Гэр Пульпит Координат ашиглан сегментийн уртыг олох. Сегментийн дунд цэгийн координатыг олох, жишээ, шийдэл

Пульпит

Координат ашиглан сегментийн уртыг олох. Сегментийн дунд цэгийн координатыг олох, жишээ, шийдэл

СегментээрЭдгээр хоёр цэгийн хооронд байрлах энэ шугамын бүх цэгүүдээс бүрдсэн шулуун шугамын хэсгийг дуудна - тэдгээрийг сегментийн төгсгөл гэж нэрлэдэг.

Эхний жишээг харцгаая. Тодорхой сегментийг координатын хавтгайд хоёр цэгээр тодорхойл. IN энэ тохиолдолдПифагорын теоремыг ашигласнаар бид түүний уртыг олж чадна.

Тиймээс, координатын системд бид түүний төгсгөлүүдийн өгөгдсөн координат бүхий сегментийг зурдаг(x1; y1) Тэгээд (x2; y2) . Тэнхлэг дээр X Тэгээд Ю Сегментийн төгсгөлөөс перпендикуляр зур. Координатын тэнхлэг дээрх анхны сегментээс проекц болох сегментүүдийг улаанаар тэмдэглэе. Үүний дараа бид проекцын сегментүүдийг сегментүүдийн төгсгөлд параллель шилжүүлдэг. Бид гурвалжин (тэгш өнцөгт) авдаг. Энэ гурвалжны гипотенуз нь өөрөө AB сегмент байх ба түүний хөлүүд нь шилжүүлсэн проекцууд юм.

Эдгээр төсөөллийн уртыг тооцоолъё. Тиймээс, тэнхлэг рүү Ю проекцын урт байна y2-y1 , мөн тэнхлэг дээр X проекцын урт байна x2-x1 . Пифагорын теоремыг хэрэгжүүлье: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Энэ тохиолдолд |AB| сегментийн урт юм.

Хэрэв та сегментийн уртыг тооцоолохдоо энэ диаграммыг ашиглавал сегментийг бүтээх шаардлагагүй болно. Одоо сегментийн уртыг координатаар тооцоолъё (1;3) Тэгээд (2;5) . Пифагорын теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна. |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Энэ нь бидний сегментийн урт нь тэнцүү байна гэсэн үг юм 5:1/2 .

Хэсгийн уртыг олох дараах аргыг авч үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид зарим системийн хоёр цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй. Хоёр хэмжээст декартын координатын системийг ашиглан энэ сонголтыг авч үзье.

Тиймээс хоёр хэмжээст координатын системд сегментийн туйлын цэгүүдийн координатуудыг өгсөн болно. Хэрэв бид эдгээр цэгүүдээр шулуун шугам татах юм бол тэдгээр нь координатын тэнхлэгт перпендикуляр байх ёстой. зөв гурвалжин. Анхны сегмент нь үүссэн гурвалжны гипотенуз болно. Гурвалжны хөл нь сегментүүдийг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээрийн урт нь координатын тэнхлэг дээрх гипотенузын проекцтой тэнцүү байна. Пифагорын теорем дээр үндэслэн бид дүгнэж байна: өгөгдсөн сегментийн уртыг олохын тулд хоёр координатын тэнхлэг дээрх проекцуудын уртыг олох хэрэгтэй.

Проекцын уртыг олцгооё (X ба Y) анхны сегментийг координатын тэнхлэгүүд рүү шилжүүлнэ. Бид тэдгээрийг тусдаа тэнхлэгийн дагуух цэгүүдийн координатын зөрүүг олох замаар тооцоолно. X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .

Сегментийн уртыг тооцоол А , үүний тулд бид квадрат язгуурыг олно:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .

Хэрэв бидний сегмент координат нь цэгүүдийн хооронд байрладаг бол 2;4 Тэгээд 4;1 , дараа нь түүний урт нь харгалзах тэнцүү байна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .

Доорх нийтлэлд хэрвээ сегментийн туйлын цэгүүдийн координатууд нь анхны өгөгдөлд байгаа бол түүний дунд хэсгийн координатыг олох асуудлыг авч үзэх болно. Гэхдээ асуудлыг судалж эхлэхээсээ өмнө хэд хэдэн тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Тодорхойлолт 1

Шугамын сегмент– сегментийн төгсгөл гэж нэрлэгддэг дурын хоёр цэгийг холбосон шулуун шугам. Жишээлбэл, эдгээр нь А ба В цэгүүд ба үүний дагуу А В сегмент байх болно.

Хэрэв А В сегментийг А ба В цэгээс хоёр чиглэлд үргэлжлүүлбэл бид А В шулуун шугамыг авна. Дараа нь А В сегмент нь А ба В цэгүүдээр хязгаарлагдсан шулуун шугамын нэг хэсэг юм. А В сегмент нь түүний төгсгөл болох А ба В цэгүүдийг, мөн тэдгээрийн хооронд байрлах цэгүүдийн багцыг нэгтгэдэг. Жишээлбэл, бид А ба В цэгүүдийн хооронд байрлах дурын K цэгийг авбал К цэг нь А В сегмент дээр байрладаг гэж хэлж болно.

Тодорхойлолт 2

Хэсгийн урт– өгөгдсөн масштаб дахь сегментийн төгсгөлүүдийн хоорондох зай (нэгж урттай сегмент). А В сегментийн уртыг дараах байдлаар тэмдэглэе: A B .

Тодорхойлолт 3

Сегментийн дунд цэг– сегмент дээр байрлах ба түүний төгсгөлөөс ижил зайд орших цэг. Хэрэв A B сегментийн дунд хэсгийг C цэгээр тэмдэглэсэн бол тэгш байдал үнэн болно: A C = C B

Анхны өгөгдөл: координатын шугам O x ба түүн дээрх давхцахгүй цэгүүд: A ба B. Эдгээр цэгүүд нь бодит тоотой тохирч байна x A ба х Б. C цэг нь A B сегментийн дунд хэсэг юм: координатыг тодорхойлох шаардлагатай x C.

С цэг нь А В сегментийн дунд цэг тул тэгш байдал үнэн болно: | A C | = | C B | . Цэгүүдийн хоорондох зайг тэдгээрийн координатын зөрүүний модулиар тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Дараа нь хоёр тэнцүү байх боломжтой: x C - x A = x B - x C ба x C - x A = - (x B - x C)

Эхний тэгшитгэлээс бид C цэгийн координатын томъёог гаргаж авдаг: x C = x A + x B 2 (сегментийн төгсгөлийн координатын нийлбэрийн хагас).

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна: x A = x B, энэ нь боломжгүй, учир нь эх өгөгдөлд - давхцаагүй цэгүүд. Тиймээс, A (x A) ба төгсгөлтэй A B сегментийн дунд хэсгийн координатыг тодорхойлох томъёо B(xB):

Үүссэн томъёо нь хавтгай эсвэл огторгуй дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг тодорхойлох үндэс суурь болно.

Анхны өгөгдөл: O x y хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем, өгөгдсөн A x A, y A ба B x B, y B координатуудтай дурын давхцдаггүй хоёр цэг. C цэг нь A B сегментийн дунд хэсэг юм. С цэгийн x C ба y C координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

А ба В цэгүүд давхцахгүй, нэг координатын шулуун эсвэл аль нэг тэнхлэгт перпендикуляр шугам дээр хэвтэхгүй байх тохиолдлыг шинжлэхдээ авч үзье. A x, A y; B x, B y ба C x, C y - координатын тэнхлэг дээрх A, B, C цэгүүдийн проекцууд (O x ба O y шулуунууд).

Барилгын дагуу A A x, B B x, C C x шугамууд зэрэгцээ байна; шугамууд нь мөн бие биетэйгээ зэрэгцээ байна. Үүнтэй хамт Фалесийн теоремын дагуу A C = C B тэгшитгэлээс дараахь тэгшитгэлүүд гарч ирдэг: A x C x = C x B x ба A y C y = C y B y бөгөөд тэдгээр нь эргээд C x цэг болохыг харуулж байна. A x B x сегментийн дунд, C y нь A y B y сегментийн дунд хэсэг юм. Тэгээд өмнө нь олж авсан томъёонд үндэслэн бид дараахь зүйлийг авна.

x C = x A + x B 2 ба y C = y A + y B 2

А ба В цэгүүд нь ижил координатын шугам эсвэл тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шугам дээр байрлах тохиолдолд ижил томъёог ашиглаж болно. Явц нарийвчилсан шинжилгээБид энэ хэргийг авч үзэхгүй, зөвхөн графикаар авч үзэх болно.

Дээр дурдсан бүхнийг нэгтгэн дүгнэвэл, Төгсгөлийн координат бүхий хавтгай дээрх А В сегментийн дунд хэсгийн координатууд A (x A, y A) Тэгээд B(xB, yB) гэж тодорхойлсон:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Анхны өгөгдөл: координатын систем O x y z ба өгөгдсөн A (x A, y A, z A) ба B (x B, y B, z B) координатуудтай дурын хоёр цэг. А В сегментийн дунд хэсэг болох С цэгийн координатыг тодорхойлох шаардлагатай.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z and C x , C y , C z - бүх проекцууд оноо өгсөнкоординатын системийн тэнхлэг дээр.

Фалесийн теоремоор дараах тэгшитгэлүүд үнэн болно: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z.

Тиймээс C x , C y , C z цэгүүд нь A x B x , A y B y , A z B z хэрчмүүдийн дунд цэгүүд юм. Дараа нь, Орон зай дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг тодорхойлохын тулд дараах томьёо зөв байна.

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Үүссэн томъёолол нь координатын шугамын аль нэгэнд A ба B цэгүүд байрлах тохиолдолд мөн хамаарна; тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шулуун шугам дээр; координатын нэг хавтгайд эсвэл координатын аль нэг хавтгайд перпендикуляр.

Сегментийн дунд хэсгийн координатыг төгсгөлийн радиус векторуудын координатаар тодорхойлох

Сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёог векторуудын алгебрийн тайлбарын дагуу гаргаж болно.

Анхны өгөгдөл: тэгш өнцөгт декартын координатын систем O x y, өгөгдсөн координат A (x A, y A) ба B (x B, x B) цэгүүд. C цэг нь A B сегментийн дунд хэсэг юм.

Вектор дээрх үйлдлүүдийн геометрийн тодорхойлолтын дагуу дараахь тэгш байдал үнэн болно: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Энэ тохиолдолд C цэг нь O A → ба O B → векторуудын үндсэн дээр баригдсан параллелограммын диагональуудын огтлолцох цэг юм, өөрөөр хэлбэл. диагональуудын дундын цэг.Цэгийн радиус векторын координат нь тухайн цэгийн координаттай тэнцүү бол тэгшитгэл нь үнэн болно: O A → = (x A, y A), O B → = (x B) , y B). Координат дээрх векторууд дээр зарим үйлдлүүдийг хийцгээе:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Тиймээс C цэг нь координаттай байна:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Аналогийн дагуу огторгуй дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёог тодорхойлно.

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Сегментийн дунд цэгийн координатыг олох асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Дээр олж авсан томьёог ашиглахтай холбоотой асуудлуудын дунд сегментийн дунд хэсгийн координатыг тооцоолох шууд асуулт, өгөгдсөн нөхцөлийг энэ асуултад авчрахтай холбоотой асуудлууд байдаг: "медиан" гэсэн нэр томъёо. Энэ нь ихэвчлэн ашиглагддаг, зорилго нь сегментийн төгсгөлөөс нэг координатыг олох явдал бөгөөд тэгш хэмийн асуудлууд бас нийтлэг байдаг бөгөөд энэ сэдвийг судалсны дараа ерөнхийдөө шийдэл нь хүндрэл учруулах ёсгүй. Ердийн жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 1

Анхны өгөгдөл:хавтгай дээр - өгөгдсөн координаттай цэгүүд A (- 7, 3) ба B (2, 4). А В сегментийн дунд цэгийн координатыг олох шаардлагатай.

Шийдэл

А В сегментийн дунд хэсгийг С цэгээр тэмдэглэе. Түүний координатыг сегментийн төгсгөлийн координатын нийлбэрийн хагасаар тодорхойлно, өөрөөр хэлбэл. А ба В цэгүүд.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Хариулт: сегментийн дунд хэсгийн координат A B - 5 2, 7 2.

Жишээ 2

Анхны өгөгдөл: A B C гурвалжны координатууд мэдэгдэж байна: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Дундаж A M уртыг олох шаардлагатай.

Шийдэл

Асуудлын нөхцлийн дагуу A M нь медиан бөгөөд энэ нь M нь B C сегментийн дунд цэг гэсэн үг юм. Юуны өмнө B C сегментийн дунд хэсгийн координатыг олъё, өөрөөр хэлбэл. М оноо:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

Бид одоо медианы хоёр төгсгөлийн координатыг (A ба M цэгүүд) мэдэж байгаа тул цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлж, A M медианы уртыг тооцоолохдоо томъёог ашиглаж болно.

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Хариулт: 58

Жишээ 3

Анхны өгөгдөл:тэгш өнцөгт координатын системд гурван хэмжээст орон зайөгөгдсөн параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . C 1 цэгийн координатуудыг өгсөн (1, 1, 0), мөн M цэгийг тодорхойлсон бөгөөд энэ нь B D 1 диагональын дунд цэг бөгөөд M (4, 2, - 4) координаттай байна. А цэгийн координатыг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Параллелепипедийн диагональууд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь бүх диагональуудын дунд байдаг. Энэхүү мэдэгдэлд үндэслэн асуудлын нөхцлөөс мэдэгдэж буй M цэг нь A C 1 сегментийн дунд цэг гэдгийг бид санаж болно. Сансар огторгуй дахь сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёонд үндэслэн бид А цэгийн координатыг олно: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Хариулт:А цэгийн координат (7, 3, - 8).

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Геометрт гурван үндсэн координатын систем ашигладаг. онолын механик, физикийн бусад салбарууд: Декарт, туйл ба бөмбөрцөг. Эдгээр координатын системд бүх цэг нь гурван координаттай байдаг. 2 цэгийн координатыг мэдсэнээр та эдгээр хоёр цэгийн хоорондох зайг тодорхойлж болно.

Танд хэрэгтэй болно

Сегментийн төгсгөлүүдийн декарт, туйл ба бөмбөрцөг координатууд

Зааварчилгаа

1. Эхлээд тэгш өнцөгт декартын координатын системийг авч үзье. Энэ координатын систем дэх орон зайн цэгийн байршлыг тодорхойлно координатууд x,y ба z. Эхлэлээс цэг хүртэл радиус векторыг зурсан. Энэ радиус векторын координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд нь байна координатуудОдоо танд хоёр оноо өгье координатууд x1,y1,z1 ба x2,y2 ба z2 тус тус. Эхний болон 2-р цэгийн радиус векторуудыг r1 ба r2-р тэмдэглэнэ. Энэ хоёр цэгийн хоорондох зай нь r = r1-r2 векторын модультай тэнцүү байх ба энд (r1-r2) нь векторын зөрүү юм. r векторын координат нь дараах байдалтай байх болно: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Дараа нь векторын хэмжээ r буюу хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэнцүү байх болно: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).

2. Одоо цэгийн координатыг радиаль координат r (XY хавтгай дахь радиус вектор), өнцгийн координатаар өгөх туйлын координатын системийг авч үзье? (вектор r ба X тэнхлэгийн хоорондох өнцөг) ба z координат нь декарт систем дэх z координаттай төстэй.Цэгийн туйлын координатыг дараах байдлаар декарт координат болгон хувиргаж болно: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. Дараа нь хоёр цэгийн хоорондох зай координатууд r1, ?1 ,z1 ба r2, ?2, z2 тэнцүү байх болно R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))

3. Одоо бөмбөрцөг координатын системийг хар. Үүнд цэгийн байршлыг гурваар зааж өгсөн болно координатууд r, ? Тэгээд?. r – эх цэгээс цэг хүртэлх зай, ? Тэгээд? – азимутал ба зенитийн өнцөг тус тус. Булан уу? туйлын координатын систем дэх ижил тэмдэглэгээтэй өнцөгтэй төстэй, тийм үү? – радиус вектор r ба Z тэнхлэгийн хоорондох өнцөг, 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с координатууд r1, ?1, ?1 ба r2, ?2 ба ?2 нь R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin?) ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))

Сэдвийн талаархи видео

Сегментийн уртыг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно. Сегментийн уртыг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд захирагчтай байх эсвэл тооцоолох тусгай томъёог мэдэхэд хангалттай.

Захирагч ашиглан сегментийн урт

Үүнийг хийхийн тулд бид хавтгай дээр баригдсан сегмент дээр миллиметрийн хуваагдал бүхий захирагчийг хэрэглэж, эхлэх цэг нь захирагчийн хуваарийн тэгтэй тохирч байх ёстой. Дараа нь та энэ сегментийн төгсгөлийн цэгийн байршлыг энэ масштаб дээр тэмдэглэх хэрэгтэй. Үр дүнгийн бүхэл хуваах тоо нь сегментийн уртыг см ба мм-ээр илэрхийлнэ.

Хавтгай координатын арга

(x1;y1) ба (x2;y2) сегментийн координатууд мэдэгдэж байгаа бол түүний уртыг дараах байдлаар тооцоолно. Эхний цэгийн координатыг хоёр дахь цэгийн хавтгай дээрх координатаас хасах хэрэгтэй. Үр дүн нь хоёр тоо байх ёстой. Эдгээр тоо бүрийг квадрат болгож, дараа нь эдгээр квадратуудын нийлбэрийг олох ёстой. Үүссэн тооноос та цэгүүдийн хоорондох зай болох квадрат язгуурыг гаргаж авах хэрэгтэй. Эдгээр цэгүүд нь сегментийн төгсгөлүүд тул энэ утга нь түүний урт байх болно.

Координат ашиглан сегментийн уртыг хэрхэн олох жишээг авч үзье. (-1;2) ба (4;7) хоёр цэгийн координат байдаг. Цэгүүдийн координатын зөрүүг олохдоо бид дараах утгыг авна: x = 5, y = 5. Үүссэн тоонууд нь сегментийн координат болно. Дараа нь бид тоо бүрийг квадрат болгож, үр дүнгийн нийлбэрийг олоорой, энэ нь 50-тай тэнцүү байна. Бид энэ тооны язгуурыг авна. Үр дүн нь: 2-ын 5 үндэс. Энэ нь сегментийн урт юм.

Орон зай дахь координатын арга

Үүнийг хийхийн тулд векторын уртыг хэрхэн олох талаар бодох хэрэгтэй. Энэ нь Евклидийн орон зайд сегмент байх болно. Энэ нь хавтгай дээрх сегментийн урттай бараг ижил аргаар олддог. Векторыг янз бүрийн хавтгайд бүтээдэг. Векторын уртыг хэрхэн олох вэ?

Векторын координатыг ол, үүнийг хийхийн тулд төгсгөлийн цэгийн координатаас эхлэлийн цэгийн координатыг хасах хэрэгтэй.
Үүний дараа та вектор координат бүрийг квадрат болгох хэрэгтэй.
Дараа нь бид квадрат координатуудыг нэмнэ.
Векторын уртыг олохын тулд координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуурыг авах шаардлагатай.

Тооцооллын алгоритмыг жишээгээр авч үзье. AB векторын координатыг олох шаардлагатай. А ба В цэгүүд нь дараах координатуудтай: A (1;6;3) ба B (3;-1;7). Векторын эхлэл нь А цэгт, төгсгөл нь В цэгт байрладаг. Тиймээс түүний координатыг олохын тулд В цэгийн координатаас А цэгийн координатыг хасах шаардлагатай: (3 - 1; -1 - 6;7 - 3) = (2;- 7:4).

Одоо бид координат бүрийг квадрат болгож, тэдгээрийг нэмнэ: 4+49+16=69. Эцэст нь өгөгдсөн тооны квадрат язгуурыг авна. Үүнийг задлахад хэцүү тул бид үр дүнг ингэж бичнэ: векторын урт нь 69-ийн үндэстэй тэнцүү байна.

Хэрэв танд сегмент ба векторын уртыг өөрөө тооцоолох нь чухал биш, харин үр дүн нь л хэрэгтэй бол та онлайн тооцоолуур, жишээлбэл, үүнийг ашиглаж болно.

Одоо эдгээр аргуудыг судалж, үзүүлсэн жишээнүүдийг авч үзсэний дараа та ямар ч асуудлын сегментийн уртыг хялбархан олох боломжтой.

Энэ нийтлэлд бид сегментийн дунд хэсгийн координатыг төгсгөлийн координатаас олох талаар ярих болно. Эхлээд бид шаардлагатай ойлголтуудыг өгч, дараа нь сегментийн дунд цэгийн координатыг олох томъёог олж авч, эцэст нь ердийн жишээ, асуудлын шийдлүүдийг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Сегментийн дундах тухай ойлголт.

Сегментийн дунд гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлэхийн тулд сегмент болон түүний уртын тодорхойлолт хэрэгтэй.

Сегментийн тухай ойлголтыг ахлах сургуулийн тавдугаар ангийн математикийн хичээлд дараах байдлаар өгдөг: хэрвээ бид хоёр дурын давхцаагүй А ба В цэгийг авбал тэдгээрт захирагч хавсаргаж, А-аас Б хүртэл (эсвэл В цэгээс) шугам зур. А) дараа нь бид авна AB сегмент(эсвэл B A сегмент). А ба В цэгүүдийг дуудна сегментийн төгсгөлүүд. AB сегмент ба BA сегмент нь ижил сегмент гэдгийг санах хэрэгтэй.

Хэрэв AB сегментийг төгсгөлөөс хоёр чиглэлд тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлбэл бид авна шулуун AB(эсвэл шууд VA). AB сегмент нь А ба В цэгүүдийн хооронд хүрээлэгдсэн AB шугамын хэсэг юм. Тиймээс AB хэрчим нь A, B цэгүүдийн нэгдэл ба А ба В цэгүүдийн хооронд байрлах AB шулуун шугамын бүх цэгүүдийн олонлог юм. Хэрэв бид А ба В цэгүүдийн хооронд байрлах AB шулуун шугамын дурын М цэгийг авбал М цэг гэж хэлнэ. худлаа AB сегмент дээр.

Сегментийн урт AB нь өгөгдсөн масштабын (нэгж уртын сегмент) А ба В цэгүүдийн хоорондох зай юм. Бид AB сегментийн уртыг гэж тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт.

Цэг C гэж нэрлэдэг сегментийн дунд цэгХэрэв энэ нь AB сегмент дээр байрладаг бөгөөд түүний төгсгөлөөс ижил зайд байвал AB.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв С цэг нь AB сегментийн дунд цэг бол энэ нь үүн дээр байрладаг.

Дараа нь бидний даалгавар бол А ба В цэгүүдийн координатыг координатын шулуун дээр эсвэл тэгш өнцөгт координатын системд өгсөн бол AB сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох явдал юм.

Координатын шугам дээрх сегментийн дунд цэгийн координат.

Бидэнд Ox координатын шулуун ба түүн дээрх бодит тоо болон -д тохирох хоёр давхцахгүй А ба В цэг өгье. С цэгийг AB сегментийн дунд цэг гэж үзье. С цэгийн координатыг олъё.

С цэг нь AB сегментийн дунд байх тул тэгш байдал үнэн болно. Координатын шугам дээрх цэгээс цэг хүртэлх хэсгийн зайд цэгүүдийн хоорондох зай нь тэдгээрийн координатын зөрүүний модультай тэнцүү болохыг харуулсан тул . Дараа нь эсвэл . Тэгш эрхээс Бид координатын шугам дээрх AB сегментийн дунд хэсгийн координатыг олно. - энэ нь сегментийн төгсгөлийн координатын нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна. Хоёр дахь тэгшитгэлээс Бид А ба В цэгүүдийн зөрүүтэй цэгүүдийг авсан тул энэ нь боломжгүй юм.

Тэгэхээр, төгсгөлтэй AB сегментийн дунд цэгийн координатыг олох томъёо нь хэлбэртэй байна .

Хавтгай дээрх сегментийн дунд цэгийн координатууд.

Хавтгай дээр тэгш өнцөгт декартын координатын Oxyz системийг танилцуулъя. Бидэнд хоёр цэг өгье, тэгвэл С цэг нь AB сегментийн дунд хэсэг гэдгийг бид мэднэ. Координат ба C цэгүүдийг олъё.

Барилгын хувьд, шулуун зэрэгцээ, мөн зэрэгцээ шугамууд , тиймээс, by Фалесийн теорем AC ба CB сегментүүдийн тэгшитгэлээс ба сегментүүдийн тэгш байдал, түүнчлэн сегмент ба . Тиймээс цэг нь сегментийн дунд цэг, а нь сегментийн дунд цэг юм. Дараа нь энэ зүйлийн өмнөх догол мөрийн дагуу Тэгээд .

Эдгээр томьёог ашиглан А ба В цэгүүд координатын тэнхлэгүүдийн аль нэг дээр эсвэл координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шулуун шугам дээр байрлах тохиолдолд AB сегментийн дунд хэсгийн координатыг тооцоолж болно. Эдгээр тохиолдлуудыг тайлбаргүйгээр орхиж, график дүрслэл үзүүлье.

Тиймээс, АВ сегментийн дунд төгсгөлүүд нь цэгүүдтэй, координаттай хавтгай дээр .

Сансар огторгуй дахь сегментийн дунд цэгийн координатууд.

Гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын Oxyz системийг нэвтрүүлж, хоёр цэгийг зааж өгье. Тэгээд . АВ сегментийн дунд цэг болох С цэгийн координатыг олох томьёог олъё.

Ерөнхий тохиолдлыг авч үзье.

A, B, C цэгүүдийн Ox, Oy, Oz координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцуудыг тус тус ба байг.

Фалесийн теоремын дагуу цэгүүд нь хэрчмүүдийн дунд цэгүүд юм тус тус. Дараа нь (энэ зүйлийн эхний догол мөрийг үзнэ үү). Тиймээс бид авсан огторгуй дахь төгсгөлийн координатаас сегментийн дунд хэсгийн координатыг тооцоолох томъёо.

Эдгээр томьёог А ба В цэгүүд нь координатын тэнхлэгүүдийн аль нэг дээр эсвэл координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шулуун шугам дээр байрлах тохиолдолд, түүнчлэн А ба В цэгүүд координатын аль нэг хавтгайд эсвэл тэнхлэгт байрлах тохиолдолд хэрэглэж болно. координатын хавтгайнуудын аль нэгтэй параллель хавтгай.

Сегментийн дунд хэсгийн координатууд нь түүний төгсгөлүүдийн радиус векторуудын координатууд.

Сегментийн дунд хэсгийн координатыг олох томъёог вектор алгебр руу шилжүүлснээр хялбархан олж авч болно.

Тэгш өнцөгт декартын координатын системийг хавтгай дээр Oxy өгөгдсөн ба С цэг нь AB хэрчмийн дунд цэг байх ба .

Вектор дээрх үйлдлүүдийн геометрийн тодорхойлолтын дагуу тэгш байдал (Цэг С нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональуудын огтлолцох цэг бөгөөд өөрөөр хэлбэл С цэг нь параллелограммын диагоналын дунд хэсэг юм). Тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторын координат нийтлэлээс бид цэгийн радиус векторын координатууд нь энэ цэгийн координатуудтай тэнцүү болохыг олж мэдсэн. . Дараа нь координат дахь векторууд дээр харгалзах үйлдлүүдийг хийснээр бид . С цэг нь координаттай гэж яаж дүгнэх вэ? .

Үүнтэй ижил төстэй байдлаар AB сегментийн дунд хэсгийн координатыг түүний төгсгөлийн координатуудаар дамжуулан олж болно. Энэ тохиолдолд C нь AB ба сегментийн дунд хэсэг бол бид байна .