տուն Ծածկված լեզու Գտեք հարթության գործչի տարածքը առցանց: Օրինակներ

Ծածկված լեզու

Գտեք հարթության գործչի տարածքը առցանց: Օրինակներ

Այս հոդվածում դուք կսովորեք, թե ինչպես գտնել գործչի տարածքը, սահմանափակված տողերով, օգտագործելով հաշվարկներ՝ օգտագործելով ինտեգրալներ։ Առաջին անգամ նման խնդրի ձևակերպմանը հանդիպում ենք ավագ դպրոցում, երբ նոր ենք ավարտել որոշակի ինտեգրալների ուսումնասիրությունը և ժամանակն է սկսել գործնականում ձեռք բերված գիտելիքների երկրաչափական մեկնաբանությունը։

Այսպիսով, ինչ է պահանջվում ինտեգրալների միջոցով գործչի տարածքը գտնելու խնդիրը հաջողությամբ լուծելու համար.

Գրագետ գծագրեր կատարելու ունակություն;
Լուծելու հմտություններ որոշակի ինտեգրալօգտագործելով հայտնի բանաձևըՆյուտոն-Լայբնից;
Ավելի շահավետ լուծման տարբերակ «տեսնելու» ունակությունը, այսինքն. հասկանո՞ւմ եք, թե այս կամ այն դեպքում ինչպես ավելի հարմար կլինի ինտեգրացիա իրականացնել։ x առանցքի երկայնքով (OX) թե y առանցքի (OY):
Դե, որտե՞ղ կլինեինք մենք առանց ճիշտ հաշվարկների:) Սա ներառում է հասկանալ, թե ինչպես լուծել այդ այլ տեսակի ինտեգրալները և ճիշտ թվային հաշվարկներ:

Գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը հաշվարկելու խնդրի լուծման ալգորիթմ.

1. Մենք գծանկար ենք կառուցում։ Ցանկալի է դա անել վանդակավոր թղթի վրա, մեծ մասշտաբով։ Յուրաքանչյուր գրաֆիկի վերևում մատիտով ստորագրում ենք այս ֆունկցիայի անունը։ Գրաֆիկների ստորագրումը կատարվում է բացառապես հետագա հաշվարկների հարմարության համար: Ստանալով ցանկալի գործչի գրաֆիկը, շատ դեպքերում անմիջապես պարզ կլինի, թե ինտեգրման որ սահմաններն են օգտագործվելու: Ահա թե ինչպես ենք մենք լուծում խնդիրը գրաֆիկական մեթոդ. Այնուամենայնիվ, պատահում է, որ սահմանների արժեքները կոտորակային կամ իռացիոնալ են: Հետեւաբար, դուք կարող եք կատարել լրացուցիչ հաշվարկներ, անցեք երկրորդ քայլին:

2. Եթե ինտեգրման սահմանները հստակորեն նշված չեն, ապա մենք գտնում ենք գրաֆիկների հատման կետերը միմյանց հետ և տեսնում ենք արդյոք մեր գրաֆիկական լուծումվերլուծականով։

3. Հաջորդը, դուք պետք է վերլուծեք նկարը: Կախված նրանից, թե ինչպես են դասավորված ֆունկցիաների գրաֆիկները, կան տարբեր մոտեցումներգտնել գործչի մակերեսը. Եկեք դիտարկենք տարբեր օրինակներինտեգրալների միջոցով պատկերի մակերեսը գտնելու մասին:

3.1. Խնդրի ամենադասական և ամենապարզ տարբերակն այն է, երբ դուք պետք է գտնեք կոր տրապիզոնի տարածքը: Ի՞նչ է կոր trapezoid-ը: Սա x-առանցքով սահմանափակված հարթ ցուցանիշ է (y = 0), ուղիղ x = a, x = bև ցանկացած կոր, որը շարունակվում է սկսած միջակայքի վրա անախքան բ. Ընդ որում, այս ցուցանիշը ոչ բացասական է և գտնվում է x առանցքից ոչ ցածր: Այս դեպքում կորագիծ trapezoid-ի տարածքը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալի, որը հաշվարկվում է Newton-Leibniz բանաձևով.

Օրինակ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ո՞ր գծերով է սահմանափակված պատկերը: Մենք պարաբոլա ունենք y = x2 – 3x + 3, որը գտնվում է առանցքի վերևում Օհ, դա ոչ բացասական է, քանի որ այս պարաբոլայի բոլոր կետերն ունեն դրական արժեքներ: Հաջորդը, տրված ուղիղ գծեր x = 1Եվ x = 3, որոնք անցնում են առանցքին զուգահեռ OU, ձախ և աջ նկարի սահմանային գծերն են։ Դե, y = 0, դա նաև x առանցքն է, որը սահմանափակում է պատկերը ներքևից։ Ստացված գործիչը ստվերված է, ինչպես երևում է ձախ կողմի նկարից: IN այս դեպքում, կարող եք անմիջապես սկսել խնդրի լուծումը: Մեր առջև կա կոր trapezoid-ի պարզ օրինակ, որը մենք այնուհետև լուծում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով:

3.2. Նախորդ 3.1 պարբերությունում մենք ուսումնասիրեցինք այն դեպքը, երբ կոր trapezoid գտնվում է x առանցքի վերևում: Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ խնդրի պայմանները նույնն են, բացառությամբ, որ ֆունկցիան գտնվում է x առանցքի տակ: Նյուտոն-Լայբնից ստանդարտ բանաձևին ավելացվում է մինուս: Ինչպես լուծել նման խնդիրը, մենք կքննարկենք ստորև:

Օրինակ 2 . Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Այս օրինակում մենք ունենք պարաբոլա y = x2 + 6x + 2, որը սկիզբ է առնում առանցքից Օհ, ուղիղ x = -4, x = -1, y = 0. Այստեղ y = 0սահմանափակում է ցանկալի ցուցանիշը վերևից: Ուղղակի x = -4Եվ x = -1սրանք այն սահմաններն են, որոնցում կհաշվարկվի որոշակի ինտեգրալը: Նկարի տարածքը գտնելու խնդրի լուծման սկզբունքը գրեթե ամբողջությամբ համընկնում է օրինակի թիվ 1-ի հետ: Միակ տարբերությունն այն է, որ տվյալ ֆունկցիան դրական չէ և նաև շարունակական է միջակայքում: [-4; -1] . Ի՞նչ նկատի ունեք ոչ դրական: Ինչպես երևում է նկարից, տվյալ x-երի ներսում գտնվող գործիչը ունի բացառապես «բացասական» կոորդինատներ, ինչը մենք պետք է տեսնենք և հիշենք խնդիրը լուծելիս: Մենք փնտրում ենք նկարի տարածքը Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով, միայն սկզբում մինուս նշանով:

Հոդվածն ավարտված չէ։

Ա)

Լուծում.

Որոշման առաջին և ամենակարևոր կետը գծագրի կառուցումն է.

Եկեք նկարենք.

Հավասարումը y=0 սահմանում է «x» առանցքը;

- x=-2 Եվ x=1 - ուղիղ, առանցքին զուգահեռ OU;

- y=x 2 +2 - պարաբոլա, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր՝ գագաթը (0;2) կետում։

Մեկնաբանություն.Պարաբոլա կառուցելու համար բավական է գտնել դրա հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ, այսինքն. դնելով x=0 գտի՛ր առանցքի հետ հատումը OU և համապատասխանաբար որոշում կայացնելը քառակուսային հավասարում, գտե՛ք առանցքի հետ հատումը Օ՜ .

Պարաբոլայի գագաթը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Կարող եք նաև գծեր կառուցել կետ առ կետ:

[-2;1] միջակայքի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը y=x 2 +2 գտնվում է առանցքից վեր Եզ , Ահա թե ինչու:

Պատասխան. Ս =9 քառ

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում, «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրության բջիջների քանակը. լավ, կլինի մոտ 9, կարծես թե ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե ստանանք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավորներ, ապա ակնհայտ է, որ ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Ինչ անել, եթե գտնվում է կոր trapezoid- ը առանցքի տակ Օ՜

բ)Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը y=-e x , x=1 և կոորդինատային առանցքներ:

Լուծում.

Եկեք նկարենք:

Եթե կոր trapezoid ամբողջությամբ գտնվում է առանցքի տակ Օ՜ , ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Պատասխան. S=(e-1) քառ. միավոր» 1.72 քառ

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթել:

1) Եթե ձեզ խնդրեն լուծել ուղղակի որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է բացասական լինել:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով մինուսը հայտնվում է հենց նոր քննարկված բանաձեւում։

Գործնականում ամենից հաճախ ուրվագիծը գտնվում է ինչպես վերին, այնպես էլ ստորին կիսակառույցում:

Հետ)Գտեք հարթ պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով y=2x-x 2, y=-x.

Լուծում.

Նախ անհրաժեշտ է լրացնել նկարը: Ընդհանուր առմամբ, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի հատման կետերը և ուղիղ Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին մեթոդը վերլուծական է:

Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Սա նշանակում է, որ ինտեգրման ստորին սահմանը a=0 , ինտեգրման վերին սահմանը b=3 .

Մենք կառուցում ենք տրված տողերը 1. Պարաբոլա - գագաթ (1;1) կետում; առանցքի խաչմերուկ Օհ -միավորներ (0;0) և (0;2): 2. Ուղիղ՝ 2-րդ և 4-րդ կոորդինատային անկյունների կիսորդ: Իսկ հիմա Ուշադրություն. Եթե հատվածում [ ա;բ] որոշ շարունակական ֆունկցիա f(x)ավելի մեծ կամ հավասար որոշներին շարունակական գործառույթ g(x), ապա համապատասխան գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով. .

Եվ կարևոր չէ, թե որտեղ է պատկերը գտնվում՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, բայց կարևորն այն է, թե որ գրաֆիկն է ավելի բարձր (մեկ այլ գրաֆիկի համեմատ), և որը՝ ՆԵՐՔՈՒՄ: Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Դուք կարող եք գծեր կառուցել կետ առ կետ, և ինտեգրման սահմանները պարզ կդառնան «իրենց»: Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ մանրամասն կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ):

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևում գտնվող պարաբոլայով և ներքևում ուղիղ գծով:

Սեգմենտի վրա , ըստ համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխան. Ս =4,5 քառ

Փաստորեն, գործչի մակերեսը գտնելու համար անորոշ և որոշակի ինտեգրալի մասին այդքան շատ գիտելիքներ պետք չեն: «Հաշվել տարածքը որոշակի ինտեգրալով» առաջադրանքը միշտ ներառում է գծանկարի կառուցում, այնքան ավելին արդիական խնդիրկլինի ձեր գիտելիքներն ու հմտությունները նկարչության մեջ: Այս առումով օգտակար է թարմացնել հիմնականի գրաֆիկների հիշողությունը տարրական գործառույթներ, և, առնվազն, կարողանալ կառուցել ուղիղ գիծ և հիպերբոլա:

Կոր trapezoid-ը հարթ պատկեր է, որը սահմանափակվում է առանցքով, ուղիղ գծերով և շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկով մի հատվածի վրա, որը նշանը չի փոխում այս միջակայքում: Թող այս ցուցանիշը գտնվի ոչ պակաս x առանցք:

Հետո կորագիծ trapezoid-ի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալի. Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) ունի շատ լավ երկրաչափական իմաստ.

Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔՆ է.

Այն է,որոշակի ինտեգրալ (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է որոշակի գործչի տարածքին: Օրինակ, դիտարկենք որոշակի ինտեգրալը: Ինտեգրանդը առանցքի վերևում գտնվող հարթության վրա սահմանում է կոր (ցանկացողները կարող են նկարել), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվայինորեն հավասար է համապատասխան կորագիծ trapezoid-ի մակերեսին։

Օրինակ 1

Սա տիպիկ հանձնարարական հայտարարություն է: Որոշման առաջին և ամենակարևոր կետը գծագրի կառուցումն է. Ավելին, նկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Գծանկար կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. սկզբումավելի լավ է կառուցել բոլոր ուղիղ գծերը (եթե դրանք կան) և միայն Հետո- պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ավելի շահավետ է ֆունկցիաների գրաֆիկներ կառուցելը կետ առ կետ.

Այս խնդրի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
Եկեք նկարենք գծագիրը (նկատենք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը).

Հատվածի վրա տեղադրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը առանցքից վեր, Ահա թե ինչու:

Պատասխան.

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում, «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրության բջիջների քանակը. լավ, կլինի մոտ 9, կարծես թե ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե ստացել ենք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա ակնհայտ է, որ ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 3

Հաշվեք գծերի և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված նկարի տարածքը:

Լուծում: Եկեք նկարենք.

Եթե գտնվում է կոր trapezoid առանցքի տակ(կամ գոնե ոչ ավելի բարձրտրված առանցքը), ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևը.

Այս դեպքում:

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթել:

Գործնականում ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է և՛ վերին, և՛ ստորին կիսակառույցում, և, հետևաբար, դպրոցական ամենապարզ խնդիրներից մենք անցնում ենք ավելի բովանդակալից օրինակների:

Օրինակ 4

Գտե՛ք հարթ պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով, .

ԼուծումՍկզբում պետք է լրացնել նկարը: Ընդհանուր առմամբ, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետերը։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին մեթոդը վերլուծական է: Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Սա նշանակում է, որ ինտեգրման ստորին սահմանն է, ինտեգրման վերին սահմանը:

Հնարավորության դեպքում ավելի լավ է չօգտագործել այս մեթոդը։.

Կետ առ կետ գծեր կառուցելը շատ ավելի շահավետ և արագ է, և ինտեգրման սահմանները պարզ են դառնում «ինքնին»։ Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ մանրամասն կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Եվ մենք կքննարկենք նաև նման օրինակ.

Վերադառնանք մեր առաջադրանքին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ապա միայն պարաբոլա: Եկեք նկարենք.

Իսկ հիմա աշխատանքային բանաձեւըԵթե սեգմենտի վրա ինչ-որ շարունակական ֆունկցիա կա ավելի մեծ կամ հավասարորոշ շարունակական ֆունկցիա, այնուհետև այս ֆունկցիաների գրաֆիկներով և գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս կարիք չկա մտածել այն մասին, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, և, կոպիտ ասած, կարևոր է, թե որ գրաֆիկն է ավելի բարձր(այլ գրաֆիկի համեմատ), իսկ ո՞րն է ՍՏՈՐԵՎ.

Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Ավարտված լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևում գտնվող պարաբոլայով և ներքևում ուղիղ գծով:
Սեգմենտի վրա, ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է , , , գծերով:

ԼուծումՆախ, եկեք նկարենք.

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, կապույտ ստվերում է(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչպես է գործիչը սահմանափակվում): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, հաճախ առաջանում է «խափանում», որ դուք պետք է գտնեք ստվերավորված գործչի տարածքը. կանաչ!

Այս օրինակը նաև օգտակար է նրանով, որ այն հաշվարկում է գործչի տարածքը` օգտագործելով երկու որոշակի ինտեգրալներ:

Իսկապես:

1) առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա ուղիղ գծի գրաֆիկ.

2) Առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա հիպերբոլայի գրաֆիկ:

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Եկեք շարունակենք դիտարկել ինտեգրալ հաշվարկի կիրառությունները: Այս դասում մենք կվերլուծենք բնորոշ և ամենատարածված առաջադրանքը հարթ գործչի տարածքի հաշվարկը որոշակի ինտեգրալի միջոցով. Վերջապես, թող գտնեն բոլոր նրանք, ովքեր իմաստ են փնտրում բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ։ Դու երբեք չես իմանա. Կյանքում պետք է մոտեցնել այն գյուղական քոթեջի տարածքտարրական ֆունկցիաներ և գտնել դրա տարածքը որոշակի ինտեգրալով:

Նյութը հաջողությամբ տիրապետելու համար պետք է.

1) հասկանալ անորոշ ինտեգրալը առնվազն միջանկյալ մակարդակում: Այսպիսով, խաբեբաները նախ պետք է կարդան դասը Ոչ.

2) Կարողանալ կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը և հաշվարկել որոշակի ինտեգրալը. Էջում կարող եք ջերմ ընկերական հարաբերություններ հաստատել որոշակի ինտեգրալների հետ Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ. «Հաշվել տարածքը որոշակի ինտեգրալով» առաջադրանքը միշտ ներառում է գծանկարի կառուցում, ուստի ձեր գիտելիքներն ու նկարչական հմտությունները նույնպես համապատասխան խնդիր կլինեն։ Առնվազն, դուք պետք է կարողանաք կառուցել ուղիղ գիծ, պարաբոլա և հիպերբոլա:

Սկսենք կոր trapezoid-ից: Կոր trapezoid-ը հարթ պատկեր է, որը սահմանափակվում է որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկով y = զ(x), առանցք ԵԶև տողեր x = ա; x = բ.

Կորագիծ տրապիզոիդի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալի

Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։ Դասին Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներմենք ասացինք, որ որոշակի ինտեգրալը թիվ է։ Եվ հիմա ժամանակն է նշել ևս մեկը օգտակար փաստ. Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔՆ է. Այն է, որոշակի ինտեգրալը (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է որոշակի գործչի մակերեսին. Դիտարկենք որոշակի ինտեգրալը

Ինտեգրանդ

հարթության վրա սահմանում է կոր (ցանկության դեպքում այն կարելի է գծել), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվայինորեն հավասար է համապատասխան կորագիծ trapezoid-ի տարածքին:

Օրինակ 1

, , , .

Սա տիպիկ հանձնարարական հայտարարություն է: Ամենակարևոր կետըլուծումներ - նկարչություն. Ավելին, նկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Գծանկար կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. սկզբումավելի լավ է կառուցել բոլոր ուղիղ գծերը (եթե դրանք կան) և միայն Հետո– պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Կետ առ կետ շինարարության տեխնիկան կարելի է գտնել հղման նյութում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները. Այնտեղ կարող եք գտնել նաև շատ օգտակար նյութ մեր դասի համար՝ ինչպես արագ կառուցել պարաբոլա։

Այս խնդրի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Եկեք կատարենք գծագիրը (նկատի ունեցեք, որ հավասարումը y= 0-ը նշում է առանցքը ԵԶ):

Մենք չենք ստվերի կոր trapezoid-ը, այստեղ ակնհայտ է, թե ինչ տարածքի մասին է խոսքը։ Լուծումը շարունակվում է այսպես.

Սեգմենտի վրա [-2; 1] ֆունկցիայի գրաֆիկ y = x 2 + 2 տեղակայված առանցքից վերԵԶ, Ահա թե ինչու:

Պատասխան. .

Ով դժվարություններ ունի որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու և Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի կիրառման հարցում

անդրադառնալ դասախոսությանը Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ. Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում մենք «աչքով» հաշվում ենք գծագրության բջիջների քանակը. լավ, կլինի մոտ 9, ինչը, թվում է, ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե ստացել ենք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա ակնհայտ է, որ ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 2

Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը xy = 4, x = 2, x= 4 և առանցք ԵԶ.

Սա օրինակ է անկախ որոշում. Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Ինչ անել, եթե գտնվում է կոր trapezoid- ը առանցքի տակԵԶ?

Օրինակ 3

Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը y = e-x, x= 1 և կոորդինատային առանցքներ:

Լուծում. Եկեք նկարենք.

Եթե կոր trapezoid ամբողջությամբ գտնվում է առանցքի տակ ԵԶ , ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այս դեպքում:

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթվեն.

Օրինակ 4

Գտեք հարթ պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով y = 2x – x 2 , y = -x.

Լուծում. Նախ պետք է նկարել: Տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի հատման կետերը y = 2x – x 2 և ուղիղ y = -x. Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին մեթոդը վերլուծական է: Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Սա նշանակում է, որ ինտեգրման ստորին սահմանը ա= 0, ինտեգրման վերին սահմանը բ= 3. Հաճախ ավելի շահավետ և արագ է գծերը կետ առ կետ կառուցելը, և ինտեգրման սահմանները պարզ են դառնում «ինքնուրույն»: Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ մանրամասն կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Վերադառնանք մեր առաջադրանքին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ապա միայն պարաբոլա: Եկեք նկարենք.

Կրկնենք, որ կետային կառուցման ժամանակ ինտեգրման սահմաններն ամենից հաճախ որոշվում են «ավտոմատ»:

Եվ հիմա աշխատանքային բանաձևը.

Եթե հատվածում [ ա; բ] որոշ շարունակական ֆունկցիա զ(x) ավելի մեծ կամ հավասարորոշակի շարունակական գործառույթ է(x), ապա համապատասխան գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս պետք չէ մտածել, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, բայց կարևոր է, թե որ գրաֆիկն է ավելի բարձր(այլ գրաֆիկի համեմատ), իսկ ո՞րն է ՍՏՈՐԵՎ.

Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծից վերև, հետևաբար 2-ից. x – x 2-ը պետք է հանել - x.

Ավարտված լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է պարաբոլայով y = 2x – x 2 վերևում և ուղիղ y = -xստորև.

2-րդ հատվածում x – x 2 ≥ -x. Համապատասխան բանաձևի համաձայն.

Պատասխան. .

Իրականում, ստորին կիսահարթության կորագիծ տրապեզոիդի տարածքի դպրոցական բանաձևը (տես օրինակ թիվ 3) հետևյալն է. հատուկ դեպքբանաձեւեր

Քանի որ առանցքը ԵԶտրված է հավասարմամբ y= 0, և ֆունկցիայի գրաֆիկը է(x) գտնվում է առանցքի տակ ԵԶ, Դա

Եվ հիմա մի քանի օրինակ ձեր սեփական լուծման համար

Օրինակ 5

Օրինակ 6

Գտեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Որոշակի ինտեգրալով տարածքը հաշվարկելու հետ կապված խնդիրներ լուծելիս երբեմն զավեշտալի միջադեպ է տեղի ունենում: Նկարչությունը ճիշտ է կատարվել, հաշվարկները՝ ճիշտ, բայց անզգուշության պատճառով... Գտնվել է սխալ գործչի տարածքը:

Օրինակ 7

Նախ եկեք նկարենք.

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, կապույտ ստվերում է(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչպես է գործիչը սահմանափակվում): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, մարդիկ հաճախ որոշում են, որ պետք է գտնեն գործչի տարածքը, որը ստվերված է կանաչով:

Այս օրինակը նաև օգտակար է նրանով, որ այն հաշվարկում է գործչի տարածքը` օգտագործելով երկու որոշակի ինտեգրալներ: Իրոք.

1) հատվածի վրա [-1; 1] առանցքից վեր ԵԶգրաֆիկը գտնվում է ուղիղ y = x+1;

2) առանցքից բարձր հատվածի վրա ԵԶգտնվում է հիպերբոլայի գրաֆիկը y = (2/x).

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Պատասխան.

Օրինակ 8

Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Ներկայացնենք հավասարումները «դպրոցական» տեսքով

և կետ առ կետ նկարիր.

Գծանկարից պարզ է դառնում, որ մեր վերին սահմանը «լավ» է. բ = 1.

Բայց ո՞րն է ստորին սահմանը: Հասկանալի է, որ սա ամբողջ թիվ չէ, բայց ի՞նչ է։

Միգուցե, ա=(-1/3)? Բայց որտե՞ղ է երաշխիքը, որ գծանկարը կատարյալ ճշգրտությամբ է արված, դա կարող է պարզվել ա= (-1/4). Իսկ եթե մենք սխալ կառուցենք գրաֆիկը:

Նման դեպքերում պետք է լրացուցիչ ժամանակ ծախսել և վերլուծական կերպով հստակեցնել ինտեգրման սահմանները։

Գտնենք գրաֆիկների հատման կետերը

Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումը.

Հետևաբար, ա=(-1/3).

Հետագա լուծումը չնչին է. Հիմնական բանը փոխարինումների և նշանների մեջ չշփոթվելն է։ Այստեղ հաշվարկներն ամենապարզը չեն։ Սեգմենտի վրա

, ,

համապատասխան բանաձևի համաձայն.

Պատասխան.

Դասը եզրափակելու համար դիտարկենք ևս երկու բարդ առաջադրանք։

Օրինակ 9

Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Լուծում. Եկեք այս նկարը պատկերենք գծագրում:

Կետ առ կետ նկարելու համար անհրաժեշտ է իմանալ տեսքըսինուսոիդներ. Ընդհանուր առմամբ, օգտակար է իմանալ բոլոր տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները, ինչպես նաև որոշ սինուսային արժեքներ: Դրանք կարելի է գտնել արժեքների աղյուսակում եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ . Որոշ դեպքերում (օրինակ՝ այս դեպքում) հնարավոր է կառուցել սխեմատիկ գծագիր, որի վրա պետք է հիմնովին ճիշտ ցուցադրվեն ինտեգրման գրաֆիկները և սահմանները։

Այստեղ ինտեգրման սահմանների հետ կապված խնդիրներ չկան, դրանք ուղղակիորեն բխում են պայմանից.

– «x»-ը զրոյից փոխվում է «pi»-ի: Եկեք հետագա որոշում կայացնենք.

Հատվածի վրա՝ ֆունկցիայի գրաֆիկը y= մեղք 3 xգտնվում է առանցքի վերևում ԵԶ, Ահա թե ինչու:

(1) Դասի ընթացքում կարող եք տեսնել, թե ինչպես են սինուսներն ու կոսինուսները միավորված տարօրինակ ուժերով Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալներ. Մենք սեղմում ենք մեկ սինուս:

(2) Մենք օգտագործում ենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը ձևի մեջ

(3) Եկեք փոխենք փոփոխականը տ=cos x, ապա՝ գտնվում է առանցքի վերևում, հետևաբար՝

Նշում:նշեք, թե ինչպես է վերցված շոշափողի խորանարդի ինտեգրալը, այստեղ օգտագործվում է հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության հետևանքը

Խնդիր 1(կոր trapezoid-ի տարածքը հաշվարկելու մասին):

Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում xOy տրված է թվանշան (տես նկարը), որը սահմանափակված է x առանցքով, ուղիղ գծեր x = a, x = b (a կորագիծ trapezoid-ով: Պահանջվում է հաշվարկել կորի մակերեսը: trapezoid.
Լուծում.Երկրաչափությունը մեզ տալիս է բազմանկյունների և շրջանագծի որոշ մասերի (հատված, հատված) մակերեսները հաշվելու բաղադրատոմսեր: Օգտագործելով երկրաչափական նկատառումներ՝ մենք կարող ենք գտնել միայն անհրաժեշտ տարածքի մոտավոր արժեքը՝ պատճառաբանելով հետևյալ կերպ.

Եկեք բաժանենք հատվածը [a; b] (կոր trapezoid-ի հիմքը) n հավասար մասերի; այս բաժանումն իրականացվում է x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 կետերի միջոցով: Եկեք այս կետերով ուղիղ գծեր գծենք y առանցքին զուգահեռ: Այնուհետև տրված կորագիծ տրապիզը կբաժանվի n մասի, n նեղ սյուների։ Ամբողջ trapezoid-ի մակերեսը հավասար է սյուների տարածքների գումարին:

Եկեք առանձին դիտարկենք k-րդ սյունակը, այսինքն. կոր trapezoid, որի հիմքը հատված է: Փոխարինենք այն նույն հիմքով և բարձրությամբ ուղղանկյունով, որը հավասար է f(x k)-ին (տես նկարը): Ուղղանկյան մակերեսը հավասար է $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, որտեղ $\Delta x_k $ հատվածի երկարությունն է; Բնական է ստացված արդյունքը դիտարկել որպես k-րդ սյունակի տարածքի մոտավոր արժեք:

Եթե մենք հիմա նույնն անենք մնացած բոլոր սյուների հետ, ապա կհասնենք հետևյալ արդյունքին. տրված կորագիծ տրապիզոիդի S մակերեսը մոտավորապես հավասար է n ուղղանկյունից կազմված աստիճանավոր պատկերի S n մակերեսին (տե՛ս նկարը).
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Այստեղ, հանուն նշագրման միատեսակության, մենք ենթադրում ենք, որ a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - հատվածի երկարությունը, $\Delta x_1 $ - հատվածի երկարությունը և այլն; այս դեպքում, ինչպես պայմանավորվեցինք վերևում, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Այսպիսով, $S \մոտավորապես S_n $, և այս մոտավոր հավասարությունն ավելի ճշգրիտ է, որքան մեծ է n-ը:
Ըստ սահմանման, ենթադրվում է, որ կորագիծ trapezoid-ի պահանջվող տարածքը հավասար է հաջորդականության սահմանին (S n).
$$ S = \lim_(n \infty) S_n $$

Խնդիր 2(մի կետ տեղափոխելու մասին)
Նյութական կետը շարժվում է ուղիղ գծով: Արագության կախվածությունը ժամանակից արտահայտվում է v = v(t) բանաձեւով։ Գտե՛ք կետի շարժումը որոշակի ժամանակահատվածում [a; բ].
Լուծում.Եթե շարժումը լիներ միատեսակ, ապա խնդիրը կլուծվեր շատ պարզ՝ s = vt, այսինքն. s = v(b-a). Անհավասար շարժման համար դուք պետք է օգտագործեք նույն գաղափարները, որոնց վրա հիմնված էր նախորդ խնդրի լուծումը։
1) բաժանել ժամանակային միջակայքը [a; b] մեջ n հավասար մասերի.
2) Դիտարկենք ժամանակի մի ժամանակահատված և ենթադրենք, որ այդ ժամանակահատվածում արագությունը հաստատուն է եղել, նույնը, ինչ t k ժամանակում: Այսպիսով, մենք ենթադրում ենք, որ v = v(t k):
3) Գտնենք կետի շարժման մոտավոր արժեքը որոշակի ժամանակահատվածում, այս մոտավոր արժեքը կնշանակենք որպես s k
$s_k = v(t_k) \Դելտա t_k $
4) Գտե՛ք s-ի տեղաշարժի մոտավոր արժեքը.
$s \մոտ S_n $ որտեղ
$S_n = s_0 + \կետեր + s_(n-1) = v(t_0)\Դելտա t_0 + \կետ + v(t_(n-1)) \Դելտա t_(n-1) $
5) Պահանջվող տեղաշարժը հավասար է հաջորդականության սահմանին (S n).
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Եկեք ամփոփենք. Լուծումներ տարբեր առաջադրանքներկրճատվել է նույն մաթեմատիկական մոդելին: Գիտության և տեխնիկայի տարբեր ոլորտների բազմաթիվ խնդիրներ լուծման գործընթացում տանում են դեպի նույն մոդելը։ Այսպիսով, սա մաթեմատիկական մոդելպետք է հատուկ ուսումնասիրել.

Որոշակի ինտեգրալ հասկացությունը

Տանք մոդելի մաթեմատիկական նկարագրությունը, որը կառուցվել է երեք դիտարկված խնդիրներում y = f(x) ֆունկցիայի համար, շարունակական (բայց ոչ անպայման ոչ բացասական, ինչպես ենթադրվում էր դիտարկվող խնդիրներում) միջակայքում [a; բ]:
1) բաժանել հատվածը [a; b] n հավասար մասերի;
2) կազմել $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) հաշվարկել $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Ես գիտեմ մաթեմատիկական վերլուծությունԱպացուցված է, որ այս սահմանը գոյություն ունի շարունակական (կամ մասամբ շարունակական) ֆունկցիայի դեպքում։ Նրա անունն է y = f(x) ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալ [a; բ]և նշվում է հետևյալ կերպ.
$\int\սահմաններ_a^b f(x) dx $
a և b թվերը կոչվում են ինտեգրման սահմաններ (համապատասխանաբար ստորին և վերին):

Վերադառնանք վերը քննարկված խնդիրներին։ Խնդիր 1-ում տրված տարածքի սահմանումը այժմ կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
այստեղ S-ը կոր trapezoid-ի մակերեսն է, որը ներկայացված է վերևում գտնվող նկարում: Սա Որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը.

v = v(t) արագությամբ ուղիղ գծով շարժվող կետի s տեղաշարժի սահմանումը t = a-ից t = b ժամանակահատվածում, որը տրված է խնդիր 2-ում, կարելի է վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

Նյուտոն-Լայբնից բանաձև

Նախ՝ պատասխանենք հարցին՝ ի՞նչ կապ կա որոշյալ ինտեգրալի և հակաածանցյալի միջև։

Պատասխանը կարելի է գտնել 2-րդ խնդիրում: Մի կողմից, v = v(t) արագությամբ ուղիղ գծով շարժվող կետի s տեղաշարժը t = a-ից t = b ժամանակահատվածում հաշվարկվում է. բանաձեւը
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Մյուս կողմից, շարժվող կետի կոորդինատը արագության հակաածանցյալ է. նշենք այն s(t); սա նշանակում է, որ s-ի տեղաշարժն արտահայտվում է s = s(b) - s(a) բանաձևով: Արդյունքում մենք ստանում ենք.
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
որտեղ s(t)-ը v(t) հակաածանցյալն է:

Մաթեմատիկական վերլուծության ընթացքում ապացուցվել է հետևյալ թեորեմը.
Թեորեմ. Եթե y = f(x) ֆունկցիան շարունակական է [a; b], ապա բանաձեւը վավեր է
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
որտեղ F(x)-ը f(x-ի հակաածանցյալն է):

Տրված բանաձեւը սովորաբար կոչվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի պատիվ անգլիացի ֆիզիկոս Իսահակ Նյուտոնի (1643-1727) և գերմանացի փիլիսոփա Գոթֆրիդ Լայբնիցի (1646-1716), որոնք այն ստացել են միմյանցից անկախ և գրեթե միաժամանակ։

Գործնականում F(b) - F(a) գրելու փոխարեն օգտագործում են $\left. F(x)\right|_a^b $ նշումը (երբեմն կոչվում է. կրկնակի փոխարինում) և, համապատասխանաբար, վերաշարադրեք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը այս ձևով.
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \ձախ. F(x)\աջ|_a^b $

Որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելիս նախ գտե՛ք հակաածանցյալը, այնուհետև կատարե՛ք կրկնակի փոխարինում։

Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի հիման վրա մենք կարող ենք ստանալ որոշակի ինտեգրալի երկու հատկություն.

Գույք 1.Ֆունկցիաների գումարի ինտեգրալ գումարին հավասարինտեգրալներ:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Գույք 2.Մշտական գործոնը կարելի է դուրս բերել ինտեգրալ նշանից.
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Հարթ թվերի մակերեսների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով

Օգտագործելով ինտեգրալը, դուք կարող եք հաշվարկել ոչ միայն կորագիծ տրապիզոիդների, այլև հարթ թվերի տարածքները: բարդ տեսակ, օրինակ՝ նկարում պատկերվածը։ P նկարը սահմանափակված է ուղիղ գծերով x = a, x = b և y = f(x), y = g(x) և հատվածի վրա [a; b] գործում է $g(x) \leq f(x) $ անհավասարությունը: Նման թվի S մակերեսը հաշվարկելու համար մենք կշարունակենք հետևյալ կերպ.
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\ limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Այսպիսով, նկարի S մակերեսը, որը սահմանափակված է x = a, x = b ուղիղներով և y = f(x), y = g(x) ֆունկցիաների գրաֆիկներով, շարունակական հատվածի վրա և այնպիսին, որ հատվածից ցանկացած x-ի համար [a; b] անհավասարությունը $g(x) \leq f(x) $ բավարարված է, հաշվարկվում է բանաձևով.
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Որոշ ֆունկցիաների անորոշ ինտեգրալների (հակածանցյալների) աղյուսակ

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$