"Геометрийн алгоритмууд" цувралын хичээл

Сайн байна уу эрхэм уншигч!

Өнөөдөр бид геометртэй холбоотой алгоритмуудыг сурч эхэлнэ. Тооцооллын геометртэй холбоотой компьютерийн шинжлэх ухаанд олон тооны олимпиадын асуудал байдаг бөгөөд ийм асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн бэрхшээлтэй байдаг.

Хэд хэдэн хичээлийн туршид бид тооцооллын геометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд үндэслэсэн хэд хэдэн үндсэн дэд даалгавруудыг авч үзэх болно.

Энэ хичээлээр бид програм зохиох болно шугамын тэгшитгэлийг олох, дамжин өнгөрөх өгөгдсөн хоёр оноо. Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд тооцооллын геометрийн талаар тодорхой мэдлэгтэй байх шаардлагатай. Бид хичээлийнхээ нэг хэсгийг тэдэнтэй танилцахад зориулах болно.

Тооцооллын геометрийн ойлголтууд

Тооцооллын геометр нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх алгоритмыг судалдаг компьютерийн шинжлэх ухааны салбар юм.

Ийм асуудлын анхны өгөгдөл нь хавтгай дээрх цэгүүдийн багц, сегментийн багц, олон өнцөгт (жишээлбэл, оройнуудын жагсаалтыг цагийн зүүний дагуу зааж өгсөн) гэх мэт байж болно.

Үр дүн нь аль нэг асуултын хариулт (жишээ нь, нэг цэг нь сегментэд хамаарах уу, хоёр сегмент огтлолцдог уу, ... гэх мэт) эсвэл геометрийн объект (жишээлбэл, өгөгдсөн цэгүүдийг холбосон хамгийн жижиг гүдгэр олон өнцөгт, талбайн хэмжээ) байж болно. олон өнцөгт гэх мэт).

Тооцооллын геометрийн асуудлуудыг бид зөвхөн хавтгайд, зөвхөн декартын координатын системд авч үзэх болно.

Вектор ба координат

Тооцооллын геометрийн аргыг хэрэглэхийн тулд геометрийн дүрсийг тооны хэл рүү хөрвүүлэх шаардлагатай. Онгоцонд цагийн зүүний эсрэг эргэх чиглэлийг эерэг гэж нэрлэдэг декартын координатын системийг өгсөн гэж бид таамаглах болно.

Одоо геометрийн объектууд аналитик илэрхийлэлийг хүлээн авдаг. Тиймээс цэгийг тодорхойлохын тулд түүний координатыг зааж өгөхөд хангалттай: хос тоо (x; y). Сегментийг түүний төгсгөлийн координатыг зааж өгч болно, шулуун шугамыг хос цэгийн координатыг зааж өгч болно.

Гэхдээ бидний асуудлыг шийдэх гол хэрэгсэл нь векторууд байх болно. Тиймээс тэдний талаарх зарим мэдээллийг эргэн санацгаая.

Шугамын сегмент AB, ямар нэг санаа байна Аэхлэл (хэрэглэх цэг), цэг гэж үздэг IN– төгсгөлийг вектор гэж нэрлэдэг ABба аль нэгээр нь эсвэл тод жижиг үсгээр тэмдэглэнэ, жишээ нь А .

Векторын уртыг (өөрөөр хэлбэл харгалзах сегментийн урт) тэмдэглэхийн тулд бид модулийн тэмдгийг ашиглана (жишээлбэл, ).

Дурын вектор нь түүний төгсгөл ба эхлэлийн харгалзах координатуудын зөрүүтэй тэнцүү координаттай байна.

,

энд оноо байна АТэгээд Б координаттай байна тус тус.

Тооцооллын хувьд бид ойлголтыг ашиглах болно чиглэсэн өнцөг, өөрөөр хэлбэл векторуудын харьцангуй байрлалыг харгалзан үзсэн өнцөг.

Векторуудын хооронд чиглэсэн өнцөг а Тэгээд б Хэрэв эргэлт нь вектороос байвал эерэг а вектор руу б эерэг чиглэлд (цагийн зүүний эсрэг) хийгдэх ба нөгөө тохиолдолд сөрөг байна. Зураг 1а, Зураг 1б-г үзнэ үү. Мөн хос вектор гэж хэлдэг а Тэгээд б эерэг (сөрөг) чиглэсэн.

Тиймээс чиглэсэн өнцгийн утга нь векторуудыг жагсаасан дарааллаас хамаардаг бөгөөд интервал дахь утгыг авч болно.

Тооцооллын геометрийн олон асуудалд векторуудын вектор (хашуу эсвэл псевдоскаляр) бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтыг ашигладаг.

a ба b векторуудын вектор үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэр юм.

.

Координат дахь векторуудын хөндлөн үржвэр:

Баруун талын илэрхийлэл нь хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч юм:

Аналитик геометрийн тодорхойлолтоос ялгаатай нь энэ нь скаляр юм.

Вектор бүтээгдэхүүний тэмдэг нь бие биетэйгээ харьцуулахад векторуудын байрлалыг тодорхойлдог.

а Тэгээд б эерэг хандлагатай.

Хэрэв утга нь бол хос вектор байна а Тэгээд б сөрөг хандлагатай.

Тэг биш векторуудын хөндлөн үржвэр нь зөвхөн, хэрэв тэдгээр нь коллинеар байвал тэг болно ( ). Энэ нь тэдгээр нь нэг шугам дээр эсвэл зэрэгцээ шугам дээр байрладаг гэсэн үг юм.

Илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай хэд хэдэн энгийн асуудлыг авч үзье.

Хоёр цэгийн координатаас шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлъё.

Координатаар нь тодорхойлсон хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Шулуун дээр давхцаагүй хоёр цэгийг координаттай (x1; y1) ба координаттай (x2; y2) өгье. Үүний дагуу эхлэл нь цэг дээр, төгсгөл нь цэг дээр байдаг вектор нь координаттай (x2-x1, y2-y1) байна. Хэрэв P(x, y) нь манай шулуун дээрх дурын цэг бол векторын координатууд (x-x1, y – y1) тэнцүү байна.

Вектор үржвэрийг ашиглан векторуудын коллинеар байх нөхцөлийг дараах байдлаар бичиж болно.

Тэдгээр. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ.

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Тиймээс шулуун шугамыг (1) хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

Бодлого 1. Хоёр цэгийн координатыг өгөв. Түүний дүрслэлийг ax + by + c = 0 хэлбэрээр ол.

Энэ хичээлээр бид тооцооллын геометрийн талаар зарим мэдээллийг сурсан. Бид хоёр цэгийн координатаас шулууны тэгшитгэлийг олох асуудлыг шийдсэн.

Дараагийн хичээлээр бид тэгшитгэлээрээ өгөгдсөн хоёр шулууны огтлолцлын цэгийг олох программ зохиох болно.

Энэ нийтлэл нь хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлийн сэдвийг үргэлжлүүлэх болно: бид энэ төрлийн тэгшитгэлийг шугамын ерөнхий тэгшитгэл гэж үзэх болно. Теоремыг тодорхойлж, түүний нотолгоог өгье; Шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл гэж юу болох, ерөнхий тэгшитгэлээс шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү хэрхэн шилжихийг олж мэдье. Бид онолыг бүхэлд нь практик асуудлуудын чимэглэл, шийдлээр бататгах болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тэгш өнцөгт координатын системийг O x y хавтгай дээр зааж өгье.

Теорем 1

A x + B y + C = 0 хэлбэртэй, A, B, C нь зарим бодит тоо (A, B нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш) хэлбэртэй, нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл нь шулуун шугамыг тодорхойлдог. хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем. Хариуд нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх аливаа шулуун шугамыг A, B, C тодорхой утгын хувьд A x + B y + C = 0 хэлбэртэй тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Баталгаа

Энэ теорем нь хоёр цэгээс бүрддэг бөгөөд бид тус бүрийг батлах болно.

1. A x + B y + C = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх шулуун шугамыг тодорхойлж байгааг баталцгаая.

Координатууд нь A x + B y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирох M 0 (x 0 , y 0) цэг байг. Тиймээс: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талаас A x 0 + B y 0 + C = 0 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг хасвал A (x) шиг харагдах шинэ тэгшитгэлийг олж авна. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Энэ нь A x + B y + C = 0-тэй тэнцүү байна.

Үүссэн тэгшитгэл A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлвекторуудын перпендикуляр байдал n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Ийнхүү M (x, y) цэгүүдийн олонлог нь n → = (A, B) векторын чиглэлд перпендикуляр тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамыг тодорхойлно. Энэ нь тийм биш гэж бид таамаглаж болно, гэхдээ дараа нь n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд перпендикуляр биш, A (x -) тэнцүү байх болно. x 0 ) + B (y - y 0) = 0 нь үнэн биш байх болно.

Иймээс A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 тэгшитгэл нь хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын систем дэх тодорхой шугамыг тодорхойлдог тул A x + B y + C = 0 эквивалент тэгшитгэл нь ижил шугам. Бид теоремын эхний хэсгийг ингэж нотолсон.

1. Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системийн дурын шулуун шугамыг A x + B y + C = 0 1-р зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болохыг нотлон харуулъя.

Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд шулуун a шулууныг тодорхойлъё; энэ шугам өнгөрөх M 0 (x 0 , y 0) цэг, мөн энэ шулууны хэвийн вектор n → = (A, B) .

Шугаман дээрх хөвөгч цэг болох M (x, y) цэг бас байг. Энэ тохиолдолд n → = (A, B) ба M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) векторууд хоорондоо перпендикуляр байх ба тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэг болно.

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 тэгшитгэлийг дахин бичиж, C: C = - A x 0 - B y 0 -ийг тодорхойлж, эцсийн үр дүнд A x + B y + C = тэгшитгэлийг олж авъя. 0.

Ингээд бид теоремын хоёр дахь хэсгийг баталж, бүхэл бүтэн теоремыг баталлаа.

Тодорхойлолт 1

Маягтын тэгшитгэл A x + B y + C = 0 - Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрОкси.

Батлагдсан теорем дээр үндэслэн бид тэгш өнцөгт координатын тогтмол систем дэх хавтгай дээр тодорхойлогдсон шулуун шугам ба түүний ерөнхий тэгшитгэл нь салшгүй холбоотой гэж дүгнэж болно. Өөрөөр хэлбэл, анхны шугам нь түүний ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна; шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь өгөгдсөн шугамтай тохирч байна.

Теоремын баталгаанаас мөн x ба y хувьсагчийн А ба В коэффициентүүд нь шулууны хэвийн векторын координат болох нь A x + B y + C = шулууны ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн байна. 0.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн тодорхой жишээг авч үзье.

Өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугамд тохирох 2 x + 3 y - 2 = 0 тэгшитгэлийг өгье. Энэ шугамын хэвийн вектор нь вектор юм n → = (2, 3) . Өгөгдсөн шулуун шугамыг зурган дээр зуръя.

Мөн бид дараахь зүйлийг хэлж болно: зураг дээр бидний харж буй шулуун шугамыг 2 x + 3 y - 2 = 0 ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлно, учир нь өгөгдсөн шулуун дээрх бүх цэгүүдийн координатууд энэ тэгшитгэлтэй тохирч байна.

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш λ тоогоор үржүүлснээр бид λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 тэгшитгэлийг гаргаж чадна. Үүссэн тэгшитгэл нь анхны ерөнхий тэгшитгэлтэй тэнцүү тул хавтгай дээрх ижил шулуун шугамыг дүрслэх болно.

Тодорхойлолт 2

Шугамын бүрэн ерөнхий тэгшитгэл– A x + B y + C = 0 шулуун шугамын ийм ерөнхий тэгшитгэл нь A, B, C тоонууд тэгээс ялгаатай. Үгүй бол тэгшитгэл болно бүрэн бус.

Шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн бүх хувилбарт дүн шинжилгээ хийцгээе.

1. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 үед ерөнхий тэгшитгэл нь B y + C = 0 хэлбэртэй байна. Ийм бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь O x y тэгш өнцөгт координатын системд O x тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тодорхойлдог, учир нь x-ийн аливаа бодит утгын хувьд y хувьсагч нь утгыг авна. - С Б. Өөрөөр хэлбэл, A x + B y + C = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл нь A = 0, B ≠ 0 үед координат нь ижил тоотой тэнцүү (x, y) цэгүүдийн байршлыг зааж өгдөг. - С Б.
2. Хэрэв A = 0, B ≠ 0, C = 0 бол ерөнхий тэгшитгэл нь y = 0 хэлбэрийг авна. Энэ бүрэн бус тэгшитгэлабсцисса тэнхлэгийг тодорхойлно O x .
3. A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 үед ординаттай параллель шулуун шугамыг тодорхойлж, бүрэн бус ерөнхий A x + C = 0 тэгшитгэлийг олж авна.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 байг, тэгвэл бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь x = 0 хэлбэртэй байх ба энэ нь координатын шугамын O y тэгшитгэл юм.
5. Эцэст нь A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0-ийн хувьд бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y = 0 хэлбэртэй байна. Мөн энэ тэгшитгэл нь эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг дүрсэлдэг. Үнэн хэрэгтээ (0, 0) хос тоо нь A · 0 + B · 0 = 0 тул A x + B y = 0 тэнцүү байна.

Шулуун шугамын бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн дээрх бүх төрлийг графикаар үзүүлье.

Жишээ 1

Өгөгдсөн шулуун шугам нь ординатын тэнхлэгтэй параллель байх ба 2 7, - 11 цэгийг дайран өнгөрдөг нь мэдэгдэж байна. Өгөгдсөн шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг A x + C = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр өгсөн бөгөөд A ≠ 0 байна. Нөхцөл нь мөн шугам өнгөрөх цэгийн координатыг зааж өгсөн бөгөөд энэ цэгийн координат нь бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэлийн нөхцөлийг хангасан A x + C = 0, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал нь үнэн:

A 2 7 + C = 0

Үүнээс А-д тэгээс бусад утгыг өгвөл С-г тодорхойлох боломжтой, жишээлбэл, A = 7. Энэ тохиолдолд бид дараахийг авна: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Бид A ба C коэффициентийг хоёуланг нь мэдэж, тэдгээрийг A x + C = 0 тэгшитгэлд орлуулж, шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэлийг олоорой: 7 x - 2 = 0

Хариулт: 7 x - 2 = 0

Жишээ 2

Зураг нь шулуун шугамыг харуулсан тул та түүний тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй.

Шийдэл

Өгөгдсөн зураг нь асуудлыг шийдэхийн тулд анхны өгөгдлийг хялбархан авах боломжийг олгодог. Өгөгдсөн шулуун шугам нь O x тэнхлэгтэй параллель бөгөөд (0, 3) цэгийг дайран өнгөрч байгааг бид зургаас харж байна.

Абсциссатай параллель шулуун шугамыг бүрэн бус ерөнхий тэгшитгэл B y + C = 0 тодорхойлно. В ба С-ийн утгыг олцгооё. (0, 3) цэгийн координатууд нь өгөгдсөн шулуун дундуур өнгөрөх тул B y + C = 0 шулууны тэгшитгэлийг хангана, тэгвэл тэгшитгэл хүчинтэй болно: B · 3 + C = 0. В-г тэгээс өөр утгыг тохируулъя. B = 1 гэж үзье, энэ тохиолдолд B · 3 + C = 0 тэгшитгэлээс бид C: C = - 3-ийг олж болно. Бидний хэрэглэдэг мэдэгдэж байгаа үнэ цэнэ B ба C, бид шулуун шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна: y - 3 = 0.

Хариулт: y - 3 = 0.

Хавтгайн өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны ерөнхий тэгшитгэл

Өгөгдсөн шугамыг M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамжуулж, түүний координатууд нь шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч, өөрөөр хэлбэл. тэгш байдал нь үнэн: A x 0 + B y 0 + C = 0. Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг ерөнхий зүүн ба баруун талаас хасъя бүрэн тэгшитгэлЧигээрээ. Бид дараахийг авна: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, энэ тэгшитгэл нь анхны ерөнхийтэй тэнцүү, M 0 (x 0, y 0) цэгээр дамжин өнгөрч, хэвийн байна. вектор n → = (A, B) .

Бидний олж авсан үр дүн нь шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих боломжтой болгодог мэдэгдэж байгаа координатуудшулууны хэвийн вектор ба энэ шугамын тодорхой цэгийн координат.

Жишээ 3

Шугаман өнгөрөх M 0 (- 3, 4) цэг ба энэ шугамын хэвийн вектор өгөгдсөн. n → = (1 , - 2) . Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Анхны нөхцөлүүд нь тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд шаардлагатай өгөгдлийг олж авах боломжийг олгодог: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Дараа нь:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 у (у - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 у + 22 = 0

Асуудлыг өөрөөр шийдэж болох байсан. Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь A x + B y + C = 0 байна. Өгөгдсөн хэвийн вектор нь A ба B коэффициентүүдийн утгыг олж авах боломжийг бидэнд олгоно.

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Одоо шулуун шугам өнгөрөх асуудлын нөхцөлөөр заасан M 0 (- 3, 4) цэгийг ашиглан C-ийн утгыг олъё. Энэ цэгийн координатууд нь x - 2 · y + C = 0 тэгшитгэлтэй тохирч байна, өөрөөр хэлбэл. - 3 - 2 4 + C = 0. Тиймээс C = 11. Шаардлагатай шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: x - 2 · y + 11 = 0.

Хариулт: x - 2 y + 11 = 0.

Жишээ 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 шулуун ба энэ шулуун дээр байрлах M 0 цэг өгөгдсөн. Зөвхөн энэ цэгийн абсцисс нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь - 3-тай тэнцүү байна. Өгөгдсөн цэгийн ординатыг тодорхойлох шаардлагатай.

Шийдэл

M 0 цэгийн координатыг x 0 ба у 0 гэж тэмдэглэе. Эх сурвалж өгөгдөл нь x 0 = - 3 гэдгийг харуулж байна. Тухайн цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах тул координатууд нь энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч байна. Дараа нь тэгш байдал үнэн болно:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0-ийг тодорхойлох: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Хариулт: - 5 2

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс шугамын бусад төрлийн тэгшитгэл рүү шилжих ба эсрэгээр

Бидний мэдэж байгаагаар хавтгай дээрх ижил шулуун шугамын хэд хэдэн төрлийн тэгшитгэл байдаг. Тэгшитгэлийн төрлийг сонгох нь асуудлын нөхцлөөс хамаарна; түүнийг шийдвэрлэхэд илүү тохиромжтойг нь сонгох боломжтой. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг өөр төрлийн тэгшитгэл болгон хувиргах ур чадвар энд маш хэрэгтэй.

Эхлээд A x + B y + C = 0 хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлээс x - x 1 a x = y - y 1 a y каноник тэгшитгэл рүү шилжихийг авч үзье.

Хэрэв A ≠ 0 байвал бид B y нэр томъёог шилжүүлнэ баруун талерөнхий тэгшитгэл. Зүүн талд бид А-г хаалтнаас гаргаж авдаг. Үүний үр дүнд бид: A x + C A = - B y болно.

Энэ тэгшитгэлийг пропорциональ байдлаар бичиж болно: x + C A - B = y A.

Хэрэв B ≠ 0 байвал ерөнхий тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн A x нэр томъёог үлдээж, бусдыг баруун тал руу шилжүүлж, бид дараахь зүйлийг авна: A x = - B y - C. Бид хаалтнаас – B-г аваад: A x = - B y + C B .

Тэгш байдлыг пропорцын хэлбэрээр дахин бичье: x - B = y + C B A.

Мэдээжийн хэрэг, үүссэн томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжих үед үйлдлийн алгоритмыг мэдэхэд хангалттай.

Жишээ 5

3 y - 4 = 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг өгөв. Үүнийг каноник тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

Үүнийг бичээд үзье анхны тэгшитгэл 3 y - 4 = 0 гэх мэт. Дараа нь бид алгоритмын дагуу ажиллана: 0 x гэсэн нэр томъёо зүүн талд үлдэнэ; баруун талд нь бид хаалтаас 3-ыг тавьдаг; Бид дараахийг авна: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Үүссэн тэгш байдлыг пропорциональ байдлаар бичье: x - 3 = y - 4 3 0 . Тиймээс бид каноник хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авлаа.

Хариулт: x - 3 = y - 4 3 0.

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг параметрт шилжүүлэхийн тулд эхлээд каноник хэлбэрт, дараа нь шугамын каноник тэгшитгэлээс параметрт тэгшитгэл рүү шилжинэ.

Жишээ 6

Шулуун шугамыг 2 x - 5 y - 1 = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Энэ шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Ерөнхий тэгшитгэлээс каноник тэгшитгэл рүү шилжье.

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Одоо бид үүссэн каноник тэгшитгэлийн хоёр талыг λ-тэй тэнцүү авбал:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Хариулт:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Ерөнхий тэгшитгэлийг y = k · x + b налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл болгон хувиргаж болно, гэхдээ зөвхөн B ≠ 0 үед. Шилжилтийн хувьд бид B y нэр томъёог зүүн талд үлдээж, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ. Бид дараахийг авна: B y = - A x - C. Үүссэн тэгш байдлын хоёр талыг тэгээс ялгаатай В-д хуваая: y = - A B x - C B.

Жишээ 7

Шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн: 2 x + 7 у = 0. Та энэ тэгшитгэлийг налуугийн тэгшитгэл болгон хувиргах хэрэгтэй.

Шийдэл

Алгоритмын дагуу шаардлагатай үйлдлүүдийг хийцгээе:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Хариулт: y = - 2 7 x .

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс x a + y b = 1 хэлбэрийн сегмент дэх тэгшитгэлийг авахад хангалттай. Ийм шилжилт хийхийн тулд бид C тоог тэгш байдлын баруун талд шилжүүлж, үүссэн тэгш байдлын хоёр талыг - C-д хувааж, эцэст нь x ба y хувьсагчдын коэффициентийг хуваагч руу шилжүүлнэ.

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Жишээ 8

X - 7 y + 1 2 = 0 шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шугамын тэгшитгэл болгон хувиргах шаардлагатай.

Шийдэл

1 2-ыг баруун тийш шилжүүлье: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Тэгш байдлын хоёр талыг -1/2-т хуваая: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Хариулт: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ерөнхийдөө урвуу шилжилт нь бас хялбар байдаг: бусад төрлийн тэгшитгэлээс ерөнхийд шилжих.

Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл ба өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг тэгш байдлын зүүн талд байгаа бүх нөхцөлийг цуглуулснаар амархан ерөнхий болгон хувиргаж болно.

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Дараах схемийн дагуу каноник тэгшитгэлийг ерөнхий болгон хувиргана.

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Параметрээс шилжихийн тулд эхлээд каноник руу, дараа нь ерөнхий рүү шилжинэ.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Жишээ 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 шугамын параметрийн тэгшитгэлүүд өгөгдсөн. Энэ шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

-аас шилжилтийг хийцгээе параметрийн тэгшитгэлканоник руу:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Каноникоос ерөнхий рүү шилжье:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Хариулт: y - 4 = 0

Жишээ 10

x 3 + y 1 2 = 1 хэрчмүүд дэх шулуун шугамын тэгшитгэлийг өгөв. руу шилжих шаардлагатай байна ерөнхий дүр төрхтэгшитгэл

Шийдэл:

Бид тэгшитгэлийг шаардлагатай хэлбэрээр дахин бичнэ.

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Хариулт: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зурах

Ерөнхий тэгшитгэлийг хэвийн векторын мэдэгдэж буй координатууд болон шугам өнгөрөх цэгийн координатуудаар бичиж болно гэж бид дээр хэлсэн. Ийм шулуун шугамыг A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлно. Тэнд бид мөн холбогдох жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн.

Одоо бид эхлээд хэвийн векторын координатыг тодорхойлох хэрэгтэй илүү төвөгтэй жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 шулуунтай параллель шугам өгөгдсөн. Өгөгдсөн шугам өнгөрөх M 0 (4, 1) цэгийг бас мэддэг. Өгөгдсөн шугамын тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай.

Шийдэл

Эхний нөхцөлүүд нь шугамууд параллель байгааг хэлж байгаа бол тэгшитгэлийг бичих шаардлагатай шулууны хэвийн векторын хувьд бид n → = (2, - 3) шугамын чиглэлийн векторыг авна: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Одоо бид шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бий болгоход шаардлагатай бүх өгөгдлийг мэдэж байна.

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 у - 5 = 0

Хариулт: 2 х - 3 у - 5 = 0.

Жишээ 12

Өгөгдсөн шулуун нь x - 2 3 = y + 4 5 шулуунтай перпендикуляр эхийг дайран өнгөрдөг. Өгөгдсөн шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай.

Шийдэл

Өгөгдсөн шугамын хэвийн вектор нь х - 2 3 = у + 4 5 шугамын чиглэлийн вектор байх болно.

Дараа нь n → = (3, 5) . Шулуун шугам нь эхийг дайран өнгөрдөг, өөрөөр хэлбэл. O цэгээр (0, 0). Өгөгдсөн шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг байгуулъя:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Хариулах: 3 x + 5 y = 0.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Чиглэлийн вектор шулуун байна. Ердийн вектор

Хавтгай дээрх шулуун шугам бол хамгийн энгийн шугамуудын нэг юм геометрийн хэлбэрүүд, тэр цагаас хойш таньд танил болсон бага ангиуд, мөн өнөөдөр бид аналитик геометрийн аргуудыг ашиглан үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Материалыг эзэмшихийн тулд та шулуун шугам барих чадвартай байх ёстой; Шулуун шугамыг, ялангуяа координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун ба координатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг ямар тэгшитгэлээр тодорхойлохыг мэдэх. Энэ мэдээлэлгарын авлагаас олж болно График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд, Би үүнийг matan зориулж бүтээсэн, гэхдээ тухай хэсэг шугаман функцЭнэ нь маш амжилттай, дэлгэрэнгүй болсон. Иймд эрхэм цайны савнуудаа эхлээд тэндээ дулаацаарай. Үүнээс гадна, та үндсэн мэдлэгтэй байх ёстой векторууд, эс бөгөөс материалын талаарх ойлголт бүрэн бус байх болно.

Энэ хичээлээр бид хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэх аргуудыг авч үзэх болно. Би практик жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг зөвлөж байна (энэ нь маш энгийн мэт санагдаж байсан ч), би тэдэнд ирээдүйд шаардагдах энгийн, чухал баримтууд, техникийн арга техникийг, тэр дундаа дээд математикийн бусад хэсгүүдэд өгөх болно.

• Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?
• Хэрхэн ?
• Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?
• Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

мөн бид эхэлнэ:

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн алдартай "сургууль" хэлбэрийг нэрлэдэг налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл. Жишээлбэл, шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгвөл түүний налуу нь: . Энэ коэффициентийн геометрийн утга, түүний утга нь шугамын байршилд хэрхэн нөлөөлж байгааг авч үзье.

Энэ нь геометрийн хичээлээр батлагдсан шулуун шугамын налуу нь тэнцүү байна өнцгийн тангенсэерэг тэнхлэгийн чиглэлийн хоорондмөн энэ мөр: , ба өнцөг нь цагийн зүүний эсрэг "эрэг тайлна".

Зургийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би зөвхөн хоёр шулуун шугамын өнцгийг зурсан. "Улаан" шугам ба түүний налууг авч үзье. Дээр дурдсанчлан: ("альфа" өнцгийг ногоон нумаар заана). Өнцгийн коэффициент бүхий "цэнхэр" шулуун шугамын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм ("бета" өнцгийг хүрэн нумаар тэмдэглэсэн). Хэрэв өнцгийн тангенс мэдэгдэж байгаа бол шаардлагатай бол олоход хялбар болно мөн булан өөрөөурвуу функцийг ашиглан - артангенс. Тэдний хэлснээр таны гарт тригонометрийн хүснэгт эсвэл микро тооцоолуур байдаг. Тиймээс, өнцгийн коэффициент нь абсцисса тэнхлэгт шулуун шугамын хазайлтын түвшинг тодорхойлдог..

Энэ тохиолдолд энэ нь боломжтой юм дараах тохиолдлууд:

1) Хэрэв налуу нь сөрөг байвал: шугам нь дээрээс доошоо явна. Жишээ нь зураг дээрх "цэнхэр", "бөөрөлзгөнө" шулуун шугамууд юм.

2) Хэрэв налуу эерэг байвал: шугам нь доороос дээш гарна. Жишээ нь зураг дээрх "хар", "улаан" шулуун шугамууд.

3) Хэрэв налуу нь тэг бол: , тэгшитгэл нь хэлбэрийг авах ба харгалзах шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна. Жишээ нь "шар" шулуун шугам юм.

4) Тэнхлэгтэй параллель шугамын гэр бүлийн хувьд (зураг дээр тэнхлэгээс бусад жишээ байхгүй) өнцгийн коэффициент байдаггүй (90 градусын тангенс тодорхойлогдоогүй).

Налуугийн коэффициент үнэмлэхүй утгаараа их байх тусам шулуун шугамын график илүү эгц болно..

Жишээлбэл, хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Тиймээс энд шулуун шугам нь илүү эгц налуутай байна. Модуль нь тэмдгийг үл тоомсорлох боломжийг олгодог гэдгийг танд сануулъя, бид зөвхөн сонирхож байна үнэмлэхүй утгууд өнцгийн коэффициентүүд.

Хариуд нь шулуун шугам нь шулуун шугамаас илүү эгц байдаг .

Эсрэгээр нь: налуугийн коэффициент үнэмлэхүй утгын хувьд бага байх тусам шулуун шугам илүү тэгш болно.

Шулуун шугамын хувьд тэгш бус байдал үнэн тул шулуун шугам илүү тэгш байна. Өөртөө хөхөрсөн, овойлт өгөхгүйн тулд хүүхдийн слайд.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ?

Зовлон зүдгүүрээ уртасга. Дээрх баримтуудын талаархи мэдлэг нь таны алдаа, тухайлбал график байгуулах явцад гарсан алдааг шууд харах боломжийг олгодог - хэрэв зураг нь "мэдээж буруу" байвал. Энэ нь танд зөвлөж байна шууджишээ нь, шулуун шугам нь маш эгц бөгөөд доороос дээш явдаг, шулуун шугам нь маш хавтгай, тэнхлэгт ойрхон дарагдсан, дээрээс доошоо явдаг нь тодорхой байв.

Геометрийн асуудлуудад хэд хэдэн шулуун шугамууд ихэвчлэн гарч ирдэг тул тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар тодорхойлоход тохиромжтой.

Тэмдэглэл: шулуун шугамыг жижиг гэж тодорхойлсон латин үсгээр: . Түгээмэл сонголт бол тэдгээрийг байгалийн доод үсэгтэй ижил үсгээр тэмдэглэх явдал юм. Жишээлбэл, бидний саяхан үзсэн таван мөрийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно .

Аливаа шулуун шугам нь хоёр цэгээр тодорхойлогддог тул дараахь цэгүүдээр тэмдэглэж болно. гэх мэт. Тэмдэглэгээ нь цэгүүд нь шугаманд хамаарахыг тодорхой харуулж байна.

Бага зэрэг дулаарах цаг боллоо:

Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв тодорхой шугамд хамаарах цэг ба энэ шугамын өнцгийн коэффициент нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Жишээ 1

Хэрэв цэг нь энэ шулуун шугамд хамаарах нь мэдэгдэж байгаа бол өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя . IN энэ тохиолдолд:

Хариулах:

Шалгалтэнгийн байдлаар хийгддэг. Эхлээд бид үүссэн тэгшитгэлийг хараад бидний налуу байгаа эсэхийг шалгаарай. Хоёрдугаарт, цэгийн координатууд энэ тэгшитгэлийг хангах ёстой. Тэдгээрийг тэгшитгэлд оруулъя:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байна гэсэн үг юм.

Дүгнэлт: Тэгшитгэл зөв олдсон.

Илүү төвөгтэй жишээ бие даасан шийдвэр:

Жишээ 2

Шулуун шугамын тэнхлэгийн эерэг чиглэлд хазайх өнцөг нь , цэг нь энэ шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байвал түүний тэгшитгэлийг бич.

Хэрэв танд бэрхшээл тулгарвал онолын материалыг дахин уншина уу. Илүү нарийн, илүү практик, би маш олон нотлох баримтыг алгасдаг.

Дуугарлаа Сүүлийн дуудлага, төгсөлтийн үдэшлэг болж, манай төрөлх сургуулийн хаалганы гадна аналитик геометр биднийг хүлээж байна. онигоо дууслаа... Эсвэл тэд дөнгөж эхэлж байгаа байх =)

Бид танил тал руугаа үзгээ даллаж, шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй танилцдаг. Учир нь аналитик геометрт үүнийг яг ашигладаг:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна: , зарим тоо хаана байна. Үүний зэрэгцээ коэффициентүүд нэгэн зэрэгтэгшитгэл утгаа алддаг тул тэгтэй тэнцүү биш байна.

Костюм өмсөж, тэгшитгэлийг налуугийн коэффициенттэй холбоно. Эхлээд бүх нэр томьёог руу шилжүүлье зүүн тал:

"X" бүхий нэр томъёог эхний ээлжинд оруулах ёстой.

Зарчмын хувьд тэгшитгэл нь аль хэдийн хэлбэртэй байна , гэхдээ математикийн ёс зүйн дүрмийн дагуу эхний нэр томъёоны коэффициент (энэ тохиолдолд) эерэг байх ёстой. Өөрчлөгдсөн тэмдгүүд:

Энэ техникийн шинж чанарыг санаарай!Бид эхний коэффициентийг (ихэнхдээ) эерэг болгодог!

Аналитик геометрийн хувьд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бараг үргэлж өгдөг ерөнхий хэлбэр. За, шаардлагатай бол өнцгийн коэффициент бүхий "сургууль" хэлбэрт амархан буулгаж болно (ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамуудаас бусад).

Юу гэж өөрөөсөө асууцгаая хангалттайшулуун шугам барихыг мэдэх үү? Хоёр оноо. Гэхдээ энэ бага насны үйл явдлын талаар одоо сумны дүрмийг баримталж байна. Шулуун шугам бүр нь маш тодорхой налуутай байдаг бөгөөд үүнийг "дасан зохицоход" хялбар байдаг. вектор.

Шугамтай параллель байх векторыг тухайн шугамын чиглэлийн вектор гэнэ. Аливаа шулуун шугамд хязгааргүй тооны чиглэлийн векторууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд хоорондоо уялдаа холбоотой байх нь ойлгомжтой (хамтарсан чиглэлтэй эсэх нь хамаагүй).

Би чиглэлийн векторыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: .

Шулуун шугам барихад нэг вектор хангалттай биш, вектор нь чөлөөтэй бөгөөд хавтгайн аль ч цэгтэй холбогддоггүй. Тиймээс шугамд хамаарах зарим цэгийг мэдэх шаардлагатай.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын чиглэлийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Заримдаа үүнийг дууддаг шугамын каноник тэгшитгэл .

Хэзээ юу хийх вэ координатуудын нэгтэгтэй тэнцүү бол бид доорх практик жишээн дээр ойлгох болно. Дашрамд хэлэхэд, анхаарна уу - хоёулаа нэгэн зэрэгТэг вектор нь тодорхой чиглэлийг заагаагүй тул координатууд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй.

Жишээ 3

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: Томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя. Энэ тохиолдолд:

Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид бутархай хэсгүүдээс сална.

Мөн бид тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь авчирдаг.

Хариулах:

Дүрмээр бол ийм жишээн дээр зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ ойлгохын тулд:

Зураг дээр бид эхлэлийн цэг, анхны чиглэлийн вектор (үүнийг хавтгайн аль ч цэгээс зурж болно) болон баригдсан шулуун шугамыг харж байна. Дашрамд хэлэхэд, олон тохиолдолд өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугам барих нь хамгийн тохиромжтой. Бидний тэгшитгэлийг хэлбэр болгон хувиргаж, шулуун шугам барих өөр цэгийг сонгоход хялбар байдаг.

Догол мөрний эхэнд дурьдсанчлан шулуун шугам нь хязгааргүй олон чиглэлийн векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд коллинеар байдаг. Жишээлбэл, би ийм гурван вектор зурсан: . Ямар ч чиглэлийн векторыг сонгохоос үл хамааран үр дүн нь үргэлж ижил шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Пропорцийг шийдвэрлэх:

Хоёр талыг -2-т хувааж, танил тэгшитгэлийг ол.

Сонирхсон хүмүүс векторуудыг ижил аргаар шалгаж болно эсвэл бусад коллинеар вектор.

Одоо урвуу асуудлыг шийдье:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?

Маш энгийн:

Тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны чиглэлийн вектор болно.

Шулуун шугамын чиглэлийн векторуудыг олох жишээ:

Энэхүү мэдэгдэл нь бидэнд хязгааргүй тооноос зөвхөн нэг чиглэлийн векторыг олох боломжийг олгодог боловч бидэнд илүү их зүйл хэрэггүй. Хэдийгээр зарим тохиолдолд чиглэлийн векторуудын координатыг багасгахыг зөвлөж байна.

Тиймээс тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгсөн бөгөөд үүссэн чиглэлийн векторын координатыг -2-т хувааснаар яг үндсэн векторыг чиглэлийн вектор болгон авна. Логик.

Үүний нэгэн адил тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгөх ба векторын координатыг 5-д хуваах замаар бид нэгж векторыг чиглэлийн вектор болгон авна.

Одоо хийцгээе Жишээ 3-ыг шалгаж байна. Жишээ нь дээшилсэн тул бид цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг эмхэтгэсэн гэдгийг би танд сануулж байна.

Нэгдүгээрт, шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглан бид түүний чиглэлийн векторыг сэргээнэ. – бүх зүйл хэвийн байна, бид анхны векторыг хүлээн авлаа (зарим тохиолдолд үр дүн нь анхныхтай коллинеар вектор байж болох бөгөөд үүнийг харгалзах координатуудын пропорциональ байдлаар анзаарахад хялбар байдаг).

Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангах ёстой. Бид тэдгээрийг тэгшитгэлд орлуулна:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд үүнд бид маш их баяртай байна.

Дүгнэлт: Даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн.

Жишээ 4

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна. Сая ярилцсан алгоритмыг ашиглан шалгахыг зөвлөж байна. Ноорог үргэлж (боломжтой бол) шалгахыг хичээ. 100% зайлсхийх боломжтой алдаа гаргах нь тэнэг хэрэг.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатуудын аль нэг нь тэг байвал маш энгийнээр ажиллана уу:

Жишээ 5

Шийдэл: Баруун талын хуваагч нь тэг учраас томьёо тохиромжгүй. Гарах гарц байна! Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид томъёог хэлбэрээр дахин бичиж, үлдсэн хэсэг нь гүн нүхний дагуу эргэлддэг.

Хариулах:

Шалгалт:

1) Шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг сэргээнэ үү:
– үүссэн вектор нь анхны чиглэлийн вектортой коллинеар байна.

2) Тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулна.

Зөв тэгш байдлыг олж авна

Дүгнэлт: даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн

Ямар ч тохиолдолд ажиллах бүх нийтийн хувилбар байгаа бол яагаад томьёог санаа зовох ёстой вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хоёр шалтгаан бий. Нэгдүгээрт, томъёо нь бутархай хэлбэртэй байна илүү сайн санаж байна. Хоёрдугаарт, сул тал бүх нийтийн томъёотийм үү төөрөлдөх эрсдэл ихээхэн нэмэгддэгкоординатыг орлуулах үед.

Жишээ 6

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Хаа сайгүй байдаг хоёр цэг рүү буцъя:

Хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ бол томъёоны нэг төрөл бөгөөд яагаад гэвэл: хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол вектор нь өгөгдсөн шугамын чиглэлийн вектор байх болно. Хичээл дээр Дамми нарт зориулсан векторуудбид авч үзсэн хамгийн энгийн даалгавар– хоёр цэгээс векторын координатыг хэрхэн олох вэ. Энэ асуудлын дагуу чиглэлийн векторын координатууд нь:

Анхаарна уу : цэгүүдийг "солих" боломжтой бөгөөд томъёог ашиглаж болно . Ийм шийдэл нь тэнцүү байх болно.

Жишээ 7

Хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Шийдэл: Бид томъёог ашигладаг:

Хуваарилагчдыг нэгтгэх нь:

Тэгээд тавцангаа холь:

Одооноос салах цаг нь болсон бутархай тоо. Энэ тохиолдолд та хоёр талыг 6-аар үржүүлэх хэрэгтэй.

Хаалтуудыг нээгээд тэгшитгэлийг сана:

Хариулах:

Шалгалтойлгомжтой - координат эхлэх цэгүүдүүссэн тэгшитгэлийг хангах ёстой:

1) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

2) Цэгийн координатыг орлуулна:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Дүгнэлт: Шугамын тэгшитгэл зөв бичигдсэн байна.

Хэрэв ядаж нэгоноо нь тэгшитгэлийг хангахгүй бол алдааг хай.

Шулуун шугам барьж, цэгүүд нь түүнд хамаарах эсэхийг харах тул энэ тохиолдолд график баталгаажуулалт хийхэд хэцүү гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. , тийм ч энгийн биш.

Би шийдлийн хэд хэдэн техникийн талыг тэмдэглэх болно. Магадгүй энэ асуудалд толин тусгал томъёог ашиглах нь илүү ашигтай байж болох юм мөн ижил цэгүүдэд тэгшитгэл хийх:

Цөөн тооны бутархай. Хэрэв та хүсвэл шийдлийг эцэс хүртэл хийж болно, үр дүн нь ижил тэгшитгэлтэй байх ёстой.

Хоёрдахь зүйл бол эцсийн хариултыг харж, үүнийг илүү хялбарчилж болох эсэхийг олж мэдэх явдал юм. Жишээлбэл, хэрэв та тэгшитгэлийг олж авбал үүнийг хоёроор багасгахыг зөвлөж байна: - тэгшитгэл нь ижил шулуун шугамыг тодорхойлно. Гэсэн хэдий ч энэ бол аль хэдийн ярианы сэдэв юм шугамуудын харьцангуй байрлал.

Хариуг нь хүлээн авлаа Жишээ 7-д, би тэгшитгэлийн БҮХ коэффициентүүд 2, 3 эсвэл 7-д хуваагдах эсэхийг шалгасан. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ ийм бууралтыг шийдлийн явцад хийдэг.

Жишээ 8

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич .

Энэ бол тооцооны техникийг илүү сайн ойлгож, дадлага хийх боломжийг танд олгох бие даасан шийдлийн жишээ юм.

Өмнөх догол мөртэй төстэй: хэрэв томъёонд байгаа бол хуваагчдын нэг нь (чиглэлийн векторын координат) тэг болж, бид үүнийг хэлбэрээр дахин бичнэ. Дахин хэлэхэд тэр ямар эвгүй, будлиантай харагдаж байгааг анзаараарай. Би авчрах нь нэг их утгагүй зүйл олж харахгүй байна практик жишээнүүд, учир нь бид ийм асуудлыг аль хэдийн шийдсэн (№ 5, 6-г үзнэ үү).

Шууд хэвийн вектор (хэвийн вектор)

Ердийн гэж юу вэ? Энгийн үгээр хэлбэл, хэвийн нь перпендикуляр байна. Өөрөөр хэлбэл, шугамын хэвийн вектор нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байна. Мэдээжийн хэрэг, дурын шулуун шугамд хязгааргүй тооны (түүнчлэн чиглэлийн векторууд) байдаг бөгөөд шулуун шугамын бүх хэвийн векторууд нь коллинеар байх болно (хоорондын чиглэлтэй эсэх нь ялгаагүй).

Тэдэнтэй харьцах нь чиглүүлэгч векторуудтай харьцуулахад илүү хялбар байх болно:

Тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны хэвийн вектор болно.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатыг тэгшитгэлээс болгоомжтой "сугалах" шаардлагатай бол хэвийн векторын координатыг зүгээр л "арилгаж" болно.

Хэвийн вектор нь шугамын чиглэлийн вектортой үргэлж ортогональ байна. Эдгээр векторуудын ортогональ байдлыг ашиглан шалгацгаая цэгийн бүтээгдэхүүн:

Би чиглэлийн вектортой ижил тэгшитгэл бүхий жишээг өгөх болно.

Нэг цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулах боломжтой юу? Би үүнийг гэдэс дотроо мэдэрч байна, энэ нь боломжтой. Хэрэв хэвийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бол шулуун шугамын чиглэл өөрөө тодорхой тодорхойлогддог - энэ нь 90 градусын өнцөг бүхий "хатуу бүтэц" юм.

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын хэвийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Энд бүх зүйл бутархай болон бусад гэнэтийн зүйлгүйгээр бүтсэн. Энэ бол бидний ердийн вектор юм. Түүнд хайртай. Бас хүндэлдэг =)

Жишээ 9

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Шийдэл: Бид томъёог ашигладаг:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж авлаа, шалгацгаая.

1) Тэгшитгэлээс хэвийн векторын координатыг "хасах": – тийм ээ, үнэхээр анхны векторыг нөхцөлөөс авсан (эсвэл коллинеар векторыг авах ёстой).

2) Энэ цэг нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Жинхэнэ тэгш байдал.

Тэгшитгэл зөв зохиогдсон гэдэгт итгэлтэй болсны дараа бид даалгаврын хоёр дахь, хялбар хэсгийг дуусгах болно. Бид шулуун шугамын чиглүүлэгч векторыг гаргаж авдаг.

Хариулах:

Зураг дээр нөхцөл байдал дараах байдалтай байна.

Сургалтын зорилгоор бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 10

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Хичээлийн эцсийн хэсэг нь хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэлийн бага түгээмэл боловч чухал хэлбэрүүдэд зориулагдсан болно.

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Параметр хэлбэрийн шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь тэгээс өөр тогтмолууд гэсэн хэлбэртэй байна. Зарим төрлийн тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, жишээлбэл, шууд пропорциональ (чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд баруун талд нь нэгийг авах арга байхгүй).

Энэ нь дүрслэлээр хэлбэл "техникийн" төрлийн тэгшитгэл юм. Нийтлэг даалгавар бол шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шугамын тэгшитгэл болгон дүрслэх явдал юм. Энэ нь хэр тохиромжтой вэ? Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл нь координатын тэнхлэгүүдтэй шугамын огтлолцлын цэгүүдийг хурдан олох боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь дээд математикийн зарим асуудалд маш чухал байж болно.

Шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё. Бид "y"-ийг тэг болгож, тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна. Хүссэн цэгийг автоматаар авна: .

Тэнхлэгтэй адилхан – шулуун шугамын ордны тэнхлэгтэй огтлолцох цэг.

Тодорхойлолт.Хавтгай дээрх дурын шулуун шугамыг нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно

Ax + Wu + C = 0,

Түүнээс гадна А ба В тогтмолууд нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш юм. Энэ эхний эрэмбийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл.Үнэт зүйлсээс хамаарна тогтмол A, Bболон C дараах онцгой тохиолдлууд боломжтой:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – шулуун шугам эхийг дайран өнгөрнө

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - Ox тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – Oy тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам

B = C = 0, A ≠0 – шулуун шугам нь Ой тэнхлэгтэй давхцаж байна

A = C = 0, B ≠0 – шулуун шугам нь Ox тэнхлэгтэй давхцаж байна

Шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрээраливаа өгөгдсөн анхны нөхцлөөс хамаарна.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба хэвийн вектор

Тодорхойлолт.Декартын тэгш өнцөгт координатын системд (A, B) бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй вектор нь Ax + By + C = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр байна.

Жишээ. (3, -1) перпендикуляр А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. A = 3 ба B = -1 байвал шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя: 3x – y + C = 0. С коэффициентийг олохын тулд өгөгдсөн А цэгийн координатыг үр дүнгийн илэрхийлэлд орлуулна. 3 – 2 + C = 0, тиймээс C = -1 . Нийт: шаардлагатай тэгшитгэл: 3x – y – 1 = 0.

Хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) хоёр цэгийг өгвөл эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь:

Хэрэв хуваагчийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол харгалзах хүртэгч нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой.Хавтгай дээр дээр бичсэн шулууны тэгшитгэлийг хялбаршуулсан болно.

хэрэв x 1 ≠ x 2 ба x = x 1 бол x 1 = x 2 бол.

= k бутархайг дуудна налууЧигээрээ.

Жишээ. A(1, 2) ба B(3, 4) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Дээр бичсэн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

Нэг цэгээс шулуун шугамын тэгшитгэл ба налуу

Хэрэв нийлбэр Ax + Bu + C = 0 байвал дараах хэлбэрийг оруулна уу.

болон томилох , дараа нь үүссэн тэгшитгэлийг дуудна налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлк.

Нэг цэгээс шулуун шугам ба чиглэлийн векторын тэгшитгэл

Хэвийн вектороор дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх цэгтэй зүйрлэснээр та цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугам болон шулуун шугамын чиглүүлэх векторын тодорхойлолтыг оруулж болно.

Тодорхойлолт.Бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь A α 1 + B α 2 = 0 нөхцөлийг хангасан тэг биш вектор (α 1, α 2) бүрийг шугамын чиглүүлэх вектор гэнэ.

Ax + Wu + C = 0.

Жишээ. А(1, 2) цэгийг дайран өнгөрөх чиглэлийн вектор (1, -1) бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл.Бид хүссэн шугамын тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно: Ax + By + C = 0. Тодорхойлолтын дагуу коэффициентүүд нь дараахь нөхцлийг хангасан байх ёстой.

1 * A + (-1) * B = 0, өөрөөр хэлбэл. A = B.

Дараа нь шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + Ay + C = 0, эсвэл x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2-ын хувьд бид C/ A = -3, i.e. шаардлагатай тэгшитгэл:

Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл

Хэрэв шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд Ах + Ву + С = 0 С≠0 байвал –С-д хуваавал бид дараахийг авна. эсвэл

Геометрийн утгакоэффициентүүд нь коэффициент юм АШугамын Окс тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат ба б– шулуун шугамын Ой тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн координат.

Жишээ. x – y + 1 = 0 шулууны ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн.Энэ шулууны тэгшитгэлийг хэрчмээр ол.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Шугамын хэвийн тэгшитгэл

Ax + By + C = 0 тэгшитгэлийн хоёр талыг тоогоор үржүүлбэл гэж нэрлэдэг хэвийн болгох хүчин зүйл, тэгвэл бид авна

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

шугамын хэвийн тэгшитгэл. Хэвийн хүчин зүйлийн ± тэмдгийг μ * C байхаар сонгох ёстой< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Жишээ. 12x – 5y – 65 = 0 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл өгөгдсөн. Та бичих хэрэгтэй. Төрөл бүрийн төрөлЭнэ шугамын тэгшитгэлүүд.

сегмент дэх энэ шугамын тэгшитгэл:

Энэ шулууны налуутай тэгшитгэл: (5-д хуваах)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Шулуун шугам бүрийг сегмент дэх тэгшитгэлээр дүрсэлж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, жишээлбэл, тэнхлэгтэй параллель эсвэл координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд.

Жишээ. Шулуун шугам нь координатын тэнхлэг дээрх тэнцүү эерэг сегментүүдийг таслав. Эдгээр хэрчмүүдээс үүссэн гурвалжны талбай 8 см 2 бол шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл.Шулуун шугамын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Жишээ. А(-2, -3) цэг ба эхийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. Шулуун шугамын тэгшитгэл нь: , энд x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Хавтгай дээрх шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг

Тодорхойлолт.Хэрэв хоёр шулуун y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 өгөгдсөн бол эдгээр шулуунуудын хоорондох хурц өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Хэрэв k 1 = k 2 бол хоёр шулуун зэрэгцээ байна. k 1 = -1/ k 2 бол хоёр шулуун перпендикуляр байна.

Теорем. A 1 = λA, B 1 = λB коэффициентүүд пропорциональ байх үед Ax + Bу + C = 0 ба A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 шулуунууд параллель байна. Хэрэв мөн C 1 = λC байвал шугамууд давхцана. Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг эдгээр шугамын тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно.

Өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Тодорхойлолт. M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрөх y = kx + b шулуун шугамд перпендикуляр шулуун шугамыг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай

Теорем.Хэрэв M(x 0, y 0) цэг өгөгдсөн бол Ax + Bу + C = 0 шулуун хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно.

.

Баталгаа.М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

(1)

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл юм энэ цэг M 0 нь өгөгдсөн шулуун шугамд перпендикуляр байна. Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ. Шугаман хоорондын өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Жишээ. 3x – 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y – 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Шийдэл. Бид олох болно: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) гурвалжны оройг өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл. Бид AB талын тэгшитгэлийг олно: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Шаардлагатай өндрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b. k =. Дараа нь y =. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана. эндээс b = 17. Нийт: .

Хариулт: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Орон зай дахь шулууны каноник тэгшитгэл нь чиглэлийн вектортой өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх шулууныг тодорхойлох тэгшитгэл юм.

Цэг ба чиглэлийн векторыг өгье. Дурын цэг нь шулуун дээр байрладаг лЗөвхөн векторууд нь коллинеар байвал, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хувьд нөхцөл хангагдсан бол:

.

Дээрх тэгшитгэлүүд нь каноник тэгшитгэлЧигээрээ.

Тоонууд м , nТэгээд хкоординатын тэнхлэгүүд дээрх чиглэлийн векторын проекцууд юм. Вектор нь тэг биш тул бүх тоонууд м , nТэгээд хнэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Гэхдээ нэг хоёр нь тэг болж хувирч магадгүй. Жишээлбэл, аналитик геометрийн хувьд дараахь оруулгыг зөвшөөрдөг.

,

тэнхлэг дээрх векторын проекцууд гэсэн үг ӨөТэгээд Озтэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс каноник тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон вектор ба шулуун шугам хоёулаа тэнхлэгт перпендикуляр байна. ӨөТэгээд Оз, өөрөөр хэлбэл онгоцууд yOz .

Жишээ 1.Хавтгайд перпендикуляр огторгуйн шулууны тэгшитгэлийг бич мөн энэ хавтгайн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгээр дамжин өнгөрөх Оз .

Шийдэл. Энэ хавтгайн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё Оз. тэнхлэг дээр хэвтэж байгаа ямар ч цэгээс хойш Оз, координаттай байна, тэгвэл хавтгайн өгөгдсөн тэгшитгэлд тооцвол x = y = 0, бид 4-ийг авна z- 8 = 0 эсвэл z= 2 . Тиймээс энэ хавтгайн тэнхлэгтэй огтлолцох цэг Озкоординаттай (0; 0; 2) . Хүссэн шугам нь хавтгайд перпендикуляр тул түүний хэвийн вектортой параллель байна. Тиймээс шулуун шугамын чиглүүлэх вектор нь хэвийн вектор байж болно өгсөн онгоц.

Одоо цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг бичье А= (0; 0; 2) векторын чиглэлд:

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл

Шулуун шугамыг түүн дээр байрлах хоёр цэгээр тодорхойлж болно Тэгээд Энэ тохиолдолд шулуун шугамын чиглүүлэх вектор нь вектор байж болно. Дараа нь шугамын каноник тэгшитгэлүүд хэлбэрийг авна

.

Дээрх тэгшитгэлүүд нь өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шугамыг тодорхойлно.

Жишээ 2.болон цэгүүдийг дайран өнгөрөх огторгуйн шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. Онолын лавлагаанд дээр өгөгдсөн хэлбэрээр шулуун шугамын шаардлагатай тэгшитгэлийг бичье.

.

, тэгвэл хүссэн шулуун шугам нь тэнхлэгт перпендикуляр байна Өө .

Онгоцуудын огтлолцлын шугам шиг шулуун

Орон зайн шулуун шугамыг хоёр зэрэгцээ бус хавтгайн огтлолцлын шугам, өөрөөр хэлбэл хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг хангадаг цэгүүдийн багц гэж тодорхойлж болно.

Системийн тэгшитгэлийг мөн нэрлэдэг ерөнхий тэгшитгэлорон зайд шууд.

Жишээ 3.Ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн орон зай дахь шулууны канон тэгшитгэлийг зохио

Шийдэл. Шугамын каноник тэгшитгэл эсвэл өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бичихийн тулд та шулуун дээрх дурын хоёр цэгийн координатыг олох хэрэгтэй. Эдгээр нь жишээлбэл, дурын хоёр координатын хавтгайтай шулуун шугамын огтлолцох цэг байж болно yOzТэгээд xOz .

Шугаман ба хавтгайн огтлолцох цэг yOzабсциссатай x= 0. Тиймээс энэ тэгшитгэлийн системд таамаглаж байна x= 0, бид хоёр хувьсагчтай системийг авна.

Түүний шийдвэр y = 2 , z= 6-тай хамт x= 0 цэгийг тодорхойлно А(0; 2; 6) хүссэн мөр. Дараа нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн системд тооцно y= 0, бид системийг авна

Түүний шийдвэр x = -2 , z= 0-тэй хамт y= 0 цэгийг тодорхойлно Б(-2; 0; 0) хавтгайтай шулууны огтлолцол xOz .

Одоо цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бичье А(0; 2; 6) ба Б (-2; 0; 0) :

,

эсвэл хуваагчийг -2-т хуваасны дараа:

,