Նախ, եկեք մի փոքր խոսենք խնդրի հայտարարության մասին ընդհանուր տեսարան, իսկ հետո անցնել փոխարինման միջոցով ինտեգրման օրինակներին։ Ենթադրենք, մենք ունենք որոշակի ինտեգրալ $\int g(x) \; dx$. Այնուամենայնիվ, ինտեգրալների աղյուսակը չի պարունակում պահանջվող բանաձևը, և ​​հնարավոր չէ տրված ինտեգրալը բաժանել մի քանի աղյուսակայինի (այսինքն՝ ուղղակի ինտեգրումը վերացված է): Այնուամենայնիվ, խնդիրը կլուծվի, եթե մեզ հաջողվի գտնել որոշակի փոխարինում $u=\varphi(x)$, որը կնվազեցնի մեր $\int g(x) \; dx$ որոշ աղյուսակի ինտեգրալ $\int f(u) \; du=F(u)+C$. $\int f(u)\ բանաձեւը կիրառելուց հետո; du=F(u)+C$ մեզ մնում է միայն վերադարձնել $x$ փոփոխականը: Ֆորմալ կերպով սա կարելի է գրել այսպես.

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Խնդիրն այն է, թե ինչպես ընտրել $u$ նման փոխարինումը: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր կլինի նախ գիտելիքներ ածանցյալների աղյուսակի և բարդ ֆունկցիաները տարբերելու համար օգտագործելու կարողության մասին, և երկրորդ՝ անորոշ ինտեգրալների աղյուսակի: Բացի այդ, մեզ խիստ անհրաժեշտ կլինի մի բանաձև, որը կգրեմ ստորև։ Եթե ​​$y=f(x)$, ապա.

\սկիզբ(հավասարում)dy=y"dx\վերջ(հավասարում)

Նրանք. որոշ ֆունկցիայի դիֆերենցիալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալին` բազմապատկված անկախ փոփոխականի դիֆերենցիալով: Այս կանոնը շատ կարևոր է, և հենց այս կանոնը թույլ կտա օգտագործել փոխարինման մեթոդը։ Այստեղ մենք կնշենք մի քանի հատուկ դեպք, որոնք ստացվել են բանաձևից (1): Թող $y=x+C$, որտեղ $C$-ը որոշակի հաստատուն է (թիվ, պարզ ասած): Այնուհետև $x+C$ արտահայտությունը փոխարինելով (1) բանաձևով՝ $y$-ի փոխարեն, մենք ստանում ենք հետևյալը.

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

Քանի որ $(x+C)"=x"+C"=1+0=1$, վերը նշված բանաձեւը կդառնա.

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Ստացված արդյունքը գրենք առանձին, այսինքն.

\սկիզբ(հավասարում)dx=d(x+C)\վերջ(հավասարում)

Ստացված բանաձևը նշանակում է, որ դիֆերենցիալի տակ հաստատուն ավելացնելը չի ​​փոխում այս դիֆերենցիալը, այսինքն. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ և այլն:

Եկեք նայենք ևս մեկին հատուկ դեպքբանաձևի համար (1): Թող $y=Cx$, որտեղ $C$-ը, դարձյալ, ինչ-որ հաստատուն է: Եկեք գտնենք այս ֆունկցիայի դիֆերենցիալը` փոխարինելով $Cx$ արտահայտությունը $y$-ի փոխարեն (1):

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

Քանի որ $(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$, ապա վերը նշված $d(Cx)=(Cx)"dx$ բանաձևը կդառնա՝ $d(Cx)=Cdx $: Եթե ​​այս բանաձևի երկու կողմերը բաժանենք $C$-ով (ենթադրելով $C\neq 0$), ապա կստանանք $\frac(d(Cx))(C)=dx$: Այս արդյունքը կարող է վերագրվել մի փոքր այլ տարբերակով: ձևը:

\սկիզբ(հավասարում)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\վերջ (հավասարում)

Ստացված բանաձևը ենթադրում է, որ դիֆերենցիալի տակ արտահայտությունը որևէ ոչ զրոյական հաստատունով բազմապատկելու համար պահանջվում է համապատասխան բազմապատկիչի ներդրում, որը փոխհատուցում է նման բազմապատկումը: Օրինակ՝ $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$։

Թիվ 1 և թիվ 2 օրինակներում (2) և (3) բանաձևերը մանրամասն կքննարկվեն:

Նշում բանաձևերի մասին

Այս թեմայում կօգտագործվեն և՛ 1-3, և՛ անորոշ ինտեգրալների աղյուսակի բանաձևերը, որոնք նույնպես ունեն իրենց թվերը։ Շփոթմունքից խուսափելու համար եկեք պայմանավորվենք հետևյալի շուրջ. եթե թեմայում հայտնվում է «օգտագործիր թիվ 1 բանաձևը» տեքստը, ապա այն բառացիորեն նշանակում է հետևյալը. գտնվում է այս էջումԵթե ​​մեզ անհրաժեշտ է բանաձև ինտեգրալների աղյուսակից, ապա մենք ամեն անգամ դա կնշենք առանձին: Օրինակ, այսպես. «Մենք օգտագործում ենք թիվ 1 բանաձևը ինտեգրալների աղյուսակից»:

Եվ ևս մեկ փոքրիկ նշում

Նախքան օրինակների հետ աշխատելը, խորհուրդ է տրվում ծանոթանալ նախորդ թեմաներում ներկայացված նյութին, որը նվիրված է անորոշ ինտեգրալի և. Այս թեմայում նյութի ներկայացումը հիմնված է նշված թեմաներում ներկայացված տեղեկատվության վրա։

Օրինակ թիվ 1

Գտեք $\int \frac(dx)(x+4)$:

Եթե ​​դիմենք -ին, մենք չենք կարող գտնել բանաձև, որը ճշգրտորեն համապատասխանում է $\int \frac(dx)(x+4)$ ինտեգրալին: Ինտեգրալների աղյուսակի թիվ 2 բանաձևը ամենամոտն է այս ինտեգրալին, այսինքն. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Խնդիրը հետևյալն է. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ բանաձևը ենթադրում է, որ $\int \frac(du)(u)$ ինտեգրալում արտահայտությունները հայտարարում և դիֆերենցիալի տակ պետք է լինի նույնը (երկուսն էլ ունեն նույն $u$ տառը): Մեր դեպքում $\int \frac(dx)(x+4)$-ում $x$ տառը գտնվում է դիֆերենցիալի տակ, իսկ $x+4$ արտահայտությունը՝ հայտարարի մեջ, այսինքն. Ակնհայտ անհամապատասխանություն կա աղյուսակային բանաձևի հետ. Փորձենք մեր ինտեգրալը «տեղավորել» աղյուսակայինին։ Ի՞նչ տեղի կունենա, եթե $x$-ի փոխարեն դիֆերենցիալը փոխարինենք $x+4$-ով: Այս հարցին պատասխանելու համար օգտագործենք՝ փոխարինելով $x+4$ արտահայտությունը՝ $y$-ի փոխարեն:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

Քանի որ $(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$, ապա $d(x+4)=(x+4)"dx $ հավասարությունը դառնում է.

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Այսպիսով, $dx=d(x+4)$: Անկեղծ ասած, նույն արդյունքը կարելի էր ստանալ՝ պարզապես $4$ թիվը $C$ հաստատունի փոխարեն փոխարինելով։ Հետագայում մենք դա կանենք, բայց առաջին անգամ մանրամասն ուսումնասիրեցինք $dx=d(x+4)$ հավասարության ստացման կարգը։ Բայց ի՞նչ է մեզ տալիս $dx=d(x+4)$ հավասարությունը։

Եվ դա մեզ տալիս է հետևյալ եզրակացությունը. եթե $dx=d(x+4)$, ապա $\int \frac(dx)(x+4)$ ինտեգրալում $dx$-ի փոխարեն մենք կարող ենք փոխարինել $d(x): +4)$, և արդյունքում ինտեգրալը չի ​​փոխվի.

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Մենք այս փոխակերպումն արեցինք միայն այնպես, որ ստացված ինտեգրալը լիովին համապատասխանի $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ աղյուսակային բանաձևին։ Այս համապատասխանությունը լիովին պարզ դարձնելու համար $x+4$ արտահայտությունը փոխարինենք $u$ տառով (այսինքն՝ փոխարինում$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

Փաստորեն, խնդիրն արդեն լուծված է։ Մնում է միայն վերադարձնել $x$ փոփոխականը: Հիշելով, որ $u=x+4$, մենք ստանում ենք՝ $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$: Ամբողջական լուծումառանց բացատրության այն կարծես հետևյալն է.

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Պատասխանել$\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$:

Օրինակ թիվ 2

Գտեք $\int e^(3x) dx$:

Եթե ​​դիմենք անորոշ ինտեգրալների աղյուսակին, ապա չենք կարող գտնել մի բանաձև, որը ճշգրտորեն համապատասխանում է $\int e^(3x) dx$ ինտեգրալին։ Ինտեգրալների աղյուսակից թիվ 4 բանաձևը ամենամոտն է այս ինտեգրալին, այսինքն. $\int e^u du=e^u+C$. Խնդիրը հետևյալն է. $\int e^u du=e^u+C$ բանաձևը ենթադրում է, որ $\int e^u du$ ինտեգրալում $e$-ի հզորության և դիֆերենցիալի տակ արտահայտությունները պետք է լինեն. նույնը (երկուսն էլ կա մեկ տառ $u$): Մեր դեպքում $\int e^(3x) dx$-ում դիֆերենցիալի տակ $x$ տառն է, իսկ $e$-ի հզորության մեջ $3x$ արտահայտությունը, այսինքն. Ակնհայտ անհամապատասխանություն կա աղյուսակային բանաձևի հետ. Փորձենք մեր ինտեգրալը «տեղավորել» աղյուսակայինին։ Ի՞նչ տեղի կունենա, եթե $3x$-ին փոխարինեք դիֆերենցիալը $x$-ի փոխարեն: Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք օգտագործենք՝ փոխարինելով $3x$ արտահայտությունը՝ $y$-ի փոխարեն:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

Քանի որ $(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$, ապա $d(3x)=(3x)"dx$ հավասարությունը դառնում է.

$$ d(3x)=3dx $$

Ստացված հավասարության երկու կողմերը բաժանելով $3$-ի, կունենանք՝ $\frac(d(3x))(3)=dx$, այսինքն. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$: Փաստորեն, $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ հավասարությունը կարելի է ստանալ $3$ թիվը $C$ հաստատունի փոխարեն պարզապես փոխարինելով։ Հետագայում մենք դա կանենք, բայց առաջին անգամ մանրամասն ուսումնասիրեցինք $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ հավասարության ստացման կարգը։

Ի՞նչ տվեց մեզ ստացված $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ հավասարությունը: Դա նշանակում է, որ $dx$-ի փոխարեն $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$-ը կարող է փոխարինվել $\int e^(3x) dx$ ինտեգրալով, և ինտեգրալը չի ​​փոխվի.

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Եկեք ինտեգրալ նշանից հանենք $\frac(1)(3)$ հաստատունը և $3x$ արտահայտությունը փոխարինենք $u$ տառով (այսինքն՝ մենք կազմում ենք. փոխարինում$u=3x$), որից հետո կիրառում ենք $\int e^u du=e^u+C$ աղյուսակային բանաձևը:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Ինչպես նախորդ օրինակում, մենք պետք է վերադարձնենք սկզբնական $x$ փոփոխականը: Քանի որ $u=3x$, ապա $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$։ Ամբողջական լուծումն առանց մեկնաբանությունների ունի հետևյալ տեսքը.

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Պատասխանել$ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$:

Օրինակ թիվ 3

Գտեք $\int (3x+2)^2 dx$:

Այս ինտեգրալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք երկու մեթոդ. Առաջին ճանապարհը փակագծերը բացելն ու ուղղակիորեն ինտեգրվելն է։ Երկրորդ մեթոդը փոխարինման մեթոդի օգտագործումն է:

Առաջին ճանապարհը

Քանի որ $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$, ապա $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$։ $\int (9x^2+12x+4)dx$ ինտեգրալը ներկայացնելով երեք ինտեգրալների գումարով և համապատասխան ինտեգրալների նշաններից հանելով հաստատունները՝ ստանում ենք.

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

$\int x^2 dx$ գտնելու համար մենք փոխարինում ենք $u=x$ և $\alpha=2$ ինտեգրալների աղյուսակի թիվ 1 բանաձևում՝ $\int x^2 dx=\frac(x^(2 +1))(2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$: Նմանապես, $u=x$-ը և $\alpha=1$-ը փոխարինելով աղյուսակից նույն բանաձևով՝ կունենանք՝ $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1): )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. Քանի որ $\int 1 dx=x+C$, ուրեմն.

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Երկրորդ ճանապարհ

Փակագծերը չենք բացի. Փորձենք $3x+2$ արտահայտությունը $x$-ի փոխարեն երևալ դիֆերենցիալի տակ։ Սա թույլ կտա մուտքագրել նոր փոփոխական և կիրառել աղյուսակի բանաձևը: Մեզ անհրաժեշտ է $3$ գործակիցը, որպեսզի հայտնվի դիֆերենցիալի տակ, այնպես որ, փոխարինելով $C=3$ արժեքով, մենք ստանում ենք $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$: Բացի այդ, դիֆերենցիալի տակ բացակայում է $2$ տերմինը: Ըստ դիֆերենցիալ նշանի տակ հաստատունի ավելացման՝ այս դիֆերենցիալը չի ​​փոխվում, այսինքն. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$: $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ և $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2) պայմաններից ) $ ունենք՝ $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$։

Նշեմ, որ $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ հավասարությունը կարելի է ստանալ նաև այլ կերպ.

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2): $$

Մենք օգտագործում ենք ստացված $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ հավասարությունը՝ $\frac(1)(3)d(3x) արտահայտությունը փոխարինելով $\int (3x+2) ինտեգրալով։ )^2 dx$ +2)$ $dx$-ի փոխարեն։ Որպես ստացված ինտեգրալի նշան՝ հանենք $\frac(1)(3)$ հաստատունը.

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Հետագա լուծումը $u=3x+2$ փոխարինումն է և ինտեգրալների աղյուսակից թիվ 1 բանաձևի կիրառումը.

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

Վերադարձնելով $3x+2$ արտահայտությունը $u$-ի փոխարեն՝ ստանում ենք.

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Ամբողջական լուծումն առանց բացատրության հետևյալն է.

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Ես կանխատեսում եմ մի քանի հարց, ուստի կփորձեմ դրանք ձևակերպել և տալ պատասխաններ։

Հարց թիվ 1

Ինչ-որ բան այստեղ չի գումարվում: Երբ մենք լուծեցինք առաջին ձևով, ստացանք $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$: Երկրորդ ճանապարհը լուծելիս պատասխանը դարձել է՝ $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$։ Սակայն երկրորդ պատասխանից առաջինին անցնել հնարավոր չէ։ Եթե ​​բացենք փակագծերը, կստանանք հետևյալը.

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ Գ. $$

Պատասխանները չեն համընկնում: Որտեղի՞ց է առաջացել $\frac(8)(9)$ հավելյալ կոտորակը:

Այս հարցը հուշում է, որ պետք է անդրադառնալ նախորդ թեմաներին։ Կարդացեք անորոշ ինտեգրալ հասկացության մասին թեման (ուշադրություն դարձնելով Հատուկ ուշադրությունէջի վերջում թիվ 2 հարց) և ուղղակի ինտեգրում (արժե ուշադրություն դարձնել թիվ 4 հարցին)։ Այս թեմաները մանրամասնորեն անդրադառնում են այս խնդրին: Կարճ ասած, $C$ ինտեգրալ հաստատունը կարող է ներկայացված լինել տարբեր ձևեր. Օրինակ, մեր դեպքում, վերաձեւակերպելով $C_1=C+\frac(8)(9)$, մենք ստանում ենք.

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1: $$

Հետևաբար, հակասություն չկա, պատասխանը կարելի է գրել կամ $3x^3+6x^2+4x+C$ ձևով, կամ $\frac((3x+2)^3)(9)+ ձևով։ C$.

Հարց թիվ 2

Ինչու՞ պետք էր երկրորդ ճանապարհով որոշել։ Սա անհարկի բարդություն է։ Ինչու՞ օգտագործել մի շարք անհարկի բանաձևեր՝ առաջին մեթոդով մի քանի քայլով ստացված պատասխանը գտնելու համար: Ընդամենը պետք էր բացել փակագծերը՝ օգտագործելով դպրոցի բանաձեւը։

Դե, նախ, սա այնքան էլ բարդություն չէ։ Երբ հասկանաք փոխարինման մեթոդը, կսկսեք նմանատիպ օրինակներ լուծել մեկ տողով՝ $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$: Այնուամենայնիվ, եկեք այս օրինակին այլ կերպ նայենք: Պատկերացրեք, որ դուք պետք է հաշվարկեք ոչ թե $\int (3x+2)^2 dx$, այլ $\int (3x+2)^(200) dx$: Երկրորդ ճանապարհով լուծելիս պետք է միայն մի փոքր կարգավորել աստիճանները, և պատասխանը պատրաստ կլինի.

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Հիմա պատկերացրեք, որ նույն $\int (3x+2)^(200) dx$ ինտեգրալը պետք է ընդունվի առաջին ձևով։ Նախ, դուք պետք է բացեք $(3x+2)^(200)$ փակագիծը, դրանով իսկ ստանալով երկու հարյուր և մեկ անդամ: Եվ հետո յուրաքանչյուր տերմին նույնպես պետք է ինտեգրվի: Հետևաբար, այստեղ եզրակացությունը հետևյալն է. խոշոր տերությունների համար ուղղակի ինտեգրման մեթոդը հարմար չէ։ Երկրորդ մեթոդը, չնայած իր ակնհայտ բարդությանը, ավելի գործնական է:

Օրինակ թիվ 4

Գտեք $\int \sin2x dx$:

Այս օրինակը մենք կլուծենք երեք տարբեր ձևերով.

Առաջին ճանապարհը

Դիտարկենք ինտեգրալների աղյուսակը։ Այս աղյուսակից թիվ 5 բանաձևը ամենամոտն է մեր օրինակին, այսինքն. $\int \sin u du=-\cos u+C$. $\int \sin2x dx$ ինտեգրալը $\int \sin u du$ ձևի մեջ տեղավորելու համար մենք օգտագործում ենք՝ ներմուծելով $2$ գործակիցը դիֆերենցիալ նշանի տակ։ Փաստորեն, մենք դա արդեն արել ենք թիվ 2 օրինակում, այնպես որ կարող ենք անել առանց մանրամասն մեկնաբանությունների.

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Պատասխանել$\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$:

Երկրորդ ճանապարհ

Երկրորդ մեթոդը լուծելու համար մենք կիրառում ենք պարզ եռանկյունաչափական բանաձև$\sin 2x=2\sin x\cos x$. Եկեք փոխարինենք $2 \sin x \cos x$ արտահայտությունը $\sin 2x$-ի փոխարեն, և ինտեգրալ նշանից հանենք $2$ հաստատունը.

Ո՞րն է նման վերափոխման նպատակը: Աղյուսակում $\int \sin x\cos x dx$ ինտեգրալ չկա, բայց մենք կարող ենք մի փոքր փոխակերպել $\int \sin x\cos x dx$, որպեսզի այն ավելի նման լինի աղյուսակին։ Դա անելու համար եկեք գտնենք $d(\cos x)$՝ օգտագործելով . Փոխարինենք $\cos x$-ը $y$-ի փոխարեն նշված բանաձևում.

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

Քանի որ $d(\cos x)=-\sin x dx$, ապա $\sin x dx=-d(\cos x)$։ Քանի որ $\sin x dx=-d(\cos x)$, մենք կարող ենք $-d(\cos x)$-ը փոխարինել $\int \sin x\cos x dx$-ով $\sin x dx$-ի փոխարեն: Ինտեգրալի արժեքը չի փոխվի.

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Այսինքն՝ մենք ավելացվել է դիֆերենցիալի տակ$\cos x$. Այժմ, կատարելով $u=\cos x$ փոխարինումը, մենք կարող ենք կիրառել թիվ 1 բանաձևը ինտեգրալների աղյուսակից.

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Պատասխանը ստացվել է. Ընդհանուր առմամբ, դուք պետք չէ մուտքագրել $u$ տառը: Երբ դուք ձեռք բերեք բավարար հմտություն այս տեսակի ինտեգրալները լուծելու համար, լրացուցիչ նշումների անհրաժեշտությունը կվերանա: Ամբողջական լուծումն առանց բացատրության հետևյալն է.

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Պատասխանել$\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$:

Երրորդ ճանապարհ

Երրորդ ճանապարհով լուծելու համար կիրառում ենք նույն եռանկյունաչափական բանաձևը՝ $\sin 2x=2\sin x\cos x$։ Եկեք փոխարինենք $2 \sin x \cos x$ արտահայտությունը $\sin 2x$-ի փոխարեն, և ինտեգրալ նշանից հանենք $2$ հաստատունը.

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

Եկեք գտնենք $d(\sin x)$-ի միջոցով: Փոխարինենք $\sin x$-ը $y$-ի փոխարեն նշված բանաձևում.

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Այսպիսով, $d(\sin x)=\cos x dx$: Ստացված հավասարությունից հետևում է, որ մենք կարող ենք $d(\sin x)$-ը փոխարինել $\int \sin x\cos x dx$-ով $\cos x dx$-ի փոխարեն։ Ինտեգրալի արժեքը չի փոխվի.

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Այսինքն՝ մենք ավելացվել է դիֆերենցիալի տակ$\sin x$. Այժմ, կատարելով $u=\sin x$ փոխարինումը, մենք կարող ենք կիրառել թիվ 1 բանաձևը ինտեգրալների աղյուսակից.

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Պատասխանը ստացվել է. Ամբողջական լուծումն առանց բացատրության հետևյալն է.

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Պատասխանել$\int \sin2x dx=\sin^2x+C$:

Հնարավոր է, որ այս օրինակը, հատկապես երեք տարբեր (առաջին հայացքից) պատասխանները կարդալուց հետո հարց առաջանա. Եկեք այն համարենք.

Հարց թիվ 3

Սպասեք։ Պատասխանները պետք է լինեն նույնը, բայց դրանք տարբեր են: Օրինակ թիվ 3-ում տարբերությունը եղել է միայն $\frac(8)(9)$ հաստատունում, բայց այստեղ պատասխաններն անգամ արտաքինով նման չեն՝ $-\frac(1)(2)\cos 2x+C։ $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$։ Իսկապե՞ս ամեն ինչ նորից $C$ ինտեգրալ հաստատունի մասին է:

Այո, հենց այս հաստատունն է կարևոր: Կրճատենք բոլոր պատասխանները մեկ ձևի, որից հետո հաստատունների այս տարբերությունը լիովին պարզ կդառնա։ Սկսենք $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$-ից: Մենք օգտագործում ենք պարզ եռանկյունաչափական հավասարություն՝ $\cos 2x=1-2\sin^2 x$։ Այնուհետև $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ արտահայտությունը կդառնա.

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2): $$

Հիմա եկեք աշխատենք երկրորդ պատասխանի հետ, այսինքն. $-\cos^2x+C$. Քանի որ $\cos^2 x=1-\sin^2x$, ապա.

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

Թիվ 4 օրինակում ստացված երեք պատասխաններն էին. $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$: . Կարծում եմ՝ հիմա պարզ է, որ դրանք միմյանցից միայն որոշակի քանակով են տարբերվում։ Նրանք. հարցը դարձյալ պարզվեց, որ անբաժանելի հաստատուն է։ Ինչպես տեսնում եք, ինտեգրալ հաստատունի փոքր տարբերությունը, սկզբունքորեն, կարող է մեծապես փոխվել տեսքըպատասխան - բայց դա չի խանգարում, որ պատասխանը ճիշտ լինի: Ինչի մասին ես հասկանում եմ. եթե խնդիրների հավաքածուի մեջ տեսնում ես պատասխան, որը չի համընկնում քո հետ, դա ամենևին չի նշանակում, որ քո պատասխանը սխալ է: Հնարավոր է, որ դուք պարզապես այլ կերպ եք հանգել պատասխանին, քան ենթադրում էր խնդրի հեղինակը։ Իսկ անորոշ ինտեգրալի սահմանման վրա հիմնված ստուգումը կօգնի ձեզ ստուգել պատասխանի ճիշտությունը։ Օրինակ, եթե $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել, ապա $\left(-\frac(1)(2)\cos հավասարությունը: 2x+ C\right)"=\sin 2x$: Այսպիսով, եկեք ստուգենք, արդյոք ճի՞շտ է, որ $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$-ի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին: $\sin 2x $-ից:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$

Ստուգումը հաջողությամբ ավարտվեց: $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ հավասարությունը բավարարված է, ուստի $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2) բանաձևը )\cos 2x+C$-ը ճիշտ է: Օրինակ թիվ 5-ում մենք նույնպես կստուգենք արդյունքը՝ համոզվելու համար, որ այն ճիշտ է: Չեկի առկայությունը պարտադիր չէ, թեև որոշ բնորոշ հաշվարկներում թեստերախ, արդյունքը ստուգելու պահանջն առկա է։

Համարիչը դիֆերենցիալ նշանի տակ ընդունելը

Սա դասի վերջին մասն է, սակայն այս տեսակի ինտեգրալները բավականին տարածված են: Եթե ​​հոգնած եք, գուցե ավելի լավ է վաղը կարդա՞ք։ ;)

Այն ինտեգրալները, որոնք մենք կդիտարկենք, նման են նախորդ պարբերության ինտեգրալներին, ունեն ձև՝ or (գործակիցներ , և հավասար չեն զրոյի):

Այսինքն՝ մեր ունեցած համարիչում գծային ֆունկցիա. Ինչպե՞ս լուծել նման ինտեգրալները:

Օրինակ 14

Խնդրում ենք զգույշ լինել, հիմա մենք կանդրադառնանք տիպիկ ալգորիթմին:

1) Երբ տրվում է ձևի ինտեգրալ կամ (գործակիցները , և հավասար չեն զրոյի), ապա առաջին բանը, որ մենք անում ենք,... սևագիր վերցնելն է։ Փաստն այն է, որ այժմ մենք պետք է կատարենք փոքր ընտրություն։

2) Դիֆերենցիալ նշանի տակ եզրափակում ենք այն արտահայտությունը, որը գտնվում է հայտարարի մեջ (կարևոր չէ՝ արմատի տակ, թե առանց արմատի), այս օրինակում.

3) Բացեք դիֆերենցիալը.

Դիտարկենք մեր ինտեգրալի համարիչը.

Իրերը մի փոքր այլ կերպ ստացվեցին... Եվ հիմա մենք պետք է դիֆերենցիալի համար ընտրենք բազմապատկիչ, այնպես, որ երբ այն բացվի, մենք ստանանք առնվազն . IN այս դեպքումհարմար բազմապատկիչն է.

4) ինքնատիրապետման համար մենք կրկին բացում ենք մեր դիֆերենցիալը.

Եկեք նորից նայենք մեր ինտեգրալի համարիչին՝ .
Այն ավելի մոտ է, բայց մենք սխալ եզրույթ ունենք.

5) Մեր դիֆերենցիալին.
– մենք վերագրում ենք այն տերմինը, որն ի սկզբանե ունեինք ինտեգրանդում.

- հանել ( այս դեպքում մենք հանում ենք, երբեմն, ընդհակառակը, պետք է ավելացնել)մեր «սխալ» տերմինը.
– Երկու հաստատուններն էլ դնում ենք փակագծերում և աջ կողմում նշանակում ենք դիֆերենցիալ նշան.

- հանել (որոշ օրինակներում անհրաժեշտ է ավելացնել)հաստատուններ:

6) Մենք ստուգում ենք.

Ստացանք հենց ինտեգրանդի համարիչը, ինչը նշանակում է, որ ընտրությունը հաջող էր:

Լուծման վերջնական ձևավորումն ունի հետևյալ տեսքը.

(1) Մենք ընտրում ենք համարիչը սևագրի վրա՝ համաձայն վերը քննարկված ալգորիթմի։ Մենք անպայման ստուգում ենք՝ արդյոք ընտրությունը ճիշտ է կատարվել։ Ինտեգրալների լուծման որոշակի փորձ ունենալով, ընտրությունը դժվար չէ կատարել ձեր գլխում:

(2) Համարիչը բաժանել հայտարարի անդամով: Պրակտիկ խնդիրների լուծման ժամանակ այս քայլը կարելի է բաց թողնել

(3) Օգտագործելով գծայինության հատկությունը՝ առանձնացնում ենք ինտեգրալները։ Ցանկալի է բոլոր հաստատունները տեղափոխել ինտեգրալ նշաններից դուրս:

(4) Առաջին ինտեգրալը իրականում աղյուսակային է, մենք օգտագործում ենք բանաձևը (մենք կավելացնենք հաստատուն ավելի ուշ, երբ վերցնենք երկրորդ ինտեգրալը): Երկրորդ ինտեգրալում մենք ընտրում ենք ամբողջական քառակուսի (նախորդ պարբերությունում մենք ուսումնասիրեցինք այս տեսակի ինտեգրալները):

Մնացածը տեխնիկայի հարց է։

Եվ, սկզբի համար, մի քանի օրինակ անկախ որոշում- մեկը ավելի պարզ է, մյուսը ավելի դժվար:

Օրինակ 15

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը՝

Օրինակ 16

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը՝

Այս օրինակները լուծելու համար օգտակար կլինի ինտեգրման հատուկ դեպք հզորության գործառույթըորը չկա իմ աղյուսակում.

Ինչպես տեսնում եք, կոտորակների ինտեգրումը դժվար գործ է, դուք հաճախ ստիպված եք լինում օգտագործել արհեստական ​​տեխնիկա և ընտրություն: Բայց ինչ անել…

Կան կոտորակների այլ տեսակներ, այսպես կոչված, կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիաներ, դրանք լուծվում են մեթոդով. անորոշ գործակիցներ. Բայց սա արդեն դասի թեմա է Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիաների ինտեգրում.

§ 5. Ինտեգրալները և դրանց կիրառությունները

.

5.1. Հիմնական սահմանումներ և բանաձևեր.Գործառույթ Ֆ(x) է հակաածանցյալ ֆունկցիա զ(x), եթե ինչ-որ հավաքածուի վրա Xհավասարությունը պահպանվում է Ֆ (x)= զ(x). Բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն զ(x) կանչեց անորոշ ինտեգրալև նշանակված է. Միևնույն ժամանակ, եթե Ֆ(x) - պրիմիտիվներից որևէ մեկը զ(x), Դա
, մշտական Գանցնում է իրական թվերի ամբողջ բազմության միջով: Աղյուսակ 2-ում ներկայացված են հիմնական բանաձևերը, որոնցում u= u(x).

աղյուսակ 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Ակնհայտ է, որ բանաձեւերը 10), 12) Եվ 14) բանաձևերի հատուկ դեպքեր են 11), 13) Եվ 15) համապատասխանաբար.

Եթե զ(x) - սեգմենտի վրա շարունակական գործառույթ [ ա; բ], ապա կա որոշակի ինտեգրալայս ֆունկցիայից, որը կարելի է հաշվարկել ըստ Նյուտոն-Լայբնից բանաձև:

, (5.1)

Որտեղ Ֆ(x) - ցանկացած հակաածանցյալի համար զ(x). Ի տարբերություն անորոշ ինտեգրալի (որը ֆունկցիաների ամբողջություն է), որոշակի ինտեգրալը որոշակի թիվ է։

Հատկություն ունեն և՛ անորոշ, և՛ որոշյալ ինտեգրալները գծայինություն(ֆունկցիաների գումարի ինտեգրալ գումարին հավասարինտեգրալներ, իսկ հաստատուն գործոնը կարելի է հանել ինտեգրալ նշանից):

.

Օրինակ 5.1. Գտեք. ա)
; բ)
.

Լուծում.Առաջադրանքի վրա Ա)Մենք նախ պարզեցնում ենք ինտեգրանդը՝ յուրաքանչյուր անդամ համարիչից բաժանելով հայտարարի վրա, այնուհետև օգտագործում ենք հատկությունը. գծայինությունև «աղյուսակային» բանաձևերը 1)-3):

Առաջադրանքի վրա բ),Բացի այդ գծայինությունև «աղյուսակային» բանաձևերը 3), 9), 1), մենք օգտագործում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը (5.1):

5.2. Դիֆերենցիալ նշանի տակ մուտքագրում և փոփոխականի փոխարինում:Դուք կարող եք նկատել, որ երբեմն ինտեգրանդի մի մասը կազմում է որոշ արտահայտության դիֆերենցիալ, որը թույլ է տալիս օգտագործել աղյուսակային բանաձևեր:

Օրինակ 5.2Գտեք. ա)
; բ)
.

Լուծում.Օրինակում Ա)դուք կարող եք դա նկատել
, այնուհետև օգտագործեք բանաձևը 5) ժամը u=ln x:

Երբ բ)
, և հետևաբար պայմանավորված 11) ժամը
մենք ստանում ենք.

Ծանոթագրություն 1.Դիֆերենցիալ նշանը մուտքագրելիս, վերևում օգտագործվածների հետ մեկտեղ, օգտակար է հաշվի առնել հետևյալ հարաբերությունները.

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Ծանոթագրություն 2.Ինտեգրալներ-ից օրինակ 5.2.կարելի է գտնել նաև փոփոխականի փոփոխության միջոցով: Միևնույն ժամանակ, ներս որոշակի ինտեգրալպետք է փոխվեն նաև ինտեգրման սահմանները։ Փոխարկումներ դեպի 5.2.բ)կանդրադառնա, օրինակ, այսպես.

IN ընդհանուր դեպքփոխարինման ընտրությունը որոշվում է ինտեգրանդի տեսակով: Որոշ դեպքերում առաջարկվում են հատուկ փոխարինումներ: Օրինակ, եթե արտահայտությունը պարունակում է ձևի իռացիոնալություն
, ապա կարող ենք դնել
կամ
.

Օրինակ 5.3Գտեք. ա)
; բ)
.

Լուծում.Երբ Ա)մենք ունենք

(փոխարինելուց հետո մենք կիրառեցինք աղյուսակային բանաձևը 11 )).

Որոշելիս բ)Մենք համոզված ենք, որ փոխարինում ենք ինտեգրման սահմանները:

5.3. Ինտեգրում ըստ մասերի:Որոշ դեպքերում օգնում է «ինտեգրումն ըստ մասերի բանաձևի»: Անորոշ ինտեգրալի համար այն ունի ձև

, (5.2)

որոշակիորեն

, (5.3)

Կարևոր է հաշվի առնել հետևյալը.

1) Եթե ինտեգրանդը պարունակում է բազմանդամի արտադրյալ xգործառույթների վրա
, ապա որպես uընտրվում է բազմանդամ, և ինտեգրալ նշանի տակ մնացած արտահայտությունը վերաբերում է dv.

2) Եթե ինտեգրանդը պարունակում է հակադարձ եռանկյունաչափական ( ) կամ լոգարիթմական (
) ֆունկցիաները, ապա որպես u ընտրված է դրանցից մեկը.

Օրինակ 5.4.Գտեք. ա)
; բ)
.

Լուծում.Երբ Ա)կիրառել բանաձեւը (5.2) Եվ երկրորդ կանոն. Ճիշտ է, մենք հավատում ենք
. Հետո
. Հետագայում,
, եւ, հետեւաբար
. Հետևաբար, . Ստացված ինտեգրալում մենք ընտրում ենք ինտեգրանդի ամբողջ մասը (դա արվում է, երբ համարիչի աստիճանը պակաս չէ հայտարարի աստիճանից).

.

Վերջնական լուծումն այսպիսի տեսք ունի.

Օրինակում բ)մենք օգտագործում ենք (5.3) Եվ կանոններից առաջինը.

5.4. Քառակուսի եռանկյուն պարունակող արտահայտությունների ինտեգրում. Հիմնական գաղափարները պետք է ընդգծել քառակուսի եռանկյունամբողջական քառակուսի և գծային փոխարինում իրականացնելիս, ինչը հնարավորություն է տալիս սկզբնական ինտեգրալը վերածել աղյուսակային ձևի 10 )-16 ).

Օրինակ 5.5.Գտեք. ա)
; բ)
; V)
.

Լուծում.Երբ Ա)շարունակել հետևյալ կերպ.

հետևաբար (հաշվի առնելով 13) )

Օրինակը լուծելիս բ)Կպահանջվեն լրացուցիչ փոխակերպումներ՝ կապված ինտեգրանդի համարիչում փոփոխականի առկայության հետ: Ընտրելով կատարյալ քառակուսին հայտարարի մեջ (), մենք ստանում ենք.

Ինտեգրալներից երկրորդի համար՝ պայմանավորված 11) (Աղյուսակ 2) ունենք.
. Առաջին ինտեգրալում մենք մուտքագրելու ենք դիֆերենցիալ նշանի տակ.

Այսպիսով, ամեն ինչ հավաքելով և վերադառնալով փոփոխականին x, ստանում ենք.

Օրինակում V)Մենք նաև նախ ընտրում ենք ամբողջական քառակուսի.

5.5. Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրում:Ձևի արտահայտությունները ինտեգրելիս
(Որտեղ մԵվ n – ամբողջ թվեր) խորհուրդ է տրվում հաշվի առնել հետևյալ կանոնները.

1) Եթե երկու աստիճաններն էլ հավասար են, ապա կիրառվում են «աստիճանի նվազեցման» բանաձևերը. .

2) Ենթադրենք, որ թվերից որևէ մեկը մ Եվ n- տարօրինակ. Օրինակ, n=2 կ+1. Այս դեպքում ֆունկցիայի աստիճաններից մեկը cosx «split off»՝ այն դիֆերենցիալ նշանի տակ բերելու համար (սկսած ). Մնացած արտահայտության մեջ
օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը
արտահայտված միջոցով
(). Ինտեգրանդը փոխակերպելուց հետո (և հաշվի առնելով գծայինության հատկությունը) մենք ստանում ենք ձևի ինտեգրալների հանրահաշվական գումար.
, որոնցից յուրաքանչյուրը կարելի է գտնել բանաձևով 2) աղյուսակ 2-ից:
.

Բացի այդ, որոշ դեպքերում բանաձեւերը նույնպես օգտակար են

Օրինակ 5.6.Գտեք. ա)
; բ)
; V)
.

Լուծում. Ա)Ինտեգրանդը ներառում է կենտ (5-րդ) աստիճան sinx, ուստի մենք գործում ենք ըստ երկրորդ կանոն, հաշվի առնելով այն .

Օրինակում բ)եկեք օգտագործենք բանաձևը (5.4 ), գծայինությունանորոշ ինտեգրալ, հավասարություն
և աղյուսակային բանաձև 4):

Երբ V)հաջորդաբար իջեցնել աստիճանը, հաշվի ենք առնում գծայնությունը, դիֆերենցիալ նշանի տակ հաստատուն ներմուծելու հնարավորությունը և անհրաժեշտ աղյուսակային բանաձևերը.

5.6. Որոշակի ինտեգրալի կիրառություններ.Ինչպես հայտնի է, հատվածի վրա ոչ բացասական և շարունակականին համապատասխանող կորագիծ trapezoid [ ա; բ] գործառույթները զ(x), կոչվում է ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված տարածք y= զ(x), առանցք ԵԶև երկու ուղղահայաց գիծ x= ա, x= բ. Համառոտ կարելի է գրել հետևյալ կերպ. Նկ.3) եւ որտեղ

Որոշ տեսակի ինտեգրալներ լուծելիս, ինչպես ասում են, փոխակերպում է կատարվում մուտքագրելով դիֆերենցիալ նշանի տակ. Սա արվում է աղյուսակային ինտեգրալ ստանալու և այն հեշտացնելու համար: Դա անելու համար օգտագործեք բանաձևը՝ $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Ես կցանկանայի նշել սա կարևոր նրբերանգորի մասին մտածում են ուսանողները։ Ինչպե՞ս է այս մեթոդը տարբերվում փոփոխականի (փոխարինման) փոխարինման մեթոդից: Նույն բանն է, ուղղակի ձայնագրություններում տարբեր տեսք ունի։ Երկուսն էլ ճշմարիտ են:

Բանաձև

Եթե ​​ինտեգրանդը ցույց է տալիս երկու ֆունկցիաների արտադրյալը, որոնցից մեկը մյուսի դիֆերենցիալն է, ապա դիֆերենցիալ նշանի տակ մուտքագրեք ցանկալի ֆունկցիան։ Այն կարծես այսպիսին է.

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

Ամփոփելով հիմնական գործառույթները

Լուծման այս մեթոդը հաջողությամբ օգտագործելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ածանցյալ և ինտեգրացիոն աղյուսակները: Դրանցից բխում են հետևյալ բանաձևերը.

$ dx = d(x+c), c=const $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac(1)(a) d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac(1)(2) d(x^2+a) $	$ \frac(dx)(x) = d(\ln x) $
$ -\frac(dx)(x^2)= d(\frac(1)(x)) $	$ \frac(dx)(\cos^2 x) = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac(1)(k) \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac(1)(k) F(kx+b) + C$$

Լուծումների օրինակներ

Օրինակ 1

Գտեք $$ \int \sin x \cos x dx $$ ինտեգրալը

Լուծում

Այս օրինակում դուք կարող եք առաջարկվող գործառույթներից որևէ մեկը դնել դիֆերենցիալ նշանի տակ, նույնիսկ սինուս կամ կոսինուս: Փոխվող նշանների հետ չշփոթվելու համար ավելի հարմար է մուտքագրել $ \cos x $։ Օգտագործելով բանաձևերը, մենք ունենք. $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$ Եթե ​​դուք չեք կարող լուծել ձեր խնդիրը, ապա ուղարկեք այն մեզ: Մենք կտրամադրենք մանրամասն լուծում։ Դուք կկարողանաք դիտել հաշվարկի առաջընթացը և տեղեկատվություն ստանալ: Սա կօգնի ձեզ ժամանակին ստանալ ձեր գնահատականը ձեր ուսուցչից:

Պատասխանել

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$

Այսպիսով, հոդվածում մենք նայեցինք, թե ինչպես են լուծվում ինտեգրալների որոշ տեսակներ՝ դրանք մուտքագրելով դիֆերենցիալ նշանի տակ: Մենք հիշեցինք հաճախ ընդհանուրի տարբերությունները տարրական գործառույթներ. Եթե ​​դուք չեք կարող կամ չունեք բավարար ժամանակ՝ ինքնուրույն լուծելու թեստային առաջադրանքները, ապա մենք ձեզ կտրամադրենք մեր օգնությունը։ հնարավորինս շուտ. Պարզապես լրացրեք պատվերի ձևը, և ​​մենք կկապնվենք ձեզ հետ: