Гэр Амны хөндий Ерөнхий шийдлийг олоод fsr-ээр бич. Систем ба fsr-ийн ерөнхий шийдлийг ол

Амны хөндий

Ерөнхий шийдлийг олоод fsr-ээр бич. Систем ба fsr-ийн ерөнхий шийдлийг ол

Нэг төрлийн систем шугаман тэгшитгэлталбай дээгүүр

ТОДОРХОЙЛОЛТ. Тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн үндсэн систем (1) нь түүний шийдлүүдийн хоосон бус шугаман бие даасан систем бөгөөд шугаман хүрээ нь (1) системийн бүх шийдлүүдийн багцтай давхцдаг.

Зөвхөн тэг шийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системд шийдлийн үндсэн систем байдаггүй гэдгийг анхаарна уу.

САНАЛ 3.11. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн аль ч хоёр үндсэн систем нь ижил тооны шийдээс бүрдэнэ.

Баталгаа. Үнэн хэрэгтээ нэгэн төрлийн (1) тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн аль ч хоёр үндсэн систем нь эквивалент ба шугаман бие даасан байдаг. Тиймээс 1.12-р саналын дагуу тэдний зэрэглэл тэнцүү байна. Тиймээс нэгд багтсан шийдлүүдийн тоо үндсэн систем, шийдлийн бусад суурь системд багтсан шийдлүүдийн тоотой тэнцүү байна.

Хэрэв (1) тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн А матриц тэг байвал -аас авсан дурын вектор нь (1) системийн шийдэл болно; энэ тохиолдолд аливаа цуглуулга шугаман байна бие даасан векторууднь шийдлийн үндсэн систем юм. Хэрэв А матрицын баганын зэрэглэл нь -тэй тэнцүү бол систем (1) нь зөвхөн нэг шийдэлтэй - тэг; тиймээс энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн систем (1) нь шийдлийн үндсэн системгүй болно.

ТЕОРЕМ 3.12. Хэрэв шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэглэл (1) нь хувьсагчийн тооноос бага бол (1) систем нь шийдлүүдээс бүрдсэн үндсэн шийдлийн системтэй байна.

Баталгаа. Нэг төрлийн системийн (1) үндсэн А матрицын зэрэглэл нь тэг буюу -тэй тэнцүү бол теорем үнэн болохыг дээр харуулав. Тиймээс, доор нь бид А матрицын эхний баганууд шугаман бие даасан байна гэж таамаглах болно. Энэ тохиолдолд А матриц нь багассан шаталсан матрицтай эгнээний дагуу тэнцүү, систем (1) нь дараах бууруулсан шаталсан тэгшитгэлийн системтэй тэнцүү байна.

Үнэгүй үнэ цэнийн аливаа системийг шалгахад хялбар байдаг системийн хувьсагч(2) систем (2) ба тиймээс (1) системд нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй тохирч байна. Ялангуяа систем (2) ба системийн (1) зөвхөн тэг шийдэл нь тэг утгын системд тохирно.

(2) системд бид үнэ төлбөргүй аль нэгийг нь оноох болно хувьсагчийн утга, 1-тэй тэнцүү, үлдсэн хувьсагчид тэг утгатай байна. Үүний үр дүнд бид (2) тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийг олж авдаг бөгөөд үүнийг дараахь С матрицын мөр хэлбэрээр бичнэ.

Энэ матрицын эгнээний систем нь шугаман бие даасан байна. Үнэн хэрэгтээ, тэгш байдлаас ямар ч скалярын хувьд

тэгш байдал дагадаг

улмаар тэгш байдал

С матрицын эгнээний системийн шугаман зай нь (1) системийн бүх шийдлийн олонлогтой давхцаж байгааг баталцгаая.

Системийн дурын шийдэл (1). Дараа нь вектор

нь мөн системийн шийдэл юм (1) ба

Та асуудлаа шийдэх нарийн шийдлийг захиалах боломжтой!!!

Энэ нь юу болохыг ойлгохын тулд үндсэн шийдвэрийн системТа товшиж ижил жишээний видео хичээлийг үзэж болно. Одоо бүхэлд нь тайлбар руу шилжье шаардлагатай ажил. Энэ нь энэ асуудлын мөн чанарыг илүү нарийвчлан ойлгоход тусална.

Шугаман тэгшитгэлийн шийдлийн үндсэн системийг хэрхэн олох вэ?

Жишээлбэл, дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье.

Энэ шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олъё. Эхлэхийн тулд бид та системийн коэффициент матрицыг бичих хэрэгтэй.

Энэ матрицыг гурвалжин болгон хувиргацгаая.Бид эхний мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(11)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(21)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд хоёр дахь мөрөөс эхнийхийг хасаад, хоёр дахь мөрөнд зөрүүг бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд 3 дахь мөрөнд эхнийхийг хасаад зөрүүг 3 дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(41)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасч, зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(31)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд эхний үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй.

Бид эхний болон хоёр дахь мөрийг өөрчлөлтгүйгээр дахин бичдэг. Мөн $a_(22)$-аас доош байгаа бүх элементүүдийг тэг болгох ёстой. $a_(32)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд гурав дахь мөрөнд хоёр дахь нь 2-оор үржсэнийг хасаад зөрүүг гурав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(42)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд дөрөв дэх мөрөнд хоёр дахь үржвэрийг 2-оор үржүүлж хасч, зөрүүг дөрөв дэх мөрөнд бичих хэрэгтэй. $a_(52)$ элементийн оронд тэг болгохын тулд тав дахь мөрөнд хоёр дахь нь 3-аар үржсэнийг хасаад зөрүүг тав дахь мөрөнд бичих хэрэгтэй.

Бид үүнийг харж байна сүүлийн гурван мөр ижил байна, тэгэхээр дөрөв, таваас гурав дахь хэсгийг хасвал тэдгээр нь тэг болно.

Энэ матрицын дагуу бичих шинэ системтэгшитгэл.

Бидэнд зөвхөн гурван шугаман бие даасан тэгшитгэл, таван үл мэдэгдэх тэгшитгэл байгаа тул шийдлийн үндсэн систем нь хоёр вектороос бүрдэнэ. Тэгэхээр бид Бид сүүлийн хоёр үл мэдэгдэх зүйлийг баруун тийш шилжүүлэх хэрэгтэй.

Одоо бид зүүн талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун талд байгаа хүмүүсээр дамжуулан илэрхийлж эхэлнэ. Бид хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс эхэлж, эхлээд $x_3$-ыг илэрхийлээд дараа нь гарсан үр дүнг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, $x_2$-ыг, дараа нь эхний тэгшитгэлд $x_1$-ийг илэрхийлнэ. Тиймээс бид зүүн талд байгаа бүх үл мэдэгдэх зүйлийг баруун талд байгаа үл мэдэгдэх зүйлсээр илэрхийлэв.

Дараа нь $x_4$ ба $x_5$-ын оронд бид дурын тоог орлуулж $x_1$, $x_2$, $x_3$-г олох боломжтой. Эдгээр таван тоо бүр нь бидний анхны тэгшитгэлийн системийн үндэс болно. Үүнд багтсан векторуудыг олох FSRбид $x_4$-ын оронд 1-ийг орлуулах, $x_5$-ийн оронд 0-ийг орлуулах, $x_1$, $x_2$ ба $x_3$-ийг олох, дараа нь эсрэгээр $x_4=0$ ба $x_5=1$-ийг олох хэрэгтэй.

Бид технологио үргэлжлүүлэн өнгөлөх болно анхан шатны өөрчлөлтүүддээр шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем.
Эхний догол мөрөнд үндэслэн материал нь уйтгартай, дунд зэргийн мэт санагдаж болох ч энэ сэтгэгдэл нь хуурамч юм. Техникийн техникийг цаашид хөгжүүлэхээс гадна олон зүйл байх болно шинэ мэдээлэл, тиймээс энэ нийтлэл дэх жишээнүүдийг үл тоомсорлохгүй байхыг хичээгээрэй.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем гэж юу вэ?

Хариулт нь өөрийгөө харуулж байна. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь чөлөөт гишүүн бол нэгэн төрлийн байна хүн бүрсистемийн тэгшитгэл тэг байна. Жишээлбэл:

Энэ нь туйлын тодорхой юм нэгэн төрлийн систем нь үргэлж тогтвортой байдаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь үргэлж шийдэлтэй байдаг. Юуны өмнө таны анхаарлыг татдаг зүйл бол энэ юм өчүүхэншийдэл . Өчүүхэн гэдэг нь нэр үгийн утгыг огт ойлгодоггүй хүмүүсийн хувьд шоудах зүйлгүй гэсэн үг. Мэдээжийн хэрэг эрдэм шинжилгээний хувьд биш, гэхдээ ойлгомжтой =) ...Яагаад бутыг тойрон цохих вэ, энэ системд өөр шийдэл байгаа эсэхийг олж мэдье:

Жишээ 1

Шийдэл: нэгэн төрлийн системийг шийдэхийн тулд бичих шаардлагатай системийн матрицмөн энгийн хувиргалтын тусламжтайгаар шаталсан хэлбэрт аваачна. Энд босоо бар болон чөлөөт нэр томъёоны тэг баганыг бичих шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу - эцэст нь та тэгтэй юу ч хийсэн хамаагүй тэд тэг хэвээр байх болно.

(1) Эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд нэмж, -2-оор үржүүлсэн. Эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмж, -3-аар үржүүлсэн.

(2) Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмж, -1-ээр үржүүлсэн.

Гурав дахь мөрийг 3-т хуваах нь тийм ч утгагүй юм.

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд ижил төстэй нэгэн төрлийн системийг олж авдаг , болон, өргөдөл гаргах урвуу цус харвалтГауссын аргын хувьд шийдэл нь өвөрмөц эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

Хариулах:

Тодорхой шалгуурыг томъёолъё: шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем байна зүгээр л өчүүхэн шийдэл, Хэрэв системийн матрицын зэрэглэл(В энэ тохиолдолд 3) хувьсагчийн тоотой тэнцүү (энэ тохиолдолд - 3 ширхэг).

Радиогоо дулаацуулж, энгийн өөрчлөлтийн давалгаанд тохируулцгаая.

Жишээ 2

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийг шийд

Алгоритмыг нэгтгэхийн тулд эцсийн даалгаврыг задлан шинжилье:

Жишээ 7

Нэг төрлийн системийг шийдэж, хариултыг вектор хэлбэрээр бичнэ үү.

Шийдэл: системийн матрицыг бичээд энгийн хувиргалтуудыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт оруулъя:

(1) Эхний мөрийн тэмдэг өөрчлөгдсөн. Дахин нэг удаа би олон удаа тулгарч байсан техникт анхаарлаа хандуулж, дараагийн үйлдлийг ихээхэн хялбаршуулах боломжийг танд олгоно.

(1) Эхний мөрийг 2, 3-р мөрөнд нэмсэн. 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг 4-р мөрөнд нэмэв.

(3) Сүүлийн гурван мөр нь пропорциональ, хоёрыг нь хассан.

Үүний үр дүнд стандарт алхамын матрицыг олж авах бөгөөд шийдэл нь нугасан замын дагуу үргэлжилнэ.

- үндсэн хувьсагч;
- чөлөөт хувьсагч.

Үндсэн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье. 2-р тэгшитгэлээс:

- 1-р тэгшитгэлд орлуулах:

Тиймээс, нийтлэг шийдвэр:

Харж буй жишээнд гурван чөлөөт хувьсагч байгаа тул үндсэн систем нь гурван векторыг агуулна.

Гурвалсан утгыг орлуулъя ерөнхий шийдэлд оруулж, координат нь нэгэн төрлийн системийн тэгшитгэл бүрийг хангадаг векторыг олж авна. Дахин хэлэхэд, хүлээн авсан вектор бүрийг шалгахыг зөвлөж байна - энэ нь их цаг хугацаа шаардахгүй, гэхдээ энэ нь таныг алдаанаас бүрэн хамгаалах болно.

Гурвалсан утгын төлөө векторыг ол

Тэгээд эцэст нь гурвын хувьд Бид гурав дахь векторыг авна.

Хариулах: , Хаана

Бутархай утгуудаас зайлсхийхийг хүсч буй хүмүүс гурвалсан гэж үзэж, хариултыг ижил хэлбэрээр авах боломжтой.

Бутархайн тухай ярьж байна. Бодлогод олж авсан матрицыг харцгаая Тэгээд өөрөөсөө асууя: цаашдын шийдлийг хялбарчлах боломжтой юу? Эцсийн эцэст, бид эхлээд үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн, дараа нь үндсэн хувьсагчийг бутархайгаар илэрхийлсэн бөгөөд энэ үйл явц нь хамгийн энгийн бөгөөд тийм ч таатай биш байсан гэдгийг би хэлэх ёстой.

Хоёр дахь шийдэл:

Оролдоод үзэх санаа бусад суурь хувьсагчийг сонгох. Матрицыг харцгаая, гурав дахь баганад хоёрыг нь анзааръя. Тэгвэл яагаад дээд талд тэг байж болохгүй гэж? Өөр нэг энгийн өөрчлөлтийг хийцгээе:

Бүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү байх шугаман тэгшитгэлийн системийг гэнэ нэгэн төрлийн :

Аливаа нэгэн төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг тул үргэлж байдаг тэг (өчүүхэн ) шийдэл. Нэг төрлийн систем ямар нөхцөлд энгийн шийдэлтэй байх вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Теорем 5.2.Нэг төрлийн систем нь үндсэн матрицын зэрэглэл нь түүний үл мэдэгдэх тооноос бага тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байдаг.

Үр дагавар. Квадрат нэгэн төрлийн систем нь системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байдаг.

Жишээ 5.6.Системд чухал бус шийдлүүд байгаа l параметрийн утгыг тодорхойлж, эдгээр шийдлүүдийг ол.

Шийдэл. Үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх үед энэ систем нь чухал биш шийдэлтэй байх болно.

Тиймээс l=3 эсвэл l=2 үед систем нь чухал биш юм. l=3-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 1. Дараа нь зөвхөн нэг тэгшитгэл үлдээж, гэж үзвэл. y=аТэгээд z=б, бид авдаг x=b-a, өөрөөр хэлбэл

l=2-ын хувьд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл 2. Дараа нь минорыг суурь болгон сонговол:

Бид хялбаршуулсан системийг авдаг

Эндээс бид үүнийг олж мэднэ x=z/4, y=z/2. Итгэж байна z=4а, бид авдаг

Нэг төрлийн системийн бүх шийдлүүдийн багц нь маш чухал ач холбогдолтой юм шугаман шинж чанар : X баганууд бол 1 болон X 2 - нэгэн төрлийн системийн шийдлүүд AX = 0, дараа нь тэдгээрийн дурын шугаман хослола X 1 + б X 2 мөн энэ системийн шийдэл байх болно. Үнэхээр тэр цагаас хойш AX 1 = 0 Тэгээд AX 2 = 0 , Тэр А(а X 1 + б X 2) = a AX 1 + б AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Шугаман систем нэгээс олон шийдтэй бол эдгээр шийдлүүдийн тоо хязгааргүй байх болно гэдэг нь энэ шинж чанараас үүдэлтэй юм.

Шугаман бие даасан баганууд Э 1 , Э 2 , Эк, нэг төрлийн системийн уусмалууд гэж нэрлэдэг шийдлийн үндсэн систем Хэрэв энэ системийн ерөнхий шийдийг эдгээр баганын шугаман хослолоор бичиж чадвал шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем:

Хэрэв нэгэн төрлийн систем байвал nхувьсагч байх ба системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь тэнцүү байна r, Тэр к = n-r.

Жишээ 5.7.Шийдлийн үндсэн системийг ол дараагийн системшугаман тэгшитгэл:

Шийдэл. Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг олцгооё.

Иймээс энэхүү тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багц нь хэмжээсийн шугаман дэд орон зайг бүрдүүлдэг n-r= 5 - 2 = 3. Минорыг суурь болгон сонгоцгооё

Дараа нь зөвхөн үндсэн тэгшитгэлүүд (үлдсэн хэсэг нь эдгээр тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол байх болно) болон үндсэн хувьсагчдыг (бид үлдсэн хэсгийг нь баруун тийш шилжүүлж, чөлөөт хувьсагч гэж нэрлэдэг) үлдээж, тэгшитгэлийн хялбаршуулсан системийг олж авна.

Итгэж байна x 3 = а, x 4 = б, x 5 = в, бид олдог

, .

Итгэж байна а= 1, b = c= 0, бид эхний үндсэн шийдлийг олж авна; итгэх б= 1, a = c= 0, бид хоёр дахь үндсэн шийдлийг олж авна; итгэх в= 1, a = b= 0, бид гурав дахь үндсэн шийдлийг олж авна. Үүний үр дүнд шийдлүүдийн ердийн суурь систем хэлбэр болно

Үндсэн системийг ашиглан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. а

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүдийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе AX=Bба тэдгээрийн харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системтэй хамаарал AX = 0.

Гетероген системийн ерөнхий шийдэлхаргалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийд AX = 0 ба нэгэн төрлийн бус системийн дурын тусгай шийдийн нийлбэртэй тэнцүү байна.. Нээрээ л байя Ю 0 нь нэгэн төрлийн бус системийн дурын тодорхой шийдэл юм. AY 0 = Б, Мөн Ю- гетероген системийн ерөнхий шийдэл, i.e. AY=B. Нэг тэгшитгэлийг нөгөөгөөсөө хасвал бид олж авна
А(Y-Y 0) = 0, өөрөөр хэлбэл. Y-Y 0 нь харгалзах нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл юм AX=0. Тиймээс, Y-Y 0 = X, эсвэл Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Нэг төрлийн бус системийг AX = B хэлбэртэй болго 1 + Б 2 . Тэгвэл ийм системийн ерөнхий шийдлийг X = X гэж бичиж болно 1 + X 2 , хаана AX 1 = Б 1 болон AX 2 = Б 2. Энэ өмч нь бүх нийтийн өмчийг илэрхийлдэг шугаман системүүд(алгебрийн, дифференциал, функциональ гэх мэт). Физикийн хувьд энэ өмчийг нэрлэдэг суперпозиция зарчим, цахилгаан ба радио инженерчлэлийн чиглэлээр - суперпозиция зарчим. Жишээлбэл, шугаман цахилгаан хэлхээний онолд аль ч хэлхээний гүйдлийг эрчим хүчний эх үүсвэр тус бүрээс үүссэн гүйдлийн алгебрийн нийлбэр байдлаар авч болно.

Нэг төрлийн систем нь үргэлж тууштай бөгөөд өчүүхэн шийдэлтэй байдаг
. Өвөрмөц шийдэл байхын тулд матрицын зэрэглэл байх шаардлагатай үл мэдэгдэх тооноос бага байсан:

Шийдлийн үндсэн систем нэгэн төрлийн систем
баганын вектор хэлбэрээр шийдлийн системийг дуудна
, энэ нь каноник суурьтай тохирч, i.e. дурын тогтмолуудын суурь
ээлжлэн нэгтэй тэнцүү байхад бусад нь тэг болно.

Дараа нь нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Хаана
- дурын тогтмолууд. Өөрөөр хэлбэл, ерөнхий шийдэл нь шийдлүүдийн үндсэн системийн шугаман хослол юм.

Иймээс чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад нэгийн утгыг ээлжлэн өгч бусад бүх зүйлийг тэгтэй тэнцүү болговол ерөнхий шийдлээс үндсэн шийдлүүдийг гаргаж болно.

Жишээ. Системийн шийдлийг олцгооё

Хүлээн авцгаая, дараа нь бид дараах хэлбэрээр шийдлийг авна.

Одоо шийдлүүдийн үндсэн системийг байгуулъя:

Ерөнхий шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.

Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Өөрөөр хэлбэл, нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь дахин шийдэл болно.

Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь хэдэн зууны турш математикчдыг сонирхож ирсэн. Эхний үр дүнг 18-р зуунд олж авсан. 1750 онд Г.Крамер (1704–1752) квадрат матрицын тодорхойлогчдын тухай бүтээлүүдээ хэвлүүлж, урвуу матрицыг олох алгоритмыг санал болгосон. 1809 онд Гаусс арилгах арга гэж нэрлэгддэг шинэ шийдлийн аргыг тодорхойлсон.

Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга нь энгийн хувиргалтыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шат (эсвэл гурвалжин) хэлбэрийн эквивалент систем болгон бууруулсан явдал юм. Ийм системүүд нь тодорхой дарааллаар үл мэдэгдэх бүх зүйлийг дараалан олох боломжийг олгодог.

(1) системд байгаа гэж үзье.
(энэ нь үргэлж боломжтой байдаг).

(1)

Эхний тэгшитгэлийг нэг нэгээр нь гэж нэрлэгдэх зүйлээр үржүүлэх тохиромжтой тоонууд

Үржүүлгийн үр дүнг системийн харгалзах тэгшитгэлүүдээр нэмснээр эхнийхээс бусад бүх тэгшитгэлд үл мэдэгдэх зүйл байхгүй эквивалент системийг олж авна. X 1

(2)

Одоо (2) системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг тохирох тоогоор үржүүлье

ба доод тоонуудтай нь нэмснээр бид хувьсагчийг арилгадаг Гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс.

Энэ үйл явцыг үргэлжлүүлж, дараа нь
Бид авах алхам:

(3)

Хэрэв тоонуудын дор хаяж нэг нь байвал
тэгтэй тэнцүү биш бол харгалзах тэгш байдал нь зөрчилтэй, систем (1) зөрчилтэй байна. Эсрэгээр, аливаа хамтарсан тооллын системийн хувьд
тэгтэй тэнцүү байна. Тоо (1) системийн матрицын зэрэглэлээс өөр зүйл биш юм.