Цагаан будаа. 4.2. Хуваарь

Цагаан будаа. 4.3. Хуваарь

Функцийн босоо асимптотуудыг хоёр дахь төрлийн тасалдлын цэгүүдээс (энэ цэг дээрх функцийн нэг талт хязгаарын аль нэг нь хязгааргүй эсвэл байхгүй) эсвэл түүний тодорхойлолтын хүрээний төгсгөлд хайх ёстой.
, Хэрэв
- төгсгөлтэй тоо.

Хэрэв функц
нь бүхэл тооны шулуун дээр тодорхойлогддог бөгөөд хязгаартай байдаг
, эсвэл
, дараа нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугам
, нь баруун гар хэвтээ асимптот ба шулуун шугам юм
- зүүн талын хэвтээ асимптот.

Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол

Тэгээд
,

тэгвэл шулуун болно
нь функцийн графикийн налуу асимптот юм. Ташуу асимптот нь баруун талтай байж болно (
) эсвэл зүүн гартай (
).

Чиг үүрэг
багц дээр нэмэгдэх гэж нэрлэдэг
, хэрэв байгаа бол
, ийм >, тэгш бус байдал нь:
>
(буурдаг бол:
<
). Цөөн хэдэн
энэ тохиолдолд функцийн монотон интервал гэж нэрлэдэг.

Функцийн монотон байх дараах хангалттай нөхцөл хүчинтэй байна: хэрэв олонлог дотор дифференциалагдах функцийн дериватив байвал.
эерэг (сөрөг) байвал энэ олонлог дээр функц нэмэгдэнэ (буурагдана).

Жишээ 4.5.Функц өгсөн
. Түүний өсөлт ба бууралтын интервалыг ол.

Шийдэл.Үүний деривативыг олъё
. Энэ нь ойлгомжтой >0 цагт >3 ба <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) ба (3);
).

Цэг цэг гэж нэрлэдэг орон нутгийн дээд хэмжээ (хамгийн бага)функцууд
, хэрэв тухайн цэгийн зарим хөршид тэгш бус байдал бий
(
) . Нэг цэг дэх функцийн утга дуудсан хамгийн их (хамгийн бага).Хамгийн их ба хамгийн бага функцуудыг нийтлэг нэрээр нэгтгэдэг экстремумфункцууд.

Функцийн хувьд
цэг дээр экстремум байсан Энэ үед түүний дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай (
) эсвэл байхгүй байсан.

Функцийн дериватив тэгтэй тэнцүү байх цэгүүдийг дуудна сууринфункциональ цэгүүд. Хөдөлгөөнгүй цэг дээр функцийн экстремум байх албагүй. Экстремумыг олохын тулд функцийн суурин цэгүүдийг нэмэлтээр шалгах шаардлагатай, жишээлбэл, экстремумын хангалттай нөхцөлийг ашиглан.

Тэдний эхнийх нь хэрэв хөдөлгөөнгүй цэгээр дамжин өнгөрөх үед Дифференциалагдах функцийн дериватив зүүнээс баруун тийш тэмдгээ нэмэхээс хасах руу өөрчилснөөр тухайн цэг дээр орон нутгийн максимумд хүрнэ. Хэрэв тэмдэг нь хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь функцийн хамгийн бага цэг болно.

Хэрэв судалж буй цэгээр дамжин өнгөрөхөд деривативын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй бол энэ цэг дээр экстремум байхгүй болно.

Хөдөлгөөнгүй цэг дэх функцийн экстремумын хоёр дахь хангалттай нөхцөл нь функцийн хоёр дахь деривативыг ашигладаг: хэрэв
<0, тонь хамгийн их цэг бөгөөд хэрэв
>0, тэгвэл - хамгийн бага оноо. At
=0 экстремумын төрлийн тухай асуулт нээлттэй хэвээр байна.

Чиг үүрэг
дуудсан гүдгэр (гүдгэр) багц дээр
, хэрэв аль нэг хоёр утгын хувьд
тэгш бус байдал нь:

.

Зураг 4.4. Гүдгэр функцийн график

Хоёр дахин дифференциалагдах функцийн хоёр дахь дериватив бол
багц дотор эерэг (сөрөг).
, дараа нь функц нь багц дээр хотгор (гүдгэр) байна
.

Тасралтгүй функцийн графикийн гулзайлтын цэг
функц нь гүдгэр ба хотгор байх интервалуудыг тусгаарлах цэг гэж нэрлэдэг.

Хоёр дахь дериватив
гулзайлтын цэг дээр хоёр дахин ялгах функц тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл
= 0.

Хэрэв тодорхой цэгээр дамжин өнгөрөх үед хоёр дахь дериватив тэгвэл тэмдэгээ өөрчилнө нь түүний графикийн гулзайлтын цэг юм.

Функцийг судалж, түүний графикийг зурахдаа дараахь схемийг ашиглахыг зөвлөж байна.

23. Дифференциал функцийн тухай ойлголт. Үл хөдлөх хөрөнгө. Ойролцоогоор дифференциал хэрэглэх.y тооцоо.

Дифференциал функцийн тухай ойлголт

y=ƒ(x) функц нь x цэгт тэгээс өөр деривативтэй байг.

Дараа нь функц, түүний хязгаар, хязгааргүй жижиг функцийн хоорондын хамаарлын тухай теоремын дагуу бид  у/х=ƒ"(x)+α гэж бичнэ, энд α→0 нь ∆х→0, эсвэл ∆у байна. =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Тиймээс ∆у функцийн өсөлт нь ∆x→0-ийн хувьд хязгааргүй бага байх ƒ"(x) ∆x ба a ∆x хоёр гишүүний нийлбэр юм. Түүнээс гадна эхний гишүүн нь дараахтай ижил эрэмбийн хязгааргүй жижиг функц юм. ∆x, оноос хойш Хоёрдахь гишүүн нь ∆x-ээс өндөр эрэмбийн хязгааргүй жижиг функц юм:

Тиймээс эхний гишүүн ƒ"(x) ∆x гэж нэрлэнэ нэмэгдлийн үндсэн хэсэгфункцууд ∆у.

Функцийн дифференциал x цэг дээрх y=ƒ(x)-ийг функцийн дериватив ба аргументийн нэмэгдлийн үржвэртэй тэнцүү, түүний өсөлтийн үндсэн хэсэг гэж нэрлэх ба dу (эсвэл dƒ(x)) гэж тэмдэглэнэ:

dy=ƒ"(x) ∆х. (1)

Ду дифференциал гэж бас нэрлэдэг нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал.Бие даасан x хувьсагчийн дифференциал, өөрөөр хэлбэл y=x функцийн дифференциалыг олъё.

y"=x"=1 тул (1) томъёоны дагуу бид dy=dx=∆x байна, өөрөөр хэлбэл бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь энэ хувьсагчийн өсөлттэй тэнцүү байна: dx=∆x.

Тиймээс (1) томъёог дараах байдлаар бичиж болно.

dy=ƒ"(х)dх, (2)

өөрөөр хэлбэл функцийн дифференциал нь энэ функцийн дериватив ба бие даасан хувьсагчийн дифференциалын үржвэртэй тэнцүү байна.

Томъёо (2)-аас dy/dx=ƒ"(x) тэгшитгэл дагана. Одоо тэмдэглэгээ

dy/dx деривативыг dy ба dx дифференциалуудын харьцаа гэж үзэж болно.

Дифференциалдараах үндсэн шинж чанаруудтай.

1. d(-тай)=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

d(-тайu)=-тайd(u).

4. .

5. y= е(z), , ,

Дифференциалын хэлбэр нь өөрчлөгддөггүй (өөрчлөгддөггүй): аргумент нь энгийн эсвэл төвөгтэй эсэхээс үл хамааран функцийн дериватив ба аргументийн дифференциалын үржвэртэй үргэлж тэнцүү байна.

Ойролцоогоор тооцоололд дифференциал хэрэглэх

Өмнө нь мэдэгдэж байгаачлан, x цэг дэх у=ƒ(x) функцийн ∆у өсөлтийг ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энд ∆х→0 үед α→0, эсвэл ∆у= dy+α ∆х.. ∆х-ээс өндөр эрэмбийн хязгааргүй бага α ∆х-г хасвал ойролцоогоор тэгшитгэл гарна.

∆y≈dy, (3)

Түүнээс гадна, энэ тэгшитгэл нь илүү нарийвчлалтай байх тусам ∆х бага байна.

Энэхүү тэгш байдал нь аливаа дифференциалагдах функцийн өсөлтийг маш нарийвчлалтай тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог.

Дифференциал нь функцийн өсөлтөөс хамаагүй хялбар байдаг тул (3) томъёог тооцоолох практикт өргөн ашигладаг.

24. Эсрэг дериватив функц ба тодорхойгүй-р интеграл.

Анхдагч функц ба нөхөн олговрын интегралын тухай ойлголт

Чиг үүрэг Ф (X) гэж нэрлэдэг эсрэг дериватив функц энэ функцийн хувьд е (X) (эсвэл товчхондоо, эсрэг дериватив энэ функц е (X)) өгөгдсөн интервал дээр, хэрэв энэ интервал дээр бол . Жишээ. Функц нь бүх тооны тэнхлэг дээрх функцийн эсрэг дериватив юм, учир нь дурын хувьд X. Функцийн хамт for эсрэг дериватив нь , хаана хэлбэрийн аль ч функц болохыг анхаарна уу ХАМТ- дурын тогтмол тоо (энэ нь тогтмолын дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг). Энэ өмч нь ерөнхий тохиолдолд бас хамаарна.

Теорем 1. Хэрэв ба функцийн эсрэг хоёр дериватив бол е (X) тодорхой интервалд байвал тэдгээрийн хоорондын ялгаа нь тогтмол тоотой тэнцүү байна. Энэ теоремоос хэрэв ямар нэгэн эсрэг дериватив мэдэгдэж байна гэсэн дүгнэлт гарна Ф (X) энэ функцээс е (X), дараа нь эсрэг деривативуудын бүхэл бүтэн багц е (X) функцээр шавхагдаж байна Ф (X) + ХАМТ. Илэрхийлэл Ф (X) + ХАМТ, Хаана Ф (X) - функцийн эсрэг дериватив е (X) Мөн ХАМТ- дурын тогтмол, гэж нэрлэдэг тодорхойгүй интеграл функцээс е (X) ба тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн, мөн е (X) гэж нэрлэдэг интеграл функц ; - интеграл , X - интеграцийн хувьсагч ; ∫ - тодорхойгүй интегралын тэмдэг . Тиймээс, тодорхойлолтоор Хэрэв . гэсэн асуулт гарч ирнэ. хүн бүрт функцууд е (X) эсрэг дериватив, тиймээс тодорхойгүй интеграл байдаг уу? Теорем 2. Хэрэв функц бол е (X) Үргэлжилсэн дээр [ а ; б], дараа нь функцийн хувьд энэ сегмент дээр е (X) эсрэг дериватив байдаг . Доор бид зөвхөн тасралтгүй функцүүдийн эсрэг деривативуудын талаар ярих болно. Тиймээс энэ хэсгийн сүүлд авч үзэх интегралууд байдаг.

25. Тодорхой бусын шинж чанаруудТэгээдинтеграл. Интегралs үндсэн үндсэн функцуудаас.

Тодорхойгүй интегралын шинж чанарууд

Доорх томъёонд еТэгээд g- хувьсах функцууд x, Ф- функцийн эсрэг дериватив е, a, k, C- тогтмол утгууд.







Энгийн функцүүдийн интегралууд

Рационал функцүүдийн интегралуудын жагсаалт

(тэг-ийн эсрэг дериватив нь тогтмол, интегралын аль ч хязгаарт тэгийн интеграл нь тэгтэй тэнцүү)

Логарифм функцүүдийн интегралуудын жагсаалт

Экспоненциал функцүүдийн интегралуудын жагсаалт

Иррационал функцүүдийн интегралуудын жагсаалт

("урт логарифм")

тригонометрийн функцүүдийн интегралуудын жагсаалт , урвуу тригонометрийн функцүүдийн интегралуудын жагсаалт

26. Орлуулах аргаs хувьсагч, тодорхойгүй интегралд хэсгүүдээр нэгтгэх арга.

Хувьсах орлуулах арга (орлуулах арга)

Орлуулах аргаар нэгтгэх арга нь шинэ интеграцийн хувьсагчийг (өөрөөр хэлбэл орлуулах) нэвтрүүлэх явдал юм. Энэ тохиолдолд өгөгдсөн интеграл нь хүснэгт хэлбэртэй эсвэл буурдаг шинэ интеграл болж буурдаг. Орлуулахыг сонгох ерөнхий аргууд байдаггүй. Орлуулах аргыг зөв тодорхойлох чадварыг дадлага хийх замаар олж авдаг.

Дифференциал ашиглан ойролцоогоор тооцоолол

Энэ хичээлээр бид нийтлэг асуудлыг авч үзэх болно дифференциал ашиглан функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоолох тухай. Энд цаашдаа бид нэгдүгээр эрэмбийн дифференциалуудын талаар ярих болно; товчхондоо би ихэвчлэн "дифференциал" гэж хэлэх болно. Дифференциал ашиглан ойролцоогоор тооцооллын асуудал нь шийдлийн хатуу алгоритмтай тул онцгой бэрхшээл гарах ёсгүй. Цорын ганц зүйл бол жижиг нүхнүүд байгаа бөгөөд тэдгээрийг бас цэвэрлэх болно. Тиймээс эхлээд толгойгоо шумбаж үзээрэй.

Нэмж дурдахад энэ хуудсанд тооцооллын үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг олох томъёо байдаг. Бусад асуудлуудад алдааг тооцоолох шаардлагатай тул материал нь маш ашигтай байдаг. Физикчид, алга ташилт чинь хаана байна? =)

Жишээнүүдийг амжилттай эзэмшихийн тулд та ядаж дунд түвшний функцүүдийн деривативыг олох чадвартай байх ёстой, тиймээс хэрэв та ялгааг бүрэн алдсан бол хичээлээс эхлээрэй. Деривативыг хэрхэн олох вэ?Би бас нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн асуудлууд, тухайлбал догол мөрүүд цэг дээр дериватив олох тухайТэгээд цэг дээрх дифференциалыг олох. Техникийн хэрэгслээс танд янз бүрийн математик функц бүхий бичил тооцоолуур хэрэгтэй болно. Та Excel-ийг ашиглаж болно, гэхдээ энэ тохиолдолд энэ нь тийм ч тохиромжтой биш юм.

Семинар нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ.

– Нэг хувьсагчийн функцийн дифференциалыг ашиглан ойролцоогоор тооцоолол.

– Хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалыг ашиглан ойролцоогоор тооцоолол.

Хэнд юу хэрэгтэй вэ? Үнэн хэрэгтээ хоёр дахь цэг нь хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн хэрэглээтэй холбоотой тул баялгийг хоёр овоолго болгон хуваах боломжтой байв. Гэхдээ би яах вэ, урт нийтлэлд дуртай.

Ойролцоогоор тооцоолол
нэг хувьсагчийн функцийн дифференциал ашиглах

Асуудалтай холбоотой даалгавар, түүний геометрийн утгыг хичээлд аль хэдийн авч үзсэн болно Дериватив гэж юу вэ? , одоо бид жишээнүүдийг албан ёсоор авч үзэхээр хязгаарлагдах болно, энэ нь тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад хангалттай юм.

Эхний догол мөрөнд нэг хувьсагчийн функцийг зохицуулдаг. Хүн бүрийн мэдэж байгаагаар үүнийг эсвэл -ээр тэмдэглэдэг. Энэ даалгаврын хувьд хоёр дахь тэмдэглэгээг ашиглах нь илүү тохиромжтой. Практикт ихэвчлэн тохиолддог алдартай жишээ рүү шууд шилжье.

Жишээ 1

Шийдэл:Дифференциал ашиглан ойролцоогоор тооцоолох ажлын томъёог дэвтэртээ хуулж авна уу.

Үүнийг ойлгож эхэлцгээе, энд бүх зүйл энгийн байна!

Эхний алхам бол функц үүсгэх явдал юм. Нөхцөлийн дагуу тооны шоо язгуурыг тооцоолохыг санал болгож байна: , тиймээс харгалзах функц нь: хэлбэртэй байна. Ойролцоогоор утгыг олохын тулд бид томъёог ашиглах хэрэгтэй.

Ингээд харцгаая зүүн талтомьёо, мөн 67 тоог заавал хэлбэрээр төлөөлөх ёстой гэсэн бодол толгойд орж ирдэг. Үүнийг хийх хамгийн хялбар арга юу вэ? Би дараах алгоритмыг санал болгож байна: энэ утгыг тооцоолуур дээр тооцоолох:
– Энэ нь сүүлтэй 4 болсон нь шийдлийн чухал удирдамж юм.

Бид "сайн" утгыг сонгоно ингэснээр үндсийг нь бүрэн арилгана. Мэдээжийн хэрэг, энэ үнэ цэнэ байх ёстой аль болох ойрхонхүртэл 67. Энэ тохиолдолд: . Үнэхээр:.

Тайлбар: Сонголт хийхэд бэрхшээлтэй хэвээр байвал тооцоолсон утгыг хараарай (энэ тохиолдолд ), хамгийн ойрын бүхэл тоон хэсгийг (энэ тохиолдолд 4) авч, шаардлагатай чадал хүртэл өсгөнө (энэ тохиолдолд ). Үүний үр дүнд хүссэн сонголтоо хийх болно: .

Хэрэв , дараа нь аргументийн өсөлт: .

Тэгэхээр 67 тоог нийлбэрээр илэрхийлнэ

Эхлээд тухайн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолъё. Үнэндээ энэ нь өмнө нь хийгдсэн:

Нэг цэг дээрх дифференциалыг дараах томъёогоор олно.
- Та мөн дэвтэртээ хуулж болно.

Томъёоноос харахад та эхний деривативыг авах хэрэгтэй.

Мөн түүний утгыг дараах цэгээс ол.

Тиймээс:

Бүгд бэлэн! Томъёоны дагуу:

Олдсон ойролцоо утга нь үнэ цэнэтэй ойролцоо байна , бичил тооцоолуур ашиглан тооцоолсон.

Хариулт:

Жишээ 2

Функцийн өсөлтийг дифференциалаар нь солих замаар ойролцоогоор тооцоол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Төгсгөлийн дизайны ойролцоо жишээ ба хичээлийн төгсгөлд хариулт. Эхлэгчдэд би эхлээд микро тооцоолуур дээр яг тодорхой утгыг тооцоолохыг зөвлөж байна. Энэ жишээнд энэ нь сөрөг байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Хэрэв бүх зүйлийг тооцоолуур дээр тайван, илүү нарийвчлалтай тооцоолох боломжтой бол яагаад энэ даалгавар хэрэгтэй вэ гэж зарим хүмүүс гайхаж байсан байх. Би зөвшөөрч байна, даалгавар бол тэнэг бөгөөд гэнэн юм. Гэхдээ би үүнийг бага зэрэг зөвтгөхийг хичээх болно. Нэгдүгээрт, даалгавар нь дифференциал функцийн утгыг харуулж байна. Хоёрдугаарт, эрт дээр үед тооны машин бол орчин үеийн хувийн нисдэг тэрэг шиг зүйл байсан. 1985-1986 онд орон нутгийн Политехникийн дээд сургуулиас нэг өрөөний хэмжээтэй компьютер яаж шидсэнийг би өөрөө харсан (радио сонирхогчид хотын өнцөг булан бүрээс халив барин гүйж ирсэн бөгөөд хэдхэн цагийн дараа зөвхөн гэр нь үлдсэн байв. нэгж). Манай физик-математикийн тэнхимд ч гэсэн жижгэвтэр ширээ шиг хэмжээтэй эртний эдлэлүүд байсан. Бидний өвөг дээдэс ойролцоогоор тооцооны арга барилтай ингэж тэмцэж ирсэн. Морин тэрэг ч бас тээвэр.

Ямар нэгэн байдлаар асуудал нь дээд математикийн стандарт курст хэвээр байгаа бөгөөд үүнийг шийдвэрлэх шаардлагатай болно. Энэ бол таны асуултын гол хариулт =)

Жишээ 3

цэг дээр. Микро тооцоолуур ашиглан нэг цэг дээрх функцийн утгыг илүү нарийвчлалтай тооцоолох, тооцооллын үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг үнэлэх.

Үнэн хэрэгтээ ижил даалгавар, үүнийг дараах байдлаар хялбархан өөрчилж болно: "Ойролцоогоор утгыг тооцоол. дифференциал ашиглах"

Шийдэл:Бид мэддэг томъёог ашигладаг:
Энэ тохиолдолд бэлэн функцийг аль хэдийн өгсөн болно: . Энэ нь ашиглахад илүү тохиромжтой гэдгийг дахин нэг удаа анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна.

Утгыг маягтаар харуулах ёстой. Эндээс харахад илүү хялбар, 1.97 тоо нь "хоёр" -той маш ойрхон байгааг бид харж байна. Тиймээс: .

Томьёог ашиглах , ижил цэг дээр дифференциалыг тооцъё.

Бид эхний деривативыг олдог:

Мөн түүний үнэ цэнэ нь:

Тиймээс цэг дээрх дифференциал:

Үүний үр дүнд томъёоны дагуу:

Даалгаврын хоёр дахь хэсэг нь тооцооллын үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг олох явдал юм.

Тооцооллын үнэмлэхүй ба харьцангуй алдаа

Үнэмлэхүй тооцооллын алдаатомъёогоор олно:

Модулийн тэмдэг нь бидэнд аль утга их, аль нь бага байх нь хамаагүй гэдгийг харуулж байна. Чухал, хэр холойролцоогоор үр дүн нь тодорхой утгаасаа нэг чиглэлд эсвэл өөр чиглэлд хазайсан.

Харьцангуй тооцооллын алдаатомъёогоор олно:
, эсвэл ижил зүйл:

Харьцангуй алдааг харуулж байна хэдэн хувиаройролцоо үр дүн нь тодорхой утгаас хазайсан. Томъёоны 100% үржүүлээгүй хувилбар байдаг ч практик дээр би дээр дурдсан хувилбарыг бараг л хувьтай хардаг.

Богино лавлагааны дараа функцийн ойролцоо утгыг тооцоолсон асуудал руугаа буцъя дифференциал ашиглан.

Микро тооцоолуур ашиглан функцийн яг утгыг тооцоолъё.
, хатуухан хэлэхэд үнэ цэнэ нь ойролцоо хэвээр байгаа ч бид үүнийг үнэн зөв гэж үзэх болно. Ийм асуудал гардаг.

Үнэмлэхүй алдааг тооцоолъё:

Харьцангуй алдааг тооцоолъё:
, мянган хувийг авсан тул дифференциал нь маш сайн ойролцооллыг өгсөн.

Хариулт: , үнэмлэхүй тооцооны алдаа, харьцангуй тооцооны алдаа

Бие даасан шийдлийн дараах жишээ:

Жишээ 4

Дифференциал ашиглан функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоол цэг дээр. Өгөгдсөн цэг дэх функцын илүү нарийвчлалтай утгыг тооцоолох, тооцооллын үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг тооцоолох.

Төгсгөлийн дизайны ойролцоо жишээ ба хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Үзсэн бүх жишээн дээр үндэс гарч ирдэг гэдгийг олон хүмүүс анзаарсан. Энэ нь санамсаргүй биш бөгөөд ихэнх тохиолдолд авч үзэж буй асуудал нь үндэстэй функцуудыг санал болгодог.

Гэхдээ зовж шаналж буй уншигчдад зориулж би arcsine-ийн жижиг жишээг ухаж авав:

Жишээ 5

Дифференциал ашиглан функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоол цэг дээр

Богинохон боловч мэдээлэл сайтай энэ жишээ танд бас бие даан шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно. Би бага зэрэг амарсан тул шинэ эрч хүчээр онцгой даалгаврыг авч үзэх болно.

Жишээ 6

Дифференциал ашиглан ойролцоогоор тооцоолж, үр дүнг хоёр аравтын бутархай болгон дугуйруулна уу.

Шийдэл:Даалгаврын шинэ зүйл юу вэ? Нөхцөл нь үр дүнг хоёр аравтын бутархай болгон дугуйлахыг шаарддаг. Гэхдээ энэ бол гол зүйл биш, би сургуулийн дугуйлах асуудал танд хэцүү биш гэж бодож байна. Баримт нь бидэнд шүргэгч өгөгддөг градусаар илэрхийлсэн аргументтай. Тригонометрийн функцийг градусаар шийдэхийг хүсэхэд та юу хийх ёстой вэ? Жишээлбэл, гэх мэт.

Шийдлийн алгоритм нь үндсэндээ ижил, өөрөөр хэлбэл өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил томъёог ашиглах шаардлагатай байна.

Тодорхой функц бичье

Утгыг маягтаар харуулах ёстой. Ноцтой тусламж үзүүлнэ тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт. Дашрамд хэлэхэд, үүнийг хэвлэж амжаагүй хүмүүст би үүнийг хийхийг зөвлөж байна, учир нь та дээд математикийн хичээлийн туршид тэндээс хайх хэрэгтэй болно.

Хүснэгтэд дүн шинжилгээ хийхдээ бид "сайн" шүргэгч утгыг анзаарч, 47 градустай ойролцоо байна.

Тиймээс:

Урьдчилсан шинжилгээ хийсний дараа градусыг радиан болгон хувиргах ёстой. Тийм ээ, зөвхөн энэ замаар!

Энэ жишээн дээр та тригонометрийн хүснэгтээс шууд олж мэдэж болно. градусыг радиан болгон хувиргах томъёог ашиглан: (томъёог ижил хүснэгтээс олж болно).

Дараах нь томъёолол юм:

Тиймээс: (бид тооцоололд утгыг ашигладаг). Нөхцөлийн дагуу үр дүнг аравтын хоёр орон хүртэл дугуйруулна.

Хариулт:

Жишээ 7

Дифференциал ашиглан ойролцоогоор тооцоолж, үр дүнг аравтын бутархайн гурван орон хүртэл дугуйруулна уу.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, бид градусыг радиан болгон хувиргаж, ердийн шийдлийн алгоритмыг дагаж мөрддөг.

Ойролцоогоор тооцоолол
хоёр хувьсагчийн функцийн бүрэн дифференциалыг ашиглан

Бүх зүйл маш төстэй байх болно, тиймээс хэрэв та энэ хуудсанд тусгайлан энэ даалгавар өгөхөөр ирсэн бол эхлээд өмнөх догол мөрийн дор хаяж хоёр жишээг үзэхийг зөвлөж байна.

Догол мөрийг судлахын тулд та олох чадвартай байх ёстой хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив, тэдэнгүйгээр бид хаана байх байсан бэ? Дээрх хичээл дээр би хоёр хувьсагчийн функцийг үсгээр тэмдэглэсэн. Харж байгаа ажилтай холбоотойгоор ижил төстэй тэмдэглэгээг ашиглах нь илүү тохиромжтой.

Нэг хувьсагчийн функцийн нэгэн адил асуудлын нөхцөлийг янз бүрийн аргаар томъёолж болох бөгөөд би тулгарсан бүх томъёоллыг авч үзэхийг хичээх болно.

Жишээ 8

Шийдэл:Нөхцөл хэрхэн бичигдсэнээс үл хамааран шийдлийн өөрөө функцийг илэрхийлэхийн тулд би давтан хэлье, "z" үсэг биш харин .

Мөн ажлын томъёо энд байна:

Бидний өмнө байгаа зүйл бол өмнөх догол мөрийн томъёоны эгч юм. Хувьсагч зөвхөн нэмэгдсэн. Би өөрөө юу хэлэх вэ шийдлийн алгоритм нь үндсэндээ ижил байх болно!

Нөхцөлийн дагуу тухайн цэг дээрх функцийн ойролцоо утгыг олох шаардлагатай.

3.04 тоог . Боов нь өөрөө идэхийг хүсдэг:
,

3.95 гэсэн тоог . Колобокийн хоёрдугаар хагаст ээлж ирлээ.
,

Үнэгний бүх заль мэхийг бүү хар, Колобок байдаг - та үүнийг идэх хэрэгтэй.

Тухайн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Нэг цэг дээрх функцийн дифференциалыг бид дараах томъёогоор олно.

Томъёоноос харахад бид олох хэрэгтэй хэсэгчилсэн деривативуудЭхний дарааллаар тэдгээрийн утгыг цэг дээр тооцоол.

Эхний дарааллын хэсэгчилсэн деривативуудыг цэг дээр тооцоолъё.

Цэг дэх нийт дифференциал:

Тиймээс, томъёоны дагуу тухайн цэг дээрх функцийн ойролцоо утга:

Тухайн цэг дээрх функцийн яг утгыг тооцоолъё.

Энэ утга нь туйлын үнэн зөв юм.

Алдааг энэ зүйлд аль хэдийн авч үзсэн стандарт томъёогоор тооцдог.

Үнэмлэхүй алдаа:

Харьцангуй алдаа:

Хариулт:, үнэмлэхүй алдаа: , харьцангуй алдаа:

Жишээ 9

Функцийн ойролцоо утгыг тооцоол нэг цэгт нийт дифференциал ашиглан үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг тооцоол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энэ жишээг анхааралтай ажиглаж буй хэн бүхэн тооцооллын алдаанууд нь маш их мэдэгдэхүйц байгааг анзаарах болно. Энэ нь дараах шалтгааны улмаас болсон: санал болгож буй асуудалд аргументуудын өсөлт нэлээд их байна: . Ерөнхий загвар нь: үнэмлэхүй утгын эдгээр өсөлтүүд их байх тусам тооцооллын нарийвчлал бага байх болно. Тиймээс, жишээлбэл, ижил төстэй цэгийн хувьд өсөлт нь бага байх болно: , мөн ойролцоо тооцооллын нарийвчлал нь маш өндөр байх болно.

Энэ онцлог нь нэг хувьсагчийн функцийн хувьд ч мөн адил (хичээлийн эхний хэсэг).

Жишээ 10

Шийдэл: Хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалыг ашиглан энэ илэрхийллийг ойролцоогоор тооцоолъё.

Жишээ 8-9-ээс ялгаатай нь бид эхлээд хоёр хувьсагчийн функцийг бүтээх хэрэгтэй. . Функц хэрхэн бүрдсэнийг хүн бүр зөн совингоор ойлгодог гэж би бодож байна.

4.9973 утга нь "тав"-тай ойролцоо байгаа тул: , .
0.9919 утга нь "нэг"-тэй ойролцоо байгаа тул бид: , .

Тухайн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Бид цэг дээрх дифференциалыг дараах томъёогоор олно.

Үүнийг хийхийн тулд бид цэг дээр эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоолно.

Энд байгаа деривативууд нь хамгийн энгийн зүйл биш бөгөөд та болгоомжтой байх хэрэгтэй.

;

.

Цэг дэх нийт дифференциал:

Тиймээс энэ илэрхийллийн ойролцоо утга нь:

Илүү нарийвчлалтай утгыг бичил тооцоолуур ашиглан тооцоолъё: 2.998899527

Харьцангуй тооцооллын алдааг олъё:

Хариулт: ,

Зөвхөн дээрх жишээг дурдахад, авч үзсэн асуудалд аргументуудын өсөлт нь маш бага бөгөөд алдаа нь гайхалтай жижиг болсон.

Жишээ 11

Хоёр хувьсагчийн функцийн бүрэн дифференциалыг ашиглан энэ илэрхийллийн утгыг ойролцоогоор тооцоол. Микро тооцоолуур ашиглан ижил илэрхийллийг тооцоол. Тооцооллын харьцангуй алдааг хувиар тооц.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

Өмнө дурьдсанчлан, энэ төрлийн ажлын хамгийн түгээмэл зочин бол зарим төрлийн үндэс юм. Гэхдээ үе үе өөр функцууд байдаг. Амрах эцсийн энгийн жишээ:

Жишээ 12

Хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалыг ашиглан хэрэв функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоол

Шийдэл нь хуудасны доод хэсэгт ойрхон байна. Дахин нэг удаа хичээлийн даалгаврын үг хэллэгт анхаарлаа хандуулаарай, практикт өөр өөр жишээн дээр үг хэллэг нь өөр байж болох ч энэ нь шийдлийн мөн чанар, алгоритмыг үндсээр нь өөрчилдөггүй.

Үнэнийг хэлэхэд, материал нь жаахан уйтгартай байсан тул би бага зэрэг ядарсан. Өгүүллийн эхэнд ингэж хэлэх нь сурган хүмүүжүүлэх биш байсан, гэхдээ одоо аль хэдийн боломжтой болсон =) Үнэн хэрэгтээ тооцооллын математикийн асуудлууд ихэвчлэн тийм ч төвөгтэй биш, тийм ч сонирхолтой биш байдаг, магадгүй хамгийн чухал зүйл бол алдаа гаргахгүй байх явдал юм. ердийн тооцоонд.

Таны тооны машины түлхүүр арилахгүй байх болтугай!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл:Бид томъёог ашигладаг:
Энэ тохиолдолд: , ,

Тиймээс:
Хариулт:

Жишээ 4: Шийдэл:Бид томъёог ашигладаг:
Энэ тохиолдолд: , ,

Гэхдээ Δ y = Δ е(X 0) нь функцийн өсөлт бөгөөд ба е (X 0) Δ x = df(X 0) – дифференциал функц.

Тиймээс бид эцэст нь авдаг

Теорем 1. y = f функцийг үзье(X) x цэг дээр 0 f  төгсгөлтэй деривативтай(X 0)≠0. Дараа нь хангалттай бага утгуудын хувьд Δ x ойролцоо тэгш байдал (1) байгаа бөгөөд энэ нь дур зоргоороо үнэн зөв болдог Δ x→ 0.

Ийнхүү цэг дээрх функцийн дифференциал X 0 нь энэ цэг дэх функцийн өсөлттэй ойролцоогоор тэнцүү байна.

Учир нь Дараа нь тэгш байдлаас (1) бид олж авна

цагт Δ x→ 0 (2)

цагт x→ X 0 (2  )

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлээс хойш y= е(x) цэг дээр X 0 шиг харагдаж байна

, Тэр ойролцоо тэнцүү (1)-(2) нь геометрийн хувьд x=x цэгийн ойролцоо байна гэсэн үг 0 y=f функцийн график(X) ойролцоогоор y = f муруйн шүргэгчээр солигдоно(X).

Хангалттай бага утгуудын хувьд функцийн нийт өсөлт ба дифференциал нь бага зэрэг ялгаатай, өөрөөр хэлбэл. . Энэ нөхцөл байдлыг ойролцоогоор тооцоолоход ашигладаг.

Жишээ 1.Ойролцоогоор тооцоол .

Шийдэл. Функцийг авч үзье болон тавих X 0 = 4, X= 3.98. Дараа нь Δ x =x –x 0 = – 0,02, е(x 0)= 2. -аас хойш, тэгээд е (X 0)=1/4=0.25. Тиймээс (2) томъёог ашиглан бид эцэст нь дараахь зүйлийг олж авна. .

Жишээ 2.Функцийн дифференциалыг ашиглан функцийн утга ойролцоогоор хэр өөрчлөгдөхийг тодорхойлно y=е(X)=(3x 3 +5)∙tg4 xтүүний аргументийн үнэ цэнэ буурах үед X 0 = 0, 0.01.

Шийдэл. (1)-ийн улмаас функцийн өөрчлөлт y = f(X) цэг дээр X 0 нь D-ийн хангалттай бага утгуудын хувьд энэ цэг дэх функцын дифференциалтай ойролцоогоор тэнцүү байна x:

Функцийн дифференциалыг тооцоолъё df(0). Бидэнд Д x= –0.01. Учир нь е (X)= 9x 2 ∙tg4 x + ((3x 3 +5)/ cos 2 4 x)∙4, тэгвэл е (0)=5∙4=20 ба df(0)=е (0)∙Δ x= 20·(–0.01) = –0.2.

Тиймээс Δ е(0) ≈ –0.2, i.e. үнэ цэнийг бууруулах үед X 0 = 0 функцын аргументыг функцийн утгыг 0.01 болгож өгнө y=е(X) ойролцоогоор 0.2-оор буурна.

Жишээ 3.Бүтээгдэхүүний эрэлтийн функцийг хэлбэртэй болго . Та тухайн бүтээгдэхүүний эрэлтийн хэмжээг үнээр нь олох хэрэгтэй х 0 =3 мөнгөний нэгж бүтээгдэхүүний үнэ 0.2 мөнгөн нэгжээр буурахад эрэлт хэр их өсөхийг ойролцоогоор тодорхойлно.

Шийдэл. Үнэтэй х 0 =3 мөнгөний нэгж эрэлтийн хэмжээ Q 0 =Д(х 0)=270/9=30 нэгж. бараа. Үнийн өөрчлөлт Δ х= –0.2 ден. нэгж (1) Δ-ийн улмаас Q (х 0) ≈ dQ (х 0). Бүтээгдэхүүний эрэлтийн эзлэхүүний дифференциалыг тооцоолъё.

Түүнээс хойш Д (3) = –20 ба

эрэлтийн эзлэхүүний дифференциал dQ(3) = Д  (3)∙Δ х= –20·(–0.2) = 4. Иймд Δ Q(3) ≈ 4, i.e. бүтээгдэхүүний үнэ буурах үед х 0.2 мөнгөний нэгж тутамд 0 =3 бүтээгдэхүүний эрэлтийн хэмжээ ойролцоогоор 4 нэгж бүтээгдэхүүнээр нэмэгдэж, ойролцоогоор 30 + 4 = 34 нэгж бүтээгдэхүүнтэй тэнцэх болно.

Өөрийгөө шалгах асуултууд

1. Функцийн дифференциал гэж юу вэ?

2. Функцийн дифференциалын геометрийн утга нь юу вэ?

3. Дифференциал функцийн үндсэн шинж чанарыг жагсаа.

3. Дифференциал ашиглан функцийн ойролцоо утгыг олох томьёог бич.