Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման ընդհանուր կանոն. Որոշ կոտորակների ինտեգրում

«Մաթեմատիկոսը, ինչպես նկարիչը կամ բանաստեղծը, օրինաչափություններ է ստեղծում: Եվ եթե նրա օրինաչափությունները ավելի կայուն են, ապա միայն այն պատճառով, որ դրանք կազմված են գաղափարներից... Մաթեմատիկոսի օրինաչափությունները, ինչպես նկարչի կամ բանաստեղծի նախշերը, պետք է գեղեցիկ լինեն. Գաղափարները, ինչպես գույները կամ բառերը, պետք է համապատասխանեն միմյանց: Գեղեցկությունն առաջին պահանջն է՝ աշխարհում տեղ չկա տգեղ մաթեմատիկայի համար».

Գ.Հ.Հարդի

Առաջին գլխում նշվեց, որ կան պրիմիտիվներ բավականին պարզ գործառույթներ, որն այլևս չի կարող արտահայտվել միջոցով տարրական գործառույթներ. Այս առումով հսկայական գործնական նշանակություն են ստանում ֆունկցիաների այն դասերը, որոնց մասին կարելի է ճշգրիտ ասել, որ դրանց հակաածանցյալները տարրական ֆունկցիաներ են։ Գործառույթների այս դասը ներառում է ռացիոնալ գործառույթներ, որը ներկայացնում է երկու հանրահաշվական բազմանդամների հարաբերությունը։ Շատ խնդիրներ հանգեցնում են ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրմանը: Հետեւաբար, շատ կարեւոր է, որ կարողանանք ինտեգրել նման գործառույթները:

2.1.1. Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիաներ

Ռացիոնալ կոտորակ(կամ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա) կոչվում է երկու հանրահաշվական բազմանդամների հարաբերություն.

որտեղ և են բազմանդամներ:

Հիշեցնենք, որ բազմանդամ (բազմանդամ, ամբողջ ռացիոնալ գործառույթը) nրդ աստիճանկոչվում է ձևի ֆունկցիա

Որտեղ - իրական թվեր. Օրինակ,

- առաջին աստիճանի բազմանդամ;

– չորրորդ աստիճանի բազմանդամ և այլն:

Ռացիոնալ կոտորակը (2.1.1) կոչվում է ճիշտ, եթե աստիճանը ցածր է աստիճանից , այսինքն. n<մ, հակառակ դեպքում կոտորակը կոչվում է սխալ.

Ցանկացած ոչ պատշաճ կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես բազմանդամի (ամբողջ մասի) և պատշաճ կոտորակի (կոտորակային մասի) գումար։Անպատշաճ կոտորակի ամբողջ և կոտորակային մասերի բաժանումը կարելի է կատարել «անկյունով» բազմանդամները բաժանելու կանոնով։

Օրինակ 2.1.1.Առանձնացրե՛ք հետևյալ ոչ պատշաճ ռացիոնալ կոտորակների ամբողջական և կոտորակային մասերը.

Ա) , բ) .

Լուծում . ա) Օգտագործելով «անկյունային» բաժանման ալգորիթմը, մենք ստանում ենք

Այսպիսով, մենք ստանում ենք

.

բ) Այստեղ մենք օգտագործում ենք նաև «անկյունային» բաժանման ալգորիթմը.

Արդյունքում մենք ստանում ենք

.

Եկեք ամփոփենք. Ընդհանուր դեպքում ռացիոնալ կոտորակի անորոշ ինտեգրալը կարող է ներկայացվել որպես բազմանդամի և պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրալների գումար։ Բազմանդամների հակաածանցյալներ գտնելը դժվար չէ։ Հետևաբար, հաջորդում մենք հիմնականում կդիտարկենք պատշաճ ռացիոնալ կոտորակները:

2.1.2. Ամենապարզ ռացիոնալ կոտորակները և դրանց ինտեգրումը

Ճիշտ ռացիոնալ կոտորակների շարքում առանձնանում են չորս տեսակ, որոնք դասակարգվում են որպես ամենապարզ (տարրական) ռացիոնալ կոտորակները.

3) ,

4) ,

որտեղ է ամբողջ թիվ, , այսինքն. քառակուսի եռանկյուն իրական արմատներ չունի:

1-ին և 2-րդ տիպերի պարզ կոտորակների ինտեգրումը մեծ դժվարություններ չի ներկայացնում.

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Այժմ դիտարկենք 3-րդ տիպի պարզ կոտորակների ինտեգրումը, բայց 4-րդ տիպի կոտորակներ չենք դիտարկի։

Սկսենք ձևի ինտեգրալներից

.

Այս ինտեգրալը սովորաբար հաշվարկվում է մեկուսացման միջոցով լրիվ քառակուսիհայտարարի մեջ։ Արդյունքը հետևյալ ձևի աղյուսակի ինտեգրալն է

կամ .

Օրինակ 2.1.2.Գտեք ինտեգրալները.

Ա) , բ) .

Լուծում . ա) Ընտրեք ամբողջական քառակուսի քառակուսի եռանկյունից.

Այստեղից մենք գտնում ենք

բ) Ամբողջական քառակուսին առանձնացնելով քառակուսի եռանկյունից՝ ստանում ենք.

Այսպիսով,

.

Ինտեգրալը գտնելու համար

Դուք կարող եք մեկուսացնել հայտարարի ածանցյալը համարիչում և ինտեգրալն ընդլայնել երկու ինտեգրալների գումարի մեջ. դրանցից առաջինը փոխարինելով գալիս է արտաքին տեսքին

,

իսկ երկրորդը՝ վերը քննարկվածին։

Օրինակ 2.1.3.Գտեք ինտեգրալները.

.

Լուծում . նկատել, որ . Եկեք առանձնացնենք հայտարարի ածանցյալը համարիչում.

Առաջին ինտեգրալը հաշվարկվում է փոխարինման միջոցով :

Երկրորդ ինտեգրալում մենք ընտրում ենք կատարյալ քառակուսին հայտարարի մեջ

Ի վերջո, մենք ստանում ենք

2.1.3. Ռացիոնալ կոտորակի ճիշտ ընդլայնում
պարզ կոտորակների գումարի համար

Ցանկացած պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ կարելի է յուրօրինակ կերպով ներկայացնել որպես պարզ կոտորակների գումար: Դա անելու համար հայտարարը պետք է ֆակտորիզացվի: Բարձրագույն հանրահաշիվից հայտնի է, որ իրական գործակիցներով յուրաքանչյուր բազմանդամ

Ռացիոնալ ֆունկցիան ձևի կոտորակն է, որի համարիչը և հայտարարը բազմանդամներ են կամ բազմանդամների արտադրյալներ։

Օրինակ 1. Քայլ 2.

.

Մենք չորոշված ​​գործակիցները բազմապատկում ենք բազմանդամներով, որոնք այս առանձին կոտորակի մեջ չեն, բայց ստացված այլ կոտորակներում են.

Մենք բացում ենք փակագծերը և սկզբնական ինտեգրանդի համարիչը հավասարեցնում ենք ստացված արտահայտությանը.

Հավասարության երկու կողմերում մենք փնտրում ենք x-ի նույն հզորությամբ անդամներ և դրանցից կազմում հավասարումների համակարգ.

.

Մենք ջնջում ենք բոլոր x-երը և ստանում հավասարումների համարժեք համակարգ.

.

Այսպիսով, ինտեգրանդի վերջնական ընդլայնումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ հետևյալն է.

.

Օրինակ 2. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Այժմ մենք սկսում ենք փնտրել անորոշ գործակիցներ: Դա անելու համար մենք ֆունկցիայի արտահայտության մեջ բնօրինակ կոտորակի համարիչը հավասարեցնում ենք կոտորակների գումարը ընդհանուր հայտարարի կրճատելուց հետո ստացված արտահայտության համարիչին.

Այժմ դուք պետք է ստեղծեք և լուծեք հավասարումների համակարգ: Դա անելու համար մենք ֆունկցիայի սկզբնական արտահայտության համարիչում համապատասխան աստիճանի հավասարեցնում ենք փոփոխականի գործակիցները և նախորդ քայլում ստացված արտահայտության համանման գործակիցները.

Մենք լուծում ենք ստացված համակարգը.

Այսպիսով, այստեղից

.

Օրինակ 3. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

Մենք սկսում ենք փնտրել անորոշ գործակիցներ: Դա անելու համար մենք ֆունկցիայի արտահայտության մեջ բնօրինակ կոտորակի համարիչը հավասարեցնում ենք կոտորակների գումարը ընդհանուր հայտարարի կրճատելուց հետո ստացված արտահայտության համարիչին.

Ինչպես նախորդ օրինակներում, մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ.

Կրճատում ենք x-երը և ստանում հավասարումների համարժեք համակարգ.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 4. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Նախորդ օրինակներից մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է բնօրինակ կոտորակի համարիչը հավասարեցնել համարիչի արտահայտությանը, որը ստացվել է կոտորակը պարզ կոտորակների գումարի քայքայելուց և այս գումարը ընդհանուր հայտարարի բերելուց հետո։ Հետևաբար, զուտ վերահսկողության նպատակով մենք ներկայացնում ենք արդյունքում ստացված հավասարումների համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

Օրինակ 5. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Այս գումարը մենք ինքնուրույն կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի` այս արտահայտության համարիչը հավասարեցնելով սկզբնական կոտորակի համարիչին: Արդյունքը պետք է լինի հետևյալ հավասարումների համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 6. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

Այս գումարով մենք կատարում ենք նույն գործողությունները, ինչպես նախորդ օրինակներում: Արդյունքը պետք է լինի հետևյալ հավասարումների համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 7. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Ստացված գումարի հետ որոշակի գործողություններից հետո պետք է ստացվի հավասարումների հետևյալ համակարգը.

Համակարգը լուծելով՝ մենք ստանում ենք անորոշ գործակիցների հետևյալ արժեքները.

Մենք ստանում ենք ինտեգրանդի վերջնական տարրալուծումը պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Օրինակ 8. Քայլ 2. 1-ին քայլում մենք ստացանք սկզբնական կոտորակի հետևյալ տարրալուծումը համարիչներում չորոշված ​​գործակիցներով պարզ կոտորակների գումարի մեջ.

.

Եկեք որոշ փոփոխություններ կատարենք այն գործողություններում, որոնք արդեն հասցվել են ավտոմատացման՝ հավասարումների համակարգ ստանալու համար։ Կա արհեստական ​​տեխնիկա, որը որոշ դեպքերում օգնում է խուսափել ավելորդ հաշվարկներից։ Կոտորակների գումարը բերելով ընդհանուր հայտարարի, ստանում ենք և հավասարեցնելով այս արտահայտության համարիչը սկզբնական կոտորակի համարիչին՝ ստանում ենք.

ԹԵՄԱ՝ Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում.

Ուշադրություն. Ինտեգրման հիմնական մեթոդներից մեկը՝ ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրումն ուսումնասիրելիս, խիստ ապացույցներ իրականացնելու համար անհրաժեշտ է դիտարկել բազմանդամները բարդ տիրույթում։ Ուստի անհրաժեշտ է նախապես ուսումնասիրել կոմպլեքս թվերի որոշ հատկություններ և դրանց վրա կատարվող գործողություններ:

Պարզ ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում.

Եթե Պ(զ) Եվ Ք(զ) բազմանդամներ են բարդ տիրույթում, ապա դրանք ռացիոնալ կոտորակներ են։ Այն կոչվում է ճիշտ, եթե աստիճան Պ(զ) ավելի քիչ աստիճան Ք(զ) , Եվ սխալ, եթե աստիճան Ռ աստիճանից ոչ պակաս Ք.

Ցանկացած ոչ պատշաճ կոտորակ կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ. ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

ա Ռ(զ) – բազմանդամ, որի աստիճանը փոքր է աստիճանից Ք(զ).

Այսպիսով, ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրումը հանգում է բազմանդամների, այսինքն՝ ուժային ֆունկցիաների և պատշաճ կոտորակների ինտեգրմանը, քանի որ դա պատշաճ կոտորակ է։

Սահմանում 5. Ամենապարզ (կամ տարրական) կոտորակները կոտորակների հետևյալ տեսակներն են.

1) , 2) , 3) , 4) .

Եկեք պարզենք, թե ինչպես են դրանք ինտեգրվում:

3) (ուսումնասիրվել է ավելի վաղ):

Թեորեմ 5. Յուրաքանչյուր պատշաճ կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես պարզ կոտորակների գումար (առանց ապացույցի):

Եզրակացություն 1. Եթե ճիշտ ռացիոնալ կոտորակ է, և եթե բազմանդամի արմատների մեջ կան միայն պարզ իրական արմատներ, ապա կոտորակի տարրալուծման ժամանակ պարզ կոտորակների գումարի մեջ կլինեն միայն 1-ին տիպի պարզ կոտորակներ.

Օրինակ 1.

Եզրակացություն 2. Եթե ճիշտ ռացիոնալ կոտորակ է, և եթե բազմանդամի արմատների մեջ կան միայն մի քանի իրական արմատներ, ապա կոտորակի տարրալուծման ժամանակ պարզ կոտորակների գումարի մեջ կլինեն միայն 1-ին և 2-րդ տեսակների պարզ կոտորակները։ :

Օրինակ 2.

Եզրակացություն 3. Եթե ճիշտ ռացիոնալ կոտորակ է, և եթե բազմանդամի արմատների մեջ կան միայն պարզ բարդ խոնարհված արմատներ, ապա կոտորակի տարրալուծման ժամանակ պարզ կոտորակների գումարի մեջ կլինեն միայն 3-րդ տիպի պարզ կոտորակներ.

Օրինակ 3.

Եզրակացություն 4. Եթե ճիշտ ռացիոնալ կոտորակ է, և եթե բազմանդամի արմատների մեջ կան միայն մի քանի բարդ զուգակցված արմատներ, ապա կոտորակի տարրալուծման ժամանակ պարզ կոտորակների գումարի մեջ կլինեն միայն 3-րդ և 4-րդ կոտորակները։ տեսակները:

Տրված ընդլայնումների մեջ անհայտ գործակիցները որոշելու համար կատարեք հետևյալը. Անհայտ գործակիցներ պարունակող ընդարձակման ձախ և աջ կողմերը բազմապատկվում են Ստացվում է երկու բազմանդամների հավասարություն։ Դրանից ստացվում են պահանջվող գործակիցների հավասարումներ՝ օգտագործելով.

1. հավասարությունը ճիշտ է X-ի ցանկացած արժեքի համար (մասնակի արժեքի մեթոդ): Այս դեպքում ստացվում է ցանկացած թվով հավասարումներ, որոնցից ցանկացած մ թույլ է տալիս գտնել անհայտ գործակիցները:

2. գործակիցները համընկնում են X-ի նույն աստիճանների համար (մեթոդ անորոշ գործակիցներ) Այս դեպքում ստացվում է m-հավասարումների համակարգ m-անհայտներով, որտեղից էլ գտնվում են անհայտ գործակիցները։

3. համակցված մեթոդ.

Օրինակ 5. Ընդարձակի՛ր կոտորակը ամենապարզին.

Լուծում:

Գտնենք A և B գործակիցները։

Մեթոդ 1 - մասնավոր արժեքի մեթոդ.

Մեթոդ 2 – չորոշված ​​գործակիցների մեթոդ.

Պատասխան.

Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրում:

Թեորեմ 6. Ցանկացած ռացիոնալ կոտորակի անորոշ ինտեգրալը ցանկացած միջակայքում, որի հայտարարը հավասար չէ զրոյի, գոյություն ունի և արտահայտվում է տարրական ֆունկցիաների միջոցով՝ ռացիոնալ կոտորակների, լոգարիթմների և արկտանգենսների միջոցով:

Ապացույց.

Պատկերացնենք ռացիոնալ կոտորակը ձևով. . Այս դեպքում վերջին անդամը պատշաճ կոտորակ է, և ըստ 5-րդ թեորեմի այն կարող է ներկայացվել որպես պարզ կոտորակների գծային համակցություն։ Այսպիսով, ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրումը վերածվում է բազմանդամի ինտեգրման Ս(x) և պարզ կոտորակներ, որոնց հակաածանցյալները, ինչպես ցույց է տրվել, ունեն թեորեմում նշված ձևը։

Մեկնաբանություն. Հիմնական դժվարությունն այս դեպքում հայտարարի գործոնացումն է, այսինքն՝ նրա բոլոր արմատների որոնումը։

Օրինակ 1. Գտե՛ք ինտեգրալը

Նախորդ պարբերություններում վերը նշված բոլորը թույլ են տալիս ձևակերպել ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման հիմնական կանոնները:

1. Եթե ռացիոնալ կոտորակը անպատշաճ է, ապա այն ներկայացվում է որպես բազմանդամի և պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի գումար (տե՛ս պարբերություն 2):

Սա նվազեցնում է ոչ պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրումը բազմանդամի և պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրմանը:

2. Գործոնավորե՛ք պատշաճ կոտորակի հայտարարը:

3. Ճիշտ ռացիոնալ կոտորակը քայքայվում է պարզ կոտորակների գումարի: Սա նվազեցնում է պատշաճ ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրումը պարզ կոտորակների ինտեգրմանը:

Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ 1. Գտեք .

Լուծում. Ինտեգրալի տակ ոչ պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ է: Ընտրելով ամբողջ մասը՝ ստանում ենք

Հետևաբար,

Նշելով, որ ընդլայնենք ճիշտ ռացիոնալ կոտորակը

պարզ կոտորակներին.

(տե՛ս բանաձևը (18)): Ահա թե ինչու

Այսպիսով, մենք վերջապես ունենք

Օրինակ 2. Գտեք

Լուծում. Ինտեգրալի տակ ճիշտ ռացիոնալ կոտորակ է:

Ընդարձակելով այն պարզ կոտորակների (տես բանաձևը (16)), մենք ստանում ենք

Այս թեմայում ներկայացված նյութը հիմնված է «Ռացիոնալ կոտորակներ. Ռացիոնալ կոտորակների տարրալուծումը տարրական (պարզ) կոտորակների» թեմայում ներկայացված տեղեկատվության վրա։ Ես բարձր խորհուրդ եմ տալիս, որ գոնե այս թեման շրջանցեք այս նյութը կարդալուց առաջ: Բացի այդ, մեզ անհրաժեշտ կլինի անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ:

Մի երկու տերմին հիշեցնեմ. Դրանք քննարկվել են համապատասխան թեմայում, ուստի այստեղ սահմանափակվեմ համառոտ ձևակերպմամբ.

Երկու $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ երկու բազմանդամների հարաբերությունը կոչվում է ռացիոնալ ֆունկցիա կամ ռացիոնալ կոտորակ։ Ռացիոնալ կոտորակը կոչվում է ճիշտ, եթե $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется սխալ.

Տարրական (ամենապարզ) ռացիոնալ կոտորակները չորս տեսակի ռացիոնալ կոտորակներ են.

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Նշում (ցանկալի է տեքստի ավելի ամբողջական ընկալման համար) ցույց տալ/թաքցնել

Ինչու՞ է անհրաժեշտ $p^2-4q պայմանը:< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Օրինակ՝ $x^2+5x+10$ արտահայտության համար ստանում ենք՝ $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$։ Քանի որ $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Ի դեպ, այս ստուգման համար ամենևին էլ պարտադիր չէ, որ $x^2$-ից առաջ գործակիցը հավասար լինի 1-ի։ Օրինակ՝ $5x^2+7x-3=0$-ի դեպքում ստանում ենք $D=7^։ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109։ Քանի որ $D > 0$, $5x^2+7x-3$ արտահայտությունը կարող է ֆակտորիզացվել:

Գտնվում են ռացիոնալ կոտորակների օրինակներ (պատշաճ և ոչ պատշաճ), ինչպես նաև ռացիոնալ կոտորակի տարրականի տարրալուծման օրինակներ։ Այստեղ մեզ կհետաքրքրեն միայն դրանց ինտեգրման հարցերը։ Սկսենք տարրական կոտորակների ինտեգրումից։ Այսպիսով, վերը նշված տարրական կոտորակների չորս տեսակներից յուրաքանչյուրը հեշտ է ինտեգրվել՝ օգտագործելով ստորև բերված բանաձևերը: Հիշեցնեմ, որ (2) և (4) տիպերի կոտորակները ինտեգրելիս ենթադրվում է $n=2,3,4,\ldots$։ (3) և (4) բանաձևերը պահանջում են $p^2-4q պայմանի կատարում< 0$.

\սկիզբ(հավասարում) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \վերջ(հավասարում) \սկիզբ(հավասարում) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \վերջ(հավասարում) \սկիզբ(հավասարում) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(հավասարում)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$-ի համար կատարվում է $t=x+\frac(p)(2)$ փոխարինումը, որից հետո ստացված միջակայքը. բաժանված է երկուսի. Առաջինը կհաշվարկվի՝ մուտքագրելով դիֆերենցիալ նշանի տակ, իսկ երկրորդը կունենա $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ ձևը։ Այս ինտեգրալը վերցված է ռեցիդիվի կապի միջոցով

\սկիզբ(հավասարում) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n,\; n\in N\վերջ (հավասարում)

Նման ինտեգրալի հաշվարկը քննարկվում է թիվ 7 օրինակում (տես երրորդ մասը)։

Ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրալների (ռացիոնալ կոտորակների) հաշվարկման սխեման.

1. Եթե ​​ինտեգրանդը տարրական է, ապա կիրառեք (1)-(4) բանաձևերը։
2. Եթե ​​ինտեգրանդը տարրական չէ, ապա այն ներկայացրեք որպես տարրական կոտորակների գումար, այնուհետև ինտեգրեք (1)-(4) բանաձևերով։

Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման վերը նշված ալգորիթմն ունի անհերքելի առավելություն՝ այն ունիվերսալ է։ Նրանք. օգտագործելով այս ալգորիթմը կարող եք ինտեգրվել ցանկացածռացիոնալ կոտորակ. Այդ իսկ պատճառով անորոշ ինտեգրալում փոփոխականների գրեթե բոլոր փոփոխությունները (Էյլեր, Չեբիշև, համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինում) կատարվում են այնպես, որ այս փոփոխությունից հետո մենք ստանում ենք ռացիոնալ կոտորակ միջակայքի տակ։ Եվ հետո կիրառեք ալգորիթմը դրա վրա: Մենք կվերլուծենք այս ալգորիթմի ուղղակի կիրառությունը՝ օգտագործելով օրինակներ՝ փոքրիկ նշում կատարելուց հետո։

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Սկզբունքորեն, այս ինտեգրալը հեշտ է ձեռք բերել առանց բանաձևի մեխանիկական կիրառման: Եթե ​​ինտեգրալ նշանից հանենք $7$ հաստատունը և հաշվի առնենք, որ $dx=d(x+9)$, ապա կստանանք.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Մանրամասն տեղեկությունների համար խորհուրդ եմ տալիս նայել թեմային։ Այն մանրամասն բացատրում է, թե ինչպես են լուծվում նման ինտեգրալները։ Ի դեպ, բանաձևը ապացուցվում է նույն փոխակերպումներով, որոնք կիրառվել են այս պարբերությունում այն ​​«ձեռքով» լուծելիս։

2) Կրկին երկու ճանապարհ կա՝ օգտագործեք պատրաստի բանաձևը կամ արեք առանց դրա: Եթե ​​կիրառում եք բանաձևը, ապա պետք է հաշվի առնել, որ $x$-ի դիմաց (թիվ 4) գործակիցը պետք է հանվի։ Դա անելու համար եկեք պարզապես փակագծերից հանենք այս չորսը.

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\աջ)\աջ)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\ձախ(x+\frac(19)(4)\աջ)^8): $$

Այժմ ժամանակն է կիրառել բանաձևը.

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\աջ)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\ձախ(x+\frac(19)(4) \աջ)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \աջ)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \աջ )^7)+C. $$

Դուք կարող եք անել առանց բանաձևի օգտագործման. Եվ նույնիսկ առանց փակագծերից հանելու մշտական ​​$4$: Եթե ​​հաշվի առնենք, որ $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, ապա կստանանք.

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Նման ինտեգրալների հայտնաբերման մանրամասն բացատրությունները տրված են «Ինտեգրում փոխարինմամբ (փոխարինում դիֆերենցիալ նշանի տակ)» թեմայում:

3) Պետք է ինտեգրենք $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ կոտորակը։ Այս կոտորակն ունի $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ կառուցվածքը, որտեղ $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$։ Այնուամենայնիվ, համոզվելու համար, որ սա իսկապես երրորդ տիպի տարրական մասն է, դուք պետք է ստուգեք, որ $p^2-4q պայմանը բավարարված է:< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Եկեք լուծենք նույն օրինակը, բայց առանց պատրաստի բանաձև օգտագործելու։ Փորձենք մեկուսացնել հայտարարի ածանցյալը համարիչում։ Ինչ է սա նշանակում? Մենք գիտենք, որ $(x^2+10x+34)"=2x+10$: Դա $2x+10$ արտահայտությունն է, որը մենք պետք է առանձնացնենք համարիչում: Առայժմ համարիչը պարունակում է ընդամենը $4x+7$, բայց սա երկար չի տևի։ Եկեք համարիչին կիրառենք հետևյալ փոխակերպումը.

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Այժմ համարիչում հայտնվում է պահանջվող $2x+10$ արտահայտությունը։ Իսկ մեր ինտեգրալը կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx: $$

Եկեք բաժանենք ինտեգրանդը երկու մասի: Դե, և, համապատասխանաբար, ինքնին ինտեգրալը նույնպես «երկկողմանված» է.

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \աջ)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34): $$

Եկեք նախ խոսենք առաջին ինտեգրալի մասին, այսինքն. մոտ $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$: Քանի որ $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, ուրեմն ինտեգրանդի համարիչը պարունակում է հայտարարի դիֆերենցիալը: Մի խոսքով, փոխարենը. $( 2x+10)dx$ արտահայտության մեջ գրում ենք $d(x^2+10x+34)$։

Հիմա մի քանի խոսք ասենք երկրորդ ինտեգրալի մասին։ Եկեք հայտարարի մեջ ընտրենք ամբողջական քառակուսի` $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$: Բացի այդ, մենք հաշվի ենք առնում $dx=d(x+5)$: Այժմ մեր նախկինում ստացված ինտեգրալների գումարը կարող է վերաշարադրվել մի փոքր այլ ձևով.

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))(x+5)^2+ 9): $$

Եթե ​​առաջին ինտեգրալում կատարենք $u=x^2+10x+34$ փոխարինումը, ապա այն կստանա $\int\frac(du)(u)$ ձևը և կստացվի. հեշտ է օգտագործելերկրորդ բանաձևը. Ինչ վերաբերում է երկրորդ ինտեգրալին, ապա դրա համար իրագործելի է $u=x+5$ փոփոխությունը, որից հետո այն կստանա $\int\frac(du)(u^2+9)$ ձևը։ Սա մաքուր ջուրտասնմեկերորդ բանաձևը անորոշ ինտեգրալների աղյուսակից. Այսպիսով, վերադառնալով ինտեգրալների գումարին, մենք ունենք.

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ստացանք նույն պատասխանը, ինչ բանաձեւը կիրառելիս, ինչը, խիստ ասած, զարմանալի չէ։ Ընդհանուր առմամբ, բանաձևն ապացուցվում է նույն մեթոդներով, որոնք մենք օգտագործել ենք այս ինտեգրալը գտնելու համար։ Կարծում եմ, որ ուշադիր ընթերցողն այստեղ կարող է ունենալ մեկ հարց, ուստի ես այն կձևակերպեմ.

Հարց թիվ 1

Եթե ​​անորոշ ինտեգրալների աղյուսակից երկրորդ բանաձեւը կիրառենք $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ ինտեգրալին, ապա կստանանք հետևյալը.

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Ինչու՞ լուծման մեջ մոդուլ չկար:

Պատասխան թիվ 1 հարցին

Հարցը միանգամայն բնական է. Մոդուլը բացակայում էր միայն այն պատճառով, որ $x^2+10x+34$ ցանկացած $x\in R$ արտահայտությունը զրոյից մեծ է: Սա բավականին հեշտ է ցույց տալ մի քանի ձևով. Օրինակ, քանի որ $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ և $(x+5)^2 ≥ 0$, ապա $(x+5)^2+9 > 0$ . Դուք կարող եք այլ կերպ մտածել՝ չօգտագործելով ամբողջական քառակուսի ընտրությունը: Քանի որ $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ ցանկացած $x\in R$ (եթե սա տրամաբանական շղթաՀրաշալի է, խորհուրդ եմ տալիս դիտել գրաֆիկական մեթոդքառակուսային անհավասարությունների լուծումներ): Ամեն դեպքում, քանի որ $x^2+10x+34 > 0$, ապա $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, այսինքն. Մոդուլի փոխարեն կարող եք օգտագործել սովորական փակագծեր։

Թիվ 1 օրինակի բոլոր կետերը լուծված են, մնում է պատասխանը գրել։

Պատասխանել:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.

Օրինակ թիվ 2

Գտեք $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ ինտեգրալը:

Առաջին հայացքից $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ինտեգրանդ կոտորակը շատ նման է երրորդ տիպի տարրական կոտորակին, այսինքն. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$-ով: Թվում է, թե միակ տարբերությունը $3$ գործակիցն է $x^2$-ի դիմաց, բայց գործակիցը հեռացնելու համար երկար ժամանակ չի պահանջվում (այն փակագծերից դուրս դնել): Այնուամենայնիվ, այս նմանությունն ակնհայտ է. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ կոտորակի համար $p^2-4q պայմանը պարտադիր է.< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$-ից առաջ մեր գործակիցը հավասար չէ մեկի, հետևաբար ստուգեք $p^2-4q պայմանը< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант քառակուսային հավասարում$x^2+px+q=0$. Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է, ապա $x^2+px+q$ արտահայտությունը չի կարող ֆակտորիզացվել։ Հաշվենք մեր կոտորակի հայտարարում գտնվող $3x^2-5x-2$ բազմանդամի դիսկրիմինանտը՝ $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$։ Այսպիսով, $D > 0$, հետևաբար $3x^2-5x-2$ արտահայտությունը կարող է ֆակտորիզացվել: Սա նշանակում է, որ $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ կոտորակը երրորդ տիպի տարրական կոտորակն չէ, և կիրառեք $\int\frac(7x+12)(3x^2-): ) ինտեգրալ 5x-2)dx$ բանաձեւին հնարավոր չէ։

Դե, եթե տրված ռացիոնալ կոտորակը տարրական կոտորակ չէ, ապա այն պետք է ներկայացվի որպես տարրական կոտորակների գումար և հետո ինտեգրվի։ Մի խոսքով, օգտվեք արահետից: Ինչպես տարրականի տարրալուծել ռացիոնալ կոտորակը, մանրամասն գրված է: Սկսենք՝ գործակցելով հայտարարը.

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \սկիզբ(հավասարեցված) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\ վերջ (հավասարեցված)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\աջ)\աջ)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2): $$

Ներկայացնում ենք ենթամիջանկյալ կոտորակը հետևյալ ձևով.

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\աջ)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Այժմ $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ կոտորակը տարրալուծենք տարրականների.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\ձախ(x+\frac(1)(3)\աջ))(\ձախ(x+) \frac(1)(3)\աջ)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\ճիշտ): $$

$A$ և $B$ գործակիցները գտնելու համար կա երկու ստանդարտ եղանակ՝ չորոշված ​​գործակիցների մեթոդ և մասնակի արժեքների փոխարինման եղանակ։ Եկեք կիրառենք մասնակի արժեքի փոխարինման մեթոդը՝ փոխարինելով $x=2$ և ապա $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\աջ); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\աջ)+B\ձախ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Քանի որ գործակիցները գտնվել են, մնում է միայն գրել ավարտված ընդլայնումը.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2): $$

Սկզբունքորեն, դուք կարող եք թողնել այս գրառումը, բայց ինձ դուր է գալիս ավելի ճշգրիտ տարբերակ.

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2): $$

Վերադառնալով սկզբնական ինտեգրալին, մենք փոխարինում ենք դրա արդյունքում առաջացած ընդլայնումը: Այնուհետև ինտեգրալը երկուսի ենք բաժանում և յուրաքանչյուրի համար կիրառում ենք բանաձևը։ Ես նախընտրում եմ անմիջապես տեղադրել հաստատունները ինտեգրալ նշանից դուրս.

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\աջ)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\աջ)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Պատասխանել$\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\աջ| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Օրինակ թիվ 3

Գտեք $\int\frac(x^2-38x+157)(x-1)(x+4)(x-9))dx$ ինտեգրալը:

Մենք պետք է ինտեգրենք $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ կոտորակը: Համարիչը պարունակում է երկրորդ աստիճանի բազմանդամ, իսկ հայտարարը՝ երրորդ աստիճանի բազմանդամ։ Քանի որ բազմանդամի աստիճանը համարիչում փոքր է, քան հայտարարի բազմանդամի աստիճանը, այսինքն. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9): $$

Մեզ մնում է միայն տրված ինտեգրալը բաժանել երեքի և կիրառել բանաձեւը յուրաքանչյուրի վրա։ Ես նախընտրում եմ անմիջապես տեղադրել հաստատունները ինտեգրալ նշանից դուրս.

$$ \int\frac(x^2-38x+157)(x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Պատասխանել$\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Այս թեմայի օրինակների վերլուծության շարունակությունը գտնվում է երկրորդ մասում: