Գաուսի մեթոդկատարյալ գծային համակարգեր լուծելու համար հանրահաշվական հավասարումներ(SLAU): Այն ունի մի շարք առավելություններ այլ մեթոդների համեմատ.
- նախ, կարիք չկա նախ ուսումնասիրել հավասարումների համակարգը հետևողականության համար.
- երկրորդ, Գաուսի մեթոդը կարող է լուծել ոչ միայն SLAE-ները, որոնցում հավասարումների քանակը համընկնում է անհայտ փոփոխականների թվի հետ, և համակարգի հիմնական մատրիցը ոչ եզակի է, այլ նաև հավասարումների համակարգեր, որոնցում հավասարումների քանակը չի համընկնում անհայտ փոփոխականների թիվը կամ հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար է զրոյի.
- երրորդ, Գաուսի մեթոդը հանգեցնում է համեմատաբար փոքր թվով հաշվողական գործողությունների արդյունքների:
Հոդվածի համառոտ ակնարկ.
Նախ՝ տալիս ենք անհրաժեշտ սահմանումները և ներկայացնում նշումներ։
Այնուհետև մենք կնկարագրենք Գաուսի մեթոդի ալգորիթմը ամենապարզ դեպքի համար, այսինքն՝ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի համար, հավասարումների քանակը, որոնցում համընկնում է անհայտ փոփոխականների թվի և համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչի հետ։ հավասար չէ զրոյի. Նման հավասարումների համակարգեր լուծելիս առավել հստակ երևում է Գաուսի մեթոդի էությունը, որն անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացումն է։ Ուստի Գաուսի մեթոդը կոչվում է նաև անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդ։ Մենք ցույց կտանք մի քանի օրինակների մանրամասն լուծումներ։
Եզրափակելով, մենք կդիտարկենք Գաուսի մեթոդով լուծումը գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի, որոնց հիմնական մատրիցը կամ ուղղանկյուն է կամ եզակի: Նման համակարգերի լուծումն ունի որոշ առանձնահատկություններ, որոնք մենք մանրամասն կուսումնասիրենք օրինակներով:
Էջի նավարկություն.
Հիմնական սահմանումներ և նշումներ:
Դիտարկենք մի համակարգ p գծային հավասարումներ n անհայտներով (p-ն կարող է հավասար լինել n-ի):
Որտեղ անհայտ փոփոխականներ են, թվեր են (իրական կամ բարդ) և ազատ տերմիններ են:
Եթե 
, ապա կոչվում է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը միատարրհակառակ դեպքում - տարասեռ.
Անհայտ փոփոխականների արժեքների բազմությունը, որի համար համակարգի բոլոր հավասարումները դառնում են նույնականություն, կոչվում է SLAU-ի որոշումը.
Եթե կա գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի գոնե մեկ լուծում, ապա այն կոչվում է համատեղհակառակ դեպքում - ոչ համատեղ.
Եթե SLAE-ն ունի յուրահատուկ լուծում, ապա այն կոչվում է որոշակի. Եթե կան մեկից ավելի լուծումներ, ապա համակարգը կոչվում է անորոշ.
Ասում են՝ համակարգը գրված է կոորդինատային ձև, եթե այն ունի ձևը
.
Այս համակարգը ներս մատրիցային ձևգրառումներն ունեն ձևը, որտեղ 
- SLAE-ի հիմնական մատրիցը, - անհայտ փոփոխականների սյունակի մատրիցը, - ազատ տերմինների մատրիցը:
Եթե A մատրիցին որպես (n+1)-րդ սյունակ ավելացնենք ազատ տերմինների մատրից-սյունակ, ապա կստանանք այսպես կոչված. ընդլայնված մատրիցագծային հավասարումների համակարգեր։ Սովորաբար, ընդլայնված մատրիցը նշվում է T տառով, իսկ ազատ տերմինների սյունակը բաժանվում է ուղղահայաց գծով մնացած սյուներից, այսինքն. 
A քառակուսի մատրիցը կոչվում է այլասերված, եթե նրա որոշիչը զրո է։ Եթե , ապա A մատրիցը կոչվում է ոչ այլասերված.
Պետք է նշել հետևյալ կետը.
Եթե կատարենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգով հետևյալ գործողությունները
- փոխանակել երկու հավասարումներ,
- ցանկացած հավասարման երկու կողմերը բազմապատկել կամայական և ոչ զրոյական իրական (կամ բարդ) k թվով,
- Ցանկացած հավասարման երկու կողմերին ավելացրեք մեկ այլ հավասարման համապատասխան մասերը՝ բազմապատկված կամայական k թվով,
ապա դուք ստանում եք համարժեք համակարգ, որն ունի նույն լուծումները (կամ, ինչպես սկզբնականը, լուծումներ չունի):
Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի ընդլայնված մատրիցայի համար այս գործողությունները կնշանակեն տարրական փոխակերպումներ կատարել տողերով.
- երկու տող փոխանակում,
- T մատրիցայի ցանկացած տողի բոլոր տարրերը բազմապատկելով ոչ զրոյական k թվով,
- մատրիցայի ցանկացած տողի տարրերին ավելացնելով մեկ այլ տողի համապատասխան տարրերը` բազմապատկելով կամայական k թվով:
Այժմ մենք կարող ենք անցնել Գաուսի մեթոդի նկարագրությանը:
Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում, որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտների թվին, իսկ համակարգի հիմնական մատրիցը՝ ոչ եզակի՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդը։
Ի՞նչ կանեինք մենք դպրոցում, եթե մեզ հանձնարարվեր հավասարումների համակարգի լուծում գտնել: 
.
Ոմանք դա կանեին։
Նկատի ունեցեք, որ գումարելով երկրորդ հավասարման ձախ կողմը ձախ կողմնախ, իսկ աջ կողմում՝ ճիշտը, կարող եք ազատվել x 2 և x 3 անհայտ փոփոխականներից և անմիջապես գտնել x 1: 
Գտնված x 1 =1 արժեքը փոխարինում ենք համակարգի առաջին և երրորդ հավասարումների մեջ. 
Եթե համակարգի երրորդ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք -1-ով և ավելացնենք առաջին հավասարման համապատասխան մասերին, ապա կազատվենք x 3 անհայտ փոփոխականից և կարող ենք գտնել x 2. 
Ստացված x 2 = 2 արժեքը փոխարինում ենք երրորդ հավասարման մեջ և գտնում մնացյալ անհայտ x 3 փոփոխականը. 
Մյուսները այլ կերպ կվարվեին:
Եկեք լուծենք համակարգի առաջին հավասարումը x 1 անհայտ փոփոխականի նկատմամբ և ստացված արտահայտությունը փոխարինենք համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներով՝ այս փոփոխականը դրանցից բացառելու համար. 
Հիմա լուծենք համակարգի երկրորդ հավասարումը x 2-ի համար և ստացված արդյունքը փոխարինենք երրորդ հավասարմամբ՝ դրանից անհայտ x 2 փոփոխականը վերացնելու համար. 
Համակարգի երրորդ հավասարումից պարզ է դառնում, որ x 3 =3. Երկրորդ հավասարումից մենք գտնում ենք 
, և առաջին հավասարումից ստանում ենք.
Ծանոթ լուծումներ, չէ՞:
Այստեղ ամենահետաքրքիրն այն է, որ լուծման երկրորդ մեթոդը ըստ էության անհայտների հաջորդական վերացման մեթոդն է, այսինքն՝ Գաուսի մեթոդը։ Երբ մենք արտահայտեցինք անհայտ փոփոխականները (առաջին x 1, հաջորդ փուլում x 2) և դրանք փոխարինեցինք համակարգի մնացած հավասարումների մեջ, այդպիսով մենք բացառեցինք դրանք: Մենք իրականացրեցինք վերացում, մինչև վերջին հավասարման մեջ մնաց միայն մեկ անհայտ փոփոխական: Անհայտների հաջորդական վերացման գործընթացը կոչվում է ուղղակի Գաուսի մեթոդ. Ավարտելուց հետո առաջ հարվածմենք այժմ հնարավորություն ունենք հաշվարկելու անհայտ փոփոխականը վերջին հավասարման մեջ: Նրա օգնությամբ մենք գտնում ենք նախավերջին հավասարումից հաջորդ անհայտ փոփոխականը և այլն։ Վերջին հավասարումից առաջինին անցնելիս անհայտ փոփոխականների հաջորդականորեն գտնելու գործընթացը կոչվում է հակառակ ուղղությամբԳաուսի մեթոդ.
Հարկ է նշել, որ երբ առաջին հավասարման մեջ x 1-ն արտահայտում ենք x 2 և x 3-ով, իսկ հետո ստացված արտահայտությունը փոխարինում ենք երկրորդ և երրորդ հավասարումներով, հետևյալ գործողությունները հանգեցնում են նույն արդյունքի.
Իրոք, նման ընթացակարգը նաև հնարավորություն է տալիս վերացնել x 1 անհայտ փոփոխականը համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներից. 
Գաուսի մեթոդով անհայտ փոփոխականների վերացման նրբերանգներն առաջանում են, երբ համակարգի հավասարումները չեն պարունակում որոշ փոփոխականներ։
Օրինակ, SLAU-ում 
առաջին հավասարման մեջ չկա x 1 անհայտ փոփոխական (այլ կերպ ասած՝ դրա դիմաց գործակիցը զրո է)։ Հետևաբար, մենք չենք կարող լուծել համակարգի առաջին հավասարումը x 1-ի համար, որպեսզի վերացնենք այս անհայտ փոփոխականը մնացած հավասարումներից: Այս իրավիճակից ելքը համակարգի հավասարումների փոխանակումն է։ Քանի որ մենք դիտարկում ենք գծային հավասարումների համակարգեր, որոնց հիմնական մատրիցների որոշիչները տարբերվում են զրոյից, միշտ կա մի հավասարում, որում առկա է մեզ անհրաժեշտ փոփոխականը, և մենք կարող ենք վերադասավորել այս հավասարումը մեզ անհրաժեշտ դիրքին: Մեր օրինակի համար բավական է փոխել համակարգի առաջին և երկրորդ հավասարումները 
, ապա դուք կարող եք լուծել առաջին հավասարումը x 1-ի համար և բացառել այն համակարգի մնացած հավասարումներից (չնայած x 1-ն այլևս չկա երկրորդ հավասարման մեջ):
Հուսով ենք, որ դուք հասկանում եք էությունը:
Եկեք նկարագրենք Գաուսի մեթոդի ալգորիթմ.
Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք n գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ n անհայտներով ձևի փոփոխականներ 
, և թող նրա հիմնական մատրիցի որոշիչը տարբերվի զրոյից։
Մենք կենթադրենք, որ, քանի որ մենք միշտ կարող ենք հասնել դրան՝ վերադասավորելով համակարգի հավասարումները: Վերացնենք x 1 անհայտ փոփոխականը համակարգի բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երկրորդից։ Դա անելու համար համակարգի երկրորդ հավասարմանը մենք ավելացնում ենք առաջինը, բազմապատկվում է , երրորդ հավասարմանը ավելացնում ենք առաջինը, բազմապատկվում է , և այսպես շարունակ, n-րդ հավասարմանը գումարում ենք առաջինը, բազմապատկվում է . Նման փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը կընդունի ձևը 
որտեղ և 
.
Մենք կհասնեինք նույն արդյունքին, եթե համակարգի առաջին հավասարման այլ անհայտ փոփոխականներով արտահայտեինք x 1 և ստացված արտահայտությունը փոխարինեինք մնացած բոլոր հավասարումներով: Այսպիսով, x 1 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երկրորդից։
Հաջորդը, մենք շարունակում ենք նույն կերպ, բայց միայն արդյունքում ստացված համակարգի մի մասով, որը նշված է նկարում 
Դա անելու համար համակարգի երրորդ հավասարմանը մենք ավելացնում ենք երկրորդը, բազմապատկված , չորրորդ հավասարմանը ավելացնում ենք երկրորդը, բազմապատկվում է , և այսպես շարունակ, n-րդ հավասարմանը գումարում ենք երկրորդը, բազմապատկվում է . Նման փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը կընդունի ձևը 
որտեղ և 
. Այսպիսով, x 2 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երրորդից։
Հաջորդը, մենք անցնում ենք անհայտ x 3-ի վերացմանը, մինչդեռ մենք նույն կերպ ենք գործում նկարում նշված համակարգի մասի հետ: 
Այսպիսով, մենք շարունակում ենք Գաուսի մեթոդի ուղղակի առաջընթացը, մինչև համակարգը ձևավորվի 
Այս պահից մենք սկսում ենք Գաուսի մեթոդի հակառակը. վերջին հավասարումից մենք հաշվում ենք x n, քանի որ, օգտագործելով x n-ի ստացված արժեքը, մենք գտնում ենք x n-1 նախավերջին հավասարումից, և այսպես շարունակ, մենք գտնում ենք x 1 առաջին հավասարումից: .
Դիտարկենք ալգորիթմը՝ օգտագործելով օրինակ։
Օրինակ.
Գաուսի մեթոդ.
Լուծում.
a 11 գործակիցը զրոյական չէ, ուստի եկեք անցնենք Գաուսի մեթոդի ուղղակի առաջընթացին, այսինքն՝ բացառենք x 1 անհայտ փոփոխականը համակարգի բոլոր հավասարումներից, բացի առաջինից: Դա անելու համար երկրորդ, երրորդ և չորրորդ հավասարումների ձախ և աջ կողմերը ավելացրեք առաջին հավասարման ձախ և աջ կողմերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով . 
Եվ. 
x 1 անհայտ փոփոխականը վերացվել է, անցնենք x 2-ի վերացմանը: Համակարգի երրորդ և չորրորդ հավասարումների ձախ և աջ կողմերին ավելացնում ենք երկրորդ հավասարման ձախ և աջ կողմերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով. 
Եվ 
:
Գաուսի մեթոդի առաջընթացն ավարտելու համար մենք պետք է համակարգի վերջին հավասարումից վերացնենք x 3 անհայտ փոփոխականը: Չորրորդ հավասարման ձախ և աջ կողմերին ավելացնենք համապատասխանաբար ձախ և աջ կողմերրորդ հավասարումը բազմապատկած 
:
Դուք կարող եք սկսել Գաուսի մեթոդի հակառակը:
Վերջին հավասարումից մենք ունենք 
,
երրորդ հավասարումից մենք ստանում ենք.
երկրորդից,
առաջինից։
Ստուգելու համար կարող եք անհայտ փոփոխականների ստացված արժեքները փոխարինել սկզբնական հավասարումների համակարգում: Բոլոր հավասարումները վերածվում են նույնականության, ինչը ցույց է տալիս, որ Գաուսի մեթոդով լուծումը ճիշտ է գտնվել։
Պատասխան.
Հիմա եկեք լուծում տանք նույն օրինակին՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդը մատրիցային նշումներում:
Օրինակ.
Գտեք հավասարումների համակարգի լուծումը Գաուսի մեթոդ.
Լուծում.
Համակարգի ընդլայնված մատրիցն ունի ձև 
. Յուրաքանչյուր սյունակի վերևում կան անհայտ փոփոխականներ, որոնք համապատասխանում են մատրիցայի տարրերին:
Գաուսի մեթոդի ուղղակի մոտեցումն այստեղ ներառում է համակարգի ընդլայնված մատրիցը վերածել trapezoidal ձևի՝ օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ: Այս գործընթացը նման է անհայտ փոփոխականների վերացմանը, որը մենք արել ենք համակարգի հետ կոորդինատային ձևով: Այժմ դուք կտեսնեք սա:
Եկեք փոխակերպենք մատրիցը, որպեսզի առաջին սյունակի բոլոր տարրերը, սկսած երկրորդից, դառնան զրո: Դա անելու համար երկրորդ, երրորդ և չորրորդ տողերի տարրերին ավելացնում ենք առաջին տողի համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկելով . և համապատասխանաբար. 
Այնուհետև մենք վերափոխում ենք ստացված մատրիցը, որպեսզի երկրորդ սյունակում բոլոր տարրերը, սկսած երրորդից, դառնան զրո: Սա կհամապատասխանի x 2 անհայտ փոփոխականի վերացմանը: Դա անելու համար երրորդ և չորրորդ տողերի տարրերին ավելացնում ենք մատրիցայի առաջին շարքի համապատասխան տարրերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով. Եվ :
Մնում է համակարգի վերջին հավասարումից բացառել x 3 անհայտ փոփոխականը։ Դա անելու համար ստացված մատրիցայի վերջին շարքի տարրերին ավելացնում ենք նախավերջին շարքի համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկելով. :
Հարկ է նշել, որ այս մատրիցը համապատասխանում է գծային հավասարումների համակարգին 
որն ավելի վաղ ձեռք էր բերվել առաջ շարժվելուց հետո:
Եկել է ետ դառնալու ժամանակը: Մատրիցային նշումներում Գաուսի մեթոդի հակադարձությունը ներառում է ստացված մատրիցը այնպես, որ նկարում նշված մատրիցը 
դարձավ անկյունագծային, այսինքն՝ վերցրեց ձևը 
որտեղ կան որոշ թվեր:
Այս փոխակերպումները նման են Գաուսի մեթոդի առաջընթաց փոխակերպումներին, բայց կատարվում են ոչ թե առաջին տողից մինչև վերջին, այլ վերջինից առաջինը։
Երրորդ, երկրորդ և առաջին տողերի տարրերին ավելացրեք վերջին տողի համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկելով 
, շարունակ և շարունակ 
համապատասխանաբար: 
Այժմ երկրորդ և առաջին տողերի տարրերին ավելացրեք երրորդ տողի համապատասխան տարրերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով և բազմապատկելով. 
Հակադարձ Գաուսի մեթոդի վերջին քայլում առաջին շարքի տարրերին ավելացնում ենք երկրորդ շարքի համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկելով. 
Ստացված մատրիցը համապատասխանում է հավասարումների համակարգին 
, որտեղից գտնում ենք անհայտ փոփոխականները։
Պատասխան.
ՆՇՈՒՄ.
Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման համար Գաուսի մեթոդը կիրառելիս պետք է խուսափել մոտավոր հաշվարկներից, քանի որ դա կարող է հանգեցնել բոլորովին սխալ արդյունքների: Խորհուրդ ենք տալիս չկլորացնել տասնորդականները: Ավելի լավ է տասնորդականներանցնել սովորական կոտորակներին.
Օրինակ.
Գաուսի մեթոդով լուծել երեք հավասարումների համակարգ 
.
Լուծում.
Նկատի ունեցեք, որ այս օրինակում անհայտ փոփոխականներն ունեն այլ նշանակում (ոչ թե x 1, x 2, x 3, այլ x, y, z): Անցնենք սովորական կոտորակներին. 
Համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներից բացառենք x անհայտը. 
Ստացված համակարգում y անհայտ փոփոխականը բացակայում է երկրորդ հավասարման մեջ, բայց y-ն առկա է երրորդ հավասարման մեջ, հետևաբար, փոխենք երկրորդ և երրորդ հավասարումները. 
Սա ավարտում է Գաուսի մեթոդի ուղղակի առաջընթացը (երրորդ հավասարումից y-ն բացառելու կարիք չկա, քանի որ այս անհայտ փոփոխականն այլևս գոյություն չունի):
Եկեք սկսենք հակառակ քայլը:
Վերջին հավասարումից մենք գտնում ենք 
,
նախավերջինից 
մեր ունեցած առաջին հավասարումից 
Պատասխան.
X = 10, y = 5, z = -20:
Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում, որոնցում հավասարումների թիվը չի համընկնում անհայտների թվի հետ կամ համակարգի հիմնական մատրիցը եզակի է՝ օգտագործելով Գաուսի մեթոդը։
Հավասարումների համակարգերը, որոնց հիմնական մատրիցը ուղղանկյուն կամ քառակուսի եզակի է, կարող են չունենալ լուծումներ, կարող են ունենալ մեկ լուծում կամ ունենալ անսահման թվով լուծումներ։
Այժմ մենք կհասկանանք, թե ինչպես է Գաուսի մեթոդը թույլ տալիս հաստատել գծային հավասարումների համակարգի համատեղելիությունը կամ անհամապատասխանությունը, իսկ դրա համատեղելիության դեպքում որոշել բոլոր լուծումները (կամ մեկ լուծում):
Սկզբունքորեն, նման SLAE-ների դեպքում անհայտ փոփոխականների վերացման գործընթացը մնում է նույնը: Այնուամենայնիվ, արժե մանրամասնել որոշ իրավիճակներ, որոնք կարող են առաջանալ:
Անցնենք ամենակարևոր փուլին.
Այսպիսով, ենթադրենք, որ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդի առաջընթացն ավարտելուց հետո ստանում է ձև. 
և ոչ մի հավասարում չի կրճատվել մինչև (այս դեպքում մենք կեզրակացնենք, որ համակարգը անհամատեղելի է): Տրամաբանական հարց է ծագում՝ «Ի՞նչ անել հետո»։
Եկեք գրենք անհայտ փոփոխականները, որոնք առաջին տեղում են ստացված համակարգի բոլոր հավասարումների մեջ. 
Մեր օրինակում դրանք x 1, x 4 և x 5 են: Համակարգի հավասարումների ձախ կողմերում թողնում ենք միայն այն տերմինները, որոնք պարունակում են գրված անհայտ x 1, x 4 և x 5 փոփոխականները, մնացած անդամները փոխանցվում են հավասարումների աջ կողմ՝ հակառակ նշանով. 
Անհայտ փոփոխականներին, որոնք գտնվում են հավասարումների աջ կողմերում, տանք կամայական արժեքներ, որտեղ 
- կամայական թվեր. 
Դրանից հետո մեր SLAE-ի բոլոր հավասարումների աջ կողմերը պարունակում են թվեր, և մենք կարող ենք անցնել Գաուսի մեթոդի հակառակ կողմը:
Համակարգի վերջին հավասարումից մենք ունենք, նախավերջին հավասարումից մենք գտնում ենք, առաջին հավասարումից ստանում ենք. 
Հավասարումների համակարգի լուծումը անհայտ փոփոխականների արժեքների մի շարք է 
Թվեր տալը տարբեր արժեքներ, մենք կստանանք հավասարումների համակարգի տարբեր լուծումներ: Այսինքն՝ մեր հավասարումների համակարգը անսահման շատ լուծումներ ունի։
Պատասխան.
Որտեղ - կամայական թվեր.
Նյութը համախմբելու համար մենք մանրամասն կվերլուծենք ևս մի քանի օրինակների լուծումները։
Օրինակ.
Որոշեք միատարր համակարգգծային հանրահաշվական հավասարումներ 
Գաուսի մեթոդ.
Լուծում.
Համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներից բացառենք x անհայտ փոփոխականը։ Դա անելու համար երկրորդ հավասարման ձախ և աջ կողմերին, համապատասխանաբար, ավելացնում ենք առաջին հավասարման ձախ և աջ կողմերը՝ բազմապատկելով , իսկ երրորդ հավասարման ձախ և աջ կողմերին ավելացնում ենք ձախ և աջ կողմերը։ առաջին հավասարման աջ կողմերը՝ բազմապատկված՝ 
Այժմ բացառենք y-ն ստացված հավասարումների համակարգի երրորդ հավասարումից. 
Ստացված SLAE-ը համարժեք է համակարգին 
.
Համակարգի հավասարումների ձախ կողմում թողնում ենք միայն x և y անհայտ փոփոխականները պարունակող անդամները, իսկ z անհայտ փոփոխականով անդամները տեղափոխում ենք աջ կողմ. 
Թող տրվի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ, որը պետք է լուծել (գտեք xi անհայտների այնպիսի արժեքներ, որոնք համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը վերածում են հավասարության):
Մենք գիտենք, որ գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը կարող է.
1) Լուծումներ չունեն (լինել ոչ համատեղ).
2) Ունեն անսահման շատ լուծումներ:
3) ունեն մեկ լուծում.
Ինչպես հիշում ենք, Կրամերի կանոնն ու մատրիցային մեթոդպիտանի չեն այն դեպքերում, երբ համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ կամ անհամապատասխան է: Գաուսի մեթոդ – գծային հավասարումների ցանկացած համակարգի լուծումներ գտնելու ամենահզոր և բազմակողմանի գործիքը, որը ամեն դեպքումմեզ կտանի պատասխանի! Մեթոդի ալգորիթմն ինքնին բոլորում երեք դեպքաշխատում է նույնը. Եթե Կրամերի և մատրիցային մեթոդները պահանջում են որոշիչների իմացություն, ապա Գաուսի մեթոդը կիրառելու համար անհրաժեշտ է միայն գիտելիքներ. թվաբանական գործողություններ, ինչը հասանելի է դարձնում նույնիսկ տարրական դասարանների աշակերտներին։
Ընդլայնված մատրիցային փոխակերպումներ ( սա համակարգի մատրիցն է՝ մատրիցա, որը կազմված է միայն անհայտների գործակիցներից, գումարած ազատ տերմինների սյունակ):Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր Գաուսի մեթոդով.
1) Հետ տրոկիմատրիցներ Կարող է վերադասավորելորոշ տեղերում.
2) եթե համամասնականները հայտնվել են (կամ գոյություն ունեն) մատրիցում (ինչպես հատուկ դեպք– նույնական) տողեր, այնուհետև հետևում է ջնջելԱյս բոլոր տողերը մատրիցից են, բացի մեկից:
3) եթե փոխակերպումների ժամանակ մատրիցում հայտնվում է զրոյական տող, ապա այն նույնպես պետք է լինի ջնջել.
4) մատրիցայի մի շարք կարող է լինել բազմապատկել (բաժանել)զրոյից բացի ցանկացած թվից:
5) մատրիցայի մի շարք կարող եք ավելացրեք ևս մեկ տող՝ բազմապատկված թվով, տարբերվում է զրոյից։
Գաուսի մեթոդում տարրական փոխակերպումները չեն փոխում հավասարումների համակարգի լուծումը։
Գաուսի մեթոդը բաղկացած է երկու փուլից.
- «Ուղիղ շարժում» - օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի ընդլայնված մատրիցը բերեք «եռանկյուն» քայլային ձևի. հիմնական անկյունագծից ներքև գտնվող ընդլայնված մատրիցայի տարրերը հավասար են զրոյի (վերևից վար շարժում): Օրինակ, այս տեսակի համար.
Դա անելու համար կատարեք հետևյալ քայլերը.
1) Դիտարկենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի առաջին հավասարումը և x 1-ի գործակիցը հավասար է K-ին: Երկրորդը, երրորդը և այլն: մենք հավասարումները փոխակերպում ենք հետևյալ կերպ. յուրաքանչյուր հավասարում (անհայտների գործակիցները, ներառյալ ազատ անդամները) բաժանում ենք յուրաքանչյուր հավասարման անհայտ x 1 գործակցի վրա և բազմապատկում K-ով: Դրանից հետո առաջինը հանում ենք երկրորդ հավասարումից ( անհայտների և ազատ տերմինների գործակիցները): Երկրորդ հավասարման x 1-ի համար մենք ստանում ենք 0 գործակիցը: Երրորդ փոխակերպված հավասարումից հանում ենք առաջին հավասարումը, մինչև բոլոր հավասարումները, բացի առաջինից, անհայտ x 1-ի համար, ունենան 0 գործակից:
2) Անցնենք հաջորդ հավասարմանը: Թող սա լինի երկրորդ հավասարումը և x 2-ի գործակիցը, որը հավասար է M-ին: Մենք անցնում ենք բոլոր «ստորին» հավասարումներով, ինչպես նկարագրված է վերևում: Այսպիսով, x 2 անհայտի «տակ» բոլոր հավասարումների մեջ կլինեն զրոներ:
3) Անցեք հաջորդ հավասարմանը և այդպես շարունակ, մինչև մնա վերջին անհայտը և փոխակերպված ազատ անդամը:
- Գաուսի մեթոդի «հակադարձ շարժումը» գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծում ստանալն է («ներքևից վեր» քայլը): Վերջին «ստորին» հավասարումից մենք ստանում ենք մեկ առաջին լուծում՝ անհայտ x n: Դա անելու համար մենք լուծում ենք A*x n = B տարրական հավասարումը: Վերևում բերված օրինակում x 3 = 4: Գտնված արժեքը փոխարինում ենք հաջորդ «վերին» հավասարման մեջ և լուծում այն հաջորդ անհայտի նկատմամբ: Օրինակ, x 2 – 4 = 1, այսինքն. x 2 = 5. Եվ այսպես շարունակ, մինչև մենք գտնենք բոլոր անհայտները:
Օրինակ.
Եկեք լուծենք գծային հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդով, ինչպես խորհուրդ են տալիս որոշ հեղինակներ.
Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.
Մենք նայում ենք վերին ձախ «քայլին»: Այնտեղ մենք պետք է ունենանք մեկը: Խնդիրն այն է, որ առաջին սյունակում ընդհանրապես միավորներ չկան, ուստի տողերի վերադասավորումը ոչինչ չի լուծի: Նման դեպքերում միավորը պետք է կազմակերպվի տարրական փոխակերպման միջոցով: Սովորաբար դա կարելի է անել մի քանի ձևով. Եկեք սա անենք.
1 քայլ
. Առաջին տողին ավելացնում ենք երկրորդ տողը, որը բազմապատկվում է –1-ով: Այսինքն, մենք մտովի բազմապատկեցինք երկրորդ տողը –1-ով և ավելացրինք առաջին և երկրորդ տողերը, մինչդեռ երկրորդ տողը չփոխվեց:
Այժմ վերևի ձախ մասում կա «մինուս մեկ», որը մեզ բավականին սազում է։ Յուրաքանչյուրը, ով ցանկանում է ստանալ +1, կարող է կատարել լրացուցիչ գործողություն՝ առաջին տողը բազմապատկել –1-ով (փոխել դրա նշանը):
Քայլ 2 . Առաջին տողը՝ 5-ով բազմապատկված, ավելացվեց երկրորդ տողին, առաջին տողը, բազմապատկելով 3-ով, ավելացվեց երրորդ տողին։
Քայլ 3 . Առաջին տողը բազմապատկվել է –1-ով, սկզբունքորեն սա գեղեցկության համար է: Երրորդ տողի նշանը նույնպես փոխվեց և այն տեղափոխվեց երկրորդ տեղ, որպեսզի երկրորդ «քայլի» վրա ունենանք անհրաժեշտ միավորը։
Քայլ 4 . Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը, որը բազմապատկվեց 2-ով:
Քայլ 5 . Երրորդ տողը բաժանվեց 3-ի.
Նշանը, որը ցույց է տալիս հաշվարկների սխալը (ավելի հազվադեպ՝ տառասխալ) «վատ» է: Այսինքն, եթե ստորև ստացել ենք (0 0 11 |23) նման մի բան, և, համապատասխանաբար, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, ապա հավանականության բարձր աստիճանով կարող ենք ասել, որ սխալ է թույլ տրվել տարրական ժամանակ. փոխակերպումներ։
Եկեք հակառակն անենք. օրինակների նախագծման ժամանակ համակարգը ինքնին հաճախ չի վերագրվում, բայց հավասարումները «վերցված են ուղղակիորեն տվյալ մատրիցից»: Հակադարձ շարժումը, հիշեցնում եմ ձեզ, աշխատում է ներքևից վեր: Այս օրինակում արդյունքը նվեր էր.
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, հետեւաբար x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Պատասխանել:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1:
Եկեք լուծենք նույն համակարգը՝ օգտագործելով առաջարկվող ալգորիթմը։ Մենք ստանում ենք
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Երկրորդ հավասարումը բաժանեք 5-ի, իսկ երրորդը՝ 3-ի։ Ստանում ենք.
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Երկրորդ և երրորդ հավասարումները 4-ով բազմապատկելով՝ ստանում ենք.
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Երկրորդ և երրորդ հավասարումներից հանել առաջին հավասարումը, ունենք.
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Երրորդ հավասարումը բաժանեք 0,64-ի.
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Երրորդ հավասարումը բազմապատկեք 0,4-ով
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Երկրորդը հանելով երրորդ հավասարումից՝ ստանում ենք «քայլ» ընդլայնված մատրիցա.
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Այսպիսով, քանի որ հաշվարկների ընթացքում կուտակված սխալը, մենք ստանում ենք x 3 = 0,96 կամ մոտավորապես 1:
x 2 = 3 և x 1 = –1:
Այս կերպ լուծելով՝ դուք երբեք չեք շփոթվի հաշվարկներում և, չնայած հաշվարկի սխալներին, կստանաք արդյունք։
Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման այս մեթոդը հեշտ է ծրագրավորել և հաշվի չի առնում կոնկրետ հատկանիշներգործակիցներ անհայտների համար, քանի որ գործնականում (տնտեսական և տեխնիկական հաշվարկներում) պետք է գործ ունենալ ոչ ամբողջ թվային գործակիցների հետ։
Ձեզ հաջողություն եմ ցանկանում! Կհանդիպենք դասարանում։ Դաստիարակ.
blog.site-ը, նյութն ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս պարտադիր է սկզբնաղբյուրի հղումը:
Համակարգը տրված լինի ∆≠0: (1)Գաուսի մեթոդանհայտները հաջորդաբար վերացնելու մեթոդ է։
Գաուսի մեթոդի էությունը (1) վերածելն է եռանկյուն մատրիցով համակարգի, որից հետո հաջորդաբար (հակադարձ) ստացվում են բոլոր անհայտների արժեքները: Դիտարկենք հաշվողական սխեմաներից մեկը. Այս շղթան կոչվում է մեկ բաժանման միացում: Այսպիսով, եկեք նայենք այս դիագրամին: Թող 11 ≠0 (առաջատար տարրը) առաջին հավասարումը բաժանի 11-ի: Մենք ստանում ենք
(2)
Օգտագործելով (2) հավասարումը, հեշտ է վերացնել x 1 անհայտները համակարգի մնացած հավասարումներից (դա անելու համար բավական է յուրաքանչյուր հավասարումից հանել (2) հավասարումը, որը նախկինում բազմապատկվել է x 1-ի համապատասխան գործակցով): , այսինքն՝ առաջին քայլում մենք ստանում ենք
.
Այլ կերպ ասած, քայլ 1-ում հաջորդ տողերի յուրաքանչյուր տարր, սկսած երկրորդից, հավասար է սկզբնական տարրի և դրա «պրոյեկցիայի» արտադրյալի տարբերությանը առաջին սյունակի և առաջին (վերափոխված) տողի վրա:
Դրանից հետո, թողնելով առաջին հավասարումը, մենք նմանատիպ փոխակերպում ենք կատարում առաջին քայլում ստացված համակարգի մնացած հավասարումների նկատմամբ. դրանցից ընտրում ենք առաջատար տարրի հետ հավասարումը և դրա օգնությամբ բացառում x 2-ը մնացածից: հավասարումներ (քայլ 2):
n քայլից հետո (1-ի փոխարեն) ստանում ենք համարժեք համակարգ 
(3)
Այսպիսով, առաջին փուլում մենք ստանում ենք եռանկյուն համակարգ (3): Այս փուլը կոչվում է առաջ ինսուլտ:
Երկրորդ փուլում (հակադարձ) մենք հաջորդաբար (3)-ից գտնում ենք x n, x n -1, ..., x 1 արժեքները:
Ստացված լուծումը նշանակենք x 0: Հետո տարբերությունը ε=b-A x 0 կոչվում է մնացորդային.
Եթե ε=0, ապա գտնված x 0 լուծումը ճիշտ է։
Գաուսի մեթոդով հաշվարկները կատարվում են երկու փուլով.
- Առաջին փուլը կոչվում է առաջընթաց մեթոդ: Առաջին փուլում սկզբնական համակարգը վերածվում է եռանկյունաձև ձևի:
- Երկրորդ փուլը կոչվում է հակադարձ հարված: Երկրորդ փուլում լուծվում է սկզբնականին համարժեք եռանկյուն համակարգ։
Յուրաքանչյուր քայլում առաջատար տարրը համարվում էր ոչ զրոյական: Եթե դա այդպես չէ, ապա ցանկացած այլ տարր կարող է օգտագործվել որպես առաջատար տարր՝ կարծես վերադասավորելով համակարգի հավասարումները։
Գաուսի մեթոդի նպատակը
Գաուսի մեթոդը նախատեսված է գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար։ Անդրադառնում է ուղղակի լուծման մեթոդներին:Գաուսի մեթոդի տեսակները
- Դասական Գաուսի մեթոդ;
- Գաուսի մեթոդի փոփոխություններ. Գաուսյան մեթոդի փոփոխություններից մեկը հիմնական տարրի ընտրությամբ սխեմա է։ Հիմնական տարրի ընտրությամբ Գաուսի մեթոդի առանձնահատկությունը հավասարումների այնպիսի վերադասավորումն է, որ k-րդ քայլում առաջատար տարրը պարզվում է, որ k-րդ սյունակի ամենամեծ տարրը:
- Ջորդանո-Գաուսի մեթոդ;
Եկեք պատկերացնենք տարբերությունը Ջորդանո-Գաուսի մեթոդԳաուսի մեթոդից՝ օրինակներով։
Գաուսի մեթոդով լուծման օրինակ
Եկեք լուծենք համակարգը. 
Հաշվարկի հեշտության համար եկեք փոխենք տողերը. 
2-րդ տողը բազմապատկենք (2-ով): 3-րդ տողը ավելացրեք 2-րդին 
2-րդ տողը բազմապատկեք (-1-ով): 2-րդ տողը ավելացրեք 1-ին 
1-ին տողից մենք արտահայտում ենք x 3.
2-րդ տողից մենք արտահայտում ենք x 2.
3-րդ տողից մենք արտահայտում ենք x 1. 
Ջորդանո-Գաուսի մեթոդով լուծման օրինակ
Եկեք լուծենք նույն SLAE-ը Ջորդանո-Գաուսի մեթոդով: 
Մենք հաջորդաբար կընտրենք RE լուծող տարրը, որը գտնվում է մատրիցայի հիմնական անկյունագծով:
Լուծման տարրը հավասար է (1):
NE = SE - (A*B)/RE
RE - լուծող տարր (1), A և B - մատրիցային տարրեր, որոնք կազմում են ուղղանկյուն STE և RE տարրերով:
Յուրաքանչյուր տարրի հաշվարկը ներկայացնենք աղյուսակի տեսքով.
| x 1 | x 2 | x 3 | Բ |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Լուծող տարրը հավասար է (3):
Լուծող տարրի տեղում ստանում ենք 1, իսկ սյունակում գրում ենք զրոներ։
Մատրիցայի մյուս բոլոր տարրերը, ներառյալ B սյունակի տարրերը, որոշվում են ուղղանկյունի կանոնով:
Դա անելու համար մենք ընտրում ենք չորս թվեր, որոնք գտնվում են ուղղանկյան գագաթներում և միշտ ներառում են RE լուծող տարրը։
| x 1 | x 2 | x 3 | Բ |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Լուծման տարրը (-4) է:
Լուծող տարրի տեղում ստանում ենք 1, իսկ սյունակում գրում ենք զրոներ։
Մատրիցայի մյուս բոլոր տարրերը, ներառյալ B սյունակի տարրերը, որոշվում են ուղղանկյունի կանոնով:
Դա անելու համար մենք ընտրում ենք չորս թվեր, որոնք գտնվում են ուղղանկյան գագաթներում և միշտ ներառում են RE լուծող տարրը։
Յուրաքանչյուր տարրի հաշվարկը ներկայացնենք աղյուսակի տեսքով.
| x 1 | x 2 | x 3 | Բ |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Պատասխանել x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Գաուսի մեթոդի իրականացում
Գաուսի մեթոդն իրականացվում է ծրագրավորման բազմաթիվ լեզուներում, մասնավորապես՝ Pascal, C++, php, Delphi, ինչպես նաև կա Գաուսի մեթոդի առցանց իրականացում։Օգտագործելով Գաուսի մեթոդը
Գաուսի մեթոդի կիրառումը խաղերի տեսության մեջ
Խաղերի տեսության մեջ խաղացողի առավելագույն օպտիմալ ռազմավարությունը գտնելիս կազմվում է հավասարումների համակարգ, որը լուծվում է Գաուսի մեթոդով։Գաուսի մեթոդի կիրառումը դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման մեջ
Դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում գտնելու համար նախ գտեք գրավոր մասնակի լուծման համար համապատասխան աստիճանի ածանցյալներ (y=f(A,B,C,D)), որոնք փոխարինվում են բնօրինակ հավասարումը. Հաջորդը գտնելու համար A,B,C,D փոփոխականներԳաուսի մեթոդով կազմվում և լուծվում է հավասարումների համակարգ։Ջորդանո-Գաուսի մեթոդի կիրառումը գծային ծրագրավորման մեջ
IN գծային ծրագրավորում, մասնավորապես, սիմպլեքս մեթոդում ուղղանկյունի կանոնը, որն օգտագործում է Ջորդանո-Գաուսի մեթոդը, օգտագործվում է սիմպլեքս աղյուսակը յուրաքանչյուր կրկնության ժամանակ փոխակերպելու համար։Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուս, մեծագույն մաթեմատիկոս երկար ժամանակովվարանեց՝ ընտրելով փիլիսոփայության և մաթեմատիկայի միջև: Թերևս հենց այս մտածելակերպն էր, որ թույլ տվեց նրան նման նկատելի «ժառանգություն» թողնել համաշխարհային գիտության մեջ։ Մասնավորապես, ստեղծելով «Գաուսի մեթոդը» ...
Գրեթե 4 տարի այս կայքում հոդվածները վերաբերում էին դպրոցական կրթությանը, հիմնականում փիլիսոփայության տեսանկյունից, երեխաների մտքերում ներմուծված (թյուրըմբռնման) սկզբունքները: Գալիս է ավելի կոնկրետությունների, օրինակների և մեթոդների ժամանակը... Կարծում եմ, որ հենց սա է մոտեցումը ծանոթ, շփոթեցնող և. կարևորկյանքի ոլորտները ավելի լավ արդյունքներ են տալիս:
Մենք՝ մարդիկ, այնպես ենք ստեղծված, որ ինչքան էլ խոսենք վերացական մտածողություն, Բայց ըմբռնումը Միշտտեղի է ունենում օրինակների միջոցով. Եթե օրինակներ չկան, ուրեմն անհնար է ըմբռնել սկզբունքները... Ինչպես որ անհնար է լեռան գագաթին հասնել, բացառությամբ ոտքից ամբողջ լանջը քայլելուց։
Նույնը դպրոցում. առայժմ կենդանի պատմություններԲավական չէ, որ մենք բնազդաբար շարունակում ենք այն դիտարկել որպես մի վայր, որտեղ երեխաներին սովորեցնում են հասկանալ:
Օրինակ՝ Գաուսի մեթոդի ուսուցումը...
Գաուսի մեթոդը 5-րդ դասարանում
Անմիջապես վերապահում անեմ. Գաուսի մեթոդը շատ ավելին ունի լայն կիրառություն, օրինակ, լուծելիս գծային հավասարումների համակարգեր. Այն, ինչի մասին կխոսենք, տեղի է ունենում 5-րդ դասարանում։ Սա սկսվել է, հասկանալով, թե որն է, շատ ավելի հեշտ է հասկանալ ավելի «առաջադեմ տարբերակները»: Այս հոդվածում մենք խոսում ենք Գաուսի մեթոդը (մեթոդը) շարքի գումարը գտնելու համար
Ահա մի օրինակ, որ բերել եմ դպրոցից կրտսեր որդի, հաճախելով Մոսկվայի գիմնազիայի 5-րդ դասարան։
Գաուսի մեթոդի դպրոցական ցուցադրություն
Մաթեմատիկայի ուսուցիչ օգտագործելով ինտերակտիվ գրատախտակ (ժամանակակից մեթոդներուսուցում) երեխաներին ցույց տվեց փոքրիկ Գաուսի «մեթոդի ստեղծման» պատմության ներկայացումը:
Դպրոցի ուսուցիչը մտրակել է փոքրիկ Կարլին (հնացած մեթոդ, որն այս օրերին դպրոցներում չի կիրառվում), քանի որ նա
1-ից 100 թվերը հաջորդաբար գումարելու փոխարեն, գտե՛ք դրանց գումարը նկատել էոր թվաբանական առաջընթացի եզրերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող թվերի զույգերը գումարվում են նույն թվին։ Օրինակ՝ 100 և 1, 99 և 2։ Հաշվելով նման զույգերի թիվը՝ փոքրիկ Գաուսը գրեթե ակնթարթորեն լուծեց ուսուցչի առաջարկած խնդիրը։ Ինչի համար նա մահապատժի է ենթարկվել ապշած հանրության առաջ։ Որպեսզի ուրիշները հուսահատվեն մտածելուց։
Ի՞նչ արեց փոքրիկ Գաուսը: զարգացած թվի զգացողություն? Նկատել էորոշ առանձնահատկությունթվային շարք՝ հաստատուն քայլով (թվաբանական առաջընթաց): ԵՎ հենց սահետագայում նրան դարձրեց մեծ գիտնական, նրանք, ովքեր գիտեն ինչպես նկատել, ունենալով զգացում, ըմբռնման բնազդ.
Ահա թե ինչու է մաթեմատիկան արժեքավոր, զարգացող տեսնելու ունակությունընդհանրապես, մասնավորապես, վերացական մտածողություն . Հետեւաբար, ծնողների եւ գործատուների մեծ մասը բնազդաբար մաթեմատիկան համարում են կարևոր առարկա ...
«Այդ դեպքում դուք պետք է սովորեք մաթեմատիկա, քանի որ այն կարգի է բերում ձեր միտքը:
Մ.Վ.Լոմոնոսով».
Սակայն ապագա հանճարներին ձողերով ծեծողների հետևորդները Մեթոդը վերածեցին հակառակի։ Ինչպես ընկերս ասաց 35 տարի առաջ գիտական խորհրդատու«Նրանք սովորեցին հարցը»: Կամ, ինչպես երեկ ասաց իմ կրտսեր որդին Գաուսի մեթոդի մասին. «Միգուցե չարժե սրանից մեծ գիտություն անել, հա՞»:
«Գիտնականների» ստեղծագործության հետևանքները տեսանելի են ներկայիս դպրոցական մաթեմատիկայի, դրա դասավանդման մակարդակի և մեծամասնության կողմից «Գիտությունների թագուհու» ըմբռնման մակարդակում։
Այնուամենայնիվ, շարունակենք...
Գաուսի մեթոդի բացատրության մեթոդներ 5-րդ դասարանում
Մոսկվայի գիմնազիայի մաթեմատիկայի ուսուցիչը, ըստ Վիլենկինի բացատրելով Գաուսի մեթոդը, բարդացրեց առաջադրանքը։
Իսկ եթե թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը (քայլը) ոչ թե մեկ, այլ մեկ այլ թիվ է: Օրինակ, 20.
Խնդիրը, որը նա տվել է հինգերորդ դասարանցիներին.
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Մինչ գիմնազիայի մեթոդին ծանոթանալը, եկեք մի հայացք գցենք համացանցին. ինչպե՞ս են դա անում դպրոցի ուսուցիչներն ու մաթեմատիկայի դաստիարակները։
Գաուսի մեթոդ՝ բացատրություն թիվ 1
YOUTUBE-ի իր ալիքում հայտնի դաստիարակը հետևյալ պատճառաբանությունն է տալիս.
«1-ից 100 թվերը գրենք հետևյալ կերպ.
նախ մի շարք թվեր 1-ից 50-ը, իսկ խիստ ներքևում գտնվող թվերի շարքը 50-ից 100-ը, բայց հակառակ հերթականությամբ»:
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
«Խնդրում ենք նկատի ունենալ. վերևի և ներքևի տողերի յուրաքանչյուր զույգ թվերի գումարը նույնն է և հավասար է 101-ի: Եկեք հաշվենք զույգերի թիվը, այն 50 է և մեկ զույգի գումարը բազմապատկենք զույգերի թվով: Voila: պատասխանը պատրաստ է»:
«Եթե չես կարողացել հասկանալ, մի՛ նեղացիր»,- բացատրության ժամանակ երեք անգամ կրկնեց ուսուցիչը: «Այս մեթոդը կընդունեք 9-րդ դասարանում»։
Գաուսի մեթոդ՝ բացատրություն թիվ 2
Մեկ այլ դասավանդող՝ քիչ հայտնի (դատելով դիտումների քանակից), ավելի գիտական մոտեցում է ցուցաբերում՝ առաջարկելով 5 կետից բաղկացած լուծման ալգորիթմ, որը պետք է լրացվի հաջորդաբար։
Չգիտակցողների համար 5-ը Ֆիբոնաչիի թվերից մեկն է, որն ավանդաբար համարվում է կախարդական: 5 քայլ մեթոդը միշտ ավելի գիտական է, քան 6 քայլ մեթոդը, օրինակ: ...Եվ դա հազիվ թե պատահականություն լինի, ամենայն հավանականությամբ, Հեղինակը Ֆիբոնաչիի տեսության թաքնված կողմնակիցն է։
Դանա թվաբանական առաջընթաց: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Գաուսի մեթոդով շարքի թվերի գումարը գտնելու ալգորիթմ.
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Միևնույն ժամանակ, դուք պետք է հիշեք գումարած մեկ կանոն Ստացված գործակցին պետք է գումարենք մեկ, հակառակ դեպքում կստանանք զույգերի իրական թվից մեկով փոքր արդյունք՝ 42 + 1 = 43։
Սա 4-ից մինչև 256 թվաբանական առաջընթացի պահանջվող գումարն է՝ 6 տարբերությամբ:
Գաուսի մեթոդ. բացատրություն 5-րդ դասարանում Մոսկվայի գիմնազիայում
Ահա թե ինչպես կարելի է լուծել շարքի գումարը գտնելու խնդիրը.
20+40+60+ ... +460+480+500
Մոսկվայի գիմնազիայի 5-րդ դասարանում, Վիլենկինի դասագիրքը (ըստ տղայիս):
Ներկայացումը ցույց տալուց հետո մաթեմատիկայի ուսուցիչը Գաուսի մեթոդով ցույց տվեց մի քանի օրինակ և դասարանին հանձնարարեց գտնել 20-ի հավելումներով շարքի թվերի գումարը:
Սա պահանջում էր հետևյալը.
Ինչպես տեսնում եք, սա ավելի կոմպակտ է և արդյունավետ տեխնիկա 3 համարը նույնպես Ֆիբոնաչիի հաջորդականության անդամ է
Իմ մեկնաբանությունները Գաուսի մեթոդի դպրոցական տարբերակի վերաբերյալ
Մեծ մաթեմատիկոսը հաստատ կընտրեր փիլիսոփայությունը, եթե կանխատեսեր, թե իր «մեթոդը» ինչի կվերածվեր իր հետևորդների կողմից. գերմաներենի ուսուցիչ, ով մտրակել է Կարլին ձողերով։ Նա կտեսներ սիմվոլիկան, դիալեկտիկական պարույրը և «ուսուցիչների» անմահ հիմարությունը. փորձելով չափել կենդանի մաթեմատիկական մտքի ներդաշնակությունը թյուրիմացության հանրահաշվի հետ ....
Ի դեպ, դուք գիտեի՞ք: որ մեր կրթական համակարգը խարսխված է 18-19-րդ դարերի գերմանական դպրոցում։
Բայց Գաուսն ընտրեց մաթեմատիկան։
Ո՞րն է նրա մեթոդի էությունը:
IN պարզեցում. IN դիտել և հասկանալթվերի պարզ նախշեր. IN չոր դպրոցական թվաբանությունը վերածելով հետաքրքիր և հուզիչ գործունեություն , ակտիվացնելով ուղեղում շարունակելու ցանկությունը, այլ ոչ թե արգելափակելու թանկարժեք մտավոր գործունեությունը:
Հնարավո՞ր է արդյոք օգտագործել տրված «Գաուսի մեթոդի փոփոխություններից» մեկը՝ թվաբանական առաջընթացի թվերի գումարը գրեթե հաշվարկելու համար։ ակնթարթորեն? Ըստ «ալգորիթմների», փոքրիկ Կառլին երաշխավորված կլիներ խուսափել ծեծից, զզվելի մաթեմատիկայի նկատմամբ և ճնշել իր ստեղծագործական ազդակները բողբոջում:
Ինչո՞ւ էր դաստիարակն այդքան համառորեն խորհուրդ տալիս հինգերորդ դասարանցիներին «չվախենալ մեթոդի թյուրիմացությունից»՝ համոզելով նրանց, որ «նման» հարցերը կլուծեն արդեն 9-րդ դասարանում։ Հոգեբանորեն անգրագետ գործողություն. Լավ քայլ էր նշել: "Կտեսնվենք արդեն 5-րդ դասարանում կարող եսլուծեք խնդիրներ, որոնք կավարտվեք միայն 4 տարում: Ի՜նչ հիանալի մարդ ես դու»։
Գաուսի մեթոդն օգտագործելու համար բավարար է 3-րդ դասի մակարդակը, երբ նորմալ երեխաներն արդեն գիտեն 2-3 նիշ թվեր գումարել, բազմապատկել ու բաժանել։ Խնդիրներն առաջանում են չափահաս ուսուցիչների անկարողության պատճառով, ովքեր «կապից դուրս» չեն կարողանում բացատրել ամենապարզ բաները նորմալ մարդկային լեզվով, էլ չեմ ասում մաթեմատիկական... Նրանք չեն կարողանում մարդկանց հետաքրքրել մաթեմատիկայով և լիովին հուսահատեցնել նույնիսկ նրանց, ովքեր « ընդունակ»։
Կամ, ինչպես իմ տղան է մեկնաբանել.
Գաուսի մեթոդը, իմ բացատրությունները
Ես ու կինս մեր երեխային բացատրեցինք այս «մեթոդը», կարծես թե դեռ դպրոցից առաջ...
Պարզություն՝ բարդության փոխարեն կամ հարց ու պատասխանի խաղ
«Տեսեք, ահա 1-ից 100 թվերը, ի՞նչ եք տեսնում»:
Բանն այն չէ, թե կոնկրետ ինչ է տեսնում երեխան։ Խաբեությունն այն է, որ նրան ստիպեն նայել:
«Ինչպե՞ս կարող ես դրանք միավորել»: Որդին հասկացավ, որ նման հարցերը «հենց այնպես» չեն տրվում, և դուք պետք է հարցին նայեք «ինչ-որ կերպ այլ կերպ, այլ կերպ, քան նա սովորաբար անում է»:
Կարևոր չէ, որ երեխան անմիջապես տեսնի լուծումը, դա քիչ հավանական է: Կարևոր է, որ նա դադարել է վախենալ նայելուց, կամ ինչպես ասում եմ՝ «առաջադրանքը տեղափոխեցի». Սա դեպի հասկացողություն տանող ճանապարհի սկիզբն է
«Ի՞նչն է ավելի հեշտ՝ ավելացնել, օրինակ, 5 և 6, թե՞ 5 և 95»: Առաջատար հարց... Բայց ցանկացած ուսուցում հանգում է նրան, որ մարդուն «ուղղորդեն» դեպի «պատասխանը»՝ նրա համար ընդունելի ցանկացած ձևով:
Այս փուլում արդեն կարող են ենթադրություններ առաջանալ, թե ինչպես կարելի է «խնայել» հաշվարկների վրա։
Մենք ընդամենը ակնարկում էինք. հաշվման «ճակատային, գծային» մեթոդը միակ հնարավորը չէ։ Եթե երեխան դա հասկանում է, ապա հետագայում նա կգտնի ևս շատ նման մեթոդներ. որովհետև հետաքրքիր է!!!Իսկ մաթեմատիկայի «թյուրիմացությունից» անպայման կխուսափի ու դրանից զզվանք չի զգա։ Նա ստացավ հաղթանակը:
Եթե երեխան հայտնաբերել էոր զույգ թվերի գումարումը, որոնց գումարը հասնում է հարյուրի, մի կտոր տորթ է, ապա «Թվաբանական առաջընթաց 1 տարբերությամբ»- երեխայի համար բավականին տխուր և անհետաքրքիր բան, հանկարծ կյանքը գտավ նրա համար . Կարգը առաջացել է քաոսից, և դա միշտ խանդավառություն է առաջացնում. մենք այդպես ենք ստեղծված!
Հարց, որը պետք է պատասխանի. ինչո՞ւ երեխայի ստացած պատկերացումից հետո նրան նորից պետք է ստիպել մտնել չոր ալգորիթմների շրջանակներում, որոնք այս դեպքում նույնպես ֆունկցիոնալ առումով անօգուտ են։
Ինչու՞ ստիպել հիմար վերաշարադրումներ:Հերթական թվերը նոթատետրում. այնպես, որ նույնիսկ ընդունակները չունենան մեկ անգամ հասկանալու հնարավորություն: Վիճակագրորեն, իհարկե, բայց զանգվածային կրթությունը միտված է դեպի «վիճակագրություն»...
Ո՞ւր գնաց զրոն:
Եվ այնուամենայնիվ, 100 գումարած թվերի գումարումը շատ ավելի ընդունելի է մտքի համար, քան նրանք, որոնց գումարը հասնում է 101-ի...
«Գաուսի դպրոցի մեթոդը» պահանջում է հենց սա. անմիտ ծալելառաջընթացի կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա գտնվող թվերի զույգեր, Չնայած ամեն ինչին.
Իսկ եթե նայես?
Այնուամենայնիվ, զրոն մարդկության ամենամեծ գյուտն է, որն ավելի քան 2000 տարեկան է։ Իսկ մաթեմատիկայի ուսուցիչները շարունակում են անտեսել նրան։
Շատ ավելի հեշտ է 1-ով սկսվող թվերի շարքը վերածել 0-ով սկսվող շարքի: Չէ՞ որ գումարը չի փոխվի: Պետք է դադարեցնել «դասագրքերում մտածելը» և սկսել փնտրել...Եվ տեսեք, որ 101 գումարով զույգերը կարող են ամբողջությամբ փոխարինվել 100 գումարով զույգերով:
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Ինչպե՞ս վերացնել «գումարած 1 կանոնը».
Անկեղծ ասած, ես առաջին անգամ նման կանոնի մասին լսել եմ այդ յութուբյան դաստիարակից...
Ի՞նչ եմ ես դեռ անում, երբ պետք է որոշեմ շարքի անդամների թիվը:
Ես նայում եմ հաջորդականությանը.
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
և երբ ամբողջովին հոգնած եք, անցեք ավելի պարզ շարքի.
1, 2, 3, 4, 5
և ես պատկերացնում եմ. եթե 5-ից հանես մեկը, կստանաս 4, բայց ես միանգամայն պարզ եմ տեսնում եմ 5 համար! Հետևաբար, դուք պետք է ավելացնեք մեկը: Թվի իմաստը զարգացել է տարրական դպրոց, առաջարկում է. նույնիսկ եթե շարքի անդամների մի ամբողջ Google լինի (10-ից մինչև հարյուրերորդ ուժը), ապա օրինաչափությունը կմնա նույնը:
Ի՞նչ կանոններ կան...
Որպեսզի մի երկու-երեք տարի հետո կարողանաք լրացնել ձեր ճակատի և գլխի հետևի միջև եղած ամբողջ տարածությունը և դադարել մտածել: Ինչպե՞ս վաստակել ձեր հացն ու կարագը: Ի վերջո, մենք հավասարաչափ շարժվում ենք դեպի թվային տնտեսության դարաշրջան:
Ավելին Գաուսի դպրոցական մեթոդի մասին. «Ինչու՞ սրանից գիտություն հանել»:
Իզուր չէ, որ սքրինշոթ էի տեղադրել տղայիս նոթատետրից...
«Ի՞նչ է պատահել դասարանում»:
«Դե, ես անմիջապես հաշվեցի, բարձրացրի ձեռքս, բայց նա չհարցրեց: Հետևաբար, մինչ մյուսները հաշվում էին, ես սկսեցի տնային աշխատանքները ռուսերեն անել, որպեսզի ժամանակ չկորցնեմ: Հետո, երբ մյուսներն ավարտեցին գրելը (? ??), նա ինձ կանչեց տախտակ, ես ասացի պատասխանը»:
«Ճիշտ է, ցույց տվեք, թե ինչպես եք լուծել այն», - ասաց ուսուցիչը: Ես դա ցույց տվեցի։ Նա ասաց. «Սխալ է, դուք պետք է հաշվեք, ինչպես ցույց տվեցի»:
«Լավ է, որ նա վատ գնահատական չի տվել: Եվ նա ստիպեց ինձ գրել իրենց նոթատետրում «լուծման ընթացքը»: Ինչու՞ սրանից մեծ գիտություն սարքել:
Մաթեմատիկայի ուսուցչի գլխավոր հանցագործությունը
Հազիվ հետո այդ միջադեպըԿարլ Գաուսը մեծ հարգանքի զգացում ունեցավ իր դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչի նկատմամբ: Բայց եթե նա իմանար, թե ինչպես այդ ուսուցչի հետևորդները կխեղաթյուրեն մեթոդի բուն էությունը...նա վրդովմունքով մռնչում էր Համաշխարհային կազմակերպության միջով մտավոր սեփականություն WIPO-ն արգելել է օգտագործել իր արդար անվանումը դպրոցական դասագրքերում...
Ինչի մեջ հիմնական սխալըդպրոցական մոտեցում? Կամ, ինչպես ես ասացի, դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցիչների հանցագործությունը երեխաների նկատմամբ։
Թյուրիմացության ալգորիթմ
Ի՞նչ են անում դպրոցական մեթոդիստները, որոնց ճնշող մեծամասնությունը մտածել չգիտի:
Նրանք ստեղծում են մեթոդներ և ալգորիթմներ (տես): Սա պաշտպանական ռեակցիա, որը պաշտպանում է ուսուցիչներին քննադատությունից («Ամեն ինչ արվում է ըստ...»), իսկ երեխաներին՝ ըմբռնումից: Եվ այսպես՝ ուսուցիչներին քննադատելու ցանկությունից։(Բյուրոկրատական «իմաստության» երկրորդ ածանցյալը՝ խնդրին գիտական մոտեցում): Մարդը, ով չի հասկանում իմաստը, ավելի շուտ կմեղադրի իր թյուրիմացությունը, քան դպրոցական համակարգի հիմարությունը:
Ահա թե ինչ է պատահում. ծնողները մեղադրում են իրենց երեխաներին, իսկ ուսուցիչները... նույնը անում են այն երեխաների համար, ովքեր «մաթեմատիկա չեն հասկանում»:
Դուք խելացի՞ եք։
Ի՞նչ արեց փոքրիկ Կարլը:
Բոլորովին ոչ ավանդական մոտեցում բանաձեւային առաջադրանքին. Սա է Նրա մոտեցման էությունը: Սա Հիմնական բանը, որ պետք է սովորեցնել դպրոցում, մտածելն է ոչ թե դասագրքերով, այլ գլխով. Իհարկե, կա նաև գործիքային բաղադրիչ, որը կարելի է օգտագործել... փնտրելու համար ավելի պարզ և արդյունավետ մեթոդներհաշիվներ.
Գաուսի մեթոդը ըստ Վիլենկինի
Դպրոցում սովորեցնում են, որ Գաուսի մեթոդն է
Ինչ, եթե շարքի տարրերի թիվը կենտ է, ինչպես որդուս հանձնարարված խնդրի՞ մեջ։
«Բռնելն» այն է, որ այս դեպքում դուք պետք է գտնեք «լրացուցիչ» համարը շարքումև ավելացրեք այն զույգերի գումարին: Մեր օրինակում այս թիվը 260 է.
Ինչպե՞ս հայտնաբերել: Բոլոր զույգ թվերի պատճենումը նոթատետրում:(Ահա թե ինչու ուսուցիչը ստիպեց երեխաներին անել այս հիմար աշխատանքը՝ փորձելով ուսուցանել «ստեղծագործություն»՝ օգտագործելով Գաուսյան մեթոդը... Եվ ահա թե ինչու նման «մեթոդը» գործնականում անկիրառելի է տվյալների մեծ շարքերի համար, և ահա թե ինչու է դա։ ոչ թե Գաուսի մեթոդը):
Մի փոքր ստեղծագործականություն դպրոցական առօրյայում...
Որդին այլ կերպ վարվեց.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Դժվար չէ, չէ՞:
Բայց գործնականում դա ավելի հեշտ է դառնում, ինչը թույլ է տալիս 2-3 րոպե հատկացնել ռուսերենով հեռահար զոնդավորման համար, իսկ մնացածը «հաշվում են»: Բացի այդ, այն պահպանում է մեթոդի քայլերի քանակը՝ 5, ինչը թույլ չի տալիս քննադատել մոտեցումը ոչ գիտական լինելու համար։
Ակնհայտ է, որ այս մոտեցումը մեթոդի ոճով ավելի պարզ, արագ և ունիվերսալ է: Բայց... ուսուցիչը ոչ միայն չգովեց, այլև ստիպեց ինձ վերաշարադրել այն «ճիշտ ձևով» (տե՛ս սքրինշոթը): Այսինքն, նա հուսահատ փորձ արեց խեղդել ստեղծագործական ազդակը և մաթեմատիկան ի սկզբանե հասկանալու կարողությունը: Ըստ երևույթին, որպեսզի նա հետագայում աշխատանքի ընդունվի որպես դաստիարակ... Նա հարձակվել է սխալ մարդու վրա...
Այն ամենը, ինչ նկարագրեցի այդքան երկար և հոգնեցուցիչ, կարելի է բացատրել նորմալ երեխայինառավելագույնը կես ժամում։ Օրինակների հետ մեկտեղ.
Եվ այնպես, որ նա երբեք դա չմոռանա։
Եվ դա կլինի քայլ դեպի հասկացողություն...ոչ միայն մաթեմատիկոսներ:
Խոստովանեք. Ձեր կյանքում քանի՞ անգամ եք ավելացրել Գաուսի մեթոդով: Եվ ես երբեք չեմ արել:
Բայց հասկանալու բնազդը, որը զարգանում է (կամ մարվում) ուսուցման գործընթացում մաթեմատիկական մեթոդներդպրոցում... Օ՜.. Սա իսկապես անփոխարինելի բան է։
Հատկապես համընդհանուր թվայնացման դարաշրջանում, որը մենք հանգիստ մտել ենք կուսակցության և կառավարության խիստ ղեկավարությամբ։
Մի քանի խոսք ի պաշտպանություն ուսուցիչների...
Դասավանդման այս ոճի ողջ պատասխանատվությունը բացառապես դպրոցի ուսուցիչների վրա դնելը անարդար է և սխալ: Համակարգը գործում է։
Մի քանիուսուցիչները հասկանում են տեղի ունեցողի անհեթեթությունը, բայց ի՞նչ անել։ Կրթության մասին օրենք, Դաշնային պետական կրթական չափորոշիչներ, մեթոդներ, տեխնոլոգիական քարտեզներդասեր... Ամեն ինչ պետք է արվի «համապատասխան և հիման վրա» և ամեն ինչ պետք է փաստաթղթավորվի։ Մի կողմ քաշվե՛ք – հերթ կանգնեցին, որ ազատեն: Եկեք կեղծավոր չլինենք. մոսկվացի ուսուցիչների աշխատավարձերը շատ լավն են... Եթե ձեզ աշխատանքից ազատեն, ո՞ւր գնալ...
Հետեւաբար այս կայքը ոչ թե կրթության մասին. Նա մոտ է անհատական կրթություն, միայն հնարավոր ճանապարհդուրս գալ ամբոխից սերունդ Զ ...
Այս հոդվածում մեթոդը դիտարկվում է որպես գծային հավասարումների համակարգերի (SLAEs) լուծման մեթոդ։ Մեթոդը վերլուծական է, այսինքն՝ թույլ է տալիս լուծումների ալգորիթմ գրել ընդհանուր տեսարան, և այնուհետև այնտեղ փոխարինեք արժեքները հատուկ օրինակներից: Ի տարբերություն մատրիցային մեթոդի կամ Կրամերի բանաձևերի, Գաուսի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգ լուծելիս կարելի է աշխատել նաև նրանց հետ, որոնք ունեն անսահման թվով լուծումներ։ Կամ ընդհանրապես չունեն։
Ի՞նչ է նշանակում լուծել Գաուսի մեթոդով:
Նախ, մենք պետք է գրենք մեր հավասարումների համակարգը It looks like this. Վերցրեք համակարգը.
Գործակիցները գրված են աղյուսակի տեսքով, իսկ ազատ անդամները՝ աջ կողմում առանձին սյունակում։ Ազատ տերմիններով սյունակը առանձնացվում է հարմարության համար:Մատրիցը, որը ներառում է այս սյունակը, կոչվում է ընդլայնված:
Հաջորդը, գործակիցներով հիմնական մատրիցը պետք է կրճատվի մինչև վերին եռանկյունաձև ձև: Սա Գաուսի մեթոդով համակարգի լուծման հիմնական կետն է: Պարզ ասած, որոշակի մանիպուլյացիաներից հետո մատրիցը պետք է նայվի այնպես, որ դրա ստորին ձախ մասը պարունակում է միայն զրոներ.
Այնուհետև, եթե նորից գրեք նոր մատրիցը որպես հավասարումների համակարգ, ապա կնկատեք, որ վերջին տողում արդեն կա արմատներից մեկի արժեքը, որն այնուհետև փոխարինվում է վերևի հավասարման մեջ, գտնվում է մեկ այլ արմատ և այլն:
Սա ամենաշատը Գաուսի մեթոդով լուծման նկարագրությունն է ընդհանուր ուրվագիծ. Ի՞նչ կլինի, եթե հանկարծ համակարգը լուծում չունենա: Թե՞ դրանք անսահման շատ են։ Այս և շատ այլ հարցերին պատասխանելու համար անհրաժեշտ է առանձին դիտարկել Գաուսի մեթոդի լուծման ժամանակ օգտագործվող բոլոր տարրերը։
Մատրիցներ, դրանց հատկությունները
Ոչ ոք թաքնված իմաստոչ մատրիցայում: Սա պարզապես հարմար միջոց է դրա հետ հետագա գործողությունների համար տվյալները գրանցելու համար: Նրանցից վախենալու կարիք չկա անգամ դպրոցականները։
Մատրիցը միշտ ուղղանկյուն է, քանի որ այն ավելի հարմար է: Նույնիսկ Գաուսի մեթոդով, որտեղ ամեն ինչ հանգում է մատրիցայի կառուցմանը եռանկյունաձև տեսք, մուտքը պարունակում է ուղղանկյուն, միայն զրոներով այն տեղում, որտեղ թվեր չկան։ Զրոները գուցե գրված չեն, բայց ենթադրվում են:
Մատրիցն ունի չափ. Դրա «լայնությունը» տողերի թիվն է (մ), «երկարությունը»՝ սյունակների քանակը (n): Այնուհետև A մատրիցայի չափը (դրանք նշելու համար սովորաբար օգտագործվում են մեծատառեր) նամակներ) կնշանակվի որպես A m×n: Եթե m=n, ապա այս մատրիցը քառակուսի է, իսկ m=n՝ նրա կարգը: Համապատասխանաբար, A մատրիցի ցանկացած տարր կարելի է նշել իր տողերի և սյունակների թվերով. a xy ; x - տողի համարը, փոփոխությունները, y - սյունակի համարը, փոփոխությունները:
Բ-ն որոշման հիմնական կետը չէ։ Սկզբունքորեն, բոլոր գործողությունները կարող են կատարվել ուղղակիորեն հենց հավասարումների հետ, բայց նշումը շատ ավելի ծանր կլինի, և դրա մեջ շատ ավելի հեշտ կլինի շփոթել:
Որոշիչ
Մատրիցն ունի նաև որոշիչ. Սա շատ կարևոր հատկանիշ. Հիմա դրա իմաստը պարզելու կարիք չկա, դուք պարզապես կարող եք ցույց տալ, թե ինչպես է այն հաշվարկվում, ապա ասել, թե մատրիցայի ինչ հատկություններ է այն որոշում: Որոշիչը գտնելու ամենահեշտ ձևը անկյունագծերի միջոցով է: Մատրիցայում գծված են երևակայական անկյունագծեր. Նրանցից յուրաքանչյուրի վրա տեղակայված տարրերը բազմապատկվում են, այնուհետև ավելացվում են ստացված արտադրանքները՝ անկյունագծերը թեքությամբ դեպի աջ՝ գումարած նշանով, թեքությամբ դեպի ձախ՝ մինուս նշանով:
Չափազանց կարևոր է նշել, որ որոշիչը կարող է հաշվարկվել միայն քառակուսի մատրիցով: Ուղղանկյուն մատրիցայի համար կարող եք անել հետևյալը. տողերի քանակից և սյունակների քանակից ընտրել ամենափոքրը (թող լինի k), այնուհետև մատրիցում պատահականորեն նշեք k սյունակ և k տող: Ընտրված սյունակների և տողերի խաչմերուկում գտնվող տարրերը կկազմեն նոր քառակուսի մատրիցա: Եթե նման մատրիցայի որոշիչը ոչ զրոյական թիվ է, այն կոչվում է սկզբնական ուղղանկյուն մատրիցի հիմնական մինոր:
Նախքան Գաուսի մեթոդով հավասարումների համակարգ լուծելը, որոշիչի հաշվարկը չի խանգարի: Եթե պարզվի, որ այն զրո է, ապա անմիջապես կարող ենք ասել, որ մատրիցն ունի կամ անսահման թվով լուծումներ, կամ ընդհանրապես չկա: Նման տխուր դեպքում դուք պետք է ավելի հեռուն գնաք և պարզեք մատրիցայի աստիճանը:
Համակարգի դասակարգում
Գոյություն ունի մատրիցայի աստիճան: Սա առավելագույն պատվերդրա որոշիչը, որը տարբերվում է զրոյից (եթե հիշենք հիմնական մինորի մասին, կարող ենք ասել, որ մատրիցայի դասակարգումը բազային փոքրի կարգն է):
Ելնելով աստիճանի իրավիճակից՝ SLAE-ն կարելի է բաժանել.
- Համատեղ. UՀամատեղ համակարգերում հիմնական մատրիցայի աստիճանը (կազմված է միայն գործակիցներից) համընկնում է ընդլայնված մատրիցի աստիճանի հետ (ազատ տերմինների սյունակով)։ Նման համակարգերը լուծում ունեն, բայց պարտադիր չէ, որ մեկը, հետևաբար, լրացուցիչ համատեղ համակարգերը բաժանվում են.
- - որոշակի- ունենալ մեկ լուծում. Որոշ համակարգերում մատրիցայի աստիճանը և անհայտների թիվը (կամ սյունակների թիվը, որը նույնն է) հավասար են.
- - չսահմանված -անսահման թվով լուծումներով։ Նման համակարգերում մատրիցների աստիճանն ավելի քիչ է, քան անհայտների թիվը։
- Անհամատեղելի. UՆման համակարգերում հիմնական և ընդլայնված մատրիցների շարքերը չեն համընկնում: Անհամատեղելի համակարգերը լուծում չունեն.
Գաուսի մեթոդը լավ է, քանի որ լուծման ժամանակ թույլ է տալիս ստանալ կա՛մ համակարգի անհամապատասխանության միանշանակ ապացույց (առանց մեծ մատրիցների որոշիչները հաշվարկելու), կա՛մ ընդհանուր ձևով լուծում անսահման թվով լուծումներ ունեցող համակարգի համար:
Տարրական փոխակերպումներ
Նախքան ուղղակիորեն անցնել համակարգի լուծմանը, դուք կարող եք այն դարձնել ավելի քիչ դժվար և ավելի հարմար հաշվարկների համար: Սա ձեռք է բերվում տարրական փոխակերպումների միջոցով, այնպես, որ դրանց իրականացումը ոչ մի կերպ չի փոխում վերջնական պատասխանը: Հարկ է նշել, որ տրված տարրական փոխակերպումներից մի քանիսը վավեր են միայն մատրիցների համար, որոնց աղբյուրը եղել է SLAE-ը։ Ահա այս փոխակերպումների ցանկը.
- Գծերի վերադասավորում. Ակնհայտ է, որ եթե դուք փոխում եք համակարգի գրառումների հավասարումների հերթականությունը, դա ոչ մի կերպ չի ազդի լուծման վրա: Հետևաբար, այս համակարգի մատրիցայի տողերը նույնպես կարելի է փոխանակել՝ չմոռանալով, իհարկե, ազատ տերմինների սյունակը։
- Լարի բոլոր տարրերի բազմապատկումը որոշակի գործակցով: Շատ օգտակար! Այն կարող է օգտագործվել կրճատելու համար մեծ թվերմատրիցում կամ հեռացնել զրոները: Շատ որոշումներ, ինչպես միշտ, չեն փոխվի, բայց հետագա գործողություններայն ավելի հարմար կդառնա։ Գլխավորն այն է, որ գործակիցը հավասար չէ զրոյի։
- Համամասնական գործակիցներով տողերի հեռացում: Սա մասամբ բխում է նախորդ պարբերությունից։ Եթե մատրիցում երկու կամ ավելի տողեր ունեն համամասնական գործակիցներ, ապա երբ տողերից մեկը բազմապատկվում/բաժանվում է համամասնության գործակցով, ստացվում են երկու (կամ էլ ավելի) բացարձակապես նույնական տողեր, իսկ ավելորդները կարելի է հեռացնել՝ թողնելով. միայն մեկը.
- Չեղյալ տողի հեռացում: Եթե փոխակերպման ժամանակ ինչ-որ տեղ ստացվի տող, որտեղ բոլոր տարրերը, ներառյալ ազատ անդամը, զրո են, ապա այդպիսի տողը կարելի է անվանել զրո և դուրս շպրտվել մատրիցից։
- Մի շարքի տարրերին ավելացնելով մյուսի տարրերը (համապատասխան սյունակներում)՝ բազմապատկված որոշակի գործակցով։ Ամենաանհայտ և ամենակարևոր վերափոխումը: Դրա վրա արժե ավելի մանրամասն անդրադառնալ։
Գործակով բազմապատկված տողի ավելացում
Հասկանալու հեշտության համար արժե քայլ առ քայլ քանդել այս գործընթացը: Մատրիցից վերցված են երկու տող.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | բ 2
Ենթադրենք, պետք է առաջինը ավելացնել երկրորդին՝ բազմապատկելով «-2» գործակցով։
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Այնուհետև մատրիցում երկրորդ շարքը փոխարինվում է նորով, իսկ առաջինը մնում է անփոփոխ:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Հարկ է նշել, որ բազմապատկման գործակիցը կարելի է ընտրել այնպես, որ երկու տող ավելացնելու արդյունքում նոր շարքի տարրերից մեկը հավասար լինի զրոյի։ Հետևաբար, հնարավոր է հավասարում ստանալ մի համակարգում, որտեղ կլինի մեկ անհայտ պակաս: Եվ եթե դուք ստանում եք երկու նման հավասարումներ, ապա գործողությունը կարելի է նորից կատարել և ստանալ հավասարում, որը կպարունակի երկու ավելի քիչ անհայտ: Եվ եթե ամեն անգամ սկզբնականից ցածր գտնվող բոլոր տողերի մեկ գործակիցը վերածում եք զրոյի, ապա կարող եք, աստիճանների պես, իջնել մատրիցայի ամենաներքևը և ստանալ մեկ անհայտով հավասարում: Սա կոչվում է համակարգի լուծում Գաուսի մեթոդով:
Ընդհանուր առմամբ
Թող համակարգ լինի։ Այն ունի m հավասարումներ և n անհայտ արմատներ: Դուք կարող եք այն գրել հետևյալ կերպ.
Հիմնական մատրիցը կազմված է համակարգի գործակիցներից: Ընդլայնված մատրիցին ավելացվում է անվճար տերմինների սյունակ և, հարմարության համար, բաժանվում է տողով:
- մատրիցայի առաջին շարքը բազմապատկվում է k = (-a 21 /a 11) գործակցով;
- ավելացվում են մատրիցայի առաջին փոփոխված և երկրորդ տողերը.
- երկրորդ տողի փոխարեն նախորդ պարբերությունից լրացման արդյունքը տեղադրվում է մատրիցայի մեջ.
- այժմ առաջին գործակիցը նոր երկրորդտողը 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 է:
Այժմ կատարվում է փոխակերպումների նույն շարքը, ներգրավված են միայն առաջին և երրորդ շարքերը։ Համապատասխանաբար, ալգորիթմի յուրաքանչյուր քայլում a 21 տարրը փոխարինվում է 31-ով: Այնուհետև ամեն ինչ կրկնվում է 41, ... մ1-ի համար: Արդյունքում ստացվում է մատրիցա, որտեղ տողերի առաջին տարրը զրո է: Այժմ դուք պետք է մոռանաք թիվ մեկ տողի մասին և կատարեք նույն ալգորիթմը, սկսած երկու տողից.
- գործակից k = (-a 32 /a 22);
- երկրորդ փոփոխված տողը ավելացվում է «ընթացիկ» տողին.
- Հավելման արդյունքը փոխարինվում է երրորդ, չորրորդ և այլն տողերով, մինչդեռ առաջինը և երկրորդը մնում են անփոփոխ.
- մատրիցայի շարքերում առաջին երկու տարրերն արդեն հավասար են զրոյի։
Ալգորիթմը պետք է կրկնել մինչև k = (-a m,m-1 /a մմ) գործակիցը հայտնվի։ Սա նշանակում է, որ ներս Վերջին անգամալգորիթմը կատարվել է միայն ստորին հավասարման համար։ Այժմ մատրիցը նման է եռանկյունի կամ ունի աստիճանավոր ձև: Ներքևի տողում կա a mn × x n = b m հավասարությունը: Հայտնի են գործակիցը և ազատ անդամը, որոնց միջոցով արտահայտվում է արմատը՝ x n = b m /a mn: Ստացված արմատը փոխարինվում է վերին գծի մեջ՝ գտնելու x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1: Եվ այսպես շարունակ անալոգիայով. յուրաքանչյուր հաջորդ տողում կա մի նոր արմատ, և, հասնելով համակարգի «գագաթին», կարող ես գտնել բազմաթիվ լուծումներ: Դա կլինի միակը։
Երբ լուծումներ չկան
Եթե մատրիցային տողերից մեկում բոլոր տարրերը, բացի ազատ անդամից, հավասար են զրոյի, ապա այս տողին համապատասխանող հավասարումն ունի 0 = b: Այն լուծում չունի։ Եվ քանի որ նման հավասարումը ներառված է համակարգում, ուրեմն ամբողջ համակարգի լուծումների բազմությունը դատարկ է, այսինքն՝ այլասերված։
Երբ կան անսահման թվով լուծումներ
Կարող է պատահել, որ տրված եռանկյուն մատրիցում հավասարման մեկ գործակից տարրով և մեկ ազատ անդամով տողեր չլինեն։ Կան միայն տողեր, որոնք, երբ վերագրվեն, նման կլինեն երկու կամ ավելի փոփոխականներով հավասարման: Սա նշանակում է, որ համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։ Այս դեպքում պատասխանը կարող է տրվել ընդհանուր լուծման տեսքով. Ինչպե՞ս դա անել:
Մատրիցայի բոլոր փոփոխականները բաժանված են հիմնական և անվճար: Հիմնականը նրանք են, որոնք կանգնած են քայլի մատրիցայի տողերի «եզրին»: Մնացածն անվճար է։ Ընդհանուր լուծման մեջ հիմնական փոփոխականները գրվում են ազատների միջոցով։
Հարմարության համար մատրիցը նախ վերաշարադրվում է հավասարումների համակարգի մեջ: Հետո դրանցից վերջինում, որտեղ հենց միայն մեկ հիմնական փոփոխական է մնացել, այն մնում է մի կողմում, իսկ մնացած ամեն ինչը փոխանցվում է մյուսին։ Սա արվում է մեկ հիմնական փոփոխականով յուրաքանչյուր հավասարման համար: Այնուհետև մնացած հավասարումներում, որտեղ հնարավոր է, դրա համար ստացված արտահայտությունը փոխարինվում է հիմնական փոփոխականի փոխարեն։ Եթե արդյունքը կրկին միայն մեկ հիմնական փոփոխական պարունակող արտահայտություն է, այն կրկին արտահայտվում է այնտեղից և այդպես շարունակ, մինչև յուրաքանչյուր հիմնական փոփոխական գրվի որպես ազատ փոփոխականներով արտահայտություն։ Ահա թե ինչ է դա ընդհանուր որոշումՍԼԱՈՒ.
Կարող եք նաև գտնել համակարգի հիմնական լուծումը՝ ազատ փոփոխականներին տվեք ցանկացած արժեք, այնուհետև այս կոնկրետ դեպքի համար հաշվարկեք հիմնական փոփոխականների արժեքները: Կան անսահման թվով կոնկրետ լուծումներ, որոնք կարելի է տալ:
Լուծում կոնկրետ օրինակներով
Ահա հավասարումների համակարգ.
Հարմարության համար ավելի լավ է անմիջապես ստեղծել իր մատրիցը
Հայտնի է, որ Գաուսի մեթոդով լուծելիս առաջին շարքին համապատասխանող հավասարումը փոխակերպումների վերջում կմնա անփոփոխ։ Հետևաբար, ավելի շահավետ կլինի, եթե մատրիցայի վերին ձախ տարրը ամենափոքրն է, ապա գործողություններից հետո մնացած տողերի առաջին տարրերը կվերածվեն զրոյի: Սա նշանակում է, որ կազմված մատրիցայում ձեռնտու կլինի երկրորդ շարքը դնել առաջինի փոխարեն։
երկրորդ տող՝ k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
ա» 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
ա» 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
ա" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
երրորդ տող՝ k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Այժմ, որպեսզի չշփոթեք, պետք է գրել մատրիցա՝ փոխակերպումների միջանկյալ արդյունքներով։
Ակնհայտ է, որ նման մատրիցը կարելի է ավելի հարմար դարձնել ընկալման համար՝ օգտագործելով որոշակի գործողություններ։ Օրինակ, դուք կարող եք հեռացնել բոլոր «մինուսները» երկրորդ տողից՝ յուրաքանչյուր տարր բազմապատկելով «-1»-ով:
Հարկ է նաև նշել, որ երրորդ տողում բոլոր տարրերը երեքի բազմապատիկ են։ Այնուհետև կարող եք կրճատել տողը այս թվով, յուրաքանչյուր տարրը բազմապատկելով «-1/3»-ով (մինուս - միևնույն ժամանակ, բացասական արժեքները հեռացնելու համար):
Շատ ավելի գեղեցիկ տեսք ունի: Այժմ մենք պետք է հանգիստ թողնենք առաջին տողը և աշխատենք երկրորդի և երրորդի հետ: Խնդիրն է երրորդ տողին ավելացնել երկրորդ տողը, որը բազմապատկվում է այնպիսի գործակցով, որ a 32 տարրը հավասարվի զրոյի։
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (եթե որոշ փոխակերպումների ժամանակ պատասխանը չի ստացվում ամբողջ թիվ, ապա խորհուրդ է տրվում պահպանել հաշվարկների ճշգրտությունը թողնելու համար. այն «ինչպես կա», ձևով ընդհանուր կոտորակև միայն այն ժամանակ, երբ պատասխանները ստացվեն, որոշեք կլորացնել և փոխարկել ձայնագրության այլ ձևի)
ա» 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
բ» 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Մատրիցը կրկին գրվում է նոր արժեքներով:
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Ինչպես տեսնում եք, ստացված մատրիցն արդեն ունի աստիճանական ձև: Հետևաբար, Գաուսի մեթոդով համակարգի հետագա փոխակերպումներ չեն պահանջվում: Այն, ինչ կարելի է անել այստեղ, երրորդ տողից հեռացնելն է ընդհանուր գործակիցը "-1/7".
Հիմա ամեն ինչ գեղեցիկ է։ Մնում է միայն մատրիցը նորից գրել հավասարումների համակարգի տեսքով և հաշվարկել արմատները
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Ալգորիթմը, որով այժմ կգտնվեն արմատները, կոչվում է հակադարձ շարժում Գաուսի մեթոդով: Հավասարումը (3) պարունակում է z արժեքը.
y = (24 - 11× (61/9))/7 = -65/9
Եվ առաջին հավասարումը թույլ է տալիս մեզ գտնել x.
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Մենք իրավունք ունենք նման համակարգը անվանել միասնական, և նույնիսկ որոշակի, այսինքն՝ ունենալ եզակի լուծում։ Պատասխանը գրված է հետևյալ ձևով.
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9:
Անորոշ համակարգի օրինակ
Վերլուծվել է Գաուսի մեթոդով որոշակի համակարգի լուծման տարբերակը, այժմ անհրաժեշտ է դիտարկել այն դեպքը, եթե համակարգը անորոշ է, այսինքն՝ դրա համար կարելի է անսահման շատ լուծումներ գտնել։
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Համակարգի տեսքն արդեն տագնապալի է, քանի որ անհայտների թիվը n = 5 է, իսկ համակարգի մատրիցայի աստիճանն արդեն իսկ այս թվից ճիշտ է, քանի որ տողերի թիվը m = 4 է, այսինքն. Որոշիչ քառակուսու ամենամեծ կարգը 4 է: Սա նշանակում է, որ կան անսահման թվով լուծումներ, և դուք պետք է փնտրեք դրա ընդհանուր տեսքը: Գծային հավասարումների Գաուսի մեթոդը թույլ է տալիս դա անել:
Նախ, ինչպես միշտ, կազմվում է ընդլայնված մատրիցա:
Երկրորդ տող՝ k = (-a 21 /a 11) = -3 գործակից: Երրորդ տողում առաջին տարրը տրանսֆորմացիաներից առաջ է, ուստի պետք չէ որևէ բանի դիպչել, պետք է թողնել այնպես, ինչպես կա: Չորրորդ տող՝ k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Առաջին շարքի տարրերը հերթով բազմապատկելով նրանց յուրաքանչյուր գործակիցով և գումարելով դրանք պահանջվող տողերին՝ ստանում ենք հետևյալ ձևի մատրիցա.
Ինչպես տեսնում եք, երկրորդ, երրորդ և չորրորդ շարքերը բաղկացած են միմյանց համաչափ տարրերից։ Երկրորդն ու չորրորդը հիմնականում նույնական են, ուստի դրանցից մեկը կարելի է անմիջապես հեռացնել, իսկ մնացածը բազմապատկել «-1» գործակցով և ստանալ թիվ 3 տողը: Եվ կրկին երկու միանման տողերից թողնել մեկը:
Արդյունքը այսպիսի մատրիցա է. Մինչդեռ համակարգը դեռ գրված չէ, այստեղ անհրաժեշտ է որոշել հիմնական փոփոխականները՝ նրանք, որոնք կանգնած են a 11 = 1 և a 22 = 1 գործակիցների վրա, իսկ ազատները՝ մնացած բոլորը:
Երկրորդ հավասարման մեջ կա միայն մեկ հիմնական փոփոխական՝ x 2: Սա նշանակում է, որ այն կարող է արտահայտվել այնտեղից՝ գրելով այն x 3, x 4, x 5 փոփոխականների միջոցով, որոնք անվճար են։
Ստացված արտահայտությունը փոխարինում ենք առաջին հավասարման մեջ։
Արդյունքը հավասարություն է, որի միակ հիմնական փոփոխականը x 1 է: Եկեք անենք նույնը, ինչ x 2-ի հետ:
Բոլոր հիմնական փոփոխականները, որոնցից երկուսը կան, արտահայտված են երեք ազատների տեսքով, այժմ պատասխանը կարող ենք գրել ընդհանուր տեսքով։
Կարող եք նաև նշել համակարգի կոնկրետ լուծումներից մեկը: Նման դեպքերի համար զրոները սովորաբար ընտրվում են որպես արժեքներ անվճար փոփոխականների համար: Այնուհետև պատասխանը կլինի.
16, 23, 0, 0, 0.
Ոչ կոոպերատիվ համակարգի օրինակ
Գաուսի մեթոդով հավասարումների անհամատեղելի համակարգեր լուծելն ամենաարագն է։ Այն անմիջապես ավարտվում է, հենց որ փուլերից մեկում ստացվում է լուծում չունեցող հավասարում: Այսինքն՝ արմատների հաշվարկման փուլը, որը բավականին երկար է ու հոգնեցուցիչ, վերացված է։ Դիտարկվում է հետևյալ համակարգը.
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Ինչպես սովորաբար, մատրիցը կազմված է.
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Եվ այն վերածվում է փուլային ձևի.
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Առաջին փոխակերպումից հետո երրորդ տողը պարունակում է ձևի հավասարում
առանց լուծման. Հետևաբար, համակարգը անհամապատասխան է, և պատասխանը կլինի դատարկ հավաքածուն:
Մեթոդի առավելություններն ու թերությունները
Եթե դուք ընտրում եք, թե որ մեթոդը լուծելու SLAE-ները թղթի վրա գրիչով, ապա մեթոդը, որը քննարկվել է այս հոդվածում, ամենագրավիչն է թվում: Տարրական փոխակերպումների մեջ շատ ավելի դժվար է շփոթվել, քան եթե դուք պետք է ձեռքով որոնեք որոշիչ կամ ինչ-որ բարդ հակադարձ մատրիցա: Այնուամենայնիվ, եթե դուք օգտագործում եք ծրագրեր այս տեսակի տվյալների հետ աշխատելու համար, օրինակ, աղյուսակներ, ապա պարզվում է, որ նման ծրագրերում արդեն կան մատրիցների հիմնական պարամետրերի հաշվարկման ալգորիթմներ՝ որոշիչ, մինոր, հակադարձ և այլն։ Եվ եթե վստահ եք, որ մեքենան ինքն է հաշվարկելու այդ արժեքները և սխալներ չի անի, ապա ավելի նպատակահարմար է օգտագործել մատրիցային մեթոդը կամ Քրամերի բանաձևերը, քանի որ դրանց օգտագործումը սկսվում և ավարտվում է որոշիչների և որոշիչների հաշվարկով։ հակադարձ մատրիցներ.
Դիմում
Քանի որ Գաուսի լուծումը ալգորիթմ է, իսկ մատրիցը իրականում երկչափ զանգված է, այն կարող է օգտագործվել ծրագրավորման մեջ: Բայց քանի որ հոդվածն իրեն ներկայացնում է որպես «կեղծիքների» ուղեցույց, պետք է ասել, որ մեթոդը տեղադրելու ամենահեշտ տեղը աղյուսակներն են, օրինակ՝ Excel-ը: Կրկին, ցանկացած SLAE, որը մուտքագրված է աղյուսակում մատրիցայի տեսքով, Excel-ի կողմից կդիտարկվի որպես երկչափ զանգված: Եվ նրանց հետ գործառնությունների համար կան շատ գեղեցիկ հրամաններ՝ գումարում (կարող եք ավելացնել միայն նույն չափի մատրիցներ), բազմապատկել թվով, մատրիցաների բազմապատկում (նաև որոշակի սահմանափակումներով), գտնել հակադարձ և փոխադրված մատրիցներ և, ամենակարևորը: , հաշվարկելով որոշիչը։ Եթե այս ժամանակատար առաջադրանքը փոխարինվի մեկ հրամանով, ապա հնարավոր է շատ ավելի արագ որոշել մատրիցայի աստիճանը և, հետևաբար, հաստատել դրա համատեղելիությունը կամ անհամատեղելիությունը:
