Սեփական արժեքներ և սեփական վեկտոր: Մատրիցայի սեփական արժեքները և սեփական վեկտորները

ՀԱՄԱՍԵՆ ԳԾԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Միատարր համակարգ գծային հավասարումներկոչվում է ձևի համակարգ

Հասկանալի է, որ այս դեպքում , որովհետեւ Այս որոշիչներում սյունակներից մեկի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի:

Քանի որ անհայտները գտնվում են ըստ բանաձևերի , ապա այն դեպքում, երբ Δ ≠ 0, համակարգն ունի եզակի զրոյական լուծում x = y = զ= 0. Այնուամենայնիվ, շատ խնդիրներում հետաքրքիր հարցն այն է, թե արդյոք միատարր համակարգզրոյից բացի այլ լուծումներ:

Թեորեմ.Գծային համակարգի համար միատարր հավասարումներուներ ոչ զրոյական լուծում, անհրաժեշտ է և բավարար, որ Δ ≠ 0:

Այսպիսով, եթե Δ ≠ 0 որոշիչը, ապա համակարգն ունի յուրահատուկ լուծում։ Եթե ​​Δ ≠ 0, ապա գծային միատարր հավասարումների համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ։

Օրինակներ.

Մատրիցայի սեփական վեկտորները և սեփական արժեքները

Թող տրվի քառակուսի մատրիցա , X– ինչ-որ մատրից-սյունակ, որի բարձրությունը համընկնում է մատրիցայի կարգի հետ Ա. .

Շատ խնդիրների դեպքում մենք պետք է հաշվի առնենք դրա հավասարումը X

որտեղ λ-ն որոշակի թիվ է: Պարզ է, որ ցանկացած λ-ի համար այս հավասարումն ունի զրոյական լուծում:

λ թիվը, որի համար այս հավասարումը ունի ոչ զրոյական լուծումներ, կոչվում է սեփական արժեքմատրիցներ Ա, Ա Xնման λ-ի համար կոչվում է սեփական վեկտորմատրիցներ Ա.

Գտնենք մատրիցայի սեփական վեկտորը Ա. Քանի որ Ե∙X = X, ապա մատրիցային հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես կամ . Ընդլայնված ձևով այս հավասարումը կարող է վերագրվել որպես գծային հավասարումների համակարգ: Իսկապես .

Եւ, հետեւաբար

Այսպիսով, մենք ստացել ենք միատարր գծային հավասարումների համակարգ կոորդինատները որոշելու համար x 1, x 2, x 3վեկտոր X. Համակարգը ոչ զրոյական լուծումներ ունենալու համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ համակարգի որոշիչը հավասար լինի զրոյի, այսինքն.

Սա λ-ի 3-րդ աստիճանի հավասարումն է: Դա կոչվում է բնորոշ հավասարումմատրիցներ Աև ծառայում է λ-ի սեփական արժեքները որոշելու համար։

Յուրաքանչյուր սեփական արժեք λ համապատասխանում է սեփական վեկտորի X, որոնց կոորդինատները որոշվում են համակարգից λ-ի համապատասխան արժեքով։

Օրինակներ.

ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ՀԱՇՎԻ. ՎԵԿՏՈՐԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ

Ֆիզիկայի տարբեր ճյուղեր ուսումնասիրելիս կան մեծություններ, որոնք ամբողջությամբ որոշվում են՝ նշելով դրանց թվային արժեքները, օրինակ՝ երկարությունը, մակերեսը, զանգվածը, ջերմաստիճանը և այլն։ Նման մեծությունները կոչվում են սկալյար։ Սակայն դրանցից բացի կան նաև մեծություններ, որոնք որոշելու համար, բացի թվային արժեքից, անհրաժեշտ է նաև իմանալ դրանց ուղղությունը տարածության մեջ, օրինակ՝ մարմնի վրա ազդող ուժը, արագությունն ու արագացումը. մարմինը, երբ այն շարժվում է տարածության մեջ, լարվածություն մագնիսական դաշտըտարածության տվյալ կետում և այլն: Նման մեծությունները կոչվում են վեկտորային մեծություններ։

Ներկայացնենք խիստ սահմանում.

Ուղղորդված հատվածԱնվանենք մի հատված, որի ծայրերի նկատմամբ հայտնի է, թե դրանցից որն է առաջինը, որը՝ երկրորդը։

Վեկտորկոչվում է որոշակի երկարություն ունեցող ուղղորդված հատված, այսինքն. Սա որոշակի երկարության հատված է, որտեղ այն սահմանափակող կետերից մեկն ընդունվում է որպես սկիզբ, իսկ երկրորդը՝ վերջ։ Եթե Ա- վեկտորի սկիզբը, Բնրա վերջն է, ապա վեկտորը նշվում է նշանով, բացի այդ, վեկտորը հաճախ նշվում է մեկ տառով: Նկարում վեկտորը նշված է հատվածով, իսկ ուղղությունը՝ սլաքով:

Մոդուլկամ երկարությունըՎեկտորը կոչվում է ուղղորդված հատվածի երկարություն, որը սահմանում է այն: Նշվում է || կամ ||.

Որպես վեկտորներ կներառենք նաև այսպես կոչված զրոյական վեկտորը, որի սկիզբն ու վերջը համընկնում են։ Նշանակված է. Զրոյական վեկտորը չունի կոնկրետ ուղղություն և նրա մոդուլը զրո է ||=0:

Վեկտորները կոչվում են համագիծ, եթե դրանք գտնվում են նույն կամ զուգահեռ գծերի վրա։ Ավելին, եթե վեկտորները և նույն ուղղությամբ են, մենք կգրենք, հակառակը:

Նույն հարթությանը զուգահեռ ուղիղ գծերի վրա գտնվող վեկտորները կոչվում են համակողմանի.

Երկու վեկտորները կոչվում են հավասար, եթե դրանք համագիծ են, ունեն նույն ուղղությունը և հավասար են երկարությամբ։ Այս դեպքում գրում են.

Վեկտորների հավասարության սահմանումից հետևում է, որ վեկտորը կարող է փոխադրվել իրեն զուգահեռ՝ տեղադրելով իր ծագումը տարածության ցանկացած կետում։

Օրինակ.

ԳԾԱՅԻՆ ԳՈՐԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ՎԵԿՏՈՐՆԵՐԻ ՎՐԱ

1. Վեկտորը թվով բազմապատկելը.

   Վեկտորի և λ թվի արտադրյալը այնպիսի նոր վեկտոր է, որը.

   Վեկտորի և λ թվի արտադրյալը նշանակվում է .

   

   Օրինակ,կա վեկտոր, որն ուղղված է վեկտորի նույն ուղղությամբ և ունի վեկտորի երկարության կեսը:

   Ներկայացված օպերացիան ունի հետևյալը հատկությունները:

2. Վեկտորի ավելացում.

   Թող և լինեն երկու կամայական վեկտորներ: Վերցնենք կամայական կետ Օև կառուցիր վեկտոր: Դրանից հետո կետից Ամի կողմ դնենք վեկտորը. Առաջին վեկտորի սկիզբը երկրորդի վերջի հետ կապող վեկտորը կոչվում է գումարըայս վեկտորներից և նշվում է .

   

   Վեկտորի ավելացման ձևակերպված սահմանումը կոչվում է զուգահեռագծի կանոն, քանի որ վեկտորների նույն գումարը կարելի է ստանալ հետևյալ կերպ. Կետից հետաձգենք Օվեկտորները և. Այս վեկտորների վրա կառուցենք զուգահեռագիծ OABC. Քանի որ վեկտորները, ապա վեկտորը, որը գագաթից գծված զուգահեռագծի անկյունագիծն է Օ, ակնհայտորեն կլինի վեկտորների գումար:

   

   Հեշտ է ստուգել հետևյալը վեկտորի ավելացման հատկությունները.

3. Վեկտորային տարբերություն.

   Կոչվում է տրված վեկտորի համագիծ վեկտորը, որը հավասար է երկարությամբ և հակառակ ուղղությամբ հակառակըվեկտորը վեկտորի համար և նշանակվում է . Հակառակ վեկտորը կարելի է համարել որպես վեկտորը λ = –1 թվով բազմապատկելու արդյունք:

Սահմանում 9.3.Վեկտոր X կանչեց սեփական վեկտորմատրիցներ Ա, եթե այդպիսի թիվ կա λ, որ հավասարությունը պահպանվում է. Ա X= λ X, այսինքն՝ դիմելու արդյունքը X գծային փոխակերպում, որը նշված է մատրիցով Ա, այս վեկտորի բազմապատկումն է թվով λ . Թիվն ինքնին λ կանչեց սեփական արժեքմատրիցներ Ա.

Փոխարինելով բանաձևերով (9.3) x` j = λx j,մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ սեփական վեկտորի կոորդինատները որոշելու համար.

. (9.5)

Այս գծային միատարր համակարգը կունենա ոչ տրիվիալ լուծում միայն այն դեպքում, եթե նրա հիմնական որոշիչը 0-ն է (Կրամերի կանոն): Այս պայմանը գրելով ձևով.

մենք ստանում ենք սեփական արժեքները որոշելու հավասարում λ , կանչեց բնորոշ հավասարում. Համառոտ այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ.

| A - λE | = 0, (9.6)

քանի որ նրա ձախ կողմը պարունակում է մատրիցայի որոշիչը A-λE. Բազմանդամ հարաբերական λ | A - λE| կանչեց բնորոշ բազմանդամմատրիցներ Ա.

Բնորոշ բազմանդամի հատկությունները.

1) Գծային փոխակերպման բնորոշ բազմանդամը կախված չէ հիմքի ընտրությունից. Ապացույց. (տես (9.4)), բայց հետևաբար, . Այսպիսով, դա կախված չէ հիմքի ընտրությունից: Սա նշանակում է, որ | A-λE| չի փոխվում նոր հիմքի անցնելիս.

2) Եթե մատրիցը Ագծային փոխակերպումն է սիմետրիկ(դրանք. եւ ij =a ji), ապա բնորոշ հավասարման (9.6) բոլոր արմատները իրական թվեր են։

Սեփական արժեքների և սեփական վեկտորների հատկությունները.

1) Եթե ընտրում եք հիմք սեփական վեկտորներից x 1, x 2, x 3 , որը համապատասխանում է սեփական արժեքներին λ 1, λ 2, λ 3մատրիցներ Ա, ապա այս հիմքում A գծային փոխակերպումն ունի անկյունագծային ձևի մատրիցա.

(9.7) Այս հատկության ապացույցը բխում է սեփական վեկտորների սահմանումից:

2) Եթե վերափոխման սեփական արժեքները Ատարբեր են, ապա դրանց համապատասխան սեփական վեկտորները գծային անկախ են:

3) Եթե մատրիցի բնորոշ բազմանդամը Աունի երեք տարբեր արմատներ, ապա որոշ հիմքերով մատրիցը Աունի անկյունագծային տեսք.

Եկեք գտնենք մատրիցայի սեփական արժեքները և սեփական վեկտորները Եկեք կազմենք բնորոշ հավասարում: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Գտնենք յուրաքանչյուր գտած արժեքին համապատասխան սեփական վեկտորների կոորդինատները λ. (9.5)-ից հետևում է, որ եթե X (1) ={x 1, x 2, x 3) – համապատասխան սեփական վեկտոր λ 1 =-2, ապա

- կոոպերատիվ, բայց անորոշ համակարգ: Դրա լուծումը կարելի է գրել ձևով X (1) ={ա,0,-ա), որտեղ a-ն ցանկացած թիվ է: Մասնավորապես, եթե մենք պահանջում ենք, որ | x (1) |=1, X (1) =

Համակարգում փոխարինում (9.5) λ 2 =3, մենք ստանում ենք երկրորդ սեփական վեկտորի կոորդինատները որոշելու համակարգ. x (2) ={y 1, y 2, y 3}:

, որտեղ X (2) ={բ,-բ,բ) կամ, տրամադրված | x (2) |=1, x (2) =

Համար λ 3 = 6 գտնել սեփական վեկտորը x (3) ={z 1, z 2, z 3}:

, x (3) ={գ,2c, c) կամ նորմալացված տարբերակով

x (3) = Կարելի է նկատել, որ X (1) X (2) = աբ–աբ= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = մ.թ.ա- 2մ.թ.ա. + մ.թ.ա= 0. Այսպիսով, այս մատրիցայի սեփական վեկտորները զույգերով ուղղանկյուն են:

Դասախոսություն 10.

Քառակուսի ձևերը և դրանց կապը սիմետրիկ մատրիցների հետ: Սիմետրիկ մատրիցայի սեփական վեկտորների և սեփական արժեքների հատկությունները: Քառակուսի ձևի վերածումը կանոնական ձևի:

Սահմանում 10.1.Քառակուսի ձևիրական փոփոխականներ x 1, x 2,…, x nԱյս փոփոխականներում կոչվում է երկրորդ աստիճանի բազմանդամ, որը չի պարունակում առաջին աստիճանի ազատ անդամ և անդամներ։

Քառակուսային ձևերի օրինակներ.

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Եկեք հիշենք վերջին դասախոսության մեջ տրված սիմետրիկ մատրիցայի սահմանումը.

Սահմանում 10.2.Քառակուսի մատրիցը կոչվում է սիմետրիկ, եթե , այսինքն՝ եթե մատրիցային տարրերը, որոնք սիմետրիկ են հիմնական անկյունագծի նկատմամբ, հավասար են։

Սիմետրիկ մատրիցայի սեփական արժեքների և սեփական վեկտորների հատկությունները.

1) Սիմետրիկ մատրիցայի բոլոր սեփական արժեքները իրական են:

Ապացույց (համար n = 2).

Թող մատրիցը Աունի ձև. . Եկեք ստեղծենք բնորոշ հավասարում.

(10.2) Եկեք գտնենք տարբերակիչ.

Հետևաբար, հավասարումն ունի միայն իրական արմատներ:

2) Սեփական վեկտորներսիմետրիկ մատրիցները ուղղանկյուն են:

Ապացույց (համար n= 2).

Սեփական վեկտորների կոորդինատները և պետք է բավարարեն հավասարումները:

www.siteթույլ է տալիս գտնել. Կայքը կատարում է հաշվարկը: Մի քանի վայրկյանից սերվերը կտա ճիշտ լուծումը։ Մատրիցայի բնորոշ հավասարումըկլինի հանրահաշվական արտահայտություն, գտնված է որոշիչի հաշվարկման կանոնով մատրիցներ մատրիցներ, մինչդեռ հիմնական անկյունագծի երկայնքով տարբերություններ կլինեն անկյունագծային տարրերի և փոփոխականի արժեքների մեջ: Հաշվարկելիս բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանց, յուրաքանչյուր տարր մատրիցներկբազմապատկվի համապատասխան այլ տարրերով մատրիցներ. Գտեք ռեժիմում առցանցհնարավոր է միայն քառակուսի համար մատրիցներ. Գործողության որոնում բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցնվազեցնում է տարրերի արտադրյալի հանրահաշվական գումարի հաշվարկը մատրիցներորոշիչը գտնելու արդյունքում մատրիցներ, միայն որոշելու նպատակով բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանց. Այս գործողությունըտեսականորեն առանձնահատուկ տեղ է գրավում մատրիցներ, թույլ է տալիս գտնել սեփական արժեքներ և վեկտորներ՝ օգտագործելով արմատները: Գտնելու խնդիրը բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցբաղկացած է բազմապատկվող տարրերից մատրիցներորին հաջորդում է այս ապրանքների ամփոփումը որոշակի կանոնի համաձայն. www.siteգտնում է մատրիցայի բնորոշ հավասարումըտրված չափը ռեժիմում առցանց. Հաշվարկ բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցհաշվի առնելով դրա չափը՝ սա թվային կամ խորհրդանշական գործակիցներով բազմանդամ գտնելն է, որը գտնվել է ըստ որոշիչի հաշվարկման կանոնի։ մատրիցներ- որպես համապատասխան տարրերի արտադրյալների գումար մատրիցներ, միայն որոշելու նպատակով բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանց. Քառակուսի համար փոփոխականի նկատմամբ բազմանդամ գտնելը մատրիցներ, որպես սահմանում մատրիցայի բնորոշ հավասարումը, տեսականորեն տարածված մատրիցներ. Բազմանդամի արմատների իմաստը բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցօգտագործվում է սեփական վեկտորները և սեփական արժեքները որոշելու համար մատրիցներ. Ընդ որում, եթե որոշիչը մատրիցներհավասար կլինի զրոյի, ապա մատրիցայի բնորոշ հավասարումըդեռ գոյություն կունենա՝ ի տարբերություն հակառակի մատրիցներ. Հաշվարկելու համար մատրիցայի բնորոշ հավասարումըկամ գտնել միանգամից մի քանիսը մատրիցների բնորոշ հավասարումներ, դուք պետք է շատ ժամանակ և ջանք ծախսեք, մինչդեռ մեր սերվերը կգտնի վայրկյանների ընթացքում բնութագրական հավասարում մատրիցների համար առցանց. Այս դեպքում գտնելու պատասխանը բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցկլինի ճիշտ և բավարար ճշգրտությամբ, նույնիսկ եթե թվերը գտնելիս բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցիռացիոնալ կլինի. Կայքում www.siteնիշերի մուտքերը թույլատրվում են տարրերում մատրիցներ, այն է բնութագրական հավասարում մատրիցների համար առցանցհաշվարկելիս կարելի է ներկայացնել ընդհանուր խորհրդանշական տեսքով առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Օգտակար է ստուգել ստացված պատասխանը գտնելու խնդիրը լուծելիս բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանցօգտագործելով կայքը www.site. Բազմանդամի հաշվարկման գործողություն կատարելիս. մատրիցայի բնորոշ հավասարումը, այս խնդիրը լուծելիս պետք է զգույշ և չափազանց կենտրոնացած լինել։ Իր հերթին, մեր կայքը կօգնի ձեզ ստուգել ձեր որոշումը թեմայի վերաբերյալ առցանց մատրիցայի բնորոշ հավասարումը. Եթե ​​ժամանակ չունեք լուծված խնդիրների երկար ստուգումների համար, ապա www.siteանշուշտ հարմար գործիք կլինի գտնելու և հաշվարկելիս ստուգելու համար բնորոշ հավասարում մատրիցայի համար առցանց.

Քառակուսի մատրիցայի սեփական վեկտորն այն մեկն է, որը տրված մատրիցով բազմապատկելու դեպքում ստացվում է համագիծ վեկտոր: Պարզ բառերով, մատրիցը սեփական վեկտորով բազմապատկելիս վերջինս մնում է նույնը, բայց բազմապատկվում է որոշակի թվով։

Սահմանում

Սեփական վեկտորը ոչ զրոյական V վեկտորն է, որը, երբ բազմապատկվում է M քառակուսի մատրիցով, ինքն իրեն դառնում է մեծացված λ թվով: Հանրահաշվական նշումով այն նման է.

M × V = λ × V,

որտեղ λ-ն M մատրիցի սեփական արժեքն է:

Եկեք դիտարկենք թվային օրինակ. Գրանցման հեշտության համար մատրիցայում թվերը կառանձնացվեն ստորակետով: Եկեք ունենանք մատրիցա.

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Եկեք այն բազմապատկենք սյունակի վեկտորով.

• V = -2;

Երբ մատրիցը բազմապատկում ենք սյունակի վեկտորով, ստանում ենք նաև սյունակի վեկտոր: Խիստ մաթեմատիկական լեզու 2 × 2 մատրիցը սյունակով վեկտորով բազմապատկելու բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 նշանակում է M մատրիցայի տարրը, որը գտնվում է առաջին շարքում և առաջին սյունակում, իսկ M22 նշանակում է տարր, որը գտնվում է երկրորդ շարքում և երկրորդ սյունակում: Մեր մատրիցայի համար այս տարրերը հավասար են M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10: Սյունակի վեկտորի համար այս արժեքները հավասար են V11 = –2, V21 = 1: Այս բանաձևի համաձայն. մենք ստանում ենք քառակուսի մատրիցի արտադրյալի հետևյալ արդյունքը վեկտորի կողմից.

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2:

Հարմարության համար գրենք սյունակի վեկտորը տողով։ Այսպիսով, մենք քառակուսի մատրիցը բազմապատկեցինք վեկտորով (-2; 1), արդյունքում ստացվեց վեկտորը (4; -2): Ակնհայտ է, որ սա նույն վեկտորն է, որը բազմապատկվում է λ = -2-ով: Լամբդա մեջ այս դեպքումնշանակում է մատրիցայի սեփական արժեքը:

Մատրիցայի սեփական վեկտորը համագիծ վեկտոր է, այսինքն՝ առարկա, որը չի փոխում իր դիրքը տարածության մեջ, երբ բազմապատկվում է մատրիցով: Վեկտորային հանրահաշիվում համակողմանիության հասկացությունը նման է երկրաչափության զուգահեռության տերմինին: Երկրաչափական մեկնաբանության մեջ համագիծ վեկտորները տարբեր երկարությունների զուգահեռ ուղղորդված հատվածներ են: Էվկլիդեսի ժամանակներից մենք գիտենք, որ մեկ ուղիղ ունի իրեն զուգահեռ անսահման թվով ուղիղներ, ուստի տրամաբանական է ենթադրել, որ յուրաքանչյուր մատրիցա ունի անսահման թվով սեփական վեկտորներ։

Նախորդ օրինակից պարզ է դառնում, որ սեփական վեկտորները կարող են լինել (-8; 4), և (16; -8), և (32, -16): Սրանք բոլորը համագիծ վեկտորներ են, որոնք համապատասխանում են λ = -2 սեփական արժեքին: Երբ սկզբնական մատրիցը բազմապատկենք այս վեկտորներով, մենք դեռ կհայտնվենք վեկտորի հետ, որը բնօրինակից տարբերվում է 2 անգամ: Այդ իսկ պատճառով սեփական վեկտոր գտնելու խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտ է գտնել միայն գծային անկախ վեկտորային օբյեկտներ։ Ամենից հաճախ, n × n մատրիցի համար կա n թվով սեփական վեկտորներ: Մեր հաշվիչը նախատեսված է երկրորդ կարգի քառակուսի մատրիցների վերլուծության համար, ուստի գրեթե միշտ արդյունքը կգտնի երկու սեփական վեկտոր, բացառությամբ այն դեպքերի, երբ դրանք համընկնում են:

Վերոնշյալ օրինակում մենք նախապես գիտեինք սկզբնական մատրիցայի սեփական վեկտորը և հստակ որոշեցինք լամբդայի թիվը: Այնուամենայնիվ, գործնականում ամեն ինչ տեղի է ունենում հակառակը. սկզբում հայտնաբերվում են սեփական արժեքները, իսկ հետո միայն սեփական վեկտորները:

Լուծման ալգորիթմ

Եկեք նորից նայենք սկզբնական M մատրիցին և փորձենք գտնել դրա երկու սեփական վեկտորները: Այսպիսով, մատրիցը նման է.

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Նախ պետք է որոշենք λ սեփական արժեքը, որը պահանջում է հաշվարկել հետևյալ մատրիցայի որոշիչը.

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Այս մատրիցը ստացվում է հիմնական անկյունագծի տարրերից անհայտ λ-ն հանելով: Որոշիչը որոշվում է ստանդարտ բանաձևով.

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Քանի որ մեր վեկտորը պետք է լինի ոչ զրոյական, մենք ընդունում ենք ստացված հավասարումը որպես գծային կախված և մեր որոշիչ detA-ն հավասարեցնում ենք զրոյի:

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Եկեք բացենք փակագծերը և ստանանք մատրիցայի բնորոշ հավասարումը.

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Սա ստանդարտ է քառակուսային հավասարում, որը պետք է լուծվի խտրականի միջոցով։

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Տարբերիչի արմատը sqrt(D) = 14 է, հետևաբար λ1 = -2, λ2 = 12: Այժմ յուրաքանչյուր լամբդա արժեքի համար մենք պետք է գտնենք սեփական վեկտորը: Եկեք արտահայտենք համակարգի գործակիցները λ = -2-ի համար:

• M - λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Այս բանաձևում E-ն ինքնության մատրիցն է: Ելնելով ստացված մատրիցից՝ մենք ստեղծում ենք գծային հավասարումների համակարգ.

2x + 4y = 6x + 12y,

որտեղ x և y-ն սեփական վեկտորի տարրերն են:

Եկեք հավաքենք բոլոր X-երը ձախ և բոլոր Y-երը աջ կողմում: Ակնհայտ է - 4x = 8y: Արտահայտությունը բաժանեք - 4-ի և ստացեք x = –2y: Այժմ մենք կարող ենք որոշել մատրիցայի առաջին սեփական վեկտորը՝ վերցնելով անհայտների ցանկացած արժեք (հիշենք գծային կախված սեփական վեկտորների անսահմանությունը): Վերցնենք y = 1, ապա x = –2: Հետևաբար, առաջին սեփական վեկտորը նման է V1 = (–2; 1): Վերադարձեք հոդվածի սկզբին։ Այս վեկտորային օբյեկտն էր, որով մենք բազմապատկեցինք մատրիցը՝ սեփական վեկտորի հասկացությունը ցուցադրելու համար:

Հիմա եկեք գտնենք λ = 12-ի սեփական վեկտորը:

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Եկեք ստեղծենք գծային հավասարումների նույն համակարգը;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Այժմ մենք վերցնում ենք x = 1, հետևաբար y = 3: Այսպիսով, երկրորդ սեփական վեկտորը նման է V2 = (1; 3): Բնօրինակ մատրիցը տրված վեկտորով բազմապատկելիս արդյունքը միշտ կլինի նույն վեկտորը` բազմապատկած 12-ով: Այստեղ ավարտվում է լուծման ալգորիթմը: Այժմ դուք գիտեք, թե ինչպես կարելի է ձեռքով որոշել մատրիցայի սեփական վեկտորը:

• որոշիչ;
• հետք, այսինքն՝ հիմնական անկյունագծի վրա գտնվող տարրերի գումարը.
• աստիճան, այսինքն՝ գծային անկախ տողերի/սյունակների առավելագույն քանակը։

Ծրագիրը գործում է վերը նշված ալգորիթմի համաձայն՝ հնարավորինս կրճատելով լուծման գործընթացը։ Կարևոր է նշել, որ ծրագրում lambda-ն նշվում է «c» տառով: Դիտարկենք թվային օրինակ:

Օրինակ, թե ինչպես է ծրագիրը աշխատում

Փորձենք որոշել հետևյալ մատրիցայի սեփական վեկտորները.

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Եկեք այս արժեքները մուտքագրենք հաշվիչի բջիջներում և ստանանք պատասխանը հետևյալ ձևով.

• Մատրիցայի աստիճանը `2;
• Մատրիցային որոշիչ՝ 18;
• Մատրիցային հետք՝ 19;
• Սեփական վեկտորի հաշվարկ՝ c 2 − 19.00c + 18.00 (բնութագրական հավասարում);
• Սեփական վեկտորի հաշվարկ՝ 18 (առաջին լամբդայի արժեքը);
• Eigenvector-ի հաշվարկը՝ 1 (երկրորդ լամբդայի արժեքը);
• Վեկտորի 1-ի հավասարումների համակարգ՝ -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Վեկտորի 2-ի հավասարումների համակարգ՝ 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Eigenvector 1: (1; 1);
• Eigenvector 2: (-3.25; 1):

Այսպիսով, մենք ստացանք երկու գծային անկախ սեփական վեկտոր:

Եզրակացություն

Գծային հանրահաշիվը և վերլուծական երկրաչափությունը ստանդարտ առարկաներ են ճարտարագիտության առաջին կուրսեցիների համար: Վեկտորների և մատրիցների մեծ քանակությունը սարսափելի է, և հեշտ է սխալվել նման ծանրաբեռնված հաշվարկներում: Մեր ծրագիրը հնարավորություն կտա ուսանողներին ստուգել իրենց հաշվարկները կամ ինքնաբերաբար լուծել սեփական վեկտոր գտնելու խնդիրը: Մեր կատալոգում կան այլ գծային հանրահաշիվ հաշվիչներ, օգտագործեք դրանք ձեր ուսումնասիրության կամ աշխատանքի մեջ: