Թեմա՝ «Հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվում՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ»
Դասի տեսակը.համակցված.
Դասի նպատակը.սովորել ինտեգրալների միջոցով հաշվարկել հեղափոխության մարմինների ծավալները:
Առաջադրանքներ.
համախմբել կոր trapezoids մի շարքից նույնականացնելու ունակությունը երկրաչափական ձևերև վարժեցնել կորագիծ տրապիզոիդների տարածքները հաշվարկելու հմտությունը.
ծանոթանալ եռաչափ գործչի հայեցակարգին;
սովորել հաշվարկել պտտվող մարմինների ծավալները.
նպաստել զարգացմանը տրամաբանական մտածողություն, գրագետ մաթեմատիկական խոսք, գծագրեր կառուցելիս ճշգրտություն;
զարգացնել հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ, մաթեմատիկական հասկացությունների և պատկերների հետ գործելու, վերջնական արդյունքի հասնելու կամք, անկախություն և հաստատակամություն զարգացնել:
Դասերի ժամանակ
I. Կազմակերպչական պահ.
Ողջույններ խմբից: Ուսանողներին հաղորդել դասի նպատակները:
Այսօրվա դասը կցանկանայի սկսել առակով. «Մի ժամանակ ապրում էր մի իմաստուն մարդ, ով գիտեր ամեն ինչ։ Մի մարդ ուզում էր ապացուցել, որ իմաստունն ամեն ինչ չգիտի։ Ձեռքերում թիթեռը բռնած՝ նա հարցրեց. «Ասա ինձ, իմաստուն, ո՞ր թիթեռնիկն է իմ ձեռքում՝ մեռա՞ծ, թե՞ ողջ»: Եվ նա մտածում է. «Եթե կենդանին ասի՝ ես կսպանեմ նրան, եթե մեռածն ասի՝ ես նրան կազատեմ»։ Իմաստունը մտածելուց հետո պատասխանեց. «Ամեն ինչ քո ձեռքերում է»:
Հետևաբար, եկեք այսօր բեղմնավոր աշխատենք, ձեռք բերենք գիտելիքների նոր պաշար և ձեռք բերած հմտություններն ու կարողությունները կկիրառենք ապագա կյանքում և գործնական գործունեության մեջ։ «Ամեն ինչ ձեր ձեռքերում է»։
II. Նախկինում ուսումնասիրված նյութի կրկնություն:
Հիշենք նախկինում ուսումնասիրված նյութի հիմնական կետերը. Դա անելու համար եկեք կատարենք «Բացառել ավելորդ բառ”.
(Ուսանողները ասում են լրացուցիչ բառ):
Ճիշտ «Դիֆերենցիալ».Փորձեք մնացած բառերը անվանել մեկ ընդհանուր բառով: (Ամբողջական հաշվարկ):
Եկեք հիշենք ինտեգրալ հաշվարկի հետ կապված հիմնական փուլերն ու հասկացությունները:
Զորավարժություններ.Վերականգնել բացերը. (Աշակերտը դուրս է գալիս և մարկերով գրում է անհրաժեշտ բառերը):
Աշխատեք նոթատետրերում.
Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը ստացել են անգլիացի ֆիզիկոս Իսահակ Նյուտոնը (1643-1727) և գերմանացի փիլիսոփա Գոթֆրիդ Լայբնիցը (1646-1716): Եվ դա զարմանալի չէ, քանի որ մաթեմատիկան այն լեզուն է, որով խոսում է հենց բնությունը:
Եկեք քննարկենք, թե ինչպես է այս բանաձևը օգտագործվում գործնական խնդիրներ լուծելու համար:
Օրինակ 1: Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը 
Լուծում:Կառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները կոորդինատային հարթության վրա . Եկեք ընտրենք գործչի տարածքը, որը պետք է գտնել:
III. Նոր նյութ սովորելը.
Ուշադրություն դարձրեք էկրանին. Ի՞նչ է պատկերված առաջին նկարում: (Նկարը ցույց է տալիս հարթ գործիչ):
Ի՞նչ է պատկերված երկրորդ նկարում: Արդյո՞ք այս ցուցանիշը հարթ է: (Նկարը ցույց է տալիս եռաչափ պատկեր):
Տիեզերքում, երկրի վրա և ներսում Առօրյա կյանքՄենք հանդիպում ենք ոչ միայն հարթ թվերի, այլև եռաչափ, բայց ինչպե՞ս կարող ենք հաշվել նման մարմինների ծավալը։ Օրինակ՝ մոլորակի, գիսաստղի, երկնաքարի ծավալը և այլն։
Մարդիկ ծավալի մասին մտածում են ինչպես տներ կառուցելիս, այնպես էլ ջուրը մի նավից մյուսը լցնելիս։ Պետք է ի հայտ գան ծավալների հաշվարկման կանոններ և տեխնիկա, այլ հարց է, թե որքանով են դրանք ճշգրիտ և հիմնավորված:
Ավստրիական Լինց քաղաքի բնակիչների համար, որտեղ ապրել է հայտնի աստղագետ Յոհաննես Կեպլերը, հատկապես խաղողի համար, 1612 թվականը շատ բեղմնավոր է եղել։ Մարդիկ պատրաստում էին գինու տակառներ և ցանկանում էին իմանալ, թե ինչպես կարելի է գործնականում որոշել դրանց ծավալները։
Այսպիսով, Կեպլերի դիտարկված աշխատանքները նշանավորեցին հետազոտությունների մի ամբողջ հոսքի սկիզբը, որը գագաթնակետին հասավ 17-րդ դարի վերջին քառորդում։ դիզայն Ի. Նյուտոնի և Գ.Վ. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի Լայբնից. Այդ ժամանակվանից մաթեմատիկական գիտելիքների համակարգում առաջատար տեղ է գրավել փոփոխականների մաթեմատիկան։
Այսօր ես և դու զբաղվելու ենք նման գործնական գործունեությամբ, հետևաբար.
Մեր դասի թեման.
Դուք կսովորեք հեղափոխության մարմնի սահմանումը անելով հաջորդ առաջադրանքը.
«Լաբիրինթոս».
Զորավարժություններ.Գտեք ելք խառնաշփոթ իրավիճակից և գրեք սահմանումը:
IVԾավալների հաշվարկ.
Օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, դուք կարող եք հաշվարկել որոշակի մարմնի, մասնավորապես, պտտման մարմնի ծավալը:
Հեղափոխության մարմինը մարմին է, որը ստացվում է կոր trapezoid-ը իր հիմքի շուրջը պտտելով (նկ. 1, 2):
Հեղափոխության մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևերից մեկի միջոցով:
1.
OX առանցքի շուրջ:
2. 
, եթե կոր trapezoid-ի պտույտը op-amp-ի առանցքի շուրջ:
Աշակերտները նոթատետրում գրում են հիմնական բանաձևերը:
Ուսուցիչը բացատրում է գրատախտակին դրված օրինակների լուծումները:
1. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագիծ տրապեզիի օրդինատային առանցքի շուրջ պտտվելուց. x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0:
Լուծում.
Պատասխան՝ 1163 սմ3։
2. Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է x-ի առանցքի շուրջ պարաբոլիկ տրապիզոիդը պտտելով. y =, x = 4, y = 0:
Լուծում.
Վ. Մաթեմատիկայի սիմուլյատոր.
2. Տրված ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը կոչվում է
Ա) անորոշ ինտեգրալ,
բ) գործառույթը,
Բ) տարբերակում.
7. Գտե՛ք այն մարմնի ծավալը, որը ստացվել է գծերով սահմանափակված կորագծային տրապեզի աբսցիսային առանցքի շուրջ պտտվելուց.
Դ/Զ. Նոր նյութի համախմբում
Հաշվել մարմնի ծավալը, ձևավորվում է ռոտացիայի միջոցովծաղկաթերթ, x առանցքի շուրջ y = x2, y2 = x.
Եկեք կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկները։ y = x2, y2 = x. Փոխակերպենք y2 = x գրաֆիկը y = ձևի:
Մենք ունենք V = V1 - V2 Հաշվարկենք յուրաքանչյուր ֆունկցիայի ծավալը.
Եզրակացություն:
Որոշակի ինտեգրալը մաթեմատիկայի ուսումնասիրության որոշակի հիմք է, որն անփոխարինելի ներդրում ունի գործնական խնդիրների լուծման գործում։
«Ինտեգրալ» թեման հստակ ցույց է տալիս կապը մաթեմատիկայի և ֆիզիկայի, կենսաբանության, տնտեսագիտության և տեխնիկայի միջև:
Զարգացում ժամանակակից գիտանհնար է պատկերացնել առանց ինտեգրալը օգտագործելու: Այս առումով անհրաժեշտ է սկսել այն ուսումնասիրել միջինի շրջանակներում հատուկ կրթություն!
VI. Գնահատում.(Մեկնաբանությամբ):
Մեծ օմարԽայամ - մաթեմատիկոս, բանաստեղծ, փիլիսոփա: Նա խրախուսում է մեզ լինել մեր սեփական ճակատագրի տերը: Լսենք նրա ստեղծագործությունից մի հատված.
Ասում ես՝ այս կյանքը մի պահ է։
Գնահատե՛ք այն, ոգեշնչե՛ք դրանից։
Ինչպես ծախսես, այնպես էլ կանցնի։
Մի մոռացեք, որ նա ձեր ստեղծագործությունն է:
Ինչպե՞ս հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը որոշակի ինտեգրալով:
Բացի այդ պարզ ինտեգրալ օգտագործելով հարթ գործչի մակերեսը գտնելը թեմայի ամենակարևոր կիրառությունն է պտտվող մարմնի ծավալի հաշվարկ. Նյութը պարզ է, բայց ընթերցողը պետք է պատրաստ լինի՝ պետք է կարողանաս լուծել անորոշ ինտեգրալներ միջին բարդության և կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը որոշակի ինտեգրալ . Ինչպես տարածքը գտնելու խնդրի դեպքում, ձեզ անհրաժեշտ են նկարելու վստահ հմտություններ. սա գրեթե ամենակարևորն է (քանի որ ինքնին ինտեգրալները հաճախ հեշտ կլինեն): Մեթոդական նյութի օգնությամբ դուք կարող եք տիրապետել գրագետ և արագ գծագրման տեխնիկայի . Բայց, փաստորեն, ես արդեն մի քանի անգամ դասարանում խոսել եմ նկարների կարևորության մասին։ .
Ընդհանուր առմամբ, ինտեգրալ հաշվարկում շատ հետաքրքիր կիրառումներ կան, որոշակի ինտեգրալ օգտագործելով՝ կարող եք հաշվարկել գործչի մակերեսը, պտտման մարմնի ծավալը, աղեղի երկարությունը, մակերեսի մակերեսը։ մարմին և շատ ավելին: Այնպես որ, զվարճալի կլինի, խնդրում եմ լավատես եղեք:
Պատկերացրեք մի քանիսը հարթ գործիչկոորդինատային հարթության վրա։ Ներկայացրե՞լ է: ... Հետաքրքիր է, թե ով ինչ է ներկայացրել... =))) Մենք արդեն գտել ենք դրա տարածքը։ Բայց, ի լրումն, այս ցուցանիշը կարող է նաև պտտվել և պտտվել երկու եղանակով.
– x առանցքի շուրջ; - օրդինատների առանցքի շուրջ:
Այս հոդվածը կքննարկի երկու դեպքերը: Հատկապես հետաքրքիր է պտտման երկրորդ մեթոդը, որն ամենաշատ դժվարություններն է առաջացնում, բայց իրականում լուծումը գրեթե նույնն է, ինչ x-առանցքի շուրջ ավելի տարածված պտույտում։ Որպես բոնուս, ես կվերադառնամ գործչի մակերեսը գտնելու խնդիր , և ես ձեզ կասեմ, թե ինչպես գտնել տարածքը երկրորդ եղանակով ՝ առանցքի երկայնքով: Դա այնքան էլ բոնուս չէ, քանի որ նյութը լավ տեղավորվում է թեմայի մեջ:
Սկսենք ռոտացիայի ամենատարածված տեսակից:
Օրինակ 1
Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է առանցքի շուրջ գծերով սահմանափակված պատկերը պտտելով:
Լուծում:Ինչ վերաբերում է տարածքը գտնելու խնդրին. լուծումը սկսվում է հարթ գործչի գծագրով. Այսինքն, հարթության վրա անհրաժեշտ է կառուցել գծերով սահմանափակված գործիչ և մի մոռացեք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը: Ինչպես ավելի արդյունավետ և արագ ավարտել գծագիրը, կարելի է գտնել էջերում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները Եվ Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը . Սա չինական հիշեցում է, և այս պահին ես ավելին չեմ անդրադառնա:
Նկարչությունն այստեղ բավականին պարզ է.
Ցանկալի հարթ գործիչը ստվերված է կապույտով, այն է, որ պտտվում է առանցքի շուրջը: Պտտման արդյունքում ստացվում է մի փոքր ձվաձեւ թռչող ափսե, որը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ։ Իրականում մարմինը մաթեմատիկական անուն ունի, բայց ես շատ ծույլ եմ տեղեկատու գրքում նայելու համար, ուստի մենք առաջ ենք շարժվում:
Ինչպե՞ս հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը:
Հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.
Բանաձևում թիվը պետք է լինի ինտեգրալից առաջ: Այդպես էլ եղավ՝ այն ամենը, ինչ պտտվում է կյանքում, կապված է այս հաստատունի հետ։
Կարծում եմ, հեշտ է կռահել, թե ինչպես կարելի է լրացված գծագրից սահմանել «a» և «be» ինտեգրման սահմանները:
Ֆունկցիա... ինչ է սա ֆունկցիան: Եկեք նայենք գծագրությանը: Հարթ պատկերը սահմանափակված է վերևում գտնվող պարաբոլային գրաֆիկով: Սա այն գործառույթն է, որը ենթադրվում է բանաձևում:
IN գործնական առաջադրանքներհարթ գործիչ երբեմն կարող է տեղակայվել առանցքի տակ: Սա ոչինչ չի փոխում. բանաձևի ֆունկցիան քառակուսի է․ այսպիսով Հեղափոխության մարմնի ծավալը միշտ ոչ բացասական է, ինչը շատ տրամաբանական է։
Եկեք հաշվարկենք պտտման մարմնի ծավալը՝ օգտագործելով այս բանաձևը. 
Ինչպես արդեն նշեցի, ինտեգրալը գրեթե միշտ պարզ է դառնում, գլխավորը զգույշ լինելն է։
Պատասխան. 
Ձեր պատասխանում դուք պետք է նշեք չափը՝ խորանարդ միավոր: Այսինքն՝ մեր պտտման մարմնում կա մոտավորապես 3,35 «խորանարդ»։ Ինչու խորանարդ միավորներ? Որովհետև ամենահամընդհանուր ձևակերպումը. Կարող է լինել խորանարդ սանտիմետր, կարող է լինել խորանարդ մետր, կարող է լինել խորանարդ կիլոմետր և այլն, ահա թե որքան կանաչ տղամարդու կարող է ձեր երևակայությունը տեղադրել թռչող ափսեի մեջ:
Օրինակ 2
Գտե՛ք գծերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը,
Սա օրինակ է անկախ որոշում. Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։
Դիտարկենք երկու ավելի բարդ խնդիր, որոնք նույնպես հաճախ են հանդիպում գործնականում։
Օրինակ 3
Հաշվեք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է պտտվելով պատկերի աբսցիսային առանցքի շուրջը, որը սահմանափակված է գծերով, և
Լուծում:Եկեք գծագրում պատկերենք ,,, գծերով սահմանափակված հարթ գործիչ՝ չմոռանալով, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը.
Ցանկալի գործիչը ստվերված է կապույտով: Երբ այն պտտվում է իր առանցքի շուրջ, պարզվում է, որ չորս անկյուններով սյուրռեալիստական բլիթ է:
Եկեք հաշվարկենք պտտման մարմնի ծավալը որպես մարմինների ծավալների տարբերությունը.
Նախ, եկեք նայենք կարմիրով շրջապատված գործչին: Երբ այն պտտվում է առանցքի շուրջ, ստացվում է կտրված կոն։ Նշենք այս կտրված կոնի ծավալը ըստ.
Դիտարկենք այն պատկերը, որը շրջապատված է կանաչ. Եթե այս ցուցանիշը պտտեք առանցքի շուրջը, ապա կստանաք նաև կտրված կոն, միայն մի փոքր ավելի փոքր: Նշենք դրա ծավալը ըստ.
Եվ, ակնհայտորեն, ծավալների տարբերությունը հենց մեր «պոնչիկի» ծավալն է։
Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ստանդարտ բանաձևը.
1) Կարմիրով շրջապատված պատկերը վերևում սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.
2) Կանաչով շրջապատված պատկերը վերևում սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.
3) հեղափոխության ցանկալի մարմնի ծավալը.
Պատասխան.
Հետաքրքիր է, որ ներս այս դեպքումլուծումը կարելի է ստուգել՝ օգտագործելով դպրոցական բանաձևը՝ կտրված կոնի ծավալը հաշվարկելու համար:
Որոշումն ինքնին հաճախ ավելի կարճ է գրվում, այսպես.
Հիմա եկեք մի փոքր հանգստանանք և պատմենք ձեզ երկրաչափական պատրանքների մասին:
Մարդիկ հաճախ պատրանքներ են ունենում՝ կապված հատորների հետ, որոնք գրքում նկատել է Պերելմանը (ոչ այն): Զվարճալի երկրաչափություն. Նայեք լուծված խնդրի հարթ թվին. այն կարծես թե փոքր է տարածքով, և հեղափոխության մարմնի ծավալը 50 խորանարդ միավորից մի փոքր ավելի է, ինչը չափազանց մեծ է թվում: Ի դեպ, միջին վիճակագրական մարդն իր ողջ կյանքում խմում է 18 քմ մակերեսով սենյակին համարժեք հեղուկ, որը, ընդհակառակը, չափազանց փոքր ծավալ է թվում։
Ընդհանուր առմամբ, ԽՍՀՄ-ում կրթական համակարգն իսկապես լավագույնն էր։ Պերելմանի նույն գիրքը, որը գրվել է նրա կողմից դեռևս 1950 թվականին, շատ լավ զարգացնում է, ինչպես հումորիստն ասաց, մտածողությունը և սովորեցնում է փնտրել խնդիրների օրիգինալ, ոչ ստանդարտ լուծումներ։ Վերջերս մեծ հետաքրքրությամբ վերընթերցեցի որոշ գլուխներ, խորհուրդ եմ տալիս, այն հասանելի է նույնիսկ հումանիստների համար: Ոչ, պետք չէ ժպտալ, որ ես ազատ ժամանակ եմ առաջարկել, էրուդիցիան և հաղորդակցության լայն հորիզոնները հիանալի բան են:
Քնարական շեղումից հետո պարզապես տեղին է ստեղծագործական առաջադրանք լուծել.
Օրինակ 4
Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված հարթ պատկերի առանցքի շուրջ պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը, որտեղ.
Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բենդում ամեն ինչ տեղի է ունենում, այլ կերպ ասած՝ տրված են ինտեգրման գործնականում պատրաստի սահմաններ։ Փորձեք նաև ճիշտ գծել գրաֆիկները։ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, եթե արգումենտը բաժանվում է երկուսի, ապա գրաֆիկները երկու անգամ ձգվում են առանցքի երկայնքով։ Փորձեք գտնել առնվազն 3-4 միավոր ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակների և ավելի ճշգրիտ լրացրեք նկարը: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։ Ի դեպ, խնդիրը կարելի է լուծել ռացիոնալ և ոչ շատ ռացիոնալ։
Առանցքի շուրջ հարթ պատկերը պտտելուց առաջացած մարմնի ծավալի հաշվարկը
Երկրորդ պարբերությունը նույնիսկ ավելի հետաքրքիր կլինի, քան առաջինը: Օրդինատների առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը հաշվարկելու խնդիրը նույնպես բավականին սովորական հյուր է թեստային աշխատանքում: Ճանապարհին այն կդիտարկվի գործչի մակերեսը գտնելու խնդիր երկրորդ մեթոդը առանցքի երկայնքով ինտեգրումն է, դա թույլ կտա ոչ միայն բարելավել ձեր հմտությունները, այլև կսովորեցնի գտնել լուծման առավել շահավետ ճանապարհը: Սրա մեջ նաև գործնական կյանքի իմաստ կա։ Ինչպես ժպիտով հիշում էր մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդների իմ ուսուցչուհին, շատ շրջանավարտներ շնորհակալություն հայտնեցին նրան հետևյալ խոսքերով. Օգտվելով առիթից՝ ես նաև իմ մեծ երախտագիտությունն եմ հայտնում նրան, մանավանդ որ ձեռք բերած գիտելիքներն օգտագործում եմ իր նպատակային նպատակի համար =):
Օրինակ 5
Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով ,,.
1) Գտեք այս տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը: 2) Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս գծերով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:
Ուշադրություն.Նույնիսկ եթե ցանկանում եք կարդալ միայն երկրորդ կետը, առաջինը Պարտադիրկարդա առաջինը!
Լուծում:Առաջադրանքը բաղկացած է երկու մասից. Սկսենք հրապարակից։
1) Եկեք նկարենք.
Հեշտ է տեսնել, որ ֆունկցիան նշում է պարաբոլայի վերին ճյուղը, իսկ ֆունկցիան՝ պարաբոլայի ստորին ճյուղը։ Մեր առջև մի չնչին պարաբոլա է, որը «կողքի վրա է ընկած»։
Ցանկալի գործիչը, որի մակերեսը պետք է գտնել, ստվերված է կապույտով:
Ինչպե՞ս գտնել գործչի մակերեսը: Այն կարելի է գտնել «սովորական» ձևով, որը քննարկվել է դասարանում Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը
. Ավելին, նկարի մակերեսը հայտնաբերվում է որպես տարածքների գումար՝ – հատվածի վրա 
; - հատվածի վրա.
Ահա թե ինչու:
Ինչու է այս դեպքում սովորական լուծումը վատ: Նախ, մենք ստացանք երկու ինտեգրալ. Երկրորդ, ինտեգրալները արմատներ են, իսկ ինտեգրալների արմատները նվեր չեն, և բացի այդ, կարելի է շփոթվել ինտեգրման սահմանները փոխարինելիս։ Իրականում, ինտեգրալները, իհարկե, սպանիչ չեն, բայց գործնականում ամեն ինչ կարող է շատ ավելի տխուր լինել, ես պարզապես ընտրեցի «ավելի լավ» գործառույթներ խնդրի համար:
Կա ավելի ռացիոնալ լուծում՝ այն բաղկացած է հակադարձ ֆունկցիաների անցնելուց և առանցքի երկայնքով ինտեգրվելուց։
Ինչպե՞ս հասնել հակադարձ ֆունկցիաների: Կոպիտ ասած, պետք է «x»-ը «y»-ով արտահայտել։ Նախ, եկեք նայենք պարաբոլային.
Սա բավական է, բայց եկեք համոզվենք, որ նույն գործառույթը կարող է ստացվել ստորին ճյուղից.
Ավելի հեշտ է ուղիղ գծով.
Հիմա նայեք առանցքին. խնդրում ենք պարբերաբար գլուխը թեքել աջ 90 աստիճանով, երբ բացատրում եք (սա կատակ չէ): Մեզ անհրաժեշտ գործիչը ընկած է հատվածի վրա, որը նշված է կարմիր կետավոր գծով: Ավելին, հատվածի վրա ուղիղ գիծը գտնվում է պարաբոլայի վերևում, ինչը նշանակում է, որ գործչի տարածքը պետք է գտնել՝ օգտագործելով ձեզ արդեն ծանոթ բանաձևը. 
. Ի՞նչ է փոխվել բանաձևում. Ընդամենը նամակ և ոչ ավելին:
! Նշում. պետք է սահմանվեն առանցքի երկայնքով ինտեգրման սահմաններըխստորեն ներքեւից վերեւ !
Տարածքը գտնելը.
Հետևաբար հատվածի վրա. 
Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես իրականացրել ինտեգրումը, սա ամենառացիոնալ ճանապարհն է, և առաջադրանքի հաջորդ պարբերությունում պարզ կլինի, թե ինչու։
Ընթերցողների համար, ովքեր կասկածում են ինտեգրման ճիշտությանը, ես կգտնեմ ածանցյալներ.
Ստացվում է ինտեգրման սկզբնական ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրումը ճիշտ է կատարվել:
Պատասխան.
2) Հաշվենք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է այս գործչի առանցքի շուրջ պտտվելուց:
Ես կնկարեմ նկարը մի փոքր այլ ձևով.
Այսպիսով, կապույտով ստվերված գործիչը պտտվում է առանցքի շուրջը: Արդյունքում ստացվում է «սավառնող թիթեռ», որը պտտվում է իր առանցքի շուրջ։
Պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք ինտեգրվելու ենք առանցքի երկայնքով: Նախ պետք է անցնենք հակադարձ ֆունկցիաներին: Սա արդեն արվել և մանրամասն նկարագրվել է նախորդ պարբերությունում:
Այժմ մենք նորից գլուխը թեքում ենք դեպի աջ և ուսումնասիրում մեր կազմվածքը։ Ակնհայտ է, որ պտտվող մարմնի ծավալը պետք է գտնել որպես ծավալների տարբերություն:
Մենք պտտում ենք առանցքի շուրջ կարմիրով պտտվող գործիչը, որի արդյունքում ստացվում է կտրված կոն: Այս հատորը նշենք ըստ.
Մենք պտտում ենք կանաչ գույնով պտտվող պատկերը առանցքի շուրջը և նշանակում ստացված հեղափոխության մարմնի ծավալով։
Մեր թիթեռի ծավալը հավասար է ծավալների տարբերությանը։
Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը. 
Ո՞րն է տարբերությունը նախորդ պարբերության բանաձևից: Միայն նամակում.
Բայց ինտեգրման առավելությունը, որի մասին ես վերջերս խոսեցի, շատ ավելի հեշտ է գտնել 
, այլ ոչ թե նախ ինտեգրանդը բարձրացնել 4-րդ իշխանության։
Ինչպես հաշվարկել պտտվող մարմնի ծավալը
օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ:
Ընդհանուր առմամբ, ինտեգրալ հաշվարկում շատ հետաքրքիր կիրառումներ կան, որոշակի ինտեգրալ օգտագործելով՝ կարող եք հաշվարկել գործչի մակերեսը, պտտման մարմնի ծավալը, աղեղի երկարությունը, մակերեսի մակերեսը։ ռոտացիա և շատ ավելին: Այնպես որ, զվարճալի կլինի, խնդրում եմ լավատես եղեք:
Պատկերացրեք մի հարթ պատկեր կոորդինատային հարթության վրա: Ներկայացրե՞լ է: ... Հետաքրքիր է, թե ով ինչ է ներկայացրել... =))) Մենք արդեն գտել ենք դրա տարածքը։ Բայց, ի լրումն, այս ցուցանիշը կարող է նաև պտտվել և պտտվել երկու եղանակով.
- abscissa առանցքի շուրջ;
- օրդինատների առանցքի շուրջը.
Այս հոդվածը կքննարկի երկու դեպքերը: Հատկապես հետաքրքիր է պտտման երկրորդ մեթոդը, որն ամենաշատ դժվարություններն է առաջացնում, բայց իրականում լուծումը գրեթե նույնն է, ինչ x-առանցքի շուրջ ավելի տարածված պտույտում։ Որպես բոնուս, ես կվերադառնամ գործչի մակերեսը գտնելու խնդիր, և ես ձեզ կասեմ, թե ինչպես գտնել տարածքը երկրորդ եղանակով ՝ առանցքի երկայնքով: Դա այնքան էլ բոնուս չէ, քանի որ նյութը լավ տեղավորվում է թեմայի մեջ:
Սկսենք ռոտացիայի ամենատարածված տեսակից:
հարթ գործիչ առանցքի շուրջ
Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է առանցքի շուրջ գծերով սահմանափակված պատկերը պտտելով:
ԼուծումԻնչպես տարածքը գտնելու հարցում, լուծումը սկսվում է հարթ գործչի գծագրով. Այսինքն, հարթության վրա անհրաժեշտ է կառուցել գծերով սահմանափակված պատկեր և մի մոռացեք, որ հավասարումը նշում է առանցքը: Ինչպես ավելի արդյունավետ և արագ ավարտել գծագիրը, կարելի է գտնել էջերում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկություններըԵվ . Սա չինական հիշեցում է և շարունակվում է այս պահինԵս այլևս կանգ չեմ առնում։
Նկարչությունն այստեղ բավականին պարզ է.
Ցանկալի հարթ կերպարանքը ստվերված է կապույտով, այն է, որ պտտվում է առանցքի շուրջը: Պտտման արդյունքում ստացվում է մի փոքր ձվաձև թռչող ափսե, որը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ: Իրականում մարմինը մաթեմատիկական անուն ունի, բայց ես չափազանց ծույլ եմ որևէ բան պարզաբանել տեղեկագրքում, ուստի մենք առաջ ենք շարժվում:
Ինչպե՞ս հաշվարկել հեղափոխության մարմնի ծավալը:
Հեղափոխության մարմնի ծավալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով:
Բանաձևում թիվը պետք է լինի ինտեգրալից առաջ: Այդպես էլ եղավ՝ այն ամենը, ինչ պտտվում է կյանքում, կապված է այս հաստատունի հետ։
Կարծում եմ, հեշտ է կռահել, թե ինչպես կարելի է լրացված գծագրից սահմանել «a» և «be» ինտեգրման սահմանները:
Ֆունկցիա... ինչ է սա ֆունկցիան: Եկեք նայենք գծագրությանը: Հարթ պատկերը սահմանափակված է վերևում գտնվող պարաբոլայի գրաֆիկով: Սա այն գործառույթն է, որը ենթադրվում է բանաձևում:
Գործնական առաջադրանքներում հարթ գործիչը երբեմն կարող է տեղակայվել առանցքի տակ: Սա ոչինչ չի փոխում. բանաձևի ինտեգրանդը քառակուսի է ինտեգրալը միշտ ոչ բացասական է, ինչը շատ տրամաբանական է։
Եկեք հաշվարկենք պտտման մարմնի ծավալը՝ օգտագործելով այս բանաձևը. 
Ինչպես արդեն նշեցի, ինտեգրալը գրեթե միշտ պարզ է դառնում, գլխավորը զգույշ լինելն է։
Պատասխանել: 
Ձեր պատասխանում պետք է նշեք չափը՝ խորանարդ միավոր: Այսինքն՝ մեր պտտման մարմնում կա մոտավորապես 3,35 «խորանարդ»։ Ինչու խորանարդ միավորներ? Որովհետև ամենահամընդհանուր ձևակերպումը. Կարող է լինել խորանարդ սանտիմետր, կարող է լինել խորանարդ մետր, կարող է լինել խորանարդ կիլոմետր և այլն, ահա թե որքան կանաչ տղամարդու կարող է ձեր երևակայությունը տեղադրել թռչող ափսեի մեջ:
Գտե՛ք գծերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտույտից առաջացած մարմնի ծավալը,
Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։
Դիտարկենք երկու ավելի բարդ խնդիր, որոնք նույնպես հաճախ են հանդիպում գործնականում։
Հաշվեք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է պտտվելով պատկերի աբսցիսային առանցքի շուրջ, որը սահմանափակված է գծերով, և
ԼուծումԵկեք գծագրում պատկերենք հարթ պատկեր, որը սահմանափակված է , , , գծերով, առանց մոռանալու, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը.
Ցանկալի գործիչը ստվերված է կապույտով: Երբ այն պտտվում է իր առանցքի շուրջ, պարզվում է, որ չորս անկյուններով սյուրռեալիստական բլիթ է:
Եկեք հաշվարկենք պտտման մարմնի ծավալը որպես մարմինների ծավալների տարբերությունը.
Նախ, եկեք նայենք կարմիրով շրջապատված գործչին: Երբ այն պտտվում է առանցքի շուրջ, ստացվում է կտրված կոն։ Այս կտրված կոնի ծավալը նշանակենք .
Դիտարկենք այն պատկերը, որը շրջապատված է կանաչով: Եթե այս ցուցանիշը պտտեք առանցքի շուրջը, ապա կստանաք նաև կտրված կոն, միայն մի փոքր ավելի փոքր: Նրա ծավալը նշանակենք .
Եվ, ակնհայտորեն, ծավալների տարբերությունը հենց մեր «պոնչիկի» ծավալն է։
Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք ստանդարտ բանաձևը. 
1) Կարմիրով շրջապատված պատկերը վերևում սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.
2) Կանաչով շրջապատված պատկերը վերևում սահմանափակված է ուղիղ գծով, հետևաբար.
3) հեղափոխության ցանկալի մարմնի ծավալը. 
Պատասխանել: 
Հետաքրքիր է, որ այս դեպքում լուծումը կարելի է ստուգել՝ օգտագործելով դպրոցական բանաձևը՝ կտրված կոնի ծավալը հաշվարկելու համար:
Որոշումն ինքնին հաճախ ավելի կարճ է գրվում, այսպես. 
Հիմա եկեք մի փոքր հանգստանանք և պատմենք ձեզ երկրաչափական պատրանքների մասին:
Մարդիկ հաճախ պատրանքներ են ունենում հատորների հետ կապված, ինչը գրքում նկատել է Պերելմանը (մյուսը)։ Զվարճալի երկրաչափություն. Նայեք լուծված խնդրի հարթ թվին. այն կարծես թե փոքր է տարածքով, և հեղափոխության մարմնի ծավալը 50 խորանարդ միավորից մի փոքր ավելի է, ինչը չափազանց մեծ է թվում: Ի դեպ, միջին վիճակագրական մարդն իր ողջ կյանքում խմում է 18 քմ մակերեսով սենյակին համարժեք հեղուկ, որը, ընդհակառակը, չափազանց փոքր ծավալ է թվում։
Քնարական շեղումից հետո պարզապես տեղին է ստեղծագործական առաջադրանք լուծել.
Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է պտտվելով հարթ պատկերի առանցքի շուրջ, որը սահմանափակված է ուղիղներով, , որտեղ .
Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բոլոր դեպքերը տեղի են ունենում նվագախմբում, այլ կերպ ասած, իրականում տրված են ինտեգրման պատրաստի սահմաններ։ Ճիշտ գծե՛ք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները, հիշեցնեմ դասի նյութը գրաֆիկների երկրաչափական վերափոխումներեթե արգումենտը բաժանվում է երկուսի՝ , ապա գրաֆիկները երկու անգամ ձգվում են առանցքի երկայնքով։ Ցանկալի է գտնել առնվազն 3-4 միավոր ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակներիգծանկարն ավելի ճշգրիտ ավարտելու համար: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։ Ի դեպ, խնդիրը կարելի է լուծել ռացիոնալ և ոչ շատ ռացիոնալ։
Պտույտով առաջացած մարմնի ծավալի հաշվարկ
հարթ գործիչ առանցքի շուրջ
Երկրորդ պարբերությունը նույնիսկ ավելի հետաքրքիր կլինի, քան առաջինը: Օրդինատների առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը հաշվարկելու խնդիրը նույնպես բավականին հաճախակի հյուր է. թեստեր. Ճանապարհին այն կդիտարկվի գործչի մակերեսը գտնելու խնդիրերկրորդ մեթոդը առանցքի երկայնքով ինտեգրումն է, դա թույլ կտա ոչ միայն բարելավել ձեր հմտությունները, այլև կսովորեցնի գտնել լուծման առավել շահավետ ճանապարհը: Սրա մեջ նաև գործնական կյանքի իմաստ կա։ Ինչպես ժպիտով հիշում էր մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդների իմ ուսուցչուհին, շատ շրջանավարտներ շնորհակալություն հայտնեցին նրան հետևյալ խոսքերով. Օգտվելով առիթից՝ ես նաև իմ մեծ երախտագիտությունն եմ հայտնում նրան, մանավանդ որ ձեռք բերած գիտելիքներն օգտագործում եմ իր նպատակային նպատակի համար =):
Ես դա խորհուրդ եմ տալիս բոլորին, նույնիսկ ամբողջական խաբեբաներին: Ավելին, երկրորդ պարբերությունում սովորած նյութը անգնահատելի օգնություն կցուցաբերի կրկնակի ինտեգրալների հաշվարկման հարցում..
Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով , , :
1) Գտեք այս տողերով սահմանափակված հարթ գործչի մակերեսը:
2) Գտե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է այս գծերով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:
Ուշադրություն.Նույնիսկ եթե ցանկանում եք կարդալ միայն երկրորդ կետը, համոզվեք, որ նախ կարդացեք առաջինը:
ԼուծումԱռաջադրանքը բաղկացած է երկու մասից. Սկսենք հրապարակից։
1) Եկեք նկարենք.
Հեշտ է տեսնել, որ ֆունկցիան նշում է պարաբոլայի վերին ճյուղը, իսկ ֆունկցիան՝ պարաբոլայի ստորին ճյուղը։ Մեր առջև մի չնչին պարաբոլա է, որը «կողքի վրա է ընկած»։
Ցանկալի գործիչը, որի մակերեսը պետք է գտնել, ստվերված է կապույտով:
Ինչպե՞ս գտնել գործչի մակերեսը: Այն կարելի է գտնել «սովորական» ձևով, որը քննարկվել է դասարանում Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը. Ավելին, նկարի տարածքը հայտնաբերվում է որպես տարածքների գումար.
- հատվածի վրա 
;
- հատվածի վրա.
Ահա թե ինչու:
Ինչու է այս դեպքում սովորական լուծումը վատ: Նախ, մենք ստացանք երկու ինտեգրալ. Երկրորդ, ինտեգրալների տակ արմատներ կան, իսկ ինտեգրալների արմատները նվեր չեն, և բացի այդ, կարելի է շփոթվել ինտեգրման սահմանները փոխարինելիս։ Իրականում, ինտեգրալները, իհարկե, սպանիչ չեն, բայց գործնականում ամեն ինչ կարող է շատ ավելի տխուր լինել, ես պարզապես ընտրեցի «ավելի լավ» գործառույթներ խնդրի համար:
Կա ավելի ռացիոնալ լուծում՝ այն բաղկացած է հակադարձ ֆունկցիաների անցնելուց և առանցքի երկայնքով ինտեգրվելուց։
Ինչպե՞ս հասնել հակադարձ ֆունկցիաների: Կոպիտ ասած, պետք է «x»-ը «y»-ով արտահայտել։ Նախ, եկեք նայենք պարաբոլային.
Սա բավական է, բայց եկեք համոզվենք, որ նույն գործառույթը կարող է ստացվել ստորին ճյուղից.
Ավելի հեշտ է ուղիղ գծով.
Հիմա նայեք առանցքին. խնդրում ենք պարբերաբար գլուխը թեքել աջ 90 աստիճանով, երբ բացատրում եք (սա կատակ չէ): Մեզ անհրաժեշտ գործիչը ընկած է հատվածի վրա, որը նշված է կարմիր կետավոր գծով: Այս դեպքում, հատվածի վրա ուղիղ գիծը գտնվում է պարաբոլայի վերևում, ինչը նշանակում է, որ գործչի տարածքը պետք է գտնել՝ օգտագործելով ձեզ արդեն ծանոթ բանաձևը. 
. Ի՞նչ է փոխվել բանաձևում. Ընդամենը նամակ և ոչ ավելին:
! ՆշումՊետք է սահմանվեն առանցքի երկայնքով ինտեգրման սահմանները խստորեն ներքեւից վերեւ!
Տարածքը գտնելը.
Հետևաբար հատվածի վրա. 
Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես իրականացրել ինտեգրումը, սա ամենառացիոնալ ճանապարհն է, և առաջադրանքի հաջորդ պարբերությունում պարզ կլինի, թե ինչու։
Ընթերցողների համար, ովքեր կասկածում են ինտեգրման ճիշտությանը, ես կգտնեմ ածանցյալներ. 
Ստացվում է ինտեգրման սկզբնական ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրումը ճիշտ է կատարվել:
Պատասխանել:
2) Հաշվենք մարմնի ծավալը, որը ձևավորվում է այս գործչի առանցքի շուրջ պտտվելուց:
Ես կնկարեմ նկարը մի փոքր այլ ձևով.
Այսպիսով, կապույտով ստվերված գործիչը պտտվում է առանցքի շուրջը: Արդյունքում ստացվում է «սավառնող թիթեռ», որը պտտվում է իր առանցքի շուրջ։
Պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք ինտեգրվելու ենք առանցքի երկայնքով: Նախ պետք է անցնենք հակադարձ ֆունկցիաներին: Սա արդեն արվել և մանրամասն նկարագրվել է նախորդ պարբերությունում:
Այժմ մենք նորից գլուխը թեքում ենք դեպի աջ և ուսումնասիրում մեր կազմվածքը։ Ակնհայտ է, որ պտտվող մարմնի ծավալը պետք է գտնել որպես ծավալների տարբերություն:
Մենք պտտում ենք առանցքի շուրջ կարմիրով պտտվող գործիչը, որի արդյունքում ստացվում է կտրված կոն: Այս ծավալը նշանակենք .
Մենք պտտում ենք կանաչ գույնով պտտվող պատկերը առանցքի շուրջ և այն նշում ենք ստացված պտտման մարմնի ծավալով։
Մեր թիթեռի ծավալը հավասար է ծավալների տարբերությանը։
Հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը. 
Ո՞րն է տարբերությունը նախորդ պարբերության բանաձևից: Միայն նամակում.
Բայց ինտեգրման առավելությունը, որի մասին ես վերջերս խոսեցի, շատ ավելի հեշտ է գտնել 
, այլ ոչ թե նախ ինտեգրանդը բարձրացնել 4-րդ իշխանության։
Պատասխանել: 
Նկատի ունեցեք, որ եթե նույն հարթ պատկերը պտտվի առանցքի շուրջը, բնականաբար, դուք կստանաք պտտման լրիվ այլ մարմին՝ այլ ծավալով։
Տրվում է տափակ պատկեր, որը սահմանափակված է գծերով և առանցքով:
1) Գնացեք հակադարձ ֆունկցիաներ և գտեք հարթ գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է այս տողերով՝ ինտեգրվելով փոփոխականի վրա:
2) Հաշվե՛ք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է այս ուղիղներով սահմանափակված հարթ պատկերն առանցքի շուրջը պտտելով:
Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Հետաքրքրվողները կարող են գտնել նաև գործչի տարածքը «սովորական» եղանակով՝ դրանով իսկ ստուգելով 1-ին կետը): Բայց եթե, կրկնում եմ, հարթ ֆիգուր պտտես առանցքի շուրջ, կստանաս պտտման լրիվ այլ մարմին՝ այլ ծավալով, ի դեպ՝ ճիշտ պատասխան (նաև խնդիրներ լուծել սիրողների համար)։
Առաջադրանքի երկու առաջարկված կետերի ամբողջական լուծումը դասի վերջում է:
Այո, և մի մոռացեք ձեր գլուխը թեքել դեպի աջ՝ հասկանալու պտտման մարմինները և ինտեգրման սահմանները:
Ես պատրաստվում էի հոդվածն ավարտել, բայց այսօր մի հետաքրքիր օրինակ բերեցին հենց օրդինատների առանցքի շուրջ հեղափոխության մարմնի ծավալը գտնելու համար։ Թարմ:
Հաշվե՛ք կորերով սահմանափակված պատկերի առանցքի շուրջ պտտվելուց առաջացած մարմնի ծավալը և .
Լուծում: Եկեք նկարենք.
Ճանապարհին մենք ծանոթանում ենք մի քանի այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներին։ Սա հետաքրքիր գրաֆիկ է նույնիսկ գործառույթ ….
Թող T-ն լինի պտույտի մարմին, որը ձևավորվում է վերին կիսահարթությունում գտնվող կորագիծ տրապիզոնի աբսցիսային առանցքի շուրջը պտտվելուց և սահմանափակ առանցքաբսցիսա, ուղիղներ x=a և x=b և գրաֆիկ շարունակական գործառույթ y=f(x) .
Եկեք ապացուցենք, որ սա է հեղափոխության մարմինը խորանարդված է, և դրա ծավալն արտահայտվում է բանաձևով
V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.
Նախ, մենք ապացուցում ենք, որ պտույտի այս մարմինը կանոնավոր է, եթե պտտման առանցքին ուղղահայաց Oyz հարթությունն ընտրենք որպես \Pi: Նկատի ունեցեք, որ Oyz հարթությունից x հեռավորության վրա գտնվող հատվածը f(x) շառավղով շրջան է, իսկ S(x) մակերեսը հավասար է \pi f^2(x)-ի (նկ. 46): Հետևաբար, S(x) ֆունկցիան շարունակական է f(x)-ի շարունակականության պատճառով։ Հաջորդը, եթե S(x_1)\leqslant S(x_2), ապա սա նշանակում է, որ. Բայց Oyz հարթության վրա հատվածների կանխատեսումները f(x_1) և f(x_2) շառավիղների շրջաններ են O կենտրոնով, և սկսած f(x_1)\leqslant f(x_2)հետևում է, որ f(x_1) շառավղով շրջանագիծը պարունակվում է f(x_2) շառավղով շրջանագծի մեջ:
Այնպես որ, հեղափոխության մարմինը կանոնավոր է։ Հետեւաբար, այն խորանարդվում է, և դրա ծավալը հաշվարկվում է բանաձևով
V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.
Եթե կորագիծ տրապիզը սահմանափակված է և՛ ներքև, և՛ վերևում y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), ապա.
V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(բ)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.
Բանաձև (3) կարող է օգտագործվել նաև պտտվող մարմնի ծավալը հաշվարկելու համար այն դեպքում, երբ տրված է պտտվող գործչի սահմանը. պարամետրային հավասարումներ. Այս դեպքում դուք պետք է օգտագործեք փոփոխականի փոփոխություն որոշակի ինտեգրալ նշանի տակ:
Որոշ դեպքերում պարզվում է, որ հարմար է պտտվող մարմինները քայքայել ոչ թե ուղիղ շրջանաձև գլանների, այլ այլ տեսակի ֆիգուրների:
Օրինակ, եկեք գտնենք մարմնի ծավալը, որը ստացվում է կոր trapezoid-ը օրդինատների առանցքի շուրջ պտտելով. Նախ գտնենք y# բարձրությամբ ուղղանկյունը պտտելու արդյունքում ստացված ծավալը, որի հիմքում ընկած է հատվածը: Այս ծավալը հավասար է երկու ուղիղ շրջանաձև գլանների ծավալների տարբերությանը
\Դելտա V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).
Բայց հիմա պարզ է, որ պահանջվող ծավալը վերևից և ներքևից գնահատվում է հետևյալ կերպ.
2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.
Այստեղից հեշտությամբ հետևում է Օրդինատների առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալի բանաձևը:
V=2\pi \int\սահմաններ_(ա)^(բ) xy\,dx\,.
Օրինակ 4.Գտնենք R շառավղով գնդակի ծավալը։
Լուծում.Առանց ընդհանրության կորստի, մենք կդիտարկենք R շառավիղով շրջան, որի կենտրոնը սկզբում է: Այս շրջանագիծը, պտտվելով Ox առանցքի շուրջ, կազմում է գնդակ: Շրջանակի հավասարումը x^2+y^2=R^2 է, ուրեմն y^2=R^2-x^2: Հաշվի առնելով շրջանագծի համաչափությունը օրդինատների առանցքի նկատմամբ՝ նախ գտնում ենք պահանջվող ծավալի կեսը.
\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \ձախ.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\աջ))\աջ|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.
Այսպիսով, ամբողջ գնդակի ծավալը հավասար է \frac(4)(3)\pi R^3.
Օրինակ 5.Հաշվե՛ք կոնի ծավալը, որի բարձրությունը h և հիմքի շառավիղը r։
Լուծում.Ընտրենք կոորդինատային համակարգ այնպես, որ Ox առանցքը համընկնի h բարձրության հետ (նկ. 47), և որպես կոորդինատների սկզբնակետ վերցնենք կոնի գագաթը։ Այնուհետև OA ուղիղ գծի հավասարումը կգրվի y=\frac(r)(h)\,x ձևով։
Օգտագործելով բանաձևը (3), մենք ստանում ենք.
V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \ձախ.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\աջ|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.
Օրինակ 6.Գտնենք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է ասրոիդի x առանցքի շուրջ պտտվելով \սկիզբ(դեպքեր)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\վերջ (դեպքեր)(նկ. 48):
Լուծում.Եկեք կառուցենք աստրոիդ: Դիտարկենք ասրոիդի վերին մասի կեսը, որը գտնվում է օրդինատների առանցքի նկատմամբ սիմետրիկորեն։ Օգտագործելով բանաձևը (3) և փոխելով փոփոխականը որոշակի ինտեգրալ նշանի տակ՝ մենք գտնում ենք t նոր փոփոխականի ինտեգրման սահմանները:
Եթե x=a\cos^3t=0, ապա t=\frac(\pi)(2), իսկ եթե x=a\cos^3t=a, ապա t=0: նկատի ունենալով, որ y^2=a^2\sin^6t և dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, ստանում ենք.
V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a) \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.
Ասրոիդի պտույտից առաջացած ամբողջ մարմնի ծավալը կլինի \frac(32\pi)(105)\,a^3.
Օրինակ 7.Եկեք գտնենք մարմնի ծավալը, որը ստացվել է պտտվելով կորագիծ տրապեզիի օրդինատային առանցքի շուրջ, որը սահմանափակված է x առանցքով և ցիկլոիդի առաջին աղեղով։ \սկիզբ(դեպքեր)x=a(t-\sin(t)), \\ y=a(1-\cos(t)).\վերջ(դեպքեր).
Լուծում.Եկեք օգտագործենք բանաձևը (4). V=2\pi \int\սահմաններ_(ա)^(բ)xy\,dx, և փոփոխականը փոխարինել ինտեգրալ նշանի տակ՝ հաշվի առնելով, որ ցիկլոիդի առաջին աղեղը ձևավորվում է, երբ t փոփոխականը 0-ից դառնում է 2\pi։ Այսպիսով,
\սկիզբ(հավասարեցված)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3: \վերջ (հավասարեցված)
Javascript-ն անջատված է ձեր դիտարկիչում:Հաշվարկներ կատարելու համար դուք պետք է ակտիվացնեք ActiveX կառավարները:
Օգտագործելով ինտեգրալներ՝ գտնելու պտտման մարմինների ծավալները
Մաթեմատիկայի գործնական օգտակարությունը պայմանավորված է նրանով, որ առանց
Հատուկ մաթեմատիկական գիտելիքները դժվարացնում են սարքի սկզբունքները և ժամանակակից տեխնոլոգիաների կիրառումը: Յուրաքանչյուր մարդ իր կյանքում պետք է կատարի բավականին բարդ հաշվարկներ, օգտագործի սովորաբար օգտագործվող սարքավորումները, գտնի անհրաժեշտ բանաձևերը տեղեկատու գրքերում և ստեղծի պարզ ալգորիթմներ խնդիրների լուծման համար: IN ժամանակակից հասարակությունավելի ու ավելի շատ մասնագիտություններ պահանջող բարձր մակարդակկրթությունը կապված է մաթեմատիկայի անմիջական կիրառման հետ։ Այսպիսով, մաթեմատիկան դառնում է ուսանողի համար մասնագիտորեն նշանակալի առարկա։ Առաջատար դերը պատկանում է մաթեմատիկային ալգորիթմական մտածողության ձևավորման գործում, այն զարգացնում է տվյալ ալգորիթմի համաձայն գործելու և նոր ալգորիթմներ կառուցելու կարողությունը։
Հեղափոխության մարմինների ծավալները հաշվարկելու համար ինտեգրալի օգտագործման թեման ուսումնասիրելիս ընտրովի դասարաններում սովորողներին առաջարկում եմ քննարկել թեման՝ «Հեղափոխության մարմինների ծավալները՝ օգտագործելով ինտեգրալները»։ Ստորև բերված են մեթոդաբանական առաջարկություններ այս թեմայի քննարկման համար.
1. Հարթ գործչի մակերես:
Հանրահաշվի դասընթացից գիտենք, որ գործնական բնույթի խնդիրները հանգեցրել են որոշակի ինտեգրալի հասկացությանը..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >
https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">:
Ox առանցքի շուրջ կորագիծ տրապիզոնի պտույտից առաջացած պտտման մարմնի ծավալը գտնելու համար, որը սահմանափակված է y=f(x) ճեղքված գծով, Ox առանցքով, x=a և x=b ուղիղ գծերով, հաշվարկում ենք. օգտագործելով բանաձեւը
https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y
3.Գլանների ծավալը.
https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Կոնը ստացվում է պտտման միջոցով ուղղանկյուն եռանկյուն ABC(C=90) Ox առանցքի շուրջ, որի վրա ընկած է AC ոտքը:
AB հատվածը գտնվում է y=kx+c ուղիղ գծի վրա, որտեղ https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">:
Թող a=0, b=H (H-ը կոնի բարձրությունն է), ապա Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= «>.
5.Կտրված կոնի ծավալը:
Կտրված կոն կարելի է ձեռք բերել՝ Ox առանցքի շուրջ ուղղանկյուն ABCD (CDOx) պտտելով:
AB հատվածն ընկած է y=kx+c ուղիղ գծի վրա, որտեղ 
, c=r.
Քանի որ ուղիղ գիծն անցնում է A կետով (0;r):
Այսպիսով, ուղիղ գիծը նման է https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">
Թող a=0, b=H (H-ը կտրված կոնի բարձրությունն է), ապա https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src" ="> = 
.
6. Գնդակի ծավալը.
Գնդակը կարելի է ստանալ՝ Ox առանցքի շուրջ (0;0) կենտրոնով շրջան պտտելով: Ox առանցքի վերևում գտնվող կիսաշրջանը տրված է հավասարմամբ
https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x Ռ.
