տուն Կանխարգելում Կրամերի մեթոդը՝ հակադարձ մատրիցը գտնելու համար։ Գծային հավասարումներ

Կանխարգելում

Կրամերի մեթոդը՝ հակադարձ մատրիցը գտնելու համար։ Գծային հավասարումներ

Այս պարբերությունը յուրացնելու համար դուք պետք է կարողանաք բացահայտել «երկուսը երկու» և «երեքը երեք» որոշիչները: Եթե դուք վատ եք որակավորումների հետ, խնդրում ենք ուսումնասիրել դասը Ինչպե՞ս հաշվարկել որոշիչը:

Նախ մենք մանրամասնորեն կանդրադառնանք Կրամերի կանոնին երկուսի համակարգի համար գծային հավասարումներերկու անհայտներով. Ինչի համար? - Ամենից հետո ամենապարզ համակարգըկարելի է լուծել դպրոցական մեթոդ, տերմին առ ժամկետ ավելացման մեթոդով։

Փաստն այն է, որ, թեև երբեմն, նման խնդիր է առաջանում՝ լուծել երկու անհայտ երկու գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։ Երկրորդ, ավելի պարզ օրինակը կօգնի ձեզ հասկանալ, թե ինչպես կարելի է ավելի շատ օգտագործել Cramer-ի կանոնը բարդ գործ– երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգեր:

Բացի այդ, կան երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների համակարգեր, որոնք նպատակահարմար է լուծել՝ օգտագործելով Քրամերի կանոնը:

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը

Առաջին քայլում մենք հաշվարկում ենք որոշիչը, այն կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.

Գաուսի մեթոդ.

Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երկու որոշիչ.
Եվ

Գործնականում վերը նշված որակավորումները նույնպես կարող են նշանակվել Լատինական տառ.

Մենք գտնում ենք հավասարման արմատները՝ օգտագործելով բանաձևերը.
,

Օրինակ 7

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

ԼուծումՏեսնում ենք, որ հավասարման գործակիցները բավականին մեծ են, աջ կողմում կան տասնորդականներստորակետով. Ստորակետը բավականին հազվադեպ հյուր է գործնական առաջադրանքներմաթեմատիկայի մեջ այս համակարգը վերցրել եմ էկոնոմետրիկ խնդրից:

Ինչպե՞ս լուծել նման համակարգը: Դուք կարող եք փորձել արտահայտել մեկ փոփոխականը մյուսով, բայց այս դեպքում, հավանաբար, կհայտնվեք սարսափելի շքեղ ֆրակցիաների հետ, որոնց հետ աշխատելը չափազանց անհարմար է, և լուծման դիզայնը պարզապես սարսափելի տեսք կունենա: Դուք կարող եք երկրորդ հավասարումը բազմապատկել 6-ով և հանել անդամ առ անդամ, բայց այստեղ նույնպես կառաջանան նույն կոտորակները:

Ինչ անել? Նման դեպքերում օգնության են հասնում Քրամերի բանաձեւերը.

;

Պատասխանել: ,

Երկու արմատներն էլ ունեն անսահման պոչեր և հայտնաբերվում են մոտավորապես, ինչը միանգամայն ընդունելի է (և նույնիսկ սովորական) էկոնոմետրիկ խնդիրների համար:

Այստեղ մեկնաբանություններ պետք չեն, քանի որ խնդիրը լուծվում է պատրաստի բանաձևերի միջոցով, այնուամենայնիվ, կա մեկ նախազգուշացում. Այս մեթոդն օգտագործելիս՝ պարտադիրԱռաջադրանքի ձևավորման հատվածը հետևյալ հատվածն է. «Սա նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում».. Հակառակ դեպքում, գրախոսը կարող է պատժել ձեզ Քրամերի թեորեմի նկատմամբ անհարգալից վերաբերմունքի համար:

Ավելորդ չի լինի ստուգել, ինչը հարմար է իրականացնել հաշվիչի վրա. մենք փոխարինում ենք մոտավոր արժեքները. ձախ կողմհամակարգի յուրաքանչյուր հավասարում: Արդյունքում, փոքր սխալով, դուք պետք է ստանաք թվեր, որոնք գտնվում են աջ կողմերում:

Օրինակ 8

Պատասխանը ներկայացրու սովորական անպատշաճ կոտորակներով: Ստուգեք.

Սա օրինակ է անկախ որոշում(Դասի վերջում ավարտելու և պատասխանելու օրինակ):

Եկեք անցնենք Քրամերի կանոնը երեք անհայտ ունեցող երեք հավասարումների համակարգի համար.

Մենք գտնում ենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եթե , ապա համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է (լուծումներ չունի): Այս դեպքում Քրամերի կանոնը չի օգնի, անհրաժեշտ է օգտագործել Գաուսի մեթոդը։

Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երեք որոշիչ.
, ,

Եվ վերջապես, պատասխանը հաշվարկվում է բանաձևերով.

Ինչպես տեսնում եք, «երեքը երեքով» գործը սկզբունքորեն չի տարբերվում «երկու-երկու» գործից, ազատ տերմինների սյունակը հաջորդաբար «քայլում է» ձախից աջ հիմնական որոշիչի սյունակների երկայնքով:

Օրինակ 9

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

ԼուծումԵկեք լուծենք համակարգը՝ օգտագործելով Cramer-ի բանաձևերը:

, ինչը նշանակում է, որ համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։

Պատասխանել: .

Փաստորեն, այստեղ կրկին առանձնահատուկ բան չկա մեկնաբանելու, քանի որ լուծումը հետևում է պատրաստի բանաձևերին։ Բայց մի երկու մեկնաբանություն կա.

Պատահում է, որ հաշվարկների արդյունքում ստացվում են «վատ» անկրճատելի կոտորակներ, օրինակ՝ .
Ես առաջարկում եմ հետևյալ «բուժման» ալգորիթմը. Եթե ձեռքի տակ չունեք համակարգիչ, արեք հետևյալը.

1) Հաշվարկներում կարող է լինել սխալ: Հենց որ հանդիպեք «վատ» կոտորակի, անմիջապես պետք է ստուգեք Արդյո՞ք պայմանը ճիշտ է վերագրված:. Եթե պայմանը վերագրվում է առանց սխալների, ապա դուք պետք է վերահաշվարկեք որոշիչները՝ օգտագործելով ընդլայնումը մեկ այլ տողում (սյունակում):

2) Եթե ստուգման արդյունքում սխալներ չեն հայտնաբերվել, ապա, ամենայն հավանականությամբ, առաջադրանքի պայմաններում տառասխալ է եղել: Այս դեպքում հանգիստ և զգույշ գործեք առաջադրանքը մինչև վերջ, իսկ հետո անպայման ստուգեքև որոշում կայացնելուց հետո այն կազմում ենք մաքուր թերթիկում: Իհարկե, կոտորակային պատասխանը ստուգելը տհաճ խնդիր է, բայց դա զինաթափող փաստարկ կլինի ուսուցչի համար, ով իսկապես սիրում է մինուս տալ ցանկացած հիմարության համար: Ինչպես կարգավորել կոտորակները, մանրամասն նկարագրված է օրինակ 8-ի պատասխանում:

Եթե ձեռքի տակ ունեք համակարգիչ, ապա ստուգելու համար օգտագործեք ավտոմատացված ծրագիր, որը կարելի է անվճար ներբեռնել դասի հենց սկզբում։ Ի դեպ, ամենից շահավետ է անմիջապես օգտագործել ծրագիրը (նույնիսկ լուծումը սկսելուց առաջ); դուք անմիջապես կտեսնեք այն միջանկյալ քայլը, որտեղ սխալ եք թույլ տվել: Նույն հաշվիչը ավտոմատ կերպով հաշվարկում է համակարգի լուծումը մատրիցային մեթոդ.

Երկրորդ դիտողություն. Ժամանակ առ ժամանակ կան համակարգեր, որոնց հավասարումների մեջ որոշ փոփոխականներ բացակայում են, օրինակ.

Այստեղ առաջին հավասարման մեջ փոփոխական չկա, երկրորդում՝ փոփոխական։ Նման դեպքերում շատ կարևոր է ճիշտ և ուշադիր գրել հիմնական որոշիչը.
- զրոները տեղադրվում են բացակայող փոփոխականների փոխարեն:
Ի դեպ, ռացիոնալ է զրոներով որոշիչները բացել ըստ այն տողի (սյունակի), որում գտնվում է զրոն, քանի որ նկատելիորեն ավելի քիչ հաշվարկներ կան։

Օրինակ 10

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

Սա անկախ լուծման օրինակ է (վերջնական ձևավորման նմուշ և դասի վերջում պատասխան):

4 անհայտներով 4 հավասարումների համակարգի դեպքում Կրամերի բանաձևերը գրվում են նմանատիպ սկզբունքներով։ Կենդանի օրինակ կարող եք տեսնել «Determinants»-ի հատկությունները դասում: Որոշիչի հերթականության կրճատում - 4-րդ կարգի հինգ որոշիչները բավականին լուծելի են: Թեև առաջադրանքն արդեն շատ է հիշեցնում բախտավոր ուսանողի կրծքին դրված պրոֆեսորի կոշիկը։

Համակարգի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցա

Հակադարձ մատրիցային մեթոդը ըստ էության հատուկ դեպք մատրիցային հավասարում(Տե՛ս նշված դասի օրինակ թիվ 3):

Այս բաժինը ուսումնասիրելու համար դուք պետք է կարողանաք ընդլայնել որոշիչները, գտնել մատրիցի հակադարձը և կատարել մատրիցային բազմապատկում: Համապատասխան հղումները կտրամադրվեն բացատրությունների առաջընթացին:

Օրինակ 11

Համակարգը լուծեք մատրիցային մեթոդով

ԼուծումԳրենք համակարգը մատրիցային տեսքով.
, Որտեղ

Խնդրում ենք դիտել հավասարումների և մատրիցների համակարգը: Կարծում եմ, բոլորը հասկանում են այն սկզբունքը, որով մենք տարրերը գրում ենք մատրիցների մեջ: Միակ մեկնաբանությունը. եթե որոշ փոփոխականներ բացակայում էին հավասարումներից, ապա մատրիցայի համապատասխան տեղերում պետք է զրոներ տեղադրվեին։

Մենք գտնում ենք հակադարձ մատրիցը՝ օգտագործելով բանաձևը.
, որտեղ է մատրիցայի համապատասխան տարրերի հանրահաշվական լրացումների տրանսպոզիցիոն մատրիցը։

Նախ, եկեք նայենք որոշիչին.

Այստեղ որոշիչն ընդլայնվում է առաջին տողի վրա։

Ուշադրություն. Եթե , ապա հակադարձ մատրիցը գոյություն չունի, և անհնար է համակարգը լուծել մատրիցային մեթոդով։ Այս դեպքում համակարգը լուծվում է անհայտների վերացման մեթոդով (Գաուսի մեթոդ)։

Այժմ մենք պետք է հաշվարկենք 9 անչափահաս և դրանք գրենք անչափահասների մատրիցայում

Հղում:Օգտակար է իմանալ գծային հանրահաշիվում կրկնակի ենթագրերի նշանակությունը: Առաջին նիշը այն տողի թիվն է, որում գտնվում է տարրը: Երկրորդ նիշը սյունակի թիվն է, որում գտնվում է տարրը.

Այսինքն, կրկնակի մակագրությունը ցույց է տալիս, որ տարրը գտնվում է առաջին շարքում, երրորդ սյունակում, և, օրինակ, տարրը գտնվում է 3 տողում, 2 սյունակում:

Լուծման ընթացքում ավելի լավ է մանրամասն նկարագրել անչափահասների հաշվարկը, չնայած որոշակի փորձով կարող եք սովորել դրանք բանավոր սխալներով հաշվել։

Առաջին մասում մենք դիտարկեցինք որոշ տեսական նյութ, փոխարինման եղանակը, ինչպես նաև համակարգի հավասարումների տերմին առ անդամ գումարելու եղանակը: Ես խորհուրդ եմ տալիս բոլորին, ովքեր մուտք են գործել կայք այս էջի միջոցով, կարդալ առաջին մասը: Միգուցե որոշ այցելուների համար նյութը չափազանց պարզ կլինի, բայց գծային հավասարումների համակարգերի լուծման գործընթացում ես մի շարք շատ կարևոր մեկնաբանություններ և եզրակացություններ արեցի ընդհանրապես մաթեմատիկական խնդիրների լուծման վերաբերյալ:

Այժմ մենք կվերլուծենք Քրամերի կանոնը, ինչպես նաև կլուծենք գծային հավասարումների համակարգը հակադարձ մատրիցով (մատրիցի մեթոդ): Բոլոր նյութերը ներկայացված են պարզ, մանրամասն և հստակ, գրեթե բոլոր ընթերցողները կկարողանան սովորել, թե ինչպես լուծել համակարգերը վերը նշված մեթոդներով:

Նախ, մենք ավելի մանրամասն կանդրադառնանք Կրամերի կանոնին երկու անհայտներում երկու գծային հավասարումների համակարգի համար: Ինչի համար? – Ի վերջո, ամենապարզ համակարգը կարող է լուծվել դպրոցական մեթոդով, ժամկետ առ ժամկետ գումարման մեթոդով:

Փաստն այն է, որ, թեև երբեմն, նման խնդիր է առաջանում՝ լուծել երկու անհայտ երկու գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։ Երկրորդ, ավելի պարզ օրինակը կօգնի ձեզ հասկանալ, թե ինչպես օգտագործել Կրամերի կանոնը ավելի բարդ գործի համար՝ երեք անհայտներով երեք հավասարումների համակարգ:

Դիտարկենք հավասարումների համակարգը

Առաջին քայլում մենք հաշվարկում ենք որոշիչը, այն կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ.

Գաուսի մեթոդ.

Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երկու որոշիչ.
Եվ

Գործնականում վերը նշված որակավորումները կարող են նշանակվել նաև լատինատառով:

Մենք գտնում ենք հավասարման արմատները՝ օգտագործելով բանաձևերը.
,

Օրինակ 7

Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

ԼուծումՏեսնում ենք, որ հավասարման գործակիցները բավականին մեծ են, աջ կողմում ստորակետով տասնորդական կոտորակներ են։ Ստորակետը բավականին հազվադեպ հյուր է մաթեմատիկայի գործնական առաջադրանքներում, ես այս համակարգը վերցրել եմ էկոնոմետրիկ խնդրից:

Ինչ անել? Նման դեպքերում օգնության են հասնում Քրամերի բանաձեւերը.

;

Պատասխանել: ,

Ավելորդ չէր լինի ստուգել, ինչը կարելի է հարմար կերպով իրականացնել հաշվիչի վրա. մենք մոտավոր արժեքները փոխարինում ենք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում: Արդյունքում, փոքր սխալով, դուք պետք է ստանաք թվեր, որոնք գտնվում են աջ կողմերում:

Օրինակ 8

Պատասխանը ներկայացրու սովորական անպատշաճ կոտորակներով: Ստուգեք.

Սա ձեզ համար ինքնուրույն լուծելու օրինակ է (վերջնական ձևավորման օրինակ և պատասխանը դասի վերջում):

Եկեք անցնենք Քրամերի կանոնը երեք անհայտ ունեցող երեք հավասարումների համակարգի համար.

Մենք գտնում ենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Եթե , ապա համակարգը ունի եզակի լուծում, և արմատները գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք ևս երեք որոշիչ.
, ,

Եվ վերջապես, պատասխանը հաշվարկվում է բանաձևերով.

Օրինակ 9

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

Պատասխանել: .

Օրինակ 10

Լուծե՛ք համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի բանաձևերը։

Սա անկախ լուծման օրինակ է (վերջնական ձևավորման նմուշ և դասի վերջում պատասխան):

Համակարգի լուծում՝ օգտագործելով հակադարձ մատրիցա

Հակադարձ մատրիցային մեթոդը, ըստ էության, հատուկ դեպք է մատրիցային հավասարում(Տե՛ս նշված դասի օրինակ թիվ 3):

Օրինակ 11

Համակարգը լուծեք մատրիցային մեթոդով

ԼուծումԳրենք համակարգը մատրիցային տեսքով.
, Որտեղ

Նախ, եկեք նայենք որոշիչին.

Այստեղ որոշիչն ընդլայնվում է առաջին տողի վրա։

Այժմ մենք պետք է հաշվարկենք 9 անչափահաս և դրանք գրենք անչափահասների մատրիցայում

2. Հավասարումների համակարգերի լուծում մատրիցային մեթոդով (հակադարձ մատրիցայի կիրառմամբ):
3. Գաուսի մեթոդ հավասարումների համակարգերի լուծման համար.

Կրամերի մեթոդը.

Կրամերի մեթոդը օգտագործվում է գծային համակարգերի լուծման համար հանրահաշվական հավասարումներ (ՍԼԱՈՒ).

Բանաձևեր՝ օգտագործելով երկու փոփոխականներով երկու հավասարումների համակարգի օրինակ:
Տրված է.Համակարգը լուծիր Քրամերի մեթոդով

Փոփոխականների վերաբերյալ XԵվ ժամը.
Լուծում:
Գտնենք համակարգի գործակիցներից կազմված մատրիցայի որոշիչը Դետերմինանտների հաշվարկ: :

Եկեք կիրառենք Cramer-ի բանաձևերը և գտնենք փոփոխականների արժեքները.
Եվ .
Օրինակ 1:
Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

փոփոխականների վերաբերյալ XԵվ ժամը.
Լուծում:

Եկեք այս որոշիչի առաջին սյունակը փոխարինենք համակարգի աջ կողմի գործակիցների սյունակով և գտնենք դրա արժեքը.

Եկեք անենք դա նմանատիպ գործողություն, փոխարինելով երկրորդ սյունակը առաջին որոշիչում.

Կիրառելի Կրամերի բանաձեւերըև գտնել փոփոխականների արժեքները.
Եվ .
Պատասխան.
Մեկնաբանություն:Այս մեթոդը կարող է լուծել ավելի մեծ չափերի համակարգեր:

Մեկնաբանություն:Եթե պարզվում է, որ, բայց չի կարելի բաժանել զրոյի, ապա ասում են, որ համակարգը չունի եզակի լուծում։ Այս դեպքում համակարգը կա՛մ ունի անսահման շատ լուծումներ, կա՛մ ընդհանրապես լուծումներ չունի։

Օրինակ 2(անսահման թվով լուծումներ):

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

փոփոխականների վերաբերյալ XԵվ ժամը.
Լուծում:
Եկեք գտնենք համակարգի գործակիցներից կազմված մատրիցայի որոշիչը.

Փոխարինման մեթոդով համակարգերի լուծում:

Համակարգի հավասարումներից առաջինը հավասարություն է, որը ճշմարիտ է փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար (քանի որ 4-ը միշտ հավասար է 4-ի): Սա նշանակում է, որ մնացել է միայն մեկ հավասարում. Սա փոփոխականների միջև փոխհարաբերությունների հավասարումն է:
Մենք գտանք, որ համակարգի լուծումը հավասարությամբ միմյանց հետ կապված փոփոխականների ցանկացած զույգ արժեք է:
Ընդհանուր լուծումը կգրվի հետևյալ կերպ.
Առանձնահատուկ լուծումները կարող են որոշվել՝ ընտրելով y-ի կամայական արժեքը և այս կապի հավասարությունից x-ը հաշվարկելով:

և այլն:
Նման լուծումներն անսահման շատ են։
Պատասխան. ընդհանուր որոշում
Մասնավոր լուծումներ.

Օրինակ 3(լուծումներ չկան, համակարգը անհամատեղելի է).

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

Լուծում:
Եկեք գտնենք համակարգի գործակիցներից կազմված մատրիցայի որոշիչը.

Cramer-ի բանաձևերը չեն կարող օգտագործվել: Եկեք լուծենք այս համակարգը՝ օգտագործելով փոխարինման մեթոդը

Համակարգի երկրորդ հավասարումը հավասարություն է, որը ճիշտ չէ փոփոխականների որևէ արժեքի համար (իհարկե, քանի որ -15-ը հավասար չէ 2-ի): Եթե համակարգի հավասարումներից մեկը ճիշտ չէ փոփոխականների որևէ արժեքի համար, ապա ամբողջ համակարգը լուծումներ չունի:
Պատասխան.լուծումներ չկան

Թող գծային հավասարումների համակարգը պարունակի այնքան հավասարումներ, որքան անկախ փոփոխականների թիվը, այսինքն. նման է

Գծային հավասարումների նման համակարգերը կոչվում են քառակուսային։ Անկախ գործակիցներից կազմված որոշիչ համակարգի փոփոխականներ(1.5) կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ: Մենք այն կնշենք հունարեն D տառով: Այսպիսով.

. (1.6)

Եթե հիմնական որոշիչը պարունակում է կամայական ( ժրդ) սյունակ, փոխարինեք համակարգի անվճար պայմանների սյունակով (1.5), ապա կարող եք ստանալ nօժանդակ որակավորումներ.

(ժ = 1, 2, …, n). (1.7)

Կրամերի կանոնԳծային հավասարումների քառակուսի համակարգերի լուծումը հետևյալն է. Եթե համակարգի (1.5) հիմնական որոշիչ D-ը տարբերվում է զրոյից, ապա համակարգն ունի եզակի լուծում, որը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

(1.8)

Օրինակ 1.5.Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը Քրամերի մեթոդով

Եկեք հաշվարկենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Քանի որ D¹0 համակարգը ունի եզակի լուծում, որը կարելի է գտնել օգտագործելով (1.8) բանաձևերը.

Այսպիսով,

Գործողություններ մատրիցների վրա

1. Մատրիցի բազմապատկում թվով:Մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

2. Մատրիցը թվով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է նրա բոլոր տարրերը բազմապատկել այս թվով։ Այն է

. (1.9)

Օրինակ 1.6. .

Մատրիցայի ավելացում.

Այս գործողությունը ներդրվում է միայն նույն կարգի մատրիցների համար։

Երկու մատրիցա ավելացնելու համար անհրաժեշտ է մեկ մատրիցի տարրերին ավելացնել մեկ այլ մատրիցայի համապատասխան տարրեր.

(1.10)
Մատրիցային գումարման գործողությունն ունի ասոցիատիվության և փոխադարձության հատկություններ:

Օրինակ 1.7. .

Մատրիցային բազմապատկում.

Եթե մատրիցային սյունակների քանակը Ահամընկնում է մատրիցային տողերի քանակի հետ IN, ապա այսպիսի մատրիցների համար ներկայացվում է բազմապատկման գործողությունը.

Այսպիսով, մատրիցը բազմապատկելիս Աչափերը մ´ nդեպի մատրիցա INչափերը n´ կմենք ստանում ենք մատրիցա ՀԵՏչափերը մ´ կ. Այս դեպքում մատրիցային տարրերը ՀԵՏհաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերով.

Խնդիր 1.8.Հնարավորության դեպքում գտե՛ք մատրիցների արտադրյալը ԱԲԵվ Բ.Ա.:

Լուծում. 1) աշխատանք գտնելու համար ԱԲ, ձեզ անհրաժեշտ են մատրիցային տողեր Աբազմապատկել մատրիցային սյունակներով Բ:

2) Աշխատանք Բ.Ա.գոյություն չունի, քանի որ մատրիցային սյունակների քանակը Բչի համապատասխանում մատրիցային տողերի քանակին Ա.

Հակադարձ մատրիցա. Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում մատրիցային մեթոդով

Մատրիցա Ա- 1-ը կոչվում է քառակուսի մատրիցի հակադարձ Ա, եթե հավասարությունը բավարարված է.

որտեղից Ինշանակում է նույնականության մատրիցը, ինչ մատրիցը Ա:

Որպեսզի քառակուսի մատրիցը հակադարձ ունենա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրա որոշիչը տարբերվի զրոյից: Հակադարձ մատրիցը հայտնաբերվում է բանաձևով.

, (1.13)

Որտեղ Ա իջ - հանրահաշվական հավելումներտարրերին ա ijմատրիցներ Ա(նկատի ունեցեք, որ հանրահաշվական հավելումները մատրիցային տողերին Ագտնվում են հակադարձ մատրիցում՝ համապատասխան սյունակների տեսքով):

Օրինակ 1.9.Գտեք հակադարձ մատրիցը Ա- 1-ից մինչև մատրիցա

Մենք գտնում ենք հակադարձ մատրիցը՝ օգտագործելով բանաձևը (1.13), որը դեպքի համար n= 3-ն ունի ձևը.

Եկեք գտնենք det Ա = | Ա| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Քանի որ սկզբնական մատրիցայի որոշիչը զրոյական չէ, հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի:

1) Գտեք հանրահաշվական լրացումներ Ա իջ:

Հակադարձ մատրիցը գտնելու հարմարության համար մենք համապատասխան սյունակներում տեղադրել ենք սկզբնական մատրիցայի տողերի հանրահաշվական հավելումները։

Ստացված հանրահաշվական հավելումներից կազմում ենք նոր մատրիցա և այն բաժանում det որոշիչով. Ա. Այսպիսով, մենք ստանում ենք հակադարձ մատրիցը.

Ոչ զրոյական հիմնական որոշիչով գծային հավասարումների քառակուսի համակարգերը կարող են լուծվել հակադարձ մատրիցով: Դա անելու համար համակարգը (1.5) գրված է մատրիցային ձևով.

Որտեղ

Հավասարության երկու կողմերը (1.14) ձախից բազմապատկելով Ա- 1, մենք ստանում ենք համակարգի լուծումը.

, որտեղ

Այսպիսով, քառակուսի համակարգի լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել համակարգի հիմնական մատրիցայի հակադարձ մատրիցը և այն աջ կողմում բազմապատկել ազատ տերմինների սյունակի մատրիցով։

Խնդիր 1.10.Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

օգտագործելով հակադարձ մատրիցը:

Լուծում.Եկեք համակարգը գրենք մատրիցային ձևով.

Որտեղ - համակարգի հիմնական մատրիցը, - անհայտների սյունակը և - ազատ տերմինների սյունակը: Քանի որ համակարգի հիմնական որոշիչ , ապա համակարգի հիմնական մատրիցը Աունի հակադարձ մատրիցա Ա-1. Հակադարձ մատրիցը գտնելու համար Ա-1, մենք հաշվարկում ենք մատրիցայի բոլոր տարրերի հանրահաշվական լրացումները Ա:

Ստացված թվերից կկազմենք մատրիցա (և մատրիցայի տողերին հանրահաշվական հավելումներ. Ագրե՛ք այն համապատասխան սյունակներում) և բաժանե՛ք այն D որոշիչով: Այսպիսով, մենք գտանք հակադարձ մատրիցը.

Մենք գտնում ենք համակարգի լուծումը՝ օգտագործելով բանաձևը (1.15).

Այսպիսով,

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծումը սովորական Ջորդանի վերացման մեթոդով

Թող տրվի գծային հավասարումների կամայական (պարտադիր չէ, որ քառակուսի) համակարգ.

(1.16)

Պահանջվում է համակարգին լուծում գտնել, այսինքն. փոփոխականների այնպիսի մի շարք, որը բավարարում է համակարգի բոլոր հավասարությունները (1.16): IN ընդհանուր դեպքհամակարգը (1.16) կարող է ունենալ ոչ միայն մեկ լուծում, այլև անթիվ լուծումներ։ Այն կարող է նաև ընդհանրապես լուծումներ չունենալ։

Նման խնդիրներ լուծելիս օգտագործվում է անհայտների վերացման դպրոցական դասընթացի հայտնի մեթոդը, որը կոչվում է նաև սովորական Ջորդանի վերացման մեթոդ։ Էությունը այս մեթոդըկայանում է նրանում, որ համակարգի (1.16) հավասարումներից մեկում փոփոխականներից մեկն արտահայտվում է այլ փոփոխականներով: Այս փոփոխականն այնուհետև փոխարինվում է համակարգի այլ հավասարումներով: Արդյունքում ստացվում է համակարգ, որը պարունակում է մեկ հավասարում և մեկ փոփոխական պակաս, քան սկզբնական համակարգը: Հիշվում է այն հավասարումը, որից փոփոխականն արտահայտվել է։

Այս գործընթացը կրկնվում է այնքան ժամանակ, մինչև համակարգում մնա վերջին հավասարումը: Անհայտները վերացնելու գործընթացի միջոցով որոշ հավասարումներ կարող են դառնալ իսկական ինքնություն, օրինակ. Նման հավասարումները բացառվում են համակարգից, քանի որ դրանք բավարարվում են փոփոխականների ցանկացած արժեքով և, հետևաբար, չեն ազդում համակարգի լուծման վրա: Եթե անհայտները վերացնելու գործընթացում առնվազն մեկ հավասարումը դառնում է հավասարություն, որը չի կարող բավարարվել փոփոխականների որևէ արժեքի համար (օրինակ), ապա մենք եզրակացնում ենք, որ համակարգը լուծում չունի:

Եթե լուծման ժամանակ հակասական հավասարումներ չեն առաջանում, ապա դրա մեջ մնացած փոփոխականներից մեկը գտնվում է վերջին հավասարումից։ Եթե վերջին հավասարման մեջ մնացել է միայն մեկ փոփոխական, ապա այն արտահայտվում է որպես թիվ։ Եթե մյուս փոփոխականները մնան վերջին հավասարման մեջ, ապա դրանք համարվում են պարամետրեր, և դրանց միջոցով արտահայտված փոփոխականը կլինի այս պարամետրերի ֆունկցիան։ Այնուհետև այսպես կոչված « հակադարձ կաթված« Գտնված փոփոխականը փոխարինվում է վերջին հիշվող հավասարման մեջ, իսկ երկրորդ փոփոխականը գտնվում է: Այնուհետև գտնված երկու փոփոխականները փոխարինվում են նախավերջին մտապահված հավասարման մեջ, իսկ երրորդ փոփոխականը գտնվում է, և այսպես շարունակ՝ մինչև առաջին մտապահված հավասարումը:

Արդյունքում մենք ստանում ենք համակարգի լուծում: Այս լուծումը եզակի կլինի, եթե գտնված փոփոխականները թվեր են։ Եթե հայտնաբերված առաջին փոփոխականը, ապա մնացած բոլորը կախված են պարամետրերից, ապա համակարգը կունենա անսահման թվով լուծումներ (պարամետրերի յուրաքանչյուր հավաքածու համապատասխանում է նոր լուծման): Բանաձևերը, որոնք թույլ են տալիս գտնել համակարգի լուծում՝ կախված որոշակի պարամետրերի հավաքածուից, կոչվում են համակարգի ընդհանուր լուծում:

Օրինակ 1.11.

Առաջին հավասարումը անգիր անելուց հետո և երկրորդ և երրորդ հավասարումների մեջ համանման տերմիններ բերելով՝ հանգում ենք համակարգին.

Արտահայտենք yերկրորդ հավասարումից և այն փոխարինել առաջին հավասարմամբ.

Հիշենք երկրորդ հավասարումը և առաջինից գտնենք զ:

Հետ աշխատելով, մենք հետևողականորեն գտնում ենք yԵվ զ. Դա անելու համար մենք նախ փոխարինում ենք վերջին հիշված հավասարմանը, որտեղից մենք գտնում ենք y:

Այնուհետև մենք այն կփոխարինենք առաջին մտապահված հավասարման մեջ որտեղ մենք կարող ենք գտնել այն x:

Խնդիր 1.12.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը՝ վերացնելով անհայտները.

. (1.17)

Լուծում.Արտահայտենք փոփոխականը առաջին հավասարումից xև այն փոխարինիր երկրորդ և երրորդ հավասարումներով.

Հիշենք առաջին հավասարումը

Այս համակարգում առաջին և երկրորդ հավասարումները հակասում են միմյանց: Իսկապես, արտահայտելով y , մենք ստանում ենք, որ 14 = 17: Այս հավասարությունը չի գործում փոփոխականների որևէ արժեքի համար x, y, Եվ զ. Հետևաբար, համակարգը (1.17) անհամապատասխան է, այսինքն. լուծում չունի.

Հրավիրում ենք ընթերցողներին ինքնուրույն ստուգել, որ սկզբնական համակարգի (1.17) հիմնական որոշիչը հավասար է զրոյի:

Դիտարկենք համակարգ, որը (1.17) համակարգից տարբերվում է միայն մեկ ազատ անդամով։

Խնդիր 1.13.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը՝ վերացնելով անհայտները.

. (1.18)

Լուծում.Ինչպես նախկինում, մենք արտահայտում ենք փոփոխականը առաջին հավասարումից xև այն փոխարինիր երկրորդ և երրորդ հավասարումներով.

Հիշենք առաջին հավասարումը և երկրորդ և երրորդ հավասարումներում ներկայացրու նմանատիպ տերմիններ: Մենք հասնում ենք համակարգին.

Արտահայտելով yառաջին հավասարումից և այն փոխարինելով երկրորդ հավասարմամբ , մենք ստանում ենք նույնականությունը 14 = 14, որը չի ազդում համակարգի լուծման վրա, և, հետևաբար, այն կարող է բացառվել համակարգից։

Վերջին հիշվող հավասարության մեջ՝ փոփոխականը զմենք դա կհամարենք պարամետր։ Մենք հավատում ենք. Հետո

Եկեք փոխարինենք yԵվ զառաջին հիշվող հավասարության մեջ և գտնել x:

Այսպիսով, համակարգը (1.18) ունի անսահման թվով լուծումներ, և ցանկացած լուծում կարելի է գտնել օգտագործելով (1.19) բանաձևերը՝ ընտրելով պարամետրի կամայական արժեքը: տ:

(1.19)
Այսպիսով, համակարգի լուծումները, օրինակ, փոփոխականների հետևյալ խմբերն են (1; 2; 0), (2; 26; 14) և այլն: Բանաձևերը (1.19) արտահայտում են համակարգի ընդհանուր (ցանկացած) լուծումը (1.18): )

Այն դեպքում, երբ սկզբնական համակարգը (1.16) ունի բավականաչափ մեծ թվով հավասարումներ և անհայտներ, սովորական Հորդանանի վերացման նշված մեթոդը ծանր է թվում: Այնուամենայնիվ, դա այդպես չէ: Բավական է մեկ քայլով համակարգի գործակիցների վերահաշվարկի ալգորիթմ ստանալ ընդհանուր տեսարանեւ խնդրի լուծումը ձեւակերպել հատուկ Հորդանանի աղյուսակների տեսքով։

Թող տրվի գծային ձևերի (հավասարումների) համակարգ.

, (1.20)
Որտեղ x j- անկախ (փնտրվող) փոփոխականներ, ա ij- մշտական հավանականություններ
(ես = 1, 2,…, մ; ժ = 1, 2,…, n) Համակարգի աջ մասերը y i (ես = 1, 2,…, մ) կարող է լինել կամ փոփոխական (կախյալ) կամ հաստատուն։ Պահանջվում է այս համակարգի լուծումներ գտնել՝ վերացնելով անհայտները։

Դիտարկենք հետևյալ գործողությունը, որն այսուհետ կոչվում է «Հորդանանի սովորական վերացումների մեկ քայլ»։ կամայականից ( rրդ) հավասարություն մենք արտահայտում ենք կամայական փոփոխական ( xs) և փոխարինել մյուս բոլոր հավասարումներով: Իհարկե, դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե մի rs¹ 0. Գործակից մի rsկոչվում է լուծող (երբեմն ուղղորդող կամ հիմնական) տարր։

մենք կստանանք հետևյալ համակարգը:

. (1.21)

Սկսած ս- համակարգի հավասարություն (1.21), մենք հետագայում գտնում ենք փոփոխականը xs(մնացած փոփոխականները գտնելուց հետո): Ս--րդ տողը հիշվում է և հետագայում դուրս է մնում համակարգից: Մնացած համակարգը կպարունակի մեկ հավասարում և մեկ պակաս անկախ փոփոխական, քան սկզբնական համակարգը:

Հաշվարկենք ստացված համակարգի գործակիցները (1.21) սկզբնական համակարգի գործակիցների միջոցով (1.20): Սկսենք նրանից rրդ հավասարումը, որը փոփոխականն արտահայտելուց հետո xsմնացած փոփոխականների միջոցով այն կունենա հետևյալ տեսքը.

Այսպիսով, նոր գործակիցները rՀավասարումները հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերով.

(1.23)
Այժմ հաշվենք նոր գործակիցները բ ij(ես¹ r) կամայական հավասարում. Դա անելու համար եկեք փոխարինենք (1.22) արտահայտված փոփոխականը. xsՎ եսհամակարգի րդ հավասարումը (1.20):

Նմանատիպ տերմիններ բերելուց հետո ստանում ենք.

(1.24)
Հավասարությունից (1.24) ստանում ենք բանաձևեր, որոնցով հաշվարկվում են համակարգի (1.21) մնացած գործակիցները (բացառությամբ. rրդ հավասարումը):

(1.25)
Գծային հավասարումների համակարգերի փոխակերպումը սովորական Ջորդանի վերացման մեթոդով ներկայացված է աղյուսակների (մատրիցների) տեսքով։ Այս աղյուսակները կոչվում են «Հորդանանի սեղաններ»:

Այսպիսով, խնդիրը (1.20) կապված է հետևյալ Հորդանանի աղյուսակի հետ.

Աղյուսակ 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	ա 11	ա 12		ա 1ժ		ա 1ս		ա 1n
…………………………………………………………………..
y i=	ա i 1	ա i 2		ա ij		ա է		մի ին
…………………………………………………………………..
y r=	ա ռ 1	ա ռ 2		a rj		մի rs		առն
………………………………………………………………….
y n=	մի մ 1	մի մ 2		մի մջ		մի ms		մի մն

Jordan աղյուսակ 1.1 պարունակում է ձախ վերնագրի սյունակ, որտեղ գրված են համակարգի աջ մասերը (1.20) և վերին վերնագրի տող, որտեղ գրված են անկախ փոփոխականներ:

Աղյուսակի մնացած տարրերը կազմում են համակարգի գործակիցների հիմնական մատրիցը (1.20): Եթե բազմապատկեք մատրիցը Ավերևի վերնագրի տողի տարրերից բաղկացած մատրիցին ստանում եք ձախ վերնագրի սյունակի տարրերից բաղկացած մատրիցա: Այսինքն, ըստ էության, Հորդանանի աղյուսակը գծային հավասարումների համակարգ գրելու մատրիցային ձև է. Համակարգը (1.21) համապատասխանում է հետևյալ Հորդանանի աղյուսակին.

Աղյուսակ 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	բ 11	բ 12		բ 1 ժ		բ 1 ս		բ 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	բ i 1	բ i 2		բ ij		բ է		աղբարկղ
…………………………………………………………………..
x s =	բ ռ 1	բ ռ 2		բ րջ		բ րս		brn
………………………………………………………………….
y n =	բ մ 1	բ մ 2		բ մջ		bms		b mn

Թույլատրելի տարր մի rs Մենք դրանք կնշենք թավով: Հիշեցնենք, որ Հորդանանի վերացման մեկ քայլ իրականացնելու համար լուծվող տարրը պետք է լինի ոչ զրոյական: Աջակցող տարր պարունակող աղյուսակի տողը կոչվում է ակտիվացնող տող: Enable տարրը պարունակող սյունակը կոչվում է enable սյունակ: Տվյալ աղյուսակից հաջորդ աղյուսակ անցնելիս մեկ փոփոխական ( xs) աղյուսակի վերևի վերնագրի տողից տեղափոխվում է ձախ վերնագրի սյունակ և, ընդհակառակը, համակարգի ազատ անդամներից մեկը ( y r) աղյուսակի ձախ գլխի սյունակից տեղափոխվում է վերին գլխի տող:

Եկեք նկարագրենք գործակիցների վերահաշվարկի ալգորիթմը Հորդանանի աղյուսակից (1.1) աղյուսակ (1.2) տեղափոխելիս, որը բխում է (1.23) և (1.25) բանաձևերից:

1. Լուծող տարրը փոխարինվում է հակադարձ թվով.

2. Լուծող տողի մնացած տարրերը բաժանվում են լուծող տարրի և նշանը փոխում հակառակի.

3. Բանաձեւի սյունակի մնացած տարրերը բաժանվում են բանաձեւի տարրի.

4. Այն տարրերը, որոնք ներառված չեն թույլատրելի տողում և թույլատրող սյունակում, վերահաշվարկվում են՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Վերջին բանաձեւը հեշտ է հիշել, եթե նկատում եք, որ կոտորակը կազմող տարրերը , գտնվում են խաչմերուկում ես-օհ և rրդ տողերն ու ժրդ և սրդ սյունակները (լուծող տող, լուծվող սյունակ և այն տողն ու սյունը, որոնց խաչմերուկում գտնվում է վերահաշվարկված տարրը): Ավելի ճիշտ՝ բանաձեւն անգիր անելիս կարող եք օգտագործել հետևյալ դիագրամը.

-21 -26 -13 -37

Հորդանանի բացառությունների առաջին քայլն իրականացնելիս կարող եք ընտրել աղյուսակ 1.3-ի ցանկացած տարր, որը գտնվում է սյունակներում որպես լուծվող տարր: x 1 ,…, x 5 (նշված բոլոր տարրերը զրո չեն): Պարզապես մի ընտրեք վերջին սյունակում միացնող տարրը, քանի որ դուք պետք է գտնեք անկախ փոփոխականներ x 1 ,…, x 5 . Օրինակ՝ ընտրում ենք գործակիցը 1 փոփոխականով xԱղյուսակ 1.3-ի երրորդ տողում 3 (միավորող տարրը ցուցադրված է թավերով): Աղյուսակ 1.4-ին անցնելիս փոփոխականը xՎերևի վերնագրի տողից 3-ը փոխարինվում է ձախ վերնագրի սյունակի 0-ի հաստատունով (երրորդ տող): Այս դեպքում փոփոխականը x 3-ն արտահայտվում է մնացած փոփոխականների միջոցով:

Լարային x 3-ը (Աղյուսակ 1.4) կարելի է նախապես հիշելուց հետո բացառել աղյուսակ 1.4-ից: Վերին վերնագրի տողում զրո ունեցող երրորդ սյունակը նույնպես բացառված է Աղյուսակ 1.4-ից: Բանն այն է, որ անկախ տվյալ սյունակի գործակիցներից բ i 3 յուրաքանչյուր հավասարման բոլոր համապատասխան անդամները 0 բ i 3 համակարգ հավասար կլինի զրոյի։ Հետևաբար, այդ գործակիցները պետք չէ հաշվարկել: Մեկ փոփոխականի վերացում x 3-ը և հիշելով հավասարումներից մեկը՝ հասնում ենք աղյուսակ 1.4-ին համապատասխան համակարգի (գծը հատած. x 3). Աղյուսակ 1.4-ում որպես լուծող տարր ընտրելը բ 14 = -5, անցեք աղյուսակ 1.5: Աղյուսակ 1.5-ում հիշեք առաջին տողը և չորրորդ սյունակի հետ միասին բացառեք այն աղյուսակից (վերևում զրոյով):

Աղյուսակ 1.5 Աղյուսակ 1.6

Վերջին 1.7 աղյուսակից մենք գտնում ենք. x 1 = - 3 + 2x 5 .

Արդեն գտնված փոփոխականները հետևողականորեն փոխարինելով հիշվող տողերում՝ մենք գտնում ենք մնացած փոփոխականները.

Այսպիսով, համակարգն ունի անսահման շատ լուծումներ։ Փոփոխական x 5, կամայական արժեքներ կարող են նշանակվել: Այս փոփոխականը գործում է որպես պարամետր x 5 = տ. Մենք ապացուցեցինք համակարգի համատեղելիությունը և գտանք դրա ընդհանուր լուծումը.

x 1 = - 3 + 2տ

x 2 = - 1 - 3տ

x 3 = - 2 + 4տ . (1.27)
x 4 = 4 + 5տ

x 5 = տ

Պարամետր տալը տտարբեր արժեքներ, մենք կստանանք սկզբնական համակարգի անսահման թվով լուծումներ: Այսպիսով, օրինակ, համակարգի լուծումը հետևյալ փոփոխականների հավաքածուն է (- 3; - 1; - 2; 4; 0):

Նույն թվով հավասարումներով, ինչ մատրիցայի հիմնական որոշիչ ունեցող անհայտների թիվը, որը հավասար չէ զրոյի, համակարգի գործակիցները (այդպիսի հավասարումների համար կա լուծում և կա միայն մեկը):

Կրամերի թեորեմ.

Երբ քառակուսի համակարգի մատրիցայի որոշիչը զրոյական չէ, նշանակում է, որ համակարգը հետևողական է և ունի մեկ լուծում, և այն կարելի է գտնել հետևյալ կերպ. Կրամերի բանաձեւերը:

որտեղ Δ - համակարգի մատրիցայի որոշիչ,

Δ եսհամակարգի մատրիցայի որոշիչն է, որում փոխարեն եսԵրրորդ սյունակը պարունակում է աջ կողմերի սյունակը:

Երբ համակարգի որոշիչը զրո է, դա նշանակում է, որ համակարգը կարող է դառնալ կոոպերատիվ կամ անհամատեղելի:

Այս մեթոդը սովորաբար օգտագործվում է փոքր համակարգերծավալային հաշվարկներով և եթե և երբ անհրաժեշտ է որոշել անհայտներից մեկը։ Մեթոդի բարդությունն այն է, որ անհրաժեշտ է հաշվարկել շատ որոշիչներ:

Cramer մեթոդի նկարագրությունը.

Կա հավասարումների համակարգ.

3 հավասարումների համակարգը կարող է լուծվել Կրամերի մեթոդով, որը վերը քննարկվել է 2 հավասարումների համակարգի համար։

Անհայտների գործակիցներից մենք կազմում ենք որոշիչ.

Դա կլինի համակարգի որոշիչ. Երբ D≠0, ինչը նշանակում է, որ համակարգը հետևողական է: Այժմ եկեք ստեղծենք 3 լրացուցիչ որոշիչ.

Մենք լուծում ենք համակարգը ըստ Կրամերի բանաձեւերը:

Քրամերի մեթոդով հավասարումների համակարգերի լուծման օրինակներ.

Օրինակ 1.

Տրված համակարգ.

Եկեք լուծենք այն Քրամերի մեթոդով։

Նախ անհրաժեշտ է հաշվարկել համակարգի մատրիցայի որոշիչը.

Որովհետեւ Δ≠0, ինչը նշանակում է, որ Քրամերի թեորեմից համակարգը հետևողական է և ունի մեկ լուծում: Մենք հաշվարկում ենք լրացուցիչ որոշիչները: Δ 1 որոշիչը ստացվում է Δ որոշիչից՝ փոխարինելով նրա առաջին սյունակը ազատ գործակիցների սյունակով: Մենք ստանում ենք.