տուն Ծածկված լեզու Գտե՛ք a կետին սիմետրիկ կետ: Ինչպե՞ս գտնել գծի նկատմամբ սիմետրիկ կետ

Ծածկված լեզու

Գտե՛ք a կետին սիմետրիկ կետ: Ինչպե՞ս գտնել գծի նկատմամբ սիմետրիկ կետ

Մեզ տրվի որոշակի ուղիղ, որը սահմանվում է գծային հավասարմամբ, և կետ, որը սահմանվում է իր կոորդինատներով (x0, y0) և չի գտնվում այս ուղիղի վրա։ Պահանջվում է գտնել մի կետ, որը սիմետրիկ կլինի տվյալ կետին տրված ուղիղ գծի շուրջ, այսինքն՝ կհամընկնի դրա հետ, եթե հարթությունը մտովի կիսով չափ թեքվի այս ուղիղ գծի երկայնքով:

Հրահանգներ

1. Հասկանալի է, որ երկու կետերը՝ տրվածն ու ցանկալին, պետք է ընկած լինեն նույն գծի վրա, իսկ այս ուղիղը պետք է ուղղահայաց լինի տրվածին։ Այսպիսով, խնդրի առաջին մասը բացահայտում է այն ուղիղի հավասարումը, որն ուղղահայաց կլինի տվյալ ուղղին և միևնույն ժամանակ կանցնի տվյալ կետով:

2. Ուղիղ գիծը կարող է սահմանվել երկու եղանակով. Ուղղի կանոնական հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը՝ Ax + By + C = 0, որտեղ A, B և C հաստատուններ են։ Դուք կարող եք նաև սահմանել ուղիղ գիծ՝ օգտագործելով գծային ֆունկցիա y = kx + b, որտեղ k-ը անկյունային ցուցիչն է, b-ը տեղաշարժն է:Այս երկու մեթոդները փոխարինելի են, և հնարավոր է տեղափոխել միմյանցից մյուսը: Եթե Ax + By + C = 0, ապա y = – (Ax + C)/B: Այլ կերպ ասած, y = kx + b գծային ֆունկցիայի դեպքում անկյունային ցուցանիշը k = -A/B, իսկ տեղաշարժը b = -C/B: Առաջադրված առաջադրանքի համար ավելի հարմար է հիմնվելով պատճառաբանել կանոնական հավասարումուղիղ.

3. Եթե երկու ուղիղները միմյանց ուղղահայաց են, և առաջին տողի հավասարումը Ax + By + C = 0 է, ապա 2-րդ տողի հավասարումը պետք է նմանվի Bx – Ay + D = 0, որտեղ D-ն հաստատուն է: D-ի որոշակի արժեք հայտնաբերելու համար անհրաժեշտ է լրացուցիչ իմանալ, թե որ կետով է անցնում ուղղահայաց ուղիղը։ IN այս դեպքումսա կետն է (x0, y0):Հետևաբար, D-ն պետք է բավարարի հավասարությունը՝ Bx0 – Ay0 + D = 0, այսինքն՝ D = Ay0 – Bx0:

4. Ուղղահայաց գիծը հայտնաբերելուց հետո անհրաժեշտ է հաշվարկել տրվածի հետ նրա հատման կետի կոորդինատները։ Դա անելու համար մենք պետք է լուծենք համակարգը գծային հավասարումներ:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0: Դրա լուծումը կտա այն թվերը (x1, y1), որոնք ծառայում են որպես ուղիղների հատման կետի կոորդինատներ։

5. Ցանկալի կետը պետք է ընկած լինի հայտնաբերված գծի վրա, և դրա հեռավորությունը հատման կետից պետք է հավասար լինի հատման կետից մինչև կետ հեռավորությանը (x0, y0): Այսպիսով (x0, y0) կետին սիմետրիկ կետի կոորդինատները կարելի է գտնել՝ լուծելով հավասարումների համակարգը՝ Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2):

6. Բայց դուք կարող եք դա անել ավելի հեշտ: Եթե կետերը (x0, y0) և (x, y) գտնվում են (x1, y1) կետից հավասար հեռավորության վրա, և բոլոր երեք կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, ապա՝ x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 Հետևաբար, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0: Այս արժեքները փոխարինելով առաջին համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ և պարզեցնելով արտահայտությունները՝ հեշտ է համոզվել, որ դրա աջ կողմը դառնում է նույնը, ինչ ձախը: Բացի այդ, իմաստ չունի առաջին հավասարումը հետագայում դիտարկել, քանի որ հայտնի է, որ (x0, y0) և (x1, y1) կետերը բավարարում են դրան, իսկ կետը (x, y) ակնհայտորեն գտնվում է նույն ուղիղի վրա։ .

Խնդիրն այն է, որ գտնենք այն կետի կոորդինատները, որոնք համաչափ են ուղիղ գծի նկատմամբ . Ես առաջարկում եմ քայլերը կատարել ինքներդ, բայց ես կուրվագծեմ լուծման ալգորիթմը միջանկյալ արդյունքներով.

1) Գտեք ուղիղը, որն ուղղահայաց է:

2) Գտե՛ք ուղիղների հատման կետը. .

Երկու գործողություններն էլ մանրամասն քննարկվում են այս դասում:

3) կետը հատվածի միջնակետն է: Մենք գիտենք միջինի և ծայրերից մեկի կոորդինատները։ Ըստ Հատվածի միջնակետի կոորդինատների բանաձևերմենք գտնում ենք.

Լավ կլինի ստուգել, որ հեռավորությունը նույնպես 2,2 միավոր է։

Այստեղ հաշվարկներում կարող են դժվարություններ առաջանալ, բայց միկրոհաշվիչը մեծ օգնություն է աշտարակում, որը թույլ է տալիս հաշվել. ընդհանուր կոտորակներ. Ես ձեզ բազմիցս խորհուրդ եմ տվել և նորից խորհուրդ կտամ։

Ինչպե՞ս գտնել երկու զուգահեռ գծերի միջև հեռավորությունը:

Օրինակ 9

Գտեք երկու զուգահեռ ուղիղների միջև եղած հեռավորությունը

Սա ևս մեկ օրինակ է անկախ որոշում. Ես ձեզ մի փոքր հուշում կտամ. կան անսահման բազմաթիվ եղանակներ դա լուծելու համար: Դասի վերջում ամփոփում, բայց ավելի լավ է փորձեք ինքներդ գուշակել, կարծում եմ ձեր հնարամտությունը լավ զարգացած էր:

Անկյուն երկու ուղիղ գծերի միջև

Ամեն անկյուն մի ջամբ է.

Երկրաչափության մեջ երկու ուղիղ գծերի միջև անկյունն ընդունվում է որպես ԱՎԵԼԻ ՓՈՔՐ անկյուն, որից ինքնաբերաբար հետևում է, որ այն չի կարող բութ լինել։ Նկարում կարմիր աղեղով նշված անկյունը չի համարվում խաչվող գծերի միջև ընկած անկյուն: Իսկ նրա «կանաչ» հարեւանը կամ հակառակ կողմնորոշված«ազնվամորու» անկյուն.

Եթե գծերը ուղղահայաց են, ապա 4 անկյուններից որևէ մեկը կարելի է ընդունել որպես նրանց միջև եղած անկյուն։

Ինչպե՞ս են տարբեր անկյունները: Կողմնորոշում. Նախ, սկզբունքորեն կարևոր է այն ուղղությունը, որով անկյունը «ոլորվում է»: Երկրորդ, բացասական կողմնորոշված անկյունը գրվում է մինուս նշանով, օրինակ, եթե .

Ինչո՞ւ ասացի քեզ սա: Թվում է, թե մենք կարող ենք յոլա գնալ անկյունի սովորական հայեցակարգով: Փաստն այն է, որ բանաձեւերը, որոնցով մենք կգտնենք անկյունները, հեշտությամբ կարող են հանգեցնել բացասական արդյունքի, եւ դա չպետք է ձեզ զարմացնի: Մինուս նշանով անկյունը ավելի վատ չէ և ունի շատ կոնկրետ երկրաչափական իմաստ. Նկարում, բացասական անկյան համար, անպայման նշեք դրա կողմնորոշումը սլաքով (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ):

Ինչպե՞ս գտնել անկյունը երկու ուղիղ գծերի միջև:Գործող երկու բանաձև կա.

Օրինակ 10

Գտի՛ր տողերի միջև եղած անկյունը

ԼուծումԵվ Մեթոդ առաջին

Դիտարկենք երկու ուղիղ գծեր, որոնք տրված են մեջի հավասարումներով ընդհանուր տեսարան:

Եթե ուղիղ ոչ ուղղահայաց, Դա կողմնորոշվածՆրանց միջև անկյունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Եկեք ուշադրությամբ ուշադրություն դարձնենք հայտարարին. սա հենց այդպես է սկալյար արտադրանքՈւղիղ գծերի ուղղորդող վեկտորներ.

Եթե , ապա բանաձևի հայտարարը դառնում է զրո, և վեկտորները կլինեն ուղղանկյուն, իսկ ուղիղները՝ ուղղահայաց։ Այդ իսկ պատճառով վերապահում է արվել ձեւակերպման մեջ ուղիղ գծերի ոչ ուղղահայացության վերաբերյալ։

Ելնելով վերը նշվածից, լուծումը հարմար է ձևակերպել երկու քայլով.

1) Հաշվենք ուղիղների ուղղության վեկտորների սկալյար արտադրյալը.

2) Գտեք անկյունը ուղիղ գծերի միջև՝ օգտագործելով բանաձևը.

Օգտագործելով հակադարձ գործառույթը, հեշտ է գտնել անկյունն ինքնին: Այս դեպքում մենք օգտագործում ենք արկտանգենսի տարօրինակությունը (տես. Գրաֆիկներ և հատկություններ տարրական գործառույթներ ):

Պատասխանել:

Պատասխանում նշում ենք ճշգրիտ արժեք, ինչպես նաև մոտավոր արժեքը (ցանկալի է և՛ աստիճաններով, և՛ ռադիաններով), որը հաշվարկվում է հաշվիչի միջոցով։

Դե, մինուս, մինուս, մեծ բան չէ: Ահա մի երկրաչափական նկարազարդում.

Զարմանալի չէ, որ անկյունը բացասական կողմնորոշման է ստացվել, քանի որ խնդրի հայտարարության մեջ առաջին թիվը ուղիղ գիծ է, և անկյան «ապտուտակումը» սկսվել է հենց դրանով։

Եթե իսկապես ցանկանում եք դրական անկյուն ստանալ, ապա պետք է փոխեք գծերը, այսինքն՝ վերցնեք գործակիցները երկրորդ հավասարումից. , և վերցրեք գործակիցները առաջին հավասարումից: Մի խոսքով, դուք պետք է սկսել ուղիղ .

Չեմ թաքցնի, ես ինքս ընտրում եմ ուղիղ գծերը ըստ հերթականության, որպեսզի անկյունը դրական լինի: Ավելի գեղեցիկ է, բայց ոչ ավելին:

Ձեր լուծումը ստուգելու համար դուք կարող եք վերցնել անկյունաչափ և չափել անկյունը:

Մեթոդ երկու

Եթե ուղիղ գծեր տրված են թեքությամբ և ոչ ուղղահայաց, Դա կողմնորոշվածՆրանց միջև անկյունը կարելի է գտնել բանաձևով.

Ուղիների ուղղահայացության պայմանն արտահայտվում է հավասարությամբ, որից, ի դեպ, հետևում է մի շատ օգտակար կապ ուղղահայաց ուղիղների անկյունային գործակիցների միջև՝ , որն օգտագործվում է որոշ խնդիրներում։

Լուծման ալգորիթմը նման է նախորդ պարբերությանը: Բայց նախ, եկեք վերագրենք մեր ուղիղ գծերը պահանջվող ձևով.

Այսպիսով, լանջերն են.

1) Ստուգենք՝ արդյոք ուղիղներն ուղղահայաց են.
, ինչը նշանակում է, որ գծերն ուղղահայաց չեն։

2) Օգտագործեք բանաձևը.

Պատասխանել:

Երկրորդ մեթոդը նպատակահարմար է օգտագործել, երբ ուղիղ գծերի հավասարումները սկզբնապես նշված են անկյունային գործակցով: Հարկ է նշել, որ եթե առնվազն մեկ ուղիղ գիծ զուգահեռ է օրդինատների առանցքին, ապա բանաձևն ընդհանրապես կիրառելի չէ, քանի որ նման ուղիղ գծերի համար թեքությունը սահմանված չէ (տես հոդված. Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա).

Կա երրորդ լուծում. Գաղափարն այն է, որ հաշվարկել անկյունը ուղիղների ուղղության վեկտորների միջև՝ օգտագործելով դասում քննարկված բանաձևը Վեկտորների կետային արտադրյալ:

Այստեղ մենք այլևս խոսում ենք ոչ թե կողմնորոշված անկյան մասին, այլ «ուղղակի անկյան մասին», այսինքն՝ արդյունքն անշուշտ դրական կլինի։ Բռնելն այն է, որ դուք կարող եք հայտնվել բութ անկյան տակ (ոչ այն, ինչ ձեզ հարկավոր է): Այս դեպքում դուք պետք է վերապահում կատարեք, որ ուղիղ գծերի միջև անկյունն ավելի փոքր է, և ստացված աղեղային կոսինուսը հանեք «pi» ռադիաններից (180 աստիճան):

Ցանկացողները կարող են խնդիրը լուծել երրորդ ճանապարհով. Բայց ես դեռ խորհուրդ եմ տալիս հավատարիմ մնալ առաջին մոտեցմանը կողմնորոշված տեսանկյունից, այն պատճառով, որ այն տարածված է։

Օրինակ 11

Գտեք գծերի միջև եղած անկյունը:

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Փորձեք լուծել այն երկու ճանապարհով.

Հեքիաթը մի կերպ մարեց ճանապարհին... Որովհետև չկա Կաշչեյ Անմահը: Ես կա, և ես առանձնապես շոգեխաշված չեմ: Ճիշտն ասած, կարծում էի, որ հոդվածը շատ ավելի երկար կլինի։ Բայց ես դեռ կվերցնեմ իմ վերջերս ձեռք բերված գլխարկն ու ակնոցը և կգնամ լողալու սեպտեմբերի լճի ջրում: Կատարյալ կերպով ազատում է հոգնածությունը և բացասական էներգիան:

Նախքան շուտով կտեսնվենք!

Եվ հիշեք, որ Բաբա Յագան չեղարկվել է =)

Լուծումներ և պատասխաններ.

Օրինակ 3:Լուծում Գտնենք ուղղի ուղղության վեկտորը :

Կազմենք ցանկալի գծի հավասարումը` օգտագործելով կետը և ուղղության վեկտորը . Քանի որ ուղղության վեկտորի կոորդինատներից մեկը զրո է, հավասար. եկեք այն վերաշարադրենք ձևով.

Պատասխանել :

Օրինակ 5:Լուծում :
1) Գծի հավասարում եկեք երկու կետ կազմենք :

2) Գծի հավասարում եկեք երկու կետ կազմենք :

3) փոփոխականների համար համապատասխան գործակիցներ ոչ համամասնական: , ինչը նշանակում է, որ գծերը հատվում են:
4) Գտեք կետ :

Նշում այստեղ համակարգի առաջին հավասարումը բազմապատկվում է 5-ով, ապա 2-րդը 1-ին հավասարումից հանվում է անդամ առ անդամ:
Պատասխանել :

Oh-oh-oh-oh-oh... Դե, դա կոշտ է, կարծես նա իր համար նախադասություն էր կարդում =) Այնուամենայնիվ, հանգիստը կօգնի ավելի ուշ, հատկապես, որ այսօր ես գնել եմ համապատասխան պարագաներ: Հետևաբար, անցնենք առաջին բաժնին, հուսով եմ, որ մինչև հոդվածի ավարտը կպահպանեմ ուրախ տրամադրությունը։

Երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքը

Սա այն դեպքն է, երբ հանդիսատեսը երգում է երգչախմբով։ Երկու ուղիղ գծեր կարող են:

1) համընկնում;

2) լինել զուգահեռ.

3) կամ հատվում են մեկ կետում.

Օգնեք խաբեբաներին Խնդրում եմ հիշեք մաթեմատիկական խաչմերուկի նշանը, այն շատ հաճախ կհայտնվի: Նշումը նշանակում է, որ ուղիղը հատվում է կետի գծի հետ:

Ինչպե՞ս որոշել երկու տողերի հարաբերական դիրքը:

Սկսենք առաջին դեպքից.

Երկու տող համընկնում են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանց համապատասխան գործակիցները համաչափ են, այսինքն՝ կա այնպիսի «լամբդա» թիվ, որ հավասարությունները բավարարված են

Դիտարկենք ուղիղները և համապատասխան գործակիցներից ստեղծենք երեք հավասարումներ՝ . Յուրաքանչյուր հավասարումից հետևում է, որ, հետևաբար, այս տողերը համընկնում են:

Իսկապես, եթե հավասարման բոլոր գործակիցները բազմապատկել –1-ով (փոփոխության նշաններ) և հավասարման բոլոր գործակիցները կտրելով 2-ով, ստացվում է նույն հավասարումը.

Երկրորդ դեպքը, երբ ուղիղները զուգահեռ են.

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե փոփոխականների նրանց գործակիցները համաչափ են. , Բայց.

Որպես օրինակ, դիտարկենք երկու ուղիղ գիծ: Մենք ստուգում ենք համապատասխան գործակիցների համաչափությունը փոփոխականների համար.

Այնուամենայնիվ, միանգամայն ակնհայտ է, որ.

Եվ երրորդ դեպքը, երբ գծերը հատվում են.

Երկու ուղիղ հատվում են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե փոփոխականների նրանց գործակիցները ՉԵՆ համաչափ, այսինքն՝ «Լամբդա»-ի այնպիսի արժեք ՉԿԱ, որ հավասարությունները բավարարվեն

Այսպիսով, ուղիղ գծերի համար մենք կստեղծենք համակարգ.

Առաջին հավասարումից հետևում է, որ , իսկ երկրորդ հավասարումից՝ , ինչը նշանակում է համակարգը անհամապատասխան է(լուծումներ չկան): Այսպիսով, փոփոխականների գործակիցները համաչափ չեն։

Եզրակացություն՝ գծերը հատվում են

Գործնական խնդիրներում կարող եք օգտագործել հենց նոր քննարկված լուծման սխեման: Ի դեպ, դա շատ է հիշեցնում վեկտորների համակողմանիության ստուգման ալգորիթմը, որը մենք դիտել ենք դասարանում. Վեկտորների գծային (ան)կախվածության հասկացությունը. Վեկտորների հիմքը. Բայց կա ավելի քաղաքակիրթ փաթեթավորում.

Օրինակ 1

Պարզելու համար փոխադարձ պայմանավորվածությունուղղակի:

Լուծումհիմնված ուղիղ գծերի ուղղորդող վեկտորների ուսումնասիրության վրա.

ա) Հավասարումներից գտնում ենք ուղիղների ուղղության վեկտորները. .

, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները համագիծ չեն, և ուղիղները հատվում են։

Ամեն դեպքում խաչմերուկում ցուցանակներով քար կդնեմ.

Մնացածները ցատկում են քարի վրայով և հետևում ուղիղ դեպի Կաշչեյ Անմահը =)

բ) Գտե՛ք ուղիղների ուղղության վեկտորները.

Ուղիները ունեն նույն ուղղության վեկտորը, ինչը նշանակում է, որ դրանք կամ զուգահեռ են կամ համընկնում: Այստեղ դետերմինանտը հաշվելու կարիք չկա։

Ակնհայտ է, որ անհայտների գործակիցները համաչափ են, և .

Եկեք պարզենք, թե արդյոք հավասարությունը ճշմարիտ է.

Այսպիսով,

գ) Գտե՛ք ուղիղների ուղղության վեկտորները.

Եկեք հաշվարկենք այս վեկտորների կոորդինատներից կազմված որոշիչը.
, հետևաբար, ուղղության վեկտորները համակողմանի են: Գծերը կամ զուգահեռ են կամ համընկնում:

«Լամբդա» համաչափության գործակիցը հեշտ է տեսնել ուղիղ ուղղության վեկտորների հարաբերակցությունից: Այնուամենայնիվ, այն կարելի է գտնել նաև հենց հավասարումների գործակիցների միջոցով. .

Հիմա եկեք պարզենք, թե արդյոք ճիշտ է հավասարությունը։ Երկու անվճար տերմիններն էլ զրո են, ուստի.

Ստացված արժեքը բավարարում է այս հավասարումը (ցանկացած թիվ ընդհանուր առմամբ բավարարում է դրան):

Այսպիսով, տողերը համընկնում են:

Պատասխանել:

Շատ շուտով դուք կսովորեք (կամ նույնիսկ արդեն սովորել եք) վայրկյանների ընթացքում բառացիորեն քննարկված խնդիրը լուծել բառացիորեն։ Այս առումով, ես իմաստ չեմ տեսնում անկախ լուծման համար որևէ բան առաջարկելու համար, ավելի լավ է երկրաչափական հիմքում մեկ այլ կարևոր աղյուս դնել.

Ինչպե՞ս կառուցել տրվածին զուգահեռ ուղիղ:

Այս ամենապարզ առաջադրանքից անտեղյակության համար ավազակ գիշերը խստորեն պատժում է:

Օրինակ 2

Ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ. Գրի՛ր կետի միջով անցնող զուգահեռ ուղիղի հավասարումը:

ԼուծումԱնհայտ տողը տառով նշանակենք։ Ի՞նչ է ասում վիճակը նրա մասին: Ուղիղ գիծն անցնում է կետով։ Իսկ եթե ուղիղները զուգահեռ են, ապա ակնհայտ է, որ ուղիղ գծի «ցե»-ի ուղղության վեկտորը նույնպես հարմար է ուղիղ «դե»-ի կառուցման համար։

Մենք հավասարումից հանում ենք ուղղության վեկտորը.

Պատասխանել:

Օրինակի երկրաչափությունը պարզ է թվում.

Վերլուծական թեստավորումը բաղկացած է Հաջորդ քայլերը:

1) Ստուգում ենք, որ գծերն ունեն նույն ուղղության վեկտորը (եթե գծի հավասարումը ճիշտ չի պարզեցված, ապա վեկտորները կլինեն համագիծ):

2) Ստուգեք՝ արդյոք կետը բավարարում է ստացված հավասարմանը։

Շատ դեպքերում վերլուծական թեստավորումը կարող է հեշտությամբ իրականացվել բանավոր: Նայեք երկու հավասարումներին, և ձեզնից շատերը արագ կորոշեն գծերի զուգահեռությունը՝ առանց որևէ գծագրի:

Այսօր ինքնուրույն լուծումների օրինակները կրեատիվ կլինեն։ Քանի որ դուք դեռ ստիպված կլինեք մրցել Բաբա Յագայի հետ, և նա, գիտեք, ամեն տեսակ հանելուկների սիրահար է:

Օրինակ 3

Հավասարում գրե՛ք այն ուղիղի համար, որն անցնում է ուղիղին զուգահեռ կետով, եթե

Դրա լուծման ռացիոնալ եւ ոչ այնքան ռացիոնալ ճանապարհ կա։ Ամենակարճ ճանապարհը դասի վերջում է:

Մենք մի փոքր աշխատեցինք զուգահեռ գծերով և ավելի ուշ կանդրադառնանք դրանց: Համընկնող տողերի դեպքը քիչ հետաքրքրություն է ներկայացնում, ուստի եկեք քննարկենք ձեզ ծանոթ մի խնդիր դպրոցական ծրագիր:

Ինչպե՞ս գտնել երկու ուղիղների հատման կետը:

Եթե ուղիղ հատվում են կետում, ապա դրա կոորդինատները լուծումն են գծային հավասարումների համակարգեր

Ինչպե՞ս գտնել գծերի հատման կետը: Լուծել համակարգը.

Ահա դուք գնացեք Երկու անհայտ ունեցող երկու գծային հավասարումների համակարգի երկրաչափական նշանակությունը- սրանք երկու հատվող (առավել հաճախ) գծեր են հարթության վրա:

Օրինակ 4

Գտեք ուղիղների հատման կետը

ԼուծումԼուծման երկու եղանակ կա՝ գրաֆիկական և վերլուծական:

Գրաֆիկական մեթոդը պարզապես տրված գծերը գծելն է և անմիջապես գծագրից պարզել հատման կետը.

Ահա մեր միտքը. Ստուգելու համար դուք պետք է փոխարինեք դրա կոորդինատները գծի յուրաքանչյուր հավասարման մեջ, դրանք պետք է տեղավորվեն և՛ այնտեղ, և՛ այնտեղ: Այսինքն՝ կետի կոորդինատները համակարգի լուծում են։ Ըստ էության, մենք նայեցինք գրաֆիկական լուծմանը գծային հավասարումների համակարգերերկու հավասարումներով, երկու անհայտով:

Գրաֆիկական մեթոդը, իհարկե, վատ չէ, բայց նկատելի թերություններ կան։ Ո՛չ, բանն այն չէ, որ յոթերորդ դասարանցիներն այսպես են որոշում, բանն այն է, որ ժամանակ է պետք ճիշտ և ՃՇՇ գծանկար ստեղծելու համար։ Բացի այդ, որոշ ուղիղ գծեր կառուցելն այնքան էլ հեշտ չէ, և հատման կետն ինքնին կարող է տեղակայվել երեսուներորդ թագավորությունում նոթատետրի թերթից դուրս:

Ուստի ավելի նպատակահարմար է հատման կետը որոնել վերլուծական մեթոդով։ Եկեք լուծենք համակարգը.

Համակարգը լուծելու համար օգտագործվել է հավասարումների տերմին առ անդամ գումարման մեթոդը։ Համապատասխան հմտություններ զարգացնելու համար դաս անցեք Ինչպե՞ս լուծել հավասարումների համակարգը:

Պատասխանել:

Ստուգումը չնչին է. հատման կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը:

Օրինակ 5

Գտե՛ք ուղիղների հատման կետը, եթե դրանք հատվում են։

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Հարմար է առաջադրանքը բաժանել մի քանի փուլերի։ Վիճակի վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ անհրաժեշտ է.
1) Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը.
2) Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը.
3) Պարզեք գծերի հարաբերական դիրքը.
4) Եթե ուղիղները հատվում են, ապա գտե՛ք հատման կետը:

Գործողությունների ալգորիթմի մշակումը բնորոշ է բազմաթիվ երկրաչափական խնդիրների համար, և ես բազմիցս կկենտրոնանամ դրա վրա:

Ամբողջական լուծումև պատասխանը դասի վերջում.

Մինչև դասի երկրորդ հատվածին հասնելը նույնիսկ մի զույգ կոշիկ չէր մաշվել.

Ուղղահայաց գծեր. Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:
Անկյուն ուղիղ գծերի միջև

Սկսենք բնորոշ և շատ կարևոր առաջադրանք. Առաջին մասում մենք սովորեցինք, թե ինչպես կարելի է ուղիղ գիծ կառուցել այս մեկին զուգահեռ, և այժմ հավի ոտքերի վրա խրճիթը կշրջվի 90 աստիճանով.

Ինչպե՞ս կառուցել տրվածին ուղղահայաց ուղիղ:

Օրինակ 6

Ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ. Գրի՛ր կետով անցնող ուղիղին ուղղահայաց հավասարում:

ԼուծումՊայմանով հայտնի է, որ. Լավ կլիներ գտնել գծի ուղղորդող վեկտորը։ Քանի որ գծերն ուղղահայաց են, հնարքը պարզ է.

Հավասարումից «հեռացնում ենք» նորմալ վեկտորը՝ , որը կլինի ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը։

Կազմենք ուղիղ գծի հավասարումը` օգտագործելով կետ և ուղղության վեկտոր.

Պատասխանել:

Եկեք ընդլայնենք երկրաչափական ուրվագիծը.

Հմմ... Նարնջագույն երկինք, նարնջագույն ծով, նարնջագույն ուղտ:

Լուծման վերլուծական ստուգում.

1) Հավասարումներից հանում ենք ուղղության վեկտորները և օգնությամբ վեկտորների սկալյար արտադրյալմենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ ուղիղներն իսկապես ուղղահայաց են.

Ի դեպ, դուք կարող եք օգտագործել նորմալ վեկտորներ, դա նույնիսկ ավելի հեշտ է:

2) Ստուգեք՝ արդյոք կետը բավարարում է ստացված հավասարմանը .

Թեստը, կրկին, հեշտ է բանավոր կատարել:

Օրինակ 7

Գտե՛ք ուղղահայաց ուղիղների հատման կետը, եթե հավասարումը հայտնի է և ժամանակաշրջան:

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Խնդրի մեջ կան մի քանի գործողություններ, ուստի հարմար է կետ առ կետ ձևակերպել լուծումը։

Մեր հետաքրքիր ճանապարհորդությունը շարունակվում է.

Հեռավորությունը կետից տող

Մեր առջև գետի ուղիղ շերտ կա, և մեր խնդիրն է ամենակարճ ճանապարհով հասնել դրան։ Խոչընդոտներ չկան, և ամենաօպտիմալ երթուղին կլինի ուղղահայացով շարժվելը: Այսինքն՝ կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը ուղղահայաց հատվածի երկարությունն է։

Երկրաչափության մեջ հեռավորությունը ավանդաբար նշվում է հունարեն «rho» տառով, օրինակ՝ «էմ» կետից մինչև «դե» ուղիղ գիծ հեռավորությունը։

Հեռավորությունը կետից տող արտահայտված բանաձևով

Օրինակ 8

Գտեք կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը

ԼուծումՁեզ անհրաժեշտ է միայն թվերը զգուշորեն փոխարինել բանաձևով և կատարել հաշվարկները.

Պատասխանել:

Եկեք նկարենք.

Գտնված հեռավորությունը կետից ուղիղ ուղիղ կարմիր հատվածի երկարությունն է։ Եթե վանդակավոր թղթի վրա գծեք 1 միավոր սանդղակով: = 1 սմ (2 բջիջ), ապա հեռավորությունը կարելի է չափել սովորական քանոնով։

Դիտարկենք մեկ այլ առաջադրանք՝ հիմնված նույն գծագրի վրա.

1) Գտեք ուղիղը, որն ուղղահայաց է:

2) Գտե՛ք ուղիղների հատման կետը. .

Երկու գործողություններն էլ մանրամասն քննարկվում են այս դասում:

Լավ կլինի ստուգել, որ հեռավորությունը նույնպես 2,2 միավոր է։

Այստեղ հաշվարկներում կարող են դժվարություններ առաջանալ, սակայն միկրոհաշվիչը մեծ օգնություն է աշտարակում, որը թույլ է տալիս հաշվարկել սովորական կոտորակները: Ես ձեզ բազմիցս խորհուրդ եմ տվել և նորից խորհուրդ կտամ։

Ինչպե՞ս գտնել երկու զուգահեռ գծերի միջև հեռավորությունը:

Օրինակ 9

Գտեք երկու զուգահեռ ուղիղների միջև եղած հեռավորությունը

Սա ևս մեկ օրինակ է, որպեսզի դուք ինքներդ որոշեք: Ես ձեզ մի փոքր հուշում կտամ. կան անսահման բազմաթիվ եղանակներ դա լուծելու համար: Դասի վերջում ամփոփում, բայց ավելի լավ է փորձեք ինքներդ գուշակել, կարծում եմ ձեր հնարամտությունը լավ զարգացած էր:

Անկյուն երկու ուղիղ գծերի միջև

Եթե գծերը ուղղահայաց են, ապա 4 անկյուններից որևէ մեկը կարելի է ընդունել որպես նրանց միջև եղած անկյուն։

Ինչո՞ւ ասացի քեզ սա: Թվում է, թե մենք կարող ենք յոլա գնալ անկյունի սովորական հայեցակարգով: Փաստն այն է, որ բանաձեւերը, որոնցով մենք կգտնենք անկյունները, հեշտությամբ կարող են հանգեցնել բացասական արդյունքի, եւ դա չպետք է ձեզ զարմացնի: Մինուս նշանով անկյունն ավելի վատ չէ և ունի շատ կոնկրետ երկրաչափական նշանակություն: Նկարում, բացասական անկյան համար, անպայման նշեք դրա կողմնորոշումը սլաքով (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ):

Ինչպե՞ս գտնել անկյունը երկու ուղիղ գծերի միջև:Գործող երկու բանաձև կա.

Օրինակ 10

Գտի՛ր տողերի միջև եղած անկյունը

ԼուծումԵվ Մեթոդ առաջին

Դիտարկենք ընդհանուր ձևով հավասարումներով սահմանված երկու ուղիղ.

Եթե ուղիղ ոչ ուղղահայաց, Դա կողմնորոշվածՆրանց միջև անկյունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Ելնելով վերը նշվածից, լուծումը հարմար է ձևակերպել երկու քայլով.

1) Հաշվենք ուղիղների ուղղության վեկտորների սկալյար արտադրյալը.
, ինչը նշանակում է, որ գծերն ուղղահայաց չեն։

2) Գտեք անկյունը ուղիղ գծերի միջև՝ օգտագործելով բանաձևը.

Օգտագործելով հակադարձ գործառույթը, հեշտ է գտնել անկյունն ինքնին: Այս դեպքում մենք օգտագործում ենք արկտանգենսի տարօրինակությունը (տես. Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները):

Պատասխանել:

Ձեր պատասխանում մենք նշում ենք ճշգրիտ արժեքը, ինչպես նաև մոտավոր արժեքը (ցանկալի է և՛ աստիճաններով, և՛ ռադիաններով), որը հաշվարկվում է հաշվիչի միջոցով:

Խնդրի ձևակերպում. Գտի՛ր կետի համաչափ կետի կոորդինատները ինքնաթիռի համեմատ.

Լուծման պլան.

1. Գտի՛ր տրված հարթությանը ուղղահայաց և կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. . Քանի որ ուղիղ գիծը ուղղահայաց է տվյալ հարթությանը, ապա հարթության նորմալ վեկտորը կարող է ընդունվել որպես նրա ուղղության վեկտոր, այսինքն.

Այսպիսով, ուղիղ գծի հավասարումը կլինի

2. Գտի՛ր կետը ուղիղ գծի հատում և ինքնաթիռներ (տես խնդիրը 13):

3. Կետ այն հատվածի միջնակետն է, որտեղ կետը կետին սիմետրիկ կետ է , Ահա թե ինչու

Խնդիր 14. Գտե՛ք հարթության հետ կապված կետին սիմետրիկ կետ:

Ուղիղ գծի հավասարումը, որն անցնում է տվյալ հարթությանը ուղղահայաց կետով, կլինի.

Գտնենք ուղիղի և հարթության հատման կետը։

Որտեղ – Ուղի և հարթության հատման կետը, հետևաբար, հատվածի միջինն է

Նրանք. .

Միատարր հարթության կոորդինատներ. Աֆինային փոխակերպումներ ինքնաթիռում:

Թող Մ XԵվ ժամը

Մ(X, ժամըՄեյ (X, ժամը, 1) տարածության մեջ (նկ. 8):

Մեյ (X, ժամը

Մեյ (X, ժամը հու.

(hx, hy, h), h  0,

Մեկնաբանություն

հ(Օրինակ, հ

Փաստորեն, հաշվի առնելով հ

Մեկնաբանություն

Օրինակ 1.

բ) դեպի անկյուն (նկ. 9):

1-ին քայլ.

2-րդ քայլ.Պտտել  անկյունով

համապատասխան փոխակերպման մատրիցա։

3-րդ քայլ.Փոխանցում դեպի վեկտոր A(a, բ)

համապատասխան փոխակերպման մատրիցա։

Օրինակ 3

 x առանցքի երկայնքով և

1-ին քայլ.

համապատասխան փոխակերպման մատրիցա։

2-րդ քայլ.

3-րդ քայլ.

վերջապես կստանանք

Մեկնաբանություն

[R], [D], [M], [T],

Թող Մ- ինքնաթիռի կամայական կետ կոորդինատներով XԵվ ժամը, հաշվարկված տվյալ ուղղագիծ կոորդինատային համակարգի համեմատ։ Այս կետի համասեռ կոորդինատներն են x 1, x 2, x 3 միաժամանակ ոչ զրոյական թվերի ցանկացած եռապատիկ, որոնք կապված են տրված x և y թվերի հետ հետևյալ հարաբերություններով.

Համակարգչային գրաֆիկայի խնդիրներ լուծելիս միատարր կոորդինատները սովորաբար մուտքագրվում են հետևյալ կերպ. Մ(X, ժամը) ինքնաթիռին նշանակված է կետ Մեյ (X, ժամը, 1) տարածության մեջ (նկ. 8):

Նկատի ունեցեք, որ սկզբնակետը միացնող գծի կամայական կետ՝ 0(0, 0, 0) կետի հետ Մեյ (X, ժամը, 1), կարելի է տրվել ձևի եռակի թվերով (hx, hy, h):

hx, hy կոորդինատներով վեկտորը 0 (0, 0, 0) կետերը միացնող ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն է և Մեյ (X, ժամը, 1). Այս ուղիղը հատում է z = 1 հարթությունը կետում (x, y, 1), որը եզակիորեն սահմանում է կոորդինատային հարթության կետը (x, y): հու.

Այսպիսով, կամայական կետի (x, y) կոորդինատներով և ձևի եռապատիկ թվերի բազմության միջև

(hx, hy, h), h  0,

հաստատվում է (մեկ-մեկ) համապատասխանություն, որը թույլ է տալիս դիտարկել hx, hy, h թվերը որպես այս կետի նոր կոորդինատներ։

Մեկնաբանություն

Պրոյեկտիվ երկրաչափության մեջ լայնորեն կիրառվող միատարր կոորդինատները հնարավորություն են տալիս արդյունավետ կերպով նկարագրել այսպես կոչված ոչ պատշաճ տարրերը (հիմնականում նրանք, որոնցում պրոյեկտիվ հարթությունը տարբերվում է ծանոթ Էվկլիդեսյան հարթությունից): Ներդրված միատարր կոորդինատներով ընձեռված նոր հնարավորությունների մասին ավելի շատ մանրամասներ քննարկվում են այս գլխի չորրորդ բաժնում:

Միատարր կոորդինատների նախագծային երկրաչափության մեջ ընդունված է հետևյալ նշումը.

x:y:1 կամ, ավելի ընդհանուր առմամբ, x1:x2:x3

(հիշեք, որ այստեղ բացարձակապես պահանջվում է, որ x 1, x 2, x 3 թվերը միաժամանակ չդառնան զրոյի):

Միատարր կոորդինատների օգտագործումը հարմար է նույնիսկ ամենապարզ խնդիրները լուծելիս։

Դիտարկենք, օրինակ, մասշտաբների փոփոխությունների հետ կապված հարցեր: Եթե ցուցադրման սարքն աշխատում է միայն ամբողջ թվերով (կամ եթե ձեզ անհրաժեշտ է աշխատել միայն ամբողջ թվերի հետ), ապա կամայական արժեքի համար հ(Օրինակ, հ= 1) միատարր կոորդինատներով կետ

անհնար է պատկերացնել. Այնուամենայնիվ, h-ի ողջամիտ ընտրությամբ հնարավոր է ապահովել, որ այս կետի կոորդինատները ամբողջ թվեր են: Մասնավորապես, h = 10-ի համար դիտարկվող օրինակի համար մենք ունենք

Դիտարկենք մեկ այլ դեպք. Որպեսզի փոխակերպման արդյունքները չհանգեցնեն թվաբանական հորդացման, կոորդինատներով կետի համար (80000 40000 1000) կարելի է վերցնել, օրինակ, h=0.001: Արդյունքում մենք ստանում ենք (80 40 1):

Բերված օրինակները ցույց են տալիս հաշվարկներ կատարելիս համասեռ կոորդինատների օգտագործման օգտակարությունը: Այնուամենայնիվ, համակարգչային գրաֆիկայում համասեռ կոորդինատների ներդրման հիմնական նպատակը երկրաչափական փոխակերպումների կիրառման մեջ դրանց անկասկած հարմարավետությունն է:

Օգտագործելով միատարր կոորդինատների եռապատիկ և երրորդ կարգի մատրիցներ՝ կարելի է նկարագրել հարթության ցանկացած աֆինային փոխակերպում։

Փաստորեն, հաշվի առնելով հ= 1, համեմատեք երկու գրառում՝ նշված նշանով * և հետևյալ մատրիցով.

Հեշտ է տեսնել, որ վերջին հարաբերության աջ կողմի արտահայտությունները բազմապատկելուց հետո ստանում ենք և՛ բանաձևերը (*), և՛ 1=1 ճիշտ թվային հավասարություն։

Մեկնաբանություն

Երբեմն գրականության մեջ օգտագործվում է մեկ այլ նշում՝ սյունակային նշում.

Այս նշումը համարժեք է վերը նշված տող առ տող նշումին (և ստացվում է դրանից՝ փոխադրելով)։

Կամայական աֆինական փոխակերպման մատրիցայի տարրերը հստակ երկրաչափական նշանակություն չունեն: Ուստի այս կամ այն քարտեզագրումն իրականացնելու, այսինքն՝ ըստ տվյալ երկրաչափական նկարագրության համապատասխան մատրիցայի տարրերը գտնելու համար, անհրաժեշտ են հատուկ տեխնիկա։ Որպես կանոն, այս մատրիցայի կառուցումը, համաձայն դիտարկվող խնդրի բարդության և վերը նկարագրված հատուկ դեպքերի, բաժանվում է մի քանի փուլերի:

Յուրաքանչյուր փուլում որոնվում է մատրիցա, որը համապատասխանում է վերը նշված A, B, C կամ D դեպքերից մեկին, որոնք ունեն հստակ սահմանված երկրաչափական հատկություններ:

Գրենք համապատասխան երրորդ կարգի մատրիցները։

A. Պտտման մատրիցա

Բ. Դիլատացիոն մատրիցա

B. Արտացոլման մատրիցա

D. Փոխանցման մատրիցա (թարգմանություն)

Դիտարկենք հարթության աֆինային փոխակերպումների օրինակներ։

Օրինակ 1.

Կառուցեք ռոտացիոն մատրիցա A կետի շուրջ (a,բ) դեպի անկյուն (նկ. 9):

1-ին քայլ.Փոխանցում դեպի վեկտոր – A (-a, -b) պտտման կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետին հավասարեցնելու համար;

համապատասխան փոխակերպման մատրիցա։

2-րդ քայլ.Պտտել  անկյունով

համապատասխան փոխակերպման մատրիցա։

3-րդ քայլ.Փոխանցում դեպի վեկտոր A(a, բ)ռոտացիայի կենտրոնը վերադարձնել իր նախկին դիրքին.

համապատասխան փոխակերպման մատրիցա։

Եկեք բազմապատկենք մատրիցները նույն հաջորդականությամբ, ինչպես գրված են.

Արդյունքում մենք գտնում ենք, որ ցանկալի փոխակերպումը (մատրիցային նշումով) կունենա հետևյալ տեսքը.

Ստացված մատրիցայի տարրերը (հատկապես վերջին շարքում) այնքան էլ հեշտ չէ հիշել։ Միևնույն ժամանակ, երեք բազմապատկված մատրիցներից յուրաքանչյուրը հեշտությամբ կարելի է կառուցել համապատասխան քարտեզագրման երկրաչափական նկարագրությունից:

Օրինակ 3

Կառուցեք ձգվող մատրիցա ձգվող գործակիցներով x առանցքի երկայնքով և Օրդինատների առանցքի երկայնքով և կենտրոնով A(a, b) կետում։

1-ին քայլ.Փոխանցել վեկտորին -A(-a, -b)՝ ձգվող կենտրոնը կոորդինատների սկզբնավորման հետ հավասարեցնելու համար;

համապատասխան փոխակերպման մատրիցա։

2-րդ քայլ.Ձգում կոորդինատային առանցքների երկայնքով համապատասխանաբար  և  գործակիցներով; փոխակերպման մատրիցն ունի ձև

3-րդ քայլ.Տեղափոխել A(a, b) վեկտորին՝ լարվածության կենտրոնը նախկին դիրքին վերադարձնելու համար. համապատասխան փոխակերպման մատրիցա –

Մատրիցների բազմապատկումը նույն հերթականությամբ

վերջապես կստանանք

Մեկնաբանություն

Նմանատիպ պատճառաբանություն, այսինքն՝ առաջարկվող փոխակերպումը մատրիցաներով ապահովված փուլերի բաժանելով[R], [D], [M], [T], Նրա երկրաչափական նկարագրությունից կարելի է կառուցել ցանկացած աֆինական փոխակերպման մատրիցա:

Shift-ն իրականացվում է գումարման միջոցով, իսկ մասշտաբը և ռոտացիան իրականացվում են բազմապատկմամբ:

Scaling Transform (լայնացում) ծագման համեմատ ունի ձևը.

կամ մատրիցային ձևով.

Որտեղ Դx,Դyառանցքների երկայնքով մասշտաբային գործոններն են, և

- մասշտաբային մատրիցա.

Երբ D > 1, տեղի է ունենում ընդլայնում, երբ 0<=D<1- сжатие

Ռոտացիայի փոխակերպում ծագման համեմատ ունի ձևը.

կամ մատրիցային ձևով.

որտեղ φ-ը պտտման անկյունն է, և

- ռոտացիայի մատրիցա.

Մեկնաբանություն:Պտտման մատրիցայի սյուներն ու տողերը փոխադարձաբար ուղղանկյուն միավոր վեկտորներ են։ Փաստորեն, տողերի վեկտորների երկարությունների քառակուսիները հավասար են մեկի.

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 և (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

իսկ տողերի վեկտորների սկալյար արտադրյալն է

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Քանի որ վեկտորների սկալյար արտադրյալը Ա · Բ = |Ա| ·| Բ| ·cosψ, որտեղ | Ա| - վեկտորի երկարությունը Ա, |Բ| - վեկտորի երկարությունը Բ, և ψ նրանց միջև եղած ամենափոքր դրական անկյունն է, ապա 1 երկարությամբ երկու տող վեկտորների սկալյար արտադրյալի 0 հավասարությունից հետևում է, որ նրանց միջև անկյունը 90 ° է։

Տիեզերքում ուղիղ գիծը միշտ կարող է սահմանվել որպես երկու ոչ զուգահեռ հարթությունների հատման գիծ: Եթե մի հարթության հավասարումը երկրորդ հարթության հավասարումն է, ապա ուղիղի հավասարումը տրվում է որպես.

Այստեղ ոչ գծային
. Այս հավասարումները կոչվում են ընդհանուր հավասարումներ ուղիղ տարածության մեջ:

Գծի կանոնական հավասարումներ

Ցանկացած ոչ զրոյական վեկտոր, որը գտնվում է տվյալ ուղիղի վրա կամ դրան զուգահեռ, կոչվում է այս ուղիղի ուղղության վեկտոր։

Եթե կետը հայտնի է
ուղիղ գիծը և դրա ուղղության վեկտորը
, ապա ուղիղի կանոնական հավասարումները ունեն ձև.

. (9)

Գծի պարամետրային հավասարումներ

Թող տրվեն ուղիղի կանոնական հավասարումները

Այստեղից մենք ստանում ենք գծի պարամետրային հավասարումները.

(10)

Այս հավասարումները օգտակար են ուղիղի և հարթության հատման կետը գտնելու համար։

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը
Եվ
ունի ձև.

Անկյուն ուղիղ գծերի միջև

Անկյուն ուղիղ գծերի միջև

Եվ

հավասար է նրանց ուղղության վեկտորների միջև եղած անկյունին: Հետևաբար, այն կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը (4).

Զուգահեռ գծերի պայմանը.

Հարթությունների համար ուղղահայաց լինելու պայմանը.

Կետի հեռավորությունը գծից

Պ ասենք կետը տրված է
և ուղիղ

Ուղղի կանոնական հավասարումներից գիտենք կետը
, որը պատկանում է գծին և նրա ուղղության վեկտորին
. Հետո կետի հեռավորությունը
ուղիղ գծից հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի բարձրությանը Եվ
. Հետևաբար,

Գծերի հատման պայման

Երկու ոչ զուգահեռ ուղիղներ

հատել, եթե և միայն, եթե

Ուղիղ գծի և հարթության հարաբերական դիրքը:

Թող ուղիղ գիծը տրվի
և ինքնաթիռ։ Անկյուն նրանց միջև կարելի է գտնել բանաձևով

Խնդիր 73.Գրի՛ր տողի կանոնական հավասարումները

(11)

Լուծում. (9) ուղիղի կանոնական հավասարումները գրելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ուղիղին պատկանող ցանկացած կետ և ուղղի ուղղության վեկտորը։

Գտնենք վեկտորը , այս գծին զուգահեռ։ Քանի որ այն պետք է ուղղահայաց լինի այս հարթությունների նորմալ վեկտորներին, այսինքն.

,
, Դա

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումներից ունենք, որ
,
. Հետո

Քանի որ կետը
գծի ցանկացած կետ, ապա դրա կոորդինատները պետք է բավարարեն գծի հավասարումները և դրանցից մեկը կարող է նշվել, օրինակ.
, մենք գտնում ենք մյուս երկու կոորդինատները համակարգից (11):

Այստեղից,
.

Այսպիսով, ցանկալի գծի կանոնական հավասարումները ունեն ձևը.

կամ
.

Խնդիր 74.

Եվ
.

Լուծում.Առաջին տողի կանոնական հավասարումներից հայտնի են կետի կոորդինատները
գծին պատկանող և ուղղության վեկտորի կոորդինատները
. Երկրորդ տողի կանոնական հավասարումներից հայտնի են նաև կետի կոորդինատները
և ուղղության վեկտորի կոորդինատները
.

Զուգահեռ գծերի միջև հեռավորությունը հավասար է կետի հեռավորությանը
երկրորդ ուղիղ գծից։ Այս հեռավորությունը հաշվարկվում է բանաձևով

Գտնենք վեկտորի կոորդինատները
.

Եկեք հաշվարկենք վեկտորի արտադրյալը
:

Խնդիր 75.Գտեք կետ սիմետրիկ կետ
համեմատաբար ուղիղ

Լուծում. Գրենք տվյալ ուղղին ուղղահայաց և կետով անցնող հարթության հավասարումը . Որպես նրա նորմալ վեկտոր կարող եք վերցնել ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը: Հետո
. Հետևաբար,

Եկեք մի կետ գտնենք
այս ուղիղի և P հարթության հատման կետը: Դա անելու համար մենք գրում ենք գծի պարամետրային հավասարումները՝ օգտագործելով (10) հավասարումները, ստանում ենք.

Հետևաբար,
.

Թող
կետը սիմետրիկ է կետին
այս տողի համեմատ: Ապա մատնանշեք
միջնակետ
. Կետի կոորդինատները գտնելու համար Մենք օգտագործում ենք բանաձևերը հատվածի միջնակետի կոորդինատների համար.

,
,
.

Այսպիսով,
.

Խնդիր 76.Գրի՛ր գծով անցնող հարթության հավասարումը
Եվ

ա) կետի միջոցով
;

բ) հարթությանը ուղղահայաց.

Լուծում.Եկեք գրենք այս տողի ընդհանուր հավասարումները: Դա անելու համար հաշվի առեք երկու հավասարություն.

Սա նշանակում է, որ ցանկալի հարթությունը պատկանում է գեներատորներով ինքնաթիռների փաթեթին, և դրա հավասարումը կարող է գրվել (8) ձևով.

ա) Եկեք գտնենք
Եվ այն պայմանից, որ ինքնաթիռն անցնի կետով
, հետևաբար, նրա կոորդինատները պետք է բավարարեն հարթության հավասարումը։ Փոխարինենք կետի կոորդինատները
մի փունջ հարթությունների հավասարման մեջ.

Գտնված արժեք
Փոխարինենք այն (12) հավասարմամբ։ մենք ստանում ենք ցանկալի հարթության հավասարումը.

բ) Գտնենք
Եվ այն պայմանից, որ ցանկալի հարթությունը հարթությանը ուղղահայաց է: Տրված հարթության նորմալ վեկտորը
, ցանկալի հարթության նորմալ վեկտորը (տե՛ս հարթությունների փունջի հավասարումը (12)։