռ, գրվում են գումարած նշանով, իսկ երկրորդական անկյունագծով ընկած տարրերը գրվում են մինուս նշանով:

Նկար 1. Եռանկյունի կանոն՝ Քրամերի մեթոդի համար որոշիչի հաշվարկման համար

Օգտագործելով մեթոդ, որը հայտնի է որպես Գաուսի մեթոդ, այս մեթոդը երբեմն կոչվում է նաև որոշիչի կարգի կրճատում: Այս դեպքում մատրիցը փոխակերպվում և կրճատվում է եռանկյուն տեսք, և այնուհետև հիմնական անկյունագծի բոլոր թվերը բազմապատկվում են: Պետք է հիշել, որ այս կերպ որոշիչ փնտրելիս դուք չեք կարող տողերը կամ սյունակները բազմապատկել կամ բաժանել թվերով՝ առանց դրանք որպես բազմապատկիչ կամ բաժանարար հանելու։ Որոշիչ փնտրելու դեպքում հնարավոր է միայն հանել և ավելացնել տողեր և սյունակներ միմյանց վրա՝ նախկինում հանված տողը բազմապատկելով ոչ զրոյական գործակցով։ Բացի այդ, երբ դուք վերադասավորում եք մատրիցայի տողերը կամ սյունակները, դուք պետք է հիշեք մատրիցի վերջնական նշանը փոխելու անհրաժեշտությունը:
Cramer մեթոդով 4 անհայտներով SLAE լուծելիս ավելի լավ է օգտագործել Գաուսի մեթոդը՝ որոշիչները որոնելու և գտնելու կամ որոշիչը՝ անչափահասների որոնմամբ:

Քրամերի մեթոդով հավասարումների համակարգերի լուծում

Եկեք կիրառենք Կրամերի մեթոդը 2 հավասարումների և երկու պահանջվող մեծությունների համակարգի համար.

$\սկիզբ (դեպքեր) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \վերջ (դեպքեր)$

Հարմարության համար եկեք ցուցադրենք այն ընդլայնված տեսքով.

$A = \սկիզբ(զանգված)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \վերջ (զանգված)$

Եկեք գտնենք հիմնական մատրիցի որոշիչը, որը նաև կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.

$D = \սկիզբ (զանգված) (|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \վերջ (զանգված) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Եթե հիմնական որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա Քրամերի մեթոդով լուծը լուծելու համար անհրաժեշտ է երկու մատրիցներից հաշվարկել ևս մի քանի որոշիչ, որոնց հիմնական մատրիցայի սյունակները փոխարինված են ազատ տերմինների շարքով.

$D_1 = \սկիզբ (զանգված) (|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \վերջ (զանգված) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \սկիզբ (զանգված) (|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \վերջ (զանգված) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Հիմա եկեք գտնենք $x_1$ և $x_2$ անհայտները.

$x_1 = \frac (D_1) (D)$

$x_2 = \frac (D_2) (D)$

Օրինակ 1

Կրամերի մեթոդը SLAE-ների լուծման համար 3-րդ կարգի հիմնական մատրիցով (3 x 3) և երեք պահանջվող:

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

$\սկիզբ (դեպքեր) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \վերջ (դեպքեր)$

Եկեք հաշվարկենք մատրիցայի հիմնական որոշիչը՝ օգտագործելով 1-ին կետում վերը նշված կանոնը.

$D = \սկիզբ(զանգված)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \վերջ (զանգված) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Եվ հիմա երեք այլ որոշիչ.

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \սկիզբ(զանգված)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \վերջ (զանգված) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108 դոլար

$D_3 = \սկիզբ(զանգված)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \վերջ (զանգված) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

Գտնենք պահանջվող քանակությունները.

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Առաջին մասում դիտարկեցինք մի քանի տեսական նյութ, փոխարինման եղանակը, ինչպես նաև համակարգի հավասարումների տերմին առ անդամ գումարելու եղանակը։ Ես խորհուրդ եմ տալիս բոլորին, ովքեր մուտք են գործել կայք այս էջի միջոցով, կարդալ առաջին մասը: Միգուցե որոշ այցելուների համար նյութը չափազանց պարզ կլինի, բայց գծային հավասարումների համակարգերի լուծման գործընթացում ես մի շարք շատ կարևոր մեկնաբանություններ և եզրակացություններ արեցի ընդհանրապես մաթեմատիկական խնդիրների լուծման վերաբերյալ:

Այժմ մենք կվերլուծենք Քրամերի կանոնը, ինչպես նաև կլուծենք գծային հավասարումների համակարգը հակադարձ մատրիցով (մատրիցի մեթոդ): Բոլոր նյութերը ներկայացված են պարզ, մանրամասն և հստակ, գրեթե բոլոր ընթերցողները կկարողանան սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը, օգտագործելով վերը նշված մեթոդները.

Նախ, մենք ավելի մանրամասն կանդրադառնանք Կրամերի կանոնին երկու անհայտների մեջ երկու գծային հավասարումների համակարգի համար: Ինչի համար? – Ի վերջո, ամենապարզ համակարգը կարող է լուծվել դպրոցական մեթոդով, ժամկետ առ ժամկետ գումարման մեթոդով:

Փաստն այն է, որ երբեմն, բայց երբեմն կա այդպիսի խնդիր՝ լուծել երկու գծային հավասարումների համակարգ երկու անհայտներով՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձեւերը։ Երկրորդ, ավելի պարզ օրինակը կօգնի ձեզ հասկանալ, թե ինչպես օգտագործել Կրամերի կանոնը ավելի բարդ գործի համար՝ երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգ:

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը

Առաջին քայլում մենք հաշվարկում ենք որոշիչը, այն կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.

Գաուսի մեթոդ.

Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երկու որոշիչ.
Եվ

Գործնականում վերը նշված որակավորումները կարող են նշանակվել նաև լատինատառով:

Մենք գտնում ենք հավասարման արմատները՝ օգտագործելով բանաձևերը.
,

Օրինակ 7

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

ԼուծումՄենք տեսնում ենք, որ հավասարման գործակիցները բավականին մեծ են աջ կողմում ստորակետով տասնորդական կոտորակներ. Ստորակետը բավականին հազվագյուտ հյուր է մաթեմատիկայի պրակտիկ առաջադրանքներում: Ես այս համակարգը վերցրել եմ էկոնոմետրիկ խնդրից:

Ինչ անել? Նման դեպքերում օգնության են հասնում Քրամերի բանաձեւերը.

;

Պատասխանել: ,

Այստեղ մեկնաբանություններ պետք չեն, քանի որ խնդիրը լուծվում է պատրաստի բանաձևերի միջոցով, այնուամենայնիվ, կա մեկ նախազգուշացում. Այս մեթոդը կիրառելիս՝ պարտադիրԱռաջադրանքի ձևավորման հատվածը հետևյալ հատվածն է. «Սա նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում».. Հակառակ դեպքում, գրախոսը կարող է պատժել ձեզ Քրամերի թեորեմի նկատմամբ անհարգալից վերաբերմունքի համար:

Ավելորդ չէր լինի ստուգել, ինչը կարելի է հարմար կերպով իրականացնել հաշվիչի վրա. մենք մոտավոր արժեքները փոխարինում ենք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում: Արդյունքում, փոքր սխալով, դուք պետք է ստանաք թվեր, որոնք գտնվում են աջ կողմերում:

Օրինակ 8

Պատասխանը ներկայացրու սովորական անպատշաճ կոտորակներով: Ստուգեք.

Սա ձեզ համար ինքնուրույն լուծելու օրինակ է (վերջնական ձևավորման օրինակ և պատասխանը դասի վերջում):

Եկեք անցնենք Քրամերի կանոնը երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգի համար.