Տասնորդական լոգարիթմների արտադրյալ: Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո

առնչությամբ

կարող է դրվել մյուս երկու թվերից որևէ մեկը գտնելու առաջադրանք: Եթե ​​տրված են a-ն և ապա N-ը, ապա դրանք հայտնաբերվում են ըստ աստիճանի: Եթե ​​N-ը և ապա a-ն տրված են՝ վերցնելով x աստիճանի արմատը (կամ բարձրացնելով այն հզորության): Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ տրված a-ին և N-ին, մենք պետք է գտնենք x-ը:

Թող N թիվը լինի դրական՝ a թիվը լինի դրական և ոչ հավասար մեկին.

Սահմանում. N թվի լոգարիթմը a հիմքի նկատմամբ այն ցուցիչն է, որին պետք է բարձրացնել a-ը՝ N թիվը ստանալու համար; լոգարիթմը նշվում է

Այսպիսով, հավասարության մեջ (26.1) ցուցիչը գտնվում է որպես N-ի լոգարիթմ՝ a հիմքի նկատմամբ: Գրառումներ

ունեն նույն իմաստը. Հավասարությունը (26.1) երբեմն կոչվում է լոգարիթմների տեսության հիմնական նույնականացում. իրականում այն ​​արտահայտում է լոգարիթմ հասկացության սահմանումը։ Ըստ այս սահմանումը a լոգարիթմի հիմքը միշտ դրական է և տարբերվում է միասնությունից. N լոգարիթմական թիվը դրական է: Բացասական թվերն ու զրոն լոգարիթմ չունեն։ Կարելի է ապացուցել, որ տրված հիմքով ցանկացած թիվ ունի հստակ սահմանված լոգարիթմ։ Հետևաբար, հավասարությունը ենթադրում է: Նկատի ունեցեք, որ պայմանն այստեղ էական է, հակառակ դեպքում եզրակացությունը արդարացված չէր լինի, քանի որ հավասարությունը ճշմարիտ է x և y-ի ցանկացած արժեքի համար:

Օրինակ 1. Գտեք

Լուծում. Թիվ ստանալու համար դուք պետք է 2-րդ հիմքը բարձրացնեք ուժի, հետևաբար:

Նման օրինակները լուծելիս կարող եք նշումներ կատարել հետևյալ ձևով.

Օրինակ 2. Գտեք .

Լուծում. Մենք ունենք

Օրինակներ 1-ում և 2-ում մենք հեշտությամբ գտանք ցանկալի լոգարիթմը` ներկայացնելով լոգարիթմի թիվը որպես ռացիոնալ ցուցիչով բազայի հզորություն: IN ընդհանուր դեպք, օրինակ, համար և այլն, դա հնարավոր չէ անել, քանի որ լոգարիթմն ունի իռացիոնալ արժեք։ Ուշադրություն դարձնենք այս հայտարարության հետ կապված մեկ խնդրի. 12-րդ պարբերությունում մենք տվել ենք տվյալ դրական թվի ցանկացած իրական հզորության որոշման հնարավորության հայեցակարգը։ Սա անհրաժեշտ էր լոգարիթմների ներդրման համար, որոնք, ընդհանուր առմամբ, կարող են լինել իռացիոնալ թվեր։

Դիտարկենք լոգարիթմների որոշ հատկություններ:

Հատկություն 1. Եթե թիվը և հիմքը հավասար են, ապա լոգարիթմը հավասար է մեկի, և հակառակը, եթե լոգարիթմը հավասար է մեկին, ապա թիվը և հիմքը հավասար են։

Ապացույց. Թող Լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ունենք և որտեղից

Եվ հակառակը, թող Հետո ըստ սահմանման

Հատկություն 2. Մեկից ցանկացած հիմքի լոգարիթմը հավասար է զրոյի:

Ապացույց. Լոգարիթմի սահմանմամբ (ցանկացած դրական հիմքի զրոյական հզորությունը հավասար է մեկի, տես (10.1)): Այստեղից

Ք.Ե.Դ.

Ճիշտ է նաև հակառակ պնդումը. եթե , ապա N = 1: Իսկապես, մենք ունենք .

Նախքան լոգարիթմների հաջորդ հատկությունը ձևակերպելը, եկեք համաձայնենք ասել, որ երկու a և b թվեր գտնվում են երրորդ c թվի նույն կողմում, եթե երկուսն էլ մեծ են c-ից կամ փոքր են c-ից: Եթե ​​այս թվերից մեկը մեծ է c-ից, իսկ մյուսը փոքր է c-ից, ապա մենք կասենք, որ դրանք գտնվում են c-ի հակառակ կողմերում:

Հատկություն 3. Եթե թիվն ու հիմքը գտնվում են մեկի նույն կողմում, ապա լոգարիթմը դրական է. Եթե ​​թիվը և հիմքը գտնվում են մեկի հակառակ կողմերում, ապա լոգարիթմը բացասական է:

3-ի հատկության ապացույցը հիմնված է այն փաստի վրա, որ a-ի հզորությունը մեկից մեծ է, եթե հիմքը մեկից մեծ է, իսկ ցուցանիշը դրական է, կամ հիմքը մեկից փոքր է, իսկ աստիճանը բացասական է։ Հզորությունը մեկից փոքր է, եթե հիմքը մեկից մեծ է, իսկ ցուցանիշը բացասական է, կամ հիմքը մեկից փոքր է, իսկ ցուցանիշը դրական է:

Կան չորս դեպքեր, որոնք պետք է դիտարկել.

Կսահմանափակվենք դրանցից առաջինը վերլուծելով, մնացածը ընթերցողն ինքնուրույն կքննարկի։

Թող հավասարության մեջ ցուցիչը չի կարող լինել ոչ բացասական, ոչ հավասար զրոյի, հետևաբար, այն դրական է, այսինքն՝ ինչպես պահանջվում է ապացուցել:

Օրինակ 3. Պարզի՛ր, թե ստորև բերված լոգարիթմներից որոնք են դրական, որոնք՝ բացասական.

Լուծում, ա) քանի որ 15 թիվը և 12 հիմքը գտնվում են մեկի նույն կողմում.

բ) քանի որ 1000-ը և 2-ը գտնվում են միավորի մի կողմում. այս դեպքում կարևոր չէ, որ հիմքը մեծ լինի լոգարիթմական թվից.

գ) քանի որ 3.1-ը և 0.8-ը գտնվում են միասնության հակառակ կողմերում.

G) ; Ինչո՞ւ։

դ) ; Ինչո՞ւ։

Հետևյալ 4-6 հատկությունները հաճախ կոչվում են լոգարիթմավորման կանոններ. դրանք թույլ են տալիս իմանալով որոշ թվերի լոգարիթմները, գտնել դրանց արտադրյալի լոգարիթմները, դրանցից յուրաքանչյուրի քանորդը և աստիճանը։

Հատկություն 4 (արտադրանքի լոգարիթմի կանոն): Մի քանի դրական թվերի արտադրյալի լոգարիթմ ըստ այս հիմքը գումարին հավասարայս թվերի լոգարիթմները նույն հիմքի վրա:

Ապացույց. Թող տրված թվերը դրական լինեն։

Նրանց արտադրյալի լոգարիթմի համար մենք գրում ենք հավասարությունը (26.1), որը սահմանում է լոգարիթմը.

Այստեղից մենք կգտնենք

Համեմատելով առաջին և վերջին արտահայտությունների ցուցիչները՝ ստանում ենք պահանջվող հավասարությունը.

Նշենք, որ պայմանը էական է. երկուսի արտադրյալի լոգարիթմ բացասական թվերիմաստ ունի, բայց այս դեպքում մենք ստանում ենք

Ընդհանուր առմամբ, եթե մի քանի գործոնների արտադրյալը դրական է, ապա դրա լոգարիթմը հավասար է այդ գործոնների բացարձակ արժեքների լոգարիթմների գումարին:

Հատկություն 5 (քանորդների լոգարիթմներ վերցնելու կանոն). Դրական թվերի քանորդի լոգարիթմը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի լոգարիթմների տարբերությանը, վերցված նույն հիմքին: Ապացույց. Մենք հետևողականորեն գտնում ենք

Ք.Ե.Դ.

Հատկություն 6 (հզորության լոգարիթմի կանոն): Ցանկացած դրական թվի հզորության լոգարիթմը հավասար է այդ թվի լոգարիթմին՝ բազմապատկելով ցուցիչով։

Ապացույց. Եկեք նորից գրենք համարի հիմնական ինքնությունը (26.1).

Ք.Ե.Դ.

Հետևանք. Դրական թվի արմատի լոգարիթմը հավասար է արմատականի լոգարիթմին, որը բաժանվում է արմատի ցուցիչի վրա.

Այս եզրակացության վավերականությունը կարելի է ապացուցել՝ պատկերացնելով, թե ինչպես և օգտագործելով հատկությունը 6:

Օրինակ 4. Վերցրեք լոգարիթմը a-ի հիմքում.

ա) (ենթադրվում է, որ բոլոր արժեքները b, c, d, e դրական են);

բ) (ենթադրվում է, որ):

Լուծում, ա) Այս արտահայտության մեջ հարմար է գնալ կոտորակային հզորությունների.

Ելնելով (26.5)-(26.7) հավասարություններից՝ այժմ կարող ենք գրել.

Նկատում ենք, որ թվերի լոգարիթմների վրա կատարվում են ավելի պարզ գործողություններ, քան բուն թվերը՝ թվերը բազմապատկելիս գումարվում են դրանց լոգարիթմները, բաժանելիս՝ հանվում և այլն։

Այդ իսկ պատճառով լոգարիթմներն օգտագործվում են հաշվողական պրակտիկայում (տես պարագրաֆ 29):

Լոգարիթմի հակադարձ գործողությունը կոչվում է հզորացում, այն է՝ հզորացումն այն գործողությունն է, որով թիվն ինքնին հայտնաբերվում է տվյալ թվի լոգարիթմից։ Ըստ էության, հզորացումն այդպես չէ հատուկ գործողությունԴա հանգում է նրան, որ հիմքը բարձրացվի մինչև հզորություն (հավասար է թվի լոգարիթմին): «Պոտենցիացիա» տերմինը կարելի է համարել «արտահայտում» տերմինի հոմանիշը։

Հզորացնելիս պետք է օգտագործել լոգարիթմացման կանոններին հակադարձ կանոնները. լոգարիթմների գումարը փոխարինել արտադրյալի լոգարիթմով, լոգարիթմների տարբերությունը գործակիցի լոգարիթմով և այլն։ Մասնավորապես, եթե առջևում կա գործակից։ լոգարիթմի նշանի, ապա հզորացման ժամանակ այն պետք է տեղափոխվի լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող ցուցիչ աստիճանների։

Օրինակ 5. Գտե՛ք N, եթե հայտնի է, որ

Լուծում. Հզորացման նոր ձևակերպված կանոնի հետ կապված՝ մենք այս հավասարության աջ կողմում գտնվող լոգարիթմների նշանների դիմաց կանգնած 2/3 և 1/3 գործակիցները կտեղափոխենք այս լոգարիթմների նշանների տակ գտնվող ցուցիչներ. մենք ստանում ենք

Այժմ լոգարիթմների տարբերությունը փոխարինում ենք քանորդի լոգարիթմով.

Այս հավասարումների շղթայում վերջին կոտորակը ստանալու համար մենք ազատեցինք նախորդ կոտորակը հայտարարի իռացիոնալությունից (կետ 25):

Հատկություն 7. Եթե հիմքը մեկից մեծ է, ապա ավելի մեծ թիվունի ավելի մեծ լոգարիթմ (իսկ փոքր թիվն ունի ավելի փոքր), եթե հիմքը մեկից փոքր է, ապա ավելի մեծ թիվը ունի ավելի փոքր լոգարիթմ (իսկ փոքր թիվը՝ ավելի մեծ)։

Այս հատկությունը նույնպես ձևակերպված է որպես անհավասարությունների լոգարիթմներ վերցնելու կանոն, որոնց երկու կողմերը դրական են.

Մեկից մեծ հիմքի վրա անհավասարությունների լոգարիթմավորման դեպքում անհավասարության նշանը պահպանվում է, իսկ մեկից փոքր հիմքի վրա լոգարիթմավորման դեպքում անհավասարության նշանը փոխվում է հակառակի (տես նաև պարբերություն 80):

Ապացույցը հիմնված է 5-րդ և 3-րդ հատկությունների վրա: Դիտարկենք այն դեպքը, երբ Եթե , ապա և, հաշվի առնելով լոգարիթմները, մենք ստանում ենք.

(a-ն և N/M-ը գտնվում են միասնության նույն կողմում): Այստեղից

Հետևյալ դեպքում ընթերցողն ինքնուրույն կհասկանա:

Ինչպես գիտեք, արտահայտությունները հզորություններով բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները միշտ գումարվում են (a b *a c = a b+c): Այս մաթեմատիկական օրենքը ստացվել է Արքիմեդի կողմից, իսկ ավելի ուշ՝ 8-րդ դարում, մաթեմատիկոս Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցիչների աղյուսակը։ Հենց նրանք էլ ծառայեցին լոգարիթմների հետագա հայտնաբերմանը։ Այս ֆունկցիան օգտագործելու օրինակներ կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ դուք պետք է պարզեցնեք ծանր բազմապատկումը պարզ գումարման միջոցով: Եթե ​​դուք 10 րոպե ծախսեք այս հոդվածը կարդալու համար, մենք ձեզ կբացատրենք, թե ինչ են լոգարիթմները և ինչպես աշխատել դրանց հետ: Պարզ և մատչելի լեզվով։

Սահմանում մաթեմատիկայի մեջ

Լոգարիթմը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է՝ log a b=c, այսինքն՝ ցանկացած ոչ բացասական թվի (այսինքն՝ ցանկացած դրական) լոգարիթմը իր «a» հիմքի նկատմամբ համարվում է «c» հզորություն։ », որի վրա պետք է բարձրացնել «a» հիմքը, որպեսզի ի վերջո ստացվի «b» արժեքը: Օրինակներով վերլուծենք լոգարիթմը, ասենք կա արտահայտություն log 2 8. Ինչպե՞ս գտնել պատասխանը: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է այնպիսի հզորություն գտնեք, որ 2-ից մինչև պահանջվող հզորությունը ստանաք 8: Ձեր գլխում որոշ հաշվարկներ կատարելուց հետո մենք ստանում ենք 3 թիվը: Եվ դա ճիշտ է, քանի որ 2-ը 3-ի չափով պատասխան է տալիս որպես 8:

Լոգարիթմների տեսակները

Շատ աշակերտների և ուսանողների համար այս թեման բարդ և անհասկանալի է թվում, բայց իրականում լոգարիթմներն այնքան էլ սարսափելի չեն, գլխավորը հասկանալ դրանց ընդհանուր իմաստը և հիշել դրանց հատկությունները և որոշ կանոններ: Կան երեք առանձին տեսակներլոգարիթմական արտահայտություններ.

1. Բնական լոգարիթմ ln a, որտեղ հիմքը Էյլերի թիվն է (e = 2.7):
2. Տասնորդական a, որտեղ հիմքը 10 է:
3. Ցանկացած b թվի լոգարիթմ՝ a>1 հիմքի վրա:

Դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, ներառյալ պարզեցումը, կրճատումը և հետագա կրճատումը մեկ լոգարիթմի՝ օգտագործելով լոգարիթմական թեորեմներ: Լոգարիթմների ճիշտ արժեքները ստանալու համար դրանք լուծելիս պետք է հիշել դրանց հատկությունները և գործողությունների հաջորդականությունը:

Կանոններ և որոշ սահմանափակումներ

Մաթեմատիկայի մեջ կան մի քանի կանոն-սահմանափակումներ, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմ, այսինքն՝ քննարկման ենթակա չեն և ճշմարտություն են։ Օրինակ՝ թվերը հնարավոր չէ բաժանել զրոյի, և անհնար է նաև արմատից հանել նույնիսկ աստիճանբացասական թվերից։ Լոգարիթմներն ունեն նաև իրենց կանոնները, որոնց հետևելով կարող եք հեշտությամբ սովորել աշխատել նույնիսկ երկար և տարողունակ լոգարիթմական արտահայտություններով.

• «a» հիմքը միշտ պետք է լինի զրոյից մեծ և ոչ թե հավասար 1-ի, այլապես արտահայտությունը կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ «1» և «0» ցանկացած աստիճանի միշտ հավասար են իրենց արժեքներին.
• եթե a > 0, ապա a b >0, ստացվում է, որ «c»-ն նույնպես պետք է մեծ լինի զրոյից:

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

Օրինակ, առաջադրանք է տրված գտնել 10 x = 100 հավասարման պատասխանը: Սա շատ հեշտ է, դուք պետք է ընտրեք հզորություն՝ բարձրացնելով տասը թիվը, որից մենք ստանում ենք 100: Սա, իհարկե, 10 2 = է: 100.

Այժմ եկեք այս արտահայտությունը ներկայացնենք լոգարիթմական տեսքով։ Մենք ստանում ենք log 10 100 = 2: Լոգարիթմները լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում միանում են՝ գտնելու այն հզորությունը, որին անհրաժեշտ է մուտքագրել լոգարիթմի հիմքը՝ տրված թիվ ստանալու համար:

Անհայտ աստիճանի արժեքը ճշգրիտ որոշելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել աստիճանների աղյուսակի հետ: Այն կարծես այսպիսին է.

Ինչպես տեսնում եք, որոշ ցուցիչներ կարելի է ինտուիտիվ կերպով գուշակել, եթե ունեք տեխնիկական միտք և գիտելիքներ բազմապատկման աղյուսակի վերաբերյալ: Այնուամենայնիվ, ավելի մեծ արժեքների համար ձեզ հարկավոր է էլեկտրական սեղան: Այն կարող է օգտագործվել նույնիսկ նրանց կողմից, ովքեր ընդհանրապես ոչինչ չգիտեն բարդ մաթեմատիկական թեմաների մասին: Ձախ սյունակը պարունակում է թվեր (հիմք ա), թվերի վերին շարքը c հզորության արժեքն է, որին բարձրացվում է a թիվը։ Խաչմերուկում բջիջները պարունակում են թվային արժեքներ, որոնք պատասխան են (a c =b): Վերցնենք, օրինակ, 10 թվով հենց առաջին բջիջը և քառակուսի դարձնենք, ստանում ենք 100 արժեքը, որը նշված է մեր երկու բջիջների հատման կետում։ Ամեն ինչ այնքան պարզ է և հեշտ, որ նույնիսկ ամենաիսկական հումանիստը կհասկանա:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Ստացվում է, որ որոշակի պայմաններում ցուցիչը լոգարիթմն է։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություն կարող է գրվել որպես լոգարիթմական հավասարություն։ Օրինակ, 3 4 =81 կարելի է գրել որպես 81-ի 3-րդ լոգարիթմ, որը հավասար է չորսին (log 3 81 = 4): Բացասական հզորությունների համար կանոնները նույնն են՝ 2 -5 = 1/32 գրում ենք որպես լոգարիթմ, ստանում ենք log 2 (1/32) = -5։ Մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր բաժիններից մեկը «լոգարիթմների» թեման է։ Հավասարումների օրինակներն ու լուծումները կդիտարկենք ստորև՝ դրանց հատկություններն ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո։ Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեն անհավասարությունները և ինչպես դրանք տարբերել հավասարումներից:

Տրված է հետևյալ արտահայտությունը՝ log 2 (x-1) > 3 - դա լոգարիթմական անհավասարություն է, քանի որ «x» անհայտ արժեքը գտնվում է լոգարիթմական նշանի տակ։ Եվ նաև արտահայտության մեջ համեմատվում են երկու մեծություններ՝ ցանկալի թվի լոգարիթմը երկու հիմքի նկատմամբ մեծ է երեք թվից։

Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմներով հավասարումները (օրինակ, լոգարիթմը 2 x = √9) ենթադրում են մեկ կամ մի քանի կոնկրետ պատասխաններ: թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարությունը լուծելիս որոշվում են և՛ թույլատրելի արժեքների միջակայքը, և՛ այս ֆունկցիայի ընդմիջման կետերը: Արդյունքում, պատասխանը առանձին թվերի պարզ հավաքածու չէ, ինչպես հավասարման պատասխանում, այլ ավելի շուտ. շարունակական շարքկամ մի շարք թվեր:

Հիմնական թեորեմներ լոգարիթմների մասին

Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ խնդիրները լուծելիս նրա հատկությունները կարող են հայտնի չլինել: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ և գործնականում կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները։ Մենք ավելի ուշ կանդրադառնանք հավասարումների օրինակներին, նախ եկեք ավելի մանրամասն նայենք յուրաքանչյուր հատկությանը:

1. Հիմնական ինքնությունն այսպիսի տեսք ունի՝ a logaB =B: Այն կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ a-ն մեծ է 0-ից, հավասար չէ մեկին, իսկ B-ն մեծ է զրոյից:
2. Արտադրանքի լոգարիթմը կարող է ներկայացվել հետևյալ բանաձևով. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2: Այս դեպքում. նախադրյալ d, s 1 և s 2 > 0; a≠1. Այս լոգարիթմական բանաձևի համար կարող եք ապացույցներ տալ՝ օրինակներով և լուծումներով։ Եկեք log a s 1 = f 1 և log a s 2 = f 2, ապա a f1 = s 1, a f2 = s 2: Մենք ստանում ենք, որ s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (հատկություններ. աստիճաններ ), և այնուհետև ըստ սահմանման. log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ինչը պետք է ապացուցվեր:
3. Քվեորդի լոգարիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2:
4. Բանաձևի տեսքով թեորեմն ունի հետևյալ ձևը՝ log a q b n = n/q log a b.

Այս բանաձևը կոչվում է «լոգարիթմի աստիճանի հատկություն»: Այն նման է սովորական աստիճանների հատկություններին, և դա զարմանալի չէ, քանի որ բոլոր մաթեմատիկան հիմնված է բնական պոստուլատների վրա։ Եկեք նայենք ապացույցին.

Թող log a b = t, ստացվում է t =b: Եթե ​​երկու մասերն էլ բարձրացնենք մ հզորության՝ a tn = b n ;

բայց քանի որ a tn = (a q) nt/q = b n, հետևաբար log a q b n = (n*t)/t, ապա log a q b n = n/q log a b. Թեորեմն ապացուցված է.

Խնդիրների և անհավասարությունների օրինակներ

Լոգարիթմների վրա խնդիրների ամենատարածված տեսակները հավասարումների և անհավասարությունների օրինակներն են: Դրանք հանդիպում են գրեթե բոլոր պրոբլեմային գրքերում, ինչպես նաև մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասն են։ Համալսարան ընդունվելու կամ մաթեմատիկայի ընդունելության քննություններ հանձնելու համար պետք է իմանալ, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման առաջադրանքները։

Ցավոք, լուծման և որոշման մեկ ծրագիր կամ սխեմա չկա անհայտ արժեքԼոգարիթմ հասկացություն գոյություն չունի, բայց որոշակի կանոններ կարող են կիրառվել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար: Նախևառաջ պետք է պարզել, թե արդյոք արտահայտությունը կարող է պարզեցվել կամ հանգեցնել ընդհանուր տեսքը. Դուք կարող եք պարզեցնել երկար լոգարիթմական արտահայտությունները, եթե ճիշտ օգտագործեք դրանց հատկությունները: Եկեք արագ ծանոթանանք նրանց հետ:

Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս մենք պետք է որոշենք, թե ինչպիսի լոգարիթմ ունենք. օրինակ արտահայտությունը կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:

Ահա օրինակներ ln100, ln1026: Նրանց լուծումը հանգում է նրան, որ նրանք պետք է որոշեն այն հզորությունը, որով 10-րդ բազան համապատասխանաբար հավասար կլինի 100-ի և 1026-ի: Լուծումների համար բնական լոգարիթմներդուք պետք է կիրառեք լոգարիթմական ինքնությունները կամ դրանց հատկությունները: Դիտարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծման օրինակներ:

Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձևերը. օրինակներով և լուծումներով

Այսպիսով, եկեք նայենք լոգարիթմների վերաբերյալ հիմնական թեորեմների օգտագործման օրինակներին:

1. Արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը կարող է օգտագործվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է ընդլայնել մեծ նշանակություն b թվերը ավելի պարզ գործոններով: Օրինակ՝ log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Պատասխանը 9 է։
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ինչպես տեսնում եք, օգտագործելով լոգարիթմի հզորության չորրորդ հատկությունը, մեզ հաջողվեց լուծել բարդ և անլուծելի թվացող արտահայտությունը։ Պարզապես պետք է գործոնավորել հիմքը և այնուհետև լոգարիթմի նշանից հանել ցուցիչի արժեքները:

Առաջադրանքներ միասնական պետական ​​քննությունից

Լոգարիթմները հաճախ հանդիպում են ընդունելության քննություններին, հատկապես լոգարիթմական բազմաթիվ խնդիրներ միասնական պետական ​​քննության ժամանակ (պետական ​​քննություն բոլոր դպրոցների շրջանավարտների համար): Սովորաբար այս առաջադրանքները առկա են ոչ միայն A մասում (քննության ամենահեշտ թեստային մասը), այլ նաև C մասում (ամենաբարդ և ծավալուն առաջադրանքները): Քննությունը պահանջում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ և կատարյալ իմացություն:

Խնդիրների օրինակներն ու լուծումները վերցված են պաշտոնատար անձանցից Պետական ​​միասնական քննության տարբերակներ. Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։

Տրված է log 2 (2x-1) = 4. Լուծում:
եկեք վերաշարադրենք արտահայտությունը՝ մի փոքր պարզեցնելով այն log 2 (2x-1) = 2 2, լոգարիթմի սահմանմամբ մենք ստանում ենք, որ 2x-1 = 2 4, հետևաբար 2x = 17; x = 8,5:

• Լավագույնն այն է, որ բոլոր լոգարիթմները կրճատվեն նույն հիմքի վրա, որպեսզի լուծումը ծանր ու շփոթեցնող չլինի:
• Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները նշվում են որպես դրական, հետևաբար, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտության ցուցիչը հանվում է որպես բազմապատկիչ, լոգարիթմի տակ մնացած արտահայտությունը պետք է լինի դրական:

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք հարցում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտը, տվյալների վերլուծությունը և տարբեր ուսումնասիրություններմեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքին, դատական ​​ընթացակարգին, դատական ​​վարույթին համապատասխան և/կամ հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա պետական ​​մարմիններՌուսաստանի Դաշնության տարածքում - բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային առողջության այլ նպատակների համար: կարևոր դեպքեր.
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Քանի որ հասարակությունը զարգանում էր, և արտադրությունը դառնում էր ավելի բարդ, մաթեմատիկան նույնպես զարգանում էր: Շարժում պարզից բարդ: Սովորական հաշվառումից՝ օգտագործելով գումարման և հանման մեթոդը, դրանց կրկնվող կրկնությամբ մենք հասանք բազմապատկման և բաժանման հայեցակարգին։ Բազմապատկման կրկնվող գործողության կրճատումը դարձավ աստիճանի հասկացություն: Հիմքից թվերի կախվածության և հզորության թվի առաջին աղյուսակները կազմվել են դեռևս 8-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս Վարասենայի կողմից։ Դրանցից կարելի է հաշվել լոգարիթմների առաջացման ժամանակը։

Պատմական ուրվագիծ

16-րդ դարում Եվրոպայի վերածնունդը խթանեց նաև մեխանիկայի զարգացումը։ Տ պահանջվում էր մեծ քանակությամբ հաշվարկկապված բազմանիշ թվերի բազմապատկման և բաժանման հետ. Հնագույն սեղանները մեծ ծառայություն էին մատուցում։ Նրանք հնարավորություն տվեցին բարդ գործողությունները փոխարինել ավելի պարզներով՝ գումարում և հանում։ Մեծ քայլ առաջ էր մաթեմատիկոս Միքայել Շտիֆելի աշխատանքը, որը հրատարակվել է 1544 թվականին, որտեղ նա իրագործեց բազմաթիվ մաթեմատիկոսների գաղափարը։ Սա հնարավորություն տվեց օգտագործել աղյուսակները ոչ միայն պարզ թվերի տեսքով հզորությունների, այլև կամայական ռացիոնալների համար։

1614 թվականին շոտլանդացի Ջոն Նապիերը, զարգացնելով այս գաղափարները, առաջին անգամ ներկայացրեց «թվի լոգարիթմ» նոր տերմինը։ Նոր բարդ սեղաններսինուսների և կոսինուսների լոգարիթմների, ինչպես նաև շոշափողների հաշվման համար։ Սա մեծապես նվազեցրեց աստղագետների աշխատանքը:

Սկսեցին հայտնվել նոր աղյուսակներ, որոնք հաջողությամբ օգտագործվեցին գիտնականների կողմից երեք դար շարունակ։ Առաջ շատ ժամանակ անցավ նոր գործողությունհանրահաշիվում այն ​​ստացավ իր ամբողջական ձևը։ Տրվեց լոգարիթմի սահմանումը և ուսումնասիրվեցին նրա հատկությունները։

Միայն 20-րդ դարում, երբ հայտնվեցին հաշվիչը և համակարգիչը, մարդկությունը հրաժարվեց հնագույն աղյուսակներից, որոնք հաջողությամբ աշխատել էին 13-րդ դարում:

Այսօր մենք անվանում ենք b-ի լոգարիթմ՝ a-ի հիմքում x թիվը, որը a-ի հզորությունն է՝ b դարձնելու համար: Սա գրված է որպես բանաձև՝ x = log a(b):

Օրինակ, log 3(9)-ը հավասար կլինի 2-ի: Սա ակնհայտ է, եթե հետևեք սահմանմանը: Եթե ​​3-ը հասցնենք 2-ի, ապա կստանանք 9:

Այսպիսով, ձևակերպված սահմանումը սահմանում է միայն մեկ սահմանափակում՝ a և b թվերը պետք է իրական լինեն։

Լոգարիթմների տեսակները

Դասական սահմանումը կոչվում է իրական լոգարիթմ և իրականում a x = b հավասարման լուծումն է: a = 1 տարբերակը սահմանային է և չի հետաքրքրում: Ուշադրություն՝ 1-ը ցանկացած հզորության հավասար է 1-ի:

Լոգարիթմի իրական արժեքըսահմանվում է միայն այն դեպքում, երբ հիմքը և արգումենտը մեծ են 0-ից, և հիմքը չպետք է հավասար լինի 1-ի:

Հատուկ տեղ մաթեմատիկայի ոլորտումխաղալ լոգարիթմներ, որոնք կանվանվեն՝ կախված դրանց հիմքի չափից.

Կանոններ և սահմանափակումներ

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունը կանոնն է՝ արտադրյալի լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմական գումարին։ log abp = log a(b) + log a(p):

Որպես այս հայտարարության տարբերակ կլինի՝ log c(b/p) = log c(b) - log c(p), քանորդ ֆունկցիան հավասար է ֆունկցիաների տարբերությանը։

Նախորդ երկու կանոններից հեշտ է տեսնել, որ log a(b p) = p * log a(b):

Այլ հատկությունները ներառում են.

Մեկնաբանություն. Պետք չէ սովորական սխալ թույլ տալ՝ գումարի լոգարիթմը հավասար չէ լոգարիթմների գումարին։

Շատ դարեր շարունակ լոգարիթմ գտնելու գործողությունը բավականին ժամանակատար խնդիր էր։ Օգտագործել են մաթեմատիկոսները հայտնի բանաձեւԲազմանդամների ընդլայնման լոգարիթմական տեսություն.

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), որտեղ n - բնական թիվ 1-ից մեծ, որը որոշում է հաշվարկի ճշգրտությունը:

Այլ հիմքերով լոգարիթմները հաշվարկվել են՝ օգտագործելով մի հիմքից մյուսին անցնելու թեորեմը և արտադրյալի լոգարիթմի հատկությունը։

Քանի որ այս մեթոդը շատ աշխատատար է և գործնական խնդիրներ լուծելիսդժվար է իրականացնել, մենք օգտագործել ենք նախապես կազմված լոգարիթմների աղյուսակներ, որոնք զգալիորեն արագացրել են ամբողջ աշխատանքը։

Որոշ դեպքերում օգտագործվել են հատուկ նախագծված լոգարիթմային գրաֆիկներ, որոնք ավելի քիչ ճշգրտություն են տվել, բայց զգալիորեն արագացրել են որոնումը։ ցանկալի արժեք. y = log a(x) ֆունկցիայի կորը, որը կառուցված է մի քանի կետերի վրա, թույլ է տալիս օգտագործել կանոնավոր քանոն՝ ցանկացած այլ կետում ֆունկցիայի արժեքը գտնելու համար։ Ինժեներներ երկար ժամանակԱյդ նպատակների համար օգտագործվել է այսպես կոչված գրաֆիկական թուղթ։

17-րդ դարում ի հայտ եկան առաջին օժանդակ անալոգային հաշվողական պայմանները, որոնք 19 - րդ դարձեռք բերեց ավարտուն տեսք: Ամենահաջող սարքը կոչվում էր սլայդի կանոն: Չնայած սարքի պարզությանը, նրա տեսքը զգալիորեն արագացրեց բոլոր ինժեներական հաշվարկների գործընթացը, և դա դժվար է գերագնահատել: Ներկայումս քչերն են ծանոթ այս սարքին։

Հաշվիչների և համակարգիչների հայտնվելը անիմաստ դարձրեց ցանկացած այլ սարքի օգտագործումը:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Լոգարիթմների միջոցով տարբեր հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելու համար օգտագործվում են հետևյալ բանաձևերը.

• Տեղափոխվելով մի բազայից մյուսը՝ log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Նախորդ տարբերակի արդյունքում՝ log a(b) = 1 / log b(a):

Անհավասարությունները լուծելու համար օգտակար է իմանալ.

• Լոգարիթմի արժեքը դրական կլինի միայն այն դեպքում, եթե հիմքը և արգումենտը մեկից մեծ կամ փոքր են. եթե առնվազն մեկ պայման խախտվի, ապա լոգարիթմի արժեքը բացասական կլինի:
• Եթե ​​լոգարիթմի ֆունկցիան կիրառվում է անհավասարության աջ և ձախ կողմերի վրա, իսկ լոգարիթմի հիմքը մեկից մեծ է, ապա անհավասարության նշանը պահպանվում է. հակառակ դեպքում այն ​​փոխվում է:

Նմուշի խնդիրներ

Դիտարկենք լոգարիթմների և դրանց հատկությունների օգտագործման մի քանի տարբերակ: Հավասարումների լուծման օրինակներ.

Դիտարկենք լոգարիթմը հզորության մեջ դնելու տարբերակը.

• Խնդիր 3. Հաշվե՛ք 25^log 5(3): Լուծում. խնդրի պայմաններում մուտքը նման է հետևյալին (5^2)^log5(3) կամ 5^(2 * log 5(3)): Գրենք այլ կերպ՝ 5^log 5(3*2), կամ թվի քառակուսին որպես ֆունկցիայի արգումենտ կարելի է գրել որպես բուն ֆունկցիայի քառակուսի (5^log 5(3))^2։ Օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները՝ այս արտահայտությունը հավասար է 3^2։ Պատասխան՝ հաշվարկի արդյունքում ստանում ենք 9։

Գործնական օգտագործում

Լինելով զուտ մաթեմատիկական գործիք՝ այն հեռու է թվում իրական կյանքոր լոգարիթմը անսպասելիորեն մեծ նշանակություն ձեռք բերեց իրական աշխարհում առարկաները նկարագրելու համար։ Դժվար է գտնել գիտություն, որտեղ այն չի օգտագործվում։ Սա լիովին վերաբերում է ոչ միայն բնական, այլեւ հումանիտար գիտելիքի ոլորտներին։

Լոգարիթմական կախվածություններ

Ահա թվային կախվածության մի քանի օրինակ.

Մեխանիկա և ֆիզիկա

Պատմականորեն մեխանիկա և ֆիզիկան միշտ զարգացել են օգտագործելով մաթեմատիկական մեթոդներհետազոտություններ և միևնույն ժամանակ խթան հանդիսացավ մաթեմատիկայի, այդ թվում՝ լոգարիթմների զարգացման համար։ Ֆիզիկայի օրենքների մեծ մասի տեսությունը գրված է մաթեմատիկայի լեզվով։ Բերենք նկարագրության ընդամենը երկու օրինակ ֆիզիկական օրենքներօգտագործելով լոգարիթմ.

Հրթիռի արագության նման բարդ քանակի հաշվարկման խնդիրը կարելի է լուծել Ցիոլկովսկու բանաձևի միջոցով, որը հիմք դրեց տիեզերական հետազոտության տեսությանը.

V = I * ln (M1 / M2), որտեղ

• V-ն օդանավի վերջնական արագությունն է։
• I - շարժիչի հատուկ իմպուլս:
• M 1 - հրթիռի սկզբնական զանգված:
• M 2 - վերջնական զանգված:

Մեկ այլ կարևոր օրինակ- սա օգտագործվում է մեկ այլ մեծ գիտնական Մաքս Պլանկի բանաձևում, որը ծառայում է թերմոդինամիկայի հավասարակշռության վիճակը գնահատելու համար:

S = k * ln (Ω), որտեղ

• S - թերմոդինամիկական հատկություն:
• k – Բոլցմանի հաստատուն.
• Ω-ն տարբեր վիճակների վիճակագրական կշիռն է:

Քիմիա

Ավելի քիչ ակնհայտ է լոգարիթմների հարաբերակցությունը պարունակող բանաձևերի օգտագործումը քիմիայում: Բերենք ընդամենը երկու օրինակ.

• Nernst հավասարում, միջավայրի ռեդոքսային ներուժի պայմանը նյութերի ակտիվության և հավասարակշռության հաստատունի նկատմամբ։
• Այնպիսի հաստատունների հաշվարկը, ինչպիսիք են ավտոլիզի ինդեքսը և լուծույթի թթվայնությունը, նույնպես չի կարող կատարվել առանց մեր ֆունկցիայի։

Հոգեբանություն և կենսաբանություն

Եվ ամենևին էլ պարզ չէ, թե ինչ կապ ունի դրա հետ հոգեբանությունը: Պարզվում է, որ սենսացիայի ուժգնությունը լավ նկարագրվում է այս ֆունկցիայով որպես գրգռիչի ինտենսիվության արժեքի հակադարձ հարաբերակցություն ավելի ցածր ինտենսիվության արժեքին:

Վերոնշյալ օրինակներից հետո այլեւս զարմանալի չէ, որ լոգարիթմների թեման լայնորեն կիրառվում է կենսաբանության մեջ։ Ամբողջ հատորները կարելի էր գրել լոգարիթմական պարույրներին համապատասխան կենսաբանական ձևերի մասին։

Այլ ոլորտներ

Թվում է, թե աշխարհի գոյությունն անհնար է առանց այդ ֆունկցիայի հետ կապի, և այն կառավարում է բոլոր օրենքները։ Հատկապես, երբ բնության օրենքները կապված են երկրաչափական առաջընթաց. Արժե դիմել MatProfi կայքին, և կան բազմաթիվ նման օրինակներ գործունեության հետևյալ ոլորտներում.

Ցուցակը կարող է անվերջ լինել։ Այս ֆունկցիայի հիմնական սկզբունքներին տիրապետելով՝ կարող եք սուզվել անսահման իմաստության աշխարհ:

Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխակերպել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները սովորական թվեր չեն, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկությունները.

Դուք անպայման պետք է իմանաք այս կանոնները՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ լոգարիթմական խնդիր հնարավոր չէ լուծել: Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ դուք կարող եք ամեն ինչ սովորել մեկ օրում: Այսպիսով, եկեք սկսենք:

Լոգարիթմների գումարում և հանում

Դիտարկենք նույն հիմքերով երկու լոգարիթմներ ա xև մուտք ա y. Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.

1. գերան ա x+ մատյան ա y= մատյան ա (x · y);
2. գերան ա x- մատյան ա y= մատյան ա (x : y).

Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը հավասար է քանորդի լոգարիթմին։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այստեղ հիմնական կետն է նույնական հիմքեր. Եթե ​​պատճառները տարբեր են, ապա այս կանոնները չեն գործում:

Այս բանաձևերը կօգնեն ձեզ հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը հաշվի չեն առնվում (տես «Ի՞նչ է լոգարիթմը» դասը): Նայեք օրինակներին և տեսեք.

Մատյան 6 4 + մատյան 6 9.

Քանի որ լոգարիթմներն ունեն նույն հիմքերը, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 2 48 − log 2 3:

Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 3 135 − log 3 5:

Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3:

Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն հաշվարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո լրիվ նորմալ թվեր են ստացվում։ Շատերը կառուցված են այս փաստի վրա թեստային փաստաթղթեր. Այո, թեստի նման արտահայտությունները առաջարկվում են ամենայն լրջությամբ (երբեմն գրեթե առանց փոփոխության) միասնական պետական ​​քննության ժամանակ:

Լոգարիթմից ցուցիչի հանում

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։ Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքը կամ արգումենտը ուժ է: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից՝ համաձայն հետևյալ կանոնների.

Դա հեշտ է նկատել վերջին կանոնըհաջորդում է առաջին երկուսին. Բայց ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել դա, որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը:

Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե պահպանվում է լոգարիթմի ODZ. ա > 0, ա ≠ 1, x> 0. Եվ ևս մեկ բան. սովորեք կիրառել բոլոր բանաձևերը ոչ միայն ձախից աջ, այլ նաև հակառակը, այսինքն. Դուք կարող եք թվերը մուտքագրել նախքան լոգարիթմի նշանը հենց լոգարիթմի մեջ: Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 7 49 6 .

Եկեք ազատվենք փաստարկի աստիճանից՝ օգտագործելով առաջին բանաձևը.
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.

[Նկարի վերնագիր]

Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը պարունակում է լոգարիթմ, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են՝ 16 = 2 4 ; 49 = 7 2: Մենք ունենք:

[Նկարի վերնագիր]

Կարծում եմ՝ վերջին օրինակը որոշակի պարզաբանում է պահանջում։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարի հետ։ Մենք այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցինք հզորությունների տեսքով և հանեցինք ցուցիչները՝ ստացանք «եռահարկ» կոտորակ։

Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչը և հայտարարը պարունակում են նույն թիվը՝ log 2 7. Քանի որ log 2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4-ը կմնա հայտարարում: Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը եղավ պատասխանը՝ 2.

Անցում դեպի նոր հիմք

Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե պատճառները տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:

Օգնության են գալիս նոր հիմնադրամին անցնելու բանաձևերը։ Եկեք դրանք ձևակերպենք թեորեմի տեսքով.

Թող տրվի լոգարիթմի մատյան ա x. Հետո ցանկացած թվի համար գայնպիսին է, որ գ> 0 և գ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.

[Նկարի վերնագիր]

Մասնավորապես, եթե դնենք գ = x, ստանում ենք.

[Նկարի վերնագիր]

Երկրորդ բանաձևից հետևում է, որ լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը կարող են փոխանակվել, բայց այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտնվում է հայտարարի մեջ:

Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։

Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամ տեղափոխվելուց։ Եկեք նայենք դրանցից մի քանիսին.

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 5 16 log 2 25:

Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների արգումենտները պարունակում են ճշգրիտ ուժեր: Դուրս բերենք ցուցիչները՝ log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Հիմա եկեք «հակադարձենք» երկրորդ լոգարիթմը.

[Նկարի վերնագիր]

Քանի որ արտադրյալը չի ​​փոխվում գործոնները վերադասավորելիս, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, այնուհետև զբաղվեցինք լոգարիթմներով:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 9 100 lg 3.

Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք սա և ազատվենք ցուցանիշներից.

[Նկարի վերնագիր]

Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.

[Նկարի վերնագիր]

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հաճախ լուծման գործընթացում անհրաժեշտ է լինում թիվը ներկայացնել որպես լոգարիթմ տվյալ հիմքում: Այս դեպքում մեզ կօգնեն հետևյալ բանաձևերը.

Առաջին դեպքում համարը nդառնում է փաստարկի մեջ կանգնած աստիճանի ցուցիչ: Թիվ nկարող է լինել բացարձակապես ամեն ինչ, քանի որ դա պարզապես լոգարիթմի արժեք է:

Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Դա այն է, ինչ կոչվում է. հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը:

Փաստորեն, ինչ կլինի, եթե թիվը բբարձրացնել այնպիսի հզորության, որ թիվը բայս հզորությանը տալիս է թիվը ա? Ճիշտ է, դուք ստանում եք այս նույն թիվը ա. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը. շատերը խրված են դրա վրա:

Նոր բազա տեղափոխելու բանաձևերի նման, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.

[Նկարի վերնագիր]

Նկատի ունեցեք, որ log 25 64 = log 5 8 - պարզապես վերցրել է քառակուսին լոգարիթմի հիմքից և արգումենտից: Հաշվի առնելով նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելու կանոնները՝ ստանում ենք.

[Նկարի վերնագիր]

Եթե ​​որևէ մեկը չգիտի, սա իսկական առաջադրանք էր միասնական պետական ​​քննությունից :)

Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո

Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար թե կարելի է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք լոգարիթմի սահմանման հետևանք են: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, զարմանալիորեն, խնդիրներ են ստեղծում նույնիսկ «առաջադեմ» ուսանողների համար։

1. գերան ա ա= 1-ը լոգարիթմական միավոր է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը ցանկացած հիմքի վրա ահենց այս հիմքից հավասար է մեկի:
2. գերան ա 1 = 0 լոգարիթմական զրո է: Հիմք ակարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե փաստարկը պարունակում է մեկ, ապա լոգարիթմը հավասար է զրոյի: Որովհետեւ ա 0 = 1 սահմանման ուղղակի հետևանքն է:

Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում: Ներբեռնեք դասի սկզբում խաբեության թերթիկը, տպեք այն և լուծեք խնդիրները: