Бусад толь бичгүүдээс "CONDITIONAL EXTREME" гэж юу болохыг харна уу:

Харьцангуй экстремум, функцийн экстремум f (x1,..., xn + m) n + m хувьсагчдаас эдгээр хувьсагчдад мөн m холболтын тэгшитгэлд (нөхцөл) хамаарна гэсэн таамаглал: φk (x1,..., xn) + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (Экстремумыг үзнэ үү).… …

Олонлог нээлттэй, функцууд өгөгдсөн байг. Байцгаая. Эдгээр тэгшитгэлийг хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг (нэр томъёог механикаас авсан). G... Wikipedia дээр функц тодорхойлогдъё

- (Латин хэт туйлшралаас) үргэлжилсэн функцийн утга f (x) нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага байна. Илүү нарийвчлалтай: x0 цэг дээр үргэлжилсэн f (x) функц нь энэ цэгийн хөрш (x0 + δ, x0 δ) байвал x0 дээр хамгийн их (хамгийн бага) байна,... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Энэ нэр томъёо нь өөр утгатай, Extremum (утга) харна уу. Математикийн экстремум (лат. extremum extreme) нь тухайн олонлог дээрх функцийн хамгийн их буюу хамгийн бага утга юм. Экстремум хүрэх цэг ... ... Википедиа

Асуудлыг шийдвэрлэх үед ашигладаг функц нөхцөлт туйлолон хувьсагчийн функцууд болон функцууд. L. f-ийн тусламжтайгаар. бүртгэгдсэн байна шаардлагатай нөхцөлнөхцөлт экстремум дээрх асуудлуудын оновчтой байдал. Энэ тохиолдолд зөвхөн хувьсагчийг илэрхийлэх шаардлагагүй... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Нэг буюу хэд хэдэн функцийн сонголтоос хамаарах хувьсагчийн функцүүдийн хэт (хамгийн том ба хамгийн жижиг) утгыг олоход зориулагдсан математикийн шинжлэх ухаан. болон. Энэ бүлгийн жам ёсны хөгжил юм...... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Нөхцөлт экстремум дээрх асуудлыг судлахдаа Лагранжийн функцийг бүтээдэг хувьсагчид. Шугаман аргууд ба Лагранжийн функцийг ашиглах нь нөхцөлт экстремумтай холбоотой асуудлуудад шаардлагатай оновчтой нөхцлийг нэг төрлийн аргаар олж авах боломжийг олгодог ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Өөрчлөлтийн тооцоо нь функциональ байдлын өөрчлөлтийг судалдаг функциональ шинжилгээний салбар юм. Вариацын тооцооны хамгийн нийтлэг асуудал бол өгөгдсөн функц нь хүрэх функцийг олох явдал юм... ... Википедиа

Эдгээрт ногдуулсан янз бүрийн хязгаарлалтын (фаз, дифференциал, интеграл гэх мэт) дор нэг буюу хэд хэдэн функцийг сонгохоос хамаарах функцүүдийн экстремумыг олох аргуудыг судлахад зориулагдсан математикийн салбар ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Вариацын тооцоо бол функционалуудын өөрчлөлтийг судалдаг математикийн салбар юм. Вариацын тооцооны хамгийн нийтлэг асуудал бол функц нь туйлын утгад хүрэх функцийг олох явдал юм. Арга... ...Википедиа

Номууд

• Хяналтын онолын лекц. Боть 2. Оновчтой хяналт, V. Boss. Оновчтой хяналтын онолын сонгодог асуудлуудыг авч үзсэн. Танилцуулга нь хязгаарлагдмал хэмжээст орон зайн оновчлолын үндсэн ойлголтуудаас эхэлдэг: нөхцөлт ба болзолгүй экстремум,...

Жишээ

Энэ тохиолдолд функцийн экстремумыг ол XТэгээд цагтхамаарлаар холбогдоно: . Геометрийн хувьд асуудал нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: эллипс дээр
онгоц
.

Энэ асуудлыг дараах байдлаар шийдэж болно: тэгшитгэлээс
бид олдог
X:

гэж заасан
, интервал дээр нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох бодлого болгон бууруулсан
.

Геометрийн хувьд асуудал нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: эллипс дээр , цилиндрийг гатлах замаар олж авсан
онгоц
, та өргөдлийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг олох хэрэгтэй (Зураг 9). Энэ асуудлыг дараах байдлаар шийдэж болно: тэгшитгэлээс
бид олдог
. Хавтгайн тэгшитгэлд y-ийн олсон утгыг орлуулснаар бид нэг хувьсагчийн функцийг олж авна. X:

Ийнхүү функцийн экстремумыг олох асуудал гарч ирнэ
гэж заасан
, интервал дээрх нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох бодлого болгон бууруулсан.

Тэгэхээр, нөхцөлт экстремумыг олох асуудал– энэ бол зорилгын функцийн экстремумыг олох асуудал юм
, хувьсагчууд байх нөхцөлд XТэгээд цагтхязгаарлалтад хамаарна
, дуудсан холболтын тэгшитгэл.

Ингэж хэлье цэг
, холболтын тэгшитгэлийг хангах, нь орон нутгийн нөхцөлт максимум (хамгийн бага), хэрэв хөрш байгаа бол
ямар ч онооны хувьд тийм
, координатууд нь холболтын тэгшитгэлийг хангаж байвал тэгш бус байдал хангагдана.

Хэрэв холболтын тэгшитгэлээс илэрхийлэлийг олж болно цагт, дараа нь энэ илэрхийлэлийг анхны функц болгон орлуулснаар бид сүүлчийн функцийг нэг хувьсагчийн цогц функц болгон хувиргана. X.

Нөхцөлт экстремум асуудлыг шийдэх ерөнхий арга нь Лагранжийн үржүүлэгчийн арга. Туслах функц үүсгэцгээе, хаана ─ хэдэн тоо. Энэ функцийг нэрлэдэг Лагранж функц, А ─ Лагранжийн үржүүлэгч. Тиймээс нөхцөлт экстремумыг олох ажлыг Лагранжийн функцийн орон нутгийн экстремум цэгүүдийг олох хүртэл багасгасан. Боломжит экстремум цэгүүдийг олохын тулд та гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй x, yТэгээд.

Дараа нь та экстремумын хувьд хангалттай нөхцөлийг ашиглах хэрэгтэй.

ТЕОРЕМ. Цэгийг Лагранжийн функцийн боломжит экстремум цэг гэж үзье. Энэ цэгийн ойролцоо гэж үзье
Хоёрдахь эрэмбийн функцүүдийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативууд байдаг Тэгээд . гэж тэмдэглэе

Дараа нь бол
, Тэр
─ функцийн нөхцөлт экстремум цэг
холбох тэгшитгэлийн хамт
энэ тохиолдолд хэрэв
, Тэр
─ нөхцөлт доод цэг, хэрэв
, Тэр
─ нөхцөлт дээд цэг.

§8. Градиент ба чиглэлийн дериватив

Функцийг зөвшөөр
зарим (нээлттэй) бүсэд тодорхойлсон. Аливаа цэгийг анхаарч үзээрэй
энэ талбай болон дурын шулуун шугам (тэнхлэг) , энэ цэгээр дамжин өнгөрөх (Зураг 1). Болъё
- энэ тэнхлэгийн өөр нэг цэг,
– хоорондох сегментийн урт
Тэгээд
, нэмэх тэмдгээр авсан, хэрэв чиглэл
тэнхлэгийн чиглэлтэй давхцаж байна , хэрэв чиглэл нь эсрэг байвал хасах тэмдэгтэй.

Болъё
хязгааргүй ойртдог
. Хязгаар

дуудсан функцийн дериватив
чиглэсэн (эсвэл тэнхлэгийн дагуу ) ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

.

Энэ дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн "өөрчлөлтийн хурд"-ыг тодорхойлдог
чиглэсэн . Ялангуяа энгийн хэсэгчилсэн деривативууд ,мөн "чиглэлийн хувьд" дериватив гэж үзэж болно.

Одоо функц гэж үзье
авч үзэж буй бүс нутагт тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. Тэнхлэгээ зөвшөөр координатын тэнхлэгүүдтэй өнцөг үүсгэдэг
Тэгээд . Хийсэн таамаглалын дагуу чиглэлтэй дериватив байгаа бөгөөд томъёогоор илэрхийлэгдэнэ

.

Хэрэв вектор
координатаар нь өгөгдсөн
, дараа нь функцийн дериватив
векторын чиглэлд
томъёог ашиглан тооцоолж болно:

.

Координат бүхий вектор
дуудсан градиент векторфункцууд
цэг дээр
. Градиент вектор нь тухайн цэг дэх функцийн хамгийн хурдан өсөлтийн чиглэлийг заана.

Жишээ

Өгөгдсөн функц, цэг A(1, 1) ба вектор
. Олно: 1)А цэг дээрх grad z; 2) векторын чиглэлд А цэг дээрх дериватив .

Тухайн цэг дэх өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд
:

;
.

Тэгвэл энэ цэг дэх функцийн градиент вектор нь:
. Градиент векторыг мөн вектор задралыг ашиглан бичиж болно Тэгээд :

. Функцийн дериватив векторын чиглэлд :

Тэгэхээр,
,
.◄

Нөхцөлт экстремум.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум

Хамгийн бага квадрат арга.

FNP-ийн орон нутгийн экстремум

Функцийг өгье Тэгээд= е(P), РÎDÌR n P 0 цэг ( А 1 , А 2 , ..., a p) –дотоодолонлогийн цэг D.

Тодорхойлолт 9.4.

1) P 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэг функцууд Тэгээд= е(P), хэрвээ энэ цэгийн U(P 0) М D хөрш байвал дурын P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , нөхцөл хангагдсан е(P)£ е(P 0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн их цэг дээр дуудна функцийн дээд хэмжээ болон томилогдсон е(P0) = хамгийн их е(P) .

2) P 0 цэгийг дуудна хамгийн бага цэг функцууд Тэгээд= е(P), хэрэв энэ U(P 0)Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , нөхцөл хангагдсан е(P)³ е(P 0) . Утга е(P 0) хамгийн бага цэг дээрх функцийг дуудна хамгийн бага функц болон томилогдсон е(P 0) = мин е(P).

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг дуудна туйлын цэгүүд, экстремум цэгүүд дэх функцийн утгуудыг дуудна функцийн экстремум.

Тодорхойлолтоос харахад тэгш бус байдал е(P)£ е(P 0) , е(P)³ е(P 0) нь функцийн тодорхойлолтын бүх мужид биш харин зөвхөн P 0 цэгийн тодорхой ойролцоо байх ёстой бөгөөд энэ нь функц нь ижил төрлийн хэд хэдэн экстремум (хэд хэдэн минимум, хэд хэдэн максимум) байж болно гэсэн үг юм. . Тиймээс дээр тодорхойлсон экстремумуудыг нэрлэдэг орон нутгийн(орон нутгийн) эрс тэс.

Теорем 9.1.(FNP-ийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл)

Хэрэв функц Тэгээд= е(X 1 , X 2 , ..., x n) нь P 0 цэг дээр экстремумтай бол энэ цэг дэх түүний нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

Баталгаа. P 0 цэг дээр ( А 1 , А 2 , ..., a p) функц Тэгээд= е(P) нь экстремум, жишээлбэл, дээд талтай. Аргументуудыг засъя X 2 , ..., x n, оруулах X 2 =А 2 ,..., x n = a p. Дараа нь Тэгээд= е(P) = е 1 ((X 1 , А 2 , ..., a p) нь нэг хувьсагчийн функц юм X 1 . Энэ функц байгаа тул X 1 = А 1 экстремум (хамгийн их), дараа нь е 1 ¢=0эсвэл байхгүй үед X 1 =А 1 (нэг хувьсагчийн функцийн экстремум байх зайлшгүй нөхцөл). Гэхдээ энэ нь P 0 цэг - экстремум цэг дээр байхгүй эсвэл байхгүй гэсэн үг юм. Үүний нэгэн адил бид бусад хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативуудыг авч үзэж болно. CTD.

Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй функцийн муж дахь цэгүүдийг гэнэ. чухал цэгүүд энэ функц.

Теорем 9.1-ээс үзэхэд FNP-ийн экстремум цэгүүдийг функцийн эгзэгтэй цэгүүдээс хайх хэрэгтэй. Гэхдээ нэг хувьсагчийн функцийн хувьд чухал цэг бүр нь экстремум цэг биш юм.

Теорем 9.2.(FNP-ийн экстремумын хангалттай нөхцөл)

Функцийн критик цэг P 0 байг Тэгээд= е(P) ба нь энэ функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал юм. Дараа нь

мөн хэрэв г 2 у(P 0) > 0 at , тэгвэл P 0 цэг болно хамгийн багафункцууд Тэгээд= е(P);

б) хэрэв г 2 у(P0)< 0 при , то Р 0 – точка дээд тал ньфункцууд Тэгээд= е(P);

в) хэрэв г 2 у(P 0) тэмдгээр тодорхойлогдоогүй бол P 0 нь экстремум цэг биш;

Бид энэ теоремыг нотлох баримтгүйгээр авч үзэх болно.

Теорем нь хэзээ гэсэн тохиолдлыг авч үзэхгүй болохыг анхаарна уу г 2 у(P 0) = 0 эсвэл байхгүй байна. Энэ нь ийм нөхцөлд P 0 цэгт экстремум байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна гэсэн үг юм - бидэнд хэрэгтэй байна. нэмэлт судалгаажишээлбэл, энэ үед функцийн өсөлтийг судлах.

Математикийн илүү нарийвчилсан хичээлүүдэд энэ нь ялангуяа функцийн хувьд нотлогдсон z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал нь хэлбэрийн нийлбэр юм

P 0 чухал цэгт экстремум байгаа эсэхийг судлах ажлыг хялбаршуулж болно.

, , гэж тэмдэглэе. Тодорхойлогчийг зохиоё

.

Энэ нь:

г 2 z P 0 цэг дээр > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 - хамгийн бага цэг, хэрэв А(P 0) > 0 ба D(P 0) > 0;

г 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

хэрэв D(P 0)< 0, то г 2 z P 0 цэгийн ойролцоо тэмдэг нь өөрчлөгдөж, P 0 цэгт экстремум байхгүй;

хэрэв D(Р 0) = 0 бол Р 0 эгзэгтэй цэгийн ойролцоох функцийг нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

Тиймээс функцийн хувьд z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн хувьд бид экстремумыг олох дараах алгоритмтай (үүнийг "алгоритм D" гэж нэрлэе):

1) Тодорхойлолтын домайныг олоорой D( е) функцууд.

2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. D-аас оноо ( е), нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

3) Чухал цэг бүрт P 0-ийг шалгана хангалттай нөхцөлэкстремум. Үүнийг хийхийн тулд олоорой , энд , , мөн D(P 0) ба тооцоолно А(P 0). Дараа нь:

хэрэв D(P 0) >0 бол P 0 цэгт экстремум байх ба хэрэв А(P 0) > 0 – тэгвэл энэ нь хамгийн бага, хэрэв бол А(P 0)< 0 – максимум;

хэрэв D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Хэрэв D(P 0) = 0 бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

4) Олдсон экстремум цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.

Жишээ 1.

Функцийн экстремумыг ол z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Шийдэл.Энэ функцийг тодорхойлох талбар нь бүхэл бүтэн координатын хавтгай юм. Чухал цэгүүдийг олцгооё.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Экстремумын хангалттай нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгацгаая. Бид олох болно

6X, = -3, = 48цагтТэгээд = 288xy – 9.

Дараа нь D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – Р 1 цэг дээр экстремум байдаг ба үүнээс хойш А(P 1) = 3 >0, тэгвэл энэ экстремум нь хамгийн бага байна. Тиймээс мин z=z(P 1) = .

Жишээ 2.

Функцийн экстремумыг ол .

Шийдэл: D( е) =R 2. Чухал цэгүүд: ; хэзээ байдаггүй цагт= 0, энэ нь P 0 (0,0) нь энэ функцийн чухал цэг юм.

2, = 0, = , = , гэхдээ D(P 0) тодорхойлогдоогүй тул түүний тэмдгийг судлах боломжгүй юм.

Үүнтэй ижил шалтгаанаар теорем 9.2-ыг шууд хэрэглэх боломжгүй - г 2 zэнэ үед байхгүй.

Функцийн өсөлтийг авч үзье е(x, y) P 0 цэг дээр. Хэрэв Д е =е(P) - е(P 0)>0 "P, тэгвэл P 0 нь хамгийн бага цэг, гэхдээ D бол е < 0, то Р 0 – точка максимума.

Манай тохиолдолд бидэнд байгаа

Д е = е(x, y) – е(0, 0) = е(0+D x,0+D y) – е(0, 0) = .

Д x= 0.1 ба D y= -0.008 бид D-г авна е = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 ба D y= 0.001 D е= 0.01 + 0.1 > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 цэгийн ойролцоо D нөхцөлийн аль нь ч хангагдахгүй е <0 (т.е. е(x, y) < е(0, 0) тул P 0 нь хамгийн их цэг биш), D нөхцөл биш юм е>0 (жишээ нь. е(x, y) > е(0, 0) ба дараа нь P 0 нь хамгийн бага цэг биш юм). Тиймээс экстремумын тодорхойлолтоор энэ функцхэт туйлшралгүй.

Нөхцөлт экстремум.

Функцийн авч үзсэн экстремумыг нэрлэнэ болзолгүй, учир нь функцийн аргументуудад хязгаарлалт (нөхцөл) ногдуулдаггүй.

Тодорхойлолт 9.2.Функцийн экстремум Тэгээд = е(X 1 , X 2 , ... , x n), түүний аргументууд байх нөхцөлөөр олсон X 1 , X 2 , ... , x n j 1 тэгшитгэлийг хангах X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j Т(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, энд P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( е), дуудсан нөхцөлт экстремум .

Тэгшитгэл j к(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, гэж нэрлэдэг холболтын тэгшитгэл.

Функцуудыг авч үзье z = f(x,y) хоёр хувьсагч. Хэрэв холболтын тэгшитгэл нь нэг бол, i.e. , дараа нь нөхцөлт экстремумыг олох нь экстремумыг функцийн тодорхойлолтын бүх мужаас биш, харин D(-д байрлах зарим муруй дээр хайж байна гэсэн үг юм. е) (өөрөөр хэлбэл, энэ нь хайсан гадаргуугийн хамгийн өндөр эсвэл хамгийн доод цэг биш юм z = f(x,y), мөн энэ гадаргуугийн цилиндртэй огтлолцох цэгүүдийн дундах хамгийн өндөр буюу хамгийн бага цэгүүд, Зураг 5).

Функцийн нөхцөлт экстремум z = f(x,y) хоёр хувьсагчийг дараах байдлаар олж болно( арилгах арга). Тэгшитгэлээс хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгийн функцээр илэрхийлнэ (жишээ нь, бичих) ба хувьсагчийн энэ утгыг функцэд орлуулж, сүүлчийнх нь нэг хувьсагчийн функц гэж бичнэ (харгалзах тохиолдолд). ). Нэг хувьсагчийн үр дүнд үүссэн функцийн экстремумыг ол.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн экстремум. Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Нөхцөлт экстремум. Лагранжийн үржүүлэгчийн арга. Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох.

Лекц 5.

Тодорхойлолт 5.1.Цэг M 0 (x 0, y 0)дуудсан хамгийн дээд цэгфункцууд z = f (x, y),Хэрэв f (x o, y o) > f(x,y)бүх онооны хувьд (х, у) М 0.

Тодорхойлолт 5.2.Цэг M 0 (x 0, y 0)дуудсан хамгийн бага цэгфункцууд z = f (x, y),Хэрэв f (x o, y o) < f(x,y)бүх онооны хувьд (х, у)нэг цэгийн хөршөөс М 0.

Тайлбар 1. Хамгийн их ба хамгийн бага оноог дуудна экстремум цэгүүдхэд хэдэн хувьсагчийн функцууд.

Тайлбар 2. Дурын тооны хувьсагчийн функцийн экстремум цэгийг ижил төстэй аргаар тодорхойлно.

Теорем 5.1(экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Хэрэв M 0 (x 0, y 0)– функцийн экстремум цэг z = f (x, y),тэгвэл энэ үед энэ функцийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү буюу байхгүй байна.

Баталгаа.

Хувьсагчийн утгыг засъя цагт, тоолох y = y 0. Дараа нь функц f (x, y 0)нэг хувьсагчийн функц байх болно X, Үүний төлөө x = x 0туйлын цэг юм. Тиймээс Фермагийн теоремоор, эсвэл байхгүй. Үүнтэй ижил мэдэгдлийг ижил төстэй байдлаар нотолсон.

Тодорхойлолт 5.3.Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн мужид хамаарах функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг гэнэ. суурин цэгүүдэнэ функц.

Сэтгэгдэл. Тиймээс экстремум нь зөвхөн суурин цэгүүдэд хүрч болох боловч тэдгээр нь тус бүрт ажиглагдах албагүй.

Теорем 5.2(экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл). цэгийн зарим нэг хөрш үзье M 0 (x 0, y 0), энэ нь функцийн суурин цэг юм z = f (x, y),Энэ функц нь 3-р зэрэглэлийг багтаасан тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. Дараа нь гэж тэмдэглэе:

1) f(x,y)цэг дээр байна М 0хамгийн их бол AC–B² > 0, А < 0;

2) f(x,y)цэг дээр байна М 0хамгийн бага бол AC–B² > 0, А > 0;

3) эгзэгтэй цэгт экстремум байхгүй бол AC–B² < 0;

4) хэрэв AC–B² = 0, нэмэлт судалгаа шаардлагатай.

Баталгаа.

Функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлор томьёог бичье f(x,y),хөдөлгөөнгүй цэг дээр нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байна гэдгийг санаарай.

Хаана Хэрэв сегмент хоорондын өнцөг М 0 М, Хаана М (x 0 +Δ x, y 0 +Δ цагт), болон O тэнхлэг Xφ, дараа нь Δ гэж тэмдэглэнэ x =Δ ρ cos φ, Δ у =Δρsinφ. Энэ тохиолдолд Тейлорын томъёо дараах хэлбэртэй байна. Let Дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийллийг хувааж, үржүүлж болно А. Бид авах:

Одоо дөрөвийг авч үзье боломжит тохиолдлууд:

1) AC-B² > 0, А < 0. Тогда , и хангалттай бага Δρ үед. Тиймээс зарим хороололд M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ у)< f (x 0 , y 0), тэр бол М 0- хамгийн дээд цэг.

2) зөвшөөр AC–B² > 0, A > 0.Дараа нь , Мөн М 0- хамгийн бага оноо.

3) зөвшөөр AC-B² < 0, А> 0. φ = 0 цацрагийн дагуух аргументуудын өсөлтийг авч үзье.Тэгвэл (5.1)-ээс дараах нь гарна. , өөрөөр хэлбэл, энэ цацрагийн дагуу шилжих үед функц нэмэгддэг. Хэрэв бид ийм туяа дагуу хөдөлвөл tg φ 0 = -A/B,Тэр , тиймээс энэ туяа дагуу хөдөлж байх үед функц буурдаг. Тиймээс, хугацаа М 0туйлын цэг биш.

3`) Хэзээ AC–B² < 0, А < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

өмнөхтэй төстэй.

3``) Хэрэв AC–B² < 0, А= 0, тэгвэл . Үүнд . Дараа нь хангалттай бага φ-ийн хувьд 2 илэрхийлэл болно Б cosφ + C sinφ нь 2-той ойролцоо байна IN, өөрөөр хэлбэл, энэ нь тогтмол тэмдгийг хадгалдаг боловч sinφ нь цэгийн ойролцоо тэмдгийг өөрчилдөг М 0.Энэ нь функцийн өсөлт нь хөдөлгөөнгүй цэгийн ойролцоох тэмдгийг өөрчилдөг гэсэн үг бөгөөд энэ нь экстремум цэг биш юм.

4) Хэрэв AC–B² = 0, мөн , , өөрөөр хэлбэл өсөлтийн тэмдгийг 2α 0 тэмдгээр тодорхойлно. Үүний зэрэгцээ экстремум байгаа эсэх асуудлыг тодруулахын тулд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай байна.

Жишээ. Функцийн экстремум цэгүүдийг олъё z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Тогтмол цэгүүдийг олохын тулд бид системийг шийддэг . Тиймээс хөдөлгөөнгүй цэг нь (-2,-1) байна. Хаана A = 2, IN = -2, ХАМТ= 4. Дараа нь AC–B² = 4 > 0, тиймээс хөдөлгөөнгүй цэг дээр экстремум, тухайлбал, хамгийн багадаа хүрдэг. А > 0).

Тодорхойлолт 5.4.Хэрэв функц аргументтай бол f (x 1 , x 2 ,…, x n)холбогдсон нэмэлт нөхцөлзэрэг мтэгшитгэл ( м< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ м ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

φ i функцууд нь тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай бол (5.2) тэгшитгэлийг гэнэ. холболтын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт 5.5.Функцийн экстремум f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд түүнийг дуудна нөхцөлт экстремум.

Сэтгэгдэл. Бид хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумын дараах геометрийн тайлбарыг санал болгож болно: функцийн аргументуудыг үзье. f(x,y)φ тэгшитгэлээр холбогдоно (x,y)= 0, O хавтгайд зарим муруйг тодорхойлох xy. Энэ муруйн цэг бүрээс О хавтгайд перпендикуляруудыг сэргээж байна xyгадаргуутай огтлолцох хүртэл z = f (x,y),бид φ муруйн дээрх гадаргуу дээр байрлах орон зайн муруйг олж авна (x,y)= 0. Даалгавар нь үүссэн муруйны экстремум цэгүүдийг олох явдал бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг ерөнхий тохиолдолфункцийн болзолгүй экстремум цэгүүдтэй давхцаж болохгүй f(x,y).

Эхлээд дараах тодорхойлолтыг оруулснаар хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумд шаардлагатай нөхцлийг тодорхойлъё.

Тодорхойлолт 5.6.Чиг үүрэг L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ м φ м (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Хаана λi -зарим нь тогтмол, гэж нэрлэдэг Лагранж функц, болон тоонууд λ би– тодорхойгүй Лагранж үржүүлэгч.

Теорем 5.3(нөхцөлт экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Функцийн нөхцөлт экстремум z = f (x, y)холбох тэгшитгэл байгаа тохиолдолд φ ( x, y)= 0 нь зөвхөн Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдэд хүрч болно L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Баталгаа. Холболтын тэгшитгэл нь далд хамаарлыг тодорхойлдог цагт-аас X, тиймээс бид үүнийг таамаглах болно цагт-аас функц байдаг X: у = у(х).Дараа нь z-аас нарийн төвөгтэй функц байдаг X, түүний эгзэгтэй цэгүүдийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно. . (5.4) Холболтын тэгшитгэлээс дараах нь гарна . (5.5)

Тэгш байдлыг (5.5) λ тоогоор үржүүлээд (5.4) нэмье. Бид авах:

, эсвэл .

Сүүлчийн тэгш байдал нь суурин цэгүүдэд хангагдах ёстой бөгөөд үүнээс дараахь зүйл гарч ирнэ.

(5.6)

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна. x, yба λ ба эхний хоёр тэгшитгэл нь Лагранжийн функцийн суурин цэгийн нөхцөл юм. (5.6) системээс үл мэдэгдэх туслах λ-г хассанаар анхны функц нөхцөлт экстремум байж болох цэгүүдийн координатыг олно.

Тайлбар 1. Олдсон цэг дээр нөхцөлт экстремум байгаа эсэхийг 5.2 теоремын аналогиар Лагранжийн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг судалж шалгаж болно.

Тайлбар 2. Функцийн нөхцөлт туйлд хүрч болох цэгүүд f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд системийн шийдэл гэж тодорхойлж болно (5.7)

Жишээ. Функцийн нөхцөлт экстремумыг олъё z = xyүүнийг өгсөн x + y= 1. Лагранж функцийг зохиоё L(x, y) = xy + λ (x + y –) 1). Систем (5.6) дараах байдалтай байна.

Энд -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Хаана L(x,y)хэлбэрээр төлөөлж болно L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5 тул олсон суурин цэг дээр L(x,y)дээд талтай, ба z = xy -нөхцөлт дээд.

Зарим D мужид z - /(x, y) функцийг тодорхойлж, Mo(xo, Vo) нь энэ домайн дотоод цэг байг. Тодорхойлолт. Хэрэв бүх нөхцлүүдийг хангасан тэгш бус байдал нь үнэн байх тоо байвал Mo(xo, yo) цэгийг /(x, y) функцийн локал максимум цэг гэнэ; хэрэв бүх Dx, Du, нөхцөлийг хангасан | тэгвэл Mo(xo,yo) цэгийг нимгэн орон нутгийн минимум гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, M0(x0, y0) цэг нь хэрэв A/o(x0, y0) цэгийн 6 хөрш байгаа бол f(x, y) функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэг юм. Үүний M(x, y) цэгүүдийн ойролцоо байх үед функцийн өсөлт нь тэмдгээ хадгална. Жишээ. 1. Функцийн цэгийн хувьд - хамгийн бага цэг (Зураг 17). 2. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь хамгийн их цэг юм (Зураг 18). 3. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь орон нутгийн хамгийн их цэг юм. 4 Үнэн хэрэгтээ 0(0, 0) цэгийн хөрш байдаг, жишээлбэл j радиустай тойрог (19-р зургийг үз), түүний аль ч цэг дээр 0(0,0) цэгээс ялгаатай. /(x,y) функцын утга 1-ээс бага = Зарим цоорсон 6-хөршөөс M(x) y) бүх цэгүүдэд хатуу тэгш бус байдал эсвэл хатуу тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд зөвхөн функцүүдийн хатуу максимум ба хамгийн бага цэгүүдийг авч үзэх болно. цэг Mq. Функцийн хамгийн их цэг дэх утгыг максимум, хамгийн бага цэг дэх функцийн утгыг энэ функцийн минимум гэнэ. Функцийн хамгийн их ба минимум цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд, харин функцийн максимум ба минимумуудыг экстремум гэж нэрлэдэг. Теорем 11 (экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Хэрэв функц нь хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум бол.Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумын тухай ойлголт. Экстремум үүсэхэд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд нь тухайн цэг дээр экстремумтай байдаг бөгөөд энэ үед хэсэгчилсэн дериватив u бүр алга болно, эсвэл байхгүй болно. M0(x0, yо) цэг дээр z = f(x) y) функц экстремумтай байг. y хувьсагчдад yo утгыг өгье. Тэгвэл z = /(x, y) функц нь нэг хувьсагчийн функц байх болно x\ x = xo үед экстремум (хамгийн их эсвэл минимум, 20-р зураг) байгаа тул x = “o-тэй холбоотой дериватив нь байна. | (*o,l>)" Тэгтэй тэнцүү буюу байхгүй. Үүний нэгэн адил) нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй гэдэгт бид итгэлтэй байна. = 0 ба χ = 0 эсвэл байхгүй цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг. z = Dx, y функцийн цэгүүд).$£ = φ = 0 байх цэгүүдийг мөн функцийн суурин цэгүүд гэж нэрлэдэг.Теорем 11 нь зөвхөн экстремумд шаардлагатай нөхцөлүүдийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь хангалтгүй юм.Жишээ: Функц Зураг. 18 Зураг 20 үед тэг болж хувирдаг immt дериватив. Гэхдээ энэ функц нь strum-ийн imvat дээр нимгэн байдаг. Үнэн хэрэгтээ функц нь 0(0,0) цэг дээр тэгтэй тэнцүү бөгөөд 0(0,0) цэгт дур мэдэн ойр M(x,y) цэгүүдэд эерэг ба сөрөг утгыг авдаг. Үүний тулд (0, y) цэгүүдийн цэгүүдэд дур мэдэн бага байгаа тохиолдолд заасан төрлийн 0(0,0) цэгийг мини-макс цэг гэж нэрлэдэг (Зураг 21). Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремум байх хангалттай нөхцөлийг дараах теоремоор илэрхийлнэ. Теорем 12 (хоёр хувьсагчийн экстремумын хангалттай нөхцөл). Mo(xo»Yo) цэг нь f(x, y) функцийн суурин цэг байх ба / цэгийн зарим хөршид Mo цэгийг оруулаад f(z, y) функц нь тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байна. хоёр дахь захиалга хүртэл. Дараа нь". Mo(xo, V0) цэг дээр /(xo, y) функц нь D(xo, yo) бол экстремумгүй.< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) функцийн экстремум нь байж болно, байхгүй ч байж болно. Энэ тохиолдолд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай. m Теоремын 1) ба 2) мэдэгдлийг батлахаар хязгаарлая. /(i, y) функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлор томьёог бичье: энд. Нөхцөлийн дагуу D/ өсөлтийн тэмдэг нь (1)-ийн баруун талын гурвалсан тэмдгийн тэмдгээр тодорхойлогддог нь тодорхой байна, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь дифференциал d2f-ийн тэмдгээр тодорхойлогдоно. Үүнийг товчилбол тэмдэглэе. Дараа нь тэгш байдлыг (l) дараах байдлаар бичиж болно: MQ(тийм, V0) цэг дээр бид байна... Нөхцөлөөр f(s, y) функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй байх тул тэгш бус байдал (3) нь M0(s0,yo) цэгийн зарим хөршид мөн адил байх болно. Нөхцөл хангагдсан бол (А/0 цэг дээр ба тасралтгүй байдлын хүчинд дериватив /,z(s,y) Af0 цэгийн зарим хөршид тэмдэгээ хадгална. А Ф 0 байх бүсэд бид байна. .Үүнээс харахад M0(x0) y0 цэгийн зарим хөршид ЛС - В2 > 0 байвал AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 гурвалсан тэмдэг нь цэг дээрх А тэмдэгтэй давхцах нь тодорхой байна. , V0) (мөн С тэмдэгтэй, учир нь AC - B2 > 0 A ба C нь өөр өөр тэмдэгтэй байж болохгүй). Цэг дэх (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 нийлбэрийн тэмдэг нь ялгааны тэмдгийг тодорхойлдог тул бид дараах дүгнэлтэд хүрнэ: хэрэв функцийн хувьд /(s,y) үед. хөдөлгөөнгүй цэг (s0, V0) нөхцөл, дараа нь хангалттай бага || тэгш бус байдлыг хангах болно. Тиймээс (sq, V0) цэг дээр /(s, y) функц хамгийн их утгатай байна. Хэрэв нөхцөл хөдөлгөөнгүй цэг дээр (s0, y0) хангагдсан бол бүх хангалттай бага |Др| болон |Ду| тэгш бус байдал нь үнэн бөгөөд энэ нь (so,yo) цэг дээр /(s, y) функц хамгийн багатай байна гэсэн үг юм. Жишээ. 1. Экстремумын функцийг судлах 4 Экстремумд шаардлагатай нөхцлүүдийг ашиглан функцийн суурин цэгүүдийг хайж олно. Үүнийг хийхийн тулд бид хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлнэ. Бид тэгшитгэлийн системийг хаанаас авдаг - суурин цэг. Одоо теорем 12-ыг ашиглая. Бидэнд байна Энэ нь Ml цэг дээр экстремум байна гэсэн үг. Учир нь энэ бол хамгийн бага хэмжээ юм. Хэрэв бид r функцийг хэлбэрт шилжүүлбэл үүнийг харахад хялбар болно баруун хэсэг (") нь энэ функцийн үнэмлэхүй хамгийн бага байх үед хамгийн бага байх болно. 2. Функцийг экстремум байгаа эсэхийг шалгана.Бид функцийн суурин цэгүүдийг олдог ба үүний төлөө тэгшитгэлийн систем зохиодог.Иймээс цэг нь хөдөлгөөнгүй байна. Теорем 12-ын дагуу М цэгт экстремум байхгүй. * 3. Функцийн экстремумыг судал.Функцийн суурин цэгүүдийг ол. Тэгшитгэлийн системээс бид үүнийг олж авдаг тул цэг нь хөдөлгөөнгүй байна. Дараа нь бид 12-р теорем нь экстремум байгаа эсэх эсвэл байхгүй гэсэн асуултанд хариулдаггүй. Ингэж хийцгээе. Цэгээс ялгаатай бүх цэгүүдийн тухай функцийн хувьд A/o(0,0) цэгийн тодорхойлолтоор r функц нь үнэмлэхүй минимумтай байна. Үүнтэй төстэй тооцоогоор бид функц нь цэг дээр хамгийн их утгатай, харин функц нь цэг дээр экстремумгүй болохыг тогтооно. n бие даасан хувьсагчтай функцийг цэг дээр дифференциалддаг байг.Теорем 13 (экстремумын хангалттай нөхцөл хүртэл) бол Mo цэгийг функцийн суурин цэг гэнэ. Функц нь тодорхойлогдсон ба нарийн Mt(xi...)-ийн зарим хөршид хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байг, энэ нь квадрат хэлбэр (торгуулийн f функцийн хоёр дахь дифференциал эерэг байвал хөдөлгөөнгүй нарийн функц юм. тодорхой (сөрөг тодорхой), f функцийн минимум цэг (тус тус нарийн максимум) нарийн Хэрэв квадрат хэлбэр (4) тэмдгээр ээлжлэн орвол торгуулийн LG0-д экстремум байхгүй болно.Квадрат эсэхийг тогтоохын тулд (4) хэлбэр нь эерэг эсвэл сөрөг тодорхой байх тул жишээлбэл, квадрат хэлбэрийн эерэг (сөрөг) тодорхой байдлын хувьд Сильвестерийн шалгуурыг ашиглаж болно.15.2.Нөхцөлт экстремум.Одоог хүртэл бид функцийн орон нутгийн экстремумуудыг хайж ирсэн. Функцийн аргументууд нь ямар нэгэн нэмэлт нөхцлөөр хязгаарлагдахгүй үед түүний тодорхойлолтын муж даяар.Ийм экстремумыг болзолгүй гэж нэрлэдэг.Гэхдээ нөхцөлт экстремум гэгдэхийг олоход асуудал байнга тулгардаг.z = /(x, y) функц байг. ) домэйнд тодорхойлогдох D. Энэ мужид L муруй өгөгдсөн гэж үзье, бид зөвхөн f(x> y) функцийн экстремумыг зөвхөн цэгүүдэд тохирох утгуудын дундаас олох хэрэгтэй. муруйн L. Ижил экстремумуудыг z = f(x) y) муруйн функцийн нөхцөлт экстремум гэнэ. Тодорхойлолт L муруйн дээр байрлах цэгт f(x, y) функц байна гэж тэд хэлдэг. нөхцөлт максимум (хамгийн бага) хэрэв тэгш бус байдал M (s, y) y) бүх цэгүүдэд хангагдах бол M0(x0, V0) цэгийн зарим хөршид хамаарах ба M0 цэгээс ялгаатай (Хэрэв L муруй бол L) муруй L. тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол муруй дээрх r - f(x,y) функцийн нөхцөлт экстремумыг олох асуудал гарна! дараах байдлаар томьёолж болно: D муж дахь x = /(z, y) функцийн экстремумыг ол, иймээс z = y функцийн нөхцөлт экстремумыг олох үед зэрлэг ангууны аргументууд цаашид байж болохгүй. бие даасан хувьсагч гэж үздэг: тэдгээр нь y ) = 0 хамаарлаар өөр хоорондоо хамааралтай бөгөөд үүнийг холболтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Нөхцөлгүй ба нөхцөлт экстремумын ялгааг тодруулахын тулд функцийн болзолгүй максимум (Зураг 23) нэгтэй тэнцүү байх ба (0,0) цэгт хүрдэг жишээг харцгаая. Энэ нь pvvboloid-ийн орой болох M цэгтэй тохирч байна y = j холболтын тэгшитгэлийг нэмье. Тэгвэл болзолт максимум нь үүнтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой.(o,|) цэгт хүрч, бөмбөгийг y=j хавтгайтай огтлолцох шугам болох бөмбөгийн Afj оройтой тохирч байна. Нөхцөлгүй mvximum-ийн хувьд бид гадаргуугийн бүх vpplicvt дунд mvximum програмтай байна * = 1 - l;2 ~ y1; summvv нөхцөлт - зөвхөн pvraboloidv vllikvt цэгүүдийн дунд, шулуун шугамын цэг* харгалзах y = j xOy хавтгай биш. Функцийн оршихуй ба холболтын нөхцөлт экстремумыг олох аргуудын нэг нь дараах байдалтай байна. y) - O холболтын тэгшитгэлийг х аргументийн өвөрмөц дифференциалагдах функц гэж тодорхойлъё: Функцэд y-ийн оронд функцийг орлуулснаар холболтын нөхцөл аль хэдийн тооцогдсон нэг аргументийн функцийг олж авна. Функцийн (болзолгүй) экстремум нь хүссэн нөхцөлт экстремум юм. Жишээ. Функцийн экстремумыг нөхцлөөр олоорой Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумын тухай ойлголт. Экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд A Холболтын тэгшитгэлээс (2") y = 1-x-ийг олно. Энэ y утгыг (V) орлуулснаар бид функцийг олж авна. нэг аргумент х: Үүнийг экстремумын хувьд авч үзье: эндээс x = 1 нь эгзэгтэй цэг; , тиймээс энэ нь r функцийн нөхцөлт минимумыг өгдөг (Зураг 24).Нөхцөлтийн асуудлыг шийдэх өөр аргыг зааж өгье. экстремумыг Лагранжийн үржүүлэгчийн арга гэж нэрлэнэ.Холболт байгаа үед функцийн нөхцөлт экстремумын цэг байг.Холболтын тэгшитгэл нь xx цэгийн тодорхой хөрш дэх цорын ганц тасралтгүй дифференциалагдах функцийг тодорхойлдог гэж үзье. xq цэгийн /(r, ip(x)) функцийн x-тэй холбоотой дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, эсвэл үүнтэй тэнцэхүйц f(x, y)-ийн дифференциал байх ёстойг бид олж авна. Mo" O цэг) Холболтын тэгшитгэлээс бид (5) Сүүлчийн тэгшитгэлийг хараахан тодорхойгүй байгаа тоон А хүчин зүйлээр үржүүлж, (4) тэгшитгэлтэй гишүүн гишүүнийг нэмбэл (бид үүнийг таамаглаж байна) болно. Дараа нь dx-ийн дур зоргоороо бид (6) ба (7) тэгшитгэлүүдийг олж авдаг бөгөөд энэ нь функцийн цэг дээр болзолгүй экстремум байх шаардлагатай нөхцлийг илэрхийлдэг бөгөөд үүнийг Лагранжийн функц гэж нэрлэдэг. Тиймээс /(x, y) функцийн нөхцөлт экстремум цэг нь Лагранжийн функцийн суурин цэг байх нь зайлшгүй бөгөөд А нь тодорхой тоон коэффициент юм. Эндээс бид нөхцөлт экстремумыг олох дүрмийг олж авна: холболт байгаа үед функцийн ердийн экстремумын цэг байж болох цэгүүдийг олохын тулд 1) бид Лагранжийн функцийг зохиодог, 2) үүний деривативуудыг тэгшитгэдэг. функцийг тэг болгож, үүссэн тэгшитгэлд холболтын тэгшитгэлийг нэмснээр бид гурван тэгшитгэлийн системийг олж авдаг бөгөөд үүнээс бид A-ийн утгууд ба боломжит экстремум цэгүүдийн x, y координатуудыг олох болно. Нөхцөлт экстремумын оршихуй, мөн чанарын тухай асуудлыг (8) -аас олж авсан x0, V0, A утгуудын авч үзсэн системийн хувьд Лагранжийн функцийн хоёр дахь дифференциалын тэмдгийг судалсны үндсэн дээр шийдвэрлэнэ. , дараа нь (x0, V0) цэг дээр /(x, y ) функц нь нөхцөлт максимумтай; хэрэв d2F > 0 бол нөхцөлт минимум болно. Ялангуяа хөдөлгөөнгүй цэгт (xo, J/o) F(x, y) функцийн тодорхойлогч D эерэг байвал (®o, V0) цэг дээр f( функцийн нөхцөлт максимум байна. x, y), if ба нөхцөлт минимум функц /(x, y), хэрэв Жишээ. Өмнөх жишээний нөхцөл рүү дахин оръё: x + y = 1 байх нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг ол. Бид Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг ашиглан асуудлыг шийднэ. Лагранж функц дотор энэ тохиолдолдхэлбэртэй байна Тогтвортой цэгүүдийг олохын тулд бид систем зохиодог.Системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x = y гэсэн томъёог олж авна. Дараа нь системийн гурав дахь тэгшитгэлээс (холболтын тэгшитгэл) бид x - y = j нь боломжит экстремум цэгийн координат болохыг олж мэдэв. Энэ тохиолдолд (A = -1 гэж заажээ. Иймээс Лагранжийн функц. нь * = x2 + y2 нөхцөл дэх функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг юм. Лагранжийн функцэд болзолгүй экстремум байхгүй. P(x, y) ) нь холболт байгаа үед /(x, y) функцийн нөхцөлт экстремум байхгүй гэсэн үг биш юм Жишээ: y 4 нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг ол. Бид Лагранжийн функцийг зохиож, системийг бичнэ. А ба боломжит экстремум цэгүүдийн координатыг тодорхойлох: Эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x + y = 0-ийг олж, x = y = A = 0 гэсэн системд хүрнэ. Тиймээс харгалзах Лагранж функц нь цэг дээр хэлбэртэй байна. (0,0) функц F(x, y; 0) нь болзолгүй экстремумгүй боловч функцийн нөхцөлт экстремум r = xy. y = x үед "байна. Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд r = x2. Эндээс (0,0) цэгт болзолт минимум байгаа нь тодорхой байна.“Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг дурын тооны аргументтай функцийн тохиолдол руу шилжүүлнэ/ Функцийн экстремумыг хайцгаая. холболтын тэгшитгэл байгаа тохиолдолд A|, Az,..., A„, тодорхойгүй тогтмол хүчин зүйл болох Лагранжийн функцийг зохио. F функцийн бүх нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлд холболтын тэгшитгэлийг (9) нэмснээр бид n + m тэгшитгэлийн системийг олж авах бөгөөд үүнээс бид Ab A3|..., At ба координатуудыг тодорхойлно. \) x2). » нөхцөлт экстремумын боломжит цэгүүдийн xn. Лагранжийн аргыг ашиглан олсон цэгүүд нь нөхцөлт экстремумын цэгүүд мөн үү гэсэн асуултыг ихэвчлэн физик эсвэл геометрийн шинж чанарт үндэслэн шийдэж болно. 15.3. Тасралтгүй функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд Зарим хаалттай хязгаарлагдмал хязгаарлагдмал мужид үргэлжилсэн z = /(x, y) функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох шаардлагатай болно. Теорем 3-аар энэ мужид байдаг. нь функц хамгийн их (хамгийн бага) утгыг авах цэг (xo, V0) юм. Хэрэв (xo, y0) цэг нь D домэйны дотор оршдог бол функц / нь хамгийн их (хамгийн бага) -тай байх тул энэ тохиолдолд бидний сонирхсон цэг нь функцийн чухал цэгүүдийн дунд байрлана. у). Гэсэн хэдий ч, /(x, y) функц нь бүсийн зааг дээр хамгийн их (хамгийн бага) утгад хүрч чадна. Иймд z = /(x, y) функцээр хязгаарлагдмал хэмжээнд авсан хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох. хаалттай талбай 2), та энэ талбарт хүрэх функцийн бүх дээд хэмжээ (хамгийн бага), мөн энэ хэсгийн хил дээрх функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох хэрэгтэй. Эдгээр бүх тоонуудын хамгийн том (хамгийн бага) нь 27-р муж дахь z = /(x,y) функцийн хүссэн хамгийн том (хамгийн бага) утга байх болно. Дифференциалагдах функцийн хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг харуулъя. Пммр. 4-р мужийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.Г муж доторх функцийн критик цэгүүдийг олно.Үүний тулд тэгшитгэлийн системийг байгуулна.Эндээс x=y« 0-г олж авна. 0 (0,0) цэг нь х функцийн критик цэг юм. Г мужийн хил дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё. Хилийн нэг хэсэг дээр y = 0 нь эгзэгтэй цэг бөгөөд = үүнээс хойш энэ цэгт z функц байна. = 1 + y2 нь хамгийн бага нь нэгтэй тэнцүү байна. Г сегментийн төгсгөлд, цэгүүдэд (, бид байна. Тэгш хэмийн тооцоог ашиглан бид хилийн бусад хэсгүүдийн хувьд ижил үр дүнг олж авна. Эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна: z = x2+y2 функцийн муж дахь хамгийн бага утгыг. "B нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь 0( 0, 0) талбайн дотоод цэгт хүрдэг. хамгийн өндөр үнэ цэнэЭнэ функцийн хоёртой тэнцүү нь хилийн дөрвөн цэгт хүрнэ (Зураг 25) Зураг 25 Дасгалууд Функцуудын тодорхойлолтын мужийг ол: Функцуудын түвшний шугамыг байгуул: 9 Функцийн түвшний гадаргууг ол. бие даасан гурван хувьсагчийн: Функцийн хязгаарыг тооцоолох: Функцийн хэсэгчилсэн дериватив ба тэдгээрийн бүрэн дифференциалууд : Цогц функцийн деривативыг ол: 3 J. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумыг ол Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум гэсэн ойлголт. Экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөл экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд 34. Хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн деривативын томъёог ашиглан функцийг олно уу: 35. Комплексийн дериватив томъёог ашиглана. хоёр хувьсагчийн функц, |J ба функцийг ол: Далдаар өгөгдсөн jj функцийг ол: 40. Шүргэх муруйн х = 3 шулуун шугамтай огтлолцох цэг дэх өнцгийн коэффициентийг ол. 41. Шүргэдэг цэгүүдийг ол. муруйн x нь Ox тэнхлэгтэй параллель байна. . Дараах бодлогод Т-г олоорой: Шүргэх хавтгай ба гадаргуугийн нормаль тэгшитгэлийг бич: 49. x+4y хавтгайтай параллель x2 + 2y2 + 3z2 = 21 гадаргуугийн шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг бич. + 6z = 0. Тейлорын томъёогоор тэлэлтийн эхний гурав, дөрвөн гишүүнийг ол : 50. (0, 0) цэгийн ойролцоох y. Функцийн экстремумын тодорхойлолтыг ашиглан экстремумын хувьд дараах функцуудыг шалгана уу:). Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөлийг ашиглан функцийн экстремумыг шалгана уу: 84. Битүү тойрог доторх z = x2 - y2 функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол 85. Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол. x = 0, y = 0, x + y = b шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн гурвалжин дахь * = x2y(4-x-y) функцийн. 88. Хамгийн жижиг гадаргуутай тэгш өнцөгт задгай усан сангийн хэмжээ V-тэй тэнцүү байх нөхцөлд тодорхойл. Хариултууд 1. ба | Хажуу талыг нь оруулаад x шугамын хэсгүүдээс үүссэн дөрвөлжин. 3. Төвлөрсөн цагирагуудын бүлэг 2= 0,1,2,... .4. Шулуун шугам дээрх цэгүүдээс бусад бүх хавтгай. Параболын дээр байрлах хавтгайн хэсэг y = -x?. 8. x тойргийн цэгүүд. Шулуун шугамаас бусад бүх хавтгай x Радикал илэрхийлэл нь хоёр тохиолдолд j * ^ эсвэл j x ^ ^ нь сөрөг биш бөгөөд энэ нь тэгш бус байдлын хязгааргүй цувралтай тэнцүү байна. Тодорхойлолтын хүрээ нь сүүдэртэй квадратууд (Зураг 26); l энэ нь хязгааргүй цуваатай тэнцүү Функц нь цэгээр тодорхойлогддог. a) Шулуун шугамтай параллель шулуунууд x б) төв нь эхэн дээрээ байгаа төвлөрсөн тойрог. 10. а) парабол y) парабол y a) парабол б) гипербол | .Онгоцууд xc. 13.Прайм - Оз тэнхлэгийг тойрон эргэх нэг хөндийн гиперболоидууд; Оз тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлтийн хоёр хуудас гиперболоид байх үед гадаргуугийн гэр бүл хоёулаа конусаар тусгаарлагдсан; Хязгаарлалт байхгүй, b) 0. 18. y = kxt дараа нь z lim z = -2 гэж тохируулъя, тиймээс (0,0) цэгт өгөгдсөн функц хязгааргүй болно. 19. a) Цэг (0,0); b) цэг (0,0). 20. a) Хагарлын шугам - тойрог x2 + y2 = 1; б) таслах шугам нь y = x шулуун байна. 21. a) Хугарлын шугам - Ox ба Oy координатын тэнхлэгүүд; b) 0 (хоосон багц). 22. Бүх цэгүүд (m, n), энд ба n нь бүхэл тоо юм