Slough crammer լուծում. Կրամերի մեթոդ. Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում (slau)

2. Հավասարումների համակարգերի լուծում մատրիցային մեթոդով (հակադարձ մատրիցայի կիրառմամբ):
3. Գաուսի մեթոդ հավասարումների համակարգերի լուծման համար.

Կրամերի մեթոդը.

Կրամերի մեթոդը օգտագործվում է գծային համակարգերի լուծման համար հանրահաշվական հավասարումներ (ՍԼԱՈՒ).

Բանաձևեր՝ օգտագործելով երկու փոփոխականներով երկու հավասարումների համակարգի օրինակ:
Տրված է.Համակարգը լուծեք Քրամերի մեթոդով

Փոփոխականների վերաբերյալ XԵվ ժամը.
Լուծում:
Գտնենք համակարգի գործակիցներից կազմված մատրիցայի որոշիչը Դետերմինանտների հաշվարկ: :

Եկեք կիրառենք Cramer-ի բանաձևերը և գտնենք փոփոխականների արժեքները.
Եվ .
Օրինակ 1:
Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

փոփոխականների վերաբերյալ XԵվ ժամը.
Լուծում:


Եկեք այս որոշիչի առաջին սյունակը փոխարինենք համակարգի աջ կողմի գործակիցների սյունակով և գտնենք դրա արժեքը.

Եկեք անենք դա նմանատիպ գործողություն, փոխարինելով երկրորդ սյունակը առաջին որոշիչում.

Կիրառելի Կրամերի բանաձեւերըև գտնել փոփոխականների արժեքները.
Եվ .
Պատասխան.
Մեկնաբանություն:Այս մեթոդը կարող է լուծել ավելի մեծ չափերի համակարգեր:

Մեկնաբանություն:Եթե ​​պարզվում է, որ, բայց չի կարելի բաժանել զրոյի, ապա ասում են, որ համակարգը չունի եզակի լուծում։ Այս դեպքում համակարգը կա՛մ ունի անսահման շատ լուծումներ, կա՛մ ընդհանրապես լուծումներ չունի։

Օրինակ 2(անսահման թվով լուծումներ):

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

փոփոխականների վերաբերյալ XԵվ ժամը.
Լուծում:
Եկեք գտնենք համակարգի գործակիցներից կազմված մատրիցայի որոշիչը.

Փոխարինման մեթոդով համակարգերի լուծում:

Համակարգի հավասարումներից առաջինը հավասարություն է, որը ճշմարիտ է փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար (քանի որ 4-ը միշտ հավասար է 4-ի): Սա նշանակում է, որ մնացել է միայն մեկ հավասարում: Սա փոփոխականների միջև փոխհարաբերությունների հավասարումն է:
Մենք գտանք, որ համակարգի լուծումը հավասարությամբ միմյանց հետ կապված փոփոխականների ցանկացած զույգ արժեք է:
Ընդհանուր լուծումը կգրվի հետևյալ կերպ.
Առանձնահատուկ լուծումները կարող են որոշվել՝ ընտրելով y-ի կամայական արժեքը և այս կապի հավասարությունից x-ը հաշվարկելով:

և այլն:
Նման լուծումներն անսահման շատ են։
Պատասխան. ընդհանուր որոշում
Մասնավոր լուծումներ.

Օրինակ 3(լուծումներ չկան, համակարգը անհամատեղելի է).

Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը.

Լուծում:
Եկեք գտնենք համակարգի գործակիցներից կազմված մատրիցայի որոշիչը.

Cramer-ի բանաձևերը չեն կարող օգտագործվել: Եկեք լուծենք այս համակարգը՝ օգտագործելով փոխարինման մեթոդը

Համակարգի երկրորդ հավասարումը հավասարություն է, որը ճիշտ չէ փոփոխականների որևէ արժեքի համար (իհարկե, քանի որ -15-ը հավասար չէ 2-ի): Եթե ​​համակարգի հավասարումներից մեկը ճիշտ չէ փոփոխականների որևէ արժեքի համար, ապա ամբողջ համակարգը լուծումներ չունի:
Պատասխան.լուծումներ չկան

Մեթոդներ ԿրամերըԵվ Գաուսը- լուծման ամենատարածված մեթոդներից մեկը ՍԼԱՈՒ. Բացի այդ, որոշ դեպքերում նպատակահարմար է կիրառել կոնկրետ մեթոդներ։ Նիստը մոտ է, և այժմ ժամանակն է դրանք զրոյից կրկնելու կամ տիրապետելու: Այսօր մենք լուծումը կանդրադառնանք Քրամերի մեթոդով: Ի վերջո, համակարգի լուծումը գծային հավասարումներԿրամերի մեթոդը շատ օգտակար հմտություն է։

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը ձևի հավասարումների համակարգ է.

Արժեքների հավաքածու x , որտեղ համակարգի հավասարումները վերածվում են նույնականության, կոչվում է համակարգի լուծում, ա Եվ բ իրական գործակիցներ են։ Երկու անհայտներով երկու հավասարումներից բաղկացած պարզ համակարգը կարող է լուծվել ձեր գլխում կամ մեկ փոփոխականը մյուսով արտահայտելով: Բայց SLAE-ում կարող են լինել շատ ավելի, քան երկու փոփոխականներ (xes), և այստեղ դպրոցական պարզ մանիպուլյացիաները բավարար չեն: Ինչ անել? Օրինակ՝ լուծել SLAE-ները՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդը:

Այսպիսով, թող համակարգը բաղկացած լինի n հետ հավասարումներ n անհայտ.

Նման համակարգը կարող է վերաշարադրվել մատրիցային տեսքով

Այստեղ Ա - համակարգի հիմնական մատրիցը, X Եվ Բ , համապատասխանաբար, անհայտ փոփոխականների սյունակային մատրիցներ և ազատ տերմիններ։

SLAE-ների լուծում Քրամերի մեթոդով

Եթե ​​հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի (մատրիցան ոչ եզակի է), ապա համակարգը կարող է լուծվել Քրամերի մեթոդով:

Քրամերի մեթոդի համաձայն, լուծումը գտնում են բանաձևերի միջոցով.

Այստեղ դելտա հիմնական մատրիցայի որոշիչն է, և դելտա x n-րդ – որոշիչ, որը ստացվում է հիմնական մատրիցայի որոշիչից՝ n-րդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամներով սյունակով:

Սա է Cramer մեթոդի ողջ էությունը: Վերոնշյալ բանաձևերի միջոցով հայտնաբերված արժեքների փոխարինում x դեպի ցանկալի համակարգ, մենք համոզված ենք մեր լուծման ճիշտության մեջ (կամ հակառակը): Որպեսզի օգնենք ձեզ արագ հասկանալ էությունը, ստորև ներկայացնում ենք SLAE-ի մանրամասն լուծման օրինակ՝ օգտագործելով Cramer-ի մեթոդը.

Նույնիսկ եթե առաջին անգամ չհաջողվի, մի հուսահատվեք: Մի փոքր պրակտիկայով դուք կսկսեք SLAU-ները ընկույզի պես կոտրել: Ավելին, այժմ բացարձակապես պետք չէ ծակոտկեն ծակել նոթատետրի վրա՝ լուծելով ծանր հաշվարկներ և լցնելով միջուկը։ Դուք կարող եք հեշտությամբ լուծել SLAE-ները՝ օգտագործելով Cramer-ի մեթոդը առցանց՝ պարզապես փոխարինելով պատրաստի ձևգործակիցները։ Փորձիր առցանց հաշվիչՔրամերի մեթոդով լուծումներ կարելի է գտնել, օրինակ, այս կայքում։

Եվ եթե պարզվում է, որ համակարգը համառ է և չի հանձնվում, դուք միշտ կարող եք դիմել մեր հեղինակների օգնությանը, օրինակ. Եթե ​​համակարգում կա առնվազն 100 անհայտ, մենք անպայման ճիշտ և ժամանակին կլուծենք այն։

Դիտարկենք 3 հավասարումների համակարգ երեք անհայտներով

Օգտագործելով 3-րդ կարգի որոշիչները, նման համակարգի լուծումը կարելի է գրել նույն ձևով, ինչ երկու հավասարումների համակարգի համար, այսինքն.

(2.4)

եթե 0. Այստեղ

Այն այնտեղ է Կրամերի կանոն երեք անհայտներով երեք գծային հավասարումների համակարգ լուծելը.

Օրինակ 2.3.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգ՝ օգտագործելով Քրամերի կանոնը.

Լուծում . Համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը գտնելը

Քանի որ 0, ապա համակարգի լուծում գտնելու համար մենք կարող ենք կիրառել Քրամերի կանոնը, բայց նախ մենք հաշվարկում ենք ևս երեք որոշիչ.

Փորձաքննություն:

Ուստի լուծումը ճիշտ է գտնվել։ 

Cramer-ի կանոնները, որոնք բխում են գծային համակարգեր 2-րդ և 3-րդ կարգի, առաջարկում են, որ նույն կանոնները կարող են ձևակերպվել ցանկացած կարգի գծային համակարգերի համար: Իրոք պատահում է

Կրամերի թեորեմ. Գծային հավասարումների քառակուսի համակարգ՝ համակարգի հիմնական մատրիցայի ոչ զրոյական որոշիչով (0) ունի մեկ և միայն մեկ լուծում, և այս լուծումը հաշվարկվում է բանաձևերով

(2.5)

Որտեղ  – հիմնական մատրիցայի որոշիչ,  ես – մատրիցային որոշիչ, ստացված հիմնականից՝ փոխարինելովեսԱզատ անդամների սյունակում.

Նկատի ունեցեք, որ եթե =0, ապա Քրամերի կանոնը չի կիրառվում: Սա նշանակում է, որ համակարգը կամ ընդհանրապես լուծումներ չունի, կամ ունի անսահման շատ լուծումներ։

Ձևակերպելով Քրամերի թեորեմը՝ բնականաբար հարց է առաջանում ավելի բարձր կարգի որոշիչները հաշվարկելու մասին։

2.4. n-րդ կարգի որոշիչները

Լրացուցիչ անչափահաս Մ ijտարր ա ijջնջելով տրվածից ստացված որոշիչ է եսրդ գիծը և ժրդ սյունակ. Հանրահաշվական լրացում Ա ijտարր ա ij(–1) նշանով վերցված այս տարրի մինորը կոչվում է ես + ժ, այսինքն. Ա ij = (–1) ես + ժ Մ ij .

Օրինակ, եկեք գտնենք անչափահասներին և հանրահաշվական հավելումներտարրեր ա 23 և ա 31 որակավորման փուլ

Մենք ստանում ենք



Օգտագործելով հանրահաշվական լրացում հասկացությունը՝ կարող ենք ձևակերպել որոշիչ ընդլայնման թեորեմn-րդ կարգը ըստ տողի կամ սյունակի.

Թեորեմ 2.1. Մատրիցային որոշիչԱհավասար է որոշակի տողի (կամ սյունակի) բոլոր տարրերի արտադրյալների գումարին իրենց հանրահաշվական լրացումներով.

(2.6)

Այս թեորեմի հիմքում ընկած է դետերմինանտների հաշվարկման հիմնական մեթոդներից մեկը, այսպես կոչված. պատվերի կրճատման մեթոդ. Որոշիչի ընդլայնման արդյունքում nՑանկացած տողի կամ սյունակի վրայի հերթականությամբ մենք ստանում ենք n որոշիչ ( n-1) կարգը. Ավելի քիչ նման որոշիչներ ունենալու համար խորհուրդ է տրվում ընտրել ամենաշատ զրո ունեցող տողը կամ սյունակը: Գործնականում որոշիչի ընդլայնման բանաձևը սովորաբար գրվում է հետևյալ կերպ.

դրանք. հանրահաշվական հավելումները գրվում են հստակորեն փոքրերի առումով:

Օրինակներ 2.4.Հաշվեք որոշիչները՝ նախ դրանք դասավորելով ինչ-որ տողի կամ սյունակի: Սովորաբար, նման դեպքերում ընտրեք ամենաշատ զրո ունեցող սյունակը կամ տողը: Ընտրված տողը կամ սյունակը կնշվի սլաքով:



2.5. Որոշիչների հիմնական հատկությունները

Ընդլայնելով որոշիչը ցանկացած տողի կամ սյունակի վրա, մենք ստանում ենք n որոշիչ ( n-1) կարգը. Այնուհետև այս որոշիչներից յուրաքանչյուրը ( n-1-րդ կարգը կարող է նաև ընդլայնվել որոշիչների գումարով ( n-2)-րդ կարգը. Շարունակելով այս գործընթացը՝ կարելի է հասնել 1-ին կարգի որոշիչներին, այսինքն. մատրիցայի այն տարրերին, որոնց որոշիչը հաշվարկված է: Այսպիսով, 2-րդ կարգի որոշիչները հաշվարկելու համար դուք պետք է հաշվարկեք երկու անդամի գումարը, 3-րդ կարգի որոշիչի համար՝ 6 անդամի գումարը, 4-րդ կարգի որոշիչի համար՝ 24 անդամ: Տերմինների թիվը կտրուկ կավելանա, քանի որ որոշիչի հերթականությունը մեծանում է: Սա նշանակում է, որ շատ բարձր պատվերների որոշիչները հաշվարկելը դառնում է բավականին աշխատատար խնդիր՝ նույնիսկ համակարգչի հնարավորություններից դուրս: Այնուամենայնիվ, որոշիչները կարելի է հաշվարկել այլ կերպ՝ օգտագործելով որոշիչների հատկությունները:

Գույք 1 . Որոշիչը չի փոխվի, եթե դրա մեջ տողերն ու սյունակները փոխանակվեն, այսինքն. մատրիցա փոխադրելիս:

.

Այս հատկությունը ցույց է տալիս որոշիչի տողերի և սյունակների հավասարությունը: Այլ կերպ ասած, որոշիչի սյունակների մասին ցանկացած պնդում ճիշտ է նաև նրա տողերի համար և հակառակը։

Գույք 2 . Որոշիչը փոխում է նշանը, երբ երկու տողեր (սյունակներ) փոխանակվում են:

Հետևանք . Եթե ​​որոշիչն ունի երկու նույնական տող (սյունակ), ապա այն հավասար է զրոյի։

Գույք 3 . Ցանկացած տողի (սյունակի) բոլոր տարրերի ընդհանուր գործակիցը կարելի է հանել որոշիչ նշանից.

Օրինակ,

Հետևանք . Եթե ​​որոշիչի որոշակի տողի (սյունակի) բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, ապա որոշիչն ինքնին հավասար է զրոյի..

Գույք 4 . Որոշիչը չի փոխվի, եթե մեկ տողի (սյունակի) տարրերն ավելացվեն մեկ այլ տողի (սյունակի) տարրերին՝ բազմապատկելով որևէ թվով։.

Օրինակ,

Գույք 5 . Մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է մատրիցների որոշիչների արտադրյալին.

Նույն թվով հավասարումներով, ինչ մատրիցայի հիմնական որոշիչ ունեցող անհայտների թիվը, որը հավասար չէ զրոյի, համակարգի գործակիցները (այդպիսի հավասարումների համար կա լուծում և կա միայն մեկը):

Կրամերի թեորեմ.

Երբ քառակուսի համակարգի մատրիցայի որոշիչը զրոյական չէ, նշանակում է, որ համակարգը հետևողական է և ունի մեկ լուծում, և այն կարելի է գտնել հետևյալ կերպ. Կրամերի բանաձեւերը:

որտեղ Δ - համակարգի մատրիցայի որոշիչ,

Δ եսհամակարգի մատրիցայի որոշիչն է, որում փոխարեն եսԵրրորդ սյունակը պարունակում է աջ կողմերի սյունակը:

Երբ համակարգի որոշիչը զրո է, դա նշանակում է, որ համակարգը կարող է դառնալ կոոպերատիվ կամ անհամատեղելի:

Այս մեթոդը սովորաբար օգտագործվում է փոքր համակարգերծավալային հաշվարկներով եւ եթե անհրաժեշտ է որոշել անհայտներից մեկը։ Մեթոդի բարդությունն այն է, որ անհրաժեշտ է հաշվարկել շատ որոշիչներ:

Cramer մեթոդի նկարագրությունը.

Կա հավասարումների համակարգ.

3 հավասարումների համակարգը կարող է լուծվել Կրամերի մեթոդով, որը վերը քննարկվել է 2 հավասարումների համակարգի համար։

Անհայտների գործակիցներից մենք կազմում ենք որոշիչ.

Դա կլինի համակարգի որոշիչ. Երբ D≠0, ինչը նշանակում է, որ համակարգը հետևողական է: Այժմ եկեք ստեղծենք 3 լրացուցիչ որոշիչ.

,,

Մենք լուծում ենք համակարգը ըստ Կրամերի բանաձեւերը:

Քրամերի մեթոդով հավասարումների համակարգերի լուծման օրինակներ.

Օրինակ 1.

Տրված համակարգ.

Եկեք լուծենք այն Քրամերի մեթոդով։

Նախ անհրաժեշտ է հաշվարկել համակարգի մատրիցայի որոշիչը.

Որովհետեւ Δ≠0, ինչը նշանակում է, որ Քրամերի թեորեմից համակարգը հետևողական է և ունի մեկ լուծում: Մենք հաշվարկում ենք լրացուցիչ որոշիչները: Δ 1 որոշիչը ստացվում է Δ որոշիչից՝ փոխարինելով նրա առաջին սյունակը ազատ գործակիցների սյունակով։ Մենք ստանում ենք.

Նույն կերպ, մենք ստանում ենք Δ 2-ի որոշիչը համակարգի մատրիցայի որոշիչից՝ երկրորդ սյունակը փոխարինելով ազատ գործակիցների սյունակով.

Թող գծային հավասարումների համակարգը պարունակի այնքան հավասարումներ, որքան անկախ փոփոխականների թիվը, այսինքն. նման է

Գծային հավասարումների նման համակարգերը կոչվում են քառակուսային։ Անկախ գործակիցներից կազմված որոշիչ համակարգի փոփոխականներ(1.5) կոչվում է համակարգի հիմնական որոշիչ: Մենք այն կնշենք հունարեն D տառով: Այսպիսով.

. (1.6)

Եթե ​​հիմնական որոշիչը պարունակում է կամայական ( ժրդ) սյունակ, փոխարինեք համակարգի անվճար պայմանների սյունակով (1.5), ապա կարող եք ստանալ nօժանդակ որակավորումներ.

(ժ = 1, 2, …, n). (1.7)

Կրամերի կանոնԳծային հավասարումների քառակուսի համակարգերի լուծումը հետևյալն է. Եթե ​​համակարգի (1.5) հիմնական որոշիչ D-ը տարբերվում է զրոյից, ապա համակարգն ունի եզակի լուծում, որը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

(1.8)

Օրինակ 1.5.Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը՝ օգտագործելով Կրամերի մեթոդը

.

Եկեք հաշվարկենք համակարգի հիմնական որոշիչը.

Քանի որ D¹0 համակարգը ունի եզակի լուծում, որը կարելի է գտնել օգտագործելով (1.8) բանաձևերը.

Այսպիսով,

Գործողություններ մատրիցների վրա

1. Մատրիցի բազմապատկում թվով:Մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

2. Մատրիցը թվով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է նրա բոլոր տարրերը բազմապատկել այս թվով։ Այն է

. (1.9)

Օրինակ 1.6. .

Մատրիցայի ավելացում.

Այս գործողությունը ներդրվում է միայն նույն կարգի մատրիցների համար։

Երկու մատրիցա ավելացնելու համար անհրաժեշտ է մեկ մատրիցի տարրերին ավելացնել մեկ այլ մատրիցայի համապատասխան տարրեր.

(1.10)
Մատրիցային գումարման գործողությունը ունի ասոցիատիվության և փոխադարձության հատկություններ:

Օրինակ 1.7. .

Մատրիցային բազմապատկում.

Եթե ​​մատրիցային սյունակների թիվը Ահամընկնում է մատրիցային տողերի քանակի հետ IN, ապա այսպիսի մատրիցների համար ներկայացվում է բազմապատկման գործողությունը.

2

Այսպիսով, մատրիցը բազմապատկելիս Աչափերը մ´ nդեպի մատրիցա INչափերը n´ կմենք ստանում ենք մատրիցա ՀԵՏչափերը մ´ կ. Այս դեպքում մատրիցային տարրերը ՀԵՏհաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերով.

Խնդիր 1.8.Հնարավորության դեպքում գտե՛ք մատրիցների արտադրյալը ԱԲԵվ Բ.Ա.:

Լուծում. 1) աշխատանք գտնելու համար ԱԲ, ձեզ հարկավոր են մատրիցային տողեր Աբազմապատկել մատրիցային սյունակներով Բ:

2) Աշխատանք Բ.Ա.գոյություն չունի, քանի որ մատրիցային սյունակների քանակը Բչի համապատասխանում մատրիցային տողերի քանակին Ա.

Հակադարձ մատրիցա. Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում մատրիցային մեթոդով

Մատրիցա Ա- 1-ը կոչվում է քառակուսի մատրիցի հակադարձ Ա, եթե հավասարությունը բավարարված է.

որտեղով Ինշանակում է նույնականության մատրիցը, ինչ մատրիցը Ա:

.

Որպեսզի քառակուսի մատրիցը հակադարձ ունենա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ դրա որոշիչը տարբերվի զրոյից: Հակադարձ մատրիցը հայտնաբերվում է բանաձևով.

, (1.13)

Որտեղ Ա իջ- տարրերին հանրահաշվական հավելումներ մի ijմատրիցներ Ա(նկատի ունեցեք, որ հանրահաշվական հավելումները մատրիցային տողերին Ագտնվում են հակադարձ մատրիցում՝ համապատասխան սյունակների տեսքով):

Օրինակ 1.9.Գտեք հակադարձ մատրիցը Ա- 1-ից մինչև մատրիցա

.

Մենք գտնում ենք հակադարձ մատրիցը՝ օգտագործելով բանաձևը (1.13), որը դեպքի համար n= 3-ն ունի ձևը.

.

Եկեք գտնենք det Ա = | Ա| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Քանի որ սկզբնական մատրիցայի որոշիչը զրոյական չէ, հակադարձ մատրիցը գոյություն ունի:

1) Գտեք հանրահաշվական լրացումներ Ա իջ:

Տեղակայման հեշտության համար հակադարձ մատրիցա, սկզբնական մատրիցայի տողերի հանրահաշվական հավելումները տեղադրեցինք համապատասխան սյունակներում։

Ստացված հանրահաշվական հավելումներից կազմում ենք նոր մատրիցա և այն բաժանում det որոշիչով. Ա. Այսպիսով, մենք ստանում ենք հակադարձ մատրիցը.

Ոչ զրոյական հիմնական որոշիչով գծային հավասարումների քառակուսի համակարգերը կարող են լուծվել հակադարձ մատրիցով: Դա անելու համար համակարգը (1.5) գրված է մատրիցային ձևով.

Որտեղ

Հավասարության երկու կողմերը (1.14) ձախից բազմապատկելով Ա- 1, մենք ստանում ենք համակարգի լուծումը.

, որտեղ

Այսպիսով, քառակուսի համակարգի լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել համակարգի հիմնական մատրիցայի հակադարձ մատրիցը և այն աջ կողմում բազմապատկել ազատ տերմինների սյունակի մատրիցով։

Խնդիր 1.10.Լուծել գծային հավասարումների համակարգ

օգտագործելով հակադարձ մատրիցը:

Լուծում.Եկեք համակարգը գրենք մատրիցային ձևով.

Որտեղ - համակարգի հիմնական մատրիցը, - անհայտների սյունակը և - ազատ տերմինների սյունակը: Քանի որ համակարգի հիմնական որոշիչ , ապա համակարգի հիմնական մատրիցը Աունի հակադարձ մատրիցա Ա-1. Հակադարձ մատրիցը գտնելու համար Ա-1, մենք հաշվարկում ենք մատրիցայի բոլոր տարրերի հանրահաշվական լրացումները Ա:

Ստացված թվերից կկազմենք մատրիցա (և մատրիցայի տողերին հանրահաշվական հավելումներ. Ագրե՛ք այն համապատասխան սյունակներում) և բաժանե՛ք այն D որոշիչով: Այսպիսով, մենք գտանք հակադարձ մատրիցը.

Մենք գտնում ենք համակարգի լուծումը՝ օգտագործելով բանաձևը (1.15).

Այսպիսով,

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծումը սովորական Ջորդանի վերացման մեթոդով

Թող տրվի գծային հավասարումների կամայական (պարտադիր չէ, որ քառակուսի) համակարգ.

(1.16)

Պահանջվում է համակարգին լուծում գտնել, այսինքն. փոփոխականների այնպիսի մի շարք, որը բավարարում է համակարգի բոլոր հավասարությունները (1.16): IN ընդհանուր դեպքհամակարգը (1.16) կարող է ունենալ ոչ միայն մեկ լուծում, այլև անթիվ լուծումներ։ Այն կարող է նաև ընդհանրապես լուծումներ չունենալ։

Նման խնդիրներ լուծելիս հայտնի դպրոցական դասընթացանհայտների վերացման մեթոդը, որը կոչվում է նաև սովորական Հորդանանի վերացման մեթոդ։ Էությունը այս մեթոդըկայանում է նրանում, որ համակարգի (1.16) հավասարումներից մեկում փոփոխականներից մեկն արտահայտվում է այլ փոփոխականներով: Այս փոփոխականն այնուհետև փոխարինվում է համակարգի այլ հավասարումներով: Արդյունքն այն է, որ համակարգ, որը պարունակում է մեկ հավասարում և մեկ փոփոխական պակաս, քան սկզբնական համակարգը: Հիշվում է այն հավասարումը, որից փոփոխականն արտահայտվել է։

Այս գործընթացը կրկնվում է այնքան ժամանակ, մինչև համակարգում մնա վերջին հավասարումը: Անհայտները վերացնելու գործընթացի միջոցով որոշ հավասարումներ կարող են դառնալ իսկական ինքնություն, օրինակ. Նման հավասարումները բացառվում են համակարգից, քանի որ դրանք բավարարվում են փոփոխականների ցանկացած արժեքով և, հետևաբար, չեն ազդում համակարգի լուծման վրա: Եթե ​​անհայտները վերացնելու գործընթացում առնվազն մեկ հավասարումը դառնում է հավասարություն, որը չի կարող բավարարվել փոփոխականների որևէ արժեքի համար (օրինակ), ապա մենք եզրակացնում ենք, որ համակարգը լուծում չունի:

Եթե ​​լուծման ժամանակ հակասական հավասարումներ չեն առաջանում, ապա դրա մեջ մնացած փոփոխականներից մեկը գտնվում է վերջին հավասարումից։ Եթե ​​վերջին հավասարման մեջ մնացել է միայն մեկ փոփոխական, ապա այն արտահայտվում է որպես թիվ։ Եթե ​​մյուս փոփոխականները մնան վերջին հավասարման մեջ, ապա դրանք համարվում են պարամետրեր, և դրանց միջոցով արտահայտված փոփոխականը կլինի այս պարամետրերի ֆունկցիան։ Այնուհետև այսպես կոչված « հակադարձ կաթված« Գտնված փոփոխականը փոխարինվում է վերջին հիշվող հավասարման մեջ, իսկ երկրորդ փոփոխականը գտնվում է: Այնուհետև գտնված երկու փոփոխականները փոխարինվում են նախավերջին մտապահված հավասարման մեջ, իսկ երրորդ փոփոխականը գտնվում է, և այսպես շարունակ՝ մինչև առաջին մտապահված հավասարումը:

Արդյունքում մենք ստանում ենք համակարգի լուծում: Այս լուծումը եզակի կլինի, եթե գտնված փոփոխականները թվեր են։ Եթե ​​հայտնաբերված առաջին փոփոխականը, ապա մնացած բոլորը կախված են պարամետրերից, ապա համակարգը կունենա անսահման թվով լուծումներ (պարամետրերի յուրաքանչյուր հավաքածու համապատասխանում է նոր լուծման): Բանաձևերը, որոնք թույլ են տալիս գտնել համակարգի լուծում՝ կախված որոշակի պարամետրերի հավաքածուից, կոչվում են համակարգի ընդհանուր լուծում:

Օրինակ 1.11.

x

Առաջին հավասարումը անգիր անելուց հետո և երկրորդ և երրորդ հավասարումների մեջ համանման տերմիններ բերելով՝ հանգում ենք համակարգին.

Արտահայտենք yերկրորդ հավասարումից և այն փոխարինել առաջին հավասարմամբ.

Հիշենք երկրորդ հավասարումը և առաջինից գտնենք զ:

Հետ աշխատելով, մենք հետևողականորեն գտնում ենք yԵվ զ. Դա անելու համար մենք նախ փոխարինում ենք վերջին հիշվող հավասարմանը, որտեղից մենք գտնում ենք y:

.

Այնուհետև մենք այն կփոխարինենք առաջին մտապահված հավասարման մեջ որտեղ մենք կարող ենք գտնել այն x:

Խնդիր 1.12.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը՝ վերացնելով անհայտները.

. (1.17)

Լուծում.Արտահայտենք փոփոխականը առաջին հավասարումից xև այն փոխարինիր երկրորդ և երրորդ հավասարումներով.

.

Հիշենք առաջին հավասարումը

Այս համակարգում առաջին և երկրորդ հավասարումները հակասում են միմյանց: Իսկապես, արտահայտելով y , մենք ստանում ենք, որ 14 = 17: Այս հավասարությունը չի գործում փոփոխականների որևէ արժեքի համար x, y, Եվ զ. Հետևաբար, համակարգը (1.17) անհամապատասխան է, այսինքն. լուծում չունի.

Հրավիրում ենք ընթերցողներին ինքնուրույն ստուգել, ​​որ սկզբնական համակարգի (1.17) հիմնական որոշիչը հավասար է զրոյի:

Դիտարկենք համակարգ, որը (1.17) համակարգից տարբերվում է միայն մեկ ազատ անդամով։

Խնդիր 1.13.Լուծե՛ք գծային հավասարումների համակարգը՝ վերացնելով անհայտները.

. (1.18)

Լուծում.Ինչպես նախկինում, մենք արտահայտում ենք փոփոխականը առաջին հավասարումից xև այն փոխարինիր երկրորդ և երրորդ հավասարումներով.

.

Հիշենք առաջին հավասարումը և երկրորդ և երրորդ հավասարումներում ներկայացրեք նմանատիպ տերմիններ: Մենք հասնում ենք համակարգին.

Արտահայտելով yառաջին հավասարումից և այն փոխարինելով երկրորդ հավասարմամբ , մենք ստանում ենք նույնականությունը 14 = 14, որը չի ազդում համակարգի լուծման վրա, և, հետևաբար, այն կարող է բացառվել համակարգից։

Վերջին հիշվող հավասարության մեջ՝ փոփոխականը զմենք դա կհամարենք պարամետր։ Մենք հավատում ենք։ Հետո

Եկեք փոխարինենք yԵվ զառաջին հիշվող հավասարության մեջ և գտնել x:

.

Այսպիսով, համակարգը (1.18) ունի անսահման թվով լուծումներ, և ցանկացած լուծում կարելի է գտնել օգտագործելով (1.19) բանաձևերը՝ ընտրելով պարամետրի կամայական արժեքը: տ:

(1.19)
Այսպիսով, համակարգի լուծումները, օրինակ, փոփոխականների հետևյալ խմբերն են (1; 2; 0), (2; 26; 14) և այլն: Բանաձևերը (1.19) արտահայտում են համակարգի ընդհանուր (ցանկացած) լուծումը (1.18): )

Այն դեպքում, երբ սկզբնական համակարգը (1.16) ունի բավականաչափ մեծ թվով հավասարումներ և անհայտներ, սովորական Հորդանանի վերացման նշված մեթոդը ծանր է թվում: Այնուամենայնիվ, դա այդպես չէ: Բավական է մեկ քայլով համակարգի գործակիցների վերահաշվարկի ալգորիթմ ստանալ ընդհանուր տեսարանեւ խնդրի լուծումը ձեւակերպել հատուկ Հորդանանի աղյուսակների տեսքով։

Թող տրվի գծային ձևերի (հավասարումների) համակարգ.

, (1.20)
Որտեղ x j- անկախ (փնտրվող) փոփոխականներ, մի ij- մշտական ​​հավանականություններ
(ես = 1, 2,…, մ; ժ = 1, 2,…, n) Համակարգի աջ մասերը y i (ես = 1, 2,…, մ) կարող է լինել կամ փոփոխական (կախյալ) կամ հաստատուն։ Պահանջվում է այս համակարգի լուծումներ գտնել՝ վերացնելով անհայտները։

Դիտարկենք հետևյալ գործողությունը, որն այսուհետ կոչվում է «Հորդանանի սովորական վերացումների մեկ քայլ»։ կամայականից ( rրդ) հավասարություն մենք արտահայտում ենք կամայական փոփոխական ( xs) և փոխարինել մյուս բոլոր հավասարումներով: Իհարկե, դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե մի rs¹ 0. Գործակից մի rsկոչվում է լուծող (երբեմն ուղղորդող կամ հիմնական) տարր։

մենք կստանանք հետևյալ համակարգը:

. (1.21)

Սկսած ս- համակարգի հավասարություն (1.21), մենք հետագայում գտնում ենք փոփոխականը xs(մնացած փոփոխականները գտնելուց հետո): Ս--րդ տողը հիշվում է և հետագայում դուրս է մնում համակարգից: Մնացած համակարգը կպարունակի մեկ հավասարում և մեկ պակաս անկախ փոփոխական, քան սկզբնական համակարգը:

Հաշվարկենք ստացված համակարգի գործակիցները (1.21) սկզբնական համակարգի գործակիցների միջոցով (1.20): Սկսենք նրանից rրդ հավասարումը, որը փոփոխականն արտահայտելուց հետո xsմնացած փոփոխականների միջոցով այն կունենա հետևյալ տեսքը.

Այսպիսով, նոր գործակիցները rՀավասարումները հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևերով.

(1.23)
Այժմ հաշվենք նոր գործակիցները բ ij(ես¹ r) կամայական հավասարում. Դա անելու համար եկեք փոխարինենք (1.22) արտահայտված փոփոխականը. xsՎ եսհամակարգի րդ հավասարումը (1.20):

Նմանատիպ տերմիններ բերելուց հետո ստանում ենք.

(1.24)
Հավասարությունից (1.24) ստանում ենք բանաձևեր, որոնցով հաշվարկվում են (1.21) համակարգի մնացած գործակիցները (բացառությամբ. rրդ հավասարումը):

(1.25)
Գծային հավասարումների համակարգերի փոխակերպումը սովորական Ջորդանի վերացման մեթոդով ներկայացված է աղյուսակների (մատրիցների) տեսքով։ Այս աղյուսակները կոչվում են «Հորդանանի սեղաններ»:

Այսպիսով, խնդիրը (1.20) կապված է հետևյալ Հորդանանի աղյուսակի հետ.

Աղյուսակ 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	ա 11	ա 12		ա 1ժ		ա 1ս		ա 1n
…………………………………………………………………..
y i=	ա i 1	ա i 2		մի ij		ա է		մի ին
…………………………………………………………………..
y r=	ա ռ 1	ա ռ 2		a rj		մի rs		առն
………………………………………………………………….
y n=	մի մ 1	մի մ 2		մի մջ		մի ms		մի մն

Jordan աղյուսակ 1.1 պարունակում է ձախ վերնագրի սյունակ, որտեղ գրված են համակարգի աջ մասերը (1.20) և վերին վերնագրի տող, որտեղ գրված են անկախ փոփոխականներ:

Աղյուսակի մնացած տարրերը կազմում են համակարգի գործակիցների հիմնական մատրիցը (1.20): Եթե ​​բազմապատկեք մատրիցը Ավերևի վերնագրի տողի տարրերից բաղկացած մատրիցին ստանում եք ձախ վերնագրի սյունակի տարրերից բաղկացած մատրիցա: Այսինքն, ըստ էության, Հորդանանի աղյուսակը գծային հավասարումների համակարգ գրելու մատրիցային ձև է. Համակարգը (1.21) համապատասխանում է հետևյալ Հորդանանի աղյուսակին.

Աղյուսակ 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	բ 11	բ 12		բ 1 ժ		բ 1 ս		բ 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	բ i 1	բ i 2		բ ij		բ է		աղբարկղ
…………………………………………………………………..
x s =	բ ռ 1	բ ռ 2		բ րջ		բ րս		brn
………………………………………………………………….
y n =	բ մ 1	բ մ 2		բ մջ		bms		b mn

Թույլատրելի տարր մի rs Մենք դրանք կնշենք թավով: Հիշեցնենք, որ Հորդանանի վերացման մեկ քայլ իրականացնելու համար լուծվող տարրը պետք է լինի ոչ զրոյական: Աջակցող տարր պարունակող աղյուսակի տողը կոչվում է ակտիվացնող տող: Enable տարրը պարունակող սյունակը կոչվում է enable սյունակ: Տվյալ աղյուսակից հաջորդ աղյուսակ անցնելիս մեկ փոփոխական ( xs) աղյուսակի վերևի վերնագրի տողից տեղափոխվում է ձախ վերնագրի սյունակ և, ընդհակառակը, համակարգի ազատ անդամներից մեկը ( y r) աղյուսակի ձախ գլխի սյունակից տեղափոխվում է վերին գլխի տող:

Եկեք նկարագրենք գործակիցների վերահաշվարկի ալգորիթմը Հորդանանի աղյուսակից (1.1) աղյուսակ (1.2) տեղափոխելիս, որը բխում է (1.23) և (1.25) բանաձևերից:

1. Լուծող տարրը փոխարինվում է հակադարձ թվով.

2. Լուծող տողի մնացած տարրերը բաժանվում են լուծող տարրով և նշանը փոխում հակառակի.

3. Բանաձեւի սյունակի մնացած տարրերը բաժանվում են բանաձեւի տարրի.

4. Այն տարրերը, որոնք ներառված չեն թույլատրելի տողում և թույլատրող սյունակում, վերահաշվարկվում են՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Վերջին բանաձեւը հեշտ է հիշել, եթե նկատում եք, որ այն տարրերը, որոնք կազմում են կոտորակը , գտնվում են խաչմերուկում ես-օհ և r-րդ տողերն ու ժրդ և սրդ սյունակները (լուծող տող, լուծվող սյունակ և այն տողն ու սյունը, որոնց խաչմերուկում գտնվում է վերահաշվարկված տարրը): Ավելի ճիշտ՝ բանաձեւն անգիր անելիս կարող եք օգտագործել հետևյալ դիագրամը.

-21 -26 -13 -37

Հորդանանի բացառությունների առաջին քայլն իրականացնելիս կարող եք ընտրել աղյուսակ 1.3-ի ցանկացած տարր, որը գտնվում է սյունակներում որպես լուծվող տարր: x 1 ,…, x 5 (նշված բոլոր տարրերը զրո չեն): Դուք չպետք է պարզապես ընտրեք վերջին սյունակում միացնող տարրը, քանի որ դուք պետք է գտնեք անկախ փոփոխականներ x 1 ,…, x 5 . Օրինակ՝ ընտրում ենք գործակիցը 1 փոփոխականով xԱղյուսակ 1.3-ի երրորդ տողում 3 (միավորող տարրը ցուցադրված է թավերով): Աղյուսակ 1.4-ին անցնելիս փոփոխականը xՎերևի վերնագրի տողից 3-ը փոխարինվում է ձախ վերնագրի սյունակի 0-ի հաստատունով (երրորդ տող): Այս դեպքում փոփոխականը x 3-ն արտահայտվում է մնացած փոփոխականների միջոցով:

Լարային x 3-ը (Աղյուսակ 1.4) նախապես հիշելուց հետո կարելի է բացառել աղյուսակ 1.4-ից: Վերին վերնագրի տողում զրո ունեցող երրորդ սյունակը նույնպես բացառված է Աղյուսակ 1.4-ից: Բանն այն է, որ անկախ տվյալ սյունակի գործակիցներից բ i 3 յուրաքանչյուր հավասարման բոլոր համապատասխան անդամները 0 բ i 3 համակարգ հավասար կլինի զրոյի։ Հետևաբար, այս գործակիցները պետք չէ հաշվարկել: Մեկ փոփոխականի վերացում x 3-ը և հիշելով հավասարումներից մեկը՝ հասնում ենք աղյուսակ 1.4-ին համապատասխան համակարգի (գծը հատած. x 3). Աղյուսակ 1.4-ում որպես լուծող տարր ընտրելը բ 14 = -5, անցեք աղյուսակ 1.5: Աղյուսակ 1.5-ում հիշեք առաջին տողը և չորրորդ սյունակի հետ միասին բացառեք այն աղյուսակից (վերևում զրոյով):

Աղյուսակ 1.5 Աղյուսակ 1.6

Վերջին աղյուսակ 1.7-ից մենք գտնում ենք. x 1 = - 3 + 2x 5 .

Արդեն գտնված փոփոխականները հետևողականորեն փոխարինելով հիշվող տողերում՝ մենք գտնում ենք մնացած փոփոխականները.

Այսպիսով, համակարգն ունի անթիվ լուծումներ։ Փոփոխական x 5, կամայական արժեքներ կարող են նշանակվել: Այս փոփոխականը գործում է որպես պարամետր x 5 = տ. Մենք ապացուցեցինք համակարգի համատեղելիությունը և գտանք դրա ընդհանուր լուծումը.

x 1 = - 3 + 2տ

x 2 = - 1 - 3տ

x 3 = - 2 + 4տ . (1.27)
x 4 = 4 + 5տ

x 5 = տ

Պարամետր տալը տտարբեր արժեքներ, մենք կստանանք սկզբնական համակարգի անսահման թվով լուծումներ: Այսպիսով, օրինակ, համակարգի լուծումը փոփոխականների հետևյալ հավաքածուն է (- 3; - 1; - 2; 4; 0):