Poincaré അനുമാനത്തിന് പെരെൽമാൻ്റെ പരിഹാരം. ഒരു ഡോനട്ട് ഹോളിന് ഒരു ദശലക്ഷം ഡോളർ

പോയിൻകറെയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സാരാംശം എന്താണ്?

1. ചുവന്ന മുടിയുള്ള സോഫിയയാണ് ഇ തെളിയിച്ചത്, പക്ഷേ അവളും ചുവന്ന മുടിയുള്ളവളാണ്.
2. പ്രപഞ്ചം ഒരു ഗോളത്തിൻ്റെ ആകൃതിയിലല്ല, മറിച്ച് ഒരു ഡോനട്ട് പോലെയാണ് എന്നതാണ് ഏറ്റവും പ്രധാന കാര്യം.
3. ദ്വാരങ്ങളില്ലാത്ത ഏതൊരു ത്രിമാന ശരീരത്തിനും മുറിക്കാതെയും ഒട്ടിക്കാതെയും ഒരു പന്തായി മാറ്റാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു പരിവർത്തനം ഉണ്ടെന്നാണ് അതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ രൂപീകരണത്തിലെ പോയിൻകാറെ അനുമാനത്തിൻ്റെ അർത്ഥം. ഇത് വ്യക്തമാണെന്ന് തോന്നുന്നുവെങ്കിൽ, സ്‌പേസ് ത്രിമാനമല്ല, പത്തോ പതിനൊന്നോ അളവുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും (അതായത്, പെരെൽമാൻ തെളിയിച്ച Poincaré അനുമാനത്തിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപീകരണത്തെക്കുറിച്ചാണ് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്)
4. നിങ്ങൾക്ക് അത് 2 വാക്കുകളിൽ പറയാൻ കഴിയില്ല
5. 1900-ൽ, ഒരു ഗോളത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഹോമോളജി ഗ്രൂപ്പുകളുമുള്ള ഒരു ത്രിമാന മാനിഫോൾഡ് ഒരു ഗോളത്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണെന്ന് പോയിൻ്റർ നിർദ്ദേശിച്ചു. 1904-ൽ, ഇപ്പോൾ Poincaré sphere എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു വിപരീത ഉദാഹരണവും അദ്ദേഹം കണ്ടെത്തി, തൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അന്തിമ പതിപ്പ് രൂപപ്പെടുത്തി. Poincaré അനുമാനം തെളിയിക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങൾ മനിഫോൾഡുകളുടെ ടോപ്പോളജിയിൽ നിരവധി മുന്നേറ്റങ്ങൾക്ക് കാരണമായി.

   n #10878-നുള്ള സാമാന്യവൽക്കരിച്ച Poincaré അനുമാനത്തിൻ്റെ തെളിവുകൾ; 5 എണ്ണം 1960-കളുടെ തുടക്കത്തിലും 1970-കളിലും ഏതാണ്ട് ഒരേസമയം സ്മെയ്ൽ, സ്വതന്ത്രമായും മറ്റ് രീതികളിലൂടെയും സ്റ്റാലിംഗ്സ് (ഇംഗ്ലീഷ്) നേടിയെടുത്തു (n #10878; 7-ന്, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ തെളിവ് സീമാൻ (ഇംഗ്ലീഷ്) n = 5, 6 എന്നീ കേസുകളിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിച്ചു) . 1982-ൽ ഫ്രീഡ്മാൻ മാത്രമാണ് n = 4 എന്ന വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കേസിൻ്റെ തെളിവ് ലഭിച്ചത്. പോൺട്രിയാഗിൻ്റെ സ്വഭാവ ക്ലാസുകളുടെ ടോപ്പോളജിക്കൽ മാറ്റത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നോവിക്കോവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, ഉയർന്ന അളവുകളിൽ ഹോമോടോപ്പിക്ക് തുല്യമായ, എന്നാൽ ഹോമിയോമോർഫിക് അല്ല, മനിഫോൾഡുകൾ ഉണ്ടെന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

   യഥാർത്ഥ Poincaré അനുമാനത്തിൻ്റെ തെളിവ് (കൂടുതൽ പൊതുവായ ട്രസ്റ്റൺ അനുമാനവും) 2002-ൽ ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ കണ്ടെത്തി. തുടർന്ന്, പെരെൽമാൻ്റെ തെളിവ് കുറഞ്ഞത് മൂന്ന് കൂട്ടം ശാസ്ത്രജ്ഞർ പരിശോധിച്ച് വിപുലീകരിച്ച രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചു. [1] തെളിവ് ശസ്ത്രക്രിയയ്‌ക്കൊപ്പം റിക്കി ഫ്ലോ ഉപയോഗിക്കുന്നു, കൂടാതെ റിക്കി ഫ്ലോ ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചതും ഹാമിൽട്ടൺ വിവരിച്ച പദ്ധതിയെ പ്രധാനമായും പിന്തുടരുന്നു.

6. ഇതാരാണ്
7. പോയിൻകെയർ സിദ്ധാന്തം:
   വെക്റ്റർ ഫീൽഡുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പോയിൻകാറെയുടെ സിദ്ധാന്തം
   Bendixson's Poincaré സിദ്ധാന്തം
   വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഹോമിയോമോർഫിസങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പോയിൻകാറെയുടെ സിദ്ധാന്തം
   ഹോമോടോപ്പി ഗോളത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പോയിൻകാറെയുടെ അനുമാനം
   Poincaré's return theorem

   ഏതിനെക്കുറിച്ചാണ് നിങ്ങൾ ചോദിക്കുന്നത്?

8. ചലനാത്മക സംവിധാനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ, വൃത്തത്തിൻ്റെ ഹോമിയോമോർഫിസങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പോയിൻകാറെയുടെ സിദ്ധാന്തം, ആവർത്തിച്ചുള്ള മാപ്പിംഗ് f ൻ്റെ ഭ്രമണ സംഖ്യ p(f) അനുസരിച്ച് സർക്കിളിലെ സാധ്യമായ ഇൻവെർട്ടിബിൾ ഡൈനാമിക്സ് വിവരിക്കുന്നു. ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, മാപ്പിംഗ് ആവർത്തനങ്ങളുടെ ചലനാത്മകത ഒരു പരിധിവരെ അനുബന്ധ കോണിൻ്റെ ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ചലനാത്മകതയ്ക്ക് സമാനമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.
   അതായത്, ഒരു സർക്കിൾ ഹോമിയോമോർഫിസം എഫ് നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ:
   1) f-ന് ആവർത്തന പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രം റൊട്ടേഷൻ നമ്പർ യുക്തിസഹമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഭ്രമണ സംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഏതെങ്കിലും ആവർത്തന ബിന്ദുവിൻ്റെ കാലഘട്ടമാണ്, കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും ആനുകാലിക ഭ്രമണപഥത്തിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ സർക്കിളിലെ ചാക്രിക ക്രമം p (f) ഭ്രമണ ഭ്രമണപഥത്തിലെ പോയിൻ്റുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. കൂടാതെ, ഏതൊരു പാതയും മുന്നോട്ടും വിപരീത സമയത്തും ചില ആനുകാലികതയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു (a-, -w ലിമിറ്റ് ട്രാക്റ്ററികൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം).
   2) റൊട്ടേഷൻ നമ്പർ f യുക്തിരഹിതമാണെങ്കിൽ, രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ്:
   i) ഒന്നുകിൽ f-ന് സാന്ദ്രമായ ഭ്രമണപഥമുണ്ട്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ f-ൻ്റെ ഹോമിയോമോർഫിസം p(f) ൻ്റെ ഒരു ഭ്രമണവുമായി സംയോജിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, f ൻ്റെ എല്ലാ പരിക്രമണപഥങ്ങളും സാന്ദ്രമാണ് (ഇത് യുക്തിരഹിതമായ ഭ്രമണത്തിന് സത്യമായതിനാൽ);
   ii) ഒന്നുകിൽ f ന് കാൻ്റർ മാറ്റമില്ലാത്ത സെറ്റ് C ഉണ്ട്, ഇത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഗണമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എല്ലാ പാതകളും മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും സമയങ്ങളിൽ C ആയി മാറുന്നു. കൂടാതെ, മാപ്പിംഗ് f എന്നത് p(f) ൻ്റെ ഭ്രമണത്തിന് അർദ്ധസംയോജനമാണ്: ഡിഗ്രി 1 ൻ്റെ ചില മാപ്പിംഗിന് h, p o f =R p (f) o h

   കൂടാതെ, C എന്നത് h ൻ്റെ വളർച്ചാ പോയിൻ്റുകളുടെ ഗണമാണ്; മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ടോപ്പോളജിക്കൽ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, h പൂരകത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ C യിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

9. കാര്യത്തിൻ്റെ കാതൽ $1 മില്യൺ ആണ്
10. 1 വ്യക്തിയല്ലാതെ മറ്റാരും അവളെ മനസ്സിലാക്കുന്നില്ല എന്നതാണ് വസ്തുത
11. ഫ്രഞ്ച് വിദേശനയത്തിൽ...
12. ഇവിടെ Lka ഏറ്റവും മികച്ച ഉത്തരം നൽകി http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. പ്രഗത്ഭനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും പാരീസിയൻ പ്രൊഫസറുമായ ഹെൻറി പോയിൻകാറെ ഈ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വിവിധ മേഖലകളിൽ പ്രവർത്തിച്ചു. 1905-ൽ ഐൻസ്റ്റീൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായും സ്വതന്ത്രമായും അദ്ദേഹം പ്രത്യേക ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന തത്ത്വങ്ങൾ മുന്നോട്ടുവച്ചു. 1904-ൽ അദ്ദേഹം തൻ്റെ പ്രസിദ്ധമായ സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തി, അതിനാൽ അത് പരിഹരിക്കാൻ ഏകദേശം ഒരു നൂറ്റാണ്ട് എടുത്തു.

    ടോപ്പോളജിയുടെ സ്ഥാപകരിലൊരാളാണ് പോയിൻ്റർ, ഇടവേളകളില്ലാതെ സംഭവിക്കുന്ന രൂപഭേദങ്ങൾക്കു കീഴിൽ മാറാത്ത ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശാസ്ത്രം. ഉദാഹരണത്തിന്, പാർക്കിലെ കുട്ടികൾക്ക് ചെയ്യുന്നതുപോലെ ഒരു ബലൂൺ എളുപ്പത്തിൽ രൂപഭേദം വരുത്താം. എന്നാൽ പന്ത് ഒരു ഡോനട്ടിലേക്ക് വളച്ചൊടിക്കാൻ നിങ്ങൾ അത് മുറിക്കേണ്ടതുണ്ട് (അല്ലെങ്കിൽ, ജ്യാമിതീയ ഭാഷയിൽ, ഒരു ടോറസ്); മറ്റ് വഴികളൊന്നുമില്ല. തിരിച്ചും: ഒരു റബ്ബർ ഡോനട്ട് എടുത്ത് അതിനെ ഒരു ഗോളമാക്കി മാറ്റാൻ ശ്രമിക്കുക. എന്നിരുന്നാലും, അത് ഇപ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കില്ല. അവയുടെ ടോപ്പോളജിക്കൽ ഗുണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഒരു ഗോളത്തിൻ്റെയും ടോറസിൻ്റെയും ഉപരിതലങ്ങൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല, അല്ലെങ്കിൽ ഹോമിയോമോർഫിക് അല്ല. എന്നാൽ ദ്വാരങ്ങളില്ലാത്ത (അടഞ്ഞ പ്രതലങ്ങൾ), നേരെമറിച്ച്, ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്, അവ രൂപഭേദം വരുത്താനും ഒരു ഗോളമായി മാറാനും കഴിവുള്ളവയാണ്.

    പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഗോളത്തിൻ്റെയും ടോറസിൻ്റെയും ദ്വിമാന പ്രതലങ്ങളെക്കുറിച്ച് എല്ലാം തീരുമാനിച്ചുവെങ്കിൽ, കൂടുതൽ ബഹുമുഖ കേസുകൾക്കായി ഇത് കൂടുതൽ സമയമെടുത്തു. വാസ്തവത്തിൽ, ഇതാണ് Poincaré അനുമാനത്തിൻ്റെ സാരാംശം, ഇത് പാറ്റേൺ ബഹുമുഖ കേസുകളിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിക്കുന്നു. അൽപ്പം ലളിതമാക്കി, Poincaré അനുമാനം പ്രസ്താവിക്കുന്നു: ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന എല്ലാ ക്ലോസ്ഡ് n-ഡൈമൻഷണൽ മാനിഫോൾഡും ഒരു n-ഡൈമൻഷണൽ ഗോളത്തിലേക്ക് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്. ത്രിമാന പ്രതലങ്ങളുള്ള ഓപ്ഷൻ ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായി മാറിയത് രസകരമാണ്. 1960-ൽ, അനുമാനം 5-ഉം ഉയർന്ന അളവുകളും, 1981-ൽ n=4-നും തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. കൃത്യമായ ത്രിമാനതയായിരുന്നു ഇടർച്ച.

    1980 കളിൽ വില്യം ട്രസ്റ്റൻ്റെയും റിച്ചാർഡ് ഹാമിൽട്ടണിൻ്റെയും ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ ത്രിമാന പ്രതലങ്ങളിൽ സുഗമമായ പരിണാമത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക സമവാക്യം പ്രയോഗിച്ചു. യഥാർത്ഥ ത്രിമാന ഉപരിതലം (അതിൽ തടസ്സങ്ങളൊന്നുമില്ലെങ്കിൽ) ഒരു ത്രിമാന ഗോളമായി പരിണമിക്കുമെന്ന് കാണിക്കാൻ അദ്ദേഹത്തിന് കഴിഞ്ഞു (ഇത് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പന്തിൻ്റെ ഉപരിതലമാണ്, ഇത് 4-മാനത്തിൽ നിലവിലുണ്ട്. സ്ഥലം). നിരവധി വിദഗ്ധരുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഇത് ഒരു പുതിയ തലമുറയുടെ ആശയമായിരുന്നു, അതിൻ്റെ പരിഹാരം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് പുതിയ ചക്രവാളങ്ങൾ തുറക്കുന്നു.

    ചില കാരണങ്ങളാൽ പെരെൽമാൻ തന്നെ തൻ്റെ തീരുമാനത്തെ അന്തിമ തിളക്കത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ മെനക്കെട്ടില്ല എന്നത് രസകരമാണ്. 2002 നവംബറിൽ റിക്കി ഫ്ലോയ്‌ക്കായുള്ള എൻട്രോപ്പി ഫോർമുലയിലും അതിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ പ്രയോഗങ്ങളിലും പരിഹാരം മൊത്തത്തിൽ വിവരിച്ച ശേഷം, 2003 മാർച്ചിൽ അദ്ദേഹം പ്രൂഫ് സപ്ലിമെൻ്റ് ചെയ്യുകയും ത്രീ-മനിഫോൾഡുകളിൽ സർജറി സഹിതം പ്രീപ്രിൻ്റ് റിക്കി ഫ്ലോയിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. 2003-ൽ നിരവധി സർവ്വകലാശാലകളുടെ ക്ഷണപ്രകാരം അദ്ദേഹം നടത്തിയ പരമ്പരയിലെ പ്രഭാഷണങ്ങളിലെ രീതിയെക്കുറിച്ച്. നിരൂപകർക്ക് ആർക്കും അദ്ദേഹം നിർദ്ദേശിച്ച പതിപ്പിൽ പിശകുകൾ കണ്ടെത്താനായില്ല, പക്ഷേ പെരെൽമാൻ ഒരു പിയർ-റിവ്യൂഡ് സയൻ്റിഫിക് പ്രസിദ്ധീകരണത്തിൽ ഒരു പ്രസിദ്ധീകരണം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചില്ല (പ്രത്യേകിച്ച്, ക്ലേ മാത്തമാറ്റിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് പ്രൈസ് ലഭിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥയായിരുന്നു ഇത്). എന്നാൽ 2006-ൽ, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ രീതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അമേരിക്കൻ, ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ പ്രശ്നം വിശദമായും പൂർണ്ണമായും പരിശോധിച്ച്, പെരെൽമാൻ ഒഴിവാക്കിയ പോയിൻ്റുകൾക്ക് അനുബന്ധമായി, പോയിൻകെയർ അനുമാനത്തിൻ്റെ അന്തിമ തെളിവ് നൽകി, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ രീതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു മുഴുവൻ തെളിവുകളും പുറത്തിറങ്ങി.

14. പൊതുവൽക്കരിച്ച പോയിൻകെരെ അനുമാനം ഇപ്രകാരം പറയുന്നു:
    ഏത് n-നും, n-ൻ്റെ ഏത് മനിഫോൾഡും, അത് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണെങ്കിൽ മാത്രം n എന്ന മാനത്തിൻ്റെ ഗോളത്തിന് തുല്യമായ ഹോമോടോപ്പിയാണ്.
    യഥാർത്ഥ Poincaré അനുമാനം n = 3 എന്നതിനായുള്ള സാമാന്യവൽക്കരിച്ച അനുമാനത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്.
    വ്യക്തതയ്ക്കായി, കൂൺ എടുക്കാൻ കാട്ടിലേക്ക് പോകുക, ഗ്രിഗറി പെരെൽമാൻ അവിടെ പോകുന്നു)
15. എർഗോഡിക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങളിലൊന്നാണ് പോയിൻകാറെയുടെ റിട്ടേൺ സിദ്ധാന്തം. അതിൻ്റെ സാരാംശം, സ്ഥലത്തിൻ്റെ അളവ്-സംരക്ഷിക്കുന്ന മാപ്പിംഗ് ഉപയോഗിച്ച്, മിക്കവാറും എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും അതിൻ്റെ പ്രാരംഭ അയൽപക്കത്തിലേക്ക് മടങ്ങും എന്നതാണ്. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പൂർണ്ണമായ രൂപീകരണം ഇപ്രകാരമാണ്: 1:
    പരിമിതമായ അളവുകളുള്ള ഒരു സ്‌പെയ്‌സിൻ്റെ അളവ്-സംരക്ഷിക്കുന്ന പരിവർത്തനമായിരിക്കട്ടെ, ഒപ്പം അളക്കാവുന്ന സെറ്റായിരിക്കട്ടെ. പിന്നെ ഏതെങ്കിലും പ്രകൃതിക്ക്
    .
    ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന് ഒരു അപ്രതീക്ഷിത പരിണതഫലമുണ്ട്: ഒരു പാത്രത്തിൽ ഒരു പാർട്ടീഷൻ കൊണ്ട് രണ്ട് കമ്പാർട്ടുമെൻ്റുകളായി വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൽ ഒന്ന് വാതകവും മറ്റൊന്ന് ശൂന്യവുമാണ്, പാർട്ടീഷൻ നീക്കം ചെയ്യപ്പെടും, കുറച്ച് സമയത്തിന് ശേഷം എല്ലാ വാതക തന്മാത്രകളും വീണ്ടും പാത്രത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഭാഗത്ത് ശേഖരിക്കുക. ഈ വിരോധാഭാസത്തിനുള്ള പരിഹാരം, കുറച്ച് സമയം കോടിക്കണക്കിന് വർഷങ്ങളുടെ ക്രമത്തിലാണ്.
16. കൊറിയയിൽ അറുത്ത നായ്ക്കളെ പോലെയുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾ അദ്ദേഹത്തിനുണ്ട്...

    പ്രപഞ്ചം ഗോളാകൃതിയിലാണ്... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri

    പ്രപഞ്ചം ശീതീകരിച്ച പദാർത്ഥമാണെന്ന് ഇന്നലെ ശാസ്ത്രജ്ഞർ പ്രഖ്യാപിക്കുകയും ഇത് തെളിയിക്കാൻ ധാരാളം പണം ആവശ്യപ്പെടുകയും ചെയ്തു... വീണ്ടും മെറിക്കോസ് പ്രിൻ്റിംഗ് പ്രസ് ഓണാക്കും... മുട്ടത്തലകളുടെ വിനോദത്തിനായി...

17. പൂജ്യം ഗുരുത്വാകർഷണത്തിൽ എവിടെയാണ് മുകളിലേക്കും താഴേക്കുമുള്ളതെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.
18. ഇന്നലെ സംസ്കാരത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു അത്ഭുതകരമായ സിനിമ ഉണ്ടായിരുന്നു, അതിൽ ഈ പ്രശ്നം വിശദമായി വിശദീകരിച്ചു. ഒരുപക്ഷേ അവർക്ക് ഇപ്പോഴും അത് ഉണ്ടോ?

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    Yandex-ൽ ലോഗിൻ ചെയ്‌ത് പെരെൽമാനെക്കുറിച്ച് ഫിലിം എഴുതി സിനിമയിലേക്ക് പോകുക

ഗ്രിഗറി പെരെൽമാൻ. refusenik

വാസിലി മാക്സിമോവ്

2006 ഓഗസ്റ്റിൽ, അഭിമാനകരമായ ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ ലഭിച്ച ഈ ഗ്രഹത്തിലെ ഏറ്റവും മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പേരുകൾ പ്രഖ്യാപിച്ചു - നോബൽ സമ്മാനത്തിൻ്റെ ഒരു തരം അനലോഗ്, ആൽഫ്രഡ് നോബലിൻ്റെ ഇഷ്ടപ്രകാരം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഇത് നഷ്ടപ്പെട്ടു. ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ - ഒരു ബാഡ്ജ് ഓഫ് ഓണർ കൂടാതെ, വിജയികൾക്ക് പതിനയ്യായിരം കനേഡിയൻ ഡോളറിൻ്റെ ഒരു ചെക്കും നൽകും - ഓരോ നാല് വർഷത്തിലും ഇൻ്റർനാഷണൽ കോൺഗ്രസ് ഓഫ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ നൽകുന്നു. കനേഡിയൻ ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോൺ ചാൾസ് ഫീൽഡ്സാണ് ഇത് സ്ഥാപിച്ചത്, 1936 ൽ ആദ്യമായി അവാർഡ് ലഭിച്ചു. 1950 മുതൽ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികസനത്തിന് നൽകിയ സംഭാവനകൾക്ക് സ്പെയിൻ രാജാവ് ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ പതിവായി നൽകിവരുന്നു. നാല്പത് വയസ്സിന് താഴെയുള്ള ഒന്ന് മുതൽ നാല് വരെ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് സമ്മാന ജേതാക്കൾ ആകാം. എട്ട് റഷ്യക്കാർ ഉൾപ്പെടെ 44 ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഇതിനകം സമ്മാനം ലഭിച്ചു.

ഗ്രിഗറി പെരെൽമാൻ. ഹെൻറി പോയിൻകാറെ.

2006-ൽ, ഫ്രഞ്ച്കാരനായ വെൻഡലിൻ വെർണർ, ഓസ്‌ട്രേലിയൻ ടെറൻസ് ടാവോ, രണ്ട് റഷ്യക്കാർ - യു.എസ്.എയിൽ ജോലി ചെയ്യുന്ന ആൻഡ്രി ഒകുങ്കോവ്, സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗിൽ നിന്നുള്ള ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ എന്നിവരായിരുന്നു പുരസ്‌കാര ജേതാക്കൾ. എന്നിരുന്നാലും, അവസാന നിമിഷത്തിൽ, പെരെൽമാൻ ഈ അഭിമാനകരമായ അവാർഡ് നിരസിച്ചതായി അറിയപ്പെട്ടു - സംഘാടകർ പ്രഖ്യാപിച്ചതുപോലെ, "തത്ത്വപരമായ കാരണങ്ങളാൽ."

റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ അത്തരമൊരു അതിരുകടന്ന പ്രവൃത്തി അദ്ദേഹത്തെ അറിയുന്ന ആളുകളെ അത്ഭുതപ്പെടുത്തിയില്ല. ഇത് ആദ്യമായല്ല അദ്ദേഹം ഗണിതശാസ്ത്ര പുരസ്‌കാരങ്ങൾ നിരസിക്കുന്നത്, ആചാരപരമായ പരിപാടികളും തൻ്റെ പേരിന് ചുറ്റുമുള്ള അനാവശ്യ പ്രചരണങ്ങളും തനിക്ക് ഇഷ്ടമല്ലെന്ന് പറഞ്ഞുകൊണ്ട് തൻ്റെ തീരുമാനം വിശദീകരിച്ചു. പത്ത് വർഷം മുമ്പ്, 1996 ൽ, പെരെൽമാൻ യൂറോപ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്ര കോൺഗ്രസ് സമ്മാനം നിരസിച്ചു, അവാർഡിനായി നാമനിർദ്ദേശം ചെയ്യപ്പെട്ട ശാസ്ത്രീയ പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ജോലി പൂർത്തിയാക്കിയിട്ടില്ലെന്നും ഇത് അവസാനത്തെ സംഭവമല്ലെന്നും ചൂണ്ടിക്കാട്ടി. റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ പൊതുജനാഭിപ്രായത്തിനും ശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിനും എതിരായി ആളുകളെ ആശ്ചര്യപ്പെടുത്തുക എന്നത് തൻ്റെ ജീവിത ലക്ഷ്യമാക്കി മാറ്റുന്നതായി തോന്നി.

ഗ്രിഗറി യാക്കോവ്ലെവിച്ച് പെരെൽമാൻ 1966 ജൂൺ 13 ന് ലെനിൻഗ്രാഡിൽ ജനിച്ചു. ചെറുപ്പം മുതലേ, അദ്ദേഹത്തിന് കൃത്യമായ ശാസ്ത്രത്തോട് താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു, പ്രശസ്തമായ 239-ാമത് സെക്കൻഡറി സ്കൂളിൽ നിന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തോടെ ബിരുദം നേടി, നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡുകൾ നേടി: ഉദാഹരണത്തിന്, 1982 ൽ, സോവിയറ്റ് സ്കൂൾ കുട്ടികളുടെ ഒരു ടീമിൻ്റെ ഭാഗമായി, അദ്ദേഹം പങ്കെടുത്തു. ബുഡാപെസ്റ്റിൽ നടന്ന അന്താരാഷ്ട്ര ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡിൽ. പരീക്ഷകളില്ലാതെ, പെരെൽമാൻ ലെനിൻഗ്രാഡ് സർവകലാശാലയിലെ മെക്കാനിക്സ് ആൻഡ് മാത്തമാറ്റിക്സ് ഫാക്കൽറ്റിയിൽ ചേർന്നു, അവിടെ അദ്ദേഹം മികച്ച മാർക്കോടെ പഠിച്ചു, എല്ലാ തലങ്ങളിലും ഗണിതശാസ്ത്ര മത്സരങ്ങളിൽ വിജയിക്കുന്നത് തുടർന്നു. യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിൽ നിന്ന് ബഹുമതികളോടെ ബിരുദം നേടിയ ശേഷം, സ്റ്റെക്ലോവ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൻ്റെ സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ് ശാഖയിൽ ബിരുദ സ്കൂളിൽ ചേർന്നു. പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ അക്കാദമിഷ്യൻ അലക്സാന്ദ്രോവ് ആയിരുന്നു അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ശാസ്ത്ര സൂപ്പർവൈസർ. തൻ്റെ പിഎച്ച്.ഡി തീസിസിനെ ന്യായീകരിച്ചുകൊണ്ട്, ഗ്രിഗറി പെരെൽമാൻ ജ്യാമിതിയുടെയും ടോപ്പോളജിയുടെയും ലബോറട്ടറിയിൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ തുടർന്നു. അലക്സാണ്ട്രോവ് സ്പേസുകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു; നിരവധി സുപ്രധാന അനുമാനങ്ങൾക്ക് തെളിവുകൾ കണ്ടെത്താൻ അദ്ദേഹത്തിന് കഴിഞ്ഞു. പ്രമുഖ പാശ്ചാത്യ സർവകലാശാലകളിൽ നിന്ന് നിരവധി ഓഫറുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, പെരെൽമാൻ റഷ്യയിൽ ജോലി ചെയ്യാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.

അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ശ്രദ്ധേയമായ വിജയം 1904-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച പ്രസിദ്ധമായ പോയിൻകെരെ അനുമാനത്തിൻ്റെ 2002-ലെ പരിഹാരമായിരുന്നു, അതിനുശേഷം അത് തെളിയിക്കപ്പെടാതെ തുടർന്നു. പെരെൽമാൻ എട്ട് വർഷത്തോളം അതിൽ പ്രവർത്തിച്ചു. Poincaré അനുമാനം ഏറ്റവും വലിയ ഗണിതശാസ്ത്ര രഹസ്യങ്ങളിലൊന്നായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ പരിഹാരം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട നേട്ടമായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടു: ഇത് പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ ഭൗതികവും ഗണിതപരവുമായ അടിത്തറയുടെ പ്രശ്നങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണം ഉടനടി മുന്നോട്ട് കൊണ്ടുപോകും. ഗ്രഹത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രമുഖരായ മനസ്സുകൾ ഏതാനും ദശാബ്ദങ്ങൾക്കുള്ളിൽ അതിൻ്റെ പരിഹാരം പ്രവചിച്ചു, മസാച്യുസെറ്റ്സിലെ കേംബ്രിഡ്ജിലെ ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്‌സ് സഹസ്രാബ്ദത്തിലെ ഏറ്റവും രസകരമായ പരിഹരിക്കപ്പെടാത്ത ഏഴ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ പോയിൻ്റ്‌കെരെ പ്രശ്‌നവും ഉൾപ്പെടുത്തി. ഒരു മില്യൺ ഡോളർ സമ്മാനം വാഗ്ദാനം ചെയ്തു (മില്ലേനിയം പ്രൈസ് പ്രോബ്ലംസ്).

ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹെൻറി പോയിൻകാറെ (1854-1912) യുടെ അനുമാനം (ചിലപ്പോൾ പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: ഏതെങ്കിലും അടഞ്ഞ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രിമാന സ്പേസ് ഒരു ത്രിമാന ഗോളത്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്. വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, വ്യക്തമായ ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിക്കുക: നിങ്ങൾ ഒരു റബ്ബർ ബാൻഡ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ആപ്പിൾ പൊതിയുകയാണെങ്കിൽ, തത്വത്തിൽ, ടേപ്പ് ശക്തമാക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ആപ്പിളിനെ ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയും. നിങ്ങൾ അതേ ടേപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഡോനട്ട് പൊതിയുകയാണെങ്കിൽ, ഡോനട്ടോ റബ്ബറോ കീറാതെ നിങ്ങൾക്ക് അതിനെ ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ സന്ദർഭത്തിൽ, ഒരു ആപ്പിളിനെ "ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ച" ചിത്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഒരു ഡോനട്ട് ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. ഏതാണ്ട് നൂറ് വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്, ഒരു ദ്വിമാന ഗോളം ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് Poincaré സ്ഥാപിച്ചു, കൂടാതെ ഒരു ത്രിമാന ഗോളവും ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് നിർദ്ദേശിച്ചു. ലോകത്തിലെ ഏറ്റവും മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല.

ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് സമ്മാനത്തിന് യോഗ്യത നേടുന്നതിന്, പെരെൽമാന് തൻ്റെ പരിഹാരം ഒരു ശാസ്ത്ര ജേണലുകളിൽ മാത്രമേ പ്രസിദ്ധീകരിക്കൂ, രണ്ട് വർഷത്തിനുള്ളിൽ ആർക്കും അവൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഒരു പിശക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, പരിഹാരം ശരിയായതായി കണക്കാക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ലോസ് അലാമോസ് സയൻ്റിഫിക് ലബോറട്ടറിയുടെ പ്രീപ്രിൻ്റ് വെബ്‌സൈറ്റിൽ തൻ്റെ തീരുമാനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചുകൊണ്ട് പെരെൽമാൻ തുടക്കം മുതൽ തന്നെ നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിച്ചു. തൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഒരു പിശക് കടന്നുകൂടിയെന്ന് ഒരുപക്ഷേ അദ്ദേഹം ഭയപ്പെട്ടിരിക്കാം - സമാനമായ ഒരു കഥ ഇതിനകം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സംഭവിച്ചു. 1994-ൽ, ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ആൻഡ്രൂ വൈൽസ് ഫെർമാറ്റിൻ്റെ പ്രസിദ്ധമായ സിദ്ധാന്തത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നിർദ്ദേശിച്ചു, കുറച്ച് മാസങ്ങൾക്ക് ശേഷം അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഒരു പിശക് കടന്നുകൂടിയതായി തെളിഞ്ഞു (പിന്നീട് അത് ശരിയാക്കിയെങ്കിലും സംവേദനം ഇപ്പോഴും സംഭവിച്ചു). Poincaré അനുമാനത്തിൻ്റെ തെളിവിൻ്റെ ഔദ്യോഗിക പ്രസിദ്ധീകരണമൊന്നും ഇപ്പോഴും ഇല്ല, എന്നാൽ പെരെൽമാൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൃത്യത സ്ഥിരീകരിക്കുന്ന ഗ്രഹത്തിലെ ഏറ്റവും മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ആധികാരിക അഭിപ്രായമുണ്ട്.

പോയിൻകെയർ പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചതിനാണ് ഗ്രിഗറി പെരൽമാന് ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ ലഭിച്ചത്. എന്നാൽ റഷ്യൻ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ സമ്മാനം നിരസിച്ചു, അത് അവൻ തീർച്ചയായും അർഹിക്കുന്നു. "ഈ കമ്മ്യൂണിറ്റിക്ക് പുറത്തുള്ള അന്താരാഷ്ട്ര ഗണിതശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിൽ നിന്ന് ഒറ്റപ്പെട്ടതായി തോന്നുന്നുവെന്നും അതിനാൽ അവാർഡ് സ്വീകരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ലെന്നും ഗ്രിഗറി എന്നോട് പറഞ്ഞു," വേൾഡ് യൂണിയൻ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിഷ്യൻസിൻ്റെ (WUM) പ്രസിഡൻ്റ് ഇംഗ്ലീഷുകാരനായ ജോൺ ബോൾ ഒരു പത്രസമ്മേളനത്തിൽ പറഞ്ഞു. മാഡ്രിഡ്.

ഗ്രിഗറി പെരെൽമാൻ സയൻസ് പൂർണ്ണമായും ഉപേക്ഷിക്കാൻ പോകുന്നുവെന്ന് കിംവദന്തികളുണ്ട്: ആറ് മാസം മുമ്പ് അദ്ദേഹം തൻ്റെ ജന്മനാടായ സ്റ്റെക്ലോവ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ നിന്ന് രാജിവച്ചു, ഇനി അദ്ദേഹം ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കില്ലെന്ന് അവർ പറയുന്നു. ഒരുപക്ഷേ റഷ്യൻ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ വിശ്വസിക്കുന്നത്, പ്രസിദ്ധമായ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നതിലൂടെ, അവൻ ശാസ്ത്രത്തിനായി തന്നാൽ കഴിയുന്നതെല്ലാം ചെയ്തു എന്നാണ്. എന്നാൽ ഇത്രയും മിടുക്കനായ ശാസ്ത്രജ്ഞനും അസാധാരണനുമായ വ്യക്തിയുടെ ചിന്താഗതിയെക്കുറിച്ച് ചർച്ച ചെയ്യാൻ ആരാണ് ഏറ്റെടുക്കുക?.. പെരെൽമാൻ ഒരു അഭിപ്രായവും നിരസിക്കുന്നു, കൂടാതെ അദ്ദേഹം ദ ഡെയ്‌ലി ടെലഗ്രാഫ് പത്രത്തോട് പറഞ്ഞു: "എനിക്ക് പറയാൻ കഴിയുന്നതൊന്നും പൊതുതാൽപ്പര്യമല്ല." എന്നിരുന്നാലും, മുൻനിര ശാസ്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണങ്ങൾ അവരുടെ വിലയിരുത്തലുകളിൽ ഏകകണ്ഠമായിരുന്നു, "ഗ്രിഗറി പെരെൽമാൻ, പോയൻകെരെ സിദ്ധാന്തം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട്, ഭൂതകാലത്തിലെയും ഇന്നത്തെയും ഏറ്റവും വലിയ പ്രതിഭകൾക്ക് തുല്യമായി നിലകൊള്ളുന്നു."

പ്രതിമാസ സാഹിത്യ, പത്രപ്രവർത്തന മാസികയും പ്രസിദ്ധീകരണശാലയും.

38 കാരനായ റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ പോയിൻകെരെ പ്രശ്നത്തിന് ശരിയായ പരിഹാരം നിർദ്ദേശിച്ചതായി ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിശ്വസിക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഫോർഡ് യൂണിവേഴ്‌സിറ്റിയിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രൊഫസറായ കീത്ത് ഡെവ്‌ലിൻ എക്‌സെറ്ററിൽ (യുകെ) നടന്ന ശാസ്ത്രമേളയിലാണ് ഇക്കാര്യം പറഞ്ഞത്.

Poincaré യുടെ പ്രശ്നം (ഒരു പ്രശ്നം അല്ലെങ്കിൽ സിദ്ധാന്തം എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു) ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഏഴ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, ഓരോന്നിൻ്റെയും പരിഹാരത്തിന് അദ്ദേഹം ഒരു ദശലക്ഷം ഡോളർ സമ്മാനം നൽകി. ഗണിത ഭൗതികശാസ്ത്ര ലബോറട്ടറിയിലെ ജീവനക്കാരനായ ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ നേടിയ ഫലങ്ങളിലേക്ക് വ്യാപകമായ ശ്രദ്ധ ആകർഷിച്ചത് ഇതാണ്.

ലോസ് അലാമോസ് സയൻ്റിഫിക് ലബോറട്ടറിയുടെ പ്രാഥമിക സൃഷ്ടികളുടെ ആർക്കൈവിൻ്റെ വെബ്‌സൈറ്റിൽ 2002 നവംബറിലും 2003 മാർച്ചിലും രചയിതാവ് പോസ്റ്റ് ചെയ്ത രണ്ട് പ്രീപ്രിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് (ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ശാസ്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണത്തിന് മുമ്പുള്ള ലേഖനങ്ങൾ) ലോകമെമ്പാടുമുള്ള ശാസ്ത്രജ്ഞർ പെരെൽമാൻ്റെ നേട്ടങ്ങളെക്കുറിച്ച് മനസ്സിലാക്കി.

ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൻ്റെ സയൻ്റിഫിക് അഡ്വൈസറി ബോർഡ് അംഗീകരിച്ച നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഒരു പുതിയ സിദ്ധാന്തം "അന്താരാഷ്ട്ര പ്രശസ്തിയുടെ" ഒരു പ്രത്യേക ജേണലിൽ പ്രസിദ്ധീകരിക്കണം. കൂടാതെ, ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, സമ്മാനം നൽകാനുള്ള തീരുമാനം ആത്യന്തികമായി എടുക്കുന്നത് "ഗണിതശാസ്ത്ര സമൂഹം" ആണ്: പ്രസിദ്ധീകരണത്തിന് ശേഷം രണ്ട് വർഷത്തിനുള്ളിൽ തെളിവ് നിരസിക്കാൻ പാടില്ല. എല്ലാ തെളിവുകളും ലോകത്തെ വിവിധ രാജ്യങ്ങളിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പരിശോധിക്കുന്നു.

Poincaré പ്രശ്നം

1966 ജൂൺ 13 ന് ലെനിൻഗ്രാഡിൽ ഒരു ജീവനക്കാരുടെ കുടുംബത്തിൽ ജനിച്ചു. 239-ാം നമ്പർ സെക്കൻഡറി സ്കൂളിൽ നിന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തോടെ ബിരുദം നേടി. 1982 ൽ, സോവിയറ്റ് സ്കൂൾ കുട്ടികളുടെ ഒരു ടീമിൻ്റെ ഭാഗമായി, ബുഡാപെസ്റ്റിൽ നടന്ന അന്താരാഷ്ട്ര ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡിൽ അദ്ദേഹം പങ്കെടുത്തു. പരീക്ഷയില്ലാതെ ലെനിൻഗ്രാഡ് സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും മെക്കാനിക്സിലും ചേർന്നു. ഫാക്കൽറ്റി, സിറ്റി, ഓൾ-യൂണിയൻ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡുകളിൽ അദ്ദേഹം വിജയിച്ചു. ലെനിൻ സ്കോളർഷിപ്പ് ലഭിച്ചു. യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടിയ ശേഷം, പെരെൽമാൻ സ്റ്റെക്ലോവ് മാത്തമാറ്റിക്കൽ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൻ്റെ സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ് ശാഖയിൽ ബിരുദ സ്കൂളിൽ ചേർന്നു. ഫിസിക്കൽ, മാത്തമാറ്റിക്കൽ സയൻസസ് സ്ഥാനാർത്ഥി. ഗണിത ഭൗതികശാസ്ത്ര ലബോറട്ടറിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

വ്യത്യസ്ത അളവുകളുള്ള പ്രത്യേക രീതിയിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന സ്പേസുകൾ - മാനിഫോൾഡുകളുടെ ടോപ്പോളജി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന പ്രദേശവുമായി Poincaré യുടെ പ്രശ്നം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ദ്വിമാന മാനിഫോൾഡുകൾ ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, ത്രിമാന ശരീരങ്ങളുടെ ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് - ഒരു ഗോളം (ഒരു പന്തിൻ്റെ ഉപരിതലം) അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ടോറസ് (ഒരു ഡോണട്ടിൻ്റെ ഉപരിതലം).

ഒരു ബലൂൺ രൂപഭേദം വരുത്തിയാൽ (വളഞ്ഞതോ, വളച്ചൊടിച്ചതോ, വലിച്ചിട്ടതോ, കംപ്രസ് ചെയ്തതോ, നുള്ളിയതോ, ഊതിക്കത്തിച്ചതോ, വീർപ്പിച്ചതോ) അതിന് എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. മേൽപ്പറഞ്ഞ എല്ലാ രൂപഭേദങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്, പന്ത് വിശാലമായ ശ്രേണിയിൽ അതിൻ്റെ ആകൃതി മാറ്റുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പന്ത് അതിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയെ തകർക്കാതെ, അതായത്, അതിനെ കീറിമുറിക്കാതെ ഡോനട്ടാക്കി (അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും) മാറ്റാൻ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരിക്കലും കഴിയില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗോളം (പന്ത്) ടോറസിന് (ഡോനട്ട്) ഹോമിയോമോർഫിക് അല്ലെന്ന് ടോപ്പോളജിസ്റ്റുകൾ പറയുന്നു. ഇതിനർത്ഥം ഈ ഉപരിതലങ്ങൾ പരസ്പരം മാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഗോളവും ടോറസും അവയുടെ ടോപ്പോളജിക്കൽ ഗുണങ്ങളിൽ വ്യത്യസ്തമാണ്. ഒരു ബലൂണിൻ്റെ ഉപരിതലം, അതിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ വൈകല്യങ്ങൾക്കും കീഴിൽ, ഒരു ഗോളത്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്, ഒരു ലൈഫ്ബോയിയുടെ ഉപരിതലം ഒരു ടോറസിനുള്ളത് പോലെ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ദ്വാരങ്ങളിലൂടെ ഇല്ലാത്ത ഏതൊരു അടഞ്ഞ ദ്വിമാന പ്രതലത്തിനും ഒരു ദ്വിമാന ഗോളത്തിൻ്റെ അതേ ടോപ്പോളജിക്കൽ ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

ടോപ്പോളജി, സ്ട്രെച്ചിംഗ്, കംപ്രഷൻ അല്ലെങ്കിൽ ബെൻഡിംഗ് പോലുള്ള തുടർച്ചയായ വൈകല്യങ്ങളിൽ സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്ന കണക്കുകളുടെ (അല്ലെങ്കിൽ സ്‌പെയ്‌സുകളുടെ) ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖ. തുടർച്ചയായ രൂപഭേദം എന്നത് ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ രൂപഭേദം, അതിൽ ഇടവേളകളൊന്നുമില്ല (അതായത്, ചിത്രത്തിൻ്റെ സമഗ്രതയുടെ ലംഘനം) അല്ലെങ്കിൽ ഒട്ടിക്കൽ (അതായത്, അതിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ തിരിച്ചറിയൽ).
ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തെ മറ്റൊന്നിലേക്ക് ടോപ്പോളജിക്കൽ പരിവർത്തനം എന്നത് ആദ്യത്തെ അക്കത്തിൻ്റെ P'-ലേക്ക് മറ്റൊരു സംഖ്യയുടെ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് മാപ്പിംഗ് ആണ്, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു: 1) ആദ്യ ചിത്രത്തിൻ്റെ ഓരോ പോയിൻ്റും P ഒന്നുമായി മാത്രം പൊരുത്തപ്പെടണം രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് P', തിരിച്ചും; 2) മാപ്പിംഗ് പരസ്പരം തുടർച്ചയായിരിക്കണം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരേ ചിത്രത്തിൽ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ P, N എന്നിവയുണ്ട്. പോയിൻ്റ് P പോയിൻ്റ് N-ലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം പൂജ്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, മറ്റൊരു ചിത്രത്തിലെ P', N' എന്നീ പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം പൂജ്യമായി മാറണം, തിരിച്ചും.
ഹോമിയോമോർഫിസം. ടോപ്പോളജിക്കൽ പരിവർത്തന സമയത്ത് പരസ്പരം രൂപാന്തരപ്പെടുന്ന ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളെ ഹോമിയോമോർഫിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വൃത്തവും അതിരുകളും ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്, കാരണം അവയെ ഒരു ടോപ്പോളജിക്കൽ പരിവർത്തനത്തിലൂടെ പരസ്പരം പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും (അതായത്, തകർക്കുകയോ ഒട്ടിക്കുകയോ ചെയ്യാതെ വളയുകയും നീട്ടുകയും ചെയ്യുക, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ അതിർത്തി ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തത്തിലേക്ക് നീട്ടുക) . ഈ മേഖലയിൽ എല്ലായ്‌പ്പോഴും തുടരുമ്പോൾ ഏതെങ്കിലും അടച്ച സിമ്പിൾ (അതായത്, ഹോമിയോമോർഫിക് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള) വക്രം ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ചുരുങ്ങാൻ കഴിയുന്ന ഒരു മേഖലയെ ലളിതമായി കണക്‌റ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ പ്രദേശത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ സ്വത്ത് ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ പ്രദേശത്തിൻ്റെ ചില അടഞ്ഞ ലളിതമായ വക്രം ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ചുരുങ്ങാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഈ മേഖലയിൽ എല്ലായ്‌പ്പോഴും അവശേഷിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ആ മേഖലയെ മൾട്ടിപ്ലൈ കണക്ട് എന്നും, ആ മേഖലയുടെ അനുബന്ധ പ്രോപ്പർട്ടിയെ മൾട്ടിപ്ലൈ കണക്ട് എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ത്രിമാന മാനിഫോൾഡുകൾക്ക് (സ്ഫിയർ പോലുള്ള ദ്വിമാന മാനിഫോൾഡുകൾക്ക്, ഈ പോയിൻ്റ് 19-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്) Poincaré യുടെ പ്രശ്നം ഇതേ കാര്യം പ്രസ്താവിക്കുന്നു. ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ദ്വിമാന ഗോളത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഗുണങ്ങളിലൊന്ന്, അതിൽ കിടക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും അടച്ച ലൂപ്പിനെ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ലാസോ) ഉപരിതലത്തിൽ നിന്ന് വിടാതെ ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് വലിച്ചിടാൻ കഴിയും എന്നതാണ്. ഒരു ടോറസിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ശരിയല്ല: അതിൻ്റെ ദ്വാരത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു ലൂപ്പ് ടോറസ് തകരുമ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ ലൂപ്പ് തന്നെ തകരുമ്പോൾ ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് വലിച്ചിടും. 1904-ൽ, ഒരു ലൂപ്പിന് അടഞ്ഞ ത്രിമാന പ്രതലത്തിൽ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ചുരുങ്ങാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു ഉപരിതലം ത്രിമാന ഗോളത്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണെന്ന് 1904-ൽ പോയിൻകാരെ നിർദ്ദേശിച്ചു. ഈ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമായി മാറി.

നമുക്ക് ഉടനടി വ്യക്തമാക്കാം: നമ്മൾ സൂചിപ്പിച്ച Poincaré പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം ഒരു ത്രിമാന പന്തിനെക്കുറിച്ചല്ല സംസാരിക്കുന്നത്, അത് നമുക്ക് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും, മറിച്ച് ഒരു ത്രിമാന ഗോളത്തെക്കുറിച്ചാണ്, അതായത്, നാലിൻ്റെ ഉപരിതലത്തെക്കുറിച്ച്. -ഡൈമൻഷണൽ ബോൾ, അത് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. എന്നാൽ 1950-കളുടെ അവസാനത്തിൽ, ഹൈ-ഡൈമൻഷണൽ മാനിഫോൾഡുകൾ ത്രിമാന, ചതുരാകൃതിയിലുള്ളവയുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണെന്ന് പെട്ടെന്ന് വ്യക്തമായി. വ്യക്തമായും, വ്യക്തതയുടെ അഭാവം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അവരുടെ ഗവേഷണത്തിൽ നേരിടുന്ന പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ടിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്.

5-ഉം അതിലും ഉയർന്ന അളവുകളും സംബന്ധിച്ച Poincaré യുടെ പ്രശ്‌നം 1960-ൽ സ്റ്റീഫൻ സ്‌മെയിൽ, ജോൺ സ്റ്റാലിംഗ്‌സ്, ആൻഡ്രൂ വാലസ് എന്നിവർ പരിഹരിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉപയോഗിക്കുന്ന സമീപനങ്ങൾ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മനിഫോൾഡുകൾക്ക് ബാധകമല്ലെന്ന് തെളിഞ്ഞു. അവരെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, Poincaré പ്രശ്നം 1981 ൽ മൈക്കൽ ഫ്രീഡ്മാൻ തെളിയിച്ചു. ത്രിമാന കേസ് ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായി മാറി; ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ തൻ്റെ പരിഹാരം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

പെരെൽമാന് ഒരു എതിരാളി ഉണ്ടെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. 2002 ഏപ്രിലിൽ, ബ്രിട്ടീഷ് സർവ്വകലാശാലയിലെ സതാംപ്ടണിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രൊഫസറായ മാർട്ടിൻ ഡൺവുഡി, പോയിൻകെയർ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തൻ്റെ രീതി നിർദ്ദേശിച്ചു, ഇപ്പോൾ ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ നിന്നുള്ള വിധിക്കായി കാത്തിരിക്കുകയാണ്.

Poincaré പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് സങ്കീർണ്ണമായ ത്രിമാന വസ്തുക്കളിലെ ഭൗതിക പ്രക്രിയകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിവരണത്തിൽ ഗുരുതരമായ ഒരു ചുവടുവെപ്പ് സാധ്യമാക്കുമെന്നും കമ്പ്യൂട്ടർ ടോപ്പോളജിയുടെ വികസനത്തിന് പുതിയ പ്രചോദനം നൽകുമെന്നും വിദഗ്ധർ വിശ്വസിക്കുന്നു. ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ നിർദ്ദേശിച്ച രീതി ജ്യാമിതിയിലും ടോപ്പോളജിയിലും ഒരു പുതിയ ദിശ തുറക്കുന്നതിലേക്ക് നയിക്കും. സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഫീൽഡ്‌സ് പ്രൈസിന് (ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നൽകാത്ത നോബൽ സമ്മാനത്തിന് സമാനമാണ്) യോഗ്യത നേടിയേക്കാം.

അതേസമയം, ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ്റെ പെരുമാറ്റം ചിലർ വിചിത്രമായി കാണുന്നു. ബ്രിട്ടീഷ് പത്രമായ ദി ഗാർഡിയൻ എഴുതുന്നത് ഇതാണ്: "മിക്കവാറും, Poincaré പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനുള്ള പെരൽമാൻ്റെ സമീപനം ശരിയാണ്. എന്നാൽ എല്ലാം അത്ര ലളിതമല്ല. ഈ കൃതി ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ശാസ്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണമായി (preprints) പ്രസിദ്ധീകരിച്ചതിന് പെരെൽമാൻ തെളിവ് നൽകുന്നില്ല. ഒരു വ്യക്തിക്ക് ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ നിന്ന് ഒരു അവാർഡ് ലഭിക്കണമെങ്കിൽ ഇത് ആവശ്യമാണ്. കൂടാതെ, അയാൾ പണത്തോട് ഒട്ടും താൽപ്പര്യം കാണിക്കുന്നില്ല."

പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, ഗ്രിഗറി പെരൽമാനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഒരു യഥാർത്ഥ ശാസ്ത്രജ്ഞനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, പണം പ്രധാന കാര്യമല്ല. "സഹസ്രാബ്ദ പ്രശ്നങ്ങൾ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഏതെങ്കിലും പരിഹാരത്തിനായി, ഒരു യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തൻ്റെ ആത്മാവിനെ പിശാചിന് വിൽക്കും.

മില്ലേനിയം ലിസ്റ്റ്

1900 ഓഗസ്റ്റ് 8-ന്, പാരീസിൽ നടന്ന ഇൻ്റർനാഷണൽ കോൺഗ്രസ് ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്‌സിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഡേവിഡ് ഹിൽബർട്ട് ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടേണ്ട പ്രശ്‌നങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് വിശദീകരിച്ചു. പട്ടികയിൽ 23 ഇനങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നു. അതിൽ ഇരുപത്തിയൊന്നെണ്ണം ഇതുവരെ പരിഹരിച്ചു. 358 വർഷമായി ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാതിരുന്ന ഫെർമാറ്റിൻ്റെ പ്രസിദ്ധമായ സിദ്ധാന്തമാണ് ഹിൽബെർട്ടിൻ്റെ ലിസ്റ്റിലെ അവസാനത്തെ പ്രശ്നം. 1994-ൽ ബ്രിട്ടീഷുകാരനായ ആൻഡ്രൂ വൈൽസ് തൻ്റെ പരിഹാരം നിർദ്ദേശിച്ചു. അത് സത്യമാണെന്ന് തെളിഞ്ഞു.

ഗിൽബെർട്ടിൻ്റെ മാതൃക പിന്തുടർന്ന്, കഴിഞ്ഞ നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ, പല ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും 21-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ സമാനമായ തന്ത്രപരമായ ചുമതലകൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിച്ചു. ഈ ലിസ്റ്റുകളിലൊന്ന് ബോസ്റ്റൺ കോടീശ്വരനായ ലാൻഡൻ ടി. ക്ലേയ്ക്ക് നന്ദി പറഞ്ഞു. 1998-ൽ, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഫണ്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനായി കേംബ്രിഡ്ജിൽ (മസാച്ചുസെറ്റ്സ്, യുഎസ്എ) സമ്മാനങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുകയും സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്തു. 2000 മെയ് 24 ന്, ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിലെ വിദഗ്ധർ ഏഴ് പ്രശ്നങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്തു - സമ്മാനത്തിനായി അനുവദിച്ച ദശലക്ഷക്കണക്കിന് ഡോളറുകളുടെ എണ്ണം അനുസരിച്ച്. മില്ലേനിയം പ്രൈസ് പ്രോബ്ലംസ് എന്നാണ് പട്ടികയുടെ പേര്:

1. കുക്കിൻ്റെ പ്രശ്നം (1971-ൽ രൂപപ്പെടുത്തിയത്)

നിങ്ങൾ ഒരു വലിയ കമ്പനിയിലായിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ സുഹൃത്തും അവിടെ ഉണ്ടെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്ന് പറയാം. അവൻ മൂലയിൽ ഇരിക്കുകയാണെന്ന് അവർ നിങ്ങളോട് പറഞ്ഞാൽ, ഒരു നിമിഷം മതിയാകും, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നോട്ടം എടുക്കാനും വിവരങ്ങളുടെ സത്യത്തെക്കുറിച്ച് ബോധ്യപ്പെടാനും. ഈ വിവരങ്ങളില്ലാതെ, അതിഥികളെ നോക്കി മുറി മുഴുവൻ നടക്കാൻ നിങ്ങൾ നിർബന്ധിതരാകും. ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് പലപ്പോഴും പരിഹാരത്തിൻ്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ സമയമെടുക്കുമെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

സ്റ്റീഫൻ കുക്ക് ഈ പ്രശ്നം രൂപപ്പെടുത്തി: പരിശോധന അൽഗോരിതം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, ഒരു പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുന്നതിന് പരിഹാരം നേടുന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ സമയമെടുക്കും. ഈ പ്രശ്നം ലോജിക്, കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ് മേഖലയിലെ പരിഹരിക്കപ്പെടാത്ത പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്നാണ്. ഡാറ്റാ ട്രാൻസ്മിഷനിലും സംഭരണത്തിലും ഉപയോഗിക്കുന്ന ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫിയുടെ അടിസ്ഥാനതത്വങ്ങളിൽ വിപ്ലവം സൃഷ്ടിക്കാൻ ഇതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിന് കഴിയും.

2. റീമാൻ സിദ്ധാന്തം (1859-ൽ രൂപപ്പെടുത്തിയത്)

ചില പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ 2, 3, 5, 7, എന്നിങ്ങനെയുള്ള രണ്ട് ചെറിയ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗുണനമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. അത്തരം സംഖ്യകളെ പ്രധാന സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ ശുദ്ധ ഗണിതത്തിലും അതിൻ്റെ പ്രയോഗങ്ങളിലും ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും ശ്രേണികൾക്കിടയിലുള്ള പ്രധാന സംഖ്യകളുടെ വിതരണം ഒരു പാറ്റേണും പിന്തുടരുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ റീമാൻ അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഒരു അനുമാനം നടത്തി. റീമാൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടാൽ, അത് എൻക്രിപ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ അറിവിൽ വിപ്ലവകരമായ മാറ്റത്തിനും ഇൻ്റർനെറ്റ് സുരക്ഷയിൽ അഭൂതപൂർവമായ മുന്നേറ്റത്തിനും ഇടയാക്കും.

3. ബിർച്ച് ആൻഡ് സ്വിന്നർടൺ-ഡയർ സിദ്ധാന്തം (1960-ൽ രൂപപ്പെടുത്തിയത്)

പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള നിരവധി വേരിയബിളുകളിലെ ചില ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിൻ്റെ വിവരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ് x 2 + y 2 = z 2 എന്ന പദപ്രയോഗം. യൂക്ലിഡ് ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ പൂർണ്ണമായ വിവരണം നൽകി, എന്നാൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾക്ക്, പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

4. ഹോഡ്ജിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം (1941-ൽ രൂപപ്പെടുത്തിയത്)

ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സങ്കീർണ്ണമായ വസ്തുക്കളുടെ ആകൃതി പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഒരു രീതി കണ്ടെത്തി. ഒബ്ജക്റ്റിന് പകരം ലളിതമായ “ഇഷ്ടികകൾ” ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന ആശയം, അവ ഒരുമിച്ച് ഒട്ടിച്ച് അതിൻ്റെ സാദൃശ്യം ഉണ്ടാക്കുന്നു. അത്തരം "ബിൽഡിംഗ് ബ്ലോക്കുകളുടെയും" വസ്തുക്കളുടെയും ഗുണങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച ചില അനുമാനങ്ങളുമായി ഹോഡ്ജിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

5. നേവിയർ - സ്റ്റോക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ (1822-ൽ രൂപപ്പെടുത്തിയത്)

നിങ്ങൾ ഒരു തടാകത്തിൽ ഒരു ബോട്ടിൽ സഞ്ചരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, തിരമാലകൾ ഉയരും, നിങ്ങൾ ഒരു വിമാനത്തിൽ പറക്കുകയാണെങ്കിൽ, വായുവിൽ പ്രക്ഷുബ്ധമായ പ്രവാഹങ്ങൾ ഉയരും. ഇവയും മറ്റ് പ്രതിഭാസങ്ങളും നേവിയർ-സ്റ്റോക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ എന്നറിയപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങളാൽ വിവരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ അജ്ഞാതമാണ്, അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കണമെന്ന് പോലും അറിയില്ല. ഒരു പരിഹാരം നിലവിലുണ്ടെന്നും മതിയായ സുഗമമായ പ്രവർത്തനമാണെന്നും കാണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ഹൈഡ്രോ- എയറോഡൈനാമിക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്ന രീതികളെ ഗണ്യമായി മാറ്റും.

6. Poincaré പ്രശ്നം (1904-ൽ രൂപപ്പെടുത്തിയത്)

നിങ്ങൾ ഒരു ആപ്പിളിന് മുകളിലൂടെ ഒരു റബ്ബർ ബാൻഡ് വലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉപരിതലത്തിൽ നിന്ന് ഉയർത്താതെ ബാൻഡ് സാവധാനം ചലിപ്പിച്ച് ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് കംപ്രസ് ചെയ്യാം. നേരെമറിച്ച്, അതേ റബ്ബർ ബാൻഡ് ഒരു ഡോനട്ടിനു ചുറ്റും ഉചിതമായി നീട്ടിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ടേപ്പ് കീറുകയോ ഡോനട്ട് തകർക്കുകയോ ചെയ്യാതെ ബാൻഡ് ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് കംപ്രസ് ചെയ്യാൻ ഒരു മാർഗവുമില്ല. ഒരു ആപ്പിളിൻ്റെ ഉപരിതലം ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് അവർ പറയുന്നു, എന്നാൽ ഒരു ഡോനട്ടിൻ്റെ ഉപരിതലം അങ്ങനെയല്ല. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇപ്പോഴും ശരിയായ ഉത്തരം തേടുന്നതിനാൽ ഗോളം മാത്രമേ ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുള്ളൂവെന്ന് തെളിയിക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

7. യാങ്-മിൽസ് സമവാക്യങ്ങൾ (1954-ൽ രൂപപ്പെടുത്തിയത്)

ക്വാണ്ടം ഫിസിക്‌സിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പ്രാഥമിക കണങ്ങളുടെ ലോകത്തെ വിവരിക്കുന്നു. ജ്യാമിതിയും കണികാ ഭൗതികവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണ്ടെത്തിയ ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞരായ യംഗും മിൽസും അവരുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതി. അങ്ങനെ, വൈദ്യുതകാന്തികവും ദുർബലവും ശക്തവുമായ ഇടപെടലുകളുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളെ ഏകീകരിക്കാൻ അവർ ഒരു വഴി കണ്ടെത്തി. യാങ്-മിൽസ് സമവാക്യങ്ങൾ ലോകമെമ്പാടുമുള്ള ലബോറട്ടറികളിൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ നിരീക്ഷിക്കപ്പെട്ട കണങ്ങളുടെ അസ്തിത്വത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ പ്രവചിക്കാൻ ഇപ്പോഴും സാധ്യമല്ലെങ്കിലും യാങ്-മിൽസ് സിദ്ധാന്തം മിക്ക ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞരും അംഗീകരിക്കുന്നു. പ്രാഥമിക കണങ്ങളുടെ പിണ്ഡം.

മിഖായേൽ വിറ്റെബ്സ്കി

"പരിഹരിച്ച പ്രശ്നം പെരെൽമാൻ,മഹാനായ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ 1904-ൽ മുന്നോട്ടുവച്ച ഒരു സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാനുള്ള ആവശ്യകതയാണ് ഹെൻറി പോയിൻകാറെ(1854-1912) അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പേര് വഹിക്കുന്നു. എൻസൈക്ലോപീഡിയയിൽ ചെയ്തിരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പോയിൻകറെയുടെ പങ്കിനെക്കുറിച്ച് നന്നായി പറയാൻ പ്രയാസമാണ്: "ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലയിലെ പോയിൻകറെയുടെ കൃതികൾ, ഒരു വശത്ത്, ക്ലാസിക്കൽ ദിശ പൂർത്തിയാക്കി, മറുവശത്ത്, വികസനത്തിലേക്കുള്ള വഴി തുറക്കുന്നു. പുതിയ ഗണിതശാസ്ത്രം, അവിടെ, ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് ബന്ധങ്ങൾക്കൊപ്പം, ഗുണപരമായ സ്വഭാവമുള്ള വസ്തുതകൾ സ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു" (TSB, 3rd ed., vol. 2). Poincaré അനുമാനം കൃത്യമായി ഒരു ഗുണപരമായ സ്വഭാവമാണ് - അത് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ മേഖലയും (അതായത് ടോപ്പോളജി) പോലെ, അതിൻ്റെ സൃഷ്ടിയിൽ Poincare നിർണായക പങ്ക് വഹിച്ചു.

ആധുനിക ഭാഷയിൽ, Poincaré അനുമാനം ഇതുപോലെയാണ്: അതിരുകളില്ലാതെ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഓരോ കോംപാക്റ്റ് ത്രിമാന മനിഫോൾഡും ഒരു ത്രിമാന ഗോളത്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഖണ്ഡികകളിൽ, ഈ ഭയാനകമായ വാക്കാലുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിൻ്റെ അർത്ഥം ഭാഗികമായും വളരെ ഏകദേശമായും വിശദീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു സാധാരണ പന്തിൻ്റെ ഉപരിതലമായ ഒരു സാധാരണ ഗോളം ദ്വിമാനമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു (പന്ത് തന്നെ ത്രിമാനമാണ്). ഒരു ദ്വിമാന ഗോളത്തിൽ ത്രിമാന സ്ഥലത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അത് തിരഞ്ഞെടുത്ത ചില പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് തുല്യ ദൂരെയാണ്, അതിനെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് ഗോളത്തിൻ്റെ ഭാഗമല്ല. ഒരു ത്രിമാന ഗോളം അതിൻ്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സ്ഥലത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു (ഇത് ഗോളത്തിൻ്റെ ഭാഗമല്ല). ദ്വിമാന ഗോളങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ത്രിമാന ഗോളങ്ങൾ ലഭ്യമല്ലഞങ്ങളുടെ നേരിട്ടുള്ള നിരീക്ഷണം, വാസിലി ഇവാനോവിച്ചിന് പ്രസിദ്ധമായ തമാശയിൽ നിന്നുള്ള സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ സങ്കൽപ്പിക്കുന്നത് പോലെ അവരെ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നാമെല്ലാവരും ത്രിമാന ഗോളത്തിലാണ്, അതായത് നമ്മുടെ പ്രപഞ്ചം ഒരു ത്രിമാന ഗോളമാണ്.

ഇതാണ് ഫലത്തിൻ്റെ അർത്ഥം പെരെൽമാൻഭൗതികശാസ്ത്രത്തിനും ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിനും. "എഡ്ജ് ഇല്ലാതെ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ച കോംപാക്റ്റ് ത്രിമാന മനിഫോൾഡ്" എന്ന പദത്തിൽ നമ്മുടെ പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ സങ്കൽപ്പങ്ങളുടെ സൂചനകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. "ഹോമിയോമോർഫിക്" എന്ന പദത്തിൻ്റെ അർത്ഥം, ഒരു നിശ്ചിത അർത്ഥത്തിൽ, വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയാത്ത ഒരു നിശ്ചിത ഉയർന്ന സാമ്യതയാണ്. മൊത്തത്തിൽ ഫോർമുലേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, അതിനാൽ, നമ്മുടെ പ്രപഞ്ചത്തിന് ഒരു അരികില്ലാതെ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ച കോംപാക്റ്റ് ത്രിമാന മാനിഫോൾഡിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് - അതേ "അറിയപ്പെടുന്ന അർത്ഥത്തിൽ" - ഒരു ത്രിമാന ഗോളമാണ്.

ലളിതമായി കണക്ട്‌നെസ് എന്ന ആശയം വളരെ ലളിതമായ ഒരു ആശയമാണ്. ഒരു റബ്ബർ ബാൻഡ് (അതായത്, ഒട്ടിച്ച അറ്റങ്ങളുള്ള ഒരു റബ്ബർ ത്രെഡ്) വളരെ ഇലാസ്റ്റിക് ആണെന്ന് നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം, നിങ്ങൾ അത് പിടിച്ചില്ലെങ്കിൽ, അത് ഒരു പോയിൻ്റായി ചുരുങ്ങും. ഞങ്ങളുടെ ഇലാസ്റ്റിക് ബാൻഡിൽ നിന്ന് ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് വലിക്കുമ്പോൾ, അത് ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ച പ്രതലത്തിനപ്പുറത്തേക്ക് വ്യാപിക്കരുതെന്നും ഞങ്ങൾ ആവശ്യപ്പെടും. ഞങ്ങൾ ഒരു വിമാനത്തിൽ അത്തരമൊരു ഇലാസ്റ്റിക് ബാൻഡ് വലിച്ചുനീട്ടുകയും അത് പുറത്തുവിടുകയും ചെയ്താൽ, അത് ഉടൻ തന്നെ ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് ചുരുങ്ങും. ഒരു ഗോളത്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ, അതായത് ഒരു ഗോളത്തിൽ നാം ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് ബാൻഡ് സ്ഥാപിച്ചാൽ ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കും. ഒരു ലൈഫ് ബോയിയുടെ ഉപരിതലത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, സാഹചര്യം തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും: ഈ ഉപരിതലത്തിൽ ഇലാസ്റ്റിക് അത്തരം ക്രമീകരണങ്ങൾ ദയയുള്ള വായനക്കാരന് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും, അതിൽ സംശയാസ്പദമായ ഉപരിതലത്തിനപ്പുറത്തേക്ക് പോകാതെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ഇലാസ്റ്റിക് വലിച്ചിടാൻ കഴിയില്ല. ഈ ചിത്രത്തിൻ്റെ പരിധിക്കുള്ളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഏതെങ്കിലും അടച്ച കോണ്ടൂർ പേരുള്ള പരിധിക്കപ്പുറത്തേക്ക് പോകാതെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തെ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വിമാനവും ഗോളവും ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് നമ്മൾ ഇപ്പോൾ കണ്ടു, പക്ഷേ ലൈഫ്ബോയിയുടെ ഉപരിതലം ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. ഒരു ദ്വാരം മുറിച്ച ഒരു വിമാനവും ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. ലളിതമായി കണക്ട്‌നെസ് എന്ന ആശയം ത്രിമാന രൂപങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്. അങ്ങനെ, ഒരു ക്യൂബും ഒരു പന്തും ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: അവയുടെ കനം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഏതെങ്കിലും അടച്ച കോണ്ടൂർ ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് ചുരുങ്ങാം, സങ്കോച പ്രക്രിയയിൽ കോണ്ടൂർ എല്ലായ്പ്പോഴും ഈ കട്ടിയിൽ തന്നെ തുടരും. എന്നാൽ ബാഗൽ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ല: അതിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് ചുരുങ്ങാൻ കഴിയാത്ത ഒരു കോണ്ടൂർ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, അങ്ങനെ സങ്കോച പ്രക്രിയയിൽ കോണ്ടൂർ എല്ലായ്പ്പോഴും ബാഗലിൻ്റെ കുഴെച്ചതിലാണ്. പ്രെറ്റ്‌സലും മോണോകണക്‌റ്റഡ് അല്ല. ത്രിമാന ഗോളം ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും.

സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സെഗ്മെൻ്റും ഇടവേളയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വായനക്കാരൻ മറന്നിട്ടില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിന് രണ്ട് അറ്റങ്ങളുണ്ട്; അതിൽ ഈ അറ്റങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ഇടവേളയിൽ അതിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾക്കിടയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ; അറ്റങ്ങൾ തന്നെ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല: ഒരു ഇടവേള എന്നത് അതിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്ത അറ്റങ്ങളുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റാണെന്നും ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് എന്നത് അറ്റങ്ങൾ ചേർത്ത ഇടവേളയാണെന്നും നമുക്ക് പറയാം. അത്. ഒരു ഇടവേളയും ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റും ഏകമാനമായ മാനിഫോൾഡുകളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്, ഇവിടെ ഒരു ഇടവേള ഒരു അരികില്ലാത്ത ഒരു മനിഫോൾഡാണ്, ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് ഒരു അരികുള്ള ഒരു മനിഫോൾഡാണ്; ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ ഒരു എഡ്ജ് രണ്ട് അറ്റങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. മാനിഫോൾഡുകളുടെ പ്രധാന സ്വത്ത്, അവയുടെ നിർവചനത്തിന് അടിവരയിടുന്നു, മനിഫോൾഡിൽ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും അയൽപക്കങ്ങൾ, അരികിലെ പോയിൻ്റുകൾ ഒഴികെ (അത് നിലവിലില്ല), കൃത്യമായി അതേ രീതിയിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നതാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു പോയിൻ്റ് A യുടെ അയൽപക്കം, ഈ പോയിൻ്റിന് സമീപം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും ശേഖരമാണ് A. ഒരു അരികില്ലാതെ മനിഫോൾഡിൽ വസിക്കുന്ന ഒരു സൂക്ഷ്മജീവിക്ക് ഈ മനിഫോൾഡിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ മാത്രം കാണാൻ കഴിയുന്നില്ല. അത് ഏത് ഘട്ടത്തിലാണ്, ഉള്ളത് എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക: തനിക്ക് ചുറ്റും അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരേ കാര്യം കാണുന്നു. എഡ്ജ് ഇല്ലാതെ ഏകമാനമായ മാനിഫോൾഡുകളുടെ കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ: മുഴുവൻ നേർരേഖയും, ഒരു വൃത്തവും. മനിഫോൾഡ് അല്ലാത്ത ഒരു ഏകമാന രൂപത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം T എന്ന അക്ഷരത്തിൻ്റെ ആകൃതിയിലുള്ള ഒരു വരയാണ്: ഒരു പ്രത്യേക പോയിൻ്റുണ്ട്, അതിൻ്റെ അയൽപക്കം മറ്റ് പോയിൻ്റുകളുടെ അയൽപക്കത്തിന് സമാനമല്ല - ഇതാണ് പോയിൻ്റ് മൂന്ന് സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ കണ്ടുമുട്ടുന്നു. ഒരു ഡിമെൻഷണൽ മനിഫോൾഡിൻ്റെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഒരു ഫിഗർ-എട്ട് ലൈനാണ്; ഇവിടെ ഒരു പ്രത്യേക പോയിൻ്റിൽ നാല് വരികൾ ഒത്തുചേരുന്നു. ഒരു തലം, ഒരു ഗോളം, ഒരു ലൈഫ് ബോയിയുടെ ഉപരിതലം എന്നിവ ഒരു അരികില്ലാത്ത ദ്വിമാന മനിഫോൾഡുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. ഒരു ദ്വാരം മുറിച്ച ഒരു വിമാനവും ഒരു മനിഫോൾഡ് ആയിരിക്കും - എന്നാൽ ഒരു അരികോടുകൂടിയോ അല്ലാതെയോ, അത് ദ്വാരത്തിൻ്റെ രൂപരേഖ എവിടെ സ്ഥാപിക്കുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു ദ്വാരത്തിലേക്ക് റഫർ ചെയ്താൽ, നമുക്ക് ഒരു അരികില്ലാതെ ഒരു മനിഫോൾഡ് ലഭിക്കും; ഞങ്ങൾ കോണ്ടൂർ വിമാനത്തിൽ ഉപേക്ഷിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു എഡ്ജ് ഉള്ള ഒരു മനിഫോൾഡ് ലഭിക്കും, അതാണ് ഈ കോണ്ടൂർ പ്രവർത്തിക്കുന്നത്. തീർച്ചയായും, ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഒരു അനുയോജ്യമായ ഗണിത കട്ടിംഗ് മനസ്സിലുണ്ടായിരുന്നു, കത്രിക ഉപയോഗിച്ച് യഥാർത്ഥ ഫിസിക്കൽ കട്ടിംഗിൽ, കോണ്ടൂർ എവിടെയാണ് എന്ന ചോദ്യത്തിന് അർത്ഥമില്ല.

ത്രിമാന മാനിഫോൾഡുകളെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് വാക്കുകൾ. ഗോളം, അതിൻ്റെ ഉപരിതലമായി വർത്തിക്കുന്ന ഗോളത്തോടൊപ്പം, ഒരു അരികുള്ള ഒരു ബഹുമുഖമാണ്; സൂചിപ്പിച്ച ഗോളം കൃത്യമായി ഈ അരികാണ്. ചുറ്റുമുള്ള സ്ഥലത്ത് നിന്ന് ഈ പന്ത് നീക്കം ചെയ്താൽ, നമുക്ക് ഒരു എഡ്ജ് ഇല്ലാതെ ഒരു മനിഫോൾഡ് ലഭിക്കും. നമ്മൾ ഒരു പന്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ നിന്ന് തൊലി കളയുകയാണെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര ജാർഗണിൽ "സാൻഡ് ബോൾ" എന്നും കൂടുതൽ ശാസ്ത്രീയ ഭാഷയിൽ തുറന്ന പന്ത് എന്നും നമുക്ക് ലഭിക്കും. ചുറ്റുമുള്ള സ്ഥലത്ത് നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു തുറന്ന പന്ത് നീക്കം ചെയ്താൽ, നമുക്ക് ഒരു എഡ്ജ് ഉള്ള ഒരു മനിഫോൾഡ് ലഭിക്കും, കൂടാതെ എഡ്ജ് പന്തിൽ നിന്ന് വലിച്ചുകീറിയ ഗോളമായിരിക്കും. ബാഗെൽ, അതിൻ്റെ പുറംതോട് ചേർന്ന്, ഒരു അരികുള്ള ഒരു ത്രിമാന മനിഫോൾഡാണ്, നിങ്ങൾ പുറംതോട് കീറിക്കളഞ്ഞാൽ (അതിനെ ഞങ്ങൾ അനന്തമായി നേർത്തതായി കണക്കാക്കുന്നു, അതായത്, ഒരു ഉപരിതലമായി), നമുക്ക് ഒരു അരികില്ലാതെ ഒരു മനിഫോൾഡ് ലഭിക്കും. ഒരു "മണൽ ബേഗലിൻ്റെ" രൂപം. എല്ലാ സ്ഥലവും മൊത്തത്തിൽ, ഹൈസ്‌കൂളിൽ മനസ്സിലാക്കുന്നത് പോലെ നമ്മൾ മനസ്സിലാക്കിയാൽ, അരികില്ലാത്ത ഒരു ത്രിമാന മനിഫോൾഡ് ആണ്.

കോംപാക്റ്റ്നെസ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയം "കോംപാക്റ്റ്" എന്ന വാക്കിന് ദൈനംദിന റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ ഉള്ള അർത്ഥത്തെ ഭാഗികമായി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു: "അടുത്തത്", "കംപ്രസ്ഡ്". ഒരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തെ കോംപാക്റ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ അനന്തമായ ബിന്ദുക്കളുടെ ഏതെങ്കിലും ക്രമീകരണത്തിന്, അവ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്കോ ഒരേ ചിത്രത്തിലെ പല പോയിൻ്റുകളിലേക്കോ ശേഖരിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് ഒതുക്കമുള്ളതാണ്: സെഗ്‌മെൻ്റിലെ ഏതെങ്കിലും അനന്തമായ പോയിൻ്റുകൾക്ക് പരിധി പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരെണ്ണമെങ്കിലും ഉണ്ട്, ഏത് അയൽപക്കത്തിലും പരിഗണനയിലുള്ള സെറ്റിൻ്റെ അനന്തമായ നിരവധി ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ഇടവേള ഒതുക്കമുള്ളതല്ല: അതിൻ്റെ അവസാനത്തിലേക്ക് അടിഞ്ഞുകൂടുന്ന ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകൾ നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും, അതിലേക്ക് മാത്രം - എന്നാൽ അവസാനം ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല!

സ്ഥലമില്ലായ്മ കാരണം, ഈ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ സ്വയം ഒതുങ്ങും. ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ഒതുക്കമുള്ളവ ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ്, ഒരു വൃത്തം, ഒരു ഗോളം, ഒരു ബാഗലിൻ്റെയും ഒരു പ്രിറ്റ്‌സലിൻ്റെയും ഉപരിതലങ്ങൾ, ഒരു പന്ത് (അതിൻ്റെ ഗോളത്തോടൊപ്പം), ഒരു ബാഗലും ഒരു പ്രെറ്റ്‌സെലും (ഒരുമിച്ച്) എന്ന് പറയാം. അതിൻ്റെ പുറംതോട്). വിപരീതമായി, ഇടവേള, വിമാനം, സാൻഡ് ബോൾ, ബാഗെൽ, പ്രെറ്റ്സെൽ എന്നിവ ഒതുക്കമുള്ളതല്ല. അരികില്ലാത്ത ത്രിമാന കോംപാക്റ്റ് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളിൽ, ഏറ്റവും ലളിതമാണ് ത്രിമാന ഗോളം, എന്നാൽ അത്തരം കണക്കുകൾ നമ്മുടെ സാധാരണ “സ്‌കൂൾ” സ്ഥലത്ത് യോജിക്കുന്നില്ല. ഒരുപക്ഷേ സിദ്ധാന്തവുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ആശയങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ആഴമേറിയത് പോയിൻകെയർ, ആണ് ഹോമിയോമോർഫി എന്ന ആശയം. ജ്യാമിതീയ സമാനതയുടെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന തലമാണ് ഹോമിയോമോർഫി . ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഈ ആശയത്തിൻ്റെ ഏകദേശ വിശദീകരണം നൽകാൻ ശ്രമിക്കും.

ഇതിനകം സ്കൂൾ ജ്യാമിതിയിൽ നമ്മൾ രണ്ട് തരത്തിലുള്ള സമാനതകൾ നേരിടുന്നു - കണക്കുകളുടെ പൊരുത്തവും അവയുടെ സമാനതയും. അക്കങ്ങൾ സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്യുമ്പോൾ പരസ്പരം യോജിച്ചാൽ അവയെ സമന്വയം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എന്നത് ഓർക്കുക. സ്കൂളിൽ, യോജിച്ച രൂപങ്ങൾ വേർതിരിച്ചറിയാൻ തോന്നുന്നില്ല, അതിനാൽ പൊരുത്തത്തെ സമത്വം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. യോജിച്ച കണക്കുകൾക്ക് അവയുടെ എല്ലാ വിശദാംശങ്ങളിലും ഒരേ അളവുകൾ ഉണ്ട്. സമാന വലുപ്പം ആവശ്യമില്ലാതെ സമാനത, ഈ വലുപ്പങ്ങളുടെ അതേ അനുപാതങ്ങൾ എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്; അതിനാൽ, സമാനതകൾ പൊരുത്തത്തേക്കാൾ രൂപങ്ങളുടെ അനിവാര്യമായ സാമ്യത്തെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു.ജ്യാമിതി പൊതുവെ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തേക്കാൾ ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള അമൂർത്തീകരണമാണ്, കൂടാതെ ഭൗതികശാസ്ത്രം മെറ്റീരിയൽ സയൻസിനേക്കാൾ ഉയർന്നതാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന് ബോൾ ബെയറിംഗ്, ബില്യാർഡ് ബോൾ, ക്രോക്കറ്റ് ബോൾ, ബോൾ എന്നിവ എടുക്കുക. ഭൗതികശാസ്ത്രം അവ നിർമ്മിക്കുന്ന മെറ്റീരിയൽ പോലെയുള്ള വിശദാംശങ്ങളിലേക്ക് കടക്കുന്നില്ല, എന്നാൽ വോളിയം, ഭാരം, വൈദ്യുതചാലകത മുതലായ ഗുണങ്ങളിൽ മാത്രമേ താൽപ്പര്യമുള്ളൂ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് അവയെല്ലാം പന്തുകളാണ്, വലുപ്പത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുണ്ട്. പന്തുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത വലുപ്പമുണ്ടെങ്കിൽ, മെട്രിക് ജ്യാമിതിക്ക് അവ വ്യത്യസ്തമാണ്, എന്നാൽ സമാന ജ്യാമിതിക്ക് അവയെല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ്. ജ്യാമിതിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, എല്ലാ പന്തുകളും എല്ലാ ക്യൂബുകളും സമാനമാണ്, എന്നാൽ ഒരു പന്തും ഒരു ക്യൂബും ഒരുപോലെയല്ല.

ഇനി നമുക്ക് ടോറസ് നോക്കാം. സ്റ്റിയറിംഗ് വീലിൻ്റെയും ലൈഫ് ബോയിയുടെയും ആകൃതിയിലുള്ള ആകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതീയ രൂപമാണ് മുകളിൽ. സർക്കിളിന് പുറത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും ഒരു വൃത്തം തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ഒരു രൂപമായാണ് എൻസൈക്ലോപീഡിയ ടോറസിനെ നിർവചിക്കുന്നത്. പന്തും ക്യൂബും ടോറസ് ഉള്ളതിനേക്കാൾ പരസ്പരം "കൂടുതൽ ഒരുപോലെ" ആണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ദയയുള്ള വായനക്കാരോട് അഭ്യർത്ഥിക്കുന്നു. ഈ അവബോധജന്യമായ അവബോധം കൃത്യമായ അർത്ഥത്തിൽ നിറയ്ക്കാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന ചിന്താ പരീക്ഷണം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. വളയാനും നീട്ടാനും കംപ്രസ് ചെയ്യാനും പൊതുവെ ഏതെങ്കിലും വിധത്തിൽ രൂപഭേദം വരുത്താനും കഴിയുന്ന തരത്തിൽ വഴങ്ങുന്ന ഒരു മെറ്റീരിയൽ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ഒരു പന്ത് നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം - അത് കീറാനോ ഒട്ടിക്കാനോ കഴിയില്ല. വ്യക്തമായും, പന്ത് പിന്നീട് ഒരു ക്യൂബാക്കി മാറ്റാം, പക്ഷേ അത് ഒരു ടോറസായി മാറുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ഉഷാക്കോവിൻ്റെ വിശദീകരണ നിഘണ്ടു പ്രെറ്റ്‌സലിനെ ഒരു പേസ്ട്രി (അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ: വെണ്ണ വളച്ചൊടിച്ച ബൺ പോലെ) എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു. ഈ അത്ഭുതകരമായ നിഘണ്ടുവിനോട് എല്ലാ ബഹുമാനത്തോടെയും, "എട്ടാം നമ്പറിൻ്റെ ആകൃതിയിൽ" എന്ന വാക്കുകൾ എനിക്ക് കൂടുതൽ തോന്നുന്നു. കൃത്യമായ; എന്നിരുന്നാലും, ഹോമിയോമോർഫി എന്ന ആശയത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന വീക്ഷണകോണിൽ, 8 എന്ന സംഖ്യയുടെ ആകൃതിയിലുള്ള ബേക്കിംഗും ബി അക്ഷരത്തിൻ്റെ ആകൃതിയിലുള്ള ബേക്കിംഗും ഫിറ്റയുടെ ആകൃതിയിലുള്ള ബേക്കിംഗും ഒരേ ആകൃതിയാണ്. മേൽപ്പറഞ്ഞ പ്ലിയബിലിറ്റി ഗുണങ്ങളുള്ള കുഴെച്ചതുമുതൽ ബേക്കർമാർക്ക് ലഭിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചാലും, ഒരു ബൺ അസാധ്യമാണ് - കണ്ണീരും ഒട്ടിക്കലും ഇല്ലാതെ! - അവസാനത്തെ രണ്ട് ചുട്ടുപഴുത്ത സാധനങ്ങൾ പരസ്പരം ചേർത്തതുപോലെ, ഒരു ബാഗലോ പ്രെറ്റ്സെലോ ആക്കരുത്. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ബൺ ഒരു ക്യൂബ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പിരമിഡ് ആക്കാം. ദയയുള്ള വായനക്കാരന് ഒരു ബണ്ണോ പ്രെറ്റ്സെലോ ബാഗലോ തിരിയാൻ കഴിയാത്ത ഒരു തരം ബേക്കിംഗ് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

ഈ ആശയത്തിന് പേരിടാതെ, ഹോമിയോമോർഫിയെ നമ്മൾ ഇതിനകം പരിചയപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. തുടർച്ചയായി (അതായത്, ഒട്ടിക്കുകയോ ഒട്ടിക്കുകയോ ചെയ്യാതെ) രൂപഭേദം വരുത്തിക്കൊണ്ട് ഒന്നിനെ മറ്റൊന്നാക്കി മാറ്റാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ രണ്ട് രൂപങ്ങളെ ഹോമിയോമോർഫിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു; അത്തരം രൂപഭേദങ്ങളെ ഹോമിയോമോർഫിസങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.പന്ത് ക്യൂബിനും പിരമിഡിനും ഹോമിയോമോർഫിക് ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, എന്നാൽ ടോറസിനോ പ്രെറ്റ്സലിനോ ഹോമിയോമോർഫിക് അല്ല, അവസാനത്തെ രണ്ട് ബോഡികൾ പരസ്പരം ഹോമിയോമോർഫിക് അല്ല. മെക്കാനിക്കൽ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നൽകിയിട്ടുള്ള ഹോമിയോമോർഫി എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ ഏകദേശ വിവരണം മാത്രമാണ് ഞങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നതെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ വായനക്കാരോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നു.

ഹോമിയോമോർഫി എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ ദാർശനിക വശം നമുക്ക് സ്പർശിക്കാം. ചില ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾക്കുള്ളിൽ ജീവിക്കുന്ന ഒരു ചിന്താഗതിയെ നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം അല്ലഈ കണക്ക് പുറത്ത് നിന്ന് നോക്കാനുള്ള അവസരം, "പുറത്ത് നിന്ന്." അവനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അത് ജീവിക്കുന്ന രൂപം പ്രപഞ്ചത്തെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു. ചുറ്റപ്പെട്ട രൂപം തുടർച്ചയായ രൂപഭേദത്തിന് വിധേയമാകുമ്പോൾ, അസ്തിത്വവും അതിനോടൊപ്പം വികലമാകുമെന്ന് നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം. സംശയാസ്‌പദമായ ചിത്രം ഒരു പന്താണെങ്കിൽ, അത് ഒരു പന്തിലോ ക്യൂബിലോ പിരമിഡിലോ ആണെന്ന് ഒരു തരത്തിലും വേർതിരിച്ചറിയാൻ സൃഷ്ടിക്ക് കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, തൻ്റെ പ്രപഞ്ചം ഒരു ടോറസിൻ്റെയോ പ്രെറ്റ്‌സലിൻ്റെയോ ആകൃതിയിലുള്ളതല്ലെന്ന് അദ്ദേഹത്തിന് ബോധ്യപ്പെടാൻ സാധ്യതയുണ്ട്. പൊതുവേ, ഒരു ജീവിയ്ക്ക് ചുറ്റുമുള്ള സ്ഥലത്തിൻ്റെ ആകൃതി ഹോമിമോർഫി വരെ മാത്രമേ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയൂ, അതായത്, ഈ രൂപങ്ങൾ ഹോമിയോമോർഫിക് ആയിരിക്കുന്നിടത്തോളം ഒരു രൂപത്തെ മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് വേർതിരിച്ചറിയാൻ അതിന് കഴിയില്ല.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്, ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അർത്ഥം പോയിൻകെയർ, ഇപ്പോൾ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് Poincaré-Perelman സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് മാറിയത് വളരെ വലുതാണ് (പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഒരു ദശലക്ഷം ഡോളർ വാഗ്ദാനം ചെയ്തത് വെറുതെയല്ല), അത് തെളിയിക്കാൻ പെരെൽമാൻ കണ്ടെത്തിയ രീതിയുടെ പ്രാധാന്യം വളരെ വലുതാണ്, എന്നാൽ ഇവിടെ ഈ പ്രാധാന്യം വിശദീകരിക്കുന്നത് നമ്മുടെ കഴിവിന് അപ്പുറമാണ്. കാര്യത്തിൻ്റെ പ്രാപഞ്ചിക വശത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഒരുപക്ഷേ ഈ വശത്തിൻ്റെ പ്രാധാന്യം പത്രപ്രവർത്തകർ അൽപ്പം അതിശയോക്തിപരമാക്കിയിരിക്കാം.

എന്നിരുന്നാലും, ചില ആധികാരിക വിദഗ്ധർ പറയുന്നത്, തമോദ്വാരങ്ങളുടെ രൂപീകരണ പ്രക്രിയകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിൽ പെരെൽമാൻ്റെ ശാസ്ത്രീയ മുന്നേറ്റം സഹായിക്കുമെന്നാണ്. തമോദ്വാരങ്ങൾ, ലോകത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിനെക്കുറിച്ചുള്ള തീസിസിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള നിരാകരണമായി വർത്തിക്കുന്നു - 70 വർഷമായി നമ്മുടെ പാവപ്പെട്ടവരുടെ തലയിലേക്ക് ബലപ്രയോഗത്തിലൂടെ അടിച്ചേൽപ്പിക്കപ്പെട്ട, ഏറ്റവും പുരോഗമിച്ച, സത്യവും സർവശക്തവുമായ ആ പഠിപ്പിക്കലിൻ്റെ കേന്ദ്ര വ്യവസ്ഥകളിലൊന്ന്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഭൗതികശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നതുപോലെ, ഈ ദ്വാരങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള സിഗ്നലുകളൊന്നും തത്ത്വത്തിൽ നമ്മിൽ എത്താൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ അവിടെ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് അസാധ്യമാണ്. നമ്മുടെ പ്രപഞ്ചം മൊത്തത്തിൽ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് പൊതുവെ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ അറിയൂ, എന്നെങ്കിലും നമ്മൾ കണ്ടെത്തുമോ എന്നത് സംശയമാണ്. അതിൻ്റെ ഘടനയെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യത്തിൻ്റെ അർത്ഥം പൂർണ്ണമായും വ്യക്തമല്ല. ഈ ചോദ്യം അധ്യാപനം അനുസരിച്ച് അതിലൊന്നായിരിക്കാം ബുദ്ധൻ, അല്ലഒരു ഉത്തരമുണ്ട്. അറിയപ്പെടുന്ന വസ്‌തുതകളുമായി കൂടുതലോ കുറവോ യോജിക്കുന്ന ഉപകരണങ്ങളുടെ മോഡലുകൾ മാത്രമേ ഭൗതികശാസ്ത്രം വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നുള്ളൂ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഭൗതികശാസ്ത്രം, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ഗണിതശാസ്ത്രം നൽകിയിട്ടുള്ള ഇതിനകം വികസിപ്പിച്ച തയ്യാറെടുപ്പുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രം തീർച്ചയായും പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നതായി നടിക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ ഗുണങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ഇത് നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. മാത്രമല്ല. സങ്കൽപ്പിക്കാൻ പ്രയാസമുള്ള ചില സവിശേഷതകൾ കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു; ഇത് എങ്ങനെയായിരിക്കുമെന്ന് ഇത് വിശദീകരിക്കുന്നു. അത്തരം സാധ്യമായ (ഞങ്ങൾ ഊന്നിപ്പറയുന്നു: വെറും സാധ്യമാണ്!) പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ പരിമിതിയും അതിൻ്റെ ഓറിയൻ്റബിളിറ്റിയും ഉൾപ്പെടുന്നു.

വളരെക്കാലമായി, പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ ഘടനയുടെ സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്ന ഒരേയൊരു മാതൃക ത്രിമാന യൂക്ലിഡിയൻ സ്പേസ് ആയിരുന്നു, അതായത് ഹൈസ്കൂൾ മുതൽ എല്ലാവർക്കും അറിയാവുന്ന ഇടം. ഈ ഇടം അനന്തമാണ്; മറ്റ് ആശയങ്ങളൊന്നും സാധ്യമല്ലെന്ന് തോന്നി; പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ പരിമിതിയെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുന്നത് ഭ്രാന്തമായി തോന്നി. എന്നിരുന്നാലും, ഇപ്പോൾ പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ പരിമിതി എന്ന ആശയം അതിൻ്റെ അനന്തതയെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയത്തേക്കാൾ നിയമാനുസൃതമല്ല. പ്രത്യേകിച്ച്, ത്രിമാന ഗോളം പരിമിതമാണ്. ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞരുമായി ആശയവിനിമയം നടത്തുന്നതിൽ നിന്ന്, ചിലർ “മിക്കവാറും” എന്ന് ഉത്തരം നൽകിയ ധാരണയാണ് എനിക്ക് ലഭിച്ചത്. പ്രപഞ്ചം അനന്തമാണ്, മറ്റുള്ളവർ പറഞ്ഞു, "മിക്കവാറും പ്രപഞ്ചം പരിമിതമാണ്."

ഉസ്പെൻസ്കി വി.എ. , ഗണിതത്തിൻ്റെ ക്ഷമാപണം, അല്ലെങ്കിൽ ആത്മീയ സംസ്കാരത്തിൻ്റെ ഭാഗമായ ഗണിതത്തെ കുറിച്ച്, മാസിക "ന്യൂ വേൾഡ്", 2007, N 12, പേ. 141-145.

മിക്കവാറും എല്ലാ വ്യക്തികളും, ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ലാത്തവർ പോലും, "Poincaré conjecture" എന്ന വാക്കുകൾ കേട്ടിട്ടുണ്ട്, എന്നാൽ അതിൻ്റെ സാരാംശം എന്താണെന്ന് എല്ലാവർക്കും വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല. പലർക്കും, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം വളരെ സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതുമായ ഒന്നായി തോന്നുന്നു. അതിനാൽ, ലളിതമായ വാക്കുകളിൽ പോയിൻകാർ സിദ്ധാന്തം എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉള്ളടക്കം:

എന്താണ് പോയിൻകാറെയുടെ അനുമാനം?

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ രൂപീകരണം ഇതുപോലെയാണ്: " അതിരുകളില്ലാതെ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന എല്ലാ കോംപാക്റ്റും ത്രിമാന ഗോളത്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണ്.».

ഒരു പന്ത് ഒരു ജ്യാമിതീയ ത്രിമാന ശരീരമാണ്, അതിൻ്റെ ഉപരിതലത്തെ ഒരു ഗോളം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് ദ്വിമാനമാണ് കൂടാതെ ഈ ഗോളത്തിൽ പെടാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ത്രിമാന സ്ഥലത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു - പന്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം . ദ്വിമാന ഗോളങ്ങൾക്ക് പുറമേ, ത്രിമാന ഗോളങ്ങളും ഉണ്ട്, അതിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സ്ഥലത്തിൻ്റെ നിരവധി പോയിൻ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവ ഗോളത്തിൽ പെടാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് തുല്യ ദൂരെയാണ് - അതിൻ്റെ കേന്ദ്രം. നമ്മുടെ സ്വന്തം കണ്ണുകൊണ്ട് ദ്വിമാന ഗോളങ്ങൾ കാണാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ത്രിമാനമായവ നമ്മുടെ ദൃശ്യ ധാരണയ്ക്ക് വിധേയമല്ല.

പ്രപഞ്ചം കാണാനുള്ള അവസരം നമുക്കില്ലാത്തതിനാൽ, എല്ലാ മനുഷ്യരും ജീവിക്കുന്ന ത്രിമാന ഗോളമാണിതെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ഇതാണ് പോയിൻകെയർ അനുമാനത്തിൻ്റെ സാരം. അതായത്, പ്രപഞ്ചത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്: ത്രിമാനത, അതിരുകളില്ലാത്തത്, ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിക്കൽ, ഒതുക്കം. സിദ്ധാന്തത്തിലെ "ഹോമിയോമോർഫി" എന്ന ആശയം അർത്ഥമാക്കുന്നത് പ്രപഞ്ചത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ ഏറ്റവും ഉയർന്ന സാമ്യത, സമാനത എന്നിവയാണ് - വേർതിരിവില്ലായ്മ.

ആരാണ് പോയിൻകെയർ?

ജൂൾസ് ഹെൻറി പോയിൻകാറെ- 1854-ൽ ഫ്രാൻസിൽ ജനിച്ച ഏറ്റവും വലിയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ. അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ താൽപ്പര്യങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ മാത്രം പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരുന്നില്ല, അദ്ദേഹം ഭൗതികശാസ്ത്രം, മെക്കാനിക്സ്, ജ്യോതിശാസ്ത്രം, തത്ത്വചിന്ത എന്നിവ പഠിച്ചു. സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്സ്ബർഗ് അക്കാദമി ഓഫ് സയൻസസ് ഉൾപ്പെടെ ലോകത്തെ 30-ലധികം ശാസ്ത്ര അക്കാദമികളിൽ അദ്ദേഹം അംഗമായിരുന്നു. ഡേവിഡ് ഹിൽബെർട്ടിനെയും ഹെൻറി പോയിൻകാരെയും ലോകത്തിലെ ഏറ്റവും മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ എക്കാലത്തും ജനങ്ങളിലുമുള്ള ചരിത്രകാരന്മാർ റാങ്ക് ചെയ്യുന്നു. 1904-ൽ, ശാസ്ത്രജ്ഞൻ "Poincaré conjecture" എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു അനുമാനം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു പ്രശസ്തമായ പ്രബന്ധം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് പഠിക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായി മാറിയ ത്രിമാന സ്ഥലമായിരുന്നു അത്; മറ്റ് കേസുകൾക്ക് തെളിവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ഏകദേശം ഒരു നൂറ്റാണ്ടിനിടെ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സത്യം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

21-ാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ, ഈ ശാസ്ത്രീയ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് കേംബ്രിഡ്ജിൽ ഒരു ദശലക്ഷം യുഎസ് ഡോളർ സമ്മാനം സ്ഥാപിച്ചു, അത് സഹസ്രാബ്ദത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. സെൻ്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗിൽ നിന്നുള്ള ഒരു റഷ്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഗ്രിഗറി പെരൽമാൻ മാത്രമേ ത്രിമാന ഗോളത്തിനായി ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയൂ. 2006-ൽ, ഈ നേട്ടത്തിന് ഫീൽഡ്സ് മെഡൽ അദ്ദേഹത്തിന് ലഭിച്ചു, പക്ഷേ അത് സ്വീകരിക്കാൻ അദ്ദേഹം വിസമ്മതിച്ചു.

Poincaré ൻ്റെ ശാസ്ത്രീയ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളിലേക്ക്ഇനിപ്പറയുന്ന നേട്ടങ്ങൾ ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യാം:

• ടോപ്പോളജിയുടെ അടിസ്ഥാനം (വിവിധ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെയും പ്രക്രിയകളുടെയും സൈദ്ധാന്തിക അടിത്തറയുടെ വികസനം);
• ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണപരമായ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സൃഷ്ടി;
• രൂപരഹിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനം, പ്രത്യേക ആപേക്ഷികതാ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമായി;
• റിട്ടേൺ സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കുന്നു;
• ഖഗോള മെക്കാനിക്സിൻ്റെ ഏറ്റവും പുതിയ, ഏറ്റവും ഫലപ്രദമായ രീതികളുടെ വികസനം.

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്

ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രിമാന ഇടം ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങൾ നൽകുകയും കോണുകൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് അവയ്ക്കിടയിൽ ദൂരമുള്ള മെട്രിക് ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ലളിതമാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഏകമാന മാനിഫോൾഡ് സാമ്പിളായി എടുക്കുന്നു, അതിൽ യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിൽ, 1 ന് തുല്യമായ ടാൻജെൻ്റ് വെക്റ്ററുകൾ ഓരോ പോയിൻ്റിലും മിനുസമാർന്ന അടച്ച വക്രത്തിലേക്ക് വരയ്ക്കുന്നു. വക്രതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. രേഖ വളയുന്നതിനനുസരിച്ച് വക്രത വർദ്ധിക്കും. രേഖ വിഭജിക്കുന്ന വിമാനത്തിൻ്റെ ഉള്ളിലേക്ക് വേഗത വെക്റ്റർ തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ വക്രതയ്ക്ക് പോസിറ്റീവ് ചരിവും പുറത്തേക്ക് തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ചരിവും ഉണ്ടാകും. ഇൻഫ്ലക്ഷൻ സ്ഥലങ്ങളിൽ, വക്രത 0 ന് തുല്യമാണ്. ഇപ്പോൾ, വക്രതയുടെ ഓരോ പോയിൻ്റിനും കോണീയ പ്രവേഗ വെക്റ്ററിന് ലംബമായി ഒരു വെക്റ്റർ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഒപ്പം വക്രതയുടെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമായ നീളവും. വക്രത പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ അത് അകത്തേക്കും നെഗറ്റീവ് ആകുമ്പോൾ പുറത്തേക്കും തിരിയുന്നു. വിമാനത്തിലെ ഓരോ പോയിൻ്റും നീങ്ങുന്ന ദിശയും വേഗതയും ബന്ധപ്പെട്ട വെക്റ്റർ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. നിങ്ങൾ എവിടെയെങ്കിലും ഒരു അടഞ്ഞ വക്രം വരച്ചാൽ, അത്തരം പരിണാമത്തിലൂടെ അത് ഒരു വൃത്തമായി മാറും. ത്രിമാന സ്ഥലത്തിന് ഇത് ശരിയാണ്, അത് തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ടതായിരുന്നു.

ഉദാഹരണം:പൊട്ടാതെ രൂപഭേദം വരുത്തുമ്പോൾ, ഒരു ബലൂൺ വ്യത്യസ്ത ആകൃതിയിൽ ഉണ്ടാക്കാം. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ബാഗൽ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയില്ല; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് നിങ്ങൾ അത് മുറിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തിരിച്ചും, ഒരു ബാഗൽ ഉള്ളതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സോളിഡ് ബോൾ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയില്ല. മറ്റേതെങ്കിലും ഉപരിതലത്തിൽ നിന്ന് രൂപഭേദം വരുത്തുമ്പോൾ തടസ്സങ്ങളില്ലാതെ ഒരു ഗോളം ലഭിക്കാൻ സാധ്യതയുണ്ട്. ഈ ഉപരിതലം ഒരു പന്തിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഏത് പന്തും ഒരു കെട്ടുമായി ഒരു ത്രെഡ് ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കാം, പക്ഷേ ഇത് ഒരു ഡോനട്ട് ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

ഒരു ബോൾ എന്നത് ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രിമാന തലം ആണ്, അത് രൂപഭേദം വരുത്താനും ഒരു പോയിൻ്റിലേക്കും തിരിച്ചും മടക്കാനും കഴിയും.

പ്രധാനം!ഒരു ക്ലോസ്ഡ് n-ഡൈമൻഷണൽ മാനിഫോൾഡ് അതിന് ഹോമിയോമോർഫിക് ആണെങ്കിൽ ഒരു n-ഡൈമൻഷണൽ ഗോളത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് Poincaré അനുമാനം പറയുന്നു. മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ പ്ലെയിനുകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വികസനത്തിൻ്റെ തുടക്കമായി ഇത് മാറി.