Байгаа стандарт харагдах байдал$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, үүнд зүүн талтэгшитгэл гэж нэрлэгддэг $F\left(x,y\right)$ зарим функцийн нийт дифференциалыг илэрхийлнэ. бүрэн дифференциалууд.

Нийт дифференциал дахь тэгшитгэлийг үргэлж $dF\left(x,y\right)=0$ гэж дахин бичиж болно, $F\left(x,y\right)$ нь $dF\left(x, y\баруун)=P\left(x,y\баруун)\cdot dx+Q\left(x,y\баруун)\cdot dy$.

$dF\left(x,y\right)=0$ тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; тэг баруун талын интеграл нь дурын тогтмол $C$-тай тэнцүү байна. Тиймээс, нийтлэг шийдвэрЭнэ тэгшитгэлийн далд хэлбэрээр $F\left(x,y\right)=C$ хэлбэртэй байна.

Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл байхын тулд $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. сэтгэл хангалуун байх. Хэрэв заасан нөхцөл хангагдсан бол $F\left(x,y\right)$ функц байгаа бөгөөд бид үүнийг бичих боломжтой: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, үүнээс бид хоёр хамаарлыг олж авна. : $\frac(\ хэсэгчилсэн F)(\хэсэг x) =P\зүүн(x,y\баруун)$ болон $\frac(\хэсэг F)(\хэсэг y) =Q\зүүн(x,y\баруун) )$.

Бид $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$-ын $x$-ын эхний хамаарлыг нэгтгэж $F\left(x,y\right)=\int-ийг авна. P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, энд $U\left(y\right)$ нь $y$-ын дурын функц юм.

$\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ хоёр дахь хамаарлыг хангахаар үүнийг сонгоцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид $F\left(x,y\right)$-ын үр дүнгийн хамаарлыг $y$-тай харьцуулан ялгаж, үр дүнг $Q\left(x,y\right)$-тай тэнцүүлнэ. Бид дараахыг авна: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\right)$.

Цаашдын шийдэл нь:

• сүүлчийн тэгшитгэлээс бид $U"\left(y\right)$;
• $U"\left(y\right)$-г нэгтгэж, $U\left(y\right)$-г ол;
• $U\left(y\right)$-г $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) тэгшитгэлд орлуулна. $ ба эцэст нь $F\left(x,y\right)$ функцийг олж авна.

\

Бид ялгааг олдог:

Бид $U"\left(y\right)$-г $y$ дээр нэгтгэж $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$-г олно.

Үр дүнг ол: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Бид ерөнхий шийдлийг $F\left(x,y\right)=C$ хэлбэрээр бичнэ, тухайлбал:

Тодорхой шийдлийг олоорой $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0),y_(0) \right)$, энд $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Хэсэгчилсэн шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Тодорхойлолт 8.4.Маягтын дифференциал тэгшитгэл

Хаана
нийт дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Ийм тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциал гэдгийг анхаарна уу
.

Ерөнхийдөө (8.4) тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

(8.5) тэгшитгэлийн оронд бид тэгшитгэлийг авч үзэж болно

,

Үүний шийдэл нь (8.4) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл юм. Тиймээс (8.4) тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд функцийг олох шаардлагатай
. (8.4) тэгшитгэлийн тодорхойлолтын дагуу бид байна

(8.6)

Чиг үүрэг
Бид эдгээр нөхцлүүдийн аль нэгийг (8.6) хангасан функцийг хайх болно:

Хаана -аас хамааралгүй дурын функц .

Чиг үүрэг
илэрхийллийн хоёр дахь нөхцөл (8.6) хангагдсан байхаар тодорхойлогддог

(8.7)

(8.7) илэрхийллээс функц тодорхойлогдоно
. Үүнийг илэрхийлэлд орлуулж байна
мөн анхны тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна.

Асуудал 8.3.Тэгшитгэлийг нэгтгэх

Энд
.

Иймээс энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн төрөлд хамаарна. Чиг үүрэг
Бид үүнийг хэлбэрээр хайх болно

.

Нөгөө талаар,

.

Зарим тохиолдолд нөхцөл байдал
биелэхгүй байж болно.

Дараа нь ийм тэгшитгэлийг интегралчлах хүчин зүйлээр үржүүлэх замаар авч үзэж буй төрөл болгон бууруулна. ерөнхий тохиолдол, нь зөвхөн функц юм эсвэл .

Хэрэв зарим тэгшитгэл нь зөвхөн хамаарах интегралч хүчин зүйлтэй бол , дараа нь томъёогоор тодорхойлно

харилцаа хаана байна зөвхөн функц байх ёстой .

Үүний нэгэн адил интеграцийн хүчин зүйл нь зөвхөн хамаарна , томъёогоор тодорхойлогдоно

харилцаа хаана байна
зөвхөн функц байх ёстой .

Өгөгдсөн харилцаанд, эхний тохиолдолд хувьсагчийн байхгүй байх , хоёрдугаарт - хувьсагч , нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн интегралчлагч хүчин зүйл байгаагийн шинж тэмдэг юм.

Асуудал 8.4.Энэ тэгшитгэлийг нийт дифференциал дахь тэгшитгэл болгон бууруул.

.

Харилцааг авч үзье:

.

Сэдэв 8.2. Шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тодорхойлолт 8.5. Дифференциал тэгшитгэл
хэрэв хүссэн функцийн хувьд шугаман бол шугаман гэж нэрлэдэг , түүний дериватив мөн хүссэн функц болон түүний деривативын үржвэрийг агуулаагүй болно.

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг дараах харьцаагаар илэрхийлнэ.

(8.8)

Хэрэв (8.8) харьцаатай бол баруун тал
, тэгвэл ийм тэгшитгэлийг шугаман нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Хэрэв баруун хэсэг
, тэгвэл ийм тэгшитгэлийг шугаман нэг төрлийн бус гэж нэрлэдэг.

(8.8) тэгшитгэлийг квадратад нэгтгэж болохыг харуулъя.

Эхний шатанд бид шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үздэг.

Ийм тэгшитгэл нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үнэхээр,

;

/

Сүүлийн хамаарал нь шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг тодорхойлно.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олохын тулд тогтмолын деривативыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Аргын санаа нь шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэлтэй ижил хэлбэртэй боловч дурын тогтмол юм. зарим функцээр солигдсон
тодорхойлох. Тиймээс бидэнд байна:

(8.9)

(8.8)-д харгалзах илэрхийллийг орлуулах
Тэгээд
, бид авдаг

Сүүлчийн илэрхийллийг (8.9) хамааралд орлуулснаар шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна.

Ийнхүү шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл ба шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхой шийдэл гэсэн хоёр квадратаар тодорхойлно.

Асуудал 8.5.Тэгшитгэлийг нэгтгэх

Тиймээс анхны тэгшитгэл нь шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн төрөлд хамаарна.

Эхний шатанд бид шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олох болно.

;

Хоёр дахь шатанд бид шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг тодорхойлно.

,

Хаана
- функцийг тодорхойлох.

Тиймээс бидэнд байна:

-ын харилцааг орлуулах Тэгээд Анхны шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлд бид дараахь зүйлийг олж авна.

;

;

.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Энэ сэдвээр бид функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээх аргыг авч үзэх болно, асуудлын жишээг өгөх болно бүрэн дүн шинжилгээшийдлүүд.

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэл (DE) нь зүүн талд байгаа зарим функцүүдийн бүрэн дифференциалуудыг агуулж болно. Хэрэв бид эхлээд функцийг нийт дифференциалаас нь сэргээвэл дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж чадна.

Жишээ 1

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 тэгшитгэлийг авч үзье. Зүүн гар тал нь тодорхой функцийн дифференциалыг агуулдаг U(x, y) = 0. Үүний тулд ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x нөхцөл хангагдсан байх ёстой.

U (x, y) = 0 функцийн нийт дифференциал нь d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y хэлбэртэй байна. ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x нөхцөлийг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Гарсан тэгшитгэлийн системээс эхний тэгшитгэлийг хувиргаснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Өмнө нь олж авсан системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид φ (y) функцийг олж болно.
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Ингээд бид хүссэн U (x, y) = 0 функцийг олсон.

Жишээ 2

(x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгая:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Бидний нөхцөл хангагдсан.

Тооцоолол дээр үндэслэн бид анхны дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь U (x, y) = 0 функцийн нийт дифференциал гэж дүгнэж болно. Бид энэ функцийг олох хэрэгтэй.

(x 2 - y 2) d x - 2 x y d y нь U (x, y) = 0 функцийн нийт дифференциал тул

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Системийн эхний тэгшитгэлийг x-тэй хамааруулан интеграцчилъя.

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Одоо бид гарсан үр дүнг y-ийн хувьд ялгаж байна:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг хувиргаснаар бид дараахийг олж авна: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Энэ нь тийм гэсэн үг
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

Энд C нь дурын тогтмол юм.

Бид авна: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Ерөнхий интеграл анхны тэгшитгэл x 3 3 - x y 2 + C = 0 байна.

Мэдэгдэж буй нийт дифференциал ашиглан функцийг олох өөр аргыг авч үзье. Энэ нь тогтмол цэгээс (x 0, y 0) хувьсах координаттай (x, y) цэг хүртэлх муруй шугаман интегралыг ашиглахад хамаарна:

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Ийм тохиолдолд интегралын утга нь интеграцийн замаас ямар ч байдлаар хамаардаггүй. Бид эвдэрсэн шугамыг нэгтгэх зам болгон авч болно, тэдгээрийн холбоосууд нь координатын тэнхлэгүүдтэй зэрэгцээ байрладаг.

Жишээ 3

(y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгая:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Дифференциал тэгшитгэлийн зүүн талыг зарим функцийн U (x, y) = 0-ийн нийт дифференциалаар төлөөлдөг болох нь харагдаж байна. Энэ функцийг олохын тулд цэгийн шулууны интегралыг тооцоолох шаардлагатай (1 ; 1) өмнө (х, у). Интеграцийн зам болгон хэсгүүд нь шулуун шугамаар дамжих тасархай шугамыг авч үзье y = 1(1, 1) цэгээс (x, 1), дараа нь (x, 1) цэгээс (x, y) хүртэл:

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Бид x y - x y 2 + C = 0 хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авлаа.

Жишээ 4

y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг тодорхойл.

Шийдэл

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгая.

∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x байх тул нөхцөл биелэхгүй. Энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь функцийн бүрэн дифференциал биш гэсэн үг юм. Энэ бол салгаж болох хувьсагчтай дифференциал тэгшитгэл бөгөөд бусад шийдлүүд үүнийг шийдвэрлэхэд тохиромжтой.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Тодорхойлолт: Маягтын тэгшитгэл

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

зүүн тал нь хоёр хувьсагчийн зарим функцийн нийт дифференциалыг нийт дифференциал тэгшитгэл гэнэ.

Хоёр хувьсагчийн энэ функцийг F(x,y) гэж тэмдэглэе. Тэгвэл (9) тэгшитгэлийг dF(x,y) = 0 гэж дахин бичиж болох ба энэ тэгшитгэл нь F(x,y) = C ерөнхий шийдэлтэй байна.

(9) хэлбэрийн тэгшитгэл өгье. Энэ нь нийт дифференциал тэгшитгэл мөн эсэхийг мэдэхийн тулд илэрхийлэл мөн эсэхийг шалгах хэрэгтэй

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

хоёр хувьсагчийн зарим функцийн нийт дифференциал. Үүнийг хийхийн тулд та тэгш байдлыг шалгах хэрэгтэй

Өгөгдсөн илэрхийллийн (10) хувьд тэгш байдал (11) нь энгийн холбогдсон мужид (S) хангагдсан тул (10) илэрхийлэл нь (S) дахь зарим F(x,y) функцийн нийт дифференциал байна гэж үзье. ).

Энэхүү эсрэг деривативыг олох дараах аргыг авч үзье. F(x,y) функцийг олох шаардлагатай

Энд функц (y) нь доор тодорхойлогдох болно. Томъёо (12)-аас энэ нь дараах байдалтай байна

бүс нутгийн бүх цэгүүдэд (S). Одоо тэгш байдлыг хангахын тулд (y) функцийг сонгоцгооё

Үүнийг хийхийн тулд бид (12) томъёоны дагуу F(x,y)-ийн оронд түүний илэрхийлэлийг орлуулж, шаардлагатай тэгш байдлыг (14) дахин бичнэ.

Интеграл тэмдгээр y-ийг ялгаж үзье (үүнийг P(x,y) ба --аас хойш хийж болно. тасралтгүй функцуудхоёр хувьсагч):

(11)-ийн дагуу (16) интеграл тэмдгийн дор орлуулснаар бид дараах байдалтай байна.

y дээр интеграл болгосны дараа бид (y) функцийг олох бөгөөд энэ нь тэгш байдал (14) хангагдсан байхаар бүтээгдсэн. (13) ба (14) тэгш байдлыг ашигласнаар бид үүнийг харж байна

талбайд (S). (18)

Жишээ 5. Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл мөн эсэхийг шалгаад шийд.

Энэ бол нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэл юм. Үнэн хэрэгтээ, томилсноор бид үүнд итгэлтэй байна

мөн энэ нь илэрхийлэл байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл юм

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

зарим U(x,y) функцийн нийт дифференциал юм. Түүнээс гадна эдгээр нь R-д тасралтгүй байдаг функцууд юм.

Иймд энэхүү дифференциал тэгшитгэлийг интеграл болгохын тулд дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал нь нийт дифференциал байх функцийг олох хэрэгтэй. Ийм функцийг U(x,y) гэж үзье

Зүүн ба баруун талыг x дээр нэгтгэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

q(y)-ийг олохын тулд бид үүнийг ашигладаг

Олдсон μ(y) утгыг (*) орлуулснаар бид эцэст нь U(x,y) функцийг олж авна.

Анхны тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл нь хэлбэртэй байна

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн үндсэн төрлүүд (үргэлжлэл).

Шугаман дифференциал тэгшитгэл

Тодорхойлолт: Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

y" + P(x)y = f(x), (21)

Энд P(x) ба f(x) нь тасралтгүй функц юм.

Тэгшитгэлийн нэрийг y" дериватив гэж тайлбарлав шугаман функц y-ээс өөрөөр хэлбэл (21) тэгшитгэлийг y" = - P(x) + f(x) хэлбэрээр дахин бичвэл баруун тал нь зөвхөн эхний зэрэглэлд y-г агуулна.

Хэрэв f(x) = 0 бол тэгшитгэл

yґ+ P(x) y = 0 (22)

шугаман гэж нэрлэдэг нэгэн төрлийн тэгшитгэл. Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэл нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл гэдэг нь ойлгомжтой.

y" +P(x)y = 0; ,

Хэрэв f(x) бол? 0, дараа нь тэгшитгэл

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Ерөнхийдөө (21) тэгшитгэлийн хувьсагчдыг салгах боломжгүй.

Тэгшитгэл (21)-ийг дараах байдлаар шийднэ: бид U(x) ба V(x) хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр шийдлийг хайх болно:

Деривативыг олцгооё:

y" = U"V + хэт ягаан туяа" (25)

ба эдгээр илэрхийллийг тэгшитгэлд (1) орлуулна уу:

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Зүүн талд байгаа нэр томъёог бүлэглэе:

U"V + U = f(x). (26)

(24) хүчин зүйлсийн аль нэгэнд нөхцөл тавицгаая, тухайлбал, V(x) функц нь дөрвөлжин хаалтанд байгаа илэрхийллийг (26) тэг болгон хувиргадаг гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм

V" + P(x)V = 0. (27)

Энэ бол салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл бөгөөд үүнээс бид V(x)-ийг олно.

Одоо аль хэдийн олдсон V(x) функцээр U V үржвэр нь (26) тэгшитгэлийн шийдэл болох U(x) функцийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд U(x) нь тэгшитгэлийн шийдэл байх шаардлагатай

Энэ бол салгаж болох тэгшитгэл, тиймээс

Олдсон (28) ба (30) функцийг (4) томъёонд орлуулснаар бид (21) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.

Тиймээс авч үзсэн арга (Бернулли арга) нь уусмалыг багасгадаг шугаман тэгшитгэл(21) салж болох хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн шийдэлд.

Жишээ 6. Тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг ол.

Энэ тэгшитгэл нь y ба y"-ийн хувьд шугаман биш боловч x-г хүссэн функц, y-г аргумент гэж үзвэл шугаман болж хувирна. Үнэнийг хэлэхэд, бид үүнийг олж авна.

Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд орлуулах аргыг (Бернулли) ашигладаг. Дараа нь бид x(y)=U(y)V(y) хэлбэрээр тэгшитгэлийн шийдлийг хайх болно. Бид тэгшитгэлийг авна:

V(y) функцийг сонгон авч үзье. Дараа нь

Нийт дифференциал дахь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
(1) ,
Энд тэгшитгэлийн зүүн тал нь зарим U функцийн нийт дифференциал юм (х, у) x, y хувьсагчдаас:
.
Үүнд .

Хэрэв ийм функц U олдвол (х, у), тэгвэл тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийг авна.
dU (x, y) = 0.
Үүний ерөнхий интеграл нь:
У (x, y) = C,
Энд C нь тогтмол байна.

Хэрэв нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг деривативаар нь бичвэл:
,
дараа нь хэлбэрт оруулахад хялбар байдаг (1) . Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг dx-ээр үржүүлнэ. Дараа нь . Үүний үр дүнд бид дифференциалаар илэрхийлсэн тэгшитгэлийг олж авна.
(1) .

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанар

Тэгшитгэл хийхийн тулд (1) Энэ нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл байсан тул харилцааг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм:
(2) .

Баталгаа

Бид цаашид нотлоход ашигласан бүх функцууд тодорхойлогдсон бөгөөд x ба y хувьсагчдын утгын зарим мужид харгалзах деривативуудтай байна гэж бид таамаглаж байна. x цэг 0 , y 0мөн энэ бүсэд хамаарна.

Нөхцөл (2) шаардлагатайг баталцгаая..
Тэгшитгэлийн зүүн талыг үзье (1) нь зарим U функцийн дифференциал юм (х, у):
.
Дараа нь
;
.
Хоёрдахь дериватив нь ялгах дарааллаас хамаарахгүй тул
;
.
Үүнийг дагадаг. Шаардлагатай нөхцөл (2) батлагдсан.

Нөхцөл (2) хангалттай гэдгийг баталъя..
Нөхцөл хангагдах болтугай (2) :
(2) .
Ийм U функцийг олох боломжтой гэдгийг харуулъя (х, у)түүний дифференциал нь:
.
Энэ нь ийм U функц байгаа гэсэн үг юм (х, у), тэгшитгэлийг хангадаг:
(3) ;
(4) .
Ийм функцийг олцгооё. Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье (3) x-ээс x-ээр 0 y-г тогтмол гэж үзвэл x хүртэл:
;
;
(5) .
Бид x-г тогтмол гэж үзээд у-д хамааруулан ялгадаг (2) :

.
Тэгшитгэл (4) байвал гүйцэтгэнэ
.
y-ээс y дээр интеграл 0 танд:
;
;
.
Орлуулах (5) :
(6) .
Тиймээс бид дифференциалтай функцийг олсон
.
Хангалттай нь батлагдсан.

Томъёонд (6) , У (x 0 , y 0)тогтмол байна - U функцийн утга (х, у) x цэг дээр 0 , y 0. Энэ нь ямар ч утгыг оноож болно.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн таних вэ

Дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд нөхцөлийг шалгах хэрэгтэй (2) :
(2) .
Хэрэв энэ нь тохирч байвал энэ тэгшитгэл нийт дифференциал болно. Хэрэв тийм биш бол энэ нь нийт дифференциал тэгшитгэл биш юм.

Жишээ

Тэгшитгэл нийт дифференциал байгаа эсэхийг шалгана уу:
.

Шийдэл

Энд
, .
Бид x тогтмолыг харгалзан y-д хамааруулан ялгадаг:


.
Ялгаж үзье


.
Учир нь:
,
тэгвэл өгөгдсөн тэгшитгэл нь нийт дифференциал болно.

Нийт дифференциал дахь дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Дараалсан дифференциал олборлох арга

Ихэнх энгийн аргатэгшитгэлийг нийт дифференциалаар шийдвэрлэх нь дифференциалыг дараалан сонгох арга юм. Үүнийг хийхийн тулд бид дифференциал хэлбэрээр бичсэн ялгах томъёог ашигладаг.
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (UV);
;
.
Эдгээр томъёонд u болон v нь хувьсагчдын дурын хослолоос бүрдсэн дурын илэрхийлэл юм.

Жишээ 1

Тэгшитгэлийг шийд:
.

Шийдэл

Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал дээр байгааг олж мэдсэн. Үүнийг өөрчилье:
(P1) .
Бид дифференциалыг дараалан тусгаарлах замаар тэгшитгэлийг шийддэг.
;
;
;
;

.
Орлуулах (P1):
;
.

Хариулт

Дараалсан интеграцийн арга

Энэ аргад бид U функцийг хайж байна (х, у), тэгшитгэлийг хангах:
(3) ;
(4) .

Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье (3) x-д y тогтмолыг авч үзвэл:
.
Энд φ (y)- тодорхойлох шаардлагатай y-ийн дурын функц. Энэ нь интеграцийн тогтмол юм. Тэгшитгэлд орлуулна уу (4) :
.
Эндээс:
.
Интеграцчилснаар бид φ-ийг олно (y)улмаар У (х, у).

Жишээ 2

Тэгшитгэлийг нийт дифференциалаар шийд:
.

Шийдэл

Өмнө нь бид энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал дээр байгааг олж мэдсэн. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.
, .
U функцийг хайж байна (х, у), дифференциал нь тэгшитгэлийн зүүн тал нь:
.
Дараа нь:
(3) ;
(4) .
Тэгшитгэлийг нэгтгэж үзье (3) x-д y тогтмолыг авч үзвэл:
(P2)
.
y-ээр ялгах:

.
Орлуулж орцгооё (4) :
;
.
Нэгтгэцгээе:
.
Орлуулж орцгооё (P2):

.
Тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл:
У (x, y) = const.
Бид хоёр тогтмолыг нэг болгон нэгтгэдэг.

Хариулт

Муруй дагуу нэгтгэх арга

U функцийг хамаарлаар тодорхойлсон:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
Энэ тэгшитгэлийг цэгүүдийг холбосон муруйн дагуу нэгтгэх замаар олж болно (x 0 , y 0)Тэгээд (х, у):
(7) .
Учир нь
(8) ,
тэгвэл интеграл нь зөвхөн анхны координатаас хамаарна (x 0 , y 0)ба эцсийн (х, у)оноо бөгөөд муруй хэлбэрээс хамаарахгүй. -аас (7) Тэгээд (8) бид олдог:
(9) .
Энд x 0 болон y 0 - байнгын. Тиймээс У (x 0 , y 0)- бас тогтмол.

U-ийн ийм тодорхойлолтын жишээг нотлох баримтаас авсан болно.
(6) .
Энд интеграцийг эхлээд цэгээс у тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу гүйцэтгэнэ (x 0 , y 0 )цэг хүртэл (x 0 , y). Дараа нь цэгээс x тэнхлэгтэй параллель сегментийн дагуу интеграцийг гүйцэтгэнэ (x 0 , y)цэг хүртэл (х, у) .

Ерөнхийдөө та муруй холбох цэгүүдийн тэгшитгэлийг илэрхийлэх хэрэгтэй (x 0 , y 0 )Тэгээд (х, у)параметрийн хэлбэрээр:
x 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
x 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
ба т дээр нэгтгэх 1 -аас т 0 т.

Интеграцийг гүйцэтгэх хамгийн хялбар арга бол сегментийг холбох цэгүүд юм (x 0 , y 0 )Тэгээд (х, у). Энэ тохиолдолд:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
т 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Орлуулсны дараа бид t-ийн интегралыг олж авна 0 өмнө 1 .
Энэ аргаГэсэн хэдий ч энэ нь нэлээд төвөгтэй тооцоололд хүргэдэг.

Лавлагаа:
V.V. Степанов, Дифференциал тэгшитгэлийн курс, "LKI", 2015 он.