Գտնել մարմնի ծավալը ինտեգրալի միջոցով: Հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով

Ինչպես տարածքը գտնելու խնդրի դեպքում, ձեզ անհրաժեշտ են նկարելու վստահ հմտություններ. սա գրեթե ամենակարևորն է (քանի որ ինքնին ինտեգրալները հաճախ հեշտ կլինեն): Դուք կարող եք տիրապետել գրագետ և արագ գծապատկերների տեխնոլոգիաներին՝ օգտագործելով ուսումնական նյութերև գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումներ։ Բայց, փաստորեն, ես արդեն մի քանի անգամ դասարանում խոսել եմ նկարների կարևորության մասին։

Ընդհանրապես, ինտեգրալ հաշվարկում շատ հետաքրքիր կիրառություններ կան, օգտագործելով որոշակի ինտեգրալկարող եք հաշվարկել գործչի մակերեսը, հեղափոխության մարմնի ծավալը, աղեղի երկարությունը, պտույտի մակերեսը և շատ ավելին: Այնպես որ, զվարճալի կլինի, խնդրում եմ լավատես եղեք:

Պատկերացրեք մի հարթ պատկեր կոորդինատային հարթության վրա: Ներկայացրե՞լ է: ... Հետաքրքիր է, թե ով ինչ է ներկայացրել... =))) Մենք արդեն գտել ենք դրա տարածքը։ Բայց, ի լրումն, այս ցուցանիշը կարող է նաև պտտվել և պտտվել երկու եղանակով.

– abscissa առանցքի շուրջ;
- օրդինատների առանցքի շուրջ:

Այս հոդվածը կքննարկի երկու դեպքերը: Հատկապես հետաքրքիր է պտտման երկրորդ մեթոդը, որն ամենաշատ դժվարություններն է առաջացնում, բայց իրականում լուծումը գրեթե նույնն է, ինչ x-առանցքի շուրջ ավելի տարածված պտույտում։ Որպես բոնուս, ես կվերադառնամ գործչի մակերեսը գտնելու խնդիր, և ես ձեզ կասեմ, թե ինչպես գտնել տարածքը երկրորդ եղանակով ՝ առանցքի երկայնքով: Դա այնքան էլ բոնուս չէ, քանի որ նյութը լավ տեղավորվում է թեմայի մեջ:

Սկսենք ռոտացիայի ամենատարածված տեսակից:

հարթ գործիչ առանցքի շուրջ

Օրինակ 1

Հաշվել մարմնի ծավալը, որը ստացվում է նկարը պտտելով, սահմանափակված տողերով, առանցքի շուրջ.

ԼուծումԻնչպես տարածքը գտնելու հարցում, լուծումը սկսվում է գծանկարից հարթ գործիչ . Այսինքն, հարթության վրա անհրաժեշտ է կառուցել գծերով սահմանափակված պատկեր և մի մոռացեք, որ հավասարումը նշում է առանցքը: Ինչպես ավելի արդյունավետ և արագ ավարտել գծագիրը, կարելի է գտնել էջերում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկություններըԵվ Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը. Սա չինական հիշեցում է և շարունակվում է այս պահինԵս այլևս կանգ չեմ առնում։

Նկարչությունն այստեղ բավականին պարզ է.

Ցանկալի հարթ կերպարանքը ստվերված է կապույտով, այն է, որ պտտվում է առանցքի շուրջը: Պտտման արդյունքում ստացվում է մի փոքր ձվաձև թռչող ափսե, որը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ: Իրականում մարմինը մաթեմատիկական անուն ունի, բայց ես չափազանց ծույլ եմ որևէ բան պարզաբանել տեղեկագրքում, ուստի մենք առաջ ենք շարժվում:

Ինչպե՞ս հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը:

Հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով:

Բանաձևում թիվը պետք է լինի ինտեգրալից առաջ: Այդպես էլ եղավ՝ այն ամենը, ինչ պտտվում է կյանքում, կապված է այս հաստատունի հետ։

Կարծում եմ, հեշտ է կռահել, թե ինչպես կարելի է լրացված գծագրից սահմանել «a» և «be» ինտեգրման սահմանները:

Ֆունկցիա... ինչ է սա ֆունկցիան: Եկեք նայենք գծագրությանը: Հարթ պատկերը սահմանափակված է վերևում գտնվող պարաբոլայի գրաֆիկով: Սա այն գործառույթն է, որը ենթադրվում է բանաձևում:

Գործնական առաջադրանքներում հարթ գործիչը երբեմն կարող է տեղակայվել առանցքի տակ: Սա ոչինչ չի փոխում. բանաձևի ինտեգրանդը քառակուսի է ինտեգրալը միշտ ոչ բացասական է, ինչը շատ տրամաբանական է։

Հաշվարկենք հեղափոխության մարմնի ծավալը՝ օգտագործելով այս բանաձեւը:

Ինչպես արդեն նշեցի, ինտեգրալը գրեթե միշտ պարզ է դառնում, գլխավորը զգույշ լինելն է։

Պատասխանել:

Ձեր պատասխանում դուք պետք է նշեք չափը՝ խորանարդ միավոր: Այսինքն՝ մեր պտտման մարմնում կա մոտավորապես 3,35 «խորանարդ»։ Ինչու խորանարդ միավորներ? Որովհետև ամենահամընդհանուր ձևակերպումը. Կարող է լինել խորանարդ սանտիմետր, կարող է լինել խորանարդ մետր, կարող է լինել խորանարդ կիլոմետր և այլն, ահա թե որքան կանաչ տղամարդու կարող է ձեր երևակայությունը տեղադրել թռչող ափսեի մեջ:

Օրինակ 2

Գտեք մարմնի ծավալը, ձևավորվում է ռոտացիայի միջոցովգծերով սահմանափակված նկարի առանցքի շուրջը,

Սա օրինակ է անկախ որոշում. Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Դիտարկենք երկու ավելի բարդ խնդիր, որոնք նույնպես հաճախ են հանդիպում գործնականում։

Օրինակ 3

Հաշվեք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է պտտվելով պատկերի աբսցիսային առանցքի շուրջ, որը սահմանափակված է գծերով, և

ԼուծումԵկեք գծագրում պատկերենք հարթ պատկեր, որը սահմանափակված է , , , գծերով, առանց մոռանալու, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը.

Ցանկալի գործիչը ստվերված է կապույտով: Երբ այն պտտվում է իր առանցքի շուրջ, պարզվում է, որ չորս անկյուններով սյուրռեալիստական ​​բլիթ է:

Եկեք հաշվարկենք պտտման մարմնի ծավալը որպես մարմինների ծավալների տարբերությունը.

Նախ, եկեք նայենք կարմիրով շրջապատված գործչին: Երբ այն պտտվում է առանցքի շուրջ, ստացվում է կտրված կոն։ Այս կտրված կոնի ծավալը նշանակենք .

Դիտարկենք այն պատկերը, որը շրջապատված է կանաչ. Եթե ​​այս ցուցանիշը պտտեք առանցքի շուրջը, ապա կստանաք նաև կտրված կոն, միայն մի փոքր ավելի փոքր: Նրա ծավալը նշանակենք .

Եվ, ակնհայտորեն, ծավալների տարբերությունը հենց մեր «պոնչիկի» ծավալն է։

Պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ստանդարտ բանաձևը.

1) Կարմիրով շրջապատված պատկերը վերևում սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

2) Կանաչով շրջապատված պատկերը վերևում սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

3) հեղափոխության ցանկալի մարմնի ծավալը.

Պատասխանել:

Հետաքրքիր է, որ ներս այս դեպքումլուծումը կարելի է ստուգել՝ օգտագործելով դպրոցական բանաձևը՝ կտրված կոնի ծավալը հաշվարկելու համար:

Որոշումն ինքնին հաճախ ավելի կարճ է գրվում, այսպես.

Հիմա եկեք մի փոքր հանգստանանք և պատմենք ձեզ երկրաչափական պատրանքների մասին:

Մարդիկ հաճախ պատրանքներ են ունենում հատորների հետ կապված, ինչը գրքում նկատել է Պերելմանը (մյուսը)։ Զվարճալի երկրաչափություն. Նայեք լուծված խնդրի հարթ թվին. այն կարծես թե փոքր է տարածքով, և հեղափոխության մարմնի ծավալը 50 խորանարդ միավորից մի փոքր ավելի է, ինչը չափազանց մեծ է թվում: Ի դեպ, միջին վիճակագրական մարդն իր ողջ կյանքում խմում է 18 քմ մակերեսով սենյակին համարժեք հեղուկ, որը, ընդհակառակը, չափազանց փոքր ծավալ է թվում։

Ընդհանուր առմամբ, ԽՍՀՄ-ում կրթական համակարգն իսկապես լավագույնն էր։ Պերելմանի նույն գիրքը, որը հրատարակվել է դեռևս 1950 թվականին, շատ լավ զարգացնում է, ինչպես հումորիստն ասաց, հասկացողությունը և սովորեցնում է բնօրինակ փնտրել. ոչ ստանդարտ լուծումներխնդիրներ. Վերջերս մեծ հետաքրքրությամբ վերընթերցեցի որոշ գլուխներ, խորհուրդ եմ տալիս, այն հասանելի է նույնիսկ հումանիստների համար: Ոչ, պետք չէ ժպտալ, որ ես ազատ ժամանակ եմ առաջարկել, էրուդիցիան և հաղորդակցության լայն հորիզոնները հիանալի բան են:

Քնարական շեղումից հետո պարզապես տեղին է ստեղծագործական առաջադրանք լուծել.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է պտտվելով հարթ պատկերի առանցքի շուրջ, որը սահմանափակված է ուղիղներով, , որտեղ .

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բոլոր դեպքերը տեղի են ունենում նվագախմբում, այլ կերպ ասած, իրականում տրված են ինտեգրման պատրաստի սահմաններ։ Ճիշտ գծե՛ք գրաֆիկները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, հիշեցնեմ դասի նյութի մասին գրաֆիկների երկրաչափական վերափոխումներեթե արգումենտը բաժանվում է երկուսի՝ , ապա գրաֆիկները երկու անգամ ձգվում են առանցքի երկայնքով։ Ցանկալի է գտնել առնվազն 3-4 միավոր ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակներիգծանկարն ավելի ճշգրիտ ավարտելու համար: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։ Ի դեպ, խնդիրը կարելի է լուծել ռացիոնալ և ոչ շատ ռացիոնալ։

Պտույտով առաջացած մարմնի ծավալի հաշվարկ
հարթ գործիչ առանցքի շուրջ

Երկրորդ պարբերությունը նույնիսկ ավելի հետաքրքիր կլինի, քան առաջինը: Օրդինատների առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը հաշվարկելու խնդիրը նույնպես բավականին հաճախակի հյուր է. թեստեր. Ճանապարհին այն կդիտարկվի գործչի մակերեսը գտնելու խնդիրերկրորդ մեթոդը առանցքի երկայնքով ինտեգրումն է, դա թույլ կտա ոչ միայն բարելավել ձեր հմտությունները, այլև կսովորեցնի գտնել լուծման առավել շահավետ ճանապարհը: Սրա մեջ նաև գործնական կյանքի իմաստ կա։ Ինչպես ժպիտով հիշում էր մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդների իմ ուսուցչուհին, շատ շրջանավարտներ շնորհակալություն հայտնեցին նրան հետևյալ խոսքերով. Օգտվելով առիթից՝ ես նաև իմ մեծ երախտագիտությունն եմ հայտնում նրան, մանավանդ որ ձեռք բերած գիտելիքներն օգտագործում եմ իր նպատակային նպատակի համար =):

Ես դա խորհուրդ եմ տալիս բոլորին, նույնիսկ ամբողջական խաբեբաներին: Ավելին, երկրորդ պարբերությունում սովորած նյութը անգնահատելի օգնություն կցուցաբերի կրկնակի ինտեգրալների հաշվարկման հարցում..

Օրինակ 5

Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով , , :

1) Գտեք այս տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը:
2) Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս գծերով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:

Ուշադրություն.Նույնիսկ եթե ցանկանում եք կարդալ միայն երկրորդ կետը, առաջինը Պարտադիրկարդա առաջինը!

ԼուծումԱռաջադրանքը բաղկացած է երկու մասից. Սկսենք հրապարակից։

1) Եկեք նկարենք.

Հեշտ է տեսնել, որ ֆունկցիան նշում է պարաբոլայի վերին ճյուղը, իսկ ֆունկցիան՝ պարաբոլայի ստորին ճյուղը։ Մեր առջև մի չնչին պարաբոլա է, որը «կողքի վրա է ընկած»։

Ցանկալի գործիչը, որի մակերեսը պետք է գտնել, ստվերված է կապույտով:

Ինչպե՞ս գտնել գործչի մակերեսը: Այն կարելի է գտնել «սովորական» ձևով, որը քննարկվել է դասարանում Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը. Ավելին, նկարի տարածքը հայտնաբերվում է որպես տարածքների գումար.
- հատվածի վրա ;
- հատվածի վրա.

Ահա թե ինչու:

Ինչու է այս դեպքում սովորական լուծումը վատ: Նախ, մենք ստացանք երկու ինտեգրալ. Երկրորդ, ինտեգրալները արմատներ են, իսկ ինտեգրալների արմատները նվեր չեն, և բացի այդ, կարելի է շփոթվել ինտեգրման սահմանները փոխարինելիս։ Իրականում, ինտեգրալները, իհարկե, սպանիչ չեն, բայց գործնականում ամեն ինչ կարող է շատ ավելի տխուր լինել, ես պարզապես ընտրեցի «ավելի լավ» գործառույթներ խնդրի համար:

Կա ավելի ռացիոնալ լուծում՝ այն բաղկացած է հակադարձ ֆունկցիաների անցնելուց և առանցքի երկայնքով ինտեգրվելուց։

Ինչպե՞ս հասնել հակադարձ ֆունկցիաների: Կոպիտ ասած, պետք է «x»-ը «y»-ով արտահայտել։ Նախ, եկեք նայենք պարաբոլային.

Սա բավական է, բայց եկեք համոզվենք, որ նույն գործառույթը կարող է ստացվել ստորին ճյուղից.

Ավելի հեշտ է ուղիղ գծով.

Հիմա նայեք առանցքին. խնդրում ենք պարբերաբար գլուխը թեքել աջ 90 աստիճանով, երբ բացատրում եք (սա կատակ չէ): Մեզ անհրաժեշտ գործիչը ընկած է հատվածի վրա, որը նշված է կարմիր կետավոր գծով: Այս դեպքում, հատվածի վրա ուղիղ գիծը գտնվում է պարաբոլայի վերևում, ինչը նշանակում է, որ գործչի տարածքը պետք է գտնել՝ օգտագործելով ձեզ արդեն ծանոթ բանաձևը. . Ի՞նչ է փոխվել բանաձևում. Ընդամենը նամակ և ոչ ավելին:

! ՆշումՊետք է սահմանվեն առանցքի երկայնքով ինտեգրման սահմանները խստորեն ներքեւից վերեւ!

Տարածքը գտնելը.

Հետևաբար հատվածի վրա.

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես իրականացրել ինտեգրումը, սա ամենառացիոնալ ճանապարհն է, և առաջադրանքի հաջորդ պարբերությունում պարզ կլինի, թե ինչու։

Ընթերցողների համար, ովքեր կասկածում են ինտեգրման ճիշտությանը, ես կգտնեմ ածանցյալներ.

Ստացվում է ինտեգրման սկզբնական ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրումը ճիշտ է կատարվել:

Պատասխանել:

2) Հաշվենք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է այս գործչի առանցքի շուրջ պտտվելուց:

Ես կնկարեմ նկարը մի փոքր այլ ձևով.

Այսպիսով, կապույտով ստվերված գործիչը պտտվում է առանցքի շուրջը: Արդյունքում ստացվում է «սավառնող թիթեռ», որը պտտվում է իր առանցքի շուրջ։

Պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք ինտեգրվելու ենք առանցքի երկայնքով: Նախ պետք է անցնենք հակադարձ ֆունկցիաներին: Սա արդեն արվել և մանրամասն նկարագրվել է նախորդ պարբերությունում:

Այժմ մենք նորից գլուխը թեքում ենք դեպի աջ և ուսումնասիրում մեր կազմվածքը։ Ակնհայտ է, որ պտտվող մարմնի ծավալը պետք է գտնել որպես ծավալների տարբերություն:

Մենք պտտում ենք առանցքի շուրջ կարմիրով պտտվող գործիչը, որի արդյունքում ստացվում է կտրված կոն: Այս ծավալը նշանակենք .

Մենք պտտում ենք կանաչ գույնով պտտվող պատկերը առանցքի շուրջ և այն նշում ենք ստացված պտտման մարմնի ծավալով։

Մեր թիթեռի ծավալը հավասար է ծավալների տարբերությանը։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ո՞րն է տարբերությունը նախորդ պարբերության բանաձևից: Միայն նամակում.

Բայց ինտեգրման առավելությունը, որի մասին ես վերջերս խոսեցի, շատ ավելի հեշտ է գտնել , այլ ոչ թե նախ ինտեգրանդը բարձրացնել 4-րդ իշխանության։

Պատասխանել:

Այնուամենայնիվ, ոչ հիվանդ թիթեռ:

Նկատի ունեցեք, որ եթե նույն հարթ պատկերը պտտվի առանցքի շուրջը, բնականաբար, դուք կստանաք պտտման լրիվ այլ մարմին՝ այլ ծավալով։

Օրինակ 6

Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով և առանցքով:

1) Գնացեք հակադարձ ֆունկցիաներ և գտեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է այս տողերով՝ ինտեգրվելով փոփոխականի վրա:
2) Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է այս ուղիղներով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Հետաքրքրվողները կարող են գտնել նաև գործչի տարածքը «սովորական» եղանակով՝ դրանով իսկ ստուգելով 1-ին կետը): Բայց եթե, կրկնում եմ, հարթ ֆիգուր պտտես առանցքի շուրջ, կստանաս պտտման լրիվ այլ մարմին՝ այլ ծավալով, ի դեպ՝ ճիշտ պատասխան (նաև խնդիրներ լուծել սիրողների համար)։

Առաջադրանքի երկու առաջարկված կետերի ամբողջական լուծումը դասի վերջում է:

Այո, և մի մոռացեք ձեր գլուխը թեքել դեպի աջ՝ հասկանալու պտտման մարմինները և ինտեգրման սահմանները:

Դասի տեսակը՝ համակցված։

Դասի նպատակը.սովորել ինտեգրալների միջոցով հաշվարկել հեղափոխության մարմինների ծավալները:

Առաջադրանքներ.

• համախմբել մի շարք երկրաչափական պատկերներից կորագիծ տրապիզոիդները բացահայտելու կարողությունը և զարգացնել կորագիծ տրապիզոիդների տարածքները հաշվարկելու հմտությունը.
• ծանոթանալ եռաչափ գործչի հայեցակարգին;
• սովորել հաշվարկել պտտվող մարմինների ծավալները.
• նպաստել տրամաբանական մտածողության, գրագետ մաթեմատիկական խոսքի զարգացմանը, գծագրերի կառուցման ժամանակ ճշգրտությանը.
• զարգացնել հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ, մաթեմատիկական հասկացությունների և պատկերների հետ գործելու, վերջնական արդյունքի հասնելու կամք, անկախություն և հաստատակամություն զարգացնել:

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ.

Ողջույններ խմբից: Ուսանողներին հաղորդել դասի նպատակները:

Արտացոլում. Հանգիստ մեղեդի.

– Այսօրվա դասը կուզենայի սկսել առակով. «Մի ժամանակ ապրում էր մի իմաստուն մարդ, ով գիտեր ամեն ինչ։ Մի մարդ ուզում էր ապացուցել, որ իմաստունն ամեն ինչ չգիտի։ Ձեռքերում թիթեռը բռնած՝ նա հարցրեց. «Ասա ինձ, իմաստուն, ո՞ր թիթեռնիկն է իմ ձեռքում՝ մեռա՞ծ, թե՞ ողջ»: Իսկ ինքը մտածում է. «Եթե կենդանին ասի՝ կսպանեմ, մեռածը կասի՝ կազատեմ»։ Իմաստունը մտածելուց հետո պատասխանեց. «Ամեն ինչ ձեր ձեռքերում է». (Ներկայացում.Սլայդ)

– Հետևաբար, եկեք այսօր բեղմնավոր աշխատենք, ձեռք բերենք գիտելիքների նոր պաշար և ձեռք բերված հմտություններն ու կարողությունները կկիրառենք ապագա կյանքում և գործնական գործունեության մեջ։ «Ամեն ինչ ձեր ձեռքերում է».

II. Նախկինում ուսումնասիրված նյութի կրկնություն:

– Հիշենք նախկինում ուսումնասիրված նյութի հիմնական կետերը: Դա անելու համար եկեք ավարտենք առաջադրանքը «Բացառել ավելորդ բառ”. (Սլայդ.)

(Աշակերտը գնում է I.D.-ն օգտագործում է ռետին՝ ավելորդ բառը հեռացնելու համար):

- Ճիշտ «Դիֆերենցիալ». Փորձեք անվանել մնացած բառերը որպես մեկ ընդհանուր առումով. (Ամբողջական հաշվարկ):

– Եկեք հիշենք ինտեգրալ հաշվարկի հետ կապված հիմնական փուլերն ու հասկացությունները:

«Մաթեմատիկական փունջ».

Զորավարժություններ. Վերականգնել բացերը. (Աշակերտը դուրս է գալիս և գրիչով գրում է անհրաժեշտ բառերը):

– Ինտեգրալների կիրառման մասին վերացական կլսենք ավելի ուշ:

Աշխատեք նոթատետրերում.

– Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը ստացվել է անգլիացի ֆիզիկոս Իսահակ Նյուտոնի (1643–1727) և գերմանացի փիլիսոփա Գոթֆրիդ Լայբնիցի (1646–1716) կողմից։ Եվ դա զարմանալի չէ, քանի որ մաթեմատիկան այն լեզուն է, որով խոսում է հենց բնությունը:

-Եկեք նայենք, թե ինչպես լուծելիս գործնական առաջադրանքներայս բանաձևն օգտագործվում է.

Օրինակ 1: Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Լուծում. Կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները կոորդինատային հարթության վրա . Եկեք ընտրենք գործչի տարածքը, որը պետք է գտնել:

III. Նոր նյութ սովորելը.

- Ուշադրություն դարձրեք էկրանին: Ի՞նչ է պատկերված առաջին նկարում: (Սլայդ) (Նկարը ցույց է տալիս հարթ գործիչ):

- Ի՞նչ է պատկերված երկրորդ նկարում: Արդյո՞ք այս ցուցանիշը հարթ է: (Սլայդ) (Նկարը ցույց է տալիս եռաչափ պատկեր):

- Տիեզերքում, երկրի վրա և ներսում Առօրյա կյանքՄենք հանդիպում ենք ոչ միայն հարթ թվերի, այլև եռաչափ, բայց ինչպե՞ս կարող ենք հաշվել նման մարմինների ծավալը։ Օրինակ՝ մոլորակի, գիսաստղի, երկնաքարի ծավալը և այլն։

– Մարդիկ մտածում են ծավալի մասին և՛ տներ կառուցելիս, և՛ ջուրը մի նավից մյուսը լցնելիս: Պետք է ի հայտ գան ծավալների հաշվարկման կանոններ և տեխնիկա, այլ հարց է, թե որքանով են դրանք ճշգրիտ և ողջամիտ:

Ուղերձ ուսանողից. (Տյուրինա Վերա.)

Ավստրիական Լինց քաղաքի բնակիչների համար, որտեղ ապրել է հայտնի աստղագետ Յոհաննես Կեպլերը, հատկապես խաղողի համար, 1612 թվականը շատ բեղմնավոր է եղել։ Մարդիկ պատրաստում էին գինու տակառներ և ցանկանում էին իմանալ, թե ինչպես կարելի է գործնականում որոշել դրանց ծավալները։ (Սլայդ 2)

– Այսպիսով, Կեպլերի դիտարկված աշխատանքները հիմք դրեցին հետազոտությունների մի ամբողջ հոսքի, որը գագաթնակետին հասավ 17-րդ դարի վերջին քառորդում: դիզայն Ի. Նյուտոնի և Գ.Վ. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի Լայբնից. Այդ ժամանակվանից մաթեմատիկական գիտելիքների համակարգում առաջատար տեղ է գրավել փոփոխականների մաթեմատիկան։

«Այսօր ես և դու զբաղվելու ենք նման գործնական գործունեությամբ, հետևաբար.

Մեր դասի թեման. (Սլայդ)

– Հեղափոխության մարմնի սահմանումը կսովորեք լրացնելով հաջորդ առաջադրանքը.

«Լաբիրինթոս».

Լաբիրինթոս ( Հունարեն բառ) նշանակում է գնալ զնդան։ Լաբիրինթոսը արահետների, անցումների և փոխկապակցված սենյակների բարդ ցանց է:

Բայց սահմանումը «կոտրվեց»՝ թողնելով ակնարկներ սլաքների տեսքով:

Զորավարժություններ. Գտեք ելք խառնաշփոթ իրավիճակից և գրեք սահմանումը:

Սլայդ. «Քարտեզի հրահանգ» Ծավալների հաշվարկ.

Օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, դուք կարող եք հաշվարկել որոշակի մարմնի, մասնավորապես, հեղափոխության մարմնի ծավալը:

Հեղափոխության մարմինը մարմին է, որը ստացվում է կոր trapezoid-ը իր հիմքի շուրջը պտտելով (նկ. 1, 2):

Պտտման մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևերից մեկի միջոցով.

1. OX առանցքի շուրջ:

2. , եթե կոր trapezoid-ի պտույտը op-amp-ի առանցքի շուրջ:

Յուրաքանչյուր ուսանող ստանում է հրահանգչական քարտ: Ուսուցիչը շեշտում է հիմնական կետերը.

– Ուսուցիչը բացատրում է գրատախտակին դրված օրինակների լուծումները:

Դիտարկենք մի հատված հայտնի հեքիաթՊուշկին «Ցար Սալթանի հեքիաթը, նրա փառահեղ և հզոր հերոս արքայազն Գվիդոն Սալտանովիչի և գեղեցիկ արքայադուստր Կարապի մասին» (Սլայդ 4):

…..
Եվ հարբած սուրհանդակը բերեց
Նույն օրը կարգը հետևյալն է.
«Թագավորը պատվիրում է իր տղաներին.
Առանց ժամանակ կորցնելու,
Եվ թագուհին և սերունդը
Գաղտնի նետել ջրի անդունդը»։
Անելիք չկա. տղաներ,
Անհանգստանալով ինքնիշխանի համար
Եվ երիտասարդ թագուհուն,
Նրա ննջասենյակ եկավ բազմություն։
Նրանք հայտարարեցին թագավորի կամքը.
Նա և իր որդին չար բաժին ունեն,
Մենք բարձրաձայն կարդում ենք հրամանագիրը.
Իսկ թագուհին նույն ժամին
Ինձ տղայիս հետ տակառի մեջ դրեցին,
Կտրեցին ու քշեցին
Եվ նրանք ինձ թույլ տվեցին մտնել օկիյան,
Ահա թե ինչ է պատվիրել ցար Սալթանը.

Որքա՞ն պետք է լինի տակառի ծավալը, որպեսզի թագուհին և նրա որդին տեղավորվեն դրա մեջ։

- Հաշվի առեք հետևյալ առաջադրանքները

1. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագիծ տրապեզիի օրդինատային առանցքի շուրջ պտտվելուց. x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0:

Պատասխան՝ 1163 սմ 3 .

Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է պարաբոլիկ տրապեզոիդը աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտելով y =, x = 4, y = 0:

IV. Նոր նյութի համախմբում

Օրինակ 2. Հաշվի՛ր x առանցքի շուրջ ծաղկաթերթի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը. y = x 2, y 2 = x:

Եկեք կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկները։ y = x 2, y 2 = x. Ժամանակացույց y2 = xվերածել ձևի y= .

Մենք ունենք V = V 1 – V 2Եկեք հաշվարկենք յուրաքանչյուր ֆունկցիայի ծավալը

Հիմա եկեք նայենք Մոսկվայի Շաբոլովկայի ռադիոկայանի աշտարակին, որը կառուցվել է նշանավոր ռուս ինժեներ, պատվավոր ակադեմիկոս Վ.Գ. Շուխովի նախագծով: Այն բաղկացած է մասերից՝ պտտման հիպերբոլոիդներից։ Ընդ որում, դրանցից յուրաքանչյուրը պատրաստված է հարակից շրջանակները միացնող ուղիղ մետաղյա ձողերից (նկ. 8, 9):

- Եկեք դիտարկենք խնդիրը.

Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է հիպերբոլային աղեղների պտտմամբ իր երևակայական առանցքի շուրջ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 8, որտեղ

խորանարդ միավորներ

Խմբային առաջադրանքներ. Սովորողները առաջադրանքներով վիճակահանություն են անում, Whatman թղթի վրա նկարներ են անում, իսկ խմբի ներկայացուցիչներից մեկը պաշտպանում է աշխատանքը:

1-ին խումբ.

Հարվածե՛ք Հարվածե՛ք Եվս մեկ հարված.
Գնդակը թռչում է դեպի դարպասը - ԳՆԴԱԿ:
Եվ սա ձմերուկի գնդակ է
Կանաչ, կլոր, համեղ։
Ավելի լավ նայեք, ինչ գնդակ:
Այն կազմված է ոչ այլ ինչից, բացի շրջանակներից։
Ձմերուկը շրջանաձև կտրատել
Եվ համտեսեք դրանք:

Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է սահմանափակ ֆունկցիայի OX առանցքի շուրջ պտտվելուց

Սխալ. Էջանիշը սահմանված չէ:

- Խնդրում եմ, ասեք, թե որտեղ ենք հանդիպում այս ցուցանիշին:

Տուն. առաջադրանք 1 խմբի համար. ԳԼՈՆ (Սլայդ) .

«Գլան - ինչ է դա»: – հարցրի հայրիկիս:
Հայրը ծիծաղեց. Գլխարկը գլխարկ է:
Ճիշտ պատկերացում ունենալու համար,
Մխոցը, ասենք, թիթեղյա տարա է։
Շոգենավի խողովակ - գլան,
Մեր տանիքի խողովակը նույնպես,

Բոլոր խողովակները նման են գլան:
Եվ ես այսպիսի օրինակ բերեցի.
Կալեիդոսկոպ Իմ սեր,
Չես կարող աչքդ կտրել նրանից,
Եվ այն նաև նման է մխոցի:

- Մարզվել. Տնային աշխատանքգծագրե՛ք ֆունկցիան և հաշվարկե՛ք ծավալը։

2-րդ խումբ. ԿՈՆ (Սլայդ).

Մայրիկը ասաց. Եվ հիմա
Իմ պատմությունը կլինի կոնի մասին:
Stargazer բարձր գլխարկով
Ամբողջ տարին հաշվում է աստղերը:
ԿՈՆ - աստղադիտողի գլխարկ:
Ահա թե ինչպիսին է նա։ Հասկացա՞ր: վերջ։
Մայրիկը կանգնած էր սեղանի մոտ,
Ես յուղ եմ լցրել շշերի մեջ։
-Որտե՞ղ է ձագարը: Ձագար չկա:
Փնտրեք այն: Մի կանգնեք կողքի վրա:
- Մայրիկ, ես չեմ շարժվի:
Պատմեք մեզ ավելի շատ կոնի մասին:
– Ձագարը ջրցանի կոնի տեսքով է։
Արի, արագ գտիր նրան ինձ համար:
Ես չկարողացա գտնել ձագարը
Բայց մայրիկը պայուսակ պատրաստեց,
Ստվարաթուղթը փաթաթեցի մատիս շուրջը
Եվ նա հմտորեն ամրացրեց այն թղթի սեղմակով:
Յուղը հոսում է, մայրիկը ուրախ է,
Կոնը ճիշտ դուրս եկավ:

Զորավարժություններ. Հաշվե՛ք աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտվելով ստացված մարմնի ծավալը

Տուն. առաջադրանք 2-րդ խմբի համար. ԲՈՒՐԳ(Սլայդ).

Ես տեսա նկարը։ Այս նկարում
Ավազոտ անապատում ԲՈՒՐԳ կա։
Բուրգում ամեն ինչ արտասովոր է,
Նրա մեջ ինչ-որ առեղծված ու առեղծված կա։
Եվ Սպասկայա աշտարակը Կարմիր հրապարակում
Այն շատ ծանոթ է ինչպես երեխաներին, այնպես էլ մեծահասակներին:
Եթե ​​նայեք աշտարակին, այն սովորական է թվում,
Ի՞նչ կա դրա վերևում: Բուրգ!

Զորավարժություններ.Տնային առաջադրանք՝ գծե՛ք ֆունկցիան և հաշվարկե՛ք բուրգի ծավալը

– Մենք հաշվարկել ենք տարբեր մարմինների ծավալները՝ հիմնվելով մարմինների ծավալների հիմնական բանաձևի վրա՝ օգտագործելով ինտեգրալ:

Սա ևս մեկ հաստատում է, որ որոշակի ինտեգրալը որոշակի հիմք է մաթեմատիկայի ուսումնասիրության համար:

-Դե հիմա մի քիչ հանգստանանք։

Գտեք զույգ:

Մաթեմատիկական դոմինոյի մեղեդին նվագում է:

«Ճանապարհը, որը ես ինքս փնտրում էի, երբեք չի մոռացվի…»

Հետազոտական ​​աշխատանք. Ինտեգրալի կիրառումը տնտեսագիտության և տեխնոլոգիայի մեջ:

Թեստեր ուժեղ ուսանողների համար և մաթեմատիկական ֆուտբոլ:

Մաթեմատիկայի սիմուլյատոր.

2. Տրված ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը կոչվում է

Ա) անորոշ ինտեգրալ,

բ) գործառույթը,

Բ) տարբերակում.

7. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագծային տրապեզի աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտվելուց.

Դ/Զ. Հաշվիր հեղափոխության մարմինների ծավալները։

Արտացոլում.

Արտացոլման ընդունումը ձևով համաժամանակացում(հինգ տող):

1-ին տող – թեմայի անվանումը (մեկ գոյական):

2-րդ տող – թեմայի նկարագրությունը երկու բառով, երկու ածականով:

3-րդ տող – այս թեմայի շրջանակներում կատարվող գործողությունների նկարագրությունը երեք բառով:

4-րդ տողը չորս բառից բաղկացած արտահայտություն է, որը ցույց է տալիս վերաբերմունքը թեմային (մի ամբողջ նախադասություն):

5-րդ տողը հոմանիշ է, որը կրկնում է թեմայի էությունը։

1. Ծավալը.
2. Որոշակի ինտեգրալ, ինտեգրվող ֆունկցիա:
3. Մենք կառուցում ենք, պտտվում ենք, հաշվարկում ենք։
4. Մարմին, որը ստացվում է կոր trapezoid-ի պտտմամբ (նրա հիմքի շուրջը)։
5. Պտտման մարմին (ծավալային երկրաչափական մարմին):

Եզրակացություն (Սլայդ).

• Որոշակի ինտեգրալը մաթեմատիկայի ուսումնասիրության որոշակի հիմք է, որն անփոխարինելի ներդրում է կատարում գործնական խնդիրների լուծման գործում։
• «Ինտեգրալ» թեման հստակ ցույց է տալիս կապը մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի, կենսաբանության, տնտեսագիտության և տեխնիկայի միջև:
• Զարգացում ժամանակակից գիտանհնար է պատկերացնել առանց ինտեգրալը օգտագործելու: Այս առումով անհրաժեշտ է սկսել այն ուսումնասիրել միջնակարգ մասնագիտացված կրթության շրջանակներում։

Գնահատում. (Մեկնաբանությամբ):

Մեծ օմարԽայամը մաթեմատիկոս է, բանաստեղծ, փիլիսոփա։ Նա խրախուսում է մեզ լինել մեր սեփական ճակատագրի տերը: Լսենք նրա ստեղծագործությունից մի հատված.

Կասեք՝ այս կյանքը մի պահ է։
Գնահատե՛ք այն, ոգեշնչե՛ք դրանից։
Ինչպես ծախսես, այնպես էլ կանցնի։
Մի մոռացեք, որ նա ձեր ստեղծագործությունն է:

Թեմա՝ «Հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով»

Դասի տեսակը.համակցված.

Դասի նպատակը.սովորել ինտեգրալների միջոցով հաշվարկել հեղափոխության մարմինների ծավալները:

Առաջադրանքներ.

համախմբել կոր trapezoids մի շարքից նույնականացնելու ունակությունը երկրաչափական ձևերև վարժեցնել կորագիծ տրապիզոիդների տարածքները հաշվարկելու հմտությունը.

ծանոթանալ եռաչափ գործչի հայեցակարգին;

սովորել հաշվարկել պտտվող մարմինների ծավալները.

նպաստել տրամաբանական մտածողության, գրագետ մաթեմատիկական խոսքի զարգացմանը, գծագրերի կառուցման ժամանակ ճշգրտությանը.

զարգացնել հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ, մաթեմատիկական հասկացությունների և պատկերների հետ գործելու, վերջնական արդյունքի հասնելու կամք, անկախություն և հաստատակամություն զարգացնել:

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ.

Ողջույններ խմբից: Ուսանողներին հաղորդել դասի նպատակները:

Այսօրվա դասը կցանկանայի սկսել առակով. «Մի ժամանակ ապրում էր մի իմաստուն մարդ, ով գիտեր ամեն ինչ։ Մի մարդ ուզում էր ապացուցել, որ իմաստունն ամեն ինչ չգիտի։ Ձեռքերում թիթեռը բռնած՝ նա հարցրեց. «Ասա ինձ, իմաստուն, ո՞ր թիթեռնիկն է իմ ձեռքում՝ մեռա՞ծ, թե՞ ողջ»: Եվ նա մտածում է. «Եթե կենդանին ասի՝ ես կսպանեմ նրան, եթե մեռածն ասի՝ ես նրան կազատեմ»։ Իմաստունը մտածելուց հետո պատասխանեց. «Ամեն ինչ քո ձեռքերում է»:

Հետևաբար, եկեք այսօր բեղմնավոր աշխատենք, ձեռք բերենք գիտելիքների նոր պաշար և ձեռք բերած հմտություններն ու կարողությունները կկիրառենք ապագա կյանքում և գործնական գործունեության մեջ։ «Ամեն ինչ ձեր ձեռքերում է»։

II. Նախկինում ուսումնասիրված նյութի կրկնություն:

Հիշենք նախկինում ուսումնասիրված նյութի հիմնական կետերը. Դա անելու համար եկեք կատարենք «Վերացնել ավելորդ բառը» առաջադրանքը:

(Ուսանողները ասում են լրացուցիչ բառ):

Ճիշտ «Դիֆերենցիալ».Փորձեք մնացած բառերը անվանել մեկ ընդհանուր բառով: (Ամբողջական հաշվարկ):

Եկեք հիշենք ինտեգրալ հաշվարկի հետ կապված հիմնական փուլերն ու հասկացությունները:

Զորավարժություններ.Վերականգնել բացերը. (Աշակերտը դուրս է գալիս և մարկերով գրում է անհրաժեշտ բառերը):

Աշխատեք նոթատետրերում.

Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը ստացել են անգլիացի ֆիզիկոս Իսահակ Նյուտոնը (1643-1727) և գերմանացի փիլիսոփա Գոթֆրիդ Լայբնիցը (1646-1716): Եվ դա զարմանալի չէ, քանի որ մաթեմատիկան այն լեզուն է, որով խոսում է հենց բնությունը:

Եկեք քննարկենք, թե ինչպես է այս բանաձևը օգտագործվում գործնական խնդիրներ լուծելու համար:

Օրինակ 1: Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Լուծում:Կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները կոորդինատային հարթության վրա . Եկեք ընտրենք գործչի տարածքը, որը պետք է գտնել:

III. Նոր նյութ սովորելը.

Ուշադրություն դարձրեք էկրանին. Ի՞նչ է պատկերված առաջին նկարում: (Նկարը ցույց է տալիս հարթ գործիչ):

Ի՞նչ է պատկերված երկրորդ նկարում: Արդյո՞ք այս ցուցանիշը հարթ է: (Նկարը ցույց է տալիս եռաչափ պատկեր):

Տիեզերքում, երկրի վրա և առօրյա կյանքում մենք հանդիպում ենք ոչ միայն հարթ պատկերների, այլև եռաչափ, բայց ինչպե՞ս կարող ենք հաշվել այդպիսի մարմինների ծավալը։ Օրինակ՝ մոլորակի, գիսաստղի, երկնաքարի ծավալը և այլն։

Մարդիկ ծավալի մասին մտածում են ինչպես տներ կառուցելիս, այնպես էլ ջուրը մի նավից մյուսը լցնելիս։ Պետք է ի հայտ գան ծավալների հաշվարկման կանոններ և տեխնիկա, այլ հարց է, թե որքանով են դրանք ճշգրիտ և հիմնավորված:

Ավստրիական Լինց քաղաքի բնակիչների համար, որտեղ ապրել է հայտնի աստղագետ Յոհաննես Կեպլերը, հատկապես խաղողի համար, 1612 թվականը շատ բեղմնավոր է եղել։ Մարդիկ պատրաստում էին գինու տակառներ և ցանկանում էին իմանալ, թե ինչպես կարելի է գործնականում որոշել դրանց ծավալները։

Այսպիսով, Կեպլերի դիտարկված աշխատանքները նշանավորեցին հետազոտությունների մի ամբողջ հոսքի սկիզբը, որը գագաթնակետին հասավ 17-րդ դարի վերջին քառորդում։ դիզայն Ի. Նյուտոնի և Գ.Վ. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի Լայբնից. Այդ ժամանակվանից մաթեմատիկական գիտելիքների համակարգում առաջատար տեղ է գրավել փոփոխականների մաթեմատիկան։

Այսօր ես և դու զբաղվելու ենք նման գործնական գործունեությամբ, հետևաբար.

Մեր դասի թեման.

Դուք կսովորեք հեղափոխության մարմնի սահմանումը կատարելով հետևյալ առաջադրանքը.

«Լաբիրինթոս».

Զորավարժություններ.Գտեք ելք խառնաշփոթ իրավիճակից և գրեք սահմանումը:

IVԾավալների հաշվարկ.

Օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, դուք կարող եք հաշվարկել որոշակի մարմնի, մասնավորապես, հեղափոխության մարմնի ծավալը:

Հեղափոխության մարմինը մարմին է, որը ստացվում է կոր trapezoid-ը իր հիմքի շուրջը պտտելով (նկ. 1, 2):

Հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևերից մեկի միջոցով:

1. OX առանցքի շուրջ:

2. , եթե կոր trapezoid-ի պտույտը op-amp-ի առանցքի շուրջ:

Աշակերտները նոթատետրում գրում են հիմնական բանաձևերը:

Ուսուցիչը բացատրում է գրատախտակին դրված օրինակների լուծումները:

1. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագիծ տրապեզիի օրդինատային առանցքի շուրջ պտտվելուց. x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0:

Լուծում.

Պատասխան՝ 1163 սմ3։

2. Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է x-ի առանցքի շուրջ պարաբոլիկ տրապիզոիդը պտտելով. y =, x = 4, y = 0:

Լուծում.

Վ. Մաթեմատիկայի սիմուլյատոր.

2. Տրված ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը կոչվում է

Ա) անորոշ ինտեգրալ,

բ) գործառույթը,

Բ) տարբերակում.

7. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագծային տրապեզի աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտվելուց.

Դ/Զ. Նոր նյութի համախմբում

Հաշվե՛ք x առանցքի շուրջ ծաղկաթերթիկի պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը y = x2, y2 = x.

Եկեք կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկները։ y = x2, y2 = x. Փոխակերպենք y2 = x գրաֆիկը y = ձևի:

Մենք ունենք V = V1 - V2 Հաշվարկենք յուրաքանչյուր ֆունկցիայի ծավալը.

Եզրակացություն:

Որոշակի ինտեգրալը մաթեմատիկայի ուսումնասիրության որոշակի հիմք է, որն անփոխարինելի ներդրում ունի գործնական խնդիրների լուծման գործում։

«Ինտեգրալ» թեման հստակ ցույց է տալիս կապը մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի, կենսաբանության, տնտեսագիտության և տեխնիկայի միջև:

Ժամանակակից գիտության զարգացումն անհնար է պատկերացնել առանց ինտեգրալի օգտագործման։ Այս առումով անհրաժեշտ է սկսել այն ուսումնասիրել միջինի շրջանակներում հատուկ կրթություն!

VI. Գնահատում.(Մեկնաբանությամբ):

Մեծն Օմար Խայամ - մաթեմատիկոս, բանաստեղծ, փիլիսոփա: Նա խրախուսում է մեզ լինել մեր սեփական ճակատագրի տերը: Լսենք նրա ստեղծագործությունից մի հատված.

Ասում ես՝ այս կյանքը մի պահ է։
Գնահատե՛ք այն, ոգեշնչե՛ք դրանից։
Ինչպես ծախսես, այնպես էլ կանցնի։
Մի մոռացեք, որ նա ձեր ստեղծագործությունն է:

հարթ գործիչ առանցքի շուրջ

Օրինակ 3

Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով , , :

1) Գտեք այս տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը:

2) Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս գծերով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:

Ուշադրություն.Նույնիսկ եթե ցանկանում եք կարդալ միայն երկրորդ կետը, առաջինը Պարտադիրկարդա առաջինը!

ԼուծումԱռաջադրանքը բաղկացած է երկու մասից. Սկսենք հրապարակից։

1) Եկեք նկարենք.

Հեշտ է տեսնել, որ ֆունկցիան նշում է պարաբոլայի վերին ճյուղը, իսկ ֆունկցիան՝ պարաբոլայի ստորին ճյուղը։ Մեր առջև մի չնչին պարաբոլա է, որը «կողքի վրա է ընկած»։

Ցանկալի գործիչը, որի մակերեսը պետք է գտնել, ստվերված է կապույտով:

Ինչպե՞ս գտնել գործչի մակերեսը: Այն կարելի է գտնել «նորմալ» ձևով։ Ավելին, նկարի տարածքը հայտնաբերվում է որպես տարածքների գումար.

- հատվածի վրա ;

- հատվածի վրա.

Ահա թե ինչու:

Կա ավելի ռացիոնալ լուծում՝ այն բաղկացած է հակադարձ ֆունկցիաների անցնելուց և առանցքի երկայնքով ինտեգրվելուց։

Ինչպե՞ս հասնել հակադարձ ֆունկցիաների: Կոպիտ ասած, պետք է «x»-ը «y»-ով արտահայտել։ Նախ, եկեք նայենք պարաբոլային.

Սա բավական է, բայց եկեք համոզվենք, որ նույն գործառույթը կարող է ստացվել ստորին ճյուղից.

Ավելի հեշտ է ուղիղ գծով.

Հիմա նայեք առանցքին. խնդրում ենք պարբերաբար գլուխը թեքել աջ 90 աստիճանով, երբ բացատրում եք (սա կատակ չէ): Մեզ անհրաժեշտ գործիչը ընկած է հատվածի վրա, որը նշված է կարմիր կետավոր գծով: Այս դեպքում, հատվածի վրա ուղիղ գիծը գտնվում է պարաբոլայի վերևում, ինչը նշանակում է, որ գործչի տարածքը պետք է գտնել՝ օգտագործելով ձեզ արդեն ծանոթ բանաձևը. . Ի՞նչ է փոխվել բանաձևում. Ընդամենը նամակ և ոչ ավելին:

! Նշում Առանցքների ինտեգրման սահմաններ պետք է տեղադրվիխստորեն ներքեւից վերեւ !

Տարածքը գտնելը.

Հետևաբար հատվածի վրա.

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես իրականացրել ինտեգրումը, սա ամենառացիոնալ ճանապարհն է, և առաջադրանքի հաջորդ պարբերությունում պարզ կլինի, թե ինչու։

Ընթերցողների համար, ովքեր կասկածում են ինտեգրման ճիշտությանը, ես կգտնեմ ածանցյալներ.

Ստացվում է ինտեգրման սկզբնական ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրումը ճիշտ է կատարվել:

Պատասխանել:

2) Հաշվենք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է այս գործչի առանցքի շուրջ պտտվելուց:

Ես կնկարեմ նկարը մի փոքր այլ ձևով.

Այսպիսով, կապույտով ստվերված գործիչը պտտվում է առանցքի շուրջը: Արդյունքում ստացվում է «սավառնող թիթեռ», որը պտտվում է իր առանցքի շուրջ։

Պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք ինտեգրվելու ենք առանցքի երկայնքով: Նախ պետք է անցնենք հակադարձ ֆունկցիաներին: Սա արդեն արվել և մանրամասն նկարագրվել է նախորդ պարբերությունում:

Այժմ մենք նորից գլուխը թեքում ենք դեպի աջ և ուսումնասիրում մեր կազմվածքը։ Ակնհայտ է, որ պտտվող մարմնի ծավալը պետք է գտնել որպես ծավալների տարբերություն:

Մենք պտտում ենք առանցքի շուրջ կարմիրով պտտվող գործիչը, որի արդյունքում ստացվում է կտրված կոն: Այս ծավալը նշանակենք .

Մենք պտտում ենք կանաչ գույնով պտտվող պատկերը առանցքի շուրջ և այն նշում ենք ստացված պտտման մարմնի ծավալով։

Մեր թիթեռի ծավալը հավասար է ծավալների տարբերությանը։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ո՞րն է տարբերությունը նախորդ պարբերության բանաձևից: Միայն նամակում.

Բայց ինտեգրման առավելությունը, որի մասին ես վերջերս խոսեցի, շատ ավելի հեշտ է գտնել , այլ ոչ թե նախ ինտեգրանդը բարձրացնել 4-րդ իշխանության։

Պատասխանել:

Նկատի ունեցեք, որ եթե նույն հարթ պատկերը պտտվի առանցքի շուրջը, բնականաբար, դուք կստանաք պտտման լրիվ այլ մարմին՝ այլ ծավալով։

Օրինակ 7

Հաշվե՛ք կորերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտտվելուց առաջացած մարմնի ծավալը և .

Լուծում: Եկեք նկարենք.

Ճանապարհին մենք ծանոթանում ենք մի քանի այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներին։ Սա հետաքրքիր գրաֆիկ է նույնիսկ գործառույթ ….

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար բավական է օգտագործել նկարի աջ կեսը, որը ես ստվերել եմ կապույտով։ Երկու ֆունկցիաներն էլ զույգ են, դրանց գրաֆիկները սիմետրիկ են առանցքի նկատմամբ, իսկ մեր պատկերը սիմետրիկ է։ Այսպես ստվերված աջ մաս, առանցքի շուրջը պտտվելով, անշուշտ կհամընկնի ձախ չբացված մասի հետ։

Ինչպե՞ս հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը որոշակի ինտեգրալով:

Բացի այդ պարզ ինտեգրալ օգտագործելով հարթ գործչի մակերեսը գտնելը թեմայի ամենակարևոր կիրառությունն է պտտվող մարմնի ծավալի հաշվարկ. Նյութը պարզ է, բայց ընթերցողը պետք է պատրաստ լինի՝ պետք է կարողանաս լուծել անորոշ ինտեգրալներ միջին բարդության և կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը որոշակի ինտեգրալ . Ինչպես տարածքը գտնելու խնդրի դեպքում, ձեզ անհրաժեշտ են նկարելու վստահ հմտություններ. սա գրեթե ամենակարևորն է (քանի որ ինքնին ինտեգրալները հաճախ հեշտ կլինեն): Մեթոդական նյութի օգնությամբ դուք կարող եք տիրապետել գրագետ և արագ գծագրման տեխնիկայի . Բայց, փաստորեն, ես արդեն մի քանի անգամ դասարանում խոսել եմ նկարների կարևորության մասին։ .

Ընդհանուր առմամբ, ինտեգրալ հաշվարկում շատ հետաքրքիր կիրառումներ կան, որոշակի ինտեգրալ օգտագործելով՝ կարող եք հաշվարկել գործչի մակերեսը, պտտման մարմնի ծավալը, աղեղի երկարությունը, մակերեսի մակերեսը։ մարմին և շատ ավելին: Այնպես որ, զվարճալի կլինի, խնդրում եմ լավատես եղեք:

Պատկերացրեք մի հարթ պատկեր կոորդինատային հարթության վրա: Ներկայացրե՞լ է: ... Հետաքրքիր է, թե ով ինչ է ներկայացրել... =))) Մենք արդեն գտել ենք դրա տարածքը։ Բայց, ի լրումն, այս ցուցանիշը կարող է նաև պտտվել և պտտվել երկու եղանակով.

– x առանցքի շուրջ; - օրդինատների առանցքի շուրջ:

Այս հոդվածը կքննարկի երկու դեպքերը: Հատկապես հետաքրքիր է պտտման երկրորդ մեթոդը, որն ամենաշատ դժվարություններն է առաջացնում, բայց իրականում լուծումը գրեթե նույնն է, ինչ x-առանցքի շուրջ ավելի տարածված պտույտում։ Որպես բոնուս, ես կվերադառնամ գործչի մակերեսը գտնելու խնդիր , և ես ձեզ կասեմ, թե ինչպես գտնել տարածքը երկրորդ եղանակով ՝ առանցքի երկայնքով: Դա այնքան էլ բոնուս չէ, քանի որ նյութը լավ տեղավորվում է թեմայի մեջ:

Սկսենք ռոտացիայի ամենատարածված տեսակից:

Օրինակ 1

Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է առանցքի շուրջ գծերով սահմանափակված պատկերը պտտելով:

Լուծում:Ինչ վերաբերում է տարածքը գտնելու խնդրին. լուծումը սկսվում է հարթ գործչի գծագրով. Այսինքն, հարթության վրա անհրաժեշտ է կառուցել գծերով սահմանափակված գործիչ և մի մոռացեք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը: Ինչպես ավելի արդյունավետ և արագ ավարտել գծագիրը, կարելի է գտնել էջերում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները Եվ Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը . Սա չինական հիշեցում է, և այս պահին ես ավելին չեմ անդրադառնա:

Նկարչությունն այստեղ բավականին պարզ է.

Ցանկալի հարթ գործիչը ստվերված է կապույտով, այն է, որ պտտվում է առանցքի շուրջը: Պտտման արդյունքում ստացվում է մի փոքր ձվաձեւ թռչող ափսե, որը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ։ Իրականում մարմինը մաթեմատիկական անուն ունի, բայց ես շատ ծույլ եմ տեղեկատու գրքում նայելու համար, ուստի մենք առաջ ենք շարժվում:

Ինչպե՞ս հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը:

Հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Բանաձևում թիվը պետք է լինի ինտեգրալից առաջ: Այդպես էլ եղավ՝ այն ամենը, ինչ պտտվում է կյանքում, կապված է այս հաստատունի հետ։

Կարծում եմ, հեշտ է կռահել, թե ինչպես կարելի է լրացված գծագրից սահմանել «a» և «be» ինտեգրման սահմանները:

Ֆունկցիա... ինչ է սա ֆունկցիան: Եկեք նայենք գծագրությանը: Հարթ պատկերը սահմանափակված է վերևում գտնվող պարաբոլային գրաֆիկով: Սա այն գործառույթն է, որը ենթադրվում է բանաձևում:

Գործնական առաջադրանքներում հարթ գործիչը երբեմն կարող է տեղակայվել առանցքի տակ: Սա ոչինչ չի փոխում. բանաձևի ֆունկցիան քառակուսի է․ այսպիսով Հեղափոխության մարմնի ծավալը միշտ ոչ բացասական է, ինչը շատ տրամաբանական է։

Եկեք հաշվարկենք պտտման մարմնի ծավալը՝ օգտագործելով այս բանաձևը.

Ինչպես արդեն նշեցի, ինտեգրալը գրեթե միշտ պարզ է դառնում, գլխավորը զգույշ լինելն է։

Պատասխան.

Ձեր պատասխանում դուք պետք է նշեք չափը՝ խորանարդ միավոր: Այսինքն՝ մեր պտտման մարմնում կա մոտավորապես 3,35 «խորանարդ»։ Ինչու խորանարդ միավորներ? Որովհետև ամենահամընդհանուր ձևակերպումը. Կարող է լինել խորանարդ սանտիմետր, կարող է լինել խորանարդ մետր, կարող է լինել խորանարդ կիլոմետր և այլն, ահա թե որքան կանաչ տղամարդու կարող է ձեր երևակայությունը տեղադրել թռչող ափսեի մեջ:

Օրինակ 2

Գտե՛ք գծերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը,

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Դիտարկենք երկու ավելի բարդ խնդիր, որոնք նույնպես հաճախ են հանդիպում գործնականում։

Օրինակ 3

Հաշվեք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է պտտվելով պատկերի աբսցիսային առանցքի շուրջը, որը սահմանափակված է գծերով, և

Լուծում:Եկեք գծագրում պատկերենք ,,, գծերով սահմանափակված հարթ գործիչ՝ չմոռանալով, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը.

Ցանկալի գործիչը ստվերված է կապույտով: Երբ այն պտտվում է իր առանցքի շուրջ, պարզվում է, որ չորս անկյուններով սյուրռեալիստական ​​բլիթ է:

Եկեք հաշվարկենք պտտման մարմնի ծավալը որպես մարմինների ծավալների տարբերությունը.

Նախ, եկեք նայենք կարմիրով շրջապատված գործչին: Երբ այն պտտվում է առանցքի շուրջ, ստացվում է կտրված կոն։ Նշենք այս կտրված կոնի ծավալը ըստ.

Դիտարկենք այն պատկերը, որը շրջապատված է կանաչով: Եթե ​​այս ցուցանիշը պտտեք առանցքի շուրջը, ապա կստանաք նաև կտրված կոն, միայն մի փոքր ավելի փոքր: Նշենք դրա ծավալը ըստ.

Եվ, ակնհայտորեն, ծավալների տարբերությունը հենց մեր «պոնչիկի» ծավալն է։

Պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ստանդարտ բանաձևը.

1) Կարմիրով շրջապատված պատկերը վերևում սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

2) Կանաչով շրջապատված պատկերը վերևում սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.

3) հեղափոխության ցանկալի մարմնի ծավալը.

Պատասխան.

Հետաքրքիր է, որ այս դեպքում լուծումը կարելի է ստուգել՝ օգտագործելով դպրոցական բանաձևը՝ կտրված կոնի ծավալը հաշվարկելու համար:

Որոշումն ինքնին հաճախ ավելի կարճ է գրվում, այսպես.

Հիմա եկեք մի փոքր հանգստանանք և պատմենք ձեզ երկրաչափական պատրանքների մասին:

Մարդիկ հաճախ պատրանքներ են ունենում՝ կապված հատորների հետ, որոնք գրքում նկատել է Պերելմանը (ոչ այն): Զվարճալի երկրաչափություն. Նայեք լուծված խնդրի հարթ թվին. այն կարծես թե փոքր է տարածքով, և հեղափոխության մարմնի ծավալը 50 խորանարդ միավորից մի փոքր ավելի է, ինչը չափազանց մեծ է թվում: Ի դեպ, միջին վիճակագրական մարդն իր ողջ կյանքում խմում է 18 քմ մակերեսով սենյակին համարժեք հեղուկ, որը, ընդհակառակը, չափազանց փոքր ծավալ է թվում։

Ընդհանուր առմամբ, ԽՍՀՄ-ում կրթական համակարգն իսկապես լավագույնն էր։ Պերելմանի նույն գիրքը, որը գրվել է նրա կողմից դեռևս 1950 թվականին, շատ լավ զարգացնում է, ինչպես հումորիստն ասաց, մտածողությունը և սովորեցնում է փնտրել խնդիրների օրիգինալ, ոչ ստանդարտ լուծումներ։ Վերջերս մեծ հետաքրքրությամբ վերընթերցեցի որոշ գլուխներ, խորհուրդ եմ տալիս, այն հասանելի է նույնիսկ հումանիստների համար: Ոչ, պետք չէ ժպտալ, որ ես ազատ ժամանակ եմ առաջարկել, էրուդիցիան և հաղորդակցության լայն հորիզոնները հիանալի բան են:

Քնարական շեղումից հետո պարզապես տեղին է ստեղծագործական առաջադրանք լուծել.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված հարթ պատկերի առանցքի շուրջ պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը, որտեղ.

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բենդում ամեն ինչ տեղի է ունենում, այլ կերպ ասած՝ տրված են ինտեգրման գործնականում պատրաստի սահմաններ։ Փորձեք նաև ճիշտ գծել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները, եթե արգումենտը բաժանված է երկուսի, ապա գրաֆիկները երկու անգամ ձգվում են առանցքի երկայնքով: Փորձեք գտնել առնվազն 3-4 միավոր ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակների և ավելի ճշգրիտ լրացրեք նկարը: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։ Ի դեպ, խնդիրը կարելի է լուծել ռացիոնալ և ոչ շատ ռացիոնալ։

Առանցքի շուրջ հարթ պատկերը պտտելուց առաջացած մարմնի ծավալի հաշվարկը

Երկրորդ պարբերությունը նույնիսկ ավելի հետաքրքիր կլինի, քան առաջինը: Օրդինատների առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը հաշվարկելու խնդիրը նույնպես բավականին սովորական հյուր է թեստային աշխատանքում: Ճանապարհին այն կդիտարկվի գործչի մակերեսը գտնելու խնդիր երկրորդ մեթոդը առանցքի երկայնքով ինտեգրումն է, դա թույլ կտա ոչ միայն բարելավել ձեր հմտությունները, այլև կսովորեցնի գտնել լուծման առավել շահավետ ճանապարհը: Սրա մեջ նաև գործնական կյանքի իմաստ կա։ Ինչպես ժպիտով հիշում էր մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդների իմ ուսուցչուհին, շատ շրջանավարտներ շնորհակալություն հայտնեցին նրան հետևյալ խոսքերով. Օգտվելով առիթից՝ ես նաև իմ մեծ երախտագիտությունն եմ հայտնում նրան, մանավանդ որ ձեռք բերած գիտելիքներն օգտագործում եմ իր նպատակային նպատակի համար =):

Օրինակ 5

Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով ,,.

1) Գտեք այս տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը: 2) Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս գծերով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:

Ուշադրություն.Նույնիսկ եթե ցանկանում եք կարդալ միայն երկրորդ կետը, առաջինը Պարտադիրկարդա առաջինը!

Լուծում:Առաջադրանքը բաղկացած է երկու մասից. Սկսենք հրապարակից։

1) Եկեք նկարենք.

Հեշտ է տեսնել, որ ֆունկցիան նշում է պարաբոլայի վերին ճյուղը, իսկ ֆունկցիան՝ պարաբոլայի ստորին ճյուղը։ Մեր առջև մի չնչին պարաբոլա է, որը «կողքի վրա է ընկած»։

Ցանկալի գործիչը, որի մակերեսը պետք է գտնել, ստվերված է կապույտով:

Ինչպե՞ս գտնել գործչի մակերեսը: Այն կարելի է գտնել «սովորական» ձևով, որը քննարկվել է դասարանում Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը . Ավելին, նկարի մակերեսը հայտնաբերվում է որպես տարածքների գումար՝ – հատվածի վրա ; - հատվածի վրա.

Ահա թե ինչու:

Ինչու է այս դեպքում սովորական լուծումը վատ: Նախ, մենք ստացանք երկու ինտեգրալ. Երկրորդ, ինտեգրալները արմատներ են, իսկ ինտեգրալների արմատները նվեր չեն, և բացի այդ, կարելի է շփոթվել ինտեգրման սահմանները փոխարինելիս։ Իրականում, ինտեգրալները, իհարկե, սպանիչ չեն, բայց գործնականում ամեն ինչ կարող է շատ ավելի տխուր լինել, ես պարզապես ընտրեցի «ավելի լավ» գործառույթներ խնդրի համար:

Կա ավելի ռացիոնալ լուծում՝ այն բաղկացած է հակադարձ ֆունկցիաների անցնելուց և առանցքի երկայնքով ինտեգրվելուց։

Ինչպե՞ս հասնել հակադարձ ֆունկցիաների: Կոպիտ ասած, պետք է «x»-ը «y»-ով արտահայտել։ Նախ, եկեք նայենք պարաբոլային.

Սա բավական է, բայց եկեք համոզվենք, որ նույն գործառույթը կարող է ստացվել ստորին ճյուղից.

Ավելի հեշտ է ուղիղ գծով.

Հիմա նայեք առանցքին. խնդրում ենք պարբերաբար գլուխը թեքել աջ 90 աստիճանով, երբ բացատրում եք (սա կատակ չէ): Մեզ անհրաժեշտ գործիչը ընկած է հատվածի վրա, որը նշված է կարմիր կետավոր գծով: Ավելին, հատվածի վրա ուղիղ գիծը գտնվում է պարաբոլայի վերևում, ինչը նշանակում է, որ գործչի տարածքը պետք է գտնել՝ օգտագործելով ձեզ արդեն ծանոթ բանաձևը. . Ի՞նչ է փոխվել բանաձևում. Ընդամենը նամակ և ոչ ավելին:

! Նշում. պետք է սահմանվեն առանցքի երկայնքով ինտեգրման սահմաններըխստորեն ներքեւից վերեւ !

Տարածքը գտնելը.

Հետևաբար հատվածի վրա.

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես իրականացրել ինտեգրումը, սա ամենառացիոնալ ճանապարհն է, և առաջադրանքի հաջորդ պարբերությունում պարզ կլինի, թե ինչու։

Ընթերցողների համար, ովքեր կասկածում են ինտեգրման ճիշտությանը, ես կգտնեմ ածանցյալներ.

Ստացվում է ինտեգրման սկզբնական ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրումը ճիշտ է կատարվել:

Պատասխան.

2) Հաշվենք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է այս գործչի առանցքի շուրջ պտտվելուց:

Ես կնկարեմ նկարը մի փոքր այլ ձևով.

Այսպիսով, կապույտով ստվերված գործիչը պտտվում է առանցքի շուրջը: Արդյունքում ստացվում է «սավառնող թիթեռ», որը պտտվում է իր առանցքի շուրջ։

Պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք ինտեգրվելու ենք առանցքի երկայնքով: Նախ պետք է անցնենք հակադարձ ֆունկցիաներին: Սա արդեն արվել և մանրամասն նկարագրվել է նախորդ պարբերությունում:

Այժմ մենք նորից գլուխը թեքում ենք դեպի աջ և ուսումնասիրում մեր կազմվածքը։ Ակնհայտ է, որ պտտվող մարմնի ծավալը պետք է գտնել որպես ծավալների տարբերություն:

Մենք պտտում ենք առանցքի շուրջ կարմիրով պտտվող գործիչը, որի արդյունքում ստացվում է կտրված կոն: Այս հատորը նշենք ըստ.

Մենք պտտում ենք կանաչ գույնով պտտվող պատկերը առանցքի շուրջը և նշանակում ստացված հեղափոխության մարմնի ծավալով։

Մեր թիթեռի ծավալը հավասար է ծավալների տարբերությանը։

Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Ո՞րն է տարբերությունը նախորդ պարբերության բանաձևից: Միայն նամակում.

Բայց ինտեգրման առավելությունը, որի մասին ես վերջերս խոսեցի, շատ ավելի հեշտ է գտնել , այլ ոչ թե նախ ինտեգրանդը բարձրացնել 4-րդ իշխանության։