Սա կարող է լինել, օրինակ, հաշվիչը ծրագրերի հիմնական փաթեթից օպերացիոն համակարգ Windows. Այն գործարկելու հղումը բավականին թաքնված է ՕՀ-ի հիմնական ընտրացանկում. բացեք այն՝ սեղմելով «Սկսել» կոճակը, այնուհետև բացեք դրա «Ծրագրեր» բաժինը, անցեք «Ստանդարտ» ենթաբաժին, այնուհետև «Կոմունալ ծառայություններ»: բաժինը և, վերջապես, սեղմեք «Հաշվիչ» կետը » Մկնիկը օգտագործելու և ընտրացանկերի միջով նավարկելու փոխարեն կարող եք օգտագործել ստեղնաշարը և ծրագրի մեկնարկի երկխոսությունը. սեղմեք WIN + R ստեղնաշարի համակցությունը, մուտքագրեք calc (սա հաշվիչի գործարկվող ֆայլի անունն է) և սեղմեք Enter:
Անցեք հաշվիչի միջերեսը ընդլայնված ռեժիմի, որը թույլ է տալիս անել... Լռելյայնորեն այն բացվում է «նորմալ» տեսքով, բայց ձեզ անհրաժեշտ է «ճարտարագիտություն» կամ «» (կախված ձեր օգտագործած ՕՀ-ի տարբերակից): Ընդլայնել «Դիտել» բաժինը ցանկի մեջ և ընտրել համապատասխան տողը:
Մուտքագրեք այն փաստարկը, որի բնական արժեքը ցանկանում եք գնահատել: Դա կարելի է անել կամ ստեղնաշարից, կամ սեղմելով էկրանի վրա գտնվող հաշվիչի ինտերֆեյսի համապատասխան կոճակները:
Սեղմեք ln պիտակավորված կոճակը - ծրագիրը կհաշվարկի լոգարիթմը մինչև e-ի հիմքը և ցույց կտա արդյունքը:
Որպես արժեքի այլընտրանքային հաշվարկ օգտագործեք -հաշվիչներից մեկը բնական լոգարիթմ. Օրինակ, այն, որը գտնվում է http://calc.org.ua. Դրա ինտերֆեյսը չափազանց պարզ է. կա մեկ մուտքագրման դաշտ, որտեղ դուք պետք է մուտքագրեք թվի արժեքը, որի լոգարիթմը պետք է հաշվարկեք: Կոճակների մեջ գտեք և սեղմեք ln-ի վրա գրվածը: Այս հաշվիչի սցենարը չի պահանջում տվյալներ ուղարկել սերվեր և պատասխան, այնպես որ դուք կստանաք հաշվարկի արդյունքը գրեթե ակնթարթորեն: Միակ հատկանիշը, որը պետք է հաշվի առնել, դա կոտորակային և ամբողջ մասըՄուտքագրված համարն այստեղ պետք է ունենա կետ, ոչ թե :
Տերմին " լոգարիթմ«իջավ երկուսից Հունարեն բառեր, որոնցից մեկը նշանակում է «թիվ», իսկ մյուսը՝ «հարաբերակցություն»։ Այն նշում է փոփոխական մեծության (ցուցանիշի) հաշվարկման մաթեմատիկական գործողությունը, որին պետք է բարձրացվի հաստատուն արժեք (հիմք)՝ նշանի տակ նշված թիվը ստանալու համար։ լոգարիթմԱ. Եթե հիմքը հավասար է մաթեմատիկական հաստատունի, որը կոչվում է «e», ապա լոգարիթմկոչվում է «բնական»:
Ձեզ անհրաժեշտ կլինի
- Ինտերնետ հասանելիություն, Microsoft Office Excel կամ հաշվիչ:
Հրահանգներ
Օգտագործեք ինտերնետում առկա բազմաթիվ հաշվիչներ. սա, հավանաբար, բնական a-ն հաշվարկելու հեշտ միջոց է: Պետք չէ որոնել համապատասխան ծառայություն, քանի որ շատերը որոնման համակարգերև իրենք ունեն ներկառուցված հաշվիչներ, որոնք բավականին հարմար են հետ աշխատելու համար լոգարիթմամի. Օրինակ՝ անցեք ամենամեծ առցանց որոնման համակարգի՝ Google-ի գլխավոր էջ: Այստեղ արժեքներ մուտքագրելու կամ գործառույթներ ընտրելու կոճակներ չեն պահանջվում, պարզապես հարցման մուտքագրման դաշտում մուտքագրեք ցանկալիը: մաթեմատիկական գործողություն. Ասենք՝ հաշվարկել լոգարիթմև 457 թիվը «e» հիմքում, մուտքագրեք ln 457. սա բավարար կլինի, որպեսզի Google-ը ցուցադրի ութ տասնորդական տեղերի ճշգրտությամբ (6.12468339) նույնիսկ առանց սերվերին հարցում ուղարկելու կոճակը սեղմելու:
Օգտագործեք համապատասխան ներկառուցված ֆունկցիան, եթե անհրաժեշտ է հաշվարկել բնականի արժեքը լոգարիթմև տեղի է ունենում Microsoft Office Excel-ի հայտնի աղյուսակների խմբագրիչի տվյալների հետ աշխատելիս: Այս ֆունկցիան կոչվում է այստեղ՝ օգտագործելով ընդհանուր նշումը լոգարիթմիսկ մեծատառով՝ LN. Ընտրեք այն բջիջը, որտեղ պետք է ցուցադրվի հաշվարկի արդյունքը և մուտքագրեք հավասար նշան. այսպես այս աղյուսակի խմբագրի գրառումները պետք է սկսվեն հիմնական ցանկի «Բոլոր ծրագրերը» բաժնի «Ստանդարտ» ենթաբաժնում պարունակող բջիջներում: Անցեք հաշվիչը ավելի ֆունկցիոնալ ռեժիմի՝ սեղմելով Alt + 2: Այնուհետև մուտքագրեք արժեքը՝ բնական լոգարիթմորը ցանկանում եք հաշվարկել, և ծրագրի միջերեսում սեղմեք ln նշաններով նշված կոճակը: Հավելվածը կկատարի հաշվարկը և կցուցադրի արդյունքը։
Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ
Ամենևին էլ վատ չէ, չէ՞: Մինչ մաթեմատիկոսները բառեր են փնտրում՝ ձեզ երկար, շփոթեցնող սահմանում տալու համար, եկեք ավելի սերտ նայենք այս պարզ և պարզին:
E թիվը նշանակում է աճ
E թիվը նշանակում է շարունակական աճ: Ինչպես տեսանք նախորդ օրինակում, e x-ը թույլ է տալիս կապել տոկոսը և ժամանակը. 3 տարին 100% աճով նույնն է, ինչ 1 տարին 300%-ով, ենթադրելով «համակցված տոկոս»:
Դուք կարող եք փոխարինել ցանկացած տոկոսային և ժամանակային արժեքներ (50% 4 տարվա համար), բայց հարմարության համար ավելի լավ է տոկոսը սահմանել որպես 100% (ստացվում է 100% 2 տարվա համար): Անցնելով 100%, մենք կարող ենք կենտրոնանալ բացառապես ժամանակի բաղադրիչի վրա.
e x = e տոկոս * ժամանակ = e 1.0 * ժամանակ = e ժամանակ
Ակնհայտորեն e x նշանակում է.
- որքան կաճի իմ ներդրումը x ժամանակի միավորներից հետո (ենթադրելով 100% շարունակական աճ):
- Օրինակ, 3 ժամանակային ընդմիջումից հետո ես կստանամ e 3 = 20,08 անգամ ավելի շատ «բաներ»:
e x-ը մասշտաբային գործոն է, որը ցույց է տալիս, թե ինչ մակարդակի կհասնենք x ժամանակի ընթացքում:
Բնական լոգարիթմը նշանակում է ժամանակ
Բնական լոգարիթմը e-ի հակադարձությունն է, հակառակի շքեղ տերմին: Խոսելով տարօրինակությունների մասին; լատիներեն այն կոչվում է logarithmus naturali, այստեղից էլ՝ ln հապավումը։
Իսկ ի՞նչ է նշանակում այս շրջադարձը կամ հակառակը։
- e x-ը մեզ թույլ է տալիս փոխարինել ժամանակը և ստանալ աճ:
- ln(x)-ը մեզ թույլ է տալիս վերցնել աճը կամ եկամուտը և պարզել, թե որքան ժամանակ է պահանջվում այն ստեղծելու համար:
Օրինակ:
- e 3 հավասար է 20.08. Երեք ժամանակահատվածից հետո մենք կունենանք 20,08 անգամ ավելի, քան սկսել ենք։
- ln(08/20) կլինի մոտավորապես 3: Եթե դուք հետաքրքրված եք 20.08 անգամ աճով, ապա ձեզ անհրաժեշտ կլինի 3 ժամանակաշրջան (կրկին, ենթադրելով 100% շարունակական աճ):
Դեռ կարդո՞ւմ եք: Բնական լոգարիթմը ցույց է տալիս ցանկալի մակարդակին հասնելու համար անհրաժեշտ ժամանակը:
Այս ոչ ստանդարտ լոգարիթմական հաշվարկը
Դուք անցել եք լոգարիթմների միջով, նրանք տարօրինակ արարածներ են: Ինչպե՞ս են նրանց հաջողվել բազմապատկումը վերածել գումարման։ Ինչ վերաբերում է բաժանմանը հանման: Եկեք նայենք:
Ինչի՞ է հավասար ln(1): Ինտուիտիվորեն հարցն այն է, որ ինչքա՞ն պետք է սպասեմ, որպեսզի ստանամ 1 անգամ ավելին, քան ունեմ:
Զրո. Զրո. Ընդհանրապես. Դուք արդեն մեկ անգամ ունեք: Շատ ժամանակ չի պահանջվում 1-ին մակարդակից 1-ին մակարդակ անցնելու համար:
- ln(1) = 0
Լավ, իսկ կոտորակային արժեքը: Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի, որպեսզի մեզ մնա առկա քանակի 1/2-ը։ Մենք գիտենք, որ 100% շարունակական աճի դեպքում ln(2) նշանակում է կրկնապատկելու համար պահանջվող ժամանակը: Եթե մենք եկեք հետ տանենք ժամանակը(այսինքն՝ սպասել բացասական քանակությամբ ժամանակ), ապա մենք կստանանք ունեցածի կեսը։
- ln (1/2) = -ln (2) = -0,693
Տրամաբանական, չէ՞: Եթե հետ գնանք (ժամանակը հետ) մինչև 0,693 վայրկյան, ապա կգտնենք հասանելի գումարի կեսը: Ընդհանուր առմամբ, դուք կարող եք շրջել կոտորակը և վերցնել բացասական արժեք՝ ln(1/3) = -ln(3) = -1.09: Սա նշանակում է, որ եթե մենք հետ գնանք ժամանակը մինչև 1.09 անգամ, ապա կգտնենք ընթացիկ թվի միայն մեկ երրորդը:
Լավ, իսկ բացասական թվի լոգարիթմը: Որքա՞ն ժամանակ է պահանջվում բակտերիաների գաղութը 1-ից -3 «աճեցնելու համար»:
Սա անհնար է! Դուք չեք կարող բացասական բակտերիաների քանակություն ստանալ, չէ՞: Դուք կարող եք ստանալ առավելագույնը (է... նվազագույն) զրոյի, բայց ոչ մի կերպ չեք կարող բացասական թիվ ստանալ այս փոքրիկ կենդանիներից: IN բացասական թիվբակտերիաները պարզապես իմաստ չունեն:
- ln (բացասական թիվ) = չսահմանված
«Չսահմանված» նշանակում է, որ ժամանակ չկա, որը պետք է սպասել բացասական արժեք ստանալու համար:
Լոգարիթմական բազմապատկումը պարզապես զվարճալի է
Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի քառապատիկ աճելու համար: Իհարկե, դուք կարող եք պարզապես վերցնել ln(4): Բայց սա չափազանց պարզ է, մենք կգնանք այլ ճանապարհով:
Դուք կարող եք մտածել քառակի աճի մասին որպես կրկնապատկում (պահանջում է ln(2) ժամանակի միավոր), իսկ հետո նորից կրկնապատկում (պահանջում է ևս ln(2) ժամանակի միավոր):
- 4 անգամ աճելու ժամանակը = ln(4) = կրկնապատկվելու և նորից կրկնապատկվելու ժամանակ = ln(2) + ln(2)
Հետաքրքիր է. Աճի ցանկացած տեմպ, ասենք 20-ը, կարելի է կրկնապատկել 10 անգամ աճից անմիջապես հետո: Կամ աճը 4 անգամ, իսկ հետո՝ 5 անգամ։ Կամ եռապատկվելով, իսկ հետո ավելանալով 6,666 անգամ: Տեսնո՞ւմ եք նախշը:
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
A-ի լոգարիթմը B անգամ է log(A) + log(B): Այս հարաբերությունները անմիջապես իմաստ են ստանում, երբ դիտարկվում են աճի տեսանկյունից:
Եթե դուք հետաքրքրված եք 30 անգամ աճով, կարող եք սպասել ln(30) մեկ նստաշրջանում կամ սպասել ln(3) եռապատկման, իսկ հետո ևս ln(10) 10x-ի համար: Վերջնական արդյունքը նույնն է, ուստի, իհարկե, ժամանակը պետք է մնա հաստատուն (և մնում է):
Ինչ վերաբերում է բաժանմանը: Կոնկրետ ln(5/3) նշանակում է՝ որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի 5 անգամ աճելու համար, իսկ հետո դրա 1/3-ը ստանալու համար:
Մեծ, 5 անգամ աճը ln(5): 1/3 անգամ ավելացումը կպահանջի -ln(3) միավոր ժամանակ: Այսպիսով,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Սա նշանակում է՝ թող այն աճի 5 անգամ, իսկ հետո «վերադարձեք ժամանակի մեջ» մինչև այն կետը, որտեղ մնա այդ քանակի միայն մեկ երրորդը, և դուք կստանաք 5/3 աճ: Ընդհանուր առմամբ ստացվում է
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Հուսով եմ, որ լոգարիթմների տարօրինակ թվաբանությունը սկսում է իմաստավորվել ձեզ համար. աճի տեմպերը բազմապատկելը դառնում է աճի ժամանակի միավորներ ավելացնելը, իսկ բաժանումը դառնում է ժամանակի միավորների հանում: Կարիք չկա անգիր անել կանոնները, փորձեք հասկանալ դրանք:
Օգտագործելով բնական լոգարիթմը կամայական աճի համար
Դե, իհարկե,- ասում եք դուք,- այս ամենը լավ է, եթե աճը 100% է, բայց ի՞նչ կասեք այն 5%-ի մասին, որը ես ստանում եմ:
Ոչ մի խնդիր. «Ժամանակը», որը մենք հաշվարկում ենք ln()-ով, իրականում տոկոսադրույքի և ժամանակի համակցություն է, նույն X-ը e x հավասարումից: Պարզության համար մենք պարզապես որոշեցինք տոկոսը սահմանել 100%, բայց մենք ազատ ենք օգտագործել ցանկացած թվեր:
Ենթադրենք, մենք ցանկանում ենք հասնել 30 անգամ աճի. վերցրեք ln(30) և ստացեք 3.4 Սա նշանակում է.
- e x = բարձրություն
- e 3.4 = 30
Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը նշանակում է «100% վերադարձը 3.4 տարվա ընթացքում տալիս է 30 անգամ աճ»: Այս հավասարումը կարող ենք գրել հետևյալ կերպ.
- e x = e դրույքաչափ * ժամանակ
- e 100% * 3,4 տարի = 30
Մենք կարող ենք փոխել «խաղադրույքի» և «ժամանակի» արժեքները, քանի դեռ խաղադրույքը * ժամանակը մնում է 3.4: Օրինակ, եթե մենք շահագրգռված ենք 30 անգամ աճով, ապա ինչքա՞ն պետք է սպասենք 5% տոկոսադրույքով:
- ln (30) = 3.4
- փոխարժեքը * ժամանակ = 3.4
- 0,05 * ժամանակ = 3,4
- ժամանակ = 3,4 / 0,05 = 68 տարի
Ես պատճառաբանում եմ այսպես. «ln(30) = 3.4, ուստի 100% աճի դեպքում կպահանջվի 3.4 տարի: Եթե կրկնապատկեմ աճի տեմպերը, ապա պահանջվող ժամանակը կկրճատվի երկու անգամ»:
- 100% 3,4 տարվա ընթացքում = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200% 1,7 տարում = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 50% 6,8 տարվա համար = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 5% ավելի քան 68 տարի = .05 * 68 = 3.4:
Հիանալի, ճիշտ է: Բնական լոգարիթմը կարող է օգտագործվել ցանկացած տոկոսադրույքով և ժամանակով, քանի որ դրանց արտադրանքը մնում է հաստատուն: Դուք կարող եք փոփոխական արժեքներ տեղափոխել այնքան, որքան ցանկանում եք:
Թույն օրինակ. Յոթանասուներկու կանոն
Յոթանասուներկու կանոնը մաթեմատիկական տեխնիկա է, որը թույլ է տալիս գնահատել, թե որքան ժամանակ կպահանջվի, որպեսզի ձեր գումարը կրկնապատկվի: Այժմ մենք եզրակացություն կանենք (այո), և ավելին, կփորձենք հասկանալ դրա էությունը։
Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի կրկնապատկելու ձեր գումարը տարեկան 100% տոկոսադրույքով:
Վա՜յ։ Շարունակական աճի դեպքի համար օգտագործեցինք բնական լոգարիթմը, իսկ հիմա դուք տարեկան միացությունների մասին եք խոսում։ Այս բանաձեւը նման դեպքի համար ոչ պիտանի չի՞ դառնա։ Այո, դա կլինի, բայց իրական տոկոսադրույքների համար, ինչպիսիք են 5%, 6% կամ նույնիսկ 15%, տարբերությունը տարեկան բարդացման և շարունակական աճի միջև փոքր կլինի: Այսպիսով, կոպիտ գնահատումը աշխատում է, հըմ, մոտավորապես, այնպես որ մենք կձևացնենք, որ ունենք ամբողջովին շարունակական հաշվեգրում:
Այժմ հարցը պարզ է. Որքա՞ն արագ կարող եք կրկնապատկել 100% աճով: ln (2) = 0,693: Մեր գումարը կրկնապատկելու համար պահանջվում է 0,693 միավոր ժամանակ (մեր դեպքում տարիներ) 100% շարունակական աճով:
Ուրեմն, իսկ եթե տոկոսադրույքը 100% չէ, այլ ասենք 5% կամ 10%:
Հեշտությամբ! Քանի որ խաղադրույքը * ժամանակ = 0,693, մենք կկրկնապատկենք գումարը.
- փոխարժեքը * ժամանակ = 0,693
- ժամանակ = 0,693 / խաղադրույք
Ստացվում է, որ եթե աճը լինի 10%, ապա կրկնապատկվելու համար կպահանջվի 0,693 / 0,10 = 6,93 տարի։
Հաշվարկները պարզեցնելու համար եկեք երկու կողմերը բազմապատկենք 100-ով, այնուհետև կարող ենք ասել «10», այլ ոչ թե «0.10».
- կրկնապատկելու ժամանակը = 69,3 / խաղադրույք, որտեղ խաղադրույքն արտահայտվում է որպես տոկոս:
Այժմ ժամանակն է կրկնապատկել 5%, 69,3 / 5 = 13,86 տարի: Սակայն 69,3-ը ամենահարմար դիվիդենտը չէ։ Ընտրենք փակ թիվ՝ 72, որը հարմար է բաժանել 2, 3, 4, 6, 8 և այլ թվերի։
- կրկնապատկելու ժամանակը = 72 / խաղադրույք
որը յոթանասուն երկուսի կանոնն է։ Ամեն ինչ ծածկված է։
Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է ժամանակ գտնել եռապատկելու համար, կարող եք օգտագործել ln(3) ~ 109.8 և ստանալ
- եռապատկելու ժամանակը = 110 / խաղադրույք
Ինչ է ուրիշը օգտակար կանոն. «72-ի կանոնը» վերաբերում է տոկոսադրույքների աճին, բնակչության աճին, բակտերիաների կուլտուրաներին և այն ամենին, ինչ աճում է էքսպոնենցիալ:
Ի՞նչ է հաջորդը:
Հուսանք, որ բնական լոգարիթմն այժմ իմաստ ունի ձեզ համար. այն ցույց է տալիս, թե որքան ժամանակ է պահանջվում ցանկացած թվի երկրաչափական աճի համար: Կարծում եմ, որ այն կոչվում է բնական, քանի որ e-ն աճի համընդհանուր չափանիշ է, ուստի ln-ը կարելի է համարել համընդհանուր միջոց՝ որոշելու, թե որքան ժամանակ է պահանջվում աճի համար:
Ամեն անգամ, երբ տեսնում եք ln(x), հիշեք «ժամանակը, որ անհրաժեշտ է X անգամ աճելու համար»: Առաջիկա հոդվածում ես կնկարագրեմ e-ն և ln-ը միասին, որպեսզի մաթեմատիկայի թարմ բույրը լցնի օդը:
Հավելված՝ էլ. բնական լոգարիթմ
Արագ վիկտորինան. ինչ է ln(e):
- մաթեմատիկական ռոբոտը կասի. քանի որ դրանք սահմանվում են որպես միմյանց հակադարձ, ակնհայտ է, որ ln(e) = 1:
- հասկացող անձ. ln(e)-ն այն անգամների թիվն է, որ անհրաժեշտ է «e» անգամ մեծացնելու համար (մոտ 2,718): Այնուամենայնիվ, e թիվը ինքնին 1 գործակցով աճի չափանիշ է, ուստի ln(e) = 1:
Մտածեք հստակ.
9 սեպտեմբերի, 2013 թհաճախ վերցնում են թվեր ե = 2,718281828 . Լոգարիթմներ ըստ այս հիմքըկոչվում են բնական. Բնական լոգարիթմներով հաշվարկներ կատարելիս սովորական է գործել նշանով լn, բայց չէ գերան; մինչդեռ համարը 2,718281828 , հիմք սահմանող, նշված չեն։
Այլ կերպ ասած, ձևակերպումը կունենա հետևյալ տեսքը. բնական լոգարիթմթվեր X- սա ցուցիչ է, որին պետք է բարձրացվի թիվը ե, Ստանալ x.
Այսպիսով, ln (7,389...)= 2, քանի որ ե 2 =7,389... . Թվի բնական լոգարիթմը ե= 1 քանի որ ե 1 =ե, իսկ միասնության բնական լոգարիթմը զրո է, քանի որ ե 0 = 1.
Թիվն ինքնին եսահմանում է միապաղաղ սահմանափակ հաջորդականության սահմանը
հաշվարկել է, որ ե = 2,7182818284... .
Շատ հաճախ, հիշողության մեջ թիվ ֆիքսելու համար, անհրաժեշտ թվի թվանշանները կապված են որոշ չմարված ամսաթվի հետ: Թվի առաջին ինը թվանշանները մտապահելու արագությունը ետասնորդական կետից հետո կավելանա, եթե նկատեք, որ 1828 թվականը Լև Տոլստոյի ծննդյան տարին է:
Այսօր բավական են ամբողջական սեղաններբնական լոգարիթմներ.
Բնական լոգարիթմի գրաֆիկ(գործառույթներ y =n x) հետևանք է այն բանի, որ ցուցիչի գրաֆիկը ուղիղ գծի հայելային պատկեր է y = xև ունի ձև.
Բնական լոգարիթմը կարելի է գտնել յուրաքանչյուր դրական իրական թվի համար աորպես կորի տակ գտնվող տարածք y = 1/x-ից 1 նախքան ա.
Այս ձևակերպման տարրական բնույթը, որը համահունչ է բազմաթիվ այլ բանաձևերի, որոնցում ներգրավված է բնական լոգարիթմը, պատճառ է դարձել «բնական» անվանման ձևավորմանը:
Եթե վերլուծես բնական լոգարիթմ, որպես իրական փոփոխականի իրական ֆունկցիա, ապա այն գործում է հակադարձ ֆունկցիաէքսպոնենցիալ ֆունկցիայի, որը վերածվում է նույնականությունների՝
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Բոլոր լոգարիթմների անալոգիայով բնական լոգարիթմը բազմապատկումը վերածում է գումարման, բաժանումը հանման.
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - ինյ
Լոգարիթմը կարելի է գտնել յուրաքանչյուր դրական հիմքի համար, որը հավասար չէ մեկի, ոչ միայն համարի ե, բայց այլ հիմքերի լոգարիթմները բնական լոգարիթմից տարբերվում են միայն հաստատուն գործակցով և սովորաբար սահմանվում են բնական լոգարիթմի առումով։
Վերլուծելով բնական լոգարիթմի գրաֆիկ,մենք գտնում ենք, որ այն գոյություն ունի փոփոխականի դրական արժեքների համար x. Այն միապաղաղ աճում է իր սահմանման տիրույթում:
ժամը x → 0 բնական լոգարիթմի սահմանը մինուս անսահմանությունն է ( -∞ ) ժ x → +∞ բնական լոգարիթմի սահմանը գումարած անսահմանություն է ( + ∞ ) Ազատության մեջ xԼոգարիթմը բավականին դանդաղ է աճում։ Ցանկացած ուժային ֆունկցիա xaդրական ցուցիչով աաճում է ավելի արագ, քան լոգարիթմը: Բնական լոգարիթմը միապաղաղ աճող ֆունկցիա է, ուստի այն չունի ծայրահեղություններ:
Օգտագործումը բնական լոգարիթմներշատ ռացիոնալ բարձրագույն մաթեմատիկա անցնելիս: Այսպիսով, լոգարիթմի օգտագործումը հարմար է այն հավասարումների պատասխանը գտնելու համար, որոնցում անհայտները հայտնվում են որպես ցուցիչներ։ Հաշվարկներում բնական լոգարիթմների օգտագործումը հնարավորություն է տալիս զգալիորեն պարզեցնել մեծ թվով մաթեմատիկական բանաձևեր. Լոգարիթմներ դեպի հիմք ե առկա են զգալի թվով ֆիզիկական խնդիրների լուծման ժամանակ և բնականաբար ներառված են առանձին քիմիական, կենսաբանական և այլ գործընթացների մաթեմատիկական նկարագրության մեջ։ Այսպիսով, լոգարիթմները օգտագործվում են քայքայման հաստատունը հաշվարկելու հայտնի կիսամյակի համար կամ հաշվարկելու քայքայման ժամանակը ռադիոակտիվության խնդիրները լուծելու համար: Նրանք ելույթ են ունենում առաջատար դերմաթեմատիկայի և պրակտիկ գիտությունների շատ ճյուղերում դրանք օգտագործվում են ֆինանսների ոլորտում մեծ թվով խնդիրներ լուծելու համար, այդ թվում՝ բաղադրյալ տոկոսների հաշվարկում։
ԼոգարիթմՏրված թվի ցուցիչը կոչվում է այն ցուցիչը, որին պետք է բարձրացվի մեկ այլ թիվ, կանչվի հիմքլոգարիթմ՝ այս թիվը ստանալու համար: Օրինակ, 100-ի բազային 10 լոգարիթմը 2-ն է: Այլ կերպ ասած, 10-ը պետք է քառակուսի դրվի 100 ստանալու համար (10 2 = 100): Եթե n- տրված թիվ, բ– հիմք և լ– լոգարիթմ, ուրեմն b l = n. Թիվ nկոչվում է նաև բազային հակալոգարիթմ բթվեր լ. Օրինակ, 2-ից 10-ի հիմքի հակալոգարիթմը հավասար է 100-ի: Սա կարելի է գրել հարաբերությունների լոգարի տեսքով: b n = լեւ հակալոգ բ լ = n.
Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները.
Մեկից բացի ցանկացած այլ դրական թիվ կարող է հիմք ծառայել լոգարիթմների համար, բայց, ցավոք, պարզվում է, որ եթե. բԵվ nռացիոնալ թվեր են, ապա հազվադեպ դեպքերում կա այդպիսի ռացիոնալ թիվ լ, Ինչ b l = n. Այնուամենայնիվ, կարելի է սահմանել իռացիոնալ թիվ լՕրինակ, այնպես, որ 10 լ= 2; սա իռացիոնալ թիվ է լկարող է մոտավորվել ցանկացած պահանջվող ճշգրտությամբ ռացիոնալ թվեր. Ստացվում է, որ բերված օրինակում լմոտավորապես հավասար է 0,3010-ի, և 2-ի 10-ի բազային լոգարիթմի այս մոտարկումը կարելի է գտնել տասնորդական լոգարիթմների քառանիշ աղյուսակներում: 10 հիմքի լոգարիթմները (կամ բազային 10 լոգարիթմները) այնքան հաճախ օգտագործվում են հաշվարկներում, որ կոչվում են. սովորականլոգարիթմներ և գրվում են որպես log2 = 0,3010 կամ log2 = 0,3010՝ բաց թողնելով լոգարիթմի հիմքի հստակ նշումը: Լոգարիթմներ դեպի հիմք ե, տրանսցենդենտալ թիվը մոտավորապես հավասար է 2,71828-ին, կոչվում են բնականլոգարիթմներ. Հանդիպում են հիմնականում աշխատություններում մաթեմատիկական վերլուծությունև դրա կիրառությունները տարբեր գիտությունների մեջ: Բնական լոգարիթմները նույնպես գրվում են առանց հիմքը հստակ նշելու, բայց օգտագործելով հատուկ ln նշումը. օրինակ՝ ln2 = 0,6931, քանի որ ե 0,6931 = 2.
Սովորական լոգարիթմների աղյուսակների օգտագործումը:
Թվի կանոնավոր լոգարիթմը այն ցուցիչն է, որին պետք է բարձրացնել 10-ը՝ տրված թիվ ստանալու համար: Քանի որ 10 0 = 1, 10 1 = 10 և 10 2 = 100, մենք անմիջապես ստանում ենք, որ log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 և այլն: ամբողջ թվերի հզորությունների մեծացման համար 10. Նմանապես, 10 –1 = 0.1, 10 –2 = 0.01 և հետևաբար log0.1 = –1, log0.01 = –2 և այլն: բոլոր բացասական ամբողջ թվերի համար 10. Մնացած թվերի սովորական լոգարիթմները պարփակված են 10-ի մոտակա ամբողջ թվերի լոգարիթմների միջև. log2-ը պետք է լինի 0-ի և 1-ի միջև, log20-ը պետք է լինի 1-ի և 2-ի միջև, իսկ log0.2-ը պետք է լինի -1-ի և 0-ի միջև: Այսպիսով, լոգարիթմը բաղկացած է երկու մասից՝ ամբողջ թվից և տասնորդական, պարփակված 0-ի և 1-ի միջև: Ամբողջական մասը կոչվում է բնորոշիչլոգարիթմ և որոշվում է հենց թվով, մասկանչեց մանտիսաև կարելի է գտնել աղյուսակներից: Նաև log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1: 2-ի լոգարիթմը 0,3010 է, հետևաբար log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010: Նմանապես log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. հանելուց հետո ստանում ենք log0.2 = – 0.6990: Այնուամենայնիվ, ավելի հարմար է log0.2-ը ներկայացնել որպես 0.3010 – 1 կամ որպես 9.3010 – 10; կարող է ձեւակերպվել եւ ընդհանուր կանոնԲոլոր թվերը, որոնք ստացվում են տրված թվից 10-ի հզորությամբ բազմապատկելով, ունեն նույն մանտիսը, որը հավասար է տվյալ թվի մանտիսին: Աղյուսակների մեծամասնությունը ցույց է տալիս 1-ից 10-ի միջակայքում գտնվող թվերի մանտիսաները, քանի որ մնացած բոլոր թվերի մանտիսաները կարելի է ստանալ աղյուսակում տրվածներից:
Աղյուսակներից շատերը տալիս են չորս կամ հինգ տասնորդական թվերով լոգարիթմներ, չնայած կան յոթանիշ աղյուսակներ և նույնիսկ ավելի շատ տասնորդական թվեր ունեցող աղյուսակներ: Նման աղյուսակները սովորելու ամենահեշտ ձևը օրինակներն են: log3.59-ը գտնելու համար նախ նշում ենք, որ 3.59 թիվը գտնվում է 10 0-ի և 10 1-ի միջև, հետևաբար դրա բնութագիրը 0 է: Աղյուսակում գտնում ենք 35 թիվը (ձախ կողմում) և տողով շարժվում ենք դեպի սյունակ, որն ունի 9 համարը վերևում; այս սյունակի և 35-րդ տողի խաչմերուկը 5551 է, ուստի log3.59 = 0.5551: Գտնել չորսով թվի մանտիսան նշանակալի թվեր, անհրաժեշտ է դիմել ինտերպոլացիայի։ Որոշ աղյուսակներում ինտերպոլացիային նպաստում են աղյուսակների յուրաքանչյուր էջի աջ կողմի վերջին ինը սյունակներում տրված համամասնությունները: Եկեք հիմա գտնենք log736.4; 736.4 թիվը գտնվում է 10 2-ի և 10 3-ի միջև, հետևաբար նրա լոգարիթմի բնութագիրը 2-ն է: Աղյուսակում մենք գտնում ենք մի տող, որից ձախ 73-ը և 6-րդ սյունակը: Այս տողի և այս սյունակի հատման կետում կա. թիվը 8669. Ի թիվս գծային մասերմենք գտնում ենք 4-րդ սյունակը: 73-րդ տողի և 4-րդ սյունակի հատման կետում կա 2-րդ թիվը: 8669-ին 2 գումարելով ստանում ենք մանտիսա - այն հավասար է 8671-ի: Այսպիսով, log736.4 = 2.8671:
Բնական լոգարիթմներ.
Բնական լոգարիթմների աղյուսակներն ու հատկությունները նման են սովորական լոգարիթմների աղյուսակներին և հատկություններին։ Երկուսի միջև հիմնական տարբերությունն այն է, որ բնական լոգարիթմի ամբողջական մասը նշանակալի չէ տասնորդական կետի դիրքը որոշելիս, և, հետևաբար, մանտիսայի և բնութագրիչի միջև տարբերությունը հատուկ դեր չի խաղում: 5.432 թվերի բնական լոգարիթմներ; 54.32-ը և 543.2-ը համապատասխանաբար հավասար են 1.6923-ի; 3.9949 և 6.2975: Այս լոգարիթմների միջև կապը ակնհայտ կդառնա, եթե հաշվի առնենք նրանց միջև եղած տարբերությունները. log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; վերջին համարըոչ այլ ինչ է, քան 10 թվի բնական լոգարիթմը (գրված է այսպես. ln10); log543.2 – log5.432 = 4.6052; վերջին թիվը 2ln10 է։ Բայց 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432: Այսպիսով, տրված թվի բնական լոգարիթմով ակարող եք գտնել թվերի բնական լոգարիթմները, որոնք հավասար են թվի արտադրյալներին ացանկացած աստիճանի համար n 10 համարները, եթե մինչև ln աավելացնել ln10 բազմապատկած n, այսինքն. ln( աґ10n) = գերան ա + n ln10 = ln ա + 2,3026n. Օրինակ՝ ln0.005432 = ln(5.432ґ10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3ґ2.3026) = – 5.2155: Հետևաբար, բնական լոգարիթմների աղյուսակները, ինչպես սովորական լոգարիթմների աղյուսակները, սովորաբար պարունակում են միայն 1-ից 10 թվերի լոգարիթմներ: Բնական լոգարիթմների համակարգում կարելի է խոսել հակալոգարիթմների մասին, բայց ավելի հաճախ խոսում են էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի կամ ցուցիչի մասին: Եթե x= մատյան y, Դա y = e x, Եվ yկոչվում է ցուցիչ x(տպագրական հարմարության համար նրանք հաճախ գրում են y= ժամկետ x) Ցուցանիշը կատարում է թվի հակալոգարիթմի դերը x.
Օգտագործելով տասնորդական և բնական լոգարիթմների աղյուսակները, կարող եք ստեղծել լոգարիթմների աղյուսակներ ցանկացած հիմքով, բացի 10-ից և ե. Եթե գրանցամատյան բ ա = x, Դա b x = ա, և հետևաբար գրանցվեք c b x= մատյան գ ակամ xգերան գ բ= մատյան գ ա, կամ x= մատյան գ ա/log գ բ= մատյան բ ա. Հետևաբար, օգտագործելով այս հակադարձման բանաձևը բազային լոգարիթմի աղյուսակից գԴուք կարող եք կառուցել լոգարիթմների աղյուսակներ ցանկացած այլ հիմքում բ. Բազմապատկիչ 1/log գ բկանչեց անցումային մոդուլբազայից գդեպի հիմք բ. Ոչինչ չի խանգարում, օրինակ, օգտագործել ինվերսիայի բանաձևը կամ անցումը լոգարիթմների մի համակարգից մյուսին, գտնել բնական լոգարիթմներ սովորական լոգարիթմների աղյուսակից կամ կատարել հակադարձ անցում: Օրինակ, log105.432 = log ե 5.432/log ե 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350: 0,4343 թիվը, որով պետք է բազմապատկել տրված թվի բնական լոգարիթմը՝ սովորական լոգարիթմ ստանալու համար, սովորական լոգարիթմների համակարգին անցնելու մոդուլն է։
Հատուկ սեղաններ.
Լոգարիթմներն ի սկզբանե ստեղծվել են այնպես, որ օգտագործելով իրենց հատկությունները գրանցամատյան աբ= մատյան ա+ մատյան բև մուտք ա/բ= մատյան ա- մատյան բ, ապրանքները վերածել գումարների, իսկ քանորդները՝ տարբերությունների։ Այլ կերպ ասած, եթե մուտք աև մուտք բհայտնի են, ապա օգտագործելով գումարում և հանում մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել արտադրյալի լոգարիթմը և գործակիցը: Աստղագիտության մեջ, սակայն, հաճախ տրվում են գերանների արժեքներ աև մուտք բպետք է գտնել մատյան ( ա + բ) կամ գրանցամատյան ( ա – բ) Իհարկե, նախ կարելի էր գտնել լոգարիթմների աղյուսակներից աԵվ բ, ապա կատարեք նշված գումարումը կամ հանումը և կրկին հղում անելով աղյուսակներին՝ գտեք պահանջվող լոգարիթմները, սակայն նման ընթացակարգը կպահանջի աղյուսակներին երեք անգամ հղում կատարել։ Զ.Լեոնելլին 1802 թվականին հրապարակել է աղյուսակներ այսպես կոչված. Գաուսի լոգարիթմներ– գումարներ և տարբերություններ ավելացնելու լոգարիթմներ, որոնք թույլ տվեցին սահմանափակվել աղյուսակների մեկ մուտքով:
1624 թվականին Ի.Կեպլերը առաջարկեց համամասնական լոգարիթմների աղյուսակներ, այսինքն. թվերի լոգարիթմներ ա/x, Որտեղ ա- որոշակի դրական հաստատուն արժեք: Այս աղյուսակները հիմնականում օգտագործվում են աստղագետների և նավիգատորների կողմից:
Համամասնական լոգարիթմներ ժամը ա= 1 կոչվում են կոլոգարիթմներև օգտագործվում են հաշվարկներում, երբ պետք է գործ ունենալ ապրանքների և գործակիցների հետ: Թվի կոլոգարիթմ nհավասար է փոխադարձ թվի լոգարիթմին; դրանք. կոլոգ n= log1/ n= – մատյան n. Եթե log2 = 0,3010, ապա colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1: Կոլոգարիթմների օգտագործման առավելությունն այն է, որ լոգարիթմի արժեքը հաշվարկելիս pq/rԴրական տասնորդականների եռակի գումարի մատյան էջ+ մատյան ք+կոլոգ rավելի հեշտ է գտնել, քան խառը գումարի և տարբերությունների գրանցամատյանը էջ+ մատյան ք- մատյան r.
Պատմություն.
Լոգարիթմների ցանկացած համակարգի հիմքում ընկած սկզբունքը հայտնի է շատ երկար ժամանակ և կարելի է գտնել հին բաբելոնյան մաթեմատիկայից (մոտ 2000 թ. մ.թ.ա.): Այդ օրերին, ինտերպոլացիա միջեւ աղյուսակի արժեքներըԲաղադրյալ տոկոսները հաշվարկելու համար օգտագործվել են ամբողջ թվերի դրական ամբողջ ուժերը: Շատ ավելի ուշ Արքիմեդը (մ.թ.ա. 287–212) օգտագործեց 108-ի ուժերը՝ գտնելու ավազահատիկների քանակի վերին սահմանը, որոնք անհրաժեշտ էին այն ժամանակ հայտնի Տիեզերքն ամբողջությամբ լցնելու համար։ Արքիմեդը ուշադրություն հրավիրեց լոգարիթմների արդյունավետության հիմքում ընկած ցուցիչների հատկության վրա. հզորությունների արտադրյալը համապատասխանում է աստիճանների գումարին։ Միջնադարի վերջում և ժամանակակից դարաշրջանի սկզբում մաթեմատիկոսներն ավելի ու ավելի սկսեցին դիմել երկրաչափական և թվաբանական առաջընթացների փոխհարաբերություններին: Մ.Շտիֆելն իր էսսեում Ամբողջական թվաբանություն(1544) տվել է 2 թվի դրական և բացասական ուժերի աղյուսակ.
Շտիֆելը նկատեց, որ առաջին շարքի երկու թվերի գումարը (ցուցանիշի տող) հավասար է ներքևի տողի երկու համապատասխան թվերի արտադրյալին համապատասխանող երկու թվերի (ցուցանիշի տող): Այս աղյուսակի հետ կապված Շտիֆելը ձևակերպեց չորս կանոն, որոնք համարժեք են ցուցիչների վրա գործողությունների չորս ժամանակակից կանոններին կամ լոգարիթմների վրա գործողությունների չորս կանոններին. վերին տողի գումարը համապատասխանում է ստորին տողի արտադրյալին. վերին գծի հանումը համապատասխանում է ներքևի գծի բաժանմանը. վերին տողում բազմապատկումը համապատասխանում է ներքևի գծի հզորությանը. վերին գծի բաժանումը համապատասխանում է ներքևի գծի արմատավորմանը:
Ըստ երևույթին, Շտիֆելի կանոններին նման կանոնները ստիպեցին Ջ. Նապերին պաշտոնապես ներկայացնել լոգարիթմների առաջին համակարգը իր աշխատանքում։ Լոգարիթմների զարմանալի աղյուսակի նկարագրությունը, տպագրվել է 1614 թվականին։ Բայց Նապիերի մտքերը զբաղված էին ապրանքները գումարների վերածելու խնդրով այն ժամանակվանից, երբ իր աշխատության հրապարակումից ավելի քան տասը տարի առաջ Նապիերը լուրեր ստացավ Դանիայից, որ Տիխո Բրահեի աստղադիտարանում իր օգնականներն ունեին մեթոդ, որը ստիպում էր. հնարավոր է ապրանքները վերածել գումարների։ Նապիերի ստացած հաղորդագրության մեջ նշված մեթոդը հիմնված էր օգտագործման վրա եռանկյունաչափական բանաձևերտիպ
հետեւաբար Նապերի աղյուսակները հիմնականում բաղկացած էին լոգարիթմներից եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Թեև բազա հասկացությունը հստակորեն ներառված չէր Նապիերի կողմից առաջարկված սահմանման մեջ, սակայն նրա համակարգում լոգարիթմների համակարգի հիմքին համարժեք դերը խաղաց (1 – 10 –7)ґ10 7 թիվը, մոտավորապես հավասար է 1/-ի: ե.
Անկախ Նապերից և գրեթե միաժամանակ նրա հետ, լոգարիթմների մի համակարգ՝ տիպով բավականին նման, հորինել և հրատարակել է Ջ. Բուրգին Պրահայում, որը հրատարակվել է 1620 թ. Թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացի աղյուսակներ. Սրանք բազային հակալոգարիթմների աղյուսակներ էին (1 + 10 –4) ґ10 4, թվի բավականին լավ մոտարկում։ ե.
Naper համակարգում 10 7 թվի լոգարիթմը վերցվել է զրո, իսկ թվերի նվազումով լոգարիթմներն ավելացել են։ Երբ Գ. Բրիգսը (1561–1631) այցելեց Նապիեր, երկուսն էլ համաձայնեցին, որ ավելի հարմար կլինի օգտագործել 10 թիվը որպես հիմք և մեկի լոգարիթմը համարել զրո։ Այնուհետև, քանի որ թվերը մեծանում էին, նրանց լոգարիթմները կմեծանան: Այսպիսով, մենք ստացանք ժամանակակից համակարգտասնորդական լոգարիթմներ, որոնց աղյուսակը Բրիգսը հրապարակել է իր աշխատության մեջ Լոգարիթմական թվաբանություն(1620)։ Լոգարիթմներ դեպի հիմք ե, թեև ոչ հենց Նապերի կողմից ներկայացվածները, հաճախ կոչվում են Նապերի: «բնութագրական» և «մանտիսսա» տերմիններն առաջարկել է Բրիգսը։
Առաջին լոգարիթմները, պատմական պատճառներով, օգտագործել են մոտավորություններ 1/ թվերին եԵվ ե. Որոշ ժամանակ անց, բնական լոգարիթմների գաղափարը սկսեց կապված լինել հիպերբոլայի տակ գտնվող տարածքների ուսումնասիրության հետ: xy= 1 (նկ. 1): 17-րդ դարում ցույց է տրվել, որ այս կորով սահմանափակված տարածքը, առանցքը xև օրդինացիաներ x= 1 և x = ա(նկ. 1-ում այս տարածքը ծածկված է ավելի հաստ և նոսր կետերով) ավելանում է թվաբանական առաջընթաց, Երբ աավելանում է երկրաչափական առաջընթաց. Հենց այս կախվածությունն է առաջանում ցուցիչներով և լոգարիթմներով գործողությունների կանոններում: Սա հիմք է տվել Նապերյան լոգարիթմներն անվանել «հիպերբոլիկ լոգարիթմներ»։
Լոգարիթմական ֆունկցիա.
Կար ժամանակ, երբ լոգարիթմները համարվում էին բացառապես որպես հաշվարկման միջոց, սակայն 18-րդ դարում, հիմնականում Էյլերի աշխատանքի շնորհիվ, ձևավորվեց լոգարիթմական ֆունկցիա հասկացությունը։ Նման ֆունկցիայի գրաֆիկ y= մատյան x, որոնց օրդինատները մեծանում են թվաբանական պրոգրեսիայով, իսկ աբսցիսները՝ երկրաչափական պրոգրեսիայով, ներկայացված է Նկ. 2, Ա. Հակադարձ կամ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ y = e x, որոնց օրդինատները մեծանում են երկրաչափական պրոգրեսիայով, իսկ աբսցիսները՝ թվաբանական պրոգրեսիայով, ներկայացված է համապատասխանաբար Նկ. 2, բ. (Կորեր y= մատյան xԵվ y = 10xիր ձևով նման է կորերին y= մատյան xԵվ y = e x.) Առաջարկվել են նաև լոգարիթմական ֆունկցիայի այլընտրանքային սահմանումներ, օրինակ.
kpi; և, նմանապես, -1 թվի բնական լոգարիթմներն են բարդ թվերտեսակները (2 կ + 1)պի, Որտեղ կ- ամբողջ թիվ. Նմանատիպ հայտարարությունները ճշմարիտ են ընդհանուր լոգարիթմների կամ լոգարիթմների այլ համակարգերի համար: Բացի այդ, լոգարիթմների սահմանումը կարող է ընդհանրացվել՝ օգտագործելով Էյլերի նույնականությունները՝ ներառելով բարդ թվերի բարդ լոգարիթմներ:
Լոգարիթմական ֆունկցիայի այլընտրանքային սահմանումը տալիս է ֆունկցիոնալ վերլուծություն. Եթե զ(x) – շարունակական գործառույթիրական թիվ x, ունենալով հետևյալ երեք հատկությունները. զ (1) = 0, զ (բ) = 1, զ (ուլտրամանուշակագույն) = զ (u) + զ (v), դա զ(x) սահմանվում է որպես թվի լոգարիթմ xհիմնված բ. Այս սահմանումը մի շարք առավելություններ ունի այս հոդվածի սկզբում տրված սահմանման նկատմամբ:
Դիմումներ.
Լոգարիթմներն ի սկզբանե օգտագործվել են բացառապես հաշվարկները պարզեցնելու համար, և այս հավելվածը դեռևս դրանց ամենակարևորներից մեկն է: Արդյունքների, քանորդների, հզորությունների և արմատների հաշվարկին նպաստում է ոչ միայն լոգարիթմների հրապարակված աղյուսակների լայն հասանելիությունը, այլև այսպես կոչված օգտագործումը. սլայդի կանոն - հաշվողական գործիք, որի գործող սկզբունքը հիմնված է լոգարիթմների հատկությունների վրա: Քանոն հագեցած է լոգարիթմական կշեռքներով, այսինքն. հեռավորությունը թիվ 1-ից մինչև ցանկացած թիվ xընտրվել է համարժեք լոգին x; Մի սանդղակը մյուսի համեմատ տեղափոխելով՝ հնարավոր է գծագրել լոգարիթմների գումարները կամ տարբերությունները, ինչը հնարավորություն է տալիս անմիջապես սանդղակից կարդալ համապատասխան թվերի արտադրյալները կամ քանորդները։ Կարող եք նաև օգտվել թվերը լոգարիթմական ձևով ներկայացնելու առավելություններից: լոգարիթմական թուղթ գրաֆիկների գծագրման համար (երկու կոորդինատային առանցքների վրա տպված լոգարիթմական մասշտաբներով թուղթ): Եթե ֆունկցիան բավարարում է ձևի ուժային օրենքին y = kxn, ապա նրա լոգարիթմական գրաֆիկը նման է ուղիղ գծի, քանի որ գերան y= մատյան կ + nգերան x- գծային հավասարումը լոգարի նկատմամբ yև մուտք x. Ընդհակառակը, եթե որոշ ֆունկցիոնալ կախվածության լոգարիթմական գրաֆիկը նման է ուղիղ գծի, ապա այդ կախվածությունը ուժային է: Կիսալոգային թուղթը (որտեղ y առանցքը ունի լոգարիթմական սանդղակ, իսկ x առանցքը ունի միատեսակ սանդղակ) օգտակար է, երբ անհրաժեշտ է բացահայտել էքսպոնենցիալ ֆունկցիաները: Ձևի հավասարումներ y = kb rxտեղի է ունենում, երբ քանակությունը, ինչպիսին է բնակչությունը, ռադիոակտիվ նյութի քանակությունը կամ բանկային մնացորդը, նվազում կամ ավելանում է հասանելիին համաչափ այս պահինբնակիչների թիվը, ռադիոակտիվ նյութ կամ փող. Եթե նման կախվածությունը գծվի կիսալոգարիթմական թղթի վրա, ապա գրաֆիկը ուղիղ գծի տեսք կունենա:
Լոգարիթմական ֆունկցիան առաջանում է բնական ձևերի բազմազանության հետ կապված: Արևածաղկի ծաղկաբույլերում ծաղիկները դասավորված են լոգարիթմական պարույրներով, փափկամարմինների կեղևները՝ ոլորված Նաուտիլուս, լեռնային ոչխարի եղջյուրներ և թութակի կտուցներ։ Այս բոլոր բնական ձևերը կարող են ծառայել որպես կորի օրինակ, որը հայտնի է որպես լոգարիթմական պարույր, քանի որ բևեռային կոորդինատային համակարգում դրա հավասարումը հետևյալն է. r = ae bq, կամ ln r= մատյան ա + բք. Նման կորը նկարագրվում է շարժվող կետով, որի բևեռից հեռավորությունը մեծանում է երկրաչափական պրոգրեսիայով, իսկ նրա շառավղով վեկտորով նկարագրված անկյունը՝ թվաբանական առաջընթացով։ Նման կորի և, հետևաբար, լոգարիթմական ֆունկցիայի համատարած լինելը լավ ցույց է տալիս այն փաստը, որ այն տեղի է ունենում այնպիսի հեռավոր և բոլորովին տարբեր վայրերում, ինչպիսիք են էքսցենտրիկ խցիկի ուրվագիծը և դեպի լույսը թռչող որոշ միջատների հետագիծը:
b թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա այն ցուցանիշն է, որին պետք է բարձրացնել a թիվը՝ b թիվը ստանալու համար:
Եթե, ապա.
Լոգարիթմ - ծայրահեղ կարևոր մաթեմատիկական մեծություն , քանի որ լոգարիթմական հաշվարկը թույլ է տալիս ոչ միայն լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումներ, այլ նաև գործել ցուցիչներով, տարբերակել էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական ֆունկցիաները, ինտեգրել դրանք և բերել ավելի ընդունելի ձևի, որը պետք է հաշվարկվի։
հետ շփման մեջ
Լոգարիթմների բոլոր հատկությունները անմիջականորեն կապված են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների հատկությունների հետ։ Օրինակ, այն փաստը, որ 
նշանակում է, որ.
Հարկ է նշել, որ կոնկրետ խնդիրներ լուծելիս լոգարիթմների հատկությունները կարող են ավելի կարևոր և օգտակար լինել, քան հզորությունների հետ աշխատելու կանոնները։
Ներկայացնենք մի քանի ինքնություն.
Ահա հիմնական հանրահաշվական արտահայտությունները.
;
.
Ուշադրություն.կարող է գոյություն ունենալ միայն x>0, x≠1, y>0 համար:
Փորձենք հասկանալ այն հարցը, թե ինչ են բնական լոգարիթմները։ Հատուկ հետաքրքրություն մաթեմատիկայի նկատմամբ ներկայացնում են երկու տեսակ- առաջինը հիմքում ունի «10» թիվը և կոչվում է « տասնորդական լոգարիթմ« Երկրորդը կոչվում է բնական։ Բնական լոգարիթմի հիմքը «e» թիվն է։ Սա այն է, ինչի մասին մենք մանրամասն կխոսենք այս հոդվածում:
Նշումներ:
- lg x - տասնորդական;
- ln x - բնական:
Օգտագործելով ինքնությունը, մենք կարող ենք տեսնել, որ ln e = 1, ինչպես նաև այն փաստը, որ lg 10=1:
Բնական լոգարիթմի գրաֆիկ
Եկեք կառուցենք բնական լոգարիթմի գրաֆիկը՝ օգտագործելով ստանդարտը դասական եղանակովմիավորներով։ Եթե ցանկանում եք, կարող եք ստուգել, թե արդյոք մենք ճիշտ ենք կառուցում ֆունկցիան՝ ուսումնասիրելով ֆունկցիան։ Այնուամենայնիվ, իմաստ ունի սովորել, թե ինչպես կառուցել այն «ձեռքով», որպեսզի իմանանք, թե ինչպես ճիշտ հաշվարկել լոգարիթմը:
Ֆունկցիան՝ y = ln x: Եկեք գրենք կետերի աղյուսակը, որով կանցնի գրաֆիկը.
Եկեք բացատրենք, թե ինչու ենք ընտրել x փաստարկի այս հատուկ արժեքները: Ամեն ինչ ինքնության մասին է. Բնական լոգարիթմի համար այս ինքնությունը կունենա հետևյալ տեսքը.
Հարմարության համար մենք կարող ենք վերցնել հինգ հղման կետ.
;
;
.
;
.
Այսպիսով, բնական լոգարիթմների հաշվարկը բավականին պարզ խնդիր է, ավելին, այն պարզեցնում է հզորությունների հետ գործողությունների հաշվարկը՝ դրանք վերածելով. սովորական բազմապատկում.
Գրաֆիկը կետ առ կետ գծելով՝ ստանում ենք մոտավոր գրաֆիկ.
Բնական լոգարիթմի սահմանման տիրույթը (այսինքն՝ X փաստարկի բոլոր վավեր արժեքները) բոլոր թվերը զրոյից մեծ են:
Ուշադրություն.Բնական լոգարիթմի սահմանման տիրույթը ներառում է միայն դրական թվեր: Սահմանման շրջանակը չի ներառում x=0: Սա անհնար է՝ ելնելով լոգարիթմի գոյության պայմաններից։
Արժեքների միջակայքը (այսինքն՝ y = ln x ֆունկցիայի բոլոր վավեր արժեքները) միջակայքի բոլոր թվերն են:
Բնական մատյան սահմանը
Ուսումնասիրելով գրաֆիկը՝ հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս է իրեն պահում ֆունկցիան y-ում<0.
Ակնհայտ է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկը հակված է հատել y առանցքը, բայց չի կարող դա անել, քանի որ x-ի բնական լոգարիթմը<0 не существует.
Բնականի սահմանը գերանկարելի է գրել այսպես.
Լոգարիթմի հիմքը փոխարինելու բանաձև
Բնական լոգարիթմի հետ գործ ունենալը շատ ավելի հեշտ է, քան կամայական հիմք ունեցող լոգարիթմի հետ գործ ունենալը: Այդ իսկ պատճառով մենք կփորձենք սովորել, թե ինչպես կարելի է ցանկացած լոգարիթմ վերածել բնականի, կամ այն արտահայտել կամայական հիմքի վրա բնական լոգարիթմների միջոցով։
Սկսենք լոգարիթմական ինքնությունից.
Այնուհետև ցանկացած թիվ կամ փոփոխական y կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.
որտեղ x-ը ցանկացած թիվ է (դրական՝ ըստ լոգարիթմի հատկությունների):
Այս արտահայտությունը կարելի է լոգարիթմական կերպով ընդունել երկու կողմից: Եկեք դա անենք՝ օգտագործելով կամայական z հիմքը՝
Եկեք օգտագործենք հատկությունը (միայն «c»-ի փոխարեն ունենք արտահայտությունը.
Այստեղից մենք ստանում ենք համընդհանուր բանաձևը.
.
Մասնավորապես, եթե z=e, ապա.
.
Մենք կարողացանք լոգարիթմը կամայական հիմքի վրա ներկայացնել երկու բնական լոգարիթմների հարաբերակցության միջոցով:
Մենք խնդիրներ ենք լուծում
Բնական լոգարիթմները ավելի լավ հասկանալու համար դիտարկենք մի քանի խնդիրների օրինակներ։
Խնդիր 1. Անհրաժեշտ է լուծել ln x = 3 հավասարումը։
Լուծում:Օգտագործելով լոգարիթմի սահմանումը. եթե , ապա , մենք ստանում ենք.
Խնդիր 2. Լուծեք հավասարումը (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3:
Լուծում. Օգտվելով լոգարիթմի սահմանումից՝ եթե , ապա , մենք ստանում ենք.
.
Եկեք նորից օգտագործենք լոգարիթմի սահմանումը.
.
Այսպիսով.
.
Դուք կարող եք մոտավորապես հաշվարկել պատասխանը, կամ կարող եք թողնել այն այս ձևով։
Առաջադրանք 3.Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում:Կատարենք փոխարինում՝ t = ln x: Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.
.
Մենք ունենք քառակուսի հավասարում. Գտնենք դրա տարբերակիչը.
Հավասարման առաջին արմատը.
.
Հավասարման երկրորդ արմատը.
.
Հիշելով, որ մենք կատարել ենք t = ln x փոխարինումը, ստանում ենք.
Վիճակագրության և հավանականությունների տեսության մեջ լոգարիթմական մեծությունները շատ հաճախ են հանդիպում։ Սա զարմանալի չէ, քանի որ e թիվը հաճախ արտացոլում է էքսպոնենցիալ մեծությունների աճի տեմպերը։
Համակարգչային գիտության, ծրագրավորման և համակարգչային տեսության մեջ լոգարիթմները հանդիպում են բավականին հաճախ, օրինակ՝ հիշողության մեջ N բիթ պահելու համար։
Ֆրակտալների և չափումների տեսություններում անընդհատ օգտագործվում են լոգարիթմներ, քանի որ ֆրակտալների չափերը որոշվում են միայն նրանց օգնությամբ։
Մեխանիկայի և ֆիզիկայի մեջՉկա հատված, որտեղ լոգարիթմներ չեն օգտագործվել։ Բարոմետրիկ բաշխումը, վիճակագրական թերմոդինամիկայի բոլոր սկզբունքները, Ցիոլկովսկու հավասարումը և այլն, գործընթացներ են, որոնք մաթեմատիկորեն կարելի է նկարագրել միայն լոգարիթմների միջոցով։
Քիմիայում լոգարիթմներն օգտագործվում են Ներնստի հավասարումների և ռեդոքս պրոցեսների նկարագրության մեջ։
Զարմանալի է, որ նույնիսկ երաժշտության մեջ օկտավայի մասերի քանակը պարզելու համար օգտագործվում են լոգարիթմներ։
Բնական լոգարիթմ Ֆունկցիան y=ln x նրա հատկությունները
Բնական լոգարիթմի հիմնական հատկության ապացույց
