Հավասարումների արմատների կորուստը կարող է առաջանալ, երբ. Դաս «Հավասարումների համարժեքություն Արմատների ստուգում

Եռանկյունաչափական հավասարումների թեման սկսվում է դպրոցական դասախոսությունից, որը կառուցված է էվրիստիկական զրույցի տեսքով։ Դասախոսության ընթացքում քննարկվում են տեսական նյութեր և բոլոր բնորոշ խնդիրների լուծման օրինակներ՝ ըստ պլանի.

• Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները.
• Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.
• Միատարր հավասարումներ.

Հետևյալ դասերին սկսվում է ինքնուրույն հմտությունների զարգացումը՝ ուսուցչի և աշակերտի համատեղ գործունեության սկզբունքի կիրառման հիման վրա։ Նախ, ուսանողների համար նպատակներ են դրվում, այսինքն. որոշվում է, թե ով է ուզում իմանալ ավելին, քան այն, ինչ պահանջում է պետական ​​ստանդարտը, և ով է պատրաստ անել ավելին։

Վերջնական ախտորոշումը ստեղծվում է հաշվի առնելով մակարդակի տարբերակումը, որը թույլ է տալիս ուսանողներին գիտակցաբար որոշել նվազագույն գիտելիքները, որոնք անհրաժեշտ են «3» գնահատական ​​ստանալու համար: Դրա հիման վրա ընտրվում են բազմամակարդակ նյութեր՝ ուսանողների գիտելիքները ախտորոշելու համար: Նման աշխատանքը թույլ է տալիս անհատական ​​մոտեցում ցուցաբերել ուսանողներին, ներառյալ բոլորին գիտակից ուսումնական գործունեության մեջ, զարգացնել ինքնակազմակերպման և ինքնուսուցման հմտությունները և ապահովել անցում դեպի ակտիվ, անկախ մտածողություն:

Սեմինարն անցկացվում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական հմտությունները կիրառելուց հետո։ Սեմինարից առաջ մի քանի դասաժամ ուսանողներին տրվում են հարցեր, որոնք կքննարկվեն սեմինարի ընթացքում:

Սեմինարը բաղկացած է երեք մասից.

1. Ներածական մասն ընդգրկում է ամբողջ տեսական նյութը, այդ թվում՝ ներածություն այն խնդիրների մասին, որոնք կառաջանան բարդ հավասարումներ լուծելիս:

2. Երկրորդ մասում քննարկվում է ձևի հավասարումների լուծումը.

• և cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0:
• աստիճանը նվազեցնելով լուծելի հավասարումներ.

Այս հավասարումները օգտագործում են ունիվերսալ փոխարինում, աստիճանի կրճատման բանաձևեր և օժանդակ փաստարկների մեթոդ:

3. Երրորդ մասում քննարկվում են արմատների կորստի և ձեռքբերման խնդիրները օտար արմատներ. Ցույց է տալիս, թե ինչպես ընտրել արմատները:

Աշակերտները աշխատում են խմբերով: Օրինակները լուծելու համար հրավիրվում են լավ պատրաստված տղաներ, ովքեր կարող են ցույց տալ և բացատրել նյութը:

Սեմինարը նախատեսված է լավ պատրաստված ուսանողի համար, քանի որ... այն անդրադառնում է ծրագրային նյութի շրջանակներից փոքր-ինչ դուրս խնդիրներին: Այն ներառում է ավելի բարդ ձևի հավասարումներ և հատկապես անդրադառնում է բարդ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ժամանակ հանդիպող խնդիրներին:

Սեմինարն անցկացվեց 10-11-րդ դասարանների աշակերտների համար: Յուրաքանչյուր աշակերտ հնարավորություն ուներ ընդլայնելու և խորացնելու իր գիտելիքներն այս թեմայի շուրջ, համեմատելու իր գիտելիքների մակարդակը ոչ միայն դպրոցի շրջանավարտին, այլև V.U.Z ընդունվողների պահանջների հետ:

ՍԵՄԻՆԱՐ

Առարկա:«Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում»

Նպատակները:

• Ընդհանրացնել գիտելիքները բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման վերաբերյալ:
• Կենտրոնանալ խնդիրների վրա. արմատների կորուստ; օտար արմատներ; արմատային ընտրություն.

ԴԱՍԵՐԻ ԺԱՄԱՆԱԿ.

I. Ներածական մաս

1. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդներ

• Ֆակտորիզացիա.
• Նոր փոփոխականի ներդրում.
• Ֆունկցիոնալ-գրաֆիկական մեթոդ.

2. Եռանկյունաչափական հավասարումների որոշ տեսակներ.

• Հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների cos x = t, sin x = t:

Ասին 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0:

Դրանք լուծվում են նոր փոփոխականի ներդրմամբ։

• Առաջին և երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարումներ

Առաջին աստիճանի հավասարում. Asinx + Bcosx = 0 բաժանել cos x-ի վրա, մենք ստանում ենք Atg x + B = 0

Երկրորդ աստիճանի հավասարում. Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 բաժանել cos 2 x-ի վրա, մենք ստանում ենք Atg 2 x + Btgx + C = 0

Դրանք լուծվում են ֆակտորիզացիայի և նոր փոփոխականի ներդրման միջոցով։

Կիրառվում են բոլոր մեթոդները։

• Նվազեցում:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Լուծվում է ֆակտորացման մեթոդով:

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C:

• Ձևի հավասարումը. A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0:

Կրճատվել է քառակուսու՝ t = sinx + cosx-ի նկատմամբ; sin2x = t 2 – 1:

3. Բանաձեւեր.

x + 2n; Ստուգումը պարտադիր է:

• Նվազող աստիճան՝ cos 2 x = (1 + cos2x): 2; մեղք 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Օժանդակ փաստարկների մեթոդ.

Փոխարինեք Acosx + Bsinx-ը Csin-ով (x +), որտեղ sin = a/C; cos=v/c;

- օժանդակ փաստարկ.

4. Կանոններ.

• Եթե ​​տեսնում եք քառակուսի, իջեցրեք աստիճանը:
• Եթե ​​կտոր տեսնեք, գումարեք։
• Եթե ​​տեսնում եք գումարը, ապա կատարեք աշխատանքը։

5. Արմատների կորուստ, ավելորդ արմատներ։

• Արմատների կորուստ՝ բաժանել g(x); վտանգավոր բանաձեւեր (ունիվերսալ փոխարինում): Այս գործողություններով մենք նեղացնում ենք սահմանման շրջանակը:

• Լրացուցիչ արմատներ. բարձրացված է հավասարաչափ հզորության; բազմապատկել g(x)-ով (ազատվել հայտարարից): Այս գործողություններով մենք ընդլայնում ենք սահմանման շրջանակը:

II. Եռանկյունաչափական հավասարումների օրինակներ

1. Asinx + Bcosx = C ձևի հավասարումներ

1) Ունիվերսալ փոխարինում.O.D.Z. x - ցանկացած:

3 մեղք 2x + cos 2x + 1= 0:

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = արկտան (–1/3) + k, k Z.

Փորձաքննություն: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0:

x = /2 + n, n e Z. Հավասարման արմատն է:

Պատասխան. x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Ֆունկցիոնալ-գրաֆիկական մեթոդ. Օ.Դ.Զ. x - ցանկացած:

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1:

Եկեք գծենք ֆունկցիաները՝ y = sinx, y = cosx + 1:

Պատասխան. x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Օժանդակ փաստարկի ներդրում. O.D.Z.: x – ցանկացած:

8cosx + 15 sinx = 17:

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, քանի որ (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, ապա գոյություն ունի այնպիսին, որ մեղքը = 8/17,

cos = 15/17, ինչը նշանակում է մեղք cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Պատասխան. x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Կրճատելով կարգը՝ Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C:

1). մեղք 2 3x + մեղք 2 4x + մեղք 2 6x + մեղք 2 7x = 2. O.D.Z.՝ x – ցանկացած.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x (cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0:

Պատասխան. x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

ժամը

k = 1 և m = 0 k = 4 և m = 1:

շարքերը նույնն են.

3. Նվազեցում դեպի միատարրություն. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C:

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ՝ x – ցանկացած.
5 մեղք 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 մեղք 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) չի կարելի բաժանել cos 2 x-ի, քանի որ մենք կորցնում ենք արմատները:
cos 2 x = 0 բավարարում է հավասարումը:
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0:
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Պատասխան. x = /2 + k, k Z., x = –/6 + n, n Z

4. Ձևի հավասարումը A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0:

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.՝ x – ցանկացած:
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1:
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | տ | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = Ս. cosx = մեղք (x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
մեղք (x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Պատասխան. x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Ֆակտորիզացիա.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx (cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2) (cosx + 2 sinx) = 0:

1) cosx = 2, առանց արմատների:
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Պատասխան. x = արկտան (1/2) + n, n Զ.

III. Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս առաջացող խնդիրներ

1. Արմատների կորուստ՝ բաժանել g(x); Մենք օգտագործում ենք վտանգավոր բանաձևեր.

1) Գտեք սխալը:

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 բանաձեւ:
2 մեղք 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 բաժանել 2 մեղքի 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Զ.
Կորած արմատները sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Ճիշտ լուծում. 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0:

մեղք 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Օտար արմատներ՝ ազատվում ենք հայտարարից; բարձրացնել հավասարաչափ հզորության:

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.՝ sin2x 3/2:

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Զ.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 մեղք 2/3 = 3/2 չեն բավարարում. Օ.Դ.Զ. 2. n = 1 մեղք 2=0 բավարարել Օ.Դ.Զ. 3. n = 2 մեղք 2/ 3 = –3/2 բավարարել Օ.Դ.Զ.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 մեղք 2/6 = 3/2 չեն բավարարում O.D.Z. 2. k = 1 մեղք 2*5/6 = –3/2 բավարարել Օ.Դ.Զ.

Պատասխան. x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

Վերջին դասին մենք երեք քայլ օգտագործեցինք հավասարումներ լուծելու համար։

Առաջին փուլը տեխնիկական է. Օգտագործելով սկզբնական հավասարումից փոխակերպումների շղթան՝ մենք հասնում ենք բավականին պարզի, որը լուծում ենք և գտնում ենք արմատները։

Երկրորդ փուլը լուծման վերլուծությունն է: Մենք վերլուծում ենք մեր կատարած փոխակերպումները և պարզում, թե արդյոք դրանք համարժեք են։

Երրորդ փուլը ստուգումն է։ Բոլոր գտնված արմատների ստուգումը` դրանք փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ, պարտադիր է փոխակերպումներ կատարելիս, որոնք կարող են հանգեցնել հետևողական հավասարման:

Հավասարումը լուծելիս միշտ անհրաժեշտ է առանձնացնել երեք փուլ:

Իհարկե ոչ. Ինչպես, օրինակ, այս հավասարումը լուծելիս. IN Առօրյա կյանքնրանք սովորաբար մեկուսացված չեն: Բայց այս բոլոր փուլերը պետք է «հիշել» և իրականացնել այս կամ այն ​​ձևով։ Փոխակերպումների համարժեքության վերլուծությունը հրամայական է։ Իսկ եթե վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ ստուգում է պետք անել, ապա դա պարտադիր է։ Հակառակ դեպքում հավասարումը չի կարող ճիշտ լուծված համարվել։

Մի՞շտ է հնարավոր հավասարման արմատները ստուգել միայն փոխարինմամբ:

Եթե ​​հավասարումը լուծելիս օգտագործվել են համարժեք փոխակերպումներ, ապա ստուգում չի պահանջվում: Հավասարման արմատները ստուգելիս շատ հաճախ օգտագործվում է ODZ-ը (թույլատրելի արժեքների միջակայքը), եթե ODZ-ի միջոցով ստուգելը դժվար է, ապա այն կատարվում է սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելով:

Վարժություն 1

Լուծե՛ք հավասարումը Քառակուսի արմատերկու x գումարած երեքին հավասար է մեկ գումարած x:

Լուծում

Հավասարման ODZ-ը որոշվում է երկու անհավասարությունների համակարգով. երկու x-ին գումարած երեքը մեծ է կամ հավասար է զրոյի և մեկ գումարած x-ին մեծ կամ հավասար է զրոյի: Լուծումը x մեծ է կամ հավասար է մինուս մեկին:

Եկեք հավասարման երկու կողմերը քառակուսի դարձնենք, տերմինները տեղափոխենք հավասարման մի կողմից մյուսը, բերենք նմանատիպ անդամներ, ստացանք. քառակուսային հավասարում X քառակուսին հավասար է երկու: Դրա արմատներն են

x առաջինը, երկրորդը հավասար է երկուսի քառակուսի արմատին գումարած կամ մինուս:

Փորձաքննություն

Առաջին x-ի արժեքը հավասար է երկուսի քառակուսի արմատին, քանի որ այն ներառված է ODZ-ում:
x վայրկյանի արժեքը հավասար է մինուս երկուսի քառակուսի արմատը հավասարման արմատը չէ, քանի որ այն ներառված չէ DZ-ում:
Եկեք ստուգենք, որ x արմատը հավասար է երկուսի քառակուսի արմատին, այն փոխարինելով սկզբնական հավասարությամբ, ստանում ենք.

հավասարությունը ճշմարիտ է, ինչը նշանակում է, որ x-ը հավասար է երկուսի քառակուսի արմատին, հավասարման արմատն է:

Պատասխան՝ երկուսի քառակուսի արմատ:

Առաջադրանք 2

Լուծե՛ք x հանած ութի քառակուսի արմատը հավասար է հինգ հանած x:

Լուծում

Իռացիոնալ հավասարման ODZ-ը որոշվում է երկու անհավասարությունների համակարգով. x մինուս ութը մեծ է կամ հավասար է զրոյի, իսկ հինգ հանած x-ը մեծ է կամ հավասար է զրոյի: Լուծելով այն՝ մենք գտնում ենք, որ այս համակարգը լուծումներ չունի։ Հավասարման արմատը չի կարող լինել x փոփոխականի արժեքներից որևէ մեկը:

Պատասխան՝ արմատներ չկան:

Առաջադրանք 3

Լուծե՛ք x խորանարդի հավասարումը քառակուսի արմատին գումարած չորս x հանած մեկ մինուս ութը քառակուսի արմատներ x-ը չորրորդ աստիճանին հանած x-ը հավասար է x-ի խորանարդի քառակուսի արմատին մինուս մեկին գումարած x-ի երկու քառակուսի արմատին:

Լուծում

Այս հավասարման մեջ ODZ-ը գտնելը բավականին դժվար է:

Եկեք կատարենք փոխակերպումը. այս հավասարման երկու կողմերը քառակուսի դարձնենք,

տեղափոխել բոլոր պայմանները ձախ կողմհավասարումներ և բերեք միանման տերմիններ, մեկի տակ գրեք երկու արմատ, ստացեք նմանատիպ ռադիկալներ, բերեք նմանները, բաժանեք մինուս 12 գործակցի վրա և գործակցեք արմատական ​​արտահայտությունը, ստանում ենք հավասարում երկու գործոնի արտադրյալի տեսքով, որը հավասար է զրոյի։ Լուծելով այն, մենք գտնում ենք արմատները.

x առաջինը հավասար է մեկի, x երկրորդը հավասար է զրոյի։

Քանի որ մենք հավասարման երկու կողմերն էլ հասցրեցինք հավասարաչափի, արմատների ստուգումը պարտադիր է:

Փորձաքննություն

Եթե ​​x-ը հավասար է մեկի, ապա

մենք ստանում ենք ճիշտ հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ x-ը հավասար է մեկին, հավասարման արմատն է:

Եթե ​​x-ը զրո է, ապա մինուս մեկ քառակուսի արմատն անորոշ է:

Սա նշանակում է, որ x-ը, որը հավասար է զրոյի, կողմնակի արմատ է:

Պատասխան՝ մեկ։

Առաջադրանք 4

Լուծե՛ք x արտահայտության հավասարման լոգարիթմը գումարած հինգ x գումարած երկու հիմք երկուը հավասար է երեքի:

Լուծում

Գտնենք ODZ հավասարումը։ Դա անելու համար մենք լուծում ենք անհավասարությունը x քառակուսի գումարած հինգ x գումարած երկու զրոյի նկատմամբ:

Անհավասարությունը լուծում ենք միջակայքի մեթոդով։ Դրա համար մենք ֆակտորիզացնում ենք նրա ձախ կողմը՝ նախապես լուծելով քառակուսի հավասարումը և հաշվի առնելով անհավասարության նշանը՝ որոշում ենք ODZ-ը։ ODZ-ը հավասար է բաց ճառագայթների միությանը մինուս անսահմանությունից մինուս հինգ կոտորակի գումարած տասնյոթի քառակուսի արմատը բաժանված երկուսի, և մինուս հինգ կոտորակից հանած տասնյոթի քառակուսի արմատը բաժանված երկուսի վրա գումարած անվերջությանը:

Հիմա եկեք սկսենք գտնել հավասարման արմատները: Հաշվի առնելով, որ երեքը հավասար է ութի լոգարիթմին երկու հիմքի վրա, մենք հավասարումը գրում ենք հետևյալ կերպ. Հզորացնենք հավասարումը, ձեռք բերենք և լուծենք քառակուսի հավասարում:

Խտրականը քառասունինը է։

Հաշվել արմատները.

x առաջինը հավասար է մինուս վեցի; x վայրկյանը հավասար է մեկի:

Փորձաքննություն

Մինուս վեցը պատկանում է ODZ-ին, մեկը պատկանում է ODZ-ին, ինչը նշանակում է, որ երկու թվերն էլ հավասարման արմատներն են:

Պատասխան՝ մինուս վեց; մեկ.

Վերջին դասում մենք նայեցինք կողմնակի արմատների առաջացման հարցին: Մենք կարող ենք դրանք հայտնաբերել ստուգման միջոցով: Հնարավո՞ր է արդյոք հավասարումը լուծելիս արմատներ կորցնել և ինչպես կանխել դա:

Հավասարման վրա այնպիսի գործողություններ կատարելիս, ինչպիսին է, առաջին հերթին, հավասարման երկու կողմերը նույն արտահայտությամբ ax-ով բաժանելը x-ից (բացառությամբ այն դեպքերի, երբ հաստատապես հայտնի է, որ x-ից կացինը հավասար չէ զրոյի ցանկացած x-ի համար. հավասարման սահմանման տիրույթը);

երկրորդ, լուծման գործընթացում հավասարման OD-ի նեղացումը կարող է հանգեցնել հավասարման արմատների կորստի:

Հիշիր.

Հավասարումը գրված է այսպես

x-ից ef-ը x-ից մոխրի վրա բազմապատկված է x-ից հավասար է zhe-ին x-ից բազմապատկած x-ից մոխրի վրա, լուծվում է հետևյալ կերպ.

պետք է ֆակտորիզացնել՝ փակագծերից դուրս դնելով ընդհանուր գործոնը.

այնուհետև յուրաքանչյուր գործոն հավասարեցրեք զրոյի՝ դրանով իսկ ստանալով երկու հավասարում:

Մենք հաշվարկում ենք դրանց արմատները:

Վարժություն 1

Լուծե՛ք x-ի հավասարումը, խորանարդը հավասար է x-ին:

Առաջին ճանապարհը

Այս հավասարման երկու կողմերը բաժանենք x-ի, կստանանք x քառակուսի հավասար է մեկ, ունենալով արմատներ x նախ հավասար է մեկ,

x վայրկյանը հավասար է մինուս մեկին:

Երկրորդ ճանապարհ

X խորանարդը հավասար է X-ին: Եկեք x-ը տեղափոխենք հավասարման ձախ կողմ, փակագծերից հանենք x-ը և կստանանք՝ x բազմապատկած x քառակուսու վրա հանած մեկը հավասար է զրոյի:

Եկեք հաշվարկենք դրա արմատները.

X առաջինը հավասար է զրոյի, x երկրորդը հավասար է մեկի, x երրորդը հավասար է մինուս մեկին։

Հավասարումն ունի երեք արմատ.

Առաջին մեթոդը լուծելիս մենք կորցրել ենք մեկ արմատ՝ x-ը հավասար է զրոյի:

Պատասխան՝ մինուս մեկ; զրո; մեկ.

Հիշիր. Անհայտը պարունակող գործոնով հավասարման երկու կողմերը կրճատելը կարող է հանգեցնել արմատների կորստի:

Առաջադրանք 2

Լուծե՛ք հավասարումը. x քառակուսու տասնորդական լոգարիթմը հավասար է երկուսի:

Լուծում

Առաջին ճանապարհը

Լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարում x քառակուսին հավասար է հարյուրի:

Դրա արմատները՝ x նախ հավասար է տասի; X վայրկյանը հավասար է մինուս տասի:

Երկրորդ ճանապարհ

Լոգարիթմների հատկությամբ մենք ունենք երկու տասնորդական լոգարիթմ x հավասար է երկու:

Նրա արմատը՝ x-ը հավասար է տասի

Երկրորդ մեթոդով x արմատը հավասար է մինուս տասը կորել է: Իսկ պատճառն այն է, որ սխալ բանաձեւ են կիրառել՝ նեղացնելով հավասարման շրջանակը։ X քառակուսի տասնորդական լոգարիթմի արտահայտությունը սահմանվում է բոլոր x-ի համար, բացառությամբ x-ի, որը հավասար է զրոյի: X-ի տասնորդական լոգարիթմի արտահայտությունը x-ի համար զրոյից մեծ է: Տասնորդական լոգարիթմի x քառակուսի ճիշտ բանաձևը հավասար է երկուսի տասնորդական լոգարիթմներմոդուլ x.

Հիշիր. Հավասարում լուծելիս խելամտորեն օգտագործեք առկա բանաձևերը:

§ 1. ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ԼՈՒԾԵԼԻՑ ԿՈՐԱԾ ԵՎ ԱՐՄԱՏՆԵՐԸ (ՕՐԻՆՆԵՐՈՎ)

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹ

1. VII գլխի 3-րդ մասի երկու թեորեմներ խոսեցին այն մասին, թե ինչ գործողությունները հավասարումների վրա չեն խախտում դրանց համարժեքությունը:

2. Այժմ դիտարկենք այնպիսի գործողություններ հավասարումների վրա, որոնք կարող են հանգեցնել նոր հավասարման, որն անհավասար է սկզբնական հավասարմանը: Ընդհանուր նկատառումների փոխարեն մենք կսահմանափակվենք միայն կոնկրետ օրինակներ դիտարկելով։

3. Օրինակ 1. Տրված է հավասարում, բացենք այս հավասարման փակագծերը, բոլոր անդամները տեղափոխենք ձախ կողմ և լուծենք քառակուսի հավասարումը։ Դրա արմատներն են

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերն էլ կրճատեք ընդհանուր գործակցով, ապա կստանաք մի հավասարում, որն անհավասար է սկզբնականին, քանի որ այն ունի միայն մեկ արմատ:

Այսպիսով, հավասարման երկու կողմերը անհայտ պարունակող գործոնով կրճատելը կարող է հանգեցնել հավասարման արմատների կորստի:

4. Օրինակ 2. Տրվում է հավասարում։ Այս հավասարումն ունի մեկ արմատ։ Եկեք այս հավասարման երկու կողմերը քառակուսի դարձնենք և կստանանք։ Լուծելով այս հավասարումը, գտնում ենք երկու արմատ.

Մենք տեսնում ենք, որ նոր հավասարումը համարժեք չէ սկզբնական հավասարմանը:Արմատը հավասարման արմատն է, որը երկու կողմերը քառակուսացնելուց հետո տանում է դեպի հավասարումը:

5. Կողմնակի արմատներ կարող են հայտնվել նաև այն դեպքում, երբ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվում են անհայտ պարունակող գործակցով, եթե այդ գործոնը անհետանում է x-ի իրական արժեքների համար:

Օրինակ 3. Եթե հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք, ապա կստանանք նոր հավասարում, որը տերմինը աջից ձախ տեղափոխելուց և այն գործակցելուց հետո հավասարություն է տալիս որևէ մեկից։

Արմատը չի բավարարում միայն մեկ արմատ ունեցող հավասարմանը

Այստեղից մենք եզրակացնում ենք. հավասարման երկու կողմերը քառակուսելու ժամանակ (ընդհանուր առմամբ մինչև հավասարաչափ), ինչպես նաև անհայտ պարունակող և անհայտի իրական արժեքներով անհետացող գործակցով բազմապատկելիս կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ:

Այստեղ արտահայտված բոլոր նկատառումները հավասարման կողմնակի արմատների կորստի և առաջացման հարցի վերաբերյալ հավասարապես վերաբերում են ցանկացած հավասարումների (հանրահաշվական, եռանկյունաչափական և այլն):

6. Հավասարումը կոչվում է հանրահաշվական, եթե անհայտի վրա կատարվում են միայն հանրահաշվական գործողություններ՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, հզորացում և արմատից հանում բնական ցուցիչով (իսկ այդպիսի գործողությունների թիվը վերջավոր է):

Այսպիսով, օրինակ, հավասարումները

հանրահաշվական են, իսկ հավասարումները

ԱՏԱՄՆԵՐ. Ողնաշարավորների ատամները կառուցվածքով և զարգացմամբ ամբողջովին նման են շնաձկան ձկան ամբողջ մաշկը ծածկող պլակոիդ թեփուկներին: Քանի որ բոլորը բերանի խոռոչև մասամբ ֆարինգիսի խոռոչը պատված է էկտոդերմալ էպիթելով՝ բնորոշ պլակոիդով... ...

ԹՈՔԱՅԻՆ ՏՈՒԲԵՐԿՈՒԼՈԶ- ԹՈՔԱՅԻՆ ՏՈՒԲԵՐԿՈՒԼՈԶ. Բովանդակություն՝ I. Պաթոլոգիական անատոմիա..........110 II. Թոքային տուբերկուլյոզի դասակարգումը.... 124 III. Կլինիկա ..............................128 IV. Ախտորոշում...............................160 V. Կանխատեսում................. .......... 190 VI. Բուժում… Մեծ բժշկական հանրագիտարան

ԹՈՒՆԱՎՈՐՈՒՄ- ԹՈՒՆԱՎՈՐՈՒՄ. Թունավորումը նշանակում է «կենդանիների ֆունկցիայի խանգարումներ»։ օրգանիզմ՝ առաջացած էկզոգեն կամ էնդոգեն, քիմիապես կամ ֆիզիկապես քիմիապես ակտիվ բաղադրիչներ, որոնք օտար են որակով, քանակով կամ կենտրոնացվածությամբ... ... Մեծ բժշկական հանրագիտարան

Legume nodule բակտերիաներ- Պալեոնտոլոգիական տվյալները ցույց են տալիս, որ ամենահին հատիկները, որոնք ունեին հանգույցներ, Eucaesalpinioideae խմբին պատկանող որոշ բույսեր էին: U ժամանակակից տեսակներԲույսերի հատիկավոր հանգույցներ են հայտնաբերվել... Կենսաբանական հանրագիտարան

«Լունտիկ» անիմացիոն սերիալի դրվագների ցանկ.- Այս հոդվածում բացակայում են տեղեկատվության աղբյուրների հղումները: Տեղեկատվությունը պետք է ստուգելի լինի, հակառակ դեպքում այն ​​կարող է հարցականի տակ դրվել և ջնջվել: Դուք կարող եք... Վիքիպեդիա

ԲՈՒՅՍԸ ԵՎ ՄԻՋԱՎԱՅՐԸ- Բույսի կյանքը, ինչպես ցանկացած այլ կենդանի օրգանիզմ, փոխկապակցված գործընթացների բարդ համալիր է. դրանցից ամենակարևորը, ինչպես հայտնի է, նյութափոխանակությունն է միջավայրը. Շրջակա միջավայրն այն աղբյուրն է, որտեղից... ... Կենսաբանական հանրագիտարան

«Լունտիկ» սերիալի դրվագների ցանկ.- Հիմնական հոդված՝ Լունտիկի և նրա ընկերների արկածները Բովանդակություն 1 Սերիաների քանակը 2 Լունտիկն ու նրա ընկերները անիմացիոն սերիալի դրվագների ցանկ ... Վիքիպեդիա

Պտղատու ծառերի հիվանդություններ- Պտղատու ծառերը, իրենց հանդեպ մարդկային մշտական ​​հոգածության շնորհիվ, պետք է հասնեն շատ ավելի մեծ տարիքի, քան իրենց չմշակված հարազատները, եթե ոչ բուն մշակույթի բազմաթիվ պայմանների, այն է՝ մեր կողմից առաջադրված պահանջների հակազդող ազդեցությունները... ...

Անտառահատումներ- Անտառների բերքահավաքը կամ անտառային եկամուտների արդյունահանումը փայտի և կեղևի տեսքով կարող է իրականացվել երկու եղանակով՝ փորելով կամ արմատախիլ անելով ամբողջ ծառերը, այսինքն՝ բները արմատների հետ միասին, կամ առանձին, մաս-մաս՝ սկզբից կտրված կամ հանվելով։ սկսած... ... Հանրագիտարանային բառարանՖ. Բրոքհաուսը և Ի.Ա. Էֆրոն

Գրոշ- (լեհ. grosz, գերմաներենից Groschen, լատիներեն grossus (dēnārius) «հաստ denarius») տարբեր երկրների և ժամանակների մետաղադրամ։ Բովանդակություն 1 Կոպեկի տեսքը ... Վիքիպեդիա

ԱՄՆ մետաղադրամներ- 20 դոլար Սեն Գոդենը ամենագեղեցիկն է և թանկարժեք մետաղադրամԱՄՆ Մետաղադրամներ ԱՄՆ մետաղադրամներ, որոնք հատվել են Միացյալ Նահանգների դրամահատարանի կողմից: Արտադրվում է 1792 թվականից... Վիքիպեդիա

Գրքեր

• Կանանց մազաթափության հիմնական պատճառները՝ Ալեքսեյ Միխման, տասը կանանցից վեցը կյանքի ինչ-որ պահի տառապում է մազաթափությունից։ Մազաթափությունը կարող է առաջանալ մի շարք պատճառներով, ինչպիսիք են ժառանգականությունը, հորմոնալ փոփոխությունները... Կատեգորիա:

Հավասարումներ լուծելիս առավել հաճախ օգտագործվում են հետևյալ փոխակերպումները.

Այլ փոխակերպումներ

Նախորդ պարբերությունում ներկայացված ցանկում մենք միտումնավոր չենք ներառել այնպիսի փոխակերպումներ, ինչպիսիք են հավասարման երկու կողմերը նույն բնական ուժի բարձրացումը, լոգարիթմը, հավասարման երկու կողմերն ուժեղացնելը, նույն աստիճանի արմատը հանելը հավասարման երկու կողմերից: հավասարում, ազատում արտաքին ֆունկցիաեւ ուրիշներ. Փաստն այն է, որ այս փոխակերպումները այնքան էլ ընդհանուր չեն. վերը նշված ցուցակից փոխակերպումները օգտագործվում են բոլոր տեսակի հավասարումները լուծելու համար, իսկ հենց նշված փոխակերպումները՝ որոշ տեսակի (իռացիոնալ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և այլն) հավասարումների լուծման համար: Դրանք մանրամասն քննարկվում են համապատասխան տեսակի հավասարումների լուծման համապատասխան մեթոդների շրջանակներում։ Ահա դրանց մանրամասն նկարագրությունների հղումները.

• Հավասարման երկու կողմերը նույն բնական ուժի բարձրացում:
• Հավասարման երկու կողմերի լոգարիթմների ընդունում.
• Հզորացնելով հավասարման երկու կողմերը.
• Միևնույն հզորության արմատը հանելով հավասարման երկու կողմերից.
• Բնօրինակ հավասարման մասերից մեկին համապատասխան արտահայտության փոխարինում սկզբնական հավասարման մեկ այլ մասի արտահայտությամբ..

Տրամադրված հղումները պարունակում են համապարփակ տեղեկատվություն թվարկված փոխակերպումների վերաբերյալ: Հետևաբար, այս հոդվածում մենք այլևս չենք անդրադառնա դրանց վրա: Հետագա բոլոր տեղեկությունները վերաբերում են հիմնական փոխակերպումների ցանկից վերափոխումներին:

Ի՞նչ է տեղի ունենում հավասարումը փոխակերպելու արդյունքում:

Վերոնշյալ բոլոր փոխակերպումները կատարելը կարող է տալ կամ հավասարում, որն ունի նույն արմատները, ինչ սկզբնական հավասարումը, կամ հավասարում, որի արմատները պարունակում են սկզբնական հավասարման բոլոր արմատները, բայց որը կարող է ունենալ նաև այլ արմատներ, կամ հավասարում, որի արմատները չեն ներառել փոխակերպված հավասարման բոլոր արմատները: Հետևյալ պարբերություններում մենք կվերլուծենք, թե այս փոխակերպումներից որ մեկը, որ պայմաններում, ինչ հավասարումների է հանգեցնում։ Սա չափազանց կարևոր է իմանալ հավասարումները հաջողությամբ լուծելու համար:

Հավասարումների համարժեք փոխակերպումներ

Առանձնահատուկ հետաքրքրություն են ներկայացնում հավասարումների փոխակերպումները, որոնց արդյունքում ստացվում են համարժեք հավասարումներ, այսինքն՝ հավասարումներ, որոնք ունեն նույն արմատների հավաքածուն, ինչ սկզբնական հավասարումը: Նման փոխակերպումները կոչվում են համարժեք փոխակերպումներ. Դպրոցական դասագրքերում համապատասխան սահմանումը հստակորեն տրված չէ, բայց հեշտ է կարդալ համատեքստից.

Սահմանում

Հավասարումների համարժեք փոխակերպումներփոխակերպումներ են, որոնք տալիս են համարժեք հավասարումներ։

Այսպիսով, ինչու են համարժեք փոխակերպումները հետաքրքիր: Փաստն այն է, որ եթե նրանց օգնությամբ լուծվող հավասարումից հնարավոր լինի հասնել բավականին պարզ համարժեք հավասարման, ապա այս հավասարումը լուծելով նախնական հավասարման ցանկալի լուծումը կտա:

Նախորդ պարբերությունում թվարկված փոխակերպումներից ոչ բոլորն են համարժեք: Որոշ փոխակերպումներ համարժեք են միայն որոշակի պայմաններում: Կազմենք հայտարարությունների ցանկ, որոնք որոշում են, թե որ փոխակերպումները և ինչ պայմաններում են հավասարման համարժեք փոխակերպումները: Դա անելու համար հիմք կվերցնենք վերը նշված ցանկը, իսկ փոխակերպումներին, որոնք միշտ չէ, որ համարժեք են, կավելացնենք դրանց համարժեքություն տվող պայմաններ։ Ահա ցանկը.

• Հավասարման ձախ կամ աջ կողմում արտահայտության փոխարինումը մի արտահայտությամբ, որը չի փոխում հավասարման փոփոխականները, հավասարման համարժեք փոխակերպումն է:

Եկեք բացատրենք, թե ինչու է դա այդպես: Դա անելու համար մենք վերցնում ենք A(x)=B(x) ձևի մեկ փոփոխականով (նման պատճառաբանություն կարելի է անել մի քանի փոփոխականներով հավասարումների համար), նրա ձախ և աջ կողմերի արտահայտությունները նշել ենք որպես A(: x) և B(x), համապատասխանաբար: Թող C(x) արտահայտությունը նույնականորեն հավասար լինի A(x) արտահայտությանը, իսկ C(x)=B(x) հավասարման x փոփոխականի ODZ-ը համընկնում է սկզբնական հավասարման x փոփոխականի ODZ-ի հետ: Փաստենք, որ A(x)=B(x) հավասարման C(x)=B(x) հավասարման փոխակերպումը համարժեք փոխակերպում է, այսինքն՝ կապացուցենք, որ A(x)=B հավասարումները. (x) և C(x) =B(x) համարժեք են:

Դա անելու համար բավական է ցույց տալ, որ սկզբնական հավասարման ցանկացած արմատ C(x)=B(x) հավասարման արմատ է, իսկ C(x)=B(x) հավասարման ցանկացած արմատ արմատ է։ սկզբնական հավասարման։

Սկսենք առաջին մասից։ Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը, ապա երբ այն փոխարինենք x-ով, կստանանք ճիշտ թվային հավասարություն A(q)=B(q): Քանի որ A(x) և C(x) արտահայտությունները նույնականորեն հավասար են, և C(q) արտահայտությունը իմաստ ունի (սա բխում է այն պայմանից, որ C(x)=B(x) հավասարման համար OD-ը համընկնում է OD-ի հետ: սկզբնական հավասարումը) , ապա A(q)=C(q) թվային հավասարությունը ճշմարիտ է: Հաջորդիվ օգտագործում ենք թվային հավասարումների հատկությունները։ Համաչափության հատկության շնորհիվ A(q)=C(q) հավասարությունը կարող է վերագրվել որպես C(q)=A(q) ։ Ապա անցողիկ հատկության շնորհիվ C(q)=A(q) և A(q)=B(q) հավասարությունները ենթադրում են C(q)=B(q) հավասարություն։ Սա ապացուցում է, որ q-ն C(x)=B(x) հավասարման արմատն է:

Երկրորդ մասը, և դրա հետ մեկտեղ ամբողջ հայտարարությունը ամբողջությամբ ապացուցված է բացարձակապես նույն կերպ։

Վերլուծված համարժեք փոխակերպման էությունը հետևյալն է. այն թույլ է տալիս առանձին աշխատել հավասարումների ձախ և աջ կողմերի արտահայտություններով՝ դրանք փոխարինելով փոփոխականների սկզբնական ODZ-ի նույնական հավասար արտահայտություններով:

Ամենատարածված օրինակը՝ x=2+1 հավասարման աջ կողմի թվերի գումարը կարող ենք փոխարինել դրա արժեքով, որի արդյունքում կստացվի x=3 ձևի համարժեք հավասարում։ Իսկապես, մենք 2+1 արտահայտությունը փոխարինեցինք նույնական հավասար 3 արտահայտությամբ, և հավասարման ODZ-ը չփոխվեց։ Մեկ այլ օրինակ՝ 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 հավասարման ձախ կողմում կարող ենք, իսկ աջում – , որը մեզ կտանի դեպի 3·x+ համարժեք հավասարումը. 6=5·x+ 3. Ստացված հավասարումն իսկապես համարժեք է, քանի որ մենք փոխարինեցինք արտահայտությունները նույնական հավասար արտահայտություններով և միևնույն ժամանակ ստացանք հավասարում, որն ունի OD, որը համընկնում է սկզբնական հավասարման OD-ի հետ:

• Հավասարման երկու կողմերին նույն թիվը ավելացնելը կամ հավասարման երկու կողմերից նույն թիվը հանելը հավասարման համարժեք փոխակերպումն է:

Ապացուցենք, որ A(x)=B(x) հավասարման երկու կողմերին գումարելով նույն c թիվը, ստացվում է համարժեք A(x)+c=B(x)+c հավասարումը, իսկ հավասարման երկու կողմերից էլ հանելը: Նույն c թվի A(x) =B(x)-ը տալիս է համարժեք A(x)−c=B(x)−c հավասարումը։

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը, ապա A(q)=B(q) հավասարությունը ճիշտ է: Թվային հավասարումների հատկությունները մեզ թույլ են տալիս գումարել իրական թվային հավասարության երկու կողմերը կամ հանել նույն թիվը դրա մասերից: Նշենք այս թիվը c-ով, ապա վավեր են A(q)+c=B(q)+c և A(q)−c=B(q)−c հավասարությունները։ Այս հավասարություններից հետևում է, որ q-ն A(x)+c=B(x)+c և A(x)−c=B(x)−c հավասարման արմատն է։

Հիմա վերադարձ: Թող q լինի A(x)+c=B(x)+c և A(x)−c=B(x)−c հավասարման արմատը, ապա A(q)+c=B(q) +c և A (q)−c=B(q)−c. Մենք գիտենք, որ իրական թվային հավասարության երկու կողմերից նույն թիվը հանելուց ստացվում է իրական թվային հավասարություն: Մենք նաև գիտենք, որ երկու կողմերին էլ ճիշտ թվային հավասարություն ավելացնելը տալիս է ճիշտ թվային հավասարություն։ Ճիշտ թվային հավասարության A(q)+c=B(q)+c երկու կողմերից հանենք c թիվը և A(x)−c=B(x) հավասարության երկու կողմերին գումարենք c թիվը: −գ. Սա մեզ կտա ճիշտ թվային հավասարումներ A(q)+c−c=B(q)+c−c և A(q)−c+c=B(q)+c−c, որոնցից մենք եզրակացնում ենք, որ Ա. (ք) =Բ(ք) . Վերջին հավասարությունից հետևում է, որ q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է։

Սա ապացուցում է սկզբնական հայտարարությունը որպես ամբողջություն:

Բերենք հավասարումների նման փոխակերպման օրինակ։ Վերցնենք x−3=1 հավասարումը և փոխակերպենք՝ երկու կողմերին ավելացնելով 3 թիվը, որից հետո ստացվի x−3+3=1+3 հավասարումը, որը համարժեք է սկզբնականին։ Հասկանալի է, որ ստացված հավասարման մեջ կարելի է թվերով գործողություններ կատարել, ինչպես քննարկեցինք ցուցակի նախորդ կետում, արդյունքում ունենք x=4 հավասարումը։ Այսպիսով, կատարելով համարժեք փոխակերպումներ, մենք պատահաբար լուծեցինք x−3=1 հավասարումը, որի արմատը 4 թիվն է։ Համարվող համարժեք փոխակերպումը շատ հաճախ օգտագործվում է այնտեղ տեղակայված նույնական թվային տերմիններից ազատվելու համար տարբեր մասերհավասարումներ Օրինակ, և՛ ձախ, և՛ ներս ճիշտ մասեր x 2 +1=x+1 հավասարումը կա նույն տերմինը 1, հավասարման երկու կողմերից հանելով 1 թիվը թույլ է տալիս գնալ համարժեք x 2 +1−1=x+1−1 հավասարմանը, այնուհետև՝ համարժեք հավասարում x 2 =x, և այսպես, ազատվեք այս նույնական տերմիններից:

• Հավասարման երկու կողմերին ավելացնելը կամ հավասարման երկու կողմերից հանելը մի արտահայտություն, որի համար ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան սկզբնական հավասարման համար ODZ-ը, համարժեք փոխակերպում է:

Եկեք ապացուցենք այս հայտարարությունը. Այսինքն՝ մենք ապացուցում ենք, որ A(x)=B(x) և A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարումները համարժեք են, պայմանով, որ C(x) արտահայտության ODZ-ը. ) արդեն չէ, քան ODZ A(x)=B(x) հավասարման համար:

Նախ մենք ապացուցում ենք մեկ օժանդակ կետ. Փաստենք, որ նշված պայմաններում OD հավասարումները փոխակերպումից առաջ և հետո նույնն են։ Իրոք, A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարման ODZ-ը կարելի է համարել որպես ODZ-ի հատում A(x)=B(x) և ODZ հավասարման համար։ C(x) արտահայտության համար: Սրանից և այն փաստից, որ C(x) արտահայտության ODZ-ն ըստ պայմանի ավելի նեղ չէ, քան ODZ-ը A(x)=B(x) հավասարման համար, հետևում է, որ ODZ-ը A(x)= հավասարումների համար: B(x) և A (x)+C(x)=B(x)+C(x) նույնն են:

Այժմ մենք կապացուցենք A(x)=B(x) և A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարումների համարժեքությունը, պայմանով, որ դրանց համար ընդունելի արժեքների միջակայքերը հավասարումները նույնն են. Մենք չենք տա A(x)=B(x) և A(x)−C(x)=B(x)−C(x) հավասարումների համարժեքության ապացույց նշված պայմանով, քանի որ այն նման է. .

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը, ապա A(q)=B(q) թվային հավասարությունը ճիշտ է։ Քանի որ A(x)=B(x) և A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարումների ODZ-ը նույնն են, ապա C(x) արտահայտությունը իմաստ ունի x-ում. =q, ինչը նշանակում է, որ C(q)-ն ինչ-որ թիվ է: Եթե ​​ճիշտ թվային հավասարության A(q)=B(q) երկու կողմերին ավելացնենք C(q), ապա կստացվի ճիշտ թվային անհավասարություն A(q)+C(q)=B(q)+C(q): ) ), որից հետևում է, որ q-ն A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարման արմատն է։

Ետ. Թող q լինի A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարման արմատը, ապա A(q)+C(q)=B(q)+C(q) է. իրական թվային հավասարություն: Մենք գիտենք, որ իրական թվային հավասարության երկու կողմերից նույն թիվը հանելուց ստացվում է իրական թվային հավասարություն: A(q)+C(q)=B(q)+C(q) հավասարության երկու կողմերից հանում ենք C(q), դա տալիս է. A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)և հետագայում A(q)=B(q) . Հետևաբար, q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է:

Այսպիսով, խնդրո առարկա հայտարարությունը լիովին ապացուցված է։

Եկեք այս վերափոխման օրինակ բերենք. Վերցնենք 2 x+1=5 x+2 հավասարումը։ Երկու կողմերին էլ կարող ենք ավելացնել, օրինակ՝ −x−1 արտահայտությունը։ Այս արտահայտությունը ավելացնելով չի փոխվի ODZ-ը, ինչը նշանակում է, որ նման փոխակերպումը համարժեք է: Սրա արդյունքում ստանում ենք համարժեք հավասարում 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Այս հավասարումը կարող է հետագայում փոխակերպվել. բացել փակագծերը և կրճատել նմանատիպ տերմինները դրա ձախ և աջ կողմերում (տե՛ս ցուցակի առաջին կետը): Այս գործողությունները կատարելուց հետո ստանում ենք x=4·x+1 համարժեք հավասարումը։ Քննարկվող հավասարումների փոխակերպումը հաճախ օգտագործվում է նույնական տերմիններից ազատվելու համար, որոնք միաժամանակ գտնվում են հավասարման ձախ և աջ կողմերում:

• Եթե ​​հավասարման մեջ մի անդամ տեղափոխեք մի մասից մյուսը՝ փոխելով այս անդամի նշանը հակառակի, ապա կստանաք տրվածին համարժեք հավասարում։

Այս հայտարարությունը նախորդների հետեւանք է։

Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է կատարվում հավասարման այս համարժեք փոխակերպումը: Վերցնենք 3·x−1=2·x+3 հավասարումը։ Եկեք տերմինը տեղափոխենք, օրինակ, 2 x աջ կողմից դեպի ձախ՝ փոխելով նրա նշանը։ Այս դեպքում ստանում ենք 3·x−1−2·x=3 համարժեք հավասարումը։ Կարող եք նաև մինուս մեկ հավասարման ձախ կողմից տեղափոխել աջ՝ նշանը փոխելով գումարածի` 3 x−2 x=3+1: Վերջապես, համանման տերմիններ բերելը մեզ տանում է դեպի x=4 համարժեք հավասարումը։

• Հավասարման երկու կողմերը միևնույն ոչ զրոյական թվով բազմապատկելը կամ բաժանելը համարժեք փոխակերպում է:

Եկեք ապացույց տանք.

Թող A(x)=B(x) ինչ-որ հավասարում լինի, իսկ c-ն զրոյից տարբերվող մի թիվ: Փաստենք, որ A(x)=B(x) հավասարման երկու կողմերը c թվով բազմապատկելը կամ բաժանելը հավասարման համարժեք փոխակերպումն է։ Դա անելու համար մենք ապացուցում ենք, որ A(x)=B(x) և A(x) c=B(x) c հավասարումները, ինչպես նաև A(x)=B(x) և A(x) հավասարումները: :c= B(x):c - համարժեք: Դա կարելի է անել այսպես. ապացուցել, որ A(x)=B(x) հավասարման ցանկացած արմատ A(x) c=B(x) c և A(x) հավասարման արմատն է: :c=B(x) :c, ապա ապացուցեք, որ A(x) հավասարման ցանկացած արմատ, ինչպես A(x):c=B(x):c հավասարման ցանկացած արմատ: , A(x) =B(x) հավասարման արմատն է։ Եկեք անենք դա.

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը: Այդ դեպքում A(q)=B(q) թվային հավասարությունը ճիշտ է: Ուսումնասիրելով թվային հավասարումների հատկությունները՝ մենք իմացանք, որ իրական թվային հավասարության երկու կողմերը զրոյից տարբերվող նույն թվով բազմապատկելը կամ բաժանելը հանգեցնում է իրական թվային հավասարության: A(q)=B(q) հավասարության երկու կողմերը բազմապատկելով c-ով` ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն A(q) c=B(q) c, որից հետևում է, որ q-ն A(ք) հավասարման արմատն է: x) c= B(x)·c . Եվ A(q)=B(q) հավասարության երկու կողմերը բաժանելով c-ի, ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն A(q):c=B(q):c, որից հետևում է, որ q-ի արմատն է. հավասարում A(x):c =B(x):c .

Հիմա մյուս ուղղությամբ։ Թող q լինի A(x) c=B(x) c հավասարման արմատը: Ապա A(q)·c=B(q)·c-ն իրական թվային հավասարություն է: Նրա երկու մասերը բաժանելով ոչ զրոյական c թվի վրա՝ ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն A(q)·c:c=B(q)·c:c և հետագայում A(q)=B(q) . Հետևում է, որ q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է։ Եթե ​​q-ը A(x):c=B(x):c հավասարման արմատն է: Ապա A(q):c=B(q):c-ն իրական թվային հավասարություն է: Նրա երկու մասերը բազմապատկելով ոչ զրոյական c թվով, ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն A(q):c·c=B(q):c·c և հետագայում A(q)=B(q) : Հետևում է, որ q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է։

Հայտարարությունն ապացուցված է.

Եկեք այս վերափոխման օրինակ բերենք. Նրա օգնությամբ դուք կարող եք, օրինակ, ազատվել հավասարման կոտորակներից։ Դա անելու համար դուք կարող եք հավասարման երկու կողմերը բազմապատկել 12-ով: Արդյունքը ձևի համարժեք հավասարումն է , որն այնուհետև կարող է վերածվել 7 x−3=10 համարժեք հավասարման, որն իր նշումներում կոտորակներ չի պարունակում։

• Հավասարման երկու կողմերը միևնույն արտահայտությամբ բազմապատկելը կամ բաժանելը, որի OD-ն ավելի նեղ չէ սկզբնական հավասարման OD-ից և չի անհետանում սկզբնական հավասարման OD-ով, համարժեք փոխակերպում է:

Եկեք ապացուցենք այս հայտարարությունը. Դա անելու համար մենք ապացուցում ենք, որ եթե C(x) արտահայտության ODZ-ը A(x)=B(x) հավասարման համար ODZ-ից ավելի նեղ չէ, և C(x)-ը չի անհետանում ODZ-ի վրա հավասարման համար: A(x)=B( x) , ապա A(x)=B(x) և A(x) C(x)=B(x) C(x), ինչպես նաև A(x) հավասարումները. =B(x) and A( x):C(x)=B(x):C(x) - համարժեք:

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը: Ապա A(q)=B(q) իսկական թվային հավասարություն է: Այն փաստից, որ C(x) արտահայտության ODZ-ը նույն ODZ-ը չէ A(x)=B(x) հավասարման համար, հետևում է, որ C(x) արտահայտությունը իմաստ ունի, երբ x=q: Սա նշանակում է, որ C(q)-ն ինչ-որ թիվ է: Ավելին, C(q)-ն զրոյական չէ, ինչը բխում է այն պայմանից, որ C(x) արտահայտությունը չի վերանում: Եթե ​​A(q)=B(q) հավասարության երկու կողմերը բազմապատկենք C(q) ոչ զրոյական թվով, ապա կստացվի ճիշտ թվային հավասարություն A(q)·C(q)=B(q)·: C(q) , որից հետևում է, որ q-ն A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարման արմատն է: Եթե ​​A(q)=B(q) հավասարության երկու կողմերը բաժանենք C(q) ոչ զրոյական թվի վրա, ապա կստացվի ճիշտ թվային հավասարություն A(q):C(q)=B(q): C(q) , որից հետևում է, որ q-ն A(x):C(x)=B(x):C(x) հավասարման արմատն է:

Ետ. Թող q լինի A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարման արմատը: Ապա A(q)·C(q)=B(q)·C(q) իսկական թվային հավասարություն է: Նկատի ունեցեք, որ A(x) C(x)=B(x) C(x) հավասարման ODZ-ը նույնն է, ինչ ODZ-ը A(x)=B(x) հավասարման համար (մենք դա հիմնավորել ենք մեկում. նախորդ պարբերությունների ընթացիկ ցանկը): Քանի որ C(x) պայմանով չի անհետանում ODZ-ի վրա A(x)=B(x) հավասարման համար, ապա C(q)-ն ոչ զրոյական թիվ է: A(q) C(q)=B(q) C(q) հավասարության երկու կողմերը բաժանելով C(q) ոչ զրոյական թվի վրա մենք ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն. A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)և հետագայում A(q)=B(q) . Հետևում է, որ q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է։ Եթե ​​q-ը A(x):C(x)=B(x):C(x) հավասարման արմատն է: Ապա A(q):C(q)=B(q):C(q) իսկական թվային հավասարություն է: A(q):C(q)=B(q):C(q) հավասարության երկու կողմերը բազմապատկելով C(q) ոչ զրոյական թվով մենք ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն: A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)և հետագայում A(q)=B(q) . Հետևում է, որ q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է։

Հայտարարությունն ապացուցված է.

Պարզության համար մենք օրինակ ենք բերում ապամոնտաժված վերափոխում իրականացնելու օրինակ: x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) հավասարման երկու կողմերը բաժանենք x 2 +1 արտահայտությամբ: Այս փոխակերպումը համարժեք է, քանի որ x 2 +1 արտահայտությունը չի անհետանում OD-ի վրա սկզբնական հավասարման համար, և այս արտահայտության OD-ն ավելի նեղ չէ, քան սկզբնական հավասարման OD-ը: Այս փոխակերպման արդյունքում մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), որը հետագայում կարող է փոխակերպվել x 3 =8 համարժեք հավասարման։

Հետևողական հավասարումների տանող փոխակերպումներ

Նախորդ պարբերությունում մենք ուսումնասիրեցինք, թե հիմնական փոխակերպումների ցանկից որ փոխակերպումները և ինչ պայմաններում են համարժեք: Հիմա եկեք տեսնենք, թե այս փոխակերպումներից որն է և ինչ պայմաններում հանգեցնում է հետևողական հավասարումների, այսինքն՝ հավասարումների, որոնք պարունակում են փոխակերպված հավասարման բոլոր արմատները, բայց դրանցից բացի կարող են ունենալ նաև այլ արմատներ՝ սկզբնական հավասարման կողմնակի արմատներ:

Հետևողական հավասարումների հանգեցնող փոխակերպումները պահանջարկ ունեն ոչ պակաս, քան համարժեք փոխակերպումները: Եթե ​​նրանց օգնությամբ հնարավոր լինի ստանալ լուծման առումով բավականին պարզ հավասարում, ապա դրա լուծումը և դրան հաջորդող կողմնակի արմատների վերացումը լուծում կտա սկզբնական հավասարմանը։

Նշենք, որ բոլոր համարժեք փոխակերպումները կարելի է համարել փոխակերպումների հատուկ դեպքեր, որոնք հանգեցնում են հետևողական հավասարումների: Սա հասկանալի է, քանի որ կա համարժեք հավասարում հատուկ դեպքհետևանքների հավասարումներ. Բայց գործնական տեսանկյունից ավելի օգտակար է իմանալ, որ դիտարկվող փոխակերպումը ճշգրիտ համարժեք է և չի հանգեցնում հետևողական հավասարման: Եկեք բացատրենք, թե ինչու է դա այդպես: Եթե ​​գիտենք, որ փոխակերպումը համարժեք է, ապա ստացված հավասարումը հաստատ սկզբնական հավասարմանը կողմնակի արմատներ չի ունենա։ Եվ հետևողական հավասարմանը տանող փոխակերպումը կարող է լինել կողմնակի արմատների առաջացման պատճառ, ինչը մեզ պարտավորեցնում է ապագայում կատարել լրացուցիչ գործողություն՝ կողմնակի արմատները մաղել։ Հետևաբար, հոդվածի այս բաժնում մենք կկենտրոնանանք փոխակերպումների վրա, որոնց արդյունքում բնօրինակ հավասարման համար կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Եվ իսկապես կարևոր է, որ կարողանանք տարբերակել նման փոխակերպումները համարժեք փոխակերպումներից, որպեսզի հստակ հասկանանք, թե երբ է անհրաժեշտ զտել կողմնակի արմատները, և երբ դա անհրաժեշտ չէ:

Վերլուծենք սույն հոդվածի երկրորդ պարբերությունում տրված հավասարումների հիմնական փոխակերպումների ամբողջ ցանկը՝ փոխակերպումներ փնտրելու համար, որոնց արդյունքում կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։

• Հավասարման ձախ և աջ կողմերի արտահայտությունների փոխարինում նույնական հավասար արտահայտություններով:

Մենք ապացուցել ենք, որ այս փոխակերպումը համարժեք է, եթե դրա իրականացումը չի փոխում OD-ը: Իսկ եթե DL-ն փոխվի, ի՞նչ կլինի։ ODZ-ի նեղացումը կարող է հանգեցնել արմատների կորստի, ավելին այս մասին մենք կխոսենքհաջորդ պարբերությունում։ Իսկ ODZ-ի ընդլայնմամբ կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Սա արդարացնելը դժվար չէ։ Ներկայացնենք համապատասխան պատճառաբանությունը.

Թող C(x) արտահայտությունը լինի այնպիսին, որ այն նույնականորեն հավասար լինի A(x) արտահայտությանը, իսկ C(x)=B(x) հավասարման OD-ն ավելի լայն է, քան A(x)=B հավասարման OD-ը: (x). Ապացուցենք, որ C(x)=B(x) հավասարումը հետևանք է A(x)=B(x) հավասարման, և որ C(x)=B(x) հավասարման արմատներից կարող է լինել. լինեն արմատներ, որոնք օտար են A( x)=B(x) հավասարմանը:

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը: Ապա A(q)=B(q) իսկական թվային հավասարություն է: Քանի որ C(x)=B(x) հավասարման ODZ-ն ավելի լայն է, քան A(x)=B(x) հավասարման ODZ-ը, ապա C(x) արտահայտությունը սահմանվում է x=q-ով: Այնուհետև, հաշվի առնելով C(x) և A(x) արտահայտությունների նույնական հավասարությունը, եզրակացնում ենք, որ C(q)=A(q) . C(q)=A(q) և A(q)=B(q) հավասարություններից՝ պայմանավորված անցողական հատկությամբ, հետևում է C(q)=B(q) հավասարությունը։ Այս հավասարությունից հետևում է, որ q-ն C(x)=B(x) հավասարման արմատն է։ Սա ապացուցում է, որ նշված պայմաններում C(x)=B(x) հավասարումը հետևանք է A(x)=B(x) հավասարման:

Մնում է ապացուցել, որ C(x)=B(x) հավասարումը կարող է ունենալ A(x)=B(x) հավասարման արմատներից տարբերվող արմատներ։ Եկեք ապացուցենք, որ C(x)=B(x) հավասարման ցանկացած արմատ ODZ-ից A(x)=B(x) հավասարման համար հանդիսանում է A(x)=B(x) հավասարման արմատ: P ուղին C(x)=B(x) հավասարման արմատն է, որը պատկանում է ODZ-ին A(x)=B(x) հավասարման համար: Այնուհետև C(p)=B(p) իսկական թվային հավասարություն է: Քանի որ p-ն պատկանում է ODZ-ին A(x)=B(x) հավասարման համար, ապա A(x) արտահայտությունը սահմանվում է x=p-ի համար: Սրանից և A(x) և C(x) արտահայտությունների նույնական հավասարությունից հետևում է, որ A(p)=C(p) . A(p)=C(p) և C(p)=B(p) հավասարություններից, ելնելով անցողիկ հատկությունից, հետևում է, որ A(p)=B(p), ինչը նշանակում է, որ p-ի արմատն է. հավասարում A(x)= B(x) . Սա ապացուցում է, որ C(x)=B(x) հավասարման ցանկացած արմատ ODZ-ից A(x)=B(x) հավասարման համար հանդիսանում է A(x)=B(x) հավասարման արմատ: Այլ կերպ ասած, ODZ-ում A(x)=B(x) հավասարման համար չեն կարող լինել C(x)=B(x) հավասարման արմատներ, որոնք կողմնակի արմատներ են A(x)=B(հավասարման համար: x). Բայց պայմանի համաձայն՝ C(x)=B(x) հավասարման ODZ-ն ավելի լայն է, քան A(x)=B(x) հավասարման ODZ-ը։ Եվ սա թույլ է տալիս գոյություն ունենալ r թվի, որը պատկանում է ODZ-ին C(x)=B(x) հավասարման համար և չի պատկանում ODZ-ին A(x)=B(x) հավասարման համար, որն արմատն է։ C(x)=B(x) հավասարման: Այսինքն, C(x)=B(x) հավասարումը կարող է ունենալ արմատներ, որոնք խորթ են A(x)=B(x) հավասարմանը, և բոլորը կպատկանեն այն բազմությանը, որին ODZ-ը A հավասարման համար: (x)=B-ն երկարացվում է (x) երբ A(x) արտահայտությունը փոխարինում ենք C(x) նույնական հավասար արտահայտությամբ:

Այսպիսով, հավասարման ձախ և աջ կողմերի արտահայտությունները փոխարինելով դրանց նույնական հավասար արտահայտություններով, ինչի արդյունքում ODZ-ն ընդլայնվում է. ընդհանուր դեպքհանգեցնում է հետևողական հավասարման (այսինքն, այն կարող է հանգեցնել կողմնակի արմատների առաջացման) և միայն կոնկրետ դեպքում հանգեցնում է համարժեք հավասարման (եթե արդյունքում հավասարումը չունի սկզբնական հավասարմանը կողմնակի արմատներ):

Բերենք վերլուծված փոխակերպման իրականացման օրինակ։ Հավասարման ձախ կողմում արտահայտության փոխարինում նույնականորեն հավասար է դրան x·(x−1) արտահայտությամբ հանգեցնում է x·(x−1)=0 հավասարմանը, այս դեպքում տեղի է ունենում ODZ-ի ընդլայնում՝ դրան գումարվում է 0 թիվը։ Ստացված հավասարումն ունի երկու արմատ՝ 0 և 1, և այս արմատները սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելը ցույց է տալիս, որ 0-ը սկզբնական հավասարման կողմնակի արմատն է, իսկ 1-ը՝ սկզբնական հավասարման արմատը։ Իրոք, սկզբնական հավասարման մեջ զրոյի փոխարինումը տալիս է անիմաստ արտահայտությունը , քանի որ այն պարունակում է բաժանում զրոյի վրա, և մեկով փոխարինելը տալիս է ճիշտ թվային հավասարություն , որը նույնն է, ինչ 0=0 .

Նկատի ունեցեք, որ նմանատիպ հավասարման նման փոխակերպում հավասարման մեջ (x−1)·(x−2)=0, որի հետևանքով ՕՁ–ն նույնպես ընդլայնվում է, չի հանգեցնում կողմնակի արմատների առաջացման։ Իրոք, ստացված հավասարման երկու արմատներն էլ (x−1)·(x−2)=0 - 1 և 2 թվերը սկզբնական հավասարման արմատներն են, որը հեշտ է ստուգել՝ ստուգելով փոխարինման միջոցով: Այս օրինակներով մենք ևս մեկ անգամ ցանկացանք ընդգծել, որ հավասարման ձախ կամ աջ կողմի արտահայտությունը փոխարինելը նույնական հավասար արտահայտությամբ, որն ընդլայնում է ODZ-ը, պարտադիր չէ, որ հանգեցնի կողմնակի արմատների առաջացմանը: Բայց դա կարող է հանգեցնել նաև նրանց արտաքին տեսքին: Այսպիսով, եթե նման վերափոխում է տեղի ունեցել հավասարման լուծման գործընթացում, ապա անհրաժեշտ է ստուգում իրականացնել՝ օտար արմատները հայտնաբերելու և զտելու համար։

Ամենից հաճախ, ODZ-ի հավասարումը կարող է ընդարձակվել, և կողմնակի արմատներ կարող են հայտնվել նույն արտահայտությունների տարբերության զրոյով կամ արտահայտությունների գումարի հետ: հակառակ նշաններ, մեկ կամ մի քանի զրոյական գործակիցով արտադրատեսակների զրոյով փոխարինման, կոտորակների կրճատման և արմատների, հզորությունների, լոգարիթմների և այլնի հատկությունների կիրառման պատճառով։

• Հավասարման երկու կողմերին նույն թվի գումարում կամ հավասարման երկու կողմերից նույն թիվը հանելը:

Վերևում մենք ցույց տվեցինք, որ այս փոխակերպումը միշտ համարժեք է, այսինքն՝ հանգեցնում է համարժեք հավասարման։ Շարունակիր.

• Հավասարման երկու կողմերին նույն արտահայտությունն ավելացնելը կամ հավասարման երկու կողմերից նույն արտահայտությունը հանելը:

Նախորդ պարբերությունում մենք ավելացրեցինք պայման, որ ավելացվող կամ հանվող արտահայտության ODZ-ը չպետք է ավելի նեղ լինի, քան փոխակերպվող հավասարման ODZ-ը: Այս պայմանը խնդրո առարկա փոխակերպումը դարձրեց համարժեք: Այստեղ կան հոդվածի այս պարբերության սկզբում տրված փաստարկների նման փաստարկներ այն փաստի վերաբերյալ, որ համարժեք հավասարումը հետևողական հավասարման հատուկ դեպք է, և որ փոխակերպման համարժեքության մասին գիտելիքը գործնականում ավելի օգտակար է, քան նույնի մասին գիտելիքը: փոխակերպում, բայց այն տեսակետից, որ դա հանգեցնում է հետևողական հավասարման:

Հնարավո՞ր է հավասարման երկու կողմերից նույն արտահայտությունն ավելացնելու կամ նույն արտահայտությունը հանելու արդյունքում ստանալ այնպիսի հավասարում, որը սկզբնական հավասարման բոլոր արմատներից բացի կունենա ևս մի քանի արմատ։ Չէ, չի կարող։ Եթե ​​ավելացվող կամ հանվող արտահայտության ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը, ապա գումարման կամ հանման արդյունքում կստացվի համարժեք հավասարում: Եթե ​​ավելացվող կամ հանվող արտահայտության ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը, ապա դա կարող է հանգեցնել արմատների կորստի, այլ ոչ թե կողմնակի արմատների ի հայտ գալուն: Այս մասին ավելի շատ կխոսենք հաջորդ պարբերությունում:

• Հավասարման մի մասից մյուսը փոխանցելը հակառակ նշանով:

Հավասարման այս փոխակերպումը միշտ համարժեք է։ Ուստի անիմաստ է այն դիտարկել որպես հավասարում-հետևանքի տանող վերափոխում՝ վերը նշված պատճառներով։

• Հավասարման երկու կողմերը նույն թվով բազմապատկելը կամ բաժանելը:

Նախորդ պարբերությունում մենք ապացուցեցինք, որ եթե հավասարման երկու կողմերի բազմապատկումը կամ բաժանումն իրականացվում է ոչ զրոյական թվով, ապա սա հավասարման համարժեք փոխակերպումն է։ Հետևաբար, կրկին իմաստ չունի խոսել դրա մասին՝ որպես հետևողական հավասարման տանող փոխակերպում։

Բայց այստեղ արժե ուշադրություն դարձնել այն թվի զրոյից տարբերության վերապահմանը, որով հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվում կամ բաժանվում են։ Բաժանման համար այս կետը պարզ է տարրական դասարաններմենք դա հասկացանք Դուք չեք կարող բաժանել զրոյի. Ինչու՞ է այս դրույթը բազմապատկման համար: Եկեք մտածենք, թե ինչ է ստացվում հավասարման երկու կողմերը զրոյով բազմապատկելուց։ Պարզության համար վերցնենք կոնկրետ հավասարում, օրինակ՝ 2 x+1=x+5։ Սա գծային հավասարում է, որն ունի մեկ արմատ, որը 4 թիվն է: Գրենք այն հավասարումը, որը կստացվի այս հավասարման երկու կողմերը զրոյով բազմապատկելով՝ (2 x+1) 0=(x+5) 0։ Ակնհայտ է, որ այս հավասարման արմատը ցանկացած թիվ է, քանի որ երբ x փոփոխականի փոխարեն այս հավասարման մեջ փոխարինում եք որևէ թիվ, ստանում եք ճիշտ թվային հավասարություն 0=0: Այսինքն, մեր օրինակում հավասարման երկու կողմերը զրոյով բազմապատկելը հանգեցրել է հետևողական հավասարման, որն առաջացրել է սկզբնական հավասարման համար անսահման թվով կողմնակի արմատների տեսք։ Ավելին, հարկ է նշել, որ այս դեպքում օտար արմատները զննելու սովորական մեթոդները չեն հաղթահարում իրենց խնդիրը: Սա նշանակում է, որ կատարված փոխակերպումն անօգուտ է սկզբնական հավասարումը լուծելու համար։ Եվ սա տիպիկ իրավիճակ է դիտարկվող վերափոխման համար։ Ահա թե ինչու այնպիսի փոխակերպում, ինչպիսին է հավասարման երկու կողմերը զրոյով բազմապատկելը, չի օգտագործվում հավասարումներ լուծելու համար: Մենք դեռ պետք է նայենք այս փոխակերպմանը և այլ փոխակերպումների, որոնք չպետք է օգտագործվեն վերջին պարբերության հավասարումները լուծելու համար:

• Հավասարման երկու կողմերը միևնույն արտահայտությամբ բազմապատկելը կամ բաժանելը:

Նախորդ պարբերությունում մենք ապացուցեցինք, որ այս փոխակերպումը համարժեք է երկու պայմանի առկայության դեպքում: Հիշեցնենք նրանց. Առաջին պայմանը. այս արտահայտության OD-ը չպետք է ավելի նեղ լինի, քան սկզբնական հավասարման OD-ը: Երկրորդ պայմանը. արտահայտությունը, որով կատարվում է բազմապատկումը կամ բաժանումը, չպետք է անհետանա ODZ-ի վրա սկզբնական հավասարման համար:

Եկեք փոխենք առաջին պայմանը, այսինքն՝ կենթադրենք, որ OD արտահայտության համար, որով մենք նախատեսում ենք բազմապատկել կամ բաժանել հավասարման երկու մասերը, ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման OD-ը։ Նման փոխակերպման արդյունքում կստացվի հավասարում, որի համար ODZ-ն ավելի նեղ կլինի, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը: Նման փոխակերպումները կարող են հանգեցնել արմատների կորստի, մենք կխոսենք դրանց մասին հաջորդ պարբերությունում:

Ի՞նչ տեղի կունենա, եթե հանենք արտահայտության ոչ զրոյական արժեքների մասին երկրորդ պայմանը, որով հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվում կամ բաժանվում են ODZ-ով սկզբնական հավասարման համար:

Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով նույն արտահայտությամբ, որը վերանում է սկզբնական հավասարման համար OD-ով, կստացվի մի հավասարում, որի OD-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման OD-ը: Իրոք, թվերը դուրս կգան դրանից՝ զրոյի դարձնելով այն արտահայտությունը, որով կատարվել է բաժանումը։ Սա կարող է հանգեցնել արմատների կորստի:

Ի՞նչ կասեք հավասարման երկու կողմերը միևնույն արտահայտությամբ բազմապատկելու մասին, որն անհետանում է ODZ-ի վրա սկզբնական հավասարման համար: Կարելի է ցույց տալ, որ երբ A(x)=B(x) հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվում են C(x) արտահայտությամբ, որի համար ODZ-ը սկզբնական հավասարման համար ODZ-ից ավելի նեղ չէ, և որը անհետանում է ODZ սկզբնական հավասարման համար, ստացված հավասարումը հետևանք է, որ բացի A(x)=B(x) հավասարման բոլոր արմատներից, այն կարող է ունենալ նաև այլ արմատներ։ Եկեք դա անենք, հատկապես, որ հոդվածի այս պարբերությունը ճշգրտորեն նվիրված է հետևողական հավասարումների տանող փոխակերպումներին:

Թող C(x) արտահայտությունը լինի այնպիսին, որ դրա համար ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան ODZ-ը A(x)=B(x) հավասարման համար, և այն անհետանում է ODZ-ի վրա A(x)=B(x) հավասարման համար: ) . Փաստենք, որ այս դեպքում A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարումը A(x)=B(x) հավասարման հետևանք է:

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը: Ապա A(q)=B(q) իսկական թվային հավասարություն է: Քանի որ C(x) արտահայտության ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան ODZ-ը A(x)=B(x) հավասարման համար, ապա C(x) արտահայտությունը սահմանվում է x=q, ինչը նշանակում է, որ C(q) որոշակի թիվ է։ Ճշմարիտ թվային հավասարության երկու կողմերը բազմապատկելով ցանկացած թվով, ստացվում է իրական թվային հավասարություն, հետևաբար, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) իրական թվային հավասարություն է: Սա նշանակում է, որ q-ն A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարման արմատն է: Սա ապացուցում է, որ A(x)=B(x) հավասարման ցանկացած արմատ A(x) C(x)=B(x) C(x) հավասարման արմատն է, ինչը նշանակում է, որ A(x) հավասարումը: C (x)=B(x)·C(x) A(x)=B(x) հավասարման հետեւանք է:

Նկատի ունեցեք, որ նշված պայմաններում A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարումը կարող է ունենալ արմատներ, որոնք օտար են սկզբնական A(x)=B(x) հավասարմանը: Դրանք բոլորը թվեր են ODZ-ից սկզբնական հավասարման համար, որոնք C(x) արտահայտությունը դարձնում են զրո (բոլոր այն թվերը, որոնք C(x) արտահայտությունը դարձնում են զրո, A(x) C(x)=B հավասարման արմատներն են։ (x) C(x) , քանի որ դրանց փոխարինումը նշված հավասարման մեջ տալիս է ճիշտ թվային հավասարություն 0=0 ), բայց որոնք A(x)=B(x) հավասարման արմատներ չեն։ A(x)=B(x) և A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարումները նշված պայմաններում համարժեք կլինեն, երբ ODZ-ից բոլոր թվերը A(x) հավասարման համար: )=B (x) , որոնք վերացնում են C(x) արտահայտությունը, A(x)=B(x) հավասարման արմատներն են։

Այսպիսով, հավասարման երկու կողմերը միևնույն արտահայտությամբ բազմապատկելը, որի համար ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան սկզբնական հավասարման համար ODZ-ը, և որը վերանում է սկզբնական հավասարման համար ODZ-ով, ընդհանուր դեպքում հանգեցնում է հետևողական հավասարման. այն է, որ դա կարող է հանգեցնել օտար արմատների առաջացման:

Լուսաբանելու համար բերենք օրինակ. Վերցնենք x+3=4 հավասարումը։ Դրա միակ արմատը թիվ 1-ն է։ Եկեք այս հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք նույն արտահայտությամբ, որը վերանում է ODZ-ով սկզբնական հավասարման համար, օրինակ, x·(x−1)-ով: Այս արտահայտությունը անհետանում է x=0 և x=1 ժամանակներում: Այս արտահայտությամբ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելը մեզ տալիս է հավասարումը (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Ստացված հավասարումն ունի երկու արմատ՝ 1 և 0։ 0 թիվը կողմնակի արմատ է սկզբնական հավասարման համար, որն առաջացել է վերափոխման արդյունքում։

Փոխակերպումներ, որոնք կարող են հանգեցնել արմատների կորստի

Որոշակի պայմաններից որոշ փոխարկումներ կարող են հանգեցնել արմատների կորստի: Օրինակ, x·(x−2)=x−2 հավասարման երկու կողմերը նույն x−2 արտահայտությամբ բաժանելիս արմատը կորչում է։ Իսկապես, նման փոխակերպման արդյունքում x=1 հավասարումը ստացվում է մեկ արմատով, որը 1 թիվն է, իսկ սկզբնական հավասարումն ունի երկու արմատ՝ 1 և 2։

Պետք է հստակ հասկանալ, թե երբ են արմատները կորչում փոխակերպումների արդյունքում, որպեսզի հավասարումներ լուծելիս արմատներ չկորցնեն։ Եկեք պարզենք սա:

Այս փոխակերպումների արդյունքում արմատների կորուստը կարող է առաջանալ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե փոխակերպված հավասարման ODZ-ը պարզվի, որ ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը:

Այս պնդումն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է հիմնավորել երկու կետ. Նախ, անհրաժեշտ է ապացուցել, որ եթե հավասարման նշված փոխակերպումների արդյունքում ODZ-ը նեղացվի, ապա կարող է առաջանալ արմատների կորուստ: Եվ, երկրորդ, անհրաժեշտ է հիմնավորել, որ եթե այդ փոխակերպումների արդյունքում արմատները կորչում են, ապա ստացված հավասարման ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը։

Եթե ​​փոխակերպման արդյունքում ստացված հավասարման ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը, ապա, բնականաբար, ստացված հավասարման համար ODZ-ից դուրս գտնվող սկզբնական հավասարման ոչ մի արմատ չի կարող լինել հավասարման արմատ: վերափոխման արդյունքում ստացված. Սա նշանակում է, որ այս բոլոր արմատները կկորչեն սկզբնական հավասարումից դեպի այն հավասարումը, որի համար ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը:

Հիմա վերադարձ: Ապացուցենք, որ եթե այս փոխակերպումների արդյունքում արմատները կորչում են, ապա ստացված հավասարման ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը։ Դա կարելի է անել հակառակ մեթոդով. Այն ենթադրությունը, որ այդ փոխակերպումների արդյունքում արմատները կորչում են, բայց ՕՁ-ն չի նեղանում, հակասում է նախորդ պարբերություններում ապացուցված պնդումներին։ Իրոք, այս հայտարարություններից հետևում է, որ եթե նշված փոխակերպումները կատարելիս ODZ-ը չի նեղանում, ապա ստացվում են կամ համարժեք հավասարումներ կամ հետևողական հավասարումներ, ինչը նշանակում է, որ արմատների կորուստ չի կարող առաջանալ:

Այսպիսով, հավասարումների հիմնական փոխակերպումներ իրականացնելիս արմատների հնարավոր կորստի պատճառը ODZ-ի նեղացումն է։ Հասկանալի է, որ հավասարումներ լուծելիս պետք չէ արմատներ կորցնել։ Այստեղ, բնականաբար, հարց է առաջանում. «Ի՞նչ պետք է անենք, որպեսզի հավասարումները փոխակերպելիս արմատները չկորցնենք»։ Մենք դրան կպատասխանենք հաջորդ պարբերությունում։ Այժմ եկեք անցնենք հավասարումների հիմնական փոխակերպումների ցանկը, որպեսզի ավելի մանրամասն տեսնենք, թե որ փոխակերպումները կարող են հանգեցնել արմատների կորստի:

• Հավասարման ձախ և աջ կողմերի արտահայտությունների փոխարինում նույնական հավասար արտահայտություններով:

Եթե ​​հավասարման ձախ կամ աջ կողմի արտահայտությունը փոխարինեք նույնական հավասար արտահայտությամբ, որի OD-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման OD-ը, դա կհանգեցնի OD-ի և դրա պատճառով արմատների նեղացմանը: կարող է կորել. Ամենից հաճախ, հավասարումների ձախ կամ աջ կողմի արտահայտությունների փոխարինումը նույնական հավասար արտահայտություններով, որն իրականացվում է արմատների, հզորությունների, լոգարիթմների և որոշ հատկությունների հիման վրա: եռանկյունաչափական բանաձևեր. Օրինակ, հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը նույնական հավասար արտահայտությամբ փոխարինելը նեղացնում է ODZ-ը և հանգեցնում −16 արմատի կորստի: Նմանապես, հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը նույնական հավասար արտահայտությամբ փոխարինելը հանգեցնում է հավասարման, որի համար ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը, ինչը հանգեցնում է −3 արմատի կորստի:

• Հավասարման երկու կողմերին նույն թվի գումարում կամ հավասարման երկու կողմերից նույն թիվը հանելը:

Այս փոխակերպումը համարժեք է, հետևաբար, դրա իրականացման ընթացքում արմատները չեն կարող կորցնել:

• Հավասարման երկու կողմերին նույն արտահայտությունն ավելացնելը կամ հավասարման երկու կողմերից նույն արտահայտությունը հանելը:

Եթե ​​սկզբնական հավասարման համար ավելացնեք կամ հանեք արտահայտություն, որի OD-ն ավելի նեղ է, քան OD-ը, դա կհանգեցնի OD-ի նեղացման և, որպես հետևանք, արմատների հնարավոր կորստի: Արժե սա նկատի ունենալ: Բայց այստեղ հարկ է նշել, որ գործնականում սովորաբար անհրաժեշտ է դիմել սկզբնական հավասարման ձայնագրման մեջ առկա արտահայտություններ ավելացնելու կամ հանելու, ինչը չի հանգեցնում ODZ-ի փոփոխության և չի հանգեցնում արմատների կորստի:

• Հավասարման մի մասից մյուսը փոխանցելը հակառակ նշանով:

Հավասարման այս փոխակերպումը համարժեք է, հետևաբար դրա իրականացման արդյունքում արմատները չեն կորչում։

• Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելը կամ բաժանելը նույն թվով, բացի զրոյից:

Այս փոխակերպումը նույնպես համարժեք է, և դրա պատճառով արմատների կորուստ չի առաջանում։

• Հավասարման երկու կողմերը միևնույն արտահայտությամբ բազմապատկելը կամ բաժանելը:

Այս փոխակերպումը կարող է հանգեցնել OD-ի նեղացման երկու դեպքում. երբ OD արտահայտության համար, որով կատարվում է բազմապատկումը կամ բաժանումը, ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման OD-ը, և երբ բաժանումն իրականացվում է արտահայտությամբ, որը դառնում է. զրո OD-ի վրա սկզբնական հավասարման համար: Նկատի ունեցեք, որ գործնականում սովորաբար անհրաժեշտ չէ դիմել հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելու և բաժանելու ավելի նեղ VA արտահայտությամբ: Բայց դուք պետք է գործ ունենաք բաժանման հետ, որը սկզբնական հավասարման համար վերածվում է զրոյի: Կա մի մեթոդ, որը թույլ է տալիս հաղթահարել արմատների կորուստը նման բաժանման ժամանակ, մենք կխոսենք այս հոդվածի հաջորդ պարբերությունում:

Ինչպե՞ս խուսափել արմատների կորստից:

Եթե ​​դուք օգտագործում եք միայն փոխակերպումներ ից մինչև փոխակերպման հավասարումներ և միևնույն ժամանակ թույլ չեք տալիս նեղացնել ODZ-ը, ապա արմատների կորուստը տեղի չի ունենա:

Արդյո՞ք սա նշանակում է, որ հավասարումների այլ փոխակերպումներ չեն կարող կատարվել: Ոչ, դա չի նշանակում: Եթե ​​դուք հասկանաք հավասարման որևէ այլ փոխակերպում և ամբողջությամբ նկարագրեք այն, այսինքն՝ նշեք, երբ այն հանգեցնում է համարժեք հավասարումների, երբ՝ հետևողական հավասարումների, և երբ դա կարող է հանգեցնել արմատների կորստի, ապա այն կարող է ընդունվել:

Արդյո՞ք մենք պետք է ամբողջությամբ հրաժարվենք բարեփոխումներից, որոնք կնեղացնեն DPD-ն: Դա չպետք է անի: Չի խանգարի ձեր զինանոցում պահել փոխակերպումները, որոնցում վերջավոր թվով թվեր դուրս են գալիս ODZ-ից սկզբնական հավասարման համար: Ինչու՞ չպետք է հրաժարվել նման վերափոխումներից: Քանի որ նման դեպքերում արմատների կորստից խուսափելու մեթոդ կա։ Այն բաղկացած է ODZ-ից դուրս ընկած թվերի առանձին ստուգումից՝ տեսնելու, թե արդյոք դրանց մեջ կան սկզբնական հավասարման արմատներ: Դուք կարող եք դա ստուգել՝ փոխարինելով այս թվերը սկզբնական հավասարման մեջ: Նրանցից նրանք, որոնք փոխարինվելիս տալիս են ճիշտ թվային հավասարություն, սկզբնական հավասարման արմատներն են։ Նրանք պետք է ներառվեն պատասխանի մեջ: Նման ստուգումից հետո դուք կարող եք ապահով կերպով իրականացնել պլանավորված վերափոխումը, առանց ձեր արմատները կորցնելու վախի:

Տիպիկ փոխակերպումը, որի դեպքում ODZ-ը հավասարման համար նեղացվում է մինչև մի քանի թվեր, հավասարման երկու կողմերը բաժանելն է նույն արտահայտությամբ, որը սկզբնական հավասարման համար ODZ-ից մի քանի կետերում դառնում է զրո: Այս փոխակերպումը լուծման մեթոդի հիմքն է փոխադարձ հավասարումներ. Բայց այն օգտագործվում է նաև այլ տեսակի հավասարումներ լուծելու համար։ Օրինակ բերենք.

Հավասարումը կարելի է լուծել՝ ներմուծելով նոր փոփոխական։ Նոր փոփոխական ներմուծելու համար անհրաժեշտ է հավասարման երկու կողմերը բաժանել 1+x-ի: Բայց նման բաժանման դեպքում արմատի կորուստ կարող է առաջանալ, քանի որ չնայած 1+x արտահայտության ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը, 1+x արտահայտությունը x=−1-ում դառնում է զրո, և այս թիվը. պատկանում է ODZ-ին սկզբնական հավասարման համար: Սա նշանակում է, որ −1 արմատը կարող է կորել։ Արմատի կորուստը վերացնելու համար դուք պետք է առանձին ստուգեք՝ արդյոք −1-ը սկզբնական հավասարման արմատն է: Դա անելու համար դուք կարող եք −1-ը փոխարինել սկզբնական հավասարման մեջ և տեսնել, թե ինչ հավասարություն եք ստանում: Մեր դեպքում փոխարինումը տալիս է հավասարություն, որը նույնն է, ինչ 4=0։ Այս հավասարությունը կեղծ է, ինչը նշանակում է, որ −1-ը սկզբնական հավասարման արմատը չէ: Նման ստուգումից հետո դուք կարող եք իրականացնել հավասարման երկու կողմերի նախատեսված բաժանումը 1 + x-ով, առանց վախենալու, որ արմատների կորուստը կարող է առաջանալ:

Այս պարբերության վերջում ևս մեկ անգամ անդրադառնանք նախորդ պարբերության և. Այս հավասարումների փոխակերպումը հիմնված ինքնությունների վրա և հանգեցնում է ODZ-ի նեղացմանը, և դա հանգեցնում է արմատների կորստի: Այս պահին մենք ասացինք, որ մեր արմատները չկորցնելու համար պետք է հրաժարվել ԴԺ-ն նեղացնող բարեփոխումներից: Սա նշանակում է, որ պետք է հրաժարվել այդ վերափոխումներից։ Բայց ի՞նչ անենք։ Հնարավոր է ինքնության վրա չհիմնված փոխակերպումներ իրականացնել և , որի պատճառով ՕՁ–ն նեղանում է, իսկ ինքնությունների հիման վրա և . -ից անցման արդյունքում բնօրինակ հավասարումներև հավասարումների և ՕՁ-ի նեղացում չկա, ինչը նշանակում է, որ արմատները չեն կորչի։

Այստեղ մենք հատկապես նշում ենք, որ արտահայտությունները նույնական հավասար արտահայտություններով փոխարինելիս պետք է ուշադիր հետևել, որ արտահայտությունները ճիշտ նույնական են: Օրինակ, հավասար. անհնար է x+3 արտահայտությունը փոխարինել արտահայտությամբ՝ ձախ կողմի տեսքը պարզեցնելու համար , քանի որ x+3 և արտահայտությունները նույնական չեն, քանի որ դրանց արժեքները չեն համընկնում x+3-ում։<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Հավասարումների փոխակերպումներ, որոնք չպետք է օգտագործվեն

Այս հոդվածում նշված վերափոխումները սովորաբար բավարար են գործնական կարիքների համար: Այսինքն, դուք չպետք է անհանգստանաք որևէ այլ փոխակերպումների մասին, ավելի լավ է կենտրոնանալ արդեն իսկ ապացուցվածների ճիշտ օգտագործման վրա:

գրականություն

1. Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբ. 11-րդ դասարան. 2 ժամում Մաս 1. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար (պրոֆիլային մակարդակ) / Ա. Գ. Մորդկովիչ, Պ. Վ. Սեմենով. - 2-րդ հրատ., ջնջված: - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01027-2 ։
2. Հանրահաշիվև մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: 10-րդ դասարան՝ դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / [Յու. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; խմբագրել է A. B. Ժիժչենկո. - 3-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2010.- 368 էջ: հիվանդ.-ISBN 978-5-09-022771-1: