տուն Ստոմատիտ Որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական կիրառություններ. Որոշակի ինտեգրալի կիրառություններ

Ստոմատիտ

Որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական կիրառություններ. Որոշակի ինտեգրալի կիրառություններ

Դասախոսություններ 8. Դիմումներ որոշակի ինտեգրալ.

Ինտեգրալի կիրառումը ֆիզիկական խնդիրների վրա հիմնված է բազմության վրա ինտեգրալի հավելման հատկության վրա։ Հետևաբար, օգտագործելով ինտեգրալը, կարող են հաշվարկվել քանակություններ, որոնք ինքնին հավելում են հավաքածուում: Օրինակ՝ գործչի մակերեսը հավասար է նրա մասերի մակերեսների գումարին։ Աղեղի երկարությունը, մակերեսի մակերեսը, մարմնի ծավալը և մարմնի զանգվածը նույն հատկությունն ունեն։ Հետևաբար, այս բոլոր մեծությունները կարող են հաշվարկվել որոշակի ինտեգրալի միջոցով:

Խնդիրները լուծելու համար կարող եք օգտագործել երկու մեթոդ. ինտեգրալ գումարների մեթոդը և դիֆերենցիալների մեթոդը:

Ինտեգրալ գումարների մեթոդը կրկնում է որոշակի ինտեգրալի կառուցումը. կառուցվում է միջնորմ, նշվում են կետերը, դրանց վրա հաշվարկվում է ֆունկցիան, հաշվարկվում է ինտեգրալ գումարը և կատարվում է անցում դեպի սահման։ Այս մեթոդով հիմնական դժվարությունը ապացուցելն է, որ սահմանում արդյունքը հենց այն է, ինչ անհրաժեշտ է խնդրին:

Դիֆերենցիալ մեթոդը օգտագործում է անորոշ ինտեգրալև Նյուտոն–Լայբնից բանաձևը։ Որոշվելիք մեծության դիֆերենցիալը հաշվարկվում է, այնուհետև, ինտեգրելով այս դիֆերենցիալը, ստացվում է պահանջվող մեծությունը՝ օգտագործելով Նյուտոն–Լայբնից բանաձևը։ Այս մեթոդով հիմնական դժվարությունն ապացուցելն է, որ հաշվարկված է պահանջվող արժեքի դիֆերենցիալը, այլ ոչ թե այլ բան:

Հարթության թվերի մակերեսների հաշվարկ:

1. Նկարը սահմանափակվում է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում սահմանված ֆունկցիայի գրաֆիկով։

Մենք հասանք որոշակի ինտեգրալի հայեցակարգին կոր տրապիզոնի տարածքի խնդրից (իրականում օգտագործելով ինտեգրալ գումարների մեթոդը): Եթե ֆունկցիան ընդունում է միայն ոչ բացասական արժեքներ, ապա հատվածի վրա ֆունկցիայի գրաֆիկի մակերեսը կարող է հաշվարկվել որոշակի ինտեգրալի միջոցով։ նկատել, որ հետևաբար այստեղ կարելի է տեսնել նաև դիֆերենցիալների մեթոդը։

Բայց ֆունկցիան կարող է նաև բացասական արժեքներ ընդունել որոշակի հատվածի վրա, այնուհետև այս հատվածի ինտեգրալը կտա բացասական տարածք, որը հակասում է տարածքի սահմանմանը:

Դուք կարող եք հաշվարկել տարածքը բանաձևովՍ=. Սա համարժեք է ֆունկցիայի նշանը փոխելուն այն տարածքներում, որտեղ այն բացասական արժեքներ է ընդունում:

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է վերևում ֆունկցիայի գրաֆիկով, իսկ ներքևում՝ ֆունկցիայի գրաֆիկով, ապա. կարող եք օգտագործել բանաձևըՍ= , որովհետեւ .

Օրինակ. Հաշվե՛ք x=0, x=2 ուղիղ գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը և y=x2, y=x3 ֆունկցիաների գրաֆիկները։

Նկատի ունեցեք, որ (0,1) միջակայքում գործում է x 2 > x 3 անհավասարությունը, իսկ x >1-ի համար գործում է x 3 > x 2 անհավասարությունը: Ահա թե ինչու

2. Նկարը սահմանափակվում է բևեռային կոորդինատային համակարգում նշված ֆունկցիայի գրաֆիկով:

Թող ֆունկցիայի գրաֆիկը տրվի բևեռային կոորդինատային համակարգում, և մենք ուզում ենք հաշվարկել կորագիծ հատվածի մակերեսը, որը սահմանափակված է երկու ճառագայթներով և ֆունկցիայի գրաֆիկը բևեռային կոորդինատային համակարգում:

Այստեղ դուք կարող եք օգտագործել ինտեգրալ գումարների մեթոդը, հաշվարկելով կորագիծ հատվածի տարածքը որպես տարրական հատվածների տարածքների գումարի սահման, որտեղ ֆունկցիայի գրաֆիկը փոխարինվում է շրջանաձև աղեղով: .

Կարող եք նաև օգտագործել դիֆերենցիալ մեթոդը. .

Կարելի է այսպես մտածել. Կենտրոնական անկյունին համապատասխան տարրական կորագիծ հատվածը շրջանաձև հատվածով փոխարինելով՝ ունենք համամասնությունը: Այստեղից . Ինտեգրելով և օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը՝ մենք ստանում ենք .

Օրինակ. Եկեք հաշվարկենք շրջանագծի տարածքը (ստուգեք բանաձևը): Մենք հավատում ենք. Շրջանակի մակերեսն է .

Օրինակ. Հաշվենք կարդիոիդով սահմանափակված տարածքը .

3 Նկարը սահմանափակվում է պարամետրորեն նշված ֆունկցիայի գրաֆիկով:

Ֆունկցիան կարող է պարամետրականորեն սահմանվել ձևով: Մենք օգտագործում ենք բանաձևը Ս= , դրանում փոխարինելով նոր փոփոխականի նկատմամբ ինտեգրման սահմանները։ . Սովորաբար ինտեգրալը հաշվարկելիս բացահայտվում են այն տարածքները, որտեղ ինտեգրանդ ֆունկցիան ունի որոշակի նշան և հաշվի է առնվում համապատասխան տարածքը այս կամ այն նշանով։

Օրինակ. Հաշվի՛ր էլիպսի կողմից պարփակված մակերեսը։

Օգտագործելով էլիպսի համաչափությունը՝ մենք հաշվարկում ենք էլիպսի քառորդի մակերեսը, որը գտնվում է առաջին քառորդում։ Այս քառորդում. Ահա թե ինչու .

Մարմինների ծավալների հաշվարկ.

1. Զուգահեռ հատվածների տարածքներից մարմինների ծավալների հաշվարկը.

Թող պահանջվի այս մարմնի լայնական հատվածների հայտնի տարածքներից V որոշակի մարմնի ծավալը հաշվարկել OX ուղղին ուղղահայաց հարթություններով, որոնք գծված են OX գծի հատվածի ցանկացած x կետով:

Եկեք կիրառենք դիֆերենցիալների մեթոդը. Հատվածի վերևում գտնվող տարրական ծավալը դիտարկելով որպես հիմքի մակերեսով և բարձրությամբ աջ շրջանաձև գլան, մենք ստանում ենք. . Ինտեգրելով և կիրառելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը՝ մենք ստանում ենք

2. Պտտման մարմինների ծավալների հաշվարկ.

Թող հարկ լինի հաշվարկել ԵԶ.

Հետո .

Նմանապես, առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալըOY, եթե ֆունկցիան տրված է ձևով , կարելի է հաշվարկել բանաձևով .

Եթե ֆունկցիան նշված է ձևի մեջ և անհրաժեշտ է որոշել առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի ծավալը.OY, ապա ծավալը հաշվարկելու բանաձեւը կարելի է ստանալ հետեւյալ կերպ.

Անցնելով դիֆերենցիալին և անտեսելով քառակուսի տերմինները՝ ունենք . Ինտեգրելով և կիրառելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը՝ մենք ունենք.

Օրինակ. Հաշվի՛ր ոլորտի ծավալը։

Օրինակ. Հաշվե՛ք աջ շրջանաձև կոնի ծավալը, որը սահմանափակված է մակերեսով և հարթությամբ:

Եկեք հաշվարկենք ծավալը որպես պտտվող մարմնի ծավալ, ձևավորվում է ռոտացիայի միջոցով OZ առանցքի շուրջ ուղղանկյուն եռանկյուն OXZ հարթությունում, որի ոտքերը ընկած են OZ առանցքի և z = H ուղիղի վրա, իսկ հիպոթենուսը՝ գծի վրա:

x-ը z-ով արտահայտելով՝ ստանում ենք .

Աղեղի երկարության հաշվարկ.

Աղեղի երկարությունը հաշվելու բանաձևեր ստանալու համար հիշեք 1-ին կիսամյակում ստացված աղեղի երկարության դիֆերենցիալի բանաձևերը:

Եթե աղեղը շարունակաբար տարբերվող ֆունկցիայի գրաֆիկն է, աղեղի երկարության դիֆերենցիալը կարելի է հաշվարկել բանաձևով

. Ահա թե ինչու

Եթե պարամետրորեն նշված է հարթ աղեղ, Դա

. Ահա թե ինչու .

Եթե աղեղը նշված է բևեռային կոորդինատային համակարգում, Դա

. Ահա թե ինչու .

Օրինակ. Հաշվե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկի աղեղի երկարությունը, . .

Ներկայացնենք որոշակի ինտեգրալի մի քանի կիրառություն։

Հարթ գործչի մակերեսի հաշվարկ

Կոր տրապիզոնի տարածքը, որը սահմանափակվում է կորով (որտեղ
), ուղիղ
,
և մի հատված
կացիններ
, հաշվարկված բանաձևով

Կորերով սահմանափակված գործչի մակերեսը
Եվ
(Որտեղ
) ուղիղ
Եվ
հաշվարկված բանաձևով

Եթե կորը տրված է պարամետրային հավասարումներով
, այնուհետև այս կորով ուղիղ գծերով սահմանափակված կորագիծ տրապեզոիդի տարածքը
,
և մի հատված
կացիններ
, հաշվարկված բանաձևով

Որտեղ Եվ որոշվում են հավասարումներից
,
, Ա
ժամը
.

Կորագիծ հատվածի մակերեսը, որը սահմանափակվում է բևեռային կոորդինատներով տրված կորով հավասարման միջոցով
և երկու բևեռային շառավիղներ
,
(
), հայտնաբերվում է բանաձևով

Օրինակ 1.27.Հաշվե՛ք պարաբոլով սահմանափակված գործչի մակերեսը
և ուղիղ
(Նկար 1.1):

Լուծում.Գտնենք ուղիղ գծի և պարաբոլայի հատման կետերը։ Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումը

,
.

Որտեղ
,
. Այնուհետև (1.6) բանաձևով ունենք

Հարթ կորի աղեղի երկարության հաշվարկ

Եթե կորը
հատվածի վրա
- հարթ (այսինքն, ածանցյալ
շարունակական), ապա այս կորի համապատասխան աղեղի երկարությունը գտնում ենք բանաձևով

Պարամետրիկորեն կորը նշելիս
(
- անընդհատ տարբերակվող ֆունկցիաներ) կորի աղեղի երկարությունը, որը համապատասխանում է պարամետրի միապաղաղ փոփոխությանը. -ից նախքան , հաշվարկված բանաձևով

Օրինակ 1.28.Հաշվիր կորի աղեղի երկարությունը
,
,
.

Լուծում.Գտնենք ածանցյալներ պարամետրի նկատմամբ :
,
. Այնուհետև (1.7) բանաձևից ստանում ենք

2. Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների դիֆերենցիալ հաշվարկ

Թող յուրաքանչյուր պատվիրված զույգ թվեր
որոշ տարածքից
համապատասխանում է որոշակի թվի
. Հետո կանչեց երկու փոփոխականների ֆունկցիա Եվ ,
-անկախ փոփոխականներ կամ փաստարկներ ,
-սահմանման տիրույթ գործառույթներ և մի շարք բոլոր գործառույթների արժեքները - իր արժեքների շրջանակը և նշել
.

Երկրաչափական առումով, ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը սովորաբար ներկայացնում է հարթության մի մասը
, սահմանափակված գծերով, որոնք կարող են պատկանել կամ չպատկանել այս տարածքին:

Օրինակ 2.1.Գտեք սահմանման տիրույթը
գործառույթները
.

Լուծում.Այս ֆունկցիան սահմանված է հարթության այդ կետերում
, որի մեջ
, կամ
. Ինքնաթիռի կետերը, որոնց համար
, կազմում են շրջանի սահմանը
. Հավասարումը
սահմանում է պարաբոլա (նկ. 2.1, քանի որ պարաբոլան չի պատկանում տարածաշրջանին
, ապա այն պատկերված է կետագծով)։ Ավելին, հեշտ է ուղղակիորեն ստուգել այն կետերը, որոնց համար
, գտնվում է պարաբոլայի վերևում։ Տարածաշրջան
բաց է և կարող է սահմանվել անհավասարությունների համակարգի միջոցով.

Եթե փոփոխականը որոշակի ավելացում տվեք
, Ա թողնել հաստատուն, ապա ֆունկցիան
հավելավճար կստանա
, կանչեց գործառույթի մասնավոր ավելացում ըստ փոփոխականի :

Նմանապես, եթե փոփոխականը ավելացում է ստանում
, Ա մնում է հաստատուն, ապա ֆունկցիան
հավելավճար կստանա
, կանչեց գործառույթի մասնավոր ավելացում ըստ փոփոխականի :

Եթե կան սահմանափակումներ.

նրանք կոչվում են ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներ
ըստ փոփոխականների Եվ համապատասխանաբար.

Դիտողություն 2.1. Նմանապես որոշվում են ցանկացած թվով անկախ փոփոխականների ֆունկցիաների մասնակի ածանցյալները:

Դիտողություն 2.2. Քանի որ մասնակի ածանցյալը ցանկացած փոփոխականի նկատմամբ ածանցյալն է այս փոփոխականի նկատմամբ, պայմանով, որ մյուս փոփոխականները հաստատուն են, ապա մեկ փոփոխականի ֆունկցիաները տարբերելու բոլոր կանոնները կիրառելի են ցանկացած թվով փոփոխականների ֆունկցիաների մասնակի ածանցյալներ գտնելու համար:

Օրինակ 2.2.
.

Լուծում. Մենք գտնում ենք.

Օրինակ 2.3.Գտեք ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներ
.

Լուծում. Մենք գտնում ենք.

Ամբողջական ֆունկցիայի ավելացում
կոչվում է տարբերություն

Ամբողջական ֆունկցիայի ավելացման հիմնական մասը
, գծայինորեն կախված անկախ փոփոխականների ավելացումներից
Եվ
,կոչվում է ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալ և նշանակված է
. Եթե ֆունկցիան ունի շարունակական մասնակի ածանցյալներ, ապա ընդհանուր դիֆերենցիալը գոյություն ունի և հավասար է

Որտեղ
,
- անկախ փոփոխականների կամայական ավելացումներ, որոնք կոչվում են դրանց դիֆերենցիալներ:

Նմանապես, երեք փոփոխականների ֆունկցիայի համար
ընդհանուր դիֆերենցիալը տրված է

Թող գործառույթը
ունի կետում
առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ բոլոր փոփոխականների նկատմամբ: Այնուհետև վեկտորը կոչվում է գրադիենտ գործառույթները
կետում
և նշանակված է
կամ
.

Դիտողություն 2.3. Խորհրդանիշ
կոչվում է Hamilton օպերատոր և արտասանվում է «nambla»:

Օրինակ 2.4.Գտե՛ք ֆունկցիայի գրադիենտը մի կետում
.

Լուծում. Գտնենք մասնակի ածանցյալները.

,
,

և հաշվարկեք դրանց արժեքները տվյալ կետում
:

,
,
.

Հետևաբար,
.

Ածանցյալ գործառույթները
կետում
վեկտորի ուղղությամբ
կոչվում է հարաբերակցության սահման
ժամը
:

, Որտեղ
.

Եթե ֆունկցիան
տարբերակելի է, ապա տվյալ ուղղությամբ ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Որտեղ ,- անկյունները, որը վեկտոր է ձևերը կացիններով
Եվ
համապատասխանաբար.

Երեք փոփոխականների ֆունկցիայի դեպքում
ուղղորդված ածանցյալը սահմանվում է նույն կերպ: Համապատասխան բանաձեւն է

Որտեղ
- վեկտորի ուղղության կոսինուսները .

Օրինակ 2.5.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը
կետում
վեկտորի ուղղությամբ
, Որտեղ
.

Լուծում. Գտնենք վեկտորը
և դրա ուղղության կոսինուսները.

,
,
,
.

Եկեք հաշվարկենք մասնակի ածանցյալների արժեքները կետում
:

,
,
;
,
,
.

Փոխարինելով (2.1)՝ մենք ստանում ենք

Երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ կոչվում են մասնակի ածանցյալներ՝ վերցված առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներից.

Մասնակի ածանցյալներ
,
կոչվում են խառը . Խառը ածանցյալների արժեքները հավասար են այն կետերում, որտեղ այդ ածանցյալները շարունակական են:

Օրինակ 2.6.Գտեք ֆունկցիայի երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները
.

Լուծում. Եկեք նախ հաշվարկենք առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները.

,
.

Կրկին տարբերակելով դրանք՝ մենք ստանում ենք.

,
,

,
.

Համեմատելով վերջին արտահայտությունները՝ տեսնում ենք, որ
.

Օրինակ 2.7.Ապացուցեք, որ ֆունկցիան
բավարարում է Լապլասի հավասարումը

Լուծում. Մենք գտնում ենք.

,
.

Կետ
կանչեց տեղական առավելագույն կետ (նվազագույնը ) գործառույթներ
, եթե բոլոր կետերի համար
, տարբերվում է
և դրա բավական փոքր թաղամասին պատկանելը՝ անհավասարությունը

(
).

Ֆունկցիայի առավելագույնը կամ նվազագույնը կոչվում է իր ծայրահեղություն . Այն կետը, որտեղ հասնում է ֆունկցիայի ծայրահեղությունը, կոչվում է ֆունկցիայի ծայրահեղ կետը .

Թեորեմ 2.1 (Էքստրեմի համար անհրաժեշտ պայմաններ ). Եթե կետը
ֆունկցիայի ծայրահեղ կետն է
, կամ գոնե այս ածանցյալներից մեկը գոյություն չունի:

Այն կետերը, որոնց համար այս պայմանները բավարարված են, կոչվում են ստացիոնար կամ քննադատական . Ծայրահեղ կետերը միշտ անշարժ են, բայց անշարժ կետը կարող է ծայրահեղ կետ չլինել: Որպեսզի անշարժ կետը լինի ծայրահեղ կետ, պետք է բավարարվեն էքստրեմումի համար բավարար պայմաններ:

Նախ ներկայացնենք հետևյալ նշումը :

,
,
,
.

Թեորեմ 2.2 (Բավարար պայմաններ էքստրեմումի համար ). Թող գործառույթը
երկու անգամ տարբերվող կետի հարևանությամբ
և ժամանակաշրջան
անշարժ է ֆունկցիայի համար
. Ապա.

1.Եթե
, ապա մատնանշեք
ֆունկցիայի ծայրահեղություն է և
կլինի առավելագույն կետը ժամը
(
)իսկ նվազագույն կետը ժամը
(
).

2.Եթե
, ապա կետում

ծայրահեղություն չկա.

3.Եթե
, ապա էքստրեմումը կարող է լինել կամ չլինել։

Օրինակ 2.8.Ուսումնասիրեք էքստրեմի ֆունկցիան
.

Լուծում. Քանի որ ներս այս դեպքումԱռաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ միշտ գոյություն ունեն, այնուհետև անշարժ (կրիտիկական) կետերը գտնելու համար լուծում ենք համակարգը.

,
,

որտեղ
,
,
,
. Այսպիսով, մենք ստացանք երկու անշարժ կետ.
,
.

,
,
.

Մի կետի համար
մենք ստանում ենք., այսինքն՝ այս պահին ծայրահեղություն չկա։ Մի կետի համար
մենք ստանում ենք և
, հետևաբար

այս պահին այս գործառույթըհասնում է տեղական նվազագույնի.

Ֆունկցիայի գրաֆիկով վերևում սահմանափակված կորագիծ տրապեզիի տարածքը y=f(x), ձախ և աջ՝ ուղիղ x=aԵվ x=bհամապատասխանաբար, ներքևից - առանցքը Եզ, հաշվարկված բանաձևով

Ֆունկցիայի գրաֆիկով աջ կողմում սահմանափակված կորագիծ տրապեզիի տարածքը x=φ(y), վերեւում եւ ներքեւում `ուղիղ y=dԵվ y=cհամապատասխանաբար, ձախ կողմում `առանցքը Օյ:

Ֆունկցիայի գրաֆիկով վերևում սահմանափակված կորագիծ գործչի տարածքը y 2 =f 2 (x), ստորև՝ ֆունկցիայի գրաֆիկ y 1 =f 1 (x), ձախ և աջ՝ ուղիղ x=aԵվ x=b:

Ձախից և աջից սահմանափակված կորագիծ գործչի տարածքը ֆունկցիաների գրաֆիկներով x 1 =φ 1 (y)Եվ x 2 =φ 2 (y), վերեւում եւ ներքեւում `ուղիղ y=dԵվ y=cհամապատասխանաբար:

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ կորագիծ տրապեզը վերևից սահմանափակող գիծը տրված է պարամետրային հավասարումներով. x = φ 1 (տ), y = φ 2 (տ), Որտեղ α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=բ. Այս հավասարումները սահմանում են որոշ գործառույթներ y=f(x)հատվածի վրա [ ա, բ]. Կոր trapezoid-ի տարածքը հաշվարկվում է բանաձևով

Անցնենք նոր փոփոխականին x = φ 1 (տ), Հետո dx = φ" 1 (t) dt, Ա y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), հետևաբար \begin(ցուցադրում)

Տարածքը բևեռային կոորդինատներում

Դիտարկենք կորագիծ հատվածը ՕԱԲ, սահմանափակված գծով, տրված հավասարմամբ ρ=ρ(φ) բևեռային կոորդինատներում, երկու ճառագայթ Օ.Ա.Եվ Օ.Բ., ինչի համար φ=α , φ=β .

Մենք ոլորտը կբաժանենք տարրական հատվածների OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, M n =B) Նշենք ըստ Δφkճառագայթների միջև անկյուն OM k-1Եվ OMk, բևեռային առանցքի հետ ձևավորելով անկյուններ φ k-1Եվ φkհամապատասխանաբար. Տարրական հատվածներից յուրաքանչյուրը OM k-1 M kփոխարինել այն շառավղով շրջանաձև հատվածով ρ k =ρ(φ" k), Որտեղ φ"k- անկյան արժեքը φ միջակայքից [ φ k-1 , φ k] և կենտրոնական անկյունը Δφk. Վերջին հատվածի տարածքը արտահայտվում է բանաձևով .

արտահայտում է «աստիճան» հատվածի տարածքը, որը մոտավորապես փոխարինում է տվյալ հատվածին ՕԱԲ.

Ոլորտի տարածքը ՕԱԲկոչվում է «աստիճան» հատվածի տարածքի սահմանը ժամը n → ∞Եվ λ=max Δφ k → 0:

Որովհետեւ , Դա

Կորի աղեղի երկարությունը

Թող հատվածը [ ա, բ] տրված է դիֆերենցիալ ֆունկցիա y=f(x), որի գրաֆիկը աղեղն է։ Գծային հատված [ ա, բ] եկեք բաժանենք այն nկետերով մասեր x 1, x 2, …, xn-1. Այս կետերը կհամապատասխանեն կետերին Մ 1, Մ 2, …, Mn-1կամարները, մենք դրանք միացնում ենք կոտրված գծով, որը կոչվում է աղեղի մեջ ներգծված կոտրված գիծ: Այս ճեղքված գծի պարագիծը կնշանակվի s n, այն է

Սահմանում. Գծի աղեղի երկարությունը դրանում ներգծված կոտրված գծի պարագծի սահմանն է, երբ հղումների քանակը M k-1 M kաճում է անորոշ ժամանակով, և դրանցից ամենամեծի երկարությունը ձգտում է զրոյի.

որտեղ λ-ն ամենամեծ կապի երկարությունն է:

Մենք ինչ-որ կետից կհաշվենք աղեղի երկարությունը, օրինակ. Ա. Թողեք կետում M(x,y)աղեղի երկարությունն է ս, և կետում M» (x+Δ x,y+Δy)աղեղի երկարությունն է s+Δs, որտեղ,i>Δs աղեղի երկարությունն է։ Եռանկյունից MNM»գտե՛ք ակորդի երկարությունը՝ .

Երկրաչափական նկատառումներից հետևում է, որ

այսինքն՝ տողի անվերջ փոքր աղեղը և նրան սատարող ակորդը համարժեք են։

Փոխակերպենք ակորդի երկարությունն արտահայտող բանաձևը.

Անցնելով այս հավասարության սահմանին՝ ստանում ենք ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձև s=s(x):

որից մենք գտնում ենք

Այս բանաձևը արտահայտում է հարթ կորի աղեղի դիֆերենցիալը և ունի պարզ երկրաչափական իմաստ արտահայտում է Պյութագորասի թեորեմը անվերջ փոքր եռանկյունու համար MTN (ds=MT, ).

Տարածական կորի աղեղի դիֆերենցիալը որոշվում է բանաձևով

Դիտարկենք պարամետրային հավասարումներով սահմանված տարածական գծի աղեղը

Որտեղ α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - արգումենտի տարբերվող ֆունկցիաներ տ, Դա

Այս հավասարության ինտեգրում միջակայքում [ α, β ], ստանում ենք այս գծային աղեղի երկարությունը հաշվարկելու բանաձեւ

Եթե գիծը ընկած է հարթության մեջ Օքսի, Դա z=0բոլորի աչքի առաջ t∈[α, β], Ահա թե ինչու

Այն դեպքում, երբ հավասարման միջոցով տրված է հարթ գիծ y=f(x) (a≤x≤b), որտեղ f(x)դիֆերենցիալ ֆունկցիա է, վերջին բանաձևն ընդունում է ձևը

Թող հարթության գիծը տրվի հավասարման միջոցով ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) բևեռային կոորդինատներում: Այս դեպքում ունենք պարամետրային հավասարումներտողեր x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, որտեղ բևեռային անկյունը վերցված է որպես պարամետր φ . Քանի որ

ապա գծի աղեղի երկարությունն արտահայտող բանաձեւը ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) բևեռային կոորդինատներում ունի ձև

Մարմնի ծավալը

Եկեք գտնենք մարմնի ծավալը, եթե հայտնի է այս մարմնի ցանկացած խաչմերուկի մակերեսը, որը ուղղահայաց է որոշակի ուղղությամբ:

Եկեք այս մարմինը բաժանենք տարրական շերտերի առանցքին ուղղահայաց հարթություններով Եզև սահմանվում է հավասարումներով x=կոնստ. Ցանկացած ֆիքսված համար x∈հայտնի տարածք S=S(x)խաչաձեւ հատվածը տրված մարմինը.

Ինքնաթիռներով կտրված տարրական շերտ x=x k-1, x=xk (k=1, …, n, x 0 =a, x n =b), փոխարինեք այն բարձրությամբ գլանով Δx k =x k -x k-1և բազայի տարածքը S(ξ k), ξ k ∈.

Նշված տարրական գլանի ծավալն արտահայտվում է բանաձևով Δv k =E(ξ k)Δx k. Եկեք ամփոփենք բոլոր նման ապրանքները

որը տվյալ ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարն է S=S(x)հատվածի վրա [ ա, բ]. Այն արտահայտում է աստիճանավոր մարմնի ծավալը, որը բաղկացած է տարրական գլաններից և մոտավորապես փոխարինում է այս մարմնին։

Տրված մարմնի ծավալը նշված աստիճանավոր մարմնի ծավալի սահմանն է λ→0 , Որտեղ λ - տարրական հատվածներից ամենամեծի երկարությունը Δxk. Նշենք ըստ Վտրված մարմնի ծավալը, ապա ըստ սահմանման

Մյուս կողմից,

Ուստի մարմնի ծավալն ըստ տրվածի խաչմերուկներհաշվարկված բանաձևով

Եթե մարմինը գոյանում է առանցքի շուրջ պտտվելով Եզկոր trapezoid, որը սահմանափակված է վերևում շարունակական գծի աղեղով y=f(x), Որտեղ a≤x≤b, Դա S(x)=πf 2 (x)և վերջին բանաձևը ստանում է ձևը.

Մեկնաբանություն. Մարմնի ծավալը, որը ստացվում է ֆունկցիայի գրաֆիկով աջ կողմում սահմանափակված կոր trapezoid պտտելով x=φ(y) (գ ≤ x ≤ դ), առանցքի շուրջ Օյհաշվարկված բանաձևով

Պտտման մակերեսը

Դիտարկենք գծի աղեղը պտտելով ստացված մակերեսը y=f(x) (a≤x≤b) առանցքի շուրջը Եզ(ենթադրենք, որ ֆունկցիան y=f(x)ունի շարունակական ածանցյալ): Արժեքի ամրագրում x∈, ֆունկցիայի արգումենտին ավելացում կտանք dx, որը համապատասխանում է տարրական աղեղը պտտելով ստացված «տարրական օղակին»։ Δl. Եկեք փոխարինենք այս «օղակը» գլանաձև օղակով - մարմնի կողային մակերեսը, որը ձևավորվում է ուղղանկյունի պտույտից, որի հիմքը հավասար է աղեղի դիֆերենցիալին: դլ, և բարձրությունը h=f(x). Վերջին օղակը կտրելով և բացելով՝ ստանում ենք լայնությամբ շերտ դլև երկարությունը 2πy, Որտեղ y=f(x).