Որպես առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի կոնկրետ օրինակ՝ դիտարկենք ճոճանակների շարժումը:
Ֆիզիկական ճոճանակը կոչվում է ամուր, ունենալով պտտման հորիզոնական առանցք, որի շուրջ իր քաշի ազդեցությամբ կատարում է տատանողական շարժումներ (նկ. 119)։
Ճոճանակի դիրքն ամբողջությամբ որոշվում է հավասարակշռության դիրքից նրա շեղման անկյան տակ, և, հետևաբար, ճոճանակի շարժման օրենքը որոշելու համար բավական է գտնել այս անկյան կախվածությունը ժամանակից։
Ձևի հավասարումը.
կոչվում է ճոճանակի շարժման հավասարում (օրենք): Դա կախված է սկզբնական պայմաններից, այսինքն՝ անկյունային արագությունից։
Ֆիզիկական ճոճանակի սահմանափակող դեպքը մաթեմատիկական ճոճանակն է, որը ներկայացնում է (ինչպես ասվել է ավելի վաղ - Գլուխ 2, § 3) նյութական կետ, որը կապված է հորիզոնական առանցքի հետ, որի շուրջ այն պտտվում է կոշտ անկշիռ ձողով (նկ. 120): Պտտման առանցքից նյութական կետի հեռավորությունը կոչվում է մաթեմատիկական ճոճանակի երկարություն։
Ֆիզիկական և մաթեմատիկական ճոճանակների շարժման հավասարումներ
Ընտրենք կոորդինատային առանցքների համակարգ, որպեսզի xy հարթությունն անցնի C մարմնի ծանրության կենտրոնով և համընկնի ճոճանակի ճոճվող հարթության հետ, ինչպես ցույց է տրված գծագրում (նկ. 119): Նկարչական հարթությանը ուղղահայաց առանցքն ուղղենք դեպի մեզ։ Այնուհետև, հիմնվելով նախորդ պարբերության արդյունքների վրա, մենք գրում ենք ֆիզիկական ճոճանակի շարժման հավասարումը հետևյալ ձևով.
որտեղ միջոցով նշանակում է ճոճանակի իներցիայի պահը պտտման առանցքի նկատմամբ և
Այսպիսով, դուք կարող եք գրել.
Ճոճանակի վրա ազդող ակտիվ ուժը նրա քաշն է, որի պահը քաշի առանցքի նկատմամբ կլինի.
որտեղ է ճոճանակի պտտման առանցքից մինչև C զանգվածի կենտրոնի հեռավորությունը:
Հետևաբար, մենք հանգում ենք ֆիզիկական ճոճանակի շարժման հետևյալ հավասարմանը.
Քանի որ մաթեմատիկական ճոճանակը ֆիզիկականի հատուկ դեպք է, վերը նշվածը գրված է դիֆերենցիալ հավասարումՍա ճիշտ է նաև մաթեմատիկական ճոճանակի համար: Եթե մաթեմատիկական ճոճանակի երկարությունը և նրա քաշը հավասար է, ապա նրա իներցիայի պահը պտտման առանցքի նկատմամբ հավասար է.
Քանի որ մաթեմատիկական ճոճանակի ծանրության կենտրոնի հեռավորությունը առանցքից հավասար է, մաթեմատիկական ճոճանակի շարժման վերջնական դիֆերենցիալ հավասարումը կարող է գրվել հետևյալ ձևով.
Ֆիզիկական ճոճանակի երկարությունը կրճատվել է
Համեմատելով (16.8) և (16.9) հավասարումները՝ կարող ենք եզրակացնել, որ եթե ֆիզիկական և մաթեմատիկական ճոճանակների պարամետրերը կապված են հարաբերությամբ.
ապա ֆիզիկական և մաթեմատիկական ճոճանակների շարժման օրենքները նույնն են (նույն սկզբնական պայմաններում):
Վերջին կապը ցույց է տալիս այն երկարությունը, որը պետք է ունենա մաթեմատիկական ճոճանակը, որպեսզի շարժվի այնպես, ինչպես համապատասխան ֆիզիկական ճոճանակը: Այս երկարությունը կոչվում է ֆիզիկական ճոճանակի կրճատված երկարություն: Այս հայեցակարգի իմաստն այն է, որ ֆիզիկական ճոճանակի շարժման ուսումնասիրությունը կարող է փոխարինվել մաթեմատիկական ճոճանակի շարժման ուսումնասիրությամբ, որը պարզ մեխանիկական միացում է։
Ճոճանակի շարժման հավասարման առաջին ինտեգրալը
Ֆիզիկական և մաթեմատիկական ճոճանակների շարժման հավասարումները ունեն նույն ձևը, հետևաբար, դրանց շարժման հավասարումը կլինի.
Քանի որ միակ ուժը, որը հաշվի է առնվում այս հավասարման մեջ, պոտենցիալ ուժային դաշտին պատկանող ծանրության ուժն է, տեղի է ունենում մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը։
Վերջինս կարելի է ձեռք բերել պարզ հնարք, եկեք այդ ժամանակ բազմապատկենք (16.10) հավասարումը
Ինտեգրելով այս հավասարումը, մենք ստանում ենք
Նախնական պայմաններից որոշելով ինտեգրման Cu հաստատունը՝ գտնում ենք
Հարաբերականի վերջին հավասարումը լուծելով՝ ստանում ենք
Այս կապը ներկայացնում է դիֆերենցիալ հավասարման առաջին ինտեգրալը (16.10):
Ֆիզիկական և մաթեմատիկական ճոճանակների օժանդակ ռեակցիաների որոշում
Շարժման հավասարումների առաջին ինտեգրալը թույլ է տալիս որոշել ճոճանակների հենման ռեակցիաները։ Ինչպես նշված է նախորդ պարբերությունում, օժանդակ ռեակցիաները որոշվում են (16.5) հավասարումներով: Ֆիզիկական ճոճանակի դեպքում կոորդինատային առանցքների երկայնքով գործող ուժի բաղադրիչները և առանցքների նկատմամբ դրա մոմենտները կլինեն.
Զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով.
Այնուհետև հենարանների ռեակցիաները որոշելու հավասարումները ստանում են ձև.
Մարմնի իներցիայի կենտրոնախույս մոմենտները և հենարանների միջև եղած հեռավորությունները պետք է հայտնի լինեն ըստ խնդրի պայմանների։ Անկյունային արագացում և անկյունային արագությունс-ը որոշվում են (16.9) և (16.4) հավասարումներից հետևյալ ձևով.
Այսպիսով, հավասարումները (16.12) ամբողջությամբ որոշում են ֆիզիկական ճոճանակի հենման ռեակցիաների բաղադրիչները։
Հավասարումները (16.12) ավելի պարզեցված են, եթե դիտարկենք մաթեմատիկական ճոճանակ: Իրոք, քանի որ մաթեմատիկական ճոճանակի նյութական կետը գտնվում է հարթության մեջ, ապա, բացի այդ, քանի որ մեկ կետ ամրագրված է, հետևաբար, հավասարումները (16.12) վերածվում են ձևի հավասարումների.
Հավասարումներից (16.13), օգտագործելով (16.9) հավասարումը, հետևում է, որ աջակցության ռեակցիան ուղղված է I թելի երկայնքով (նկ. 120): Վերջինս ակնհայտ արդյունք է։ Հետևաբար, հավասարումների (16.13) բաղադրիչները նախագծելով թելի ուղղությամբ, մենք գտնում ենք ձևի հենարանի ռեակցիան որոշելու հավասարումը (նկ. 120).
Այստեղ արժեքը փոխարինելով և հաշվի առնելով, որ գրում ենք.
Վերջին կապը որոշում է մաթեմատիկական ճոճանակի դինամիկ արձագանքը: Նշենք, որ դրա ստատիկ ռեակցիան կլինի
Ճոճանակի շարժման բնույթի որակական ուսումնասիրություն
Ճոճանակի շարժման հավասարման առաջին ինտեգրալը թույլ է տալիս որակապես ուսումնասիրել նրա շարժման բնույթը։ Մասնավորապես, այս ինտեգրալը (16.11) գրում ենք հետևյալ ձևով.
Շարժման ընթացքում արմատական արտահայտությունը պետք է կամ դրական լինի, կամ որոշ կետերում վերանա։ Ենթադրենք, որ նախնական պայմաններն այնպիսին են, որ
Այս դեպքում արմատական արտահայտությունը ոչ մի տեղ չի անհետանում։ Հետևաբար, ճոճանակը շարժվելիս կանցնի անկյան բոլոր արժեքների միջով, և ճոճանակից անկյունային արագությունն ունի նույն նշանը, որը որոշվում է սկզբնական անկյունային արագության ուղղությամբ, կամ անկյունը կավելացնի բոլոր ժամանակը կամ անընդհատ նվազում է, այսինքն՝ ճոճանակը կպտտվի մի կողմից:
Շարժման ուղղությունները կհամապատասխանեն արտահայտության այս կամ այն նշանին (16.11): Անհրաժեշտ պայմանՆման շարժման իրականացումը սկզբնական անկյունային արագության առկայությունն է, քանի որ անհավասարությունից (16.14) պարզ է դառնում, որ եթե այդ դեպքում շեղման որևէ սկզբնական անկյան տակ հնարավոր չէ ստանալ ճոճանակի նման շարժում։
Թող հիմա նախնական պայմաններն այնպիսին լինեն, որ
Այս դեպքում կան երկու այնպիսի անկյան արժեքներ, որոնց դեպքում արմատական արտահայտությունը դառնում է զրո: Թող համապատասխանեն հավասարությամբ սահմանված անկյուններին
Ավելին, այն կլինի ինչ-որ տեղ 0-ից մինչև տիրույթում: Ավելին, ակնհայտ է, որ երբ
արմատական արտահայտությունը (16.11) կլինի դրական, իսկ կամայականորեն քիչ գերազանցելու դեպքում՝ բացասական։
Հետևաբար, երբ ճոճանակը շարժվում է, նրա անկյունը փոխվում է միջակայքում.
Երբ ճոճանակի անկյունային արագությունը հասնում է զրոյի, և անկյունը սկսում է նվազել մինչև արժեքը: Այս դեպքում կփոխվի անկյունային արագության նշանը կամ արտահայտության մեջ ռադիկալի դիմաց նշանը (16.11): Երբ ճոճանակի անկյունային արագությունը կրկին հասնում է զրոյի, և անկյունը նորից սկսում է մեծանալ մինչև արժեքը
Այսպիսով, ճոճանակը կկատարի տատանողական շարժումներ
Ճոճանակի տատանումների ամպլիտուդը
Երբ ճոճանակը տատանվում է, ուղղահայացից նրա շեղման առավելագույն արժեքը կոչվում է տատանման ամպլիտուդ: Այն հավասար է, որին որոշվում է հավասարությունից
Ինչպես հետևում է վերջին բանաձևից, տատանման ամպլիտուդը կախված է ճոճանակի հիմնական բնութագրերի նախնական տվյալներից կամ դրա կրճատված երկարությունից։
Կոնկրետ դեպքում, երբ ճոճանակը շեղվում է հավասարակշռության դիրքից և ազատվում է առանց սկզբնական արագության, ապա այն հավասար կլինի , հետևաբար, ամպլիտուդը կախված չէ կրճատված երկարությունից։
Վերջնական ձևով ճոճանակի շարժման հավասարումը
Թող ճոճանակի սկզբնական արագությունը զրո լինի, ապա նրա շարժման հավասարման առաջին ինտեգրալը կլինի.
Ինտեգրելով այս հավասարումը, մենք գտնում ենք
Ժամանակը կհաշվենք ճոճանակի դիրքից՝ համապատասխան այդ ժամանակ
Եկեք փոխակերպենք ինտեգրանդը՝ օգտագործելով բանաձևը.
Այնուհետև մենք ստանում ենք.
Ստացված ինտեգրալը կոչվում է առաջին տեսակի էլիպսային ինտեգրալ։ Այն չի կարող արտահայտվել՝ օգտագործելով վերջավոր թվով տարրական ֆունկցիաներ:
Էլիպսային ինտեգրալի (16.15) շրջումը վերին սահմանի նկատմամբ ներկայացնում է ճոճանակի շարժման հավասարումը.
Սա կլինի լավ ուսումնասիրված Յակոբիի էլիպսային ֆունկցիան։
Ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջան
Ճոճանակի մեկ ամբողջական տատանման համար պահանջվող ժամանակը կոչվում է նրա տատանման ժամանակաշրջան: Նշենք այն T: Քանի որ ճոճանակի դիրքից դիրք շարժման ժամանակը նույնն է, ինչ այն ժամանակից ի վեր T-ն, կորոշվի բանաձևով.
Կատարենք փոփոխականների փոփոխություն՝ դնելով
0-ից մինչև փոխվելիս կփոխվի 0-ից մինչև: Հետագայում,
եւ, հետեւաբար
Վերջին ինտեգրալը կոչվում է առաջին տեսակի ամբողջական էլիպսային ինտեգրալ (դրա արժեքները տրված են հատուկ աղյուսակներում):
Երբ ինտեգրանդը հակված է միասնության և .
Ճոճանակի փոքր տատանումների մոտավոր բանաձևեր
Այն դեպքում, երբ ճոճանակի տատանումները փոքր ամպլիտուդ ունեն (գործնականում չպետք է գերազանցի 20°-ը), կարող եք տեղադրել.
Այնուհետև ճոճանակի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը ստանում է ձև.
Մաթեմատիկական ճոճանակ
Ներածություն
Տատանումների ժամանակաշրջան
եզրակացություններ
գրականություն
Ներածություն
Այժմ այլևս հնարավոր չէ ստուգել լեգենդն այն մասին, թե ինչպես Գալիլեոն, տաճարում աղոթքի կանգնած, ուշադիր հետևում էր բրոնզե ջահերի ճոճմանը: Ես դիտեցի և որոշեցի ջահի ետ ու առաջ շարժվող ժամանակը: Այս ժամանակը հետագայում կոչվեց տատանումների շրջան։ Գալիլեոն ժամացույց չուներ, և տարբեր երկարությունների շղթաների վրա կախված ջահերի տատանումների ժամանակաշրջանը համեմատելու համար նա օգտագործեց իր զարկերակի հաճախականությունը։
Ճոճանակները օգտագործվում են ժամացույցների արագությունը կարգավորելու համար, քանի որ ցանկացած ճոճանակ ունի տատանման շատ որոշակի ժամանակահատված: Ճոճանակը նույնպես գտնում է կարևոր կիրառություներկրաբանական հետախուզության մեջ։ Հայտնի է, որ աշխարհի տարբեր վայրերում արժեքները էտարբեր են. Նրանք տարբեր են, քանի որ Երկիրը լիովին կանոնավոր գունդ չէ։ Բացի այդ, այն տարածքներում, որտեղ առաջանում են խիտ ապարներ, ինչպիսիք են որոշ մետաղական հանքաքարեր, արժեքը էաննորմալ բարձր: Ճշգրիտ չափումներ էմաթեմատիկական ճոճանակի օգնությամբ երբեմն հնարավոր է լինում հայտնաբերել նման նստվածքներ։
Մաթեմատիկական ճոճանակի շարժման հավասարումը
Մաթեմատիկական ճոճանակը ծանր նյութական կետ է, որը շարժվում է կամ ուղղահայաց շրջանագծի (հարթ մաթեմատիկական ճոճանակ) կամ գնդաձևի երկայնքով (գնդաձև ճոճանակ): Առաջին մոտավորությամբ մաթեմատիկական ճոճանակը կարելի է համարել փոքր բեռ, որը կախված է անտարբեր ճկուն թելի վրա:
Դիտարկենք հարթ մաթեմատիկական ճոճանակի շարժումը շառավղով շրջանագծի երկայնքով լկենտրոնացած մի կետի վրա ՄԱՍԻՆ(նկ. 1): Մենք կորոշենք կետի դիրքը Մ(ճոճանակ) շեղման անկյուն j շառավիղ Օ.Մուղղահայացից: Շոշափող ուղղություն Մ t դեպի դրական անկյան j, մենք կկազմենք շարժման բնական հավասարում։ Այս հավասարումը ձևավորվում է շարժման հավասարումից
մՎտ=Ֆ+Ն, (1)
Որտեղ Ֆկետի վրա գործող ակտիվ ուժն է, և Ն- հաղորդակցման ռեակցիա.
Նկար 1
Մենք ստացանք (1) հավասարումը Նյուտոնի երկրորդ օրենքի համաձայն, որը դինամիկայի հիմնարար օրենքն է և ասում է, որ նյութական կետի իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը հավասար է դրա վրա ազդող ուժին, այսինքն.
Ենթադրելով, որ զանգվածը հաստատուն է, մենք կարող ենք ներկայացնել նախորդ հավասարումը ձևով
Որտեղ Վկետի արագացումն է։
Այսպիսով, t առանցքի վրա պրոյեկցիայի (1) հավասարումը մեզ կտա բնական հավասարումներից մեկը տվյալ ֆիքսված հարթ կորի երկայնքով կետի շարժման համար.
Մեր դեպքում մենք ստանում ենք պրոյեկցիա t առանցքի վրա
,
Որտեղ մկա ճոճանակի զանգված։
Քանի որ կամ , այստեղից մենք գտնում ենք
.
Նվազեցնելով մև հավատալով
, (3)
վերջապես կունենանք.
,
,
,
. (4)
Նախ դիտարկենք փոքր տատանումների դեպքը։ Ներս թողնել մեկնարկային պահըճոճանակը ուղղահայացից շեղվում է անկյան տակ ժև իջեցվել է առանց նախնական արագության: Այնուհետև նախնական պայմանները կլինեն.
ժամը տ= 0, 
. (5)
Էներգետիկ ինտեգրալից.
, (6)
Որտեղ Վ- պոտենցիալ էներգիա, և հինտեգրման հաստատունն է, հետևում է, որ այս պայմաններում ցանկացած պահի անկյունը jՋj 0: Մշտական արժեք հորոշվում է նախնական տվյալների հիման վրա: Ենթադրենք, որ j 0 անկյունը փոքր է (j 0 Ј1); ապա j անկյունը նույնպես փոքր կլինի և մոտավորապես կարող ենք սահմանել sinj»j: Այս դեպքում (4) հավասարումը կունենա ձև
. (7)
Հավասարումը (7) պարզ ներդաշնակ տատանման դիֆերենցիալ հավասարումն է։ Ընդհանուր որոշումայս հավասարումն ունի ձև
, (8)
Որտեղ ԱԵվ Բկամ աիսկ e-ն ինտեգրման հաստատուններ են։
Այստեղից մենք անմիջապես գտնում ենք ժամանակաշրջանը ( Տ) մաթեմատիկական ճոճանակի փոքր տատանումներ (ժամանակահատված՝ այն ժամանակահատվածը, որի ընթացքում կետը նույն արագությամբ վերադառնում է իր նախկին դիրքին)
Եվ 
,
որովհետեւ sin-ն ունի 2p-ի հավասար ժամանակաշրջան, ապա w Տ=2p Յու
(9)
Սկզբնական պայմաններում (5) շարժման օրենքը գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք.
. (10)
Փոխարինելով (5) արժեքները (8) և (10) հավասարումներով, մենք ստանում ենք.
j 0 = Ա, 0 = w Բ,
դրանք. Բ=0. Հետևաբար, փոքր տատանումների շարժման օրենքը (5) պայմաններում կլինի.
j = j 0 cos wt. (տասնմեկ)
Եկեք հիմա գտնենք հարթ մաթեմատիկական ճոճանակի խնդրի ճշգրիտ լուծումը: Նախ որոշենք շարժման (4) հավասարման առաջին ինտեգրալը։ Որովհետեւ
,
ապա (4) կարող է ներկայացվել որպես
.
Այսպիսով, հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով դ j և ինտեգրվելով՝ մենք ստանում ենք.
. (12)
Այստեղ նշանակենք j 0 ճոճանակի առավելագույն շեղման անկյունը. ապա j = j 0-ի համար կունենանք, որտեղից Գ= w 2 cosj 0: Արդյունքում ինտեգրալը (12) տալիս է.
, (13)
որտեղ w որոշվում է հավասարությամբ (3):
Այս ինտեգրալը էներգիայի ինտեգրալն է և կարելի է ուղղակիորեն ստանալ հավասարումից
, (14)
որտե՞ղ է շարժվելու աշխատանքը Մ 0 Մակտիվ ուժ Ֆ, եթե հաշվի առնենք, որ մեր դեպքում v 0 =0, և (տես նկարը):
(13) հավասարումից պարզ է դառնում, որ երբ ճոճանակը շարժվում է, j անկյունը կփոխվի +j 0 և -j 0 արժեքների միջև (|j|Ջj 0, քանի որ), այսինքն. ճոճանակը կկատարի տատանողական շարժում։ Եկեք պայմանավորվենք հետհաշվել ժամանակը տայն պահից, երբ ճոճանակն անցնում է ուղղահայաց միջով Օ.Ա.երբ այն շարժվում է դեպի աջ (տես նկարը): Այնուհետև կունենանք նախնական պայմանը.
ժամը տ=0, j=0: (15)
Բացի այդ, կետից շարժվելիս Ակամք ; երկու կողմերի հավասարություններից բխող (13) Քառակուսի արմատ, ստանում ենք.
.
Այստեղ փոփոխականներն առանձնացնելով՝ մենք ունենք.
. (16)
, 
,
Դա
.
Այս արդյունքը փոխարինելով (16) հավասարմամբ՝ մենք ստանում ենք.
Տատանողական շարժում- մարմնի պարբերական կամ գրեթե պարբերական շարժում, որի կոորդինատը, արագությունը և արագացումը ժամանակի հավասար ընդմիջումներով ստանում են մոտավորապես նույն արժեքները.
Մեխանիկական թրթռումները տեղի են ունենում այն ժամանակ, երբ մարմինը հանվում է հավասարակշռության դիրքից, առաջանում է ուժ, որը հակված է հետ վերադարձնել մարմինը:
x-ի տեղաշարժը մարմնի շեղումն է հավասարակշռության դիրքից։
A ամպլիտուդը մարմնի առավելագույն տեղաշարժի մոդուլն է։
Տատանումների ժամանակաշրջան T - մեկ տատանման ժամանակ.
Տատանումների հաճախականությունը
Մարմնի կողմից կատարվող տատանումների քանակը ժամանակի միավորում. Տատանումների ժամանակ արագությունը և արագացումը պարբերաբար փոխվում են: Հավասարակշռության դիրքում արագությունը առավելագույնն է, իսկ արագացումը՝ զրո։ Առավելագույն տեղաշարժի կետերում արագացումը հասնում է առավելագույնի, իսկ արագությունը դառնում է զրո։
ՀԱՐՄՈՆԻԿ ԹՐԹԱՑՄԱՆ ԺԱՄԱՆԱԿԱՑՈՒՅՑ
Հարմոնիկթրթռումները, որոնք տեղի են ունենում սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի համաձայն, կոչվում են.
որտեղ x(t)-ը համակարգի տեղաշարժն է t ժամանակում, A-ն ամպլիտուդն է, ω-ն՝ տատանումների ցիկլային հաճախականությունը:
Եթե մարմնի շեղումը հավասարակշռության դիրքից գծեք ուղղահայաց առանցքի երկայնքով, իսկ ժամանակը հորիզոնական առանցքի երկայնքով, ապա կստանաք x = x(t) տատանման գրաֆիկ՝ մարմնի տեղաշարժի կախվածությունը ժամանակից: Ազատ ներդաշնակ տատանումների համար դա սինուսային կամ կոսինուսային ալիք է։ Նկարում ներկայացված են x-ի տեղաշարժի կախվածության գրաֆիկները, V x արագության և a x-ի արագացման կանխատեսումները ժամանակին:
Ինչպես երևում է գրաֆիկներից, x առավելագույն տեղաշարժի դեպքում տատանվող մարմնի V արագությունը զրո է, արագացումը a, հետևաբար մարմնի վրա ազդող ուժը առավելագույնն է և ուղղված է տեղաշարժին հակառակ։ Հավասարակշռության դիրքում տեղաշարժը և արագացումը դառնում են զրո, իսկ արագությունը՝ առավելագույնը։ Արագացման պրոյեկցիան միշտ ունի տեղաշարժի հակառակ նշանը:
ՎԻԲՐԱՑԻՈՆ ՇԱՐԺՄԱՆ ԷՆԵՐԳԻԱ
Տատանվող մարմնի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան հավասար է նրա կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների գումարին և շփման բացակայության դեպքում մնում է հաստատուն.
Այն պահին, երբ տեղաշարժը հասնում է առավելագույնի x = A, արագությունը և դրա հետ միասին կինետիկ էներգիան անցնում են զրոյի:
Այս դեպքում ընդհանուր էներգիան հավասար է պոտենցիալ էներգիային.
Տատանվող մարմնի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան համաչափ է նրա տատանումների ամպլիտուդի քառակուսու հետ։
Երբ համակարգը անցնում է հավասարակշռության դիրքը, տեղաշարժը և պոտենցիալ էներգիան զրո են՝ x = 0, E p = 0: Հետևաբար, ընդհանուր էներգիան հավասար է կինետիկ էներգիայի.
Տատանվող մարմնի ընդհանուր մեխանիկական էներգիան համաչափ է հավասարակշռության դիրքում նրա արագության քառակուսին: Հետևաբար.
ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ճոճանակ
1. Մաթեմատիկական ճոճանակնյութական կետ է, որը կախված է անկշռելի անքակտելի թելի վրա։
Հավասարակշռության դիրքում ծանրության ուժը փոխհատուցվում է թելի լարվածությամբ։ Եթե ճոճանակը շեղվի և արձակվի, ապա ուժերը կդադարեն փոխհատուցել միմյանց, և արդյունքում առաջանում է ուժ՝ ուղղված դեպի հավասարակշռության դիրքը: Նյուտոնի երկրորդ օրենքը.
Փոքր տատանումների դեպքում, երբ x-ի տեղաշարժը l-ից շատ փոքր է, նյութական կետը կշարժվի գրեթե երկայնքով հորիզոնական առանցք X. Այնուհետև MAB եռանկյունից ստանում ենք.
Որովհետեւ sin a = x/l, ապա ստացվող R ուժի պրոյեկցիան x առանցքի վրա հավասար է
Մինուս նշանը ցույց է տալիս, որ R ուժը միշտ ուղղված է x-ի տեղաշարժին հակառակ:
2. Այսպիսով, մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակ, ինչպես նաև զսպանակավոր ճոճանակի տատանումների ժամանակ վերականգնող ուժը համաչափ է տեղաշարժին և ուղղված է հակառակ ուղղությամբ։
Համեմատենք մաթեմատիկական և զսպանակային ճոճանակների վերականգնող ուժի արտահայտությունները.
Երևում է, որ մգ/լ-ը k-ի անալոգն է։ Զսպանակային ճոճանակի ժամանակաշրջանի բանաձևում k-ի փոխարինումը մգ/լ-ով
մենք ստանում ենք մաթեմատիկական ճոճանակի պարբերության բանաձևը.
Մաթեմատիկական ճոճանակի փոքր տատանումների ժամանակաշրջանը կախված չէ ամպլիտուդից։
Մաթեմատիկական ճոճանակն օգտագործվում է ժամանակը չափելու և երկրի մակերևույթի վրա գտնվող որոշակի վայրում ձգողության արագացումը որոշելու համար։
Մաթեմատիկական ճոճանակի ազատ տատանումները շեղման փոքր անկյուններում ներդաշնակ են։ Դրանք առաջանում են արդյունքում առաջացող ձգողական ուժի և թելի լարվածության ուժի, ինչպես նաև բեռի իներցիայի պատճառով։ Այս ուժերի արդյունքը վերականգնող ուժն է:
Օրինակ։Որոշե՛ք գրավիտացիայի շնորհիվ արագացումը մի մոլորակի վրա, որտեղ 6,25 մ երկարությամբ ճոճանակն ունի 3,14 վրկ ազատ տատանումների ժամանակաշրջան։
Մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակահատվածը կախված է թելի երկարությունից և ձգողության արագացումից.
Հավասարության երկու կողմերն էլ քառակուսի դնելով՝ ստանում ենք.
Պատասխան.ձգողականության արագացումը 25 մ/վ 2 է։
Խնդիրներ և թեստեր «Թեմա 4. «Մեխանիկա. Տատանումներ և ալիքներ»:
- Լայնակի և երկայնական ալիքներ: Ալիքի երկարություն
Դասեր՝ 3 առաջադրանք՝ 9 թեստ՝ 1
- Ձայնային ալիքներ. Ձայնի արագություն - Մեխանիկական թրթռումներ և ալիքներ: Հնչյուն 9-րդ դասարան
Ի՞նչ է մաթեմատիկական ճոճանակը:
Նախորդ դասերից դուք արդեն պետք է իմանաք, որ ճոճանակ, որպես կանոն, նշանակում է մարմին, որը տատանվում է գրավիտացիոն փոխազդեցության ազդեցության տակ։ Այսինքն՝ կարելի է ասել, որ ֆիզիկայում այս հասկացությունը ընդհանուր առմամբ համարվում է պինդ մարմին, որը ձգողականության ազդեցության տակ կատարում է տատանողական շարժումներ, որոնք տեղի են ունենում ֆիքսված կետի կամ առանցքի շուրջ։
Մաթեմատիկական ճոճանակի գործողության սկզբունքը
Հիմա եկեք նայենք մաթեմատիկական ճոճանակի գործողության սկզբունքին և պարզենք, թե որն է այն:
Մաթեմատիկական ճոճանակի գործողության սկզբունքն այն է, որ երբ նյութական կետը հավասարակշռության դիրքից շեղվում է փոքր a անկյան տակ, այսինքն՝ մի անկյան տակ, որի դեպքում կբավարարվի sina=a պայմանը, ապա ուժը F = -mgsina = - mga-ն կգործի մարմնի վրա:
Ես և դու տեսնում ենք, որ F ուժն ունի բացասական ցուցանիշ, և սրանից հետևում է, որ մինուս նշանը մեզ ասում է, որ այս ուժն ուղղված է այն ուղղությամբ, որը հակառակ է տեղաշարժին։ Եվ քանի որ F ուժը համաչափ է S տեղաշարժին, հետևում է, որ նման ուժի ազդեցությամբ նյութական կետը ներդաշնակ տատանումներ կկատարի։
Ճոճանակի հատկությունները
Եթե վերցնենք որևէ այլ ճոճանակ, ապա դրա տատանման շրջանը կախված է բազմաթիվ գործոններից։ Այս գործոնները ներառում են.
Նախ, մարմնի չափը և ձևը.
Երկրորդ, հեռավորությունը, որը գոյություն ունի կասեցման կետի և ծանրության կենտրոնի միջև.
Երրորդ, նաև մարմնի զանգվածի բաշխումը տվյալ կետի նկատմամբ։
Ճոճանակների այս զանազան հանգամանքների հետ կապված՝ կախված մարմնի ժամկետը որոշելը բավականին դժվար է։
Եվ եթե վերցնենք մաթեմատիկական ճոճանակ, ապա այն ունի բոլոր այն հատկությունները, որոնք կարելի է ապացուցել՝ օգտագործելով հայտնի ֆիզիկական օրենքներև դրա ժամկետը կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը.
Նման մեխանիկական համակարգերի վերաբերյալ բազմաթիվ տարբեր դիտարկումներ կատարելով՝ ֆիզիկոսները կարողացան որոշել այնպիսի օրինաչափություններ, ինչպիսիք են.
Նախ, ճոճանակի ժամանակահատվածը կախված չէ բեռի զանգվածից: Այսինքն, եթե ճոճանակի նույն երկարությամբ մենք կասեցնենք նրանից տարբեր զանգվածներ ունեցող կշիռները, ապա դրանց տատանումների ժամանակաշրջանը դեռ նույնը կլինի, նույնիսկ եթե դրանց զանգվածները ունեն բավականին ցայտուն տարբերություններ։
Երկրորդ, եթե համակարգը գործարկելիս ճոճանակը շեղենք փոքր, բայց տարբեր անկյուններով, ապա նրա տատանումները կունենան նույն պարբերությունը, բայց ամպլիտուդները տարբեր կլինեն։ Հավասարակշռության կենտրոնից փոքր շեղումների դեպքում թրթռումները իրենց ձևով կունենան գրեթե ներդաշնակ բնույթ։ Այսինքն՝ կարելի է ասել, որ նման ճոճանակի պարբերությունը կախված չէ տատանումների ամպլիտուդից։ Հունարենից թարգմանված՝ այս մեխանիկական համակարգի այս հատկությունը կոչվում է իզոխրոնիզմ, որտեղ «իսոս» նշանակում է հավասար, իսկ «քրոնոս»՝ ժամանակ։
Ճոճանակի տատանումների գործնական կիրառում
Մաթեմատիկական ճոճանակ համար տարբեր ուսումնասիրություններօգտագործվում է ֆիզիկոսների, աստղագետների, գեոդեզիստների և այլ գիտնականների կողմից: Նման ճոճանակի օգնությամբ նրանք հանքանյութեր են որոնում։ Դիտելով մաթեմատիկական ճոճանակի արագացումը և հաշվելով նրա տատանումների քանակը՝ կարելի է գտնել ածխի և հանքաքարի հանքավայրեր մեր Երկրի աղիքներում:
Հայտնի ֆրանսիացի աստղագետ և բնագետ Կ.Ֆլամարիոնը պնդում էր, որ մաթեմատիկական ճոճանակի օգնությամբ իրեն հաջողվել է շատ բան անել. կարևոր բացահայտումներ, ներառյալ Տունգուսկա երկնաքարի հայտնվելը և նոր մոլորակի հայտնաբերումը։
Մեր օրերում շատ էքստրասենսներ և օկուլտիստներ օգտագործում են նման մեխանիկական համակարգ՝ անհայտ կորած մարդկանց որոնելու և մարգարեական կանխատեսումներ անելու համար։
Սահմանում
Մաթեմատիկական ճոճանակ- Սա հատուկ դեպքֆիզիկական ճոճանակ, որի զանգվածը գտնվում է մեկ կետում:
Որպես կանոն, մաթեմատիկական ճոճանակը համարվում է մեծ զանգված ունեցող փոքր գնդիկ (նյութական կետ), որը կախված է երկար չընդլայնվող թելի վրա (կախոց): Սա իդեալականացված համակարգ է, որը տատանվում է գրավիտացիայի ազդեցության տակ։ Միայն 50-100 կարգի անկյունների համար մաթեմատիկական ճոճանակը հարմոնիկ տատանումներ է, այսինքն՝ կատարում է ներդաշնակ տատանումներ։
Ուսումնասիրելով երկար շղթայի վրա ջահի ճոճանակը՝ Գալիլեոն ուսումնասիրեց մաթեմատիկական ճոճանակի հատկությունները։ Նա հասկացավ, որ տվյալ համակարգի տատանումների ժամանակաշրջանը կախված չէ շեղման փոքր անկյուններում ամպլիտուդից։
Մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանի բանաձևը
Թող ճոճանակի կախովի կետը անշարժ լինի: Ճոճանակի թելից կախված բեռը շարժվում է շրջանաձև աղեղի երկայնքով (Նկար 1(ա)) արագացումով և դրա վրա գործում է որոշակի վերականգնող ուժ ($\overline(F)$): Այս ուժը փոխվում է, երբ բեռը շարժվում է: Արդյունքում շարժման հաշվարկը դառնում է բարդ։ Ներկայացնենք մի քանի պարզեցումներ։ Թող ճոճանակը տատանվի ոչ թե հարթության մեջ, այլ նկարագրի կոն (նկ. 1 (բ)): Այս դեպքում բեռը շարժվում է շրջանագծի մեջ: Մեզ հետաքրքրող տատանումների ժամանակաշրջանը կհամընկնի բեռի կոնաձև շարժման ժամանակաշրջանի հետ։ Շրջանի շուրջ կոնաձև ճոճանակի պտտման ժամանակահատվածը հավասար է շրջանի շուրջ մեկ պտույտի վրա բեռի անցկացրած ժամանակին.
որտեղ $L$-ը շրջագիծն է. $v$-ը բեռի շարժման արագությունն է։ Եթե թելի շեղման անկյունները ուղղահայացից փոքր են (վիբրացիայի փոքր ամպլիտուդներ), ապա ենթադրվում է, որ վերականգնող ուժը ($F_1$) ուղղված է այն շրջանագծի շառավղով, որը նկարագրում է բեռը։ Ապա այս ուժը հավասար է կենտրոնաձիգ ուժին.
Եկեք դիտարկենք նմանատիպ եռանկյուններ AOB և DBC (Նկար 1 (բ)):
Մենք հավասարեցնում ենք (2) և (3) արտահայտությունների աջ կողմերը՝ արտահայտելով բեռի շարժման արագությունը.
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\ձախ(4\աջ):\]
Ստացված արագությունը փոխարինում ենք (1) բանաձևով, ունենք.
\ \
Բանաձևից (5) մենք տեսնում ենք, որ մաթեմատիկական ճոճանակի պարբերությունը կախված է միայն դրա կասեցման երկարությունից (կախման կետից մինչև բեռի ծանրության կենտրոնի հեռավորությունը) և ազատ անկման արագացումից։ Բանաձևը (5) մաթեմատիկական ճոճանակի ժամանակաշրջանի համար կոչվում է Հյուգենսի բանաձև, այն բավարարվում է, երբ ճոճանակի կախման կետը չի շարժվում։
Օգտագործելով մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանի կախվածությունը ծանրության արագացումից՝ որոշվում է այդ արագացման մեծությունը։ Դա անելու համար չափեք ճոճանակի երկարությունը՝ հաշվի առնելով մեծ թվով տատանումներ, գտեք $T$ պարբերությունը, ապա հաշվարկեք ձգողության արագացումը։
Լուծումների հետ կապված խնդիրների օրինակներ
Օրինակ 1
Զորավարժություններ.Ինչպես հայտնի է, ձգողականության հետևանքով առաջացած արագացման մեծությունը կախված է լայնությունից։ Որքա՞ն է ձգողականության արագացումը Մոսկվայի լայնության վրա, եթե $l=2,485\cdot (10)^(-1)$m երկարությամբ մաթեմատիկական ճոճանակի տատանման պարբերությունը հավասար է T=1 վ-ի:\textit()
Լուծում.Որպես խնդրի լուծման հիմք՝ վերցնում ենք մաթեմատիկական ճոճանակի պարբերության բանաձևը.
Եկեք արտահայտենք (1.1) ազատ անկման արագացումը.
Եկեք հաշվարկենք պահանջվող արագացումը.
Պատասխանել.$g=9,81\frac(m)(s^2)$
Օրինակ 2
Զորավարժություններ.Որքա՞ն կլինի մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումների ժամանակաշրջանը, եթե դրա կախման կետը շարժվի ուղղահայաց դեպի ներքև 1) հաստատուն արագություն? 2) արագացումով $a$? Այս ճոճանակի թելի երկարությունը $l.$ է
Լուծում.Եկեք նկարենք:
1) Մաթեմատիկական ճոճանակի պարբերությունը, որի կախման կետը միատեսակ է շարժվում, հավասար է ֆիքսված կախման կետ ունեցող ճոճանակի պարբերությանը.
2) Ճոճանակի կախման կետի արագացումը կարելի է համարել $F=ma$-ին հավասար լրացուցիչ ուժի առաջացում, որն ուղղված է արագացման դեմ։ Այսինքն, եթե արագացումն ուղղված է դեպի վեր, ապա լրացուցիչ ուժն ուղղված է դեպի ներքև, ինչը նշանակում է, որ այն գումարվում է ձգողության ուժին ($mg$): Եթե կախման կետը շարժվում է դեպի ներքև արագացումով, ապա լրացուցիչ ուժը հանվում է ծանրության ուժից։
Մենք գտնում ենք մաթեմատիկական ճոճանակի պարբերությունը, որը տատանվում է, և որի կասեցման կետը շարժվում է արագացումով հետևյալ կերպ.
Պատասխանել. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
