Лекц дээр LNDE-ийг судалдаг - шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл. Ерөнхий шийдлийн бүтцийг, дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашиглан LPDE-ийн шийдэл, LPDE-ийн шийдлийг авч үзнэ. тогтмол коэффициентүүдболон тусгай төрлийн баруун тал. Харж буй асуудлуудыг физик, цахилгаан инженерчлэл, электроникийн албадан хэлбэлзлийг судлах, автомат удирдлагын онолд ашигладаг.
1. 2-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийн бүтэц.
Эхлээд дурын дарааллын шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг авч үзье.
Тэмдэглэгээг харгалзан бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
Энэ тохиолдолд энэ тэгшитгэлийн коэффициент ба баруун тал нь тодорхой интервал дээр тасралтгүй байна гэж бид таамаглах болно.
Теорем. Тодорхой муж дахь шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь түүний аль нэг шийдлийн нийлбэр ба харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл юм.
Баталгаа. Y нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл байцгаая.
Дараа нь энэ шийдлийг анхны тэгшитгэлд орлуулахдаа бид ижил төстэй байдлыг олж авна.
Болъё 
- үндсэн системШугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлүүд 
. Дараа нь нийтлэг шийдвэрнэгэн төрлийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
Ялангуяа 2-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хувьд ерөнхий шийдийн бүтэц нь дараах хэлбэртэй байна.
Хаана 
нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн систем бөгөөд 
- нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн аливаа тодорхой шийдэл.
Тиймээс шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж, ямар нэгэн байдлаар тодорхой нэг шийдлийг олох шаардлагатай. нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл. Энэ нь ихэвчлэн сонголтоор олддог. Бид дараах асуултуудад хувийн шийдлийг сонгох аргуудыг авч үзэх болно.
2. Хувилбарын арга
Практикт дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашиглах нь тохиромжтой.
Үүнийг хийхийн тулд эхлээд дараах хэлбэрээр харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
Дараа нь коэффициентүүдийг тавина C би-аас функцууд X, нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлийг хайж байна:
Функцуудыг олох нь нотлогдож болно C би (x) Бид тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй:
Жишээ.Тэгшитгэлийг шийд 
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Тэгшитгэлийн системийг байгуулъя:
Энэ системийг шийдье:
Энэ хамаарлаас бид функцийг олно Өө).
Одоо бид олдог B(x).
Бид олж авсан утгыг нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийн томъёонд орлуулна.
Эцсийн хариулт: 
Ерөнхийдөө дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга нь шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдлийг олоход тохиромжтой. Гэхдээ учир нь Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг олох нь нэлээд хэцүү ажил байж болох бөгөөд энэ аргыг ихэвчлэн тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд ашигладаг.
3. Тусгай хэлбэрийн баруун талтай тэгшитгэлүүд
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн баруун талын төрлөөс хамааран тодорхой шийдлийн төрлийг төсөөлөх боломжтой юм шиг санагддаг.
Дараах тохиолдлуудыг ялгаж үздэг.
I. Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн баруун тал нь дараах хэлбэртэй байна.
градусын олон гишүүнт хаана байна м.
Дараа нь тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна.
Энд Q(x) -тэй ижил зэрэгтэй олон гишүүнт П(x) , хамар тодорхой бус коэффициентүүд, А r– тоо нь харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс болохыг хэдэн удаа харуулсан тоо.
Жишээ.Тэгшитгэлийг шийд 
.
Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдье. 
Одоо анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг олцгооё.
Тэгшитгэлийн баруун талыг дээр дурдсан баруун талын хэлбэртэй харьцуулж үзье.
Бид тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр хайж байна. 
, Хаана
Тэдгээр. 
Одоо үл мэдэгдэх коэффициентүүдийг тодорхойлъё АТэгээд IN.
Анхны нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлд ерөнхий хэлбэрээр тодорхой шийдлийг орлуулъя.
Нийт, хувийн шийдэл: 
Дараа нь шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:
II. Шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн баруун тал нь дараах хэлбэртэй байна.
Энд Р 1 (X)Тэгээд Р 2 (X)- зэрэглэлийн олон гишүүнт м 1 ба м 2 тус тус.
Дараа нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
дугаар хаана байна rтоог хэдэн удаа харуулдаг 
харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс ба Q 1
(x)
Тэгээд
Q 2
(x)
–аас ихгүй зэрэгтэй олон гишүүнт м, Хаана м- зэрэглэлийн хамгийн том нь м 1
Тэгээд м 2
.
Хувийн шийдлийн төрлүүдийн хураангуй хүснэгт
янз бүрийн төрлийн баруун гар талын хувьд
|
Дифференциал тэгшитгэлийн баруун тал |
шинж чанарын тэгшитгэл |
Хувийн төрлүүд |
|
|
|
1. Тоо нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш юм |
|
|
|
2. Тоо нь үржвэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс юм |
|
||
|
|
1. Тоо |
|
|
|
2. Тоо |
|
||
|
1. Тоонууд |
|
||
|
2. Тоонууд |
|
||
|
1. Тоонууд | |||
|
2. Тоонууд |
нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс биш юм
үржвэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс юм 
үржвэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс юм 
шинж чанарын олон тооны тэгшитгэлийн үндэс биш юм 
үржвэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс юм 
Хэрэв тэгшитгэлийн баруун тал нь дээр дурдсан төрлийн илэрхийллүүдийн хослол бол шийдлийг туслах тэгшитгэлийн шийдүүдийн хослол хэлбэрээр олно гэдгийг анхаарна уу. хослолд.
Тэдгээр. Хэрэв тэгшитгэл нь: 
, тэгвэл энэ тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл байх болно 
Хаана цагт 1
Тэгээд цагт 2
- туслах тэгшитгэлийн тодорхой шийдлүүд
Тэгээд 
Үүнийг харуулахын тулд дээрх жишээг өөр аргаар шийдье.
Жишээ.Тэгшитгэлийг шийд 
Дифференциал тэгшитгэлийн баруун талыг хоёр функцийн нийлбэрээр илэрхийлье е 1 (x) + е 2 (x) = x + (- нүгэл x).
Онцлогийн тэгшитгэлийг зохиож, шийдье.
Бид: өөрөөр хэлбэл. 
Нийт: 
Тэдгээр. Шаардлагатай тодорхой шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна. 
Нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:
Тайлбарласан аргуудын хэрэглээний жишээг авч үзье.
Жишээ 1..Тэгшитгэлийг шийд 
Харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийг зохиоё.
Одоо нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдлийг дараах хэлбэрээр олцгооё.
Тодорхойгүй коэффициентийн аргыг ашиглая.
Анхны тэгшитгэлийг орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
Тодорхой шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна. 
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл: 
Жишээ.Тэгшитгэлийг шийд 
Онцлог тэгшитгэл:
Нэг төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл: 
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тусгай шийдэл: 
.
Бид деривативуудыг олж, тэдгээрийг анхны жигд бус тэгшитгэлд орлуулна.
Бид нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авна.
Тогтмол коэффициенттэй шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг (LNDE-2) шийдвэрлэх үндэс (PC)
$p$ ба $q$ тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн LDDE нь $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ хэлбэртэй, $f\left(x) \right)$ нь тасралтгүй функц юм.
PC-тэй LNDU 2-ын тухайд дараах хоёр мэдэгдэл үнэн байна.
Зарим функц $U$ нь нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн дурын хэсэгчилсэн шийдэл гэж үзье. Мөн $Y$ зарим функцийг харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ийн ерөнхий шийдэл (GS) гэж үзье. Дараа нь -ийн GR LHDE-2 нь заасан хувийн болон ерөнхий шийдлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $y=U+Y$.
Хэрэв 2-р эрэмбийн LMDE-ийн баруун тал нь функцүүдийн нийлбэр бол $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, дараа нь бид эхлээд тохирох $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ PD-г олох болно. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ функц тус бүрд, дараа нь CR LNDU-2-г $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ хэлбэрээр бичнэ.
PC-тэй 2-р зэрэглэлийн LPDE-ийн шийдэл
Өгөгдсөн LNDU-2-ийн нэг буюу өөр PD $U$-ийн төрөл нь түүний баруун талын $f\left(x\right)$-ийн тодорхой хэлбэрээс хамаардаг нь ойлгомжтой. PD LNDU-2-ийг хайх хамгийн энгийн тохиолдлуудыг дараах дөрвөн дүрмийн хэлбэрээр томъёолсон болно.
Дүрэм №1.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй байх ба $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, өөрөөр хэлбэл үүнийг a $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд $Q_(n) \left(x\right)$ нь өөр байна. $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил хэмжээний олон гишүүнт ба $r$ нь язгуурын тоо юм. шинж чанарын тэгшитгэл LOD-2-д харгалзах, тэгтэй тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентийг тодорхойгүй коэффициентийн аргаар (Их Британи) олно.
Дүрэм №2.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй, энд $P_(n) \left( x\right)$ нь $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд энд $Q_(n) ) \ left(x\right)$ нь $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй өөр олон гишүүнт бөгөөд $r$ нь харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. $\alpha $-тай тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг NC аргаар олно.
Дүрэм №3.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) хэлбэртэй байна. \баруун) $, энд $a$, $b$ болон $\бета$ байна мэдэгдэж байгаа тоонууд. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) хэлбэрээр хайж байна. \right )\cdot x^(r) $, энд $A$ ба $B$ нь үл мэдэгдэх коэффициент, $r$ нь $i\cdot-тэй тэнцүү харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. \бета $. $A$ ба $B$ коэффициентүүдийг үл эвдэх аргыг ашиглан олно.
Дүрэм №4.
LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ хэлбэртэй байх ба энд $P_(n) \left(x\right)$ байна. $ n$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $P_(m) \left(x\right)$ нь $m$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=e^(\альфа \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ хэлбэрээр хайж олох бөгөөд $Q_(s) \left(x\right)$ болон $ R_(s) \left(x\right)$ нь $s$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $s$ тоо нь $n$ ба $m$ гэсэн хоёр тооны дээд тал нь, $r$ нь язгуурын тоо юм. $\alpha +i\cdot \beta $-тай тэнцүү харгалзах LODE-2-ийн шинж чанарын тэгшитгэлийн. $Q_(s) \left(x\right)$ ба $R_(s) \left(x\right)$ олон гишүүнтүүдийн коэффициентийг NC аргаар олно.
NK арга нь дараах дүрмийг хэрэгжүүлэхээс бүрдэнэ. LNDU-2 нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлийн хэсэг болох олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
- гэж ерөнхий хэлбэрээр бичсэн PD $U$-г орлуулна зүүн тал LNDU-2;
- LNDU-2-ын зүүн талд, ижил хүчин чадалтай хялбаршуулсан болон бүлгийн нэр томъёог гүйцэтгэнэ $x$;
- үр дүнгийн адилтгалд нэр томьёоны коэффициентийг зүүн ба баруун талуудын $x$ ижил чадалтай тэнцүүлэх;
- үүссэн системийг шийднэ шугаман тэгшитгэлүл мэдэгдэх коэффициентүүдтэй харьцуулахад.
Жишээ 1
Даалгавар: олох OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Мөн PD олох. , $x=0$ бол $y=6$, $x=0$ бол $y"=1$ гэсэн эхний нөхцлүүдийг хангаж байна.
Бид харгалзах LOD-2-г бичнэ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Онцлог тэгшитгэл: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс нь: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Эдгээр үндэс нь хүчинтэй бөгөөд ялгаатай. Тиймээс харгалзах LODE-2-ын OR нь дараах хэлбэртэй байна: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Энэхүү LNDU-2-ын баруун тал нь $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна. $\alpha =3$ экспонентийн коэффициентийг авч үзэх шаардлагатай. Энэ коэффициент нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэстэй давхцахгүй. Иймээс энэхүү LNDU-2-ын PD нь $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна.
Бид NC аргыг ашиглан $A$, $B$ коэффициентүүдийг хайх болно.
Бид Чех улсын анхны деривативыг оллоо:
$U"=\зүүн(A\cdot x+B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\баруун)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$
Бид Чех улсын хоёр дахь деривативыг олдог.
$U""=\зүүн(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot) A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \баруун)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\зүүн(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$
Өгөгдсөн NLDE-2 $y""-3\cdot y"-д $y""$, $y"$, $y$-ын оронд $U""$, $U"$, $U$ функцуудыг орлуулна. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Мөн $e^(3\cdot x)$ илтгэгч хүчин зүйл болгон орсон байдаг. Бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд үүнийг орхиж болно. Бид дараахыг авна.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\баруун)=36\cdot x+12.$
Бид үүссэн тэгш байдлын зүүн талд үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Бид NDT аргыг ашигладаг. Бид хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Энэ системийн шийдэл нь: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ бидний асуудлын хувьд дараах байдалтай байна: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
Бидний асуудлын OR $y=Y+U$ дараах байдалтай байна: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан PD-ийг хайхын тулд бид OP-ийн $y"$ деривативыг олно.
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Бид $y$ ба $y"$-д $y=6$-г $x=0$-д, $y"=1$-ийг $x=0$-д орлуулна:
$6=C_(1) +C_(2) -1; доллар
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Бид тэгшитгэлийн системийг хүлээн авсан:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Үүнийг шийдье. Бид $C_(1) $-г Крамерын томьёог ашиглан олж, $C_(2) $-г эхний тэгшитгэлээс тодорхойлно.
$C_(1) =\frac(\left|\begin(массив)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|)(\зүүн|\ эхлэл(массив)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Иймээс энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн PD нь дараах хэлбэртэй байна: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1) \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
|
Тогтмол коэффициент бүхий нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл |
|
Ерөнхий шийдлийн бүтэц Энэ төрлийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна. Хаана х, q− тогтмол тоо (энэ нь бодит эсвэл нийлмэл байж болно). Ийм тэгшитгэл бүрийн хувьд бид тохирохыг бичиж болно нэгэн төрлийн тэгшитгэл:
Теорем: Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь ерөнхий шийдийн нийлбэр юм y 0 (x) харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл ба тодорхой шийдэл y 1 (x) нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл:
Доор бид нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх хоёр аргыг авч үзэх болно. Тогтмол утгыг өөрчлөх арга Хэрэв ерөнхий шийдэл бол yХолбогдох нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн 0 нь мэдэгдэж байгаа бол нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ашиглан олж болно. тогтмол өөрчлөлтийн арга. Нэг төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь дараах хэлбэртэй байна. Байнгын оронд C 1 ба C 2 Бид туслах функцуудыг авч үзэх болно C 1 (x) Мөн C 2 (x). Бид шийдлийг олохын тулд эдгээр функцуудыг хайх болно баруун гар талтай нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийг хангасан е(x). Үл мэдэгдэх функцууд C 1 (x) Мөн C 2 (x) хоёр тэгшитгэлийн системээр тодорхойлогддог.
Тодорхой бус коэффициент арга Баруун хэсэг е(x) нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл нь ихэвчлэн олон гишүүнт, экспоненциал эсвэл тригонометрийн функц эсвэл эдгээр функцүүдийн зарим хослол юм. Энэ тохиолдолд ашиглан шийдлийг хайх нь илүү тохиромжтой тодорхойгүй коэффициентийн арга. Үүнийг онцолж хэлье энэ аргагэх мэт баруун талд байгаа функцүүдийн зөвхөн хязгаарлагдмал ангиллаар ажилладаг  Аль ч тохиолдолд тодорхой шийдлийн сонголт нь нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн баруун талын бүтэцтэй тохирч байх ёстой. 1-р тохиолдолд, хэрэв тоо α В экспоненциал функцшинж чанарын тэгшитгэлийн үндэстэй давхцаж байвал тухайн шийдэл нь нэмэлт хүчин зүйлийг агуулна x с, Хаана с− язгуурын олон талт байдал α шинж чанарын тэгшитгэлд. 2-р тохиолдолд, хэрэв тоо α + βiшинж чанарын тэгшитгэлийн язгууртай давхцаж байвал тухайн шийдлийн илэрхийлэлд нэмэлт хүчин зүйл орно x. Тодорхой шийдэлд олсон илэрхийллийг анхны нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлд орлуулах замаар үл мэдэгдэх коэффициентийг тодорхойлж болно. Суперпозиция зарчим Хэрэв нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн баруун тал нь хэмжээмаягтын хэд хэдэн функц Дараа нь дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл нь баруун талд байгаа гишүүн бүрийн хувьд тус тусад нь хийгдсэн хэсэгчилсэн шийдүүдийн нийлбэр байх болно. |
|
Жишээ 1 |
|
Дифференциал тэгшитгэлийг шийд y"" + y= нүгэл(2 x). Шийдэл. Эхлээд бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ y"" + y= 0.V энэ тохиолдолдшинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь зөвхөн төсөөлөлтэй байна: Үүний үр дүнд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг илэрхийллээр өгнө Нэг төрлийн бус тэгшитгэл рүү дахин орцгооё. Бид түүний шийдлийг хэлбэрээр хайх болно тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашиглан. Функцүүд C 1 (x) Мөн C 2 (x) -аас олж болно дараагийн системтэгшитгэл:
Деривативыг илэрхийлье C 1 " (x) эхний тэгшитгэлээс:
Хоёрдахь тэгшитгэлд орлуулж бид деривативыг олно C 2 " (x):
Үүнийг дагадаг Деривативын илэрхийлэлүүдийг нэгтгэх C 1 " (x) Мөн C 2 " (x), бид дараахь зүйлийг авна. Хаана А 1 , А 2 – интеграцийн тогтмолууд. Одоо олдсон функцуудыг орлуулж үзье C 1 (x) Мөн C 2 (x) томъёонд оруулна y 1 (x) ба нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг бичнэ үү.
|
|
Жишээ 2 |
|
Тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол y"" + y" −6y = 36x. Шийдэл. Тодорхойгүй коэффициентийн аргыг ашиглая. Өгөгдсөн тэгшитгэлийн баруун тал нь шугаман функц е(x)= сүх + б. Тиймээс бид тодорхой шийдлийг хэлбэрээр хайх болно Дериватив нь тэнцүү байна:
Үүнийг дифференциал тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
Сүүлийн тэгшитгэл нь ижил төстэй байдал, өөрөөр хэлбэл энэ нь бүх хүнд хүчинтэй байдаг x, тиймээс бид нэр томъёоны коэффициентүүдийг ижил зэрэгтэй тэнцүүлж байна xзүүн ба баруун талд: Үүссэн системээс бид дараахь зүйлийг олж авна. А = −6, Б= −1. Үүний үр дүнд тодорхой шийдэл нь маягт дээр бичигдсэн байдаг Одоо нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олъё. Туслах шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг тооцоолъё. Тиймээс харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна. Тиймээс анхны нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг томъёогоор илэрхийлнэ |
DE-ийн ерөнхий интеграл.
Дифференциал тэгшитгэлийг шийд
Гэхдээ хамгийн инээдтэй нь хариулт нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаа юм: , илүү тодорхой, бид бас тогтмол нэмэх ёстой: Ерөнхий интеграл нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга. Шийдлийн жишээ
Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Энэ хичээл нь тухайн сэдвийг аль хэдийн сайн эсвэл бага мэддэг оюутнуудад зориулагдсан болно. Хэрэв та алсын удирдлагатай дөнгөж танилцаж эхэлж байгаа бол, i.e. Хэрэв та цайны хүн бол эхний хичээлээс эхлэхийг зөвлөж байна. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Шийдлийн жишээ. Хэрэв та аль хэдийн дуусгаж байгаа бол энэ аргыг хэцүү гэсэн урьдчилсан төсөөллөөс татгалзана уу. Учир нь энэ нь энгийн.
Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ямар тохиолдолд ашигладаг вэ?
1) Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно 1-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус DE. Тэгшитгэл нь эхний эрэмбийн тул тогтмол нь бас нэг байна.
2) Заримыг шийдэхийн тулд дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн аргыг ашигладаг шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл. Энд хоёр тогтмол нь өөр байна.
Хичээл хоёр догол мөрөөс бүрдэнэ гэж үзэх нь логик юм... Тиймээс би энэ өгүүлбэрийг бичиж, практик жишээнүүд рүү жигд шилжихийн тулд өөр ямар ухаалаг новш нэмж болох талаар 10 орчим минутын турш шаналж бодсон. Гэхдээ яагаад ч юм амралтын дараа надад ямар ч санаа зовсонгүй, гэхдээ би юу ч хүчирхийлээгүй юм шиг байна. Тиймээс эхний догол мөр рүү шууд орцгооё.
Дурын тогтмолыг өөрчлөх арга нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн хувьд
Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг авч үзэхээсээ өмнө нийтлэлтэй танилцахыг зөвлөж байна. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл. Тэр хичээл дээр бид дадлага хийсэн эхний шийдэлнэгэн төрлийн бус 1-р эрэмбийн DE. Энэхүү анхны шийдлийг би танд сануулж байна солих аргаэсвэл Бернулли арга(үүнтэй андуурч болохгүй Бернуллигийн тэгшитгэл!!!)
Одоо бид харах болно хоёр дахь шийдэл– дурын тогтмолыг өөрчлөх арга. Би зөвхөн гурван жишээ хэлье, дээр дурдсан хичээлээс авч үзье. Яагаад ийм цөөхөн гэж? Учир нь үнэн хэрэгтээ хоёр дахь аргын шийдэл нь эхний аргын шийдэлтэй маш төстэй байх болно. Нэмж дурдахад, миний ажигласнаар дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг орлуулах аргыг бодвол бага ашигладаг.
Жишээ 1
Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол (Хичээлийн 2-р жишээнээс ялгаатай 1-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл)
Шийдэл:Энэ тэгшитгэл нь шугаман нэг төрлийн бус бөгөөд танил хэлбэртэй байна:
Эхний шатанд илүү энгийн тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай байна: Өөрөөр хэлбэл, бид тэнэг байдлаар баруун талыг тэг болгож, оронд нь тэг гэж бичнэ. Би тэгшитгэлийг нэрлэх болно туслах тэгшитгэл.
Энэ жишээнд та дараах туслах тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.
Бидний өмнө салгаж болох тэгшитгэл, үүний шийдэл нь танд хэцүү байхаа больсон гэж найдаж байна:
Ийнхүү: – туслах тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.
Хоёр дахь алхам дээр бид солих болнозарим тогтмол Одоогын хувьд"x"-ээс хамаарах үл мэдэгдэх функц:
Тиймээс аргын нэр - бид тогтмолыг өөрчилдөг. Өөрөөр хэлбэл, тогтмол нь бидний одоо олох ёстой зарим функц байж болно.
IN эхнэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд бид орлуулалтыг хийнэ:
Тэгшитгэлд орлуулъя:
Хяналтын цэг - зүүн талд байгаа хоёр нэр томъёог цуцална. Хэрэв ийм зүйл болохгүй бол та дээрх алдааг хайх хэрэгтэй.
Орлуулалтын үр дүнд салангид хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авав. Бид хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэдэг.
Ямар их адислал вэ, илтгэгчид мөн цуцална:
Бид олсон функцэд "хэвийн" тогтмолыг нэмнэ:
Эцсийн шатанд бид солигдсоноо санаж байна.
Функц саяхан олдлоо!
Тиймээс ерөнхий шийдэл нь:
Хариулт:нийтлэг шийдвэр: 
Хэрэв та хоёр шийдлийг хэвлэвэл бид хоёр тохиолдолд ижил интеграл олсон гэдгийг та амархан анзаарах болно. Ганц ялгаа нь шийдлийн алгоритмд л байна.
Одоо илүү төвөгтэй зүйл бол би хоёр дахь жишээн дээр тайлбар өгөх болно:
Жишээ 2
Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол (Хичээлийн 8-р жишээн дэх ялгаа 1-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл)
Шийдэл:Тэгшитгэлийг дараах хэлбэртэй болгоё.
Баруун талыг дахин тохируулж, туслах тэгшитгэлийг шийдье.
Бид хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэдэг: Туслах тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:
Нэг төрлийн бус тэгшитгэлд бид орлуулалтыг хийдэг.
Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу:
Анхны нэг төрлийн бус тэгшитгэлд орлуулъя:
Зүүн талд байгаа хоёр нэр томъёо хүчингүй болж, энэ нь бид зөв зам дээр байна гэсэн үг юм: 
Хэсэгээр нь нэгтгэе. Хэсгийн томъёогоор нэгтгэх амттай үсэг нь шийдэлд аль хэдийн орсон тул бид жишээ нь "a" ба "be" үсгүүдийг ашигладаг.
Эцэст нь:
Одоо орлуулалтыг санацгаая:
Хариулт:нийтлэг шийдвэр:
Дурын тогтмолуудын өөрчлөлтийн арга шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн хувьд тогтмол коэффициенттэй
Хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлд дурын тогтмолыг өөрчлөх арга нь тийм ч амар зүйл биш гэсэн бодлыг би олонтаа сонсож байсан. Гэхдээ би дараахь зүйлийг таамаглаж байна: энэ арга нь тийм ч олон тохиолддоггүй тул олон хүнд хэцүү мэт санагддаг. Гэвч бодит байдал дээр онцгой бэрхшээл байхгүй - шийдвэрийн явц нь тодорхой, ил тод, ойлгомжтой байдаг. Бас үзэсгэлэнтэй.
Энэ аргыг эзэмшихийн тулд баруун талын хэлбэрт үндэслэн тодорхой шийдлийг сонгох замаар нэгэн төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвартай байх нь зүйтэй юм. Энэ арганийтлэлд дэлгэрэнгүй авч үзсэн Нэг төрлийн бус 2-р эрэмбийн DE. Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болохыг бид санаж байна.
Дээрх хичээл дээр авч үзсэн сонголтын арга нь баруун тал нь олон гишүүнт, экспоненциал, синус, косинус агуулсан цөөн тооны тохиолдолд л ажилладаг. Гэхдээ баруун талд, жишээлбэл, бутархай, логарифм, тангенс байвал яах вэ? Ийм нөхцөлд тогтмол хэмжигдэхүүнийг өөрчлөх арга нь аврах ажилд ирдэг.
Жишээ 4
Хоёрдахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол 
Шийдэл:Энэ тэгшитгэлийн баруун талд бутархай байгаа тул тодорхой шийдлийг сонгох арга нь ажиллахгүй гэж шууд хэлж болно. Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг.
Аадар борооны шинж тэмдэг байхгүй, шийдлийн эхлэл нь ердийн зүйл юм.
Бид олох болно нийтлэг шийдвэртохиромжтой нэгэн төрлийнтэгшитгэл:
Онцлогийн тэгшитгэлийг зохиож, шийдье. 
– коньюгат нийлмэл үндсийг олж авдаг тул ерөнхий шийдэл нь:
Ерөнхий шийдлийн бүртгэлд анхаарлаа хандуулаарай - хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг нээнэ үү.
Одоо бид нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэлтэй бараг ижил арга барилыг хийж байна: бид тогтмолуудыг өөрчилдөг, тэдгээрийг үл мэдэгдэх функцээр сольдог. Тэр бол, нэгэн төрлийн бус ерөнхий шийдэлБид тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр хайх болно.
Хаана - Одоогын хувьдүл мэдэгдэх функцууд.
Хогийн цэг шиг харагдаж байна ахуйн хог хаягдал, гэхдээ одоо бид бүгдийг цэгцлэх болно.
Үл мэдэгдэх нь функцүүдийн деривативууд юм. Бидний зорилго бол дериватив олох бөгөөд олсон дериватив нь системийн эхний болон хоёрдугаар тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангах ёстой.
"Грекчүүд" хаанаас ирсэн бэ? Өрөвтас тэднийг авчирдаг. Бид өмнө нь олж авсан ерөнхий шийдлийг хараад дараах зүйлийг бичнэ.
Деривативуудыг олцгооё:
Зүүн хэсгүүдийг зохицуулсан. Баруун талд юу байна?
- энэ бол баруун тал анхны тэгшитгэл, энэ тохиолдолд:
Энэ нийтлэлд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асуудлыг авч үзнэ. Онолыг өгөгдсөн асуудлын жишээнүүдийн хамт авч үзэх болно. Тодорхой бус нэр томьёог тайлахын тулд дифференциал тэгшитгэлийн онолын үндсэн тодорхойлолт, ойлголтын талаархи сэдвийг судлах шаардлагатай.
y "" + p · y " + q · y = f (x) хэлбэрийн тогтмол коэффициент бүхий хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг (LDE) авч үзье, энд p ба q нь дурын тоо, одоо байгаа f функц байна. (x) нь x интегралчлалын интервал дээр тасралтгүй байна.
LNDE-ийн ерөнхий шийдлийн теоремын томъёолол руу шилжье.
Yandex.RTB R-A-339285-1
LDNU-ийн шийдлийн ерөнхий теорем
Теорем 1y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн x интервал дээр байрлах ерөнхий шийдэл. . . + f 0 (x) · y = f (x) x интервал дээрх тасралтгүй интегралын коэффициенттэй f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ба тасралтгүй функц f (x) нь y 0 ерөнхий шийдийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь LOD ба зарим нэг тодорхой y ~ шийдэлтэй тохирч байх ба энд анхны нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл нь y = y 0 + y ~ байна.
Энэ нь ийм 2-р эрэмбийн тэгшитгэлийн шийдэл y = y 0 + y ~ хэлбэртэй болохыг харуулж байна. y 0-ийг олох алгоритмыг тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай өгүүллээр авч үзнэ. Үүний дараа бид y ~-ийн тодорхойлолт руу шилжих хэрэгтэй.
LPDE-ийн тодорхой шийдлийг сонгох нь тэгшитгэлийн баруун талд байрлах боломжтой f (x) функцийн төрлөөс хамаарна. Үүний тулд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.
f (x)-ийг n-р зэргийн олон гишүүнт гэж үзэх үед f (x) = P n (x) y ~ = Q n (x) хэлбэрийн томъёог ашиглан LPDE-ийн тодорхой шийдлийг олно. ) x γ, энд Q n ( x) нь n зэрэгтэй олон гишүүнт, r нь шинж чанарын тэгшитгэлийн тэг язгуурын тоо юм. y ~ утга нь тодорхой шийдэл y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , дараа нь олон гишүүнтээр тодорхойлогддог боломжит коэффициентүүд.
Q n (x), бид y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээс тодорхойгүй коэффициентүүдийн аргыг ашиглан олдог.
Жишээ 1
Коши теоремыг ашиглан тооцоолно y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Шийдэл
Өөрөөр хэлбэл y "" - 2 y " = x 2 + 1 тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд шилжих шаардлагатай бөгөөд энэ нь өгөгдсөн y (0) нөхцлийг хангах болно. = 2, y "(0) = 1 4 .
Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y 0 тэгшитгэл эсвэл нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлтэй y ~, өөрөөр хэлбэл у = у 0 + у ~ тэгшитгэлд тохирох ерөнхий шийдийн нийлбэр юм.
Эхлээд бид LNDU-ийн ерөнхий шийдлийг, дараа нь тодорхой шийдлийг олох болно.
y 0-ийг олохоор үргэлжлүүлье. Онцлог тэгшитгэлийг бичих нь үндсийг олоход тусална. Бид үүнийг ойлгодог
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Үндэс нь өөр, бодитой гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс бичье
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
y ~ ийг олцгооё. Эндээс харахад өгөгдсөн тэгшитгэлийн баруун тал нь 2-р зэргийн олон гишүүнт байвал язгууруудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байна. Эндээс бид y ~-ийн тодорхой шийдэл байх болно
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, A, B, C-ийн утгууд нь тодорхойлогдоогүй коэффициентүүдийг авдаг.
Тэдгээрийг y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 хэлбэрийн тэгшитгэлээс олъё.
Дараа нь бид үүнийг олж авна:
y ~ "" - 2 у ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Х-ийн ижил илтгэгчтэй коэффициентүүдийг тэнцүүлэхдээ бид шугаман илэрхийллийн системийг олж авна - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Аль нэг аргаар шийдэхдээ коэффициентийг олоод бичнэ: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4, y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 х 3 - 1 4 х 2 - 3 4 х.
Энэ оруулгыг тогтмол коэффициент бүхий анхны шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.
y (0) = 2, y "(0) = 1 4 нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг олохын тулд утгуудыг тодорхойлох шаардлагатай. C 1Тэгээд C 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x хэлбэрийн тэгшитгэл дээр үндэслэсэн.
Бид үүнийг олж авдаг:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Бид үүссэн C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 хэлбэрийн тэгшитгэлийн системтэй ажилладаг бөгөөд үүнд C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 байна.
Кошигийн теоремыг ашиглавал бидэнд ийм байна
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Хариулт: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
f (x) функцийг n зэрэгтэй олон гишүүнт ба илтгэгч f (x) = P n (x) · e a x үржвэрээр дүрсэлсэн тохиолдолд бид хоёр дахь эрэмбийн LPDE-ийн тодорхой шийдэл нь байх болно гэдгийг олж авна. y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ хэлбэрийн тэгшитгэл, энд Q n (x) нь n-р зэргийн олон гишүүнт, r нь α-тай тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм.
Q n (x) -д хамаарах коэффициентүүдийг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээр олно.
Жишээ 2
y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
Шийдэл
Тэгшитгэл ерөнхий үзэл y = y 0 + y ~ . Заасан тэгшитгэл нь LOD y "" - 2 y " = 0-тэй тохирч байна. Өмнөх жишээнээс харахад түүний үндэс нь тэнцүү байна. k 1 = 0ба k 2 = 2 ба y 0 = C 1 + C 2 e 2 x шинж чанарын тэгшитгэлээр.
Тэгшитгэлийн баруун тал нь x 2 + 1 · e x байгааг харж болно. Эндээс LPDE-ийг y ~ = e a x · Q n (x) · x γ-ээр дамжуулан олно, энд Q n (x) нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт бөгөөд энд α = 1 ба r = 0, учир нь шинж чанарын тэгшитгэл биш юм. язгуур нь 1-тэй тэнцүү байна. Эндээс бид үүнийг олж авдаг
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C нь y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x тэгшитгэлээр олдох үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм.
Ойлголоо
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 у ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Бид ижил коэффициент бүхий үзүүлэлтүүдийг тэнцүүлж, шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. Эндээс бид A, B, C-г олно:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Хариулт: y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 нь LNDDE-ийн тодорхой шийдэл болох нь тодорхой бөгөөд y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.
Функцийг f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x гэж бичихэд, ба А 1Тэгээд ДАХЬ 1тоонууд бол LPDE-ийн хэсэгчилсэн шийдлийг y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ хэлбэрийн тэгшитгэл гэж үзэх ба энд A ба B нь тодорхойгүй коэффициент гэж тооцогддог ба r нь тоо юм. ± i β-тэй тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой цогц коньюгат үндэс. Энэ тохиолдолд коэффициентийн хайлтыг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэл ашиглан гүйцэтгэнэ.
Жишээ 3
y "" + 4 у = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.
Шийдэл
Шинж чанар тэгшитгэлийг бичихийн өмнө бид y 0-ийг олно. Дараа нь
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Бид хос хосолсон цогц үндэстэй. Хувиргаад авцгаая:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь хосолсон хос ± 2 i, дараа нь f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) гэж үзнэ. Энэ нь y ~-ийн хайлтыг y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x-ээс хийх болно гэдгийг харуулж байна. Үл мэдэгдэх Бид y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн тэгшитгэлээс А ба В коэффициентийг хайх болно.
Хөрвүүлье:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Тэгвэл энэ нь ойлгомжтой
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Синус ба косинусын коэффициентийг тэнцүүлэх шаардлагатай. Бид маягтын системийг авдаг:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Эндээс y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x болно.
Хариулт:Тогтмол коэффициент бүхий анхны хоёр дахь эрэмбийн LDDE-ийн ерөнхий шийдлийг авч үзнэ
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) үед у ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m болно. (x) cos (β x) x γ. Бидэнд r нь α ± i β-тэй тэнцүү, α ± i β-тэй тэнцүү, шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой нийлмэл нийлмэл хос язгууруудын тоо, P n (x), Q k (x), L m (x) ба Нм(х) n, k, m, m зэрэгтэй олон гишүүнт, энд m = m a x (n, k). Коэффициент олох Лм(х)Тэгээд Нм(х) y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэл дээр үндэслэн хийгдсэн.
Жишээ 4
y "" + 3 у " + 2 у = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ерөнхий шийдийг ол.
Шийдэл
Нөхцөл байдлаас харахад ойлгомжтой
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Тэгвэл m = m a x (n, k) = 1 байна. Бид эхлээд дараах хэлбэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийг бичих замаар y 0-ийг олно.
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
Үндэс нь жинхэнэ бөгөөд тодорхой гэдгийг бид олж мэдсэн. Эндээс y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Дараа нь y ~ хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл дээр суурилсан ерөнхий шийдлийг хайх шаардлагатай.
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C) x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
α ± i β = 3 ± 5 · i гэсэн шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой хос коньюгат үндэс байхгүй тул A, B, C нь коэффициентууд, r = 0 гэдгийг мэддэг. Үр дүнгийн тэгшитгэлээс бид эдгээр коэффициентийг олно.
y ~ "" - 3 у ~ " + 2 у ~ = - e 3 x ((38 x + 45) син (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x +) D) нүгэл (5 х))) = - e 3 х ((38 х + 45) нүгэл (5 х) + (8 х - 5) cos (5 х))
Дериватив болон ижил төстэй нэр томъёог олох нь өгдөг
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Коэффициентийг тэгшитгэсний дараа бид маягтын системийг олж авна
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Бүх зүйлээс үүнийг дагадаг
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) гэм (5 x))
Хариулт:Одоо бид өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авлаа.
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
LDNU-г шийдвэрлэх алгоритм
Тодорхойлолт 1Шийдлийн бусад төрлийн f (x) функц нь шийдлийн алгоритмыг дагаж мөрдөхийг шаарддаг:
- харгалзах шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох, энд y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, энд y 1Тэгээд y 2 LODE-ийн шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлүүд, C 1Тэгээд C 2дурын тогтмол гэж үздэг;
- LNDE-ийн ерөнхий шийдэл болгон батлах y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 "(х) хэлбэрийн системээр функцийн деривативыг тодорхойлох x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , ба олох функцууд C 1 (x)ба C 2 (x) интегралаар дамжуулан.
Жишээ 5
y "" + 36 у = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x-ийн ерөнхий шийдийг ол.
Шийдэл
Бид өмнө нь y 0, y "" + 36 y = 0 гэж бичээд шинж чанарын тэгшитгэлийг бичиж эхэлнэ. Бичиж шийдье:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = нүгэл (6 x)
Өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) гэж бичнэ. Дериватив функцүүдийн тодорхойлолт руу шилжих шаардлагатай байна C 1 (x)Тэгээд C2(x)тэгшитгэл бүхий системийн дагуу:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (нүгэл (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 нүгэл (6 х) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
талаар шийдвэр гаргах хэрэгтэй C 1" (x)Тэгээд C 2" (x)ямар ч аргыг ашиглан. Дараа нь бид бичнэ:
C 1 " (x) = - 4 нүгэл 2 (6 х) + 2 нүгэл (6 х) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 нүгэл (6 х) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Тэгшитгэл бүрийг нэгтгэсэн байх ёстой. Дараа нь бид үүссэн тэгшитгэлийг бичнэ.
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
Үүнээс үзэхэд ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 нүгэл (6 x)
Хариулт: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 х)
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
