Որոշակի կետում ֆունկցիայի փոփոխությունը սահմանվում է որպես արգումենտի ավելացման ֆունկցիայի ավելացման սահման, որը ձգտում է զրոյի: Այն գտնելու համար օգտագործեք ածանցյալների աղյուսակը: Օրինակ, y = x3 ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար կլինի y’ = x2:

Այս ածանցյալը հավասարեցրեք զրոյի (in այս դեպքում x2=0):

Գտե՛ք տրված փոփոխականի արժեքը։ Սրանք կլինեն այն արժեքները, որոնց դեպքում տվյալ ածանցյալը հավասար կլինի 0-ի: Դա անելու համար x-ի փոխարեն արտահայտության մեջ փոխարինեք կամայական թվեր, որոնց դեպքում ամբողջ արտահայտությունը կդառնա զրո: Օրինակ:

2-2x2= 0
(1-x) (1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Ստացված արժեքները գրեք կոորդինատային գծի վրա և հաշվարկեք ածանցյալի նշանը ստացված յուրաքանչյուր արժեքի համար: Կոորդինատային գծի վրա նշվում են կետերը, որոնք վերցվում են որպես սկզբնաղբյուր։ Արժեքը միջակայքում հաշվարկելու համար փոխարինեք կամայական արժեքները, որոնք համապատասխանում են չափանիշներին: Օրինակ, նախորդ ֆունկցիայի համար մինչև -1 միջակայքը, կարող եք ընտրել -2 արժեքը: -1-ից 1 արժեքների համար կարող եք ընտրել 0, իսկ 1-ից մեծ արժեքների համար ընտրել 2: Փոխարինեք այս թվերը ածանցյալի մեջ և պարզեք ածանցյալի նշանը: Այս դեպքում x = -2-ով ածանցյալը հավասար կլինի -0,24-ի, այսինքն. բացասական, և այս միջակայքում կլինի մինուս նշան: Եթե ​​x=0, ապա արժեքը հավասար կլինի 2-ի, և այս միջակայքի վրա նշան է դրվում։ Եթե ​​x=1, ապա ածանցյալը նույնպես հավասար կլինի -0,24-ի և դրվում է մինուս:

Եթե ​​կոորդինատային գծի մի կետով անցնելիս ածանցյալը փոխում է իր նշանը մինուսից պլյուսի, ապա սա նվազագույն կետ է, իսկ եթե գումարածից մինուս, ապա սա առավելագույն կետ է։

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Օգտակար խորհուրդ

Ածանցյալը գտնելու համար կան առցանց ծառայություններ, որոնք հաշվարկում են պահանջվող արժեքներև ցուցադրել արդյունքը: Նման կայքերում դուք կարող եք գտնել ածանցյալներ մինչև 5-րդ կարգի:

Աղբյուրներ:

• Ածանցյալ գործիքների հաշվարկման ծառայություններից մեկը
• ֆունկցիայի առավելագույն կետը

Ֆունկցիայի առավելագույն կետերը նվազագույն կետերի հետ միասին կոչվում են ծայրահեղ կետեր: Այս կետերում ֆունկցիան փոխում է իր վարքը: Ծայրահեղությունները որոշվում են սահմանափակ թվային ընդմիջումներով և միշտ տեղական են:

Հրահանգներ

Տեղական ծայրահեղությունների հայտնաբերման գործընթացը կոչվում է ֆունկցիա և իրականացվում է ֆունկցիայի առաջին և երկրորդ ածանցյալների վերլուծությամբ։ Նախքան ուսումնասիրությունը սկսելը, համոզվեք, որ փաստարկների արժեքների նշված շրջանակը պատկանում է վավեր արժեքներին: Օրինակ, F=1/x ֆունկցիայի համար x=0 արգումենտը վավեր չէ։ Կամ Y=tg(x) ֆունկցիայի համար արգումենտը չի կարող ունենալ x=90° արժեքը։

Համոզվեք, որ Y ֆունկցիան տարբերելի է ամբողջ տրված միջակայքում: Գտե՛ք Y-ի առաջին ածանցյալը։ Ակնհայտ է, որ մինչև տեղական առավելագույն կետին հասնելը ֆունկցիան մեծանում է, իսկ առավելագույնի միջով անցնելիս ֆունկցիան դառնում է նվազող։ Առաջին ածանցյալն իր մեջ։ ֆիզիկական իմաստբնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը. Մինչ ֆունկցիան աճում է, այս գործընթացի արագությունը դրական է: Տեղական առավելագույնի միջով անցնելիս ֆունկցիան սկսում է նվազել, և ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը դառնում է բացասական։ Ֆունկցիայի փոփոխության արագության անցումը զրոյի միջով տեղի է ունենում տեղական առավելագույնի կետում։

Նշվում է, որ ֆունկցիան ունի ներքին կետում
շրջան Դ տեղական առավելագույնը(նվազագույնը), եթե կա կետի նման հարևանություն
, յուրաքանչյուր կետի համար
որը պահպանում է անհավասարությունը

Եթե ​​ֆունկցիան ունի մի կետում
տեղական առավելագույնը կամ տեղական նվազագույնը, ապա մենք ասում ենք, որ այն ունի այս պահին տեղական ծայրահեղություն (կամ պարզապես ծայրահեղություն).

Թեորեմ (անհրաժեշտ պայման էքստրեմումի գոյության համար) Եթե ​​տարբերակվող ֆունկցիան կետում հասնում է ծայրահեղության
, ապա ֆունկցիայի յուրաքանչյուր առաջին կարգի մասնակի ածանցյալ այս պահին այն դառնում է զրո:

Այն կետերը, որոնցում անհետանում են առաջին կարգի բոլոր մասնակի ածանցյալները, կոչվում են ֆունկցիայի անշարժ կետերը
. Այս կետերի կոորդինատները կարելի է գտնել՝ լուծելով հավասարումներ

.

Էքստրեմի գոյության անհրաժեշտ պայմանը դիֆերենցիալ ֆունկցիայի դեպքում կարելի է հակիրճ ձևակերպել հետևյալ կերպ.

Լինում են դեպքեր, երբ առանձին կետերում որոշ մասնակի ածանցյալներ ունեն անսահման արժեքներ կամ գոյություն չունեն (մինչդեռ մնացածը հավասար են զրոյի): Նման կետերը կոչվում են ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը.Այս կետերը նույնպես պետք է համարվեն որպես «կասկածելի» էքստրեմի համար, ինչպես անշարժ կետերը։

Երկու փոփոխականների ֆունկցիայի դեպքում անհրաժեշտ պայմանԾայրահեղությունը, մասնավորապես մասնակի ածանցյալների (դիֆերենցիալ) զրոյի հավասարությունը ծայրահեղ կետում, ունի երկրաչափական մեկնաբանություն. մակերեսին շոշափող հարթություն
ծայրահեղ կետում պետք է լինի հարթությանը զուգահեռ
.

20. Բավարար պայմաններ էքստրեմի գոյության համար

Ինչ-որ պահի էքստրեմումի առկայության համար անհրաժեշտ պայմանի կատարումն ամենևին էլ չի երաշխավորում այնտեղ էքստրեմումի առկայությունը։ Որպես օրինակ, մենք կարող ենք վերցնել ամենուր տարբերվող ֆունկցիան
. Նրա և՛ մասնակի ածանցյալները, և՛ գործառույթն ինքնին անհետանում են այդ կետում
. Այնուամենայնիվ, այս կետի ցանկացած հարևանությամբ կան երկուսն էլ դրական (մեծ
), և բացասական (ավելի փոքր
) այս ֆունկցիայի արժեքները: Հետեւաբար, այս պահին, ըստ սահմանման, ծայրահեղություն չի նկատվում: Հետևաբար, անհրաժեշտ է իմանալ բավարար պայմաններ, որոնց դեպքում էքստրեմումի համար կասկածելի կետը համարվում է ուսումնասիրվող ֆունկցիայի ծայրահեղ կետ:

Դիտարկենք երկու փոփոխականների ֆունկցիայի դեպքը։ Ենթադրենք, որ ֆունկցիան
սահմանված, շարունակական և ունի շարունակական մասնակի ածանցյալներ մինչև երկրորդ կարգը ներառյալ ինչ-որ կետի հարևանությամբ
, որը ֆունկցիայի անշարժ կետն է
, այսինքն՝ բավարարում է պայմանները

,
.

Ներկայացնենք հետևյալ նշումը.

Թեորեմ (բավարար պայմաններ էքստրեմի գոյության համար) Թող գործառույթը
բավարարում է վերը նշված պայմանները, այն է՝ այն տարբերելի է անշարժ կետի ինչ-որ հարևանությամբ
և բուն կետում երկու անգամ տարբերելի է
. Հետո եթե

Եթե
ապա ֆունկցիան
կետում
հասնում է

տեղական առավելագույնըժամը
Եվ

տեղական նվազագույնըժամը
.

Ընդհանուր առմամբ, գործառույթի համար
կետում գոյության բավարար պայման
տեղականնվազագույնը(առավելագույնը) է դրական(բացասական) երկրորդ դիֆերենցիալի որոշակիությունը:

Այսինքն՝ ճիշտ է հետևյալ պնդումը.

Թեորեմ . Եթե ​​կետում
ֆունկցիայի համար

ցանկացածի համար, որը միաժամանակ հավասար չէ զրոյի
, ապա այս պահին ֆունկցիան ունի նվազագույնը(նման առավելագույնը, Եթե
).

Օրինակ 18.Գտեք ֆունկցիայի տեղական ծայրահեղ կետերը

Լուծում. Գտնենք ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները և հավասարեցնենք դրանք զրոյի.

Լուծելով այս համակարգը՝ մենք գտնում ենք երկու հնարավոր ծայրահեղ կետ.

Գտնենք այս ֆունկցիայի երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները.

Առաջին անշարժ կետում, հետևաբար, և
Հետեւաբար, այս պահին լրացուցիչ հետազոտություն է պահանջվում: Ֆունկցիայի արժեքը
այս պահին զրոյական է՝
Հետագայում,

ժամը

Ա

ժամը

Հետեւաբար, կետի ցանկացած հարեւանությամբ
ֆունկցիան
ընդունում է արժեքները որպես մեծ
, և ավելի փոքր
, և, հետևաբար, կետում
ֆունկցիան
, ըստ սահմանման, չունի տեղական ծայրահեղություն:

Երկրորդ անշարժ կետում



հետևաբար, հետևաբար, քանի որ
ապա կետում
ֆունկցիան ունի տեղական առավելագույնը:

>> Ծայրահեղ

Ֆունկցիայի ծայրահեղություն

Էքստրեմի սահմանում

Գործառույթ y = f(x) կոչվում է աճող (նվազում է) որոշակի ընդմիջումով, եթե x 1-ի համար< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Եթե ​​y = f (x) դիֆերենցիալ ֆունկցիան մեծանում է (նվազում) մի ինտերվալի վրա, ապա դրա ածանցյալը այս f միջակայքում " (x)> 0

(զ"(x)< 0).

Կետ x Օ կանչեց տեղական առավելագույն կետ (նվազագույնը) f (x) ֆունկցիան, եթե կա կետի հարևանություն x o, բոլոր կետերի համար, որոնց f (x) անհավասարությունը ճշմարիտ է≤ f (x o ) (f (x)≥ f (x o )).

Առավելագույն և նվազագույն միավորները կոչվում են ծայրահեղ կետեր, և այս կետերում ֆունկցիայի արժեքներն են ծայրահեղություններ.

Էքստրեմալ կետեր

Էքստրեմի համար անհրաժեշտ պայմաններ . Եթե ​​կետը x Օ f (x) ֆունկցիայի ծայրահեղ կետն է, ապա կամ f " (x o ) = 0, կամ f(x o) գոյություն չունի: Նման կետերը կոչվում են քննադատական,իսկ ֆունկցիան ինքնին սահմանվում է կրիտիկական կետում: Գործառույթի ծայրահեղությունը պետք է փնտրել նրա կրիտիկական կետերի շարքում:

Առաջին բավարար պայման. Թող x Օ - կրիտիկական կետ. Եթե ​​զ" (x) կետով անցնելիս x Օ գումարած նշանը փոխում է մինուսի, այնուհետև կետում x oֆունկցիան ունի առավելագույնը, հակառակ դեպքում՝ նվազագույնը։ Եթե ​​կրիտիկական կետով անցնելիս ածանցյալը նշան չի փոխում, ապա կետում x Օ ծայրահեղություն չկա.

Երկրորդ բավարար պայման. Թող f(x) ֆունկցիան ունենա
զ" (x) կետի մոտակայքում x Օ իսկ երկրորդ ածանցյալը հենց կետում x o. Եթե ​​զ"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o f (x) ֆունկցիայի տեղական նվազագույն (առավելագույն) կետն է: Եթե ​​=0, ապա դուք պետք է կամ օգտագործեք առաջին բավարար պայմանը կամ ներգրավեք ավելի բարձր պայմանները:

Հատվածի վրա y = f (x) ֆունկցիան կարող է հասնել իր նվազագույն կամ առավելագույն արժեքին կամ կրիտիկական կետերում կամ հատվածի ծայրերում:

Օրինակ 3.22.

Լուծում.Որովհետեւ զ " (

Ֆունկցիայի էքստրեմում գտնելու խնդիրներ

Օրինակ 3.23. ա

Լուծում. xԵվ y y
0 ≤ x≤
> 0 և երբ x >ա /4 Ս " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение գործառույթները կվ. միավորներ).

Օրինակ 3.24. p ≈

Լուծում. p p
Ս»
R = 2, H = 16/4 = 4:

Օրինակ 3.22.Գտե՛ք f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ֆունկցիայի ծայրահեղությունը։

Լուծում.Որովհետեւ զ " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), ապա ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը x 1 = 2 և x 2 = 3: Ծայրահեղությունը կարող է լինել միայն այս կետերում: Քանի որ x 1 = 2 կետով անցնելիս ածանցյալը գումարածից մինուսի նշան է փոխում, ապա այս պահին ֆունկցիան ունի առավելագույնը։ x 2 = 3 կետով անցնելիս ածանցյալը փոխում է իր նշանը մինուսից պլյուսի, ուստի x 2 = 3 կետում ֆունկցիան ունի նվազագույնը։ Հաշվարկելով ֆունկցիոնալ արժեքները կետերում
x 1 = 2 և x 2 = 3, մենք գտնում ենք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը՝ առավելագույնը f (2) = 14 և նվազագույնը f (3) = 13:

Օրինակ 3.23.Քարե պատին կից պետք է ուղղանկյուն տարածք կառուցել, որպեսզի այն երեք կողմից պարսպապատված լինի մետաղական ցանցով, իսկ չորրորդ կողմը կից պատին։ Դրա համար կա ագծային մետր ցանց: Ինչ հարաբերակցությամբ կայքը կունենա ամենամեծ տարածքը:

Լուծում.Պլատֆորմի կողմերը նշանակենք ըստ xԵվ y. Կայքի տարածքը S = xy է: Թող y- սա պատին հարող կողմի երկարությունն է: Այնուհետև, ըստ պայմանի, պետք է բավարարվի 2x + y = a հավասարությունը։ Հետևաբար y = a - 2x և S = x (a - 2x), որտեղ
0 ≤ x≤ a /2 (տարածքի երկարությունը և լայնությունը չեն կարող բացասական լինել): S " = a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4-ում, որտեղից
y = a - 2 × a / 4 = a / 2: Քանի որ x = a /4-ը միակ կրիտիկական կետն է, եկեք ստուգենք, թե արդյոք ածանցյալի նշանը փոխվում է այս կետով անցնելիս: x a /4 S "ժամը> 0 և երբ x >ա /4 Ս " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение գործառույթները S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (կվ. միավորներ). Քանի որ S-ը շարունակական է, և դրա արժեքները S(0) և S(a /2) ծայրերում հավասար են զրոյի, ապա հայտնաբերված արժեքը կլինի. ամենաբարձր արժեքըգործառույթները։ Այսպիսով, խնդրի տվյալ պայմաններում կայքի առավել բարենպաստ հարաբերակցությունը y = 2x է:

Օրինակ 3.24.Պահանջվում է V=16 տարողությամբ փակ գլանաձև տանկի արտադրություն p ≈ 50 մ 3. Ինչպիսի՞ն պետք է լինի տանկի չափերը (շառավիղ R և բարձրություն H), որպեսզի դրա արտադրության համար օգտագործվի նվազագույն քանակությամբ նյութ:

Լուծում.Մխոցի ընդհանուր մակերեսը S = 2 էէջ R(R+H): Մենք գիտենք մխոցի ծավալը V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2: Այսպիսով, S(R) = 2էջ (R 2 +16 / R): Մենք գտնում ենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը.
Ս»(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2): Ս» (R) = 0 R 3 = 8-ում, հետևաբար,
R = 2, H = 16/4 = 4:

$E \ենթաբազմություն \mathbb(R)^(n)$. Ասում են՝ $f$ ունի տեղական առավելագույնը$x_(0) \է$ կետում, եթե $x_(0)$ կետի $U$ հարևանություն կա այնպես, որ $x \in U$-ի համար անհավասարությունը $f\left(x\աջ) ) \leqslant f-ը բավարարված է \left(x_(0)\right)$:

Տեղական առավելագույնը կոչվում է խիստ , եթե $U$ հարևանությունը կարելի է ընտրել այնպես, որ բոլոր $x \in U$-ից տարբերվող $x_(0)$-ի համար լինի $f\left(x\աջ)< f\left(x_{0}\right)$.

Սահմանում
Թող $f$-ը իրական ֆունկցիա լինի $E \subset \mathbb(R)^(n)$ բաց բազմության վրա։ Ասում են՝ $f$ ունի տեղական նվազագույնը$x_(0) \է$ կետում, եթե $x_(0)$ կետի $U$ հարևանություն կա այնպես, որ $x \in U$-ի համար անհավասարությունը $f\left(x\աջ) ) \geqslant f-ը բավարարված է \left(x_(0)\right)$:

Տեղական նվազագույնը կոչվում է խիստ, եթե $U$ թաղամասը կարելի է ընտրել այնպես, որ $x \in U$-ից տարբերվող $x_(0)$-ի համար լինի $f\left(x\right) > f\left(x_): (0)\աջ)$.

Local extremum-ը միավորում է տեղական նվազագույն և տեղական առավելագույն հասկացությունները:

Թեորեմ (դիֆերենցիալ ֆունկցիայի ծայրահեղության համար անհրաժեշտ պայման)
Թող $f$-ը լինի իրական ֆունկցիա $E \subset \mathbb(R)^(n)$ բաց բազմության վրա։ Եթե ​​$x_(0) \-ում E$-ում $f$ ֆունկցիան այս պահին ունի տեղական ծայրահեղություն, ապա $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Հավասար զրոյի դիֆերենցիալը համարժեք է այն փաստին, որ բոլորը հավասար են զրոյի, այսինքն. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Միաչափ դեպքում սա – . Նշենք $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, որտեղ $h$-ը կամայական վեկտոր է։ $\phi$ ֆունկցիան սահմանվում է $t$-ի արժեքների համար, որոնք բավական փոքր են բացարձակ արժեքով: Բացի այդ, այն տարբերելի է, և $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$-ի նկատմամբ:
Թող $f$-ն ունենա տեղական առավելագույն x $0$ կետում: Սա նշանակում է, որ $\phi$ ֆունկցիան $t = 0$-ում ունի տեղական առավելագույն և, ըստ Ֆերմայի թեորեմի՝ $(\phi)’ \left(0\right)=0$։
Այսպիսով, մենք ստացանք $df \left(x_(0)\right) = 0$, այսինքն. $f$ ֆունկցիան $x_(0)$ կետում հավասար է զրոյի ցանկացած $h$ վեկտորի վրա:

Սահմանում
Այն կետերը, որոնցում դիֆերենցիալը զրո է, այսինքն. նրանք, որոնցում բոլոր մասնակի ածանցյալները հավասար են զրոյի, կոչվում են անշարժ: Կրիտիկական կետեր$f$ ֆունկցիաներն այն կետերն են, որտեղ $f$-ը տարբերելի չէ կամ հավասար է զրոյի: Եթե ​​կետը անշարժ է, ապա դրանից չի բխում, որ ֆունկցիան այս կետում ունի ծայրահեղություն։

Օրինակ 1.
Թող $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$: Այնուհետև $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, ուստի $\left(0,0\right)$-ը անշարժ կետ է, բայց ֆունկցիան այս պահին ծայրահեղություն չունի: Իսկապես, $f \left(0,0\right) = 0$, բայց հեշտ է տեսնել, որ $\left(0,0\right)$ կետի ցանկացած հարևանությամբ ֆունկցիան ընդունում է և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքներ։

Օրինակ 2.
$f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ֆունկցիան սկզբում ունի անշարժ կետ, բայց պարզ է, որ այս կետում ծայրահեղություն չկա։

Թեորեմ (բավարար պայման էքստրեմումի համար).
Թող $f$ ֆունկցիան լինի երկու անգամ շարունակաբար տարբերվող $E \subset \mathbb(R)^(n)$ բաց բազմության վրա։ Թող $x_(0) \ը E$-ում լինի անշարժ կետ, իսկ $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի x_(i) \մասնակի x_(j)) \left(x_(0)\աջ)h^(i)h^(j).$ $ Ապա

1. եթե $Q_(x_(0))$ – , ապա $f$ ֆունկցիան $x_(0)$ կետում ունի տեղական ծայրահեղություն, այն է՝ նվազագույնը, եթե ձևը դրական է, և առավելագույնը, եթե ձևը բացասական որոշակի;
2. եթե $Q_(x_(0))$ քառակուսի ձևը սահմանված չէ, ապա $f$ ֆունկցիան $x_(0)$ կետում չունի ծայրահեղություն:

Օգտագործենք ընդլայնումն ըստ Թեյլորի բանաձևի (12.7 էջ 292)։ Հաշվի առնելով, որ $x_(0)$ կետում առաջին կարգի մասնակի ածանցյալները հավասար են զրոյի, մենք ստանում ենք $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ ճիշտ) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի x_(i) \մասնակի x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\աջ)h^(i)h^(j),$$ որտեղ $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, և $\epsilon \left(h\աջ) \rightarrow 0$ $h-ի համար \rightarrow 0$, ապա աջ մասդրական կլինի $h$ բավականաչափ փոքր երկարությամբ ցանկացած վեկտորի համար:
Այսպիսով, մենք եկել ենք այն եզրակացության, որ $x_(0)$ կետի որոշակի հարևանությամբ $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ անհավասարությունը գործում է, եթե միայն $: x \neq x_ (0)$ (մենք դնում ենք $x=x_(0)+h$\աջ): Սա նշանակում է, որ $x_(0)$ կետում ֆունկցիան ունի խիստ տեղական նվազագույն, և այդպիսով ապացուցվում է մեր թեորեմի առաջին մասը։
Ենթադրենք հիմա, որ $Q_(x_(0))$ – անորոշ ձև. Այնուհետև կան $h_(1)$, $h_(2)$ այնպիսի վեկտորներ, որ $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \ձախ(h_(2)\աջ)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Այնուհետև մենք ստանում ենք $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ ձախ[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Բավականաչափ փոքր $t>0$-ի դեպքում աջ կողմը կողմը դրական է. Սա նշանակում է, որ $x_(0)$ կետի ցանկացած հարևանությամբ $f$ ֆունկցիան ընդունում է $f \left(x\right)$ ավելի մեծ արժեքներ, քան $f \left(x_(0)\right)$։
Նմանապես, մենք գտնում ենք, որ $x_(0)$ կետի ցանկացած հարևանությամբ $f$ ֆունկցիան ընդունում է $f \left(x_(0)\right)$-ից պակաս արժեքներ։ Սա նախորդի հետ միասին նշանակում է, որ $x_(0)$ կետում $f$ ֆունկցիան ծայրահեղություն չունի։

Եկեք դիտարկենք հատուկ դեպքայս թեորեմի $f \left(x,y\right)$ երկու փոփոխականների ֆունկցիայի համար, որոնք սահմանված են $\left(x_(0),y_(0)\right)$ կետի որոշակի հարևանությամբ և ունեն շարունակական մասնակի առաջինի ածանցյալներն այս հարևանությամբ և երկրորդ կարգերում։ Ենթադրենք, որ $\left(x_(0),y_(0)\right)$-ը անշարժ կետ է և նշանակում է $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_(0 ), y_(0)\աջ), a_(22)=\frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի y^(2)) \ձախ(x_(0), y_(0)\աջ) .$$ Այնուհետև նախորդ թեորեմը ստանում է հետևյալ ձևը.

Թեորեմ
Թող $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$: Ապա.

1. եթե $\Delta>0$, ապա $f$ ֆունկցիան ունի տեղական ծայրահեղություն $\left(x_(0),y_(0)\right)$ կետում, այն է՝ նվազագույնը, եթե $a_(11)>: 0$, իսկ առավելագույնը, եթե $a_(11)<0$;
2. եթե $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Շատ փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղությունը գտնելու ալգորիթմ.

1. Ստացիոնար կետերի որոնում;
2. Գտեք 2-րդ կարգի դիֆերենցիալ բոլոր անշարժ կետերում
3. Օգտագործելով բազմաթիվ փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղության բավարար պայմանը, մենք դիտարկում ենք 2-րդ կարգի դիֆերենցիալ յուրաքանչյուր անշարժ կետում:

1. Հետազոտեք ծայրահեղության ֆունկցիան $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$:
   Լուծում

   Գտնենք 1-ին կարգի մասնակի ածանցյալները՝ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Կազմենք և լուծենք համակարգը՝ $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\մասնակի f)(\մասնակի y)= 0\վերջ (դեպքեր) \Աջ սլաք \սկիզբ (դեպքեր)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\ end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(դեպքեր)$$ 2-րդ հավասարումից մենք արտահայտում ենք $x=4 \cdot y^(2)$ - այն փոխարինում ենք 1-ին հավասարման մեջ՝ $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \աջ )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Արդյունքում ստացվում է 2 անշարժ կետ.
   1) $y=0 \Աջ սլաք x = 0, M_(1) = \ձախ (0, 0\աջ)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \ձախ(\frac(1)(2), 1\աջ)$
   Եկեք ստուգենք, արդյոք բավարարված է ծայրահեղության համար բավարար պայմանը.
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի x \մասնակի y)=-6; \frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի y^(2))=48 \cdot y$$
   1) $M_(1)= \ձախ (0,0\աջ)$ կետի համար.
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի x \մասնակի y) \ձախ (0,0\աջ)=-6; C_(1)=\frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի y^(2)) \left(0,0\աջ)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) $M_(2)$ կետի համար.
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի x \մասնակի y) \left(1,\frac(1)(2)\աջ)=-6; C_(2)=\frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\աջ)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, ինչը նշանակում է, որ $M_(2)$ կետում կա ծայրահեղություն, և քանի որ $A_(2)> 0$, ապա սա նվազագույնն է:
   Պատասխան՝ $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ կետը $f$ ֆունկցիայի նվազագույն կետն է:
   

2. Հետազոտեք $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ ծայրահեղության ֆունկցիան։
   Լուծում

   Գտնենք անշարժ կետեր՝ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Եկեք կազմենք և լուծենք համակարգը՝ $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) ) \ Աջ սլաք \սկիզբ (դեպքեր)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\վերջ (դեպքեր) \Աջ սլաք \սկիզբ (դեպքեր) y = 2\\y + x = 1\վերջ (դեպքեր) \Աջ սլաք x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$-ը անշարժ կետ է:
   Եկեք ստուգենք, արդյոք բավարարված է էքստրեմումի բավարար պայմանը՝ $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի x \մասնակի y) \ձախ (-1,2\աջ)=2; C=\frac(\մասնակի^(2) f)(\մասնակի y^(2)) \ձախ (-1,2\աջ)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Պատասխան՝ ծայրահեղություններ չկան։
   

Ժամկետը` 0

Նավիգացիա (միայն աշխատանքի համարները)

4 առաջադրանքներից 0-ն ավարտված է

Տեղեկություն

Անցեք այս վիկտորինային՝ ստուգելու ձեր գիտելիքները հենց նոր կարդացած թեմայի վերաբերյալ՝ Բազմաթիվ փոփոխականների ֆունկցիաների տեղական ծայրահեղություն:

Դուք նախկինում արդեն անցել եք թեստը: Դուք չեք կարող նորից սկսել:

Փորձնական բեռնում...

Թեստը սկսելու համար դուք պետք է մուտք գործեք կամ գրանցվեք:

Այս մեկնարկը սկսելու համար դուք պետք է լրացնեք հետևյալ թեստերը.

արդյունքները

Ճիշտ պատասխաններ՝ 0-ը 4-ից

Քո ժամանակը:

Ժամանակը վերջացավ

Դուք վաստակել եք 0 միավոր 0-ից (0)

Ձեր արդյունքը գրանցվել է առաջատարների աղյուսակում

1. Պատասխանով
2. Դիտման նշանով

Առաջադրանք 1 4-ից

1 .

Միավորների քանակը՝ 1

Ուսումնասիրեք $f$ ֆունկցիան ծայրահեղությունների համար՝ $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Ճիշտ


Սխալ


1. Առաջադրանք 2-ից 4

   2 .

   Միավորների քանակը՝ 1

   $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ֆունկցիան ունի ծայրահեղություն

Սահմանում: x0 կետը կոչվում է ֆունկցիայի տեղական առավելագույնի (կամ նվազագույնի) կետ, եթե x0 կետի ինչ-որ հարևանությամբ ֆունկցիան ընդունում է ամենամեծ (կամ ամենափոքր) արժեքը, այսինքն. x0 կետի ինչ-որ հարևանությամբ բոլոր x-ի համար f(x) f(x0) (կամ f(x) f(x0)) պայմանը բավարարված է:

Տեղական առավելագույն կամ նվազագույն կետերը միավորվում են ընդհանուր անունով՝ ֆունկցիայի տեղական ծայրահեղության կետեր:

Նկատի ունեցեք, որ տեղական ծայրահեղ կետերում ֆունկցիան հասնում է իր առավելագույն կամ նվազագույն արժեքին միայն որոշակի տեղական տարածաշրջանում: Կարող են լինել դեպքեր, երբ ըստ уmaxуmin արժեքի.

Ֆունկցիայի տեղական ծայրահեղության առկայության անհրաժեշտ նշան

Թեորեմ . Եթե ​​շարունակական y = f(x) ֆունկցիան ունի տեղական ծայրահեղություն x0 կետում, ապա այս պահին առաջին ածանցյալը կամ զրո է, կամ գոյություն չունի, այսինքն. տեղական ծայրահեղություն տեղի է ունենում առաջին տեսակի կրիտիկական կետերում:

Տեղական ծայրամասային կետերում կամ շոշափողը զուգահեռ է 0x առանցքին, կամ կան երկու շոշափողներ (տես նկարը): Նկատի ունեցեք, որ կրիտիկական կետերը անհրաժեշտ, բայց ոչ բավարար պայման են տեղային էքստրեմումի համար: Տեղական էքստրեմումը տեղի է ունենում միայն առաջին տեսակի կրիտիկական կետերում, բայց ոչ բոլոր կրիտիկական կետերում տեղային էքստրեմումը տեղի է ունենում:

Օրինակ՝ y = x3 խորանարդ պարաբոլան ունի կրիտիկական կետ x0 = 0, որտեղ ածանցյալը y/(0)=0, բայց x0=0 կրիտիկական կետը ծայրահեղ կետ չէ, այլ դրա թեքման կետ (տես ստորև):

Ֆունկցիայի տեղական ծայրահեղության առկայության բավարար նշան

Թեորեմ . Եթե, երբ փաստարկն անցնում է առաջին տեսակի կրիտիկական կետով ձախից աջ, առաջին ածանցյալը y / (x)

փոխում է նշանը «+»-ից «-», այնուհետև y(x) շարունակական ֆունկցիան այս կրիտիկական կետում ունի տեղական առավելագույն.

փոխում է նշանը «-»-ից «+», այնուհետև y(x) շարունակական ֆունկցիան ունի տեղական նվազագույն այս կրիտիկական կետում:

չի փոխում նշանը, ապա այս կրիտիկական կետում լոկալ էքստրեմում չկա, այստեղ կա թեքության կետ։

Տեղական առավելագույնի համար աճող ֆունկցիայի շրջանը (y/0) փոխարինվում է նվազող ֆունկցիայի շրջանով (y/0): Տեղական նվազագույնի համար նվազող ֆունկցիայի շրջանը (y/0) փոխարինվում է աճող ֆունկցիայի շրջանով (y/0):

Օրինակ. Քննեք y = x3 + 9x2 + 15x - 9 ֆունկցիան միապաղաղության, ծայրահեղության համար և կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Գտնենք առաջին տեսակի կրիտիկական կետերը՝ սահմանելով (y/) ածանցյալը և հավասարեցնելով այն զրոյի՝ y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0:

Եկեք լուծենք քառակուսի եռանկյունը՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտը.

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D= , x1k = -5, x2k = -1:

2) Կրիտիկական կետերով թվային ուղիղը բաժանենք 3 շրջանի և որոշենք դրանցում (y/) ածանցյալի նշանները։ Օգտագործելով այս նշանները՝ մենք կգտնենք ֆունկցիաների միապաղաղության (աճող և նվազող) տարածքներ, իսկ նշանները փոխելով կորոշենք տեղային ծայրահեղության կետերը (առավելագույն և նվազագույն):

Հետազոտության արդյունքները ներկայացնում ենք աղյուսակի տեսքով, որից կարելի է անել հետևյալ եզրակացությունները.

• 1. y /(-10) 0 միջակայքում ֆունկցիան միապաղաղ աճում է (y ածանցյալի նշանը գնահատվել է այս միջակայքում վերցված x = -10 հսկիչ կետի միջոցով);
• 2. (-5 ; -1) y /(-2) 0 միջակայքում ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է (y ածանցյալի նշանը գնահատվել է x = -2 հսկիչ կետի միջոցով՝ վերցված այս միջակայքում);
• 3. y /(0) 0 միջակայքում ֆունկցիան միապաղաղ աճում է (y ածանցյալի նշանը գնահատվել է x = 0 հսկիչ կետի միջոցով՝ վերցված այս միջակայքում);
• 4. X1k = -5 կրիտիկական կետով անցնելիս ածանցյալը նշանը փոխում է «+»-ից «-», հետևաբար այս կետը տեղական առավելագույն կետ է։
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. X2k = -1 կրիտիկական կետով անցնելիս ածանցյալը նշանը փոխում է «-»-ից «+», հետևաբար այս կետը տեղական նվազագույն կետ է.
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16):

x -5 (-5; -1) -1

3) Մենք կկառուցենք գրաֆիկ՝ հիմնվելով ուսումնասիրության արդյունքների վրա՝ օգտագործելով կառավարման կետերում ֆունկցիայի արժեքների լրացուցիչ հաշվարկները.

կառուցել ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ Oxy;

Կոորդինատներով ցույց ենք տալիս առավելագույն (-5; 16) և նվազագույն (-1;-16) կետերը;

Գրաֆիկը պարզաբանելու համար մենք հաշվում ենք ֆունկցիայի արժեքը կառավարման կետերում՝ ընտրելով դրանք առավելագույն և նվազագույն կետերից ձախ և աջ և միջին միջակայքի ներսում, օրինակ՝ y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) և (0;-9) - հաշվարկված կառավարման կետեր, որոնք մենք գծում ենք գրաֆիկը կառուցելու համար;

Մենք ցույց ենք տալիս գրաֆիկը կորի տեսքով, որը ուռուցիկ է դեպի վեր առավելագույն կետում և ուռուցիկ դեպի ներքև նվազագույն կետում և անցնելով հաշվարկված կառավարման կետերով: