Փաստորեն, գործչի մակերեսը գտնելու համար անորոշ և որոշակի ինտեգրալի մասին այդքան շատ գիտելիքներ պետք չեն: Առաջադրանքը «հաշվիր տարածքը օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ«միշտ ներառում է գծագրի կառուցում, այնքան ավելին արդիական խնդիրկլինի ձեր գիտելիքներն ու հմտությունները նկարչության մեջ: Այս առումով, օգտակար է թարմացնել ձեր հիշողությունը հիմնական տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկների վերաբերյալ և, առնվազն, կարողանալ կառուցել ուղիղ գիծ և հիպերբոլա:

Կոր trapezoid-ը հարթ կերպարանք է սահմանափակվում է առանցքով, ուղիղ գծեր և ինտերվալի վրա շարունակվող ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը նշանը չի փոխում այս միջակայքում։ Թող այս ցուցանիշը գտնվի ոչ պակաս x առանցք:

Հետո կորագիծ trapezoid-ի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալի. Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։

Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔՆ է.

Այն է,որոշակի ինտեգրալ (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է որոշակի գործչի տարածքին: Օրինակ, դիտարկենք որոշակի ինտեգրալը: Ինտեգրանդը առանցքի վերևում գտնվող հարթության վրա սահմանում է կոր (ցանկացողները կարող են նկարել), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվային է. մակերեսին հավասարհամապատասխան կոր trapezoid.

Օրինակ 1

Սա տիպիկ հանձնարարական հայտարարություն է: Նախ և ամենակարևոր պահըլուծումներ - գծանկարչություն. Ավելին, նկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Գծանկար կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. սկզբումավելի լավ է կառուցել բոլոր ուղիղ գծերը (եթե դրանք կան) և միայն Հետո- պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ավելի շահավետ է ֆունկցիաների գրաֆիկներ կառուցելը կետ առ կետ.

Այս խնդրի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
Եկեք նկարենք գծագիրը (նկատենք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը).

Հատվածի վրա տեղադրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը առանցքից վեր, Ահա թե ինչու:

Պատասխան.

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: IN այս դեպքում«Աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրում բջիջների քանակը. լավ, կլինի մոտ 9, կարծես թե ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե ստանանք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավորներ, ապա ակնհայտ է, որ ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 3

Հաշվեք գծերի և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված նկարի տարածքը:

Լուծում: Եկեք նկարենք.

Եթե ​​գտնվում է կոր trapezoid առանցքի տակ(կամ գոնե ոչ ավելի բարձրտրված առանցքը), ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևը.

Այս դեպքում:

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթել:

1) Եթե ձեզ խնդրում են լուծել ուղղակի որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ մեկի երկրաչափական իմաստ, ապա այն կարող է բացասական լինել։

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով մինուսը հայտնվում է հենց նոր քննարկված բանաձեւում։

Գործնականում ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է և՛ վերին, և՛ ստորին կիսակառույցում, և, հետևաբար, դպրոցական ամենապարզ խնդիրներից մենք անցնում ենք ավելի բովանդակալից օրինակների:

Օրինակ 4

Գտեք տարածք հարթ գործիչ, սահմանափակված գծերով , .

ԼուծումՍկզբում պետք է լրացնել նկարը: Ընդհանուր առմամբ, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետերը։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին մեթոդը վերլուծական է: Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Սա նշանակում է, որ ինտեգրման ստորին սահմանն է, ինտեգրման վերին սահմանը:

Հնարավորության դեպքում ավելի լավ է չօգտագործել այս մեթոդը։.

Կետ առ կետ գծեր կառուցելը շատ ավելի շահավետ և արագ է, և ինտեգրման սահմանները պարզ են դառնում «ինքնին»։ Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ մանրամասն կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Եվ մենք կքննարկենք նաև նման օրինակ.

Վերադառնանք մեր առաջադրանքին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ​​ապա միայն պարաբոլա: Եկեք նկարենք.

Իսկ հիմա աշխատանքային բանաձեւըԵթե ​​սեգմենտի վրա ինչ-որ շարունակական ֆունկցիա կա ավելի մեծ կամ հավասարմի քանի շարունակական գործառույթ, ապա այս ֆունկցիաների գրաֆիկներով և գծերով սահմանափակված նկարի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս կարիք չկա մտածել այն մասին, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, և, կոպիտ ասած, կարևոր է, թե որ գրաֆիկն է ավելի բարձր(այլ գրաֆիկի համեմատ), իսկ ո՞րն է ՍՏՈՐԵՎ.

Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Ավարտված լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևում գտնվող պարաբոլայով և ներքևում ուղիղ գծով:
Սեգմենտի վրա, ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան.

Օրինակ 4

Հաշվե՛ք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է , , , գծերով:

ԼուծումՆախ, եկեք նկարենք.

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, կապույտ ստվերում է(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչպես է գործիչը սահմանափակվում): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, հաճախ առաջանում է «խափանում», որ դուք պետք է գտնեք ստվերավորված գործչի տարածքը. կանաչ!

Այս օրինակը նաև օգտակար է նրանով, որ այն հաշվարկում է գործչի տարածքը` օգտագործելով երկու որոշակի ինտեգրալներ:

Իսկապես:

1) առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա ուղիղ գծի գրաֆիկ.

2) Առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա հիպերբոլայի գրաֆիկ:

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Որոշակի ինտեգրալ. Ինչպես հաշվարկել գործչի մակերեսը

Եկեք շարունակենք դիտարկել ինտեգրալ հաշվարկի կիրառությունները: Այս դասում մենք կվերլուծենք բնորոշ և ամենատարածված առաջադրանքը - ինչպես օգտագործել որոշակի ինտեգրալ՝ հարթ գործչի մակերեսը հաշվարկելու համար. Վերջապես, նրանք, ովքեր իմաստ են փնտրում բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ, թող գտնեն այն: Դու երբեք չես իմանա. Մենք պետք է մոտեցնենք այն կյանքում գյուղական քոթեջի տարածքտարրական ֆունկցիաներ և գտնել դրա տարածքը որոշակի ինտեգրալով:

Նյութը հաջողությամբ տիրապետելու համար պետք է.

1) Հասկանալ անորոշ ինտեգրալգոնե միջին մակարդակով։ Այսպիսով, խաբեբաները նախ պետք է կարդան դասը Ոչ.

2) Կարողանալ կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը և հաշվարկել որոշակի ինտեգրալը. Էջում կարող եք ջերմ ընկերական հարաբերություններ հաստատել որոշակի ինտեգրալների հետ Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ.

Փաստորեն, գործչի մակերեսը գտնելու համար անորոշ և որոշակի ինտեգրալի մասին այդքան շատ գիտելիքներ պետք չեն: «Հաշվել տարածքը որոշակի ինտեգրալով» առաջադրանքը միշտ ներառում է գծանկարի կառուցում, ուստի ձեր գիտելիքներն ու նկարչական հմտությունները շատ ավելի հրատապ խնդիր կլինեն: Այս առումով, օգտակար է թարմացնել ձեր հիշողությունը հիմնական տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկների վերաբերյալ և, առնվազն, կարողանալ կառուցել ուղիղ գիծ, ​​պարաբոլա և հիպերբոլա: Դա կարելի է անել (շատերի համար դա անհրաժեշտ է) օգտագործելով մեթոդական նյութև գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումների վերաբերյալ հոդվածներ։

Իրականում, տարածքը որոշակի ինտեգրալով գտնելու խնդիրը բոլորին ծանոթ է դեռ դպրոցական տարիներից, և մենք շատ ավելի հեռու չենք գնա: դպրոցական ծրագիր. Այս հոդվածը կարող էր ընդհանրապես գոյություն չունենալ, բայց փաստն այն է, որ խնդիրն առաջանում է 100-ից 99-ի դեպքում, երբ աշակերտը տառապում է ատելի դպրոցից և ոգևորությամբ տիրապետում է բարձրագույն մաթեմատիկայի դասընթացին։

Այս աշխատաժողովի նյութերը ներկայացված են պարզ, մանրամասն և նվազագույն տեսականությամբ։

Սկսենք կոր trapezoid-ից:

Curvilinear trapezoidհարթ պատկեր է, որը սահմանափակված է առանցքով, ուղիղ գծերով և շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկով, որը չի փոխում նշանը այս միջակայքում: Թող այս ցուցանիշը գտնվի ոչ պակաս x առանցք:

Հետո կորագիծ trapezoid-ի մակերեսը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալի. Ցանկացած որոշակի ինտեգրալ (որ գոյություն ունի) շատ լավ երկրաչափական նշանակություն ունի։ Դասին Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներԵս ասացի, որ որոշակի ինտեգրալը թիվ է։ Եվ հիմա ժամանակն է նշել ևս մեկը օգտակար փաստ. Երկրաչափության տեսակետից որոշակի ինտեգրալը ՏԱՐԱԾՔՆ է.

Այն է, որոշակի ինտեգրալը (եթե այն գոյություն ունի) երկրաչափորեն համապատասխանում է որոշակի գործչի մակերեսին. Օրինակ, դիտարկենք որոշակի ինտեգրալը: Ինտեգրանդը առանցքի վերևում գտնվող հարթության վրա սահմանում է կոր (ցանկացողները կարող են նկարել), իսկ որոշակի ինտեգրալն ինքնին թվայինորեն հավասար է համապատասխան կորագիծ trapezoid-ի մակերեսին։

Օրինակ 1

Սա տիպիկ հանձնարարական հայտարարություն է: Որոշման մեջ առաջին և ամենակարևոր կետը գծագրի կառուցումն է. Ավելին, նկարը պետք է կառուցվի ՃԻՇՏ.

Գծանկար կառուցելիս խորհուրդ եմ տալիս հետևյալ կարգը. սկզբումավելի լավ է կառուցել բոլոր ուղիղ գծերը (եթե դրանք կան) և միայն Հետո– պարաբոլներ, հիպերբոլաներ, այլ ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ավելի շահավետ է ֆունկցիաների գրաֆիկներ կառուցելը կետ առ կետ, կետ առ կետ շինարարության տեխնիկան կարելի է գտնել հղման նյութում Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները. Այնտեղ կարող եք գտնել նաև շատ օգտակար նյութ մեր դասի համար՝ ինչպես արագ կառուցել պարաբոլա։

Այս խնդրի լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.
Եկեք նկարենք գծագիրը (նկատենք, որ հավասարումը սահմանում է առանցքը).

Չեմ ստվերի կոր trapezoid-ը, այստեղ ակնհայտ է, թե ինչ տարածքի մասին է խոսքը։ Լուծումը շարունակվում է այսպես.

Հատվածի վրա տեղադրված է ֆունկցիայի գրաֆիկը առանցքից վեր, Ահա թե ինչու:

Պատասխան.

Ով դժվարություններ ունի որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու և Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի կիրառման հարցում , անդրադարձեք դասախոսությանը Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներ.

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում մենք «աչքով» հաշվում ենք գծագրի բջիջների քանակը. լավ, կլինի մոտ 9, կարծես թե ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե ստացել ենք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա ակնհայտ է, որ ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Օրինակ 2

Հաշվե՛ք գծերով, առանցքներով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Սա օրինակ է անկախ որոշում. Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։

Ինչ անել, եթե գտնվում է կոր trapezoid- ը առանցքի տակ?

Օրինակ 3

Հաշվեք գծերի և կոորդինատային առանցքներով սահմանափակված նկարի տարածքը:

Լուծում: Եկեք նկարենք.

Եթե ​​գտնվում է կոր trapezoid առանցքի տակ(կամ գոնե ոչ ավելի բարձրտրված առանցքը), ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևը.
Այս դեպքում:

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթել:

1) Եթե ձեզ խնդրեն լուծել ուղղակի որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է բացասական լինել:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով մինուսը հայտնվում է հենց նոր քննարկված բանաձեւում։

Գործնականում ամենից հաճախ գործիչը գտնվում է և՛ վերին, և՛ ստորին կիսակառույցում, և, հետևաբար, դպրոցական ամենապարզ խնդիրներից մենք անցնում ենք ավելի բովանդակալից օրինակների:

Օրինակ 4

Գտե՛ք հարթ պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով, .

ԼուծումՍկզբում պետք է լրացնել նկարը: Ընդհանուր առմամբ, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետերը։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին մեթոդը վերլուծական է: Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Սա նշանակում է, որ ինտեգրման ստորին սահմանն է, ինտեգրման վերին սահմանը:
Հնարավորության դեպքում ավելի լավ է չօգտագործել այս մեթոդը։.

Կետ առ կետ գծեր կառուցելը շատ ավելի շահավետ և արագ է, և ինտեգրման սահմանները պարզ են դառնում «ինքնին»։ Օգնության մեջ մանրամասն քննարկվում է տարբեր գրաֆիկների կետ առ կետ կառուցման տեխնիկան Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները. Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ մանրամասն կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ): Եվ մենք կքննարկենք նաև նման օրինակ.

Վերադառնանք մեր առաջադրանքին. ավելի ռացիոնալ է նախ կառուցել ուղիղ գիծ, ​​ապա միայն պարաբոլա: Եկեք նկարենք.

Կրկնում եմ, որ կետային կառուցման ժամանակ ամենից հաճախ «ավտոմատ» են պարզվում ինտեգրման սահմանները։

Իսկ հիմա աշխատանքային բանաձեւըԵթե ​​սեգմենտի վրա ինչ-որ շարունակական ֆունկցիա կա ավելի մեծ կամ հավասարորոշ շարունակական ֆունկցիա, այնուհետև այս ֆունկցիաների գրաֆիկներով և գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Այստեղ այլևս կարիք չկա մտածել այն մասին, թե որտեղ է գտնվում գործիչը՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, և, կոպիտ ասած, կարևոր է, թե որ գրաֆիկն է ավելի բարձր(այլ գրաֆիկի համեմատ), իսկ ո՞րն է ՍՏՈՐԵՎ.

Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Ավարտված լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևում գտնվող պարաբոլայով և ներքևում ուղիղ գծով:
Սեգմենտի վրա, ըստ համապատասխան բանաձևի.

Պատասխան.

Իրականում, ստորին կիսահարթության կորագիծ տրապիզոնի մակերեսի դպրոցական բանաձևը (տես պարզ օրինակ թիվ 3) հետևյալն է. հատուկ դեպքբանաձեւեր . Քանի որ առանցքը նշված է հավասարմամբ, և ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է ոչ ավելի բարձրկացինները, ապա

Եվ հիմա մի քանի օրինակ ձեր սեփական լուծման համար

Օրինակ 5

Օրինակ 6

Գտե՛ք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը, .

Որոշակի ինտեգրալով տարածքը հաշվարկելու հետ կապված խնդիրներ լուծելիս երբեմն զավեշտալի միջադեպ է տեղի ունենում: Նկարչությունը ճիշտ է կատարվել, հաշվարկները՝ ճիշտ, բայց անզգուշության պատճառով... հայտնաբերվել է սխալ գործչի տարածքը, հենց այդպես էլ խոնարհ ծառան մի քանի անգամ խաբեց. Այստեղ իրական դեպքկյանքից:

Օրինակ 7

Հաշվե՛ք նկարի մակերեսը, որը սահմանափակված է , , , գծերով:

ԼուծումՆախ, եկեք նկարենք.

...Էհ, գծանկարը խենթ դուրս եկավ, բայց ամեն ինչ կարծես ընթեռնելի է։

Այն գործիչը, որի տարածքը մենք պետք է գտնենք, կապույտ ստվերում է(Ուշադիր նայեք պայմանին. ինչպես է գործիչը սահմանափակվում): Բայց գործնականում, անուշադրության պատճառով, հաճախ «անսարքություն» է առաջանում, որ դուք պետք է գտնեք կանաչ գույնով ստվերված գործչի տարածքը:

Այս օրինակը նաև օգտակար է նրանով, որ այն հաշվարկում է գործչի տարածքը` օգտագործելով երկու որոշակի ինտեգրալներ: Իրոք.

1) առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա ուղիղ գծի գրաֆիկ.

2) Առանցքի վերևում գտնվող հատվածի վրա կա հիպերբոլայի գրաֆիկ:

Միանգամայն ակնհայտ է, որ տարածքները կարող են (և պետք է) ավելացվեն, հետևաբար.

Պատասխան.

Անցնենք մեկ այլ բովանդակալից առաջադրանքի։

Օրինակ 8

Հաշվիր գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը,
Ներկայացնենք հավասարումները «դպրոցական» ձևով և կետ առ կետ նկարենք.

Գծագրից պարզ է դառնում, որ մեր վերին սահմանը «լավն է».
Բայց ո՞րն է ստորին սահմանը: Հասկանալի է, որ սա ամբողջ թիվ չէ, բայց ի՞նչ է։ Միգուցե ? Բայց որտե՞ղ է երաշխիքը, որ գծագիրը կատարյալ ճշգրտությամբ է արված, կարող է պարզվել, որ... Կամ արմատը: Իսկ եթե մենք սխալ կառուցենք գրաֆիկը:

Նման դեպքերում պետք է լրացուցիչ ժամանակ ծախսել և վերլուծական կերպով հստակեցնել ինտեգրման սահմանները։

Գտնենք ուղիղ գծի և պարաբոլայի հատման կետերը։
Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումը.


,

Իսկապես, .

Հետագա լուծումը չնչին է, գլխավորը փոխարինումների ու նշանների մեջ չշփոթվելն է՝ այստեղ հաշվարկներն ամենապարզը չեն։

Սեգմենտի վրա , ըստ համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխան.

Դե, դասը ավարտելու համար եկեք նայենք ևս երկու բարդ առաջադրանքների:

Օրինակ 9

Հաշվիր գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը,

Լուծում: Եկեք պատկերենք այս նկարը գծագրում:

Անիծյալ, ես մոռացել էի ստորագրել ժամանակացույցը և, կներեք, չէի ուզում նորից նկարել: Նկարչության օր չէ, մի խոսքով, այսօր այդ օրն է =)

Կետ առ կետ շինարարության համար դուք պետք է իմանաք տեսքըսինուսոիդներ (և ընդհանուր առմամբ օգտակար է իմանալ բոլոր տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները), ինչպես նաև որոշ սինուսային արժեքներ, դրանք կարելի է գտնել եռանկյունաչափական աղյուսակ. Որոշ դեպքերում (ինչպես այս դեպքում) հնարավոր է կառուցել սխեմատիկ գծագիր, որի վրա պետք է հիմնովին ճիշտ ցուցադրվեն ինտեգրման գրաֆիկները և սահմանները։

Այստեղ ինտեգրման սահմանների հետ կապված խնդիրներ չկան, դրանք ուղղակիորեն բխում են պայմանից. «x»-ը զրոյից փոխվում է «pi»-ի: Եկեք հետագա որոշում կայացնենք.

Հատվածի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է առանցքի վերևում, հետևաբար.

Այս հոդվածում դուք կսովորեք, թե ինչպես կարելի է գտնել գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը ինտեգրալ հաշվարկների միջոցով: Առաջին անգամ նման խնդրի ձևակերպմանը հանդիպում ենք ավագ դպրոցում, երբ նոր ենք ավարտել որոշակի ինտեգրալների ուսումնասիրությունը և ժամանակն է սկսել գործնականում ձեռք բերված գիտելիքների երկրաչափական մեկնաբանությունը։

Այսպիսով, ինչ է պահանջվում ինտեգրալների միջոցով գործչի տարածքը գտնելու խնդիրը հաջողությամբ լուծելու համար.

• Գրագետ գծագրեր կատարելու ունակություն;
• Օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ լուծելու ունակություն հայտնի բանաձևըՆյուտոն-Լայբնից;
• Ավելի շահավետ լուծման տարբերակ «տեսնելու» ունակությունը, այսինքն. հասկանո՞ւմ եք, թե այս կամ այն ​​դեպքում ինչպես ավելի հարմար կլինի ինտեգրացիա իրականացնել։ x առանցքի երկայնքով (OX) թե y առանցքի (OY):
• Դե, որտե՞ղ կլինեինք մենք առանց ճիշտ հաշվարկների:) Սա ներառում է հասկանալ, թե ինչպես լուծել այդ այլ տեսակի ինտեգրալները և ճիշտ թվային հաշվարկներ:

Գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը հաշվարկելու խնդրի լուծման ալգորիթմ.

1. Մենք գծանկար ենք կառուցում։ Ցանկալի է դա անել վանդակավոր թղթի վրա, մեծ մասշտաբով։ Յուրաքանչյուր գրաֆիկի վերևում մատիտով ստորագրում ենք այս ֆունկցիայի անունը։ Գրաֆիկների ստորագրումը կատարվում է բացառապես հետագա հաշվարկների հարմարության համար: Ստանալով ցանկալի գործչի գրաֆիկը, շատ դեպքերում անմիջապես պարզ կլինի, թե ինտեգրման որ սահմաններն են օգտագործվելու: Ահա թե ինչպես ենք մենք լուծում խնդիրը գրաֆիկական մեթոդ. Այնուամենայնիվ, պատահում է, որ սահմանների արժեքները կոտորակային կամ իռացիոնալ են: Հետեւաբար, դուք կարող եք կատարել լրացուցիչ հաշվարկներ, անցեք երկրորդ քայլին:

2. Եթե ​​ինտեգրման սահմանները հստակորեն նշված չեն, ապա մենք գտնում ենք գրաֆիկների հատման կետերը միմյանց հետ և տեսնում ենք արդյոք մեր գրաֆիկական լուծումվերլուծականով։

3. Հաջորդը, դուք պետք է վերլուծեք նկարը: Կախված նրանից, թե ինչպես են դասավորված ֆունկցիաների գրաֆիկները, կան տարբեր մոտեցումներգտնել գործչի մակերեսը. Եկեք դիտարկենք տարբեր օրինակներինտեգրալների միջոցով պատկերի մակերեսը գտնելու մասին:

3.1. Խնդրի ամենադասական և ամենապարզ տարբերակն այն է, երբ դուք պետք է գտնեք կոր տրապիզոնի տարածքը: Ի՞նչ է կոր trapezoid-ը: Սա x-առանցքով սահմանափակված հարթ ցուցանիշ է (y = 0), ուղիղ x = a, x = bև ցանկացած կոր, որը շարունակվում է սկսած միջակայքի վրա անախքան բ. Ընդ որում, այս ցուցանիշը ոչ բացասական է և գտնվում է x առանցքից ոչ ցածր: Այս դեպքում կորագիծ trapezoid-ի տարածքը թվայինորեն հավասար է որոշակի ինտեգրալի, որը հաշվարկվում է Newton-Leibniz բանաձևով.

Օրինակ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ո՞ր գծերով է սահմանափակված պատկերը: Մենք պարաբոլա ունենք y = x2 – 3x + 3, որը գտնվում է առանցքի վերևում Օհ, դա ոչ բացասական է, քանի որ այս պարաբոլայի բոլոր կետերն ունեն դրական արժեքներ: Հաջորդը, տրված ուղիղ գծեր x = 1Եվ x = 3, որոնք անցնում են առանցքին զուգահեռ OU, ձախ և աջ նկարի սահմանային գծերն են։ Դե, y = 0, դա նաև x առանցքն է, որը սահմանափակում է պատկերը ներքևից։ Ստացված գործիչը ստվերված է, ինչպես երևում է ձախ կողմի նկարից: Այս դեպքում դուք կարող եք անմիջապես սկսել լուծել խնդիրը: Մեր առջև կա կոր trapezoid-ի պարզ օրինակ, որը մենք այնուհետև լուծում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով:

3.2. Նախորդ 3.1 պարբերությունում մենք ուսումնասիրեցինք այն դեպքը, երբ կոր trapezoid գտնվում է x առանցքի վերևում: Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ խնդրի պայմանները նույնն են, բացառությամբ, որ ֆունկցիան գտնվում է x առանցքի տակ: Նյուտոն-Լայբնից ստանդարտ բանաձևին ավելացվում է մինուս: Ինչպես լուծել նման խնդիրը, մենք կքննարկենք ստորև:

Օրինակ 2 . Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Այս օրինակում մենք ունենք պարաբոլա y = x2 + 6x + 2, որը սկիզբ է առնում առանցքից Օհ, ուղիղ x = -4, x = -1, y = 0. Այստեղ y = 0սահմանափակում է ցանկալի ցուցանիշը վերևից: Ուղղակի x = -4Եվ x = -1սրանք այն սահմաններն են, որոնցում կհաշվարկվի որոշակի ինտեգրալը: Նկարի տարածքը գտնելու խնդրի լուծման սկզբունքը գրեթե ամբողջությամբ համընկնում է օրինակի թիվ 1-ի հետ: Միակ տարբերությունն այն է, որ տվյալ ֆունկցիան դրական չէ և նաև շարունակական է միջակայքում: [-4; -1] . Ի՞նչ նկատի ունեք ոչ դրական: Ինչպես երևում է նկարից, տվյալ x-երի ներսում գտնվող գործիչը ունի բացառապես «բացասական» կոորդինատներ, ինչը մենք պետք է տեսնենք և հիշենք խնդիրը լուծելիս: Մենք փնտրում ենք նկարի տարածքը Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով, միայն սկզբում մինուս նշանով:

Հոդվածն ավարտված չէ։

Ա)

Լուծում.

Որոշման առաջին և ամենակարևոր կետը գծագրի կառուցումն է.

Եկեք նկարենք.

Հավասարումը y=0 սահմանում է «x» առանցքը;

- x=-2 Եվ x=1 - ուղիղ, առանցքին զուգահեռ OU;

- y=x 2 +2 - պարաբոլա, որի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր՝ գագաթը (0;2) կետում։

Մեկնաբանություն.Պարաբոլա կառուցելու համար բավական է գտնել դրա հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ, այսինքն. դնելով x=0 գտի՛ր առանցքի հետ հատումը OU և համապատասխան որոշում կայացնելով քառակուսի հավասարում, գտե՛ք առանցքի հետ հատումը Օ՜ .

Պարաբոլայի գագաթը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.

Կարող եք նաև գծեր կառուցել կետ առ կետ:

[-2;1] միջակայքի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկը y=x 2 +2 գտնվում է առանցքից վեր Եզ , Ահա թե ինչու:

Պատասխան. Ս =9 քառ

Առաջադրանքն ավարտելուց հետո միշտ օգտակար է նայել գծագրին և պարզել, թե արդյոք պատասխանը իրական է: Այս դեպքում, «աչքով» մենք հաշվում ենք գծագրության բջիջների քանակը. լավ, կլինի մոտ 9, կարծես թե ճիշտ է: Միանգամայն պարզ է, որ եթե ստացել ենք, ասենք, պատասխանը՝ 20 քառակուսի միավոր, ապա ակնհայտ է, որ ինչ-որ տեղ սխալ է թույլ տրվել՝ 20 բջիջ ակնհայտորեն չի տեղավորվում խնդրո առարկա գործչի մեջ, առավելագույնը մեկ տասնյակ։ Եթե ​​պատասխանը բացասական է, ապա առաջադրանքը նույնպես սխալ է լուծվել։

Ինչ անել, եթե գտնվում է կոր trapezoid- ը առանցքի տակ Օ՜

բ)Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը y=-e x , x=1 և կոորդինատային առանցքներ:

Լուծում.

Եկեք նկարենք:

Եթե ​​կոր trapezoid ամբողջությամբ գտնվում է առանցքի տակ Օ՜ , ապա դրա տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով.

Պատասխան. S=(e-1) քառ. միավոր» 1.72 քառ

Ուշադրություն. Երկու տեսակի առաջադրանքները չպետք է շփոթել:

1) Եթե ձեզ խնդրեն լուծել ուղղակի որոշակի ինտեգրալ առանց որևէ երկրաչափական նշանակության, ապա այն կարող է բացասական լինել:

2) Եթե ձեզ խնդրեն գտնել գործչի մակերեսը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալ, ապա տարածքը միշտ դրական է: Այդ իսկ պատճառով մինուսը հայտնվում է հենց նոր քննարկված բանաձեւում։

Գործնականում ամենից հաճախ ուրվագիծը գտնվում է ինչպես վերին, այնպես էլ ստորին կիսակառույցում:

Հետ)Գտեք հարթ պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է գծերով y=2x-x 2, y=-x.

Լուծում.

Նախ անհրաժեշտ է լրացնել նկարը: Ընդհանուր առմամբ, տարածքի խնդիրների մեջ գծագիր կառուցելիս մեզ ամենաշատը հետաքրքրում են գծերի հատման կետերը: Գտնենք պարաբոլայի հատման կետերը և ուղիղ Դա կարելի է անել երկու եղանակով. Առաջին մեթոդը վերլուծական է:

Մենք լուծում ենք հավասարումը.

Սա նշանակում է, որ ինտեգրման ստորին սահմանը a=0 , ինտեգրման վերին սահմանը b=3 .

Կառուցում ենք տրված տողերը՝ 1. Պարաբոլա - գագաթ (1;1) կետում; առանցքի խաչմերուկ Օ -միավորներ (0;0) և (0;2): 2. Ուղիղ՝ 2-րդ և 4-րդ կոորդինատային անկյունների կիսորդ: Իսկ հիմա Ուշադրություն. Եթե ​​հատվածում [ ա;բ] որոշ շարունակական ֆունկցիա f(x)մեծ կամ հավասար է որոշ շարունակական ֆունկցիայի g(x), ապա համապատասխան գործչի տարածքը կարելի է գտնել բանաձևով. . Եվ կարևոր չէ, թե որտեղ է պատկերը գտնվում՝ առանցքի վերևում, թե առանցքի տակ, բայց կարևորն այն է, թե որ գրաֆիկն է ավելի բարձր (մեկ այլ գրաֆիկի համեմատ), և որը՝ ՆԵՐՔՈՒՄ: Քննարկվող օրինակում ակնհայտ է, որ հատվածի վրա պարաբոլան գտնվում է ուղիղ գծի վերևում, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է հանել

Դուք կարող եք գծեր կառուցել կետ առ կետ, և ինտեգրման սահմանները պարզ կդառնան «իրենց»: Այնուամենայնիվ, սահմանները գտնելու վերլուծական մեթոդը դեռ երբեմն պետք է օգտագործվի, եթե, օրինակ, գրաֆիկը բավականաչափ մեծ է, կամ մանրամասն կառուցվածքը չի բացահայտում ինտեգրման սահմանները (դրանք կարող են լինել կոտորակային կամ իռացիոնալ):

Ցանկալի ցուցանիշը սահմանափակվում է վերևում գտնվող պարաբոլայով և ներքևում ուղիղ գծով:

Սեգմենտի վրա , ըստ համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխան. Ս =4,5 քառ

Նախորդ բաժնում, որը նվիրված էր որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական իմաստի վերլուծությանը, մենք ստացանք մի շարք բանաձևեր կորագիծ տրապիզոնի տարածքը հաշվարկելու համար.

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x շարունակական և ոչ բացասական ֆունկցիայի համար y = f (x) [ a ; բ ],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x շարունակական և ոչ դրական ֆունկցիայի համար y = f (x) [ a ; բ ] .

Այս բանաձևերը կիրառելի են լուծելու համար պարզ առաջադրանքներ. Իրականում մենք հաճախ ստիպված ենք լինելու աշխատել ավելի բարդ գործիչների հետ։ Այս առումով մենք այս բաժինը կնվիրենք ալգորիթմների վերլուծությանը թվերի տարածքը հաշվարկելու համար, որոնք սահմանափակվում են բացահայտ ձևով գործառույթներով, այսինքն. ինչպես y = f(x) կամ x = g(y):

Թեորեմ

Թող y = f 1 (x) և y = f 2 (x) ֆունկցիաները լինեն սահմանված և շարունակական [ a ; b ] , և f 1 (x) ≤ f 2 (x) ցանկացած x արժեքի համար [ a ; բ ] . Այնուհետև x = a, x = b, y = f 1 (x) և y = f 2 (x) տողերով սահմանափակված G նկարի տարածքը հաշվարկելու բանաձևը նման կլինի S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Նման բանաձևը կիրառելի կլինի y = c, y = d, x = g 1 (y) և x = g 2 (y) տողերով սահմանափակված գործչի տարածքի համար. S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y.

Ապացույց

Դիտարկենք երեք դեպք, որոնց համար բանաձևը վավեր կլինի.

Առաջին դեպքում, հաշվի առնելով տարածքի հավելյալության հատկությունը, սկզբնական պատկեր G-ի և կորագիծ տրապիզոիդ G 1-ի տարածքների գումարը հավասար է G 2 նկարի մակերեսին: Դա նշանակում է որ

Հետևաբար, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Վերջին անցումը կարող ենք կատարել՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալի երրորդ հատկությունը։

Երկրորդ դեպքում հավասարությունը ճիշտ է՝ S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Գրաֆիկական նկարազարդումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Եթե ​​երկու ֆունկցիաներն էլ ոչ դրական են, մենք ստանում ենք՝ S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x. Գրաֆիկական նկարազարդումը կունենա հետևյալ տեսքը.

Եկեք անցնենք դիտարկմանը ընդհանուր դեպք, երբ y = f 1 (x) և y = f 2 (x) հատում են O x առանցքը:

Հատման կետերը նշում ենք x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Այս կետերը բաժանում են հատվածը [a; b ] մեջ n մասեր x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, որտեղ α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Հետևաբար,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Վերջին անցումը կարող ենք կատարել՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալի հինգերորդ հատկությունը։

Եկեք պատկերացնենք գրաֆիկի ընդհանուր դեպքը:

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x բանաձեւը կարելի է համարել ապացուցված։

Այժմ եկեք անցնենք y = f (x) և x = g (y) տողերով սահմանափակված թվերի տարածքը հաշվարկելու օրինակների վերլուծությանը:

Օրինակներից որևէ մեկի մեր դիտարկումը կսկսենք գրաֆիկ կառուցելով: Պատկերը թույլ կտա մեզ ներկայացնել բարդ թվերորպես ավելի պարզ ֆիգուրների միավորումներ։ Եթե ​​դրանց վրա գրաֆիկներ և թվեր կառուցելը ձեզ դժվարություններ է առաջացնում, կարող եք ուսումնասիրել հիմնական բաժինը տարրական գործառույթներ, ֆունկցիայի գրաֆիկների երկրաչափական վերափոխումը, ինչպես նաև ֆունկցիայի ուսումնասիրության ընթացքում գրաֆիկների կառուցումը։

Օրինակ 1

Անհրաժեշտ է որոշել նկարի տարածքը, որը սահմանափակվում է y = - x 2 + 6 x - 5 պարաբոլով և ուղիղ գծերով y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4:

Լուծում

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գծենք գրաֆիկի գծերը։

Սեգմենտի վրա [1; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 պարաբոլայի գրաֆիկը գտնվում է y = - 1 3 x - 1 2 ուղիղ գծի վերևում։ Այս առումով պատասխան ստանալու համար մենք օգտագործում ենք ավելի վաղ ստացված բանաձևը, ինչպես նաև որոշիչ ինտեգրալի հաշվարկման մեթոդը՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Պատասխան՝ S(G) = 13

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ:

Օրինակ 2

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակված է y = x + 2, y = x, x = 7 տողերով:

Լուծում

Այս դեպքում մենք ունենք միայն մեկ ուղիղ, որը գտնվում է x-առանցքին զուգահեռ: Սա x = 7 է: Սա պահանջում է, որ մենք ինքներս գտնենք ինտեգրման երկրորդ սահմանը:

Եկեք կառուցենք գրաֆիկ և դրա վրա գծենք խնդրի դրույթում տրված տողերը:

Ունենալով գրաֆիկը մեր աչքի առաջ՝ հեշտությամբ կարող ենք որոշել, որ ինտեգրման ստորին սահմանը կլինի y = x ուղիղ գծի գրաֆիկի հատման կետի աբսցիսան և y = x + 2 կիսապարաբոլան։ Աբսցիսա գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հավասարումները.

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ստացվում է, որ հատման կետի աբսցիսան x = 2 է։

Ձեր ուշադրությունն ենք հրավիրում այն ​​փաստի վրա, որ ք ընդհանուր օրինակգծագրում y = x + 2, y = x ուղիղները հատվում են (2; 2) կետում, ուստի նման մանրամասն հաշվարկները կարող են ավելորդ թվալ: Մենք այստեղ նման մանրամասն լուծում ենք տվել միայն այն պատճառով, որ ավելի դժվար դեպքերլուծումը կարող է այնքան էլ ակնհայտ չլինել։ Սա նշանակում է, որ միշտ ավելի լավ է վերլուծական կերպով հաշվարկել գծերի հատման կոորդինատները։

ինտերվալի վրա [2; 7] y = x ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է y = x + 2 ֆունկցիայի գրաֆիկից վեր։ Տարածքը հաշվարկելու համար կիրառենք բանաձևը.

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Պատասխան՝ S (G) = 59 6

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակվում է y = 1 x և y = - x 2 + 4 x - 2 ֆունկցիաների գրաֆիկներով:

Լուծում

Եկեք գծենք գծերը գրաֆիկի վրա:

Եկեք սահմանենք ինտեգրման սահմանները. Դա անելու համար մենք որոշում ենք ուղիղների հատման կետերի կոորդինատները՝ հավասարեցնելով 1 x և - x 2 + 4 x - 2 արտահայտությունները։ Պայմանով, որ x-ը զրո չէ, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 հավասարությունը համարժեք է դառնում երրորդ աստիճանի հավասարմանը - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 ամբողջ թվային գործակիցներով: Նման հավասարումների լուծման ալգորիթմի մասին հիշողությունը թարմացնելու համար կարող ենք անդրադառնալ «Խորանարդ հավասարումների լուծում» բաժինը։

Այս հավասարման արմատը x = 1 է: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0:

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 արտահայտությունը x - 1 երկանդամով բաժանելով՝ ստանում ենք՝ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x. - 1) = 0

Մենք կարող ենք գտնել մնացած արմատները x 2 - 3 x - 1 = 0 հավասարումից:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3: 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0: 3

Մենք գտանք x ∈ 1 միջակայքը; 3 + 13 2, որում G նկարը պարունակվում է կապույտ գծի վերևում և կարմիր գծի տակ: Սա օգնում է մեզ որոշել նկարի տարածքը.

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Պատասխան՝ S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակվում է y = x 3, y = - log 2 x + 1 կորերով և աբսցիսայի առանցքով:

Լուծում

Եկեք գծենք գրաֆիկի բոլոր տողերը: Մենք կարող ենք ստանալ y = - log 2 x + 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը y = log 2 x գրաֆիկից, եթե այն սիմետրիկ կերպով տեղադրենք x առանցքի նկատմամբ և տեղափոխենք մեկ միավոր վերև։ x առանցքի հավասարումը y = 0 է:

Նշենք գծերի հատման կետերը։

Ինչպես երևում է նկարից, y = x 3 և y = 0 ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են (0; 0) կետում։ Դա տեղի է ունենում, քանի որ x = 0-ը x 3 = 0 հավասարման միակ իրական արմատն է:

x = 2 - log 2 x + 1 = 0 հավասարման միակ արմատն է, ուստի y = - log 2 x + 1 և y = 0 ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են (2; 0) կետում:

x = 1 հավասարման միակ արմատն է x 3 = - log 2 x + 1: Այս առումով y = x 3 և y = - log 2 x + 1 ֆունկցիաների գրաֆիկները հատվում են (1; 1) կետում: Վերջին պնդումը կարող է ակնհայտ չլինել, բայց x 3 = - log 2 x + 1 հավասարումը չի կարող ունենալ մեկից ավելի արմատ, քանի որ y = x 3 ֆունկցիան խիստ աճում է, իսկ y = - log 2 x + 1 ֆունկցիան. խիստ նվազում:

Հետագա լուծումը ներառում է մի քանի տարբերակ.

Տարբերակ թիվ 1

Մենք կարող ենք պատկերացնել G նկարը որպես x առանցքի վերևում գտնվող երկու կորագիծ տրապիզոիդների գումար, որոնցից առաջինը գտնվում է x ∈ 0 հատվածի միջնագծից ներքև; 1, իսկ երկրորդը գտնվում է x ∈ 1 հատվածի կարմիր գծի տակ; 2. Սա նշանակում է, որ տարածքը հավասար կլինի S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x:

Տարբերակ թիվ 2

Նկար G-ը կարող է ներկայացվել որպես երկու թվերի տարբերություն, որոնցից առաջինը գտնվում է x առանցքի վերևում և x ∈ 0 հատվածի կապույտ գծի տակ; 2, իսկ երկրորդը x ∈ 1 հատվածի կարմիր և կապույտ գծերի միջև; 2. Սա թույլ է տալիս մեզ գտնել տարածքը հետևյալ կերպ.

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Այս դեպքում տարածքը գտնելու համար դուք պետք է օգտագործեք S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ձևի բանաձևը: Փաստորեն, գծերը, որոնք կապում են նկարը, կարող են ներկայացվել որպես y փաստարկի գործառույթներ:

Լուծենք y = x 3 և - log 2 x + 1 հավասարումները x-ի նկատմամբ.

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Մենք ստանում ենք անհրաժեշտ տարածքը.

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Պատասխան՝ S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի տարածքը, որը սահմանափակվում է y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 տողերով:

Լուծում

Կարմիր գծով գծում ենք y = x ֆունկցիայով սահմանված գիծը։ Կապույտ գույնով գծում ենք y = - 1 2 x + 4, իսկ սևով y = 2 3 x - 3 գիծը:

Նշենք հատման կետերը։

Գտնենք y = x և y = - 1 2 x + 4 ֆունկցիաների գրաֆիկների հատման կետերը:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Ստուգում. x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ոչ Արդյո՞ք x 2 = հավասարման լուծումը: 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 հավասարման լուծումն է ⇒ (4; 2) հատման կետ i y = x և y = - 1 2 x. + 4

Գտնենք y = x և y = 2 3 x - 3 ֆունկցիաների գրաֆիկների հատման կետը:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Ստուգեք՝ x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 ⇒ (9 ; 3) հավասարման լուծումն է a s y = x և y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Հավասարման լուծում չկա

Գտնենք y = - 1 2 x + 4 և y = 2 3 x - 3 ուղիղների հատման կետը:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) հատման կետը y = - 1 2 x + 4 և y = 2 3 x - 3

Մեթոդ թիվ 1

Եկեք պատկերացնենք ցանկալի գործչի մակերեսը որպես առանձին թվերի տարածքների գումար:

Այնուհետև նկարի մակերեսը հետևյալն է.

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Մեթոդ թիվ 2

Բնօրինակ գործչի տարածքը կարող է ներկայացվել որպես երկու այլ թվերի գումար:

Այնուհետև մենք լուծում ենք x-ի հարաբերական գծի հավասարումը և միայն դրանից հետո կիրառում ենք նկարի տարածքը հաշվարկելու բանաձևը:

y = x ⇒ x = y 2 կարմիր գիծ y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 սև գիծ y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Այսպիսով, տարածքը հետևյալն է.

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Ինչպես տեսնում եք, արժեքները նույնն են.

Պատասխան՝ S (G) = 11 3

Արդյունքներ

Տրված գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը գտնելու համար մենք պետք է հարթության վրա գծեր կառուցենք, գտնենք դրանց հատման կետերը և կիրառենք տարածքը գտնելու բանաձևը: Այս բաժնում մենք ուսումնասիրեցինք առաջադրանքների ամենատարածված տարբերակները:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter