Հավասարումներ լուծելիս կողմնակի արմատների առաջացման պատճառները. Հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները

Քրեական դատավարության, ինչպես նաև քաղաքացիական դատավարության որոշումները կայացվում են անունից

1) Նախագահ Ռուսաստանի Դաշնություն

2) Ռուսաստանի Դաշնություն

3) Ռուսաստանի Դաշնության կառավարությունը

4) Ռուսաստանի Դաշնության Դաշնային ժողովը

Բացատրություն.

Արվեստի 28-րդ կետի համաձայն. Քրեական դատավարության օրենսգրքի 5-րդ հոդվածով` վճիռը ամբաստանյալի անմեղության կամ մեղավորության և պատիժ նշանակելու կամ պատժից ազատելու մասին առաջին ատյանի կամ վերաքննիչ դատարանի կողմից կայացված որոշումն է: Բացի դատավճռում նշվածներից, կարող են լուծվել Ռուսաստանի Դաշնության քրեական դատավարության օրենսգրքով նախատեսված այլ հարցեր: Դատավճիռն արդարադատության ակտ է, դատական ​​իշխանության հեղինակության մարմնացում։ Ռուսաստանի Դաշնության բոլոր դատարանները վճիռներ են կայացնում Ռուսաստանի Դաշնության անունից:

Պատասխան՝ 2

Ո՞վ է հանցագործությունից տուժած անձը.

1) կասկածելի

2) ամբաստանյալները

3) զոհեր

Բացատրություն.

Կասկածյալ՝ հանցագործություն կատարելու կասկածանքով կալանավորված անձ կամ անձ, ում նկատմամբ խափանման միջոց է կիրառվել մինչև մեղադրանք առաջադրելը։

Ամբաստանյալը մեղադրյալն է, ում նկատմամբ գործն ընդունվել է դատարանի վարույթ։ Այն անձը, որի նկատմամբ պատիժ է նշանակվել, կոչվում է դատապարտված, եթե դատավճիռը մեղավոր է, կամ արդարացված, եթե դատավճիռը մեղավոր չէ (Քրեական դատավարության օրենսգրքի 46-րդ հոդվածի 2-րդ մաս):

Հայցվորը քաղաքացիական դատավարության մասնակից է, որի սուբյեկտիվ իրավունքների և (կամ) պաշտպանված շահերի պաշտպանության համար հարուցվել է քաղաքացիական գործ։

Ճիշտ պատասխանը նշված է թիվ 3-ում:

Պատասխան՝ 3

Առարկայական ոլորտ՝ Իրավունք. Քրեական գործընթացի առանձնահատկությունները

Քրեական գործը դատարան բերելուց հետո մեղադրյալը դառնում է

1) կասկածելի

2) ամբաստանյալները

3) հանցագործ

4) դատապարտված

Բացատրություն.

Կասկածյալ - դեռ հետաքննություն է ընթանում

Քրեական - երբ մեղքն ամբողջությամբ ապացուցված է

Դատապարտյալ - դատարանի կողմից դատավճռի կայացումից հետո

Ճիշտ պատասխանը նշված է թիվ 2-ում:

Պատասխան՝ 2

Առարկայական ոլորտ՝ Իրավունք. Քրեական գործընթացի առանձնահատկությունները

Ի՞նչ իրավիճակ է կարգավորվում քրեական օրենսդրությամբ։

1) խախտվել են հրդեհային անվտանգության կանոնները

2) հայց է ներկայացվել ապօրինի աշխատանքից ազատելու համար

3) դիմում է ներկայացվել դատարանի կողմից անգործունակ ճանաչված քաղաքացի Դ.-ի նկատմամբ խնամակալություն սահմանելու մասին.

4) դիտավորությամբ առողջությանը ծանր վնաս պատճառել

Բացատրություն.

Քրեական իրավունքը իրավունքի ճյուղ է, որը կարգավորում է հանցավոր արարքների կատարման, պատիժ նշանակելու և քրեաիրավական բնույթի այլ միջոցների կիրառման հետ կապված սոցիալական հարաբերությունները՝ ստեղծելով քրեական հետապնդման կամ քրեական պատասխանատվությունից և պատժից ազատելու հիմքերը։

Պատասխան՝ 4

Առարկայական ոլորտ՝ Իրավունք. Քրեական գործընթացի առանձնահատկությունները

Ռուսաստանի Դաշնությունում երդվյալ ատենակալների մասնակցությունը դատական ​​գործերին նախատեսված է ընթացքի մեջ գտնվող գործերը քննարկելիս

1) վարչական

2) արբիտրաժ

3) քաղաքացիական

4) քրեական

Բացատրություն.

Ժյուրին դատական ​​համակարգի ինստիտուտ է, որը բաղկացած է երդվյալ ատենակալներից, որոնք ընտրվում են պատահական ընտրանքով միայն տվյալ գործի համար և որոշում են փաստի հարցերը, և մեկ պրոֆեսիոնալ դատավոր, որը որոշում է իրավական հարցերը: Երդվյալ ատենակալները քննում են քրեական գործերը, որոնք ներառում են մեղադրանքներ, սովորաբար ծանր հանցագործությունների համար, առաջին ատյանում: Որոշ երկրներում, ներառյալ Ռուսաստանում, երդվյալ ատենակալների դատավարությունը հնարավոր է միայն քրեական դատավարության ընթացքում: ԱՄՆ որոշ նահանգներում և որոշ երկրներում ժյուրիները կարող են որոշում կայացնել միայն միաձայն: Մյուսներում՝ պարզ կամ որակյալ մեծամասնությամբ։ (Ռուսաստանի Դաշնությունում ժյուրին որոշում է կայացնում ձայների մեծամասնությամբ:) Նաև որոշ երկրներում երդվյալ ատենակալները խորհուրդ են տալիս մահապատիժ կիրառելու կամ մեղմացուցիչ հանգամանքների առկայության վերաբերյալ: Սակայն պատժի ընտրության հարցը միշտ որոշում է միայն դատավորը։ (Բացառություն է կազմում Միացյալ Նահանգները, մահապատժի հնարավորության հետ կապված գործի դեպքում մահապատիժը չկիրառելու ժյուրիի որոշումը վերջնական է և չի կարող բողոքարկվել):

Ճիշտ պատասխանը նշված է թիվ 4-ում:

Պատասխան՝ 4

Առարկայական ոլորտ՝ Իրավունք. Քրեական գործընթացի առանձնահատկությունները

Առանց օրինական հիմքերի նամակագրության, հեռախոսային խոսակցությունների և հեռագրային հաղորդագրությունների գաղտնիության խախտումը պատժվում է օրենքով.

1) քրեական

2) վարչական

3) քաղաքացիական

4) աշխատուժ

Բացատրություն.

Քրեական իրավունքը իրավունքի ճյուղ է, որը բաղկացած է իրավական նորմերից, որոնք որոշում են, թե որ սոցիալապես վտանգավոր արարքներն են համարվում քրեական և ինչ պատիժներ կարող են սահմանվել դրանց համար։ Առանց օրինական հիմքերի նամակագրության, հեռախոսային խոսակցությունների և հեռագրական հաղորդագրությունների գաղտնիության խախտումը պատժվում է քրեական օրենսդրությամբ։

Ճիշտ պատասխանը նշված է թվի տակ՝ 1.

ԱնունՀասարակագիտություն - Էքսպրես-դաստիարակ՝ միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելու համար.

Այս գիրքն է ուսուցողականարագի համար և արդյունավետ պատրաստումդպրոցականներ և սոցիալական գիտությունների միասնական պետական ​​քննության (USE) դիմորդներ, որն իր բովանդակությամբ համապատասխանում է. պետական ​​ստանդարտհասարակագիտական ​​կրթություն. Ձեռնարկը նպատակ ունի աջակցելու սոցիալական գիտությունների դասընթացի «Իրավունք» բովանդակային բլոկի գիտելիքների համակարգմանը, խորացմանը և ընդհանրացմանը:

Այս ուղեցույցը նախատեսված է ինքնուսուցումդպրոցականներ և միասնական պետական ​​քննության դիմորդներ.
Այն ներառում է առաջադրանքներ հասարակագիտության դասընթացի «Իրավունք» բովանդակային բլոկի համար: Յուրաքանչյուր բաժնին նախորդում է տեսական նյութ՝ տրված հակիրճ և մատչելի ձևով, օրինակ՝ դիագրամների և աղյուսակների տեսքով։
Վերապատրաստման առաջադրանքները համապատասխանում են միասնական պետական ​​քննության ձևաչափին և ուղղված են թեստերն արագ և գրագետ լուծելու հմտությունների զարգացմանը։ Գրքի վերջում ներկայացված են բոլոր առաջադրված առաջադրանքների պատասխանները, որոնք թույլ կտան օբյեկտիվորեն գնահատել քննությանը պատրաստվածության մակարդակը։

Նախաբան. 4
ՃԻՇՏ
Տեսական նյութ (էքսպրես դասընթաց). տասնմեկ
Թեմա 1. Օրենքը համակարգում սոցիալական նորմեր. 11
Թեմա 2. Իրավական համակարգ՝ հիմնական ճյուղեր, հիմնարկներ, հարաբերություններ. 22
Թեմա 3. Իրավունքի աղբյուրները. 26
Թեմա 4. Իրավական ակտեր. 28
Թեմա 5. Իրավական հարաբերություններ. 32
Թեմա 6. Իրավախախտումներ. 36
Թեմա 7. Ռուսաստանի Դաշնության Սահմանադրություն. 39
Թեմա 8. Հանրային և մասնավոր իրավունք. 50
Թեմա 9. Իրավական պատասխանատվությունը և դրա տեսակները. 51
Թեմա 10. Ռուսաստանի Դաշնությունում պետական, վարչական, քաղաքացիական, աշխատանքային և քրեական իրավունքի հիմնական հասկացություններն ու նորմերը: 57
Թեմա 11. Իրավական հիմքամուսնություն և ընտանիք. 96
Թեմա 12. Մարդու իրավունքների միջազգային փաստաթղթեր. 106
Թեմա 13. Մարդու իրավունքների դատական ​​պաշտպանության համակարգ. 109
Թեմա 14. Ռուսաստանի Դաշնության սահմանադրական համակարգի հիմունքները. 112
Թեմա 15. Ֆեդերացիա, նրա սուբյեկտները. 116
Թեմա 16. Ռուսաստանի Դաշնությունում օրենսդիր, գործադիր և դատական ​​իշխանությունները. 122
Թեմա 17. Նախագահության ինստիտուտ. 135
Թեմա 18. Իրավապահ մարմիններ. 140
Թեմա 19. Մարդու իրավունքների միջազգային պաշտպանությունը խաղաղ և պատերազմական ժամանակներում. 144
Թեմա 20. Իրավական մշակույթ. 150
Վերապատրաստման առաջադրանքներ. 157
Մաս 1 (Ա). 157
Մաս 2 (Բ). 169
Մաս 3 (Գ). 178
Պատասխաններ վերապատրաստման առաջադրանքներ. 181
Մաս 1 (Ա). 181
Մաս 1 (Բ). 183
Մաս 3 (Գ). 184
գրականություն. 190 թ

Անվճար ներբեռնում էլեկտրոնային գիրքհարմար ձևաչափով դիտեք և կարդացեք.
Ներբեռնեք գիրքը Սոցիալական ուսումնասիրություններ - Էքսպրես դասավանդող միասնական պետական ​​քննությանը պատրաստվելու համար - Իրավունք - Baranov P.A., Vorontsov A.V. - fileskachat.com, արագ և անվճար ներբեռնում:

Ներբեռնեք pdf
Այս գիրքը կարող եք գնել ստորև լավագույն գինզեղչով՝ առաքումով ամբողջ Ռուսաստանում։

§ 1. ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԸ ԼՈՒԾԵԼԻՑ ԿՈՐԱԾ ԵՎ ԱՐՄԱՏՆԵՐԸ (ՕՐԻՆՆԵՐՈՎ)

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹ

1. VII գլխի 3-րդ մասի երկու թեորեմներ խոսեցին այն մասին, թե ինչ գործողությունները հավասարումների վրա չեն խախտում դրանց համարժեքությունը:

2. Այժմ դիտարկենք այնպիսի գործողություններ հավասարումների վրա, որոնք կարող են հանգեցնել նոր հավասարման, որն անհավասար է սկզբնական հավասարմանը: Ընդհանուր նկատառումների փոխարեն մենք կսահմանափակվենք միայն կոնկրետ օրինակներ դիտարկելով։

3. Օրինակ 1. Տրվում է հավասարում Բացեք այս հավասարման փակագծերը և փոխանցեք բոլոր անդամները. ձախ կողմև լուծել քառակուսի հավասարումը: Դրա արմատներն են

Եթե ​​հավասարման երկու կողմերն էլ կրճատեք ընդհանուր գործակցով, ապա կստանաք մի հավասարում, որն անհավասար է սկզբնականին, քանի որ այն ունի միայն մեկ արմատ:

Այսպիսով, հավասարման երկու կողմերը անհայտ պարունակող գործոնով կրճատելը կարող է հանգեցնել հավասարման արմատների կորստի:

4. Օրինակ 2. Տրվում է հավասարում։ Այս հավասարումն ունի մեկ արմատ։ Եկեք այս հավասարման երկու կողմերը քառակուսի դարձնենք և կստանանք։ Լուծելով այս հավասարումը, գտնում ենք երկու արմատ.

Մենք տեսնում ենք, որ նոր հավասարումը համարժեք չէ սկզբնական հավասարմանը:Արմատը հավասարման արմատն է, որը երկու կողմերը քառակուսացնելուց հետո տանում է դեպի հավասարումը:

5. Կողմնակի արմատներ կարող են հայտնվել նաև այն դեպքում, երբ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվում են անհայտ պարունակող գործակցով, եթե այդ գործոնը անհետանում է x-ի իրական արժեքների համար:

Օրինակ 3. Եթե հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք, ապա կստանանք նոր հավասարում, որը տերմինը աջից ձախ տեղափոխելուց և այն գործակցելուց հետո հավասարություն է տալիս որևէ մեկից։

Արմատը չի բավարարում միայն մեկ արմատ ունեցող հավասարմանը

Այսպիսով, մենք եզրակացնում ենք. հավասարման երկու կողմերը քառակուսի դնելիս (ընդհանուր առմամբ, նույնիսկ աստիճան), ինչպես նաև երբ բազմապատկվում է անհայտ պարունակող և անհայտի իրական արժեքների համար անհետացող գործակցով, կարող են հայտնվել կողմնակի արմատներ:

Այստեղ արտահայտված բոլոր նկատառումները հավասարման կողմնակի արմատների կորստի և առաջացման հարցի վերաբերյալ հավասարապես վերաբերում են ցանկացած հավասարումների (հանրահաշվական, եռանկյունաչափական և այլն):

6. Հավասարումը կոչվում է հանրահաշվական, եթե անհայտի վրա կատարվում են միայն հանրահաշվական գործողություններ՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում, հզորացում և արմատից հանում բնական ցուցիչով (իսկ այդպիսի գործողությունների թիվը վերջավոր է):

Այսպիսով, օրինակ, հավասարումները

հանրահաշվական են, իսկ հավասարումները

Եռանկյունաչափական հավասարումների թեման սկսվում է դպրոցական դասախոսությունից, որը կառուցված է էվրիստիկական զրույցի տեսքով։ Դասախոսության ընթացքում քննարկվում են տեսական նյութեր և բոլոր բնորոշ խնդիրների լուծման օրինակներ՝ ըստ պլանի.

• Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները.
• Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.
• Միատարր հավասարումներ.

Հետևյալ դասերին սկսվում է ինքնուրույն հմտությունների զարգացումը՝ ուսուցչի և աշակերտի համատեղ գործունեության սկզբունքի կիրառման հիման վրա։ Նախ, ուսանողների համար նպատակներ են դրվում, այսինքն. որոշվում է, թե ով է ուզում իմանալ ավելին, քան այն, ինչ պահանջում է պետական ​​ստանդարտը, և ով է պատրաստ անել ավելին։

Վերջնական ախտորոշումը ստեղծվում է հաշվի առնելով մակարդակի տարբերակումը, որը թույլ է տալիս ուսանողներին գիտակցաբար որոշել նվազագույն գիտելիքները, որոնք անհրաժեշտ են «3» գնահատական ​​ստանալու համար: Դրա հիման վրա ընտրվում են բազմամակարդակ նյութեր՝ ուսանողների գիտելիքները ախտորոշելու համար: Նման աշխատանքը թույլ է տալիս անհատական ​​մոտեցում ցուցաբերել ուսանողներին, ներառյալ բոլորին գիտակից ուսումնական գործունեության մեջ, զարգացնել ինքնակազմակերպման և ինքնուսուցման հմտությունները և ապահովել անցում դեպի ակտիվ, անկախ մտածողություն:

Սեմինարն անցկացվում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական հմտությունները կիրառելուց հետո։ Սեմինարից առաջ մի քանի դասաժամ ուսանողներին տրվում են հարցեր, որոնք կքննարկվեն սեմինարի ընթացքում:

Սեմինարը բաղկացած է երեք մասից.

1. Ներածական մասն ընդգրկում է ամբողջ տեսական նյութը, այդ թվում՝ ներածություն այն խնդիրների մասին, որոնք կառաջանան բարդ հավասարումներ լուծելիս:

2. Երկրորդ մասում քննարկվում է ձևի հավասարումների լուծումը.

• և cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0:
• աստիճանը նվազեցնելով լուծելի հավասարումներ.

Այս հավասարումները օգտագործում են ունիվերսալ փոխարինում, աստիճանի կրճատման բանաձևեր և օժանդակ փաստարկների մեթոդ:

3. Երրորդ մասը վերաբերում է արմատների կորստի խնդիրներին և կողմնակի արմատների ձեռքբերմանը: Ցույց է տալիս, թե ինչպես ընտրել արմատները:

Աշակերտները աշխատում են խմբերով: Օրինակները լուծելու համար հրավիրվում են լավ պատրաստված տղաներ, ովքեր կարող են ցույց տալ և բացատրել նյութը:

Սեմինարը նախատեսված է լավ պատրաստված ուսանողի համար, քանի որ... այն անդրադառնում է ծրագրային նյութի շրջանակներից փոքր-ինչ դուրս խնդիրներին: Այն ներառում է ավելի բարդ ձևի հավասարումներ և հատկապես անդրադառնում է բարդ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ժամանակ հանդիպող խնդիրներին:

Սեմինարն անցկացվեց 10-11-րդ դասարանների աշակերտների համար: Յուրաքանչյուր աշակերտ հնարավորություն ուներ ընդլայնելու և խորացնելու իր գիտելիքներն այս թեմայի շուրջ, համեմատելու իր գիտելիքների մակարդակը ոչ միայն դպրոցի շրջանավարտին, այլև V.U.Z ընդունվողների պահանջների հետ:

ՍԵՄԻՆԱՐ

Առարկա:«Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում»

Նպատակները:

• Ընդհանրացնել գիտելիքները բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման վերաբերյալ:
• Կենտրոնանալ խնդիրների վրա. արմատների կորուստ; օտար արմատներ; արմատային ընտրություն.

ԴԱՍԵՐԻ ԺԱՄԱՆԱԿ.

I. Ներածական մաս

1. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդներ

• Ֆակտորիզացիա.
• Նոր փոփոխականի ներդրում.
• Ֆունկցիոնալ-գրաֆիկական մեթոդ.

2. Եռանկյունաչափական հավասարումների որոշ տեսակներ.

• Հավասարումներ, որոնք նվազեցնում են քառակուսի հավասարումներ, հարաբերական cos x = t, sin x = t.

Ասին 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0:

Դրանք լուծվում են նոր փոփոխականի ներդրմամբ։

• Առաջին և երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարումներ

Առաջին աստիճանի հավասարում. Asinx + Bcosx = 0 բաժանել cos x-ի վրա, մենք ստանում ենք Atg x + B = 0

Երկրորդ աստիճանի հավասարում. Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 բաժանել cos 2 x-ի վրա, մենք ստանում ենք Atg 2 x + Btgx + C = 0

Դրանք լուծվում են ֆակտորիզացիայի և նոր փոփոխականի ներդրման միջոցով։

Կիրառվում են բոլոր մեթոդները։

• Նվազեցում:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Լուծվում է ֆակտորացման մեթոդով:

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C:

• Ձևի հավասարումը. A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0:

Կրճատվել է քառակուսու՝ t = sinx + cosx-ի նկատմամբ; sin2x = t 2 – 1:

3. Բանաձեւեր.

x + 2n; Ստուգումը պարտադիր է:

• Նվազող աստիճան՝ cos 2 x = (1 + cos2x): 2; մեղք 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Օժանդակ փաստարկների մեթոդ.

Փոխարինեք Acosx + Bsinx-ը Csin-ով (x +), որտեղ sin = a/C; cos=v/c;

- օժանդակ փաստարկ.

4. Կանոններ.

• Եթե ​​տեսնում եք քառակուսի, իջեցրեք աստիճանը:
• Եթե ​​կտոր տեսնեք, գումարեք։
• Եթե ​​տեսնում եք գումարը, ապա կատարեք աշխատանքը։

5. Արմատների կորուստ, ավելորդ արմատներ։

• Արմատների կորուստ՝ բաժանել g(x); վտանգավոր բանաձեւեր (ունիվերսալ փոխարինում): Այս գործողություններով մենք նեղացնում ենք սահմանման շրջանակը:

• Ավելորդ արմատներ. բազմապատկել g(x)-ով (ազատվել հայտարարից): Այս գործողություններով մենք ընդլայնում ենք սահմանման շրջանակը:

II. Եռանկյունաչափական հավասարումների օրինակներ

1. Asinx + Bcosx = C ձևի հավասարումներ

1) Ունիվերսալ փոխարինում.O.D.Z. x - ցանկացած:

3 մեղք 2x + cos 2x + 1= 0:

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = արկտան (–1/3) + k, k Z.

Փորձաքննություն: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0:

x = /2 + n, n e Z. Հավասարման արմատն է:

Պատասխան. x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Ֆունկցիոնալ-գրաֆիկական մեթոդ. Օ.Դ.Զ. x - ցանկացած:

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1:

Եկեք գծենք ֆունկցիաները՝ y = sinx, y = cosx + 1:

Պատասխան. x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Օժանդակ փաստարկի ներդրում. O.D.Z.: x – ցանկացած:

8cosx + 15 sinx = 17:

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, քանի որ (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, ապա գոյություն ունի այնպիսին, որ մեղքը = 8/17,

cos = 15/17, ինչը նշանակում է մեղք cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Պատասխան. x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Կրճատելով կարգը՝ Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C:

1). մեղք 2 3x + մեղք 2 4x + մեղք 2 6x + մեղք 2 7x = 2. O.D.Z.՝ x – ցանկացած.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x (cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0:

Պատասխան. x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

ժամը

k = 1 և m = 0 k = 4 և m = 1:

շարքերը նույնն են.

3. Նվազեցում դեպի միատարրություն. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C:

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ՝ x – ցանկացած.
5 մեղք 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 մեղք 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) չի կարելի բաժանել cos 2 x-ի, քանի որ մենք կորցնում ենք արմատները:
cos 2 x = 0 բավարարում է հավասարումը:
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0:
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Պատասխան. x = /2 + k, k Z., x = –/6 + n, n Z

4. Ձևի հավասարումը A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0:

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.՝ x – ցանկացած:
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1:
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | տ | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = Ս. cosx = մեղք (x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
մեղք (x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Պատասխան. x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Ֆակտորիզացիա.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx (cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2) (cosx + 2 sinx) = 0:

1) cosx = 2, առանց արմատների:
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Պատասխան. x = արկտան (1/2) + n, n Զ.

III. Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս առաջացող խնդիրներ

1. Արմատների կորուստ՝ բաժանել g(x); Մենք օգտագործում ենք վտանգավոր բանաձևեր.

1) Գտեք սխալը:

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 բանաձեւ:
2 մեղք 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 բաժանել 2 մեղքի 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Զ.
Կորած արմատները sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Ճիշտ լուծում. 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0:

մեղք 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Օտար արմատներ՝ ազատվում ենք հայտարարից; բարձրացնել հավասարաչափ հզորության:

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.՝ sin2x 3/2:

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Զ.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 մեղք 2/3 = 3/2 չեն բավարարում. Օ.Դ.Զ. 2. n = 1 մեղք 2=0 բավարարել Օ.Դ.Զ. 3. n = 2 մեղք 2/ 3 = –3/2 բավարարել Օ.Դ.Զ.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 մեղք 2/6 = 3/2 չեն բավարարում O.D.Z. 2. k = 1 մեղք 2*5/6 = –3/2 բավարարել Օ.Դ.Զ.

Պատասխան. x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

Հավասարումներ լուծելիս առավել հաճախ օգտագործվում են հետևյալ փոխակերպումները.

Այլ փոխակերպումներ

Նախորդ պարբերությունում ներկայացված ցանկում մենք միտումնավոր չենք ներառել այնպիսի փոխակերպումներ, ինչպիսիք են հավասարման երկու կողմերը նույն բնական ուժի բարձրացումը, լոգարիթմը, հավասարման երկու կողմերն ուժեղացնելը, նույն աստիճանի արմատը հանելը հավասարման երկու կողմերից: հավասարում, ազատում արտաքին ֆունկցիաեւ ուրիշներ. Փաստն այն է, որ այս փոխակերպումները այնքան էլ ընդհանուր չեն. վերը նշված ցուցակից փոխակերպումները օգտագործվում են բոլոր տեսակի հավասարումները լուծելու համար, իսկ հենց նշված փոխակերպումները՝ որոշ տեսակի (իռացիոնալ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և այլն) հավասարումների լուծման համար: Դրանք մանրամասն քննարկվում են համապատասխան տեսակի հավասարումների լուծման համապատասխան մեթոդների շրջանակներում։ Ահա դրանց մանրամասն նկարագրությունների հղումները.

• Հավասարման երկու կողմերը նույն բնական ուժի բարձրացում:
• Հավասարման երկու կողմերի լոգարիթմների ընդունում.
• Հզորացնելով հավասարման երկու կողմերը.
• Միևնույն հզորության արմատը հանելով հավասարման երկու կողմերից.
• Բնօրինակ հավասարման մասերից մեկին համապատասխան արտահայտության փոխարինում սկզբնական հավասարման մեկ այլ մասի արտահայտությամբ..

Տրամադրված հղումները պարունակում են համապարփակ տեղեկատվություն թվարկված փոխակերպումների վերաբերյալ: Հետևաբար, այս հոդվածում մենք այլևս չենք անդրադառնա դրանց վրա: Հետագա բոլոր տեղեկությունները վերաբերում են հիմնական փոխակերպումների ցանկից վերափոխումներին:

Ի՞նչ է տեղի ունենում հավասարումը փոխակերպելու արդյունքում:

Վերոնշյալ բոլոր փոխակերպումները կատարելը կարող է տալ կամ հավասարում, որն ունի նույն արմատները, ինչ սկզբնական հավասարումը, կամ հավասարում, որի արմատները պարունակում են սկզբնական հավասարման բոլոր արմատները, բայց որը կարող է ունենալ նաև այլ արմատներ, կամ հավասարում, որի արմատները չեն ներառել փոխակերպված հավասարման բոլոր արմատները: Հետևյալ պարբերություններում մենք կվերլուծենք, թե այս փոխակերպումներից որ մեկը, որ պայմաններում, ինչ հավասարումների է հանգեցնում։ Սա չափազանց կարևոր է իմանալ հավասարումները հաջողությամբ լուծելու համար:

Հավասարումների համարժեք փոխակերպումներ

Առանձնահատուկ հետաքրքրություն են ներկայացնում հավասարումների փոխակերպումները, որոնց արդյունքում ստացվում են համարժեք հավասարումներ, այսինքն՝ հավասարումներ, որոնք ունեն նույն արմատների հավաքածուն, ինչ սկզբնական հավասարումը: Նման փոխակերպումները կոչվում են համարժեք փոխակերպումներ. Դպրոցական դասագրքերում համապատասխան սահմանումը հստակորեն տրված չէ, բայց հեշտ է կարդալ համատեքստից.

Սահմանում

Հավասարումների համարժեք փոխակերպումներփոխակերպումներ են, որոնք տալիս են համարժեք հավասարումներ։

Այսպիսով, ինչու են համարժեք փոխակերպումները հետաքրքիր: Փաստն այն է, որ եթե նրանց օգնությամբ լուծվող հավասարումից հնարավոր լինի հասնել բավականին պարզ համարժեք հավասարման, ապա այս հավասարումը լուծելով նախնական հավասարման ցանկալի լուծումը կտա:

Նախորդ պարբերությունում թվարկված փոխակերպումներից ոչ բոլորն են համարժեք: Որոշ փոխակերպումներ համարժեք են միայն որոշակի պայմաններում: Կազմենք հայտարարությունների ցանկ, որոնք որոշում են, թե որ փոխակերպումները և ինչ պայմաններում են հավասարման համարժեք փոխակերպումները: Դա անելու համար հիմք կվերցնենք վերը նշված ցանկը, իսկ փոխակերպումներին, որոնք միշտ չէ, որ համարժեք են, կավելացնենք դրանց համարժեքություն տվող պայմաններ։ Ահա ցանկը.

• Հավասարման ձախ կամ աջ կողմում արտահայտության փոխարինումը մի արտահայտությամբ, որը չի փոխում հավասարման փոփոխականները, հավասարման համարժեք փոխակերպումն է:

Եկեք բացատրենք, թե ինչու է դա այդպես: Դա անելու համար մենք վերցնում ենք A(x)=B(x) ձևի մեկ փոփոխականով (նման պատճառաբանություն կարելի է անել մի քանի փոփոխականներով հավասարումների համար), նրա ձախ և աջ կողմերի արտահայտությունները նշել ենք որպես A(: x) և B(x), համապատասխանաբար: Թող C(x) արտահայտությունը նույնականորեն հավասար լինի A(x) արտահայտությանը, իսկ C(x)=B(x) հավասարման x փոփոխականի ODZ-ը համընկնում է սկզբնական հավասարման x փոփոխականի ODZ-ի հետ: Փաստենք, որ A(x)=B(x) հավասարման C(x)=B(x) հավասարման փոխակերպումը համարժեք փոխակերպում է, այսինքն՝ կապացուցենք, որ A(x)=B հավասարումները. (x) և C(x) =B(x) համարժեք են:

Դա անելու համար բավական է ցույց տալ, որ սկզբնական հավասարման ցանկացած արմատ C(x)=B(x) հավասարման արմատ է, իսկ C(x)=B(x) հավասարման ցանկացած արմատ արմատ է։ սկզբնական հավասարման։

Սկսենք առաջին մասից։ Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը, ապա երբ այն փոխարինենք x-ով, կստանանք ճիշտ թվային հավասարություն A(q)=B(q): Քանի որ A(x) և C(x) արտահայտությունները նույնականորեն հավասար են, և C(q) արտահայտությունը իմաստ ունի (սա բխում է այն պայմանից, որ C(x)=B(x) հավասարման համար OD-ը համընկնում է OD-ի հետ: սկզբնական հավասարումը) , ապա A(q)=C(q) թվային հավասարությունը ճշմարիտ է: Հաջորդիվ օգտագործում ենք թվային հավասարումների հատկությունները։ Համաչափության հատկության շնորհիվ A(q)=C(q) հավասարությունը կարող է վերագրվել որպես C(q)=A(q) ։ Ապա անցողիկ հատկության շնորհիվ C(q)=A(q) և A(q)=B(q) հավասարությունները ենթադրում են C(q)=B(q) հավասարություն։ Սա ապացուցում է, որ q-ն C(x)=B(x) հավասարման արմատն է:

Երկրորդ մասը, և դրա հետ մեկտեղ ամբողջ հայտարարությունը ամբողջությամբ ապացուցված է բացարձակապես նույն կերպ։

Վերլուծված համարժեք փոխակերպման էությունը հետևյալն է. այն թույլ է տալիս առանձին աշխատել հավասարումների ձախ և աջ կողմերի արտահայտություններով՝ դրանք փոխարինելով փոփոխականների սկզբնական ODZ-ի նույնական հավասար արտահայտություններով:

Ամենատարածված օրինակը՝ x=2+1 հավասարման աջ կողմի թվերի գումարը կարող ենք փոխարինել դրա արժեքով, որի արդյունքում կստացվի x=3 ձևի համարժեք հավասարում։ Իսկապես, մենք 2+1 արտահայտությունը փոխարինեցինք նույնական հավասար 3 արտահայտությամբ, և հավասարման ODZ-ը չփոխվեց։ Մեկ այլ օրինակ՝ 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 հավասարման ձախ կողմում կարող ենք, իսկ աջում – , որը մեզ կտանի դեպի 3·x+ համարժեք հավասարումը. 6=5·x+ 3. Ստացված հավասարումն իսկապես համարժեք է, քանի որ մենք փոխարինեցինք արտահայտությունները նույնական հավասար արտահայտություններով և միևնույն ժամանակ ստացանք հավասարում, որն ունի OD, որը համընկնում է սկզբնական հավասարման OD-ի հետ:

• Հավասարման երկու կողմերին նույն թիվը ավելացնելը կամ հավասարման երկու կողմերից նույն թիվը հանելը հավասարման համարժեք փոխակերպումն է:

Ապացուցենք, որ A(x)=B(x) հավասարման երկու կողմերին գումարելով նույն c թիվը, ստացվում է համարժեք A(x)+c=B(x)+c հավասարումը, իսկ հավասարման երկու կողմերից էլ հանելը: Նույն c թվի A(x) =B(x)-ը տալիս է համարժեք A(x)−c=B(x)−c հավասարումը։

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը, ապա A(q)=B(q) հավասարությունը ճիշտ է: Թվային հավասարումների հատկությունները մեզ թույլ են տալիս գումարել իրական թվային հավասարության երկու կողմերը կամ հանել նույն թիվը դրա մասերից: Նշենք այս թիվը c-ով, ապա վավեր են A(q)+c=B(q)+c և A(q)−c=B(q)−c հավասարությունները։ Այս հավասարություններից հետևում է, որ q-ն A(x)+c=B(x)+c և A(x)−c=B(x)−c հավասարման արմատն է։

Հիմա վերադարձ: Թող q լինի A(x)+c=B(x)+c և A(x)−c=B(x)−c հավասարման արմատը, ապա A(q)+c=B(q) +c և A (q)−c=B(q)−c. Մենք գիտենք, որ իրական թվային հավասարության երկու կողմերից նույն թիվը հանելուց ստացվում է իրական թվային հավասարություն: Մենք նաև գիտենք, որ երկու կողմերին էլ ճիշտ թվային հավասարություն ավելացնելը տալիս է ճիշտ թվային հավասարություն։ Ճիշտ թվային հավասարության A(q)+c=B(q)+c երկու կողմերից հանենք c թիվը և A(x)−c=B(x) հավասարության երկու կողմերին գումարենք c թիվը: −գ. Սա մեզ կտա ճիշտ թվային հավասարումներ A(q)+c−c=B(q)+c−c և A(q)−c+c=B(q)+c−c, որոնցից մենք եզրակացնում ենք, որ Ա. (ք) =Բ(ք) . Վերջին հավասարությունից հետևում է, որ q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է։

Սա ապացուցում է սկզբնական հայտարարությունը որպես ամբողջություն:

Բերենք հավասարումների նման փոխակերպման օրինակ։ Վերցնենք x−3=1 հավասարումը և փոխակերպենք՝ երկու կողմերին ավելացնելով 3 թիվը, որից հետո ստացվի x−3+3=1+3 հավասարումը, որը համարժեք է սկզբնականին։ Հասկանալի է, որ ստացված հավասարման մեջ կարելի է թվերով գործողություններ կատարել, ինչպես քննարկեցինք ցուցակի նախորդ կետում, արդյունքում ունենք x=4 հավասարումը։ Այսպիսով, կատարելով համարժեք փոխակերպումներ, մենք պատահաբար լուծեցինք x−3=1 հավասարումը, որի արմատը 4 թիվն է։ Համարվող համարժեք փոխակերպումը շատ հաճախ օգտագործվում է այնտեղ տեղակայված նույնական թվային տերմիններից ազատվելու համար տարբեր մասերհավասարումներ Օրինակ, և՛ ձախ, և՛ ներս ճիշտ մասեր x 2 +1=x+1 հավասարումը կա նույն տերմինը 1, հավասարման երկու կողմերից հանելով 1 թիվը թույլ է տալիս գնալ համարժեք x 2 +1−1=x+1−1 հավասարմանը, այնուհետև՝ համարժեք հավասարում x 2 =x, և այսպես, ազատվեք այս նույնական տերմիններից:

• Հավասարման երկու կողմերին ավելացնելը կամ հավասարման երկու կողմերից հանելը մի արտահայտություն, որի համար ODZ-ը սկզբնական հավասարման համար ODZ-ից ավելի նեղ չէ, համարժեք փոխակերպում է:

Եկեք ապացուցենք այս հայտարարությունը. Այսինքն՝ մենք ապացուցում ենք, որ A(x)=B(x) և A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարումները համարժեք են, պայմանով, որ C(x) արտահայտության ODZ-ը. ) արդեն չէ, քան ODZ A(x)=B(x) հավասարման համար:

Նախ մենք ապացուցում ենք մեկ օժանդակ կետ. Փաստենք, որ նշված պայմաններում OD հավասարումները փոխակերպումից առաջ և հետո նույնն են։ Իրոք, A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարման ODZ-ը կարելի է համարել որպես ODZ-ի հատում A(x)=B(x) և ODZ հավասարման համար։ C(x) արտահայտության համար: Սրանից և այն փաստից, որ C(x) արտահայտության ODZ-ն ըստ պայմանի ավելի նեղ չէ, քան ODZ-ը A(x)=B(x) հավասարման համար, հետևում է, որ ODZ-ը A(x)= հավասարումների համար: B(x) և A (x)+C(x)=B(x)+C(x) նույնն են:

Այժմ մենք կապացուցենք A(x)=B(x) և A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարումների համարժեքությունը, պայմանով, որ դրանց համար ընդունելի արժեքների միջակայքերը հավասարումները նույնն են. Մենք չենք տա A(x)=B(x) և A(x)−C(x)=B(x)−C(x) հավասարումների համարժեքության ապացույց նշված պայմանով, քանի որ այն նման է. .

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը, ապա A(q)=B(q) թվային հավասարությունը ճիշտ է։ Քանի որ A(x)=B(x) և A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարումների ODZ-ը նույնն են, ապա C(x) արտահայտությունը իմաստ ունի x-ում. =q, ինչը նշանակում է, որ C(q)-ն ինչ-որ թիվ է: Եթե ​​ճիշտ թվային հավասարության A(q)=B(q) երկու կողմերին ավելացնենք C(q), ապա կստացվի ճիշտ թվային անհավասարություն A(q)+C(q)=B(q)+C(q): ) ), որից հետևում է, որ q-ն A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարման արմատն է։

Ետ. Թող q լինի A(x)+C(x)=B(x)+C(x) հավասարման արմատը, ապա A(q)+C(q)=B(q)+C(q) է. իրական թվային հավասարություն: Մենք գիտենք, որ իրական թվային հավասարության երկու կողմերից նույն թիվը հանելուց ստացվում է իրական թվային հավասարություն: A(q)+C(q)=B(q)+C(q) հավասարության երկու կողմերից հանում ենք C(q), դա տալիս է. A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)և հետագայում A(q)=B(q) . Հետևաբար, q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է:

Այսպիսով, խնդրո առարկա հայտարարությունը լիովին ապացուցված է։

Եկեք այս վերափոխման օրինակ բերենք. Վերցնենք 2 x+1=5 x+2 հավասարումը։ Երկու կողմերին էլ կարող ենք ավելացնել, օրինակ՝ −x−1 արտահայտությունը։ Այս արտահայտությունը ավելացնելով չի փոխվի ODZ-ը, ինչը նշանակում է, որ նման փոխակերպումը համարժեք է: Սրա արդյունքում ստանում ենք համարժեք հավասարում 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Այս հավասարումը կարող է հետագայում փոխակերպվել. բացել փակագծերը և կրճատել նմանատիպ տերմինները դրա ձախ և աջ կողմերում (տե՛ս ցուցակի առաջին կետը): Այս գործողությունները կատարելուց հետո ստանում ենք x=4·x+1 համարժեք հավասարումը։ Քննարկվող հավասարումների փոխակերպումը հաճախ օգտագործվում է նույնական տերմիններից ազատվելու համար, որոնք միաժամանակ գտնվում են հավասարման ձախ և աջ կողմերում:

• Եթե ​​հավասարման մեջ մի անդամ տեղափոխեք մի մասից մյուսը՝ փոխելով այս անդամի նշանը հակառակի, ապա կստանաք տրվածին համարժեք հավասարում։

Այս հայտարարությունը նախորդների հետեւանք է։

Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է կատարվում հավասարման այս համարժեք փոխակերպումը: Վերցնենք 3·x−1=2·x+3 հավասարումը։ Եկեք տերմինը տեղափոխենք, օրինակ, 2 x աջ կողմից դեպի ձախ՝ փոխելով նրա նշանը։ Այս դեպքում ստանում ենք 3·x−1−2·x=3 համարժեք հավասարումը։ Կարող եք նաև մինուս մեկ հավասարման ձախ կողմից տեղափոխել աջ՝ նշանը փոխելով գումարածի` 3 x−2 x=3+1: Վերջապես, համանման տերմիններ բերելը մեզ տանում է դեպի x=4 համարժեք հավասարումը։

• Հավասարման երկու կողմերը միևնույն ոչ զրոյական թվով բազմապատկելը կամ բաժանելը համարժեք փոխակերպում է:

Եկեք ապացույց տանք.

Թող A(x)=B(x) ինչ-որ հավասարում լինի, իսկ c-ն զրոյից տարբերվող մի թիվ: Փաստենք, որ A(x)=B(x) հավասարման երկու կողմերը c թվով բազմապատկելը կամ բաժանելը հավասարման համարժեք փոխակերպումն է։ Դա անելու համար մենք ապացուցում ենք, որ A(x)=B(x) և A(x) c=B(x) c հավասարումները, ինչպես նաև A(x)=B(x) և A(x) հավասարումները: :c= B(x):c - համարժեք: Սա կարելի է անել այսպես. ապացուցել, որ A(x)=B(x) հավասարման ցանկացած արմատ A(x) c=B(x) c և A(x) հավասարման արմատն է: :c=B(x) :c, ապա ապացուցեք, որ A(x) հավասարման ցանկացած արմատ, ինչպես A(x):c=B(x):c հավասարման ցանկացած արմատ: , A(x) =B(x) հավասարման արմատն է: Եկեք անենք դա.

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը: Այդ դեպքում A(q)=B(q) թվային հավասարությունը ճիշտ է: Ուսումնասիրելով թվային հավասարումների հատկությունները՝ մենք իմացանք, որ իրական թվային հավասարության երկու կողմերը զրոյից տարբերվող նույն թվով բազմապատկելը կամ բաժանելը հանգեցնում է իրական թվային հավասարության: A(q)=B(q) հավասարության երկու կողմերը բազմապատկելով c-ով` ստանում ենք A(q) c=B(q) c ճիշտ թվային հավասարություն, որից հետևում է, որ q-ն A(հավասարման) արմատն է: x) c= B(x)·c . Եվ A(q)=B(q) հավասարության երկու կողմերը բաժանելով c-ի, ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն A(q):c=B(q):c, որից հետևում է, որ q-ի արմատն է. հավասարում A(x):c =B(x):c .

Հիմա մյուս ուղղությամբ։ Թող q լինի A(x) c=B(x) c հավասարման արմատը: Ապա A(q)·c=B(q)·c-ն իրական թվային հավասարություն է: Նրա երկու մասերը բաժանելով ոչ զրոյական c թվի վրա՝ ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն A(q)·c:c=B(q)·c:c և հետագայում A(q)=B(q) . Հետևում է, որ q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է։ Եթե ​​q-ը A(x):c=B(x):c հավասարման արմատն է: Ապա A(q):c=B(q):c-ն իրական թվային հավասարություն է: Նրա երկու մասերը բազմապատկելով ոչ զրոյական c թվով, ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն A(q):c·c=B(q):c·c և հետագայում A(q)=B(q) : Հետևում է, որ q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է։

Հայտարարությունն ապացուցված է.

Եկեք այս վերափոխման օրինակ բերենք. Նրա օգնությամբ դուք կարող եք, օրինակ, ազատվել հավասարման կոտորակներից։ Դա անելու համար դուք կարող եք հավասարման երկու կողմերը բազմապատկել 12-ով: Արդյունքը ձևի համարժեք հավասարումն է , որն այնուհետև կարող է վերածվել 7 x−3=10 համարժեք հավասարման, որն իր նշումներում կոտորակներ չի պարունակում։

• Հավասարման երկու կողմերը միևնույն արտահայտությամբ բազմապատկելը կամ բաժանելը, որի OD-ն ավելի նեղ չէ սկզբնական հավասարման OD-ից և չի անհետանում սկզբնական հավասարման OD-ով, համարժեք փոխակերպում է:

Եկեք ապացուցենք այս հայտարարությունը. Դա անելու համար մենք ապացուցում ենք, որ եթե C(x) արտահայտության ODZ-ը A(x)=B(x) հավասարման համար ODZ-ից ավելի նեղ չէ, և C(x)-ը չի անհետանում ODZ-ի վրա հավասարման համար: A(x)=B( x) , ապա A(x)=B(x) և A(x) C(x)=B(x) C(x), ինչպես նաև A(x) հավասարումները. =B(x) and A( x):C(x)=B(x):C(x) - համարժեք:

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը: Ապա A(q)=B(q) իսկական թվային հավասարություն է: Այն փաստից, որ C(x) արտահայտության ODZ-ը նույն ODZ-ը չէ A(x)=B(x) հավասարման համար, հետևում է, որ C(x) արտահայտությունը իմաստ ունի, երբ x=q: Սա նշանակում է, որ C(q)-ն ինչ-որ թիվ է: Ավելին, C(q)-ն զրոյական չէ, ինչը բխում է այն պայմանից, որ C(x) արտահայտությունը չի վերանում: Եթե ​​A(q)=B(q) հավասարության երկու կողմերը բազմապատկենք C(q) ոչ զրոյական թվով, ապա կստացվի ճիշտ թվային հավասարություն A(q)·C(q)=B(q)·: C(q) , որից հետևում է, որ q-ն A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարման արմատն է: Եթե ​​A(q)=B(q) հավասարության երկու կողմերը բաժանենք C(q) ոչ զրոյական թվի վրա, ապա կստացվի ճիշտ թվային հավասարություն A(q):C(q)=B(q): C(q) , որից հետևում է, որ q-ն A(x):C(x)=B(x):C(x) հավասարման արմատն է:

Ետ. Թող q լինի A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարման արմատը: Ապա A(q)·C(q)=B(q)·C(q) իսկական թվային հավասարություն է: Նկատի ունեցեք, որ A(x) C(x)=B(x) C(x) հավասարման ODZ-ը նույնն է, ինչ ODZ-ը A(x)=B(x) հավասարման համար (մենք դա հիմնավորել ենք մեկում. նախորդ պարբերությունների ընթացիկ ցանկը): Քանի որ C(x) պայմանով չի անհետանում ODZ-ի վրա A(x)=B(x) հավասարման համար, ապա C(q)-ն ոչ զրոյական թիվ է: A(q) C(q)=B(q) C(q) հավասարության երկու կողմերը բաժանելով C(q) ոչ զրոյական թվի վրա մենք ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն. A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)և հետագայում A(q)=B(q) . Հետևում է, որ q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է։ Եթե ​​q-ը A(x):C(x)=B(x):C(x) հավասարման արմատն է: Ապա A(q):C(q)=B(q):C(q) իսկական թվային հավասարություն է: A(q):C(q)=B(q):C(q) հավասարության երկու կողմերը բազմապատկելով C(q) ոչ զրոյական թվով մենք ստանում ենք ճիշտ թվային հավասարություն: A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)և հետագայում A(q)=B(q) . Հետևում է, որ q-ն A(x)=B(x) հավասարման արմատն է։

Հայտարարությունն ապացուցված է.

Պարզության համար մենք օրինակ ենք բերում ապամոնտաժված վերափոխում իրականացնելու օրինակ: x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) հավասարման երկու կողմերը բաժանենք x 2 +1 արտահայտությամբ: Այս փոխակերպումը համարժեք է, քանի որ x 2 +1 արտահայտությունը չի անհետանում OD-ի վրա սկզբնական հավասարման համար, և այս արտահայտության OD-ն ավելի նեղ չէ, քան սկզբնական հավասարման OD-ը: Այս փոխակերպման արդյունքում մենք ստանում ենք համարժեք հավասարում x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), որը հետագայում կարող է փոխակերպվել x 3 =8 համարժեք հավասարման։

Հետևողական հավասարումների տանող փոխակերպումներ

Նախորդ պարբերությունում մենք ուսումնասիրեցինք, թե հիմնական փոխակերպումների ցանկից որ փոխակերպումները և ինչ պայմաններում են համարժեք: Հիմա եկեք տեսնենք, թե այս փոխակերպումներից որն է և ինչ պայմաններում հանգեցնում է հետևողական հավասարումների, այսինքն՝ հավասարումների, որոնք պարունակում են փոխակերպված հավասարման բոլոր արմատները, բայց դրանցից բացի կարող են ունենալ նաև այլ արմատներ՝ սկզբնական հավասարման կողմնակի արմատներ:

Հետևողական հավասարումների հանգեցնող փոխակերպումները պահանջարկ ունեն ոչ պակաս, քան համարժեք փոխակերպումները: Եթե ​​նրանց օգնությամբ հնարավոր լինի ստանալ լուծման առումով բավականին պարզ հավասարում, ապա դրա լուծումը և դրան հաջորդող կողմնակի արմատների վերացումը լուծում կտա սկզբնական հավասարմանը։

Նշենք, որ բոլոր համարժեք փոխակերպումները կարելի է համարել փոխակերպումների հատուկ դեպքեր, որոնք հանգեցնում են հետևողական հավասարումների: Սա հասկանալի է, քանի որ կա համարժեք հավասարում հատուկ դեպքհետևանքների հավասարումներ. Բայց գործնական տեսանկյունից ավելի օգտակար է իմանալ, որ դիտարկվող փոխակերպումը ճշգրիտ համարժեք է և չի հանգեցնում հետևողական հավասարման: Եկեք բացատրենք, թե ինչու է դա այդպես: Եթե ​​գիտենք, որ փոխակերպումը համարժեք է, ապա ստացված հավասարումը հաստատ սկզբնական հավասարմանը կողմնակի արմատներ չի ունենա։ Եվ հետևողական հավասարմանը տանող փոխակերպումը կարող է լինել կողմնակի արմատների առաջացման պատճառ, ինչը մեզ պարտավորեցնում է ապագայում կատարել լրացուցիչ գործողություն՝ կողմնակի արմատները մաղել։ Հետևաբար, հոդվածի այս բաժնում մենք կկենտրոնանանք փոխակերպումների վրա, որոնց արդյունքում բնօրինակ հավասարման համար կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Եվ իսկապես կարևոր է, որ կարողանանք տարբերակել նման փոխակերպումները համարժեք փոխակերպումներից, որպեսզի հստակ հասկանանք, թե երբ է անհրաժեշտ զտել կողմնակի արմատները, և երբ դա անհրաժեշտ չէ:

Վերլուծենք սույն հոդվածի երկրորդ պարբերությունում տրված հավասարումների հիմնական փոխակերպումների ամբողջ ցանկը՝ փոխակերպումներ փնտրելու համար, որոնց արդյունքում կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։

• Հավասարման ձախ և աջ կողմերի արտահայտությունների փոխարինում նույնական հավասար արտահայտություններով:

Մենք ապացուցել ենք, որ այս փոխակերպումը համարժեք է, եթե դրա իրականացումը չի փոխում OD-ը: Իսկ եթե DL-ն փոխվի, ի՞նչ կլինի։ ODZ-ի նեղացումը կարող է հանգեցնել արմատների կորստի, ավելին այս մասին մենք կխոսենքհաջորդ պարբերությունում։ Իսկ ODZ-ի ընդլայնմամբ կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Սա արդարացնելը դժվար չէ։ Ներկայացնենք համապատասխան պատճառաբանությունը.

Թող C(x) արտահայտությունը լինի այնպիսին, որ այն նույնականորեն հավասար լինի A(x) արտահայտությանը, իսկ C(x)=B(x) հավասարման OD-ն ավելի լայն է, քան A(x)=B հավասարման OD-ը: (x). Ապացուցենք, որ C(x)=B(x) հավասարումը հետևանք է A(x)=B(x) հավասարման, և որ C(x)=B(x) հավասարման արմատներից կարող է լինել. լինեն արմատներ, որոնք օտար են A( x)=B(x) հավասարմանը:

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը: Ապա A(q)=B(q) իսկական թվային հավասարություն է: Քանի որ C(x)=B(x) հավասարման ODZ-ն ավելի լայն է, քան A(x)=B(x) հավասարման ODZ-ը, ապա C(x) արտահայտությունը սահմանվում է x=q-ով: Այնուհետև, հաշվի առնելով C(x) և A(x) արտահայտությունների նույնական հավասարությունը, եզրակացնում ենք, որ C(q)=A(q) . C(q)=A(q) և A(q)=B(q) հավասարություններից՝ պայմանավորված անցողական հատկությամբ, հետևում է C(q)=B(q) հավասարությունը։ Այս հավասարությունից հետևում է, որ q-ն C(x)=B(x) հավասարման արմատն է։ Սա ապացուցում է, որ նշված պայմաններում C(x)=B(x) հավասարումը հետևանք է A(x)=B(x) հավասարման:

Մնում է ապացուցել, որ C(x)=B(x) հավասարումը կարող է ունենալ A(x)=B(x) հավասարման արմատներից տարբերվող արմատներ։ Եկեք ապացուցենք, որ C(x)=B(x) հավասարման ցանկացած արմատ ODZ-ից A(x)=B(x) հավասարման համար հանդիսանում է A(x)=B(x) հավասարման արմատ: P ուղին C(x)=B(x) հավասարման արմատն է, որը պատկանում է ODZ-ին A(x)=B(x) հավասարման համար: Այնուհետև C(p)=B(p) իսկական թվային հավասարություն է: Քանի որ p-ն պատկանում է ODZ-ին A(x)=B(x) հավասարման համար, ապա A(x) արտահայտությունը սահմանվում է x=p-ի համար: Սրանից և A(x) և C(x) արտահայտությունների նույնական հավասարությունից հետևում է, որ A(p)=C(p) . A(p)=C(p) և C(p)=B(p) հավասարություններից, ելնելով անցողիկ հատկությունից, հետևում է, որ A(p)=B(p), ինչը նշանակում է, որ p-ի արմատն է. հավասարում A(x)= B(x) . Սա ապացուցում է, որ C(x)=B(x) հավասարման ցանկացած արմատ ODZ-ից A(x)=B(x) հավասարման համար հանդիսանում է A(x)=B(x) հավասարման արմատ: Այլ կերպ ասած, ODZ-ում A(x)=B(x) հավասարման համար չեն կարող լինել C(x)=B(x) հավասարման արմատներ, որոնք կողմնակի արմատներ են A(x)=B(հավասարման համար: x). Բայց պայմանի համաձայն՝ C(x)=B(x) հավասարման ODZ-ն ավելի լայն է, քան A(x)=B(x) հավասարման ODZ-ը։ Եվ դա թույլ է տալիս գոյություն ունենալ r թվի, որը պատկանում է ODZ-ին C(x)=B(x) հավասարման համար և չի պատկանում ODZ-ին A(x)=B(x) հավասարման համար, որն արմատն է։ C(x)=B(x) հավասարման: Այսինքն, C(x)=B(x) հավասարումը կարող է ունենալ արմատներ, որոնք խորթ են A(x)=B(x) հավասարմանը, և բոլորը կպատկանեն այն բազմությանը, որին ODZ-ը A հավասարման համար: (x)=B-ն երկարացվում է (x) երբ A(x) արտահայտությունը փոխարինում ենք C(x) նույնական հավասար արտահայտությամբ:

Այսպիսով, հավասարման ձախ և աջ կողմերի արտահայտությունները փոխարինելով դրանց նույնական հավասար արտահայտություններով, ինչի արդյունքում ODZ-ն ընդլայնվում է. ընդհանուր դեպքհանգեցնում է հետևողական հավասարման (այսինքն, այն կարող է հանգեցնել կողմնակի արմատների առաջացման) և միայն կոնկրետ դեպքում հանգեցնում է համարժեք հավասարման (եթե արդյունքում ստացված հավասարումը չունի սկզբնական հավասարմանը կողմնակի արմատներ):

Բերենք վերլուծված փոխակերպման իրականացման օրինակ։ Հավասարման ձախ կողմում արտահայտության փոխարինում նույնականորեն հավասար է դրան x·(x−1) արտահայտությամբ հանգեցնում է x·(x−1)=0 հավասարմանը, այս դեպքում տեղի է ունենում ODZ-ի ընդլայնում՝ դրան գումարվում է 0 թիվը։ Ստացված հավասարումն ունի երկու արմատ՝ 0 և 1, և այս արմատները սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելը ցույց է տալիս, որ 0-ը սկզբնական հավասարման կողմնակի արմատն է, իսկ 1-ը՝ սկզբնական հավասարման արմատը։ Իրոք, սկզբնական հավասարման մեջ զրոյի փոխարինումը տալիս է անիմաստ արտահայտությունը , քանի որ այն պարունակում է բաժանում զրոյի վրա, և մեկով փոխարինելը տալիս է ճիշտ թվային հավասարություն , որը նույնն է, ինչ 0=0 .

Նկատի ունեցեք, որ նմանատիպ հավասարման նման փոխակերպում հավասարման մեջ (x−1)·(x−2)=0, որի հետևանքով ՕՁ–ն նույնպես ընդլայնվում է, չի հանգեցնում կողմնակի արմատների առաջացման։ Իրոք, ստացված հավասարման երկու արմատներն էլ (x−1)·(x−2)=0 - 1 և 2 թվերը սկզբնական հավասարման արմատներն են, որը հեշտ է ստուգել՝ ստուգելով փոխարինման միջոցով: Այս օրինակներով մենք ևս մեկ անգամ ցանկացանք ընդգծել, որ հավասարման ձախ կամ աջ կողմի արտահայտությունը փոխարինելը նույնական հավասար արտահայտությամբ, որն ընդլայնում է ODZ-ը, պարտադիր չէ, որ հանգեցնի կողմնակի արմատների առաջացմանը: Բայց դա կարող է հանգեցնել նաև նրանց արտաքին տեսքին: Այսպիսով, եթե նման վերափոխում է տեղի ունեցել հավասարման լուծման գործընթացում, ապա անհրաժեշտ է ստուգում իրականացնել՝ օտար արմատները հայտնաբերելու և զտելու համար։

Ամենից հաճախ, ODZ-ի հավասարումը կարող է ընդարձակվել, և կողմնակի արմատներ կարող են հայտնվել նույն արտահայտությունների տարբերության զրոյով կամ արտահայտությունների գումարի հետ: հակառակ նշաններ, մեկ կամ մի քանի զրոյական գործակիցով արտադրատեսակների զրոյով փոխարինման, կոտորակների կրճատման և արմատների, հզորությունների, լոգարիթմների և այլնի հատկությունների կիրառման պատճառով։

• Հավասարման երկու կողմերին նույն թվի գումարում կամ հավասարման երկու կողմերից նույն թիվը հանելը:

Վերևում մենք ցույց տվեցինք, որ այս փոխակերպումը միշտ համարժեք է, այսինքն՝ հանգեցնում է համարժեք հավասարման։ Շարունակիր.

• Հավասարման երկու կողմերին նույն արտահայտությունն ավելացնելը կամ հավասարման երկու կողմերից նույն արտահայտությունը հանելը:

Նախորդ պարբերությունում մենք ավելացրեցինք պայման, որ ավելացվող կամ հանվող արտահայտության ODZ-ը չպետք է ավելի նեղ լինի, քան փոխակերպվող հավասարման ODZ-ը: Այս պայմանը խնդրո առարկա փոխակերպումը դարձրեց համարժեք: Այստեղ կան հոդվածի այս պարբերության սկզբում տրված փաստարկների նման փաստարկներ այն փաստի վերաբերյալ, որ համարժեք հավասարումը հետևողական հավասարման հատուկ դեպք է, և որ փոխակերպման համարժեքության մասին գիտելիքը գործնականում ավելի օգտակար է, քան նույնի մասին գիտելիքը: փոխակերպում, բայց այն տեսակետից, որ դա հանգեցնում է հետևողական հավասարման:

Հնարավո՞ր է հավասարման երկու կողմերից նույն արտահայտությունն ավելացնելու կամ նույն արտահայտությունը հանելու արդյունքում ստանալ այնպիսի հավասարում, որը սկզբնական հավասարման բոլոր արմատներից բացի կունենա ևս մի քանի արմատ։ Չէ, չի կարող։ Եթե ​​ավելացվող կամ հանվող արտահայտության ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը, ապա գումարման կամ հանման արդյունքում կստացվի համարժեք հավասարում: Եթե ​​ավելացվող կամ հանվող արտահայտության ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը, ապա դա կարող է հանգեցնել արմատների կորստի, այլ ոչ թե կողմնակի արմատների ի հայտ գալուն: Այս մասին ավելի շատ կխոսենք հաջորդ պարբերությունում:

• Հավասարման մի մասից մյուսը փոխանցելը հակառակ նշանով:

Հավասարման այս փոխակերպումը միշտ համարժեք է։ Ուստի անիմաստ է այն դիտարկել որպես հավասարում-հետևանքի տանող վերափոխում՝ վերը նշված պատճառներով։

• Հավասարման երկու կողմերը նույն թվով բազմապատկելը կամ բաժանելը:

Նախորդ պարբերությունում մենք ապացուցեցինք, որ եթե հավասարման երկու կողմերի բազմապատկումը կամ բաժանումն իրականացվում է ոչ զրոյական թվով, ապա սա հավասարման համարժեք փոխակերպումն է։ Հետևաբար, կրկին իմաստ չունի խոսել դրա մասին՝ որպես հետևողական հավասարման տանող փոխակերպում։

Բայց այստեղ արժե ուշադրություն դարձնել այն թվի զրոյից տարբերության վերապահմանը, որով հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվում կամ բաժանվում են։ Բաժանման համար այս կետը պարզ է տարրական դասարաններմենք դա հասկացանք Դուք չեք կարող բաժանել զրոյի. Ինչու՞ է այս դրույթը բազմապատկման համար: Եկեք մտածենք, թե ինչ է ստացվում հավասարման երկու կողմերը զրոյով բազմապատկելուց։ Պարզության համար վերցնենք կոնկրետ հավասարում, օրինակ՝ 2 x+1=x+5։ Սա գծային հավասարում է, որն ունի մեկ արմատ, որը 4 թիվն է: Գրենք այն հավասարումը, որը կստացվի այս հավասարման երկու կողմերը զրոյով բազմապատկելով՝ (2 x+1) 0=(x+5) 0։ Ակնհայտ է, որ այս հավասարման արմատը ցանկացած թիվ է, քանի որ երբ x փոփոխականի փոխարեն այս հավասարման մեջ փոխարինում եք որևէ թիվ, ստանում եք ճիշտ թվային հավասարություն 0=0: Այսինքն, մեր օրինակում հավասարման երկու կողմերը զրոյով բազմապատկելը հանգեցրել է հետևողական հավասարման, որն առաջացրել է սկզբնական հավասարման համար անսահման թվով կողմնակի արմատների տեսք։ Ավելին, հարկ է նշել, որ այս դեպքում օտար արմատները զննելու սովորական մեթոդները չեն հաղթահարում իրենց խնդիրը: Սա նշանակում է, որ կատարված փոխակերպումն անօգուտ է սկզբնական հավասարումը լուծելու համար։ Եվ սա տիպիկ իրավիճակ է դիտարկվող վերափոխման համար։ Ահա թե ինչու այնպիսի փոխակերպում, ինչպիսին է հավասարման երկու կողմերը զրոյով բազմապատկելը, չի օգտագործվում հավասարումներ լուծելու համար: Մենք դեռ պետք է նայենք այս փոխակերպմանը և այլ փոխակերպումների, որոնք չպետք է օգտագործվեն վերջին պարբերության հավասարումները լուծելու համար:

• Հավասարման երկու կողմերը միևնույն արտահայտությամբ բազմապատկելը կամ բաժանելը:

Նախորդ պարբերությունում մենք ապացուցեցինք, որ այս փոխակերպումը համարժեք է երկու պայմանի առկայության դեպքում: Նրանց հիշեցնենք. Առաջին պայմանը. այս արտահայտության OD-ը չպետք է ավելի նեղ լինի, քան սկզբնական հավասարման OD-ը: Երկրորդ պայմանը. արտահայտությունը, որով կատարվում է բազմապատկումը կամ բաժանումը, չպետք է անհետանա ODZ-ի վրա սկզբնական հավասարման համար:

Եկեք փոխենք առաջին պայմանը, այսինքն՝ կենթադրենք, որ OD արտահայտության համար, որով մենք նախատեսում ենք բազմապատկել կամ բաժանել հավասարման երկու կողմերը, ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման OD-ը։ Նման փոխակերպման արդյունքում կստացվի հավասարում, որի համար ODZ-ն ավելի նեղ կլինի, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը: Նման փոխակերպումները կարող են հանգեցնել արմատների կորստի, մենք կխոսենք դրանց մասին հաջորդ պարբերությունում:

Ի՞նչ տեղի կունենա, եթե հանենք արտահայտության ոչ զրոյական արժեքների մասին երկրորդ պայմանը, որով հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվում կամ բաժանվում են ODZ-ով սկզբնական հավասարման համար:

Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով նույն արտահայտությամբ, որը վերանում է սկզբնական հավասարման համար OD-ով, կստացվի մի հավասարում, որի OD-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման OD-ը: Իրոք, թվերը դուրս կգան դրանից՝ զրոյի դարձնելով այն արտահայտությունը, որով կատարվել է բաժանումը։ Սա կարող է հանգեցնել արմատների կորստի:

Ի՞նչ կասեք հավասարման երկու կողմերը միևնույն արտահայտությամբ բազմապատկելու մասին, որն անհետանում է ODZ-ի վրա սկզբնական հավասարման համար: Կարելի է ցույց տալ, որ երբ A(x)=B(x) հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվում են C(x) արտահայտությամբ, որի համար ODZ-ը սկզբնական հավասարման համար ODZ-ից ավելի նեղ չէ, և որը անհետանում է ODZ սկզբնական հավասարման համար, ստացված հավասարումը հետևանք է, որ բացի A(x)=B(x) հավասարման բոլոր արմատներից, այն կարող է ունենալ նաև այլ արմատներ։ Եկեք դա անենք, հատկապես, որ հոդվածի այս պարբերությունը ճշգրտորեն նվիրված է հետևողական հավասարումների տանող փոխակերպումներին:

Թող C(x) արտահայտությունը լինի այնպիսին, որ դրա համար ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան ODZ-ը A(x)=B(x) հավասարման համար, և այն անհետանում է ODZ-ի վրա A(x)=B(x) հավասարման համար: ) . Փաստենք, որ այս դեպքում A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարումը A(x)=B(x) հավասարման հետևանք է:

Թող q լինի A(x)=B(x) հավասարման արմատը: Ապա A(q)=B(q) իսկական թվային հավասարություն է: Քանի որ C(x) արտահայտության ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան ODZ-ը A(x)=B(x) հավասարման համար, ապա C(x) արտահայտությունը սահմանվում է x=q, ինչը նշանակում է, որ C(q) որոշակի թիվ է։ Ճշմարիտ թվային հավասարության երկու կողմերը բազմապատկելով ցանկացած թվով, ստացվում է իրական թվային հավասարություն, հետևաբար, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) իրական թվային հավասարություն է: Սա նշանակում է, որ q-ն A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարման արմատն է: Սա ապացուցում է, որ A(x)=B(x) հավասարման ցանկացած արմատ A(x) C(x)=B(x) C(x) հավասարման արմատն է, ինչը նշանակում է, որ A(x) հավասարումը: C (x)=B(x)·C(x) A(x)=B(x) հավասարման հետեւանք է:

Նկատի ունեցեք, որ նշված պայմաններում A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարումը կարող է ունենալ արմատներ, որոնք օտար են սկզբնական A(x)=B(x) հավասարմանը: Դրանք բոլորը թվեր են ODZ-ից սկզբնական հավասարման համար, որոնք C(x) արտահայտությունը դարձնում են զրո (բոլոր այն թվերը, որոնք C(x) արտահայտությունը դարձնում են զրո, A(x) C(x)=B հավասարման արմատներն են։ (x) C(x) , քանի որ դրանց փոխարինումը նշված հավասարման մեջ տալիս է ճիշտ թվային հավասարություն 0=0 ), բայց որոնք A(x)=B(x) հավասարման արմատներ չեն։ A(x)=B(x) և A(x)·C(x)=B(x)·C(x) հավասարումները նշված պայմաններում համարժեք կլինեն, երբ ODZ-ից բոլոր թվերը A(x) հավասարման համար: )=B (x) , որոնք վերացնում են C(x) արտահայտությունը, A(x)=B(x) հավասարման արմատներն են։

Այսպիսով, հավասարման երկու կողմերը միևնույն արտահայտությամբ բազմապատկելը, որի համար ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան սկզբնական հավասարման համար ODZ-ը, և որը վերանում է սկզբնական հավասարման համար ODZ-ով, ընդհանուր դեպքում հանգեցնում է հետևողական հավասարման. այն է, որ դա կարող է հանգեցնել օտար արմատների առաջացման:

Լուսաբանելու համար բերենք օրինակ. Վերցնենք x+3=4 հավասարումը։ Դրա միակ արմատը թիվ 1-ն է։ Եկեք այս հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք նույն արտահայտությամբ, որը վերանում է ODZ-ով սկզբնական հավասարման համար, օրինակ, x·(x−1)-ով: Այս արտահայտությունը անհետանում է x=0 և x=1 ժամանակներում: Այս արտահայտությամբ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելը մեզ տալիս է հավասարումը (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Ստացված հավասարումն ունի երկու արմատ՝ 1 և 0։ 0 թիվը կողմնակի արմատ է սկզբնական հավասարման համար, որն առաջացել է վերափոխման արդյունքում։

Փոխակերպումներ, որոնք կարող են հանգեցնել արմատների կորստի

Որոշակի պայմաններից որոշ փոխարկումներ կարող են հանգեցնել արմատների կորստի: Օրինակ, x·(x−2)=x−2 հավասարման երկու կողմերը նույն x−2 արտահայտությամբ բաժանելիս արմատը կորչում է։ Իսկապես, նման փոխակերպման արդյունքում x=1 հավասարումը ստացվում է մեկ արմատով, որը 1 թիվն է, իսկ սկզբնական հավասարումն ունի երկու արմատ՝ 1 և 2։

Պետք է հստակ հասկանալ, թե երբ են արմատները կորչում փոխակերպումների արդյունքում, որպեսզի հավասարումներ լուծելիս արմատներ չկորցնեն։ Եկեք պարզենք սա:

Այս փոխակերպումների արդյունքում արմատների կորուստը կարող է առաջանալ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե փոխակերպված հավասարման ODZ-ը պարզվի, որ ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը:

Այս պնդումն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է հիմնավորել երկու կետ. Նախ, անհրաժեշտ է ապացուցել, որ եթե հավասարման նշված փոխակերպումների արդյունքում ODZ-ը նեղացվի, ապա կարող է առաջանալ արմատների կորուստ: Եվ, երկրորդ, անհրաժեշտ է հիմնավորել, որ եթե այդ փոխակերպումների արդյունքում արմատները կորչում են, ապա ստացված հավասարման ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը։

Եթե ​​փոխակերպման արդյունքում ստացված հավասարման ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը, ապա, բնականաբար, ստացված հավասարման համար ODZ-ից դուրս գտնվող սկզբնական հավասարման ոչ մի արմատ չի կարող լինել հավասարման արմատ: վերափոխման արդյունքում ստացված. Սա նշանակում է, որ այս բոլոր արմատները կկորչեն սկզբնական հավասարումից դեպի այն հավասարումը, որի համար ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը:

Հիմա վերադարձ: Ապացուցենք, որ եթե այս փոխակերպումների արդյունքում արմատները կորչում են, ապա ստացված հավասարման ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը։ Դա կարելի է անել հակառակ մեթոդով. Այն ենթադրությունը, որ այդ փոխակերպումների արդյունքում արմատները կորչում են, բայց ՕՁ-ն չի նեղանում, հակասում է նախորդ պարբերություններում ապացուցված պնդումներին։ Իրոք, այս հայտարարություններից հետևում է, որ եթե նշված փոխակերպումները կատարելիս ODZ-ը չի նեղանում, ապա ստացվում են կամ համարժեք հավասարումներ կամ հետևողական հավասարումներ, ինչը նշանակում է, որ արմատների կորուստ չի կարող առաջանալ:

Այսպիսով, հավասարումների հիմնական փոխակերպումներ իրականացնելիս արմատների հնարավոր կորստի պատճառը ODZ-ի նեղացումն է։ Հասկանալի է, որ հավասարումներ լուծելիս պետք չէ արմատներ կորցնել։ Այստեղ, բնականաբար, հարց է առաջանում. «Ի՞նչ պետք է անենք, որպեսզի հավասարումները փոխակերպելիս արմատները չկորցնենք»։ Մենք դրան կպատասխանենք հաջորդ պարբերությունում։ Այժմ եկեք անցնենք հավասարումների հիմնական փոխակերպումների ցանկը, որպեսզի ավելի մանրամասն տեսնենք, թե որ փոխակերպումները կարող են հանգեցնել արմատների կորստի:

• Հավասարման ձախ և աջ կողմերի արտահայտությունների փոխարինում նույնական հավասար արտահայտություններով:

Եթե ​​հավասարման ձախ կամ աջ կողմի արտահայտությունը փոխարինեք նույնական հավասար արտահայտությամբ, որի OD-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման OD-ը, դա կհանգեցնի OD-ի և դրա պատճառով արմատների նեղացմանը: կարող է կորել. Ամենից հաճախ, հավասարումների ձախ կամ աջ կողմի արտահայտությունների փոխարինումը նույնական հավասար արտահայտություններով, որն իրականացվում է արմատների, հզորությունների, լոգարիթմների և որոշ հատկությունների հիման վրա: եռանկյունաչափական բանաձևեր. Օրինակ, հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը նույնական հավասար արտահայտությամբ փոխարինելը նեղացնում է ODZ-ը և հանգեցնում −16 արմատի կորստի: Նմանապես, հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը նույնական հավասար արտահայտությամբ փոխարինելը հանգեցնում է հավասարման, որի համար ODZ-ն ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը, ինչը հանգեցնում է −3 արմատի կորստի:

• Հավասարման երկու կողմերին նույն թվի գումարում կամ հավասարման երկու կողմերից նույն թիվը հանելը:

Այս փոխակերպումը համարժեք է, հետևաբար, դրա իրականացման ընթացքում արմատները չեն կարող կորցնել:

• Հավասարման երկու կողմերին նույն արտահայտությունն ավելացնելը կամ հավասարման երկու կողմերից նույն արտահայտությունը հանելը:

Եթե ​​սկզբնական հավասարման համար ավելացնեք կամ հանեք արտահայտություն, որի OD-ն ավելի նեղ է, քան OD-ը, դա կհանգեցնի OD-ի նեղացման և, որպես հետևանք, արմատների հնարավոր կորստի: Արժե սա նկատի ունենալ: Բայց այստեղ հարկ է նշել, որ գործնականում սովորաբար անհրաժեշտ է դիմել սկզբնական հավասարման ձայնագրման մեջ առկա արտահայտություններ ավելացնելու կամ հանելու, ինչը չի հանգեցնում ODZ-ի փոփոխության և չի հանգեցնում արմատների կորստի:

• Հավասարման մի մասից մյուսը փոխանցելը հակառակ նշանով:

Հավասարման այս փոխակերպումը համարժեք է, հետևաբար դրա իրականացման արդյունքում արմատները չեն կորչում։

• Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելը կամ բաժանելը նույն թվով, բացի զրոյից:

Այս փոխակերպումը նույնպես համարժեք է, և դրա պատճառով արմատների կորուստ չի առաջանում։

• Հավասարման երկու կողմերը միևնույն արտահայտությամբ բազմապատկելը կամ բաժանելը:

Այս փոխակերպումը կարող է հանգեցնել OD-ի նեղացման երկու դեպքում. երբ OD արտահայտության համար, որով կատարվում է բազմապատկումը կամ բաժանումը, ավելի նեղ է, քան սկզբնական հավասարման OD-ը, և երբ բաժանումն իրականացվում է արտահայտությամբ, որը դառնում է. զրո OD-ի վրա սկզբնական հավասարման համար: Նկատի ունեցեք, որ գործնականում սովորաբար անհրաժեշտ չէ դիմել հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելու և բաժանելու ավելի նեղ VA արտահայտությամբ: Բայց դուք պետք է գործ ունենաք բաժանման հետ, որը սկզբնական հավասարման համար վերածվում է զրոյի: Կա մի մեթոդ, որը թույլ է տալիս հաղթահարել արմատների կորուստը նման բաժանման ժամանակ, մենք կխոսենք այս հոդվածի հաջորդ պարբերությունում:

Ինչպե՞ս խուսափել արմատների կորստից:

Եթե ​​դուք օգտագործում եք միայն փոխակերպումներ ից մինչև փոխակերպման հավասարումներ և միևնույն ժամանակ թույլ չեք տալիս նեղացնել ODZ-ը, ապա արմատների կորուստը տեղի չի ունենա:

Արդյո՞ք սա նշանակում է, որ հավասարումների այլ փոխակերպումներ չեն կարող կատարվել: Ոչ, դա չի նշանակում: Եթե ​​դուք գտնում եք հավասարման որևէ այլ փոխակերպում և ամբողջությամբ նկարագրում եք այն, այսինքն՝ նշեք, թե երբ է դա հանգեցնում. համարժեք հավասարումներ, երբ՝ հավասարումների-հետևանքների, և երբ դա կարող է հանգեցնել արմատների կորստի, ապա դա կարող է լավ ընդունվել։

Արդյո՞ք մենք պետք է ամբողջությամբ հրաժարվենք բարեփոխումներից, որոնք կնեղացնեն DPD-ն: Դա չպետք է անի: Չի խանգարի ձեր զինանոցում պահել փոխակերպումները, որոնցում վերջավոր թվով թվեր դուրս են գալիս ODZ-ից սկզբնական հավասարման համար: Ինչու՞ չպետք է հրաժարվել նման վերափոխումներից: Քանի որ նման դեպքերում արմատների կորստից խուսափելու մեթոդ կա։ Այն բաղկացած է ODZ-ից դուրս ընկած թվերի առանձին ստուգումից՝ տեսնելու, թե արդյոք դրանց մեջ կան սկզբնական հավասարման արմատներ: Դուք կարող եք դա ստուգել՝ փոխարինելով այս թվերը սկզբնական հավասարման մեջ: Նրանցից նրանք, որոնք փոխարինվելիս տալիս են ճիշտ թվային հավասարություն, սկզբնական հավասարման արմատներն են։ Նրանք պետք է ներառվեն պատասխանի մեջ: Նման ստուգումից հետո դուք կարող եք ապահով կերպով իրականացնել պլանավորված վերափոխումը, առանց ձեր արմատները կորցնելու վախի:

Տիպիկ փոխակերպումը, որի դեպքում ODZ-ը հավասարման համար նեղացվում է մինչև մի քանի թվեր, հավասարման երկու կողմերը բաժանելն է նույն արտահայտությամբ, որը սկզբնական հավասարման համար ODZ-ից մի քանի կետերում դառնում է զրո: Այս փոխակերպումը լուծման մեթոդի հիմքն է փոխադարձ հավասարումներ. Բայց այն օգտագործվում է նաև այլ տեսակի հավասարումներ լուծելու համար։ Օրինակ բերենք.

Հավասարումը կարելի է լուծել՝ ներմուծելով նոր փոփոխական։ Նոր փոփոխական ներմուծելու համար անհրաժեշտ է հավասարման երկու կողմերը բաժանել 1+x-ի: Բայց նման բաժանման դեպքում արմատի կորուստ կարող է առաջանալ, քանի որ չնայած 1+x արտահայտության ODZ-ն ավելի նեղ չէ, քան սկզբնական հավասարման ODZ-ը, 1+x արտահայտությունը x=−1-ում դառնում է զրո, և այս թիվը. պատկանում է ODZ-ին սկզբնական հավասարման համար: Սա նշանակում է, որ −1 արմատը կարող է կորչել։ Արմատի կորուստը վերացնելու համար դուք պետք է առանձին ստուգեք՝ արդյոք −1-ը սկզբնական հավասարման արմատն է: Դա անելու համար դուք կարող եք −1-ը փոխարինել սկզբնական հավասարման մեջ և տեսնել, թե ինչ հավասարություն եք ստանում: Մեր դեպքում փոխարինումը տալիս է հավասարություն, որը նույնն է, ինչ 4=0։ Այս հավասարությունը կեղծ է, ինչը նշանակում է, որ −1-ը սկզբնական հավասարման արմատը չէ: Նման ստուգումից հետո դուք կարող եք իրականացնել հավասարման երկու կողմերի նախատեսված բաժանումը 1 + x-ով, առանց վախենալու, որ արմատների կորուստը կարող է առաջանալ:

Այս պարբերության վերջում ևս մեկ անգամ անդրադառնանք նախորդ պարբերության և. Այս հավասարումների փոխակերպումը հիմնված ինքնությունների վրա և հանգեցնում է ODZ-ի նեղացմանը, և դա հանգեցնում է արմատների կորստի: Այս պահին մենք ասացինք, որ մեր արմատները չկորցնելու համար պետք է հրաժարվել ԴԺ-ն նեղացնող բարեփոխումներից: Սա նշանակում է, որ պետք է հրաժարվել այդ վերափոխումներից։ Բայց ի՞նչ անենք։ Հնարավոր է ինքնության վրա չհիմնված փոխակերպումներ իրականացնել և , որի պատճառով ՕՁ–ն նեղանում է, իսկ ինքնությունների հիման վրա և . սկզբնական հավասարումներից և հավասարումներին և ՕՁ-ի նեղացում չկա, ինչը նշանակում է, որ արմատները չեն կորչի։

Այստեղ մենք հատկապես նշում ենք, որ արտահայտությունները նույնական հավասար արտահայտություններով փոխարինելիս պետք է ուշադիր հետևել, որ արտահայտությունները ճիշտ նույնական են: Օրինակ, հավասար. անհնար է x+3 արտահայտությունը փոխարինել արտահայտությամբ՝ ձախ կողմի տեսքը պարզեցնելու համար , քանի որ x+3 և արտահայտությունները նույնական չեն, քանի որ դրանց արժեքները չեն համընկնում x+3-ում։<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Հավասարումների փոխակերպումներ, որոնք չպետք է օգտագործվեն

Այս հոդվածում նշված վերափոխումները սովորաբար բավարար են գործնական կարիքների համար: Այսինքն, դուք չպետք է անհանգստանաք որևէ այլ փոխակերպումների մասին, ավելի լավ է կենտրոնանալ արդեն իսկ ապացուցվածների ճիշտ օգտագործման վրա:

գրականություն

1. Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբ. 11-րդ դասարան. 2 ժամում Մաս 1. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար (պրոֆիլային մակարդակ) / Ա. Գ. Մորդկովիչ, Պ. Վ. Սեմենով. - 2-րդ հրատ., ջնջված: - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01027-2 ։
2. Հանրահաշիվև մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: 10-րդ դասարան՝ դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / [Յու. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; խմբագրել է A. B. Ժիժչենկո. - 3-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2010.- 368 էջ: հիվանդ.-ISBN 978-5-09-022771-1: