Problēmu risināšana 8. es

Mērķi:

• Izglītojoši: atkārtojiet pamatformulas un diferenciācijas noteikumus, atvasinājuma ģeometrisko nozīmi; veido prasmi sarežģīts pielietojums zināšanas, prasmes, iemaņas un to pārnese jaunos apstākļos; pārbaudīt skolēnu zināšanas, prasmes un iemaņas par šo tēmu, gatavojoties vienotajam valsts eksāmenam.
• Attīstošs: veicināt garīgo operāciju attīstību: analīze, sintēze, vispārināšana; pašcieņas prasmju veidošana.
• Izglītojoši: veicināt vēlmi nepārtraukti pilnveidot savas zināšanas

Aprīkojums:

• Multivides projektors.

Nodarbības veids: sistematizēšana un vispārinājumi.
Zināšanu apjoms: divas nodarbības (90 min.)
Gaidāmais Rezultāts: Iegūtās zināšanas skolotāji izmanto praktiskā pielietojumā, vienlaikus attīstot komunikācijas, radošās un meklēšanas prasmes un spēju analizēt saņemto uzdevumu.

Nodarbības struktūra:

1. Org. Mirklis, atjauninot risinājumam nepieciešamās zināšanas praktiskie uzdevumi no Vienotā valsts pārbaudījuma materiāliem.
2. Praktiskā daļa (skolēnu zināšanu pārbaude).
3. Pārdomas, radošs mājas darbs

Konsultāciju gaita

I. Organizatoriskais moments.

Nodarbības tēmas vēstījums, nodarbības mērķi, motivācija izglītojošas aktivitātes(izveidojot problemātisku teorētisko zināšanu bāzi).

II. Studentu subjektīvās pieredzes un zināšanu aktualizēšana.

Pārskatiet noteikumus un definīcijas.

1) ja punktā funkcija ir nepārtraukta un tajā atvasinājums maina zīmi no plusa uz mīnusu, tad tas ir maksimālais punkts;

2) ja punktā funkcija ir nepārtraukta un tajā atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, tad tas ir minimālais punkts.

• Kritiskie punkti – tie ir funkcijas definīcijas apgabala iekšējie punkti, kuros atvasinājums neeksistē vai ir vienāds ar nulli.
• Pietiekama pieauguma pazīme, lejupejoša funkcijas .
• Ja f "(x)>0 visiem x no intervāla (a; b), tad funkcija palielinās uz intervāla (a; b).
• Ja f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

• Algoritms, lai atrastu lielāko un mazākās funkcijas vērtības segmentā [a;b], ja ir dots funkcijas atvasinājuma grafiks:

Ja segmenta atvasinājums ir pozitīvs, tad a ir mazākā vērtība, b ir lielākā vērtība.

Ja segmenta atvasinājums ir negatīvs, tad a ir lielākā un b ir mazākā vērtība.

Ģeometriskā nozīme atvasinājums ir šāds. Ja funkcijas y = f(x) grafikam ir iespējams uzzīmēt tangensu punktā ar abscisu x0, kas nav paralēls y asij, tad f "(x0) izsaka pieskares slīpumu: κ = f "(x0). Tā kā κ = tanα, vienādība f "(x0) = tanα ir patiesa

Apskatīsim trīs gadījumus:

1. Funkcijas grafikam novilktā tangensa veidoja akūtu leņķi ar OX asi, t.i. α< 90º. Производная положительная.
2. Pieskares veidoja neasu leņķi ar OX asi, t.i. α > 90º. Atvasinājums ir negatīvs.
3. Pieskare ir paralēla OX asij. Atvasinājums ir nulle.

1. vingrinājums. Attēlā parādīts grafiks funkcijas y = f(x) un šī grafika pieskare, kas novilkta punktā ar abscisu -1. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0 = -1

Risinājums: a) Funkcijas grafikam uzzīmētā pieskare ar OX asi veido neasu leņķi. Izmantojot samazināšanas formulu, mēs atrodam šī leņķa tangensu tg(180º - α) = - tanα. Tas nozīmē f "(x) = - tanα. No tā, ko mēs pētījām iepriekš, mēs zinām, ka tangenss ir vienāds ar pretējās puses attiecību pret blakus esošo pusi.

Lai to izdarītu, mēs izveidojam taisnleņķa trīsstūri tā, lai trijstūra virsotnes būtu šūnu virsotnēs. Mēs saskaitām pretējās un blakus esošās šūnas. Sadaliet pretējo pusi ar blakus esošo pusi. (44. slaids)

b) Funkcijas grafikam uzzīmētā tangensa veido akūtu leņķi ar OX asi.

f "(x)= tgα. Atbilde būs pozitīva. (30. slaids)

Vingrinājums 2. Attēlā parādīts grafiks atvasinājums funkcija f(x), kas definēta intervālā (-4; 13). Atrodiet intervālus, kuros funkcija samazinās. Atbildē norādiet lielākās no tām garumu.

Risinājums: f "(x)< 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

Praktiskā daļa.
35 min. Sagatavotajos slaidos ir nepieciešamas teorētiskās zināšanas par nodarbības tēmu. Slaidu mērķis ir dot iespēju skolēniem pilnveidot un praktiski pielietot zināšanas.
Izmantojot slaidus, varat:
- frontālā aptauja (tiek ņemtas vērā studentu individuālās īpašības);
- tiek precizēts galveno jēdzienu, īpašību, definīciju informatīvais formulējums;
- algoritms problēmu risināšanai. Studentiem jāatbild uz slaidiem.

IV. Individuālais darbs. Problēmu risināšana, izmantojot slaidus.

V. Nodarbības rezumēšana, pārdomas.

Risinājums. Maksimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu. Segmentā funkcijai ir divi maksimālie punkti x = 4 un x = 4. Atbilde: 2. Attēlā parādīts intervālā (10; 8) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu segmentā.

Risinājums. Attēlā parādīts intervālā (1; 12) definētas funkcijas y=f(x) grafiks. Nosakiet veselu skaitļu punktu skaitu, kuros funkcijas atvasinājums ir negatīvs. Funkcijas atvasinājums ir negatīvs tajos intervālos, kuros funkcija samazinās, t.i., intervālos (0,5; 3), (6; 10) un (11; 12). Tajos ir veseli punkti 1, 2, 7, 8 un 9. Kopā ir 5 punkti. Atbilde: 5.

Attēlā parādīts intervālā (10; 4) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) samazināšanās intervālus. Atbildē norādiet lielākās no tām garumu. Risinājums. Funkcijas f(x) dilstošie intervāli atbilst intervāliem, kuros funkcijas atvasinājums ir negatīvs, tas ir, 3. garuma intervālam (9; 6) un 5. garuma intervālam (2; 3). lielākās no tām garums ir 5. Atbilde: 5.

Attēlā parādīts intervālā (7; 14) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu segmentā. Risinājums. Maksimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinātā zīme mainās no pozitīvas uz negatīvu. Nozarē funkcijai ir viens maksimālais punkts x = 7. Atbilde: 1.

Attēlā parādīts intervālā (8; 6) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) pieauguma intervālus. Atbildē norādiet lielākās no tām garumu. Risinājums. Funkcijas f(x) pieauguma intervāli atbilst intervāliem, uz kuriem funkcijas atvasinājums ir pozitīvs, tas ir, intervāliem (7; 5), (2; 5). Lielākais no tiem ir intervāls (2; 5), kura garums ir 3.

Attēlā parādīts intervālā (7; 10) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) minimālo punktu skaitu segmentā. Risinājums. Minimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinājuma zīme mainās no mīnusa uz plusu. Nozarē funkcijai ir viens minimālais punkts x = 4. Atbilde: 1.

Attēlā parādīts intervālā (16; 4) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) galējo punktu skaitu segmentā. Risinājums. Ekstrēmuma punkti atbilst punktiem, kuros mainās atvasinājuma zīme, un grafikā parādītā atvasinājuma nullēm. Atvasinājums pazūd punktos 13, 11, 9, 7. Funkcijai segmentā ir 4 galējie punkti. Atbilde: 4.

Attēlā parādīts intervālā (2; 12) definētas funkcijas y=f(x) grafiks. Atrodiet funkcijas f(x) galējo punktu summu. Risinājums. Dotajai funkcijai maksimumi ir punktos 1, 4, 9, 11 un minimumi punktos 2, 7, 10. Tāpēc ekstrēmu punktu summa ir = 44. Atbilde: 44.

Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tai pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0. Risinājums. Atvasinājuma vērtība pieskares punktā ir vienāda ar pieskares slīpumu, kas savukārt ir vienāds ar šīs pieskares slīpuma leņķa pieskares abscisu asij. Konstruēsim trīsstūri ar virsotnēm punktos A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). Pieskares slīpuma leņķis pret x asi būs vienāds ar leņķi, kas atrodas blakus leņķim ACB

Attēlā parādīts funkcijas y = f(x) grafiks un šī grafika pieskare abscisu punktā, kas vienāds ar 3. Atrodiet šīs funkcijas atvasinājuma vērtību punktā x = 3. Lai atrisinātu, mēs izmantojam atvasinājuma ģeometriskā nozīme: funkcijas atvasinājuma vērtība punktā ir vienāda ar šajā punktā uzzīmētā šīs funkcijas grafika pieskares slīpumu. Pieskares leņķis ir vienāds ar pieskares leņķi starp tangensu un x ass pozitīvo virzienu (tg α). Leņķis α = β, kā šķērsgriezuma leņķi ar paralēlām līnijām y=0, y=1 un sekantu-tangensu. Trijstūrim ABC

Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tai pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0. Pamatojoties uz pieskares īpašības, funkcijas f(x) pieskares formula punktā x 0 ir vienāda ar y=f (x 0) x+b, b=const Attēlā redzams, ka pieskares funkcijai f( x) punktā x 0 iet caur punktiem (-3;2), (5,4). Tāpēc mēs varam izveidot vienādojumu sistēmu

Avoti

Individuālās nodarbības caur SKYPE par efektīvu tiešsaistes apmācību Vienotajam valsts eksāmenam matemātikā.

B8 tipa problēmas ir atvasināto funkciju pielietošanas problēmas. Mērķi uzdevumos:

• atrast atvasinājumu noteiktā punktā
• noteikt funkcijas ekstrēmus, maksimālos un minimālos punktus
• pieauguma un samazināšanās intervāli

Apskatīsim dažus piemērus. Uzdevums v8.1: attēlā parādīts funkcijas y=f (x) grafiks un tai pieskares punktā ar abscisu x0. Atrodiet funkcijas y=f (x) atvasinājuma vērtību punktā x0.

Nedaudz teorijas. Ja tangenss palielinās, tad atvasinājums būs pozitīvs, un, ja tangenss samazinās, tad atvasinājums būs negatīvs. Funkcijas y’= tgА atvasinājums, kur A ir pieskares slīpuma leņķis pret X asi

Risinājums: mūsu piemērā tangenss palielinās, kas nozīmē, ka atvasinājums būs pozitīvs. Aplūkosim taisnleņķa trijstūri ABC un atrodiet no tā tan A = BC/AB, kur BC ir attālums starp raksturīgajiem punktiem pa y asi, AB ir attālums starp punktiem pa x asi. Raksturīgie punkti diagrammā ir izcelti ar trekniem punktiem un apzīmēti ar burtiem A un C. Raksturīgajiem punktiem jābūt skaidriem un pilnīgiem. No grafika ir skaidrs, ka AB = 5+3 = 8 un saule = 3-1 = 2,

tgα= BC/AB=2/8=1/4=0,25, tātad atvasinājums y’=0,25

Atbilde: 0,25

Uzdevums B8.2 Attēlā parādīts intervālā (-9;4) definētas funkcijas y=f(x) grafiks. Atrodiet funkciju f(x) galējo punktu abscisu summu

Risinājums: Pirmkārt, definēsim, kas ir ekstremālie punkti? Tie ir punkti, kuros atvasinājums maina savu zīmi uz pretējo, citiem vārdiem sakot, visi “pakalni” un “ielejas”. Mūsu piemērā mums ir 4 “slaidi” un 4 “iespiedumi”. Pārvietosim visus “ainavas” punktus uz X asi un atrodam abscisu vērtību, tagad saskaitīsim visu šo punktu vērtību gar X asi.

iegūstam -8-7-5-3-2+0+1+3=-21

Atbilde: -21

noskatieties video pamācību, kā atrisināt šo uzdevumu

B8 uzdevumu risināšana, izmantojot materiālus atvērta banka Vienotā valsts eksāmena uzdevumi matemātikā 2012 Taisne y = 4x + 11 ir paralēla funkcijas y = x2 + 8x + 6 grafika pieskarei. Atrast pieskares punkta abscisu Nr.1 ​​Risinājums: Ja taisne ir paralēla funkcijas grafika pieskarei kādā punktā (sauksim to par xo), tad tās slīpums (mūsu gadījumā k = 4 no vienādojuma y = 4x +11) ir vienāds ar funkcijas atvasinājuma vērtību. funkcija punktā xo: k = f ′(xo) = 4Funkcijas atvasinājums f′(x) = (x2+8x + 6) ′= 2x +8. Tas nozīmē, ka, lai atrastu vēlamo pieskares punktu, ir nepieciešams, lai 2xo + 8 = 4, no kura xo = – 2. Atbilde: – 2. Taisne y = 3x + 11 ir pieskares grafikam

funkcijas y = x3−3x2− 6x + 6.

Atrodiet pieskares punkta abscisu.

Nr. 2 Risinājums: Ņemiet vērā, ka, ja līnija ir pieskares grafam, tad tās slīpumam (k = 3) jābūt vienādam ar funkcijas atvasinājumu pieskares punktā, no kura mums ir Zx2 − 6x − 6 = 3 , tas ir, Zx2 − 6x − 9 = 0 vai x2 − 2x − 3 = 0. Šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes: −1 un 3. Tādējādi ir divi punkti, kuros funkcijas y grafika pieskare = x3 − 3x2 − 6x + 6 slīpums ir vienāds ar 3. Lai noteiktu, kurš no šiem diviem punktiem taisne y = 3x + 11 pieskaras funkcijas grafikam, mēs aprēķinām šīs funkcijas vērtības. punktus un pārbaudiet, vai tie atbilst tangentes vienādojumam. Funkcijas vērtība punktā −1 ir y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, un vērtība punktā 3 ir y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Ņemiet vērā, ka punkts ar koordinātām (-1; 8) apmierina pieskares vienādojumu, jo 8 = -3 + 11. Bet punkts (3; -12) neapmierina pieskares vienādojumu, jo -12 ≠ 9 + 11. nozīmē, ka nepieciešamais Pieskares punkta abscisa ir −1. Atbilde: −1. Attēlā parādīts grafiks y = f ′(x) – funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts intervālā (–10; 8). Kurā segmenta punktā [–8; –4] funkcijai f(x) ir mazākā vērtība Nr.3 Risinājums: Ņemiet vērā, ka segmentā [–8; –4] funkcijas atvasinājums ir negatīvs, kas nozīmē, ka pati funkcija samazinās, kas nozīmē, ka tai ir vismazākā vērtība šajā segmentā segmenta labajā galā, tas ir, punktā –4.у = f ′(x) f(x) –Atbilde: –4 . Attēlā parādīts grafiks y = f ′(x) – funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts intervālā (–8; 8). Atrodi segmentam [– 6 piederošās funkcijas f(x) ekstrēmu punktu skaitu; 6].Nr.4Risinājums: Ekstrēmuma punktā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar 0 vai neeksistē. Redzams, ka ir tādi segmentam piederoši punkti [–6; 6] trīs. Šajā gadījumā katrā punktā atvasinājums maina zīmi no “+” uz “–”, vai no “–” uz “+”.у = f ′(x) ++––Atbilde: 3. Attēlā parādīts у = f ′(x) grafiks – funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts intervālā (–8; 10). Atrodiet funkcijas f(x) galējo punktu intervālā (– 4; 8) Nr. 5. Risinājums: Ņemiet vērā, ka intervālā (–4; 8) atvasinājums punktā xo = 4 pagriežas uz 0 un ejot cauri šim punktam maina zīmes atvasinājumu no “–” uz “+”, 4. punkts ir funkcijas vēlamais galējais punkts dotajā intervālā. y = f ′(x) +–Atbilde: 4. Attēlā parādīts grafiks y = f ′(x) – funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts intervālā (–8; 8). Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas f(x) grafika pieskare ir paralēla taisnei y = –2x + 2 vai sakrīt ar to Nr.6 Risinājums: Ja funkcijas f grafika pieskare (x) ir paralēla taisnei y = –2x+ 2 vai sakrīt ar to, tad tās slīpums k = –2, kas nozīmē, ka jāatrod punktu skaits, kurā funkcijas f ′(x) atvasinājums = – 2. Lai to izdarītu, atvasinātajā grafikā uzvelciet līniju y = –2 un saskaitiet punktu skaitu atvasinātajā grafikā, kas atrodas uz šīs līnijas. Šādi punkti ir 4. y = f ′(x) y = –2Atbilde: 4. Attēlā parādīts intervālā (–6; 5) definētas funkcijas y = f(x) grafiks. Nosakiet veselu skaitļu punktu skaitu, kuros funkcijas atvasinājums ir negatīvs Nr.7y Risinājums: Ņemiet vērā, ka funkcijas atvasinājums ir negatīvs, ja pati funkcija f(x) samazinās, kas nozīmē, ka ir jāatrod skaitlis veselu skaitļu punktu, kas iekļauti dilstošās funkcijas intervālos. Šādi punkti ir 6: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x ) x–6–45–1–20–33Atbilde: 6. Attēlā parādīts intervālā (–6; 6) definētas funkcijas y = f(x) grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kuros pieskares funkcijas grafiks ir paralēls taisnei y = –5. Nr. 8yRisinājums: Taisne y = −5 ir horizontāla, kas nozīmē, ka, ja funkcijas grafika pieskare ir tai paralēla, tad tā ir arī horizontāla. Līdz ar to slīpums vajadzīgajos punktos k = f′(x)= 0. Mūsu gadījumā tie ir ekstrēma punkti. Tādi punkti ir 6. viņam abscisu punktā xo. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā xo. Nr. 9 Risinājums: Funkcijas f′(хo) = tanα = k atvasinājuma vērtība šīs funkcijas grafikam dotajā punktā novilktās pieskares vienādstūra koeficientam. Mūsu gadījumā k > 0, jo α ir akūts leņķis (tgα > 0) Leņķa koeficienta atrašanai izvēlamies divus punktus A un B, kas atrodas uz pieskares, kuru abscises un ordinātas ir veseli skaitļi. Tagad noteiksim leņķa koeficienta moduli. Lai to izdarītu, mēs izveidosim trīsstūri ABC. tgα =ВС: AC = 5: 4 = 1,25 у = f(x) Вα5хоαС4АAtbilde: 1,25. Attēlā parādīts funkcijas у = f(x) grafiks, kas definēts intervālā (–10; 2) un pieskare to punktā ar abscisu xo Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā xo. Nr. 10Risinājums: Funkcijas f′(хo) = tanα = k atvasinājuma vērtība šīs funkcijas grafikam noteiktā punktā uzvilktās pieskares vienādstūra koeficientam. Mūsu gadījumā k< 0, так как α– тупой угол (tgα < 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, taisnvirziena kustība izpildīts saskaņā ar likumu x = x(t), ir vienāds ar funkcijas xnput = to atvasinājuma vērtību, vēlamais ātrums būs x ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2.x ′ (6) = 6 – 2 = 4 m/s. Atbilde: 4. Materiāls punkts kustas taisni saskaņā ar likumu x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, kur x ir attālums no atskaites punkta metros, t ir laiks sekundēs, mērot no kustības sākuma. Kurā brīdī (sekundēs) tā ātrums bija vienāds ar 4 m/s? Nr.16 Risinājums. Tā kā punkta momentānais ātrums līdz, taisnvirziena kustība, kas veikta saskaņā ar likumu x = x(t), ir vienāds ar funkcijas xnput = to atvasinājuma vērtību, vēlamais ātrums būs x ′(to) = 0,5 ∙ 2 līdz – 2 = līdz – 2, Jo pēc nosacījuma x ′(to) = 4, tad uz – 2 = 4, no kurienes līdz = 4 + 2 = 6 m/s. Atbilde: 6. Attēlā parādīts definētas funkcijas y = f(x) grafiks uz intervāla (– 8; 6). Atrast funkcijas f(x) ekstrēma punktu summu. Nr. 17Risinājums: Ekstrēmuma punkti ir minimālie un maksimālie punkti. Redzams, ka šādi intervālam (–8; 6) piederoši punkti ir pieci. Atradīsim to abscisu summu: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.у = f ′(x) Atbilde: 6. Attēlā parādīts atvasinājuma y = f ′ grafiks. (x) – funkcija f (x), kas definēta intervālā (–10; 8). Atrodiet pieaugošās funkcijas f(x) intervālus. Atbildē norādiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu punktu summu. Risinājums: Ņemiet vērā, ka funkcija f(x) palielinās, ja funkcijas atvasinājums ir pozitīvs; kas nozīmē, ka ir jāatrod pieaugošās funkcijas intervālos iekļauto veselo skaitļu punktu summa.Tādi punkti ir 7: x = −3, x = −2, x = 3, x = 4, x = 5, x = 6, x = 7. To summa: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20у = f ′(x) ++3-357Atbilde: 20. Izmantotie materiāli

Vienotais valsts eksāmens 2012. Matemātika. Problēma B8. Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Darba burtnīca/ Red. A.L. Semenovs un I.V. Jaščenko. 3. izdevums stereotips. − M.: MTsNMO, 2012. − 88 lpp.

http://mathege.ru/or/ege/Main− Atvērtās matemātikas uzdevumu bankas materiāli 2012